FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku A = 0
nagib pravca ili koeficijent smjera Uvrstimo k=0 u eksplicitnu jednadžbu pravca jednadžbu pravca paralelnu s osi apcise x dobivamo - Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku B = 0 Segmentni oblik jednadžbe pravca Kriterij paralelnosti dva pravca i k 1 = k ili
A B 1 1 A B Kriterij okomitosti dva pravca i Kut između dva pravca i : Jednadžba pravca kada je zadana točka A (x 1, y 1 )-kojom prolazi i koeficijent smjera k Jednadžba pravca kada su zadane dvije točke A (x 1, y 1 ) i B (x, y )
Udaljenost točke T (X 0, Y 0 ) od pravca d A x 0 B y C 0 A B Simetrala kuta α - udaljenost točke od pravca - SVAKA TOČKA simetrale jednako je udaljena od pravaca: A x 1 B y C 1 1 A B 1 1 A x B y C A B Formule koje se koriste za kružnicu nalaze se u zadacima. 1. Kolika je udaljenost pravca od ishodište koordinatnog sustava? f x = 3 x- - d -
Udaljenost pravca od ishodište koordinatnog sustava O (0, 0):
. Na pravcu odredi točku koja je jednako udaljena od točaka A (-1, 0) i B (5, ). T AT = BT B f x = x+3 A - - A (-1, 0) B (5, ) Točka T leži na pravcu, koordinate tražene točke su: x, A (-1, 0)
B (5, ) 3. Točka T (-, 5) vrh je kvadrata kojem je dijagonala na pravcu Odredi ostale vrhove kvadrata. 1.
T Y x = 7 x+ - -. Naći udaljenost zadana točka T (-, 5) od gore napisanog pravca T d =? Y x = 7 x+ - -
3. Duljina dijagonale:. Duljina stranice: D T C a B Y x = 7 x+ - -
B (-1, 1) C (3, ) D (0, ). Točka A (1, 3) jedan je vrh trokuta ABC, pravci i dvije su njegove težišnice. Odredi koordinate vrhova B i C trokuta. A (1, 3) f x = 1 x+ 1 A g x = 1 T =? - - B =? C =? 1. Odrediti točku T-sjecište dviju težišnica.
T (1, 1). Odrediti polovište P stranice iz uvjeta P (1, 0) f x = 1 x+ 1 A g x = 1 AT : TP = T (1, 1) P (1,0) - - B =? C =? ujedno vrijedi: jer točka C leži na pravcu-težišnici
3. Točka B pripada težišnici pravca. Odredite iz gore postavljenog sustava jednadžbi f x = 1 x+ 1 A g x = 1 T (1, 1) C B - - P (1,0) B ( -3, -1) C (5, 1) B (-3, -1) C (5, 1)
f x = 1 x+ 1 A g x = 1 T (1, 1) C B - - P (1,0) B ( -3, -1) C (5, 1) 5. Nađite kut između pravaca i Za izračunavanje kuta između dva pravca postoji još jedna formula uz nama opće znanu formulu u koju su uključeni slučajevi kada su pravci paralelni s jednom ili obje koordinatne osi: Kut između pravaca možemo izračunati kao kut između njihovih vektora smjerova vektor smjera
f y = -3 g x = -1 x+ 3 - - A = 1 B = 0 C = 3 A = 1 B = C = - 3
. Koliki kut zatvaraju pravci,? f y = -3 - g x = -3 x - vektor smjera
A = 1 B = 0 C = 3 A = 3 B = C = 0
7. Koliki kut zatvaraju pravci? f y = -3 - g x = - 3 x - vektor smjera vektor smjera
vektor smjera
. Odredi kut između pravca f x = 5 x g x = -3 x-1 - - Upute: Koristiti opće poznatu formulu za šiljasti kut između dva pravca: k k tg 1 1 k k 1
k k tg 1 1 k k 1 9. Odredi unutarnje kutove trokuta kojem stranice leže na pravcima,
g x = 3 x+11 f x = x+ h x = -1 x - - Samostalno! 10. Nađi jednadžbu kružnice opisane trokutu ABC ako je A (-1, 5), B(, ) i C (7, 1). A B C - - Jednadžba kružnice sa središtem u točki S (p, q) i polumjerom r:
A (-1, 5) (1) B (, ) C (7, 1) () Samostalno riješite sustav jednadžbi s tri nepoznanice-dobiti će te p, q i r. (3) 11. Napiši jednadžbu kružnice koja dira pravac x = 0 i y 3 = 0, a središte joj je na osi ordinata. f y = g x = 3 - - Pošto je središte kružnice na osi ordinate i kružnicu dira pravac x = 0 zaključujemo da je polumjer kružnice r =.
r= Zašto iz uvjeta da pravac x = 0 dira kružnicu zaključujemo koliki je polumjer, a ne iz uvjeta da pravac y 3 = 0 dira kružnicu? Drugi pravac paralelan je s osi x, a središte kružnice je na osi ordinata. Da bi kružnica dodirivala oba pravca gdje se nalazi središte u kojoj točki (pogledajmo graf i zaključimo)? središte kružnice na osi ordinate: S (0, q) Uvjet dodira pravca i kružnice: Pravac polumjerom dodiruje kružnicu sa središtem u točki S (p, q) i onda i samo onda ako vrijedi: y 3 = 0 y = 3 k = 0 l = 3
S (0, - 5) S (0, 11) I g x = 3 - - S -10-1 S
1. Kružnica prolazi točkom T (1, 0) i dira pravce i. Kako glasi jednadžba kružnice? f x = - x- g x = - x+1 T - - Na koliko načina možemo riješiti ovaj zadatak? Za rješavanje ovog zadatka poslužimo se dole jednadžbama i knjigom za drugi način st. 1,, 3? Kružnica prolazi točkom T (1, 0) (1) Uvjet dodira pravca i kružnice: Napomena: U prošloj verziji u pisanju nastala pogreška umjesto l pritisnuto 1.
Uočavamo da su zadani pravci koji dodiruju kružnicu paralelni: k = - l = -..() k = - l= 1 (3) Riješiti sustav tri jednadžbi s tri nepoznanice p = 5 q = - r = S (5, -) p = q = r = S (, ) i
f x = - x- S g x = - x+1 T - S - i 13. Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta na kružnicu. Kako glasi jednadžba tangente? 1. Grupirati članove uz pojedine nepoznanice:. Svaku zagradu nadopunjavamo do potpunog kvadrata i sredimo:
..jednadžba kružnice r = p = q = 1 S (, 1) Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta i okomita je na pravac ST 3. Napisati jednadžbu pravca kroz dvije točke S (, 1) i T (7, -) S (x 1, y 1 ) T (x, y ) k = -1..koeficijent smjera pravca ST. Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta i okomita je na pravac ST uvijet okomitosti dva pravca i
..koeficijent smjera tangente 5. Napisati jednadžbu pravca točkom T (7, -) s gore napisanim koeficjentom..jednadžba tangente f x = x-9 S t - T -
Zadaci za vježbu - nisu ispitni FORMULE EKSPLICITNI I IMPLICITNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA SEGMENTNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA KUT DVAJU PRAVCA PARALELNOST I OKOMITOST PRAVCA UDALJENOST TOČKE OD PRAVCA SIMETRALA KUTA
1. Jednadžbe pravaca zadane su u implicitnom obliku odredite koeficijente: a) x + 3y + = 0 b) x y + = 0 A = 1 A = 1 B = 3 B = - C = C = c) x +y - = 0 d) 3x + y = 0 A = - A = 3 B = B = 1 C = - C = 0 e) x - 3 = 0 f) y + 7 = 0 A = 1 A = 0 B = 0 B = C = - 3 C = 7. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku odredite nagib pravca i odsječak na osi y: x 3y + = 0 A = B = - 3 C =
Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y:. Jednadžbu pravca danu u implicitnom obliku prevedi u eksplicitni oblik te odredi nagib pravca i odsječak na osi y: 1) x + y = 0
Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: 5) 3x + 5y = 0 Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: Zaključak: Pravac ne siječe os y, prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava (drugi i četvrti kvadrant).
3. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku odredite nagib pravca, odsječak na osi y i nultočku (točku na osi x kroz koju prolazi pravac): 3x - y + 1 = 0 I način: A = 3 B = - C = 1 Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: Nultočka (točku na osi x kroz koju prolazi pravac): 3x - y + 1 = 0 3x + 1 = y / :
za y = 0. Jednadžba pravaca dana je u implicitnom obliku. Prevedi je u segmentni oblik. Nacrtaj potom pravce. 3) x 3y 1 = 0
x - 3 y -1 = 0 y = 3 x - y x = 3 x- m = 3 - n = - - x m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x 3 + y - = 1 5) x + y + 5 = 0
y x = -x-5 x + y + 5 = 0 y = - x - 5 m = - 5 - - x n = - 5 m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x - 5 + y - 5 = 1 5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni oblik i nacrtaj pravac. )
y x = -x-5 x + y + 5 = 0 y = - x - 5 m = - 5 - - x n = - 5 m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x - 5 + y - 5 = 1 5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni oblik i nacrtaj pravac. )
y x = x- m = n = - - - x m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x + y - = 1 3)
y x = -1 x+ n = x m + y = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca n x + y = 1 - - m =. Ucrtaj u koordinatnoj ravnini točke A i B, odredi nagib pravca AB i kut što ga taj pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi x, ako je: 1) A (-3, 3), B (5, 7) Nagib pravca ili koeficijent smjera kada su zadane dvije točke A (x 1, y 1 ) i B (x, y ):
1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, 3), B (5, 7) u. Nagib pravca k: POZITIVAN broj RASTUĆI pravac.
5) A (-3, ), B (-1, 1) 1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, ), B (-1, -1) u. Nagib pravca k: NEGATIVAN broj PADAJUĆI pravac.
5) A (, 5), B (, - 1)
1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (, 5), B (, -1) u.