9. LIIKUMISVÕRRAND. Hüdrodünaamikas jaotatakse vedelikes või gaasides mõjuvad jõud massijõududeks ja pinnajõududeks.

Transcript

1 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc 9.1. Massi- ja pinnajõud 9. LIIKUMISVÕRRAND Hüdodünaamikas jaotatakse vedelikes või gaasides mõjuvad jõud massijõududeks ja pinnajõududeks. Mingile vedelikust või gaasist mõtteliselt ealdatud kehale (hailikult isttahuka kujulisele) mõjuvad massijõud on popotsionaalsed vaid vaadeldava keha massiga ega sõltu keha kujust. Tähtsamad massijõud askusjõud, tsentifugaaljõud, Coiolisi jõud. Otstabekas on vaadelda ühikulise massiga kehasid, mistõttu nendele mõjuvad jõud on avuliselt võdsed kiiendustega. Seega põhjustavad massijõud askuskiiendust, tsentifugaalkiiendust, Coiolisi kiiendust. Pinnajõud mõjuvad vaid vaadeldava keha pinnale. Pinnaelemendile mõjuv pinnajõud on popotsionaalne pinnaelemendi pindalaga. Peamised pinnajõud hüdostaatilise õhu gadientjõud, viskoosne hõõdejõud. Massijõududest põhjustatud kiiendustest on alati (ka paigalseisva vedeliku või gaasi koal) esindatud askuskiiendus ja Maa pöölemisest tingitud globaalne tsentifugaalkiiendus. Liikuvale vedelikule või gaasile mõjub Coiolisi kiiendus. Sõltuvalt tajektooi kõveusaadiusest mõjub keskkonnaosakesele täiendav lokaalne tsentifugaalkiiendus. Globaalsete liikumiste (tõus, mõõn) kijeldamisel avestatakse Päikese ja Kuu külgetõmbejõudu. Pinnajõud: 1) hüdostaatilise õhu gadientjõud, ) viskoossusest tingitud sisehõõdejõud. Sisehõõdejõud gupeeitakse pinnaelemendile mõjuvateks viskoosseteks puutujasuunalisteks ehk puute- ehk tangentsiaalseteks jõududeks ja pinnaga isti olevateks ehk nomaalisuunalisteks jõududeks. Pinnaühikule mõjuvaid jõude nimetatakse pingeteks. Viskoosse keskkonna voolamisel on eiti tähtsad puutujasuunalised pinged. 9.. Raskuskiiendus, tsentifugaalkiiendus Mehhaanika kususest mäletame askuskiienduse väätust g 9.8 m s või pisut täpsemat g 9.81 m s. Hindame Maa pöölemisest tingitud tsentifugaaljõu osatähtsust ekvaatoil. Tsentifugaaljõud mu, vastavalt tsentifugaalkiiendus R u. R Maa ümbemõõt on ca km, pöölemispeiood ca 4 h s (lisööpäeva tõttu pisut lühem), joonkiius 90

2 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc m m km u s s h Maa aadius R 6370 km m m, seega tsentifugaalkiiendus u m m m , R m s s s mis moodustab osa ehk 0.34% askuskiiendusest. 9.8 Avestades Maa pöölemise tsentifugaaljõu väiksust võeldes askuskiiendusega, jäetakse ta geofüüsikalistes liikumisvõandites hailikult avestamata. Esitame siinkohal siiski mõned askuskiienduse täpsemad väätused sõltuvalt laiuskaadist: poolus (ϕ 90 ), g m s, keskmine laius (ϕ 50 ), g m s, keskmine laius (ϕ 45 ), g m s, ekvaato (ϕ 0 ), g m s. Raskuskiiendus muutub ka sügavuse ja kõgusega. Mees väljendab g kasvu sügavusega ligikaudne valem (Voobjov, Sminov, 1999, lk 9): g g z, mille jägi sügavusel 5 km on askuskiius kasvanud m/s võa Coiolisi jõud Maa pöölemine põhjustab liikuvate objektide, ka vedeliku- või gaasiosakeste kaldumise põhjapoolkeal paemale aluspinna suhtes (hoisontaalliikumise koal) Coiolisi jõud vektovalemina F c m ( ω U ) ( U ω), kus U on objekti kiius aluspinna suhtes ja ω Maa pöölemise nukkiius. Jõud massiühiku kohta ehk kiiendus: c ( ω U ) ( U ω), Kui liikumine on hoisontaaltasapinnas, siis Coiolisi jõud kallutab põhjapoolkeal liikumist paemale, vastavalt kiienduse suuus 91

