Laboratórna úloha č. 3 Určenie momentov zotrvačnosti tuhých telies pomocou kyvadla na trifilárnom závese

Transcript

1 Laboratórna úloha č. 3 Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese Úloha: Určiť moment otrvačnosti vybraných telies. Teoretický úvod Moment otrvačnosti tuhého telesa je definovaný vťahom vdialenosť hmotného elementu x dm, kde x je d m od volenej osi. Vhľadom na rône osi má teleso rône momenty otrvačnosti. Výnamné sú momenty otrvačnosti vhľadom na osi rechádajúce ťažiskom telesa. V ríade telies ktoré majú jednoduchý tvar, dá sa integrál vyočítať, ale ri telesách s komlikovaným tvarom treba moment otrvačnosti určiť meraním. Naríklad re valec s hmotnosťou m a olomerom R latí 1 mr (1) Z definície vylýva, že moment otrvačnosti je aditívna veličina, t.j. moment otrvačnosti dvoch navájom sojených telies je súčtom ich momentov otrvačnosti vhľadom na tú istú os otáčania. Toto sa využíva na určenie momentu otrvačnosti telesa s komlikovanejším tvarom, ktoré sa umiestni na soločnú os s telesom, ktorého moment otrvačnosti sa dá vyočítať a meraním sa určí súčet ich momentov otrvačnosti. Rodiel nameraného a vyočítaného je otom momentom otrvačnosti telesa s komlikovanejším tvarom. edna metód merania momentu otrvačnosti využíva kyvadlo na trifilárnom (trojitom) ávese C (obr. 1). Homogénna kruhová latňa P s olomerom O B R a hmotnosťou m je symetricky avesená na troch A A C O Obráok 1: Trifilárny áves. y dlhých nitiach AA, BB, CC tak, že body A, B, C, ako aj A, B, C tvoria vrcholy rovnostranných trojuholníkov s ťažiskami O a O umiestnenými nad sebou. Ťažiskami recháda aj vislá os otáčania sodnej latne. Roviny trojuholníkov sú vodorovné, trojuholník ABC je neohyblivý, vdialenosť od jeho ťažiska O o jeho vrcholy onačíme r. Vychýlením sodnej latne rovnovážnej olohy o uhol vnikne moment síl, ktorý vracia latňu do rovnovážnej olohy, otáča ju okolo osi OO. Zotrvačnosťou latňa rekmitne ce rovnovážnu olohu, astaví sa ôsobe- 1

2 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese ním oačne ôsobiaceho momentu síl a ohyb sa oakuje oačnej strany latňa koná rotačný kmitavý ohyb. Doba kmitu T takéhoto kyvadla ávisí od momentu otrvačnosti latne, čo sa dá využiť na jeho určenie. Pri tejto metóde si treba uvedomiť, že ri ootočení okolo osi OO sa latňa aj nadvihne, väčší sa jej otenciálna energia. Výočet doby kmitu je reto ložitejší ako nar. ri fyikálnom kyvadle. Pri odvodovaní anedbáme trenie a rácu otrebnú na deformáciu (toriu) ávesných nití. Uvažujeme ohyb v homogénnom tiažovom oli Zeme a redokladáme nemennosť mechanickej energie sústavy. Najrv avedieme karteiánsku súradnicovú sústavu, ktorej ačiatok umiestnime do bodu, v ktorom sa nacháda bod O latne, keď je táto v rovnovážnej (najnižšej) olohe. Začiatok súradnicovej sústavy leží vo vdialenosti od evného bodu O. Os volíme vislo nahor, osi x a y tak, aby ich rovina ( xy ) bola vodorovná. Os x nech smeruje do bodu, v ktorom sa nacháda bod A latne P v okamihu, keď je latňa v najnižšej olohe. Od smeru osi x budeme odčítavať výchylku. Potenciálnu energiu latne v rovnovážnej olohe (, ) budeme ovažovať a nulovú. Pri výchylke rovnovážnej olohy má latňa výškovú súradnicu a teda otenciálnu energiu m g, kde m je hmotnosť latne. Ak latňa nie je v krajnej olohe, má uhlovú rýchlosť d a kinetickú energiu 1, ričom je jej moment otrvačnosti vhľadom na os OO. Súčet E týchto energií sa nemení, takže latí rovnica: 1 d m g E () Aby sme túto diferenciálnu rovnicu mohli riešiť, musíme vyjadriť ávislosť súradnice od uhla ootočenia. Výočet (ori dodatok), re ríad malých výchyliek, oskytuje výsledok (3) Po dosadení do rovnice (3.) dostaneme Rovnicu derivujeme odľa času: 1 d mg E (4) 1 d d m g d de ričom si uvedomíme, že de d t, lebo celková energia E sa nemení. Vykrátime výra d d t a tak ískame rovnicu

3 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese 3 d m g (5) ktorá má tvar diferenciálnej rovnice harmonického oscilátora. ej riešením je funkcia vyjadrujúca ávislosť výchylky od času: sin m g t γ (6) kde je amlitúda výchylky a ačiatočná fáa kmitavého ohybu. Z výsledku vylýva, že doba kmitu latne na trifilárnom ávese je odkiaľ vyočítame moment otrvačnosti: T π m g g m T kmt (7) 4π kde g k (8) 4π je konštanta rístroja. Aaratúra a ostu ráce Prístroje a omôcky Kyvadlo na trojitom (trifilárnom) ávese, telesá s nenámym momentom otrvačnosti, elektronické stoky, dĺžkové meradlo, osuvné meradlo, váhy. Vrchný áves je risôsobený na rokývanie kyvadla omocou dvoch rstencových dielcov, ktorých vájomné ootočenie sa dá merať v dielikoch (1 dielik = 4). Pri meraní oužívajte výchylku maximálne 1,5 dielika. Postu ráce 1. Odmerajte veličiny, R, r a vyočítajte konštantu rístroja.. Odmerajte olomer R ákladnej latne a vyočítajte jej moment otrvačnosti odľa vťahu (1). Hmotnosť latňa je homogénna. m latne je uvedená na rístroji. Predokladáme, že v

4 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese 4 3. Odmerajte dobu kmitu T ákladnej kruhovej latne a oužite ju na výočet momentu otrvačnosti. Výsledok orovnajte s vyočítanou hodnotou v. Počet kmitov otrebných na určenie doby kmitu určí vedúci cvičenia. 4. Meraním určte moment otrvačnosti k kruhovej latne s otvormi. Umiestnite ju symetricky na ákladnú latňu, odmerajte dobu kmitu T s a využite ju ri výočte ich soločného momentu otrvačnosti s. Moment otrvačnosti latne s otvormi ískate ako rodiel nameranej hodnoty a momentu otrvačnosti ákladnej latne. 5. Moment otrvačnosti k latne s otvormi určte výočtom ak onáte jej hmotnosť m k a jej romery (nájdete ich v laboratóriu ri úlohe). Platňa má hustotu 3 7,66 g/cm. Problém riešte tak, že najrv vyočítate moment otrvačnosti lnej latne, od ktorého odčítate momenty otrvačnosti vyreaných častí. Treba ritom oužiť Steinerovu vetu. 6. Vážením istite hmotnosť m každého oloveného ádra (sú ribližne rovnaké), ádre otom umiestnite na ákladnú latňu nastojato roti sebe ( h ). Kvádre budete ostune osúvať k okrajom latne symetricky voči stredu tak, aby ste mohli merať ávislosť T f h, kde h je vdialenosť stredov sodných hrán ádrov od stredu latne (obr. ). Pri meraní olohy h oužívajte kruž- Obráok : Meranie olohy ádrov na ákladnej latni nice na ákladnej latni, ktorých olomery rastú o 1 cm. Na áklade výsledkov merania určte hmotnosť m ádrov a orovnajte s hodnotou, ktorú ste ískali vážením. Mo- km ment otrvačnosti ákladnej latne solu s ádrami osunutými o h od stredu latne sa rovná súčtu m h, kde je moment otrvačnosti ákladnej latne, h moment otrvačnosti každého ádrov vhľadom na os rechádajú- cu jeho ťažiskom a h m je člen vylývajúci o Steinerovej vety, ričom je olovica dĺžky hrany ákladne hranola. Po dosadení takéhoto momentu otrvačnosti do risôsobeného vťahu (7) dostaneme h km m m T odkiaľ vylýva lineárna ávislosť štvorca doby kmitu od štvorca vdialenosti h : T a bh (9) kde. Veličina b je smernica tejto ávislosti. a, k m m m m b k m m

5 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese 5 Po odmeraní dôb kmitu ri viacerých vdialenostiach h vynesieme ávislosť h do grafu, určíme smernicu b a omocou nej vyočítame hmotnosť ádrov: T od m bk m (1) 1 bk Dodatok odvodenie vťahu medi výškovou súradnicou a uhlom. Keď je latňa P v rovnovážnej olohe, bod A má súradnice R,,. Pri otočení latne o uhol má bod A súradnice R cos, r sin,, ale bod A má stále rovnaké súradnice r,,. Pritom je vdialenosť medi bodmi O a O v okamihu, keď je latňa v rovnovážnej olohe. Vdialenosť AA, čo je dĺžka nití, ri výchylke sa vyjadrí vťahom Rcos r R sin odkiaľ ískame vťah aj ri nulovej výchylke (vtedy aj ): R r. Z rovnosti ravých strán ískame re súradnicu adratickú rovnicu ktorej riešenia sú 1 cos cos 1 1, cos Znamienko + v riešení adratickej rovnice nie je fyikálne oodstatnené. Pri malých výchylkách môžeme funkciu cos nahradiť rvými dvomi členmi jej rovoja do Taylorovho radu: cos 1, takže o dosadení od odmocninu re súradnicu dostaneme Pri úrave výrau s odmocninou oužijeme binomický rovoj, ričom oäť ohľadníme iba rvé dva členy rovoja:

6 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese 6 Otáky 1. Pri akých jednodušeniach bol odvodený vťah (7) na výočet momentu otrvačnosti?. Možno uvedenú metódu oužiť na určenie momentu otrvačnosti telesa, ktorého ťažisko neleží na osi otáčania ákladnej latne? 3. Rohodnite, kedy je odčítavanie času resnejšie ri maximálnej výchylke kyvadla, alebo ri rechode rovnovážnou olohou. 4. Ktorú otrebných veličín na určenie momentu otrvačnosti musíme merať čo najresnejšie?

7 Meno: Krúžok: Dátum merania: Protokol laboratórnej úlohy č. 3 Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese Ois metódy merania Vťahy ktoré sa oužívajú ri meraní Prístroje a omôcky 1

8 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese Zánam merania a výsledky Tabuľka 1: Parametre rístroja R r konštanta rístroja k Výočet: k = Tabuľka : Výočet momentu otrvačnosti ákladnej latne veličina m R v veľkosť a jednotka Výočet v = Tabuľka 3: Meranie momentu otrvačnosti ákladnej latne doba kmitu T riemer T = Rodiel v = Výočet = km T = Tabuľka 4: Výočet Meranie momentu otrvačnosti kruhovej latne s otvormi doba kmitu T s riemer T s s = k = s = Výočet s = k(m + m k )T s = Tabuľka 5: Výočet momentu otrvačnosti kruhovej latne s otvormi hmotnosť m k olomer R k výška h hustota r d otvorov vdialenosť r v 7,66 g/cm 3 1 lnej latne d materiálu otvoru k latne s otvormi Výočet k =

9 3. Určenie momentov otrvačnosti tuhých telies omocou kyvadla na trifilárnom ávese 3 Tabuľka 6: Meranie ávislosti T = f (h ) ákladnej latne s ádrami i h 5 T T h T smernica graf. ávislosti b = hmotnosť ádra m = Výočet m = Hmotnosť ádrov ískaná vážením: rvý áder m = druhý áder m = riemerná hmotnosť m = Prílohy graf ávislosti T = f (h ) Slovné hodnotenie výsledkov: Dátum odovdania rotokolu: Podis študenta: Podis učiteľa: