Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α"

Transcript

1 Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός. Η Γραµµική Άλγεβρα είναι το υπόβαθρο της Γραµµικής Ανάλυσης, των ιακριτών Μαθηµατικών, έχει ουσιαστικές εφαρµογές στη Γεωµετρία, στη Στατιστική, στη Στοχαστική Μοντελοποίηση και είναι ιδιαίτερα εύχρηστη µε τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Η προφανής ανάγκη παρουσίασης της προπτυχιακού επιπέδου ύλης της Γραµµικής Άλγεβρας σε e-book, όπου οι έννοιες θα παρουσιάζονται απλοποιηµένες, αλλά σε µαθηµατικά πλαίσια, θα βοηθήσει γενικά όλους τους φοιτητές του Πολυτεχνείου. Ένα τέτοιο βιβλίο πρέπει να είναι διαλεκτικό, περιγραφικό και να περιέχει βασικά παραδείγµατα. Η ύλη κατανέµεται σε έξι κεφάλαια. Τα τρία πρώτα κεφάλαια αναφέρονται στην άλγεβρα πινάκων, στις ορίζουσες και στην επίλυση των γραµµικών συστηµάτων. Τα δε επόµενα τρία κεφάλαια περιέχουν τις πλέον σηµαντικές έννοιες, όπως τους διανυσµατικούς χώρους, τις γραµµικές απεικονίσεις και τη θεωρία των χαρακτηριστικών µεγεθών. Στο τέλος του βιβλίου παρουσιάζεται και το πρόγραµµα MATLAB, ιδιαίτερα απαραίτητο και φιλικό µε το περιεχόµενο του βιβλίου, για να εξοικειωθεί ο αναγνώστης µε τις έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας χρησιµοποιώντας τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Αθήνα, Οκτώβριος 005 Ο συγγραφέας Ιωάννης Μαρουλάς

3 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Άλγεβρα Πινάκων. Ορισµοί 5. Πράξεις πινάκων 7.3 ιανύσµατα.4 Σύνθετοι πίνακες 9.5 Πολυωνυµικοί πίνακες.6 Ασκήσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ορίζουσες και Αντίστροφοι Πίνακες. Ορίζουσα πίνακα 6. Ιδιότητες οριζουσών 9.3 Αντίστροφοι πίνακες 33.4 Ασκήσεις 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Γραµµικά Συστήµατα 3. Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί Παραγοντοποίηση LU Επίλυση γραµµικών συστηµάτων Γραµµικά συστήµατα Οµογενή συστήµατα Ασκήσεις 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ιανυσµατικοί Χώροι 4. ιανυσµατικοί χώροι Γραµµικά ανεξάρτητα ή εξαρτηµένα διανύσµατα 4.. Γραµµική εξάρτηση Βάση ιάσταση 6

4 4 4.3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 4.3. Ορισµός Ιδιότητες Ορθοκανονική βάση Παραγοντοποίηση QR Ορθοµοναδιαίοι πίνακες Ασκήσεις 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί 5. Γραµµική απεικόνιση 5.. Ορισµοί Πίνακες της γραµµικής απεικόνισης Αλλαγή βάσης 8 5. Όµοιοι πίνακες Ασκήσεις 85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : Χαρακτηριστικά Μεγέθη 6. Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα Ιδιότητες ιαγωνοποίηση πίνακα Θεώρηµα Cayley Hamilton Τετραγωνικές µορφές Ασκήσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : MATLAB 7. Εισαγωγή στο πρόγραµµα 5 7. Εφαρµογές στη Γραµµική Άλγεβρα Πίνακες βασικών εντολών Ασκήσεις 9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 30 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ 3

5 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Τι είναι πίνακας, ποιες ιδιότητες έχουν, ποιος είναι ο λογισµός των πινάκων και πώς επεκτείνεται στους σύνθετους πίνακες, είναι το κύριο αντικείµενο του πρώτου κεφαλαίου... Ορισµοί Όπως εµπειρικά κατανοείτε µε την ονοµασία πίνακας τύπου µ ν εννοούµε µν πραγµατικούς ή µιγαδικούς αριθµούς µεταξύ δύο αγκυλών που έχουν διαταχθεί ορθογώνια σε µ γραµµές και ν στήλες. Παράδειγµα ο πίνακας είναι τύπου 3. Οι αριθµοί α α α3 Α = (. ) α α α 3 α, α,, α 3 ονοµάζονται στοιχεία του πίνακα Α και έχουµε επιπλέον σηµειώσει σ αυτούς µε δείκτες τις θέσεις που κατέχουν. Ο πρώτος δείκτης ονοµάζεται δείκτης γραµµής και ο δεύτερος δείκτης στήλης. Γι αυτό ο πίνακας Α στην (. ) γράφεται και µε την µορφή: α ij i, j= Α = [ ] 3, Αν το πλήθος των γραµµών και των στηλών σ ένα πίνακα είναι το ίδιο ( δηλ. µ = ν ), ο πίνακας ονοµάζεται τετραγωνικός τάξεως µ. Αν ο πίνακας έχει µόνο µία στήλη ( ν = ) ή µόνο µία γραµµή ( µ = ), θα τον ονοµάζουµε διάνυσµα. ύο ή περισσότεροι πίνακες µε τον ίδιο αριθµό γραµµών και στηλών, θα λέµε ότι είναι του ίδιου τύπου. ύο πίνακες του ίδιου τύπου, όταν τα στοιχεία τους στις ίδιες θέσεις είναι ίσα, ονοµάζονται ίσοι. Παράδειγµα, από την ισότητα των τετραγωνικών πινάκων x - x x - x = - y 0 συµπεραίνουµε y = και από τις εξισώσεις x - x = και x - x = 0 έχουµε x =. Σε τετραγωνικό πίνακα τα στοιχεία α, α, α,, α ονοµάζονται διαγώνια και 33 νν όλα µαζί αποτελούν την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Οι πίνακες της µορφής

6 6 α α αν 0 α α ν Ο 0 α νν α 0 Ο α α,, 0 α ν α νν ονοµάζονται αντίστοιχα άνω τριγωνικός, κάτω τριγωνικός και διαγώνιος πίνακας. Οι διαγώνιοι πίνακες σηµειώνονται και ως diag ( γώνιος πίνακας µε ν γραµµές και ν στήλες O ονοµάζεται µοναδιαίος και συµβολίζεται Ι ν. Ο πίνακας τύπου 3 α α α α α α 3 3 α Ο α, α,, α ν ν O α α Ο ν ν ). Ειδικότερα, ο δια- που προκύπτει από τον πίνακα (. ) όταν οι γραµµές γίνουν στήλες, ονοµάζεται ανάστροφος και συµβολίζεται Α Τ. Είναι προφανές ότι ( Α Τ ) Τ = Α. Από την ισότητα Α = Α Τ συµπεραίνουµε ότι ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός ( γιατί; ) και τα ζευγάρια των στοιχείων που είναι σε συµµετρικές θέσεις ως προς την κύρια διαγώνιο είναι ίσα, δηλαδή: α = α, α 3 = α 3,, α ν = α ν, α 3 = α 3,, α ν = α ν,, α ν-,ν = α ν,ν-. Οι πίνακες µε την ιδιότητα αυτή ονοµάζονται συµµετρικοί. Οι πίνακες Α = + i i - i Α = - i - i + i ονοµάζονται συζυγείς και γι αυτό χρησιµοποιείται ο συµβολισµός αυτός στον δεύτερο πίνακα. Οι πράξεις συζυγίας και αναστροφής µαζί σηµειώνονται µε τον πίνακα T T Α = (A) = (A) = - i - i + i Αν Α = Α *, ο τετραγωνικός πίνακας Α ονοµάζεται ερµιτιανός.

7 7.. Πράξεις πινάκων Η αριθµητική των πινάκων περιορίζεται στις πράξεις αθροίσµατος πινάκων, γινοµένου αριθµού επί πίνακα, διαφοράς πινάκων και γινοµένου πινάκων. Άθροισµα πινάκων Αν Α = [ α ] και Β = [ β ij ] είναι πίνακες τύπου µ ν, τότε το άθροισµα των Α και Β είναι ένας πίνακας Γ= [ γ ij ] που ορίζεται από το άθροισµα των στοιχείων των Α και Β που έχουν τις ίδιες θέσεις: ij γ ij = α ij + β ij i µ, j ν Σύµφωνα µε τον ορισµό, πίνακες διαφορετικού τύπου δεν µπορούν να προστεθούν. 3 5 Παράδειγµα. Αν Α = και Β = τότε Γινόµενο αριθµού επί πίνακα Γ = Α + Β = = Αν Α = [ α ij ] είναι πίνακας τύπου µ ν και k είναι ένας αριθµός, τότε το γινόµενο του Α επί k είναι ο πίνακας kα µε στοιχεία το γινόµενο κάθε στοιχείου του Α επί τον α- ριθµό k. Παράδειγµα. Αν k = - και τότε Αν k = -, ο πίνακας Α = 0-3 ( ). ( ). 0 (-)Α = = ( ).( ) ( ) (-)Α = -Α ονοµάζεται αντίθετος του Α. Έτσι για τους πίνακες Α και Β του ίδιου τύπου ορίζουµε την διαφορά τους Α - Β = Α + (-)Β και το αποτέλεσµα είναι ο πίνακας µε στοιχεία την διαφορά των οµοθέσιων στοιχείων των Α, Β. Παράδειγµα 3. Αν 3 5 Α = και Β =

8 8 τότε Α - Β = = Από τις ιδιότητες των πράξεων άµεσα διαπιστώνουµε τις αντίστοιχες ιδιότητες για τους πίνακες. Α + Β = Β + Α k( Α + Β ) = kα + κβ Α + ( Β + Γ ) = ( Α + Β ) + Γ ( k + λ )Α = kα + λα Α + Ο = Α k( λα ) = ( kλ )Α όπου µε Ο συµβολίζουµε τον µηδενικό πίνακα ( όλα τα στοιχεία του είναι µηδέν ). Γινόµενο πινάκων Αν ο πίνακας Α = [ α ij ] είναι τύπου µ ρ και ο πίνακας Β = [ β ij ] είναι τύπου ρ ν, τότε ορίζεται το γινόµενο του Α επί Β, σηµειούµενο ΑΒ, και είναι ο πίνακας Γ = [ γ ij ] τύπου µ ν, όπου βj β j γ ij = [ αi αi α iρ ] = α i β j + + α iρ β ρj βρj i µ, j ν. Ο τρόπος υπολογισµού των στοιχείων γ ij του γινοµένου ΑΒ προέρχεται, όπως είναι φανερό, από το γινόµενο των στοιχείων της i-γραµµής του Α επί τα στοιχεία της j-στήλης του Β. Στο παρακάτω παράδειγµα σηµειώνεται το στοιχείο γ : α α α α α α α α α β β β 3 β β β 3 = α β +α β +α β 3 3 Για τις διαστάσεις του γινοµένου πινάκων, σηµειώστε ότι A B = AB µ ρ ρ ν µ ν ιδια διασταση διασταση γινοµενου

9 9 Παράδειγµα 4. Αν 3 Α = και Β = 5 ορίζεται µόνο το γινόµενο ΑΒ και είναι τύπου ΑΒ = = ( ) ( 5) ( 5)( ) 6. + ( 5). 3 0 = 3 9 Γενικά ΑΒ ΒΑ, αν όµως οι πίνακες είναι τετραγωνικοί ν ν και ισχύει η ισότητα ΑΒ = ΒΑ, οι πίνακες ονοµάζονται αντιµεταθετικοί. Για κάθε πίνακα Α τύπου µ ν, σηµειώστε την ισότητα: Ι µ Α = ΑΙ ν = Α Προσέξτε ότι είναι δυνατόν ΑΒ = Ο, όταν Α Ο και Β Ο. Παράδειγµα: / 3 = Ακόµη είναι δυνατόν ΑΒ = ΑΓ, όταν οι πίνακες Β και Γ δεν είναι ίσοι. Παράδειγµα: 0 0 = 3 4 = Για το γινόµενο των πινάκων ισχύουν οι ιδιότητες Α( ΒΓ ) = ( ΑΒ )Γ Α( Β ± Γ ) = ΑΒ ± ΑΓ λ( ΑΒ ) = ( λα )Β = Α( λβ ) ( Α ± Β )Γ = ΑΓ ± ΒΓ και ( AB ) T = B T A T, ( AB ) * = B * A * Παράδειγµα 5. Αν Α =, Β =, για ποια τιµή του k οι πίνακες -5 5 k Α, Β είναι αντιµεταθετικοί; Λύση: Υπολογίζουµε τα γινόµενα 4( 3 - k ) ΑΒ =, ΒΑ = 30 k-0-4 5( 3 - k ) k - 0

10 0 Από την ισότητα ΑΒ = ΒΑ έχουµε τις εξισώσεις 4( 3 - k ) = -4 και 5( 3 - k ) = -30, που συναληθεύουν για k = 9. υνάµεις πίνακα Για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α και για κάθε φυσικό αριθµό ρ ο πίνακας Α ρ = A A A ρ παραγοντες ονοµάζεται ρ-στή δύναµη του Α. Σηµειώστε Α 0 = Ι, Α = Α. Αν ρ, σ είναι φυσικοί αριθµοί εύκολα µπορείτε να διαπιστώσετε ότι ισχύουν οι ιδιότητες: Α ρ Α σ = Α ρ+σ ( Α ρ ) σ = Α ρσ ( k Α ) ρ = k ρ Α ρ ( Α Β ) ρ = Α ρ Β ρ όταν Α Β = Β Α. Παράδειγµα 6. Αν συνθ - ηµθ Α = ηµθ συνθ τότε συν θ - ηµ θ - ηµθσυνθ Α = = ηµθσυνθ συν θ - ηµ θ συνθ ηµθ - ηµθ συνθ Α 3 συνθσυνθ - ηµθηµθ - ηµθσυνθ - ηµθσυνθ = = ηµθσυνθ + συνθηµθ συνθσυνθ - ηµθηµθ Οπότε για κάθε φυσικό αριθµό ρ θα είναι: συν3θ ηµ3θ - ηµ3θ συν3θ Α ρ = συν( ρθ ) - ηµ( ρθ ) ηµ( ρθ ) συν( ρθ ) Η απόδειξη γίνεται επαγωγικά. Παράδειγµα 7. Αν οι πίνακες Α, Β είναι τετραγωνικοί τάξεως ν και αντιµεταθετικοί, τότε ( Α + Β ) = Α + Β + Α Β. Λύση : Πράγµατι, σύµφωνα µε τον ορισµό της δύναµης πίνακα έχουµε ( Α + Β ) = ( Α + Β )( Α + Β ) = Α + Β Α + Α Β + Β = Α + Β + Α Β + Α Β επιµεριστική ιδιότητα ΑΒ = ΒΑ = Α + Β + Α Β.

11 Σηµειώστε ότι οι γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες ισχύουν και για πίνακες, ακριβώς όταν οι πίνακες είναι αντιµεταθετικοί. Παράδειγµα 8. Αν ένας από τους τετραγωνικούς πίνακες Ρ και Ι - Ρ επαληθεύει την εξίσωση Χ = Χ, δείξτε ότι και ο άλλος πίνακας έχει την ιδιότητα αυτή. Λύση : Έστω Ρ = Ρ. Επειδή οι πίνακες Ι, Ρ είναι αντιµεταθετικοί ( Ι - Ρ ) = Ι + Ρ - Ρ = Ι + Ρ - Ρ = Ι - Ρ. Όµοια, αν ( Ι - Ρ ) = Ι - Ρ έχουµε Ι + Ρ - Ρ = Ι - Ρ Ρ = Ρ. Οι πίνακες που επαληθεύουν την προηγούµενη εξίσωση ονοµάζονται προβολικοί ή αδύναµοι, αφού Χ 3 = Χ X = X X = Χ, Χ 4 = Χ Χ = Χ Χ = Χ και γενικά Χ k = Χ, για κάθε k. Παράδειγµα 9. Θα υπολογίσουµε τις ν-οστές δυνάµεις των πινάκων - - Α =, Β =, Γ = Λύση : Στο παράδειγµα αυτό παρουσιάζονται µερικές χρήσιµες µέθοδοι υπολογισµού των δυνάµεων πινάκων. Για τον πρώτο πίνακα επαληθεύουµε ότι Α 0 = 0 = I, Α = Α Α = Α, Α 4 = Α Α = Ι και γενικά έχουµε: για τις περιττές δυνάµεις : Α k- = Α, για τις άρτιες δυνάµεις : Α k = Ι. Για τον πίνακα Β, παρατηρούµε ότι Β = Ι + Μ ; 0 Μ = 0 0 Επειδή οι πίνακες Ι και Μ είναι αντιµεταθετικοί έχουµε το ανάπτυγµα B ν = ( I + M ) ν ν = I + M + M ν + + ν ν M ν όπου ν ν! κ =. Αλλά για τον πίνακα Μ, είναι Μ = Ο και έτσι Μ ρ = Ο για κ!(ν-κ)! κάθε ρ. Τότε:

12 Β ν ν = Ι + ν Μ = ν = 0 0 Για τον πίνακα Γ έχουµε: Γ = Ι, Γ 3 = Γ Γ = Γ, Συνεπώς Γ k = Ι και Γ k- = Γ. Παράδειγµα 0. Θα δείξουµε ότι Λύση : Επαγωγικά, για k =, έχουµε - 4 k - 4 = 3 k Ι. = 9 I = 3 I. Αν ισχύει η ισότητα για k = ν, τότε ισχύει και για k = ν+, γιατί: - 4 ( ν + ) ν = = ( 3 Ι )( 3 Ι ) = 3 Ι. ν ( ν + ).3. ιανύσµατα Στην ενότητα αυτή θ ασχοληθούµε µε πίνακες τύπου και 3, που ονοµάζονται διανύσµατα ( ενότητα. ). Η ονοµασία αυτή δηµιουργείται επειδή υπάρχει αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων του επιπέδου ή του χώρου µε τα στοιχεία των πινάκων. Παράδειγµα, στον πίνακα [ ] Τ αντιστοιχεί το σηµείο Μ(, ) του επιπέδου και στον πίνακα [ 3 ] Τ αντιστοιχεί το σηµείο Ν(,, 3 ) του χώρου. Έτσι απεικονίζονται τα διανύσµατα ( µε τη γεωµετρική τους έννοια ) OM και στοιχεία των πινάκων ονοµάζονται συντεταγµένες των διανυσµάτων αυτών. Αν θεωρήσουµε τις αντιστοιχίες ON. Τα

13 3 α = α α α 3 OA β = β β β 3 εύκολα διαπιστώνουµε ότι στο άθροισµα των πινάκων OB α + β = [ α + β α + β α 3 + β 3 ] Τ αντιστοιχεί αµφιµονοσήµαντα το διανυσµατικό άθροισµα των OA και OB. Επιπλέον, στο γινόµενο λα αντιστοιχεί το γινόµενο λ OA. Έτσι, συνοψίζοντας έχουµε: λα + µβ = για κάθε πραγµατικό αριθµό λ, µ. Το γινόµενο πινάκων λα + µβ λα + µβ λα 3+ µβ3 λoa + µob α Τ β = α β + α β + α 3 β 3 (. ) ονοµάζεται εσωτερικό γινόµενο των αντιστοίχων διανυσµάτων OA, OB και σηµειώνεται OA OB. Ιδιαίτερα, ο αριθµός παριστάνει το µέτρο του διανύσµατος γεωµετρικά OA OA = α + α + α = OA 3 OA, όπως αυτό άλλωστε αποδεικνύεται και OA = α + α AA = α 3

14 4 Για το εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:. OA OB = OB OA. OA ( OB+ O Γ) = OA OB+ OA ΟΓ 3. ( λoa) OB = OA ( λob ) = λ( OA OB ) 4. OA OA > 0 5. OA OA = 0 OA = Ο O A Επειδή έχουµε ( α Τ β )² ( α Τ α ) ( β Τ β ) ( ανισότητα του Schwarz ) Τ α β Τ Τ α α β β και κατά συνέπεια Τ α β OA OB = συνθ Τ Τ = α α β β OA OB όπου θ [ 0, π ] είναι η γωνία των διανυσµάτων OA και OB. Για θ = π/, είναι προφανές OA OB = 0, και η συνθήκη αυτή είναι ικανή και αναγκαία για την καθετότητα των διανυσµάτων OA, OB. OA = προβ ( ) OB OA Αποδεικνύεται ότι το διάνυσµα είναι η προβολή του διανύσµατος OA OB OB OA OB και σηµειώνεται προβ (O A). OB OB επί του

15 5 Παράδειγµα. Αν τα µη συγγραµµικά διανύσµατα OA και Π, κάθε διάνυσµα OΓ, όπου Γ Π, γράφεται µονότροπα µε τη µορφή: ΟΓ = k OA + λob. OB ορίζουν το επίπεδο Λύση : Αν πολλαπλασιάσουµε την ισότητα ΟΓ = k OA + λob εσωτερικά επί και OB έχουµε: ΟΓ ΟΑ = k( OA OA ) + λ( OB OA ) ΟΓ ΟB = k( OA OB ) + λ( OB OB ) Αρκεί το σύστηµα των εξισώσεων αυτών να έχει µοναδική λύση ως προς k, λ. Γι αυτό αρκεί OA ² OB ² - OA ² OB ² συν²θ = OA ² OB ²( - συν²θ ) η οποία αληθεύει, αφού τα διανύσµατα OA και = OA ² OB ² ηµ²θ 0, OB δεν είναι παράλληλα. OA Εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων OA, OB ονοµάζεται το διάνυσµα O Γ που έχει OΓ = [ OA, OB ] Ι. µέτρο OΓ = OA. OB ηµθ, θ = γων ( OA, OB ) ΙΙ. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των διανυσµάτων OA, OB () και ΙΙΙ. φορά τέτοια ώστε η διατεταγµένη τριάδα { OA, OB, OΓ } να είναι δεξιόστροφη. () Η συνθήκη ΙΙ έχει νόηµα για µη συγγραµµικά διανύσµατα.

16 6 Το εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων OA και OB συµβολίζεται [ OA, OB ] και ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:. [ OA, OB ] = - [ OB, OA ]. [ λ OA, OB ] = [ OA, λ OB ] = λ[ OA, OB ] 3. [ OA, OB + OΓ ] = [ OA, OB ] + [ OA, OΓ ] 4. [ OA, [ OB, O Γ ] ] = ( OA OΓ ) OB - ( OA OB ) Η σχέση µεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων είναι µετρική και εύκολα διαπιστώνουµε ότι: [ OA, OB ] = OA OB - ( OA OB ) Επιπλέον από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου, το µέτρο του διανύσµατος O Γ ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που ορίζουν τα διανύσµατα OB και κατά συνέπεια [OA, OB ] είναι το εµβαδόν τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Ο, Α, Β. Για κάθε δεξιόστροφη τρισορθογώνια τριάδα µοναδιαίων διανυσµάτων i, j, k, έχουµε: [ i, i ] = [ j, j ] = [ k, k ] = O [ i, j ] = k, [ j, k ] = i, [ k, i ] = j (.3 ) Αν [ α α α 3 ] Τ και [ β β β 3 ] Τ είναι οι συντεταγµένες των διανυσµάτων OA και OB αντίστοιχα ως προς τρισορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων, αποδεικνύεται ότι: OΓ OA = α i + α j + α3 k, OB = β i + β j + β3 k Έτσι, από την 3η ιδιότητα και τις σχέσεις (.3 ), αποδεικνύεται [ OA, OB ] = ( a b 3 - a 3 b ) i + ( a 3 b - a b 3 ) j + ( a b - a b ) k (.4 ) Από την έκφραση αυτή ή από τον ορισµό του εξωτερικού γινοµένου συµπεραίνουµε την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τα διανύσµατα συγγραµµικά. [ OA, OB ] = O OA και

17 7 Παράδειγµα. Θα βρούµε τις συντεταγµένες του διανύσµατος O = ( [ OA, OB ] [ OB, OΓ ] ) OA - ( OA OB ) OΓ αν OA = [ - ] Τ, OB = [ 0 ] Τ και OΓ = [ - 0 ] Τ. Λύση : Από τους τύπους (.3 ) και (.4 ) έχουµε: [ OA, OB ] = [ 5 - ] Τ [ OB, OΓ ] = [ - ] και κατά συνέπεια [ OA, OB ] [ OB, OΓ ] = = 5, OA OB = 0. Οπότε: O = 5 OA = [ ] Τ. Τ Για τα διανύσµατα OA, OB και O Γ το γινόµενο [ OA, OB ] ονοµάζεται µικτό γινόµενο των διανυσµάτων αυτών και συµβολίζεται (OA, OB, O Γ ). Από τους τύπους (. ) και (.4 ) έχουµε ( OA, OB, O Γ ) = ( a b 3 - a 3 b ) g + ( a 3 b - a b 3 ) g + ( a b - a b ) g 3 (.5 ) και βασιζόµενοι στην ισότητα αυτή αποδεικνύεται: OΓ [ OA, OB ] OΓ = OA [ OB, OΓ ]. Αποδεικνύεται ακόµη ότι το µικτό γινόµενο (OA, OB, OΓ ) αλλάζει πρόσηµο αν αντι- µεταθέσουµε δυο διανύσµατα απ αυτά, αλλά δεν αλλάζει πρόσηµο αν µεταθέσουµε τρία διανύσµατα κυκλικά, δηλαδή: ( OA, OB, O Γ ) = ( O Γ, OA, OB ) = ( OB, OΓ, OA ) = - ( OB, OA, OΓ ) = - ( OA, OΓ, OB ) = - ( O Γ, OB, OA ). Η συνθήκη ( OA, OB, OΓ ) = 0 είναι ικανή και αναγκαία για να είναι τα τρία διανύσµατα συνεπίπεδα.

18 8 Παράδειγµα 3. Θα υπολογίσουµε την ελάχιστη απόσταση των ασυµβάτων ευθειών ε : ( x, y, z ) = (, 0, - ) + t (, 0, ) ε : ( x, y, z ) = ( 3,, 0 ) + s (,, - ) και µετά θα βρούµε στις ευθείες τα σηµεία Α, Β που απέχουν ελάχιστο. Λύση : Οι ευθείες είναι παράλληλες των µη συγγραµµικών διανυσµάτων n = (, 0, ) και n = (,, - ) και συνεπώς το διάνυσµα ξ = [ n, n ] = ( -, 3, ) είναι κάθετο και στις δύο ευθείες. Το επίπεδο που περνά από την ευθεία ε και είναι κάθετο στο διάνυσµα ξ, είναι παράλληλο της ευθείας ε. Κατά συνέπεια η ελάχιστη απόσταση των ε, ε είναι η απόσταση της ευθείας ε από το επίπεδο αυτό. Τα σηµεία Ρ = (, 0, - ) και Ρ = ( 3,, 0 ) αντίστοιχα των ευθειών ε και ε ορίζουν το διάνυσµα n = P P = (,, ) και το µέτρο της προβολής του n επί του ξ είναι η ζητούµενη απόσταση: προβ n ξ ξ n = ξ = n = ξ ξ ξ 3 4 Τα σηµεία Α, Β έχουν συντεταγµένες ( +t, 0, -+t ) και ( 3+s, +s, -s ), το δε διάνυσµα ΑΒ = ( +σ-τ, +σ, -σ-τ ) είναι κάθετο των ν, ν. Από τις εξισώσεις: AB AB n n = = 0 0 5t - s = 5 t - 3s = t = 3/4 s = -5/4 ορίζονται τα σηµεία Α = ( 40, 0, - ) και Β = ( 37, 9, 5 ). Επαληθεύσατε ότι 4 4 ΑΒ = 3 4, όπως πριν.

19 9.4. Σύνθετοι πίνακες Ας διαµερίσουµε έναν πίνακα µε κατακόρυφες και οριζόντιες γραµµές µεταξύ των γραµµών και των στηλών του. Για παράδειγµα, A a a a a 3 4 = a a a3 a4 a a a a Κάθε τµήµα του πίνακα ονοµάζεται υποπίνακας και στο παράδειγµά µας ο πίνακας Α γράφεται µε τη µορφή A A A3 Α = (.6 ) A A A 3 Ο πίνακας Α µε τη µορφή (.6 ) ονοµάζεται σύνθετος, τα δε στοιχεία του ( υποπίνακες του Α ) όταν είναι στην ίδια γραµµή, έχουν τον ίδιο αριθµό γραµµών και όταν είναι στην ίδια στήλη, έχουν τον ίδιο αριθµό στηλών. Παράδειγµα, η λειτουργία κυκλώµατος microcomputer µε τρία VLSI microchips απεικονίζεται στον πίνακα Α = A A A A A A A A A όπου οι διαγώνιοι υποπίνακες Α, Α, Α 33 αντιστοιχούν στα κυκλώµατα VLSI chips και οι άλλοι υποπίνακες αντιστοιχούν στις συνδέσεις µεταξύ των chips. Οι σύνθετοι πίνακες A Ο Ο Ο A Ο A ν A A A O A A O Ο A k k όπου µε Ο παριστάνουµε τους µηδενικούς πίνακες, ονοµάζονται σύνθετος διαγώνιος και σύνθετος ( άνω ) τριγωνικός αντίστοιχα και η παρουσία τους µας διευκολύνει στις πράξεις, όπως θα δούµε στη συνέχεια. Όταν δυο πίνακες Α και Β είναι του ίδιου τύπου µ ν και έχουν διαµερισθεί ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο µεταξύ των γραµµών και των στηλών, οι οµοθέσιοι υποπίνακες είναι kk

20 0 του ίδιου τύπου και κατά συνέπεια το άθροισµά τους ανάγεται στο άθροισµα των υποπινάκων τους. Για παράδειγµα, οι 5 7 πίνακες Α 3 Β 4 Ρ =, = Γ3 3 Q 3 4 τότε, Κ Μ Λ 3 4 Ν Α ± Κ Β ± Λ Ρ ± Q = Γ ± Μ ± Ν Επιπλέον λ Α λ Β λ Ρ = λ Γ λ Περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζεται στον πολλαπλασιασµό σύνθετων πινάκων. Φυσικά θα πρέπει να διατηρηθεί ο τρόπος πολλαπλασιασµού των πινάκων και επιπλέον να µπορεί να γίνει ο πολλαπλασιασµός των υποπινάκων του. Γι αυτό, κατά τον πολλαπλασιασµό PQ θα πρέπει να προσέξουµε µόνο αν ο τρόπος διαµέρισης των γραµµών του Q είναι ίδιος µε την διαµέριση στηλών του Ρ, χωρίς να ενδιαφερθούµε για τις υποδιαιρέσεις γραµµών του Ρ και τις υποδιαιρέσεις στηλών του Q. Για παράδειγµα, οι σύνθετοι πίνακες Α Β Ρ 5 4 = Γ3 3, Q 4 4 = πολλαπλασιαζόµενοι, το γινόµενό τους είναι: ΑΚ + ΒΛ ΡQ = ΓΚ + Λ Επιπλέον, σηµειώστε για τους σύνθετους διαγωνίους πίνακες A O Η = Θ = O B 3 4 έχουµε AK O ΗΘ = O BΛ Κ Ο Κ Λ γενικεύοντας το γνωστό τρόπο πολλαπλασιασµού διαγωνίων πινάκων. 4 4 Λ Ο 4 Παράδειγµα 4. Θα υπολογίσουµε το γινόµενο ΑΒ, θεωρώντας τους σύνθετους πίνακες:

21 - 3 0 A A A = = O I, B = 0 5 B B B O = - 0 Επειδή η υποδιαίρεση των στηλών του Α και των γραµµών του Β είναι η ίδια, AB+ AB AB 3 5 = B B AB = Για να υπολογίσουµε τον πίνακα Α², έχουµε A AA + A A = = O I Παράδειγµα 5. Θα υπολογίσουµε τις δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Επειδή: 0 0 A O = - A - = A A A O A O A = = - = AA A + AA 3 A 3 A 3 - Α³ = Επαγωγικά επαληθεύουµε ότι: A AA + AA O A 3 3 = A O A A 3

22 0 0 k A O k - k - A = = - k - A A 3 k - k Πολυωνυµικοί πίνακες Ο τετραγωνικός πίνακας Α, τάξεως ν, που ορίζεται από τον τύπο: Α = α k Μ k + α k- Μ k- + + α Μ + α 0 Ι, α i C ονοµάζεται πολυωνυµικός πίνακας του Μ και είναι φανερό ότι ορίζεται από το πολυώνυµο α k λ k + + α λ + α 0 αντικαθιστώντας τη µεταβλητή λ µε τον πίνακα Μ. Για παράδειγµα, αν α( λ ) = 3 λ ² - λ + και Μ = α( Μ ) = 3 Μ ² - Μ + Ι = 0, τότε 4 4 Αν θεωρήσουµε τα βαθµωτά πολυώνυµα α( λ ) και β( λ ), αντίστοιχα των πράξεων α( λ ) + β( λ ) = γ( λ ), α( λ ) β( λ ) = δ( λ ) α( λ ) = β( λ ) π( λ ) + υ( λ ) έχουµε: α( Μ ) + β( Μ ) = γ( Μ ), α( Μ ) β( Μ ) = β( Μ ) α( Μ ) = δ( Μ ), α( Μ ) = β( Μ ) π( Μ ) + υ( Μ ). Η αντιµετάθεση των πινάκων α( Μ ) και β( Μ ) στη δεύτερη από τις παραπάνω ισότητες είναι δυνατή, διότι κάθε τετραγωνικός πίνακας αντιµετατίθεται µε τον εαυτό του. Το γνωστό θεώρηµα της Άλγεβρας ότι κάθε πολυώνυµο βαθµού k έχει k ρίζες δεν ισχύει για τους πολυωνυµικούς πίνακες. Παράδειγµα, ο πίνακας α( Χ ) = Χ ² + Χ - Ι = ( Χ - Ι )( Χ + Ι ) ισούται µε το µηδενικό πίνακα για Χ = Ι ή Χ = - Ι και για κάθε πίνακα z Χ =, z C. 0

23 3 Παράδειγµα 6. Αν q( λ ) = λ³ + λ² + λ + και για κάθε α C τότε έχουµε : q( J ) = J ³ + J ² + J + I J = α 0 0 α 0 0 α = = 3 α 3α 3α α α α α 3α + 0 α α + 0 α α 0 0 α 0 0 α 0 0 q( α ) q ( α ) q''( α )! 0 q( α ) q ( α ). 0 0 q ( α ) Παράδειγµα 7. Αν C = και c c c 3 c4 α( λ ) = αλ³ + βλ² + γλ + δ, r r C θα δείξουµε ότι α( C ) = r C r C 3, όπου r = [ δ γ β α ]. Λύση : Αν θεωρήσουµε τους πίνακες γραµµές: ε = [ ] ε = [ ] ε 3 = [ ] ε 4 = [ ] διαπιστώνουµε τις ισότητες ε C = ε, ε C = ε 3, ε 3 C = ε 4 και ακόµη ε C ² = ε C = ε 3, ε C ³ = ε 3 C = ε 4, ε C ² = ε 3 C = ε 4. Οπότε η πρώτη γραµµή του α( C ) είναι: ε α ( C ) = ε ( α C ³ + β C ² + γ C + δ Ι ) = α ε C ³ + β ε C ² + γ ε C + δ ε = α ε 4 + β ε 3 + γ ε + δ ε = [ δ γ β α ] = r Η δεύτερη, τρίτη και τέταρτη γραµµή είναι αντίστοιχα:

24 4 ε α( C ) = α ε C ³ + β ε C ² + γ ε C + δ ε = α ε C 4 + β ε C ³ + γ ε C ² + δ ε C = ( α ε C ³ + β ε C ² + γ ε C + δ ε ) C = r C ε 3 α( C ) = α ε 3 C ³ + β ε 3 C ² + γ ε 3 C + δ ε 3 = ( α ε C ³ + β ε C ² + γ ε C + δ ε ) C ² = r C ε 4 α( C ) = α ε 4 C 4 + β ε 4 C ² + γ ε 4 C + δ ε 4 = ( α ε C ³ + β ε C ² + γ ε C + δ ε ) C ³ = r C ³.6. Ασκήσεις. Αν 7 3 Α = , ποια είναι τα στοιχεία α, α 3, α 3, α 3 και α 33 ;. Αν x + y z + ω 4 4 z - ω x - y = -3, βρείτε τους αγνώστους x, y, z, ω..3 Επαληθεύσατε µε παραδείγµατα και µετά αποδείξτε τις ισότητες: Ι. [ OA, OB ] ² + ( OA OB )² = OA ² OB ² ΙΙ. [ [ OA, OB ], O Γ ] + [ [ OB, O Γ ], OA ] + [ [ OΓ, OA ], OB ] = O..4 Αν ΙΙΙ. [ OA - προβ ( OA ) ] OB = 0. OB Α= = Α Α δείξτε ότι [ ] ΑΒ = ΑΒ + ΑΒ = Β Β= -3 7 = Β

25 5.5 Με ποια διάταξη πολλαπλασιάζονται οι πίνακες ως σύνθετοι ; 3 4 A = B = Αν Μ = - και α( λ ) = λ³ - 3λ² + λ -, δείξτε ότι: α( Μ ) =. 6-59

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ορίζουσα είναι ένας αριθµός που αντιστοιχεί σε τετραγωνικό πίνακα κατά έναν ορισµένο τρόπο. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες των οριζουσών, ο τρόπος υπολογισµού ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα και η εφαρµογή τους στην εύρεση του αντίστροφου πίνακα... Ορίζουσα πίνακα Στο σύνολο των τετραγωνικών πινάκων ορίζεται µια ειδική συνάρτηση που ονοµάζεται ορίζουσα και έχει πεδίο τιµών στο σύνολο R ή C. Για κάθε ν ν πίνακα Α η ορίζουσα συµβολίζεται Α ή det Α και η έκφρασή της, σε σχέση µε τα στοιχεία του πίνακα, αναπτύσσεται στον ακόλουθο λογισµό. Για τον πίνακα Α = και για τον πίνακα α α α α det ( A ) = α α - α α έχουµε: 3 det A = α α α α α 3 33 Α = α α α α α α α α α α α α α α α (. ) α α α α = α α α - α α α + α α α - α α α + α α α - α α α Ιδιαίτερα την παράσταση αυτή είναι δυνατόν να τη θυµάστε ως κανόνα του Sarrus αν γράψετε τις δύο πρώτες στήλες δεξιά του πίνακα και υπολογίσετε τα γινόµενα των στοιχείων των έξι διαγωνίων.

27 7 Επιπλέον, από την (. ) διαπιστώσατε ότι ο τύπος (.4 ) του εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων ισούται συµβολικά µε την ορίζουσα: i j k α α α 3 β β β 3 Συµβολίζοντας µε Α ij τον υποπίνακα του Α όταν διαγράψουµε την i- γραµµή του και j- στήλη του, τότε το ανάπτυγµα του 3 3 πίνακα Α γράφεται: det Α = α det Α - α det Α + α 3 det Α 3 Έτσι, ορίζεται αναδροµικά η ορίζουσα ν ν πίνακα από τις ορίζουσες των (ν - ) ( ν -) υποπινάκων. α ν Ορισµός. Για ν, η ορίζουσα του ν ν πίνακα Α = [ ij ] + ( ) j αj Αj i, j = +ν det A = α det A - α det A + + (-) α det A ν ν ν = det j = είναι το άθροισµα Ο αριθµός i+j M ij = (- ) det A ij ονοµάζεται αλγεβρικό συµπλήρωµα του στοιχείου α ij και προφανώς έχουµε: det A = α Μ + α Μ +. + α ν Μ ν Το άθροισµα αυτό ονοµάζεται ανάπτυγµα ορίζουσας ως προς την πρώτη γραµµή του πίνακα Α. Αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα ν ν πίνακα υπολογίζεται και όταν αναπτύξουµε αυτή ως προς οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη του. α ν Θεώρηµα. Για τον τετραγωνικό πίνακα Α = [ ij ] i, j = det A = α i Μ i + α i Μ i +. + a in M in = a j M j + a j M j +. + a nj M nj.

28 8 Από το θεώρηµα αυτό είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία µιας γραµµής ή µιας στήλης του πίνακα Α είναι όλα µηδέν, τότε αναπτύσσοντας την ορίζουσα ως προς αυτή τη γραµµή ή στήλη θα έχουµε det A = 0. Παράδειγµα. Θα υπολογίσουµε τις ορίζουσες των πινάκων Α =, Β = Για τον πίνακα Α αναπτύσσοντας κατά την 3η στήλη ( επειδή έχει τα περισσότερα µηδενικά στοιχεία ) έχουµε: det A = (-) = ( ) = 0. Για τον πίνακα Β, αναπτύσσοντας κατά την τρίτη γραµµή έχουµε: det B = 3(-) (-3)(-) = 3 { (-) - (-) (-3) } + 3{..(-) (-3) - (-).(-4). } = (-4) = 48. Παράδειγµα. Θα υπολογίσουµε την ορίζουσα άνω τριγωνικού πίνακα. α α α 3 α α Αν Α =, τότε det A = α α και αν Α = τότε 0 α 0 α α3 0 0 α 33 det A = α α α 33. Για τον πίνακα Α = έχουµε: α α α α 0 α α α 0 0 α α α

29 9 det A = α α α α α α α 44 = α α α α Έτσι επαγωγικά αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα άνω τριγωνικού πίνακα είναι το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του. Στο συµπέρασµα αυτό καταλήγουµε και όταν ο πίνακας είναι διαγώνιος. Ειδικότερα: det Ι ν =. Από το θεώρηµα. συµπεραίνουµε επιπλέον την αξιοσηµείωτη ισότητα: det A = det A Τ (. ).. Ιδιότητες οριζουσών Στο εδάφιο αυτό θ αναφέρουµε βασικές ιδιότητες των οριζουσών, οι οποίες µας διευκολύνουν στον υπολογισµό της ορίζουσας πίνακα. Θεώρηµα.. Για κάθε ν ν πίνακα Α. Αν εναλλάξουµε δύο γραµµές ( ή στήλες ) του Α, η ορίζουσα του νέου πίνακα ισούται µε -det A.. Αν τα στοιχεία µιας γραµµής ( ή στήλης ) του Α πολλαπλασιασθούν επί τον αριθµό k, η ορίζουσα του νέου πίνακα ισούται µε k( det A ). 3. Αν το πολλαπλάσιο των στοιχείων µιας γραµµής ( στήλης ) του Α προστεθεί σε µια άλλη γραµµή ( στήλη ) του πίνακα, η ορίζουσα του νέου πίνακα ισούται µε det A. Από τις ιδιότητες και, συµπεραίνουµε άµεσα ότι αν ο πίνακας Α έχει δύο γραµµές (στήλες) ανάλογες, τότε det A = 0. Επιπλέον από την ιδιότητα έχουµε: det ( λa ) = λ ν ( det A )

30 30 Παράδειγµα 3. Εάν α β γ det κ λ µ ρ σ τ =- θα υπολογίσουµε τις ορίζουσες των -ρ -σ -τ πινάκων: A = 3κ + α 3λ + β 3µ + γ, B = κ λ µ Λύση : Για τον πρώτο πίνακα έχουµε: -α -β -γ κ + ρ λ + σ µ + τ 3ρ 3σ 3τ det A ρ σ τ ρ σ τ - det - det 3κ + α 3λ + β 3µ + γ κ λ µ κ λ µ ιδ. ιδ. ( ) ( ) = 3κ + α 3λ + β 3µ + γ = ρ σ τ α β γ α β γ = - det α β γ = det ρ σ τ = - det κ λ µ = κ λ µ κ λ µ ρ σ τ ιδ. 3 ιδ. ιδ. ( ) ( ) ( ) Όµοια για το δεύτερο πίνακα: det B α β γ α β γ (-)3 det - 6 det κ λ µ ρ σ τ ρ σ µ ιδ. ιδ. 3 ( ) ( ) = κ + ρ λ + σ µ + τ = ιδ. ( ) = α β γ - det κ λ µ = ρ σ τ Παράδειγµα 4. Θα δείξουµε ότι det α α α3 α α α3 = ( α - α )( α - α )( α - α ) 3 3 Λύση : Πράγµατι, σύµφωνα µε την ιδιότητα 3 του θεωρήµατος. έχουµε: 0 0 α α α 3 - α det α α α3 = det α α α α 3 - α = det α - α α - α 3 α α α3 α α α α 3 - α - = ( α - α )( α 3 - α ) det α + α α + α 3 = ( α - α )( α 3 - α )( α 3 - α )

31 3 Γενικεύοντας την παραπάνω ισότητα, αποδεικνύεται ότι: α α α ν det α α α ν ν- ν- ν- α α α ν = (α - α )(α - α ) (α - α ) ν ν- ν ν- ν (α - α ) (α - α ) ν- ν- ν- ( α - α ) Η ορίζουσα αυτή είναι γνωστή στην βιβλιογραφία ως ορίζουσα του Vandermonde. Από το θεώρηµα. και το χαρακτηριστικό τύπο της ορίζουσας τριγωνικού πίνακα είναι φανερό ότι για να υπολογίσουµε την ορίζουσα πίνακα, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε τους τύπους του θεωρήµατος., θα πρέπει µε µετασχηµατισµούς γραµµών ή στηλών να µετασχηµατίσουµε τον πίνακα σε τριγωνικό άνω ( ή κάτω ). Η διαδικασία αυτή παρουσιάζεται σε αριθµητικό παράδειγµα πίνακα 4 4. Έστω: Τότε θα έχουµε: Α = det A = det Στην πρώτη στήλη κάποιο από τα στοιχεία θα είναι διάφορο του µηδενός, γιατί σε διαφορετική περίπτωση η ορίζουσα του πίνακα θα είναι µηδέν. Επειδή το στοιχείο στη θέση (, ) είναι διάφορο του µηδενός, πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή διαδοχικά µε -3, 3 και - και προσθέτουµε αντίστοιχα στη η, 3η και 4η γραµµή. Σύµφωνα µε την ιδιότητα 3 του θεωρήµατος. : det A = det Στον παραπάνω πίνακα, πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή του επί 4 και προσθέτουµε στην 3η. Τότε

32 det A = det Τέλος, πολλαπλασιάζουµε την 3η γραµµή επί -/ και προσθέτουµε στην 4η γραµµή det A = det = ( 3 (-6) ) = Αν µε τη διαδικασία αυτή κάποιος από τους σηµειούµενους υποπίνακες έχει µηδενική στήλη, τότε η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι µηδέν. Οι πράξεις αυτές µεταξύ των γραµµών του πίνακα ονοµάζονται στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί γραµµών. Από την ισότητα (. ) είναι φανερό ότι αντίστοιχη διαδικασία έχουµε µεταξύ των στη-λών και οι πράξεις αυτές ονοµάζονται στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί στηλών. Γενίκευση της ορίζουσας τριγωνικού ( ή διαγωνίου ) πίνακα, είναι η ορίζουσα σύνθετου τριγωνικού ( ή διαγωνίου ) πίνακα. Αποδεικνύεται, ότι αν Α, Β είναι τετραγωνικοί πί-νακες: και κατά συνέπεια A M det = det A O O B N B det A O O B = ( det A ) ( det B ) = ( det A ) ( det B ) Θα τελειώσουµε το εδάφιο αυτό µε την ακόλουθη πρόταση. (.3 ) Θεώρηµα 3.. Αν Α, Β είναι ν ν πίνακες, τότε det ( ΑΒ ) = ( det Α ) ( det Β ) det ( A k ) = ( det A ) k, k =,, Σηµειώστε ότι για το άθροισµα δεν ισχύει ανάλογη σχέση, δηλαδή γενικά έχουµε det ( Α + Β ) det Α + det Β

33 33.3. Αντίστροφοι πίνακες Από τους τύπους αναπτύγµατος της ορίζουσας πίνακα στο θεώρηµα. συµπεραίνουµε ότι το άθροισµα των γινοµένων των στοιχείων µιας γραµµής ( στήλης ) επί τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων µιας άλλης γραµµής ( στήλης ) είναι µηδέν, δηλαδή α i Μ τ + α i Μ τ +. + α iν Μ τν = 0, i τ α j Μ σ + α j Μ σ +. + α νj Μ νσ = 0, j σ (.4 ) Αυτό συµβαίνει διότι το αριστερό µέρος της πρώτης της (.4 ) είναι το ανάπτυγµα ορίζουσας του πίνακα τ- γραµµη α α αν αi αi αiν αi αi α i ν α ν α ν α νν κατά την τ- γραµµή του, η οποία είναι ίδια µε την i- γραµµή του πίνακα και γι αυτό η τιµή της ορίζουσας είναι µηδέν. Κατά τον ίδιο τρόπο δικαιολογείται η δεύτερη ισότητα στη (.4 ) καθόσον το αριστερό µέρος της είναι το ανάπτυγµα ορίζουσας του πίνακα α αj αj α α αj αj α α α α α ν ν ν ν j ν j νν σ - στήλη κατά την σ- στήλη του, που ταυτίζεται µε την j- στήλη του. Ορισµός. Για κάθε ν ν πίνακα Α, ο πίνακας µε στοιχεία τ αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του Α M M M M M M M M M ν ν ν ν νν

34 34 ονοµάζεται προσαρτηµένος του Α και συµβολίζεται adj A. Παρατηρείστε ότι τα πρόσηµα (-) i+j των αλγεβρικών συµπληρωµάτων Μ ij εναλλάσσονται σύµφωνα µε τον πίνακα: Παράδειγµα 5. Για τον πίνακα 3 - Α = τ αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του είναι: M = (-) 6 + =-8, M = (-) 5 + =7, M = (-) =-6 M = (-) - + =-6, M = (-) =-0, M = (- ) =- M = (-) =-0, M = (-) =-, M = (-) =8 Τότε: a dj A = Έχοντας υπόψη τις ισότητες (.4 ) και το θεώρηµα., αποδεικνύεται άµεσα: Α ( adj Α ) = ( adj Α ) Α = ( det A ) Ι ν (.5 ) Την ισότητα (.5 ) µπορείτε να την επαληθεύσετε µε το προηγούµενο αριθµητικό παράδειγµα και θα βρείτε: όπου det A = Α ( adj Α ) = ( adj Α ) Α = -94 Ι 3 Ορισµός. Για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α, αν υπάρχει πίνακας Β που έχει την ιδιότητα ονοµάζεται αντίστροφος του Α και συµβολίζεται Α -. Από τη συνεπαγωγή Α Β = Β Α = Ι (.6 )

35 35 Α Β = Ι Β Α = Ι ο ορισµός του αντίστροφου πίνακα περιορίζεται σε µια από τις ισότητες ΑΒ = Ι ή ΒΑ = Ι. Επιπλέον, από την (.6 ) και το θεώρηµα 3. συµπεραίνουµε ( det A ) ( det B ) = και γι αυτό ένας πίνακας έχει αντίστροφο ( ισοδύναµη έκφραση: είναι αντιστρέψιµος ) ακριβώς όταν η ορίζουσα του πίνακα είναι διάφορη του µηδενός. Η συνθήκη αυτή δικαιολογεί την ονοµασία οµαλός πίνακας ακριβώς όταν det A 0. Αποδεικνύεται ότι ο αντίστροφος πίνακας Β είναι µοναδικός και κατά συνέπεια από την ισότητα (.5 ) έχουµε: A = det A - Για τον πίνακα Α στο παράδειγµα 5. θα είναι - A = ( adj A ) (.7 ) 8 / 94 6 / 94 0 / 94-7 / 94 0 / 94 / 94 6 / 94 / 94-8 / 94 Μετά τη γνωριµία µας µε τον αντίστροφο πίνακα είναι προφανής η επέκταση της έννοιας των δυνάµεων πινάκων στους αρνητικούς ακέραιους εκθέτες. ηλαδή, ορίζουµε: -k A = A A A k παραγοντες και κατά συνέπεια ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των δυνάµεων που αναφέραµε στην ενότητα. και για αρνητικούς εκθέτες. Πρόταση 4. Αν οι πίνακες Α, Β είναι αντιστρέψιµοι, τότε:. Α είναι αντιστρέψιµος και ( Α - ) - = Α.. Α k αντιστρέψιµος και ( Α k ) - = ( Α - ) k 3. για κάθε λ 0, ( λ Α ) - = λ A - 4. det A - = ( det A ) - 5. ( A * ) - = ( A - ) * 6. adj A - = ( adj A ) - 7. o πίνακας AB είναι αντιστρέψιµος και ( AB ) - = B - A - Άµεση εφαρµογή των αντιστρόφων πινάκων είναι η επίλυση των εξισώσεων

36 36 Α Χ = Β, Υ Α = Β Όταν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος έχουν την µοναδική λύση Χ = Α - Β, Υ = Β Α - Αν οι πίνακες Α, Β είναι αντιστρέψιµοι, οι σύνθετοι πίνακες Α Μ Α Ο Ο Β, Ν Β σύµφωνα µε την (.3 ), είναι αντιστρέψιµοι και επαληθεύσατε ότι: Α Ο Μ Β Α -Α Μ Β Α Ο = -, Ο Β Ν Β = - Α Ο - Β Ν Α Β Ασκήσεις -. Αν Α = 3 4, επαληθεύσατε την ισότητα (. ). 5. Υπολογίσατε τις ορίζουσες det λ και 3 λ - det ( λ I3 A), όπου Α= Επαληθεύσατε µε παραδείγµατα την ισότητα det A = det A..4 Υπολογίστε τις ορίζουσες των πινάκων α β β β α α α α α 0 0 β β α β β β α α α 0 α β 0 A = B = Γ =. β β α β β β α α 0 β α 0 β β β α β β β α β 0 0 α.5 Αν για τους τετραγωνικούς πίνακες Α, Β είναι Α Β = Ο και ο πίνακας Α ( ή Β ) είναι αντιστρέψιµος, δείξτε ότι Β = Ο ( ή Α = Ο ). α β.6 είξτε για τον πίνακα Α =, όταν είναι αντιστρέψιµος γ δ Α = αδ - βγ - δ - β - γ α..7 Επαληθεύσατε µε παράδειγµα ότι ( Α + Β ) - Α - + Β -.

37 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η κεντρική ιδέα της Γραµµικής Άλγεβρας είναι η µελέτη των γραµµικών συστηµάτων και στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται συστηµατικά µέθοδοι επίλυσής τους. 3.. Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί Σ έναν πίνακα η εναλλαγή δύο γραµµών ( στηλών ), το γινόµενο γραµµής ( στήλης ) επί αριθµό λ και το άθροισµα δύο γραµµών ( στηλών ) ονοµάζονται στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί γραµµών ( στηλών ). Παράδειγµα, από τον πίνακα A = 0 0 προκύπτουν οι πίνακες Β =,, 0 Β = 0 Β 3 = 3 όταν αντίστοιχα εναλλάξουµε η και η στήλη, πολλαπλασιάσουµε την η γραµµή επί και τέλος προσθέσουµε στην 3η στήλη το γινόµενο της ης στήλης επί 3. Με τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς σκοπός µας είναι να µετασχηµατίσουµε τον µ ν πίνακα Α σε διαγώνια µορφή. Έτσι, µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών ο σύνθετος πίνακας [ Ι µ Α ] µετασχηµατίζεται στον [ P T ] όπου τ τ τν 0 τ τ ν Τ =, όταν µ < ν O τµµ τµν

38 38 και τ τ τν 0 τ τ ν Τ =, όταν µ ν τ νν χωρίς κατ ανάγκη όλα τα διαγώνια στοιχεία να είναι διάφορα του µηδενός. Στη συνέχεια θεωρούµε τον σύνθετο πίνακα Ι ν Τ και µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς στηλών µετασχηµατίζουµε αυτό στον πίνακα Q K, όπου ο πίνακας Κ γενικά έχει µία από τις ακόλουθες µορφές: Dρ O O O [ Dµ O] D ν O D ν, ( 3. ) ο δε διαγώνιος πίνακας D δεν έχει µηδενικά διαγώνια στοιχεία. Αντίστοιχα των πινάκων στην ( 3. ) έχουµε ρ < µ,ν ρ = µ < ν µ > ν = ρ ρ = µ = ν και προφανώς µε επιπλέον στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς στον πίνακα Q K µπορούµε να καταλήξουµε ώστε D ρ = I ρ. Ο πίνακας Κ ονοµάζεται κανονική µορφή του πίνακα Α και είναι µοναδικός. Οι πίνακες P, Q είναι αντιστρέψιµοι και αποδεικνύεται η αξιοσηµείωτη σχέση PAQ = K ( 3. ) Η τάξη του διαγώνιου πίνακα D ή ισοδύναµα, το πλήθος των µη µηδενικών γραµµών του πίνακα Τ ονοµάζεται βαθµός του Α και συµβολίζεται rank Α. Από την ( 3. ) είναι φανερό ότι για κάθε µ ν πίνακα Α έχουµε rank Α µ και rank Α ν Επιπλέον, όταν µ = ν και ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος, rank Α = ν.

39 39 Παράδειγµα.3 Θα βρούµε την κανονική µορφή του πίνακα 0 0 A = Στον πίνακα [ Ι 3 Α ], αν εναλλάξουµε η και 3η γραµµή και µετά πολλαπλασιάσουµε την η γραµµή επί - και προσθέσουµε στη η γραµµή έχουµε: Προσθέτοντας τη η γραµµή στην 3η, θα είναι: = [ P T ] Ι 4 Στον πίνακα, πολλαπλασιάζουµε την η στήλη επί -3 και στη συνέχεια επί και Τ προσθέτουµε αντίστοιχα στη η και 3η στήλη. Τότε έχουµε τον πίνακα: Πολλαπλασιάζοντας την 3η στήλη επί - και προσθέτοντας στην 4η στήλη και µετά εναλλάσσοντας η και 3η στήλη, έχουµε: Q = K Ο πίνακας

40 Κ = είναι η κανονική µορφή του Α και προφανώς rank Α =. Επαληθεύσατε ότι PAQ = K. Όταν ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός και στο σύνθετο πίνακα [ Ρ Τ ] όλα τα διαγώνια στοιχεία τ ii του άνω τριγωνικού πίνακα T= τ τ O είναι µη µηδενικά, µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών στον πίνακα [ P Τ ] µπορούµε να µηδενίσουµε τα στοιχεία τ i, τ i,, τ i-,i και µετά να µετασχηµατίσουµε µε τα στοιχεία τ ii σε. Έτσι, θα καταλήξουµε στο σύνθετο πίνακα Επειδή RA = I, συµπεραίνουµε ότι [ R Ι ν ] R = Α -. Παράδειγµα.3 Θα υπολογίσουµε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών τον αντίστροφο του πίνακα τ τ τ τ i i i-,i 3 A= 3 3 ii τ τ τ ν ν... νν Στον πίνακα [ Ι 3 Α ] πολλαπλασιάζοντας την η γραµµή επί - και -3 και προσθέτοντας στη η και 3η γραµµή αντίστοιχα, έχουµε:

41 4 Πολλαπλασιάζοντας την η γραµµή επί -5/7 και προσθέτοντάς την στην 3η γραµµή, καταλήγουµε στον πίνακα: [ P T ]= / 7 5 / / 7 Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί -/7 και την 3η γραµµή επί -7/50: /7 / /7 /50 /0 7/ Θα µηδενίσουµε τα στοιχεία που είναι πάνω από τις διαγώνιες µονάδες, πολλαπλασιάζοντας τη η γραµµή επί - και προσθέτοντας στην η και πολλαπλασιάζοντας την 3η γραµµή επί -4/7 και επί -3/7 και προσθέτοντας στη η και στην η. Τα αποτελέσµατα των πράξεων αυτών είναι: / 50 / 0 3 / / 5 / 5 / / 50 / 0 7 / Ο αριστερός υποπίνακας είναι ο αντίστροφος του Α. Θα τελειώσουµε την ενότητα αυτή, αναφέροντας µερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες για το βαθµό πίνακα: Θεώρηµα.3. Για κάθε µ ν πίνακα Α. rank Α = rank Α Τ = rank A T A. rank ΜΑ rank Α, rank ΑΝ rank Α 3. Αν Μ, Ν είναι αντιστρέψιµοι πίνακες, τάξεως µ, ν αντίστοιχα: rank Α = rank ΜΑΝ 4. Αν rank Α = ρ, υπάρχει τετραγωνικός υποπίνακας Β του Α τάξεως ρ, τέτοιος ώστε det B 0, αλλά η ορίζουσα κάθε υποπίνακα τάξεως ρ+ είναι µηδέν. Επιπλέον, ισχύουν οι σχέσεις:

42 4 rank ( A + B ) rank A + rank B και αν Α, Β είναι τύπου µ ν και ν ρ αντίστοιχα rank A + rank B - ν rank ( AB ). 3.. Παραγοντοποίηση LU Έχοντας υπόψη στην ενότητα. τη µεθοδολογία µετασχηµατισµού πίνακα σε άνω τριγωνικό και εφαρµόζοντας αυτήν στον σύνθετο πίνακα [ Ι Α ] καταλήγουµε στον πίνακα [ P U ], όπου Ρ είναι πίνακας αντιστρέψιµος κάτω τριγωνικός µε διαγώνια στοιχεία µονάδες και ο υποπίνακας U είναι γενικά κλιµακωτής µορφής όπου όλα τα στοιχεία κάτω της τεθλασµένης γραµµής είναι 0, τα στοιχεία α, β, γ,,δ στις γωνιακές θέσεις είναι διάφορα του µηδενός και τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα σηµειώνονται µε. Έτσι θα έχουµε: PA = U ( 3. ) Επειδή ο αντίστροφος κάτω τριγωνικού πίνακα είναι κάτω τριγωνικός πίνακας, αν σηµειώσουµε P - = L, από την εξίσωση ( 3. ) προκύπτει η παραγοντοποίηση LU του πίνακα A = LU ( 3.3 ) όπου L είναι κάτω τριγωνικός πίνακας και U άνω τριγωνικός. Παράδειγµα 3.3 Θα παραγοντοποιήσουµε στην µορφή ( 3.3 ) τον πίνακα Α = Πράγµατι, στον πίνακα [ Ι 4 Α ] :

43 43 Πολλαπλασίασε την η γραµµή επί (-/) και πρόσθεσε στη η γραµµή. Πολλαπλασίασε την η γραµµή επί και πρόσθεσε στην 3η γραµµή. Πρόσθεσε την η γραµµή στην 4η γραµµή: / Πολλαπλασίασε τη η γρ. επί και πρόσθεσε στην 3η γραµµή. Πολλαπλασίασε τη η γρ. επί - και πρόσθεσε στην 4η γραµµή (ισοδύναµα: αφαίρεσε η γρ. από 4η γρ.) : / / Πολλαπλασίασε την 3η γραµµή επί και πρόσθεσε στην 4η γραµµή: Τότε: A=P / / Ρ U U= / Παρατηρείστε, ότι τα στοιχεία του πίνακα L( = P - ) κάτω από τις διαγώνιες µονάδες είναι οι αντίθετοι των συντελεστών στους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών, απλουστεύοντας έτσι τη διαδικασία παραγοντοποίησης του πίνακα. Σηµειώστε ότι κάθε πίνακας δεν παραγοντοποιείται στη µορφή LU. Παράδειγµα, αν γράψουµε τον πίνακα 0 0 µε την µορφή γινοµένου LU 0 0 = l 0 u u l l 0 u

44 44 θα έχουµε l u = 0. Από τη σχέση αυτή συµπεραίνουµε ότι l = 0 ή u = 0, δηλαδή ένας από τους πίνακες L ή U δεν είναι αντιστρέψιµος, άτοπο γιατί ο πίνακας LU = Α είναι αντιστρέψιµος. Συµβολίζοντας µε u,, u νν τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα U από την ( 3.3 ) έχουµε A = L D U ( 3.4 ) όπου D = diag( u,,u νν ) και τα διαγώνια στοιχεία του άνω τριγωνικού πίνακα U είναι µονάδες. Έτσι για τους τετραγωνικούς πίνακες θα είναι det A = u u.u νν Στην ( 3.4 ), αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός ( A = A T ) τότε A = L D L T ( 3.5 ) Η ( 3.5 ) είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως παραγοντοποίηση Cholesky Παράδειγµα 4.3 Η παραγοντοποίηση LU του συµµετρικού πίνακα είναι 3 0 A= A= / Οπότε η παραγοντοποίηση Cholesky θα είναι: / A= / / / Η παραγοντοποίηση LU πίνακα µας διευκολύνει να λύσουµε την εξίσωση Α x = β όπου x, β είναι πίνακες στήλη ( διανύσµατα ). Πράγµατι, θέτοντας U x = y στην εξίσωση LU x = â, η εξίσωση L y = β ; y = [ y, y,., y µ ] είναι άµεσα επιλύσιµη, διότι ο πίνακας L είναι κάτω τριγωνικός και όταν αναπτύξουµε τις εξισώσεις, βλέπουµε ότι κάθε εξίσωση έχει ένα άγνωστο y i περισσότερο από την προηγούµενη. Μετά την εύρεση του y, τα ίδια πλεονεκτήµατα παρουσιάζονται στην

45 45 εξίσωση U x = y, όπου κάθε εξίσωση µε αγνώστους τα στοιχεία του x, έχει έναν άγνωστο τουλάχιστον λιγότερο από την προηγούµενη. Η διαδικασία αυτή παρουσιάζεται στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα 5.3 Ας θεωρήσουµε στην εξίσωση A x = β τον πίνακα Α στο παράδειγµα 3.3 και β = [ ] Τ. Θέτοντας U x = y, η εξίσωση L y = β είναι ισοδύναµη µε το σύστηµα των εξισώσεων: y = y + y = y - y + y 3 = 8 -y + y - y 3 + y 4 = -43 Οπότε y =, y = -5, y 3 = και y 4 = -3. Στη συνέχεια από την εξίσωση U x = y, έχουµε το σύστηµα: 6x -x -4x +4x = x - 4x - x = x - x = 3 4 8x = -3 που βρίσκουµε άµεσα τη λύση του x = [ ] Τ Επίλυση γραµµικών συστηµάτων Γραµµικά συστήµατα Κάθε εξίσωση της µορφής α x + α y = β ονοµάζεται γραµµική των µεταβλητών x και y. Γενικότερα, ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση των µεταβλητών x, x,, x ν κάθε εξίσωση της µορφής α x + α x + + α ν x ν = β όπου α,,α ν, β είναι πραγµατικοί ή µιγαδικοί αριθµοί. Παρατηρούµε ότι σε µία γραµµική εξίσωση δεν παρουσιάζονται δυνάµεις ή γινόµενα ή ρίζες των µεταβλητών, ούτε τριγωνοµετρικοί αριθµοί ή λογάριθµοι ή εκθετικές συναρτήσεις αυτών. Ένα πλήθος µ γραµµικών εξισώσεων των µεταβλητών x,, x ν :

46 46 α x + α x + + α x = ν ν α x + α x + + α x = ν ν α x + α x + + α x = µ µ µν ν µ β β β ( 3.6 ) ονοµάζεται γραµµικό σύστηµα µ εξισώσεων µε ν αγνώστους. Αν παραστήσουµε α α αν α α α ν Α = αµ αµ αµν το σύστηµα ( 3.6 ) γράφεται υπό τη µορφή β β β = β µ x x x = x ν Αx = β ( 3.7 ) Κάθε ν-άδα αριθµών x = c,, x ν = c ν που επαληθεύει τις εξισώσεις ( 3.6 ) ονοµάζεται λύση του συστήµατος. Κάθε σύστηµα που έχει λύση ονοµάζεται συµβιβαστό, διαφορετικά ονοµάζεται ασυµβίβαστο. Για να γίνουν κατανοητές οι περιπτώσεις που παρουσιάζονται κατά την επίλυση του γραµµικού συστήµατος, θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους x και y : όπου α i, β i R και α + β 0 α x + β y = γ α x + β y = γ ( i =, ). Οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων αυτών είναι δύο ευθείες ε και ε και οι λύσεις του συστήµατος θ αντιστοιχούν στις σχετικές θέσεις των ευθειών: i i Ι. Όταν οι ευθείες ε, ε τέµνονται, το σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση. ΙΙ. Όταν οι ευθείες ε, ε είναι παράλληλες, το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο. ΙΙΙ. Όταν οι ευθείες ε, ε ταυτίζονται, το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Οι περιπτώσεις Ι, ΙΙ και ΙΙΙ ισχύουν για οποιοδήποτε γραµµικό σύστηµα. Θεώρηµα.3. Το σύστηµα Αx = β είναι συµβιβαστό ακριβώς όταν rank [ Α β ] = rank Α.

47 47 Για την επίλυση του συστήµατος, θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα α α α α α α [ A β ] = α α α ν ν µ µ µν και µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών µετασχηµατίζουµε αυτόν σε άνω τριγωνικό πίνακα ( ή γενικότερα σε κλιµακωτή µορφή ) c c c 0 c c.. 0 c O ν ν c O β β βµ d d d ρρ ρν ρ Το νέο σύστηµα είναι ισοδύναµο του αρχικού (δηλαδή, έχει το ίδιο σύνολο λύσεων) και επιλύεται ευκολότερα, αφού κάθε εξίσωση έχει έναν τουλάχιστον άγνωστο λιγότερο από την προηγούµενη εξίσωση. Παράδειγµα 6.3 Θα λύσουµε το σύστηµα: x +x +3x = 9 3 x - x + x = 8 3 3x - x = 3 3 Με την εµπειρία που έχετε αποκτήσει, διαπιστώνετε ότι η κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα είναι Έτσι, έχουµε το ισοδύναµο σύστηµα

48 48 x + x + 3x = x + x = 8 3 x = 3 που βρίσκουµε άµεσα την λύση του: x 3 = 3, x = -, x =. Παράδειγµα 7.3 Για το σύστηµα x + 3x - 4x = x + 3x = x +x -5x +x = x - 6x + 9x = µπορείτε να επαληθεύσετε ότι, ο επαυξηµένος πίνακας µετασχηµατίζεται στην κλιµακωτή µορφή: Τότε, από το ισοδύναµο σύστηµα / 0 3/ / 0 0 3/ x + x - 5 x + x = 3 4 έχουµε την µονοπαραµετρική απειρία λύσεων: x + 3 x -x = 3 4 x + 3 x = 3 4 x 4 = c x 3 = - 3 c, x = c, x = 9 9 c. Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι αν το σύστηµα έχει περισσότερους αγνώστους από τις εξισώσεις, µπορεί το σύστηµα να είναι ασυµβίβαστο, αν όµως είναι συµβιβαστό, τότε έχει άπειρες λύσεις, όπως στο προηγούµενο παράδειγµα.

49 49 Παράδειγµα 8.3 Το γραµµικό σύστηµα x +x -3x +4x = 3 4 x - x + x - x = 3 4 4x - x - x + x = δεν είναι συµβιβαστό, γιατί η κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα είναι / 3 0 5/ 6 -/ όπου συµπεραίνουµε ότι η τελευταία εξίσωση του ισοδύναµου γραµµικού συστήµατος είναι 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 = -6. Στην εξίσωση ( 3.7 ), αν ο πίνακας A είναι τετραγωνικός και det Α 0, το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση: x= A - β = ( ) A adj A β det Αποδεικνύεται ότι ο άγνωστος x i βρίσκεται από τον τύπο x i det A det A = i όπου Α i είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον Α, όταν αντικαταστήσουµε την i - στήλη του µε το διάνυσµα β. Στο Παράδειγµα 6.3, έχουµε det Α = 0 και 9 3 x = 8 = 0, x = 8 = 0, x 3 = 8 =

50 Οµογενή συστήµατα Αν στην εξίσωση ( 3.7 ) είναι β = 0, το σύστηµα Α x = 0 ονοµάζεται οµογενές. Τα οµογενή συστήµατα είναι πάντοτε συµβιβαστά, διότι προφανής λύση είναι x = 0. Η µηδενική λύση είναι µοναδική όταν ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός και det Α 0. Σε κάθε άλλη περίπτωση το οµογενές σύστηµα έχει απειρία λύσεων και το πλήθος των αγνώστων στους οποίους δίνουµε οποιαδήποτε τιµή, είναι: όπου ν είναι το πλήθος των αγνώστων. ν rank A Παράδειγµα 9.3 Θα λύσουµε το οµογενές σύστηµα x + x + x -5x = x + 5x - x -9x = x + x - x + 3x = x -3x + x + 7x = Η κλιµακωτή µορφή του πίνακα των συντελεστών Α = µετά από στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών (επαληθεύσατε) είναι όπου επιπλέον πληροφορούµαστε ότι rank Α = 3. Οπότε το αρχικό σύστηµα είναι ισοδύναµο του συστήµατος x + x = 0 4 x - 3x = 0 4 x - x = και έχουµε την µονοπαραµετρική ( 4-3 = ) απειρία λύσεων: x = - c, x = 3 c, x 3 = c, x 4 = c.

51 Ασκήσεις 3. Βρείτε την κανονική µορφή των πινάκων A = 3 Β = Βρείτε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς τους αντίστροφους των πινάκων A= 3 Β = Να παραγοντοποιηθούν στην µορφή LU οι πίνακες A= Β = Να λύσετε τα συστήµατα 3x + 4y + z = x + y - z = x +0z = 5 x + 3y = 0 4x + 3y - z = -, x + 5y + z = -, 7x +7y + 5z = - 3x + y - 4z = - 4x + y + 6z = 3.5 Να λύσετε τα συστήµατα x +x +3x = 0 3 4x - 5x + 6x = 0 3 x -x +x +x = x + x - x = 0 4 3x +x +x +x = ιευκρινίσατε τα διαγράµµατα ροής επίλυσης των γραµµικών συστηµάτων.

52 5

53 53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Η έννοια του διανυσµατικού χώρου έχει τις ρίζες του σε πολλά προβλήµατα του φυσικού µας κόσµου. Η µελέτη των χώρων αυτών δεν είναι πολύ διαφορετική από εκείνη του ν- διάστατου χώρου R ν, καθόσον διάφορες γεωµετρικές έννοιες ( π.χ. διάνυσµα, απόσταση, γωνία ) του R και R 3 γενικεύονται. 4.. ιανυσµατικοί χώροι Στην ενότητα. γνωρίσαµε ότι το σύνολο των διανυσµάτων ( πίνακες στήλη ) του ίδιου τύπου T x = [ x x x ν ], y = έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες :. x, y, z ( x + y ) + z = x + ( y + z ). x, y x + y = y + x T [ y y y ν ], z = [ z z z ν ] 3. x x + 0 = 0 + x, όπου 0 = [ ] Τ 4. x x + (- x ) = 0, όπου - x = [ -x -x -x ν ] Τ 5. x. x = x 6. x, y, k C k ( x + y ) = k x + k y 7. x, k, λ C ( k + λ ) x = k x + λ x 8. x, k, λ C k ( λ x ) = ( k λ ) x Οι συνθήκες αυτές χαρακτηρίζουν κάθε σύνολο που είναι διανυσµατικός χώρος όταν µεταξύ των στοιχείων του έχει ορισθεί η πρόσθεση και το γινόµενο επί αριθµό, έτσι ώστε: x, y x + y x, k C kx Ιδιαίτερα, αν k R το σύνολο ονοµάζεται πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Τα στοιχεία κάθε διανυσµατικού χώρου ονοµάζονται διανύσµατα. T

54 54 Σε κάθε διανυσµατικό χώρο αποδεικνύεται ότι 0 x = 0, k 0 = 0, ( - ) x = - x x, k C, k x = 0 k = 0 ή x = 0 Παραδείγµατα διανυσµατικών χώρων. Τα σηµεία µιας ευθείας ε ή επιπέδου Π που διέρχονται από την αρχή των συντεταγµένων Ο είναι διανυσµατικός χώρος µε τις γνωστές πράξεις πρόσθεσης και γινοµένου επί αριθµό, µεταξύ των σηµείων του: ( x, y, z ) + ( x, y, z ) = ( x + x, y + y, z + z ) k( x, y, z ) = ( kx, ky, kz ). Κάθε ευθεία ή επίπεδο που δεν περνά από την αρχή δεν είναι διανυσµατικός χώρος, αφού δεν περιέχουν το 0. Αλλά και κάθε ηµιευθεία ή ηµιεπίπεδο που περνά από την αρχή δεν είναι διανυσµατικός χώρος, αφού δεν περιέχει τα αντίθετα διανύσµατα.. Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου στο α τεταρτηµόριο (x 0, y 0) δεν είναι διανυσµατικός χώρος. Αρκεί να παρατηρήσουµε ότι για x = (, ), το σηµείο ( - ) x = ( -, - ) δεν ανήκει στο πρώτο τεταρτηµόριο. 3. Το σύνολο Π ν των πολυωνύµων βαθµού ν είναι διανυσµατικός χώρος µε τις γνωστές πράξεις πρόσθεσης πολυωνύµων και γινοµένου πολυωνύµου επί αριθµό. 4. Το σύνολο των πινάκων τύπου µ ν, µε πράξεις το γνωστό µας λογισµό στην ενότητα., είναι επίσης διανυσµατικός χώρος. Ένα υποσύνολο Ε του διανυσµατικού χώρου ονοµάζεται διανυσµατικός υπόχωρος ή απλά υπόχωρος του ακριβώς όταν είναι διανυσµατικός χώρος µε πράξεις αυτές που ορίσθηκαν στον. Αποδεικνύεται ότι για να συµβαίνει αυτό, ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι: x, y Ε k, λ C k x + λ y Ε Από κάθε πεπερασµένου πλήθους διανύσµατα του διανυσµατικού χώρου, το σύνολο Ε = { x : x = λ η + + λ ρ η ρ, λ i C } είναι υπόχωρος του και συµβολίζεται span { η,, η ρ }.Τα διανύσµατα η,, η ρ ονοµάζονται γεννήτορες του Ε, για δε το διάνυσµα x θα λέµε ότι είναι γραµµικός συνδυασµός αυτών.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU και QR

Μάθηµα 3 ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU και QR Ανάλυση Πινάκων Εφαρµογές Σελίδα από Μάθηµα ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU QR Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 45, εδάφιο, σελ 5, (όχι Πρόταση 5) εδάφιο 6, σελ 0 Ορισµοί : Ένας µ ν πίνακας ονοµάζεται πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 48) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση Αν {,,, } και {,,, } σύνολα διανυσµάτων του p p p ν q q q

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα