Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Simple Linear Regression)"

Transcript

1 Ενότητα 5: Απλή Γραµµική Παλινδρόµηη mple Lear Regresso Κύριο πρόβληµα αυτή την νότητα αποτλί η διρύνηη της χέης µταξύ δυο scaled µταβλητών Χ, Υ π.χ. Χ: ηλικία και : πίη αίµατος. Το γνικό πρόβληµα πριγράφται ως ξής: από έναν θωρητικά άπιρο πληθυµό λαµβάνουµ ένα δίγµα µγέθους και για κάθ άτοµο του δίγµατος καταγράφουµ τις τιµές δύο µταβλητών Χ, Υ. Μ βάη λοιπόν τα ζύγη τι- µών Χ,Υ,,Υ,,,Υ του δίγµατος π.χ. Χ : Ηλικία έτη -ατόµου, : Πίη αίµατος - ατόµου πιθυµούµ να διρυνήουµ τη χέη µταξύ των µταβλητών,. Επιπλέον θωρούµ ότι Η µταβλητή η οποία καλίται ανξάρτητη depedet ή ρµηνυτική µταβλητή explaatory varale δν θωρίται τυχαία, νώ Η µταβλητή η οποία καλίται ξαρτηµένη depedet ή µταβλητή απόκριης respose varale θωρίται τυχαία µταβλητή. Παράδιγµα. Από γυναίκς λαµβάνουµ τις ακόλουθς τιµές της πίης του αίµατος και της αντίτοιχης ηλικίας έτη: Ηλικία Χ Πίη αίµατος Υ δώ Χ,Υ 36, 8, Χ,Υ 38, 5, κ.ο.κ. Ειάγουµ τα δδοµένα το P δύο µταβλητές τήλς µ cases γραµµές. Ονοµάζουµ τις µταβλητές ge ή Χ και Pressure ή Υ. Το πρώτο πράγµα που µπορούµ να κάνουµ ίναι να δούµ τη «χέη» των υγκκριµένων µταβλητών το πίπδο: Εκτλούµ Graphs/ catterplot / mple/ xs: Pressure, xs: ge λαµβάνοντας το ακόλουθο γράφηµα PREURE GE Παρατηρούµ ότι όο αυξάνται η ge τόο αυξάνται και η Υ Pressure. Μάλιτα φαίνται ότι τα ηµία, βρίκονται «κοντά» µία υθία, π.χ. την y x, δηλαδή Υ,,,, για κάποις ταθρές,. Οι αποκλίις Υ,,,, των ηµίων, από την υθία αυτή φαίνονται τυχαίς. Αν ονοµάουµ,,,, τις διαφορές αυτές τότ προκύπτι φυιολογικά το γνωτό ως απλό γραµµικό µοντέλο που θα πριγράψουµ τη υνέχια. Επανρχόµνοι την γνικότρη πρίπτωη, πιθυµούµ να διρυνήουµ τη χέη µταξύ των µταβλητών Χ, Υ. Θωρούµ το απλούτρο µοντέλο που θα µπορού να ρµηνύι µια τέτοια χέη και που όπως ίδαµ προέκυψ φυιολογικά το προηγούµνο παράδιγµα, το απλό γραµµικό µοντέλο. Σύµφωνα µ το µοντέλο αυτό θωρούµ ότι τα, υνδέονται µ τη χέη,,,, Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 5 όπου, ίναι δυο άγνωτς ταθρές καλούνται και τταγµένη ή tercept και κλίη ή slope αντίτοιχα, νώ οι,,, ίναι ανξάρτητς τυχαίς µταβλητές που ακολουθούν κανονική κατα-

2 Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 53 νοµή Ν, άγνωτο και υνήθως καλούνται «φάλµατα» των µτρήων. Μπορί να θωρηθί ότι τα φάλµατα,,, µπριέχουν όλους τους άλλους παράγοντς κτός της Χ πηράζουν την τιµή της µταβλητής Υ. Υπογραµµίζται και πάλι ότι οι τιµές Χ,Χ,,Χ δν ίναι τυχαίς, αντίθτα µ τις Υ, Υ,, Υ οι οποίς προφανώς ίναι τυχαίς και µάλιτα θα ακολουθούν κανονική κατανοµή αφού ίναι γραµµικές υναρτήις των κανονικών τ.µ. µ παραµέτρους E E E, V V V για,,,, δηλαδή ~ N,. Επίης οι τ.µ. Υ,,, ίναι ανξάρτητς αφού τα φάλµατα,,, ίναι ανξάρτητα το «τυχαίο» νός οφίλται αποκλιτικά το φάλµα. Αρχικά, θα πρέπι µ βάη τα,,,,,, να κτιµήουµ τις παραµέτρους, και νώ φυικά ίναι απαραίτητο να διρυνήουµ πόο ικανοποιητικά προαρµόζονται τα δδοµένα µας το µοντέλο αυτό. 5.. Εκτίµηη των παραµέτρων, και Εφόον ~ N,, η από κοινού υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας των,,,, έτω f Υ y,y,,y ;,,, θα ξαρτάται από τις παραµέτρους, και. Μάλιτα η υνάρτηη πιθανοφάνιας των,,, θα ίναι y e y f y y y f L /,, ;,, ;,...,,,, π, από όπου προκύπτι ότι οι κτιµήτρις µέγιτης πιθανοφάνιας των παραµέτρων τιµές των παρα- µέτρων που µγιτοποιούν την υνάρτηη πιθανοφάνιας θα ίναι:,. και. Από την µορφή της υνάρτηης πιθανοφάνιας ίναι προφανές ότι οι κτιµήτρις µέγιτης πιθανοφάνιας των, προκύπτουν ιοδύναµα από την λαχιτοποίηη ως προς, του αθροίµατος των ττραγώνων των φαλµάτων,, για αυτό και οι κτιµήτρις των, καλούνται και κτιµήτρις λαχίτων ττραγώνων. Εποµένως, η κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης θα ίναι η x y. Προβλέψις των Υ predcted ή προαρµοµένς πάνω την κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης τιµές των Υ καλούνται οι κτιµήις των ΕΥ : νώ οι διαφορές των προαρµοµένων από τις παρατηρούµνς Υ καλούνται κατάλοιπα resduals ή κτιµηµένα φάλµατα και υµβολίζονται µ. Οι παραπάνω ποότητς φαίνονται και το παρακάτω χήµα,

3 y e {,, y x, {,,, x Υπογραµµίζται ότι η υθία το παραπάνω χήµα ίναι η κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρό- µηης και τα κατάλοιπα ίναι τα κτιµηµένα φάλµατα. 5.. Έλγχοι υποθέων και δ.. για τις παραµέτρους του µοντέλου. ότι και Υποθέτοντας ότι τα φάλµατα ίναι ανξάρτητα και κανονικά ~ Ν, αποδικνύται ~,, ~, N N µ Cov, ~ χ χι ττράγωνο κατανοµή µ βαθµούς λυθρίας. Εποµένως, E και ως - κτιµήτρια του χρηιµοποιούµ την αµρόληπτη αντί της κτιµήτριας µέγιτης πιθανοφάνιας που ίδαµ παραπάνω η µόνο διαφορά ίναι ότι η.µ.π. διαιρί το άθροιµα µ αντί. Από τα παραπάνω προκύπτι ότι υπό τις υποθέις του µοντέλου ~ t και ~ t και ποµένως τα παρακάτω ίναι δ.. για τα, αντίτοιχα, µ.. a: a a a a t, t, t, t νώ για τον έλγχο των υποθέων H : και H : θα έχουµ αντίτοιχς πριοχές απόρριψης δίπλυροι έλγχοι.. a: K : T t a a > και K T >, όπου : t T, T µ αντίτοιχα p-value αν από τα δδοµένα βρέθηκ ότι T t, T t p value P T > t F, p value P T > t F. t t t t Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 54

4 Από τους δύο παραπάνω λέγχους ηµαντικότρος ίναι ο έλγχος για την «κλίη» της υθίας γραµµικής παλινδρόµηης H :. Αν απορριφθί αυτή η υπόθη τότ µπορούµ να πούµ ότι η µταβλητή Υ ξαρτάται από την αντίθτα, αν τότ η υθία παλινδρόµηης ίναι παράλληλη µ τον άξονα των x και ποµένως όο και αν µταβάλλται η, δν πηράζται η Ερµηνύοντας τη υνολική µταβλητότητα του µοντέλου Η διγµατική διαπορά των παρατηρήων αποδικνύται ότι χωρίζται δύο αθροίµατα, υγκκριµένα ιχύι ότι Τα τρία αυτά αθροίµατα υµβολίζονται µ T um of quares Total, E um of quares Error και R um of quares Regresso αντίτοιχα, δηλαδή, Μπορί τώρα να θωρηθί ότι T E R. το T κφράζι τη υνολική παρατηρούµνη µταβλητότητα των Υ, το R κφράζι τη µταβλητότητα των προαρµοµένων τιµών διότι και άρα. Αυτή η µταβλητότητα ρµηνύται από το µοντέλο αφού, ύµφωνα µ αυτό, οι αναµνόµνς προαρµοµένς τιµές των ίναι και ποµένως φυιολογικά διαφέρουν από τον µέο όρο τους αφού τα ίναι διαφορτικά. Το E κφράζι τη µταβλητότητα των Υ χέη µ τις αντίτοιχς προαρµοµένς τιµές. Η µταβλητότητα αυτή οφίλται την διαπορά των φαλµάτων τα οποία όπως ίπαµ µπορί να θωρηθί ότι «πριέχουν» όλους τους άλλους παράγοντς που πηράζουν την τιµή των Υ και δν υπάρχουν το µοντέλο. Άρα τλικά παρατηρούµ ότι η υνολική παρατηρούµνη µταβλητότητα των Υ T µπορί να χωριτί τα δύο, την µταβλητότητα που ρµηνύται από το µοντέλο R και την µταβλητότητα που οφίλται παράγοντς που δν έχουν πριληφθί το µοντέλο. Συνπώς, το πηλίκο υντλτής προδιοριµού R T E R, T T µπορί να θωρηθί ότι κφράζι το ποοτό της µταβλητότητας των παρατηρήων που ρµηνύται από το µοντέλο. Είναι προφανές ότι όο µγαλύτρο πιο «κοντά» την µονάδα ίναι το R τόο καλύτρο ίναι το µοντέλο που έχουµ θωρήι διότι ρµηνύι µγαλύτρο µέρος της παρατηρούµνης µταβλητότητας. Αξίζι να παρατηρήουµ ότι E και ποµένως R T E Επίης, ο υντλτής προδιοριµού R ίναι ίος µ R R T Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 55

5 που υµπίπτι µ το ττράγωνο του διγµατικού υντλτή υχέτιης του Pearso βλ. Εφαρµογή 3 την παράγραφο.3. Είδαµ την προηγούµνη παράγραφο ότι E ~ χ Εξάλλου αν τότ / ~ N, από όπου προκύπτι ότι ~ R χ. Επίης αποδικνύται ότι οι δύο παραπάνω τυχαίς µταβλητές E, R ίναι ανξάρτητς και ποµένως αν T E R ~ χ κάτι που ήταν αναµνόµνο διότι αν τότ Υ ~ N, και αυτή την πρίπτωη γνωρίζου- µ ότι ~ χ. Ένα άλλο υµπέραµα που προκύπτι από τα παραπάνω ίναι ότι, αν, τότ το πηλίκο R / R ~ F, E / E / ακολουθί κατανοµή F ή edecor µ και β.. η F,k ορίζται ως η κατανοµή του πηλίκου δύο ανξάρτητων τυχαίων µταβλητών που ακολουθούν χι-ττράγωνο κατανοµή µ και k β.. α- ντίτοιχα, δια τους β.. τους. Από το παραπάνω γγονός µπορούµ να κατακυάουµ έναν έλγχο για την υπόθη Η :. Θα απορρίπτται η Η όταν η παραπάνω τατιτική υνάρτηη λαµβάνι µγάλς τιµές, δηλαδή.. α όταν R > F, a : άνω a-ηµίο της κατανοµής F µ και β.. E / µ αντίτοιχο p-value: R p value FF, E / όπου F F ίναι η.κ. της κατανοµής F,,-. Είναι ύκολο να παληθύουµ ότι ο παραπάνω έλγχος της Η : ίναι ιοδύναµος µ τον έλγχο που ίδαµ την προηγούµνη παράγραφο για την ίδια υπόθη χρηιµοποιώντας την τατιτική υνάρτηη Τ διαφορά των δύο αυτών - λέγχων υπάρχι όταν φαρµόζουµ πολλαπλό γραµµικό µοντέλο. Όλς οι παραπάνω ποότητς υνοψίζονται έναν πίνακα που ίναι γνωτός ως πίνακας ανάλυης διαποράς NOV: Model df M F g. p-value. Regresso R MR R MR ME FF MR, ME Resduals E E ME Total T Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 56

6 5.4. Ατοµική και µέη πρόβλψη της Υ Αφού έχουµ κτιµήι τους υντλτές, µέω των,, λαµβάνουµ µια κτίµηη της υθίας γραµµικής παλινδρόµηης: y x και µέω αυτής µπορούµ να κάνουµ πρόβλψη predcto του που αντιτοιχί οποιοδήποτ x : x. Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 57 Εδώ χρηιµοποιούµ το όρο πρόβλψη και όχι κτίµηη γιατί η που θέλουµ να «προδιορίου- µ» ίναι τυχαία µταβλητή και όχι παράµτρος δηλ. ταθρά. Προφανώς οι προβλέψις της µταβλητής Υ τα ηµία Χ,Χ,,Χ ίναι οι γνωτές προαρµοµένς τιµές των Υ ή προβλέψις των Υ,,,, Είναι φανρό ότι η πρόβλψη x ίναι µια ηµιακή πρόβλψη. Μρικές φορές όµως ίναι προτιµότρο να προβλέψουµ ένα Υ χρηιµοποιώντας όχι ένα ηµίο αλλά ένα διάτηµα. Συνήθως χρηιµοποιούµ δυο τέτοια διατήµατα: Το διάτηµα µέης πρόβλψης mea predcto terval του Υ το x, το οποίο ίναι ένα δ.. υντ. a για το E x : x x a x t, x t a διότι ίναι ύκολο να δούµ ότι x ~ N x, x, νώ τα, ίναι ανξάρτητα από το E. Από τα παραπάνω προκύπτι ότι αν πάρουµ έναν µγάλο αριθµό παρατηρήων µ Χ x τότ η µέη τιµή της µταβλητής αυτές τις παρατηρήις θα βρίκται µέα το διάτηµα µέης πρόβλψης µ.. 95%. Το διάτηµα ατοµικής πρόβλψης dvdual predcto terval του Υ το x, το οποίο ίναι ένα διάτηµα µέα το οποίο βρίκται η x µ πιθανότητα a: x x a x t, x t a διότι ίναι ύκολο να δούµ ότι x ~ N x, x. Από τα παραπάνω προκύπτι ότι αν πάρουµ µία νέα παρατήρηη µ Χ,Υ µ x τότ το Υ θα βρίκται µέα το διάτηµα ατοµικής πρόβλψης µ.. 95% Εξέταη της ορθότητας του µοντέλου. Όλα τα παραπάνω έγιναν υπό τις υποθέις του γραµµικού µοντέλου:,,,, όπου τα φάλµατα,,, ίναι ανξάρτητα και ακολουθούν κανονική κατανοµή Ν,. Είναι ηµαντικό πριν κλίουµ την ανάλυη ή καλύτρα πριν την αρχίουµ να ββαιωθούµ ότι οι παρατηρήις µας προαρµόζονται ικανοποιητικά το παραπάνω µοντέλο ώτ τα υµπράµατα που προκύπτουν να θωρούνται αξιόπιτα. Αν διαπιτώουµ ότι κάτι τέτοιο δν υµβαίνι τότ θα πρέπι να τροποποιήουµ κατάλληλα το µοντέλο. Συνήθις αποκλίις που παρατηρούνται ίναι:

7 Τα φάλµατα δν ίναι κανονικά Τα φάλµατα δν έχουν ταθρή διαπορά 3 Τα φάλµατα δν ίναι ανξάρτητα Επιδή τα φάλµατα δν ίναι γνωτά, ξτάζουµ τα παραπάνω χρηιµοποιώντας τα κατάλοιπα. Τα κατάλοιπα δν ίναι ανξάρτητα, αλλά για µγάλα δίγµατα µπορούν πρακτικά να θωρηθούν ανξάρτητα διότι η υνδιαπορά τους ίναι της τάξης του / πίης ίναι ανξάρτητα των προβλέψων των Υ. Επίης τα κατάλοιπα δν έχουν ούτ ταθρή διαπορά γιατί V p όπου p, όπου οι ποότητς p καλούνται µόχλυη leverage. Για το λόγο αυτό βαιζόµατ τα τυποποιηµένα κατάλοιπα studetzed resduals: *,,,,. E / p µρικές φορές χρηιµοποιούµ τα λγόµνα κανονικοποιηµένα κατάλοιπα stadardzed resduals τα οποία ίναι τα /. Για µγάλα λοιπόν δίγµατα µπορί να θωρηθί ότι τα κατάλοιπα έχουν την ίδια υµπριφορά µ τα φάλµατα. Για να διρυνήουµ αν το µοντέλο ίναι ωτό δν ιχύι κάποια από τις παραπάνω α- ποκλίις υνήθως προχωράµ τους παρακάτω λέγχους: Εξτάζουµ αν τα τυποποιηµένα κατάλοιπα ακολουθούν πράγµατι κανονική κατανοµή χρηι- µοποιούµ ιτόγραµµα, Q-Q ή P-P plots και K- ττ. Εξτάζουµ αν υπάρχι χέη µταξύ των προαρµοµένων Υ και των τυποποιηµένων καταλοίπων υπό τις υποθέις του γραµµικού µοντέλου ίναι ανξάρτητα, χρηιµοποιώντας το γράφηµα των ηµίων *,,,,, το πίπδο. Αν βρθί ότι υπάρχι χέη όπως π.χ. το δξιό γράφηµα παρακάτω όπου τα ηµία δν φαίνται να βρίκονται «τυχαία» το πίπδο, αντίθτα µ το αριτρό γράφηµα τότ θα πρέπι να κτλέουµ κατάλληλο µταχηµατιµό των ή των Χ ώτ να ξαλιφθί αυτή η χέη ο µταχηµατιµός αυτός δν ίναι πάντοτ ύκολο να προδιοριτί. 3 3 tudetzed Resdual tudetzed Resdual Ustadardzed Predcted Value Ustadardzed Predcted Value Εξτάζουµ αν υπάρχι χέη µταξύ των Χ και των τυποποιηµένων καταλοίπων, χρηιµοποιώντας το γράφηµα των ηµίων *,,,,, Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 58

8 το πίπδο. Αν βρθί ότι υπάρχι χέη κάτι που προκύπτι π.χ. όταν η διαπορά των φαλµάτων δν ίναι ταθρή θα πρέπι και πάλι να κτλέουµ κατάλληλο µταχηµατιµό των ή των Χ ώτ να ξαλιφθί αυτή η χέη. Αν π.χ. φαίνται ότι η διαπορά των καταλοίπων αυξάνται µ το Χ, όπως π.χ. το παρακάτω γράφηµα, 3 tudetzed Resdual τότ προχωράµ µια τχνική που ταθροποιί τη διαπορά των φαλµάτων. Μπορούµ να θωρήουµ ότι V και αντί του µοντέλου, µπορούµ να θωρήουµ το µοντέλο διαιρούµ και τα δύο µέλη µ, όπου,, όπου τώρα V. v Εξτάζουµ αν τα τυποποιηµένα κατάλοιπα ίναι ανξάρτητα από την ιρά µ την οποία πήραµ τις παρατηρήις παναλαµβάνουµ ότι υπό τις υποθέις του γραµµικού µοντέλου και για µγάλα δίγµατα θα πρέπι πρακτικά να ίναι ανξάρτητα. Για το κοπό αυτό χρηιµοποιούµ το γράφηµα των ηµίων * * *,,,,, ή το γράφηµα των,,,,,. Επίης υνήθως χρηιµοποιούµ ένα ττ ροών rus test για τα κατάλοιπα το οποία ξτάαµ προηγούµνη νότητα ή ένα ττ αυτοπαλινδρόµηης που ίναι γνωτό ως Dur Watso test. Σύµφωνα µ το ττ αυτό θωρούµ ότι ρ - u, ρ <, u ~ N, δηλαδή τα φάλµατα ακολουθούν ένα R uto Regressve µοντέλο και λέγχουµ αν Η : ρ ανξάρτητα φάλµατα έναντι της Η : ρ > θτικά ξαρτηµένα φάλµατα. Για τον έλγχο αυτό χρηιµοποιούµ την τατιτική υνάρτηη: d της οποίας η κατανοµή υπό την Η έχι µλτηθί. Απορρίπτται η Η : ρ όταν η d λαµβάνι τιµές «κοντά» το. Τα τατιτικά πακέτα υνήθως δίνουν αυτόµατα την τιµή του p-value που αντιτοιχί αυτό το ττ. v Εξτάζουµ αν υπάρχουν «έκτροπς» παρατηρήις χρηιµοποιώντας και πάλι τα γραφήµατα *,,,,, και,,,,, ακόµη και το γράφηµα των Χ,. Θωρούµ ως «αυνήθιτς» τις παρατηρήις µ studetzed resdual µγαλύτρο του και «έκτροπς» αυτές µ studetzed resdual µγαλύτρο του 3. Οι έ- κτροπς παρατηρήις ίτ προέρχονται από λάθος καταγραφή του ρυνητή οπότ λέγχται αν * Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 59

9 µια έκτροπη παρατήρηη έχι καταγραφί και πρατί τον Η/Υ ωτά ή ίναι πραγµατικές παρατηρήις υποδικνύοντας ότι το µοντέλο µας δν ίναι απόλυτα ωτό. Ιδιαίτρη προοχή θα πρέπι να δοθί τις παρατηρήις που έχουν µγάλη «πιρροή» το µοντέλο παρατηρήις που αν ληφθούν υπόψη αλλάζουν ηµαντικά την κτίµηη της υθίας γραµµικής παλινδρόµηης. Τέτοις παρατηρήις ίναι αυτές που έχουν αρκτά µακριά από τα υπόλοιπα Χ j, j ή πιο απλά έχουν αρκτά µακριά από το. Η «απόταη» αυτή υνήθως µτράται χρηιµοποιώντας µια ποότητα που έχι µφανιτί και παραπάνω, την µόχλυη leverage Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 6 p ή την λγόµνη «κντρική µόχλυη» cetered leverage που ίναι η παραπάνω ποότητα µίον το /. Επιδή V p παρατηρήις µ µγάλη µόχλυη θα δίνουν µικρό κατάλοιπο µη τυποποιηµένο. Αυτό υνηγορί το γγονός ότι πηράζουν ηµαντικά την υθία γραµµικής παλινδρόµηης αφού την «αναγκάζουν» να πράι «κοντά» τους. Αποδικνύται ότι παρατηρήις µ µγάλη µόχλυη υνήθως µ p > 3 / πηράζουν ηµαντικά το µοντέλο και ποµένως θα πρέπι ή να λαµβάνονται µ µγάλη προοχή ή να ξαιρούνται του µοντέλου. Ένας ακόµη τρόπος να ντοπίουµ έκτροπς παρατηρήις βαίζται τα λγόµνα διαγραµµένα κατάλοιπα deleted resduals * p όπου * ίναι η προαρµοµένη τιµή της Υ αν ξαιρέουµ από τα δδοµένα το ζύγος Χ,. Όλοι οι παραπάνω έλγχοι κυρίως αυτοί που βαίζονται γραφήµατα καθώς και προτάις για «διόρθωη» των όποιων αποκλίων παρατηρηθούν απαιτούν ιδιαίτρη µπιρία την α- νάλυη καταλοίπων από τον κάτοτ ρυνητή που δν ίναι δυνατό να αποκτηθί τα πλαίια νός προπτυχιακού ή ακόµη και µταπτυχιακού µαθήµατος Μταχηµατιµοί. Αρκτές φορές υµβαίνι οι µταβλητές Χ και Υ να µην έχουν γραµµική χέη, κάτι που µπορί άµα να φανί από το διάγραµµα διαποράς ή από κάποιο γράφηµα καταλοίπων. Σ αυτές τις πριπτώις δν µπορούµ να φαρµόουµ απυθίας το γραµµικό µοντέλο αλλά θα πρέπι να µταχηµατίουµ τα δδοµένα f και g έτι ώτ οι, να έχουν γραµµική χέη. Συνήθως χρηιµοποιούµ τους µταχηµατιµούς, l, /,, l, / Οριµένς χτικές πιηµάνις ίναι οι ακόλουθς: Μρικές φορές για την ύρη του κατάλληλου µταχηµατιµού λαµβάνονται υπόψη και διάφορς a-pror υποθέις. Για παράδιγµα, αν Χ ίναι η τιµή νός αγαθού και Υ ίναι η ζήτηή του, υχνά προτίνται ένας λογαριθµικός µταχηµατιµός και για τις δύο µταβλητές ώτ να πιτυχθί γραµµικότητα, διότι µ τον µταχηµατιµό αυτό, το κφράζι την ποοτιαία αλλαγή την ζήτηη για κάθ % αλλαγής την τιµή. Μταχηµατιµοί του Χ δν πηράζουν την µταβλητότητα των φαλµάτων, νώ αντίθτα µταχηµατιµοί του Υ την πηράζουν. Μρικές φορές το Υ µταχηµατίζται για αυτόν ακριβώς τον λόγο, αν τα φάλµατα φαίνται ότι δν έχουν την ίδια διαπορά. Μτά τον µταχηµατιµό ίναι χρήιµη η ξέταη της διαποράς των καταλοίπων. 3 Συνήθως προτιµούµ να µταχηµατίζουµ την µταβλητή που έχι την µγαλύτρη µταβλητότητα τις τιµές.

10 5.7. Ακήις - Παραδίγµατα Άκηη υνέχια προηγούµνου παραδίγµατος. Από γυναίκς λαµβάνουµ τις ακόλουθς τιµές της πίης του αίµατος και της αντίτοιχης ηλικίας έτη: Ηλικία Χ Πίη αίµατος Υ Να γίνι το διάγραµµα διαποράς scatterplot µταξύ των Χ, Υ. ικαιολογίται από το γράφηµα η φαρµογή νός γραµµικού µοντέλου;. Να κατακυάτ το διάγραµµα διαποράς των δδοµένων Χ,Υ µαζί µ την κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης και τις ζώνς µπιτούνης για την ατοµική και µέη πρόβλψη µ.. 95%. Ποια ίναι η φυική ρµηνία των, το χήµα; 3. Να κάντ µλέτη του µοντέλου Υ Χ. Συγκκριµένα: α Να κτιµήτ τα, η- µιακά και µ δ.. υντλτού 95%. β Να λέγξτ.. 5% αν Η :, Η :, και Η :, Η :. Η µταβλητή Υ ξαρτάται από την Χ; γ Να κατακυάτ τον πίνακα ανάλυης διαποράς ΑNOV και να κάντ τον έλγχο Η :, Η : του µοντέλου µέω του F-ττ. Ποια ίναι η κτίµηη της διαποράς των φαλµάτων; δ Τι ποοτό της µταβλητότητας των ρµηνύται από το µοντέλο; 4. Να δοθούν οι προαρµοµένς τιµές των Υ προβλέψις των Υ και τα κατάλοιπα. 5. Ποια ίναι η πρόβλψη της πίης του αίµατος για γυναίκα ηλικίας x 5 τών: α Να γίνι η- µιακή πρόβλψη και να δοθούν τα διατήµατα ατοµικής και µέης πρόβλψης 95%. β Εάν - πιλγί τυχαία µια γυναίκα 5 τών από τον πληθυµό, µταξύ ποιών ορίων θα βρίκται η πίη του αίµατός της.. 95%. γ Εάν πιλέξουµ τυχαία έναν µγάλο αριθµό από γυναίκς ηλικίας 5 τών, µταξύ ποιών ορίων θα βρίκται η µέη πίη του αίµατός τους.. 95%. 6. Να γίνι έλγχος ορθότητας του µοντέλου: α Εξτάτ αν τα τυποποιηµένα κατάλοιπα * προέρχονται πράγµατι από κανονική κατανοµή ιτόγραµµα, Q-Q ή P-P plots και K- ττ. β Εξ- τάτ αν υπάρχι χέη µταξύ των προαρµοµένων Υ και των τυποποιηµένων καταλοίπων, * χρηιµοποιώντας το γράφηµα των ηµίων,,,,, το πίπδο. Υπάρχουν «αυνήθιτς» * > ή «έκτροπς» παρατηρήις * >3; γ Εξτάτ αν τα τυποποιηµένα κατάλοιπα ίναι ανξάρτητα από την ιρά µ την οποία πήραµ τις παρατηρήις χρηιµοποιώντας το * γράφηµα των,,,,,. Επίης, να κτλέτ και ένα ττ ροών για το κοπό αυτό. δ Εξτάτ αν υπάρχουν παρατηρήις που έχουν µγάλη «πιρροή» το µοντέλο παρατηρήις που αν ληφθούν υπόψη αλλάζουν ηµαντικά την κτίµηη της υθίας γραµµικής παλινδρόµηης υνήθως θωρούνται αυτές που έχουν cetered leverage > 5/. Λύη.. Αρχικά ιάγουµ τα δδοµένα το P δύο µταβλητές τήλς Χ, Υ και λαµβάνουµ το διάγραµµα διαποράς Graphs/scatter/smple/ axs:, axs: για να πάρουµ µια αρχική ικόνα για τη χέη µταξύ των µταβλητών Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 6

11 y Φαίνται να υπάρχι γραµµική χέη µταξύ των δυο µταβλητών και ποµένως η φαρµογή του µοντέλου Υ,,,,, ίναι φυιολογική.. Μπορούµ το χήµα του προηγούµνου ρωτήµατος να µφανίουµ και την κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης καθώς και τις καµπύλς που δίχνουν τα όρια της µέης και της ατοµικής πρόβλψης. Αυτό µπορί να γίνι κάνοντας διπλό κλικ το υγκκριµένο γράφηµα το Output του P και πιλέγοντας Chart/Optos/Ft le:total, Ft optos: lear regresso, regresso predcto les: Mea, Idvdual 95% Τα παραπάνω µπορούν να γίνουν και από το Graphs/Iteractve/catterplot ssg vars,, Ft: method regresso, Predcto Les, Chart 8 Lear Regresso wth 95.% Mea Predcto Iterval ad 95.% Idvdual Predcto Iterval 6 y * x R-quare x Οι κάθτς αποτάις των ηµίων από την κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης ίναι τα κατάλοιπα απικονίζονται πιλέγοντας spkes: Ft Le. Σ αυτό το γράφηµα δίνται και η κτί- µηη του 8.78 και του.4. Το ίναι το ηµίο που τέµνι η υθία τον κάθτο άξονα, νώ το ίναι η κλίη της υθίας η φαπτοµένη της γωνίας που χηµατίι η υθία µ τον οριζόντιο άξονα. 3. Εκτλούµ Regresso/Lear/Depedet:, Idepedet:, tatstcs: Cofdece Itervals λαµβάνοντας 3 πίνακς. Ο πρώτος πίνακας που δίνται το output του P ίναι ο ακόλουθος Model Model ummary djusted td. Error of R R quare R quare the Estmate,896 a,83,783 7, a. Predctors: Costat, Ο πίνακας αυτός πριέχι τις ποότητς: Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 6

12 R R dj. R td. Error of Est. R R E R E / R R E adj T T T T / Στη υνέχια δίνται ο πίνακας NOV: Model Regresso Resdual Total a. Predctors: Costat,. Depedet Varale: NOV um of quares df Mea quare F g. 8, 8, 4,778, a 49,467 49,47 5,667 Ο πίνακας NOV πριέχι όπως έχουµ δι και παραπάνω τις ποότητς: Model df M F g. p-value Regresso MR MR R MR R FF, ME ME Resduals E E ME Total T Και τέλος δίνται από το πακέτο και ο πίνακας Model Costat a. Depedet Varale: Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a tadard zed Coeffce ts 95% Cofdece Iterval for B B td. Error Beta t g. Lower Boud Upper Boud 8,778 9,544 8,464, 59,53,43,38,78,896 6,386,,74,535 που πριέχι τις ποότητς B td.error t g p-value LB, UB V V Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 63 t a P T > t ~ T t ± V t V t a P T > t ~ T t ± V t V Το stadardzed coeffcets Beta ίναι η κτίµηη του όταν φαρµοτί το µοντέλο Υ, όπου Χ ίναι οι τυποποιηµένς τιµές των Χ αυτό έχι µγαλύτρη χρηιµότητα το πολλαπλό µοντέλο όπου έχουµ πολλές ανξάρτητς µταβλητές και θέλουµ να δούµ τις κτιµή-

13 ις των όταν οι µταβλητές αυτές µτρώνται την ίδια κλίµακα. Ας απαντήουµ τώρα τα ρωτήµατα που τίθνται από την άκηη. α. Όπως φαίνται και από τον παραπάνω πίνακα, οι ηµιακές κτιµήις των, ίναι και.38 αντίτοιχα, νώ τα αντίτοιχα δ.. ίναι 59.53,.43 και.74,.535. β. το p-value για τους δυο αυτούς λέγχους ίναι χδόν και ποµένως απορρίπτουµ ότι, και άρα η Υ ξαρτάται από την υπνθυµίζται ότι αν τότ η µταβλητή Υ ίναι ανξάρτητη της Χ. γ. Ο πίνακας ανάλυης διαποράς ΑNOV δίνται απυθίας από το πακέτο όπως ίδαµ παραπάνω. Το p-value για τον έλγχο Η :, Η : δίνται τον πίνακα NOV και ίναι ίο µ. Όπως αναφέρται και παραπάνω, το απλό γραµµικό µοντέλο ο έλγχος της υγκκριµένης υπόθης µέω της F τιµής τον πίνακα ΑΝΟVΑ ίναι ιοδύναµος µ τον έλγχο που γίνται µέω της t τον τρίτο πίνακα παραπάνω. Η κτίµηη της διαποράς των φαλµάτων ως γνωτό ίναι η E/ και από τον πίνακα NOV βλέπουµ ότι ίναι ίη µ δ. Το ποοτό της µταβλητότητας των που ρµηνύται από το µοντέλο δίνται από το R Αυτό µπορί να γίνι κτλώντας και πάλι την ίδια ανάλυη Regresso/Lear/Depedet:, Idepedet:, πιλέγοντας save : ustadardzed predcted values, ustadardzed Resduals. Μ αυτή την πιλογή προτίθνται τον πίνακα δδοµένων Data edtor δύο νές τήλς που έχουν τις ζητούµνς ποότητς: predcted resduals 36 8,7459-3, ,9-9, ,5739-3, ,5739, ,64-6, ,54 8, ,368 6, ,56, ,58 5, ,47-3, ,6-6, ,74 -,74 5. α. Η ηµιακή πρόβλψη για την πίη αίµατος γυναίκας µ ηλικία x 5 τών θα ίναι ύµφωνα µ το µοντέλο x Τα διατήµατα ατοµικής και µέης πρόβλψης του Υ όταν Χ5 µπορούν να υπολογιτούν χρηι- µοποιώντας τους αντίτοιχους τύπους που δόθηκαν παραπάνω. Μπορούµ όµως να τα πάρουµ απυθίας από το πακέτο ως ξής: προθέτουµ µία ακόµη 3 η παρατήρηη το P data edtor ιάγοντας την 3 γραµµή της τήλης Χ το 5 το Υ την την 3 η γραµµή αφήνται κνό. Στη υνέχια κτλούµ και πάλι τη διαδικαία της παλινδρόµηης alyze / Regresso / Lear πιλέγοντας το save τώρα τα Ustadardzed predcted values, Predcto Itervals Mea και Idvdual. Στην 3 η τήλη λαµβάνονται τα αποτλέµατα: Αναµνόµνη τιµή του πίη: % για την µέη πρόβλψη: , % για την ατοµική πρόβλψη: , 56.9 µ αυτή την διαδικαία προτίθνται τον data edtor και τα διατήµατα µέης και ατοµικής πρόβλψης του για όλα τα. Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 64

14 β. Εάν πιλγί τυχαία µια γυναίκα τών 5 από τον πληθυµό, η πίη του αίµατός της θα βρίκται µ.. 95% µταξύ των τιµών και 56.9 αυτό ακριβώς κφράζι το διάτηµα ατοµικής πρόβλψης γ. Εάν πιλέξουµ τυχαία έναν µγάλο αριθµό από γυναίκς ηλικίας 5 τών, η µέη πίη του αί- µατός τους θα βρίκται µ.. 95% µταξύ των τιµών και αυτό ακριβώς κφράζι το διάτηµα µέης πρόβλψης 6. Θα πρέπι πρώτα να αποθηκύουµ τον data edtor τις τιµές των studetzed resduals και των cetered leverages. Αυτό γίνται και πάλι χρηιµοποιώντας την πιλογή save την ανάλυη regresso: κτλούµ και πάλι τη διαδικαία της παλινδρόµηης alyze / Regresso / Lear πιλέγοντας το save τα ustadardzed predcted values, τα studetzed resduals και τα leverages. Στον πίνακα δδοµένων Data edtor προτίθνται νές τήλς που έχουν τις ζητούµνς ποότητς: predcted tudetzed resduals Cetered leverage values 36 8,7459 -,6859, ,9 -,4579, ,5739 -,553, ,5739,7683, ,64 -,9477, ,54,64, ,368,98955, ,56,3796, ,58,935, ,47 -,53878, ,6 -,83, ,74 -,47347,4943 α. Το ιτόγραµµα και τo Q-Q plot των studetzed resduals θα ίναι Graphs/hstogram, Graphs/Q- Q plot 5 4, Normal Q-Q Plot of tudetzed Resdual,5 3,,5 -,5 -, -,5,,5,,5, td. Dev,4 Mea -, N, Expected Normal Value, -,5 -, -,5 -, -, -,5 -, -,5,,5,,5, tudetzed Resdual Oserved Value από τα οποία δν µπορούµ να αποφανθούµ διότι οι παρατηρήις ίναι λίγς. Το Kolmogorov mrov ττ δίνι alyze/oparametrc tests/-sample K- test Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 65

15 Oe-ample Kolmogorov-mrov Test N Normal Parameters a, Most Extreme Dffereces Kolmogorov-mrov Z symp. g. -taled Mea td. Devato solute Postve Negatve a. Test dstruto s Normal.. Calculated from data. tudetzed Resdual -,397E-,386395,5,5 -,47,869,437 και ποµένως p-value.437 δν µπορούµ να απορρίψουµ ότι τα τυποποιηµένα κατάλοιπα προέρχονται από την κανονική κατανοµή. β. Κατακυάζουµ το γράφηµα scatterplot των ηµίων,,,,, predcted, studetzed resduals:, *,5,,5 tudetzed Resdual, -,5 -, -, Ustadardzed Predcted Value Οι παρατηρήις φαίνται ότι βρίκονται τυχαία το πίπδο πράγµα που υποδηλώνι ότι δν πρέπι να υπάρχι κάποια χέη µταξύ των δυο µταβλητών ξάλλου µ τός λίγς παρατηρήις δν ίναι ύκολο να ανακαλύψουµ κάτι τέτοιο. Επίης παρατηρούµ ότι δν υπάρχουν έκτροπς παρατηρήις όλα τα studetzed resduals ίναι απόλυτα µικρότρα του 3. γ. Προθέτουµ άλλη µια µταβλητή που δίχνι το αύξοντα αριθµό κάθ παρατήρηης και τη υνέχια κατακυάζουµ το γράφηµα scatterplot των ηµίων, studetzed resduals:,,5,,5 tudetzed Resdual, -,5 -, -, I Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 66

16 την υγκκριµένη πρίπτωη ίναι όµοιο µ το προηγούµνο γράφηµα, κάτι που δν υµβαίνι γνικά. Και πάλι οι παρατηρήις φαίνται ότι βρίκονται τυχαία το πίπδο. Επίης, κτλούµ και ένα ττ ροών για τον έλγχο της τυχαιότητας των φαλµάτων µ alyze/o-parametrc tests/rus, test varale:studetzed resdual, cut pot βαιζόµατ το πλήθος των ροών θτικών και αρνητικών καταλοίπων: Rus Test Test Value a Total Cases Numer of Rus Z symp. g. -taled a. User-specfed. tudetzed Resdual 5 -,833,45 Μ βάη το παραπάνω p-value δν µπορούµ να απορρίψουµ ότι τα κατάλοιπα ίναι τυχαία. δ. Για να ξτάουµ αν υπάρχουν παρατηρήις που έχουν µγάλη «πιρροή» το µοντέλο λέγχουµ ποις έχουν cetered leverage > 5/ 5/.46. Βλέπουµ ότι καµία παρατήρηη δν έχι από µόνη της µγάλη πιρροή το µοντέλο όπως έχι χολιαθί και παραπάνω, τέτοις παρατηρήις πρέπι να λαµβάνονται µ προοχή. Άκηη. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιµές πώληης 4 ιδών θαλαινών cets/poud τα έτη 97 και 98 βλ. Moore, Davd ad McCae 989 Itroducto to the Practce of tatstcs. Είδους Θαλαινού Τιµή 97 Χ Τιµή 98 Υ Είδους Θαλαινού Τιµή 97 Χ Τιµή 98 Υ COD TUN, LBCORE FLOUNDER CLM, OFT-HELLED HDDOCK CLM, BLUE HRD-HELLED MENHDEN LOBTER, MERICN OCEN PERCH OTER, ETERN LMON, CHINOOK E CLLOP LMON, COHO HRIMP Να φαρµοτί το απλό γραµµικό : a Να κατακυάτ το διάγραµµα διαποράς των δδοµένων Χ,Υ µαζί µ την κτιµηµένη υθία γραµµικής παλινδρόµηης. β Να κτι- µήτ τα, ηµιακά και να λέγξτ.. 5% αν Η :, Η :. Τι ποοτό της µταβλητότητας των ρµηνύται από το µοντέλο; *. Εξτάτ αν η διαπορά των καταλοίπων φαίνται να ίναι ταθρή. Χρηιµοποιίτ το γράφηµα των ηµίων,,,,,. το πίπδο. Υπάρχουν «αυνήθιτς» παρατηρήις; 3. Να ξτάτ αν οι λογάριθµοι των Χ, Υ προαρµόζονται καλύτρα το απλό γραµµικό µοντέλο. Μ άλλα λόγια ξτάτ αν το πολλαπλαιατικό µοντέλο c e, ~ Ν, προαρµόζι καλύτρα τα δδοµένα δηλ. δίνι µγαλύτρο R, νώ τα κατάλοιπα έχουν ταθρή διαπορά. 4. Να λέγξτ αν.. 5%. Λύη.. Ειάγουµ το P µόνο τα δδοµένα της δύτρης Χ και τρίτης τήλης Υ. Μ τον ίδιο τρόπο που αυτό έγιν την προηγούµνη άκηη λαµβάνουµ το γράφηµα: Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 67

17 Από το γράφηµα φαίνται ότι υπάρχι χέη µταξύ των δύο µταβλητών. β. Εκτλούµ Regresso/Lear/Depedet:, Idepedet:, λαµβάνοντας τους πίνακς: Model Model ummary djusted td. Error of R R quare R quare the Estmate,967 a,935,93 7,8775 a. Predctors: Costat, Model Regresso Resdual Total a. Predctors: Costat,. Depedet Varale: NOV um of quares df Mea quare F g. 345,4 345,387 73,84, a 935, , , 3 Model Costat a. Depedet Varale: Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a tadard zed Coeffce ts B td. Error Beta t g. -,34,58 -,,95,7,5,967 3,56, Οι κτιµήις των και ίναι -.34 και.7 αντίτοιχα νώ απορρίπτουµ την υπόθη Η :, διότι το αντίτοιχο p-value ίναι χδόν. Επίης, το ποοτό της µταβλητότητας των που ρµηνύται από το µοντέλο ίναι R Εκτλούµ και πάλι Regresso/Lear/Depedet:, Idepedet:, πιλέγοντας save τα ustadardzed predcted values και studetzed resduals και τη υνέχια κατακυάζουµ το ζητούµνο γράφηµα: Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 68

18 3 tudetzed Resdual Ustadardzed Predcted Value Από το παραπάνω γράφηµα αλλά και από τον πίνακα δδοµένων παρατηρούµ ότι υπάρχουν δύο «αυνήθιτς» παρατηρήις asolute studetzed resdual >. Από το γράφηµα πίης φαίνται ότι η διαπορά των studetzed resduals δν πρέπι να ίναι ταθρή. Συγκκριµένα παρατηρούµ ότι όο αυξάνται το προαρµοµένο Υ, τόο αυξάνται και η διαπορά των studetzed resduals. Μάλιτα αυτό φαίνται να δικαιολογί και τα «µγάλα» κατάλοιπα τις δύο αυνήθιτς παρατηρήις. Τα παραπάνω υποδηλώνουν ότι το µοντέλο µας δν πρέπι να ίναι ωτό αν και το R ίναι αρκτά µγάλο. 3. Εδώ ουιατικά θα πρέπι να ξτάουµ το γραµµικό µοντέλο λογαριθµούµ κατά µέλη το πολλαπλαιατικό µοντέλο c e l e l e l, l, lc. Αρχικά λοιπόν θα πρέπι να µταχηµατίουµ τα δδοµένα κατακυάζοντας δύο νές µταβλητές LOG, LOG µ compute LOGL, LOGl. Στη υνέχια κτλούµ την ανάλυη Regresso/Lear/Depedet: LOG, Idepedet: LOG, πιλέγοντας save τα ustadardzed predcted values και studetzed resduals. Λαµβάνουµ τους πίνακς: Model Model ummary djusted td. Error of R R quare R quare the Estmate,974 a,95,945,776 a. Predctors: Costat, LOG. Depedet Varale: LOG Model Regresso Resdual Total a. Predctors: Costat, LOG. Depedet Varale: LOG NOV um of quares df Mea quare F g. 7,46 7,46 6,7, a,94 7,74E- 8,34 3 Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 69

19 Model Costat LOG a. Depedet Varale: LOG Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a tadard zed Coeffce ts B td. Error Beta t g.,3,7 5,7,,955,63,974 5,36, Παρατηρούµ ότι το R ίναι.95, λάχιτα µγαλύτρο αυτού που πήραµ πριν τον µταχηµατιµό, αλλά το ηµαντικότρο ίναι ότι τώρα τα κατάλοιπα φαίνται να έχουν ταθρή διαπορά: LOG tudetzed Resdual LOG Ustadardzed Predcted Value 4. Η κτίµηη του το πολλαπλαιατικό µοντέλο βλέπουµ ότι ίναι.955 και απορρίπτται η υπόθη Η : p-value.. Το πακέτο δν προφέρι άµα την δυνατότητα λέγχου της υπόθης Η : για αυτό και θα κάνουµ τον έλγχο µµέως χρηιµοποιώντας έναν µταχη- µατιµό. Θέτουµ ώτ να λέγξουµ τη υνέχια αν. Εποµένως και αντικαθιτώντας το µοντέλο e θα έχουµ: * e e e Κατακυάζουµ λοιπόν µια νέα µταβλητή star LOGLOG και φαρµόζουµ το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµηης ανάµα τις µταβλητές star depedet και LOG depedet. Ανάµα τα αποτλέµατα µας νδιαφέρι ο πίνακας που αφορά τον έλγχο που ίναι ιοδύναµος µ τον : Model Costat LOG a. Depedet Varale: TR Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a tadard zed Coeffce ts B td. Error Beta t g.,3,7 5,7, -4,53E-,63 -, -,74,489 από τον πίνακα αυτό βλέπουµ ότι το p-value για τον έλγχο της υπόθης Η : Η : ίναι ίο µ.489 και ποµένως δν µπορούµ να απορρίψουµ ότι. Boutskas M.V. 4, Σηµιώις µαθήµατος «Στατιτικά Προγράµµατα» 7

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδιγµα Στο παρόν µάθηµα δίνται µ κάποια απλά παραδίγµατα-ασκήσις θέµατα πάνω στην κτίµηση νός πολλαπλού γραµµικού υποδίγµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Multiple Linear Regression)

Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Multiple Linear Regression) Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 7 Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραική Παλινδρόηη ultle Lear Regresso Στην προηγούνη νότητα χρηιοποιήα το απλό γραικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις σετ ασκήσεων #6

Λύσεις σετ ασκήσεων #6 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ. Κοντογιάννης Πέμπτη 8 Μαΐου 07 Φυλλάδιο #4 Λύσις στ ασκήσων #6. Θόρυβος od. Έστω ότι ένα κανάλι έχι αλφάβητο ισόδου και αλφάβητο ξόδου το {0}. Όπως στο προηγούμνο στ η έξοδος του

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 10: Παιχνίδια με ελλιπή πληροφόρηση. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 0: Παιχνίδια μ λλιπή πληροφόρηση Ρφανίδης Ιωάννης Άδις Χρήσης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται σ άδις χρήσης Creative Commons. ια κπαιδυτικό υλικό, όπως ικόνς, που υπόκιται σ άλλου τύπου άδιας

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής! (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 1 Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών) Κφάλαιο Σύνθτα υλικά: ποιά ίναι και πώς ίναι.. Στο πλαίιο της ανάλυης µηχανικής υµπριφοράς υνθέτων υλικών, θα πριοριθούµ την θώρηη δοµικών τοιχίων που χρηιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού

Εργαστηριακές Σημειώσεις Ανελαστική Κάμψη Μεταλλικής Δοκού Εργατηριακές Σημιώις Ανλατική Κάμψη Μταλλικής Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πολιτικός Μηχανικός (Πανπιτημιακός Υπότροφος) Ειαγωγή Δοκός καθαρή κάμψη (λατική υμπριφορά) Τρόπος που παραμορφώνται η δοκός λόγω κάμψης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

15. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η Μέθοδος των Ππραµένων Στοιχίων Σηµιώις 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στο κφάλαιο αυτό πριγράφται ν υντοµία η πίλυη προβληµάτων παραµορφώιµων ωµάτων µ λατο-πλατική υµπριφορά, µέω της

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x

1 1 Χ= x x x x x x x x x x. x x x x x ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επιλογή Μταβλητών Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Πολυσυγγραµµικότητα Αν ισχύι X = λ + λ X + + λ X + λ X + + λ X + ( ) j j- j- j+ j+ k k ΤΟΤΕ j, j j+, k, j, j j+, k, Χ= x x x x x x x

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

k k

k k ΚΕΦΛΙΟ ΜΕΤΣΧΗΜΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΛΗΤΩΝ Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ποιοτικές Μταβλητές ως προβλέπουσς Y= β + β X + β X + + β X + k k Προϋπόθση : Προβλέπουσς µταβλητές ποσοτικές (µτρήσιµς) Τι συµβαίνι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER

ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ TRANSFER Tα υποδίγµατα Transfer αποτλούν µία καλύτρη προσέγγιση στην κτίµηση µονοµταβλητών υποδιγµάτων, στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πρισσότρο αναλυτικά. REGRESSION ANALYSIS OF TIME SERIES

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης.

Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δείκτη διάθλασης. Ο Διάθλαση μέσω οπτικού πρίσματος - Υπολογισμός δίκτη διάθλασης. 1 Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης νός διαφανούς οπτικού μέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σημαντικό φυσικό μέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι μόνο

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4.4.07. α) Ποια ίναι η σχέση μταξύ των οικονομιών κλίμακας και αποδόσων κλίμακας; β) Πως μτράμ την έκταση των οικονομιών κλίμακας; ΛΥΣΗ α) Οι οικονομίς κλίμακας και οι αποδόσις κλίμακας ίναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x)

Διαδικασία προσδιορισμού των καμπύλων σύγκλισης-αποτόνωσης (p - u) και των καμπύλων απόστασης συντελεστή αποτόνωσης (λ x) Διαδικαία προδιοριμού των καμπύων ύγκιης-αποτόνωης ( - ) και των καμπύων απόταης υνττή αποτόνωης ( x) Μ. Καββαδάς, Αναπ. Καηγητής ΕΜΠ. Δδομένα : (α) Γωμτρία: Ακτίνα ήραγγας : (κυκική ήραγγα) Σήραγγα μγάου

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β 1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης

ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δείκτη διάθλασης Ο2 ιάθλαση µέσω οπτικού πρίσµατος - Υπολογισµός δίκτη διάθλασης 1. Σκοπός Ο δίκτης διάθλασης n νός διαφανούς οπτικού µέσου ίναι ένα ιδιαίτρο σηµαντικό µέγθος στην οπτική. Ο δίκτης διάθλασης όχι µόνο µταβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 4 η : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης εκτιμήσεων

Παρουσίαση 4 η : Στοιχεία στατιστικής αξιολόγησης εκτιμήσεων Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 4 η : Στοιχεία τατιτικής αξιολόγηης εκτιμήεων Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση Σιρά Προβλημάτων Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { m n m, n, m+n πριττός ακέραιος} (β) {w {,} * τα πρώτα δύο σύμβολα της w, αν υπάρχουν, δν ίναι τα ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια. Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΙΚΡΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗ 3. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΡΟΠΕΣ 3.. Η «Εντατική Κατάταη» ώματος Η ντατική κατάταη ένα ημίο M νός ώματος που υποβάλλται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS Ενότητα : Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS.. Έλεγχος υποθέσεων για το µέσο µ ενός πληθυσµού Έστω ότι θέλουµε να ελέγξουµε αν ο µέσος µ ενός κανονικού πληθυσµού (µε άγνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ211: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 1 Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς. (α) { w {,} * η w δν πριέχι δύο συνχόμνα όμοια γράμματα }

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο

Παρουσίαση 3 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2 ο Εφαρμογές Ανάλυης Σήματος τη Γεωδαιία Παρουίαη 3 η : Αρχές εκτίμηης παραμέτρων Μέρος ο Βαίλειος Δ. Ανδριτάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης νός συστήματος συντταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης νός σημίου πάνω σ μια πιφάνια προέρχται από την Γωγραφία και ήταν γνωστή στους αρχαίους

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x) 4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 3: Αλληλεπίδραση Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμομένν Μαθηματικών και Φυικών Ειτημών Εθνικό Μτόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές Οτικές Μαγνητικές Ιιότητς Υλικών Κφάλαιο 3: Αλληλίραη Η/Μ ακτινοβολίας και Ύλης Λιαροκάης Ευθύμιος Άια Χρήης Το αρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα

Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Διδάσκουσα: Καθηγήτρια Εφαρμογών Σ. Πέππα Δυνάμις Υδροστατικές & Υδροδυναμικές δυνάμις που νργούν στα ύφαλα της γάστρας Αροδυναμικές δυνάμις που νργούν στην ιστιοφορία Ειδικές Ναυπηγικές Κατασκυές και

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ I Ευτάθιος Στυλιάρης Αναπληρωτής Καθηγητής Συντονιτής Εργατηρίων Φυικής I Με την υνδρομή των: Α. Καραμπαρμπούνη, Κ.Ν. Παπανικόλα, Ν. Μαμαλούγκου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2)

Ειδικά Θέµατα Μηχανικής. (Μηχανική Σύνθετων Υλικών) Κεφάλαιο 2 (2.2) Ειδικά Θέµατα Μηχανικής Μηχανική Σύνθτων Υλικών Κφάλαιο. Λπτή τρώη ορθοτρόπου υλικού: πίπδη ένταη 5 5 5 oai ορθότροπο 5 5 iplae outofplae : Μητρώο ανηγµένης δυκαµψίας reduced tiffe D D D D ν ν ν ν / Λπτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: εφελκυσμός. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών Μηχανικές ιδιότητς υνθέτων υλικών: φλκυμός Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιτήμης & Τχνολογίας Υλικών ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Εκπόνηη διπλωματικών ργαιών την ΕΑΒ, Τανάγρα Αττικής. dispersion methodologies μ κοπό τη δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΤΑΚΤΑ ΥΛΙΚΑ. Μορφές αταξίας Μπορούµ να διακρίνουµ κατ' αρχή δύο µγάλς κατηγορίς άτακτων συστηµάτων στη φυσική της συµπυκνωµένης ύλης: συστήµατα µ αταξία θέσης και συστήµατα µ χηµική αταξία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται

Διαβάστε περισσότερα

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται;

Μπορείτε να δείξετε ότι αυξανομένης της θερμοκρασίας το κλάσμα των μορίων του συστήματος που βρίσκεται στην βασική ενεργειακή κατάσταση θα μειώνεται; Έστω μακροσκοπικό σύστημα αποτούμνο από μόρια τα οποία μπορούν να βρθούν σ ένα σύνοο μη κφυισμένων καταστάσων μ νέργια, όπου,, 2, 3, 4,. Σ προηγούμνο παράδιγμα δίξαμ ότι η κυρίαρχη διαμόρφωση νός τέτοιου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα