Potommádif.rov.(3),(4)jedinériešeniedefinovanénanejakomokolíbodu x 0.
|
|
- Ναβαδίας Πολίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Obyčajné diferenciálne rovnice Rovnica F(x,y,y,y,...,y (n) )=0 je obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu v implicitnom tvare. F je funkcia(n+2) premenných, y je funkcia xay,y,...,y (n) sújejderivácie. Aksaztejtorovnicedávyjadriť y (n),môžemejunapísaťvexplicitnomtvare y (n) = f(x,y,y,y,...,y (n 1) ) Riešením diferenciálnej rovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0 naneprázdnejmnožine M jekaždá funkcia y= f(x),ktorámánamnožine Mnderiváciíaprektorúplatí F(x,f(x),f (x),f (x),...,f (n) (x))=0 prevšetky x M. Hľadané riešenie diferenciálnej rovnice získame obvykle integrovaním. Všeobecnériešeniediferenciálnejrovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0jeriešenie,ktorémôžemezapísať vtvare y= f(x,c 1,c 2,...,c n ), kde c 1,c 2,...,c n súľubovoľnékonštanty.akkonštanty c 1,c 2,...,c n konkrétnezvolíme,dostanemepartikulárne riešenie. Cauchyhozačiatočnáúloha-nájsťriešenie y= f(x) rovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0,ktoréspĺňadanézačiatočnépodmienky: f(x 0 )=b 0, f (x 0 )=b 1,..., f (n 1) (x 0 )=b n 1, x 0 D f. 1. Diferenciálne rovnice prvého rádu Všeobecný tvar diferenciálnej rovnice 1. rádu je (1) F(x,y,y )=0. Aksadáztejtorovnicevyjadriť y,nazývamejuexplicitnourovnicou: (2) y = f(x,y). Cauchyho začiatočná úloha pre diferenciálnu rovnicu 1. rádu: (3) y = f(x,y) (4) y(x 0 )=y 0 Veta.(O existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálnej rovnice(3),(4).) Nechprefunkciu f(x,y)naoblasti O=(x 0 a,x 0 + a) (y 0 b,y 0 + b)platí: 1. f(x,y) jespojitá, 2. f(x,y) jeohraničená, f(x,y) 3. je ohraničená. y Potommádif.rov.(3),(4)jedinériešeniedefinovanénanejakomokolíbodu x 0. 1
2 Úprava diferenciálnej rovnice Pri hľadaní riešenia rovnice často postupujeme tak, že rovnicu upravujeme. Ak pôvodná a upravená rovnicasúvovzťahu,žekaždériešeniejednejrovnicejeajriešenímdruhejnatejistejmnožineanaopak, hovoríme, že diferenciálne rovnice sú ekvivalentné a použitá úprava je ekvivalentná. Pri úprave diferenciálnej rovnice musíme dávať pozor, či úprava je ekvivalentná. Diferenciálna rovnica so separovanými premennými. (5) P(x)+Q(y).y =0 Riešime integrovaním. Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými. (6) P 1 (x).p 2 (y)=q 1 (x).q 2 (y).y Riešime separovaním a integrovaním. Homogénna diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica y = f(x,y) sanazývahomogénna,aksadázapísaťvtvare ( y (7) y = F x) Riešenie:posubstitúcii y(x)=u(x).x y x = u a y = u x+u dostaneme separovateľnú diferenciálnu rovnicu. Lineárna diferenciálna rovnica. (8) y + p(x).y= q(x) pričom funkcie p(x), q(x) sú spojité na intervale (a, b). Riešenie: 1. Riešime najprv príslušnú lineárnu diferenciálnu rovnicu bez pravej strany (9) y + p(x).y=0, je to separovateľná diferenciálna rovnica. 2. Diferenciálnu rovnicu s pravou stranou (10) y + p(x).y= q(x), q(x) 0 x (a,b) riešime metódou variácie konštanty. Bernoulliho diferenciálna rovnica. (11) y + p(x).y= q(x).y α pričomfunkcie p(x), q(x) súspojiténaintervale (a,b) a α 0, α 1. Riešenie: y + p(x)y= q(x)y α /.y α y α y + y 1 α p(x)=q(x) posubstitúcii z(x)=y(x) (1 α) z =(1 α)y α y dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu. 2
3 2. Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu (1) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y= f(x), kde f(x), a i (x), i=1,2,...nsúspojitéfunkcienaintervale J. Ak f(x)=0hovoríme,žerovnica y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0 je bez pravej strany alebo homogénna. Ak f(x) 0hovoríme,žerovnica(1)jespravoustranoualebonehomogénna. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu (2) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0 Pri riešení tejto rovnice budeme potrebovať nasledovné pojmy: Definícia.Hovoríme,žefunkcie ϕ 1 (x),ϕ 2 (x),...,ϕ k (x)súlineárnezávislénaintervale J,akexistuje nenulovák-tica (c 1,c 2,...,c k )reálnychčíseltaká,že (3) c 1.ϕ 1 (x)+c 2.ϕ 2 (x)+...+c k.ϕ k (x)=0, x J. Ak(3)platílenprenulovúk-ticu,hovoríme,žefunkcie ψ 1 (x),ψ 2 (x),...,ψ k (x)súlineárnenezávislé na intervale J. Predpokladajme,žefunkcie ϕ i (x), i=1,2,...,n majúderivácieaždorádu (k 1) naintervale J. Potom determinant ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ k (x) ϕ 1(x) ϕ 2(x)... ϕ k (x)... (4) W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x)= ϕ (k 1) 1 (x) ϕ (k 1) 2 (x)... ϕ (k 1) (x) nazývame Wronského determinant alebo wronskián. Veta.Aksúfunkcie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k lineárnezávislénaintervale J, potom W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x)=0 x J. Ak W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x) 0 aspoňvjednomčíslezintervalu J, potomsúfunkcie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k lineárnenezávislénaintervale J. Poznámka. Wronskián n ľubovoľných riešení rovnice (2) sa buď rovná nule pre každé x z intervalu J (riešeniasúlineárnezávislé)alebojerôznyodnulyprekaždé x zintervalu J (riešeniasúlineárne nezávislé). Pre riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice platia tieto tvrdenia: 1. Ak y 1, y 2 súriešeniahomogénnejrovnice(2)potomaj y 1 + y 2 jeriešenierovnice(2). 2. Ak y 1 jeriešeniehomogénnejrovnice(2)potomaj cy 1 jeriešenierovnice(2),kde cjeľubovoľná konštanta. 3. Všetky riešenie homogénnej rovnice(2) n-tého rádu tvoria vektorový priestor dimenzie n. Bázu tohoto priestoru tvorí n- lineárne nezávislých riešení y 1, y 2,... y n,tzv.fundamentálnysystémriešení. Všeobecné riešenie homogénnej rovnice(2) je y= c 1 y 1 + c 2 y c n y n, kde c 1,c 2,...,c n R. k 3
4 Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu (LP) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y= f(x), odpovedajúca rovnica bez pravej strany (L) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0. Všeobecné riešenie y diferenciálnej rovnice(lp) je súčtom všeobecného riešenia y diferenciálnej rovnice (L) apartikulárnehoriešenia y diferenciálnejrovnice (LP). y= y+ y Lagrangeova metóda variácie konštánt Toutometódoumôžemenájsťpartikulárneriešenie y diferenciálnejrovnice (LP). Nech y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x)jefundamentálnysystémriešenídiferenciálnejrovnice(l).všeobecnériešenie y diferenciálnej rovnice (L) je Potompartikulárneriešenie y n y= c i.y i (x), c i R. i=1 diferenciálnejrovnice (LP)je n y = c i (x).y i (x), i=1 kde c i (x)= Wi (x) dx, i=1,2,...,n; W(x) pričom W(x)=W (y1,y 2,...,y n)(x) jewronskiánfundamentálnehosystémuriešení y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) a W i (x) dostanemez W(x) keďzamenímei-tystľpecstľpcom(0,0,...,f(x)) T. 3. Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami je rovnica y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= f(x), (1) kde a 1, a 2,...a n súreálnekonštantyaf(x)jereálnafunkciadefinovanánaintervale J. Ak f(x)=0hovoríme,žerovnica y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y=0 (2) je bez pravej strany alebo homogénna. Ak f(x) 0hovoríme,žerovnica(1)jespravoustranoualeboalebonehomogénna. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami 1. rádu Pre n=1dostanemezrovnice(2)rovnicu1.rádu: Jej riešenie hľadáme v tvare kde λ je neznáma konštanta. y + a 1 y=0. (3) y=e λx, 4
5 Ak do rovnice(3) dosadíme y=e λx, y = λe λx dostaneme λe λx + a 1 e λx =0 Rovnica(4) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice(3). Jej riešením je Riešením rovnice(3) je a všeobecným riešením rovnice(3) je λ+a 1 =0 (4) λ= a 1. y 1 =e a1x y= ce a1x, c R. 2. rádu Pre n=2dostanemezrovnice(2)rovnicu2.rádu: Jej riešenie hľadáme v tvare kde λ je neznáma komplexná konštanta. Ak do rovnice(5) dosadíme dostaneme y + a 1 y + a 2 y=0. (5) y=e λx, y=e λx, y = λe λx, y = λ 2 e λx λ 2 e λx + a 1 λe λx + a 2 e λx =0 λ 2 + a 1 λ+a 2 =0 (6) Rovnica(6) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice(5). Rovnica(6) je kvadratická rovnica. Rozlišujeme tri prípady: 1. Rovnica(6)mánavzájomrôznereálnekorene λ 1, λ 2. Potom rovnica(5) má riešenia y 1 =e λ1x, y 2 =e λ2x. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je 2. Rovnica(6)mádvojnásobnýreálnykoreň λ 1. Potom rovnica(5) má riešenia y= c 1 e λ1x + c 2 e λ2x, c 1,c 2 R. 5
6 y 1 =e λ1x, y 2 = xe λ1x. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je y= c 1 e λ1x + c 2 xe λ1x, c 1,c 2 R. 3. Rovnica(6)mádvakomplexnezdruženékorene λ 1 = α+iβ, λ 2 = α iβ, α,β R, β 0. Vyberieme jeden z týchto koreňov, napríklad Potom rovnica(5) má komplexné riešenie λ 1 = α+iβ. ỹ=e (α+iβ)x =e αx e iβx =e αx (cos βx+isin βx). Z vlastností riešení lineárnej diferenciálnej rovnice vyplýva, že reálne riešenia rovnice(5) sú y 1 =Re ỹ=e αx cos βx, y 2 =Im ỹ=e αx sin βx. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je n-tý rád y= c 1 e αx cos βx+c 2 e αx sin βx, c 1,c 2 R. Uvedené výsledky môžme zovšeobecniť pre diferenciálnu rovnicu(2) n-tého rádu. Rovnica(2): má riešenia v tvare kde λ je koreň charakteristickej rovnice Všeobecné riešenie rovnice(2) je y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y=0 y=e λx, λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n a n 1 λ+a n =0. (7) y= c 1 y 1 + c 2 y c n y n, c 1,c 2,...,c n R, kde y 1,y 2,...,y n súlineárnenezávislériešeniaodpovedajúcekoreňomcharakteristickejrovnice(7). Veta.Akcharakteristickárovnica (7) má n rôznychreálnychkoreňov λ 1, λ 2,...,λ n, potomfunkcie e λ1x, e λ2x,...,e λnx tvoriafundamentálnysystémriešenídiferenciálnejrovnice (2). Veta.Nech λ 0 je k-násobnýreálnykoreňcharakteristickejrovnice (7), k 2.Potomfunkcie y 1 = e λ0x, y 2 = xe λ0x,..., y k = x k 1 e λ0x súlineárnenezávislériešeniarovnice (2). Veta. Nech charakteristická rovnica (7) má jednoduchý komplexný koreň λ 0 = α+iβ, α 0, β 0 (potommáajkoreň λ 0 = α iβ).potomfunkcie e αx cos βx, e αx sin βx súodpovedajúcedvelineárnenezávislériešeniarovnice (2). Veta. Ak charakteristická rovnica (7) má k- násobný komplexný koreň λ 0 = α+iβ, α 0, β 0. Potomfunkcie e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x k 1 e αx cos βx, e αx sinβx, xe αx sinβx,..., x k 1 e αx sinβx, sú odpovedajúce lineárne nezávislé riešenia rovnice (2). ( je ich 2k) 6
7 Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami y (n) + a 1.y (n 1) +...+a n 1.y + a n.y= f(x), (L 1 P) odpovedajúca rovnica bez pravej strany y (n) + a 1.y (n 1) +...+a n 1.y + a n.y=0. (L 1 ) Všeobecnériešenie ydiferenciálnejrovnice(l 1 P)jesúčtomvšeobecnéhoriešenia ydiferenciálnejrovnice (L 1 )apartikulárnehoriešenia y diferenciálnejrovnice (L 1 P). y= y+ y Partikulárneriešenie y diferenciálnejrovnice (L 1 P)môžemenájsť 1. Lagrangeovou metódou variácie konštánt. 2. Metódou neurčitých koeficientov, ak pravá strana rovnice má špeciálny tvar. Metóda neurčitých koeficientov Nech diferenciálna rovnica má tvar: y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e ax, (8) kde a 1, a 2,...a n súreálnečísla, P m (x)jepolynómstupňa m, ajekomplexnéčíslo(môžebyťajreálne, aj rovné nule). Ak a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany, potom rovnica(8) má partikulárne riešenie y = Q m (x)e ax. (9) Ak a je k-násobným koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany, potom rovnica(8) má partikulárne riešenie Q m (x)jeneznámypolynómstupňa m. y = x k Q m (x)e ax. (10) Vtabuľke1súuvedenépartikulárneriešenia y rovnice(8),akpravástranarovnicemášpeciálnytvara číslo a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany. pravástranarovnice(8) P m (x) a U= konštanta U 0 K= konštanta 2x+3 2x+3 0 Ax+B e 2x 1 2 Ke 2x e (3+5i)x 1 3+5i Ke (3+5i)x xe i2x x 2 (Ax+B)e i2x y Tabuľka 1 Vtabuľke2súuvedenépartikulárneriešenia y rovnice(8),akpravástranarovnicemášpeciálnytvar a číslo a je jednoduchým koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany. 7
8 pravástranarovnice(8) P m (x) a U= konštanta U 0 Kx 2x+3 2x+3 0 x(ax+b) e 2x 1 2 K xe 2x e (3+5i)x 1 3+5i K xe (3+5i)x xe i2x x 2 x(ax+b)e i2x y Ak diferenciálna rovnica má tvar: alebo Tabuľka 2 y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e αx cos βx, (11) y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e αx sinβx, (12) postupujeme pri hľadaní riešenia takto: Nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e (α+iβ)x. Riešením bude nejaká komplexná funkcia ỹ(x) reálnej premennej x. Potom riešením rovnice(11) je reálna funkcia a riešením rovnice(12) je reálna funkcia Re ỹ Imỹ. Príklady Príklad 1. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú Lineárne nezávislé riešenia sú y + y 2y=0. λ 2 + λ 2=0 λ 1 =1 λ 2 = 2 y 1 =e x y 2 =e 2x Všeobecné riešenie je y= c 1 e x + c 2 e 2x, c 1,c 2 R 8
9 Nájdime teraz riešenie, ktoré spĺňa začiatočné podmienky y(0)=1, y (0)= 5 Podmienky dosadíme do y= c 1 e x + c 2 e 2x y = c 1 e x 2c 2 e 2x Dostaneme c 1 + c 2 =1 c 1 2c 2= 5 aodtiaľ c 1 = 1 c 2 =2 Potom riešenie, ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky je y= e x +2e 2x Príklad 2. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú Lineárne nezávislé riešenia sú y +6y +9y=0 λ 2 +6λ+9=0 λ 1 = 3 λ 2 = 3 y 1 =e 3x y 2 = xe 3x Všeobecné riešenie je 9
10 y= c 1 e 3x + c 2 xe 3x, c 1,c 2 R Príklad 3. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú y +2y +5y=0 λ 2 +2λ+5=0 λ 1 = 1+2i Vyberiemejedenkoreň,napríklad λ 1 = 1+2i Komplexné riešenie je λ 2 = 1 2i ỹ=e ( 1+2i)x =e x (cos2x+isin2x). Reálne riešenia sú Všeobecné riešenie rovnice je y 1 =Re ỹ=e x cos2x, y 2 =Im ỹ=e x sin2x. y= c 1 e x cos2x+c 2 e x sin2x, c 1,c 2 R
STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα της διαίρεσης (x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου υ(x) είναι ή το µηδενικό πολυώνυµο ή βαθµός υ(x) < βαθµός δ(x) (x) διαιρετέος δ(x) διαιρέτης π(x) πηλίκο υ(x) υπόλοιπο
Διαβάστε περισσότερα2 Συντεταγµένες στο επίπεδο
Συντεταγµένες στο επίπεδο Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σύστηµα συντεταγµένων Ένα σύστηµα δυο κάθετων αξόνων µε κοινή αρχή Ο και µοναδιαία διανύσµατα, i και j λέµε ότι αποτελεί ένα καρτεσιανό σύστηµα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέµα 1 Α) Να αποδείξετε την σχέση: Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) Β) Να δώσετε τον ορισµό της νιοστής ρίζας ενός µη αρνητικού αριθµού α. Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,
Διαβάστε περισσότερα1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Μια συνάρτηση f : A B C αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος (a,b) (με Γράφουμε τότε a A και b B ) ένα στοιχείο c C f(a,b)c Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί και
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥΣ ΛΥΣΗ
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΤΟΥΣ Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός 1. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 3α + 6β β) x 8 γ) 8ω + 6ω δ) 9x 6x ε) 8α β + 4αβ στ) x xy + x ζ) α β + αβ
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου!! αν α = ρ η ε λέγεται τέµνουσα του
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ. 2. Δίνεται η εξίσωση: α(x+ψ-4)+x-2=0 (1). i) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε αî
1. Δύο ποδηλάτες Π 1, Π ξεκινούν το πρωί από τα σπίτια τους για να πάνε στην εργασία τους, κινούμενοι με την ίδια σταθερή ταχύτητα. Οι θέσεις των δύο ποδηλατών στο ορθοκανονικό σύστημα Οχψ δίνονται από
Διαβάστε περισσότεραΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ
ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ του ΜΙΧΑΗΛ ΚΟΖΑΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ του ΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΛΚΟΥΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΜΟΡΑΛΗΣ ΖΗΣΗΣ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα θεμάτων διαβαθμισμένης δυσκολίας 1
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Β, Γ και Δ) Κεφάλαιο :3 ο και 4 ο -ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση
Διαβάστε περισσότερα5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ
5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Κριτήριο (τεστ) αξιολόγησης είναι ένα σύνολο ερωτήσεων - θεµάτων διαφόρων τύπων που επιλέγονται µε βάση:! τους στόχους που αξιολογούνται,!
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ γ έκδοση Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΜΕΝΑ θεματα ΘΕΜΑΤΑ.για ΛΥΣΗ
01 ςεδς ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΛΥΜΕΝΑ θεματα ΘΕΜΑΤΑ.για Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΟΛΥΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ Λέγοντας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α εννοούμε
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραΚυρτότητα Σημεία καμπής συνάρτησης
14 Κυρτότητα Σημεία καμπής συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Λέμε ότι : Η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία με υλικό από το ΕΑΠ που με βοήθησε
Διαβάστε περισσότερα10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6 η : Μερική Παράγωγος ΙΙ Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler
Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Η προηγούμενη μέθοδος αν και δεν έχει κανένα περιορισμό για το είδος συνάρτησης του μη ογενούς όρου, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πολλές φορές
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Κεφάλαιο Ε.2 ΣΥΝΟΛΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο Ε. ΣΥΝΟΛΑ Τι λέγεται σύνολο; Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. 2. ίνεται η παράσταση Α= 1 x x.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ίνεται η παράσταση Α= x + 4 x 4 α) Να βρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α β) Αν x=4, να δείξετε ότι Α Α=(10 5 ) 4 4 ίνεται η παράσταση Α= 1 x x α)
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) 1. ÚPRAVY VÝRAZOV
ÚPRAVY VÝRAZOV Algebrický výrz, definičný obor výrzu Počítnie s mnohočlenmi, úprv rcionálnch výrzov, prác s odmocninmi Príkld: Určte definičný obor výrzu: ) 5 b) log Určte definičný obor výrzu zjednodušte
Διαβάστε περισσότερα5. Phương trình vi phân
5. Phương trình vi phân (Toán cao cấp 2 - Giải tích) Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle Nội dung 1 Khái niệm Phương trình vi phân Bài
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDifferentiation exercise show differential equation
Differentiation exercise show differential equation 1. If y x sin 2x, prove that x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy 0 y x sin 2x sin 2x + 2x cos 2x 2 2cos 2x + (2 cos 2x 4x sin 2x) x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy (2x cos
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx. Λυμένες Ασκήσεις. Λύση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx Λυμένες Ασκήσεις. Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα : α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών : x 5 y 6 0 β) να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x. γ) να παραστήσετε
Διαβάστε περισσότεραΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr
. ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο οδηγός αυτός απευθύνεται σε όσους διδάσκουν
Διαβάστε περισσότεραΕΑΠ ΦΥΕ40 : Κβαντική Φυσική. Τμήμα Αθήνα-2: Κ. Κορδάς
ΕΑΠ ΦΥΕ40 : Κβαντική Φυσική Τμήμα Αθήνα-2: Κ. Κορδάς Μάθημα 1 α) Ύλη, τρόπος διαβάσματος και εξέτασης β) Μια γενική εισαγωγή στο αντικείμενο γ) To φως (κύμα) ως σωματίδια τα σωματίδια ως κύματα δ) Κυματική
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ώρες και ημέρες διδασκαλίας του Μαθήματος Τρίτη 11 1313 μ.μ. Πέμπτη 12 1313 μ.μ Παρασκευή ή10 11 11 μ.μ Διδάσκων: Δημήτρης Σουρλάς Ώρες Γραφείου: Όποτε θέλετε Email: dsourlas@physics.upatras.gr
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
Διαβάστε περισσότεραa (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0
Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραTeória lineárnych operátorov Pripomeňme, že operátor z lineárneho priestoru X do lineárneho priestoru Y nad tým istým po lom
Teória lineárnych operáorov Pripomeňme, že operáor z lineárneho priesoru X do lineárneho priesoru Y nad ým isým po lom (R alebo C) sa nazýva lineárny, ak pre x, y X a skalár α T (x + y) = T x + T y, T
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραΜια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού
ΑΓΟΡΟΥ ΚΑΛΛΙΡΡΟΗ Μια άλλη ροσέγγιση του Α ειροστικού Λογισµού ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2010 Ζορµπαλά Κωνσταντίνα Εξεταστική Επιτροπή Παπασαλούρος
Διαβάστε περισσότεραΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ
16673 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1168 8 Ιουνίου 2011 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 59614/Γ2 Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών Α τάξης Γενικού Λυκείου. Η ΥΦΥΠΟΥΡΓΟΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ
Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ Ο. Αγγελοπούλου & Σ. Καρανάσιου Αγρονόµος Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Μ. Σακελλαρίου Αναπληρωτής Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραNumerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK
Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK Cyby a nepresnosti reportujte na kovac zavináč fotopriestor.sk 16. mája 2010 1 Úvod 1.1 Literatúra Babušíková, Slodička, Weisz - Numerické metódy Mila
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης
Κεφάλαιο 5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στο κεφάλαιο περιέχεται μία συνοπτική επισκόπηση των γραμμικών Δ.Ε. ανώτερης τάξης, όπου επεκτείνονται με φυσικό και αναμενόμενο τρόπο οι μεθοδολογίες
Διαβάστε περισσότεραReview-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du)
. Trigonometric Integrls. ( sin m (x cos n (x Cse-: m is odd let u cos(x Exmple: sin 3 (x cos (x Review- nd Prctice problems sin 3 (x cos (x Cse-: n is odd let u sin(x Exmple: cos 5 (x cos 5 (x sin (x
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Έστω η εξίσωση x + ( λ + )x + 8λ = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ R. Πότε οι ρίζες είναι ίσες και πότε άνισες; Αν x 1, x είναι
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ
Κεφάλαιο 5 Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη θεωρία όσο και με τη μεθοδολογία επίλυσης βαθμωτών γραμμικών ΔΕ 2ης και n-στής τάξης. Θα μελετήσουμε, ως επί το πλείστον, γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr
ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ ndpress@nd.gr Τετάρτη, 9 Σεπτεμβρίου 2015 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΒΟΥΛΕΥΤΕΣ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ ΤΗΣ 20 ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΠΙΚΡΑΤΕΙΑ 1. ΦΟΡΤΣΑΚΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός
ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Απαντήσεις στα θέματα της Βιολογίας Κατεύθυνσης
Ενδεικτικές Απαντήσεις στα θέματα της Βιολογίας Κατεύθυνσης Πανελλήνιες 2015 ΘΕΜΑ Α Α1-Β Α2-Γ Α3-Α Α4-Δ Α5-Γ ΘΕΜΑ Β Β1 1-Α 2-Β 3-Β 4-Α 5-Α 6-Α 7-Β 8-Β Β2. ΣΕΛ. 36-37, σύμπλοκο έναρξης της πρωτεϊνοσύνθεσης.
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραβ) ψ τάξης ως προς Β,
3.3 Νο μος ταχυ τητας - Μηχανισμο ς αντι δρασης αντιδράσεις ονοµάζονται απλές ή στοιχειώδεις; αντιδράσεις ονοµάζονται πολύπλοκες; Τι ονοµάζεται νόµος ταχύτητας µιας χηµικής Πως προσδιορίζεται ο νόµος της
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις
Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό
Διαβάστε περισσότερα42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής
Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (για το µάθηµα Μ104 Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ) Ι.. ΠΛΑΤΗΣ Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών 2011 Πρόλογος Οι πρόχειρες αυτές σηµειώσεις διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον
Διαβάστε περισσότεραP m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικός Λογισµός ΙΙ
Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 0: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραγ' λυκείου ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κωνσταντία Γρηγοριάδου Περιέχει: Πρωτότυπη προσέγγιση με υποδείγματα και πρότυπα ασκήσεων
Κωνσταντία Γρηγοριάδου ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Πρωτότυπη προσέγγιση με υποδείγματα και πρότυπα ασκήσεων γ' λυκείου Περιέχει: Tυπολόγια Χρήσιμες Παρατηρήσεις Υποδείγματα Ασκήσεων Κριτήρια
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 03 Ε_3.Φλ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κριακή 8 Απριλίο 03 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. δ Α. γ Α3. β Α4. δ Α5. α Σ, β Λ, γ Σ, δ Σ, ε Λ. ΘΕΜΑ Β Β. Α. Σωστή
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Ολοκλήρωση Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Το ζητούμενο Είδαμε μεθόδους υπολογισμού για το πώς μεταβάλλονται οι συναρτήσεις στιγμιαία. Αν αθροίσουμε αυτές τις στιγμιαίες μεταβολές θα έχουμε ένα
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότερα89 = 51 89 89 = 68 89
.3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 76 A Οµάδας.i) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία x + y + 0. d ( ) + 3+ +.ii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία y x 3
Διαβάστε περισσότερα