ΠΑΙΓΝΙΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΟΛΥΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΩΝ WEB CACHING

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΙΓΝΙΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΟΛΥΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΩΝ WEB CACHING ΦΩΚΑΪ ΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΕΥΘΥΜΙΑ ΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΠΑΤΡΑ ΜΑΪΟΣ 9

2 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg ιπλωµαική Εργασία Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Φωκαΐδης Παναγιώης 7-5-9

3 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg ΕΑΠ 9 Η παρούσα διαριβή η οποία εκπονήθηκε σα πλαίσια ης ΘΕ «ιπλωµαική Εργασία» ου προγράµµαος «Μεαπυχιακή Εξειδίκευση σα Πληροφοριακά Συσήµαα» (ΠΛΗΣ) και α λοιπά αποελέσµαα ης ανίσοιχης ιπλωµαικής Εργασίας (ΠΕ) αποελούν συνιδιοκησία ου ΕΑΠ και ου φοιηή ο καθένας από ους οποίους έχει ο δικαίωµα ανεξάρηης χρήσης και αναπαραγωγής ους (σο σύνολο ή µηµαικά) για διδακικούς και ερευνηικούς σκοπούς σε κάθε περίπωση αναφέρονας ον ίλο και ο συγγραφέα και ο ΕΑΠ όπου εκπονήθηκε η ιπλωµαική Εργασία καθώς και ον επιβλέπονα και ην επιροπή κρίσης.

4 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Φωκαΐδης Παναγιώης Επιβλέπων Μέλος Μέλος Χαζηευθυµιάδης Σκόδρας Βασσάλος Ευσάθιος Αθανάσιος Βασίλειος ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Παγκόσµιος Ισός είναι σήµερα µια από ις πιο σηµανικές υπηρεσίες ου ιαδικύου και o Web Cchg η πιο µελεηµένη εφαρµογή ου η οποία προσεγγίζεαι από διάφορα και ποικίλα επισηµονικά πεδία ανάλογα µε α προβλήµαα που κάθε φορά ανακύπουν και ην οπική γωνία από ην οποία αυά εξεάζοναι. Σην παρούσα ιπλωµαική εργασία ορίσηκε µια Ολιγοπωλιακή αγορά µε χρέωση χωρίς διάκριση για η διαχείριση ης υπηρεσίας cchg σε µια ιεραρχία. Οι πωληές είναι οι cche επιπέδου- (L cche) οι αγορασές είναι οι cche επιπέδου- (L cche) ο οικονοµικό αγαθό είναι ο αποθηκευικός χώρος και ο αναγωνισµός γίνεαι σις ιµές. Ως σόχος ης εργασίας έθηκε η διερεύνηση ύπαρξης και ση συνέχεια εύρεσης πρώον ου βέλισου διανύσµαος ιµών που θέουν οι πωληές και δεύερον ων διανυσµάων εκχώρησης χωρηικόηας σους αγορασές. Με η χρήση ης Θεωρίας Παιγνίων ο αναγωνισικό ως προς ις ιµές Ολιγοπώλιο µονελοποιήθηκε ως µη συνεργαικό παίγνιο και ση συνέχεια αποδείχθηκε η ύπαρξη µοναδικής Ισορροπίας Nsh σο παίγνιο. Τα διανύσµαα εκχώρησης χωρηικόηας έγινε δυναόν να υπολογισούν µε αναλυική µέθοδο ενώ ο βέλισο διάνυσµα ιµών υπολογίσηκε µε η βοήθεια διχοοµικού αλγόριθµου. Από ην µελέη ων αποελεσµάων µέσω αριθµηικών παραδειγµάων καέση δυναόν να εξαχθούν χρήσιµα συµπεράσµαα για ην µελεούµενη δοµή αλλά και να επιβεβαιωθούν συµπεράσµαα που διαυπώθηκαν καά η πορεία ης επίλυσης ων βασικών προβληµάων. Λέξεις-κλειδιά: Web Cchg Θεωρία Παιγνίων Ολιγοπώλιο ιαδικυακές Εφαρµογές Καανεµηµένα Συσήµαα ιαχείριση πόρων. Περιεχόµενο: Κείµενο Σχήµαα. 3

5 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Ge Theoretc Alyss of Mult-Lyer Web Cchg Archtectures Fods Pgots Suersor Meber Meber Hdefthydes Sodrs Vsslos Stthes Athssos Vsls ABSTRACT The Web s owdys oe of the ost ortt serces of the Iteret d Web Cchg cossts the ost studed lcto of t eed by rous scetfc roches deedg o the robles rse t ech rtculr cse s well s fro the ot of ew eed. I ths thess Olgoolstc ret wth o rce dscrto s set to ge Web Cchg herrchy. The sellers re the L cches the buyers re the L cches the ecooc good s the ccty d the coetto s rces. The of the wor ws to estgte the estece d the the deterto of frstly the otl rces ector set by the sellers d secodly the ccty ectors cocerg the buyers. By es of Ge Theory the coette rce Olgooly ws odelled s o-cooerte ge. The t ws roed tht the ge hs uque Nsh Equlbru. The ccty ectors were estted by es of lytcl ethod whle the otl rces ector wth bsecto lgorth. Eg the study results dered by seerl uercl eles t ws ossble to drw useful coclusos for the eed structure. I ddto uber of coclusos outled durg the solg rocedure of the bsc robles were ths wy lso cofred. Keywords: Web Cchg Ge Theory Olgooly Web Alctos Dstrbuted Systes Resource Mgeet. Cotet: Tet Fgures. 4

6 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Περιεχόµενα Εισαγωγή...7 Web Cchg...9. Γενικά Ποια ανικείµενα επιδέχοναι cchg....3 Που γίνεαι ο cchg Υλοποίηση ου cchg Ανικαάσαση περιεχοµένων cche Συνέπεια cche Επικοινωνία µεαξύ cche....8 ιανοµή Περιεχοµένου (Cotet Dstrbuto) Θεωρία Παιγνίων Γενικά Ισορικά Σοιχεία Καηγορίες Παιγνίων Μη Συνεργαικά Παίγνια (Nocooerte Ges) - Συνεργαικά Παίγνια (Cooerte Ges) Παίγνια σε Σραηγική Μορφή (Strtegc Ges) - Παίγνια σε Εκεαµένη Μορφή (Etese Ges) Παίγνια Τέλειας Πληροφόρησης (Ges wth Perfect Iforto) - Αελούς Πληροφόρησης (Ges wth Ierfect Iforto) Συνάρηση Ωφέλειας Μη Συνεργαικά Παίγνια Παίγνια σε Σραηγική Μορφή Ισορροπίες Nsh Ύπαρξη Ισορροπιών Nsh Εφαρµογές ης Θεωρίας Παιγνίων σε ικυακά Προβλήµαα

7 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 4 Σοιχεία Οικονοµικής Θεωρίας Σοιχεία αγοράς πωληών και αγορασών Το είδος ου προϊόνος Ο αριθµός ων πωληών και η σραηγική αλληλεπίδραση Τέλειος αναγωνισµός Μονοπώλιο Ολιγοπώλιο Προεινόµενη Λύση Γενικά Σύσηµα Αγορασής (L cche) Πωληής (L cche) Αριθµηική Επίλυση Σενάριο (Μεαβολή ης χωρηικόηας ων L cche) Σενάριο (Μεαβολή ης συνολικής χωρηικόηας ανικειµένων αναφερόµενα από ις L cche) Σενάριο 3 (Μεαβολή ης διαφοράς ου χρόνου εξυπηρέησης από ις L cche) Συµπεράσµαα Αναφορές Παράρηµα: Αποδείξεις

8 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Εισαγωγή Ο Παγκόσµιος Ισός (World Wde Web - WWW) είναι σήµερα µια από ις πιο σηµανικές υπηρεσίες ου ιαδικύου (Iteret). Η ενυπωσιακή ανάπυξη και η διαρκώς αυξανόµενη χρήση ης υπηρεσίας WWW καέσησαν επιβεβληµένη η βελισοποίηση σην πρόσβαση ου πληροφοριακού περιεχοµένου. Η χρήση ων WWW cche συνεισφέρει σηµανικά προς αυήν ην καεύθυνση επιυγχάνονας η µείωση όσο ου χρησιµοποιούµενου εύρους ζώνης (bdwdth) όσο και ου φόρου σον πηγαίο διακοµισή (org serer) αλλά και ου χρόνου εξυπηρέησης ου ελικού χρήση καθώς ένα µέρος ου αιούµενου περιεχοµένου βρίσκεαι ήδη πολύ κονά σε αυόν. Η εχνική ου WWW cchg αφορά ην αποθήκευση (cche) ανιγράφων ων ανικειµένων που έχουν ζηηθεί από ους χρήσες ου οπικού δικύου έσι ώσε όαν κάποιο ανικείµενο ζηηθεί ξανά αυό να παραδίδεαι καευθείαν από ον cchg roy χωρίς να γίνεαι επικοινωνία µε ον πηγαίο διακοµισή WWW περιεχοµένου. Τα ζηήµαα που παρουσιάζοναι ση διαχείριση ων WWW cche είναι πολλά. Έχουν σχέση µε ην επιλογή διαφόρων παραµέρων αλλά και γενικόερων σραηγικών όπως σε ποιους διακοµισές να οποθεηθούν κάποια ανίγραφα ή από ποιον διακοµισή να ζηηθεί ένα ανίγραφο. Αυά α προβλήµαα έχουν αποελέσει ανικείµενο µελέης από µεγάλο πλήθος ερευνηών καθώς κι ανικείµενο έρευνας κι ανάπυξης προϊόνων από εµπορικούς οργανισµούς παγκοσµίως. Ανοικά ζηήµαα όµως παραµένουν αρκεά καθώς υπάρχει σηµανικό περιθώριο για πιθανές βελιώσεις υπαρχόνων αρχιεκονικών και σραηγικών αλλά και για πρόαση νέων. Το WWW cchg µπορεί να εφαρµοσεί και σε διάφορα επίπεδα σε ιεραρχία π.χ. ου επιπέδου (Leel L) ου επιπέδου (Leel L) κ.α. Όαν η χωρηικόηες ων L cche διαµοιράζοναι µεαξύ κάποιων L cche είναι δυναόν αν µια L cche είναι ιδιαίερα "επιθεική" σε σχέση µε ις άλλες να κυριαρχήσει επί ης 7

9 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg διαµοιραζόµενης χωρηικόηας µε αποέλεσµα να επωφεληθεί εις βάρος ων άλλων L cche. Σε αυήν ην εργασία για ην αποφυγή "εγωισικών" συµπεριφορών από ις L cche προείνεαι ένα πλαίσιο σο οποίο οι L cche παρέχουν ον αποθηκευικό ους χώρο µε χρέωση. Οι L cche χωρίζουν ο σύνολο ου αποθηκευικού ους χώρου σε διακριά µήµαα καθένα από α οποία "νοικιάζουν" σις ενδιαφερόµενες L cche. Το περιγραφόµενο πλαίσιο µονελοποιείαι ως µια Οικονοµία (Mret) µε σαφείς ρόλους για ην κάθε ονόηα (οι L cche είναι οι πωληές ενώ οι L cche οι αγορασές). Το κίνηρο για ην εργασία αυή προέρχεαι από ην εργασία [] σε κεφάλαιο ης οποίας µελεάαι ο αναφερθέν πρόβληµα χρησιµοποιώνας ως Οικονοµικό µονέλο ο Μονοπώλιο µε χρέωση µε ή χωρίς διάκριση και µε ή χωρίς ρυθµισή. Σην παρούσα εργασία ως Οικονοµικό µονέλο εξεάζεαι ο Ολιγοπώλιο µε χρέωση χωρίς διάκριση. Με η χρήση ης Θεωρίας Παιγνίων ως εργαλείο ο αναγωνισµός ων πωληών (L cche) για ην προσέλκυση αγορασών (L cche) µονελοποιείαι ως ένα µη συνεργαικό παίγνιο. Η επίλυση ων προβληµάων σα οποία οδηγεί ο Παιγνιοθεωρηικό µονέλο που προείνεαι οδηγεί σον υπολογισµό ων βέλισων ιµών ποσοικών χαρακηρισικών ης εξεαζόµενης δοµής όπως ο διάνυσµα χρέωσης και η καανοµή ης χωρηικόηας. Σχεικά µε η δοµή ης εργασίας σο Κεφ. µελεάαι η γενικόερη καάσαση σε θέµαα εχνολογιών WWW cchg όπως επίσης και κάποιες προηγούµενες προσπάθειες εφαρµογής Παιγνιοθεωρηικών προσεγγίσεων σε δικυακά προβλήµαα. Σο Κεφ. 3 γίνεαι µια εισαγωγή σε έννοιες και συµβολισµούς σχεικά µε η Θεωρία Παιγνίων και σο Κεφ. 4 παρουσιάζοναι κάποιες έννοιες ης Οικονοµικής Θεωρίας όπως η αγορά ο προϊόν και α µονέλα αυής ανάλογα µε ον αριθµό ων πωληών. Ακολουθεί σο Κεφ. 5 η παρουσίαση η ανάπυξη και η προεινόµενη επίλυση που δόθηκε σο υπό εξέαση πρόβληµα. Σο Κεφ. 6 γίνεαι χρήση αριθµηικών παραδειγµάων για ην εξαγωγή και επιβεβαίωση συµπερασµάων. Σο Κεφ. 7 παραθέουµε συνολικά α συµπεράσµαα µας σο Κεφ. 8 υπάρχουν οι αναφορές ης εργασίας και ολοκληρώνονας σο Κεφ. 9 (Παράρηµα) παραίθεναι οι αποδείξεις ων Προάσεων και Θεωρηµάων που χρησιµοποιήθηκαν σο Κεφ.5. 8

10 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Web Cchg. Γενικά Η ενυπωσιακή αύξηση ης ζήησης ιαδικυακών προϊόνων είχε σαν αποέλεσµα ην µεγάλη αύξηση ης δικυακής κυκλοφορίας. Καθώς ο διακινούµενο φορίο πλησιάζει ην χωρηικόηα ου δικύου η δικυακή κυκλοφοριακή συµφόρηση και η υπερφόρωση ων διακοµισών (serers) γίνεαι συνηθισµένο φαινόµενο µε αποέλεσµα ην αυξηµένη καθυσέρηση ης κυκλοφορίας. Καθυσέρηση σην κυκλοφορία µπορεί να προκληθεί και από µια ζεύξη χαµηλής αχύηας πάνω σην διαδροµή σην οποία κινείαι ο αιούµενο ανικείµενο. Για ην µείωση ης εµφάνισης αυών ων µεγάλων καθυσερήσεων µια σραηγική είναι η δηµιουργία ανιγράφων ου ανικειµένου και η αποθήκευσή ους σε καάλληλα σηµεία µέσα σο δίκυο. Καόπιν η αίηση ου χρήση µπορεί να καευθύνεαι εκεί έχονας µε αυόν ον ρόπο µείωση ης δικυακής κυκλοφοριακής συµφόρησης και ελαχισοποίηση ης καθυσέρησης σην εξυπηρέηση ου χρήση. Η παραπάνω διαδικασία υλοποιείαι µε ην χρήση ων cches. Το RFC 66 καθορίζει όι µια cche είναι ένας οπικός χώρος αποθήκευσης µηνυµάων απάνησης. Ένας λιγόερο αυσηρός ορισµός ου cchg είναι η µεακίνηση web περιεχοµένου πλησιέσερα σους ελικούς χρήσες. Ως πλεονεκήµαα ου cchg µπορούν να θεωρηθούν α παρακάω: Μείωση ου χρησιµοποιούµενου εύρους ζώνης. Αυό έχει ως αποέλεσµα ην µείωση ης κίνησης και ης συµφόρησης σο δίκυο όπως επίσης και ης εξοικονόµησης χρηµάων από ην πλευρά ων εαιριών WWW hostg καθώς αυές πληρώνουν για ο εύρος ζώνης που χρησιµοποιούν. Μείωση ου φόρου σον πηγαίο διακοµισή. Αυό συµβαίνει καθώς η cche παρεµβάλλεαι µεαξύ ου χρήση και ου πηγαίου διακοµισή και χειρίζεαι ις αιήσεις. Μείωση ου χρόνου εξυπηρέησης δηλαδή ου χρόνου που ανιλαµβάνεαι ο ελικός χρήσης από ην υποβολή µιας αίησης µέχρι ην παρουσίαση σε αυόν ου 9

11 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg ζηούµενου ανικειµένου. Η µείωση αυή δηµιουργεί ικανοποίηση σον χρήση και συµβαίνει για δύο λόγους: o α συχνά ζηούµενα ανικείµενα καθώς είναι αποθηκευµένα σην cche προωθούναι σον χρήση από αυήν και όχι από ον πηγαίο διακοµισή µε αποέλεσµα ην ελαχισοποίηση ης καθυσέρησης παράδοσης. o α ανικείµενα που δεν είναι αποθηκευµένα σην cche και προσκοµίζοναι από ον πηγαίο διακοµισή µπορούν να ανακηθούν σχεικά αχύερα από όι χωρίς cchg καθώς υπάρχει µειωµένη κίνηση και συµφόρηση σο δίκυο όπως και µειωµένος φόρος σον πηγαίο διακοµισή.. Ποια ανικείµενα επιδέχοναι cchg Ο πρωαρχικός σόχος µιας cche είναι να αποθηκεύει ορισµένες από ις απανήσεις που λαµβάνει από ους πηγαίους διακοµισές. Μια απάνηση θεωρείαι όι επιδέχεαι cchg αν µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως απάνηση σε µια µελλονική αίηση. Μια cche αποφασίζει εάν µπορεί να αποθηκεύσει µια συγκεκριµένη απάνηση εξεάζονας απαιήσεις που σχείζοναι µε ο πρωόκολλο HTTP καθώς και ο υπό εξέαση περιεχόµενο. Σχεικά µε ο HTTP πρωόκολλο απαιείαι οι cches να λαµβάνουν υπόψη κάποιες νιρεκίβες σχεικά µε ην δυναόηα αποθήκευσης κάποιου συγκεκριµένου µηνύµαος. Οι απαιήσεις οι οποίες εξαρώναι από ο περιεχόµενο επηρεάζοναι από ις επιχειρηµαικές απαιήσεις µιας cche καθώς και ις πολιικές που επηρεάζουν ην συχνόηα ελέγχου ης ορθόηας ων περιεχοµένων ης cche (reldto). Οι πολιικές αυές µε ην σειρά ους επηρεάζοναι από α χαρακηρισικά όπως π.χ. ο µέγεθος και ον ύπο. Το HTTP/. καθορίζει απλούς κανόνες για ο ποια ανικείµενα επιδέχοναι αποθήκευση σε cche. Η µέθοδος αίησης α πεδία επικεφαλίδας ης αίησης ο κωδικός καάσασης ης απάνησης (resose sttus) καθώς και α πεδία επικεφαλίδας ης απάνησης πρέπει να υποδεικνύουν εάν ο ανικείµενο επιδέχεαι αποθήκευση σε cche. Οι απανήσεις σα αιήµαα OPTIONS PUT και DELETE δεν επιδέχοναι αποθήκευση σε cche. Οι απανήσεις σα αιήµαα POST δεν επιδέχοναι αποθήκευση σε cche εκός εάν η απάνηση φέρει ις καάλληλες Cche-Cotrol και Eres επικεφαλίδες. Εάν η cche δεν υποσηρίζει ο πεδίο επικεφαλίδα Rge όλες οι

12 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg απανήσεις που φέρουν κωδικό καάσασης 6 (Prtl Cotet) δεν µπορούν να αποθηκευούν ση cche. Ορισµένες απανήσεις περιέχουν πληροφορία από ον πηγαίο διακοµισή που αποκλείει ην αποθήκευση ου µηνύµαος σε cche. Υπάρχουν είδη έοιας πληροφορίας. Πληροφορίες σχεικά µε ην δυναόηα αποθήκευσης και νιρεκίβες προς ις cches. Εάν η απάνηση περιέχει ο πρώο είδος πληροφορίας η απόφαση για αποθήκευση σε cche θα πρέπει να βασίζεαι σε αυήν. Για παράδειγµα o πηγαίος διακοµισής µπορεί να καθορίσει ακριβώς ο διάσηµα για ο οποίο ο ανικείµενο θα πρέπει να θεωρείαι έγκυρο µέσω ου πεδίου Eres. H νιρεκίβα Cche-Cotrol µπορεί να αποκλείσει ην αποθήκευση σε cche ορισµένων ανικειµένων. Για παράδειγµα η Cche-Cotrol: rte καθορίζει όι µια διαµοιραζόµενη cche δεν µπορεί να αποθηκεύσει ο ανικείµενο. Ένα µήνυµα απάνησης που περιέχει ην νιρεκίβα Cche-Cotrol: o-store δεν θα πρέπει να αποθηκευεί καθόλου. Η νιρεκίβα Cche-Cotrol: o-cche περιορίζει ην πιθανόηα αποθήκευσης ου ανικειµένου ση cche γιαί θα πρέπει να ελέγχεαι η ορθόηα ου ανικειµένου πριν από κάθε φορά που επισρέφεαι ως επιυχία cche (cche ht). Οι νιρεκίβες δεν περιορίζοναι µόνο σις απανήσεις από ον πηγαίο διακοµισή. Μπορεί να ενσωµαώνοναι και σις ερωήσεις από ον ανιπρόσωπο ου χρήση (user get). Για παράδειγµα η Cche-Cotrol: o-store µπορεί να εµφανισεί όσο σε απάνηση όσο και σε ερώηση. Το πρωόκολλο διαθέει αυές ις νιρεκίβες για να προσαεύει ον προσωπικό χαρακήρα µιας απάνησης (rcy) και για να υποδείξει ην πηικόηα ου ανικειµένου δηλαδή όι µπορεί να αλλάξει αµέσως µεά ην αποσολή ου. Η παρουσία πεδίων επικεφαλίδας όπως α Authorzto και Vry ελαχισοποιούν ις πιθανόηες αποθήκευσης ου ανικειµένου σε cche. Η επικεφαλίδα αίησης Authorzto υποδεικνύει όι ο ζηούµενο ανικείµενο δεν είναι διαθέσιµο για όλους. Επίσης η παρουσία ου Vry δεικνύει όι µια αποδεκή απάνηση για cche θα πρέπει να περιορίζεαι από ις ιµές που ορίζοναι σο Vry πεδίο. Μια cche µπορεί να έχει και ους δικούς ης κανόνες για ον έλεγχο ης δυναόηας αποθήκευσης σε αυήν κάποιου συγκεκριµένου ανικειµένου άσχεα από ους περιορισµούς που επιβάλλοναι µέσω ου πρωοκόλλου. ηλαδή αν και ο ανικείµενο µπορεί να αποθηκευεί ση cche δεν σηµαίνει κα ανάγκη όι ελικά θα αποθηκευεί σε αυήν. Τα µηνύµαα µπορεί να είναι µεγάλα σε όγκο να παράγοναι

13 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg δυναµικά να περιέχουν cooes παράµεροι που επηρεάζουν σηµανικά ην δυναόηα αποθήκευσης ου ανικειµένου σε cche. Οι πολιικές αποθήκευσης σε cche επηρεάζοναι από χαρακηρισικές ου µηνύµαος και όχι από ους περιορισµούς ου πρωοκόλλου. Οι επιχειρήσεις µπορεί να θέλουν να περιορίσουν ο κόσος µεαφοράς αγνοώνας ορισµένους περιορισµούς που σχείζοναι µε ην cche. Για παράδειγµα µπορεί να αποθηκεύουν ανικείµενα που δεν θα πρέπει να αποθηκεύουν (π.χ. Cche- Cotrol: rte). Επίσης οι cches µπορεί να λαµβάνουν υπόψη ην επιβάρυνση αποθηκευικού χώρου (storge oerhed) και να µην αποθηκεύουν ορισµένα µεγάλα αρχεία παρά ο γεγονός όι επιδέχοναι αποθήκευση σε cche. Εάν ο ανικείµενο είναι µεγάλο πολλά ανικείµενα θα πρέπει να εκοπισούν από ην cche. Αναφορικά µε ην χρονική υσέρηση ο κόσος ανάκησης από ους πηγαίους διακοµισές µικρών σε όγκο ανικειµένων είναι µεγαλύερο από ο κόσος ανάκησης ους από cche. Έσι µια cche µπορεί να αποφύγει ην αποθήκευση µεγάλων ανικειµένων. Από ην άλλη πλευρά µια µεγάλη απάνηση αποθηκευµένη σε cche εάν ζηηθεί ορισµένες φορές από ους χρήσες επιφέρει σηµανικά οφέλη εύρους ζώνης. Πολλές cches δεν αποθηκεύουν ις απανήσεις από scrts µε ο σκεπικό όι οι παράµεροι ων σχεικών ερωήσεων δεν πρόκειαι να ξαναχρησιµοποιηθούν. Η παρουσία πρόσθεης πληροφορίας σχεικά µε η δυναόηα αποθήκευσης σε cches σις επικεφαλίδες µιας δυναµικά διαµορφούµενης απάνησης (π.χ. Eres ή ETg) µπορεί να σηµαίνει όι ανικείµενο µπορεί να αποθηκευεί σε cche (π.χ. ένα CGI scrt ο οποίο επισρέφει ο -οσό ψηφίο ου αριθµού π). Πολλά www ερωήµαα συχνά κααλήγουν σις ίδιες απανήσεις και υπάρχουν σήµερα cches που ο λαµβάνουν αυό υπόψη. Μια άλλη καηγορία απανήσεων που θεωρούναι ως µη επιδεχόµενες cchg είναι οι απανήσεις που εξαοµικεύοναι (tlored). Για παράδειγµα οι απανήσεις που συνοδεύοναι από cooes θεωρούναι µη επιδεχόµενες cchg γιαί εκιµάαι όι διαφέρουν από χρήση σε χρήση. Η απόφαση για ην αποθήκευση κάποιου ανικειµένου σε cche εξαράαι από ον ρυθµό αλλαγών σο συγκεκριµένο ανικείµενο. Ορισµένα ανικείµενα µεαβάλλοναι σπάνια ίσως και καθόλου (π.χ. ηλεκρονικές εκδόσεις βιβλίων). Μια παλιά ευρεσική εχνική για ον προσδιορισµό ης δυναόηας αποθήκευσης σε cche ενός ανικειµένου ήαν η ηµεροµηνία ελευαίας αλλαγής. Υιοθεούναν η υπόθεση

14 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg όι εάν ο ανικείµενο δεν έχει µεαβληθεί για µεγάλο χρονικό διάσηµα είναι χαµηλή η πιθανόηα αλλαγής ου σο άµεσο µέλλον. Αυό ο ανικείµενο θεωρούναν υποψήφιο για αποθήκευση σην cche. Σε περίπωση που ο ανικείµενο αποθηκεύοναν σην cche ο χρόνος ελευαίας αλλαγής υποδεικνύει ο διάσηµα σο οποίο θα έπρεπε να επανελεγχθεί η ορθόηα (reldte) ου ανικειµένου. Ανίσροφα η λογική αυή υποθέει όι αν ο ανικείµενο έχει αλλαχθεί πρόσφαα είναι υψηλή η πιθανόηα αλλαγής ου σε σύνοµο χρονικό διάσηµα. Το ανικείµενο αυό δεν θα µείνει επίκαιρο (fresh) σην cche για µεγάλο διάσηµα. Ένας άλλος προβληµαισµός που λαµβάνεαι επίσης υπόψη για η δυναόηα αποθήκευσης σε cche ενός ανικειµένου είναι όι α ανικείµενα που αλλάζουν συχνά είναι δηµοφιλή και κα επέκαση χαρακηρίζοναι από υψηλό ρυθµό προσπέλασης (rte of ccess). Αυά α ανικείµενα θα πρέπει να αποθηκευούν σην cche..3 Που γίνεαι ο cchg Τα web ανικείµενα µπορούν να αποθηκεύοναι σον υπολογισή ου χρήση ή σε έναν διακοµισή σον Ισό. Υπάρχουν διάφοροι ρόποι για ο cchg ων web ανικειµένων: Web browser cche: Ο web browser αποθηκεύει α ανικείµενα σον υπολογισή ου χρήση. Ο web browser πριν ζηήσει α ανικείµενα από ο καάλληλο πηγαίο διακοµισή ψάχνει για αυά σην δική ου cche. Η αποθήκευση συχνά ζηούµενων ανικειµένων σο σκληρό δίσκο ου χρήση αυξάνει ην αχύηα πλοήγησης σο ιαδίκυο όµως δεν γίνεαι εκµεάλλευση ων ανικειµένων που ζηούναι ιδιαίερα συχνά από άλλους χρήσες σο ίδιο περιβάλλον. Proy cche: O roy cche διακοµισής παρεµβάλλεαι ανάµεσα σις HTTP αιήσεις ων χρησών και αν βρει ο ανικείµενο που ζηείαι ση cche ου όε ο επισρέφει σον χρήση. Αν ο ανικείµενο δεν βρεθεί η cche απευθύνεαι σον πηγαίο διακοµισή ου ανικειµένου και για λογαριασµό ου χρήση παίρνει ο ανικείµενο πιθανόν ο αποθηκεύει και ελικώς επισρέφει ο ανικείµενο σον χρήση. Οι roy cches συνήθως αναπύσσοναι σις άκρες ου δικύου (π.χ. σις εαιρικές πύλες ή σα frewll ων hosts) έσι ώσε να µπορούν να εξυπηρεούν ένα µεγάλο αριθµό από εσωερικούς χρήσες. Η χρήση roy cches υπικά επιδρά θεικά σην µείωση ου απαιούµενου εύρους ζώνης σην βελίωση ου χρόνου 3

15 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg απόκρισης και σην αύξηση ης διαθεσιµόηας σαικών ανικειµένων ου Παγκόσµιου Ισού. Η σχεδίαση µε ένα αυόνοµο (stdloe) roy cche έχει ο µειονέκηµα όι η cche αποελεί ένα µοναδικό σηµείο ασοχίας σο δίκυο. Συνεπώς όαν η cche δεν είναι διαθέσιµη ο δίκυο επίσης εµφανίζεαι µη διαθέσιµο σους χρήσες. Επίσης αυή η προσέγγιση απαιεί όλοι οι web browsers ων χρησών να διαµορφωθούν καάλληλα για ην χρήση ης καάλληλης roy cche. Ση συνέχεια αν ο roy cche διακοµισής δεν είναι διαθέσιµος όλοι οι χρήσες πρέπει να αναµορφώσουν ους web browsers ους µε σόχο να χρησιµοποιήσουν µια διαφορεική cche. Reerse (erse) roy cche: Μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση ης αρχιεκονικής µιας roy cche είναι η έννοια ου ανάσροφου (reerse) roy cchg σην οποία οι cches αναπύσσοναι κονά σον όπο προορισµού ου περιεχοµένου σε ανίθεση µε ην πλευρά ου clet. Αυή είναι µια ελκυσική λύση για διακοµισές που περιµένουν έναν µεγάλο αριθµό αιήσεων από ο ιαδίκυο ενώ αυόχρονα θέλουν να εξασφαλίσουν υψηλό επίπεδο ποιόηας υπηρεσιών. Το Reerse roy cchg είναι επίσης ένας χρήσιµος µηχανισµός για ην υποσήριξη ων web hostg frs (εικονικά dos που ανισοιχούν σε ένα και µόνο φυσικό ste) που είναι µια συνεχώς αυξανόµενη υπηρεσία για πολλούς παροχείς υπηρεσιών ου ιαδικύου (ISP). Θα πρέπει να σηµειωθεί όι η ανάπυξη ου reerse roy cchg είναι ενελώς ανεξάρηη από ο roy cchg σην πλευρά ου χρήση. Σην πραγµαικόηα µπορούν να συνυπάρχουν και συλλογικά να βελιώνουν ην απόδοση ου Ισού όσο από ην προοπική ου χρήση όσο και από αυήν ου δικύου και ου διακοµισή. Trsret roy cche: Το διαφανές (trsret) roy cchg ελαχισοποιεί ένα από α µεγαλύερα µειονεκήµαα σην προσέγγιση ου roy serer: Την απαίηση για διαµόρφωση ων web browsers. Οι trsret cches ανακόπουν ις HTTP αιήσεις και ις ανακαευθύνουν σε web cche serers ή σε ένα σύµπλεγµα από cches. Αυό ο είδος ου cchg δηµιουργεί ένα σηµείο σο οποίο είναι πιθανά διαφορεικά είδη διαχειρισικού ελέγχου για παράδειγµα η απόφαση πώς να καανεµηθεί ο ισοζύγιο φόρου ων αιήσεων καά µήκος πολλαπλών cches. Η δύναµη ου trsret cche είναι επίσης και η αδυναµία ου: Παραβιάζει ην edto-ed συµφωνία µη διαηρώνας σαθερά α ελικά σηµεία ης σύνδεσης. Αυό 4

16 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg είναι ένα πρόβληµα όαν µια εφαρµογή απαιεί να διαηρείαι ο καθεσώς µέσω συνεχόµενων αιήσεων ή καά ην διάρκεια που µια λογική αίηση εµπλέκει πολλαπλά ανικείµενα. Υπάρχουν δύο ρόποι για να αναπυχθεί ο trsret roy cchg: Σο επίπεδο διακόπη (swtch leel) και σο επίπεδο δροµολογηή (router leel). Σην δεύερη περίπωση χρησιµοποιείαι µια πολιική βασισµένη σην δροµολόγηση για να καευθύνει ις αιήσεις σην καάλληλη cche. Για παράδειγµα αιήσεις από συγκεκριµένους χρήσες µπορούν να συσχεισούν µε κάποια συγκεκριµένη cche. Σην πρώη περίπωση ο διακόπης ενεργεί ως ένας αποκλεισικός εξισορροπηής φόρου. Οι διακόπες γενικώς είναι λιγόερο ακριβοί από ους δροµολογηές. Επίσης η λύση είναι περισσόερη ελκυσική διόι δεν υπάρχει επιπλέον φόρος όπως αυός που εισάγεαι σην πολιική που είναι βασισµένη σην δροµολόγηση..4 Υλοποίηση ου cchg Η υλοποίηση ου µηχανισµού ου cchg βασίζεαι σε συγκεκριµένα βήµαα: Έλεγχος αν ο µήνυµα επιδέχεαι cchg. ιαφορεικές cches υλοποιούν διαφορεικές προσεγγίσεις για ην απόφαση cchg ου ανικειµένου. Όπως έχει ήδη αναφερθεί α διαφορεικά κριήρια για ην απόφαση αυή είναι: o Υπάρχουν απαιήσεις ου πρωοκόλλου που καθορίζουν όι ο συγκεκριµένο ανικείµενο δεν µπορεί να αποθηκευεί σην cche; o Επιδέχεαι συνήθως ο περιεχόµενο cchg; o Είναι πιθανή η επαναχρησιµοποίηση ου ανικειµένου; o Μπορεί η απόφαση για αποθήκευση ης συγκεκριµένης απάνησης να οδηγήσει σε ανικαάσαση ενός ή περισσοέρων ανικειµένων; Μια cche χρησιµοποιεί κάποια ή όλα α παραπάνω κριήρια για να αποφασίσει αν πρέπει να εφαρµόσει cchg σε κάποιο ανικείµενο. Έλεγχος για ην ύπαρξη διαθέσιµου χώρου. Η cche πρέπει να διαγνώσει αν υπάρχει διαθέσιµος χώρος για ην αποθήκευση ου ανικειµένου και σην περίπωση που δεν υπάρχει χώρος να αποφασίσει ποια ήδη αποθηκευµένα ανικείµενα θα ανικαασαθούν. Σην ελευαία περίπωση ενεργοποιείαι ο µηχανισµός ανικαάσασης cche (cche relceet). Ο µηχανισµός αυός εισάγει κάποια επιβάρυνση ειδικά αν µικρόερα ανικείµενα που είναι ήδη αποθηκευµένα πρέπει 5

17 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg να διαγραφούν. Πρόσθεη επιβάρυνση προκαλείαι όαν λαµβάνοναι µελλονικά αιήσεις για ανικείµενα α οποία έχουν διαγραφεί. Σε αυήν ην περίπωση πρέπει να εγκαασαθούν νέες συνδέσεις για ην άνληση ους από ους πηγαίους διακοµισές. Συχνά ανικείµενα α οποία θεωρούναι µη-επίκαιρα (stle) διαγράφοναι από ην cche ακόµη και σην περίπωση που αυή δεν είναι πλήρης. Έσι περιορίζεαι η ανάγκη για ενεργοποίηση ου µηχανισµού ανικαάσασης cche ην σιγµή διεκπεραίωσης µιας αίησης (µείωση ης υσέρησης που εκλαµβάνεαι από ο χρήση). Μόλις προκύπει ελεύθερος χώρος η cche εξάγει πληροφορία για ο µήνυµα όπως ο χρόνο ελευαίας µεαβολής καθώς και πληροφορία για ην λήξη ου ανικειµένου. Επικεφαλίδες όπως οι Ere και Cche-Cotrol: -stle µεαφέρουν πληροφορία σχεική µε ην λήξη (erto) ου ανικειµένου. Αυά α πεδία συνελούν σο να είναι η cche συµβαή µε ους περιορισµούς ου πρωοκόλλου HTTP για ο βάθος χρόνου σο οποίο η απάνηση µπορεί να επισραφεί ως σηµασιολογικά έγκυρη. Μια cche η οποία είναι συµβαή µε ο πρωόκολλο είναι υποχρεωµένη να εξασφαλίζει όι οι απανήσεις που επισρέφει θεωρούναι από ον πηγαίο διακοµισή ως επίκαιρες. Αν απουσιάζουν πληροφορίες λήξης ου ανικειµένου η cche προσδιορίζει ευρεσικά ένα χρόνο λήξης για να αποφασίσει πόε γίνεαι µη-επίκαιρο (stle). Ο αλγόριθµος µπορεί να βασίζεαι ση ιµή ου πεδίου Lst-Modfed που είναι συνυφασµένη µε ο ανικείµενο. Επίσης παράγεαι ένα κλειδί για χρήση σε µελλονικές αναζηήσεις (loous). Το κλειδί αυό είναι µια ιµή καακερµαισµού (hsh lue) η οποία βασίζεαι σο URL ου ανικειµένου. Επισροφή ου αιούµενου ανικειµένου σον χρήση. Εάν ένα ανικείµενο που ανιπροσωπεύει κάποιο κλειδί που αναζηείαι σην cche ενοπισεί θεωρείαι όι συνέβη ένα cche ht. Τόε ανάλογα µε ην πολιική ης cche και ενδεχόµενους περιορισµούς που επιβάλλοναι από πεδία επικεφαλίδας ένας επανέλεγχος ορθόηας µπορεί να εκελεσεί για να διαπισωθεί εάν ο ανικείµενο είναι επίκαιρο. Εάν ο έλεγχος αυός αποβεί θεικός η αίηση ικανοποιείαι από ην cche. ιαφορεικά θεωρείαι όι συνέβη ένα cche ss η cche ανακά ένα νέο ανίγραφο ου ανικειµένου από ον πηγαίο διακοµισή και εφαρµόζει ην πολιική ης για να αποφανθεί αν ο ανικείµενο θα πρέπει να αποθηκευεί παράλληλα µε ην προώθηση ου σον χρήση που ο αιήθηκε. 6

18 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg.5 Ανικαάσαση περιεχοµένων cche Ανικαάσαση ανικειµένων σε µια cche µπορεί να γίνει σε περίπωση: Συνήρησης ης cche. Μια cche µπορεί να ελέγχει εάν α ανικείµενα που είναι αποθηκευµένα σε αυή είναι επίκαιρα και να διαγράφει α "παλιά" ανικείµενα. Μια cche µπορεί επίσης να ελέγχει ον ρυθµό ων αιήσεων για αποθηκευµένα ανικείµενα ώσε να αποφασίζει ποια από αυά είναι δηµοφιλή και να προβαίνει σε ειδικές ενέργειες για λογαριασµό ους. Για παράδειγµα µια cche µπορεί να προελέγχει ην ορθόηα εγκυρόηα (re-ldto) ων αποθηκευµένων σε αυήν ανικειµένων για να διαπισώνει αν αυά που ζηούναι περισσόερο είναι επίκαιρα. Αυός ο προέλεγχος µπορεί να υλοποιείαι µε ην HTTP Hed µέθοδο που ανλεί µόνο α µεα-δεδοµένα για α υπό συζήηση ανικείµενα. Μια cche µπορεί και προ-δρασικά να επικοινωνεί µε ον πηγαίο διακοµισή και να ελέγχει εάν ο ανικείµενο έχει µεαβληθεί. Εάν όνως έχει µεαβληθεί µπορεί να ξεκινά η διαδικασία ης προανάκησης (refetchg) ανικειµένων για ην ενηµέρωση ης cche. Η cche είναι πλήρης. Σε αυή η περίπωση ανικείµενα πρέπει να διαγραφούν για να δηµιουργηθεί χώρος για ην αποθήκευση νέων απανήσεων. Πολλές σραηγικές για ην ανικαάσαση ανικειµένων έχουν προαθεί. Ορισµένες προέρχοναι από ο παραδοσιακό χώρο ης διαχείρισης cche σε συσήµαα αρχείων ενώ άλλες είναι εξειδικευµένες σο web περιβάλλον. Μια ιδιαίερα γνωσή προσέγγιση είναι ο LRU (Lest Recetly Used) (ανικαάσαση ου ανικειµένου που χρησιµοποιήθηκε λιγόερο). Οι σόχοι ου cchg δηλαδή η µείωση ου όγκου ης πληροφορίας που αναλλάσσεαι σο δίκυο καθώς και ης υσέρησης που ανιλαµβάνεαι ο χρήσης οδηγούν σε σύνθεες αποφάσεις για ην ανικαάσαση περιεχοµένου cche. Οι σύνθεες αποφάσεις αποελούν ένα συνδυασµό µερικών που περιλαµβάνουν ο µέγεθος ων απανήσεων που αποθηκεύοναι ον ύπο ανικειµένου ακόµη και ην έννοια ης απόσασης προς ον πηγαίο διακοµισή. Η χρησιµόηα διαήρησης ενός ανικειµένου σην cche µπορεί να υπολογισεί από πολλούς παράγονες όπως: o Το κόσος ανάκησης ου ανικειµένου: ο κόσος ανάκησης ενός ανικειµένου από ένα πηγαίο διακοµισή προσδιορίζεαι από ην διασυνδεσιµόηα ης cche 7

19 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg και ην απόσαση που πρέπει να διανύσει ο ανικείµενο µέχρι να κααχωρηθεί σην cche. Ανικαθισώνας ένα ανικειµένου ου οποίου η ανάκηση ήαν "ακριβή" ο ίδιο κόσος θα πρέπει να ανιµεωπισεί σην περίπωση που ο ανικείµενο ζηηθεί πάλι σο µέλλον. o Το κόσος αποθήκευσης ου ανικειµένου: Μια cche έχει σαθερό µέγεθος και η αποθήκευση ενός ανικειµένου σηµαίνει λιγόερο χώρο για άλλα ανικείµενα. Ένα µεγάλο σε όγκο ανικείµενο κααλαµβάνει σηµανικό χώρο αλλά ενδεχόµενη ανικαάσαση ου σηµαίνει όι η ανάκηση ου πάλι θα κοσίσει σηµανικά. o Ο αριθµός ων προσβάσεων σο ανικείµενο καά ο παρελθόν: ένα ανικείµενο που έχει προσπελασεί πολλές φορές σο παρελθόν είναι πολύ πιθανόν να προσπελασεί και σο µέλλον και καά συνέπεια είναι επωφελές να παραµείνει σην cche για µεγαλύερο διάσηµα. o Η πιθανόηα προσπέλασης ου ανικειµένου σο άµεσο µέλλον: Εάν ο ανικείµενο είναι πιθανόν να ανακηθεί σο άµεσο µέλλον δεν ενδείκνυαι η απόρριψη ου από ην cche. Η πιθανόηα πρόσβασης σε ένα ανικείµενο θα µπορεί να είναι γνωσή ror ή να προσδιορίζεαι βάσει ης ισορικόηας προσπέλασης (ccess tters). o Ο χρόνος από ην ελευαία µεαβολή ου ανικειµένου: Ένα ανικείµενο που δεν έχει µεαβληθεί για µεγάλο διάσηµα είναι λιγόερο πιθανό να αλλάξει σο κονινό µέλλον. Ένα ανικείµενο που παρήχθη πρόσφαα µπορεί να είναι δυναµικό ή να υπάρχει µεγάλη πιθανόηα να αλλάξει πάλι σο µέλλον. Τα ανικείµενα που υπάρχει µεγάλη πιθανόηα να αλλάξουν είναι συνήθως δηµοφιλή. Αυά α ανικείµενα µπορούν να µεαβληθούν σαν αποέλεσµα ου δηµοφιλούς ους χαρακήρα και έσι είναι καλοί υποψήφιοι για cchg. Η αποθηκευµένη απάνηση µπορεί όµως να πρέπει να ανικαασαθεί συχνά µε ο µεαβαλλόµενο ανικείµενο. Ο χρόνος ελευαίας µεαβολής ενός ανικείµενου µπορεί έσι να χρησιµοποιηθεί για να προσδιορισούν οι πιθανοί υποψήφιοι για ανικαάσαση. o Ο χρόνος λήξης που προσδιορίζεαι ευρεσικά: Εάν δεν υπάρχει χρόνος λήξης προσδιορισµένος από ον διακοµισή η cche προσδιορίζει ευρεσικά ένα χρόνο λήξης. Εάν δεν υπάρχουν ανικείµενα για α οποία έχει παρέλθει ο 8

20 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg χρόνος λήξης όε αυά που βρίσκοναι κονινόερα σην λήξη ους αποελούν υποψήφια για ανικαάσαση. Οι αλγόριθµοι που χρησιµοποιούναι ως επί ο πλείσον για ανικαάσαση (relceet) ανικειµένων ση cche είναι οι ακόλουθοι: Lest Recetly Used (LRU) Lest Frequetly Used (LFU) Sze of obect (SIZE) Hyer-G (LFU/LRU/SIZE): Το σύσηµα Hyer-G συνδυάζει ις πολιικές LRU/LFU και Sze. Η πρώη απόφαση για ανικαάσαση (relceet) βασίζεαι σο LFU. Εάν υπάρχουν περισσόερα από ένα ανικείµενα που πληρούν ο παραπάνω κριήριο εφαρµόζεαι η πολιική LRU. Εάν πάλι δεν προσδιορίζεαι ένα ανικείµενο προς ανικαάσαση επιλέγεαι ο µεγαλύερο σε όγκο ανικείµενο. GreedyDul-Sze: Ο αλγόριθµος αυός είχε προαθεί για ανικαάσαση σελίδων σην µνήµη υπολογισικών συσηµάων. Ο αρχικός προσαναολισµός ου δηλαδή αφορούσε ένα σύσηµα µε σαθερό µέγεθος ανικειµένων. Ο αλγόριθµος επεκάθηκε για να καλύψει ην ποικιλόηα ων µεγεθών ων www ανικειµένων. Ο µεασχηµαισµένος αλγόριθµος συσχείζει µια ιµή χρησιµόηας (utlty lue) και ανικαθισά ο ανικείµενο µε ην χαµηλόερη ιµή χρησιµόηας. Εκός από ο κόσος µεαφοράς ου ανικειµένου σην cche και ο µέγεθος ου η ιµή χρησιµόηας επηρεάζεαι από ον παράγονα παλαίωσης (ge fctor) που ενηµερώνοναι καθώς ανικείµενα αποµακρύνοναι από ην cche..6 Συνέπεια cche Ο πηγαίος διακοµισής αποφασίζει ην χρονική διάρκεια για ην οποία ο ανικείµενο θα πρέπει να θεωρείαι έγκυρο (freshess durto). Μια cche θα πρέπει να εξασφαλίσει όι µια αποθηκευµένη απάνηση είναι ακόµη έγκυρη πριν να απανήσει σε κάποιον χρήση που αιείαι ο ανικείµενο. Η συνέπεια ης cche είναι ένα σηµανικό πρόβληµα. Πολλοί σχεικοί αλγόριθµοι έχουν προαθεί καά α ελευαία χρόνια για ο πρόβληµα ης συνέπειας ων web cches. H ανάγκη για cche συνέπεια εξαράαι από α ανικείµενα και ις πολιικές οι οποίες έχουν επιβληθεί σην cche. 9

21 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Οι cches µπορεί απλά να επισρέφουν µια παλιά αποθηκευµένη ιµή µαζί µε µια αιία για ην απαξίωση ου ανικειµένου. Μεαξύ ων αιίων είναι η αδυναµία εγκαάσασης σύνδεσης προς ον πηγαίο διακοµισή ή ο υψηλός φόρος ης cche. Η επικεφαλίδα Wrg ου HTTP/. µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να υποδηλώσει όι επισρέφεαι µια µη-επίκαιρη απάνηση. Το πρωόκολλο HTTP/. παρέχει πολλούς ρόπους για ην διαήρηση ης συνέπειας ων cches. Εάν ο πηγαίος διακοµισής θέσει ένα συγκεκριµένο χρόνο λήξης για ένα ανικείµενο ο roy που παρέχει cchg ανεξάρηα από ην σηµασιολογία ου ανικειµένου είναι υποχρεωµένος να υιοθεήσει ον ίδιο χρόνο λήξης. Η µόνη διαφοροποίηση σε αυό είναι ο περιορισµός που µπορεί να εθεί σο αίηµα ου χρήση µέσω επικεφαλίδας Cche-Cotrol: oly-f-cched που αναγκάζει ον roy να επισρέψει µια ήδη αποθηκευµένη απάνηση χωρίς να ελέγξει ην ορθόηα ης σον πηγαίο διακοµισή. Εάν ο πηγαίος διακοµισής δεν θέσει ένα χρόνο λήξης ο roy µπορεί να προσδιορίσει ευρεσικά ένα χρόνο λήξης. Ο πλέον συνήθης ρόπος ελέγχου ης συνέπειας σο Παγκόσµιο Ισό είναι η αποσολή ενός GET ή HEAD αιήµαος µε µια επικεφαλίδα f-odfed-sce. Η επικεφαλίδα µεαφέρει µια χρονοσφραγίδα (test) που δεικνύει ο χρόνο ελευαίας µεαβολής ου ανικειµένου όπως αυός υποδεικνύεαι από ον πηγαίο διακοµισή. Σε ορισµένες περιπώσεις ο χρόνος παραγωγής ης απάνησης µπορεί να είναι ο χρόνος ελευαίας µεαβολής ου ανικειµένου. Οι εικέες ονόηας (etty tgs) ου HTTP/. σε συνδυασµό µε ην επικεφαλίδα f-odfed-sce µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ην πραγµαοποίηση ελέγχων συνέπειας. Ο πηγαίος διακοµισής µπορεί να απανήσει µε ένα πλήρες ανίγραφο ου ανικειµένου ή µε ην απάνηση 34 Not Modfed (και χωρίς σώµα σην απάνηση). Παρόλα αυά ένας έλεγχος συνέπειας προϋποθέει πλήρη διαδοχή µηνυµάων HTTP request/resose. Εάν ο cchg roy σέλνει ένα αίηµα για έλεγχο ης ορθόηας ου ανικειµένου κάθε φορά που συµβαίνει ένα cche ht η πολιική καλείαι ισχυρή συνέπεια (strog cocstecy). Eάν ο roy χρησιµοποιεί ένα ευρεσικό αλγόριθµο για να αποφανθεί εάν ο ανικείµενο είναι επίκαιρο χωρίς να συµβουλευεί ον πηγαίο διακοµισή η πολιική καλείαι ασθενής συνέπεια (we cosstecy). Οι δύο ευρεσικοί αλγόριθµοι για έλεγχο συνέπειας είναι οι: lesed-bsed και te-to-le.

22 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Lesed-bsed προσέγγιση: Η cche συµφωνεί να αποθηκεύσει ένα ανικείµενο για συγκεκριµένο χρονικό διάσηµα (περίοδος χρονοµίσθωσης lese) χωρίς να ελέγχει ην ορθόηα ου. Ο διακοµισής "υπόσχεαι" να ειδοποιήσει ην cche για ενδεχόµενες αλλαγές σο αποθηκευµένο ανικείµενο καά ην διάρκεια ης περιόδου χρονοµίσθωσης. Εάν η περίοδος παρέλθει η cche µπορεί να ελέγξει ην ορθόηα ου ανικειµένου ή να ανανεώσει ην χρονοµίσθωση. Αυή η προσέγγιση µεαφέρει ο κόσος ου reldto σον πηγαίο διακοµισή ο οποίος θα πρέπει να γνωρίζει και παρακολουθεί όλους ους roes σους οποίους έχει υποσχεθεί ενηµερώσεις. Η προσέγγιση δεν µπορεί να κλιµακωθεί αν ο πηγαίος διακοµισής είναι υποχρεωµένος να ειδοποιήσει εκαονάδες χιλιάδες roes. Te-To-Le (TTL) προσέγγιση: Τα ανικείµενα έχουν συσχεισεί µε ένα χρόνο λήξης αποθήκευσης. Όαν παρέλθει αυό ο χρονικό διάσηµα α ανικείµενα παύουν να θεωρούναι επίκαιρα. Καά ην διάρκεια ης περιόδου TTL η cche δεν επικυρώνει ις απανήσεις διασώζονας εύρος ζώνης. Η απόδοση ιµής σον χρόνο TTL µπορεί να επηρεασεί ένα πλήθος παραµέρων όπως ο χρόνος λήξης που αναφέρεαι σην επικεφαλίδα ης απάνησης η συχνόηα αναφοράς σην απάνηση ο χρόνος ελευαίας αλλαγής ου ανικειµένου..7 Επικοινωνία µεαξύ cche Ανάλογα µε ο πως οργανώνοναι οι cches µπορούν να δέχοναι και να λαµβάνουν πληροφορίες για α ανικείµενα για α οποία ενδιαφέροναι. Αυή η επικοινωνία είναι εξωερική ανεξάρηη από α request/resose µηνύµαα που ρέουν µεαξύ χρησών και πηγαίων διακοµισών. Η επικοινωνία µεαξύ ων cches µπορεί να βασίζεαι σο HTTP αλλά συνήθως χρησιµοποιεί εξειδικευµένα lght-weght πρωόκολλα. Εάν ένα σύνολο από cches οργανώνεαι σε ιεραρχία µια cche µπορεί να επικοινωνήσει µε ις υπόλοιπες cches σο ίδιο επίπεδο να διαπισώσει εάν ο ζηούµενο ανικείµενο είναι διαθέσιµο σε αυές. Ένα ερώηµα για κάποιο ανικείµενο µπορεί να απανηθεί από µια ή περισσόερες cches που υχαίνει να έχουν ο ανικείµενο. Συχνά η ανάκηση ενός ανικειµένου από µια οπική cche είναι προιµόερη από ην ανάκηση από ον πηγαίο διακοµισή. Η αναµονή για ην απάνηση από όλες ις cches σην ιεραρχία µπορεί να αυξήσει σηµανικά ην

23 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg υσέρηση σον χρήση. Για ην υποβοήθηση ης επικοινωνίας µεαξύ ων cches εξεάζοναι α παρακάω πρωόκολλα: Iteret Cche Protocol (ICP). Μια cche που δεν διαθέει ο ζηούµενο ανικείµενο µπορεί να θέλει να ελέγξει ην διαθεσιµόηα ου σε µια άλλη γειονική cche. Αυή η επικοινωνία είναι διαφορεική από ην παραδοσιακή αίηση για ένα ανικείµενο από ον πηγαίο διακοµισή. Σε αυή ην περίπωση οι cches αποελούν ην πηγή καθώς και ον προορισµό ων αναλλασόµενων µηνυµάων. Ένα διαφορεικό πρωόκολλο απαιείαι για ην επικοινωνία µεαξύ ων cches. Ένα από α πρώα πρωόκολλα που καθιερώθηκαν σε αυήν ην επικοινωνία είναι ο Iteret Cche Protocol (ICP). Το ICP είναι ένα πρωόκολλο ερωαποκρίσεων. Το µήνυµα που σέλνεαι από µια cche-πελάη είναι µια ερώηση για ο αν ο οµόιµος κόµβος έχει ένα ανίγραφο από ο ανικείµενο που χρειάζεαι η συγκεκριµένη cche. Ο δηµοφιλής χαρακήρας ου ICP οφείλεαι σο γεγονός όι χρησιµοποιείαι από ο Squd. To ICP χρησιµοποιείαι σε ιεραρχίες από cches σύνολα cches που συνδέοναι µεαξύ ους και κάω από ένα κοινό γονέα. Η διαδικασία αυή επαναλαµβάνεαι και η µεακίνηση προς α ανώερα επίπεδα ης ιεραρχίας σηµαίνει µεακίνηση προς µια περισσόερο κενρική cche. Οι κενρικές cches µπορεί να έχουν µια περιφερειακή (regol) cche ως άµεσο πρόγονο ενώ οι περιφερειακές cches µπορεί να έχουν µια εθνική cche ως πρόγονο. Αν υποεθεί όι η cche OrglCche δεν έχει κάποιο ζηούµενο πόρο θα σαλούν ICP αιήσεις (πάνω από UDP) σε όλους ους οµόιµους κόµβους αυόχρονα. Εάν κάποιος από ους οµόιµους κόµβους διαθέει ον αιούµενο ανικείµενο η OrglCche θα ενηµερωθεί σχεικά και θα ζηήσει ην ανάκηση ου χρησιµοποιώνας HTTP. Εάν κανείς από ους οµόιµους κόµβους δεν διαθέει ο ανικείµενο η OrglCche θα προωθήσει ην αίηση σον γονέα ης. Ο γονέας ης OrglCche επαναλαµβάνει ην διαδικασία. Εάν καµιά από ις cches δεν διαθέει ον πόρο η OrglCche θα πρέπει να προωθήσει ην αίηση σον πηγαίο διακοµισή. Η φιλοσοφία βάσει ης οποίας λειουργεί ο ICP είναι όι η αποσολή ων ICP queres ακόµη και αν αυή επαναληφθεί πολλές φορές σε διάφορα επίπεδα ης ιεραρχίας είναι σηµανικά γρηγορόερη ην επικοινωνία µε ον πηγαίο διακοµισή.

24 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Cche Arry Resoluto Protocol (CARP). Το CARP καθορίζει ένα µηχανισµό µέσω ου οποίου ένα σύνολο από cchg roes µπορούν να λειουργήσουν ως µια λογικά ενιαία cche. Ο µηχανισµός χειρίζεαι ο σύνολο ων απανήσεων που αποθηκεύοναι ση cche συλλογικά µεαξύ ης οµάδα (rry) ων roes ως µια µεγάλη cche. Μια συνάρηση καακερµαισµού ου κλειδιού (hsh fucto) χρησιµοποιείαι για να διαιρεθεί ο σύνολο ων URL µεαξύ ων cches. Ένας χρήσης που προσπαθεί να ενοπίσει ένα αποθηκευµένο ση cche ανικείµενο µπορεί να καευθύνει ην αίηση σην καάλληλη cche εφαρµόζονας ην συνάρηση καακερµαισµού ου κλειδιού. Η συνάρηση αυή χρησιµοποιεί ο αιούµενο URL καθώς και ην αυόηα ων µελών ου roy για να διαµορφώσει ένα µονοπάι επίλυσης (resoluto th). Εάν συγκριθεί µε ο ICP ο CARP έχει νεερµινισικό µονοπάι επίλυσης ης αίησης εξαλείφονας έσι ην ανάγκη για µηνύµαα ερωαποκρίσεων (queres). Επίσης υπάρχουν λιγόερα διπλόυπα αποθηκευµένων ανικειµένων σο CARP από ο ICP. Το CARP χρησιµοποιεί ο HTTP καθώς και αποµακρυσµένες κλήσεις διεργασιών (Reote Procedure Clls) για ην επικοινωνία µεαξύ ων roes. Ο κάθε roy συσχείζεαι µε ένα παράγονα φορίου (lod fctor) που λαµβάνεαι υπόψη πριν µια αίηση οδηγηθεί σε ένα συγκεκριµένο roy. Το CARP διαίθεαι ως προϊόν από ην Mcrosoft. Cche Dgest Protocol (CDP). To CDP αποελεί µια επέκαση ου ICP. Η βασική ιδέα σο CDP είναι η δυναόηα αναλλαγής µιας περίληψης (dgest) ων περιεχοµένων ης cche. Η περίληψη αποελεί µια ένδειξη ης συλλογής ων ανικειµένων σε µια cche. Όαν µια cche έχει σην διάθεση ης µια περίληψη από όλους ους οµόιµους κόµβους µπορεί πολύ εύκολα να αναρέξει σην περίληψη και να εξεάσει εάν ο αιούµενο ανικείµενο είναι διαθέσιµο σε µια από ις cches. Εάν η διερεύνηση αυή επιύχει ο συγκεκριµένος οµόιµος κόµβος είναι υποψήφιος να δεχθεί µια αίηση ανάκησης ου ανικειµένου. Εάν ο έλεγχος σις περιλήψεις απούχει οι ανίσοιχες cches δεν ερωούναι µε προφανές αποέλεσµα ην δρασική µείωση ων ερωηµάων που απευθύνοναι σο σύνολο ων οµόιµων κόµβων. Ένα πρόβληµα ου µηχανισµού CDP είναι η εγκυρόηα ων περιλήψεων και α λανθασµένα ερωήµαα α οποία οφείλοναι σε αυήν. Ένα ανικείµενο µπορεί να αφαιρεθεί από µια cche µεά ην διαµόρφωση ης σχεικής περίληψης. Ένα ακόµη πρόβληµα είναι ο µέγεθος ων περιλήψεων και η 3

25 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg αναλλαγή ους µεαξύ ων οµοίµων κόµβων. Οι περιλήψεις αναλλάσσοναι µέσα σε HTTP µηνύµαα πάνω από ο TCP για λόγους αξιοπισίας. Μια περίληψη µπορεί να θεωρηθεί σαν ένας κανονικός ανικείµενο και οι εχνικές ελέγχου ης ορθόηας ου HTTP (resource reldto) µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ην διερεύνηση ου επίκαιρου ης περίληψης. Web Cche Coordto Protocol (WCCP). Το WCCP είναι ένας µηχανισµός συνονισµού σενά δεµένος µε ο επίπεδο δικύου. Ο σκοπός ου WCCP είναι η παρεµπόδιση (tercet) ης HTTP αίησης και η ανακαεύθυνση ης σην µηχανή cche. Επειδή η αίηση θα απούχει εάν η cche δεν είναι για κάποιο λόγο διαθέσιµη ένας µηχανισµός συνονισµού απαιείαι. Το ανικείµενο ου µηχανισµού συνονισµού είναι να εξισορροπεί ον φόρο µεαξύ διαφορεικών cches έχονας πλήρη γνώση ης διαθεσιµόηας ους. Ελέγχονας περιοδικά ην διαθεσιµόηα µιας cche ο µηχανισµός εξασφαλίζει όι δεν πρόκειαι να προωθηθούν πακέα σε µια cche που δεν αναποκρίνεαι σε έλεγχο διαθεσιµόηας (herbet chec). Ένας έοιος µηχανισµός αποελεί ην βάση ου πρωοκόλλου WCCP που υλοποιείαι σαν µήµα ης Csco Cche Ege. Η µηχανή cche ρυθµίζεαι ώσε να δέχεαι WWW αιήσεις που ανακαευθύνοναι σε αυήν από ένα δροµολογηή. Ο δροµολογηής που έχει ενεργοποιηµένο ο WCCP µπορεί να επεξεργάζεαι όλες ις IP επικεφαλίδες. Ένα TCP πακέο που σοχεύει σην θύρα 8 ανακαευθύνεαι ση cche. Επιπλέον οι δροµολογηές που διαθέουν WCCP επικοινωνούν περιοδικά µε ις µηχανές cchg για να εξασφαλίσουν ην διαθεσιµόηα ους..8 ιανοµή Περιεχοµένου (Cotet Dstrbuto) Η εχνική ης διανοµής περιεχοµένου αναφέρεαι σην εφαρµογή επιλεκικού καοπρισµού (selecte rrorg). Η βασική ιδέα σην διανοµή περιεχοµένου είναι να µειωθεί ο φόρος σον πηγαίο διακοµισή. Αυό µπορεί να επιευχθεί παρέχονας µήµα ή όλο ο περιεχόµενο από ένα σύνολο ανιγράφων (relcs). ιάφορες εχνικές χρησιµοποιούναι για ην ανακαεύθυνση ων αιήσεων σα ανίγραφα (π.χ. εχνικές που βασίζοναι σο DNS). Ένας ρόπος για ην διαίρεση (rttog) ενός ανικειµένου είναι σα συσαικά βάσης (bse) και εµφωλευµένων σοιχείων (ebedded). Ένα έγγραφο βάσης (bse docuet) αποελεί ο coter έγγραφο και 4

26 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg α εµφωλευµένα συσαικά είναι οι εικόνες ή α scrts α οποία αποελούν µήµα ης WWW σελίδας. Οι διακοµισές που χρησιµοποιούναι για να εξυπηρεήσουν ο ocoter µήµα ου ανικειµένου καλούναι διακοµισές διανοµής περιεχοµένου. Μπορεί να ενοπίζοναι κονά σον πηγαίο διακοµισή ή οπουδήποε σο διαδίκυο. Τα εµφωλευµένα σοιχεία υπάρχουν ως ανίγραφα (relcted) σε αυούς ους διακοµισές. Καά ην αίηση η υπηρεσία διανοµής περιεχοµένου (cotet dstrbuto serce) προσπαθεί να ενοπίσει ον διακοµισή διανοµής περιεχοµένου που βρίσκεαι "πλησιέσερα" σον χρήση για να ου επισρέψει α εµφωλευµένα σοιχεία. Η εγγύηα ενός διακοµισή διανοµής περιεχοµένου µπορεί να αναφέρεαι σε γεωγραφική απόσαση σε δικυακή απόσαση και µερικές υσέρησης (ltecy etrcs). Αυή η προσέγγιση ελαώνει ον φόρο σον διακοµισή βάσης (bse serer) και βελιώνει ον χρόνο απόκρισης για ον ελικό χρήση. Ο σόχος ης διανοµής περιεχοµένου δεν είναι διαφορεικός από αυόν ου cchg. Και οι δύο προσεγγίσεις µεακινούν ο περιεχόµενο κονά σον ελικό χρήση φιλοδοξώνας να µειώσουν ην υσέρηση που ανιλαµβάνεαι ο χρήσης καθώς και ον φόρο σον πηγαίο διακοµισή. Με ο cchg α roes πρέπει να διαηρούν ην συνέπεια (cosstecy) και να επαληθεύουν ην ορθόηα ων αποθηκευµένων ανικειµένων. Με ο µηχανισµό διανοµής περιεχοµένου οι διακοµισές διανοµής περιεχοµένου έχουν πλήρη έλεγχο επί ου περιεχοµένου και µπορούν να προβούν σε ρυθµίσεις µε ους διακοµισές που διαθέουν περιεχόµενο για λογαριασµό ους. Σο µηχανισµό καοπρισµού cche (cche rrorg) µεγάλα µήµαα ενός δικυακού όπου (ste) καοπρίζοναι (rrored) σε διάφορους κόµβους ου διαδικύου. Σην προσέγγιση διανοµής περιεχοµένου οι πηγαίοι διακοµισές αποφασίζουν ποιοι πόροι µπορούν να ανιγραφούν και µεαφέρουν ο έργο ου καοπρισµού σε άλλο οργανισµό. Οι πηγαίοι διακοµισές είναι υποχρεωµένοι να ειδοποιούν ην εαιρίας που αναλαµβάνει η διανοµή περιεχοµένου όαν οι πόροι ους υφίσαναι µεαβολές. Ένα παράδειγµα εαιρίας που αναλαµβάνει διανοµή περιεχοµένου είναι η A. Ένας δικυακός όπος που θέλει να διανεµηθούν α περιεχόµενα ου µέσω ου A µεονοµάζει αυά α URLs µε συγκεκριµένο πρόθεµα. Το πρόθεµα περιέχει ο όνοµα ενός κόµβου (hoste strg). Η DNS επίλυση ου ονόµαος κόµβου επισρέφει ην IP διεύθυνση ενός A διακοµισή ανικαοπρισµού (rror 5

27 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg serer) που είναι πολύ πιθανό να περιέχει ανίγραφο ου ανικειµένου. Η απόφαση για ην επισροφή µιας IP διευθύνσεως λαµβάνεαι από ον DNS serer ου A δικύου. Σχεδιασικά ο προσδιοριζόµενος διακοµισής A είναι πλησιέσερα σον οπικό DNS serer ου χρήση που αιήθηκε ο ανικείµενο. Η προσδοκία είναι όι ο χρήσης είναι αρκεά κονά σον διακοµισή DNS (δικυακή απόφαση) και ο ανικείµενο θα πρέπει να µεαφερθεί για µια µικρή σχεικά απόσαση. Επειδή πρέπει να απεικονισεί ο όνοµα κόµβου που περιέχεαι σο URL είναι δυναό για ο A να χρησιµοποιήσει ον διακοµισή DNS για να προσδιορίσει ον καάλληλο διακοµισή A που διαθέει ον ζηούµενο πόρο. Η εχνική ου A πρέπει να εξασφαλίσει όι η DNS αναζήηση επισρέφει ο πλησιέσερο rror ste. Οι DNS ιµές TTL πρέπει να ρυθµισούν καάλληλα ώσε να αποφευχθεί να παραµένουν αποθηκευµένες ση cche οι DNS απανήσεις για µεγάλο διάσηµα. ιαφορεικά ένας χρήσης που αναζηάει κάποιον κόµβο µπορεί να χρησιµοποιήσει µια παλιά IP διεύθυνση ενός διακοµισή A που δεν αποελεί πλέον ην κααλληλόερη επιλογή για ο ζηούµενο ανικείµενο. Υπάρχει ένα trdeoff µεαξύ ου ενοπισµού ης καλύερης επιλογής και ου κόσους ων DNS αναζηήσεων. Υπάρχουν όµως ορισµένα προβλήµαα µε ην προσέγγιση διανοµής περιεχοµένου. Ο πηγαίος διακοµισής ωφελείαι από ον περιορισµένο φόρο ενώ οι ελικοί χρήσες ωφελούναι από ην άνληση ανικειµένων από "κονινούς" χρήσες. Η θέση ων διακοµισών διανοµής περιεχοµένου µπορεί να είναι ένα πρόβληµα για ους χρήσες. Είναι δυναόν ορισµένοι χρήσες να έχουν καλύερη δικυακή συνδεσιµόηα (χαµηλόερα RTT) προς ον πηγαίο διακοµισή από ους διακοµισές διανοµής περιεχοµένου. Τεχνικά οι διακοµισές διανοµής περιεχοµένου εργάζοναι για λογαριασµό ων διακοµισών βάσης. Οι χρήσες εγκαθισούν απευθείας συνδέσεις µε ους διακοµισές διανοµής περιεχοµένου και αναµένουν να είναι αυοί συµβαοί µε ο HTTP πρωόκολλο. Οι δικυακοί όποι διανοµής περιεχοµένου χρησιµοποιούν διαφορεικά πρωόκολλα σην επικοινωνία ους µε ους διακοµισές βάσης και µπορούν να χρησιµοποιούν και άλλους µηχανισµούς για να διασφαλίσουν όι διαθέουν επικαιροποιηµένο περιεχόµενο. 6

28 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 3 Θεωρία Παιγνίων 3. Γενικά Η Θεωρία Παιγνίων µπορεί να ορισεί ως η µελέη ης ανιπαράθεσης (coflct) και ης συνεργασίας. Οι Παιγνιοθεωρηικές έννοιες εφαρµόζοναι κάθε φορά που υπάρχει αλληλεπίδραση σις ενέργειες ονοήων που ονοµάζοναι παίκες (lyers). Οι παίκες µπορεί να είναι άοµα οµάδες επιχειρήσεις ή και συνδυασµός αυών. Για ους παίκες γίνεαι καά κανόνα η υπόθεση όι είναι λογικοί (rtol). Ένας λήπης αποφάσεων χαρακηρίζεαι λογικός αν λαµβάνει αποφάσεις που βρίσκοναι σε συνέπεια µε ις επιδιώξεις ου. Ση Θεωρία Παιγνίων κάθε παίκης έχει ως σόχο ου ην µεγισοποίηση ης ωφέλειας (yoff) ου. Για κάθε λογικό λήπη αποφάσεων υπάρχει ένας ρόπος ανάθεσης αριθµηικών ιµών ωφέλειας σα διάφορα πιθανά ενδεχόµενα που µπορεί να προκύψουν έσι ώσε να διαλέγει πάνοε η λύση που µεγισοποιεί ην αναµενόµενη ωφέλεια ου. Αυό αποελεί ο θεώρηµα µεγισοποίησης ης αναµενόµενης ωφέλειας (eected utlty zto theore). Τα λογικά αξιώµαα α οποία υποσηρίζουν ο θεώρηµα µεγισοποίησης ης αναµενόµενης ωφέλειας είναι υποθέσεις ασθενούς συνέπειας (we cosstecy ssutos). Η βασική υπόθεση είναι ο αξίωµα ανικαάσασης (substtuto o) ο οποίο µπορεί να αποδοθεί ως εξής: "εάν ένας λήπης αποφάσεων προιµάει ην εναλλακική λύση από ην όαν συµβεί ο συµβάν Α και προιµάει ην λύση ακόµη και αν δεν συµβεί η Α όε θα προιµήσει ο ενδεχόµενο ακόµη και αν δεν γνωρίσει εάν σο συµβάν Α συµβεί ή όχι". Αυή η υπόθεση είναι σε θέση να εξασφαλίσει όι υπάρχει κάποια κλίµακα ωφέλειας σην οποία ο λήπης απόφασης πάνα προιµά ις εναλλακικές επιλογές που µεγισοποιούν ην αναµενόµενη συνάρηση ωφέλειας. Γενικά η µεγισοποίηση ης αναµενόµενης ωφέλειας δεν συµβαδίζει µε ην µεγισοποίηση ης χρηµαικής απολαβής (oetry yoff). Η ωφέλεια (utlty yoff) ενός αόµου µπορεί να εξαράαι από πολλαπλές µεαβληές και όχι µόνο ην 7

29 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg χρηµαική αξία. Όαν υπάρχει αβεβαιόηα η αναµενόµενη ωφέλεια µπορεί να καθορισεί και να υπολογισεί µόνο αν έχουν αναεθεί πιθανόηες σα αβέβαια ενδεχόµενα συµβάνα. Οι πιθανόηες αυές προσδιορίζουν ποσοικά ην πιθανόηα ενός συµβάνος. 3. Ισορικά Σοιχεία Κάποιες πρώιµες Παιγνιοθεωρηικές ιδέες εµφανίσηκαν από ους Jes Wldegre ο 73 και ον Atoe Courot ο 838 (ση µελέη ενός δυοπωλίου). Ωσόσο η ανάπυξη ης Θεωρίας ξεκίνησε ις πρώες δεκαείες ου ου αιώνα από ους µαθηµαικούς Εrst Zerelo Εle Borel και Joh o Neu. Η Θεωρία Παιγνίων καθιερώθηκε ως επισηµονικό πεδίο ο 944 µεά η δηµοσίευση ου βιβλίου "Theory of Ges d Ecooc Behor" ων Joh o Neu και Osr Morgester. To βιβλίο αυό καθιέρωσε ένα µεγάλο µέρος ης βασικής ορολογίας ης θεωρίας η οποία χρησιµοποιείαι έως σήµερα. Το 95 ο Joh Nsh έδειξε όι α πεπερασµένα παιχνίδια έχουν πάνα ένα σηµείο ισορροπίας (σηµείο ισορροπίας Nsh) σο οποίο όλοι οι παίκες επιλέγουν ενέργειες που είναι βέλισες δοθένων ων επιλογών όλων ων άλλων παικών. Αυή η κενρική έννοια ης µη συνεργαικής Θεωρίας Παιγνίων αποελεί από όε βασικό σηµείο ανάλυσης και µελέης. Περιέγραψε επίσης µια ευρεία κλάση παιγνίων για α οποία υπάρχει πάνα µια έοια ισορροπία. Η έννοια ης ισορροπίας Nsh διεύρυνε ενυπωσιακά α όρια ανίληψης ης Θεωρίας Παιγνίων. Αµέσως µεά η δηµοσίευση ης µελέης ου Nsh διάφορα Παιγνιοθεωρηικά µονέλα άρχισαν να χρησιµοποιούναι σην Οικονοµική Θεωρία και ην πολιική επισήµη ενώ οι ψυχολόγοι ξεκίνησαν να µελεούν πώς συµπεριφέροναι οι άνθρωποι σε πειραµαικά παίγνια. Σις δεκαείες ου 95 και 96 η Θεωρία Παιγνίων διευρύνθηκε θεωρηικά και εφαρµόσηκε σε προβλήµαα σραηγικής πολέµου και πολιικής. Το 965 ο Rehrd Selte διαύπωσε µια νέα έννοια ισορροπίας εκλεπύνονας ην έννοια ης ισορροπίας Nsh. To 967 ο Joh Hrsy ανάπυξε ις αρχές που διέπουν α παίγνια σα οποία οι παίκες έχουν αελή πληροφόρηση. 8

30 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Από η δεκαεία ου 97 έχει δηµιουργήσει επανάσαση σην Οικονοµική Θεωρία. Επιπλέον έχει βρει εφαρµογές σην Ψυχολογία ην Κοινωνιολογία και ην Βιολογία (κυρίως ως αποέλεσµα ης εργασίας ου βιολόγου Joh Myrd Sth). Η Θεωρία Παιγνίων κέρδισε ο παγκόσµιο ενδιαφέρον ο 994 µε ην απονοµή ου βραβείου Νόµπελ σα Οικονοµικά σους Joh Nsh Joh Hrsy και Rehrd Selte. Σα έλη ης δεκαείας ου 99 η Θεωρία Παιγνίων βρήκε εφαρµογή σο σχεδιασµό δηµοπρασιών. ιακεκριµένοι µελεηές ης Θεωρίας Παιγνίων ασχολήθηκαν µε ο σχεδιασµό δηµοπρασιών για ην καανοµή δικαιωµάων χρήσης ου ηλεκροµαγνηικού φάσµαος ση βιοµηχανία ων κινηών ηλεπικοινωνιών. Οι περισσόερες από αυές ις δηµοπρασίες έχουν σχεδιασεί µε σκοπό ην καανοµή ων πόρων αυών µε περισσόερο αποδοικό ρόπο σε σχέση µε ις παραδοσιακές κυβερνηικές πολιικές. Το 5 ιµήθηκαν µε ο βραβείου Νόµπελ σα Οικονοµικά οι Thos Schellg και Robert Au µε ο σκεπικό όι εµπλούισαν ην ανίληψη µας σχεικά µε ις έννοιες ου αναγωνισµού και ης συνεργασίας µέσω ης Παιγνιοθεωρηικής ανάλυσης. Το 7 ιµήθηκαν µε ο ίδιο βραβείο οι Roger Myerso Leod Hurwcz και Erc Ms για η θεµελίωση ης θεωρίας σχεδιασµού µηχανισµών. 3.3 Καηγορίες Παιγνίων Όπως έχει αναφερθεί ο ανικείµενο µελέης ης Θεωρίας Παιγνίων είναι ο παίγνιο σο οποίο εµπλέκοναι δύο ή περισσόεροι παίκες. Ένα παίγνιο µε έναν µόνο παίκη ανιµεωπίζεαι από ην Θεωρία Αποφάσεων. Ένα παίγνιο ορίζει ο σύνολο ων παικών ο σύνολο ων ενεργειών (δηλαδή ων αποφάσεων) που µπορεί να πάρει ο κάθε παίκης καθώς και ους προσωπικούς σόχους που έχει ο κάθε παίκης. Ωσόσο ένα παίγνιο δεν καθορίζει ις ενέργειες που ελικά ακολουθούν οι παίκες. Μια λύση ση Θεωρία Παιγνίων είναι η συσηµαική περιγραφή ων εκβάσεων που µπορεί να έχει ένα παίγνιο. Η Θεωρία Παιγνίων ορίζει εύλογες έννοιες λύσης για διάφορες οικογένειες παιγνίων και µελεά ις ιδιόηες ων λύσεων αυών. Τα παίγνια αξινοµούναι σε διάφορα είδη µέσω ποικίλων κριηρίων. 9

31 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 3.3. Μη Συνεργαικά Παίγνια (Nocooerte Ges) - Συνεργαικά Παίγνια (Cooerte Ges) Η βασική υπόθεση σα µη συνεργαικά παίγνια είναι όι κάθε παίκης δρα µόνος ου προσπαθώνας να µεγισοποιήσει κάποια αοµική συνάρηση οφέλους δεδοµένης ης πρόβλεψης ου για ο πως θα δράσουν οι υπόλοιποι παίκες. Ενώ ση περίπωση ων συνεργαικών παιγνίων αναπύσσοναι αξιώµαα α οποία προσεγγίζουν ην έννοια ης δίκαιης καανοµής ων ωφελειών που προκύπουν από η συλλογική δράση ενός συνόλου παικών Παίγνια σε Σραηγική Μορφή (Strtegc Ges) - Παίγνια σε Εκεαµένη Μορφή (Etese Ges) Ένα σραηγικό παίγνιο ή παίγνιο σε σραηγική µορφή ή παίγνιο σε κανονική µορφή είναι ένα µονέλο παιγνίου σο οποίο κάθε παίκης επιλέγει ο πλάνο δράσης ου µια µόνο φορά και όλοι οι παίκες κάνουν ις επιλογές ους αυόχρονα. Αυό σηµαίνει όι κάθε παίκης λαµβάνει ις αποφάσεις ου χωρίς να γνωρίζει ι έχουν αποφασίσει οι υπόλοιποι παίκες. Ανίθεα ένα παίγνιο σε εκεαµένη µορφή καθορίζει ις δυναές αλληλουχίες γεγονόων: κάθε παίκης επιλέγει ο πλάνο δράσης ου όχι µόνο καά ην έναρξη ου παιγνίου αλλά και όποε χρειασεί να λάβει κάποια απόφαση Παίγνια Τέλειας Πληροφόρησης (Ges wth Perfect Iforto) - Αελούς Πληροφόρησης (Ges wth Ierfect Iforto) Σε ένα παίγνιο έλειας πληροφόρησης οι παίκες είναι πλήρως ενηµερωµένοι σχεικά µε ις κινήσεις ων υπολοίπων παικών ενώ σε ένα παίγνιο αελούς πληροφόρησης η ενηµέρωση ους δεν είναι απαραίηα πλήρης. Εκός από ις παραπάνω βασικές καηγορίες έχουµε και διάφορες άλλες υποκαηγορίες παιγνίων όπως α συµµερικά παίγνια (Syetrc Ges) σα οποία όλοι οι παίκες έχουν ις ίδιες σραηγικές και α ίδια κέρδη ανά σραηγική α παίγνια µηδενικού αθροίσµαος (Zero-Su Ges) όπου κάθε παίκης κερδίζει όι χάνουν οι υπόλοιποι έσι ώσε οι συνολικές απολαβές να είναι σαθερές κ.α. Επίσης 3

32 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg ανάλογα µε ις καασάσεις που µονελοποιεί ένα παίγνιο µιλάµε για εξελικικά παίγνια (Eolutory Ges) παίγνια σε δίκυα (Networ Ges) παίγνια συµφόρησης (Cogesto Ges) κ.α. 3.4 Συνάρηση Ωφέλειας Η συνάρηση ωφέλειας ου παίκη ανιπροσωπεύει ις προιµήσεις ου πραγµαοποιώνας µια ανισοίχηση από µια καάσαση ου κόσµου (ή έκβαση ου παιγνίου) σε έναν πραγµαικό αριθµό. Όσο µεγαλύερος είναι ο αριθµός αυός όσο περισσόερο ικανοποιηµένος είναι ο παίκης από η συγκεκριµένη καάσαση. Ση Θεωρία Παιγνίων η συνάρηση αυή είναι γνωσή ως η συνάρηση ωφέλειας Neu-Morgester. Συγκεκριµένα δεδοµένου όι ο S ανιπροσωπεύει ο σύνολο ων καασάσεων που µπορεί να ανιληφθεί ο παίκης η συνάρηση ωφέλειας ου παίκη έχει ην παρακάω µορφή: u : S R Πρέπει να σηµειωθεί όι οι καασάσεις ορίζοναι ως αυές οι καασάσεις που µπορεί να ανιληφθεί ο παίκης. Η δηµιουργία µιας συνάρησης ωφέλειας µπορεί να είναι µια δύσκολη διαδικασία καθώς απαιεί εις βάθος καανόηση ου µελεούµενου προβλήµαος. εδοµένης µιας συνάρησης ωφελείας είναι δυναόν να ορισεί µια καάαξη ων πιθανών καασάσεων σε σχέση µε ο πόσο επιθυµηές είναι. Συγκρίνονας ις ιµές ωφέλειας δύο καασάσεων µπορεί να καθορισεί ποια προιµάει ο χρήσης. Η εν λόγω καάαξη έχει ις παρακάω ιδιόηες: Αυοπαθής : u ( s) u ( s) Μεαβαική : Αν u u ( b) και u ( b) u ( c) όε u u ( c) Συγκρίσιµη : Για κάθε b S είε u u ( b) είε u u ( b) Οι συναρήσεις ωφέλειας µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ην περιγραφή ης συµπεριφοράς κάθε παίκη ποσοικοποιώνας ις διάφορες αναλλαγές (trdeoff) που ανιµεωπίζει µαζί µε ην ιµή (ή αναµενόµενη ιµή) ων ενεργειών ου. Εφόσον έχει ορισεί µια συνάρηση ωφέλειας για όλους ους παίκες αυό που έχουν να κάνουν είναι να επιλέξουν ις ενέργειες που µεγισοποιούν ην ωφέλεια ους. Όπως και σα Οικονοµικά η λέξη "εγωισής" χρησιµοποιείαι για να χαρακηρίσει ένα λογικό παίκη 3

33 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg που σοχεύει ση µεγισοποίηση ης ωφέλειας ου. Πρέπει να σηµειωθεί όι αυή η χρήση ης λέξης διαφέρει ελαφρώς σε σχέση µε ην καθηµερινή χρήση ης που συχνά υπονοεί µια διάθεση πρόκλησης βλάβης σους άλλους. Ένας πραγµαικά εγωισής παίκης ενδιαφέρεαι αποκλεισικά για η δική ου ωφέλεια. Πρέπει να σηµειωθεί όι η υπόθεση εγωισών παικών δεν αποκλείει η µελέη συνεργαικών δοµών. Μια έοια δοµή µπορεί να εξεασεί ως µια καάσαση όπου οι συναρήσεις ωφελείας ων παικών έχουν ορισεί µε ρόπο έοιο που οι παίκες φαίνοναι σαν να συνεργάζοναι. Για παράδειγµα αν ένας παίκης λαµβάνει υψηλόερη ωφέλεια όαν βοηθάει ους άλλους παίκες η συµπεριφορά που θα προκύψει θα µπορεί να χαρακηρισεί ως συνεργαική από κάποιον εξωερικό παραηρηή παρόλο που ο παίκης λειουργεί εγωισικά. 3.5 Μη Συνεργαικά Παίγνια 3.5. Παίγνια σε Σραηγική Μορφή Η σραηγική µορφή αποελεί ον πιο απλό ρόπο αναπαράσασης ενός παιγνίου. Για να ορίσουµε ένα παίγνιο σε σραηγική µορφή αρκεί να ορίσουµε ο σύνολο ων παικών ο σύνολο ων διαθέσιµων επιλογών για κάθε παίκη και ον ρόπο µε ον οποίο εξαρώναι οι ωφέλειες ων παικών από ις επιλογές ους. Τυπικά ένα παίγνιο σε σραηγική µορφή ή σραηγικό παίγνιο Γ είναι ης µορφής Γ { N ( S ) } όπου N είναι ένα µη κενό σύνολο και για κάθε και u : S R είναι µια συνάρηση. Το N { K } ο σύνολο u N N ο S είναι ένα µη κενό σύνολο είναι ο σύνολο ων παικών σο παίγνιο Γ. Για κάθε παίκη S είναι ο σύνολο ων καθαρών σραηγικών που είναι διαθέσιµες σον. Όαν παίζεαι ο σραηγικό παίγνιο Γ κάθε παίκης πρέπει να επιλέξει µια από ις σραηγικές σο σύνολο S. Ένα προφίλ σραηγικών είναι ένας συνδυασµός σραηγικών (µια για κάθε παίκη) που θα µπορούσαν να επιλέξουν οι παίκες σο N. Συµβολίζουµε µε S ο σύνολο όλων ων δυναών προφίλ σραηγικών έσι ώσε S S S S K S N 3

34 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Επίσης συµβολίζουµε µε S S S K S S K S ο καρεσιανό γινόµενο ων συνόλων ων καθαρών σραηγικών όλων ων παικών εκός ου. Για κάθε προφίλ σραηγικών s ( s s Ks Ks ) S ο αριθµός u ( s) εκφράζει ην αναµενόµενη ωφέλεια που θα έχει ο παίκης (δηλαδή ο κέρδος ου) αν ο s είναι ο συνδυασµός σραηγικών που επιλέγουν οι παίκες. Όαν µελεάµε ένα σραηγικό παίγνιο υποθέουµε όι όλοι οι παίκες επιλέγουν αυόχρονα ις σραηγικές ους και εποµένως δεν υπάρχει η παράµερος ου χρόνου σην ανάλυση ενός σραηγικού παιγνίου. Ένα σραηγικό παίγνιο είναι πεπερασµένο αν ο σύνολο παικών N και όλα α σύνολα ων σραηγικών S Εποµένως: N είναι πεπερασµένα. Ορισµός. Ένα παίγνιο σε σραηγική µορφή { N ( S ) } ένα µη κενό σύνολο N ων παικών Γ αποελείαι από u N για κάθε παίκη N ένα µη κενό σύνολο S ων καθαρών σραηγικών που έχει ση διάθεση ου ο παίκης για κάθε παίκη N µια συνάρηση ωφέλειας u : S R. Αν α σύνολα N και S N είναι πεπερασµένα όε ο Γ είναι πεπερασµένο παίγνιο. Μική σραηγική σ { } N ενός σραηγικού παιγνίου Γ N ( S ) µια καανοµή πιθανόηας σο σύνολο ων αγνών σραηγικών ου u N είναι S. Σα επόµενα για ένα πεπερασµένο σύνολο X συµβολίζουµε µε ( X ) ο σύνολο όλων ων καανοµών πιθανόηας πάνω σο X. Εποµένως σ S Ένα προφίλ µικών σραηγικών σ ( σ σ K ) σ είναι ένα διάνυσµα που καθορίζει µια µική σραηγική για κάθε παίκη. Γράφουµε σ ( S) όπου ( S ) είναι ο σύνολο όλων ων δυναών προφίλ µικών σραηγικών όλων ων παικών και είναι ίσο µε ( S) N ( S ) ( S ) ( S ) K ( S ). ηλαδή ο σ ( σ σ Kσ ) είναι ένα προφίλ µικών σραηγικών σο ( S ) αν και µόνο αν για κάθε παίκη και για κάθε καθαρή σραηγική s S ο σ καθορίζει έναν πραγµαικό αριθµό σ που εκφράζει ην πιθανόηα ο παίκης να επιλέξει ην σραηγική s έσι ώσε s 33

35 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg s S ( s ) σ για κάθε N Επίσης συµβολίζουµε µε ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) K ( S ) K ο καρεσιανό γινόµενο ων συνόλων ων µικών σραηγικών όλων ων παικών εκός ου. Αν και δεν µπορούµε να είµασε βέβαιοι σχεικά µε ο ποιο προφίλ σραηγικών θα επιλεγεί από ους παίκες όαν παίζεαι ο παίγνιο Γ η Θεωρία αποφάσεων καά Byes εγγυάαι όι υπάρχει κάποια καανοµή πιθανόηας σο σύνολο ων προφίλ σραηγικών S S S K S ο οποίο εκφράζει ποσοικά ις πεποιθήσεις µας σχεικά µε ις σραηγικές που θα επιλέξουν οι παίκες. Επιπλέον επειδή υποθέουµε όι όλοι οι παίκες επιλέγουν αυόχρονα και ανεξάρηα ις σραηγικές ους οι πεποιθήσεις µας σχεικά µε ο παίγνιο πρέπει να ανισοιχούν σε κάποιο προφίλ µικών σραηγικών σ ( S). Για κάθε προφίλ µικών σραηγικών σ συµβολίζουµε µε u ( σ) ην αναµενόµενη ωφέλεια για ον παίκη όαν οι παίκες επιλέγουν ανεξάρηα ις καθαρές σραηγικές ους σύµφωνα µε ο σ δηλαδή u ( σ) σ s u () s s S Το διάνυσµα σ ( σ σ σ K σ ) K για κάθε N θα υποδηλώνει ένα προφίλ µικών σραηγικών όλων ων παικών πλην ου. Οπόε ο προφίλ µικών σραηγικών ( σ σ K ) σ σ µπορεί να γραφεί σ ( σ σ ). Ανάλογα ο διάνυσµα s ( s s s K s ) θα υποδηλώνει ένα προφίλ K σραηγικών όλων ων παικών πλην ου. Οπόε ο προφίλ σραηγικών ( s s K ) s s µπορεί να γραφεί s ( s s ) 3.5. Ισορροπίες Nsh Η πιο διαδεδοµένη αρχή λύσης ση Θεωρία Παιγνίων είναι αυή ης ισορροπίας Nsh. Η έννοια αυή εκφράζει µια σαθερή καάσαση σο σραηγικό παίγνιο σην 34

36 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg οποία κάθε παίκης κάνει η σωσή πρόβλεψη για η συµπεριφορά ων άλλων παικών και ενεργεί λογικά. Η ισορροπία Nsh προείνει µια σραηγική σε κάθε παίκη έσι ώσε να µην υπάρχει παίκης που να µπορεί να βελιώσει ην ωφέλεια ου αν µεακινηθεί µονοµερώς σε κάποια άλλη σραηγική. Με άλλα λόγια η ισορροπία Nsh είναι ένα προφίλ (καθαρών ή µικών) σραηγικών έοιο ώσε να µην υπάρχει κάποιος παίκης που να έχει συµφέρον να αλλάξει η σραηγική ου δεδοµένου όι οι υπόλοιποι παίκες παραµείνουν σις σραηγικές ους. Επειδή οι υπόλοιποι παίκες είναι επίσης λογικοί είναι εύλογο ο κάθε παίκης να περιµένει όι οι ανίπαλοι ου θα ακολουθήσουν όπως και ο ίδιος ις σραηγικές που ους υποδεικνύει η ισορροπία. Ορισµός (Καθαρή Ισορροπία Nsh). Ένα προφίλ σραηγικών ισορροπία Nsh για ο σραηγικό παίγνιο { N ( S ) } ισχύει u u N s S είναι καθαρή Γ αν για κάθε παίκη N ( s s ) u ( s s ) Ορισµός 3 (Μική Ισορροπία Nsh). Ένα προφίλ µικών σραηγικών σ ( S) είναι µική ισορροπία Nsh για ο σραηγικό παίγνιο { N ( S ) } για κάθε παίκη N ισχύει u ( σ σ ) u ( σ σ ) Γ αν u N Ύπαρξη Ισορροπιών Nsh Από ους Ορισµούς και 3 είναι προφανές όι ο σύνολο ων καθαρών ισορροπιών Nsh είναι υποσύνολο ου συνόλου ων (µικών) ισορροπιών Nsh σε ένα σραηγικό παίγνιο. Υπάρχουν παίγνια για α οποία ο σύνολο ων καθαρών ισορροπιών Nsh είναι κενό. Ωσόσο κάθε παίγνιο µε πεπερασµένο σύνολο παικών και σο οποίο κάθε παίκης έχει πεπερασµένο πλήθος σραηγικών έχει ουλάχισον µια ισορροπία Nsh. Το ερώηµα που ίθεαι είναι ποιες υποθέσεις εξασφαλίζουν ην ύπαρξη ισορροπιών Nsh. Σε αυό ο ερώηµα θα απανήσουµε κάνονας χρήση ου Θεωρήµαος Σαθερού Σηµείου ου Kut. Θεώρηµα (Σαθερού Σηµείου Kut). Έσω κυρό σύνολο. Έσω άνω ηµι-συνεχής συνολο-συνάρηση S R µη κενό συµπαγές και S : S όπου () s γ κυρό και συµπαγές σύνολο. Τόε η γ ( s) έχει ένα ουλάχισον σαθερό σηµείο. γ µη κενό 35

37 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Με βάση ο παραπάνω Θεωρήµαος Σαθερού Σηµείου ου Kut έχουµε ο εξής: Θεώρηµα. Έσω παίγνιο { N ( S ) } Γ όπου για κάθε N u N () ο S είναι µη κενό κυρό και συµπαγές ( ) η u είναι συνεχής ως προς s και ηµι-κοίλη ως προς s. Τόε ο Γ έχει ένα ουλάχισον σηµείο ισορροπίας Nsh. Απόδειξη: Θεωρούµε η συνολο-συνάρηση b ( s ) { s S : u ( s s ) u ( s s ) s S } ην οποία ονοµάζουµε συνολο-συνάρηση βέλισης ανίδρασης ου παίκη. Θεωρούµε επίσης η συνολο-συνάρηση b () s b ( s ) b ( s ) K b ( s ) ην οποία ονοµάζουµε συνολο-συνάρηση βέλισης ανίδρασης σε όλο ο Γ. Παραηρούµε όι ο διάνυσµα είναι σαθερό σηµείο ης () εξακριβώσουµε αν η b () έχει σαθερό σηµείο. s αποελεί σηµείο ισορροπίας Nsh αν και µόνο αν b δηλαδή αν και µονό αν s b( s ). Πρέπει λοιπόν να Παραήρηση. b ( s ) Ø. (Προκύπει από ην συνεχεία ης ( s s ) συµπαγές σύνολο). Παραήρηση. To ( s ) u ως προς b είναι κυρό και κλεισό σύνολο. s και από ο όι ο S είναι (Προκύπει από ην ηµι-κοιλόηα και η συνεχεία ης u ). Παραήρηση 3. To ( s ) b είναι άνω ηµισυνεχές σύνολο. (Προκύπει από ο όι ο σύνολο ( s ) b είναι κλεισό και ο S συµπαγές). Ως συνεπεία ων Παραηρήσεων -3 ο σύνολο b ( s) είναι επίσης άνω ηµισυνεχές κυρό και συµπαγές. Άρα έχει ένα ουλάχισον σαθερό σηµείο (από ο Θεωρήµαος Σαθερού Σηµείου ου Kut). Μια ειδική περίπωση ισορροπιών σχείζεαι µε ις κυρίαρχες σραηγικές. Ορισµός. Η καθαρή σραηγική s ου παίκη κυριαρχεί επί ης σραηγικής s αν για κάθε αυσηρά. s είναι u ( s s ) u ( s s ) και υπάρχει ŝ για ο οποίο η ανισόηα ισχύει 36

38 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 3.6 Εφαρµογές ης Θεωρίας Παιγνίων σε ικυακά Προβλήµαα Μια σηµανική εργασία σον χώρο ης µελέης δικυακών προβληµάων µε εφαρµογή παιγνιοθεωρηικών αρχών είναι η [6]. Η εργασία αυή ασχολείαι µε ο πρόβληµα ου διαµοιρασµού ου διαθέσιµου εύρους ζώνης ενός εικονικού µονοπαιού σε δίκυο ATM (Asychroous Trsfer Mode) µεαξύ διαφόρων χρησών. Σην εν λόγω εργασία οι χρήσες δεν είναι παθηικοί αλλά καανεµηµένα είναι σε θέση να λαµβάνουν αποφάσεις σχεικές µε ον διαµοιρασµό ων πόρων. Ο κάθε χρήσης δεσµεύει µήµα ου εύρους ζώνης για να εγκαασήσει ένα εικονικό µονοπάι για ις εισερχόµενες κλήσεις ου µε σκοπό ην ελαχισοποίηση ης πιθανόηας µπλοκαρίσµαος (blocg robblty). Η αλληλεπίδραση µεαξύ ων σραηγικών ων χρησών έχει ανιµεωπισεί ως παίγνιο. Αποδεικνύεαι όι αυό ο παίγνιο έχει µοναδικού σηµείου ισορροπίας Nsh. Επιπλέον αποδεικνύεαι όι η καάσαση ισορροπίας είναι "δίκαια" για ους εµπλεκόµενους παίκες/χρήσες µε ην έννοια όι όποιος χρήσης έχει περισσόερη ανάγκη από ον διαµοιραζόµενο πόρο θα λάβει περισσόερο εύρος ζώνης σην καάσαση ισορροπίας. Σην ίδια εργασία µελεάαι κι η δυναµική συµπεριφορά ου παραπάνω µηχανισµού. Αποδεικνύεαι όι µπορεί να επιευχθεί σύγκλιση σην καάσαση ισορροπίας Nsh µε η χρήση ων επαναληπικών σχηµάων Guss-Sedel καιjcob. Μια επίσης ιδιαίερα σηµανική εργασία σο χώρο ης Παιγνιοθεωρηικής µελέης δικυακών προβληµάων είναι η [3]. Σύµφωνα µε ην εργασία αυή οι χρήσες ου δικύου είναι "εγωισικές" ονόηες οι οποίες προωθούν α προσωπικά ους συµφέρονα ενώ ο ρόλος ου σχεδιασή ου δικύου περιορίζεαι σον καθορισµό ης συµπεριφοράς ων σοιχείων µεαγωγής ου δικύου (etwor swtches). Ο σόχος ης συγκεκριµένης µελέης είναι ο αποελεσµαικός σχεδιασµός ης λογικής λειουργίας η οποία θα πρέπει να επιβληθεί σα σοιχεία ου δικύου ώσε να επιευχθούν αποδεκές επιδόσεις παρά ην εγωισική συµπεριφορά ων ελικών χρησών. Η Παιγνιοθεωρηική προσέγγιση εφαρµόζεαι σε ένα απλό σύσηµα ενός µεαγωγέα οι πόροι ου οποίου µοιράζοναι σους χρήσες. Ο κάθε χρήσης σέλνει κίνηση Posso προς ον µεαγωγέα. Η σχεδιασική προσπάθεια εσιάζεαι σον καθορισµό πολιικών λειουργίας ου µεαγωγέα ώσε ο σύσηµα να εµφανίζει καλές επιδόσεις παρά ην εγωισική συµπεριφορά ων χρησών. Η "καλή συµπεριφορά" συνίσααι σο να είναι η Nsh ισορροπία δίκαια κι αποελεσµαική. 37

39 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Επίσης η Nsh ισορροπία θα πρέπει να είναι γρήγορα κι εύκολα προσβάσιµη µέσω απλών εχνικών καανεµηµένης βελισοποίησης. Τέλος ο σύσηµα θα πρέπει να προσφέρει ορισµένες εγγυήσεις επιδόσεων ακόµη κι αν λειουργεί εκός ισορροπίας. Πέραν από ην αναφορά σις βασικές αρχές που διέπουν ις Nsh ισορροπίες σην [3] µελεάαι ο µηχανισµός λειουργίας ων µεαγωγέων που είναι γνωσός ως roortol llocto (αναλογική εκχώρηση) καθώς κι ο fr shre (δίκαιου µεριδίου). Σον πρώο µηχανισµό ο µέσο µήκος ης ουράς ενός χρήση είναι ανάλογο ου ρυθµού αυού ου χρήση. Η λογική αυή απεικονίζεαι σην πολιική Frst-I-Frst- Out (FIFO) ων µεαγωγέων. Σον fr shre µηχανισµό η λογική είναι αυή ενός συσήµαος χρονοδροµολόγησης µε προεραιόηες (reete rorty schedulg). Με ο µηχανισµό fr shre υπάρχει πάνα µια Nsh ισορροπία η οποία είναι και καά Preto αποελεσµαική. Επίσης η εν λόγω ισορροπία είναι "ey-free" καθώς κανένας παίκης δε "ζηλεύει" ην ανάθεση ισορροπίας ενός άλλου εποµένως και δίκαια. Σε ανιδιασολή η λογική roortol llocto οδηγεί σε ισορροπίες Nsh που δεν είναι καά Preto αποελεσµαικές και µπορεί να µην είναι δίκαιες. Για ην ίδια πολιική η σύγκλιση σην καάσαση ισορροπίας δεν είναι εγγυηµένη. Όλοι οι συνήθεις αριθµηικοί αλγόριθµοι ενοπισµού µεγίσου αν εφαρµοσούν σην περίπωση fr shre οδηγούν σε Nsh ισορροπία. Επίσης µελεάαι µια παραλλαγή ης καάσασης ισορροπίας η οποία είναι γνωσή ως ισορροπία Stcelberg. Σην καάσαση ισορροπίας Stcelberg η ωφέλεια ου ηγέη δεν είναι χαµηλόερη από αυή σην απλή Nsh ισορροπία. Η Nsh ισορροπία η οποία επιυγχάνεαι από ον fr shre αλγόριθµο είναι επίσης ισορροπία Stcelberg. Μια άλλη σηµανική εργασία σον χώρο ων παιγνιοθεωρηικών προσεγγίσεων δικυακών προβληµάων είναι η [5]. Η εργασία αυή εσιάζει σο πρόβληµα ης δροµολόγησης κι εισάγει δύο µεθοδολογίες για ην συγκρόηση µη συνεργαικών δικύων όπου οι χρήσες λαµβάνουν αποφάσεις µε σκοπό η µεγισοποίηση ης ωφέλειας ους. Οι µεθοδολογίες αναφέροναι ση φάση ης διασασιοποίησης (rosog) ου δικύου καθώς και ση φάση ης λειουργίας ου. Καά η φάση διασασιοποίησης υπολογίζοναι οι βασικές λειουργικές παράµεροι ου δικύου µε σκοπό η διάθεση ης χωρηικόηας ων συνδέσεων ώσε ο σύσηµα να οδηγηθεί σε µια αποελεσµαική Nsh ισορροπία. Τα κριήρια για ην αποελεσµαικόηα ου συσήµαος είναι η ιµή (οριακό κόσος rgl cost) ην οποία ανιλαµβάνεαι ο 38

40 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg χρήσης ο συνολικό κόσος για ον κάθε χρήση ή συνδυασµός ων ανωέρω. Η λύση ου προβλήµαος εκχώρησης χωρηικόηας δεν συµβαδίζει µε α αναµενόµενα αφού η επαύξηση ης χωρηικόηας ων συνδέσεων µπορεί να οδηγήσει σε υποβάθµιση ων επιδόσεων ων χρησών. Η επίδειξη αυής ης µη-αναµενόµενης συµπεριφοράς βασίζεαι σο παράδοξο ου Bress. Καά ην διάρκεια ης φάσης λειουργίας ένας συνονισής ελέγχει η δροµολόγηση µήµαος ης δικυακής ροής. Ο συνονισής γνωρίζει ην µη-συνεργαική συµπεριφορά ων χρησών ου δικύου και λαµβάνει αποφάσεις δροµολόγησης βάσει αυής ης συµπεριφοράς προσπαθώνας πάνα να βελιώσει ην επίδοση ου συσήµαος. Το σενάριο αυό είναι ακριβώς ο σενάριο ενός παιγνίου Stcelberg. Ο συνονισής (ηγέης) µπορεί να επιβάλλει µια καάσαση ισορροπίας η οποία αυίζεαι µε ην βέλιση καάσαση ου δικύου. Σην εργασία [9] µελεάαι η εφαρµογή ων αρχών ης Θεωρίας Παιγνίων σε θέµαα υχαίας πρόσβασης (rdo ccess) κι ελέγχου ισχύος. Μελεάαι η συµπεριφορά "εγωισικά" συµπεριφερόµενων χρησών σε ένα απλοποιηµένο σύσηµα Aloh. Σην περίπωση ου ελέγχου ισχύος επιυγχάνεαι µέσω παιγνιοθεωρηικών εχνικών ένα βέλισο σηµείο λειουργίας ου συσήµαος χωρίς να απαιείαι η παρέµβαση ενός εξωερικού ελεγκή (eterl cotroller). Σην εργασία [9] µελεούναι αλγόριθµοι για ον επιµερισµό ου κόσους που προκύπει από µεαδόσεις πολυεκποµπής (ultcst). Εξεάζοναι δύο βασικοί µηχανισµοί ο οριακό κόσος κι η λύση Shley. 39

41 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 4 Σοιχεία Οικονοµικής Θεωρίας 4. Σοιχεία αγοράς πωληών και αγορασών Η λειουργία ων αγορών (rets) προσδιορίζεαι από δύο βασικές δυνάµεις η ζήηση (ded) και ην προσφορά (suly). Η αλληλεπίδραση µεαξύ ης προσφοράς και ης ζήησης σις αγορές για ον καθορισµό ης ιµής ισορροπίας εξεάζεαι από η Μικροοικονοµική Θεωρία. Οι όροι ης ζήησης και ης προσφοράς αναφέροναι ση συµπεριφορά ων αόµων καθώς αλληλεπιδρούν µεαξύ ους σις αγορές. Η αγορά αποελείαι από µια οµάδα αγορασών και πωληών ενός συγκεκριµένου αγαθού ή υπηρεσίας και πιθανώς ενός ρυθµισή (regultor). Οι αγορασές προσδιορίζουν η ζήηση και οι πωληές προσδιορίζουν ην προσφορά. Η αναγωνισική αγορά είναι µια αγορά µε πολλούς αγορασές και πωληές ην οποία δεν ελέγχει κανείς ους και σην οποία οι αγορασές και πωληές δρουν επιλέγονας σα πλαίσια ενός περιορισµένου εύρους ιµών. Εναλλακικά ένας ρυθµισής (δηλαδή ένας ρίος όπως ο κράος σε µια πραγµαική Οικονοµία) µπορεί να επηρεάσει ις αποφάσεις ων πωληών και αγορασών. Συγκεκριµένα ένας ρυθµισής µπορεί να επιβάλλει διάφορους περιορισµούς συνήθως σους πωληές έσι ώσε να αυξήσει ην κοινωνική ευηµερία ή να επιβάλλει κοινωνική δικαιοσύνη. Οι αποφάσεις ων πωληών κι ων αγορασών καθοδηγούναι συνήθως από διάφορα κίνηρα. Για ον αγορασή ο κίνηρο είναι η συνάρηση ωφέλειας (utlty fucto) u ( y) που ανιπροσωπεύει ο όφελος για η χρήση µιας ποσόηας y ενός αγαθού ή µιας υπηρεσίας. Για ον πωληή ο κίνηρο είναι η συνάρηση κόσους (cost fucto) c ( y) που ανιπροσωπεύει ο κόσος για η παροχή µιας ποσόηας y ενός αγαθού ή µιας υπηρεσίας. Η χρέωση ων αγαθών εισάγεαι για να επιευχθεί η αποελεσµαική χρήση ους. Το όφελος ου αγορασή µειώνεαι λόγω ης χρέωσης που υφίσααι ενώ ο πωληής συλλέγονας ις πληρωµές µειώνει ο κόσος παροχής ου αγαθού. 4

42 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Σύµφωνα µε ην Οικονοµική ορολογία η ικανοποίηση ενός αγορασή ο οποίος αγοράζει µια ποσόηα y ενός προϊόνος µε ιµή ανά µονάδα προϊόνος ποσοικοποιείαι από ο καθαρό όφελος (et beeft) δηλαδή ην ωφέλεια που αποκοµίζει έχονας ο αγαθό µείον η χρέωση για να ο αποκήσει: u ( y) y Εποµένως η χρέωση είναι ένας µηχανισµός που έχει η δυναόηα να επηρεάζει η συµπεριφορά ου αγορασή και ην καάσαση όλης ης αγοράς. Όαν ο πωληής θέει ιµή για κάθε µονάδα ου προϊόνος που πουλά ο αγορασής απανά µε ζήηση y. Χαµηλές ιµές αυξάνουν η ζήηση ου αγορασή ενώ υψηλές ην περιορίζουν. Τα έσοδα ου πωληή επηρεάζοναι κι από η ζήηση που επιδεικνύουν οι αγορασές αλλά κι από ην ιµή ου αγαθού παράγονες που είναι αµφίδροµα συσχεισµένοι. Η συνάρηση κέρδους (roft fucto) ου πωληή π είναι η διαφορά µεαξύ ων εσόδων που προέρχοναι από ην πώληση ποσόηας y ου προϊόνος και ου κόσους για ην παροχή αυή ης ποσόηας: π y c Η ποσόηα ου αγαθού που θα αγοράσει ο αγορασής εάν η ιµή είναι συµβολίζεαι µε y και ονοµάζεαι συνάρηση ζήησης (ded fucto). Ενώ η ιµή που οι αγορασές είναι διαεθειµένοι να πληρώσουν για y ποσόηα προϊόνος συµβολίζεαι µε ( y) και ονοµάζεαι ανίσροφη συνάρηση ζήησης (erse ded fucto). Με δεδοµένη ην ιµή που θέει ο πωληής ο αγορασής προσπαθεί να λύσει ο πρόβληµα βελισοποίησης: y ( y) [ u( y) y] Η εφαρµογή ων συνθηκών πρώης άξης δίνει ην εξίσωση: ( y) u που η λύση ης θα είναι η ποσόηα y ου προϊόνος που µεγισοποιεί ο καθαρό όφελος ου αγορασή. 4

43 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 4. Το είδος ου προϊόνος Το προϊόν ενός κλάδου είναι οµοιογενές (hoogeeous) όαν ο προϊόν ου κάθε πωληή δεν διαφέρει από εκείνο ων άλλων ούε ανικειµενικά (από άποψη εχνικών χαρακηρισικών) ούε υποκειµενικά (από άποψη κααναλωικών χαρακηρισικών). Εναλλακικά µπορούµε να πούµε όι ο προϊόν ενός κλάδου είναι οµοιογενές όαν α προϊόνα ων αναγωνισών είναι έλεια υποκαάσαα ου προϊόνος κάθε πωληή. Το προϊόν ενός κλάδου είναι διαφοροποιηµένο (dfferetted) όαν ο προϊόν ου κάθε πωληή διαφέρει από εκείνο ων άλλων είε ανικειµενικά είε υποκειµενικά. Εναλλακικά µπορούµε να πούµε όι ο προϊόν ενός κλάδου είναι διαφοροποιηµένο όαν α προϊόνα ων αναγωνισών είναι αελή υποκαάσαα ου προϊόνος κάθε πωληή. εδοµένου όι σα ανικειµενικά χαρακηρισικά ου προϊόνος περιλαµβάνοναι σοιχεία όπως η εξυπηρέηση ου αγορασή ο όπος και ο χρόνος σον οποίο διαίθεαι ο προϊόν είναι σπάνιο να θεωρηθεί ο προϊόν ενός κλάδου οµοιογενές. Όαν ο προϊόν είναι οµοιογενές περιµένουµε ην επικράηση µιας ιµής και όαν ο προϊόν είναι διαφοροποιηµένο περισσόερων ιµών. 4.3 Ο αριθµός ων πωληών και η σραηγική αλληλεπίδραση Τα έσοδα και ο κέρδος ου κάθε πωληή εξαρώναι γενικά όσο από ις αποφάσεις ου ίδιου ου πωληή όσο και από ις αποφάσεις ων αναγωνισών ου. Για παράδειγµα α έσοδα ενός πωληή µπορεί να επηρεασθούν είε γιαί αυός µεαβάλλει ην ιµή ου είε γιαί οι αναγωνισές ου µεαβάλλουν εκείνοι ην ιµή ους. Αν ο αριθµός ων πωληών είναι αρκεά µεγάλος ώσε κάθε πωληής να µην επηρεάζεαι αισθηά από ις αποφάσεις ων αναγωνισών ου όε βρισκόµασε σε καθεσώς έλειου αναγωνισµού (erfect coetto). Αν ο αριθµός ων πωληών είναι αρκεά µικρός ώσε κάθε πωληής να επηρεάζεαι αισθηά από ις αποφάσεις ων αναγωνισών ου όε βρισκόµασε σε καθεσώς Ολιγοπωλίου (Olgooly). Αν ένας πωληής διαθέει ένα προϊόν ου οποίου δεν υπάρχει κονινό υποκαάσαο όε βρισκόµασε σε καθεσώς µονοπωλίου (oooly). Πιο συγκεκριµένα: 4

44 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 4.3. Τέλειος αναγωνισµός Ο έλειος αναγωνισµός δεν παραηρείαι συχνά αλλά αποελεί σηµείο αφεηρίας για η µικροοικονοµική ανάλυση και σύγκριση µε άλλες µορφές αγοράς. Χαρακηρισικό ου έλειου αναγωνισµού είναι ο µεγάλος αριθµός πωληών και αγορασών. Οι πωληές έχουν η δυναόηα εισόδου και εξόδου από ην αγορά οποιαδήποε σιγµή και είναι αποδέκες ιµών. Το προϊόν που διαθέουν είναι οµοιογενές. Επίσης υπάρχει πλήρης πληροφόρηση σχεικά µε ο ι συµβαίνει ανά πάσα σιγµή Μονοπώλιο Μονοπώλιο είναι η καάσαση καά ην οποία υπάρχει µοναδικός πωληής ενός προϊόνος για ο οποίο δεν υπάρχουν κονινά υποκαάσαα. Η ιµή ορίζεαι από ον πωληή και δεν υπάρχει δυναόηα η ιµή αυή να µεαβληθεί από αναγωνισές γιαί απλά αυοί δεν υπάρχουν και δεν µπορούν να εισέλθουν σην αγορά. Η καοχή από ένα πωληή ου αποκλεισικού δικαιώµαος εκµεάλλευσης ενός προϊόνος ή µιας µεθόδου παραγωγής η καοχή ης γνώσης και ης εχνολογίας που απαιείαι για ην παραγωγή ενός προϊόνος ή ο αθέµιος αναγωνισµός είναι κάποιες από ις συνθήκες που οδηγούν ση δηµιουργία µονοπωλίων. Το βασικό πρόβληµα ου µονοπωληή είναι η µεγισοποίηση ου κέρδους ου και µπορεί να διαυπωθεί ως: όπου ( y) ( y)y y y [ r( y) c( y) ] [ ( y) y c( y) ] π r να είναι η συνάρηση εσόδων ου. Με βάση ις συνθήκες πρώης άξης ση βέλιση ποσόηα ο οριακό έσοδο εξισώνεαι µε ο οριακό κόσος: ή ( y) c ( y) r ( y) ( y) y c ( y) dy και χρησιµοποιώνας ην ελασικόηα ης ζήησης ως προς ην ιµή ε y d προκύπει: c ε y ( y) 43

45 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Το πρόβληµα ου µονοπωληή µπορεί να διαυπωθεί και ως: π [ y c( y )] Από ις συνθήκες πρώης άξης ση βέλιση ιµή και ην ελασικόηα ης ζήησης ως προς ην ιµή είναι και πάλι: c ( y) ε Μια ενδιαφέρουσα περίπωση µονοπωλίου είναι ο φυσικό µονοπώλιο (turl oooly) και είναι η καάσαση ης αγοράς σην οποία ένας πωληής µπορεί να εξυπηρεεί ην αγορά µε καλύερο αποέλεσµα (κέρδος ή ζηµιά) απ όι περισσόεροι πωληές. Φυσικό µονοπώλιο εµφανίζεαι συνήθως ση παραγωγή και διανοµή ενέργειας σις ηλεπικοινωνίες σις συγκοινωνίες κ.λ.π. Σην χρέωση µε διάκριση (rce dscrto) ο µονοπωληής διαθέει ο προϊόν ου έσω ποσόηες y και y σε δύο αγορές µε ανίσροφες συναρήσεις ζήησης ανίσοιχα ( y ) και ( y ) κέρδος ου δίνεαι από η λύση ου προβλήµαος: π y y y y. Η καανοµή ων πωλήσεων που µεγισοποιεί ο [ ( y ) y ( y ) y c( y y )] Από ις συνθήκες πρώης άξης και ις ελασικόηες ης ζήησης είναι: c ( y ) και c ( y ) ε ε Όπως είναι φανερό από ις δύο σχέσεις ο µονοπωληής θα πωλεί ακριβόερα (φθηνόερα) ο προϊόν ου σην αγορά µε ην ανελασικόερη (ελασικόερη) ζήηση. Μια ειδική περίπωση χρέωσης µε διάκριση είναι όαν ο µονοπωληής εξυπηρεεί π.χ. δύο γεωγραφικά διαφορεικές αγορές η µακρινή αγορά H και ην κονινή αγορά L µε διαφορεικό κόσος µεαφοράς ανά µονάδα προϊόνος ανίσοιχα h και l και διαφορεικές ανίσροφες συναρήσεις ζήησης ( y ) και ( y ). Σε αυή η περίπωση η καανοµή ων πωλήσεων που µεγισοποιεί ο κέρδος ου δίνεαι από η λύση ου προβλήµαος: π y y y y [ ( y ) y ( y ) y hy ly c( y y )] Από ις συνθήκες πρώης άξης και ις ελασικόηες ης ζήησης είναι: 44

46 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg h c ( y ) και l c ( y ) ε ε Όπως είναι φανερό από ις δύο σχέσεις ο συνολικό µεαφορικό κόσος δεν καανέµεαι ανάλογα µε ην απόσαση ης αγοράς αλλά ανάλογα µε ην ελασικόηα ζήησης ης αγοράς. Μόνον αν οι κααναλωές σις δύο γεωγραφικές αγορές έχουν ίδια ελασικόηα ζήησης θα πληρώνουν ο κόσος µεαφοράς που ους αναλογεί Ολιγοπώλιο Μεαξύ ου έλειου αναγωνισµού και ου µονοπωλίου υπάρχει µια δοµή ης αγοράς που ονοµάζεαι Ολιγοπώλιο. Μια αγορά ονοµάζεαι Ολιγοπωλιακή όαν ένας µικρός αριθµός πωληών ελέγχει µεγάλο µέρος ης αγοράς και εµποδίζει νέους πωληές να εισέλθουν σον κλάδο. Σε κάποιες Ολιγοπωλιακές αγορές ο προϊόν είναι οµοιογενές ενώ σε κάποιες άλλες (που είναι η πλειοψηφία) διαφοροποιηµένο. Η αλληλεξάρηση µεαξύ ων πωληών µπορεί να δηµιουργήσει µια άση για σύµπραξη µεαξύ ους. Αν κααφέρουν να συνεργασούν και να ενεργήσουν σαν µονοπώλιο (δηλ. όαν παράγουν µικρόερη ποσόηα και ην πωλούν σε ιµή πάνω από ο οριακό κόσος) όε µεγισοποιούν α κοινά κέρδη ους. Με ους συνασπισµούς πωληών επιυγχάνεαι η εξαφάνιση ου µεαξύ ους αναγωνισµού και ακόµη επιυγχάνεαι η περισσόερο ορθολογική οργάνωση ης παραγωγής και αποελεσµαική διοίκηση. Οι κυριόερες µορφές συνασπισµών είναι οι κοινοπραξίες οι κερδοσκοπικές συµπράξεις α καρέλ α ρασ κ.λ.π. Από ην άλλη πλευρά κάθε Ολιγοπωληής ενδιαφέρεαι µόνο για ο δικό ου κέρδος και αυό ον ωθεί σο να αναγωνίζεαι µε ους άλλους σην προσπάθεια να ιδιοποιηθεί ένα µεγαλύερο µέρος από α κέρδη ου κλάδου. Μπορεί να υπάρχει αναγωνισµός σις ποσόηες ή σις ιµές. Όσο πιο σκληρός είναι ο αναγωνισµός όσο χαµηλόερα είναι α κέρδη ου κλάδου. Το κέρδος ενός πωληή εξαράαι από ις αποφάσεις ου ίδιου αλλά και ις αποφάσεις ων αναγωνισών ου είναι δηλαδή ένα παίγνιο. Βασική έννοια ης Οικονοµικής ανάλυσης ης Ολιγοπωλιακής συµπεριφοράς είναι η ισορροπία Nsh. Η πωληής σο Ολιγοπώλιο δεν θέλει να αλλάξει η σραηγική ου µέσω ης οποίας επιυγχάνει η µεγισοποίηση ων κερδών ου. Θα αλλάξει η σραηγική ου εάν και µόνον εάν µια διαφορεική σραηγική αποφέρει 45

47 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg υψηλόερα κέρδη. Το πόσα κέρδη απολαµβάνει κάθε πωληής εξαράαι από ην επιυχή πρόβλεψη ης συµπεριφοράς ων άλλων πωληών. Αυή η επιυχής πρόβλεψη ης συµπεριφοράς ων άλλων πωληών γίνεαι µέσω σαικών ή δυναµικών υποδειγµάων. Σην περίπωση που δεν υπάρχει συνεργασία µεαξύ ων πωληών σην αγορά επικραούν ανάλογα µε ις υποθέσεις διαφορεικά υποδείγµαα που οδηγούν σε µια σειρά από συµπεράσµαα. Η συµπαιγνία µεαξύ πωληών είναι πιθανή σε αγορές που είε διαρκούν για µεγάλο χρονικό διάσηµα είε για αβέβαιο χρόνο. Όσο αυξάνεαι ο αριθµός ων πωληών όσο αυξάνεαι ο αναγωνισµός. Ένα αυόχρονο παίγνιο (sulteous ge) είναι µια καάσαση σην οποία οι αποδόσεις π.χ. δύο παικών π και π είναι συνάρηση ων κινήσεων (π.χ. ιµολογήσεων) και ου ενός και ο άλλου δηλαδή π ( α ) και ( α ) Ορίζεαι η ισορροπία Nsh ενός αυόχρονου παιγνίου ως οι ιµές αποφάσεων που ικανοποιούν ις συνθήκες: ( α ) π( α ) και π( α ) π( α ) π π. ων Αν οι συναρήσεις απόδοσης είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες ως προς ις µεαβληές ων αποφάσεων όε η ισορροπία Nsh dπ ( α ) d ικανοποιεί ις συνθήκες: και dπ ( α ) Με άλλα λόγια µια ισορροπία Nsh είναι ένα ζεύγος αποφάσεων από ις οποίες κανένας παίκης δεν έχει συµφέρον να αποκλίνει µονοµερώς. Σο υπόδειγµα αναγωνισµού Courot οι πωληές µεαβάλλουν ην ποσόηα πώλησης ου προϊόνος. Έσω η απλή περίπωση όπου δύο πωληές και επιλέγουν ην ποσόηα ενός οµοιογενούς προϊόνος y και y ην οποία θα διαθέσουν σην αγορά. Η ιµή ου προϊόνος προσδιορίζεαι από ην ανίσροφη συνάρηση ζήησης µε βάση η συνολική ποσόηα που διαίθεαι σην αγορά y y ). d ( Τα προβλήµαα που καλούναι να λύσουν οι δύο αναγωνισές είναι: π y [ ( y y ) y c ( y )] και π [ ( y y ) y c ( y )] y και από ις συνθήκες πρώης άξης: ( Y ) ( Y ) y c και ( Y ) ( Y ) y c y y y y 46

48 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg όπου Y y y. Αποδεικνύεαι όι η ποσόηα Y ην οποία θα διαθέσουν σην αγορά οι δύο αναγωνισές είναι µικρόερη εκείνης ου έλειου αναγωνισµού και µεγαλύερη εκείνης ου µονοπωλίου. Επίσης αποδεικνύεαι όι η ιµή ου προϊόνος θα είναι µεγαλύερη εκείνης ου έλειου αναγωνισµού και µικρόερη εκείνης ου µονοπωλίου. Σο υπόδειγµα αναγωνισµού Βertrd οι δύο πωληές και επιλέγουν ις ιµές και ανίσοιχα που θα θέσουν σην αγορά για ένα οµοιογενές προϊόν. Η συνολική ποσόηα που θα απορροφηθεί από ην αγορά µε συνάρηση ζήησης D είναι D ( [ ]) γιαί όλοι οι αγορασές θα αγοράσουν από ο φθηνόερο πωληή εφ όσον η ποσόηα ων πόρων ου πωληή αυού µπορεί να ικανοποιήσει ην αγορά. Αποδεικνύεαι όι η ισορροπία Nsh σον αναγωνισµό Bertrd είναι η ιµή και η ποσόηα που θα ίσχυαν σε καθεσώς έλειου αναγωνισµού. Σην περίπωση ου υποδείγµαος Courot και οι δύο πωληές παίρνουν αποφάσεις αυόχρονα. Εάν υποθέσουµε όι ένας από ους δύο πωληές έχει κάποιο πλεονέκηµα (µεγέθους ή οποιοδήποε άλλο) και λαµβάνει ις αποφάσεις ου πρώος όε έχουµε έναν ηγέη (leder). Οι αποφάσεις µπορούν να αφορούν ις ποσόηες ή ις ιµές ων προϊόνων. Το υπόδειγµα ο οποίο περιγράφει ην περίπωση αυή ονοµάζεαι υπόδειγµα Stcelberg. Ο ηγέης παίρνει σαν δεδοµένη ην συνάρηση ανίδρασης ου άλλου πωληή που ονοµάζεαι (follower) όαν λύνει ο πρόβληµα µεγισοποίησης ων κερδών ου. Ας υποθέσουµε όι ο πωληής είναι ο ηγέης και ο πωληής ο ακόλουθος. Οι πωληές αποφασίζουν για ις ποσόηες ων προϊόνων που θα διαθέσουν. Το πρόβληµα που πρέπει να λύσει ο πωληής καθώς γνωρίζει ην ποσόηα y ου προϊόνος που διαθέει ο πωληής είναι: π y y [ ( y y ) y c ( y )] Η συνθήκη πρώης άξης για ο πρόβληµα αυό είναι όπως ακριβώς σο υπόδειγµα Courot που περιγράφηκε παραπάνω : ( Y ) ( Y ) y c y όπου Y y y. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αυή ην εξίσωση για να έχουµε ην συνάρηση ανίδρασης f ( y ) ου πωληή. Πηγαίνονας πίσω σην αρχή ης διαδικασίας ο πωληής θέλει να επιλέξει ην ποσόηα y που θα διαθέσει 47

49 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg προβλέπονας ην ανίδραση ου πωληή. Άρα ο πρόβληµα που ανιµεωπίζει ο πωληής είναι: π y Αυό οδηγεί σε συνθήκη πρώης άξης ης µορφής: y [ ( y f ( y ) ) y c ( y )] ( Y ) ( Y )( f ( y )) y c ( y ) Οι παραπάνω εξισώσεις που προκύπουν από ις συνθήκες πρώης άξης για α προβλήµαα ων δύο πωληών είναι αρκεές για ον καθορισµό ων βέλισων ποσοήων y και y. Ανάλογη ανάλυση γίνεαι όαν οι πωληές αποφασίζουν για ιµές που θα θέσουν για ο προϊόν. Η εκενής εφαρµογή ης Θεωρίας Παιγνίων µε η βοήθεια ων παραπάνω Ολιγοπωλιακών υποδειγµάων έχει συµβάλει σηµανικά σην καλύερη καανόηση και εκίµηση ης αξιοπισίας ης εφαρµογής ων σραηγικών καθώς και σον προσδιορισµό ων αποελεσµάων διαφόρων σραηγικών που επιλέγοναι αυόχρονα από ους Ολιγοπωληές. 48

50 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 5 Προεινόµενη Λύση 5. Γενικά Σε αυήν ην εργασία προείνεαι ένα Οικονοµικό σχήµα για η διαχείριση ης χωρηικόηας για εφαρµογή σε ιεραρχίες cchg. Σο περιβάλλον που εξεάζεαι ο οικονοµικό αγαθό είναι ο αποθηκευικός χώρος. Οι L cche (πωληές) παρέχουν χώρο από ο δίσκο ους ενώ οι L cche (αγορασές) πληρώνουν για να αποκήσουν µέρος ου εν λόγω χώρου. Η ανάγκη για ην εισαγωγή ενός Οικονοµικού σχήµαος προκύπει καθώς όαν η χωρηικόηα µιας L cche διαµοιράζεαι µεαξύ κάποιων L cche είναι δυναόν αν µια L cche είναι ιδιαίερα «επιθεική» σε σχέση µε ις άλλες να κυριαρχήσει επί ης διαµοιραζόµενης χωρηικόηας µε αποέλεσµα να επωφεληθεί εις βάρος ων άλλων L cche. Προβληµαικός διαµοιρασµός ενός κοινού πόρου µπορεί να παραηρηθεί και σε άλλα περιβάλλονα όπως δίκυα PP και CDN. Η εισαγωγή ενός Οικονοµικού σχήµαος εξασφαλίζει ην εφαρµογή σαφών κανόνων που θα διέπουν ις αλληλεπιδράσεις ων ονοήων καθώς και ιµές που θα οδηγούν σε διαφορεικά επίπεδα ζήησης χωρηικόηας. Ορίζεαι µια Ολιγοπωλιακή αγορά και η εκχώρηση ης χωρηικόηας γίνεαι βάσει χρέωσης χωρίς διάκριση. Οι L cche αναγωνίζοναι µεαξύ ους µε σκοπό να προσελκύσουν περισσόερους αγορασές και να µεγισοποιήσουν α έσοδα ους. Έσω I { K } ο σύνολο ων L cche και J { K } ο σύνολο ων L cche. Η L cche µπορεί να αγοράσει από ις L cche ο διάνυσµα χώρου ( K ) (5.) όπου () K είναι η χωρηικόηα που θα έχει η L cche σο δίσκο ης L cche. Αν K είναι η ιµή χρέωσης που θέει η L cche για κάθε µονάδα αποθηκευικού χώρου που διαθέει σις L cche όε ορίζουµε () () () T (5.) 49

51 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg να είναι ο χρηµαικό ποσό που πρέπει να πληρώσει η L cche για ην αγορά ου διανύσµαος (5.) µε δεδοµένο ο διάνυσµα ιµών ( K ) που θέουν οι L cche. Εδώ έγινε η υπόθεση ης γραµµικής χρέωσης δηλαδή ο αγορασής χρεώνεαι αναλογικά µε ην ποσόηα ου χώρου που αποκά και δεν εφαρµόζοναι πάγιες χρεώσεις. Έσω u η συνάρηση ωφέλειας (utlty fucto) ης L cche. Γενικά η συνάρηση u () ποσοικοποιεί ην ικανοποίηση ου αγορασή λόγω ης καοχής ενός συγκεκριµένου ποσού ου αγαθού. Ορίζουµε ως καθαρό όφελος (et beeft) ου αγορασή ην συνάρηση b ( ) u T (5.3) Ο αγορασής (L cche) προσπαθεί να λύσει ο παρακάω πρόβληµα βελισοποίησης: ΑΓΟΡΑΣΤΗΣ : Η λύση αυού ου προβλήµαος έσω ze ( ) µ..π. () T [ u ( ) ] (5.4) ( ) ονοµάζεαι ζήηση (ded fucto) ου αγορασή µε δεδοµένο ο διάνυσµα ιµών και είναι ο διάνυσµα χώρου ο οποίο µεγισοποιεί ο καθαρό όφελος ου µε ον περιορισµό όι κάθε µια από ις συνισώσες ου διανύσµαος αυού πρέπει να είναι ποσόηες θεικές ή µηδέν. Η L cche επιλέγει µια ιµή χρέωσης έσω για κάθε µονάδα αποθηκευικού χώρου που διαθέει σις L cche. Η χωρηικόηα ης L cche είναι C και υποθέουµε όι διαχωρίζεαι σε διαφορεικά (αποµονωµένα) διαµερίσµαα που εκχωρούναι αποκλεισικά σε ξεχωρισές L cche δηλαδή ο χώρος που παίρνει µια L cche δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί από κάποια άλλη L cche. () Έσω y η συνολική ζήηση χώρου από ον δίσκο ης L cche. Η συνάρηση κέρδους ης L cche είναι: 5

52 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg () y π (5.5) Γίνεαι η υπόθεση όι οι L cche δεν έχουν λειουργικά έξοδα σε σχέση µε ο χώρο που εκχωρούν. Τα κόση που έχουν να ανιµεωπίσουν είναι εφάπαξ κόση (su costs) και αφορούν σην εγκαάσαση ης υποδοµής ους. Το αναγωνισικό ως προς ις ιµές Οικονοµικό µονέλο που χρησιµοποιείαι (και περιγράφηκε παραπάνω) µπορεί να γραφεί ως παίγνιο σραηγικής µορφής σο οποίο: Υπάρχουν παίκες οι L cche. Το σύνολο σραηγικών S ου παίκη είναι ο σύνολο ων διαφορεικών ιµών χρέωσης που η L cche µπορεί να επιλέξει για κάθε µονάδα αποθηκευικού χώρου που διαθέει σις L cche. ηλαδή S για κάθε K. Η συνάρηση απόδοσης ου παίκη είναι η συνάρηση κέρδους π ης L cche και δίνει ο κέρδος ης για κάθε δυναό συνδυασµό ιµών (προφίλ S S K S. σραηγικών) ( ) K Ο πωληής (L cche) προσπαθεί να λύσει ο παρακάω πρόβληµα βελισοποίησης: ΠΩΛΗΤΗΣ : ze µ..π. () C () (5.6) ηλαδή ο πωληής προσπαθεί να βρει ην ιµή χρέωσης η οποία προκαλεί συνολική ζήηση y και µεγισοποιεί ο κέρδος ου µε ον περιορισµό όι η συνολική ζήηση δεν πρέπει να ξεπερνά ην χωρηικόηά ου. 5

53 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 5. Σύσηµα Έσω O ο σύνολο ων ανικειµένων που υπάρχουν σο web και O ο σύνολο ων ανικειµένων σα οποία αναφέροναι οι χρήσες που συνδέοναι µε ην L cche. Εδώ υποθέουµε όι µια L cche εξυπηρεεί χρήσες που ενδιαφέροναι για ένα υποσύνολο ου web δηλαδή εξυπηρεεί µια οµάδα χρησών που έχουν κάποιες οµοιόηες σα ενδιαφέρονα ους. Είναι O O για κάθε Org serers os Iteret... ο επίπεδο cche r... ο επίπεδο cche l... Χρήσες Σχήµα 5. Η αρχιεκονική Web cchg ου συσήµαος Η αίηση ου χρήση για κάποιο ανικείµενο καευθύνεαι σην L cche µε ην οποία αυός συνδέεαι. Αν ο ανικείµενο υπάρχει αποθηκευµένο εκεί θεωρείαι όι επιυγχάνεαι µια οπική ευσοχία (locl ht) και ο χρήσης εξυπηρεείαι σε χρόνο ( ι ) l. Αν ο ανικείµενο δεν υπάρχει σην L cche και υπάρχει σην L cche η 5

54 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg αίηση προωθείαι σε αυήν και όε θεωρείαι όι επιυγχάνεαι µια αποµακρυσµένη ευσοχία (reote ht) µε ανίσοιχο χρόνο εξυπηρέησης r. Αν ο ανικείµενο δε υπάρχει ούε σε κάποια από ις L cche όε ζηείαι από ον πηγαίο διακοµισή και ( ι ) ο χρόνος εξυπηρέησης ου χρήση είναι. Υποθέουµε όι οι χρόνοι l και είναι σαθερές για κάθε K K και ισχύει: os os ( ) ( ) <... < < l < r Σην εργασία αυή γίνεαι η υπόθεση όι η L cche γνωρίζει ακριβώς α ανικείµενα (URL) που είναι αποθηκευµένα σις L cche. Τέοια πληροφορία µπορεί να γίνει εύκολα διαθέσιµη αν η L cche διαηρεί µια καάλληλη δοµή δεδοµένων. Με η δοµή αυή η L cche όαν θα λαµβάνει µια HTTP αίηση από ένα χρήση θα γνωρίζει αν ο ζηούµενο ανικείµενο βρίσκεαι αποθηκευµένο οπικά αποµακρυσµένα (σε κάποια από ις L cche) ή θα πρέπει να µεαφερθεί από ον πηγαίο διακοµισή. Η L cche έχει χωρηικόηα έοια ώσε να έχει αποθηκευµένα σε αυήν α C πιο δηµοφιλή ανικείµενα ου συνόλου r os O. Τα υπόλοιπα ανικείµενα ου συνόλου αν θεωρηθούν διαεαγµένα καά φθίνουσα σειρά δηµοικόηας είναι αποθηκευµένα σις L cche ξεκινώνας από ην πρώη να περιέχει α πιο δηµοφιλή. Έχει αποδειχθεί όι η δηµοικόηα ων web ανικειµένων ακολουθεί ην καανοµή Zf. Σύµφωνα µε αυήν αν βάλουµε σε µια σειρά ένα σύνολο ανικειµένων (π.χ. α ανικείµενα ενός web ste) µε βάση ην δηµοικόηα ους (ο ανικείµενο είναι ο πιο δηµοφιλές) η πιθανόηα ο h -ιοσό ανικείµενο να ζηηθεί είναι: rob K h { να ζηηθεί ο h ιοσό ανικείµενο } όπου ( ) είναι ο παράγονας ης καανοµής Zf η ιµή ου οποίου εξαράαι από ην ρέχουσα εφαρµογή και K είναι µια σαθερά κανονικοποίησης έοια ώσε: U h K h όπου U είναι ο σύνολο που περιέχει α εξεαζόµενα ανικείµενα. Για ην L cche σο σύσηµα που έχουµε ο σύνολο U αυίζεαι µε ο σύνολο ων ανικειµένων σα οποία αναφέροναι οι χρήσες που συνδέοναι µε αυήν. ηλαδή U O. r 53

55 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Σις περισσόερες περιπώσεις ο µέγεθος ου αιούµενου ανικειµένου είναι άξεις µεγέθους µικρόερο από ο µέγεθος ης L cche. Οπόε µπορούµε να κάνουµε µια προσέγγιση θεωρώνας α περιεχόµενα ης cche όχι διακριά ανικείµενα αλλά ένα συνεχές (cotuu) δεδοµένων. Επεκείνουµε λοιπόν ην σηµεία h σην συνεχή συνάρηση K µε [ ). K h και α ακέραια Όαν ένας χρήσης ης L cche αιηθεί ένα ανικείµενο όε αυό βρίσκεαι σην L cche µε πιθανόηα ευσοχίας από ην L cche (locl ht robblty): K C () h l h h Εφαρµόζονας ην παραπάνω προσέγγιση η πιθανόηα παίρνει ην µορφή: () h l C K d O και επειδή K d θα είναι: () C h O l (5.7) Θεωρούµε όι η L cche έχει αποθηκευµένο σις L cche ο διάνυσµα χώρου ( K ) όπου είναι ο ποσό ου χώρου που έχει η L cche σο δίσκο ης L cche για κάθε K και K. Η πιθανόηα ο ανικείµενο που αιείαι ο χρήσης να βρίσκεαι σην L cche δηλαδή η πιθανόηα ευσοχίας από ην L cche (-reote ht robblty) είναι: () hr ( ) ( ) C C K d η οποία µεά από πράξεις παίρνει ην µορφή: K d 54

56 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 55 () () () hr O C C (5.8) Γενικά η πιθανόηα ο ανικείµενο που αιείαι ο χρήσης να βρίσκεαι σο δεύερο επίπεδο ων cche είναι: () C C r h d K d K ή ισοδύναµα: () () hr O C C (5.9) και ονοµάζεαι πιθανόηα ευσοχίας από ο δεύερο επίπεδο ων cche (reote ht robblty). Ο αναµενόµενος χρόνος εξυπηρέησης δηλαδή ο χρόνος που ανιλαµβάνεαι ο χρήσης από ην υποβολή µιας αίησης µέχρι ην παρουσίαση σε αυόν ου αιούµενου ανικειµένου είναι: { } () () () () () () () () os hr h r hr h h E l l l l και από ις (5.7) (5.8) και (5.9) προκύπει: { } () () () () () () os r O C C O C O C C O C O C E l (5.)

57 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg Αγορασής (L cche) Καθώς ο ανικειµενικός σκοπός ης L cche είναι να ελαχισοποιήσει ο χρόνο εξυπηρέησης ων χρησών που συνδέοναι µε αυήν µια "λογική" επιλογή ως συνάρηση ωφέλειάς ης είναι η { } E u Ορίζονας ις ποσόηες () () () os r l και () () O C K έχουµε η παρακάω Πρόαση. Πρόαση 5.. Ο αναµενόµενος χρόνος εξυπηρέησης { } E που δίνεαι από ην (5.) παίρνει η µορφή: { } () () () () () () () () () () () () E Απόδειξη: Η απόδειξη βρίσκεαι σο Παράρηµα. Με βάση η Πρόαση 5. η συνάρηση ωφέλειας { } E u γράφεαι () () () () () () () () () () () () () u Θέονας () () () () () () () O C û (5.) µε

58 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg και ορίζονας µια σαθερά B η συνάρηση ωφέλειας ( ) ( ) > K B... να δίνεαι από η σχέση ( ) ( ) ( ( ) )( )... παίρνει η µορφή > u µε u ( ) û B (5.) Πρόαση 5.. Η πραγµαική συνάρηση κοίλη. Απόδειξη: Η απόδειξη βρίσκεαι σο Παράρηµα. g µε > και < < είναι γνησίως Ορισµός 5. (Ανισόηα Jese). Η συνάρηση f : R R είναι γνησίως κοίλη εάν για κάθε y ου πεδίου ορισµού ης µε y και για κάθε < h < ισχύει (( h) hy) ( h) f hf ( y) f Ορίζονας η συνάρηση η (5.) γράφεαι g ( y) y... û () ( ) () ( ) () Πρόαση 5.3. Η συνάρηση û C g O () ( ) C g... O είναι γνησίως κοίλη. Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπει εύκολα από ον Ορισµό 5. και ην Πρόαση 5. και βρίσκεαι σο Παράρηµα. 57

59 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 58 Θεώρηµα 5.. Η συνάρηση καθαρού οφέλους ης L cche (σχέση 5.3) T T B û u b... είναι γνησίως κοίλη. Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπει εύκολα καθώς η συνάρηση καθαρού οφέλους b είναι ο άθροισµα µιας γνησίως κοίλης µιας σαθερής και µιας γραµµικής συνάρησης και βρίσκεαι σο Παράρηµα. Ας επανέλθουµε ώρα σο πρόβληµα βελισοποίησης που ανιµεωπίζει η L cche και περιγράφει η σχέση (5.4). Όπως έχει αναφερθεί παραπάνω ο αγορασής ψάχνει να βρει ο διάνυσµα χώρου [ ] u b T rg rg Από ις συνθήκες πρώης άξης T b είναι () () () u u u K K και καθώς () () û u για κάθε K από ην (5.) προκύπει όι () () () s s C O s K και ση συνέχεια αποσπώνας από ο εξωερικό άθροισµα ον όρο µε s είναι () () () s s C O () () () () () s s s C C O () () () s s s C O όπου.

60 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Από ην θεική διαφορά µε απλές πράξεις παίρνουµε s s () () () ( ) ( ) C s s O s () () A s s s C (5.3) όπου και Είναι A () ( ) ( ) () () s O () ( ) C A s s K s () () () s s και από ην (5.3) s As s () () () s A s K (5.4) s s Αν η διαφορά σο δεξί µέλος ης παραπάνω εξίσωσης είναι µη αρνηική για όλες ις ιµές ου s ο διάνυσµα ζήησης χώρου s που έχει συνισώσες s K όπως βρέθηκαν σην (5.4) είναι ένα οπικό µέγισο ης συνάρησης καθαρού κέρδους b ης L cche και επειδή αυή όπως δείχθηκε είναι µια κοίλη συνάρηση αυό θα είναι και ολικό µέγισο. Επίσης πάλι λόγω ης γνήσιας κοιλόηας ης b αυό θα είναι και µοναδικό. Αν όµως κάποιες από ις συνισώσες ου διανύσµαος ζήησης χώρου είναι αρνηικές η λύση που βρέθηκε είναι µη εφική και ο µέγισο πρέπει να s s αναζηηθεί σε ένα διάνυσµα που περιέχει µηδενικά σοιχεία. Οπόε για ην εύρεση ου διανύσµαος που µεγισοποιεί η συνάρηση καθαρού κέρδους b ης L cche ακολουθούµε ην παρακάω διαδικασία:. Ελέγχουµε αν οι συνισώσες ου διανύσµαος που βρέθηκε είναι µη αρνηικές και αν ναι όε ο διάνυσµα αυό είναι ο ζηούµενο. 59

61 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg. Αν όχι όε βρίσκουµε ην µικρόερη από ις αρνηικές συνισώσες και ην ανικαθισούµε µε µηδέν. 3. Λύνουµε από ην αρχή ις εξισώσεις συνισώσες που απέµειναν. 4. Πηγαίνουµε σο βήµα. s ( ) T ( u ( ) ) () Με δεδοµένο λοιπόν ο διάνυσµα ιµών ( L ) υπάρχει µοναδικό διάνυσµα ζήησης χώρου s που ανισοιχούν σις που θέουν οι L cche θα... για κάθε µια από ις L cche ο οποίο θα µεγισοποιεί ανίσοιχα ο καθαρό κέρδος ους. 5.4 Πωληής (L cche) Έσω ( K K ) S ο διάνυσµα ιµών που θέουν οι () L cche εκός ης -ιοσής. Η συνάρηση συνολικής ζήησης χώρου y από ον δίσκο ης L cche µε δεδοµένο και σαθερό ο διάνυσµα ιµών µπορεί να γραφεί y () ( ) και από ην σχέση (5.4) να πάρει ην έκφραση y () () ( ) ( ) A A ( ) (5.5) Πρόαση 5.4. Υπάρχει µια µοναδική ιµή χρέωσης έσω ώσε y ( ) C για κάθε K και για κάθε S. Απόδειξη: Η απόδειξη βρίσκεαι σο Παράρηµα. Η Πρόαση 5.4 δείχνει όι υπάρχει µια µοναδική ιµή ην οποία αν θέσει η L cche θα προκαλέσει ζήηση χώρου ίση µε ην χωρηικόηα ης C. 6

62 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Το κέρδος ης L cche µε δεδοµένο και σαθερό διάνυσµα ιµών ( ) y ( ) είναι y C π ( ) (5.6) C y ( ) > C καθώς όαν η συνολική ζήηση χώρου είναι µικρόερη ή ίση από ην χωρηικόηα ης όε παρέχει ο χώρο που ης ζηήθηκε και έχει κέρδος π ( ) y ( ) ενώ όαν ης ζηούν χώρο περισσόερο από όσο έχει όε παρέχει όλο ο χώρο που καέχει και ο κέρδος ης είναι ( ) C Πρόαση 5.5. Η συνάρηση κέρδους ( ) π. π ης L cche παίρνει ην µέγιση ιµή ης σο για κάθε K και για κάθε S. Απόδειξη: Η απόδειξη βρίσκεαι σο Παράρηµα. ηλαδή µε άλλα λόγια η L cche επιυγχάνει ο µέγισο κέρδος ης όαν θέσει ιµή ιµή από ην οποία θα προκύψει ζήηση χώρου που θα εξανλήσει ο διαθέσιµο αποθηκευικό χώρο ης C. Θεώρηµα 5.. Το παίγνιο ων L cche έχει µοναδική ισορροπία Nsh ο διάνυσµα ( ) ( ) S K ο οποίο είναι εφικό. Απόδειξη: Από ην Πρόαση 5.5 για ην L cche ισχύει π ( ) π ( ) για κάθε S και για κάθε S. Όµως ο S οπόε π ( ) π ( ). Άρα ο διάνυσµα ιµών ( K ) ισορροπία Nsh για ο παίγνιο. Για ις συνισώσες επίσης: αποελεί µια ου διανύσµαος ισχύουν ) Κάθε µια αποελεί µοναδική ιµή µέσω ης οποίας µεγισοποιείαι η συνάρηση κέρδους ης ανίσοιχης L cche ο οποίο σηµαίνει όι η παραπάνω αποδειχθείσα ισορροπία Nsh είναι µοναδική. ) Κάθε µια αποελεί ιµή η οποία αν εθεί από ην ανίσοιχη L cche θα προκαλέσει συνολική ζήηση χώρου ίση µε η χωρηικόηα ης και όχι πάνω από 6

63 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 6 αυή οπόε ο περιορισµός ης (5.6) () C ικανοποιείαι και ο διάνυσµα είναι εφικό. Αυό που µένει ώρα είναι να βρεθεί ο διάνυσµα ιµών K. Από ην Πρόαση 5.4 και η σχέση (5.5) α πρέπει να ικανοποιούν ις () () C A A K (5.7) όπου. και () C A. Θέονας για κάθε K () A K οι παραπάνω εξισώσεις (5.7) παίρνουν η µορφή C K K. ηµιουργώνας α αθροίσµαα l l C K K l K προκύπει η σχέση l l C K K. Με ον αρχικό συµβολισµό είναι () () l l l l C A A και ελικά () l l l l C C A (5.8) Ορίζονας η συνάρηση () l l l l C C A f l K µε > K µε διαπισώνουµε όι αυή είναι γνησίως φθίνουσα καθώς () < A f l l l l. Οπόε για κάθε l K υπάρχει µοναδικό l έσι ώσε f l.

64 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Η εύρεση ου θα γίνει µε ην εφαρµογή ενός διχοοµικού αλγόριθµου. Συγκεκριµένα θεωρείαι µια ελάχιση διαφορά ιµών και µια µέγιση ην αναζηούµενη διαφορά ιµών να βρίσκεαι σο διάσηµα ( ). µε Ως µπορεί να επιλεγεί ο µηδέν παραηρώνας όι όε η συνάρηση f γίνεαι συν άπειρο. Ως θα πρέπει να επιλεγεί µια ιµή η οποία θα κάνει ην συνάρηση f αρνηική. Μια έοια ιµή µπορεί να βρεθεί πειραµαικά (αυξάνονας σαδιακά ην ιµή µέχρι να γίνει µικρόερη από ο άθροισµα ων χωρηικοήων που βρίσκοναι σο δεξί µέλος ης 5.8). Έχονας υπολογίσει λοιπόν και ο η εφαρµογή ης διχοοµικής µεθόδου για ον υπολογισµό ης ιµής µε ην οποία η συνάρηση f θα µηδενισεί µπορεί να γίνει άµεσα. Ακολουθεί ο διχοοµικός αλγόριθµος: low h ; / ( ) f / > ; / ( ) f / < whle () { low h d ; } f ( } h low < ε f ( d) ) { result d; et; f f ( d ) > else low d; h d; Η σαθερά ε είναι ένας αρκεά µικρός θεικός πραγµαικός αριθµός ο οποίος χρησιµοποιείαι ως κριήριο ερµαισµού ου επαναληπικού αλγόριθµου. 63

65 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Η εφαρµογή ου πιο πάνω αλγόριθµου για κάθε ( ) l K θα δώσει ο διάνυσµα K. Και καθώς για κάθε l... είναι l και υπολογίζεαι ο µοναδικό διάνυσµα ιµών ( K ) l που θα µεγισοποιεί αυόχρονα ις συναρήσεις ωφέλειας ων L cche και είναι (όπως αποδείχθηκε παραπάνω) η ισορροπία Nsh ου παιγνίου ων L cche. 64

66 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 6 Αριθµηική Επίλυση Σε αυό ο κεφάλαιο γίνεαι η µελέη ορισµένων επιλεγµένων χαρακηρισικών ης δοµής ων L cche L cche που εξεάσηκε σε αυή ην εργασία και ο ρόλος που έχουν ση διαµόρφωση άλλων χαρακηρισικών ης δοµής. όθηκε έµφαση σε χαρακηρισικά όπως α έσοδα ων L cche ή ο όφελος που απολαµβάνουν οι L cche (δηλαδή ο καθαρό όφελος). Χωρηικόηα L cche C Συνολική χωρηικόηα ανικειµένων αναφερόµενα από ην L cche ( O ) Παράγονας δηµοικόηας Zf ( ) Χρόνος εξυπηρέησης από ( ι ) L cche ( l ) Χρόνος εξυπηρέησης από ( ) L cche Χρόνος εξυπηρέησης από ( ) L cche r Χρόνος εξυπηρέησης από L cche 3 r Χρόνος εξυπηρέησης από ( ) πηγαίο διακοµισή r 3 os L Cche L Cche L Cche 3 GB GB GB 5GB 5GB 5GB s 5s 5s s s s 3s 3s 3s 6s 6s 6s s s s Χωρηικόηα L cche C L Cche L Cche L Cche 3 GB GB GB Πίνακας 6.. Χαρακηρισικά ου µονέλου ου παραδείγµαος Η µελέη γίνεαι µε η βοήθεια ενός µονέλου µε ρεις L cche και ρεις L cche α χαρακηρισικά ων οποίων παρουσιάζοναι σον Πίνακα 6.. Οι παράµεροι 65

67 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg που παρουσιάζει ο Πίνακας 6. περιγράφουν µια βασική ρύθµιση η οποία είναι συµµερική. ηλαδή α χαρακηρισικά ων ριών L cche είναι ίδια όπως επίσης και αυά ων ριών L cche. Η εισαγωγή κάποιας διαφορεικόηας µεαξύ ων L cche ή (και) ων L cche θα δώσει η δυναόηα σύγκρισης ου βαθµού ης επίδρασης κάποιων χαρακηρισικών ου εξεαζόµενου µονέλου σε άλλα χαρακηρισικά ου µονέλου. Πριν ακόµη εισαχθεί η παραπάνω αναφερόµενη διαφορεικόηα που θα βοηθήσει ση σύγκριση µπορεί κάποιος να δει ο Σχήµα 6. σο οποίο φαίνεαι η σχέση µεαξύ ης χωρηικόηας ων L cche και ων ιµών που αυές θέουν. Όλες οι παράµεροι έχουν ις ιµές ου Πίνακα και η αύξηση ων χωρηικοήων και ων ριών L cche γίνεαι αυόχρονα. Η βασική παραήρηση είναι όι οι ιµές που θέουν µειώνοναι όσο η χωρηικόηα ους αυξάνεαι. Αυή η µείωση ων ιµών δεν προκαλεί µείωση ων εσόδων ους όπως θα φανεί παρακάω. 7 6 L cche L cche L cche 3 5 Τεθείσα ιµή Χωρηικόηα κάθε L cche (GB) Σχήµα 6.. Τεθείσα ιµή από ις L cche Με βάση ις παραµέρους ου Πίνακα 6. ορίζεαι ένα σύνολο σεναρίων µε µεαβολή κάποιων από ις παραµέρους. Σα παρακάω όπου υπάρχει µεαβολή ης χωρηικόηας µιας L cche θεωρούµε όι οι χωρηικόηες ων άλλων δύο L cche παραµένουν σαθερές σην αρχική ιµή ους εκός εάν διαφορεικά αναφέρεαι. 66

68 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 6. Σενάριο (Μεαβολή ης χωρηικόηας ων L cche) Για να διαφανεί η επίδραση ης χωρηικόηας που διαθέει κάθε L cche ( C ) σο χώρο που θα αποκήσει από κάθε µια L cche ( ) καθώς και σην προκύπουσα ωφέλεια ανί ου διανύσµαος ( C C3) ( GBGB GB) χρησιµοποιείαι ο διάνυσµα ( C C C ) ( GB GB 3GB). 3 C Σο Σχήµα 6. φαίνοναι α έσοδα για ην L cche. Μπορεί να παραηρηθεί όι α έσοδα ης L cche αυξάνοναι όσο αυξάνεαι κι η χωρηικόηα ης. 6 4 Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.. Έσοδα ης L cche 6 4 Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.3. Έσοδα ης L cche 67

69 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 6 4 Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.4. Έσοδα ης L cche 3 Τα έσοδα ων L cche και L cche 3 φαίνοναι σο Σχήµα 6.3 και σο Σχήµα 6.4 ανίσοιχα µε α ίδια συµπεράσµαα. Σα Σχήµα 6.5 Σχήµα 6.6 και Σχήµα 6.7 φαίνεαι η Κοινωνική Ευηµερία (Socl Welfre) που επιυγχάνεαι σο εξεαζόµενο σύσηµα ανάλογα µε ο ποια L cche µεαβάλλει η χωρηικόηα ης. Ως Κοινωνική Ευηµερία ορίζεαι ο άθροισµα ων καθαρών ωφελειών ων αγορασών (L cche) ου συσήµαος δηλαδή SW () () ( ) u () Οι αρνηικές ιµές που απεικονίζοναι οφείλοναι σο όι οι συναρήσεις ωφέλειας ων αγορασών έχουν ορισεί ως ο αρνηικό ου ανίσοιχου χρόνου εξυπηρέησης. Από η κλίση ης καµπύλης µπορεί να παραηρηθεί η επίευξη ικανοποιηικής Κοινωνικής Ευηµερίας. 68

70 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg -3 Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.5. Κοινωνική Ευηµερία -3 Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.6. Κοινωνική Ευηµερία 69

71 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg -3 Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.7. Κοινωνική Ευηµερία Σο Σχήµα 6.8 φαίνεαι η χωρηικόηα που εκχωρείαι σε κάθε µια από ις ρεις L cche όαν η χωρηικόηα ης L cche µεαβάλλεαι. Σύµφωνα µε α αποελέσµαα η L cche παίρνει περισσόερη χωρηικόηα από ην L cche η οποία παίρνει περισσόερη χωρηικόηα από ην L cche 3. Το συγκεκριµένο αποέλεσµα οφείλεαι σο όι καθώς C < C < C3 η L cche έχει περισσόερη ανάγκη για χωρηικόηα από ην L cche η οποία έχει περισσόερη ανάγκη από ην L cche 3 γεγονός που εκµεαλλεύεαι η L cche ώσε να µεγισοποιήσει α κέρδη ης. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.8. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche 7

72 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Παρόµοια εκχώρηση χωρηικόηας σις L cche παραηρείαι σο Σχήµα 6.9 (µεαβολή χωρηικόηας ης L cche ) και σο Σχήµα 6. (µεαβολή χωρηικόηας ης L cche 3). Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.9. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche 7

73 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 6. Σενάριο (Μεαβολή ης συνολικής χωρηικόηας ανικειµένων αναφερόµενα από ις L cche) Εκός από ο σενάριο σο οποίο οι L cche διαφέρουν ση χωρηικόηα που διαθέουν ( C ) µελεάαι και ο σενάριο σο οποίο διαφέρουν σο συνολικό χώρο ων ανικειµένων σα οποία αναφέροναι ( O ). Συγκεκριµένα οι χωρηικόηες C ίθεναι σις αρχικές ους ιµές δηλαδή ( C C C ) ( GBGB GB) ενώ για o 3 συνολικό χώρο ων ανικειµένων χρησιµοποιείαι ο διάνυσµα ( O O ) ( 5GB5GB 75GB) O. 3 Σο Σχήµα 6. φαίνοναι α έσοδα για ην L cche. Όπως και για ο προηγούµενο σενάριο (διαφορεικές χωρηικόηες ων L cche) παραηρείαι όι α έσοδα ης L cche αυξάνοναι όσο αυξάνεαι κι η χωρηικόηα ης. Επίσης µπορεί να παραηρηθεί όι α έσοδα ης L cche σε αυό ο σενάριο είναι αυξηµένα σε σχέση µε ο προηγούµενο. Αυό είναι αναµενόµενο επειδή οι L cche έχουν (συνολικά) αυξηµένες ανάγκες για αποθηκευικό χώρο καθώς έχουν µικρόερη χωρηικόηα (διάνυσµα χωρηικοήων ( C C C3) ( GBGB GB) σχέση µε ο σενάριο (διάνυσµα χωρηικοήων ( C C ) ( GB GB 3GB) 3 ) εδώ σε C ) Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.. Έσοδα ης L cche Τα έσοδα ων L cche και L cche 3 φαίνοναι σο Σχήµα 6. και σο Σχήµα 6.3 ανίσοιχα µε α ίδια συµπεράσµαα. 7

74 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.. Έσοδα ης L cche Έσοδα L cche Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.3. Έσοδα ης L cche 3 Σα Σχήµα 6.4 Σχήµα 6.5 και Σχήµα 6.6 φαίνεαι η Κοινωνική Ευηµερία (Socl Welfre) που επιυγχάνεαι ανάλογα µε ο ποια L cche µεαβάλλει η χωρηικόηα ης. Από η κλίση ης καµπύλης µπορεί να παραηρηθεί η επίευξη ικανοποιηικής Κοινωνικής Ευηµερίας. 73

75 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg - - Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.4. Κοινωνική Ευηµερία - - Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.5. Κοινωνική Ευηµερία 74

76 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg - - Κοινωνική Ευηµερία (καθυσέρηση -s) Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.6. Κοινωνική Ευηµερία Σο Σχήµα 6.7 φαίνεαι η χωρηικόηα που εκχωρείαι σε κάθε µια από ις ρεις L cche όαν η χωρηικόηα ης L cche µεαβάλλεαι. Σύµφωνα µε α αποελέσµαα η L cche παίρνει περισσόερη χωρηικόηα από ην L cche η οποία παίρνει περισσόερη χωρηικόηα από ην L cche 3. Το συγκεκριµένο αποέλεσµα οφείλεαι σο όι O < O < O3. Όσο πιο µεγάλος είναι ο χώρος ων ανικειµένων σα οποία αναφέρεαι µια L cche όσο µικρόερη ωφέλεια ης προσφέρει ένα συγκεκριµένο ποσό χωρηικόηας. Έσι είναι πιο αποελεσµαικό να εκχωρείαι περισσόερη χωρηικόηα σις L cche που έχουν µικρόερο χώρο αναφερόµενων ανικειµένων. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.7. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche 75

77 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Παρόµοια εκχώρηση χωρηικόηας σις L cche παραηρείαι σο Σχήµα 6.8 (µεαβολή χωρηικόηας ης L cche ) και σο Σχήµα 6.9 (µεαβολή χωρηικόηας ης L cche 3). Εκχώρηση Χωρηικόηας σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche (GB) Σχήµα 6.8. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche Εκχώρηση Χωρηικόηας σις L cches L cche L cche L cche Χωρηικόηα L cche 3 (GB) Σχήµα 6.9. Εκχωρηµένη Χωρηικόηα σις L cche 76

78 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 6.3 Σενάριο 3 (Μεαβολή ης διαφοράς ου χρόνου εξυπηρέησης από ις L cche) Καά η διαδικασία ανάπυξης ης εργασίας (δες Κεφάλαιο 5) έγινε φανερό όι ο χρόνος εξυπηρέησης και συγκεκριµένα η διαφορά ου χρόνου εξυπηρέησης από δύο διαδοχικές L cche παίζει σηµανικό ρόλο ση διαµόρφωση συγκεκριµένων χαρακηρισικών ου εξεαζόµενου µονέλου. Σο Σχήµα 6. φαίνεαι η µεαβολή που υφίσααι η ιµή που θέει κάθε L cche καθώς η διαφορά ου χρόνου εξυπηρέησης ( ) από ις L cche και r r L cche αυξάνεαι. Η ιµή που έθηκε για ην διαφορά είναι αυή ου r r 3 βασικού µονέλου ου Πίνακα 6. δηλαδή 3 s. Η παράµερος που είχε αλλάξει σο προηγούµενο µονέλο έχει εθεί σην αρχική ιµή ης. Σο Σχήµα 6. µπορούν να παραηρηθούν α εξής: ) Η ιµή που θέει η L cche αυξάνεαι όσο αυξάνεαι η διαφορά ου χρόνου και ) η ιµή που θέει η L cche µειώνεαι όσο αυξάνεαι η διαφορά ου χρόνου παρασύρονας ση φθίνουσα αυή πορεία και ην ιµή που θέει η L cche Τεθείσα ιµή L cche L cche L cche ιαφορά χρόνου ης-ης L cche Σχήµα 6.. Τεθείσα ιµή από ις L cche Αναλόγως σο Σχήµα 6. φαίνεαι η µεαβολή που υφίσααι η ιµή που θέει κάθε L cche καθώς η διαφορά ου χρόνου εξυπηρέησης από ις L r r 3 77

79 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg cche 3 και L cche αυξάνει. Η ιµή που έθηκε για ην διαφορά είναι r r αυή ου βασικού µονέλου ου Πίνακα 6. δηλαδή 3 s. Μπορούν να παραηρηθούν α εξής: ) Η ιµή που θέει η L cche όπως και η ιµή που θέει η L cche αυξάνοναι όσο αυξάνεαι η διαφορά ου χρόνου και ) η ιµή που θέει η L cche 3 µειώνεαι όσο αυξάνεαι η διαφορά ου χρόνου Τεθείσα ιµή L cche L cche L cche ιαφορά χρόνου ης-3ης L cche Σχήµα 6.. Τεθείσα ιµή από ις L cche 78

80 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 7 Συµπεράσµαα Σην εργασία αυή προάθηκε ένα Οικονοµικό σχήµα για η διαχείριση ης υπηρεσίας cchg σε µια ιεραρχία. Σα πλαίσια ης µελέης προάθηκε ένα µονέλο βασισµένο σε Οικονοµικές και Παιγνιοθεωρηικές αρχές βάσει ου οποίου ορίσηκαν οι συµπεριφορές που διέπουν ις εµπλεκόµενες ονόηες. Σύµφωνα µε ο µονέλο αυό οι L cche µε σκοπό ην επέκαση ης χωρηικόηας ους µπορούσαν να αγοράσουν επιπλέον χωρηικόηα από ις L cche. Σε ανίθεση µε ο υπικό ιεραρχικό µονέλο cchg σο οποίο η χωρηικόηα µιας cche διαίθεαι προς κοινή χρήση σο προεινόµενο µονέλο οι αποθηκευικοί χώροι ων L cche χωρίζοναι σε διακριά µήµαα που χρησιµοποιούναι αποκλεισικά από κάθε L cche. Για να αποφευχθούν προβλήµαα µονοπώλησης ης χωρηικόηας από "επιθεικές" L cche ορίσηκε µια Ολιγοπωλιακή αγορά µε χρέωση χωρίς διάκριση (οµοιόµορφη χρέωση) και οικονοµικό αγαθό ον αποθηκευικό χώρο. Κάθε L cche έθεε µια ιµή ανά µονάδα χωρηικόηας ην ίδια για κάθε µια L cche. Οι L cche αναγωνίζοναν µέσω ων ιµών που έθεαν για ην προσέλκυση πελαών (L cche). Με η βοήθεια ης Θεωρίας Παιγνίων ο αναγωνισικό ως προς ις ιµές Ολιγοπωλιακό µονέλο ανιµεωπίσηκε ως µη συνεργαικό παίγνιο και αποδείχθηκε η ύπαρξη Ισορροπίας Nsh ου παιγνίου. Ο προσδιορισµός ου βέλισου διανύσµαος ιµών χρέωσης ανά µονάδα αποθηκευικού χώρου που έθεαν οι L cche έγινε µε η χρήση διχοοµικού αλγόριθµου. Ο προσδιορισµός ων διανυσµάων εκχώρησης χωρηικόηας σις L cche έγινε µε χρήση αρχών ης Θεωρίας Βελισοποίησης και δόθηκε η αναλυική έκφραση αυών. Η µελέη ων αποελεσµάων µέσω συγκεκριµένων αριθµηικών παραδειγµάων έδειξε όι σε κάθε περίπωση ο σχήµα που εξεάσθηκε µπορεί να χαρακηρισεί "δίκαιο" καθώς ακόµη και όαν οι χωρηικόηες ων L cche ήαν σχεικά µικρές όλες οι L cche λάµβαναν µη µηδενική χωρηικόηα. Καθώς οι αποθηκευικοί χώροι ων L cche αυξάνοναν η εκχώρηση χωρηικοήων γίνοναν µε βάση ις ανάγκες για χωρηικόηα κάθε µιας L cche. Αυή µε ον µικρόερο 79

81 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg αποθηκευικό χώρο λάµβανε και περισσόερη χωρηικόηα γεγονός που οι L cche εκµεαλλεύοναν για µεγισοποίηση ων κερδών ους. Επίσης βρέθηκε η σχέση µεαξύ διαφόρων χαρακηρισικών ης δοµής. Το όι η εκχώρηση όλης ης χωρηικόηας µιας L cche είναι απαραίηη για ην µεγισοποίηση ων κερδών ης ήαν γνωσό από ην επίλυση ου προβλήµαος ΠΩΛΗΤΗΣ. Η χρήση ων αριθµηικών παραδειγµάων ο επιβεβαίωσε και έδειξε όι η αύξηση ης χωρηικόηας ων L cche είχε σαν αποέλεσµα η µείωση ων ιµών που έθεαν αλλά και ην αύξηση ων κερδών που είχαν. Ως εκ ούου οι L cche έχουν κίνηρο να επενδύσουν σε χωρηικόηα ώσε να αυξήσουν α κέρδη ους. Ένα ακόµη άξιο να αναφερθεί συµπέρασµα είναι η επίδραση ου χρόνου εξυπηρέησης σην εθείσα ιµή. Συγκεκριµένα η αύξηση ή η µείωση ης διαφοράς ου χρόνου εξυπηρέησης από δύο διαδοχικές L cche είναι καθορισικός παράγονας ση διαµόρφωση ων βέλισων ιµών που αυές θέουν. Παραηρήθηκε όι όαν ο χρόνος εξυπηρέησης από µια L cche αυξάνεαι η ιµή που αυή η cche ανακοινώνει µειώνεαι. Κλείνονας πρέπει να αναφέρουµε ην ανάδειξη ης Θεωρίας Παιγνίων ως βασικό εργαλείο για ην µονελοποίηση προβληµάων αναλόγων µε αυό που εξεάσηκε σην παρούσα εργασία. 8

82 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg 8 Αναφορές [] Γ. Αλυφανής " ιαχείριση Πόρων σε Συσήµαα Κινηών Επικοινωνιών και Καανεµηµένα Υπολογισικά Συσήµαα" ιδακορική ιαριβή Αθήνα 8 [] Χ. Αλιπράνης S. Chrbt "Παίγνια και Λήψη Αποφάσεων" Ε.Μ.Ε. 4 [3] D.P. Bertses "Noler Progrg" Belot MA Athe Scetfc 995 [4] L. Breslu P. Co L. F G. Phlls S. Sheer "Web Cchg d Zf-le Dstrbutos: Edece d Ilctos" Proc. IEEE INFOCOM 999 [5] S.C. Chr d R.P. Cle "Nuercl Methods for Egeers" McGrw-Hll 989 [6] C. Courcoubets d R. Weber "Prcg Telecoucto Networs" Wley 3 [7] F. Cowell " Mcroecoocs: Prcles d Alyss" Oford 6 [8] Ö. Erçet d L. Tssuls "Mret-Bsed Resource Allocto for Cotet Delery the Iteret" IEEE Trsctos o Couters 5() σελ [9] J. Fegebu C.Pdtrou d S.Sheer "Shrg the Cost of Multcst Trsssos" Proceedgs of the 3d Aul ACM Syosu o Theory of Coutg (STOC) My [] D. Fudeberg d J. Trole "Ge Theory" MIT Press Cbrdge (MA) 99 [] S. Hdefthydes Y. Georgds d L. Meros "A Ge Theoretc Aroch to Web Cchg" Proc. 3rd Itertol IFIP-TC6 Networg Coferece Athes Greece 4 [] S.P. Hrgrees He Y. Vroufs "Ge Theory: A Crtcl Itroducto" Routledge 995 [3] L. Kdller "Prcles of Mthetcs Oertos Reserch" Srger 7 [4] P. Kostty d M. Kozρs "Web Cche chrgg olces" osto er NLANR Web Cchg Worsho Boulder USA 997 8

83 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg [5] Y.A. Korls A.A. Lzr d A. Ord "Archtectg Nocooerte Networs" IEEE JSAC Vol. 3 No [6] A. Lzr A. Ord d D. Pedrs "Vrtul Pth Bdwdth Allocto Multuser Networs" IEEE/ACM Trsctos o Networg Volue 5 Issue 6 Deceber 997 σελ [7] N. Loutrs G. Srgds A. Bestros I. Strs "Mstretet Dstrbuted Cchg Grous: Cuses d Ilctos" Proc. IEEE INFOCOM 6 Brcelo S [8] D.G. Lueberger "Ler d Noler Progrg" Addso Wesley 984 [9] A.B. McKeze d S.B.Wcer "Ge Theory d the Desg of Self- Cofgurg Adte Wreless Networs" IEEE Couctos Mgze Noeber [] M.J. Osbore d A. Rubste "A course ge theory" MIT Press 994 [] M. Rboch d O. Stschec "Web Cchg d Relcto" Addso Wesley [] J.B. Rose "Estece d Uqueess of Equlbru Pots for Coce N- Perso Ges" Ecooetrc Vol.33 No [3] S.J. Sheer "Mg Greed Wor Networs: A Ge Theoretc Alyss of Swtch Serce Dscles" IEEE/ACM Trsctos o Networg Vol.3 No.6 Deceber 995 [4] J. Trole "The Theory of Idustrl Orgzto" MIT Press 998 [5] H.R. Vr "Mcroecooc Alyss" W.W. Norto 99 8

84 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 83 9 Παράρηµα: Αποδείξεις Πρόαση 5.. Ο αναµενόµενος χρόνος εξυπηρέησης { } E που δίνεαι από ην (5.) παίρνει η µορφή: { } () () () () () () () () () () () () E Απόδειξη: Ο αναµενόµενος χρόνος εξυπηρέησης { } E που δίνεαι από ην (5.) γράφεαι: { } () () () () () () () () () () E () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Βγάζονας ον όρο µε ου δεύερου αθροίσµαος εκός ης παρένθεσης και παραηρώνας όι αυό ο δεύερο άθροισµα µπορεί να επεκαθεί και για (επειδή όαν ) παίρνουµε { } () () () () () () () E () () () () () () () () () () () ()

85 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 84 () () () () () () () () () () () () Πρόαση 5.. Η πραγµαική συνάρηση g µε > και < < είναι γνησίως κοίλη. Απόδειξη: Είναι g και < g. Πρόαση 5.3. Η συνάρηση () () O C g û... είναι γνησίως κοίλη. Απόδειξη: Για κάθε y και για κάθε < < h έχουµε: () () O hy h C g h h û y () () O y C h O C h g () () > O y C hg O C g h

86 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 85 () () () () O y C g h O C g h y û h û h Η ανισόηα σο ρίο βήµα προκύπει από ην γνήσια κοιλόηα ης συνάρησης () g και ο γεγονός όι όλοι οι άλλοι συνελεσές που υπάρχουν είναι θεικές ποσόηες. Θεώρηµα 5.. Η συνάρηση καθαρού οφέλους ης L cche T T B û u b... είναι γνησίως κοίλη. Απόδειξη: Με δεδοµένη ην κοιλόηα ης û προκύπει άµεσα η γνήσια κοιλόηα ης συνάρησης καθαρού οφέλους T T B û u b ως άθροισµα µιας κοίλης µιας σαθερής και µιας γραµµικής συνάρησης. Πράγµαι για κάθε y και για κάθε < < h έχουµε: y y y h h B h h û h h b T y y T T h h B h û û h > y y T T h h B h û û h y y T T h h B h B h h û û h y b h b h

87 Φωκαΐδης Παναγιώης Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Αρχιεκονικών Web Cchg Πρόαση 5.4. Υπάρχει µια µοναδική ιµή χρέωσης έσω ώσε y ( ) C για κάθε K και για κάθε S. Απόδειξη: Η συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρηση y ( ) γνησίως φθίνουσα. Πράγµαι y... είναι ( ) () () ( ) A A ( ) A < () () ( ) A ( ) Το ζηούµενο ης Πρόασης είναι άµεση συνέπεια ης γνήσιας µονοονίας ης y ( ). Πρόαση 5.5. Η συνάρηση κέρδους ( ) ιµή ης σο Απόδειξη: ( ) για κάθε π ης L cche παίρνει ην µέγιση K και για κάθε S. Θα ξεκινήσουµε εξεάζονας ην µονοονία ης συνάρησης κέρδους π ης L cche. Όαν < και µε δεδοµένο όι η συνάρηση y ( ) y > y C φθίνουσα έχουµε ( ) ( ) δίνεαι από ην π και π ( ) C ( ) C > δηλαδή η ( ) Όαν π είναι γνησίως αύξουσα για είναι γνησίως οπόε η συνάρηση κέρδους <. > και µε δεδοµένο όι η συνάρηση y ( ) y < y C φθίνουσα έχουµε ( ) ( ) δίνεαι από ην είναι γνησίως οπόε η συνάρηση κέρδους 86

88 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 87 () () A A y π και y y π () () () () A A A A () () () () A A A A () () A A όµως > για κάθε... () () () > s s C O για κάθε... οπόε > > επίσης > < < άρα < < >

89 Παιγνιοθεωρηική Μελέη Πολυεπίπεδων Φωκαΐδης Παναγιώης Αρχιεκονικών Web Cchg 88 και > οπόε () () < A A π δηλαδή η π είναι γνησίως φθίνουσα για >. Από ην παραπάνω µελέη µονοονίας ης συνάρησης κέρδους π ης L cche και παραηρώνας όι αυή είναι µια συνεχής συνάρηση προκύπει όι η π παίρνει ην µέγιση ιµή ης σο....