Κεφάλαιο 1 1 Εισαγωγικές Έννοιες

Transcript

1 Σελίδα από 54 8/9/005 Κεφάλαιο Εισαγωγικές Έννοιες ΣΎΝΟΛΑ Υποσύνολα, Τοµή, Ένωση4 Καρτεσιανό Γινόµενο Συνόλων 6 Επεξεργασµένα παραδείγµατα 7 Ασκήσεις 0 Απαντήσεις / Υποδείξεις 0 ΑΠΕΙΚΟΝΊΣΕΙΣ Γραφική Παράσταση Απεικονίσεων Σύνθεση Απεικονίσεων 4 Αντίστροφη Απεικόνιση 6 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα9 Ασκήσεις Απαντήσεις/Υποδείξεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ ΕΠΑΓΩΓΉ 4 εύτερη Μορφή της Επαγωγής 5 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα6 Ασκήσεις 8 Απαντήσεις /Υποδείξεις 8 4 ΜΙΓΑ ΙΚΟΊ ΑΡΙΘΜΟΊ 9 Πράξεις Μιγαδικών Αριθµών 9 Αντίστροφοι Μιγαδικών Αριθµών0 Μέτρο Μιγαδικού Αριθµού Συζυγής Μιγαδικού Αριθµού Γραφική Αναπαράσταση Μιγαδικών Αριθµών4 Τριγωνοµετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθµού5 Θεώρηµα του De Moivre και Εξισώσεις8 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα40 Ασκήσεις 44 Απαντήσεις / Υποδείξεις ΠΟΛΥΏΝΥΜΑ 45 Ρίζες Πολυωνύµων47 Σχέσεις του Vieta50 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα50 Ασκήσεις 55 Απαντήσεις / Υποδείξεις 55 Ασκήσεις του Κεφαλαίου 54 Σε αντίθεση µε τους φοιτητές των κλασικών Ανωτάτων Εκπαιδευτικών Ιδρυµάτων, οι φοιτητές του ΕΑΠ συνήθως αρχίζουν τις πανεπιστηµιακές σπουδές αφού έχει µεσολαβήσει ένα σηµαντικό χρονικό διάστηµα από την αποφοίτησή τους από το Λύκειο Εποµένως πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε οι Θεµατικές Ενότητες που διδάσκονται στο πρώτο έτος του ΕΑΠ να παρέχουν την ευκαιρία υπενθύµισης βασικών εννοιών από την ύλη που διδάσκεται στη µέση εκπαίδευση Αυτός είναι ο σκοπός του Κεφαλαίου Θα υπενθυµίσουµε µερικές θεµελιώδεις έννοιες των µαθηµατικών που είναι απαραίτητες για τα επόµενα κεφάλαια Συγκεκριµένα θα ασχοληθούµε µε σύνολα, απεικονίσεις, τους µιγαδικούς αριθµούς, και πολυώνυµα Επίσης θα αναφερθούµε Συγγραφέας Μιχάλης Μαλιάκας, mmaliak@mathuoagr

2 Σελίδα από 54 8/9/005 στην µέθοδο απόδειξης που ονοµάζεται µαθηµατική επαγωγή Με τον τρόπο αυτό διευκολύνεται η µελέτη της ύλης της ΠΛΗ και ιδιαίτερα του συγγράµµατος Γραµµική Άλγεβρα

3 Σελίδα από 54 Σύνολα Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούµε συνοπτικά στην έννοια του συνόλου και θα καθιερώσουµε µερικούς συµβολισµούς Ένα σύνολο είναι µια συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων Τα αντικείµενα αυτά λέγονται στοιχεία του συνόλου Τα σύνολα συνήθως συµβολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα και τα στοιχεία τους µε πεζά Ο συµβολισµός a Aσηµαίνει ότι το a είναι στοιχείο του συνόλου A Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το στοιχείο a ανήκει στο σύνολο Α Ο συµβολισµός a Aσηµαίνει ότι το a δεν είναι στοιχείο του Α Για να περιγράψουµε ένα σύνολο χρησιµοποιούµε άγκιστρα { } και ανάµεσά τους περιγράφουµε τα στοιχεία του συνόλου Για παράδειγµα, A = {,,, 4}, B=, a, b,αθήνα,μυτιλήνη Για τα σύνολα αυτά έχουµε 4 A, 5 A, Μυτιλήνη B, Χίος B Οι συνήθεις τρόποι περιγραφής των στοιχείων ενός συνόλου είναι: A =,,, 4,5,6,7,8,9,0 πλήρης καταγραφή, πχ { } καταγραφή αρκετών στοιχείων ώστε να είναι σαφές ποια είναι τα στοιχεία, πχ A =,,,0 { } αναγραφή ιδιοτήτων που καθορίζουν τα στοιχεία, πχ A= xείναι ακέραιος και x 0 { } Αν S είναι ένα σύνολο και P µια ιδιότητα, τότε το σύνολο x Sxέχει την ιδιότητα P αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία του S που { } ικανοποιούν την ιδιότητα P Για παράδειγµα, έχουµε {,,,0} = { x Z x 0} υο σύνολα λέγονται ίσα αν έχουν τα ίδια στοιχεία Για παράδειγµα, έστω x A xάρτιος είναι ίσα A = {,,,0} Τότε τα σύνολα { }, 4,6,8,0 και { } εχόµαστε ότι υπάρχει ένα σύνολο που δεν έχει στοιχεία Αυτό ονοµάζεται το κενό σύνολο και συµβολίζεται µε Στη Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ θα αναφερθούµε συχνότατα στα παρακάτω σύνολα Z =,,0,, είναι το σύνολο των ακεραίων { } N = {,,,} είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων Q είναι το σύνολο των ρητών αριθµών R είναι το σύνολο πραγµατικών αριθµών C είναι το σύνολο των µιγαδικών αριθµών Τα παραπάνω δεν αποτελούν έναν αυστηρό ορισµό της έννοιας του συνόλου Η έννοια αυτή είναι θεµελιακή και δεν είναι δυνατό να αναχθεί σε απλούστερες έννοιες Μια παρόµοια κατάσταση συµβαίνει µε την έννοια του σηµείου στη γεωµετρία

4 Σελίδα 4 από 54 Υποσύνολα, Τοµή, Ένωση Ορισµός Έστω AB, δυο σύνολα Αν κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του Β θα λέµε ότι το A είναι υποσύνολο του Β και θα γράφουµε A B Για παράδειγµα έχουµε N Zκαι Q R Παρατήρηση υο σύνολα AB, είναι ίσα αν και µόνο αν ισχύει A Bκαι B A Έστω ότι το A είναι υποσύνολο του B Αν υπάρχει στοιχείο του B που δεν είναι στοιχείο του Α, τότε θα λέµε ότι το A είναι γνήσιο υποσύνολο του Β Για παράδειγµα, το,,, 4, 5 Το N είναι γνήσιο υποσύνολο του Z {,, } είναι γνήσιο υποσύνολο του { } Ορισµός Έστω Α, Β δυο σύνολα ) Η τοµή των AB, είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β και συµβολίζεται µε A B ) Η ένωση των AB, είναι το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο Α ή Β και συµβολίζεται µε A B Για παράδειγµα, αν A= { a, b,,,} και B= { a, c,,4,5,6} τότε A B { a,} = {,,,,,,4,5,6} A B abc = και Η γραφική αναπαράσταση της τοµής και ένωσης µπορεί να αποδοθεί ως το χρωµατισµένο τµήµα των εξής διαγραµµάτων Α Β Α Β Παρατήρηση Από τους παραπάνω ορισµούς, βλέπουµε ότι για κάθε δυο σύνολα AB, ισχύουν οι σχέσεις A B A, A B B A A B, B A B Όταν σε µια παράσταση έχουµε τοµές και ενώσεις συνόλων, είναι συχνά απαραίτητο να χρησιµοποιούµε παρενθέσεις Για παράδειγµα, το σύνολο ( A B) C γενικά δεν είναι ίσο µε το A ( B C) Πράγµατι, αν { } A= {,}, B= {,}, C = 4,5, τότε έχουµε ( A B) C = {} {4,5} = {, 4,5} ενώ A ( B C) = {,} {,,4,5} = { }

5 Σελίδα 5 από 54 Υπάρχουν βέβαια παραστάσεις όπου δεν χρειάζονται παρενθέσεις Για παράδειγµα, αν ABC,, είναι τυχαία σύνολα τότε το ( A B) Cείναι ίσο µε το A ( B C) Πράγµατι, παρατηρούµε ότι x ( A B) C x A Bή x C x Aή x Bή x C και x A ( B C) x Aή x B C x Aή x Bή x C Εποµένως x ( A B) C x A ( B C) Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε ( A B) C = A ( B C) Επειδή οι παρενθέσεις στην παραπάνω ισότητα δεν είναι απαραίτητες, µπορούµε να τις παραλείψουµε, οπότε γράφουµε απλά A B C Μερικές απλές ιδιότητες της τοµής και ένωσης δίνονται στην παρακάτω πρόταση Πρόταση Έστω ABC,, σύνολα Τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις A A= A A A= A A B = B A A B = B A A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( A B) = A A ( A B) = A A = A = A Απόδειξη Καθεµιά από τις παραπάνω σχέσεις αποδεικνύεται άµεσα από τους ορισµούς Αποδείξαµε πριν την τρίτη σχέση στη δεξιά στήλη Ενδεικτικά ας αποδείξουµε τώρα τη σχέση A ( B C) = ( A B) ( A C) Έχουµε x A ( B C) x A x A και και x B C x Bή x C x Aκαι x B x A B ή ή x Aκαι x C x A C x ( A B) ( A C) Αν S είναι ένα σύνολο και A S, τότε το συµπλήρωµα του A στο S είναι το σύνολο { x Sx A} και συµβολίζεται µε S \ A ή S A Για παράδειγµα, αν S = {,,,,} a b και A {,} a, τότε = S A= { b,,} Το σύνολο { } R είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών εκτός από το Συχνά χρησιµοποιούµε το c συµβολισµό A στη θέση του S Aόταν είναι σαφές ποιο S εννοούµε Α S

6 Σελίδα 6 από 54 Το συµπλήρωµα του Α αναπαρίσταται από το χρωµατισµένο τµήµα του S 4 Παρατήρηση c Επισηµαίνουµε ότι από τον ορισµό του συµπληρώµατος έπεται η σχέση ( A ) = A 5 Πρόταση (Νόµοι του De Morga) Έστω S ένα σύνολο, A S και B S Τότε ισχύουν οι σχέσεις ( ) c c c A B = A B ( A B) c = A c B c c Απόδειξη Θα αποδείξουµε την πρώτη ισότητα Η απόδειξη της δεύτερης είναι παρόµοια Για να δείξουµε ότι ( ) c c A B = A B c αρκεί να δείξουµε ότι ( ) c c c ) c c c c και A B ( A B) A B A B Έστω x ( A B Τότε x S και x A B Εποµένως έχουµε x Aή x B ηλαδή x c c A ή x B c c Άρα x A B, c c c Έστω x A B Τότε x A ή x c x A B, δηλαδή x ( A B) c c c οπότε ( A B) A B B c Εποµένως x A c c Συνεπώς A B ( A B) ή x B Άρα c Καρτεσιανό Γινόµενο Συνόλων Έστω ab, δυο διακεκριµένα στοιχεία ενός συνόλου Γνωρίζουµε ότι { ab,} = {,} ba Σε πολλές περιπτώσεις επιθυµούµε να διακρίνουµε πιο στοιχείο είναι πρώτο και πιο δεύτερο Τότε χρησιµοποιούµε διατεταγµένα ζεύγη Υπενθυµίζουµε ότι αν έχουµε δυο σύνολα Α, Β, τότε ένα διατεταγµένο ζεύγος στοιχείων των Α, Β είναι ένα ζεύγος της µορφής ( ab, ), όπου a Aκαι b B Λέµε ότι το στοιχείο a (αντίστοιχα, b ) είναι η πρώτη (αντίστοιχα, δεύτερη) συντεταγµένη του διατεταγµένου ζεύγους ( ab, ) υο διατεταγµένα ζεύγη ( ab, ),( a, b ) είναι ίσα αν και µόνο αν a = a και b= b, δηλαδή ( ab, ) = ( a, b ) a= a, b= b 6 Ορισµός Έστω σύνολα AB, Το καρτεσιανό γινόµενο των AB, είναι το σύνολο που τα στοιχεία του είναι τα διατεταγµένα ζεύγη ( ab, ), όπου a Aκαι b B, και συµβολίζεται µε A B Για παράδειγµα, αν A = {, } και B = {, bc, }, τότε έχουµε A B= {(,), (, b), (, c), (,), (, b), (, c) } Και εδώ εξακολουθούµε να µην είµαστε µαθηµατικώς αυστηροί στον ορισµό Όµως για το σκοπό µας ο παραπάνω ορισµός κρίνεται επαρκής

7 Σελίδα 7 από 54 B A= {(,),( b,),( c,),(,),( b,),( c,) } A A= {(,), (, ), (,), (, ) } { } B B= (,),(, b),(, c),( b,),( b, b),( b, c),( c,),( c, b),( c, c ) Σηµείωση Η έννοια του καρτεσιανού γινοµένου µας είναι γνωστή Από τα µαθητικά µας χρόνια γνωρίζουµε ότι τα σηµεία του επιπέδου στο οποίο υπάρχει ένα σύστηµα αξόνων αναπαρίστανται ως διατεταγµένα ζεύγη ( x, y), όπου xy, R Στην αναλυτική γεωµετρία συνηθίζεται να ταυτίζουµε το επίπεδο µε το καρτεσιανό γινόµενο R R Περισσότερα επί αυτού θα δούµε σε επόµενα κεφάλαια Αν έχουµε περισσότερα σύνολα, έστω A, A,, A, τότε ορίζεται το καρτεσιανό γινόµενο αυτών µε ανάλογο τρόπο, δηλαδή ως το σύνολο των διατεταγµένων -άδων ( a, a,, a), όπου ai A i για κάθε i Το σύνολο αυτό συµβολίζεται µε A A A Στην ειδική περίπτωση που όλα τα σύνολα είναι ίσα A = = A = A, θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό A στη θέση του A A Για παράδειγµα, µε R συµβολίζουµε το σύνολο των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών, µε R το σύνολο των διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών και µε R το σύνολο των διατεταγµένων άδων πραγµατικών αριθµών 7 Επεξεργασµένα παραδείγµατα Εξετάστε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι ίσα µεταξύ τους A =, Λύση B = { } { R 0} { R 5 6 0} { R ( 4) 0 9) 0 } { Z } C = x x < D= x x x+ = E = x x x = F = x x = Παρατηρούµε ότι { x R x 0} < = γιατί το τετράγωνο κάθε πραγµατικού αριθµού είναι µη αρνητικός αριθµός Άρα B = C Λύνοντας τη δευτεροβάθµια εξίσωση x ( 5) ( 5) 4 6 5x+ 6= 0 βρίσκουµε ± x =, δηλαδή x = και x = Άρα έχουµε A= D 0 Οι λύσεις της εξίσωσης ( x 4) ( x 9) = 0 είναι,,, και άρα { x ( x 4) 0 ( x 9) = 0 } = {,,, } Τέλος παρατηρούµε ότι { x x } R είναι ακέραιοι Συνεπώς B = F Z = = γιατί οι αριθµοί και δεν Έστω S ένα σύνολο και AB, υποσύνολά του Αποδείξτε ότι οι παρακάτω σχέσεις είναι ισοδύναµες

8 Σελίδα 8 από 54 a A B b A B= A c A B= B c d A B = c c e B A Λύση Ένας τρόπος να αποδείξουµε το ζητούµενο είναι να αποδείξουµε καθεµιά από τις συνεπαγωγές a b c d e a Όµως στο συγκεκριµένο παράδειγµα είναι πιο φυσιολογικό να αποδείξουµε ότι καθεµιά από τις σχέσεις b µέχρι και e είναι ισοδύναµη µε την a Ας τις δούµε µία προς µία a b Έστω ότι A B Τότε από τον ορισµό της τοµής έπεται άµεσα ότι A B= A Αντίστροφα, έστω ότι A B= A Από τη σχέση A B Bπαίρνουµε A B a c Έστω ότι A B Τότε A B= B Αντίστροφα, έστω ότι A B= B Τότε από τη σχέση A A Bπαίρνουµε A B a d c Έστω ότι A BΈστω ότι υπάρχει x A B Τότε έχουµε x A και c x B Άρα x A B, δηλαδή x B Αυτό είναι άτοπο Άρα A B = c Αντίστροφα, έστω ότι A B = Έστω x A Από την υπόθεση c συµπεραίνουµε ότι x B, δηλαδή x B Άρα A B a e c Έστω ότι A B Έστω x B Τότε x B και από την υπόθεση παίρνουµε c c c ότι x A Άρα x A Συνεπώς B A c c Αντίστροφα, έστω ότι B A Από την περίπτωση που µόλις αποδείξαµε c c c συµπεραίνουµε ότι ( A ) ( B ) Έστω ότι ABC,, είναι σύνολα Αποδείξτε τις σχέσεις ( ) ( ) c Από την Παρατήρηση 4 έχουµε A B A B C = A C B C A B C = A C B C Λύση Θα αποδείξουµε την πρώτη σχέση Η απόδειξη της δεύτερης είναι παρόµοια Αρκεί να δείξουµε ότι A B C A C B C A C B C A B C ( ) και ( ) Έστω ( x, y) ( A B) C Τότε x A Bκαι y C Άρα x A εποµένως ( x, y) ή x B και A C ή ( x, y) B C Τελικά ( x, y) A C B C Συνεπώς έχουµε αποδείξει ότι ( A B) C A C B C

9 Σελίδα 9 από 54 Για να δείξουµε τη σχέση A C B C ( A B) Cπαρατηρούµε ότι από τη σχέση A A Bπαίρνουµε A C ( A B) C Όµοια από την B A B παίρνουµε B C ( A B) C Συνεπώς έχουµε A C B C ( A B) C

10 Σελίδα 0 από 54 Ασκήσεις ) Ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι το κενό σύνολο; a { x R 0 x } { x R x 7x+ = 0} b { x R 0 x } { x R x> 0} c { x R x 0} Z ) Το σύνολο A B, όπου A= { x R x > 0} και B= { x Z x = 5} ακριβώς ένα στοιχείο Ποιο είναι αυτό; ) Έστω S ένα σύνολο και AB, δυο υποσύνολά του Αποδείξτε ότι οι παρακάτω σχέσεις είναι ισοδύναµες a A B c b A B= S 4) Έστω AB, δυο µη κενά σύνολα τέτοια ώστε A B= B A Τι συµπεραίνετε για τα AB, ; 5) Έστω σύνολα ABCD,,, Αποδείξτε ότι ( A B) ( C D) = ( A C) ( B D) έχει Απαντήσεις / Υποδείξεις ) Μόνο το πρώτο ) 5 ) Βλ Επεξεργασµένα παραδείγµατα 7 ) 4) Είναι ίσα 5) Βλ Επεξεργασµένα παραδείγµατα 7

11 Σελίδα από 54 Απεικονίσεις Ο σκοπός µας εδώ είναι να υπενθυµίσουµε βασικές έννοιες σχετικά µε απεικονίσεις Θα επιµείνουµε στις έννοιες εκείνες που θα µας βοηθήσουν στη µελέτη της Γραµµικής Άλγεβρας Έστω X, Y δυο σύνολα Μια απεικόνιση f από το X στο Y είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο x του Χ ακριβώς ένα στοιχείο f ( x ) του Υ Οι απεικονίσεις ονοµάζονται και συναρτήσεις Το σύνολο Χ που αναφέραµε πιο πάνω ονοµάζεται το πεδίο ορισµού της απεικόνισης f και το Υ το πεδίο τιµών της f Το στοιχείο f ( x ) λέγεται η εικόνα του x µέσω της f Η εικόνα της απεικόνισης f είναι το σύνολο { f ( x) Y x X} και συµβολίζεται µε f ( X ) Θα συµβολίζουµε µια απεικόνιση f από το Χ στο Υ µε f : X Y και αν θέλουµε να δηλώσουµε ότι η εικόνα του x είναι το στοιχείο f ( x) θα γράφουµε f : X Y, x f( x) Παραδείγµατα ) Η εικόνα της απεικόνισης f : R R, f( x) = x είναι το σύνολο των µη αρνητικών πραγµατικών αριθµών ) Η εικόνα της απεικόνισης f : R R R,( xy, ) x+ yείναι όλο το R Πράγµατι, αν z R, τότε έχουµε f (,0) z = z ) Η εικόνα της απεικόνισης f : R R, f( x) = x + είναι το σύνολο { x R x } του x, δηλαδή Υπενθυµίζουµε εδώ ότι µε x συµβολίζουµε την απόλυτη τιµή x, αν x 0 x = x, αν x 0 υο απεικονίσεις f : X Y, g: X Y λέγονται ίσες αν X = X, Y = Y και για κάθε x X ισχύει f ( x) = g( x) Για παράδειγµα οι απεικονίσεις f : Z Z, f( x) = και g: Z Z, g( x) = cos(kπ ) είναι ίσες - και Επί Απεικονίσεις Έστω f : X Y µια απεικόνιση Η f λέγεται επί αν για κάθε y Y υπάρχει x X τέτοιο ώστε f ( x) = y ένα προς ένα (ή πιο σύντοµα -) αν κάθε φορά που ισχύει η σχέση f ( x) = f( x ) έπεται ότι x = x, ή ισοδύναµα αν κάθε φορά που ισχύει η σχέση x xέπεται ότι f ( x) f( x) ηλαδή µια απεικόνιση είναι επί αν κάθε στοιχείο του πεδίο τιµών ανήκει στην εικόνα Μια απεικόνιση είναι - αν σε οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισµού αντιστοιχούν διαφορετικά στοιχεία του πεδίου τιµών

12 Σελίδα από 54 Απεικόνιση που δεν είναι επί Απεικόνιση που δεν είναι - Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, είναι χρήσιµο να υπενθυµίσουµε συµβολισµούς για µερικά συγκεκριµένα υποσύνολα του R, τα λεγόµενα διαστήµατα Έστω ab, R µε a b Θέτουµε { R } { R } { R } { R } { R } { R } { R } { R } [ ab, ] = x a x b, [ ab, ) = x a x< b ( ab, ] = x a< x b, ( ab, ) = x a< x< b [ a, ) = x a x, ( a, ) = x a< x (, a] = x x a, (, a) = x x< a Με χρήση αυτού του συµβολισµού έχουµε, για παράδειγµα, [,) και [,) Παραδείγµατα ) Η απεικόνιση f : R R, f( x) = x δεν είναι επί γιατί η εικόνα της δεν είναι όλο το R Επίσης αυτή δεν είναι - αφού έχουµε, για παράδειγµα, f ( ) = f () ) Η απεικόνιση f : R [0, ), f( x) = x, είναι επί γιατί η εικόνα της είναι το [0, ) εν είναι - ) Η απεικόνιση f : Z Z, f( x) = x+ δεν είναι επί γιατί η εικόνα της είναι το σύνολο των περιττών ακεραίων Αυτή είναι - γιατί αν f ( x) = f( x), τότε x + = x + x = x x = x 4) Η απεικόνιση f : R R, f( x) = x+ είναι επί Πράγµατι, έστω y R y y Θέτοντας x = παρατηρούµε ότι f ( x) = f = ( y ) + = y y (Σηµείωση: Το στοιχείο x = το βρήκαµε λύνοντας ως προς x την εξίσωση y = f( x), δηλαδή την y = x+ ) H απεικόνιση f είναι - Σχόλιο Όπως είδαµε στο τελευταίο παράδειγµα, για να βρούµε την εικόνα µιας απεικόνισης f : X Y εξετάζουµε για ποια y Y υπάρχει x X τέτοια ώστε y = f( x) Στην περίπτωση που η f δίνεται από έναν τύπο, τότε

13 Σελίδα από 54 συνήθως ελέγχουµε αν κάποια εξίσωση (ή σύστηµα εξισώσεων) έχει λύσεις Ας δούµε δυο σχετικά παραδείγµατα x 5) Εξετάστε αν η απεικόνιση f : R {} R, f( x) = x, είναι επί ή/και - Πρώτα εξετάζουµε αν είναι επί Έστω y R ένα στοιχείο της εικόνας της f x Τότε για κάποιο x R {} ισχύει y = Έχουµε x x y = x= yx y x( y) = y x Η τελευταία εξίσωση έχει λύση ως προς x αν και µόνο αν y Στην y περίπτωση που y, τότε το x = είναι διάφορο του, γιατί y y = y = y 0=,άτοπο Άρα το x αυτό ανήκει στο πεδίο y ορισµού της f Συνεπώς η εικόνα της f είναι το R { } ηλαδή η f δεν είναι επί Ας εξετάσουµε τώρα αν η f είναι - Έστω x, x R {} τέτοια ώστε ( ) = ( ) Έχουµε f x f x x x f( x) = f( x) = x x xx x = xx x x = x x = x Άρα η f είναι - x 6) Ας προσδιορίσουµε την εικόνα της απεικόνισης f : R R, f( x) = x + x + Έστω y ένα στοιχείο της εικόνας Τότε για κάποιο x έχουµε x y = yx yx y x yx ( y ) x y 0 x + x+ + + = + + = Η τελευταία εξίσωση είναι δευτεροβάθµια ως προς x και έχει πραγµατικές λύσεις αν και µόνο αν η διακρίνουσα είναι µη αρνητική, δηλαδή ( ) y y 4 0 ( y y)( y + y) 0 ( y+ )(y ) 0 y Εποµένως η εικόνα είναι το σύνολο, Γραφική Παράσταση Απεικονίσεων Έστω f : X Y µια απεικόνιση όπου τα σύνολα Χ, Υ είναι υποσύνολα του R Τότε µπορούµε να παραστήσουµε γραφικά την f σαν το σύνολο των σηµείων ( x, y ) του επιπέδου που ικανοποιούν την εξίσωση y = f( x) Η γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο x

14 Σελίδα 4 από 54 f {(, ) ( )} C = x y R y = f x Για παράδειγµα η γραφική παράσταση της απεικόνισης f : R R, f( x) = x+, είναι µια ευθεία όπως φαίνεται στο σχήµα Μια διεξοδική µελέτη γραφικών παραστάσεων θα δούµε στο Λογισµό Μιας Μεταβλητής Προς το παρόν θα αρκεστούµε σε δυο παρατηρήσεις που απορρέουν άµεσα από τον ορισµό της απεικόνισης και τον ορισµό της - απεικόνισης Η καµπύλη στο διπλανό σχήµα δεν είναι η γραφική παράσταση απεικόνισης, γιατί είναι δυνατό να τη τµήσουµε µε έναν κατακόρυφο άξονα έτσι ώστε να λάβουµε δυο σηµεία τοµής ηλαδή, υπάρχει τουλάχιστον ένα x που αντιστοιχίζει σε περισσότερα του ενός στοιχεία του Υ Η καµπύλη στο διπλανό σχήµα είναι η γραφική παράσταση µιας απεικόνισης που δεν είναι - Πράγµατι, µπορούµε να τµήσουµε την καµπύλη µε µια οριζόντια ευθεία έτσι ώστε να λάβουµε δυο σηµεία τοµής Με άλλα λόγια, υπάρχουν δυο διαφορετικά x που αντιστοιχίζουν στο ίδιο y Σύνθεση Απεικονίσεων Έστω f : X Y, g: Y Z δύο απεικονίσεις τέτοιες ώστε το πεδίο τιµών της f είναι το πεδίο ορισµού της g Τότε έχει νόηµα να µιλάµε για τα στοιχεία g( f( x)), όπου x X Εποµένως µπορούµε να ορίσουµε την απεικόνιση g f : X Z, g f ( x) = g f x ( ) ( ( )) Αυτή λέγεται η σύνθεση των f και g Η σύνθεση µπορεί να παρασταθεί γραφικά µε το επόµενο διάγραµµα

15 Σελίδα 5 από 54 f g Χ Υ g f Ζ Παρατηρούµε ότι αν ορίζεται η σύνθεση πεδίο ορισµού της f g f, τότε το πεδίο ορισµού της είναι το Παραδείγµατα ) Για τις απεικονίσεις f : R R, f( x) = x + x+ και g: R R, g( x) = x έχουµε ( g f )( x) = g( f( x)) = g( x + x+ ) = x + x+ και ( ) ( ) ( ) ) Αν f g ( x) = f g( x) = f x = 4x + x+ Παρατηρούµε ότι g f f g R R = + και g: R R, g( x) = x f :, f( x, y) x y ( ) ( ) τότε g f ( xy, ) = g( f( xy, )) = gx ( + y) = x+ y Η σύνθεση f g δεν ορίζεται Στην περίπτωση που έχουµε τρεις απεικονίσεις όπως παρακάτω f : X Y, g: Y Z, h: Z W τότε εκτός από τις συνθέσεις g f, h gορίζονται και οι ( h g) f, h ( g f) Οι τελευταίες δυο απεικονίσεις είναι ίσες Πράγµατι, αυτές είναι απεικονίσεις από το X στο W και επιπλέον έχουµε h g f ( x) = h g ( f( x)) = h( g( f( x))) = h(( g h)( x)) = h ( g h) ( x) (( ) ) ( ) ( ) για κάθε x X 4 Σηµείωση Ορίσαµε πριν τη σύνθεση g f για απεικονίσεις της µορφής f : X Y, g: Y Z Θα δούµε τώρα ότι η σύνθεση µπορεί να ορισθεί σε ελαφρώς πιο γενικό πλαίσιο Έστω δυο απεικονίσεις f : X Y, g: Z W Αν ισχύει η συνθήκη f ( X) Z, δηλαδή η εικόνα της f να περιέχεται στο πεδίο ορισµού της g, τότε η εικόνα g( f( x)) ορίζεται για κάθε x X Συνεπώς στην περίπτωση αυτή ορίζεται η σύνθεση ( ) g f : X W, g f ( x) = g( f( x)) 5 Πρόταση Έστω f : X Y, g: Y Z δυο απεικονίσεις Ισχύουν τα εξής Αν οι f και g είναι επί, τότε και σύνθεση g f είναι επί Αν οι f και g είναι -, τότε και η σύνθεση g f είναι - Αν οι f και g είναι - και επί, τότε και η σύνθεση g f είναι - και επί

16 Σελίδα 6 από 54 Απόδειξη Έστω ότι οι f, g είναι επί Για να δείξουµε ότι η g f z Z Επειδή η g είναι επί, υπάρχει y Y τέτοιο ώστε g( y) = z Επειδή η f είναι επί, υπάρχει x X τέτοιο ώστε f ( x) = y Από τις σχέσεις αυτές έχουµε g( f( x)) είναι επί, έστω = z, δηλαδή ( g f )( x) = z Άρα η g f είναι επί Έστω ότι οι f, g είναι - Για να δείξουµε ότι η g f είναι -, έστω x, x X g f x = g f x Τότε g( f( x)) = g( f( x)) και επειδή η g είναι - έχουµε f ( x) = f( x ) Επειδή η f είναι - παίρνουµε x = x Άρα η g f είναι - Αυτό έπεται άµεσα από τα και τέτοια ώστε ( )( ) ( )( ) Αντίστροφη Απεικόνιση Ας θεωρήσουµε τις απεικονίσεις f : R R, f( x) = x x + g: R R, g( x) = Για τη σύνθεση g f έχουµε x + ( g f )( x) = g( f( x)) = g(x ) = = x, για κάθε x R Όµοια για τη σύνθεση f g έχουµε ( f g)( x) = x για κάθε x R Βλέπουµε ότι το στοιχείο x απεικονίζεται µέσω της f στο x και αυτό µέσω της g απεικονίζεται στο x Μιλώντας παραφραστικά στο παράδειγµα αυτό θα λέγαµε: ό,τι κάνει µια η απεικόνιση η άλλη το αναιρεί 6 Ορισµός Έστω f : X Y µια απεικόνιση Αν υπάρχει µια απεικόνιση g: Y X τέτοια ώστε ( g f)( x) = x για κάθε x X και ( f g)( y) = y για κάθε y Y τότε θα λέµε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και η g είναι µια αντίστροφη απεικόνιση της f Παρατηρήσεις ) Αν Χ είναι ένα σύνολο τότε την απεικόνιση X X, x x συµβολίζουµε µε X (και τη λέµε την ταυτοτική απεικόνιση στο Χ) Έχουµε δηλαδή ( x X ) = x για κάθε x X Τότε οι δυο συνθήκες στον προηγούµενο ορισµό γράφονται g f = f g = Y ) Έστω f : X Y µια αντιστρέψιµη απεικόνιση Τότε υπάρχει µοναδική αντίστροφη απεικόνιση της f Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν απεικονίσεις g, g : Y X τέτοιες ώστε X

17 Σελίδα 7 από 54 g f = f g g X = Y f = f g = Y Παρατηρούµε ότι g = g = g f g = g f g = g = g ( ) ( ) Y X Την αντίστροφη απεικόνιση της f συµβολίζουµε µε f ) Από τον Ορισµό 6 παρατηρούµε ότι αν µια απεικόνιση f είναι αντιστρέψιµη, τότε η αντίστροφή της είναι και αυτή αντιστρέψιµη και µάλιστα ισχύει ( f ) = f X Υπάρχουν πολλές απεικονίσεις που δεν είναι αντιστρέψιµες Για παράδειγµα, η f : R R, f( x) = x, δεν είναι αντιστρέψιµη γιατί αν υπήρχε g µε g f = θα είχαµε ( g f )( ) = και ( g f )() = Αλλά ( g f ) = g f = g = g f = ( g f ) ( ) ( ( )) () ( ()) () δηλαδή =, άτοπο Παρατηρούµε ότι η ουσία εδώ είναι η σχέση f ( ) = = f (), ότι δηλαδή η f δεν είναι - Ένα κριτήριο για το πότε µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη παρέχεται από το επόµενο αποτέλεσµα 7 Πρόταση Μια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι - και επί Απόδειξη Έστω ότι η f : X Y είναι αντιστρέψιµη Τότε υπάρχει g: Y X µε g f = X, f g = Y είχνουµε ότι η f είναι επί Έστω y Y Τότε έχουµε f ( g( y)) = y είχνουµε ότι η f είναι - Έστω f ( x) = f( x ) Τότε g( f( x)) = g( f( x)), δηλαδή Αντίστροφα, έστω ότι η f είναι - και επί Θα δείξουµε ότι υπάρχει απεικόνιση g: Y X, τέτοια ώστε g f = X, f g = Y Ορίζουµε µια απεικόνιση g: Y X ως εξής Έστω y Y Τότε αφού η f είναι επί, υπάρχει x X τέτοιο ώστε y = f( x) Επιπλέον το x αυτό είναι µοναδικό γιατί η f είναι - Ορίζοντας g( y) = x παίρνουµε µια απεικόνιση από το Υ στο Χ Από τους ορισµούς έπεται άµεσα ότι ισχύουν οι σχέσεις g f = X, f g = Y 8 Παράδειγµα Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω απεικονίσεις R Rείναι αντιστρέψιµες Στην περίπτωση που µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη, να βρεθεί η αντίστροφή της x f( x) = x +, g( x) = x 5x+ 6, h( x) = x + Για την f είναι υπόθεση ρουτίνας να επαληθεύσουµε ότι είναι - και επί Άρα είναι αντιστρέψιµη Για να βρούµε έναν τύπο για την αντίστροφη, λύνουµε R

18 Σελίδα 8 από 54 τη σχέση y = x + ως προς x και βρίσκουµε x = y Άρα η αντίστροφη απεικόνιση είναι η f : R R, x x Η g δεν είναι - αφού, για παράδειγµα, g() = g() = 0 Άρα δεν είναι αντιστρέψιµη Εργαζόµενοι όπως στο Παράδειγµα 6, διαπιστώνουµε ότι η εικόνα της h είναι το σύνολο, Άρα η h δεν είναι επί και άρα δεν είναι αντιστρέψιµη Σχόλιο Ας θεωρήσουµε την απεικόνιση f : R R, f( x) = x Τότε αυτή δεν είναι αντιστρέψιµη αφού δεν είναι - Θεωρούµε τα σύνολα (,0],[0, ) Οι απεικονίσεις f :[0, ) [, ), f( x) = x + f :(,0] [, ), f( x) = x είναι - και επί Συνεπώς είναι αντιστρέψιµες Εύκολα βρίσκουµε ότι f :[, ) [0, ), f ( x) = x+ + + f f x :[, ) (,0], ( ) = x+ f f + (,0] [0, ) Αυτό που συµβαίνει εδώ είναι ότι περιορίζοντας κατάλληλα µια µη αντιστρέψιµη απεικόνιση σε υποσύνολα του πεδίου ορισµού της, ενδέχεται να λάβουµε αντιστρέψιµες απεικονίσεις Οι δυο απεικονίσεις f f +, σχετίζονται µε το γεγονός ότι αν επιχειρήσουµε να λύσουµε τη σχέση y = x ως προς x τότε παίρνουµε δυο λύσεις, x =± y + Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δυο απεικονίσεις που είναι - και επί τέτοιες ώστε να ορίζεται η σύνθεσή τους Σύµφωνα µε την Πρόταση 5, η σύνθεσή τους είναι µια - και επί απεικόνιση Από την Πρόταση 7 αυτή είναι αντιστρέψιµη Ποια είναι η αντίστροφη;

19 Σελίδα 9 από 54 9 Πρόταση Έστω f : X Y, g: Y Zδυο απεικονίσεις που είναι - και επί Τότε η σύνθεση g f : X Z είναι - και επί και ισχύει ( ) g f = f g Απόδειξη Σύµφωνα µε αυτά που είπαµε πριν µένει να αποδείξουµε τη σχέση ( ) = g f f g Έχουµε ( ) ( ) ( ) g f f g = g f f g = g g = g g = Όµοια αποδεικνύεται ότι g f = f g Άρα ( ) X ( ) f g ( g f) = X Y 0 Επεξεργασµένα Παραδείγµατα ) Έστω f : X Y µια απεικόνιση και AB, X Να αποδειχθεί ότι a) f ( A B) = f( A) f( B) b) f ( A B) f( A) f( B) Λύση Για την πρώτη σχέση, έστω y f( A B) Τότε υπάρχει x A Bµε y = f( x) Αν x A, τότε f ( x) f( A), ενώ αν x B τότε f ( x) f( B) Άρα f ( x) f( A) f( B) Αποδείξαµε τη σχέση f ( A B) f( A) f( B) Ανάλογα αποδεικνύεται ότι f ( A) f( B) f( A B) Άρα ισχύει η ισότητα Για τη δεύτερη σχέση, έστω y f( A B) Τότε υπάρχει x A Bτέτοιο ώστε y = f( x) Αφού x A έχουµε y = f( x) f( A) Όµοια y = f( x) f( B) Άρα y f( A) f( B) Σηµείωση Επισηµαίνουµε ότι γενικά δεν ισχύει η ισότητα στη σχέση b) Αν για παράδειγµα, η f είναι η απεικόνιση R R, f ( x) = x και {, } B { } A= =, τότε f( A B) = αλλά f A f B { } ( ) ( ) = x ) Να βρεθεί η εικόνα της απεικόνισης f : R { } R, f( x) = x + Λύση x Εξετάζουµε για ποια y R υπάρχει x R { } τέτοια ώστε y = x + Έχουµε x y = yx+ y = x ( y) x= y x + y Αν y =, παίρνουµε 0 =, άτοπο Άρα y Έστω y, οπότε x = y y Παρατηρούµε ότι y, γιατί διαφορετικά έχουµε y = y = + y 0= Τελικά η εικόνα είναι το σύνολο R { } y

20 Σελίδα 0 από 54 ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : R R, f( x, y) = ( x+ y, x+ y), είναι - και επί Λύση Για το -: Έστω f ( x, y) = f( x, y) Τότε ( x + y, x + y ) = ( x + y, x + y ) x+ y = x + y x + y = x + y Αφαιρώντας τη δεύτερη ισότητα από την πρώτη παίρνουµε x = x Τότε έχουµε και y = y, οπότε ( x, y) = ( x, y) Άρα η f είναι - Για το επί: Έστω ( ab, ) R Θα δείξουµε ότι υπάρχει ζεύγος ( xy, ) R τέτοιο ώστε f ( xy, ) = ( ab, ), δηλαδή ( x + yx, + y) = ( ab, ) Με άλλα λόγια θα δείξουµε ότι το σύστηµα x + y = a x + y = b έχει µια τουλάχιστον λύση Αφαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη παίρνουµε x = a b Αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουµε y = a+ b Τέλος εύκολα βλέπουµε ότι το ζεύγος του συστήµατος Άρα η f είναι επί ( ) ( x, y) = a b, a+ b είναι µια λύση 4) Έστω a R Να βρεθούν οι τιµές του a τέτοιες ώστε το στοιχείο (,) ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης f : R R, f( x+ y) = ( x+ y, ax+ y) Λύση Θα εξετάσουµε για ποια a υπάρχει ( x, y ) τέτοιο ώστε ( x+ y, ax+ y ) = (,) Με άλλα λόγια θα εξετάσουµε για ποια a το σύστηµα x+ y = ax + y = έχει λύση Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ισότητα µε a και αφαιρώντας από τη δεύτερη παίρνουµε ( ay ) = a ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις Αν a =, τότε παίρνουµε 0 = -, που είναι άτοπο Άρα το αρχικό σύστηµα για a = δεν έχει λύση a Έστω a Τότε βρίσκουµε y = Από τη σχέση x + y = a a βρίσκουµε x = = Εύκολα επαληθεύεται ότι το ζεύγος a a a ( xy, ) =, είναι µια λύση του συστήµατος a a Τελικά οι ζητούµενες τιµές του a είναι a R {} 5) Εξετάστε ποιες από τις συνθέσεις g f, f g, h g, g h ορίζονται όπου

21 Σελίδα από 54 f f x = x + 5 : R R, ( ) x g: R { } R, g( x) = x + h:[0, ) R, h( x) = x Λύση Θα εξετάσουµε αν ισχύει η συνθήκη που αναφέραµε στη Σηµείωση 4 Για τη g f : Παρατηρούµε ότι η εικόνα της f είναι όλο το R που δεν είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της g Άρα η σύνθεση g f δεν ορίζεται Για τη f g : Είναι σαφές ότι η εικόνα της g περιέχεται στο πεδίο ορισµού της f και άρα η σύνθεση f g ορίζεται Για τη h g: Είναι φανερό ότι η εικόνα της g περιέχει και αρνητικούς αριθµούς, πχ τον g( ) = Άρα η σύνθεση h gδεν ορίζεται (Σηµείωση: Στο επεξεργασµένο παράδειγµα αυτής της οµάδας προσδιορίσαµε την εικόνα της g Εδώ δεν χρειαζόµαστε αυτή την περιγραφή) Για τη g h Αυτή ορίζεται γιατί για κάθε x [0, ) έχουµε x

22 Σελίδα από 54 Ασκήσεις Εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει απεικόνιση,,,0 στο {,,,} που να είναι επί a από το { } b από το {,,,} στο {,,,0} που να είναι - a Έστω Χ ένα πεπερασµένο σύνολο και f : X X µια απεικόνιση Αποδείξτε ότι η f είναι - αν και µόνο αν είναι επί b ώστε ένα παράδειγµα µιας απεικόνισης f : R R που είναι επί αλλά όχι - c ώστε ένα παράδειγµα µιας απεικόνισης f : R R που είναι - αλλά όχι επί Έστω απεικονίσεις f : X Y, g: Y X τέτοιες ώστε g f = X Αποδείξτε ότι η g είναι επί και η f - 4 Έστω f : R R, f( x) = x + xκαι g: R R, g( x) = x+ a Υπολογίστε τις συνθέσεις f g και g f b Αληθεύει ότι f g = g f ; c Εξετάστε αν f ( R ) Ποια είναι η εικόνα f ( R) ; 5 Ποιες από τις επόµενες απεικονίσεις είναι -; Επί; 4 a f : R R, f( x) = x + b 5 f : R R, f( x) = x + c f : R R, f( x) = si x d [ ] f :0, π R, f() x = six e f : R R, f( x, y) = ( x y, x+ y) 6 Να προσδιορισθούν οι εικόνες των παρακάτω απεικονίσεων x a f : R {5} R, f( x) = x 5 x + x b g: R R, f( x) = x + x+ Εξηγήστε γιατί το πεδίο ορισµού της g είναι όλο το R 7 Εξετάστε ποιες από τις συνθέσεις g f και f g ορίζονται, όπου f :[, ) [0, ), f( x) = x+ g: R R, g( x) = x x Σε περίπτωση που µια σύνθεση ορίζεται να βρεθεί το πεδίο ορισµού της Απαντήσεις/Υποδείξεις Για το a παρατηρήστε ότι το δεύτερο σύνολο έχει περισσότερα στοιχεία από το πρώτο

23 Σελίδα από 54 Συγκρίνατε το πλήθος των στοιχείων της εικόνας της f µε το πλήθος των στοιχείων του Χ Για τα b και c µπορεί κάποιος να χρησιµοποιήσει γραφικές παραστάσεις Η άσκηση έπεται από τους ορισµούς των - και επί απεικονίσεων 4 Έχουµε ( f g)( x) = ( x+ ) + ( x+ ) Η εικόνα της f είναι το σύνολο [, ) Αυτό µπορεί να αποδειχθεί όπως το Παράδειγµα 6 Εναλλακτικά, αυτό έπεται και από τη σχέση f( x) = ( x+ ) που προκύπτει αφού συµπληρώσουµε τα τετράγωνα 5 - είναι οι b d και e γαι την e βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 0 Επί είναι οι b και e 6 Για την f βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα 0 Η εικόνα της είναι το R {} Για τη g βλ Προσέξτε ότι το δεν ανήκει στην εικόνα 7 Και οι δυο συνθέσεις ορίζονται Παράδειγµα 6 Έχουµε g ( R ) = [,) 7

24 Σελίδα 4 από 54 Μαθηµατική Επαγωγή Ο σκοπός µας στην παράγραφο αυτή είναι να υπενθυµίσουµε τη µέθοδο απόδειξης που ονοµάζεται µαθηµατική επαγωγή Στα επόµενα κεφάλαια θα εφαρµόσουµε αυτή τη χρήσιµη µέθοδο πολλές φορές Η µαθηµατική επαγωγή ή απλά επαγωγή είναι µια µέθοδος απόδειξης που µπορεί να περιγραφεί ως εξής Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε µια πρόταση P(), που αφορά τον, τέτοια ώστε η P() αληθεύει, και για κάθε, αν αληθεύει η P() τότε αληθεύει και η P(+) Τότε συµπεραίνουµε ότι η πρόταση P() αληθεύει για κάθε Πράγµατι, έστω ότι αληθεύουν οι υποθέσεις και Η πρόταση P() αληθεύει από την υπόθεση Αφού αληθεύει η P(), από την υπόθεση συµπεραίνουµε ότι αληθεύει και η πρόταση P() Όµοια, αφού αληθεύει η P(), από την υπόθεση συµπεραίνουµε ότι αληθεύει η P() Συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο βλέπουµε ότι η P() αληθεύει για κάθε Η υπόθεση συνήθως ονοµάζεται αρχικό βήµα και η υπόθεση επαγωγικό βήµα Για να εφαρµόσουµε µαθηµατική επαγωγή προκειµένου να αποδείξουµε µια πρόταση, θα πρέπει να αποδείξουµε ότι ισχύουν οι υποθέσεις και που αναφέραµε πριν Ας δούµε δυο τυπικά παραδείγµατα Παραδείγµατα ( + ) Να αποδεχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει = Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή (+ ) Αρχικό βήµα: Για =, η αποδεικτέα σχέση είναι =, που αληθεύει Επαγωγικό βήµα: Έστω ότι ( + ) = ( + )( + ) Θα αποδείξουµε ότι = Πράγµατι, έχουµε ( + ) ( + ) = ( + ) = + + ( + )( + ) Το δεξιό µέλος της προηγούµενης ισότητας είναι που είναι το ζητούµενο Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει ( + )(+ ) = 6

25 Σελίδα 5 από 54 Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή ( + )( + ) Αρχικό βήµα: Για =η αποδεικτέα σχέση είναι = που 6 αληθεύει ( + )(+ ) Επαγωγικό βήµα: Έστω ότι = Θα δείξουµε ότι 6 ( + )( + )(+ ) ( + ) = 6 Έχουµε ( + )(+ ) ( + ) = ( + ) = + ( + ) 6 Μετά από πράξεις βλέπουµε ότι το δεξιό µέλος της προηγούµενης ισότητας ( + )( + )(+ ) είναι που είναι το ζητούµενο 6 Υπάρχει µια χρήσιµη παραλλαγή της επαγωγής που διαφέρει στο αρχικό βήµα Έστω m ένας φυσικός αριθµός Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθµό m έχουµε µια πρόταση P(), που αφορά τον, τέτοια ώστε η P(m) αληθεύει, και για κάθε m, αν αληθεύει η P(), τότε αληθεύει και η P(+) Τότε συµπεραίνουµε ότι η πρόταση P() αληθεύει για κάθε m Παράδειγµα Να αποδειχθεί ότι > για κάθε φυσικό αριθµό 5 Χρησιµοποιούµε επαγωγή 5 Αρχικό βήµα: Για = 5 η αποδεικτέα σχέση γίνεται > 5 που αληθεύει Επαγωγικό βήµα: Έστω ότι >, όπου 5 Θα δείξουµε ότι + > ( + ) Έχουµε διαδοχικά ( + = > = = + ) Σηµείωση Επισηµαίνουµε ότι η ανισότητα > δεν αληθεύει για < 5 Θα αναφερθούµε τώρα σε µια άλλη µορφή της µαθηµατικής επαγωγής εύτερη Μορφή της Επαγωγής Η δεύτερη µορφή της µαθηµατικής επαγωγής διαφέρει από την πρώτη στο επαγωγικό βήµα Συγκεκριµένα, η δεύτερη µορφή είναι η εξής Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε µια πρόταση P(), που αφορά τον, τέτοια ώστε η P() αληθεύει, και για κάθε, αν αληθεύουν οι P(), P(),,P(), τότε αληθεύει και η P(+) Τότε συµπεραίνουµε ότι η πρόταση P() αληθεύει για κάθε Και η δεύτερη µορφή της επαγωγής έχει µια παραλλαγή που διαφέρει στο αρχικό βήµα

26 Σελίδα 6 από 54 Έστω m ένας φυσικός αριθµός Έστω ότι για κάθε φυσικό αριθµό m έχουµε µια πρόταση P(), που αφορά τον, τέτοια ώστε η P(m) αληθεύει, και για κάθε m, αν αληθεύουν οι P(m), P(m+),,P(), τότε αληθεύει και η P(+) Τότε συµπεραίνουµε ότι η πρόταση P() αληθεύει για κάθε m Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Έστω σύνολα AA,,, A Αποδείξτε ότι A ( A A ) = A A A A ( ) ( ) Λύση Θα εφαρµόσουµε επαγωγή Η αποδεικτέα σχέση για = είναι A A = A A, που βέβαια ισχύει A ( A A ) = A A A A Θα δείξουµε ότι Έστω ότι ( ) ( ) A ( A A ) = ( A A ) ( A A ) Έχουµε + + ( ) A ( A A ) A ( A A A ) A B A, + = + = + όπου για συντοµία θέσαµε B = A A Από την Πρόταση έχουµε A ( B A+ ) = ( A B) ( A A+ ) Επειδή A B= ( A A ) ( A A ) παίρνουµε A ( B A ) ( A A ) ( A A ) + = + Έστω Α ένα πεπερασµένο σύνολο που έχει στοιχεία Τότε το πλήθος των υποσυνόλων του Α είναι Λύση Χρησιµοποιούµε επαγωγή Για =, η πρόταση αληθεύει καθώς το σύνολο a έχει υποσύνολα, το {}και a το κενό σύνολο Υποθέτουµε τώρα ότι η { } πρόταση αληθεύει για κάθε σύνολο µε N στοιχεία Έστω ότι το Α έχει + στοιχεία Έστω α Α Το σύνολο Β = Α-{α} έχει στοιχεία και συνεπώς το πλήθος των υποσυνόλων του είναι Θα µετρήσουµε το πλήθος των υποσυνόλων του Α Έστω C Α ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις ) Έστω α C Τότε C Β και συνεπώς το πλήθος των C είναι ) Έστω α C Τότε C = D {α} µε D Β, οπότε συµπεραίνουµε ότι το πλήθος των C είναι πάλι Συνολικά, υπάρχουν + = + υποσύνολα του A, που είναι το ζητούµενο Αν f : X X είναι µια απεικόνιση ορίζουµε τη σύνθεση ως εξής Για =, θέτουµε f () = f Έστω ότι έχει ορισθεί το ( ) f, όπου N, f ( ) Θέτουµε ( + ) ( ) (006) f = f f Να υπολογιστεί η σύνθεση f, όπου f : R R, f( x) = x+ Λύση

27 Σελίδα 7 από 54 Στο παράδειγµα αυτό θα εργαστούµε ως εξής Πρώτα θα βρούµε ένα τύπο για ( ) τη σύνθεση f, θα τον αποδείξουµε µε επαγωγή και στο τέλος θα θέσουµε = 006 Υπολογίζουµε µερικούς όρους Έχουµε () f ( x) = f( x) = x+ ( ) = ( + ) = + + () f x f x x () () f ( x) = f (x+ ) = x+ + + Βασιζόµενοι στα προηγούµενα διατυπώνουµε την εικασία ότι για κάθε N, ( ) f ( x) = x Αποδεικνύουµε τον τύπο αυτό µε επαγωγή Η περίπτωση = είναι ( ) προφανής Έστω ότι f ( x) = x Τότε έχουµε ( + ) ( ) f ( x) = f ( f( x)) = f( x) = = = (x ) x Επειδή ισχύει =, έχουµε τελικά ( ) f ( x) = x+ 006 (006) 006 Άρα f ( x) = x+ 4 Ας δούµε τώρα µια τυπική εφαρµογή της δεύτερης µορφής της επαγωγής Ένας φυσικός αριθµός διάφορος του λέγεται πρώτος αν δεν είναι το γινόµενο δυο µικρότερων φυσικών αριθµών Θα αποδείξουµε την πρόταση: κάθε φυσικός αριθµός διάφορος του είναι πρώτος ή γινόµενο πρώτων Για το σκοπό αυτό εφαρµόζουµε τη δεύτερη µορφή της επαγωγής Για =, η πρόταση προφανώς αληθεύει Έστω Υποθέτουµε ότι η πρόταση αληθεύει για κάθε φυσικό αριθµό k µε k Θεωρούµε το φυσικό αριθµό + Αν είναι πρώτος, τότε το ζητούµενο ισχύει Αν δεν είναι πρώτος τότε αναλύεται σε γινόµενο δυο µικρότερων φυσικών αριθµών, + = ab, a, b Από την υπόθεση της επαγωγής καθένας από τους ab, είναι πρώτος ή γινόµενο πρώτων Άρα και ο + = ab είναι γινόµενο πρώτων

28 Σελίδα 8 από 54 Ασκήσεις Αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε ( + ) a = 4 b = ( + ) + Έστω f : R R, f( x) = x+ ίνεται ότι για τη σύνθεση ( ) f ισχύει ( f ) ( x) = a x+ b, για κάθε x R, όπου a, b Z Να υπολογισθούν οι ακέραιοι a000 b000, Αποδείξτε ότι < για κάθε =,4, 4 Ορίζουµε φυσικούς αριθµούς f, f, f, ως εξής: f =, f = και για θέτουµε f = f + f (Οι ακέραιοι αυτοί λέγονται αριθµοί του Fiboacci Οι πρώτοι δέκα από αυτούς είναι,,,,5,8,,,4,55) Αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε a f+ f + + f = f + b ο ακέραιος f είναι άρτιος c d f f f ( ) + = f + a b =, όπου a=, b= Απαντήσεις /Υποδείξεις Βλ Παραδείγµατα Βλ Επεξεργασµένο Παράδειγµα Βλ Παράδειγµα 4 Καθεµιά από τις σχέσεις αυτές µπορεί να αποδειχθεί µε επαγωγή Για τη d επισηµαίνουµε ότι οι ab, ικανοποιούν την εξίσωση x x = 0

29 Σελίδα 9 από 54 4 Μιγαδικοί Αριθµοί Ξέρουµε ότι το τετράγωνο κάθε πραγµατικού αριθµού είναι ένας µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός Ιδιαίτερα, δεν υπάρχει πραγµατικός αριθµός που επαληθεύει την εξίσωση x = Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών Ο σκοπός µας στην παράγραφο αυτή είναι να θυµηθούµε βασικές ιδιότητες των µιγαδικών αριθµών που θα χρειαστούµε παρακάτω Υπενθυµίζουµε ότι το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών είναι ένα σύνολο που περιέχει το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών Υπάρχει στο C ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i = Επιπλέον κάθε στοιχείο του C έχει µοναδική παράσταση της µορφής a+ biόπου ab, R Εποµένως, αν aa,, bb, R, έχουµε a+ bi = a + bi a= a και b= b Έστω z = a+ bi C Όταν για ένα µιγαδικό αριθµό z γράφουµε z = a+ biχωρίς να διευκρινίζουµε τους ab, θα εννοούµε ότι αυτοί είναι πραγµατικοί αριθµοί Ο πραγµατικός αριθµός a ονοµάζεται το πραγµατικό µέρος του z και συµβολίζεται µε Re( z) Ο πραγµατικός αριθµός b ονοµάζεται το φανταστικό µέρος του z και συµβολίζεται µε Im( z) Αν για παράδειγµα z = + i, τότε Re( z) =, Im( z) = Παρατηρούµε ότι ένας µιγαδικός αριθµός είναι πραγµατικός αν και µόνο αν το φανταστικό µέρος του είναι ίσο µε µηδέν ηλαδή, αν z C, τότε z R Im( z) = 0 Πράξεις Μιγαδικών Αριθµών Έστω zw C, µε z = a+ biκαι w= c+ di Πρόσθεση Ορίζουµε το άθροισµα z+ w ως εξής z+ w= ( a+ c) + ( b+ d) i Πολλαπλασιασµός Ορίζουµε το γινόµενο zw ως εξής zw = ( ac bd) + ( ad + bc) i Για παράδειγµα, αν z = 5i και w= + i, τότε z+ w= ( + ) + ( 5+ ) i = ( + ) + ( ) i zw = ( + 5 ) + ( 5) i = ( + 5) + ( 5) i Σηµείωση Ο τύπος που δίνει το άθροισµα είναι απλός: προσθέτουµε τα πραγµατικά µέρη και προσθέτουµε τα φανταστικά µέρη Ο τύπος που δίνει το γινόµενο ίσως δεν είναι αναµενόµενος Μπορεί όµως να δικαιολογηθεί ως εξής Επιθυµούµε οι πράξεις των µιγαδικών αριθµών να έχουν ιδιότητες παρόµοιες µε τις αντίστοιχες πράξεις των πραγµατικών Τρεις από αυτές είναι: η µεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης, δηλαδή x + y = y+ x για κάθε xy, R, η µεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού, δηλαδή xy = yx για κάθε xy, R

30 Σελίδα 0 από 54 και η επιµεριστική ιδιότητα, δηλαδή ( x + yu ) = xu+ yu για κάθε xyu,, R Αν λοιπόν υποθέσουµε ότι ο πολλαπλασιασµός µιγαδικών ικανοποιεί παρόµοιες ιδιότητες, τότε θα έχουµε zw = ( a + bi)( c + di) = a( c + di) + bi( c + di) = = = = ac adi bic bidi ac adi bci bdi = ac + adi + bci bd = ( ac bd) + ( ad + bc) i ηλαδή λαµβάνουµε τον τύπο του γινοµένου Συνεπώς µπορούµε να πολλαπλασιάζουµε µιγαδικούς αριθµούς χωρίς να χρειάζεται να εφαρµόζουµε το σχετικό τύπο, αλλά απλά να εκτελούµε τις πράξεις ακολουθώντας τους συνήθεις κανόνες που γνωρίζουµε ότι ισχύουν στους πραγµατικούς Ξέρουµε ότι ένα τριώνυµο ax + bx + c, όπου abc,, R, έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν η διακρίνουσά του είναι µη αρνητική, δηλαδή b 4ac 0 Όµως κάθε τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες (ανεξάρτητα από το πρόσηµο της διακρίνουσας) Πράγµατι, εύκολα επαληθεύεται µε πράξεις ότι η εξίσωση ax + bx + c = 0, όπου a 0, έχει ρίζες τις b± b 4ac x = Αν a b 4ac 0 ( ) ( b ) b± ( ) 4ac b b± i 4ac γράφονται x = = a a ± i 8 του x + x + είναι x = = ± i <, τότε οι ρίζες αυτές Για παράδειγµα, οι ρίζες Αντίστροφοι Μιγαδικών Αριθµών Ξέρουµε ότι για κάθε µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό υπάρχει ο αντίστροφός του, δηλαδή δεδοµένου ενός x R, όπου x 0, υπάρχει ένας y R τέτοιος ώστε xy = θα δούµε τώρα ότι ισχύει κάτι ανάλογο στους µιγαδικούς αριθµούς Έστω z = a+ bi C µε z 0 Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε a 0 ή b 0 Άρα ο (πραγµατικός) αριθµός a + b είναι µη µηδενικός Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό w a b = i και παρατηρούµε ότι a b a b + + a b a + b ab + ab zw = ( a + bi) + i = + = a + b a + b a + b a + b a b Ο µιγαδικός αριθµός + i ονοµάζεται ο αντίστροφος του a+ biκαι a + b a + b συµβολίζεται µε ( a bi) + ή Για παράδειγµα, ο αντίστροφος του i είναι ο a+ bi ( ) + i = + i + ( ) + ( ) 5 5 Σηµείωση Ένα εύλογο ερώτηµα εδώ είναι πως σκεφθήκαµε τον τύπο a b + i για τον αντίστροφο του a+ bi; Αν λύσουµε την εξίσωση a + b a + b ( a+ bi)( x+ yi) = ως προς x, y, όπου a+ bi 0, βρίσκουµε

31 Σελίδα από 54 ax by = ( a + bi)( x + yi) = ( ax by) + ( ay + bx) i = ay + bx = 0 Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ισότητα µε a και τη δεύτερη µε b παίρνουµε το σύστηµα a x aby = a aby + b x = 0 Προσθέτοντας κατά µέλη τις δυο ισότητες του συστήµατος έχουµε ( a + b ) x= a a Επειδή ισχύει a+ bi 0, έχουµε a + b 0 Άρα x = Με ανάλογο τρόπο a + b b βρίσκουµε ότι y = a + b 4 Παράδειγµα Για να γράψουµε το µιγαδικό αριθµό i στη µορφή a bi + i + παρατηρούµε ότι ο αντίστροφος του + i είναι ο i και άρα i 5 = ( ) i = ( ) i i = i + i + i Μέτρο Μιγαδικού Αριθµού Στη συνέχεια θα αναφερθούµε στις βασικές ιδιότητες του µέτρου µιγαδικού αριθµού 4 Ορισµός Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού z = a+ biείναι ο αριθµός µε z a + b και συµβολίζεται Για παράδειγµα, το µέτρο του i είναι i ( ) 5 = + = και του = + 0i είναι = ( ) + 0 = Επίσης i = 0 + ( ) = Παρατηρούµε ότι το µέτρο ενός πραγµατικού αριθµού είναι η απόλυτη τιµή του Το µέτρο µιγαδικών αριθµών ικανοποιεί ιδιότητες ανάλογες µε αυτές της απόλυτης τιµής 4 Πρόταση Έστω zz,, z C Τότε z = z zz = z z αν z 0, τότε z z 4 z+ z z + z = z z Απόδειξη Αν z = a+ bi, τότε z = a + b = ( a) + ( b) = z

32 Σελίδα από 54 Έστω z = a+ bi, z = a + bi Τότε zz = aa bb + ( ab + ab ) i Για να δείξουµε ότι zz = z zαρκεί να δείξουµε ότι zz = z z ( aa ) ( ) ( )( bb ab ab a b a b), δηλαδή + + = + + (#) Η τελευταία σχέση αποδεικνύεται άµεσα µε πράξεις Το ζητούµενο προκύπτει άµεσα αν εφαρµόσουµε την ισότητα της που µόλις z αποδείξαµε στη σχέση z = z z 4 Έστω z = a + bi, z = a + b i Έχουµε ( ) ( ) z + z z + z a + a + b + b a + b + a + b Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα ριζικά είναι µη αρνητικοί αριθµοί µπορούµε στον επόµενο υπολογισµό να υψώνουµε στο τετράγωνο Έχουµε ( ) ( ) a + a + b + b a + b + a + b ( ) ( ) a a b b a b a b a b a b aa + bb a + b a + b ( aa + bb ) ( a + b )( a + b ) Η τελευταία ανισότητα προκύπτει άµεσα από την ισότητα (#) αν στη θέση του βάλουµε το b Σηµείωση Η ανισότητα z z z z + + που είδαµε πριν ονοµάζεται η τριγωνική ανισότητα, γιατί σχετίζεται άµεσα µε µια ιδιότητα του τριγώνου Περισσότερα επί αυτού θα δούµε παρακάτω (Παρατηρήσεις 49), όπου θα εξετάσουµε τη γραφική παράσταση µιγαδικών αριθµών 44 Παραδείγµατα + i ) Για να βρούµε το µέτρο του µιγαδικού αριθµού ( + i )( i ) b µπορούµε να τον φέρουµε στη µορφή a+ bi (βλ Παράδειγµα 4) και να εφαρµόσουµε τον ορισµό του µέτρου Ένας πιο σύντοµος τρόπος είναι να εφαρµόσουµε την Πρόταση 4 Έχουµε + i + i = = + i i + i i ( )( ) ( )( ) + i 5 5 = = = + 6 ( i) ( i) ) Αποδείξτε ότι z+ z < 4όπου z = iκαι z = ; Χρησιµοποιώντας την τριγωνική ανισότητα έχουµε z + z z + z = z + z = = + 6 < = 4

33 Σελίδα από 54 Συζυγής Μιγαδικού Αριθµού Θα υπενθυµίσουµε εδώ τις βασικές ιδιότητες των συζυγών µιγαδικών αριθµών 45 Ορισµός Ο συζυγής του µιγαδικού αριθµού z = a+ biείναι ο a biκαι συµβολίζεται µε z Για παράδειγµα, έχουµε + i = iκαι i = + i Επίσης 5= 5+ 0i = 5 και 7i = 7i Παρατηρούµε ότι ένας µιγαδικός αριθµός είναι πραγµατικός αν και µόνο αν ταυτίζεται µε τον συζυγή του, δηλαδή αν z C, τότε z R z = z Επίσης επισηµαίνουµε ότι για κάθε µιγαδικό αριθµό z = a+ biέχουµε z+ z = a R zz = a + b R Οι βασικές ιδιότητες των συζυγών αριθµών δίνονται παρακάτω 46 Πρόταση Έστω zz,, z C Τότε z = zz z+ z = z+ z zz = zz z z 4 αν z 0, τότε = z z Απόδειξη Η απόδειξη καθεµιάς από τις ισότητες - είναι ένας άµεσος υπολογισµός που αφήνεται σαν άσκηση Η 4 προκύπτει από την µε τρόπο παρόµοιο µε αυτόν που είδαµε στην απόδειξη της Πρότασης 4 47 Παρατήρηση Οι ισότητες και στην προηγούµενη πρόταση ισχύουν και για περισσότερους µιγαδικούς αριθµούς Συγκεκριµένα έχουµε ( ) ( ) z z = z z 48 Παραδείγµατα z + + z = z + + z και z ) Έστω z C µε z = Τότε = + z + z Πράγµατι, από την υπόθεση και την πρώτη ισότητα στην Πρόταση 46 z z έχουµε = zz Άρα z = = = + z + z + + z z

34 Σελίδα 4 από 54 z 4 ) Έστω z C, z, τέτοιο ώστε = Να βρεθεί το µέτρο του z z Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 46 έχουµε z 4 z 4 z 4 z 4 = = 4 = 4 z z z z ( ) zz 4z 4z+ 6 = 4 zz 4z 4z+ 6= 4 zz z z+ zz z z+ zz = 4 z = 4 z = Γραφική Αναπαράσταση Μιγαδικών Αριθµών Θεωρούµε το επίπεδο εφοδιασµένο µε τους συνήθεις άξονες, δηλαδή τον άξονα των x και κάθετα σε αυτόν τον άξονα των y Στο µιγαδικό αριθµό z = a+ bi αντιστοιχίζουµε το σηµείο M ( ab, ) του επιπέδου που έχει συντεταγµένες ( ab, ) Το σηµείο M ( ab, ) λέγεται η εικόνα του αριθµού a+ bi Χρησιµοποιούµε συχνά και το συµβολισµό M ( z) = M( a, b) Οι µιγαδικοί αριθµοί z παριστάνονται στο επίπεδο µε τις εικόνες τους M ( z ) Συχνά, αντί του σηµείου M ( ab, ), επιλέγουµε να αντιστοιχίσουµε στο µιγαδικό αριθµό a+ bi το διάνυσµα OM, όπου γράφουµε για συντοµία M στη θέση του M ( ab, ), όπως φαίνεται στο σχήµα b i M ( ab, ) Ο a 49 Παρατηρήσεις ) Εφαρµόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο παραπάνω σχήµα, βλέπουµε ότι το µέτρο a + b του µιγαδικού αριθµού z = a+ biείναι το µήκος του διανύσµατος OM, δηλαδή το µήκος OM του ευθυγράµµου τµήµατος OM ) Χρησιµοποιώντας διανύσµατα, η πρόσθεση µιγαδικών αριθµών εκφράζεται µε το γνωστό µας κανόνα του παραλληλογράµµου ηλαδή, για να προσθέσουµε δυο µιγαδικούς αριθµούς z = a+ bi, z = a + biσχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο που ορίζουν τα διανύσµατα OM, OM, όπου M είναι το σηµείο M( z) και M είναι το σηµείο M ( z ) Τότε το σηµείο που αντιστοιχεί στο άθροισµα z+ z είναι η κορυφή M του παραλληλογράµµου που βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο που διέρχεται από το O

35 Σελίδα 5 από 54 M ( z ) ( ) M = M z + z O M ( z ) κανόνας του παραλληλογράµµου Πράγµατι, από τον ορισµό του M προκύπτει ότι M = M( z+ z) ) Ας θεωρήσουµε το τρίγωνο που σχηµατίζουν τα σηµεία OM, ( z), M( z+ z) στον κανόνα του παραλληλογράµµου Τότε για τα µήκη των πλευρών έχουµε τη σχέση OM OM + M M δηλαδή z+ z z + z που είναι η γνωστή µας τριγωνική ανισότητα Υπάρχει ένας κανόνας και για το γινόµενο µιγαδικών αριθµών, αλλά σε αυτό θα επανέλθουµε αργότερα γιατί χρειαζόµαστε περισσότερα στοιχεία Τριγωνοµετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθµού Ας θεωρήσουµε την εικόνα M ( z) ενός µη µηδενικού µιγαδικού αριθµού z = a+ bi Έστω θ η γωνία που σχηµατίζεται αν κινηθούµε µε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών ρολογιού από τον ηµιάξονα Ox στο OM όπως φαίνεται στο σχήµα 4 b i M ( ab, ) Ο θ a x Τότε έχουµε a = OM cosθ και b= OM siθ Συνεπώς 4 Εννοούµε ότι 0 θ < π

36 Σελίδα 6 από 54 ( cosθ siθ ) z = a+ bi = OM + i Η παράσταση OM (cos+ i siθ ) ονοµάζεται η τριγωνοµετρική µορφή του a+ bi Παρατηρούµε ότι το όρισµα του OM είναι το µέτρο του a+ bi Η δε γωνία θ ονοµάζεται το a+ bi Συνεπώς η τριγωνοµετρική µορφή είναι ρ cosθ + i siθ ( ) όπου ρ = a + b και θ είναι το όρισµα του a+ bi Το όρισµα του a+ bi προσδιορίζεται από τις σχέσεις a= ρ cos θ, b= ρsi θ, 0 θ < π Ας δούµε ένα παράδειγµα 40 Παράδειγµα Για να βρούµε την τριγωνοµετρική µορφή του + i, βρίσκουµε πρώτα το µέτρο του ( ) ρ = + i = + = Για να βρούµε το όρισµα έχουµε a= ρ cos θ, b= ρsiθ δηλαδή cos θ =, siθ = Από τις σχέσεις αυτές συµπεραίνουµε ότι 5π 5π 5π cosθ = cos, siθ = και άρα θ = + kπ για κάποιο k Z Επειδή π 0 θ < π έχουµε θ = Άρα η τριγωνοµετρική µορφή είναι 6 5π 5π (cos + i si ) 6 6 Η χρησιµότητα της τριγωνοµετρικής µορφής οφείλεται στο παρακάτω αποτέλεσµα 4 Πρόταση Έστω z = ρ( cosθ+ isiθ) και z ρ( cosθ isi ) zz = ρρ( cos( θ + θ) + isi ( θ + θ) ) και αν z 0, z z = + θ Τότε έχουµε ρ = + θ ρ ( cos( θ θ) i si ( θ ) ) Απόδειξη Χρησιµοποιώντας τις γνωστές τριγωνοµετρικές ταυτότητες si θ + θ = siθ cosθ + cosθ siθ έχουµε ( ) ( ) cos θ + θ = cosθ cosθ siθ siθ ( ρ ( cosθ siθ ))( ρ ( cosθ siθ )) cos cos si si i ( si cos cos si ) cos( ) i si ( ) zz = + i + i = ( ) ( ) = ρ ρ θ θ θ θ + θ θ + θ θ = ρρ θ + θ + θ + θ =

37 Σελίδα 7 από 54 Η απόδειξη της δεύτερης σχέσης της πρότασης είναι παρόµοια και αφήνεται σαν άσκηση Από την προηγούµενη πρόταση βλέπουµε ότι η τριγωνοµετρική µορφή µας βοηθά στον πολλαπλασιασµό και στη διαίρεση µιγαδικών αριθµών Ιδιαίτερα, ισχύει το παρακάτω αποτέλεσµα 4 Θεώρηµα (De Moivre) Έστω z = ρ (cosθ + i siθ ) Τότε για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε ( cos( ) si ( )) z i = ρ θ + θ Απόδειξη Το συµπέρασµα έπεται από µια εύκολη επαγωγή που βασίζεται στην προηγούµενη πρόταση Πράγµατι, για =, η αποδεικτέα σχέση είναι προφανής z = ρ cos θ + isi θ Τότε ( ) = = ρ ( cos θ + si θ ) ρ( cosθ + si ) + cos( ( ) ) isi (( ) ) Έστω ότι ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 Σηµείωση z z z i i ( ) = ρ + θ + + θ Επισηµαίνουµε ότι αν z ρ( θ i θ) θ = = cos + si 0, τότε το συµπέρασµα του προηγούµενου θεωρήµατος ισχύει όχι µόνο για τους φυσικούς αριθµούς αλλά για κάθε ακέραιο Πράγµατι, αν ο ακέραιος m είναι αρνητικός, m=, τότε εφαρµόζοντας το Θεώρηµα του De Moivre και την Πρόταση 4 έχουµε m cos0+ i si0 z = = = z ρ cos θ + isi θ 44 Εφαρµογή ( ( ) ( )) ( cos( 0 ) isi ( 0 )) ( cos( m ) isi ( m )) ρ θ θ = + = m ρ θ θ = + Να υπολογισθεί στη µορφή a bi + i + ο µιγαδικός αριθµός ( ) 005 Στο Παράδειγµα 40 είδαµε ότι η τριγωνοµετρική µορφή του + i είναι 5π 5π + i = (cos + isi ) Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα του De Moivre 6 6 έχουµε ( i) π 5π + = cos + isi = 6 6 5π 5π = cos 005 i si 005

38 Σελίδα 8 από 54 5π 5π = + έχουµε ότι 6 6 5π 5π π 5π cos(005 ) = cos, si(005 ) = si Άρα παίρνουµε ( ) π 5 π i = cos + isi = + i = ( ) Επειδή ( π ) Από την Πρόταση 4 βλέπουµε ότι ο πολλαπλασιασµός µιγαδικών έχει µια απλή γεωµετρική ερµηνεία: στο γινόµενο zz αντιστοιχεί ένα διάνυσµα που το µέτρο του είναι το γινόµενο z z και σχηµατίζει γωνία µε τον άξονα των x ίση µε θ + θ όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα M ( zz ) M ( z) θ + θ θ M ( z) θ γεωµετρική ερµηνεία γινοµένου µιγαδικών αριθµών Θεώρηµα του De Moivre και Εξισώσεις Το Θεώρηµα του De Moivre είναι συχνά χρήσιµο στην επίλυση εξισώσεων Ας 5 θεωρήσουµε την εξίσωση x = Ξέρουµε ότι αυτή έχει µόνο µια πραγµατική λύση Υπενθυµίζουµε ότι το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας λέει ότι κάθε πολυωνυµική εξίσωση µε πραγµατικούς ή µιγαδικούς συντελεστές που έχει βαθµό έχει µιγαδικές ρίζες (όχι αναγκαστικά διακεκριµένες) Συνεπώς αναµένουµε να 5 βρούµε άλλες τέσσερις ρίζες της x = Για να τις υπολογίσουµε µπορούµε να εργαστούµε ως εξής 5 Έστω z = r(cosφ + i siφ ) µια λύση της x = 0 Τότε έχουµε