ln(x)+c 1 ln( x)+c 2 (x>0) (x<0) x dx = x μ dx = xμ+1 μ +1 + C (x R +,μ 1) a x dx = ax sin(x) dx = cos(x)+c (x R) cos(x) dx =sin(x)+c (x R)

Transcript

1 EGYETEM DEBRECENI INTÉZET MATEMATIKAI Ljkó Károly Klkulus II

2 jegyzet egyetemi kidás negyedik EGYETEM DEBRECENI INTÉZET MATEMATIKAI Ljkó Károly Copyright c Ljkó Károly, 25 Klkulus II

3 Integrálszámítás 9 I Primitív függvény, htároztln integrál 9 A Riemnn-integrálhtóság foglm 5 A Drboux-tétel és következményei 2 3 A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és elegend feltételei 2 4 A Riemnn-integrál m veleti tuljdonsági 25 5 Egyenl tlenségek, középértéktételek Riemnn-integrálr 26 6 Az integrál, mint fels htárfüggvénye 28 7 A Newton-Leibniz formul 29 8 Prciális és helyettesítéses Riemnn-integrálok 3 9 Függvénysoroztok és függvénysorok tgonkénti és differenciálhtóság 33 integrálhtóság Vekotorterek, euklideszi terek, metrikus terek 39 II 39 Bevezetés Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm 39 Az R n euklideszi tér 42 R n topológiáj 44 3 További lineáris lgebri el ismeretek 47 4 Soroztok és m veletek, illetve rendezés 57 Részsoroztok 57 3 Többváltozós és vektorérték függvények folytonosság, IV 59 htárértéke Alpfoglmk 59 A folytonosság foglm 6 Folytonosság és m veletek 63 3 Folytonosság és topologikus foglmk 63 4 A htárérték foglm 64 5 Htárérték és m veletek illetve egyenl tlenségek 67 6 A Riemnn-integrál áltlánosítás és lklmzás 7 V 7 Bevezetés Korlátos változású függvények 7 Riemnn-Stieltjes integrál 74 Görbék ívhossz 78 3 Görbementi-integrál 8 4 Többváltozós függvények differenciálszámítás 85 VI A differenciálhtóság 85 Iránymenti és prciális derivált 88 Differenciálási szbályok 9 3 Középértéktételek és következményeik 93 4 Mgsbbrend deriváltk, Young és Tylortétele 95 5 Lokális széls érték 2 6 Inverzfüggvény-tételek 5 7 Implicit függvények 8 8 Feltételes széls érték 9 Riemnn-integrál R n -ben 3 VII 3 Bevezetés Riemnn-integrál téglán 3 Riemnn-integrál korlátos R n -beli hlmzon 23 Jordn-mérhet hlmzok R n -ben 25 3 Integráltrnszformáció 29 4 Differenciálegyenletek 37 VIII 37 Bevezetés 6 TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegyzék 7 A htárérték és folytonosság kpcsolt 69 Improprius Riemnn-integrál 34 Soroztok R k -bn 55 III Alpfoglmk és kpcsoltuk 55 4 Cuchy-soroztok 58 5

4 A differenciálegyenlet foglm 38 Kezdeti érték problém vgy Cuchy-feldt 4 Elemi úton megoldhtó differenciálegyenlet-típusok 42 3 Egzisztenci-tételek Cuchy-feldtokr 55 4 Irodlomjegyzék 73 Névjegyzék 75 Tárgymuttó 77 TARTALOMJEGYZÉK 7 5 Mgsbbrend lineáris differenciálegyenletek 6

5 H z f függvény értelmezési trtomány nemintervl- lum, Megjegyzés kkorz állítás nem igz I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS I fejezet Bizonyítás H G(x) =F (x)+c, kkor feltételek mitt G (x) =F (x) =f(x) ) (x b ), így definíció szerint, primitív függvény G H G = f, zz G is primitív függvénye f-nek, kkor G (x) =F (x) b) (x b ), mi ekvivlens zzl, hogy, [G(x) F (x)] =(x b ),, így differenciálszámításbn tnultk szerint G(x) F (x) =C (x, b ), zz G(x) =F (x)+c Integrálszámítás Primitív függvény, htároztln integrál hogy egy f :, b R differenciálhtó függvényhez hozzárendelhet Ismeretes, z f :, b R függvény Péld H f(x) =x 2 (x R), úgy létezik f (x) =2x (x R) Kérdés: f :, b R-hez létezik-e F :, b R, hogy F = f? H f(x) =sin(x) (x R), kkor F (x) = cos(x) (x R) esetén Péld F (x) =sin(x) =f(x) (x teljesül R) definíció Legyen dott z f :, b R függvény F :, b R differenciálhtó függvényt z f primitív függvényének A htároztln nevezzük, h F = f vgy integráljánk F z f jelölést hsználjuk f meghtározását integrá- függvényre Az mondjuk lásnk F = f függvény x helyen felvett értékét F (x) = f(x)dx vgy Az ( jelöli, mi gykrn primitív függvényt (htároztln integrált) f)(x) jelenti is primitív függvény (htároztln integrál) értelmezhet f : H R A függvényre is, hol H intervllumok egyesítése Az f(x) =sh(x)(x R) függvény esetén F (x) =ch(x)(x R) Péld teljesíti, hogy F (x) =f(x), így F (x) = sh(x) dx függvény tétel H f,f :, b R, F = f (F = f), úgy G :, b R és csk kkor primitív függvénye (htároztln integrálj) f-nek, kkor h C R, hogy G(x) =F (x)+c Alpintegrálok: x dx = { ln(x)+c ln( x)+c 2 (x>) (x<) x μ dx = xμ+ μ + + C (x R +,μ ) x dx = x ln + C sin(x) dx = cos(x)+c (x R) cos(x) dx =sin(x)+c (x R) (x R, >, ) sin 2 (x) dx = ctg(x)+c k (x ] kπ, (k +)π [, k Z) cos 2 (x) dx =tg(x)+c k (x ] kπ π 2,kπ+ π 2 [, k Z) dx =rcsin(x)+c (x ], [) x 2 dx =rctg(x)+c (x R) +x2 sh(x) dx =ch(x)+c (x R) ch(x) dx =sh(x)+c (x R) 9

6 tétel integrálás tétele) H z f,g :, b R függvények 3 (prciális, b -n és létezik f g,kkor létezik fg is, és differenciálhtók 2 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL x2 + dx =rsh(x)+c =ln(x + x 2 +)+C (x R) x2 dx =rch(x)+c =ln(x + x 2 ) + C (x ], [) ( ) n x n x n+ dx = n + C (x ] ϱ, ϱ [) n + n= n= p, q R tetsz leges, kkor létezik (pf + qg) és C R, hogy tétel f,g :, b R hogy létezik f és g, és Legyen olyn, [pf(x)+qg(x)] dx = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b ) Bizonyítás Legyen F = f, G = g, kkor F, G létezése mitt (pf + qg) is, és létezik (pf + qg) (x) =pf (x)+qg (x) =pf(x)+qg(x) (x, b ), mi zt jelenti, hogy létezik (pf(x)+qg(x)) dx és = pf (x)+qg(x)+c = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b ) htároztln integrál definíciój mitt zt jelenti, hogy létezik mi fg teljesül (P) és Példák f(x) =x, g(x) =e x (x R) f és g differenciálhtók és Legyen f (x) =, g (x) =e x R), továbbá létezik (x f (x)g(x) dx = = e x dx = e x lpintegrálok), így tétel mitt létezik dx (lásd xe x dx C R, hogy és xe x dx = xe x e x dx + C = xe x e x + C (x R) Legyen f(x) =ln(x), g(x) =x (x R) és f differenciálhtók és g f (x) = x, g (x) =(x R + ), továbbá létezik f (x)g(x) dx = x xdx = dx (x R + ) (lásd mitt létezik ln(x) dx = ln(x) dx és lpintegrálok), így tétel hogy C R, ln(x) dx = ln(x) dx = x ln(x) x xdx+ C = = x ln(x) x + C (x R + ) H f(x) =x 3 (x R), g(x) =cos(x) (x R), kkorlétezik Péld x 3 és dx cos(x) (lásd lpintegrálok), így tételünk szerint létezik dx (2x 3 és létezik +3cos(x))dx C R, hogy (2x 3 +3cos(x))dx =2 x4 4 +3sin(x)+C olyn C R, hogy vn f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C (x, b ) (P) Bizonyítás A feltételek mitt z f g f g függvény differenciálhtó, H Megjegyzés P n polinom, úgy z lábbi integrálok (x) egy n-edfokú tételével meghtározhtók: prciális integrálás P n (x)e x dx, P n (x)sin(x) dx, P n (x)rcsin(x) dx, P n (x)ln(x) dx, P n (x)cos(x) dx, P n (x) rccos(x) dx, P n (x)sh(x) dx, P n (x)rctg(x) dx, P n (x)ch(x) dx, P n (x) rcctg(x) dx tétel (helyettesítéses integrálás tétele) H f :, b R, 4 g : c, d, olynok, hogy létezik b g : c, d és létezik R f, és [ f(x)g(x) f (x)g(x) dx] = f (x)g(x)+f(x)g (x) f (x)g(x) = = f(x)g (x), (f g) g C R, hogy kkor létezik és vn olyn (( ) ) f(g(x)) g (x) dx = f g (x)+c = (H) (x c, d ) f(t) dt t=g(x) +C

7 illetve hiperbolikusz (sh, ch) függvényes) (sin), lklmzzuk helyettesítéseket A mitt létezik [( f) g] és Bizonyítás feltételek [( ) f g] (x) =f(g(x)) g (x) (x c, d ), mi éppen zt jelenti, hogy létezik (f g)g és teljesül (H) H fentieken létezik g kkor(h) következ Megjegyzés ( túl), is írhtó: lkb [( ) ] f(x) dx = (f g)g g (x)+c = (H ) = f(g(t))g (t)dt t=g (x) + C (x c, d ) x dx =? (x>) g(t) +,ekkor =t g =, létezik (t) g (x) =x, így Legyen 3 x dx = 3 t + dt t=x +C = =3 t dt t=x +C =3ln(x ) + C 5 x 2 +2x+2 dx =? g(t) =t, ekkor g =, létezik (t) g (x) +,így Legyen =x 5 x 2 +2x +2 dx = 5 (x +) 2 + dx = =5 t 2 + dt t=x+ +C =5rctg(x +)+C Megjegyzések x2 dx g(t) =sin(t) (t ] π 2, π 2 esetén [) R(sin(x), cos(x)) dx, esetén (hol R(u, v) rcionális kifejezése u, v- 4 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS PRIMITÍV FÜGGVÉNY, HATÁROZATLAN INTEGRÁL 3 2x sin(x 2 ) dx =? Példák Legyen f(x) =sin(x), g(x) =x 2 (x R) Ekkor g : R R + R továbbá létezik g (x) = 2x (x R) és f = sin(x) dx (lásd g(t) =2rctgt (ill (t R) tg x 2 = t = g (x) (x ] π, π [), ) x + b R (x, n dx esetén cx + d nek és x ] π, π [ ) 3 tétel mitt létezik 2x sin(x 2 ) dx és C R, lpintegrálok), így hogy 2x sin(x 2 ) dx = sin(t) dt t=x 2 +C = cos(x 2 )+C x + b t = n cx + d = g (x), g(t) = dtn b ct n, R(x, x2 + bx esetén z Euler-féle (vgy trigonometrikus + c) dx ch(2x +3)dx =? (x R) 4 hogy f(x) =ch(2x +3) függvénynek létezik Beláthtó, z (x R) g(t) = t 3 2 g (t) = 2, továbbá ekkor, Legyen függvénye primitív g (x) =2x R), így megjegyzés mitt létezik +3(x ( ch(2x +3)dx = ch 2 t 3 ) dt t=2x+3 +C = = ch tdt 2 t=2x+3 +C = sh(2x +3)+C 2 törtfüggvények integrálás Rcionális prciális törtekre bontás tétele szerint minden A Pn(x) Q m(x) egyértelm en el áll egy polinom és törtfüggvény (x b) j, px + q (x 2 + rx + s) k (j, k N +, r 2 4s <) rcionális törtek bizonyos (itt nem részletezett) összegeként, hol (x b) j és lkú (x 2 +rx+s) k Q m osztói Így (x) P n(x) Q m(x) meghtározás visszvezethet

8 Megjegyzések Az utóbbi két integráltípust gykorlton vizsgáljuk (z els kezelése A 4 tétel utáni 2), 3), 4) példák esetén z integráls rcionális integrálásár vezethet vissz törtfüggvény Nyilván T mert függvény szigorú monoton növekedése összegét S, x 2 x 2 i [x i,x mitt i intervllumon, így kpott tégllpok z teljesül ] 6 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A RIEMANN-INTEGRÁLHATÓSÁG FOGALMA 5 z dx és (x b) j px + q (x 2 + rx + s) k dx s T teljesül, mert minden tégllp T terület síkidom része összegére nem nyúlnk egymásb és y y meghtározásár zonnl láthtó) További ún rcionlizáló helyettesítések is vizsgálhtók (például 3 R(e x dx, binom integrálok) ) x x 2 x x x 2 x H z osztáspontokt x i = i n (i =,,n) módon válsztjuk, úgy feldton bemuttjuk fejezet címében jelzett foglom, El szöregy Riemnn-integrál hátterét (geometrii trtlmát ) meg z f(x) =x 2 (x [, ]) függvény gráfj, z x- Htározzuk [, ] szksz és z x =egyenlet egyenes áltl htárolt sík- tengely területét idom területet korlátok közé szorítjuk Ehhez osszuk fel keresett A intervllumot T [, ] = x < x < x 2 < < x n < x n = T fels becslését úgy kpjuk, h z [x osztáspontokkl i,x i szkszr ] f(x i )=x 2 mgsságú tégllpot emelünk i =,,n)ésvesszük ezek (i területeinek S = x 2 i (x i x i ) S = ( ) 2 i n n = n 3 (2 + + n 2 n(n + )(2n +) )= 6n 3 = = 2n2 +3n + 6n 2, ( i s = n így = 2n2 3n + 6n 2, ) 2 n = n 3 (2 + +(n ) 2 )= 2n 2 3n + 6n 2 T 2n2 +3n + 6n 2, (n )n(2n ) 6n 3 = A Riemnn-integrálhtóság foglm vizsgált síkidomot, ezért területük összege leglább T befedik gondoltmenet dj, hogy h z [x Hsonló i,x i szkszr ] f(x i )=x 2 mgsságú tégllpot emelünk i =,,n), kkorz (i jól kezelhet becslést d T -re, s t mi 2n 2 3n + 6n 2 és 3 2n 2 +3n + 6n 2 3 s = x 2 i (x i x i ) becslést tetsz leges pontosságúnk is tekinthetjük, zzl következtetéssel, mitt hogy keresett terület T = 3 igzából csk kkor nyugodhtnánk meg, h ez nem csk Persze hnem tetsz leges felosztás (felosztássorozt) esetén is dódn speciális, így kpott tégllpok területeinek

9 módszerhsználhtó áltlánosbbn egy f :[, b] R folytonos E csk korlátos) és nemnegtív függvény görbéje, z [, b] szksz, (vgy osztáspontjink, z [x felosztás i,x i ](i intervllumokt =,,n) felosztás részintervllumink, míg Δx i = x i x i mellett 8 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A RIEMANN-INTEGRÁLHATÓSÁG FOGALMA 7 x = és z x = b egyenesek áltl htárolt síkidom területének közelítésére, z esetleg pontos megdásár is y b x definíció Legyen f :[, b] R korlátos függvény, P egy felosztás 4 b]-nek [, M i = sup f(x), m i = inf f(x) (M i,m i és R) x [x i,x i] x [x i,x i] definíció f :[, b] R korlátos függvény, P egy felosztás 5 Legyen Az [, b]-nek s(f,p) = m i Δx i, S(f,P) = O(f,P) = M i Δx i, (M i m i )Δx i még zt sem tesszük fel, hogy f nemnegtív, úgy eljutunk Riemnn H fémjelzett integrál foglmához, melynek geometrii nevével trtlm nemnegtív folytonos függvényekre éppen görbe ltti síkidom például lesz területe σ(f,p) = f(t i )Δx i számokt z f függvény P felosztáshoz trtozó lsó, fels, illetve oszcillációs összegének, míg t i [x i,x i ] esetén [, b] R zárt intervllum Atovábbikbn f :[, b] R Legyen korlátos függvényekkel fogllkozunk típusú definíció A P = {x i = x <x < <x i < <x n = b} [, b] hlmzt z [, b] intervllum egy felosztásánk, z x i tétel H f :[, b] R korlátos függvény, kkor bármely P és σ(f,p)-re: s(f,p) σ(f,p) S(f,P); ) b) bármely P P 2 -re: s(f,p ) s(f,p 2 ), S(f,P 2 ) S(f,P ); z függvény f felosztáshoz és P számot t,,t n integrálközelít geometrilig bizonyos terüle- összegének -hez trtozó nevezzük (Ezek tek ) pontokt c) bármely P,P 2 -re: s(f,p ) S(f,P 2 ) P =sup{δx i i =,,n} definíció P Legyen és P 2 két felosztás [, b] P 2 finomítás (továbbosztás) P felosztásnk, h P 2 P = P A P 2 hlmzt P P és P 2 nevezzük egyesítésének definíció A P 3 k normális felosztássorozt b]-nek, h [, lim P k ==teljesül k H P = {x ),x,,x n },t i [x i,x i tetsz leges, kkor ] m i f(t i ) M i melyb l Δx, i > mitt m i Δx i f(t i )Δx i M i Δx i összegzéssel illetve m i Δx i f(t i )Δx i (i =,,n), M i Δx i Bizonyítás számot felosztás finomságánk nevezzük

10 bármely i =,,n-re, mib l összegzés után jön b) els dódik A második hsonlón következik fele Dirichlet-féle függvény lesz kítése z [, b] intervllumr) Legyen (zz P tetsz leges felosztás [, b]-nek Ismeretes, hogy bármely két I így Ψ 2 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A RIEMANN-INTEGRÁLHATÓSÁG FOGALMA 9 következik, mi z állítás Legyen P b) = {x,,x n }, P 2 = {y,,y m }, P P 2,kkorbármely i,x i létezik j, k, hogy [x ]-re [x i,x i ]=[y j,y j ] [y k,y k ] (x i = y j,x i = y k ) m () i P H,m (2) i P 2 trtozó infimumok, kkor -höz m () i m (2) j,,m (2) és így, k m () i Δx i = m () i Δy j + + m () i Δy k m (2) j Δy j + + m (2) Δy k k Példák f(x) =c (x [, b]), kkor I = Ī, mert[, b] bármely P felosztásár m i = M i így = s(f,p) =S(f,P) = n H Ψ c Δx c, i = x n Δx i = c(b ), teháti = Ī = c(b ) Ψ Ī Legyen Létezik f, hogyi Ψ f(x) = {,hx [, b] Q,,hx [, b] \ ([, b] Q), szám között vn rcionális és irrcionális szám is, így vlós m i =,M i felosztás bármely intervllumán, mi dj, hogy = H P c), P 2 felosztások, kkor P tetsz leges,p 2 P P 2 így ) és, mitt b) s(f,p ) s(f,p P 2 ) S(f,P P 2 ) S(f,P 2 ), s(f,p) = Δx i =, S(f,P) = Δx i = b, = b = Ī mi dj z állítást definíció f :[, b] korlátos függvény Az 6 Legyen R = b f b I =sup{s(f,p)}, Ī = f =inf {S(f,P)} P P Ψ definíció f :[, b] korlátos függvény Riemnn-integrálhtó [, Ī Ezt közös értéket z = f [, feletti Riemnn- b] b]-n, 7 Az R h I Ψ rá z I, b f b vgy f(x) dx jelölést hsznál- és nevezzük, integráljánk z f függvény [, b] feletti lsó, illetve fels Drboux-integráljánk számokt nevezzük tétel Legyen f :[, b] R korlátos függvény, kkor I teljesül Ψ, Ī R és I Ψ Az tétel része bármely P Bizonyítás c) mitt -re s(f,p ) S(f,P) P Ī R s(f,p ) továbbá Ī, mi dj, hogy bármely esetén, így létezik Ī és I R Ψ Ī H [c, d] [, és b] f d]-re vló lesz kítése Riemnn-integrálhtó juk [c, d kkorzt mondjuk, hogy [c, Riemnn-integrálhtó f d]-n [c, z d]-n, f f :[, b] függvény Riemnn-integrálját jelöli d]-n H R [c, f [c,d] = g, d f d g = kkor c c c I létezik Ψ Bármely P -re s(f,p) I Következmény Ī I hogy O(f,P) Ψ Ψ Ī S(f,P), mi dj, Megjegyzések el bbi példák muttják, hogy z f(x) =c (x [, b]) függvény Az b cdx= c(b ), míg Dirichlet-féle függ- és Riemnn-integrálhtó vény nem Riemnn-integrálhtó [, b]-n

11 fels és lsó összegek egyfjt A htárérték tuljdonságát muttj lábbi eredmény z tétel (A Drboux-tétel következménye) H f :[, b] R korlátos függvény, kkor Ī tehát meghtározhtó egy speciális normális fel- trtozó s(f,p osztássorozthoz k illetve S(f,P ), k sorozt htárértékeként ) Ezért például már vizsgált f(x) =x 2 (x [, ]) függvényre I Ψ tétel Az f :[, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó k normális felosztásso- [, b]-n, h [, b] bármely P trtozó bármely σ(f,p rozthoz k integrálközelít összegsorozt konvergens ) 5 tétel f :[, b] R folytonos függvény Riemnn-integrálhtó Bizonyítás Bármely P -re Ī I Ψ H f :[, b] korlátos, nemnegtív és Riemnn-integrálhtó függvény, R b f szám (f Riemnn-integrálj [, b]-n) geometrii z kkor δ(ε) >, hogy bármely olyn P felosztásár [, b]-nek, melyre P < δ(ε), σ(f,p) I < ε teljesül bármely σ(f,p)-re 22 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 4 A RIEMANN-INTEGRÁLHATÓSÁG KRITÉRIUMAI 2 trtlm legyen z f gráfj ltti síkidom területe 3 A Drboux-tétel és következményei tétel (Riemnn-kritérium) Az f :[, b] R korlátos függvény 3 és csk kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h bármely ε > kkor tétel (Drboux-tétel) H f :[, b] R korlátos függvény, kkor ε-hoz létezik δ(ε) >, hogy [, b] bármely P felosztásár, melyre bármely P <δ(ε) (D) S(f,P) Ī<ε és I Ψ s(f,p) <ε létezik P felosztás [, b]-nek, hogy esetén O(f,P) =S(f,P) s(f,p) <ε Legyen f Riemnn-integrálhtó, zz I = Ī = I és ε> dott A ) Bizonyítás Drboux-tétel mitt ε 2 Ψ teljesül [, b]-nek,melyre P <δ( ε 2 ),kkor -höz δ(ε) >, hogy h P olyn felosztás ) bármely felosztássoroztár létezik normális k)=i és Ψ [, b] P k lim, k lim S(f,Pk)=Ī, k lim k)=ī ; k Ψ I s(f,p) < ε 2 és S(f,P) I< ε 2, [, b] bármely P b) k normális felosztássoroztár létezik σ (f,p k és ) σ 2 (f,p k integrálközelít összegsorozt, hogy ) létezik Megjegyzés I lim k σ (f,p k )=I Ψ illetve lim k σ2 (f,p k )=Ī Ekkor Ī I ε S(f,P) s(f,p) =O(f,P) <εmitt követke- Ψ Ī, = Riemnn-integrálhtó zzf hogy I zik, Ψ mi dj, hogy O(f,P) =S(f,P) s(f,p) <ε b) Tegyük fel, hogy ε>-r P, hogy O(f,P) =S(f,P) s(f,p) < és Ψ = Ī = 3 tétel Az f : [, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor 4 [, b]-n, h z [, b] bármely P Riemnn-integrálhtó k normális felosz- tássorozt esetén O(f,P k ) nullsorozt, így z Riemnn-integrálhtó O(f,P), így elég megmuttni, hogy A Riemnn-integrálhtóság kritériumi és 4 feltételei elegend ε>-hoz létezik P felosztás [, b]-nek, hogy O(f,P) <ε(mert bármely I = Ī): f folytonosság dj egyenletes folytonosságát [, b]-n, így kkor ε b δ(ε) > x,x [, b], x x <δ(ε) esetén f(x ) f(x ) < ε -hoz létezik, hogy b Ψ tétel Az f :[, b] R korlátos függvény kkor és csk kkor Riemnn-integrálhtó [, b]-n, h létezik I R hogy bármely ε > -hoz létezik

12 6 tétel Egy f :[, b] R monoton függvény Riemnn-integrálhtó Tekintsük z f(x) =[x], x [, 2] függvényt (z egészrész Péld lesz kítését [, 2] intervllumr) Ez monoton növeked, függvény tétel H f :[, b] R Riemnn-integrálhtó [, b]-n, [c, d] [, b], 7 f Riemnn-integrálhtó [c, d]-n is kkor középiskolábn dott integrál definíció Riemnn-integrálll ezért eredményt d megegyez 24 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 4 A RIEMANN-INTEGRÁLHATÓSÁG KRITÉRIUMAI 23 P hogy P <δ(ε), kkor Legyen olyn, I Ī O(f,P) = (M i m i )Δx i = Ψ (f(x i) f(x i ))Δx i <ε felhsználtuk, hogy f folytonosság mitt x i,x i [x i,x (Itt i ],hogy M i = f(x i ),m i = f(x i )) Legyen f :[, b] R és P = { = Következmény,,, n = b} felosztás [, b]-nek H f Riemnn-integrálhtó bármely [ egy i, i ] b kkor [, és intervllumon, Riemnn-integrálhtó b]-n f(x) dx = f(x) dx i i A 8 tétel felhsználásávl és teljes indukcióvl zonnl kpjuk Bizonyítás z állítást Bizonyítás H f() =f(b) = f(x) z állítás igz ) C = f() f(b), kkor ε > esetén olyn -re, hogy P P b) H < ε például (felhsználv monoton növekv f függvény ese- f(b) f() hogy tén, m i = f(x i ), M i = f(x i hogy ))kpjuk, Ī O(f,P) = (M I i m i )Δx i = [f(x i ) f(x i )]Δx i < Ψ < dj, hogy I mi Ψ ε f(b) f() [f(x i ) f(x i )] = ε, = zz Ī Riemnn-integrálhtó f n= tétel (Lebesgue-kritérium) Az f :[, b] R korlátos függvény 9 és csk kkor Riemnn-integrálhtó, h egy Lebesgue szerint null- kkor hlmztól eltekintve folytonos (H R Lebesgue szerint nullmérték, n,b n [ n intervllummérték h bármely ε>-hoz létezik { ] N} rendszer, hogy H ] n,b n [ (b és n n <ε) ) n= Megjegyzések H f :[, b] R folytonos, úgy z 5 tétel mitt Riemnn-integrálhtó, = Ī Az [, b] intervllum egyenl részekre osztásávl zz I Ψ P nyert k normális felosztássorozt, mert P k = b Így k következménye Drboux-tétel mitt: lim s(f,p = Ī = lim S(f,P k)=i k), k k Ψ Tételeink lpján egy Riemnn-integrálhtó függvény Riemnn-integrálját k normális felosztássorozthoz trtozó s(f,p k ), bármely P S(f,P k vgy ), σ(f,p k sorozt htárértéke megdj ) így tételünk mitt Riemnn-integrálhtó [, 2]-n, de nem folytonos) tétel (z integrál intervllum feletti dditivitás) 8 f : [, b] R, c ], b [, f Riemnn-integrálhtó [, c]-n és Legyen b]-n, kkor [c, Riemnn-integrálhtó f b]-n is, és [, b f = c f + b c f

13 tétel H f :[, b] R Riemnn-integrálhtó függvény, kkor f is 4 Riemnn-integrálhtó Egyenl tlenségek, középértéktételek 6 Riemnn-integrálr 26 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 5 A RIEMANN-INTEGRÁL M VELETI TULAJDONSÁGAI 25 5 A Riemnn-integrál m veleti tuljdonsági tétel H f,g :[, b] R Riemnn-integrálhtók, p, q R, kkor (p f + q g) :[, b] függvény is Riemnn-integrálhtó és R Megjegyzések A 3 tétel teljes indukcióvl dj, hogy véges sok Riemnn-integrál- htó függvény szorzt is Riemnn-integrálhtó b b (p f + q g) =p b f + q g Riemnn-integrálhtó függvények kompozíciój áltlábn nem Riemnn-integrálhtó Legyen f :[, b] R, g :[c, d] R és R 3 f d] H [c, Riemnnintegrálhtó f és g folytonos, kkor g f Riemnn-integrálhtó [, b] bármely P Bizonyítás k normális felosztássoroztár σ(p f + q g, P k )=p σ(f,p k )+q σ(g, P k ), f és g Riemnn-integrálhtóság és Riemnn-integrálhtóság kritérium mi (II4 tétel) mitt dj z állítást A teljes indukcióvl következik, hogy h z Megjegyzés tételb l f i :[, b] függvények Riemnn-integrálhtók és R λ i R kkor (i n λ =,,n), i f i Riemnn-integrálhtó és is függvény b λ i f i = λ i b f i tétel Legyenek f,g :[, b] R Riemnn-integrálhtók és f g, f kkor b b g Legyen Bizonyítás P k felosztássorozt b]-nek, [, tetsz leges normális t k i [xk i,xk i ] f(tk i ) g(tk i ) σ(f,p k) σ(g, P k ), mitt kkor tetsz leges, mi dj z állítást tétel f :[, b] R Riemnn-integrálhtó, kkor f 2 is, továbbá H c>, hogy f(x) c bármely x [, b], kkor h is Riemnn- létezik f integrálhtó b b f g Megjegyzés H f,g :[, b] R korlátos függvények és f g, kkor és b b f g tétel H z f,g : [, b] R függvények Riemnn-integrálhtók, 3 kkorf is, továbbá h létezik g c, hogy > g(x) > bármely c x b]- [, re, úgy f g is Riemnn-integrálhtó Az Bizonyítás f g = 4 [(f + g)2 (f g) 2 ] és f g = f g z els két tétel felhsználásávl nyilvánvlón dják z egyenl ségek állítást tétel f :[, b] Riemnn-integrálhtó, kkor Legyen R b b f f Bizonyítás f z 54 tétel mitt Riemnn-integrálhtó, így f f f egyenl tlenségb l z tétel mitt f f f, mi dj z állítást

14 tétel (középértéktétel) Legyenek f,g :[, b] R Riemnn-integrálhtók, 3 továbbá tétel Legyen f :[, b] R Riemnn-integrálhtó, kkor F (f integrálj, mint fels htár függvénye) folytonos [, b]-n x-ben, és F (x) =f(x) (Tehát, h f bármely x [, b]- differenciálhtó folytonos, úgy F egy primitív függvénye f-nek) ben Legyen ε>tetsz leges, kkor fx-beli folytonosság mitt Bizonyítás δ(ε) >, hogy létezik 28 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 6 EGYENL TLENSÉGEK, KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK RIEMANN-INTEGRÁLRA27 7 Az integrál, mint fels htár függvénye m f(x) M, g(x) (x [, b]), definíció Legyen f :[, b] R Riemnn-integrálhtó, kkor kkor b b b m g f g M g f =, b b = definíció Legyen f :[, b] R Riemnn-integrálhtó, kkorz m g, f g, M g Riemnn-integrálhtók és Bizonyítás m g f g M g [, b]-n, melyb l z tétel mitt jön z állítás F :[, b] R, F(x) = f(t)dt (I-F) x Következmények Legyen f :[, b] R Riemnn-integrálhtó, m f M, kkor m b f M b definiált F függvényt f integráljánk, mint fels htár szerint nevezzük Ezt szokás területmér függvénynek, vgy függvényének integrálfüggvényének is nevezni f Bizonyítás A 3 tételb l g(x) =válsztássl kpjuk z állítást tétel Legyen f :[, b] R Riemnn-integrálhtó és folytonos z x [, pontbn, kkor z b] F integrálj, mint fels htár függvénye) (f H f :[, b] folytonos függvény, kkorlétezik R c b], hogy [, f(c) = b f b t [, b], t x <δ(ε) = f(t) f(x) <ε h olyn, hogy x + h [, b] és h <δ(ε), kkor felhsználv, Legyen x+h f(x)dt = hf(x) jön: hogy x f mitt m =inff([, b]), Bizonyítás folytonosság M=supf([, b]) b mitt függvényértékek, z f [m, következmény M], így b létezik c, hogy f(c) = b Bolzno egy tétele f, mit bizo- mitt b nyítni kellett

15 H F differenciálhtó [, b]-n és F = f, zzf primitív Megjegyzés f-nek, kkor F -et nyilván z I fejezetben tnultk szerint függvénye A FORMULA 8 29 NEWTON-LEIBNIZ x+h F (x + h) F (x) f(x) h = x x+h f(t)dt f(t)dt f(x)dt h = x x+h x+h x+h = f(t)dt f(x)dt h = (f(t) f(x))dt h x x x x+h h sign(h) f(t) f(x) dt < x+h εdt = hε = ε, h h x x zt hogy mi létezik jelenti, F F (x + h) F (x) és (x) = lim = f(x), h h 3 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS összegezve Ezeket pedig n k n k F (b) F () = (F (x k i ) F (x k i )) = f(t k i )Δx k i = σ(f,p k ) következik k-r, így k esetén (f integrálhtóság mitt) F (b) F () = b zz bizonyítni F (b) F () =σ(f,p k ) b f, (mert f σ(f,p k konstns sorozt), és ezt kellett ) bizonyítni kellett H f :[, b] R folytonos, úgy ez igz bármely mit x [, esetén, zz b] F (x) =f(x) (x b]), tehát [, egy primitív F htározzuk meg, mjd lklmzhtjuk tételünket f-nek függvénye minden (intervllumon értelmezett) folytonos függvénynek Tehát Példák 2 z [x] dx Riemnn-integrált (h létezik) ki Számíts vn primitív függvénye 8 A Newton-Leibniz formul (Newton-Leibniz formul) Legyen f,f :[, b] R olyn, Tétel f Riemnn-integrálhtó, F folytonos [, b]-n és differenciálhtó hogy ], b -n, továbbá [ F (x) =f(x) (x ], [),kkor b b f = F (b) F () 2 [x] dx = F (2) F () = 2 = π z sin(x) dx Riemnn-integrált (h létezik) ki Számíts f(x) =[x], x [, 2] függvény monoton növeked, ezért Riemnnintegrálhtó Az A F (x) =x, x [, 2] függvény differenciálhtó, továbbá F (x) ==[x], h x [, 2[ Teljesülnek tehát tételünk feltételei, így F (b) F () számot szokás [F (x)] b módon is jelölni) (Az Legyen P Bizonyítás k = {x k i i =,,,n tetsz leges normális k} [, F Lgrnge-tétel feltételeit bármely felosztássorozt b]-nek teljesíti [x k i,xk i ] tk i ] xk i,xk i [, hogy így intervllumon, F (x k i ) F (x k i ) =F (t k i )Δx k i = f(t k i )Δx k i i =,,,n k esetén f(x) =sin(x), x folytonos, ezért Riemnn-integrálhtó Az [,π] sin(x) dx = cos(x)+c (x R), így Ismeretes, hogy F (x) = cos(x), (x z primitív függvénye (zz [,π]) f F (x) = π [,π]-n, ezért tételünk és megjegyzés mitt f(x)) sin(x) dx = [ cos(x) ] π =+=

16 tétel (prciális Riemnn-integrálás) H z f,g :[, b] R függvények folytonosn differenciálhtók, kkor 9 Prciális és helyettesítéses Riemnn-integrálok Legyen H :[c, d] R, H(u) = kkor H diffe- f(x)dx, Bizonyítás renciálhtó és H (x) =f(x) (x [c, d]) Legyen továbbá G :[c, d] R u g() 32 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 9 PARCIÁLIS ÉS HELYETTESíTÉSES RIEMANN-INTEGRÁLOK 3 b b fg = f(b)g(b) f()g() f g Bizonyítás Legyen F :[, b] R, F(t) = t fg + t f g + f()g() G(t) = t f(g(x))g (x) dx g(t) g() f(x) dx, G (t) =f(g(t))g (t) H (g(t))g (t) =, és így G(t) c De kkor G() =mitt c =, és így G(b) =, mi G definíciój mitt kkor dj z állítást kkor t [, b]-re F (t) és f(t)g(t), F (t) =f(t)g (t)+f (t)g(t) [f(t)g(t)] = ( t [, b]), F (t) c, illetve F () =mitt c =és ezért F (b) =, mi F így dj z állítást definíciójából π z x sin(x) dx Riemnn-integrált (h létezik) ki Számítsuk Péld f(x) =x, g(x) = cos(x) (x [,π]) folytonosn differenciálhtók, Az létezik f (x) =,g (x) =sin(x) (x [,π]) és z f,g :[,π] R mert függvények folytonosk szerint π Ezért tételünk és Newton-Leibniz formul x sin(x) dx = π( cos(π)) ( cos()) = π + π π cos(x) dx = π + [ sin(x) ] π = π ( cos(x)) dx = tétel (helyettesítéses Riemnn-integrálás) H g :[, b] [c, d] differenciálhtó, f :[c, d] R folytonos, kkor folytonosn (H-R) b f(g(x))g (x) dx = g(b) g() f(x) dx Megjegyzések (H-R)-ben x helyett írhtunk t változót bloldlon és kkorz (H -R) g(b) g() lkbn is írhtó f(x) dx = b f(g(t))g (t) dt (H-R)-t h észrevesszük, hogy kiszámítndó integrálunk kkorhsználjuk, f(g(x)) g (x) lkú, míg (H -R)-t kkor, h integrndus x = g(t) (t [, b]) helyettesítéssel krjuk (tudjuk) kiszámítni z g(b) f(x) dx integrált z g() Példák Számítsuk ki z I = x sin ( x) dx 2 létez ) Riemnn- (egyébként integrált Nyilván π 2 π 4 I = π 2 π 4 ( ) x 2 sin dx, x láthtó, g : [ π 4, ] [ π továbbá hogy 2 2 π, ] 4 π, g(x) = x folytonosn differenciálhtó és R, f(x) =sin(x) z f : [ 2 π, ] 4 π folytonos függvények teljesítik tétel feltételeit, így (H-R) és néhány korábbi

17 tétel H z f n :[, b] R (n =, függvények Riemnnintegrálhtók n függvénysorozt egyenletesen konvergál 2,) [, b]-n és z f tétel H z f n :[, b] R (n =, függvények folytonosn 2,) [, b]-n, vlmely x differenciálhtók [, esetén b] f n (x konvergens, ) f n [, f n b]-n, kkor egyenletesen továbbá egyenletesen f :[, b] R konvergens [, b]-n, létezik f és függvényhez egy konvergál htárérték, zt f függvény improprius Riemnnintegráljánk véges kkor z [, b Ilyenkorzt mondjuk, hogy z f im- b[-n nevezzük integrál konvergens H () nem létezik, kkorz impropriuproprius integrált divergensnek mondjuk 34 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS FÜGGVÉNYSOROZATOK ÉS FÜGGVÉNYSOROK 33 szerint eredmény π 2 ( ) x 2 sin dx = x π 4 Számíts ki z = 2 π 4 π π 2 π 4 ( ) x 2 sin dx = x sin(x) dx =cos e x +e 2x dx Riemnn-integrált 2 π 4 π sin(x) dx = ( ) ( ) 2 4 cos π π f(x) = ex +e (x [, ]) 2x folytonos Az függvény g(t) =logt (t [,e]), ekkor g([,e]) = [, ], =g(), Legyen = g(e) g (g (t) = t (H folytonosn differenciálhtó, ezért - és mitt) R) szerint e x dx = +e2x log e log e x dx = +e2x e = [ rctg t ] e =rctge π 4 e log t e +e 2logt t dt = +t 2 dt = H f z Következmény n függvények Riemnn-integrálhtók b]-n, és f n z [, f :[, b] egyenletesen konvergál R b]-n :[, b] R [, b f b]-n és [, f = b függvényhez, kkor Riemnn-integrálhtó f n n= f Bizonyítás A n függvénysor S n soroztár lklmzzuk részletösszeg tételt z (3) f (x) = lim n f n(x) (x [, b]) Következmények f H n :[, b] R (n folytonosn differenciálhtók és =, 2,) létezik x b], hogy [, f n (x és ) f n konvergens egyenletesen n= konvergens [, b]-n, kkor f n = f és létezik f = f n A tétel speciális esete htványsorok differenciálhtóságár vontkozó tétel (hiszen feltételek ekkortermészetesen teljesülnek) Improprius Riemnn-integrál Függvénysoroztok és függvénysorok tgonkénti és differenciálhtóság integrálhtóság definíció Legyen R, < b +, f : [, b[ R minden [, t] [, intervllumon korlátos és Riemnn-integrálhtó függvény b[ f : [, b] R függvényhez [, b]-n, kkor f Riemnn-integrálhtó z b]-n és [, () b f = lim b f n n fel továbbá, hogy b =+ vgy ε>, hogyf nem korlátos Tegyük [b ε, intervllumbn H létezik b[ t b () lim t f = b f teljesül

18 36 I INTEGRÁLSZÁMÍTÁS IMPROPRIUS RIEMANN-INTEGRÁL 35 definíció H R, c<, f:]c, ] R minden [t, ] ]c, ] korlátos és Riemnn-integrálhtó, c = vgy ε >, intervllumon hogy f nem korlátos ]c, c + ε]-on H létezik (2) lim t c+ t f = htárérték, kkorzt z f improprius Riemnn-integráljánk véges (c, ]-n (A konvergenci illetve divergenci z el z ekhez nevezzük c f z definíció Ezért szerint + lim x α t + α + (tα+ ) = hα<,, α + dx = (divergens) + hα, + z Konvergens-e e αx dx improprius integrál, hol α R rögzített? hsonló) definíció Legyen <b +,f :], b [ R [x, y] ], b [ 3 korlátos és Riemnn-integrálhtó, továbbá = vgy intervllumon b (vgy mindkett ) vgy létezik ε>, hogy =+ nem korlátos z f ], + ε] [b ε, b intervllmon Akkor [ lim x + y b y x f = htárértéket (h létezik) f [, b ] feletti improprius Riemnnintegráljánk véges nevezzük b f =, b = +, hol z f : [, + [ R, f(x) = e αx Legyen bármely [, t] [, + [ intervllumon korlátosés Riemnn- függvény mert és folytonos, integrálhtó, t [ ] t e αx dx = α eαx = α (eαt, h ) α illetve Mivel lim t + eαt = t e x dx = t {,hα<, +,hα> dx = t és lim t =+, t + + Példák x α dx improprius integrál, hol α R rögzített? z Konvergens-e =, b = +, ekkor z f : [, + [ R, f(x) = x α Legyen bármely [, t] [, + [ intervllumon korlátos és Riemnn- függvény (hiszen és folytonos) integrálhtó [ ] t x α+ t = x α dx = α + α + (tα+, ),hα [ ] t ln α =lnt,hα = Továbbá lim t + tα+ = {,hα<, +,hα>, lim ln t =+ t + így tétel H z λ,λ 2 R, kkor b b b f, Bizonyítás Például + b e αx dx = α,hα<, +,hα g improprius Riemnn-integrálok konvergensek, (λ f + λ 2 g) is konvergens, és b (λ f + λ 2 g)=λ t b f + λ 2 g -re igz, mjd t b -vl jön z állítás

19 tétel Legyen f,g :[, b[ R, m f M, g, létezik tétel Legyen R, b R 3 b, < b, f : [, b[ Riemnnintegrálhtó R bármely [, c] [, b[ intervllumon, és d [, b[ H z b g, b fg IMPROPRIUS RIEMANN-INTEGRÁL 37 integrálok, improprius kkor b m g b b fg M g, b b fg = f(ξ) g illetve h f folytonos, úgy létezik ξ [, b[, hogy Bizonyítás A Riemnn-integrálr vontkozó tétel lpján b f improprius integrál konvergens, kkor z b d b f = f + f d d ff[, d] feletti Riemnn-integrálját, míg (hol d b d f is z, továbbá b ff[d, b[-re vló lesz kítésének improprius integrálját jelöli) x d x f(t)dt = f(x) dx + f(t)dt, d Bizonyítás Mivel x ] d, b [ -re ebb l következik z állítás

20 euklideszi terek, metrikus Vekotorterek, terek összefoglljuk zokt, többváltozós függvények vizsgáltánál Itt lineáris lgebri foglmkt és eredményeket, melyeket Diszk- fontos mtemtik tárgybn tnultk, tnulnk (vektortér, euklideszi tér, rét determinánsok) mátrixok, 3 fejezetben, de részben máshol is) kiegészítjük Ugynkkor(els sorbn ezeket zokkl z lpvet topológii foglmkkl és tételekkel, definíció Legyen dott egy V hlmz (elemeit vektoroknk nevezzük) Tegyük fel, hogy értelmezve vn két m velet: V, x +=x (nullelem létezése), 3) x V, x V, x +( x) = (inverzelem létezése), 4) x = x, 5) λ(μx) =(λμ)x, 6) definíció Egy V vektorteret, rjt egy skláris (vgy bels ) szorzttl, 3 bels szorzttérnek, vgy (néh csk vlós érték skláris szorzt definíció bels szorzttér, kkorz HV x vektorhosszán, vgy 4 V z x = x, x számot értjük normáján euklideszi Azonnl következik bból, hogy x 2 = x, x és kkorés csk ) =,hx = kkor 4 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 7) (λ + μ)x = λx + μx, λ(x + y) =λx + λy (disztributivitás) II fejezet definíció H V egy vektortér, kkor, : V V R függvényt vgy bels szorztnk nevezzük, h x, y, z V és λ, μ R skláris, esetén x, y = y, x, ) x + y, z = x, z + y, z, 2) λx, y = λ x, y, 3) 4) x, x, x, x = x = Bevezetés teljesül esetén) euklideszi térnek nevezünk egyrészt z R topológiájáról tnultk áltlánosítási, másrészt melyek fontos szerepet játsznk kés bbi tnulmányinkbn (kör- ugyncsk nyílt és zárt hlmzok, torlódási pont, kompkt és összefügg nyezet, hlmzok) tétel Az euklideszi normár teljesül: x, x = x =, x V, ) λx = λ x x V, λ R, 2) x, y 2 x 2 y 2, 3) x + y x + y x, y V 4) Vektortér, euklideszi tér és metrikus tér foglm Bizonyítás vektorok összedás, melyet x, y V -re x + y, sklárrl vló szorzás, melyet x V λ R esetén λx λx = λx, λx = λ 2 x, x = λ x, x = λ x 2) norm definícióját, bels szorzt és négyzetgyök (felhsználv jelöl V -t e két m velettel vektortérnek, (vgy lineáris térnek) nevezzük, tuljdonságit) h bármely x, y, z V, λ,μ R esetén x + y = y + x (kommuttivitás), ) x +(y + z) =(x + y)+z (sszocitivitás), 2) A 3) x + λy 2 = x + λy, x + λy = x, x +2λ x, y + λ 2 y, y = = λ 2 y 2 +2λ x, y + x 2 ( x, y V, λ R) 39

21 mondjuk, hogy d : V V R függvény távolság, vgy metrik zt -ben V kkor zt mondjuk, hogy d metrik X-en és X-et tuljdonságokkl, térnek nevezzük Jelölés: (X, d) metrikus Egyszer en beláthtó, hogy H X (H ) pontosn Megjegyzés h X r R, hogy d(x, ) <r x H esetén kkorkorlátos, számegyenes, melynek pontj (, ) döféspont, z egységet olyn úgy jelöljük ki, hogy onnn síkr pedig nézve z y-tengely pozitív 42 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK VEKTORTÉR, EUKLIDESZI TÉR ÉS METRIKUS TÉR FOGALMA 4 (és másodfokú függvény ismert tuljdonság) dj egyenl tlenség állítást, h y 2 >, hy =, úgy z állítás nyilvánvlón igz z x, =és =mitt y x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + y 2 +2 x, y 4) x 2 + y 2 +2 x, y x 2 + y 2 +2 x y =( x + y ) 2 és z egyenl tlenségek ismert tuljdonság dj z állítást definíció (X, d) metrikus tér Az X r (> ) sugrú 7 Legyen K(, r) = {x X d(x, ) <r} hlmzt gömbkörnyezetén nyílt értjük definíció (X, d) metrikus tér H X korlátos, hh = 8 Legyen H esetén r R, hogy x, y H-r d(x, y) r vgy dim H = sup{d(x, y) x, y H} számot H átmér jének Ekkor nevezzük Minden, z )-4) tuljdonságot teljesít : V R Megjegyzés normánk nevezünk V -n függvényt definíció H V bels szorzttér (vgy euklideszi tér) kkorz x, y 5 vektorok euklideszi távolságán V d(x, y) = x számot értjük és y Az R n euklideszi tér tétel A V -beli euklideszi távolságr teljesül: d(x, y), d(x, y) = x = y, x, y V, ) d(x, y) =d(y, x) x, y V, 2) d(x, z) d(x, y)+d(y, z) x, y, z V 3) Bizonyítás ) d(x, y) = x y, ésd(x, y) = =, h x = y; 2) d(x, y) = x y = (y x) = y x = d(y, x); 3) d(x, z) = x z = (x y)+(y z) x y + y z = = d(x, y)+d(y, z) definíció Legyen R = R, éshn már N-re R n kkor értelmezett, R n+ = R n R R n (x elemeit,,x n jelöljük és rendezett vlós )-nel n-eseknek nevezzük, hol szám (x,,x n )=(y,,y n ) x = y,,x n = y n x =(x H,,x n ) R n x, kkorz i x koordinátáink, R n -ket z vgy vektoroknk is nevezzük pontoknk, elemeit z R n n Szokásos = R R és zt is mondjuk, z jelölés is R n R n-szeres Descrtes-szorzt vett önmgávl definíció Legyen X egy nemüres hlmz H értelmezve vn egy 6 d : X X függvény z R d(x, y), d(x, y) = x = y, x, y X, ) d(x, y) =d(y, x) x, y X, 2) d(x, z) d(x, y)+d(y, z) x, y, z X 3) R 2 = R R egy modelljét (reprezentációját) már Klkulus Megjegyzés I V fejezetében megdtuk, mint síkbeli Descrtes-féle koordinátrendszert R 3 = R R egy modellje (reprezentációj) z lábbi módon R térbeli Descrtes-féle koordinátrendszer bevezetett dott síkbeli Descrtes-féle koordinátrendszer, úgy nnk H (, koordinátájú pontjábn állítsunk mer leges egyenest, mely egy ) R d(x, y) = x y, míg V euklideszi tér d(x, y) = Megjegyzés x metrikávl metrikus tér y vihet át z x-tengelybe Az új tengelyt z-tengelynek is nevezhetjük forgássl

22 térpontj vlós számhármsokkl, R 3 elemivel jellemezhet k, Ekkor és fordítv tétel R n most értelmezett két m velettel vektortér (vgy lineáris tér) definiált norm, illetvetávolság (metrik) teljesíti norm, illetve szerint tuljdonságit metrik z P (x, y, z) A )-4) ellen rzésével Bizonyítás bels szorzt tuljdonságánk x =(x 3 tétel H,,x n ), y =(y,,y n ) R n, kkor z x = x, x = n x 2 i, d(x, y) = x y = n (x i y i ) 2 illetve AZ R n EUKLIDESZI TÉR II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK y Bizonyítás Egyszer (feldt) x P (x, y) z (x, y, z) R 3 rendezett számhármsokt bijektíven Atérpontjihoz lehet hozzárendelni úgy, hogyegyp ponthoz rendelt z koordinát -b l P tengelyre bocsájtott mer leges tlppontjánk megfelel szám z z számegyenesen, míg h P P pont mer leges vetülete síkr, úgy és x y P síkbeli Descrtes-féle koordinátrendszerben koordinátái Megjegyzések A, 3 tételben definiált skláris (bels ) szorzttl, normávl, il- távolsággl (metrikávl) R n euklideszi tér, euklideszi normávl letve metrikávl (R n,d)-t n-dimenziós euklideszi térnek is nevezik és H =, úgy n d(x, y) = x y (x, y távolsággl R) (R,d)= tér, hiszen (R,d) teljesíti metrik 3 tuljdonságát metrikus d Az R n pont (vektor) r sugrú nyílt gömbkörnyezete 3 K(, r) = {x R n d(x, ) <r} hlmz, hol d z R n -beli euklideszi távolság definíció Legyen dott z R n hlmz és értelmezzük benne z összedás és sklárrl vló szorzás m veletét x + y =(x + y,,x n + y n ), illetve λx =(λx,,λx n ) szerint, h x =(x,,x n ), y =(y,,y n ) R n λ R Akorlátosság és z átmér foglm (R n,d)-ben ugynz mint (X, d)- 4 ben továbbá, hogy H (R n,d) korlátos, h r R, H Igz (zz K(,r) x <r x H) 3 R n topológiáj A )-7) tuljdonsági egyszer en ellen rizhet k Bizonyítás vektortér =(,, n ) Anullelem: tétel H x =(x,,x n ), y =(y,,y n ) R n,úgy x, y = x y + + x n y n Az (R n,d) metrikus térben egy R n vektor, pont vgy elem r> sugrú nyílt gömbkörnyezetén K(, r) ={x R n d(x, ) <r} értettük, hlmzt hol d(x, ) = n (x i i ) 2 R n -beli metrik szerepel H szükséges megkülönböztetés, kkorszokás skláris (vgy bels ) szorzt R n -ben jelölés is z R n -beli távolságr (metrikár) d R n

23 definíció Legyen dott E (R n,d) hlmz Azt mondjuk, hogy x E bels pontj E-nek, h K(x, r), hogy K(x, r) E; x R n htárpontj E-nek, h nem bels és nem küls pontj K(x, r)-re K(x, r) E K(x, r) CE ) (zz bels pontok hlmzát E belsejének, htárpontok hlmzát E htáránk A nevezzük definíció Az E (R n,d) hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden bels pont; zártnk nevezzük, h CE nyílt pontj tétel Az (R n,d) metrikus térben igzk következ k: R n nyílt hlmzok, ) nyílt hlmzok egyesítése nyílt, 2) véges sok nyílt hlmz metszete nyílt, 3) R n zárt hlmzok, ) zárt hlmzok metszete zárt, 2) definíció Legyen dott E (R n,d) Az x 3 R n z E hlmz,r) (R n környezet pontot torlódási pontjánk nevezzük, h K(x -beli) Példák Az E = {( n, ) n N} R2 hlmznk (, ) pont torlódási tétel Az E (R n,d) kkor és csk kkor zárt, h E E (zz minden torlódási pontját) trtlmzz tétel (Bolzno-Weierstrss) Bármely S R n korlátos végtelen 3 létezik torlódási pontj hlmznk definíció A K R n hlmz kompkt, h minden nyílt lefedéséb l 5 véges sok hlmz, mely lefedi K-t kiválszthtó dott nyílt lefedés mrdék hlmzi már nem fedik le el bbiekben így közülük véges sok sem fedheti le E-t, 46 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 3 R n TOPOLÓGIÁJA 45 x R n küls pontj E-nek, h bels pontj CE-nek K(x, r), K(x, r) E = ); (zz x trtlmz különböz E-beli pontot, zz (K(x -tól,r)\{x }) E torlódási pontjink hlmzát szokás E E jelölni -vel x izolált pontj E-nek, h nem torlódási pontj, zz E K(x,r), hogy (K(x,r)\{x }) E = Legyen E =], [ ], [ R 2 Péld ( 2, 2 ) K(( 2, 2 ), 4 ) ( 2, 2 ) 4 pont bels pontj E-nek, mert K(( 2, 2 ), 4 ) ], [ ], például (z környezete) teljesíti, hogy [ sugrú (3, ) K((3, ), ) E mitt = K((3, ), ) küls pontj E-nek, mert C R (3, 2E, zz ) C bels pontj R 2E-nek (, ) esetén r > K((, ), (hiszen, ) / ),r), r) htárpontj E-nek, mert E ( + r 2, ) K((, ( + r 2 E) mitt nem bels és K((, ),r) CE ( r de mitt nem küls pontj E-nek 2, ) E) (hiszen ((, ) / E), mert K((, ),r)-ben vn eleme E-nek, hiszen pontj r>-r mert felülr l nem korlátos N n N, hogy n> r, < n <r,így(, n ) K((, ),r) zz Az E = N N = {(n, n) n N} R 2 hlmz minden pontj izolált mert n N-re (K((n, n), ) \ (n, n)) E = pont, definíció Nyílt hlmzok egy {o 4 ν rendszere z } S R n hlmznk nyílt lefedése, h S egy o ν ν Példák E =], [ ], [ R nyílt hlmz, mert (x, y) E esetén, h r =min{x, x, y, y}, kkor K((x, y),r) E E =[, + [ ], zárt hlmz, mert + [ (x, y) esetén, CE h r = x x 2 K((x, y), 2 ) CE, zz (x, küls pont y),kkor ésígyce Az E = N N R 2 {K((n, n), ) n N} hlmzrendszer egy Péld hlmznk nyílt lefedése, mert bármely n N-re (n, n) K((n, n), ), (n, n) K((i, ), zz i), E K((i, ) i), így nyílt, tehát E zárt Példák E = N N nem kompkt, mert bármely K((n, n), ) elhgyásávl z illetve K = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} kompkt hlmz, mert K bármely o lefedése esetén K o mitt létezik o nyílt,o 2,o 3,o 4 hlmzok nyílt o-ból, hogy (i, i) o i (i =, 2, 3, 4), így K 4 o i, zz bármely o-ból kiválszthtó véges lefedés 3) véges sok zárt hlmz egyesítése zárt

24 tétel (Heine-Borel) Egy K R n hlmz kkor és csk kkor 4 h korlátos és zárt kompkt, Példák A K = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} hlmz kompkt, mert korlátos el z ekben definiáltuk vektorteret, skláris szorztot, vektorok Az euklideszi normáját, vektorok euklideszi távolságát, illetve ezekhez nevezzük H n = m, kkornégyzetes (kvdrtikus) mátrixról elemeinek beszélünk n m típusú mátrixbn számokt n sorb és m oszlopb helyeztük Az el Azt tényt, hogy egy szám z A mátrix i-edik sorábn és mátrix zonos típusú, h sorik és oszlopik szám is megegyezik Két z A sori, A sori A oszlopi) oszlopi H A kvdtrtikus mátrix, kkorz 3,, nn A f di- számok lkotják gonálisát H kvdrtikus mátrix f digonálisábn csup áll, többi eleme 4 mátrix n m-es mátrixok e két m veletre nézve vektorteret lkotnk Az 48 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 4 TOVÁBBI LINEÁRIS ALGEBRAI EL ISMERETEK 47 oszlopábn vn z indexei fejezik ki, így j-edik ij (z els sor-, jelöli második z oszolpindex) K K((, ), )) és zárt (mert nincs torlódási pontj) (például E = N N nem kompkt, mert nem korlátos, ugynis d((, ), (n, n)) = (n ) és 2 felülr l nem korlátosság mitt nem létezik r>, N hogy d((i, i), (j, j)) <rteljesülne bármely i, j N-re definíció Az (X, d) metrikus tér összefügg, h nem létezik X-nek 6 nemüres o olyn,o 2 részhlmz, hogy o nyílt o 2 = és o o 2 X = mátrix egyenl, h zonos típusúk és z egymásnk megfelel Két lév elemeik egyenl ek helyen Megjegyzések Az A = H ( ) X összefügg X-ben h (H, d) összefügg metrikus tér A d metrik H H-r vló lesz kítését is d-vel jelöljük, és (H, d) vlóbn (A metrikus tér) 5 tétel (R n,d) összefügg Az n A = m nm (A mátrixot null-mátrixnk nevezzük (zz, h ij =) mátrixot z A mátrix trnszponált mátrixánk nevezzük 4 További lineáris lgebri el ismeretek speciálisn z R n euklideszi teret kpcsolódv, következ kben lineáris lgebr néhány olyn ( Diszkrét m- A cím tárgybn részletesen is vizsgált) foglmát vezetjük be, temtik kés bbiekben szükségünk le melyekre definíció egy szám n-szer m m A = =( ij ) n m n nm lkú elrendezését n m-es mátrixnk, z ij null, egységmátrixról pedig beszélünk: kkor E = definíció H A =( ij ) n m, B =(b ij ) n m mátrixok, kkor dott összege z Cn n-es mátrix, melyre zok C = A + B =( ij + b ij ) n m =(c ij ) n m A =( Az ij ) n m λ R sklárrl vló szorzt mátrix λa =(λ ij ) n m számokt mátrix

25 úgy inverze is z és (A ) = A H A és B invertálhtó, invertálhtó, (AB) = B A H A invertálhtó, úgy (A ) =(A ) kkor 5 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 4 TOVÁBBI LINEÁRIS ALGEBRAI EL ISMERETEK 49 H Péld A = kkor ( ) 3 4, B = 2 2 ( ) 3, λ =5, 3 2 ( ) ( ) A + B = =, ( ) ( ) A = = és (x,,x n ) x x n egyértelm megfeleltetések lineáris izomorfiát dnk R n vlmint kölcsönösen z n, illetve n típusú mátrixok vektorterei között A R n elemeit, h mást nem mondunk, oszlopmátrixokkl következ kben reprezentáljuk definíció A =( 3 Az ik ) n m B =(b és kj ) m p mátrixok szorzt Cn p típusú mátrix, melyben z m c ij = ik b kj, zz k= A B = C =(c ij ) n p ( m ) = ik b kj k= n p definíció Az A kvdrtikus mátrix invertálhtó, h létezik olyn 4 mátrix, melyre X AX = XA= E An n típusú, kkorlétezik n n típusú egységmátrix) X-et z (h inverz mátrixánk nevezzük A tétel H A invertálhtó, kkor csk egy inverze vn (H A invertálhtó, úgy inverzét A jelöli, erre AA = A A = E teljesül) H A Péld H A = ( ) 2 3, B = 2 2, definíció Egy A =( 5 ij ) n n mátrixhoz rendeljünk hozzá kvdrtikus vlós számot úgy, hogy: egy kkor A B = ( ) = ( ) minden sorból kiválsztunk pontosn egy elemet úgy, hogy minden is ki legyen válsztv pontosn egy elem, oszlopból ezen elemeket összeszorozzuk és pozitív vgy negtív el jellel látjuk el szerint, hogy kiválsztott elemek (mennyiben sorindexeik tétel A mátrixszorzás fontosbb tuljdonsági: A (B C) =(A B) C, A (B + C) =A B + A C, (A + B) C = A C + B C, (λa) B = λ(a B) =A (λb), (áltlábn: A B B A) Az n típusú mátrixot sormátrixnk, míg z n Megjegyzés oszlopmátrixnk nevezzük Az típusút (x,,x n ) (x x n ) sorrendben vnnk) oszlopindexeinek permutációjábn természetes inverziók (felcserélt elemek) szám páros vgy pártln z tgokt minden lehetséges módon képezve összedjuk így kpott D számot z ( Az ij ) n n determinánsánk nevezzük mátrix és jelöljük (n-edrend determináns) n D = = A n nn

26 Egy determináns 3 ik trtozó djungált lgebri ldeterminánson ik n -edrend determinánst értjük, mely z eleméhez zt z A z i-edik sor és k-dik oszlop elhgyásávl dódik, ellátv eredetib l ( ) i+k el jellel tétel Egy A =( 3 ij ) n n determináns rendelkezik z lábbi mátrix tuljdonságokkl: Értéke nem változik, h egyik sorához hozzádjuk egy máik sorát, 6 nnk többszörösét vgy 52 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 4 TOVÁBBI LINEÁRIS ALGEBRAI EL ISMERETEK 5 Példák D = k,,k n ( ) I k nkn, hol I k,,k n permutációbn lév inverziók szám Az összeg n! tgot trtlmz A lpján definíció = 2 2 2, 3 n n n i + b i in + b in = i in + b i b in n nn n nn n nn továbbá = ( ) H két sorát felcseréljük értéke ( )-szeresére változik 4 H két sor megegyezik, értéke 5 Értéke változik, h sorit és oszolpit felcseréljük 7 nem D = n 8 ik A ik tétel) (kifejtési k= Mindezek megfoglmzhtók sorok helyett oszlopokr is Például esetén determináns A 2 =( ) = (2 5 4) = 6 H sorábn csup vn, D (oszlopábn) kkor vlmelyik = n n λ i λ in = λ n nn n nn Péld A 3 2 D = kiszámításánál célszer z utolsó oszlop szerinti kifejéssel determináns mert kkor csk két 3 3-s determinánst kell kiszámolni, dolgozni, mert D = ( ) ( ) ( ) ( ) = tétel (determinánsok szorzástétele) Két ugynolyn rend kvdrtikus 4 mátrix determinánsánk szorzt egyenl szorztmátrix determinánsávl: A B = A B Bizonyítás A definíció lpján

27 tétel H z A kvdrtikus mátrix invetálhtó, kkor determináns 5 (zz A reguláris mátrix) nem tétel H A olyn kvdrtikus mátrix, hogy A (zz A reguláris), 6 kkor A invertálhtó és A inverzére: hol A teljesül, ji A =( z ji ) n n mátrix ij trtozó djungált eleméhez ldetermináns lgebri definíció Az A : R n R m leképezést (trnszformációt) lineárisnk 6 nevezzük, h teljesül A : R n R m lineáris leképezések összességét szokás L(R n, R m )- Az értelmezett leképezés (trnszformáció) A : R n R m típusú lineáris szerint leképezés (trnszformáció) Bizonyítás Megtlálhtó Diszkrét mtemtik jegyzetben és AA = ( ) 54 II VEKOTORTEREK, EUKLIDESZI TEREK, METRIKUS TEREK 4 TOVÁBBI LINEÁRIS ALGEBRAI EL ISMERETEK 53 vlóbn teljesül Bizonyítás A invertálhtó, így létezik z A inverze, melyre A A = Így szorzástétel mitt E = E = A A = A A, mib l A következik A(x + y) =A(x)+A(y), x, y R n, A(λx) =λa(x), x R n, λ R A = A A A 2 A n A 2 A 22 A n2 = A (A ji) n n mel jelölni Legyen Am n-es mátrix, úgy z Megjegyzés A(x) = A x (x R n ) A n A 2n A nn Könnyen beláthtó, hogy Bizonyítás js A is = δ ij A hol, δ ij = s= már Ezután AA = A ij A kj j= n n {,j= i,,j i = A (δ ik A ) =(δ ik ) n n = E zz A A következik, z inverze ( ) 2 Legyen, A kkor = A =, így létezik 2 A 3 4 Péld és A =( ) + 4=4, A 2 =( ) 2+ 2= 2, A 2 =( ) +2 3= 4, A 22 =( ) 2+2 =mitt A = ( ) ( ) = , 2 bármely A : R n R m lineáris leképezés Másrészt A(x) =A x (x R n, A n-es m mátrix) írhtó lkb bármely A : R n R m lineáris leképezés zonosíthtó egy Am n-es Így mátrixszl definíció H A L(R n, R m ), kkorz 7 A = sup { Ax } x számot z A lineáris leképezés normájánk nevezzük tétel A norm fontosbb tuljdonsági: 7 Ax A x ; A < + ; A + B A + B ; λa = λ A ; BA B A ; (A L(R n, R m ), B L(R m, R k ))

28 definíció Egy f : N R k függvényt R k -beli soroztnk nevezünk n,x n más) jelöli A sorozt A sorozt n-edik elemét f(n), (vgy Megjegyzések Akörnyezet foglmát felhsználv konvergenci ún környezetes" tétel ( htárérték egyértelm sége) H x n R k konvergens -beli kkor egy htárértéke vn (zz x sorozt, n és x n b = b) = tétel (konvergenci és korlátosság) H z x n (R k sorozt -beli) kkor korlátos konvergens, 56 III SOROZATOK R k -BAN III fejezet Soroztok R k -bn fejezet foglmi és eredményei szoros nlógiát muttnk számsoroztoknál A tnultkkl (lásd Klkulus I III fejezet) definíció Az x 3 (konvergenci) n R k konvergens, -beli sorozt x R k hogy ε>esetén n(ε) N, hogy n n(ε)-r h, d(x, x n )= x x n Az x R k (vektort, elemet) számot <εteljesül x n nevezzük Azt, hogy x htárértékének n és htárértéke konvergens jelöljük: lim x x, n = x vgy x így n x n Péld Az ( n, ) R 2 -beli sorozt konvergens és htárértéke (, ) R 2 Ekkorzt kell megmuttni, hogy bármely ε>-hoz létezik n(ε) N, bármely n n(ε) hogy (n esetén N) (( ) ) ( ) 2 d R 2 n,, (, ) = n +( ) 2 = n <ε Ez pedig igz z n vlós számsorozt konvergenciáj mitt Alpfoglmk és kpcsoltuk hlmzár { elemeinek z n } {x vgy n más) jelölést hsználunk } (vgy soroztot z f = Mgát n f =,vgy x n más) szimbólumml (vgy kpjuk: z x definícióját n sorozt konvergens, h x R k hogy, ε)-hoz K(x, n(ε) N, hogy n n(ε)-r x n K(x, teljesül ε) Egyszer en beláthtó, hogy x n x ε)-re K(x, x n K(x, ε) véges sok n N kivételével legfeljebb ( n, + ) ( 2 Péld Az n R 2 tgj n, + n) {( 2, z -beli sorozt, n-edik n, + n) 2 hlmz elemeinek n N } definíció (korlátosság) Az x n R k sorozt korlátos, h {x -beli n } korlátos definíció (divergenci) Az x 4 n R k sorozt divergens, h nem -beli zz h x esetén ε>( K(x, ε)), hogy n(ε) N-re konvergens, n n(ε), hogyd(x, x n ) ε ( x n / ε)) K(x, Az (n, ) R 2 -beli sorozt divergens, h megmuttjuk, hogy Péld (x, y) R 2 esetén létezik K((x, y),ε), hogy bármely n(ε) N- bármely jelöljük ( n, + n) 2 Péld Az R 2 korlátos, mert elemeinek {( -beli sorozt n, + ) } 2 n n N A II 4 megjegyzés mitt korlátos hlmz megmuttni, létezik r hogy bármely > n N-re elegend hogy, ( ( d R 2 (, ), n, + 2 )) ( = n n n) 2 2 n2 +4n +5 = n 2 <r létezik n hogy(n, ) y),ε) re / K((x, n(ε), ( (x, y) R 2, kkornyilván y ε = y 2 K (x, y), y 2 -re hogy, H ) nem egyetlen elemet sem (,n) soroztból (mert környezet és trtlmz x-tengely metszete üres) z H (x, y) =(x, ), kkor ε =esetén n x +-re (n, ) / K((x, ), ) n2 +4n +5 2n2 +8n +8 n 2 < n 2 = 2 n , n Bizonyítás Lásd Klkulus I, III, tétel bizonyítás Mivel egyszer en beláthtó bármely n N-re, így r =3 2 jó lesz 55