Gorputz geometrikoak

Transcript

1 orputz geometrikoak POLIEDROAK ELEMENTUAK EULERREN FORMULA PRISMAK ETA PIRAMIDEAK ELEMENTUAK MOTAK AZALERAK BIRAKETA-ORPUTZAK IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK BOLUMENAK CAVALIERIREN PRINTZIPIOA PRISMEN ETA PIRAMIDEEN BOLUMENAK ZILINDROEN, KONOEN ETA ESFEREN BOLUMENAK LUR-ESFERA KOORDENATU EORAFIKOAK 74

2 Arkimedesen ondarea Sizilian, Zizeron arduratuta zegoen aren seme Markoren eredua Julio Zesarren gerlari-izaera eta garaipenak zirelako. Zizeronek onela itz egin zion semeari: Hemendik oso urbil, Sirakusan, garai guztietako gerra-ingeniari andiena bizi izan zen. Erromatar armadari iru urtez baino geiagoz eusteko gai izan zen, bera bakarrik. Markori interes andia sortu zion gai ark eta aitak Arkimedesen istoria kontatu zion. ainera, biaramunean aren ilobia ikustera joango zirela agindu zion. Biaramunean, ilobiaren aurrean, Markok Arkimedesen balentriak ikusteko itxaropena zuen, baina zilindro batean inskribatutako esfera bat baino ez zuen aurkitu. Orduan, Zizeronek esan zion: Ingeniaritza militarrean aurrerapen asko egin arren, ez zuen aiei buruz ezer idatzi, baina bai matematikako eta mekanikako liburu asko. Haren ustez, altxorrik andiena au zen: esferaren bolumena ura barne artzen duen zilindroaren bolumenaren bi eren dela aurkitzea. Irudi batzuk irudi lauak biraraziz lortzen dira. Zer irudi dira? Ezagutzen al duzu orrela sortzen den beste irudirik? Laukizuzen bat aren alde baten inguruan biraraziz zilindroa sortzen da. Esfera, berriz, zirkuluerdi bat aren diametroa barne artzen duen ardatzaren inguruan biratzean sortzen da.

3 orputz geometrikoak ARIKETAK 00 Adierazi zer izen duten poliedro auek eta zenbat aurpegi naiz ertz dituzten. a) b) a) Hexaedroa: 6 aurpegi eta 0 ertz. b) Hexaedroa: 6 aurpegi eta ertz. 00 Egin aurreko ariketako poliedroen garapen lauak eta adierazi zer urratsi jarraitu diezun. a) b) 00 Marraztu ertz eta erpin kopuru desberdina duten bi eptaedro. (Erreparatu aurreko adibideei.) 004 Poliedro au kubo moztu bat da (kuboaren erpin guztiak moztuta daude triangelu aldeberdin bana osatzen dutela). Poliedro aurra ala ganbila da? Egiaztatu Eulerren formula betetzen duela. anbila da. Aurpegiak = 4, ertzak = 6, erpinak = 4. Eulerren formula betetzen du =

4 ERANTZUNAK 005 Adierazi zer poligono erregular egin daitekeen: a) Triangelu aldeberdinez. b) Karratuz. Zenbat aurpegi elkartzen dira erpin bakoitzean? a) Tetraedroa (), oktaedroa (4) eta ikosaedroa (5). b) Kuboa (). 006 Egin al daiteke poliedro erregular bat exagono erregularrak soilik erabiliz? Eta sei alde baino geiagoko poligono erregularrak erabiliz? Ezin da poliedro erregularrik egin 6 alde baino geiagoko poligonoak erabiliz, angelu poliedroen neurria 60 baino andiagoa izango litzatekeelako. 007 Sailkatu prisma auek eta izendatu elementu nagusiak. a) Oinarriko ertza b) Alboko ertza Alboko aurpegia Oinarria Altuera Ortoedroa Prisma exagonal zeiarra Altura Oinarriko ertza Alboko aurpegia Alboko ertza Oinarria 008 Kalkulatu cm-ko ertza duen kuboaren azalera. Azalera 6 aurpegien azaleren batura da; beraz, A = 6 = Kalkulatu prisma triangeluar baten azalera. Oinarria triangelu aldeberdin erregularra da; oinarriko ertza, 5 cm-koa; eta altuera, 6,5 cm-koa. Leendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: 5 cm = 5,5 = 4, cm AOinarria = b AB = = 5 4, 0,8 cm A = A Aurpegia A Aldea = 5 6,5 = 47,5 cm A = A Aldea + A Oinarria A = 47,5 + 0,8 = 6, cm 00 Kalkulatu prisma exagonal erregular baten azalera. Oinarriko ertzak 8 cm ditu; altuerak, 0 cm. Leendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: a = 8 4 = 64 6 = 6,cm a 8 cm A Oinarria P a 6, = 6 AOinarria = 8 = 65, A Aldea = 6 A Aurpegia = = 480 cm A = A Aldea + A Oinarria A = ,6 = 8, cm 77

5 orputz geometrikoak 0 Sailkatu piramide auek eta esan elementu nagusien izenak. Erpina a) b) Erpina Apotema F Altura Alboko ertza Alboko aurpegia Oinarriko Oinarria F ertza Piramide triangeluar zuzena Alboko aurpegia Oinarria F F Piramide exagonal zeiarra Alboko ertza Altuera Oinarriko ertza 0 Kalkulatu piramide exagonal erregular baten guztizko azalera, jakinik oinarriko ertza -koa dela, eta alboko aurpegien apotema, cm-koa. Oinarri exagonalaren azalera kalkulatuko dugu: a cm 6 = a + a = 6 = 7 = 5, cm P a AOinarria = 6 AOinarria = 6 5, =, AAurpegia = b AAurpegia = 6 = A Aldea = 6 A Aurpegia A Aldea = 6 6 = A = A Aldea + A Oinarria A = 6 +,6 = 0, 0 04 Oinarritzat edozein triangelu artuta piramide zuzen bat egin daiteke. Egin al daiteke edozein lauki artuta? Triangelua artuta egin daiteke; izan ere, erdibitzaileen ebakiduratik (zirkunzentroa) igarotzen den triangeluaren zuzen zutean egongo da erpina. Laukizuzena artuta ezin da; izan ere, erdibitzaileen ebakidurak ez du zertan puntu bat izan. Marraztu biraketa-gorputz auen garapen laua eta kalkulatu azalera. a) cm-ko erradioko oinarria eta 5 cm-ko altuera dituen zilindroa. b) -ko erradioa eta -ko sortzailea dituen konoa. a) cm A A = πr A L = π 5 = 4, cm 5 A O =πr A B =π = 8, A = A A + A O A = 4, + 8,6 = 50,7 cm b) A A =πrg A L =π 4 6 = 75, A O =πr A B =π 4 = 50, A = A A + A O A T = 75,6 + 50,4 = = 5, 78

6 ERANTZUNAK Alboko azalera: 75,. Oinarriko erradioa:. Zer altuera du zilindroak? A A = πr 75,6 = π 4 75,6 = = 5, cm Kono batek zilindro baten oinarri bera eta aren azaleraren erdia ditu. Zein da altuera? Erradio bera eta azalera erdia dituenez: πr( + r) =πr(g + r) = g Zilindroaren altuerak konoaren sortzailearen berdina izan bear du, eta konoaren altuera sortzailea baino txikiagoa denez beti, zilindroaren altuera konoarena baino andiagoa da. 0 cm-ko erradioko esferan, kalkulatu 40 -ko ziri-gainazalaren azalera eta 0 cm-ko altuerako txapel esferikoarena. 4πr n 4π 0 40 A Ziri-gainazala = A Ziri-gainazala = = 558, cm A Txapel esferikoa = πr A Txapel esferikoa = π 0 0 =.5 5 zentimetroko diametroa duen laranja batean, azalaren zer azalera dagokio laranja-ataletako bakoitzari? 60 Laranja-atal bakoitza neurri onetako ziri-gainazala da: = 0. 4πr n 4π 7,5 0 A Ziri-gainazala = A Ziri-gainazala = A Ziri-gainazala = 58, cm Kalkulatu gune esferiko baten altuera, azalera 0 -ko ziri-gainazal esferiko baten azaleraren berdina izan dadin, jakinik dagokion esferaren erradioa 5 cm-koa dela. Eta erradioa 0 cm-koa balitz? Esferaren erradioaren araberakoa al da emaitza? 4πr n 4π 5 0 A Ziri-g. = A Ziri-g. = A Ziri-g. = 78,5 cm A unea = πr A unea = π 5 =.4 Beraz: 78,5 =.4 = 0,0. Erradioa r = 0 cm bada, au daukagu: 4π 0 0 A Ziri-gainazala = = = π 0 = = 0, eta ori gunearen altuera bera da; berdintza planteatuz eta sinplifikatuz ondoriozta genezakeen ori: 4πr n n = πr = adierazpenean ez da ageri erradioa, r. 5 cm 7

7 orputz geometrikoak Kalkulatu prisma exagonal erregular baten bolumena. Oinarriko ertza cm-koa da, eta altuera, -koa. Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: a cm,5 cm = a +,5 a =,5 =, A O P a = 6 AO =,6 =, V = A O V =,4 4 =, Kalkulatu aurreko ariketako prisman zirkunskribatutako zilindroaren bolumena. Zilindroaren erradioa eta exagonoaren aldea berdinak dira ( cm). V =πr =π 4 =,0 Kalkulatu kubo baten ertzaren luzera, jakinik, 4 eta 5 cm-ko ertzak dituen ortoedroaren bolumen bera duela. V Ortoedroa = 4 5 = 60 cm V Kuboa = l 60 = l l =, cm Bi zilindrok bolumen bera badute eta baten erradioa bestearen erradioaren bikoitza bada, zer lotura dago altueren artean? πr =πr' r' = r ' πr = π 4 r ' = 4' Erradio txikieneko zilindroaren altuera bestearen alako lau da. 04 Kalkulatu irudi auen bolumena. a) b) 5 cm 7 cm cm a) V = AOinarria V = = 7 cm b) V = πr V = π 4 = 50, 05 Kalkulatu irudiko kuboaren eta konoaren arteko espazioaren bolumena. V Kuboa = 0 =.000 cm V Konoa = πr V Konoa = π 5 0 = 6,7 cm V Kuboa V Konoa =.000 6,7 = 78, cm 0 cm 80

8 ERANTZUNAK r erradioko eta altuerako konoa badugu, nola andituko da geien bolumena: erradioa cm andituz ala altuera cm andituz? Erradioa cm andituz: V = ( π( r + ) ) = ( π( r + r + ) ) = ( πr ) + ( π( r + ) ) Bolumena onela anditzen da: ( π( r + ) ). Altuera cm andituz: V = ( πr ( + ) ) = ( πr ) + ( πr ). Bolumena onela anditzen da: ( πr ). r ( π( r + ) ) > ( πr ) ( r + ) > r > r + r Erradioaren kasuan geiago anditzen da, baldin > bada. r + Kalkulatu 0 cm-ko diametroa duen esferaren bolumena. V 4 4 = πr = π 5 = 5, cm 0 cm 08 Esfera baten bolumena dm -koa bada, zer erradioa du? 4 4 V = πr = πr r = =,74 dm 4 π 0 Kalkulatu m-eko altuerako eta diametroko zilindroan zirkunskribatutako eta inskribatutako esferen bolumena. Zer alde dago esferen erradioen artean? Esfera inskribatuaren erradioa zilindroaren diametroaren erdia da: 0,5 m. 4 4 V = πr = π 0,5 = 0,5 m Esfera zirkunskribatuaren erradioa zilindroaren diagonalaren erdia da; Pitagorasen teorema erabiliz kalkulatuko dugu. m F m Diagonalaren luzera: + = m. 4 r = V = r = 4,4 m = π π,47 m Erradioen arteko aldea: =,4 = = 0,05 m. 8

9 orputz geometrikoak 00 Bilatu atlas batean Ipar latitudea eta Mendebalde longitudea dituen iri bat, eta Hego latitudea eta Ekialde longitudea dituen beste bat. Ipar latitudea eta Mendebalde longitudea: New York. Hego latitudea eta Ekialde longitudea: Sidney. 0 A iriaren koordenatuak 0 E 0 I dira, eta B iriarenak, 50 M 5 H. Zenbat gradu longitude eta latitude daude A eta B irien artean? Latitudeen arteko aldea: = 55. Longitudeen arteko aldea: = A eta B puntuak paralelo berean badaude, zer lotura dago bien latitudeen artean? A B Izango al lukete loturarik meridiano berean baleude? Paralelo berean badaude, latitude bera dute. Meridiano berean badaude, longitude bera dute, baina latitudeari buruz ezin da ezer esan. ARIKETAK 0 Marraztu poliedro auen garapenak. a) c) b) d) a) c) b) d) 8

10 ERANTZUNAK 04 Erregularrak al dira iru poliedro auek? Arrazoitu erantzuna. a) b) c) Ez dira erregularrak, aurpegien forma eta neurria ez baitira berdinak. 05 Aztertu ea betetzen duten Eulerren formula poliedro auek. a) c) e) g) b) d) ) f) Sailkatu aurretan eta ganbiletan. a) Aurpegiak = 0 Erpinak = 7 Ertzak = = 5 + anbila. b) Aurpegiak = Erpinak = Ertzak = 6 + = 6 + Aurra. c) Aurpegiak = Erpinak = 0 Ertzak = = 0 + anbila. d) Aurpegiak = Erpinak = Ertzak = 6 + = 6 + Aurra. e) Aurpegiak = 8 Erpinak = 8 Ertzak = = 4 + anbila. f) Aurpegiak = 4 Erpinak = 4 Ertzak = = 6 + anbila. g) Aurpegiak = Erpinak = Ertzak = 6 + = 6 + anbila. ) Aurpegiak = Erpinak = 6 Ertzak = Aurra. 06 Beeko taulan poliedro erregularrak daude adierazita. Osatu taula eta egiaztatu denek betetzen dutela Eulerren formula. Aurpegiak Erpinak Ertzak A + Ep Er Tetraedroa Kuboa 6 8 Oktaedroa 8 6 Dodekaedroa 0 0 Ikosaedroa 0 0 8

11 orputz geometrikoak 07 Marraztu piramide pentagonal bat. Zenbatu ertzak, erpinak eta aurpegiak, eta egiaztatu Eulerren formula betetzen duela. F Aurpegiak = 6, erpinak = 6, ertzak = 0. Betetzen du Eulerren formula = 0 +. E D C A B 08 Adierazi zer poligono den prismaren oinarria, kasu bakoitzean. a) 0 erpin baditu. b) ertz baditu. c) aurpegi baditu. a) Pentagonoa. b) Triangelua. c) Heptagonoa. 0 Adierazi zer poligono den piramidearen oinarria, kasu bakoitzean. a) 0 erpin baditu. b) ertz baditu. c) aurpegi baditu. a) Eneagonoa. b) Hexagonoa. c) Oktogonoa. 040 Luzera bereko ertzak dituzten tetraedro eta oktaedro bana ditugu; aurpegi batetik itsatsi ditugu, beste poliedro bat osatzeko. Betetzen al du Eulerren formula poliedro orrek? Aurpegiak = 0, erpinak = 7, ertzak = 5. Betetzen du: = Ortoedro baten iru ertzak 5, 6 eta -koak dira, urrenez urren. Kalkulatu diagonala. d D 5 cm d = oinarriaren diagonala = d = D = ortoedroaren diagonala = D = Kalkulatu cm-ko ertza duen kuboaren diagonala. d = oinarriaren diagonala = + cm = d = 77 = 7,8 cm = 8,8 cm D = kuboaren diagonala = + ( 8 ) = + 8 = 7 = 5, cm 84

12 ERANTZUNAK 04 Kubo baten diagonala 7 m-koa da. Zenbatekoa da ertza? Eta aurpegi baten diagonala? d = l + l = l l D d D = d + l = l ( 7 ) = l l = l = m d = l d = l d = = 4, m 044 Lau angeluko piramide erregular baten apotema cm-koa da, eta oinarriko ertza, 0 cm-koa. Zenbatekoa da altuera? a = + = + 5 l = 44 5 = = 0, cm l = 0 cm cm l 045 Piramide exagonal erregular baten apotema 0 cm-koa da, eta oinarriko ertza, 0 cm-koa. Zenbatekoa da altuera? Oinarriaren apotema, a', kalkulatuko dugu: a = 0 cm 0 = a' + 5 a' = 75 cm Piramidean kolorea duen triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuko diogu: a' 5 cm a' a = + a' 0 = + ( 75 ) = = 5 = 5 cm 0 cm 046 Kalkulatu gorputz geometriko auetan adierazitako zuzenkien luzera. a) b) 8 cm 8 cm a) Oinarriaren diagonala kalkulatuko dugu, l = aldea duen karratua. d = = 6 d = 6 cm Margotutako triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuz: l l 6 = + 6 d = + d = 6 8 = 8 = cm Beraz, zuzenkiaren luzera: = 8 = 6 = 8,5 cm. b) Markatutako zuzenkia l = 8 cm aldea duen karratuaren diagonala da. d = = 8 = 8 =, cm 85

13 orputz geometrikoak 047 EIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ALBOKO AURPEIAREN ALTUERA? Kalkulatu piramide-enbor onen alboko aurpegiaren altuera. 7 cm Piramide-enborra: oinarri izeneko bi aurpegi paralelok eta trapezio isoszeleak diren zenbait alboko aurpegik osatutako poliedroa. Piramidea oinarriaren paraleloa den plano batez ebakitzean eratzen da. LEHENA. ABC triangelu angeluzuzena definitu bear da AB = 7 4 = cm AC = = BIARRENA. Pitagorasen teorema aplikatu bear da. (BC) = (AB) + (AC) BC = + 4 = 5 cm A C B 048 Kono bat oinarriaren paraleloa den plano batez ebakitzean, beste kono bat eta kono-enbor bat lortzen dira. Kalkulatu kono-enborraren altuera. Altuera: cm 8 cm = 8 ( 5 ) = 60 = 7,75 cm 5 cm 04 Marraztu oinarri karratuko piramide-enbor bat. Oinarrien aldeak 8 cm eta cm-koak dira, eta altuera, -koa. Kalkulatu alboko aurpegiaren altuera. 8 cm Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: F a a = b + = = cm b = 8,5 = 4,7 cm 050 Kalkulatu piramide-enborraren alboko ertza, x, eta piramidearen altuera,. x = ,8 = 5,04 = 5 cm Antzeko triangeluak direnez, H = + 4,8 artuta: 6 = 4, + 4,8 8 H = 4,4 + 4,8 =, cm 4,8 cm F x 8 cm 86

14 ERANTZUNAK 05 Kalkulatu prisma triangeluar zuzen baten guztizko azalera. Altuera cm-koa da, eta oinarria, cm-ko aldeko triangelu aldeberdina. a cm cm Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: = a + a = 4 = cm AOinarria = b a AOinarria = = cm Eta alboko aurpegi baten (laukizuzena) azalera kalkulatuko dugu: A Aurpegia = = A Aldea = A Aurpegia = 6 = 8 cm A = A Aldea + A Oinarria A = 8 + =,5 cm 05 Kalkulatu ortoedro baten azalera. Altuera 5 cm-koa da, eta oinarria, -ko laukizuzena. Alboko aurpegi mota bakoitzaren azalera kalkulatuko dugu: A ➀ = 5 = 5 cm A ➁ = 4 5 = 0 cm A Oinarria = 4 = cm A = A ➀ + A ➁ + A Oinarria A = = = 05 Ortoedro baten luzera zabaleraren bikoitza da, eta zabalera, altueraren bikoitza. Kalkulatu guztizko azalera, jakinik diagonala cm-koa dela. cm x Altuera = x Zabalera = x Luzera = x = 4x Oinarriaren diagonala, d', au da: 4x d' = ( 4x) + ( x) = 0x cm Eta ortoedroaren diagonala, d, au da: d = d' + x ( ) = ( 0x ) + x = 0x + x = x x = cm Beraz, neurriak, cm eta cm dira: A = = = 8 cm x 87

15 orputz geometrikoak 054 Kalkulatu piramide triangeluar zuzen baten guztizko azalera, jakinik alboko ertza -koa dela, eta oinarria, -ko aldea duen triangelu aldeberdina. a cm Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu: a = 6 = = 5,6 A Aur. = b a A C = 4 5,66 =, cm A Aldea = A Aurpegia A Aldea =, = Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: = 4 = =,5 cm A Oinarria = b = 4,5 = 7 cm cm A = A Aldea + A Oinarria A = = Tetraedro erregular baten ertza cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. cm cm Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu: = = cm A Aurpegia = b A C = = cm A = 4 A Aurpegia = 4 = 6, cm Oktaedro erregular baten ertza -koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu: = 4 = cm A Aurpegia = 4 = 4 cm cm A = 8 A Aurpegia A T = 8 4 = = 55, 057 Ikosaedro erregular baten ertza -koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. cm A = 0 5,6 = cm Ikosaedroaren azalera: A = 0 A Aurpegia. = 6 = 6 = 7 = 5, cm A Aurpegia = b A Aur. = 6 5, = 5, 88

16 ERANTZUNAK 058 Kalkulatu auen ertza: a) 6 cm -ko guztizko azalera duen tetraedroa. b) cm -ko aurpegiak dituen ikosaedroa. c) 8 cm -ko guztizko azalera duen oktaedroa. a) A = 4 A Aurpegia 6 = 4 A A A A = 4 cm l l = l l l l = = 4 l l A Aurpegia = l A C = l = 4 = l 4 4 l = 6 l = b) AAurpegia = b = l l l = l l l = l = 4 l = 4 l = cm c) A = 8 A Aurpegia 8 = 8 A C A C = 4 l l = l cm l 4 l l A Aurpegia = l = 4 4 l = l = cm 05 Kalkulatu gorputz auen eta irudi esferiko auen azalera. a) c) e) g) 5 cm 40 cm cm cm b) cm d) f) ) 5 cm 5 cm cm cm 8

17 orputz geometrikoak a) A = ( 4) + (4 5) + ( 5) = = b) A = πr + πr A = π + π 5 A = 56,5 + 4, = 50,7 cm c) A Esfera = 4πr A Esfera = 4π =,0 d) A Txapel esferikoa = πr A Txapel esferikoa = π 5 = 4, cm e) Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu: a A Aurpegia = b a A Aurpegia = 5,8 = 8,7 cm A Aldea = 6 A Aurpegia A Aldea = 6 8,7 = 5, cm ero, oinarriaren azalera kalkulatu bear da: a',5 cm cm,5 cm a = 6,5 =,75 = 5,8 cm a' = A O,5 = 6,75 =, P a = ' 6 AO =,6 =, A = A A + A O A = 5, +,4 = 75, f) Alboko azalera kalkulatuko dugu: A A =πrg A A =π 4 6 = 75, A O =πr A O =π 4 = 50, A = A A + A O A T = 75,6 + 50,4 = 5, 4πr n 4π 4 40 g) A Ziri-gainazala = AZiri-gainazala = =, cm ) A unea = πr A unea = π 6 =, cm 060 Kalkulatu auen azalera: a) Aurpegi baten diagonala 0 cm-koa duen kuboa. b) Oinarriaren diametroa 0 cm-koa eta altuera cm-koa dituen zilindroa. c) -ko erradioko eta -ko altuerako konoa. d) cm-ko diametroko esfera. e) 80 -ko anplitudeko eta 0 cm-ko erradioko ziri-gainazal esferikoa. f) 0 cm-ko erradioko eta cm-ko altuerako txapel esferikoa. g) 8 cm-ko altuerako eta cm-ko erradioko gune esferikoa. ) cm-ko altuera eta oinarriko aldea dituen piramide exagonal erregularra. a) d = l + l 0 = l l = 50 cm A Aurpegia = l A A = 50 cm A Kuboa = 6 A A A Kuboa = 6 50 = 00 cm b) A Aldea = πr A Aldea = π 0 = 75, A Oinarria =πr A Oinarria =π 0 = A = A Aldea + A Oinarria A = 75,6 + 4 =.8, 0

18 ERANTZUNAK c) A Aldea =πrg A Aldea =π = 0,5 A Oinarria =πr A Oinarria =π 4 = 50, A = A Aldea + A Oinarria A = 0, ,4 = 04,8 cm d) A Esfera = 4πr A Esfera = 4π 6 = 45, cm 4πr n 4π 0 80 e) A Ziri-gainazala = A Ziri-gainazala = =.6, f) A Txapel esferikoa = πr A Txapel esferikoa = π 0 = 565, cm g) A unea = πr A unea = π 8 = 60, cm ) Alboko ertza eta alboko aurpegiaren apotema kalkulatuko ditugu: Oinarriaren apotema au da: a = +,5 =, A Oinarria cm cm P a = = 8,6 Ertza A = 5,76 +,4 = 5, = + = Apotema = 8,5 =, 7 cm,7 A Aurpegia = = 5, A Aldea = 6 5,6 = 5,7 =, 4, Oinarri karratuko piramide zuzen baten (eta beraz erregularraren) alboko azalera 80 cm -koa da, eta oinarriko perimetroa, cm-koa. Kalkulatu piramidearen apotema. P a a AAldea = 80 = a = 5 cm Bi zilindroren alboko azalera bera da, eta erradioak, 6 eta 8 m-koak, urrenez urren. Kalkulatu altuera, jakinik bien arteko aldea m-koa dela. Kalkulatu, alaber, zilindroaren alboko azalera eta guztizko azalera. π 6 (x + ) = π 8 x,56x =,04 x = m 6 m-ko erradioa duen zilindroak m-ko altuera du, eta 8 m-ko erradioa duen zilindroak, m-ko altuera. 6 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = π 6 = 45,6 m Oinarriaren azalera = π 6 =,04 m Azalera osoa = 45,6 +,04 = 678,4 m 8 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = π 8 = 45,6 m Oinarriaren azalera = π 8 = 00,6 m Azalera osoa = 45,6 + 00,6 = 854,08 m

19 orputz geometrikoak 06 Zilindro baten altuera eta oinarriaren diametroa berdinak dira. Zilindroak 470 cm -ko azalera du. Kalkulatu oinarriko erradioa. Altuera: x, erradioa: x. Alboko azalera = x π x = 6,8x Oinarriaren azalera = π x =,4x Azalera osoa = 6,8x +,4x =,56x = 470 x = 6, cm 064 Kalkulatu zilindro baten altuera, oinarri baten azalera alboko azaleraren berdina bada, eta orietako bakoitza 5 -koa bada. Kalkulatu guztizko azalera. Erradioa: x, altuera: y. Oinarriaren azalera = π x = 54 x = 7 cm Alboko azalera = 4 π y = 54 y =,5 cm Erradioa: 7 cm, altuera:,5 cm. 065 Kalkulatu kono baten alboko azalera, kontuan artuta altuera eta oinarriaren diametroa berdinak direla, eta oinarriko zirkunferentzia 8,85 cm-koa bada. πr = 8,85 cm r = cm, = = g = 6 + = 6, 7 cm A = πrg =, 4 6, 7 = 6, cm Aldea 066 EIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBORREN ETA KONO-ENBORREN ALBOKO AZALERA? Kalkulatu irudi auen alboko azalera. a) b) cm 0 cm 5 cm cm a) Piramide-enbor baten alboko azalera au da: l l' A Alboa b) Kono-enbor baten alboko azalera au da: πr' πr g a n = ( l + l' ) a = 4 = ( 4 + 4) = cm A Alboa = π(r + r')g =π( + 0) 5 = =.06, cm

20 ERANTZUNAK 067 Kalkulatu irudi auen guztizko azalera. a) c) cm 0 cm 8 cm cm b) d) 0 cm 8 cm cm cm a) Alboko azalera = π (6 + ) 8 = 6,08 cm. oinarriaren azalera = π 6 =,0. oinarriaren azalera = π = 8, uztizko azalera = 6,08 +,04 + 8,6 = 67,8 cm 6 + b) Alboko azalera = 5 0 = 50 cm c) Sortzailea: g = 4 + = 00 = 4,. Alboko azalera = π (0 + ) 4,4 = 76,7 cm. oinarriaren azalera = π = 45,. oinarriaren azalera = π 0 = uztizko azalera = 76,7 + 45,6 + 4 =.74,5 cm 6 + d) Alboko azalera = 4 8 = 40 cm. oinarriaren azalera = 8 cm. oinarriaren azalera = uztizko azalera = = 57 cm 068 Esfera baten erradioa cm-koa da. Kalkulatu guztizko azalera. A = 4π =,0 06 Esfera baten zirkulu maximoa 78,5 -koa da. Kalkulatu erradioa eta guztizko azalera. Zirkulua = π x = 78,5 x = 5 cm A = 4π 5 =

21 orputz geometrikoak 070 Kalkulatu gorputz geometriko auen guztizko azalera. a) c) e) cm 7 cm 8 cm b) d) cm cm 5 cm a) l = cm aldeko karratuaren azalera kalkulatuko dugu A = l = cm. 6 gurutze dira eta bakoitzak 5 karratu ditu A = 6 5 = 70 cm. 8 utsune dira eta bakoitzak karratu ditu A = 8 = Beraz, guztizko azalera au da: A = = 48 = cm-ko ertza duen kuboaren azaleraren berdina A Aurpegia = = 8 cm A = 6 A A A = 6 8 = 48 b) uztizko azalera kuboaren 5 aurpegien azaleren eta piramidearen 4 alboko aurpegien azaleren batura da. A Kuboa = 5 6 = 5 6 = 80 cm A Piramidearen aldea = 4 A Aurpegia Aurpegi baten azalera kalkulatzeko, apotema, a, kalkulatuko dugu: a l A Aurpegia = b a A A = 6,6 = 0,8 cm A Piramidearen aldea = 4 0,8 = 4, cm Beraz, A = , =, cm. c) Zilindroaren azalera au da: A = πr + πr = π π 6 = 76,8 cm eta esferaerdiarena: a = + a a l = + = =, 4πr A = A = π 6 = 6, cm A = 76,8 + 6, = 60, cm 4

22 ERANTZUNAK d) Zilindroerdiaren azalera kalkulatuko dugu: πr A Aldea = + r r = π,5 5 +,5 5 =,05 cm πr A Oinarriak = A B =π,5 = 7,07 cm A =,05 + 7,07 = 8, cm Konoerdiaren azalera kalkulatzeko, sortzailea kalkulatuko dugu: g = 5 +,5 = 5 +,5 = 5, cm πrg,4,5 5, A A = A A = =, cm πr,4,5 A Oinarria = A O = =,5 cm A =, +,5 = 5,8 cm e) Izkinako triangeluaren aldea kalkulatuko dugu: 5 cm g,5 cm l = = l = A Aurpegi osoa = 8 = 6 Kuboaren alboko azalera au da: = 5,6 A Ebakidura = b = 4 4 = 8 cm A Ebakitako aurpegia = 64 8 = 5 A A = A Aur. + A Ebakitako aur. A L = = + 68 = 60 cm Azkenik, kuboaren izkinako triangeluaren azalera kalkulatuko dugu: = l 5, 66, 8 = 4 = 4, cm A Izkina = l A Izkina = 5,66 4, =, cm A = 60 +, = 7, cm 5,6,8 cm 07 Kalkulatu 0 cm-ko ertza eta 5 cm-ko altuera dituen lau angeluko piramide zuzenaren bolumena. l A O = l A O = 0 = 00 cm V = A O V = 00 5 = 66,7 cm 5

23 orputz geometrikoak 07 Kalkulatu prisma triangeluar zuzen baten bolumena, jakinik 8 cm-ko altuera duela eta oinarria -ko aldeko triangelu aldeberdina dela. 8 cm cm Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: = 4 = cm A O = b A O = = 6, cm 4 V = A O V = 6, 8 = 55, cm 07 Kalkulatu piramide triangeluar zuzen baten bolumena, jakinik alboko ertzak 8 cm-koak direla, eta oinarria, 7 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina. ' 7 cm 8 cm,5 cm r 7 cm Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: ' = 7,5 = 6,75 = 6, cm A O = b ' A O = 7 6, =, Piramidearen altuera kalkulatzeko, Pitagorasen teorema aplikatuko diogu koloreko triangeluari; aldeberdina denez, erradioa au da: r = ' r = 6, = 4, cm 8 = + r = 64 6,8 = 6, cm V = A O V =,4 6, = 4, cm 074 Kalkulatu zilindro baten bolumena, diametroa cm-koa bada, eta altuera, diametroa alako iru. = = V =πr V =π 6 6 = 4.06, 6

24 ERANTZUNAK 075 Kalkulatu gorputz geometriko auen bolumena. a) b) 8 cm 5 cm a) Ertza: 5 = a + a + a = a a =,8 cm. V =,8 = 5,6 b) Ertza: 8 = a a a = a =, cm. Altuera: = 8 8 = 56,88 = 7,5. V =, 8 7,54 = 556,75 cm 076 EIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ETA KONO-ENBOR BATEN BOLUMENA? Kalkulatu irudi auen bolumena. a) b) cm cm 5 cm cm Piramide-enbor baten bolumena edo kono-enbor baten bolumena formula onen bidez kalkula daiteke: S S r' S S r V = ( S + S + S S ) a) S = 6 = S = 4 = V = ( ) = 8 cm b) S =πr = π 5 = 78,5 cm S =πr' =π = 8, V = ( 78,5 + 8,6 + 78,5 8,6 ) = 46, 58 cm 7

25 orputz geometrikoak 077 Kalkulatu irudi auen bolumena. a) b) 7 cm cm cm 5 cm cm a) Pitagorasen teorema aplikatuz, alboko aurpegiaren altuera kalkulatuko dugu: Aurpegia = 7 = 74,75 = 8,6. Eta berriro ere Pitagorasen teorema aplikatuz, piramide-enborraren altuera lortuko dugu: = 8,64,5 = 68,4 = 8,7 cm, eta bolumena: 8,7 V = ( ) = 76, b) Pitagorasen teorema aplikatuz, altuera kalkulatuko dugu: = 5 ( 4 ) = 4 = 4,cm, eta bolumena au da: 4, V = ( π + π 4 + π π 4 ) = 8,7 078 cm-ko ertzeko kuboaren barruko piramidearen oinarria aurpegi bat da, eta piramidearen erpina, oinarriaren aurkako aurpegiaren zentroa. Kalkulatu piramidearen azalera eta bolumena. Apotema: a = + 6 = 80 =,. Alboko azalera = 4,4 =,08 cm cm Oinarriaren azalera = = 4. Azalera = 44 +,08 = 66,08 cm Bolumena = = Kalkulatu kono baten bolumena: a) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko altuera baditu. b) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko sortzailea baditu. a) V = πr V = π 5 8 = 0, cm b) Konoaren altuera kalkulatuko dugu: 5 cm 8 cm = 8 5 = 64 5 = 6, V = πr V = π 5 6,4 = 6,8 cm 8

26 ERANTZUNAK 080 Kalkulatu 0 cm-ko diametroa duen esferaren bolumena. 4 4 V = πr V = π 0 = 4.86,7 cm 08 Kubo eta esfera banak azalera bera dute:. Zeinek du bolumen andiena? A Kuboa = 6 A Aurpegia = 6l 6 = 6l l = 6 = A Esfera = 4πr 6 = 4πr r = = 4,5 cm V Kuboa = l V Kuboa = 6 = 4 4 V Esfera = πr V Esfera = π 4,5 =, cm Esferak du bolumen andiena. 7, 08 Kalkulatu gorputz geometriko auen bolumena. a) e) cm cm cm cm 5 cm b) f) cm c) g) 8 cm d) ) cm 7 cm 8 a) V Piramidea = A B V Piramidea = = =,7 cm V Ortoedroa = a b c V Ortoedroa = 4 = V = V Piramidea + V Ortoedroa =,7 + 6 = 8,7 cm

27 orputz geometrikoak b) V Konoa = πr V Konoa = π 4 = 7,68 cm V Zilindroa =πr V Zilindroa =π 4 =,0 V = 7,68 +,04 = 50,7 cm c) V Konoa = π 4 4 = 67 cm V Zilindroa =πr V Zilindroa =π 4 8 = 40, cm V = V Zilindroa V Konoa = 40, 67 = 4, cm d) V Kuboa = l V Kuboa = = 7 cm V Hutsunea = = 7 cm V = V Kuboa 8 V Hutsunea = = 5 cm e) V Zilindroerdia = πr V Zilindroerdia = π,5 5 = 7,6 V Konoerdia = πr V Konoerdia = π,5 5 = 5,8 cm 6 6 V = 7,66 + 5,8 =,55 cm f) V Piramidea = A B = 6 = V Kuboa = l = 6 = V = V Kuboa V Piramidea = 6 4 = cm g) Triangelu aldeberdinaren aldea kalkulatuko dugu: l l = = V Kuboa = l = 8 = 5 cm l = = 4 cm Kubotik alakatutako muturraren bolumena kalkulatuko dugu (piramide triangeluarra da): A Oinarria = 4 4 = 8 cm V Muturra = A Oinarria V Muturra = 8 4 = 0,7 cm 4 4 ) V Esferaerdia = πr = π 6 = 45, V Zilindroa =πr =π 6 7 = 7,8 cm V = 45,6 + 7,8 =.4,4 00

28 ERANTZUNAK 08 Erreparatu A eta B irien kokalekuei eta erantzun. a) B iria eta A iria paralelo berean daude. Zer latitude du B iriak? Zer lotura dago A eta B irien latitudeen artean? b) A eta E iriak meridiano berean daude. Zer lotura dago bi irien longitudeen artean? A E B a) Latitude bera dute. b) Longitude bera dute. 084 Igogailu batek neurri auek ditu: cm. Sartuko al da igogailuan 88 cm-ko luzera duen makila bat? Igogailuan sar daitekeen makilarik luzeena igogailuaren diagonalaren luzera berekoa da. d = = = 87, cm < 88 cm Beraz, makila ezin da igogailuan sartu m-ko laukizuzen formako gela bat margotu nai dugu (sabaia barne). ela m-ko altuerakoa da, eta 0 m margotzeko, poto bat pintura bear da. a) Zenbat poto erosi bearko ditugu, fabrikatzaileak dioenari kasu egiten badiogu? b) Azkenik, 4 poto bear izan baditugu, zenbat metro koadro margotu ditugu poto bat erabiliz? Alboko azalera: ( ) = 60 m ; eta sabaiaren azalera au da: 6 4 = 4 m. Azalera osoa: = 84 m. a) Poto kopurua: 84 : 0 =,8; beraz, poto bearko ditugu. b) 4 poto oso erabili baditugu, bakoitzarekin 84 : 4 = m margo daiteke. 086 Kefren piramideak irudian ageri diren neurriak ditu. Kalkulatu piramidearen altuera. 7,7 m 5,5 m Apotemak, altuerak eta aldearen erdiak osatutako triangelu angeluzuzena kontuan artuta, altuera au da: = 7,7 07,65 = 0.50,46 = 4,4 m 0

29 orputz geometrikoak 087 Kalkulatu 0 m-ko ertza duen kubo formako dorrearen guztizko azalera, kontuan artuta piramide formako m-ko altuerako teilatua duela. m 0 m Kuboaren alboko azalera au da: A Kuboa = 4 0 = 400 m Piramidearen alboko azalera kalkulatzeko, leendabizi, aurpegi baten altuera neurtu bear dugu. a l a = + a 5 l = + = m A Aurpegia = b a A Aurpegia = 0 = 65 m A Piramidearen aldea = 4 65 = 60 m ; A Pira. aldea = A L + A B = = 660 m A = =.060 m Kubo batek eta esfera batek bolumen bera dute: 5 cm. Zeinek du azalera txikiena? Kubo edo esfera formako andela egin bearko bazenu, zer modutan bearko zenuke material gutxien? V Kuboa = l 5 = l l = 5 cm A Kuboa = 6 A C = 6l A Kuboa = 6 5 = 50 cm 4 4 V Esfera = πr 5 = πr r = 5 4π A Esfera = 4πr A Esfera = 4 π, = 0,7 cm =, cm Esferak azalera txikiagoa du kuboan baino. Beraz, esfera formakoa. éode esfera formako zinema izugarri andia da. Kalkulatu azalera, jakinik dm -ko bolumena duela. 4 4 V = πr = πr r = A = 4πr A = 4π 80 = dm π = 80 dm 0

30 ERANTZUNAK 00 Kalkulatu igerileku onen bolumena. Igerilekua oinarri trapezoidaleko prisma dela kontuan artuta, oinarriaren 4 + azalera: A Oinarria = 0 = 60 m ; eta bolumena: V = 60 4 = 40 m. 0 Urez betetako m-ko ertzeko andel kubikoan, beean ageri diren gorputzak sartu ditugu. a) Kuboan,5 m-ko erradioko esfera bat sartu ondoren, asierako ur kantitatearen zer euneko geratuko da? m b) Hasierako ur kantitatearen zer euneko geratuko da m-ko diametroa eta altuera dituen zilindroa sartu ondoren? m c) Eta m-ko diametroa eta altuera dituen kono bat sartuz gero? a) V Kuboa = l V Kuboa = = 7 m 4 4 V Esfera = πr V Esfera = π,5 = 4, m V Kuboa V Esfera = 7 4, =,87 m Eunekoa kalkulatzeko, iruko erregela aplikatuko dugu: 7 m -tik,87 m. 87 x = = % 47,7 Si 00 m -tik x m 7 Hasierako bolumenaren % 47,7 geratuko da. b) V ZIlindroa =πr V Zilindroa = π, m = V Kuboa V Zilindroa = 7, = 5,8 m 7 m -tik 5,8 m 580 x = = %,5 Si 00 m -tik x m 7 c) V Konoa = πr V Konoa = 7, m π = V Kuboa V Konoa = 7 7, =, m 7 m -tik, m. 0 x = = % 7,7 Si 00 m -tik x m 7 m 0

31 orputz geometrikoak cm cm-ko ortoedro formako ontzietan zukua saltzen duen enpresa batek ontzien ezaugarriak aldatzea erabaki du: Oinarriaren azalera % 0 txikitu du. Altuera % 0 anditu du. a) Ontzi berriaren bolumena zaarrarena baino andiagoa ala txikiagoa da? b) Prezioa ez bada aldatu, errentagarriagoa al da bezeroentzat ontzi berria? c) Tetrabrik batek,40 balio du. Zenbat irabaziko du enpresak ilean.000 litro zuku ontziratzen baditu? Eta zenbat irabazten zuen leen? a) V = 6 5 = 0 cm A O = 6 = 6 A O ' = 0, 66 = 5, ' =, ' = % 0 5 = 6,5 cm V ' = A O ' ' V ' = 5,4 6,5 = 80, cm Beraz, ontzi berriaren bolumena zaarrarena baino txikiagoa da. b) Ez, prezio berean zuku gutxiago baitu. c) V ' = 80, cm = 0,8 dm = 0,8.000 : 0,8 = 0.00,4 ontzi aur egun irabazten duena: 0.00,40 /ontzi = V = 0 cm = 0, dm = 0,.000 : 0, = ontzi Leen irabazten zuena: ,40 /ontzi = Inurri bat oktaedro baten erpin batean dago eta ertz guztietatik igarotzea erabaki du, ertz beretik bi aldiz igaro gabe. Adierazi inurriak egin dezakeen ibilbide bat. Bitxia bada ere, inurriak ezingo luke gauza bera egin kubo batean. Egiaztatu. Oktaedroaren alboko lau aurpegiak kontuan artzen baditugu, amaierako puntu bakoitza ondorengo aurpegiaren asierako puntua izango da. Hasiera 4. o 5. o. o Amaiera. o. o Kuboarekin ezin da egin, erpin bakoitza iru ertzen ebakidura delako (ez laurena) eta ibilbidea egiten saiatzean inurria erpin batera bigarren aldiz iristen denean, ezingo du andik atera. 04

32 ERANTZUNAK 04 Demagun Lurraren ekuatorea inguratu dugula, soka bat erabiliz. a) Lurraren erradioa 6.78 km-koa bada, zer luzera izango du sokak? b) Metro bat luzeagoa den soka bat erabiliz zirkunferentzia bat egingo dugu. Zer alde dago bien erradioen artean? r = 6.78 km c) auza bera egingo dugu 8 mm-ko erradioko bola batekin. Zer alde dago bi zirkunferentzien erradioen artean? a) Luzera = πr = π 6.78 = ,5588 km ,88 m b) ,88 = πr r = , , = 0,6 m = Aldea -koa da. c) Distantzia bera da, erradioaren luzera edozein dela. πr + = π( r + d) d = = 06, m = 6cm π urtean, alileo matematikari andiak problema au proposatu zuen: «Paperezko orri bat alde luzeenetik eta motzenetik biribilduz gero, bi zilindro desberdin lortzen dira». Bolumen bera al dute bi zilindroek? Demagun aldeen luzerak a eta b direla. a altuera duen zilindroaren bolumena: b b ba r = V = πr a = π a = π 4 π 4 π b altuera duen zilindroaren bolumena: a a ab r = V = πr b = π b = π 4 π 4 π Beraz, orria karratua bada soilik dute bolumen bera. 05

33 orputz geometrikoak 06 Zilindro batean inskribatutako esfera bat badugu, kalkulatu zer alde dagoen esferaren eta zilindroaren bolumenen artean, esferaren erradioaren menpe. Zilindroaren bolumena = πr (r) = πr 4 Esferaren bolumena = πr Beraz, esferaren bolumena zilindroaren bolumenaren Aldea au da: πr. da. 07 Matematikako liburu batean, problema au aurkitu dugu: «Oktaedro baten aldea l bada, bolumen au du: V = l 0,474». Ikertu nola lortzen den formula ori. Oktaedroaren bolumena oinarritzat aldearen berbidura eta l ertza duten bi piramideren bolumena da. Alboko apotema au da: a = l l = l. Piramidearen altuera au da: = l l VPiramidea = AOinarria = l l = l 6 VOktaedroa = VPiramidea = l = 0,474l = l. EUNEROKOAN 08 Cristo Javaceff eta aren emazte Jeanne gaur egungo bi artista ospetsu dira. Objektuak eta monumentuak oialez estaltzea dira aien obra esanguratsuenak. Hasieran, botilak, latak eta kutxak oial naiz plastikoz paketatzen zituzten. Baina, pixkana-pixkana, erronka andituz joan ziren. 8an, Floridako badiako uarte inguratu zituzten m oial arrosa erabiliz. 85ean, Sena ibaiko Pont Neuf paketatu zuten Parisen. 5ean, Berlingo Reicstag eraikin izugarria oialez estali zuten. 06

34 ERANTZUNAK Etorkizunean, Madrilgo Alcalako atea eta Bartzelonako Kolonen estatua estali nai dituzte. Hona emen Madrilgo Alcalako atearen krokisa, neurri eta guzti. Zenbat metro koadro oial bearko dituzte, gutxi gorabeera, monumentua erabat biltzeko, arkuak estali gabe? Irudiak osagai auek ditu: 4 0,5 ( 6,75) m-ko lau angeluko prisma nagusia; gei gaineko lau angeluko prisma, 0,5 4 m-koa; gei lau angeluko prisma, teilatu gisa, m-ko oinarria eta 6,75 m 4 m-ko altuera dituen triangelua duena, prismaren altuera 0,5 m izanik; ken ateetako lau angeluko bi prisma,5 0,5 6,75 m-koak; ken erdiko iru ateen espazioa, 5,4 0,5 (0,8,7) m-ko lau angeluko prismak eta,7 m-ko erradioko eta 0,5 m-ko altuerako zilindro-erdiak osatua. V Nagusia = 4 0,5 6,5 = 7.66,5 m V oikoa = 0,5 4 = 504 m,75 V Teilatua = 0,5 = 7,5 m V Alboko atea =,5 0,5 6,75 = 48,06 m V Ate nagusia = 5,4 0,5 8, + π,7 = 45,7 +,8 = 48,6 m V Osoa = 7.66, ,5 48,06 48,6 = 5.00, m 07

35 orputz geometrikoak 0 OZOZALE gozokien lantegiko produktuen artetik, geien saltzen direnak -ko diametroa eta 5 mm-ko lodiera duten galleta zirkularrak dira. alletak 40ko paketeetan saltzen dira, zelofan-paperean bilduta. Kutxak ortoedro formakoak dira, eta kutxa bakoitzean lau pakete egoten dira. Kutxak biltzeko paketeetako zelofan-paper bera erabiltzen da. OZOZALE Egunean galleta inguru ekoizten direla kalkulatu da iritzira, eta kutxa ortoedro formakoa izatea komeni den ala ez ari da aztertzen finantza-departamentua. Zenbat metro koadro kartoi mee bear ditugu egun baterako? Eta zenbat zelofan-paper? Nire ustez, kontua da kutxaren bolumenaren zer euneko artzen duten galletek. Zure ustez, kutxak beste forma bat izango balu obeto aprobetxatuko al litzateke espazioa? Zer kantitate kartoi mee aurreztuko lukete egunean? 08

36 ERANTZUNAK Paketeak zilindro forma du; erradioa cm-koa da, eta altuera, 0,5 40 = 0 cm-koa. Pakete batek bear duen zelofan-papera azaleraren berdina da. A Paketea = πr + πr = πr(r + ) = π ( + 0) = 4, cm Kutxaren azalera: A Kutxa = =.48 cm. Kutxa bat egiteko bear den materiala: A Zelofana = 4 4, +.48 =.8,8 cm A Kartoi meea =.48 cm Eguneko kutxa kopurua : 40 = 50 da; beraz, erabilitako material guztia: uztizkoa Zelofana = 50.8,8 cm = cm = 74, m uztizkoa Kartoi meea = cm =.000 cm =, m Eta irudian ageri den moduan jarrita, au lortuko dugu: Alboko azalera bera da, baina oinarriaren azalera txikiagoa denez, kartoi meea aurrezten da. Erronboidearen oinarria galletaren diametroaren bikoitza da, cm, eta altuera: cm cm Altuera = + + ; galletaren diametroaren, cm, luzera bereko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da. = 6 = 0, cm = 6 + 0, = 6, cm A Oinarria = 4 6, =, Aurrez. Kart. m. = (A Karratua A Erronboidea ) = (4,6) = 65,8 cm uztizko aurrezkia = 50 65,8 =.0 cm =, m Egunero, m kartoi mee aurreztuko da. 0