Numerické metódy matematiky I

Transcript

1 Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc

2 Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5. Metóda bisecie (polenie intervalu) 6. Rýchlosť onvergencie 7. Metóda regula falsi 8. Metóda sečníc 9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc) 10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 11. Aiten-Steffensenove metódy 12. Zopár poznámo 13. Literatúra

3 Opaovanie 1. prednášy OBSAH 1. Zdroje a typy chýb 2. Definície chýb 3. Zaorúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte 4. Reprezentácia čísel 5. Podmienenosť numericých úloh a numericá stabilita algoritmov

4 Zdroje a typy chýb Ľudsé chyby Chyba matematicého modelu rozdiel medzi riešením matematicého (často idealizovaného) problému a riešením reálneho problému Prílad: Výpočet povrchu Zeme pomocou vzorca S= 4 π r 2 Chyby vstupných dát spôsobené nepresnosťami pri meraní fyziálnych veličín

5 Zdroje a typy chýb Chyby numericej metódy Vzniajú pri náhrade pôvodnej matematicej úlohy jednoduchšou úlohou numericou. Odhad tejto chyby je dôležitou súčasťou riešenia numericej úlohy. Prílad: Výpočet hodnoty funcie sin x pre x=1 sčítaním onečného počtu členov Taylorovho rozvoja n1 n x x x x x sin x x 1 3! 5! 7! 9! 2 1! n Je známe, že sčítaním prvých n členov postupnosti sa dopustíme chyby veľosti najviac 1/ 2n 1!

6 Zdroje a typy chýb Zaorúhľovacie chyby Pri výpočtoch pracujeme s číslami zaorúhlenými na určitý počet miest. Tieto chyby sa môžu pri výpočte umulovať alebo aj navzájom rušiť. Prílad: Číslo π nevieme do počítača vložiť presne. Rovnao aj výsledo operácie 2/3 nebude v počítači presný. Pri riešení reálneho problému sa obvyle vysytujú všety chyby súčasne.

7 Definície chýb Nech x je presná hodnota nejaého čísla a je jej aproximácia. x x x x nazývame absolútna chyba aproximácie. Relatívna chyba x x x x x

8 Definície chýb Odhad chýb Každé nezáporné číslo x t.j. ε ε xε xxε, pre toré platí nazývame odhad absolútnej chyby. Každé nezáporné číslo x x δ δ, pre toré platí nazývame odhad relatívnej chyby. Často používame zápisy xx ε x x 1δ

9 Definície chýb Teraz posúďme chybu, torej sa dopustíme f x, x,..., xn f pri výpočte hodnoty 1 2 funcie, eď presné hodnoty x i nahradíme približnými hodnotami x i xi xi. x n f x f x i1 i f x x i A považujeme súčiny chýb x x i j za malé, máme pre absolútnu chybu x i i1 xi i1 x n n f f f x : f x f x x x x i i (1)

10 Zaorúhľovanie Nech x x je aproximácia čísla, torú zapíšeme v deadicom vyjadrení e e 1 e 1 x d1 10 d2 10 d 10, d10. Hovoríme, že -tá deadicá cifra d je platná a xx 1 0,5 10 e (3) t.j. eď sa líši od najviac o 5 jednotie rádu príslušného nasledujúcej cifre. A platí nerovnosť (3) pre, ale pre už neplatí, hovoríme, že x má p platných cifier a je správne zaorúhlenou hodnotou čísla na p platných cifier. x p p1 x x

11 Zaorúhľovanie Hovoríme, že -té desatinné miesto je platné a xx 0,510 (4) t.j. eď sa líši od najviac o 5 jednotie rádu nasledujúceho desatinného miesta. A platí nerovnosť (4) pre, ale pre už neplatí, hovoríme, že x x p p1 má p platných desatinných miest. x

12 Zaorúhľovanie Nieoľo príladov x x platné cifry platné desatinné miesta , , ,002 99, , , , , , ,

13 Reprezentácia čísel v počítači β p LU, zálad číselnej sústavy presnosť p 1 rozsah exponentu β 2 L0 U Každé číslo x F má tvar e d de 2 d d 3 p xmβ, md1 2 p 1 m je normalizovaná mantisa, d 0,1,..., β 1, i1,2,..., p i p je počet cifier mantisy a e LU, je celočíselný exponent. β β β sú cifry mantisy, Normalizácia mantisy znamená, že pre x 0 je d1 1.

14 Reprezentácia čísel v počítači Prílad Presúmajte, aé čísla môžeme zobraziť v modelovom binárnom systéme F v prípade, že mantisa má p=4 cifry a exponent e je obmedzený zdola číslom L=-3 a zhora číslom U=2, t.j. 3e 2

15 Podmienenosť numericých úloh a numericá stabilita algoritmov Pri numericom riešení rôznych úloh musíme súmať, aý vplyv na výsledo majú malé zmeny vo vstupných hodnotách a zaorúhľovanie počas výpočtu. Matematicú úlohu je možné chápať ao zobrazenie, toré u aždému vstupnému údaju x z množiny D vstupných dát priradí výsledo z množiny výstupných dát. y R y f x Hovoríme, že matematicá úloha y f x, xd, yr, je oretná, eď x D y R 1. u aždému vstupu existuje jediné riešenie, 2. toto riešenie závisí spojito na vstupných dátach, t.j. eď, potom. x a f x f a

16 Podmienenosť numericých úloh a numericá stabilita algoritmov Hovoríme, že oretná úloha je dobre podmienená, a malá zmena vo vstupných dátach vyvolá malú zmenu riešenia. Číslo podmienenosti úlohy definujeme ao C p relatívna chyba na výstupe relatívna chyba na vstupe A C p 1, je úloha dobre podmienená. Pre veľé C p (>100) je úloha zle podmienená.

17 Podmienenosť numericých úloh a numericá stabilita algoritmov Hovoríme, že algoritmus je dobre podmienený, a je málo citlivý na poruchy vo vstupných dátach. A je vplyv zaorúhľovacích chýb na výsledo malý, hovoríme o numericy stabilnom algoritme. Dobre podmienený a numericy stabilný algoritmus sa nazýva stabilný.

18 Podmienenosť numericých úloh a numericá stabilita algoritmov Prílady: 1. Korene vadraticej rovnice 2 x 2bx c 0 2. Výpočet integrálu n 1 0 n x1 E x e dx n 1,2,...

19 Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5. Metóda bisecie (polenie intervalu) 6. Rýchlosť onvergencie 7. Metóda regula falsi 8. Metóda sečníc 9. Newtonova metóda (metóda dotyčníc) 10. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 11. Aiten-Steffensenove metódy 12. Zopár poznámo 13. Literatúra

20 Niečo z funcionálnej analýzy Metricý priestor Definícia: Nech X je množina (prvov aéhooľve typu). Hovoríme, že na tejto množine je definovaná metria d, a aždým dvom prvom je priradené reálne číslo ta, že xy, X dxy, 1) d xy, 0 xy, X, d xy, 0 x y 2) d xy, d yx, xy, X 3) d xz, d xy, d yz, xyz,, X Množinu X s metriou d potom nazývame metricý priestor.

21 Niečo z funcionálnej analýzy Definícia: Nech X je metricý priestor s metriou d a nech je postupnosť prvov z X. Hovoríme, že postupnosti, a u aždému ε 0 x X x n n je limitou tejto existuje prirodzené číslo N taé, že pre všety n N platí d xn, x ε. 1 Postupnosť, torá ma limitu sa nazýva onvergentná.

22 Niečo z funcionálnej analýzy x n n je postupnosť prvov z X. Hovoríme, že táto postupnosť je Definícia: Nech X je metricý priestor s metriou d a nech cauchyovsá, a u aždému že pre všety n N ε 0 existuje prirodzené číslo N taé, a aždé prirodzené číslo platí d x, x ε. n n 1 Každá onvergentná postupnosť je cauchyovsá. Definícia: Metricý priestor je úplný a aždá cauchyovsá postupnosť v ňom má limitu.

23 Niečo z funcionálnej analýzy Definícia: Hovoríme, že F je zobrazenie množiny X do množiny Y, a aždému prvu píšeme, x práve jeden prvo F: X Y X yy, yf x je pomocou F priradený x X Definícia: Prvo sa nazýva pevný bod zobrazenia, a platí x. F x F: X X

24 Niečo z funcionálnej analýzy

25 Niečo z funcionálnej analýzy Definícia: Nech X je metricý priestor. Hovoríme, že zobrazenie F: X X je ontratívne a existuje že pre aždé dva prvy xy, α X, α, df x F y d xy platí 0,1 taé, Číslo α sa nazýva oeficient ontracie.

26 Niečo z funcionálnej analýzy de Veta: Nech X je úplný metricý priestor a F: X X je ontratívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia x n n 1 ξ lim x, n n, pre torý platí je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná: ξ

27 Niečo z funcionálnej analýzy de Veta: Nech X je úplný metricý priestor a F: X X je ontratívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia x n n 1 ξ lim x, n n, pre torý platí je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná: ξ x 0 je ľubovoľný prvo X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom x1 F x, 0,1,...

28 Niečo z funcionálnej analýzy de Veta: Nech X je úplný metricý priestor a F: X X je ontratívne zobrazenie. Potom existuje práve jeden bod tohto zobrazenia x n n 1 ξ lim x, n n, pre torý platí je tzv. postupnosť postupných aproximácií a je definovaná: ξ x 0 je ľubovoľný prvo X a ďalšie členy postupnosti sú definované predpisom x1 F x, 0,1,... Ďalej pre všety prirodzené čísla n platí: α d x d x x 1 α ξ,, n n n1 α d xn d xo x 1 α ξ,, n 1

29 Prednáša č. 2 OBSAH 1. Úvod 2. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 3. Metóda bisecie (polenie intervalu) 4. Rýchlosť onvergencie 5. Metóda regula falsi 6. Metóda sečníc 7. Newtonova metóda (metóda dotyčníc) 8. Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 9. Aiten-Steffensenove metódy 10. Zopár poznámo 11. Literatúra

30 Úvod Riešiť nelineárnu rovnicu znamená, hľadať taé body f (x)=0 x*, že f (x*)=0. Taéto body budeme nazývať orene rovnice (1). (1)

31 Úvod Riešiť nelineárnu rovnicu znamená, hľadať taé body f (x)=0 x*, že f (x*)=0. Taéto body budeme nazývať orene rovnice (1). (1) Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti nevieme vyjadriť explicitným vzorcom.

32 Úvod Riešiť nelineárnu rovnicu znamená, hľadať taé body f (x)=0 x*, že f (x*)=0. Taéto body budeme nazývať orene rovnice (1). (1) Korene nelineárnej rovnice f (x)=0 vo všeobecnosti nevieme vyjadriť explicitným vzorcom. Iteračné metódy: z jednej alebo nieoľých počiatočných aproximácií hľadaného oreňa x* generujeme postupnosť x0, x1, x2,, torá u oreňu x* onverguje.

33 Úvod Pre nietoré metódy stačí, eď zadáme interval ab,, torý obsahuje hľadaný oreň, iné vyžadujú, aby bola počiatočná aproximácia dosť blízo hľadanému oreňu. Často začíname s hrubou, avša spoľahlivou metódou a až eď sme dostatočne blízo oreňa prejdeme na jemnejšiu, rýchlejšie onvergujúcu metódu.

34 Úvod Pre jednoduchosť budeme uvažovať len problém určenia jednoduchého oreňa x* rovnice f (x)=0, t.j. predpoladáme, že f x* 0. Budeme tiež predpoladať, že funcia f (x) je spojitá a má toľo spojitých derivácií, oľo je v danej situácii potrebných.

36 Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie Pri hľadaní oreňov rovnice f (x)=0 najsôr zistíme, oľo oreňov rovnica má a nájdeme intervaly obsahujúce práve jeden oreň rovnice. Veta: A je funcia spojitá na intervale ab, a platí potom na intervale ab, f b0, f a leží aspoň jeden oreň rovnice f (x)=0.

37 Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie x*

38 Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie Počiatočnú aproximáciu oreňov rovnice f (x)=0 môžeme zistiť z grafu funcie f (x). x i, f x i a x x x x x b Inou možnosťou je zostavenie tabuľy 0 1 i1 i n ab, zvoleného intervalu. pre nejaé delenie

39 Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie Prílad: Zísajme hrubý odhad oreňov rovnice f (x)=0, de f x 4sin xx 1. 3

40 Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie Prílad: Zísajme hrubý odhad oreňov rovnice x e x e x 2 30 Riešenie: Zadanú funciu upravíme na tvar 3x 2

42 Metóda bisecie (polenie intervalu) Je založená na princípe znamienových zmien. Predpoladajme, že funcia f (x) má v oncových bodoch intervalu opačné znamiena, 0 0 t.j. platí f a0 f b0 0. Zostrojíme postupnosť intervalov Intervaly a, b a b a b a b a b,,,,, toré obsahujú oreň. a b 1, 1, 0,1, nasledovným spôsobom: určíme reurzívne

43 Metóda bisecie (polenie intervalu) a, b Nájdeme stred intervalu a označíme ho. x 1 1 a 2 b A f x potom a ončíme. 1 0 x* x 1 A f x potom 1 0 a, b 1 1 a x1 f a f x1 x b f a f x,, a 0,,, a

44 Metóda bisecie (polenie intervalu) a, b Nájdeme stred intervalu a označíme ho. x 1 1 a 2 b A f x potom a ončíme. 1 0 x* x 1 A f x potom 1 0 a, b 1 1 a x1 f a f x1 x b f a f x,, a 0,,, a Z onštrucie a vyplýva, že, taže 1, b 1 f a1 f b1 0 aždý interval a, obsahuje oreň. b

45 Metóda bisecie (polenie intervalu) Po rooch je oreň v intervale I : a, b b1 a1 I b a 2 b0a0. 2 dĺžy x a, b Stred intervalu aproximuje oreň x* s chybou 1 1 x x* b a 2 b a (2) Pre zrejme I 0 a x x*. Prílad: Koľo iterácií metódou bisecie musíme vyonať, aby sme spresnili oreň o jednu deadicú cifru?

46 Metóda bisecie (polenie intervalu) Metóda bisecie onverguje pomaly, ale onverguje vždy. Rýchlosť onvergencie (2) nezávisí na funcii f (x), pretože sme využívali len znamieno funčných hodnôt. Keď tieto hodnoty (a prípadne hodnoty derivácií f (x) ) využijeme efetívnejšie, môžeme dosiahnuť rýchlejšiu onvergenciu. Taéto spresňujúce metódy vša onvergujú, len a pre ne zvolíme dostatočne dobrú počiatočnú aproximáciu. Najčastejšie práve určenú metódou bisecie.

48 Rýchlosť onvergencie x, x, x, x* Nech je postupnosť, torá onverguje a e x x*. Keď existuje číslo p a onštanta C 0 taá, že p e lim C, e 1 p potom sa nazýva rád onvergencie postupnosti a je chybová onštanta. C (3) Špeciálne hovoríme, že lineárna, onvergencia je superlineárna, eď vadraticá, p1 a C1, p 1, p 2. Hovoríme, že daná metóda je rádu, a všety onvergentné postupnosti zísané touto metódou majú rád onvergencie väčší alebo rovný p a najmenej jedna z nich má rád onvergencie rovný presne. p p

49 Rýchlosť onvergencie Prílad: Aá je rýchlosť onvergencie metódy bisecie?

50 Rýchlosť onvergencie Prílad: Aá je rýchlosť onvergencie metódy bisecie? e lim C, e x x* e 1 p

51 Rýchlosť onvergencie Prílad: Aá je rýchlosť onvergencie metódy bisecie? x a, b Stred intervalu aproximuje oreň x* s chybou 1 1 x x* b a 2 b a

54 Rýchlosť onvergencie Prílad: Aá je rýchlosť onvergencie metódy bisecie? x a, b Stred intervalu aproximuje oreň x* s chybou 1 1 x x* b a 2 b a lim 1 x 1 * x 2 b0 a0 1 2 p p x * 2 2 b x b 0 a 0 0 a 0 p1

57 Rýchlosť onvergencie Prílad: Aá je rýchlosť onvergencie metódy bisecie? x a, b Stred intervalu aproximuje oreň x* s chybou 1 1 x x* b a 2 b a lim 1 x 1 * x 2 b0 a0 1 2 p p x * 2 2 b x b 0 a 0 0 a 0 p1 p 1, C 1 2

59 Metóda regula falsi Je veľmi podobná metóde bisecie. Deliacim bodom vša nie je polovica intervalu, ale prieseční sečnice vedenej bodmi a, f a a b, f b s osou x.

60 Metóda regula falsi Prieseční vypočítame podľa vzorca b a x b f b 1 f b f a

61 Metóda regula falsi Prieseční vypočítame podľa vzorca b a x b f b 1 f b f a A f x potom a ončíme. 1 0 x* x 1 A f x potom 1 0 a, b 1 1 a x1 f a f x1 x b f a f x,, a 0,,, a Z onštrucie a vyplýva, že, taže 1, b 1 f a1 f b1 0 aždý interval a, obsahuje oreň. b

62 Metóda regula falsi I : a, b Po rooch je oreň v intervale. Na rozdiel od metódy bisecie vša dĺža intervalu I neonverguje nule. Metóda regula falsi je vždy onvergentná. Rýchlosť onvergencie je len (podobne ao metódy bisecie) lineárna.

64 Metóda sečníc Je veľmi podobná metóde regula falsi.

65 Metóda sečníc Je veľmi podobná metóde regula falsi. Vychádzame z intervalu ab, Označíme x0 a a 1. obsahujúceho oreň rovnice. Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a a 1 1 nájdeme jej prieseční s osou x. Ten označíme x 2. x b x, f x x, f x

66 Metóda sečníc Je veľmi podobná metóde regula falsi. Vychádzame z intervalu ab, Označíme x0 a a 1. obsahujúceho oreň rovnice. Vedieme sečnicu bodmi 0 0 a a 1 1 nájdeme jej prieseční s osou x. Ten označíme x 2. Na rozdiel od metódy regula falsi vša teraz nevyberáme interval obsahujúci oreň, ale vedieme sečnicu bodmi, ich prieseční označíme x 3. Potom vedieme sečnicu bodmi 2 2 a 3 3, atď. x b x, f x x, f x x, f x, x, f x x, f x x, f x

67 Metóda sečníc

68 Metóda sečníc V -tom rou metódy počítame aproximáciu oreňa podľa x a, x b. Kde 0 1 x x x x f x 1 1 f x f x1,

69 Metóda sečníc V -tom rou metódy počítame aproximáciu oreňa podľa Kde x a, x b. 0 1 x x x x f x 1 1 f x f x1, Výpočet uončíme, eď je splnená podmiena stop ritérium x x ε prípadne 1, x1 x ε x, alebo alebo eď narazíme priamo na oreň. f x 1 ε,

70 Metóda sečníc V -tom rou metódy počítame aproximáciu oreňa podľa Kde x a, x b. 0 1 x x x x f x 1 1 f x f x1, Výpočet uončíme, eď je splnená podmiena stop ritérium x x ε 1, alebo prípadne alebo eď narazíme priamo na oreň. f x 1 ε, x x x 1 ε, Pozor! Daná podmiena nezaručuje, že platí x 1 x* ε.

71 Metóda sečníc V -tom rou metódy počítame aproximáciu oreňa podľa Kde x a, x b. 0 1 x x x x f x 1 1 f x f x1, Výpočet uončíme, eď je splnená podmiena stop ritérium x x ε 1, alebo prípadne alebo eď narazíme priamo na oreň. f x 1 ε, x x x 1 ε, Pozor! Daná podmiena nezaručuje, že platí x 1 x* ε. Prílad: Ao sa presvedčíme, že je daná podmiena splnená?

72 Metóda sečníc Metóda sečníc môže aj divergovať!

73 Metóda sečníc Metóda sečníc onverguje rýchlejšie než regula falsi, ale môže aj divergovať.

74 Metóda sečníc Metóda sečníc onverguje rýchlejšie než regula falsi, ale môže aj divergovať. Zaručene onverguje vtedy, a zvolíme štartovacie body x1 a x 2 dostatočne blízo oreňu x*.

75 Metóda sečníc Metóda sečníc onverguje rýchlejšie než regula falsi, ale môže aj divergovať. Zaručene onverguje vtedy, a zvolíme štartovacie body x1 a x 2 dostatočne blízo oreňu x*. Dá sa odvodiť, že rýchlosť onvergencie je rádu 1 p , 2 t.j. je superlineárna.

77 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami u grafu funcie f. Preto predpoladajme, že funcia f má deriváciu.

78 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Už podľa názvu vieme, že budeme pracovať s dotyčnicami u grafu funcie f. Preto predpoladajme, že funcia f má deriváciu. Zvolíme počiatočnú aproximáciu oreňa x 0. x, f x Bodom vedieme dotyčnicu u grafu funcie f. 0 0 Jej prieseční s osou x označíme x 1. Potom vedieme dotyčnicu bodom x, 1, f x 1 jej prieseční s osou x označíme x 2, atď.

79 Newtonova metóda (metóda dotyčníc)

80 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Predpoladajme, že poznáme x a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu x. 1

81 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Predpoladajme, že poznáme x a chceme vypočítať lepšiu aproximáciu x. 1 x, f x Bodom vedieme dotyčnicu u rive. y : 0 Do rovnice dotyčnice y f x f x xx dosadíme a zísame ta prieseční dotyčnice s osou : x f x 1 x f x. y f x x

82 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Nech e x x* Urobme Taylorov rozvoj je chyba v -tom rou. oolo de je nejaý bod intervalu, torého rajné hodnoty sú a. f x f x* f xx* x f x x* x f ξ, 2 ξ * x x x*

83 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Nech e x x* Urobme Taylorov rozvoj je chyba v -tom rou. oolo de je nejaý bod intervalu, torého rajné hodnoty sú a. Po úpravách dostaneme f x f x* f xx* x f x x* x f ξ, 2 ξ ξ ξ x * 1 2 f f x x* x x* x 2 f x f x 1 f ξ f x x* x x* x x* x f e e1 2 f 2 1 f x f x x x x*

87 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Keď urobíme limitu 1 f ξ x 2 e 1 2 e f 1 2 ξ x e f lim 2. e f (4) Pripomeňme definíciu rádu onvergencie: x, x, x, x* Nech je postupnosť, torá onverguje a e x x*. Keď existuje číslo p a onštanta C 0 taá, že p e lim C, e 1 p potom sa nazýva rád onvergencie postupnosti a je chybová onštanta. C Newtonova metóda onverguje vadraticy.

88 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Newtonova metóda môže aj divergovať

89 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Otáza: Za aých podmieno je Newtonova metóda onvergentná?

90 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Otáza: Za aých podmieno je Newtonova metóda onvergentná? Predpoladajme, že v nejaom oolí I oreňa platí 1 2 f f y x m pre všety xi, yi.

91 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Otáza: Za aých podmieno je Newtonova metóda onvergentná? Predpoladajme, že v nejaom oolí I oreňa platí 1 2 f f e y x m pre všety xi, yi. A x I, potom zo (4) vyplýva me alebo me1 me.

92 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Otáza: Za aých podmieno je Newtonova metóda onvergentná? Predpoladajme, že v nejaom oolí I oreňa platí 1 2 f f e y x m pre všety xi, yi. A x I, potom zo (4) vyplýva me alebo me1 me. Opaovaním tejto úvahy dostaneme me me me me me A platí me0 1, potom istotne e 1 0 a teda x1 x*.

96 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) - onvergencia Otáza: Za aých podmieno je Newtonova metóda onvergentná? Predpoladajme, že v nejaom oolí I oreňa platí 1 2 f f e y x m pre všety xi, yi. A x I, potom zo (4) vyplýva me alebo me1 me. Opaovaním tejto úvahy dostaneme me me me me me A platí me0 1, potom istotne e 1 0 a teda x1 x*. Newtonova metóda vždy onverguje za predpoladu, že počiatočnú aproximáciu zvolíme dostatočne blízo oreňa.

97 Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Veta: (Fourierova podmiena) ab, Nech v intervale leží jediný oreň rovnice a f x f x nech a sú spojité a nemenia znamieno na intervale. A zvolíme za počiatočnú aproximáciu x0, aby bola splnená podmiena f x f x 0 0 0, Newtonova metóda bude onvergovať. 0 f x ab ta, ab, Praticý význam vša Fourierova podmiena nemá, pretože pre veľé ba obvyle podmiena neplatí alebo ju nevieme ľaho overiť.

98 Kombinovaná metóda Dobrú počiatočnú aproximáciu x 0 môžeme zísať napr. metódou bisecie. Vhodným spojením metódy bisecie a Newtonovej metódy je možné zostrojiť ombinovanú metódu, torá vždy onverguje. napr. procedúra rtsafe v Numerical Recipes; v blízosti oreňa sa uplatní len Newtonova metóda, taže onvergencia je rýchla.

99 Steffensenova metóda Steffensenova metóda je modifiáciou Newtonovej metódy x v torej sa derivácia f x f x 1 x, f x f nahrádza výrazom, f x h f x h

100 Steffensenova metóda Steffensenova metóda je modifiáciou Newtonovej metódy h x v torej sa derivácia f x nahrádza výrazom de je číslo, toré sa s rastúcim indexom blíži nule. f x 1 x, f x f, f x h f x h

101 Steffensenova metóda Steffensenova metóda je modifiáciou Newtonovej metódy h x v torej sa derivácia f x nahrádza výrazom de je číslo, toré sa s rastúcim indexom blíži nule. f x 1 x, f x f, f x h f x h h Volíme. f x

102 Steffensenova metóda Steffensenova metóda je modifiáciou Newtonovej metódy h x v torej sa derivácia f x nahrádza výrazom de je číslo, toré sa s rastúcim indexom blíži nule. f x 1 x, f x f, f x h f x h h Volíme. f x Oproti metóde sečníc je tu jedno vyhodnotenie funcie navyše. Na druhej strane sa dá uázať, že rýchlosť onvergencie Steffensenovej metódy je rovnaá ao Newtonovej metódy, teda vadraticá.

104 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice je apliáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií, ta ao sme si ju popísali v rátom úvode do funcionálnej analýzy.

105 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice je apliáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií, ta ao sme si ju popísali v rátom úvode do funcionálnej analýzy. Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar x gx. Funcia g sa nazýva iteračná funcia.

106 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice je apliáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií, ta ao sme si ju popísali v rátom úvode do funcionálnej analýzy. Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar x gx. Funcia g sa nazýva iteračná funcia. Teraz budeme namiesto oreňov pôvodnej rovnice hľadať pevný bod funcie g (x). Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode.

107 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Metóda jednoduchých iterácií pre riešenie nelineárnej rovnice je apliáciou všeobecnej metódy postupných aproximácií, ta ao sme si ju popísali v rátom úvode do funcionálnej analýzy. Rovnicu f (x) = 0 upravíme na tvar x gx. Funcia g sa nazýva iteračná funcia. Teraz budeme namiesto oreňov pôvodnej rovnice hľadať pevný bod funcie g (x). Urobíme to postupom popísaným vo Vete o pevnom bode. Zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 a ďalšie aproximácie počítame ao x1 gx.

108 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu)

109 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Týmto spôsobom nemusíme prísť pevnému bodu funcie g.

110 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Povedali sme si, že metóda postupných aproximácií onverguje, a je zobrazenie, torého pevný bod hľadáme, ontratívne. Pri funcii jednej premennej ontrativita úzo súvisí s rýchlosťou rastu funcie.

111 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Veta: Nech funcia g zobrazuje interval a má na tomto intervale deriváciu. A existuje číslo taé, že do seba potom v intervale existuje pevný bod funcie g a postupnosť postupných aproximácií x 1 α nemu onverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ab,. g x 0,1 ab, α,, g x x ab ab, x*

112 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Veta: Nech funcia g zobrazuje interval a má na tomto intervale deriváciu. A existuje číslo taé, že do seba potom v intervale existuje pevný bod funcie g a postupnosť postupných aproximácií x 1 α nemu onverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ab,. Ďalej platí g x 0,1 ab, α,, g x x ab ab, x* x x* α x x1. 1α

113 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) Veta: Nech funcia g zobrazuje interval a má na tomto intervale deriváciu. A existuje číslo taé, že do seba potom v intervale existuje pevný bod funcie g a postupnosť postupných aproximácií x 1 α nemu onverguje pre ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu x0 ab,. Ďalej platí g x 0,1 ab, α,, g x x ab ab, x* x x* α x x1. 1α Potom sa dá uázať, že rýchlosť onvergencie je lineárna.

114 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. x

115 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funcie f, x 0 f x

116 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funcie f, potom rovnicu vynásobíme -1 x 0 f x

117 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funcie f, potom rovnicu vynásobíme -1 a naoniec na obe strany pripočítame. x 0 f x x

118 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funcie f, potom rovnicu vynásobíme -1 a naoniec na obe strany pripočítame. Dostaneme x 0 f x x. f x x x f x

119 Metóda jednoduchých iterácií (metóda pevného bodu) 0 f x Spôsobov, ao z rovnice vyjadriť, je neonečne veľa. Jednou z možností je vydeliť rovnicu deriváciou funcie f, potom rovnicu vynásobíme -1 a naoniec na obe strany pripočítame. Dostaneme x 0 f x x. f x x x f x Newtonova metóda je špeciálnym prípadom metódy jednoduchých iterácií.

121 Aiten-Steffensenove metódy Pripomeňme definíciu rádu onvergencie: x, x, x, x* Nech je postupnosť, torá onverguje a e x x*. Keď existuje číslo p a onštanta C 0 taá, že p e lim C, e 1 p potom sa nazýva rád onvergencie postupnosti a je chybová onštanta. C Predpoladajme lineárnu onvergenciu iteračnej metódy x1 gx, t.j. platí x* lim C. x x* x 1

122 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, 1

123 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, 1 x1 x* C x x*,

124 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, z torých vypočítame oreň x* 1 x1 x* C x x*,

125 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, z torých vypočítame oreň x* 1 x1 x* C x x*, x x* x1 x* x x* x x* x x* x x* x x* * * 1 1 * 1 1 * * 1 12 x* x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2x x 1 1

126 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, 1 x1 x* C x x*, z torých vypočítame oreň x* 2 x 2 1x1 x x x1 x x*, x x x x x x

127 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, z torých vypočítame oreň x* 2 x 2 1x1 x x x1 x pričom x1 x* C x x*, x*, x x x x x x, x g x x g x g g x

128 Aiten-Steffensenove metódy Konvergenciu metódy jednoduchých iterácií môžeme zrýchliť nasledovne: Predpoladajme, že. Potom platia približné rovnosti 1 x x* C x x*, z torých vypočítame oreň x* 2 x 2 1x1 x x x1 x pričom Tato môžeme definovať nový iteračný vzorec 2 gx x x1 x. ggx2gx x 1 x1 x* C x x*, x*, x x x x x x, x g x x g x g g x Dostali sme Aiten-Steffensenovu iteračnú metódu na výpočet oreňa rovnice. x* x g x

129 Aiten-Steffensenove metódy A zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 dostatočne blízo oreňa x* a a g x* 1, Aiten-Steffensenova metóda onverguje vadraticy.

130 Aiten-Steffensenove metódy A zvolíme počiatočnú aproximáciu x 0 dostatočne blízo oreňa x* a a g x* 1, Aiten-Steffensenova metóda onverguje vadraticy. A g x* 1, onvergencia tejto metódy je pomalá.

132 Zopár poznámo Poznáma (O násobných oreňoch) x* f x 0 g x f x / x x* q x* Hovoríme, že oreň rovnice má násobnosť q, a funcia je v bode definovaná a oreň v ňom už má, t.j. eď 0 g x*.

133 Zopár poznámo Poznáma (O násobných oreňoch) x* f x 0 g x f x / x x* q x* Hovoríme, že oreň rovnice má násobnosť q, a funcia je v bode definovaná a oreň v ňom už má, t.j. eď A má funcia spojité derivácie až do rádu j 0 g x*. f x v oolí oreňa q včítané, potom f x* 0, j0,1,, q1. Nietoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenie násobných oreňov, onvergencia vša býva pomalšia. x*

134 Zopár poznámo Poznáma (O násobných oreňoch) x* f x 0 g x f x / x x* q x* Hovoríme, že oreň rovnice má násobnosť q, a funcia je v bode definovaná a oreň v ňom už má, t.j. eď A má funcia spojité derivácie až do rádu j 0 g x*. f x v oolí oreňa q včítané, potom f x* 0, j0,1,, q1. Nietoré z doposiaľ uvedených metód je možné použiť tiež na nájdenie násobných oreňov, onvergencia vša býva pomalšia. Keď očaávame, že rovnica že funcia 0 f x je vhodné použiť to, / u x f x f x x* môže mať násobné orene, má len jednoduchý oreň.

135 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) 0 Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x.

136 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ x* de je nejaý bod ležiaci medzi a. x 0

137 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, δ pričom. x x* f x f x δ δ 0

138 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, δ 0 pričom. Potom najlepší výsledo, aý môžeme dosiahnuť, je f x 0. x x* f x f x δ δ

139 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, pričom. Potom najlepší výsledo, aý môžeme dosiahnuť, je f x 0. V tom prípade δ f x x, taže x* f x f x δ δ δ 0

140 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, pričom. Potom najlepší výsledo, aý môžeme dosiahnuť, je f x 0. x V tom prípade δ x x* f x f x δ δ f x, taže δ δ δ x f ξ f x* f x * x* : ε x, f 0

141 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, pričom. Potom najlepší výsledo, aý môžeme dosiahnuť, je f x 0. x V tom prípade δ x x* f x f x δ δ f x, taže δ δ δ x f ξ f x* f x * x* : ε x, f 0

142 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, pričom. Potom najlepší výsledo, aý môžeme dosiahnuť, je f x 0. x V tom prípade δ x x* f x f x δ δ f x, taže δ δ δ x f ξ f x* f x * x* : ε x, f poiaľ sa f v blízosti oreňa príliš nemení. 0

143 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Nech x je aproximácia jednoduchého oreňa rovnice f x. Pomocou vety o strednej hodnote dostaneme ξ f x f x f x* f x x*, ξ de je nejaý bod ležiaci medzi a. Predpoladajme, že pri výpočtoch pracujeme len s približnými hodnotami, pričom. Potom najlepší výsledo, dosiahnuteľná aý môžeme dosiahnuť, presnosť oreňa je f x x* 0. x V tom prípade δ x* * Vypočítať x* s menšou chybou než ε x sa nedá. x f x f x δ δ f x, taže δ δ δ x f ξ f x* f x * x* : ε x, f poiaľ sa f v blízosti oreňa príliš nemení. 0

144 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) A je smernica v oreni malá, potom je dosiahnuteľná presnosť veľmi veľá - zle podmienený problém f x* x*

145 Zopár poznámo Poznáma (O dosiahnuteľnej presnosti) Podobná úvaha pre oreň násobnosti q dáva dosiahnuteľnú presnosť ε δ q *! x f q x* 1 q. 1/q Exponent je príčinou toho, že výpočet násobného oreňa je všeobecne zle podmienená úloha.

147 Literatúra

148 Literatúra

149 Literatúra