3 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc c c ω U sin ϕ U ω sin ϕ U kus Coiolisi paameete: f ω sin ϕ omab keskmisel laiuskaadil ϕ 45 väätust (vt eelmise loengu matejal), f 10-4 s -1, mida kasutatakse hinnangulistes avutustes Hüdostaatiline õhu gadientjõud f Vaatleme elementaasele isttahukakujulisele vedeliku- või gaasiosakesele, külgedega vastavalt dx, dy, dz, x-telje sihis mõjuvate hüdostaatiliste õhujõudude esultanti F pess, x. z p(x) dz p(x + dx) y dy x x x + dx Joon Hüdostaatiline õhk piki x-telge. Vasakpoolsele külgtahule mõjuv hüdostaatiline õhk on p(x), tahu pindala dy dz, vastavalt hüdostaatiline õhk tahule: p(x) dy dz, Paempoolsele külgtahule mõjuv hüdostaatiline õhk on p(x + dx), tahu pindala dy dz, vastavalt hüdostaatiline õhk tahule: p(x + dx) dy dz, Rõhujõudude summa piki x-telge (telje positiivses suunas mõjuv õhk positiivne): F pess, x [p(x) p(x + dx)] dy dz [p(x + dx) p(x)] dy dz, p dx x F pess, x p dx dy dz x dv f, p dv. x Jagades saadud õhujõudu uumielemendi massiga dv, saame x-teljelise kiienduse 9

4 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc u 1 t pess p, x analoogia põhjal kijutame välja õhujõudude esultandid piki y-telge ja piki z-telge: v 1 p, t pess y w 1 t pess p. z Viimased kolm võandit annavad hüdostaatilise kiienduse kui vektoi komponendid. Kogu hüdostaatilise kiienduse vekto ise: du 1 pess p x Kasutades Hamiltoni opeaatoit (nabla): p i + j p j + k z i + j + k, x j z saame uumielemendile mõjuvate hüdostaatiliste õhujõudude esultantkiienduse esitada kompaktselt du 1 pess p. NB! Hüdostaatilisest õhust põhjustatud kiiendus ei sisalda keskkonna viskoossusteguit. p Newtoni eoloogiaseadus k. k. heos vool eoloogia laiemas tähenduses igasuguse voolamise uuimine, laiem mõiste kui hüdodünaamika eoloogia kitsamas tähenduses mittenjuutonlike vedelike voolamine njuutonlikud vedelikud sellised mille sisehõõdetegu ei sõltu voolukiiusest njuutonlikud vedelikud on vesi, bensiin, petooleum jne; ka gaaside voolamine modelleeitav njuutonlikuna keeukate vedelike sisestuktuu võib sõltuda voolukiiusest, näiteks molekulide haakumise tõttu, vastavalt muutub sisehõõdetegu; mittenjuutonliku vedeliku näiteks on vei Newtoni eoloogiaseadus Newtoni sisehõõdeseadus Newtoni sisehõõde valem 93

5 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc Newton fomuleeis (1687) sigjooneliselt liikuva viskoosse vedeliku kihtide vahel toimiva hõõdejõu jaoks jägmised seaduspäasused: 1) hõõdejõud sõltub vedeliku mehhaanilistest omadustest (tänapäeval ütleme viskoossusest), ) hõõdejõud on popotsionaalne kokkupuutuvate kihtide pindalaga, 3) hõõdejõud on popotsionaalne kihtide suhtelise kiiusega (kiiusega üksteise suhtes), 4) hõõdejõud ei sõltu otseselt liikumissuunaga isti olevatest õhujõududest. Seega eineb hõõdejõud vedelikes ja gaasides oluliselt hõõdumisest tahkete pindade vahel, kus istisuunaline jõud on võdeline hõõdejõuga. Kujutleme vedeliku või gaasi hoisontaalset voolamist (joon. 9.). n B n S u + u A u Joon. 9.. Newtoni sisehõõdeseaduse selgitamiseks. Ealdame mõtteliselt kahe voolava kihi piipinnal pindala (üliõhukese plaadi, joonisel esile tõstetud paksemana) S. Kiiuse muutus isti selle pinnaga u u lim. n n Pinnale S mõjub piki x-telge kiiendavalt, jõuga F + pinna S kohal olev veekiht (gaasikiht) ja aeglustavalt, jõuga F tema all olev kiht. Kui liikumine on stabiliseeunud, on jõud võdsed ja pind S liigub ühtlaselt sigjooneliselt. Newtoni eoloogiaseaduse (ehk sisehõõdeseaduse) jägi u F + F F µ S, n 94

6 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc kus µ on vedeliku või gaasi dünaamiline sisehõõdetegu ehk dünaamiline viskoossustegu. Sisehõõdetegui ühikuks SI süsteemis on Pa s: N s m kg m s kg m s [ µ ] Pa s. Puutujasuunaline jõud pinnaühiku kohta ehk puutepinge τ: m s F u τ µ, S n saadud valemit kasutatakse voolava keskkonna puutepingete avutamiseks. NB! Puutepinged esinevad ainult voolavas vedelikus või gaasis. NB! Sisehõõde ehk viskoossuse füüsikalised põhjused vedelikes ja gaasides on einevad: vedelikes tõmbejõud molekulide vahel, gaasides molekulide kaootilise liikumise kiiuse komponent isti üldise voolusuunaga põhjustab liikumishulga ülekannet ühest kihist teise. 9.6.Viskoossed puutepinged liikumisvõandis Viskoossuse vedeliku voolamise ange käsitlus (eiti nomaalpingete ja kokkusuutavuse osas) tugineb d Alembet i pintsiibi, Gauss-Ostogadski teoeemi, tensoavutuse jm teoeetilise mehhaanika komplitseeitud võtete kasutamisele. Range käsitluse võib leida hüdodünaamika monogaafiatest. d Alembet, Jean Babtiste Le Rond ( ) pantsuse filosoof ja matemaatik d Alembet i pintsiip dünaamiliste pobleemide lahendusvõte teoeetilises mehhaanikas; seisneb uuitavale süsteemile akendatud jõudude tasakaalustamises fiktiivse inetsiaaljõuga, mis võimaldab süsteemi vaadelda staatilisena Käsitleme viskoossusjõudude mõju keskkonnaosakese liikumisele lihtsustatult. Paiknegu kuubikujuline vedeliku-või gaasiosake piki x-telge voolavas keskkonnas (joon. 9.3.). Kiiused alumise ja ülemise tahu kohal on vastavalt u(z 1 ) ja u(z ). Ülemisele tahule mõjub kaks jõudu: liikumist kiiendav jõud F + (z ), mõjub ülemisele tahule osakese väljastpoolt, kiiendava jõu allikaks on vedelik ülemise tahu kohal; liikumist aeglustav jõud F (z ), mõjub ülemisele tahule seestpoolt, aeglustava jõu allikaks on vedelik või gaas keskkonnaosakese sees. 95

7 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc z z y F (z ) F + (z ) u(z ) x F (z 1 ) F + (z 1 ) u(z 1 ) x Joon Kuubi alumisele ja ülemisele tahule mõjuvad, vastavalt kiiuse pofiilile, eineva suuusega jõud. Alumisele tahule mõjub samuti kaks jõudu: liikumist kiiendav jõud F + (z 1 ), mõjub alumisele tahule seestpoolt, kiiendava jõu allikaks on vedelik kuubiku sees, alumise tahu kohal; liikumist aeglustav jõud F (z 1 ), mõjub ülemisele tahule osakese väljastpoolt, aeglustava jõu allikaks on keskkond vahetult kuubiku all. Kui liikumine on välja kujunenud (statsionaane), on kummalegi tahule mõjuvad kiiendavad ja aeglustavad jõud absoluutväätuselt võdsed ning vaadeldav tahk liigub ühtlaselt sigjooneliselt. Kiiuse pofiili tõttu (joon. 9.3) liigub kuubi ülaosa kiiemini, seega kuup edasi liikudes defomeeub. NB! Puutepinged ei põhjusta liikuva keskkonnaosakese uumala muutumist. Vaatame jägnevalt puutepingete mõju elementaase isttahuka kujulise keskkonnaosakese dx, dy, dz liikumisele (joon. 9.4). Tähistame voolava vedeliku või gaasi kiiuse taditsiooniliselt U { u, v, w}, analüüsime liikumist x-telje sihis. z z y dz dy τ zx (z+dz) u(z+dz) x τ zx (z) u(z) dx x Joon Kuubi puutepinged laminaases voolus, ülemisele ja alumisele tahule mõjuvad vastassuunalised pinged, mis sõltuvad kiiuse tuletisest nomaali suunas. 96

8 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc Tähistame osakesele mõjuvad viskoossed pinged z-teljega isti olevatele tahkudele x-telje positiivses suunas: pinge alumisele tahule (väljastpoolt, liikumist takistav, miinusmägiga): τ zx (z), pinge ülemisele tahule (väljastpoolt, liikumist soodustav, plussmägiga): τ zx (z + dz). Esimene indeks näitab vaadeldava tahuga istuvat telge (seega tahu oientatsiooni), teine indeks tähistab viskoossusjõu suunda. Kuna nii alumise kui ülemise tahu pindala on dx dy, siis viskoossusjõudude saamiseks tuleb pinge koutada tahu pindalaga, seega tahkudele mõjuvad viskoossusjõud: jõud alumisele tahule: τ zx (z) dx dy, jõud ülemisele tahule: τ zx (z + dz) dx dy. Voolav vedelik või gaas tõmbab, analoogselt kleepumisega, ülemist tahku kaasa, alumist takistab, jõudude summa moodustabki elementaasele isttahukale mõjuva x-teljelise viskoossusjõu: τ F visc, x [τ zx (z + dz) τ zx (z)] dx dy zx dz dx dy, z τzx dz z τ F visc, x zx τ dx dy dz zx dv τzx dv. z z z Vastavalt Newtoni sisehõõdeseadusele avaldub viskoosne pinge τ zx (z) kiiuse x-teljelise komponendi tuletise kaudu: du τ zx µ. dz Siit viskoosse pinge tuletis du d u τ z zx µ µ. z dz dz Paigutame saadud viskoosse pinge tuletise viskoossusjõu valemisse F visc, x d u µ dv. dz Jagades saadud viskoossusjõudu uumilemendi massiga dv, saame x-teljelise puutujasuunalise ehk tangentsiaalkiienduse du visc tang µ d u. (NB! Teine tuletis iseloomustab joone kumeust.) dz 97

9 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc Üldjuhul toimub voolamine kõigi kolme telje ulatuses, x-teljeline kiius u on mõjustatud liikumistest kõigi kolme telje sihis. Seega uumilemendi x-teljelise viskoosse kiienduse üldvalem du visc tang µ d u dx d u + dy u d u + dz µ u µ u, kus Laplace opeaato skalaaist u on samuti skalaa (Bonshtein, Semendiaev, 1971, p. 67): ( ) u ( u) u u x u x + y u + y + z, u + z Analoogsed avaldised saaksime ka y-telje ja z-telje jaoks. Seega viskoossusjõududest põhjustatud kiiendused kõigi kolme telje jaoks ehk üldkiiendus komponentkujul: du µ d u d u d u µ + + u, visc tang dx dy dz dv µ d v d v d v µ + + v visc tang dx dy dz dw µ d w d w d w µ + + w visc tang dx dy dz toodud võandite komplekt on asendatav ühe vektovõandiga. d U µ U, visc tang kus U on vekto komponentidega (A. E. Gill.198, p. 75): ( u, v, w) U. NB! Viskoossetest puutepingetest põhjustatud kiiendus on võdeline keskkonna dünaamilise viskoossusteguiga µ. Dünaamilise viskoossuse µ suhet tihedusega :.,, 98

10 æ visc µ , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc nimetatakse aine kinemaatiliseks viskkoossusteguiks ehk kinemaatiliseks viskkoossuseks, ühik m [ ævisc ]. s Indeks visc on lisatud ealdamaks kinemaatilist viskoossust æ visc Kamani dimensioonitust paameetist æ 0.4, mida kasutatakse tubulentsiteooias. Kinemaatiline viskoossus omab SI süsteemis ühikut: æ 3 visc kg m m. m s kg s 9.7. Navie -Stokes i võand kokkusuumatule keskkonnale Koostame viskoosse kokkusuumatu keskkonna liikumisvõandi, avestades: 1) massijõude, ) õhujõudude gadienti, 3) puutepingeid. d U 1 µ F P + U, (9.7.1) kiiendus massijõud õhujõud viskoossete puutepingete ehk jõud massiühiku massiühiku jõud massiühiku kohta, massiühiku kohta kohta defomeeib osakest, uumala ei muutu kohta Võandi vasakul pool on vedeliku- või gaasiosakese kiiendus ehk jõud massiühiku kohta, paemal aga vektokomponendid, millest nimetatud kiiendus koosneb. Võand on ühine nii vedeliku- kui gaasikeskkonnale. Võandit nimetatakse Navie -Stokes i võandiks. Võandi ajaloost: Navie, 18, Poisson, 189, [Сен-Венан, 1843] Stokes, (Vt Лойцянский, 370, Ламб, 73.) 99

11 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc 9.8. Navie -Stokes i võand kokkusuutavale keskkonnale Liikumisvõandi veelgi üldisemas kujus avestatakse keskkonna kokkusuutavusega. Keskkonna kokkusuumist väljendav liige lisandub paemale poole. 1 3 µ divu, (9.8.1) lisandub paemale poole, vastava tõestuse võib leida põhjalikemast hüdodünaamika monogaafiatest [Loitsjanskij, L.G., 1987, 740 (viskoosse gaasi dünaamika); Kuznetsov, D.S., 1951, 300 ]. NB! Kokkuutavus võimalik ainult viskoossuse olemasolul. Kokkusuutava keskkonna liikumise põhivõand kokkusuutavusliikmega: du 1 µ 1 µ F P + U + divu, (9.8.) 3 kokkusuutavusliige ehk du 1 µ 1 F P + U + divu, (9.8.3) 3 ehk, kasutades kinemaaatilist viskoossust du F 1 1 P + ævisc U + divu. (9.8.4) 3 Looduses, võeldes med ja atmosfääi, on einevused liikumiskiiustes tuule kiius ca 10 m/s, keskmine hoovuskiius mees 10 cm/s, samuti on einevused õhkudes, maksimalne atmosfääiõhk on ca 1 ba, täiendav õhk mees sügavusel 100 m on ca 10 ba, sügavusel 1 km aga ca 100 ba, sügavusel 10 km aga ca 1000 ba. Maailmamee keskmisel sügavusel (3.8 km) on õhk ca 380 ba. Loomulikult on einevused õhu gadientides ja kiiuse muutustes. Einevused on ka kahes konstandis: 1) - tihedus, ) µ - dünaamiline viskoossuskoefitsient Vee ja õhu molekulaased viskoossused Viskoossed (puute)pinged avalduvad põhiliselt liikuva vedeliku- või gaasimassi kokkupuutepinnal ümbitseva vedelikuga (gaasiga), siis on nende suuus võdeline vedelikumassi (gaasimassi) ümbitseva pinna suuusega. Kui näiteks vaadeldavaks 100

12 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc osakeseks on kea aadiusega R, siis viskoossusjõud on võdelised R -ga. Raskusjõud ja Coiolise jõud on võdelised osakese massiga, seega uumalaga, seega R 3 -ga. Mida suuem osake, seda suuem on R ja R 3 einevus. Seega suute vedeliku- või gaasikoguste liikumisel on viskoossete pingete osatähtsus väiksem kui väikeste koguste puhul. Teeklaasis liikuvas vedelikus on viskoossed pinged tähtsamad kui hoovuste uuimisel. Suuemastaabiliste liikumiste koal loetakse molekulaane viskkoossus hailikult nulliks. Kuid liikumise ulatuse suuenedes lisandub tubulentne viskoossus, mille ignoeeimine või avestamine sõltub konkeetsest voolamisjuhust. Kummas keskkonnas, vees või õhus, on aga molekulaase viskoossuse ignoeeimine õigustatum? Ehk teisisõnu - kumb on suhteliselt viskoossem, kas vesi või õhk? Tempeatuuil 5 C on dünaamiliste viskoossuste väätused [Кошкин, Ширкевич, 1974, 57 58]: µ vesi kg/(m s), µ õhk kg/(m s), suhe µ vesi / µ õhk 48.6, seega sellel tempeatuuil on vee dünaamiline viskoossus umbes 50 koda suuem. Füüsikaja keemiatabelites ongi hailikult antud dünaamilised viskoossused µ, millest endal tuleb avutada kinemaatilisd. Vähestes käsiaamatutes (Доронин 1978, 55, 1981, 8) võib leida ka kinemaatilisi viskoossusi. Jägnev tabel annab ülevaate peamiselt õhu ja vee kinemaatilistest viskoossustest. Tabel 9.1. Kinemaatilised viskoossused, cm /s T, C Vesi Õhk Elavhõbe Piiitus Glütseiin 11 Tabelist näeme, et vee viskoossus väheneb tempeatuui kasvades (sest tõmbejõud ei suuda enam nii hästi taltsutada molekulide kasvavat liikuvust), õhu viskoossus aga kasvab, sest kasvab kiiuse komponent isti keskmisele kiiusele. Tavalistel plusstempeatuuidel on õhk suhteliselt umbes 10 koda viskoossem kui vesi. Seega veekeskkonna vaatlemine ideaalsena (ilma sisehõõdeta) on õigustatum kui õhu idealiseeimine. 101

13 9.10. Liikumisvõandi kaks eikuju , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc Viskoosse kokkusuutava keskkonna liikumisvõandile (9.8.3) du 1 µ 1 F P + U + divu, (9.10.1) 3 võib anda lühema kuju (Doonin, 1978, 58): du 1 1 F P + div τˆ, (9.10.) viskoossetest pingetest põhjustatud kiiendus, sisaldab nii defomatsiooni kui kuju muutust sümboliga τˆ on tähistatud viskoossete pingete maatiks (tenso): τ xx τ xy τ xz τ11 τ1 τ13 τˆ τ yx τ yy τ yz τ1 τ τ3, (9.10.3) τ τ τ τzx τzy τzz mille komponendid avalduvad (Doonin, 1978, 54): u j ui τ ij τ ji µ + i j xi xj, (9.10.4) u τ µ i ii div U, xi 3 näeme, et viskoossete pingete maatiksi peadiagonaaliga paalleelsed liikmed on omavahel vastavalt võdsed, seega on maatiksis üheksa liikme asemel kuus sõltumatut liiget Liikumisvõandi geofüüsikalised kujud Avestades massiühikule mõjuvatest jõududest ehk kiiendustest: 1) askuskiiendust g, ) Coiolisi kiiendust ( ω U ), saame geofüüsikalise liikumisvõandi vektokujus paema käe teljestikus: du 1 1 ( ω U ) + div τ g P ˆ. (9.11.1) 10

14 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc Võand ei sisalda Maa pöölemisest tingitud tsentifugaalkiiendust, mis on väike võeldes askuskiiendusega. Kuid keskkonnaosakese kiius U ja seega võandi teised liikmed, sealhulgas Coiolisi kiienduse liige, sisaldavad vetikaal- ehk z-teljelisi komponente. Üleminekuks liikumisvõandi komponentkujule ehk kolmele koodinaattelje võandile analüüsime Coiolisi kiienduse liiget (tähistus K ): K x, y z. (9.11.) ( K K, K ) ( ω U ) ( U ω) Coiolisi kiienduse komponentide konketiseeimiseks peame vaatlejaga seotud punktist oienteeima koodinaatteljed. Atmosfääifüüsikas tehakse seda hailikult jägnevalt (joon. 9.5): x-telg ida ilmakaae suunas, asuvad y-telg põhja ilmakaae suunas, hoisontaaltasapinnas z-telg zeniidi suunas (vetikaalselt üles), seega moodustavad teljed paema käe kolmiku. Meefüüsikas on otstabekas suunata z-telg vetikaalselt alla (nadiii suunas). Hoisontaaltasapinna telgi (x-telg ida ilmakaae, y-telg põhja ilmakaae suunas) ei muudeta. Sellisel juhul moodustavad teljed vasaku käe kolmiku. Jätkame esialgu atmosfääifüüsikas kasutatava paema käe kolmikuga. Tähistame Coiolisi kiienduse komponendid ( U ω) K { K x, K y, K z,}. (9.11.3) Komponentide K x, K y, K z leidmiseks määame esmalt joonise 9.5 abil Maa pöölemise nukkiiuse vektoi ω komponendid vektoi mooduli ω ja laiuskaadi ϕ abil: ω x 0, sest ω Ox (alati, sõltumata geogaafilisest asukohast); ω y ω cos ϕ; näiteks põhjapoolusel, kus ϕ 90, on cos ϕ 0 ja ω y 0; ekvaatoil ϕ 0, seega cos ϕ 1 ja ω y ω; lõunapoolusel ϕ 90, seega cos ϕ 0 ja ω y 0; ω z ω sin ϕ; põhjapoolusel ϕ 90, on sin ϕ 1 ja ω z ω; ekvaatoil ϕ 0, seega sin ϕ 0 ja ω z 0; lõunapoolusel ϕ 90, seega sin ϕ 1 ja ω z ω. Kokkuvõtvalt on Maa nukkiiuse vektoi ω komponendid poolustel ja ekvaatoil toodud jägneval leheküljel tabelis

15 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc ω y N z O x S Joon Geofüüsikas (eiti atmosfääifüüsikas) sageli kasutatav koodinaatsüsteem: alguspunkt (vaatleja asukoht) punktis O, hoisontaaltasapinnas asuvad x-telg ja y-telg on suunatud vastavalt ida ja põhja ilmakaae suunas, z-telg vetikaalselt üles. Seega moodustavad koodinaatteljed paema käe kolmiku. Tabel 9.1. Maa nukkiiuse vektoi ω komponendid poolustel ja ekvaatoil (paema käe koodinaadistikku kasutades). Asukoht ω x ω y ω z Põhjapoolus, ϕ ω Ekvaato, ϕ 0 0 ω 0 Lõunapoolus, ϕ ω Moodustame Coiolisi kiiendust väljendava vektokoutise ( U ω ): i j k i j k i j k U ω u v w u v w ω u v w ω ω ω 0 ω cosϕ ω sin ϕ 0 cosϕ sin ϕ ( ) x y z ω i v cosϕ w sin ϕ ω j u 0 w sin ϕ + ω k u 0 v cosϕ. Uuime koutise komponente koodiaattelgedel, x-komponent: 104

16 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc ( v sin ϕ ϕ) ω w cos K x vetikaalkiiused oluliselt väiksemad hoisontaalsetest ω v sin ϕ v ω sin ϕ f v. f Coiolisi kiienduse x-komponent antaksegi hailikult vetikaalkiiusi ignoeeides: K x f v. Coiolisi kiienduse y-komponent: K y ω u sin ϕ u ω sin ϕ f u, Coiolisi kiienduse z-komponent: K z ω u cosϕ. Hindame Coiolisi kiienduse vetikaalkomponenti K z, mis sõltub idasuunalisest kiiusest u ja on maksimaalne ekvaatoil: max K z ω u. Maa pöölemise nukkiius ω: π ω, T kus täheööpäev T s s s ( 3h 56 min 4 s), π s -1 ω s f Planetaane keskmine tuule kiius aluspinna lähedal on 10 m/s. Okaanides võib tuule kiius olla mitu koda suuem. Võtame Coiolisi vetikaalse kiienduse maksimaalse hinnangu saamiseks tuule kiiuseks: m km u 50 ( 180 ), s h max K z ω u s 50 ms ms. Võeldes seda kiiendust teise vetikaalse kiiendusega, askuskiiendusega g 9.8 m/s 10 m/s, 105

17 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc näeme, et einevus on ligi 3000 koda, seega g >> K z, mistõttu võib võtta K z 0. Lihtsustatult on Coiolise kiienduse komponendid: K x f v, K y f u, (9.11.) K z 0. Kuna askuskiienduse vektoi komponendid on ülessuunatud z-telje puhul: g 0, 0, g, ( ) siis saame liikumise vektovõandi (9.11.1) asendada süsteemiga kolmest komponentvõandist: du fv 1 P x + 1 div τx, dv fu 1 P y + 1 div τ y, (9.11.3) dw g 1 P z + 1 div τz. Divegentsi mägi all on viskoossete ja tubulentsete pingete vektoid, mis moodustavad vastavalt sümmeetilise pingete maatiksi τˆ esimese, teise ja kolmanda ea (või veeu): τ x ( τ xx, τ xy, τ xz ), τ y ( τ yx, τ yy, τ yz ), τ z ( τzx, τzy, τzz ). Mäkused 1. Süsteemi (9.11.3) võandid ei muutu, kui suunata xy-teljed hoisontaaltasapinnas teisiti, st pööata teljestikku ümbe z-telje. Näiteks: mõnikod suunatakse Ox lõunasse ja Oy itta.. Meefüüsikas on loomulik kasutada vasaku käe koodinaadistikku, st z-telg suunatakse vetikaalselt alla. Sellisel juhul tuleb: muuta (9.11.3) kolmandas võandis askuskiienduse g mäk positiivseks, muuta vektokoutise definitsiooni, st suunata vektoid vasaku käe sõmede jägi, siis vektokoutise valemid ei muutu. 106

18 , 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc 3. Suuemastaabilisel liikumisel liituvad viskoossetele pingetele tubulentsed, valemite fomaalne kuju ei muutu. 4. Liikumisvõandi vektokuju (9.11.1) esitus ilma pingetemaatiksi mõistet kasutamata jäeldub võandist (9.10.1): du 1 µ 1 ( ω U ) P + U + div g U 3. (9.11.4) 107