Slovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta

Transcript

1 Slovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta Matematika I. Zbierka úloh ku cvičeniam Jozef Kollár Bratislava 04

2

3 Slovenská Technická Univerzita Stavebná fakulta Matematika I. Zbierka úloh ku cvičeniam Jozef Kollár Bratislava 04

4 Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autora alebo nakladateľstva. c Mgr. Jozef Kollár Recenzenti: Doc. RNDr. Michal Šabo, Csc. Doc. RNDr. Oľga Nánásiová, PhD. ISBN Mgr. Jozef Kollár Matematika I. Zbierka úloh ku cvičeniam Vydala Slovenská technická univerzita v Bratislave v Nakladateľstve STU, Bratislava, Vazovova 5, v roku 04 Edícia skrípt Rozsah 63 strán, 43 obrázkov,. vydanie, vydané v elektronickej forme; umiestnenie na ISBN

5 Obsah Úvod Sylabus predmetu Matematika 4 Opakovanie stredoškolského učiva.cvičenie Výsledky... 8 Gaussova eliminačná metóda 3.cvičenie Výsledky Násobenie matíc, inverzné matice 37 3.cvičenie Výsledky Determinanty a ich aplikácie 49 4.cvičenie Výsledky Hodnosť, regularita a singularita matíc, sústavy lineárnych rovníc s parametrom 59 5.cvičenie Výsledky Funkcia jednej premennej a jej základné vlastnosti 67 6.cvičenie Výsledky Limity postupností a funkcií 79 7.cvičenie Výsledky... 86

6 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 8 Asymptoty ku grafu funkcie 9 8.cvičenie Výsledky Derivácie a ich geometrické aplikácie 95 9.cvičenie Výsledky L Hospitalovo pravidlo, diferenciál funkcie, Taylorov polynóm 03 0.cvičenie Výsledky Monotónnosť, extrémy, konvexnosť a konkávnosť funkcie 3.cvičenie Výsledky....8 Vyšetrovanie priebehu funkcie 9.cvičenie Výsledky....3 Použitá literatúra 6

7 Úvod Tieto skriptá vznikly ako pomôcka predovšetkým pre študentov, ale aj pre cvičiacich predmetu Matematika. Po dlhoročných skúsenostiach s výučbou tohto predmetu a skúsenostiach s úpadkom výučby matematiky na základných a stredných školách som dospel k názoru, že našim študentom chýba predovšetkým prax v riešení úloh. Pasívne počúvanie prednášok túto prax nahradiť nemôže a venovanie sa úloham len počas cvičení je nepostačujúce. Preto bolo mojou snahou zostaviť ku každému cvičeniu čo najväčší počet úloh aj s výsledkami, aby si študenti mohli sami precvičiť riešenieúlohaoveriťsidoakejmieryzvládliteóriu.skriptávžiadnomprípade nemajú za cieľ slúžiť ako učebnica spomenutého predmetu a náhrada prednášok. Ich cieľom je slúžiť ako zbierka príkladov s výsledkami ku cvičeniam. Preto jednotlivé kapitoly skrípt neobsahujú buď žiadnu teóriu, alebo len jej minimum bezprostredne potrebné pri riešení úloh príslušnej kapitoly. Na zvládnutie teoretickej časti učiva je potrebná návšteva prednášok a okrem toho existuje viacero učebníc, z ktorých najdôležitejšie sú uvedené vzoznameliteratúry.skriptá[]a[]súdokoncaprezáujemcovvoľnealegálne dostupné na webe našej katedry. Dajú sa nájsť napríklad na adrese: Skriptá sú rozdelené na kapitoly takmer presne kopírujúce aktuálne platný sylabus predmetu, takže každá kapitola zodpovedá jednému cvičeniu. Jediné odchýlkyodsylabusúvkapitolách7.a8.do7.kapitoly,t.j.aj7.cvičenia semestra, som spolu s limitami postupností zahrnul aj limity funkcií. Túto zmenusomvykonalztohodôvodu,žepreuvedenéfunkciesaichlimitypočítajú v podstate rovnakým spôsobom ako limity uvedených postupností. Nemá preto zmysel rozdeľovať to na dve samostatné cvičenia. Vďaka tejto zmene je potom možné 8. cvičenie venovať hľadaniu asymptot ku grafom 3

8 4 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS funkcií, čo je v tomto predmete najdôležitejšia aplikácia limít. Príklady uvedené v skriptách som dával dokopy v priebehu zimného semestra 03/4. Menšia časť príkladov je moja vlastná, väčšiu časť príkladov som, čiastočne s drobnými zmenami, prevzal z iných zbierok a učebníc. Všetkyvýsledkykpríkladomsúmojevlastné.Pretoaksavskriptáchnachádzajú nejaké chyby alebo preklepy, tak tieto idú na moje konto. Aktuálne príklady k jednotlivým cvičeniam sa dajú nájsť na mojej domovskej stránke: V týchto príkladoch sú opravené všetky mne známe chyby a postupne tam budú pridávané aj ďalšie príklady. Rovnako sa na mojej webovej stránke sa nachádza aj kompletná PDF verzia týchto skrípt. Táto kompletná verzia nie je aktualizovaná priebežne, ale bude aktualizovaná až keď sa nazbiera väčší počet opráv a pridaných úloh. V Bratislave, Jozef Kollár

9 Sylabus predmetu Matematika preodboryapsatms Predmet Matematika sa vyučuje počas zimného semestra, v. semestri štúdia,atuuvedenýsylabusjeplatnývškolskomroku03/4.výukaje rozvrhnutá na 3 týždňov, pričom na prvom cvičení sa opakuje stredoškolské učivo a na poslednom cvičení sa opakuje učivo z celého semestra. Okrem toho je semester rozdelený na dve časti: prvá časť semestra je venovaná lineárnej algebre a druhá časť semestra matematickej analýze. Lineárna algebra. týždeň: Lineárna algebra a opakovanie analytickej geometrie v rovine Vektory: dĺžka vektora, skalárny násobok vektora, jednotkový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, skalárny súčin vektorov, uhol dvoch vektorov. Rovnice priamky v rovine a ich vzájomná poloha: rovnica priamky v smernicovom tvare, rovnica priamky vo všeobecnom tvare, rovnica priamky v úsekovom tvare, rovnica priamky v parametrickom tvare. Smerové a normálové vektory priamky: uhol dvoch priamok, podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok, vzdialenosť bodu od priamky. 5

10 6 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS. týždeň: Gaussova eliminačná metóda Sústavy lineárnych rovníc a matice. Zápis a riešenie sústavy m-lineárnych rovníc o n-neznámych pomocou matíc: matica a rozšírená matica sústavy, elementárne riadkové operácie, ekvivalentné matice, Gaussova eliminačná metóda, trojuholníkova matica, Gaussov tvar matice, hodnosť matice. Frobeniova veta. 3. týždeň: Operácie s maticami Matice: typ matice, súčet a rozdiel dvoch matíc, štvorcová matica, jednotková matica, skalárny násobok matice, súčin dvoch matíc, definícia inverznej matice, výpočet inverznej matice pomocou elementárnych riadkových úprav. Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice. Maticové rovnice. 4. týždeň: Determinanty Determinant štvorcovej matice: Determinant matice typu x a 3x3, Sarusovo pravidlo, rozvoj determinantu podľa riadka alebo stĺpca, determinant a elementárne riadkové operácie, determinant súčinu matíc, determinant inverznej matice. Použitie determinantov na riešenie sústav lineárnych rovníc: Cramerovo pravidlo. 5. týždeň: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov Definícia lineárnej závislosti vektorov. Hodnosť matice. Regulárne a singulárne matice a hodnosť matice. Riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrom.

11 Sylabus predmetu Matematika 7 Matematická analýza 6. týždeň: Pojem funkcie a jej základné vlasnosti Definícia a základné vlastnosti funkcie: Definícia funcie, definičný obor, obor hodnôt, zhora ohraničená funkcia, zdola ohraničená funkcia, ohraničená funkcia, párna funkcia, nepárna funkcia, rastúca funkcia, klesajúca funkcia, periodická funkcia. Elementárne funkcie a ich grafy: y= ax+b, y= ax +bx+c, y=, y=sinx, y=cosx, x y=tgx, y=cotgx, y= e x, y= a x 0 < a <,a > y=lnx, y=log a x0 < a <,a >,... Základné operácie s funkciami: súčet, rozdiel, súčin, podiel dvoch funkcií, násobenie funkcie číslom, zložená funkcia skladanie funkcií, prostá funkcia, inverzná funkcia. 7. týždeň: Postupnosti a limity postupností Rozšíreniereálnejosiosymboly a apočítaniena rozšírenej reálnej osi. Definícia okolia bodu. Definícia postupnosti. Definícia limity postupnosti. Základné vlastnosti limít postupnosti a ich počítanie: limita súčtu, rozdielu, súčinu, podielu dvoch postupností, špeciálne limity tvaru: lim + n, lim n n n + k n n

12 8 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 8. týždeň: Limita funkcie a spojitosť Definícia limity funkcie. Základné vlastnosti limity funkcie a ich počítanie: limita súčtu, rozdielu, súčinu, podielu dvoch funkcií, limita zloženej funkcie. Spojitosť funkcie. Vlastnosti spojitej funkcie na uzavretom intervale. 9. týždeň: Definícia derivácie funkcie Definícia derivácie a jej geometrický a fyzikálny význam: Rovnicadotyčniceanormálykugrafufunkcievbode. Základné pravidlá počítania derivácií: derivácia násobku funkcie konštantou, derivácia súčtu, rozdielu, sučinu, podielu dvoch funkcií, derivácia zloženej funkcie. L Hospitalovo pravidlo. Asymptoty grafu funkcie: Asymptoty bez smernice, asymptoty so smernicou. 0. týždeň: Diferenciál funkcie Približný výpočet pomocou diferenciálu. Derivácie vyšších rádov. Taylorov polynóm a Maclaurinov polynóm. Rozvojfunkcií: y= e x, y=sinx, y=cosx, y=lnx+.. týždeň: Využitie derivácií Vyšetrovanie monotónnosti pomocou derivácií: definícia rastúcej a klesajúcej funkcie, súvis medzi rastúcou a klesajúcou funkciou a prvou deriváciou. Lokálne extrémy: definícia lokálného maxima a minima, nutná podmienka existencie lokálného extrému, hľadanie lokálnych extrémov pomocou prvej derivácie, hľadanie lokálnych extrémov pomocou druhej derivácie.

13 Sylabus predmetu Matematika 9 Globálne extrémy spojitej funkcie na uzavretom intervale: hľadanie globálnych extrémov spojitej funkcie na uzavretom intervale pomocou prvej derivácie. Vyšetrovanie konvexnosti a konkávnosti pomocou derivácií: definícia konvexnej a konkávnej funkcie, súvis medzi konkávnou a konvexnou funkciou a druhou deriváciou.. týždeň: Vyšetrovanie priebehu funkcie Využitie všetkých vlastností funkcie a jej asymptôt na načrtnutie jej grafu. 3. týždeň: Opakovanie učiva

14 0 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS

15 Opakovanie stredoškolského učiva Na tomto cvičení sa bude opakovať učivo strednej školy. Pôjde o riešenie sústav lineárnych rovníc o dvoch neznámych a o základy analytickej geometrie, t.j. rôzne analytické vyjadrenia priamky v rovinevšeobecné, smernicové, parametrické, úsekové. Sústavy lineárnych rovníc o dvoch neznámych I. Riešte sústavy rovníc o dvoch neznámych Nasledovné sústavy môžte riešiť akýmkoľkovek spôsobom, čiže aj vyjadrením premennej z jednej rovnice a dosadením do druhej. Samozrejme môžte použiť aj sofistikovanejšie metódy, ale musíte ich vedieť zdôvodniť a vysvetliť x 4x = 8 3x + x = 5 3x x = 9 x + 6x = x 4x = 6 x x = 5 40x + x = 7 5x + 3x = x x = 3 x x = 0 4x 5x = 6 40x + 54x = 0x + 8x =

16 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x + 30x = 4x + 5x = 5 x x = 5 3x + 6x = x 3x +6 = 0 4x + x = 0 x + 3x = 7 6x 9x = x x = 7x + 9x = x x = 5 4x x = x + 4x = x 3x = 7 x x = 3 3x 6x =. 8. x + x = 4 x + 4x = 8 x + 7x = 5 x 4x = x 6x = 9 x x = 3 x 5x = 6x 5x = x + 3x = x 6x = 4 x + x = x + x = 8 6x + 3x = 3 Priamka v rovine Priamku v rovine možno analyticky vyjadriť viacerými spôsobmi:. Všeobecný tvar priamky v rovine: ax+by+c=0, kde a,b,c Ê

17 . cvičenie Zadania 3 Obr..:Priamka y=x+4 Zo všeobecného tvaru priamky v rovine ihneď vidíme normálový vektor priamky n=a,baztohoajjejsmerovývektor s= b,aalebo s =b, a. Vprípade,že b=0,dostávamerovnicupriamkyvtvare x=c,kde c Ê.Takátopriamkasanazývapriamkabezsmernice.. Smernicový tvar priamky v rovine: y= kx+q, kde k,q Ê Smernicový tvar môžme zo všeobecneho tvaru priamky dostať jednoducho, vyjadrením premennej y zo všeobecnej rovnice priamky. Číslo ksanazývasmernicaajeurčenéuhlom,ktorýzvierapriamkasosou o x.platí k=tgαviďobrázoknastrane3.číslo qje posunutie priamkynaosi o y,čižeúsek,ktorýpriamkavytínanatejtoosi. 3. Úsekový tvar priamky v rovine: x p + y q =, kde p,q Ê Úsekový tvar rovnice priamky dostaneme zo všeobecného alebo smernicového tvaru jednoduchou úpravou tak, že na pravej strane rovnice

18 4 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS budeanaľavejstranedvazlomky,ktorémajúvčitateľoch x,resp. y.čísla paqsanazývajú úseky.predstavujúdĺžkuúsekov,ktoré priamka vytína na osiach. Pokiaľ sú tieto úseky vľavo, alebo pod počiatkom súradníc, tak príslušné čísla budú záporné. Napríklad na obrázku nastrane3je p= aq=4. 4. Parametrický tvar priamky: x = x 0 +u.t y = y 0 +u.t, kde A=[x 0,y 0 ]jebod,ktorýmpriamkaprechádza, u=u,u je smerovývektorpriamkyat Ê. II. Zapíšte priamku prechádzajúcu bodmi A a B vo všeobecnom, smernicovom, parametrickom a úsekovom tvare:. A=[, 3]aB=[,] 7. A=[3,7]aB=[,6]. A=[,7]aB=[5,3] 3. A=[,]aB=[7,9] 4. A=[3,5]aB=[, ] 5. A=[,3]aB=[,4] 6. A=[,0]aB=[0,4] 8. A=[,5]aB=[ 3,3] 9. A=[,]aB=[, 5] 0. A=[3, ]ab=[5, 7]. A=[3,]aB=[4,]. A=[,5]aB=[6,4] III.Danýjebod Aapriamka q.napíšterovnicepriamok pap tak, aby obe prechádzali bodom A, priamka p bola rovnobežná spriamkou qapriamka p bolakolmánapriamku q:. A=[3,7] q:x y+3=0 6. A=[ 3,0] q:3x y 5=0. A=[,3] q: x 5y+=0 3. A=[,5] q:3x+y 7=0 4. A=[ 5,] q:x+5y =0 5. A=[5,] q: y=5x+6 7. A=[,4] q:[x,y]=[5+t,3 t] 8. A=[,] q: y=x+5 9. A=[, 3,] q: y= 3x 4 0. A=[ 3, 5] q: y=5x

19 . cvičenie Zadania 5. A=[5,6] q: y= x+3. A=[4,] q:3x+5y+4=0 3. A=[,4] q:x+3y 3=0 4. A=[3,] q:[x,y]=[4 t, +t] IV.Nájditeparameter ptak,abypriamky uavboli a rovnobežné, b kolmé:. u:x+py+5=0 v:x y+3=0. u:px 3y+=0 v:3x+7y 5=0 3. u:3x+py 3=0 v:4x y+5=0 4. u:x py+7=0 v:5x+y 3=0 5. u:px+y 7=0 v:4x+7y 6=0 6. u:x py =0 v:5x 4y+=0 7. u:px 4y+9=0 v: x+3y 4=0 8. u:px+5y =0 v:x 5y+4=0 V.Priamka pvytínanaosi o y úsek v.akúmusímaťtátopriamka smernicu, aby prechádzala bodom C?. v= a C=[,] 7. v= 3 5 a C=[3,9]. v= 9a C=[,7] 3 3. v= 5a C=[,] 6 4. v= a C=[3,5] 4 5. v=5ac=[4,] 6. v=4ac=[3,0] 8. v=6ac=[,4] 9. v= ac=[6, ] 0. v= a C=[ 3,3]. v= ac=[, ]. v= a C=[0,6] VI. Daný je bod A a číslo k. Zapíšte rovnice priamky p, ktorá prechádzabodom Aamásmernicu kapriamky q,ktoráprechádza bodom Aajekolmánapriamku p:. A=[7,]ak=3 4. A=[, 7]ak=. A=[ 5,3]ak= 3. A=[9,]ak=5 5. A=[,]ak=3 6. A=[3,5]ak=

20 6 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 7. A=[, 3]ak=7 8. A=[,5]ak= 6 0. A=[5,]ak= 9. A=[0,5]ak=4 9. A=[ 3,]ak=4. A=[3,0]ak= VII.Danýjebod Aapriamka q.napíšterovnicepriamok pap tak, aby obe prechádzali bodom A, priamka p bola rovnobežná spriamkou qapriamka p bolakolmánapriamku q:. A=[6,4] q: y=x 7. A=[,4] q: y=4x+. A=[4,3] q: y= x+ 3. A=[ 3,] q: y= 3x+5 4. A=[, 3] q: y= 5x 6 5. A=[,] q: y=3x 3 8. A=[ 3, ] q: y= 5x 3 9. A=[,6] q: y=x 7 0. A=[4, 5] q: y= x+3. A=[,] q: y= x+3 6. A=[0,7] q: y= x+. A=[3,4] q: y=4x+7 VIII.Danésúčísla uav.zapíštepriamku p,ktoránaosi xvytínaúsek uanaosi yvytínaúsek vvovšeobecnom,smernicovom, parametrickom a úsekovom tvare:. u=5av= 9. u= 5av=. u= av=3 3. u= 3av= 4. u=4av=7 5. u=5av= 6. u=av=3 7. u=av= 5 8. u= 3av= 7 0. u=3av=4. u=av=5. u=av= 7 3. u= 5av= 7 4. u=av=7 5. u=7av= 9 6. u= 3av=9

21 . cvičenie Zadania 7 IX.Danésúbod Aapriamka q.priamka qvytínanaosi xúsek uanaosi y úsek v.nájditerovnicepriamok pap tak,abyobe prechádzali bodom A, priamka p bola rovnobežná s priamkou q a priamka p bolakolmánapriamku q:. A=[,3], u=3, v=5. A=[5, 3], u=, v=4 3. A=[, 5], u=, v= 8 4. A=[ 4,], u= 4, v= 3 5. A=[,], u=, v= 3 6. A=[,3], u=, v=5 7. A=[,5], u=, v= 7 8. A=[,3], u=3, v=5 9. A=[, 3], u=3, v= 7 0. A=[, ], u=, v=3 X. Napíšte všeobecnú rovnicu a parametrický tvar aspoň jednej priamky p, ktorá sa nedá vyjadriť v smernicovom ani úsekovom tvare.

22 8 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS. cvičenie Výsledky Sústavy lineárnych rovníc o dvoch neznámych I. x,y=4,3 x,y=4,9 3x,y=, 4x,y=, 3 5x,y=,3 6x,y=, 3 7x,y= 7, 5 8x,y= 3 0,8 5 9x,y=, x,y= 34 9, 33 9 x,y=4 t,t x,y=3+t,t 3x,y= 3t,t 4x,y=5+t,t 5x,y= 3 t 7,t 6 nemá riešenie 7 nemá riešenie 8 nemá riešenie 9 nemá riešenie 0 nemá riešenie Priamka v rovine II. p:5x+y+=0 p:y= 5 x x p: + y = 5 x = t p: y = 3+5t p:4x+3y 9=0 p:y= 4 3 x+9 3 x p: 9+ y 9= 4 3 x = +3t p: y = 7 4t 3 p: 7x+6y 5=0 p:y= 7 6 x+5 6 x p: + y 5 5= 7 6 x = +6t p: y = +7t 4 p:7x 4y =0 p:y= 7 4 x 4 p: x + y = 7 4 x = 3 4t p: y = 5 7t

23 . cvičenie Výsledky 9 5 p:x+y 5=0 p:y= x+5 p: x+ y = 5 5 x = t p: y = 3+t 6 p:x y+4=0 p:y=x+4 x p: + y = 4 x = +t p: y = 0+4t 7 p:x 5y+3=0 p:y= x x p: + y 3 3= 5 x = 3 5t p: y = 7 t 8 p:x y+6=0 p:y= x+6 x p: + y = 6 6 x = t p: y = 5 t 9 p:3x+y+4=0 p:y= 3x x p: + y = 4 3 x = +4t p: y = 6t 0 p:5x+y =0 p:y= 5 + x p: + y = 5 x = 3+t p: y = 5t p: x+y+=0 p:y= x p: x+ y = x = 3+t p: y = +t p:x+4y =0 p:y= x 4 + p: x+ y = x = +4t p: y = 5 t III. p:y=x+ p : y= x+7 p:y= 5 x+4 5 p : y= 5x+8 3 p:y= 3 x+ p : y= 3 x p:y= 5 x p : y= 5 x+7 5 p:y=5x 3 p : y= 5 x+3 6 p:y=3x+9 p : y= 3 x x= +t 7 p: y= 4 t p x= +t : y= 4+t 8 p:y= y=x+4 p : y= x+3 9 p:y= 3x+3 p : y= 3 x 3 0 p:y=5x+0 p : y= 5 x 8 5 p:y= x+6 p : y= x+7

24 0 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS p:y= 3 5 x+ 5 p : y= 5 3 x p:y= 3 x+4 3 p : y= 3 x+5 4 p: p : x= 3 t y= +t x= 3+t y= +t IV. : p= : p= : p= 9 : p=7 7 3 : p= 3 : p=6 4 : p= 4 : p=5 5 5 : p= 8 : p= : p= 8 : p= : p= 4 : p= 3 8 : p= : p= 5 V. k= 5, p:y= 5 x k= 4, p:y= x k= 7, p:y= x k= 7, p:y= x 4 5 k=, p:y= x+5 6 k=, p:y=x+4 7 k=, p:y= 5 5 x k=, p:y= x+6 9 k= 3, p:y= 3x 0 k= 5, p:y= 5 x+ k=, p:y= x k=, p:y= 4 4 x+ VI. p:y=3x 0 q: y= 3 x+0 3 p:y= x q: y= x+8 3 p:y=5x 43 q: y= 5 x p:y=x 9 q: y= x 3 5 p:y=3x+5 q: y= 3 x p:y= x+ q: y= x+8 7 p:y=7x+ q: y= 7 x p:y= 6x+ q: y= 6 x p:y=4x+3 q: y= 4 x+ 4 0 p:y= 9x+46 q: y= 9 x+4 9 p:y=4x+5 q: y= 4 x+5 p:y= x+6 q: y= x 3

25 . cvičenie Výsledky VII. p:y=x 8 p : y= x+7 p:y= x p : y= x+7 3 p:y= 3x 7 p : y= 3 x+3 4 p:y= 5x 8 p : y= 5 x p:y=3x 5 p : y= 3 x p:y= x+7 p : y= x+7 7 p:y=4x+ p : y= 4 x+7 8 p:y= 5x 7 p : y= 5 x p:y=x+4 p : y= x+3 0 p:y= x p : y= x 9 p:y= x p : y= x+5 p:y=4x 8 p : y= 4 x+9 4 VIII. p: x y = 5 p:x 5y 5=0 p:y= x 5 x= 5+5t p: y= t x p: + y = 3 p:3x y+6=0 p:y= 3x+3 x= +t p: y= 3t x 3 p: y = 3 p:x+3y+3=0 p:y= x 3 x= 3 3t p: y= t 4 p: x+ y = 4 7 p:7x+4y 8=0 p:y= 7x+7 4 x= 4 4t p: y= 7t 5 p: x+ y = 5 p:x+5y 5=0 p:y= x+ 5 x= 5 5t p: y= t 6 p: x+ y = 3 p:3x+y 3=0 p:y 3x+3 x= t p: y= 3t 7 p: x y = 5 p:5x y 0=0 p:y= 5x 5 x= +t p: y= 5t x 8 p: + y = 3 7 p:7x+3y+=0 p:y= 7x 7 3 x= 3 3t p: y= 7t

26 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x 9 p: + y = 5 p:x 5y+55=0 p:y= x+ 5 x= 5+5t p: y= t 0 p: x+ y = 3 4 p:4x+3y =0 p:y= 4x+4 3 x= 3 3t p: y= 4t p: x+ y = 5 p:5x+y 0=0 p:y= 5x+5 x= t p: y= 5t p: x+ y = 7 p:7x y 4=0 p:y= 7x 7 x= +t p: y= 7t IX. p:y= 5 3 x+4 3 p : y= 3 5 x+ 5 p:y=x 3 p : y= x 3 p:y=8x+ p : y= 8 x 4 4 p:y= 3 4 x p : y= 4 3 x+ 3 5 p:y=3x p : y= 3 x+7 3 x 3 p: + y = 5 7 p:7x+5y+35=0 p:y= 7x 7 5 x= 5 5t p: y= 7t 4 p: x+ y = 7 p:7x+y 7=0 p:y= 7x+7 x= t p: y= 7t 5 p: x+ y = 7 9 p:9x 7y 63=0 p:y= 9x 9 7 x= 7+7t p: y= 9t x 6 p: + y = 3 9 p:3x y+9=0 p:y=3x+9 x= 3+t p: y= 3t 6 p:y= 5 x p : y= 5 x p:y= 7 x p : y= 7 x p:y= 5 3 x+4 3 p : y= 3 5 x p:y= 7 3 x 7 3 p : y= 3 7 x p:y= 3 x 5 p : y= 3 x 3 X. Napríklad: p:x=3, p: x= 3 y= t

27 Gaussova eliminačná metóda Všetky sústavy z tohto cvičenia treba riešiť len s použitím Gaussovej eliminačnej metódy. Rozšírenú maticu sústavy treba eliminovať kompletnesamozrejme pokiaľ sa to dá t.j. tak, aby na ľavej strane zostala jednotková matica. V prípade rovníc s nekonečným počtom riešení ich treba všetky napísať s použitím potrebného počtu parametrov. I. Sústavy s jediným riešením x + x + 3x 3 = 9 x x + x 3 = 3x + x + x 3 = 7 x + 3x x 3 = 7 3x + 3x 3 = 3 x + x + x 3 = x + 3x + 5x 3 = x 5x x 3 = 5 3x + 6x + 4x 3 = 3 x + x + x 3 = 3 x 3x + x 3 = 3x + x + 3x 3 = 4 3

28 4 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x 3x + x 3 = 0 x + x x 3 = 0 x + x + x 3 = 0 x 3x + x 3 = 0 x + x x 3 = 3 x + x + x 3 = 3x + x x 3 = 8 x + 3x + x 3 = 3 x x + 4x 3 = 4 x + x x 3 = 3x x + x 3 = 7 x x 3 = x + x + x 3 = 7 x + x 3 = 6 x x x 3 = 4 3x + x x 3 = 9 5x + x = 9 x + x + x 3 = 8 x x + 3x 3 = 3x 7x + 4x 3 = 0 x + x + 3x 3 = 0 4x + 7x + 5x 3 = 0 x + 6x + 0x 3 = 0 x + x 4x 3 = 0 x x + 3x 3 = 0 x + x x 3 = 0 x + 3x + x 3 = 0

29 . cvičenie Zadania x x + x 3 = 4x x + x 3 = x + x + x 3 = 3x + 8x + 9x 3 = 9 x + 5x + 7x 3 = 7 4x + 4x + 0x 3 = 8 3x + x 5x 3 = x 3x + 4x 3 = 5x + 3x + 7x 3 = 4 3x 3x + x 3 = x + x x 3 = x + x + x 3 = 3 3x + x x 3 = 0 3x 4x + 5x 3 = 3 3x x 3 = 3 9x 3x + x 3 = 6 x + 5x x 3 = 8 x + 4x 3x 3 = 8 x + x + 4x 3 = x x + x 3 + 3x 4 = 8 3x + x + x 3 + x 4 = 9 4x + 7x x 3 + 5x 4 = 38 6x + 3x + 3x 3 4x 4 = 35 x + x x 3 x 4 = x + x + x 3 + x 4 = 8 x x x 3 + x 4 = x + x + x 3 x 4 = 4

30 6 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x + x x 3 + x 4 = 0 x + x + x 3 x 4 = 0 x x + x 3 + x 4 = 0 x + 3x + x 3 + 3x 4 = 0 x x 3 + x 4 = 3 x + x + 3x 3 x 4 = 5 x x + 3x 4 = 5 3x + 4x + x 4 = 3 5x + 3x + 3x 3 + x 4 = x x + x 3 = 3x + 3x + x 3 + x 4 = 0 x 3x + x 3 = 7 4x + x + 3x 3 + x 4 = 8 x + 7x + 5x 3 + 3x 4 = 4 x x x 3 x 4 = 5 3x x + x 3 x 4 = 3 x + 9x + 8x 3 + 3x 4 = 7 x + 5x + 3x 3 + x 4 = 5 x x 3x 4 = 7x x x 3 0x 4 = 7x x + x 3 9x 4 = 4 x x 3 4x 4 = 6 6x x + x 3 7x 4 = x + x + 7x 3 + x 4 = 6 6x + 4x + x 3 + x 4 = 6 x x + 6x 3 x 4 = 0 3x 8x + 3x 3 x 4 = 3x x + x 3 x 4 = 0 x 0x + x 3 + x 4 = x + 4x + 4x 3 + x 4 = 3 x 4x + 4x 3 + 5x 4 = 5

31 . cvičenie Zadania x x + 5x 3 6x 4 = 0 7x + x 3x 3 4x 4 = x + 5x 3x 3 + 3x 4 = x 3x + 40x 3 6x 4 = 3 3x + x x 3 + x 4 = x + x + x 3 x 4 = 3 x x + x 3 + x 4 = 5 x + 3x + x 3 + 3x 4 = 4 x + x + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = x + x + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 4 x + 3x + x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 8 x + 3x + 4x 3 + x 4 + 5x 5 = 0 x + 3x + 4x 3 + 5x 4 + x 5 = 0 II. Sústavy s nekonečným počtom riešení x + 4x x 3 = 7 x + x 3x 3 = 5x + 0x + 5x 3 = 5 3x + 6x 9x 3 = 3 5x + x 8x 3 = 0 x + x 8x 3 = 0 7x + 4x x 3 = 7 x + x 3x 3 = 5x + 0x + 5x 3 = 5 3x + 6x 9x 3 = 3 x + x + 8x 3 = 9 x + x + 7x 3 = 6 3x + x + 9x 3 = 7 x x + x 3 =

32 8 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x x + x 3 = 9 3x + 5x + 4x 3 = 0 5x + x + 6x 3 = 9 x + 4x 3x 3 = 0 x 3x x 3 = 0 x + x 4x 3 = 0 x x + 3x 3 = 3x x + 3x 3 = 4 x x = x + x 5x 3 = 4 x + x + 3x 3 = x 3 + x 3 + x 3 = x 5 + 6x 5 + 9x 5 3 = 5 6x 6x + 7x 3 + 0x 4 = 3 x 3x 3x 3 4x 4 = x 3x + 3x 3 + 8x 4 = x x + x 3 x 4 = x + x x 3 x 4 = 5 x x 3x 3 + x 4 = x + x + 3x 3 6x 4 = 0 x + x + x 3 + x 4 = x + 6x x 3 + 3x 4 = 7 x + 5x + 3x 4 = 4 x x + x 3 x 4 = x + x x 3 x 4 = x + x 4x 3 + x 4 = 3x 3x 4 = 3

33 . cvičenie Zadania x + 3x 3 x 4 = 0 x + x 4x 3 + 3x 4 = 0 x + 3x + x 3 x 4 = 0 4x 3x + 5x 3 4x 4 = 0 4x + x x 3 x 4 = 3 x x + 5x 3 + 9x 4 = x + x 6x 3 0x 4 = 3x + 3x 4x 3 + 4x 4 = 0 x + x x 3 + x 4 = 0 x x x 4 = 0 6x + 6x 8x 3 + 8x 4 = 0 6x 9x + 7x 3 + 0x 4 = 3 x 3x 3x 3 4x 4 = x 3x + 3x 3 + 8x 4 = x + x x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 5 x x + x 3 3x 4 + x 5 = 4 x + x + 4x 3 + x 5 = 5 3x + x + x 4 + 3x 5 = 7 3x x 3 x 4 4x 5 = 0 4x + x x 3 x 4 5x 5 = 0 x + 4x 3x 3 + 6x 4 = 0 6x 3x 9x 4 3x 5 = 0 0x + x 4x 3 5x 4 3x 5 = 0 III. Sústavy bez riešenia. x + 3x x 3 = x x + x 3 = 3x + x = 5

34 30 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS x x + x 3 = x + x 3x 3 = 7 x 4x 3x 3 = 0 x x + x 3 = 4 x + x x 3 = 3x 7x x 3 = x + 5x + x 3 = 3x x + x 3 = x + x 3x 3 = 7 x 4x 3x 3 = 0 5x + x x 3 = 8 7x + 4x 4x 3 = 3 x + x x 3 = 6 x + x + 3x 3 = 5 x + x + 9x 3 = 9 3x + 3x + 5x 3 = 7 3 x 3 x 3 x 3 = 3 3 x 3 x 3 x 3 = 3 x x + x 3 = 3 3x + x + 5x 3 = x 8x 6x 3 = x 3x 3 = 4 x 3x + 8x 3 = 8 4x 3x 6x 3 = 5x 3x x 3 = 6 3x + x x 3 = 5 5x + 3x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 6x 4x + x 3 = 30

35 . cvičenie Zadania x + 8x + x 3 + x 4 = 3 3x + 0x + x 3 x 4 = x x 4 = 4x + 3x + x 3 + x 4 = 5 x + x = 6 x 3x + 6x 3 x 4 = x + x x 3 = 0 x + 3x x 3 x 4 = 9x x + 5x 3 5x 4 = x + x x 3 + x 4 = 3x x + x 3 3x 4 = x x + x 3 3x 4 = 4 5x + x x 3 + x 4 = 3x x + x 3 + x 4 = 5 x + 5x + 4x 3 + 4x 4 = 7x + 3x + x 3 + x 4 = 4 4x + x 5x 3 5x 4 = 3 x x x 3 + x 4 = 5 x 3x x 3 + x 4 = 7 3x 7x + 6x 3 6x 4 = 3 4x + x 3x 3 3x 4 = 5x + 3x x 3 x 4 = 4 x + x x 3 x 4 = x 4x + 9x 3 x 4 = 9 x 3x + 8x 3 + 3x 4 = 7 3x x + 7x 3 + 7x 4 = 7 3x x 3 x 4 4x 5 = 3 4x + x x 3 x 4 5x 5 = x + 4x 3x 3 + 6x 4 = 0 6x 3x 9x 4 3x 5 = 3 0x + x 4x 3 5x 4 3x 5 =

36 3 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS IV. Špeciálne úlohy. Napíšte sústavu lineárnych rovníc, ktorá má všetky koeficienty nenulové ajejjedinériešeniejex,x,x 3 = 4,5,3.. Napíšte sústavu lineárnych rovníc, ktorá má všetky koeficienty nenulové ajejjedinériešeniejex,x,x 3 =,6 7, Napíšte sústavu troch LR, ktorá má všetky koeficienty nenulové a má nekonečneveľariešenívtvarex,x,x 3 =+4t, 5t,t,kde t Ê. 4. Napíšte sústavu štyroch lineárnych rovníc o štyroch neznámych, ktorá má všetky koeficienty nenulové a nemá riešenie.

37 . cvičenie Výsledky 33. cvičenie Výsledky I. Sústavy s jediným riešením.x,x,x 3 =,,3.x,x,x 3 =,, 3 3.x,x,x 3 =,,3 4.x,x,x 3 =4,, 3 5.x,x,x 3 =0,0,0 6.x,x,x 3 =,3,5 7.x,x,x 3 =,, 8.x,x,x 3 =,,3 9.x,x,x 3 =,, 4 0.x,x,x 3 =3,,.x,x,x 3 =0,0,0.x,x,x 3 =0,0,0 3.x,x,x 3 = 4 3, 3,4 3 4.x,x,x 3 =, 3, 5.x,x,x 3 = 6 6,59 6, 6 6.x,x,x 3 = 7 9,, x,x,x 3 = 5, 6 5, x,x,x 3 = 6 5,, 5 9.x,x,x 3,x 4 =4,3,, 0.x,x,x 3,x 4 =,,,3.x,x,x 3,x 4 =0,0,0,0.x,x,x 3,x 4 = 0,9,, 3.x,x,x 3,x 4 =3,0, 5, 4.x,x,x 3,x 4 = 3 6, 3, 7 6,0 5.x,x,x 3,x 4 =, 9,0,5 6.x,x,x 3,x 4 =,3 8, 4,5 4 7.x,x,x 3,x 4 =, 00 50,3, x,x,x 3,x 4 = 35 7,53 9,63, x,x,x 3,x 4 = 67, 7 9 3,69, x,x,x 3,x 4,x 5 =,,,,3 II. Sústavy s nekonečným počtom riešení.x,x,x 3 = t,t,0.x,x,x 3 =t,4t,t

38 34 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 3.x,x,x 3 = t,t,0 4.x,x,x 3 = t,4 3t,t 5.x,x,x 3 = 8 t 5, t+37,t 6.x,x,x 3 = 3 7 t, 7 t,t 7.x,x,x 3 =3t,6t+,t 8.x,x,x 3 =4 u 3v,u,v 9.x,x,x 3,x 4 = t 6,0, 8 t,t 0.x,x,x 3,x 4 =t 3,t,t,t.x,x,x 3,x 4 = 3 5t,t+3,t,5.x,x,x 3,x 4 =v,u,u,v 3.x,x,x 3,x 4 = 7 u 5 v,v 3u,u,v 4.x,x,x 3,x 4 = 3 3 u+ 3 v+35 46, 3 u+9 3 v 3,u,v 5.x,x,x 3,x 4 = 3 u+ 3 v, 3 u 5 3 v,u,v 6.x,x,x 3,x 4 = 3 u 6 v+,u, 8 v,v 7.x,x,x 3,x 4,x 5 =+t, t,0,t, 8.x,x,x 3,x 4,x 5 = 3 u+ 3 v, 3 u 5 3 v,u,v,0 III. Sústavy bez riešenia. nemá riešenie. nemá riešenie 3. nemá riešenie 4. nemá riešenie 5. nemá riešenie 6. nemá riešenie 7. nemá riešenie 8. nemá riešenie 9. nemá riešenie 0. nemá riešenie. nemá riešenie. nemá riešenie 3. nemá riešenie 4. nemá riešenie 5. nemá riešenie 6. nemá riešenie 7. nemá riešenie 8. nemá riešenie

39 IV. Špeciálne úlohy 3. cvičenie Zadania 35. Napríklad: 3x x + x 3 = 9 x + 3x x 3 = 6 x + 4x + 7x 3 = 9. Napríklad: 3. Napríklad: 7x + x + x 3 = 7 3x + 4x + x 3 = 53 4 x + x + 3x 3 = 3 7 5x + 3x 5x 3 = 3x x 7x 3 = x x 9x 3 = 4. Napríklad: x x + 3x 3 + x 4 = 3 3x + x + 4x 3 + 3x 4 = 5x + 3x + x 3 + 5x 4 = 7x + 4x + 6x 3 + 7x 4 = 4

40 36 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS

41 Násobenie matíc, inverzné matice 3 Na tomto cvičení sa budú riešiť úlohy na násobenie matíc, hľadanie inverzných matíc a riešenie maticových rovníc. Inverzné matice sa na tomto cvičení budú hľadať výlučne Gauss-Jordanovou metódou, t.j. pomocou elementárnych riadkových úprav. Násobenie matíc Majmedvematice:maticu typu m namaticu typu k l.potom existujematica =.,ktorájeichsúčinomprávevtedy,akplatí n=k. Toznamená,akmatica máprávetoľkostĺpcovakomámatica riadkov. Typmatice jepotom m l. I.Danésúdvematice a.zistite,čiexistujúsúčiny.,resp.. aakexistujú,takichvypočítajte:. =. = 3. = 4. = = = = =

42 38 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 5. = = 6. = = = = = = II.Nájditereálnečísla a,b,c,dtak,abyplatilsúčin: b a 9 3 a b 0 a b a b c 3 4 d = 3 d 4 c 5 5 c d = c 5 3 d = = III. Rovnako ako pri mocninách čísel, mocnina matice je súčin maticesamejsosebouakexistuje.čiženapr. =. alebo 3 =...Vypočítajtemocninymatíc:

43 3. cvičenie Zadania a 0 a n,kde n Æ 4. 3 n,kde n Æ 6. cosα sinα sinα cosα n,kde n Æ Hľadanie inverznej matice Na tomto cvičení budeme inverzné matice hľadať výlučne pomocou Gauss- Jordanovej metódy. Je to postup analogický riešeniu sústav lineárnych rovníc Gaussovou eliminačnou metódou. Rozdiel je len v tom, že na pravej strane úprav nebudú na začiatku pravé strany rovníc, ale jednotková matica rovnakého typu ako je matica na ľavej strane. Pomocou elementárnych riadkových úprav potom upravujeme ľavú stranu na jednotkovú maticu a rovnaké úpravy vykonávame aj na pravej strane. Keď na ľavej strane dostaneme jednotkovú maticu, tak matica, ktorá je na pravej strane, je inverzná matica ku pôvodnej matici. IV.Vnasledovnýchúlohachnájditeinverznúmaticukumatici pomocou Gauss-Jordanovej metódy. 0. =. = 3 3. = 5. = 7. = 9. =. = = 6. = 8. = 0. =. =

44 40 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 3. = 5. = 7. = 9. =. = 3. = 5. = cosα sinα sinα cosα cosα sinα 0 sinα cosα = 6. = 8. = 0. =. = 4. = 6. = cosα sinα sinα cosα cosα sinα 0 sinα cosα V. Vyriešte maticovú rovnicu: = = = = = = 5 6

45 3. cvičenie Zadania = = = = = = = = = = = =

46 4 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 3. cvičenie Výsledky Násobenie matíc I... =.. = = 3.. neexistuje. = 4.. = neexistuje. = 5.. = 3. = neexistuje. neexistuje 7.. = 8.. = = neexistuje II.. a=7, b=3, c=3, d=. a=, b=, c=3, d=5

47 3. cvičenie Výsledky a=, b=4, c= 3, d= 4. a=3, b=8, c=7, d=4 III = 3 = 4 = n = 0 0 3,pre n=kpárne,pre n=k+nepárne 5. a 0 a n = a n na n 0 a n 6. cosα sinα sinα cosα n = 0 0 cosα sinα sinα cosα,pre n=k,pre n=k+ Hľadanie inverznej matice IV.. = 3. = 0 3. = 4. = 3 4 3

48 44 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 5. = 3 6. = = 9. =. = 3. = = 7. = 9. = = 0. =. = 4. = = 8. = 0. = = =

49 3. cvičenie Výsledky 45 3.Maticaotočeniaouhol α: cosα sinα = sinα cosα 5. = cosα sinα 0 sinα cosα Matica osovej súmernosti: cosα sinα = sinα cosα 6. = cosα sinα 0 sinα cosα V = = = = = = = = = 3 5 = = 5 5 = = = = = = = = 4 =

50 46 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS. 0 = 0, = = = 4 = , 0 = = = = = = = = =

51 7. 8. = = = cvičenie Zadania 47 =

52 48 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS

53 Determinanty a ich aplikácie 4 Na tomto cvičení budeme počítať determinanty štvorcových matíc a ukážeme si ako sa tieto používajú pri riešení sústav lineárnych rovníc a pri výpočte inverzných matíc. Determinant matice Determinanty sa počítajú len zo štvorcových matíc, t.j. matíc typu n n. Premalématice a3 3existujújednoduchépravidlánavýpočet ichdeterminantov.prematice jetorozdielsúčinovhlavnejavedľajšej diagonály a pre matice 3 3 je to Sarusovo pravidloviď prednášky a skriptá. Preväčšiematice,čižematice4 4aviac,saichdeterminantypočítajú pomocou: rozvoja determinantu podľa riadku alebo stľpca, úpravy matice v determinante, kombináciou predošlých dvoch metód, čo je najefektívnejší postup. Pri úprave matice v determinante sa používajú rovnaké elementárne riadkové operácie ako pri Gaussovej eliminačnej metóde. Vykonávanie týchto operácii je ale viazané na isté podmienkyviď prednášky a skriptá. Na rozdiel od úprav matice pri Gaussovej eliminačnej metóde je tieto operácie pri úprave determinantu možné použiť aj ako stĺpcové! I. Vypočítajte determinant matice:. = 3 4. =

54 50 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 3. = 5. = 7. = 9. =. = 3. = 5. = 7. = 9. =. = 3. = 7 8 cosα sinα sinα cosα = 3 3 cosα sinα 6. = sinα cosα 8. = 0. =. = 4. = 6. = 8. = 0. =. = 4. =

55 4. cvičenie Zadania 5 5. = 7. = 9. = = 8. = 30. = = 3. = = 35. = 37. = 39. = = 36. = 38. = 40. =

56 5 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 4. = = Cramerovo pravidlo sústavy lineárnych rovníc Cramerovo pravidlo je metóda riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou determinantov. Dá sa použiť len na také sústavy, ktorých matica sústavy je štvorcová, t.j. ktoré majú rovnaký počet rovníc ako neznámych. A aj pri takýchto sústavach riešenie dostaneme pomocou Cramerovho pravidla len vtedy, ak sústava má práve jedno riešenie. Detaily boli uvedené na prednáške anájdeteichajvskriptách. II. Pomocou Cramerovho pravidla vyriešte sústavu rovníc:. x 5x = x + 3x = 7. 3x + 6x = 5 x 8x = x cosα + x sinα = x sinα + x cosα = 3 x cosα + x sinα = x sinα x cosα = x 3x + 3x 3 = 3x x + 3x 3 = 3 5x x + x 3 = x + x + x 3 = 3 5x x + x 3 = 4 3x + 4x = x 3x + 4x 3 = 5x x x 3 = 0 3x x 3 = 3 3x + x x 3 = 0 6x x + 3x 3 = 3 3x x 3 = 3 9. x + x + 8x 3 + 4x 4 = 9 x + 3x + x 3 = 0 4x + 3x + 4x 3 = 8 3x + 4x + x 3 + 4x 4 =

57 4. cvičenie Zadania x + 3x 3 + x 4 = 6 7x + x + 7x 3 = 6 x x + 6x 3 x 4 = 0 4x 0x + 9x 3 x 4 = 0x x + x 3 0x 4 = 5x + 3x 8x 3 3x 4 = 3x x + 5x 3 6x 4 = 0 5x 5x + 45x 3 x 4 = 3 x + x + x 3 x 4 = 3 4x + 3x + x 4 = 4 3x + x + 3x 3 = 8 x + 5x + x 3 + x 4 = 7 Výpočet inverznej matice pomocou determinantu Výpočet inverznej matice pomocou determinantov je vhodný najmä pre malé maticetypu a3 3aprešpeciálnematice.Vovšeobecnostijepre väčšie matice táto metóda pracnejšia než Gauss-Jordanova metóda. Ak máme maticu typu n najejdeterminantjerôznyodnuly 0,takpotom jej inverzná matica bude mať tvar: = d d d 3... d n d d d 3... d n... d n d n d 3n... d nn, kde d ij= i+j ij Maticu ij dostanemezpôvodnejmatice vynechaním i-tehoriadkua j-teho stĺpca. III.Pomocoudeterminantovvypočítajteinverznúmáticu :. = 3. = cosα sinα sinα cosα. = 4. = cosα sinα sinα cosα

58 54 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 5. = 7. = 9. =. = 3. = 5. = 7. = = 8. = 0. =. = 4. = 6. = 8. =

59 4. cvičenie Výsledky cvičenie Výsledky Determinant matice I.. =. =3 3. = =0 5. = 6. = 7. =0 8. = =33 0. = 5. = 3. = 3 3. = 4. =59 5. = =5 7. = 8. = 9. =0 0. =60. =. = 6 3. =48 4. =6 5. = 3 6. = 6 7. =0 8. =9 9. = =6 3. = 9 3. =0 33. = =4 35. =0 36. = = = =0 40. = = 4. = Cramerovo pravidlo sústavy lineárnych rovníc II..x,x = 9, 6.x,x = 8, 3 3.x,x =cosα+3sinα,sinα 3cosα 4.x,x =cosα+7sinα,sinα 7cosα 5.x,x,x 3 = 4 3, 3,4 3 6.x,x,x 3 = 7 9,, 9 9

60 56 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 7.x,x,x 3 = 6 6,59 6, 6 8.x,x,x 3 = 5, 6 5, x,x,x 3,x 4 = 3 6, 3, 7 6,0 0.x,x,x 3,x 4 =,3 8, 4,5 4.x,x,x 3,x 4 = 35 7,53 9,63, x,x,x 3,x 4 = 67, 7 9 3,69, Výpočet inverznej matice pomocou determinantu III.. = cosα sinα 3. = sinα cosα 5. = 3 7. = 5 9. = 63. = = = 6. = = 8 0. = 9. = cosα sinα sinα cosα

61 5. cvičenie Zadania = = = = 6. = 6 8. =

62 58 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS

63 Hodnosť, regularita a singularita matíc, sústavy lineárnych rovníc s parametrom 5 Hodnosť, regularita a singularita matíc Hodnosť matice, je počet nenulových riadkov po eliminácii tejto matice na trojuholníkový tvar. Ak sa na riadky matice pozeráme ako na vektory, tak hodnosť matice udáva, koľko z týchto vektorov je lineárne nezávislých. Štvorcovámaticatypu n njeregulárnaprávevtedy,keďjejhodnosť je n. To znamená, že po eliminácii tejto matice na trojuholníkový tvar, sú všetky riadky nenulové. Alebo inak povedané, všetky riadky tejto matice sú lineárne nezávislé vektory. Štvorcovámaticatypu n njesingulárnaprávevtedy,keďniejeregulárna. To znamená, že po eliminácii tejto matice na trojuholníkový tvar, dostaneme aj nulové riadky. Alebo inak povedané, riadky tejto matice sú lineárne závislé vektory. Preštvorcovúmaticu potomplatianasledujúcetvrdenia: Determinantmatice jenenulovýprávevtedykeď,jetátomatica regulárna. Kumatici existujeinverznámaticaprávevtedy,keďjetátomatica regulárna. Kumatici existujeinverznámaticaprávevtedy,keďjejdeterminant je nenulový. 59

64 60 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS I. Zistite, či sú dané vektory lineárne závislé alebo nezávislé:.3,,, 3,5,5,,,.7,,3,7,,8,7, 0, 8 3.,,,8,,8, 3,, 3 4., 5,,,3,5,3,6,4 5.7,,3,7,,5,,0, 6.7,,,3,4,,,,3 7.,,3,,3,5,4,,,5,3, 8.3,,5,,4,0,, 5, 7 9.,,3,,,4,3,4,,5,6,5 0.,3,,3,,5,,5,3,4,3,4,4,3,4,3.,0,,,3,4,0,,,,3,,,,0,3.5,,,3,0,7, 4,3,5,, 0,,5,8,6,5 3.,,3,4,5,,,3,4,5,,3,,4,5,,3,4,,5,,3,4,5, 4.3,0,,,,0,, 4, 5, 3,6, 3,0, 9, 3,,4, 3,6,0,4,,,, 5 II.Vypočítajtehodnosťmatice aprištvorcovýchmaticiachurčte, či je matica regulárna, alebo singulárna: 3. = 3. = = 5. = = 6. =

65 5. cvičenie Zadania 6 7. = 9. =. = 3. = 5. = 7. = 9. =. = = 0. =. = 4. = 6. = 8. = 0. =. =

66 6 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS III. V nasledujúcich úlohach je p Êparameter. Zistite pre akú hodnotu parametra p uvedené sústavy rovníc a majú práve jedno riešenie, b majú nekonečne veľa riešení, c nemajú riešenie. V prípadoch, keď sústava má riešenie, nájdite toto riešenie.. 3x + 7x + px 3 = 3 x + x px 3 = 0 x + 5x + 3px 3 = 5. x + x x 3 = 3 4p 3x + x + x 3 = 3 6p x + 7x 4x 3 = p. x + x = x + px = 3x 3 = 6 6. x px + 3x 3 = 3 x + px + 5x 3 = 7x 4px x 3 = 9 3. px + 4x + x 3 = 8 7x + x 3 = 3 px 3x 5x 3 = 7. x + p+x + x 3 = p+3 x + p+3x + 4x 3 = 3p+5 x + px = p+ 4. 3x + 3x + 3x 3 = 6 px + x 3 = p x + px 3 = x + +px + 3x 3 = 0 x + +px + 3x 3 = 7 x + +3px + 4x 3 = 3 IV. Pomocou inverznej matice vyriešte sústavu lineárnych rovníc:.. 3x + x = 5 x x = 3 3x + x = 9 4x + 5x = x x = x + 6x = 5 x x = 5 3x + 5x =

67 5. cvičenie Zadania x +0x 3 = 60 0x = 60 0x +68x 3 = x = x = 3 5x 3 = x + 3x 3 = 4 4x + x 3 = 3x + x + x 3 = 7 3x x 3 = 0 x + 4x + x 3 = 5x + x + x 3 = 4 x +x 3 = 3 x + x 3 = 4 x + x + 3x 3 = x = 3 3x + 4x = 7 5x + x + x 3 = x + x 3x 3 = 6 x + x 3 = x 3 = 4 6x + 3x x 3 = x 3x + x 3 = 5 x + x + x 3 = 9 x + 3x x 3 = 7 3x + 3x 3 = 3 x + x + x 3 = x + 3x + 5x 3 = x 5x x 3 = 5 3x + 6x + 4x 3 = x + 0x 3 = 0x = 0x + 5x 3 = 3 6. x + x + x 3 = 3 x 3x + x 3 = 3x + x + 3x 3 = x x + x 3 4x 4 = x + x 3x 3 + x 4 = 4x x + 3x 3 x 4 = 3 5x + 3x x 3 + x 4 = 4 x + x + 3x 3 x 4 = x + 3x + x 3 + 3x 4 = 3x x + x 3 x 4 = 3 4x + 3x x 3 x 4 = 4

68 64 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 5. cvičenie Výsledky Hodnosť, regularita a singularita matíc I. II..závisléh=. nezávislé 3.závisléh= 4. nezávislé 5.závisléh= 6. nezávislé 7.závisléh=3. h =3 matica je regulárna 3. h =3 matica je regulárna 5. h = matica je singulárna 7. h =3 9. h = matica je singulárna. h =3 3. h =3 5. h =4 matica je regulárna 7. h =4 8. nezávislé 9. nezávislé 0.závisléh=3. nezávislé.závisléh=3 3. nezávislé 4.závisléh=3. h =3 matica je regulárna 4. h =3 matica je regulárna 6. h = matica je singulárna 8. h =3 0. h = matica je singulárna. h =3 4. h =3 6. h =4 matica je regulárna 8. h =4

69 6. cvičenie Zadania 65 III. 9. h =3 matica je singulárna. h =4 0. h =3 matica je singulárna. h =3 matica je singulárna. p=0:nemáriešenie p 0:x,x,x 3 =,, 3 p. p :x,x,x 3 =,0, p=:x,x,x 3 = t,t, 3. p=0:nemáriešenie p 0:x,x,x 3 = 5 p,, 4. p=±:nemáriešenie p ±:x,x,x 3 = p, p 3, p p+ p p 5. x,x,x 3 = p,,,pre p Ê 6. p=0:nemáriešenie p 0:x,x,x 3 =, p, 3 7. p=:x,x,x 3 =, t,t p :x,x,x 3 =,,p+ 8. p=:nemáriešenie p :x,x,x 3 =, p,p 3 p IV..x,x =, 3.x,x =, 9 5.x,x,x 3 =,3, 7.x,x,x 3 = 53, 7, 3 9.x,x,x 3 = 7, 3,.x,x = 3 7, x,x = 7 3, 3 6.x,x,x 3 = 4, 3, 5 8.x,x,x 3 =0, 7,4 0.x,x,x 3 =,,5

70 66 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS.x,x,x 3 =5,3, 3.x,x,x 3 = 3,5 8, x,x,x 3 = 5 6, 5, 40 7.x,x,x 3,x 4 = 6 5, 4 5, 5, 5.x,x,x 3 =,, 3 4.x,x,x 3 =,,3 6.x,x,x 3 =4,, 3 8.x,x,x 3,x 4 =,0,0,0

71 Funkcia jednej premennej a jej základné vlastnosti 6 Upozornenie: informácie v nasledovnom texte obsahujú zjednodušenia postačujúce k riešeniu tu uvedených príkladov. Nejedná sa o matematicky korektné a úplné definície. Naviac v tomto texte pod pojmom funkcia budeme rozumieť len číselné funkcie jednej premennej na reálnych číslach. Pod pojmom funkcia budeme rozumieť priradenie, ktoré jednému reálnemu číslu priradí ďalšie reálne číslo. Toto priradenie však musí byť také, že jednému číslu x priradí najviac jedno číslo y. Funkcie budeme označovať malými písmenami, t.j. napr. f, g, h,... Potomfakt,žefunkcia fpriradíčíslu xčíslo yzapisujemeako: fx=y. Množinu tých reálnych čísel x, ktorým funkcia f priraďuje nejaké hodnoty, nazývame definičný obor funkcie f a označujeme Df. Vprípade,ževúlohachjefunkciadanánejakýmpredpisomatreba nájsť jej definičný obor, musíme nájsť všetky reálne čísla x, pre ktoré mádanýpredpiszmysel.napríkladprefunkciu fx = x budejej definičnýobormnožina Df=Ê\{0}. Množina tých reálnych čísel y, na ktoré funkcia f zobrazuje hodnoty, t.j.prektoréexistuječíslo xzjejdefiničnéhooborutaké,že fx=y, sanazývaoborhodnôtfunkcie faoznačujesa Hf. Ak je obor hodnôt funkcie ohraničená množina, napríklad interval, tak potom hovoríme, že aj funkcia je ohraničená. Funkcia môže byť ohraničená zdola, ohraničená zhora, prípadne obojstranne ohraničená. 67

72 68 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS Pre úspešné riešenie príkladov z tohto cvičeniaa samozrejme všetkých nasledujúcich cvičení je nevyhnutné okrem teórie poznať aj základné elementárne funkcie, ich definičné obory, všetky ich ďalšie vlastnosti a grafy. Tieto základné elementárne funkcie sú:. fx=ax+b kde a,b Ê. fx= x Základné elementárne funkcie 3. fx=ax +bx+c kde a,b,c Ê, a 0 4. fx= x 5. fx=x 3 8. fx=cosx 9. fx=tgx 0. fx=cotgx. fx=e x. fx=a x kde a >0, a 3. fx=lnx 6. fx= x 7. fx=sinx 4. fx=log a x kde a >0, a I.Nájditedefiničnýoboraoborhodnôtfunkcie f:. fx= x 4 7. fx= 3 x 3. fx=3 x. fx= x 3 3. fx=3 x 4. fx=3lnx 5. fx= x+ x 6. fx= 3 x 5 8. fx=3 x 9. fx=cosx 0. fx= 3 x. fx=+3 x. fx= 3x 0 4. fx=sinx+ 5. fx= cotgx 6. fx=5 tgx 7. fx=sinx 8. fx=sin x II. Nájdite definičný obor, obor hodnôt a načrtnite graf funkcie f:. fx= x x+. fx= 3x+6 x +3x+ 3. fx=lnx 5. fx=ln x 6. fx= x 4 7. fx= 3 x 9. fx= x x 0. fx= sinx. fx=cos x 4. fx=ln x 8. fx= x x. fx= x

73 6. cvičenie Zadania 69 III.Napíštezloženéfunkcie fgxagfxanájditeichdefiničné obory ak:. fx=x ; gx= x. fx= x+ x ; gx= x 3. fx= x;gx=3 x 4. fx= x x ; gx=x 5. fx= x ; gx=e x 6. fx=sinx;gx=x 3 7. fx=lnx;gx=3x 4 8. fx=e x ; gx= x +x 6 x 4x 5 9. fx= x 3 ; gx= x 0. fx= x ; gx= x. fx=cosx;gx= x. fx= x ; gx=log 3x IV. Nájdite definičný obor zloženej funkcie a rozložte ju na zložky elementárne funkcie alebo elementárne funkcie spojené aritmetickými operáciami:. fx= x x 3. fx= x x+ 3. fx= 3 x 4. fx=cos x 5. fx= 3 lnx 6. fx= 3 x+3 7. fx=ln x 8. fx=e sinx x 9. fx=lncosx 3 0. fx=sinx cosx. fx=ln x +x. fx= 5 3 4x+ Intervaly monotónnosti funkcie sú intervaly, na ktorých je funkcia klesajúca, nerastúca, neklesajúca alebo rastúca. Tieto vlastnosti funkcie sa definujú na intervale I nasledovne:.funkcia fjenaintervale Iklesajúcaakplatí: x,x I: x < x = fx > fx.funkcia fjenaintervale Inerastúcaakplatí: x,x I: x < x = fx fx 3.Funkcia fjenaintervale Ineklesajúcaakplatí: x,x I: x < x = fx fx

74 70 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 4.Funkcia fjenaintervale Irastúcaakplatí: x,x I: x < x = fx < fx V príkladoch na tomto cvičení sa intervaly monotónnosti funkcie určujú tak, že na základe poznatkov o elementárnych funkciách, načrtneme graf danej funkcie a z neho potom určíme jej intervaly monotónnosti. V. Nájdite definičný obor a intervaly monotónnosti funkcie:. fx= 7x. fx=x x 7. fx= +x 3 x 8. fx=x 3 3. fx= 3x 4. fx= x + x 5. fx=x +5x 4 6. fx= ex fx=x +x 0. fx= x. fx= x x+3. fx=tg x + Parita funkcie sa graficky dá vyjadriť ako symetria jej grafu. Funkcia môže byť párna, nepárna alebo nemusí byť ani párna ani nepárna. Analyticky sa parita funkcia definuje nasledovne:.funkcia fjepárnaak: x Df:fx=f x.funkcia fjenepárnaak: x Df:fx= f x Grafpárnejfunkciejesymetrickýpodľaosi o y agrafnepárnejfunkcieje symetrický podľa počiatku súradnicového systému. VI. Určte definičný obor a paritu funkcie:. fx=. fx= x 3. fx= 3 x 4. fx=x x 5. fx=x 3 x 6. fx=sinx+5 7. fx=cosx 3 8. fx= x 9. fx= x+ x 0. fx= x +x. fx= x x. fx=sinx+ 3. fx=tgx+ 4. fx=x+ x

75 6. cvičenie Zadania 7 Funkcia fjeprostáakplatí: x,x Df:x x = fx fx. Voľne povedané to znamená, že funkcia je prostá ak rôznym hodnotám x priraďuje rôzne hodnoty y. Pre potreby príkladov sa to dá formulovať aj opačne, t.j. ak sa rovnajú hodnoty y, musia byť rovnaké aj hodnoty x: y,y Hf:fx =y = y = fx = x = x. Pritomplatí,žekufunkcii fexistujeinverznáfunkcia f právevtedy,keď funkcia f je prostá. VII.Nájditedefiničnýobor,zistitečijefunkcia f prostáaakje, tak k nej nájdite inverznú funkciu:. fx=3x. fx= x +x 3. fx= x x + 4. fx= x 7. fx= x3 x fx= 4+3 x 9. fx= x 3 0. fx=x. x 5. fx=ln 3x. fx=4 sinx 6. fx=x 3. fx=3.e x+ VIII. Nájdite definičný obor, zistite či je funkcia f periodická a ak je,takurčtejejperiódu p:. fx=sin x 3. fx=5cosπx 3. fx=cos x 4. fx=cosx 5. fx=xsinx 6. fx=sin3x+3sinx 7. fx=sin x 8. fx=arcsinsinx 9. fx=lncosx+sinx 0. fx=3cosx 5sin4x. fx=sinx+tg x. fx=sin 3x+ 3π 4 IX. Špeciálne úlohy.nech f n x=ff...fx.nájdite f n xak fx= x }{{} +x. n-krát.nájdite fxak fx+=x 3x+. 3.Nájdite fxak f x+ x = x + x,pre x. 4.Nájdite fxak f x = x+ +x,pre x >0.

76 7 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 6. cvičenie Výsledky I.. Df=,, Hf= 0,. Df=3, Hf=0, 3. Df=Ê Hf=,3 4. Df=0, Hf=Ê 5. Df=,, Hf= 0,, 6. Df=, 5 5, Hf=0, 7. Df=Ê Hf= 0, 8. Df=Ê Hf=0, 9. Df=Ê Hf= 3, 0. Df=Ê Hf=,0. Df=Ê Hf=,. Df=Ê Hf=0, 3. Df=Ê Hf=0, 4. Df=Ê Hf=,3 5. Df=Ê\{kπ,k } Hf=Ê 6. Df=Ê\ { π +kπ,k } Hf=Ê 7. Df=Ê Hf=, 8. Df=Ê Hf= 0,

77 6. cvičenie Výsledky 73 II.. Df=Ê\{ } Hf=Ê\{} 4. Df=, Hf=Ê. Df=Ê\{, } Hf=Ê\{0} 5. Df=0, Hf=Ê 3. Df=Ê\{0} Hf=Ê 6. Df=Ê Hf= 0,

78 74 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS 7. Df=Ê Hf=,0 0. Df=Ê Hf= 0, 8. Df=Ê\{0} Hf=Ê\{0}. Df=Ê Hf=, 9. Df=Ê\{0} Hf={,}. Df=Ê Hf= 0,

79 6. cvičenie Výsledky 75 III.. fgx=x Dfg= 0, gfx= x Dgf=Ê. fgx= x+ x Dfg= 0, \{} gfx= x+ x Dgf=,, 3. fgx= 3 x Dfg= 0,9 gfx=3 4 x Dgf= 0, 4. fgx= x x 3 Dfg=, \{3} gfx= x x Dgf= 0, \{} 5. fgx= ex Dfg=Ê gfx=e x Dgf=Ê 6. fgx=sinx 3 Dfg=Ê gfx=sinx 3 Dgf=Ê 7. fgx=ln3x 4 Dfg= 4 3, gfx=3lnx 4 Dgf=0, x +x 6 x 4x 5 8. fgx=e Dfg=, 3, 5, gfx= e x +e x 6 e x 4e x 5 Dgf=,ln ln5, 9. fgx= x 3 Dfg=Ê gfx= x 3 Dgf= 0, 0. fgx= x Dfg= 0, gfx= x Dgf=,. fgx=cos x Dfg=, gfx= cosx Dgf={kπ,k }. fgx= log 3 x Dfg=0, \{} gfx=log = log 3 x 3x Dgf=0,

80 76 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS IV.. Df=, \{3} f x= x x f x=x. Df=,, f x= x f x= x x+ 3. Df= 0,9 f x= x f x=3 x f 3 x= x 4. Df=Ê f x=x f x=cosx 5. Df=0, f x= 3 x f x= lnx 6. Df=Ê f x= 3 x f x=x f 3 x=x+3 7. Df=Ê\{0} f x=lnx f x= x 8. Df=Ê\{} f x=e x f x= sinx x 9. Df= π 6, π 6 +kπ,kdek f x=lnx f x=cosx 3 0. Df=Ê f x=e x f x=cosx.lnsinx. Df=, f x=lnx f x= x +x. Df=Ê\ { 4 f x= 5 x f x=x 3 f 3 x=4x+ } V.. Df=Ê klesápre x Df. Df=Ê rastiepre x,0 konštantnápre x 0 Vtýchtoaajniektorýchnasledujúcichpríkladochbudemeobčaspoužívaťskrátený zápis funkciarastieklesápre x Df.Budetovprípadoch,keďfunkciajedefinovaná na intervaloch a na všetkých týchto intervaloch sa bude správať rovnako. Napr. funkcia fx= x má Df=Ê \ {0}=,0 0,.Preintervalymonotónnostibybola formálne správna odpoveď, že funkcia klesá na intervaloch, 0 a0,. My namiesto tohoskrátenenapíšeme,žefunkciaklesápre x Df.

81 6. cvičenie Výsledky Df=, 3 klesápre x Df 4. Df= 0, rastiepre x Df 5. Df=Ê klesápre x, 5 rastiepre x 5, 6. Df=Ê rastiepre x Df 7. Df=Ê\{3} rastiepre x Df 8. Df=Ê rastiepre x Df 9. Df=Ê klesápre x, rastiepre x, 0. Df=Ê\{} rastiepre x Df. Df=Ê\{3} rastiepre x Df. Df=Ê\{k+π,k } rastiepre x Df VI.. Df=Ê funkcia je párna. Df= 0, funkcia nemá paritu 3. Df=Ê funkcia je nepárna 4. Df=Ê funkcia nemá paritu 5. Df=Ê funkcia je nepárna 6. Df=Ê funkcia nemá paritu 7. Df=Ê funkcia je párna 8. Df=Ê\{0} funkcia je nepárna 9. Df=Ê\{} funkcia nemá paritu 0. Df=Ê funkcia je párna. Df=Ê\{0} funkcia je nepárna. Df=Ê funkcia nemá paritu 3. Df=Ê\ { π +kπ,k } funkcia nemá paritu 4. Df=Ê funkcia nemá paritu

82 78 CvičeniazMatematikypreodboryAPSaTMS VII.. Df=Ê f x= x 3. Df=Ê\{ } f x= x +x 3. Df=Ê funkcia nie je prostá dôkaz cez definíciu 4. Df= 0, f x=x,pre x 0, 5. Df=, 3 f x= ex 3 6. Df=Ê f x= 3 x+ 7. Df=Ê\{ } f x= 3 x x 8. Df= 0, f x= x Df=, f x= 3 x + 0. Df=Ê { x, pre x 0 f x= x, pre x <0. Df=Ê funkcia nie je prostá. Df=Ê f x= lnx ln3 VIII.. Df=Ê p=3π. Df=Ê p= 3. Df=Ê p=π 4. Df=Ê funkcia nie je periodická 5. Df=Ê funkcia nie je periodická 6. Df=Ê p=π 7. Df=Ê\{0} funkcia nie je periodická 8. Df=Ê p=π 9. Df= π 4,3π 4 +kπ,kde k p=π 0. Df=Ê p=π. Df=Ê\{k+π,k } p=π. Df=Ê p= 3 π IX.. f n x= x +nx. fx=x 5x+6 3. fx=x 4. fx= + x + x

83 Limity postupností a funkcií 7 Veľmi dôležité upozornenie: Pri výpočte limít z tohto cvičenia nesmiete používať L Hospitalovo pravidlo a to ani v prípade ak ho poznáte a ak ho viete používať!!! Ak si nahlásite v domácich úlohach príklad, ktorý nebudete vedieť vyriešiť bez použitia L Hospitalovho pravidla, bude sa to považovať za podvod!!! Na tomto cvičení sa budú počítať jednoduché limity postupností a funkcií. Všetky príklady sú robené tak, aby sa dali vyriešiť pomocou vedomostí zo základnej a strednej školyúprava algebraických výrazov, delenie polynómov, súčtové vzorce pre gioniometrické funkcie,... a informácií obsiahnutých na prednáške a v skriptách. Žiaden tu uvedený príklad nevyžaduje použitie L Hospitalovho pravidla, alebo komplikovanejších nástrojov. Limity postupností Existencia limity postupnosti Každá monotónna a ohraničená postupnosť má limitu. Majmečíselnépostupnosti {x n }, {y n }a{z n }anechpre n Æplatí: y n x n z n.potomakexistujúlimitypostupností {y n }a{z n }asú rovnaké,t.j.platí:lim n y n =lim n z n = c,takexistujeajlimita postupnosti {x n }aplatí:lim n x n = c. Cauchyho kritérium konvergencienutná a postačujúca podmienkaexistencielimitypostupnosti:číselnápostupnosť {x n }málimitu práve vtedy, keď platí: ε >0 n 0 Æ: x n x n+p < ε pre n > n 0 a p Æ 79