Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă. - Reşiţ : eutrio 9 Bibliogr. SB 978-97-896-7-9 5(76) 9 Editur eutrio Mobil: 7477 E-il: editur@eutrio.ro www.eutrio.ro ww.eutrio.ro
PREFŢĂ Lucrre de fţă este dedictă tât prezetării teoriei geerle şirurilor recurete cât şi ueroselor eeple di cele i vrite ruri le teticii cre coduc l şiruri recurete cât şi l ecesitte deteriării tereului geerl l cestor î uele situţii specile. Ditre ceste eeple itesc: ridicre l putere tricelor clculul uor deteriţi rezolvre ecuţiilor dioftice şi celor fucţiole liit puctelor di pl costruite pri proiecţii uărre poligoelor deterite de o reţe de drepte di pl clculul derivtelor de ordi superior clculul priitivelor şi l itegrlelor itroducere recuretă fucţiilor eleetre de bză etc. Di păcte dtorită voluului re u putut să cuprid detlit î cestă lucrre tote eeplele euerte i sus. Şirurile recurete oferă odlităţi de rezolvre uor problee puse u ui de tetică ci şi de lte doeii le cuoşterii. Ditre ceste itesc: işcre udelor soore deterire uărului structurilor Keule di chii orgică stbilire culturilor bcteriee filoti şi lege creşterii orgice cobitoric discordţelor strtegiile de îvăţre î tip ii etc. Se pote deci cochide că şirurile recurete furizeză o veritbilă etodă de odelre şi rezolvre cu o lrgă rie de cupridere probleelor de tetică plicţiilor sle. Bzele teoriei şirurilor recurete u fost elborte şi publicte î deceiul l -le l secolului XV de către teticiul frcez Moivre şi de către teticiul elveţi Diel Beroulli. O teorie dezvolttă elbort-o rele tetici l secolului XV Leord Euler cre coscrt şirurilor recurete u cpitol l lucrării sle troducere î liz ifiiţilor ici (748). ww.eutrio.ro 4
CPTOLUL ŞRUR DE UMERE RELE 5 ww.eutrio.ro 6
.. oţiue de şir. Eistă ulte problee de lgebră geoetrie ifortică cre utilizeză şiruri. Este suficiet să iti progresiile ritetice şi geoetrice şirul perietrelor poligoelor regulte cu lturi îscrise îtr-u cerc şirul rezulttelor iteredire îtr-u proces lgoritic etc. Fie u uăr turl fit. Vo ot { / } dică {...}. Deci. Defiiţi... Fie M o ulţie fită. Pri şir ifiit de eleete le lui M vo îţelege o fucţie f : M ude este u uăr turl fit. Puâd f() şirul f se i oteză ( ). Eleetul se ueşte tereul de rgul l şirului. şdr şirul de uere rele ( ) este fucţi f : R defiită pri f(). Două şiruri ( ) (b ) sut egle dcă b petru orice. Eeplul... Dcă R tuci se pote cosider şirul costt ( ) defiit pri petru orice îtreg. Dcă b este u lt uăr rel tuci şirul (c ) dcă este pr defiit pri c u i este costt. Se b dcă este ipr observă că petru orice ve ( ) ( ) c b. Eeplul... Şirul () se ueşte şirul uerelor turle cărui ulţie de terei este. Eeplul... dică u eeplu de şir cre pre î uele cosiderţii ecooice. Presupue costul iiţil l uei istlţii egl cu C. După îcepere fucţioării istlţiei C se icşoreză treptt. otez cu C costul istlţiei după i de fucţiore. Rportul C C μ se ueşte coeficiet de ortizre l costului iiţil; C deorece C < C ve < μ <. Petru clculul lui C se observă i îtâi că μ C C C deci C C( μ) ecooiştii fc ipotez că î ii urători se respectă ceeşi regulă dică C C( μ) C( μ) C C( μ) C( μ) etc. şi î geerl C C( μ) petru orice. şdr este defiit î od firesc u şir de uere rele ( C ) ude C C. Eeplul..4. Petru orice uăr rel... > () () () ott cu... () truchierile sle succesive. Î cest od se obţie u şir ( ) socit lui. 7 ww.eutrio.ro 8
.. Şiruri covergete de uere rele. Defiiţi... Fie ( ) u şir de uere rele şi R. Se spue că şirul ( ) re liit dcă î orice veciătte puctului se flă toţi tereii şirului îcepâd de l u uit rg. Se scrie li. Defiiţi... Orice şir de uere rele vâd liită fiită se ueşte coverget. Şirurile cre u u liită şi cele cre u liită ifiită se uesc divergete. Eeplul... Fie. rătă că ( ) este u şir coverget şi li. Îtr-devăr fie V o veciătte orecre puctului. tuci eistă ε > stfel îcât ( ε ε) V şi se observă că dcă > tuci () V dică toţi ε tereii şirului se flă î V îcepâd cu rgul. ε Eeplul... rătă că li. Îtr-devăr fie V o veciătte orecre lui deci eistă ε > stfel îcât ( ε ) V. Puâd codiţi > ε rezultă V. Cu lte cuvite luâd ε rezultă că ve > ε deci > ε dică [ ] V. Teore... (Teore de uicitte liitei). Dcă u şir de uere rele re liită tuci cest este uică. Deostrţie: Presupue că şi b b şi ve de rătt că b. Dcă pri reducere l bsurd ve b tuci lege veciătăţile V şi V le puctelor şi respectiv b cre să fie disjucte. Deorece tuci î V se vor fl toţi tereii şirului de l u rg îcolo; î prticulr î fr lui V deci î V se vor fl dor u uăr fiit (cel ult ) de terei i şirului ( ) deci b u pote fi liit şirului ( ). Teore... (de crcterizre liitelor de şiruri). Fie ( ) u şir de uere rele.. Şirul ( ) este coverget către u uăr R dcă şi ui dcă este îdepliită codiţi urătore: petru orice ε > eistă u uăr turl ( ε) depizâd de ε stfel îcât < ε petru orice.. Şirul ( ) re liit dcă şi ui dcă petru orice ε > eistă u uăr turl ( ε) stfel îcât > ε petru orice >.. Şirul ( ) re liit dcă şi ui dcă: petru orice ε > eistă u uăr turl ( ε) stfel îcât < ε petru orice >. 9 ww.eutrio.ro
.. Covergeţă şi ărgiire. Defiiţi... Fie s ( ) u şir de uere rele. Dcă < < <... < <... este u şir strict crescător de uere turle tuci şirul ( ) se ueşte subşir l lui s. Eeplul... Luâd se obţie subşirul ( ) l lui s l tereilor de rg pr şi petru subşirul ( ) l tereilor de rg ipr. Teore... Dcă şirul ( ) re liit l (î R) tuci orice subşir ( ) l său re de seee liit l. Coseciţ... Dcă u şir re u subşir diverget su re două subşiruri covergete către liite disticte tuci el este diverget. Eeplul... Şirul ( ) subşirul ( ) coverge către ir subşirul ( ) coverge către deci şirul ( ) este diverget. Teore... Orice şir coverget de uere rele este ărgiit. Observţi... Reciproc este î geerl flsă. De eeplu şirul ( ) este ărgiit dr u este coverget. Observţi... Dcă li tuci şirul ( ) este î od ecesr eărgiit. Reciproc este î geerl flsă; de eeplu şirul ( este eărgiit dr u re liită î R. ).4. Criterii suficiete de covergeţă. Dă i îtâi u criteriu cre sigură covergeţ uui şir pri utilizre uor şiruri tip cre coverg către zero su. Teore.4.. Fie ( ) u şir de uere rele.. Presupue că l este u uăr rel şi că eistă u şir (b ) de uere rele pozitive coverget către zero stfel îcât l b petru orice ( fiid u rg fit). tuci şirul ( ) este coverget şi li l.. Dcă (u ) este u şir stfel îcât li u şi dcă u petru orice ( fit) tuci li. ww.eutrio.ro. Dcă (v ) este u şir stfel îcât li v şi petru orice ( fit) tuci li. v Luâd czul prticulr b rezultă direct: Corolrul.4.. Dcă l < tuci li l. Î czul prticulr câd l şi tote uerele sut pozitive se obţie: Corolrul.4.. Dcă b petru orice ( fit) şi dcă li b tuci li.
Eeplul.4.. Petru orice uăr rel şirul ( () ) l truchierilor sle succesive este coverget şi re liit. Îtr-devăr şti că () < petru orice şi li. li Eeplul.4.. Fie si. ve. log si cos li li. deci Eeplul.4.. Fie -. Evidet şi deci ( ) dică C C... deci ( ) C. tuci şi cu se deduce ieglitte petru orice. Şirul b coverge l zero deci li li. Eeplul.4.4. Orice uăr rel este liit uui şir de uere rţiole (respectiv erţiole). Teore.4.. (Teore lui Weierstrss). ) Orice şir ooto crescător şi ărgiit superior de uere rele este coverget. b) Orice şir ooto descrescător şi ărgiit iferior î R este coverget. Eeplul.4.6. Şirul este ărgiit deorece şi ooto crescător deci el este coverget. Se verifică iedit că li. ww.eutrio.ro Eeplul.4.7. Şirul... este crescător şi ărgiit superior şdr el este coverget. Eeplul.4.8. Şirul e este strict crescător şi ărgiit. Liit şirului e se oteză cu e : e ( ). Eeplul.4.9. dică cu u lt şir coverget către e ue şirul: E....!!! Şirurile covergete u sut epărt ootoe; stfel şirul ( ) este coverget către zero şi u este ooto. Le.4.. (Le lui Cesro) Orice şir ărgiit de uere rele re cel puţi u subşir coverget. 4
CPTOLUL ŞRUR RECURETE 5 ww.eutrio.ro 6
.. Cocepte fudetle. Fie E o ulţie. Î joritte cosiderţiilor di lucrre vo dite că E R. După cu se v vede pe prcurs uerose tehici di czul E R se etid fără dificultte î situţi câd E este iclusă îtr-u spţiu vectoril. ş cu rătt î cpitolul o fucţie f : E defieşte u şir ( ) f(). otă { f : E} E. Studiul lui E rezidă î evideţiere uor crcteristici le şirurilor ditre cre cită: ărgiire ootoi covergeţ clculbilitte uor şiruri (fiite su u) de terei periodicitte. O odlitte etre de iterestă şi de utilă î prctică petru deteri subulţii S iportte le lui E costă î idicre uei relţii de recureţă ( R) şi uor codiţii iiţile ( ) O relţie de recureţă pote fi dtă c o eglitte î foră iplicită eplicită su c o ieglitte. For geerlă iplicită uei relţii de recureţă este: F(... ) (..) ude F : E E; E E E... E ir for geerlă 7 ori eplicită uei relţii de recureţă este: f(... ) (.. ) ude F : E E. Czul etre de iportt este cel l recureţelor de ordi ; de cestă dtă î (..) ve F : E E î (.. ) ve f : E E şi: F(... - ) (..) f(... - ) (.. ) Recureţele de ordiul î foră iplicită şi eplicită i pot fi scrise şi stfel: F(... ) (..) f(... ) (.. ) Ître relţiile de recureţă de ordi le distige pe cele liire oogee: (..4) pe cele liire eoogee: b (..5) şi pe cele oogrfice: b c d (..6) Defiiţi... Soluţi geerlă recureţei (..) este ulţie şirurilor ( ) di E cre verifică (..). Dcă şirul ( ) di E verifică (..) şi sut îdepliite codiţiile iiţile: p p... p (..7) ude p p... p E fite tuci şirul ) se ueşte soluţie prticulră recureţei (..). Şiruri recurete defiite de o fucţie. Defiiţi... Fiid dtă fucţi f : E E şi E şirul ( ) defiit pri: f () (..8) se ueşte şir recuret de ordiul socit fucţiei f şi eleetului E. Desigur recureţ defiită de o fucţie este u cz prticulr de recureţă de ordiul. Observţi... Dcă otă f f f f f... f f f tuci şirul recuret defiit terior pri (..8) se epriă stfel: f ( ) (..8 ) 8 ww.eutrio.ro
Şirul recuret defiit terior se ueşte şirul proiţiilor succesive socite lui f şi. Mulţie şirurilor recurete socite fucţiei f : E E şi lui E se ueşte ulţie şirurilor recurete socite lui f ir eleetele ulţiii se uesc şiruri recurete socite fucţiei f su şiruri le proiţiilor succesive socite lui f şi. Se pue proble deteriării uor clse de fucţii f petru cre şirul socit lui f şi este coverget. Dcă fucţi f este discotiuă tuci î geerl şirul ( ) socit fucţiei f şi lui E u coverge. U cz prticulr l relţiei de recureţă (.. ) este cel î cre fucţi f este liiră şi oogeă î... şi tuci (.. ) se scrie:... (..9) i şirurile ( ) i fiid dte. Şirul (..9) se ueşte şir recuret liir şi ooge. U cz prticulr l relţiei (..9) este cel î cre coeficieţii ( i ) sut uere rele fite (u depid de ) şi tuci şirul (..9) devie:... (..9 ) uită relţie de recureţă liiră oogeă de ordiul cu coeficieţi costţi. Dcă relţi de recureţă re for:... i Ri (..) fite şi (b ) şir cuoscut tuci (..) se ueşte relţie de recureţă liiră şi eoogeă de ordiul. 9.. Teoree de eisteţă şi uicitte. Scopul cestui prgrf este de e sigur î codiţii de re greutte de eisteţă uor şiruri defiite recursiv. Petru joritte eeplelor prezette ici vo revei ulterior cu deterire efectivă tereului geerl. Teore... Fie o ulţie şi u şir de fucţii (f ) f : E E (fce coveţi E E E ); tuci eistă u sigur şir ( ) E stfel îcât: p (..) f (... ) (..) Teore... Fie o ulţie şi u şir (f ) de fucţii : E E. Eistă u sigur şir ( ) E cre stisfce codiţiile: p (..) f ( ) (..4) Eeplul... Fie şirul ) p (...) r (...) Se observă că r. Ţiâd se de teore.. rezultă că şirul eistă şi este uic. Şirul portă uele de progresie ritetică şi este dt de p r. Eeplul... Fie şirul ( ) p (...) q q (...) Se observă că f ( ) q. Şirul ( ) se ueşte progresie geoetrică şi este dt de p q. ww.eutrio.ro
ww.eutrio.ro 5 Pri criteriul jorării obţie b. Metod. Orice trice ) (R M d c b verifică o ecuţie de for O det (Tr ) (uită ecuţie crcteristică socită tricei ) ude d Tr (ur tricei) şi c b d det. Se deostreză pri iducţie că eistă două şiruri rele ) ( ) ( stfel îcât ude det Tr. Petru evideţi relţiile de recureţă costtă: ) ( ) ( ) ( Deci: Eeplul... Fie. Să se clculeze. det Tr O (det ) (Tr ) ; deci cofor cu (..) rezultă: ; -. Ecuţi crcteristică relţiei de recureţă liiră de ordiul doi v fi: r r r r deci ; ureză ) ( ); (. Rezulttul se pote verific uşor pri iducţie tetică. 54 Metod. Petru clcul (C) M ; se clculeză... 4 pâă se observă o regulă de obţiere tricei pri iducţie copletă se deostreză poi cestă regulă. Eeplul... Fie trice. Să se clculeze. deci presupue că:. Pri iducţie tetică se verifică uşor corectitudie presupuerii făcute. Eeplul..4. Să se clculeze dcă. 4 4 5. Se observă că. L verificre cestui rezultt vo plic o iducţie tetică specilă. P() : P() devărtă;
ww.eutrio.ro 55 : P() P() devărtă. Presupue că P() devărtă. P() : şi deostră că: ) : P( este devărtă. Dcă tuci ) (. Dcă tuci ) ( deci ) P( devărtă. Deci ) P( P(). Pri urre P() este devărtă petru orice. Metod 4. Scriid t z tuci d c b t z t z t d z b t c z d b c de ude se obţi relţiile de recureţă: t d z b t t c z z d b c 56.. plicţii î geoetrie. e propue ici să rezolvă câtev problee de geoetrie cobitorică î cre pr şiruri recurete. Eeplul... Cre este uărul de regiui î cre este îpărţită o dreptă pri pucte disticte? Fie p cest uăr. Desigur p. Petru clcul p fie cele p regiui î cre este îpărţită drept de priele pucte. Cel de-l ) ( -le v fi situt î u ditre ceste p regiui pe cre o îprte î două. Deci p p. Rezultă iedit p. Eeplul... Cre este uărul i d î cre drepte pot îpărţi plul? ve desigur d. Este clr că drepte vor îpărţi plul î cel i re uăr de părţi dcă tote ceste drepte se itersecteză (dică ici o pereche u este prlelă) şi dcă ici u grup de trei ditre ele u sut cocurete. Deci răâe să deteriă î câte părţi este îpărţit plul pri drepte eprlele două câte două şi stfel îcât ici u grup de trei ditre ele să u fie cocurete. S-r pute crede că deşi se respectă tote ceste codiţii uărul părţilor îcă i depide de cofigurţi dreptelor. Îsă di soluţie v rezult că cest uăr este deterit î od uic de vlore lui şi deci u depide de cofigurţi dreptelor. Presupue că u fost duse î pl drepte; duce drept ) ( - şi vo vede cu cât crescut uărul de părţi î cre dreptele îprt plul.
Drept ( ) -se itersecteză cu cele drepte î pucte cre o îprt ( ) părţi. Deci drept ( ) - v tăi ect ( ) părţi di tote părţile eistete le plului. Deorece fiecre di ceste părţi este îpărţită î două după ce pus ce de- ( ) - dreptă uărul totl de părţi crescut cu ( ) p. ve deci relţi de recureţă d d ( ). Di cest şi relţi iiţilă obţie d ( ). Eeplul... Cre este uărul i s î cre ple pot îpărţi spţiul treidiesiol? Rţioâd c î proble precedetă vo ve s şi s s d s. Petru deterire şirului recursiv s căută coeficieţii B C D stfel îcât s B C D să stisfcă cele două codiţii. Efectuâd clculele se obţie s ( 5 6) ( 6). 6 Observţi... Rţioetele de i sus pu î evideţă o probleă i geerlă cu o soluţie ce obligă l o dublă recureţă: Cre este r î cre hiperple îprt spţiul de uărul i diesiue? 57 Eeplul..4 Cre este uărul c î cre pote fi îpărţit plul pri cercuri? ve desigur c. Cele cercuri vor îpărţi plul î cel i re uăr de părţi dcă tote cercurile se itersecteză (dică ici o pereche u sut tgete şi ici uul u este situt î îtregie î iteriorul ltui) şi ici u grup de trei cercuri u trec pri celşi puct. Rţioâd c î eeplul.. vo răt că cercul l ( ) -le ăreşte uărul de părţi le plului cu (l ( ) -le cerc se itersecteză cu cele cercuri teriore î pucte). ve deci relţi de recureţă c c cre îpreuă cu codiţi iiţilă coduce l rezulttul c. Eeplul..5 Cre este uărul i c î cre î cre pote fi îpărţită suprfţ S uei sfere de cercuri de pe sferă? legâd pe S u puct P esitut pe ici uul ditre cele cercuri pritr-o iversiue de pol P trsforă S îtr-u pl şi proble revie l eeplul..4 dică c. Eeplul..6 Cr este uărul i u î cre pot îpărţi sfere î spţiul tridiesiol? Găsi uşor u şi u u e u ( ) cre coduc l u ( 8). ww.eutrio.ro 58
.. Test de ptitudii. Proble : Se cosideră şirul ( ) defiit pri relţi de recureţă: (- -). ( ) Să se deostreze că: şi să se studieze covergeţ şirului ( ). Proble : Se cosideră şirul ( ) defiit pri relţi de recureţă: e > este ooto crescător şi să se clculeze liit s. Proble : Se cosideră şirul ( ) defiit pri relţi de recureţă: >. Să se studieze covergeţ şirurilor ( ) şi ( ) şi î cz de covergeţă să se clculeze liitele lor. Răspusuri: Proble : Deci şirul este coverget. (-) - 59 li Proble : Deci li. Proble : ( ) este strict descrescător şi ărgiit iferior rezultă că este coverget şi li. ww.eutrio.ro Fie Obţie şi ) este crescător. Deci li. ( 6
BBLOGRFE... Mrcuşevici Şiruri recurete (trducere di lib rusă) Bibliotec Societăţii de Ştiiţe Mtetice.. D. Brâzei S. iţ. G. Gussi O Stăăşilă T. Stoic Şiruri recurete l liceu Editur GL Zlău. Mul de liză tetică Editur Didctică şi pedgogică Bucureşti. 4. H. Be Metodic predării teticii Prlel 45. 5.. Mute D. Pop Metod şirurilor recurete Editur GL Zlău. 6.. Rus Metodic predării teticii SERVO-ST. 7. M. Meg P. Pred Şiruri recurete Colecţi Ciete Metodico-Ştiiţifice Uiversitte Tiişoră. 6 8. M. Hărăguş Şiruri de ordi superior Colecţi Ciete Metodico-Ştiiţifice Uiversitte Tiişoră. 9. O. Stăăşilă. Cătă Metodică predării teticii.. Culegeri de problee de liză tetică.. Colecţi Gzet Mtetică. ww.eutrio.ro 6
CUPRS Prefţă... pg. Cpitolul Şiruri de uere rele... pg. 5.. oţiue de şir... pg. 7.. Şiruri covergete de uere rele... pg. 9.. Covergeţă şi ărgiire... pg..4. Criterii suficiete de covergeţă... pg. Cpitolul Şiruri recurete... pg. 5.. Cocepte fudetle... pg. 7.. Teoree de eisteţă şi uicitte... pg... Recureţe liire de ordiul... pg..4. Recureţe liire de ordi.. pg. 9.5. Sistee de recureţe... pg. 7.6. Recureţe defiite de fucţii pg. 45 Cpitolul plicţiile şirurilor recurete pg. 49.. plicţii î lgebră pg. 5. plicţii î geoetrie pg. 56. Test de ptitudii.. pg. 59 Bibliogrfie... pg. 6 ww.eutrio.ro 6 64