Gramatiky. Kapitola Úvod. 1.2 Návrh gramatík

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Gramatiky. Kapitola Úvod. 1.2 Návrh gramatík"

Transcript

1 Kapitola 1 Gramatiky 1.1 Úvod Základnými spôsobmi reprezentácie jazykov sú rozpoznávanie a generovanie. Gramatika je reprezentáciou jazyka generovaním. Gramatika je konečná množina pravidiel, ktorých postupnou aplikáciou je možné získať zo štartovacieho symbolu vetu(reťazec) patriacu do jazyka. Formálna gramatika: G = (V N,V T,P,S) V N V T Jazyk generovaný gramatikou: { } L(G) = w VT S w P S -množinaneterminálnychsymbolov -množinaterminálnychsymbolov -množinapravidieltvaru α β α (V N V T ) VT β (V N V T ) -štartovacísymbol S V N Klasifikácia gramatík(na základe tvaru pravidiel α β): Typ gramatiky Názov gramatiky Tvar pravidiel 0 frázová 1 kontextová α β 2 bezkontextová A β A V N 3 regulárna A ab A,B V N A a a V T 1.2 Návrh gramatík Príklad1.1 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {0 n n 1} S 0 S 0S Pozn. Pravidlá možno zapísať aj v zjednodušenom tvare S 0 S 0S regulárna gramatika, regulárny jazyk 1

2 2 Gramatiky Príklad1.2 Navrhnitegramatikuprejazyk L = { 0 2n n 1 } S 00 S 00S bezkontextová gramatika, regulárny jazyk S 0A A 0 S 0B B 0S regulárna gramatika, regulárny jazyk Príklad1.3 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {0 n 1 n n 1} S 01 S 0S1 bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk Príklad1.4 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {x {0,1} } S 0 1 0S 1S regulárna gramatika, regulárny jazyk Príklad1.5 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {x {0,1} x neobsahuje 11} S 0 1 0S 1A A 0 0S regulárna gramatika, regulárny jazyk Príklad1.6 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {x {0,1} N 0 (x) = N 1 (x)},kde N i (x)jepočetsymbolov i vreťazcix. S 0J 0SJ J 1 0J J0 kontextová gramatika, bezkontextový jazyk S 0J 1N 0JS 1NS J 1 0JJ N 0 1NN bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk

3 1.2 Návrh gramatík 3 Príklad1.7 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {x {a,b,c} N a (x) = N b (x) = N c (x)},kde N i (x)je počet symbolov i v reťazci x. S ABC ABCS A a B b C c AB BA AC CA BA AB CA AC BC CB CB BC kontextová gramatika, kontextový jazyk Príklad1.8 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {a n b n c n n 1} S abc asbc cb Bc bb bb kontextová gramatika, kontextový jazyk Príklad1.9 Navrhnitegramatikuprejazyk L = { xcx R x {0,1} },kde x R jezrkadlovýobrazreťazca x. S 0S0 1S1 c bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk Príklad1.10 Navrhnitegramatikuprejazyk L = { xcx R x a 2 b 2 b a },kde x R jezrkadlovýobrazreťazca x. S aabbbbbaa B bbb aca bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk Príklad1.11 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {xcx x {0,1} } S 0SN 1SJ c cj c1 cn c0 0J J0 1J J1 0N N0 1N N1 kontextová gramatika, kontextový jazyk

4 4 Gramatiky Príklad1.12 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {xx x {0,1} } S 0SN 1SJ X XJ X1 XN X0 0J J0 1J J1 0N N0 1N N1 0X 0 1X 1 frázová gramatika, kontextový jazyk S 0SN 1SJ N N J J N 0 J 1 N J N 1 J J J 1 N N N 0 J N J 0 0J J0 1J J1 0N N0 1N N1 kontextová gramatika, kontextový jazyk Príklad 1.13 Navrhnite gramatiku pre jazyk zátvorkových výrazov(zv), definovaných: ()jezv { } αβ ak α,βsúzv,potomaj súzv (α) S () (S) SS bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk Príklad 1.14 Navrhnite gramatiku pre jazyk boolovských výrazov(bv) nad abecedou V={a,b,c}, definovaných: 0jebv 1jebv xjebv, x V ak α,βsúbv,potomaj S 0 1 a b c (S S) (S S) (S) (α β) (α β) (α) súbv bezkontextová gramatika, bezkontextový jazyk Príklad1.15 Navrhnitegramatikuprejazyk L = {x {0,1} N 0 (x) = 2 N 1 (x)} S 00J 00SJ J 1 0J J0 kontextová gramatika, bezkontextový jazyk

5 1.3 Rekurzívnosť kontextových jazykov Rekurzívnosť kontextových jazykov Príklad 1.16 Rozhodnite(dokážte), či slovo w = patrí do jazyka generovaného gramatikou G s pravidlami S 01 0S1 T 6 0 = {S} T 6 1 = T 6 0 {0S1,01} T 6 2 = T 6 1 {00S11,0011} T 6 3 = T 6 2 {000111} T 6 4 = T 6 3 w T 6 4 = w L(G) Príklad1.17 Rozhodnite(dokážte),čislová w 1 = aaaabbbbb,w 2 = aaabbbcccpatriadojazykagenerovaného gramatikou G s pravidlami S abc asbc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc T 9 0 = {S} T 9 1 = T 9 0 {abc,asbc} T 9 2 = T 9 1 {abc,aabcbc,aasbcbc} T 9 3 = T 9 2 {abc,aabcbc,aabbcc,aaabcbcbc,aasbbcc} T 9 4 = T 9 3 {aabcbc,aabbcc,aaabcbcbc,aaabbccbc,aaabcbbcc} T 9 5 = T 9 4 {aabbcc,aaabcbcbc,aaabbccbc,aaabcbbcc,aaabbcbcc} T 9 6 = T 9 5 {aabbcc,aaabcbbcc,aaabbccbc,aaabbcbcc,aaabbbccc} T 9 7 = T 9 6 {aabbcc,aaabbccbc,aaabbcbcc,aaabbbccc} T 9 8 = T 9 7 {aaabbccbc,aaabbcbcc,aaabbbccc} T 9 9 = T 9 8 {aaabbbccc} T 9 10 = T 9 9 {aaabbbccc} T 9 11 = T 9 10 {aaabbbccc} T 9 12 = T 9 11 {aaabbbccc} T 9 13 = T 9 12 w 1 / T 9 13 = w 1 / L(G) w 2 T 9 13 = w 2 L(G)

6 6 Gramatiky

7 Kapitola 2 Konečné automaty s výstupom 2.1 Úvod Konečný automat typu Mealy: M = (Q,S,R,f,g,q 0 ) Q - konečná množina stavov S - vstupná abeceda R - výstupná abeceda f -prechodováfunkcia f : Q S Q g -výstupnáfunkcia g : Q S R -počiatočnýstav q 0 Q(nepovinný) Činnosť automatu: T M : S R Reprezentácie: q 0 tabuľkafunkciífag prechodová tabuľka stavový diagram 2.2 Návrh konečného automatu Príklad { 2.1 Navrhnite konečný automat(s, R = {0, 1}) realizujúci zobrazenie: 1 akpočet1vs(1),...,s(t)jedeliteľný2 r(t) = 0 inak 7

8 8 Konečné automaty s výstupom Príklad { 2.2 Navrhnite konečný automat(s, R = {0, 1}) realizujúci zobrazenie: 1 akpočet1ajpočet0vs(1),...,s(t)jedeliteľný2 r(t) = 0 inak Príklad { 2.3 Navrhnite konečný automat(s, R = {0, 1}) realizujúci zobrazenie: 1 akpočet0vs(1),...,s(t)jedeliteľný3 r(t) = 0 inak Príklad { 2.4 Navrhnite konečný automat(s, R = {0, 1}) realizujúci zobrazenie: 1 akvstupkončí00,tedas(t-1)=0,s(t)=0 r(t) = 0 inak

9 2.2 Návrh konečného automatu 9 Príklad { 2.5 Navrhnite konečný automat(s, R = {0, 1}) realizujúci zobrazenie: 1 akvstupkončí1010,tedas(t)=0,s(t-1)=1,s(t-2)=0,s(t-3)=1 r(t) = 0 inak Príklad2.6 { Navrhnitekonečnýautomat(S = {0,1} 2,R = {0,1})realizujúcizobrazenie: 1 akvstupkončí011011,tedas(t)=11,s(t-1)=10,s(t-2)=01 r(t) = 0 inak Príklad2.7 Navrhnitekonečnýautomat(S = {0,1} 2,R = {0,1} 2 )realizujúcizobrazenie: r(t) = s(t 1)

10 10 Konečné automaty s výstupom Príklad 2.8 Navrhnite konečný automat(s = {0, 1}, R = {0, 1}) realizujúci výpočet: z(t) = x(t) z(t 1) w(t 1) w(t) = x(t) w(t 1) z(t-1) w(t-1) x(t) z(t) w(t) Príklad 2.9 Navrhnite konečný automat simulujúci prácu neurónovej siete zobrazenej na nasledujúcom obrázku(a),kdeijevstupaojevýstup,signálymožunadobúdaťhodnoty0a1.neurónjezobrazenýako kruh s prahovým číslom uprostred a môže byť v dvoch stavoch: vybudený(1) alebo nevybudený(0). Do stavu vybudený sa dostane, ak súčet budiacich signálov zmenšený o súšet brzdiacich signálov je najmenej rovný prahovému číslu.

11 2.2 Návrh konečného automatu 11 Príklad 2.10 Navrhnite konečný automat počítajúci súčet modulo 2 dvojíc po sebe idúcich hodov dvoma mincamisostranamioznačenými1a2(teda S = 11,12,21,22).

12 12 Konečné automaty s výstupom 2.3 Podobnosť automatov typu Mealy a Moore Konečný automat typu Moore: M = (Q,S,R,f,h,q 0 ) Q - konečná množina stavov S - vstupná abeceda R - výstupná abeceda f -prechodováfunkcia f : Q S Q h -výstupnáfunkcia h : Q R -počiatočnýstav q 0 Q(nepovinný) q 0 Kukaždémuautomatu M s = (Q s,s,r,f s,h,q 0s )typumooreexistujepodobnýautomat M t = (Q t,s,r,f t,g,q 0t ) typu Mealy a naopak. Moore = Mealy Mealy = Moore Q t = Q s f t = f s q 0t = q 0s g = h f Q s = Q t R f s ((q,x),a) = (p,r) f t (q,a) = p q t (q,a) = r q 0s = (q 0t,r)preniektoré r R h((q,r)) = r Príklad 2.11 K danému Moore automatu nájdite podobný Mealy automat Príklad 2.12 K danému Mealy automatu nájdite podobný Moore automat

13 2.3 Podobnosť automatov typu Mealy a Moore 13 Príklad 2.13 K danému Mealy automatu nájdite podobný Moore automat Príklad 2.14 K danému Mealy automatu nájdite podobný Moore automat Príklad 2.15 K danému Mealy automatu nájdite podobný Moore automat

14 14 Konečné automaty s výstupom Príklad 2.16 K danému Mealy automatu nájdite podobný Moore automat

15 2.4 Ekvivalencia stavov a redukcia automatu Ekvivalencia stavov a redukcia automatu Príklad 2.17 K danému Mealy automatu nájdite redukovaný Mealy automat Prechodová tabuľka Q \S 0 1 A B/1 D/1 B B/0 C/0 C A/0 A/0 D D/0 E/0 E A/0 A/0 Rozklad na triedy ekvivalentných stavov P 1 : {A}, {B,C,D,E} P 2 : {A}, {B,D}, {C,E} P 3 : {A}, {B,D}, {C,E} P 3 = P 2 Redukovaný automat: Príklad 2.18 Nájdite ekvivalentné stavy v danom Mealy automate Q \S 0 1 q0 q1/1 q2/1 q1 q1/0 q4/0 q2 q3/1 q0/1 q3 q3/0 q0/0 q4 q4/1 q2/0 q5 q0/0 q4/0 P 1 : {q0,q2}, {q1,q5}, {q3}, {q4} P 2 : {q0}, {q2}, {q1}, {q5}, {q3}, {q4} P 3 : {q0}, {q2}, {q1}, {q5}, {q3}, {q4} P 3 = P 2 Neobsahuje ekvivalentné stavy.

16 16 Konečné automaty s výstupom Príklad 2.19 K danému Mealy automatu nájdite redukovaný Mealy automat Q \S 0 1 A B/1 C/1 B B/0 E/0 C D/1 A/1 D D/0 A/0 E E/1 C/0 F A/0 E/0 P 1 : {A,C}, {B,F }, {D}, {E} P 2 : {A}, {C}, {B}, {F }, {D}, {E} P 3 : {A}, {C}, {B}, {F }, {D}, {E} P 3 = P 2 Automat neobsahuje ekvivalentné stavy, je redukovaný. Príklad 2.20 Pre Mealy automat zadaný prechodovou tabuľkou nájdite ekvivalentné stavy: Q \S a b A E/0 F/0 B G/0 G/0 C I/0 F/1 D A/1 C/0 E A/0 I/1 F B/0 J/1 G H/0 C/1 H I/1 A/1 I J/1 I/0 J I/1 I/0 P 1 : {A,B}, {C,E,F,G}, {D,I,J}, {H} P 2 : {A,B}, {C}, {E,F }, {G}, {D}, {I,J}, {H} P 3 : {A}, {B}, {C}, {E,F }, {G}, {D}, {I,J}, {H} P 4 : {A}, {B}, {C}, {E}, {F }, {G}, {D}, {I,J}, {H} P 5 = P 4

17 2.4 Ekvivalencia stavov a redukcia automatu 17 Príklad 2.21 K danému Mealy automatu nájdite redukovaný Mealy automat Q \S a b c q1 q5/1 q2/1 q5/0 q2 q1/1 q7/1 q2/0 q3 q2/0 q7/0 q8/1 q4 q8/0 q3/0 q2/1 q5 q1/0 q6/1 q1/0 q6 q1/1 q7/1 q2/0 q7 q6/0 q3/0 q8/1 q8 q6/1 q8/0 q8/1 P 1 : {q1,q2,q6}, {q3,q4,q7}, {q5}, {q8} P 2 : {q1}, {q2,q6}, {q3,q7}, {q4}, {q5}, {q8} P 3 : {q1}, {q2,q6}, {q3,q7}, {q4}, {q5}, {q8} P 3 = P 2

18 18 Konečné automaty s výstupom 2.5 Ekvivalencia automatov Príklad2.22 Zistite,čisúdanéMealyautomaty M 1 a M 2 ekvivalentné M = M 1 M 2 Q \S 0 1 A C/0 B/0 B A/1 C/0 C B/0 A/1 I L/0 J/0 J I/1 K/0 K J/0 I/1 L M/0 I/1 M I/1 L/0 P 1 : {A,I}, {B,J,M}, {C,K,L} P 2 : {A,I}, {B,J,M}, {C,K,L} P 2 = P 1 Kukaždémustavuautomatu M 1 existujeekvivalentnýstav vautomate M 2 anaopak,tedaautomatysúekvivalentné. Príklad2.23 Zistite,čisúdanéMealyautomaty M 1 a M 2 ekvivalentné M = M 1 M 2 Q \S a b A A/0 B/1 B B/0 C/1 C C/1 D/1 D A/1 B/1 E H/1 G/1 F F/1 E/1 G E/0 F/1 H H/0 G/1 P 1 : {A,B,G,H}, {C,D,E,F } P 2 : {A,H}, {B,G}, {C,F }, {D,E} P 3 = P 2 M 1 M 2

19 Kapitola 3 Konečno-stavové akceptory 3.1 Úvod Deterministický konečno-stavový automat(dksa): M = (Q,S,f,q 0,F) Q - konečná množina stavov S - vstupná abeceda f -prechodováfunkcia f : Q S Q q 0 -počiatočnýstav q 0 Q F -množinafinálovýchstavov F Q Jazyk akceptovaný automatom: L(M) = {w S q 0 w qf, q F F } Nedeterministický konečno-stavový automat(ndksa): M = (Q,S,P,I,F) Q - konečná množina stavov S - vstupná abeceda P -prechodováfunkcia P : Q S 2 Q I -množinapočiatočnýchstavov I Q F -množinafinálnychstavov F Q Zdroje nedeterminizmu viac počiatočných stavov(i = {q, p}) viacprechodovpredanýstavavstupnýsymbolov(p(q,a) = {q1,q2}) Determinizácia: pomocou makrostavov(makrostav {X, Y, Z} budeme zapisovať priamo XY Z) najvhodnejšie je priamo vytvárať prechodovú tabuľku deterministického ksa- je možné priamo redukovať Redukcia: postup ako pri redukcii konečného automatu s výstupom, ale s tým rozdielom, že počiatočné rozdelenie P 0 jena2množiny-finálnestavyanefinálnestavy. 19

20 20 Konečno-stavové akceptory 3.2 Návrh ksa a determinizácia Príklad3.1 Navrhnitenedeterministickýksaprejazyk L(M) = {x {0,1},xobsahuje00alebo11}, potom ho determinizujte a redukujte. Nedeterministický- stavový diagram Nedeterministický- prechodová tabuľka Q \S 0 1 S A,S B,S A K - B - K K K K Determinizácia: Q \S 0 1 S AS BS AS AKS BS BS AS BKS AKS AKS BKS BKS AKS BKS Deterministický: Redukcia: P 0 : {S,AS,BS }, {AKS,BKS } P 1 : {S}, {AS }, {BS }, {AKS,BKS } P 2 : {S}, {AS }, {BS }, {AKS,BKS } P 2 = P 1,naobr.jeKjezlúčenímstavovAKS,BKS Redukovaný: Príklad3.2 Navrhnitenedeterministickýksaprejazyk L(M) = {x {0,1},xzačína0akončí1}a determinizujte ho. Príklad3.3 Navrhnitenedeterministickýksaprejazyk L(M) = {x {0,1},xkončí101}adeterminizujte ho.

21 3.2 Návrh ksa a determinizácia 21 Príklad 3.4 Determinizujte daný ksa. Nedeterministický: Q \S 0 1 A A,B C B B,C B C - B Deterministický: Q \S 0 1 A AB C AB ABC BC C - B ABC ABC BC BC BC B B BC B Redukcia: P 0 : {A,C}, {B,AB,ABC,BC } P 1 : {A}, {C }, {B,AB,ABC,BC } P 2 = P 1,naobr.jeKjezlúčenímstavovB,AB,ABC,BC Deterministický- stavový diagram: Redukovaný- stavový diagram: Príklad 3.5 Determinizujte daný ksa. Deterministický- stavový diagram: Redukovaný- stavový diagram:

22 22 Konečno-stavové akceptory Príklad 3.6 Redukujte daný ksa. Redukcia: Redukovaný- stavový diagram: P 0 : {A,B,C}, {D} P 1 : {A,C}, {B }, {D} P 2 = P 1 Príklad 3.7 Redukujte daný ksa. Redukcia: Redukovaný- stavový diagram: P 0 : {S,A,B}, {D,E} P 1 : {S}, {A}, {B}, {D,E} P 2 = P 1

23 3.3 Vzťah ksa a regulárnych gramatík Vzťah ksa a regulárnych gramatík Prekaždýksa M = (Q,S,δ,I,F)viemezostrojiťregulárnugramatiku G = (V N,V T,P,Σ)takú, že L(G)=L(M) a naopak. M G G M V N = Q Q = V N {q F } V T = S S = V T q F F B δ(a,a) A ab P A ab P B δ(a,a) B δ(a,a),b F A ab a P A a P q F δ(a,a) B I Σ B P Σ B P B I B I B F Σ B λ P Σ B λ P B I B F Príklad 3.8 Nájdite gramatiku G jazykovo ekvivalentnú s automatom: S 0S 1A 1 A 0A 1A 0 1 Príklad 3.9 Nájdite gramatiku G jazykovo ekvivalentnú s automatom: S 0A 1B A 0D 0 B 1E 1 D 0A 1B E 0A 1B

24 24 Konečno-stavové akceptory Príklad 3.10 Nájdite ksa jazykovo ekvivalentný s gramatikou G: S 0A 1S A 0B 0A 1A B 0S 1B 0 Príklad 3.11 Nájdite deterministický ksa jazykovo ekvivalentný s gramatikou G: S 0S 1S 0 1 Nedeterministický: Deterministický: Príklad 3.12 Nájdite deterministický ksa jazykovo ekvivalentný s gramatikou G: S 0S 1S 0 S 0S 0 Nedeterministický: Deterministický:

25 3.4 Vzťah ksa a regulárnych výrazov Vzťah ksa a regulárnych výrazov PrekaždýksaMviemenájsťregulárnyvýraz αtaký,že[α]=l(m)anaopak Analýza ksa Príklad 3.13 Nájdite regulárny výraz pre jazyk rozpoznávaný automatom: e A = 1e B + 0e C e B = 1e K e C = 0e K e K = 1e B + 0e C + λ e K = 11e K + 00e K + λ e K = ( )e K + λ = ( ) e A = 11e K + 00e K = ( )e K e A = ( )( ) Príklad 3.14 Nájdite regulárny výraz pre jazyk rozpoznávaný automatom: e A = 0e A + 1e B + 1e C e B = 1e B + λ e C = 0e B + 0e A + λ e B = 1 e C = e A + λ e A = 0e A (01 + 0e A + λ) e A = 0e A + 10e A e A = (0 + 10)e A e A = (0 + 10) ( )

26 26 Konečno-stavové akceptory Príklad 3.15 Nájdite regulárny výraz pre jazyk rozpoznávaný automatom: Príklad 3.16 Nájdite regulárny výraz pre jazyk rozpoznávaný automatom: e A = 0e B + 1e A + λ e B = 1e B + 1e C e C = (0 + 1)e C + 0e B + 0e A e B = 1 1e C e C = (0 + 1)e C e C + 0e A e C = ( )e C + 0e A e C = ( ) 0e A e A = 01 1e C + 1e A + λ e A = 01 1( ) 0e A + 1e A + λ e A = (01 1( ) 0 + 1) e A = 0e A + 1e B + λ e B = 0e C + 1e D + λ e C = 0e A + 1e B + λ e D = (0 + 1)e D e D = (0 + 1) φ = φ e B = 0e C + 1φ + λ = 0e C + λ e C = e A e B = 0e A + λ e A = 0e A + 1(0e A + λ) + λ e A = (0 + 10)e A λ e A = (0 + 10) (1 + λ)

27 3.4 Vzťah ksa a regulárnych výrazov Syntéza ksa Príklad3.17 NájditeksaMpreregulárnyvýraz α = 0 1(0 + 1),aby L(M) = [α]: λ KSA(neoznačené prechody sú λ-prechody): KSA: Redukovaný KSA:

28 28 Konečno-stavové akceptory Príklad3.18 NájditeksaMpreregulárnyvýraz α = (aa + b )abb,aby L(M) = [α]: λ KSA(neoznačené prechody sú λ-prechody): KSA:

29 3.4 Vzťah ksa a regulárnych výrazov 29 Príklad3.19 NájditeksaMpreregulárnyvýraz α = ( ),aby L(M) = [α]: λ KSA(neoznačené prechody sú λ-prechody): KSA: Príklad3.20 NájditeksaMpreregulárnyvýraz α = (1 + 01(01 + 0) 1),aby L(M) = [α]: Príklad3.21 NájditeksaMpreregulárnyvýraz α = (11( ) 11),aby L(M) = [α]: Príklad3.22 Určte,čisúdanédvaregulárnevýrazy αaβekvivalentné: α = ((0 + 1) 10) β = ((10) + 10) Príklad3.23 Určte,čisúdanédvaregulárnevýrazy αaβekvivalentné: α = ( ) β = ((0 10) + 0 ) Poznámka: Dásatiežzistiťprevodomnaksaaurčenímekvivalencieksa,alejemožnéajvyužiť vlastnostiregulárnychvýrazov.názákladevzťahu (u+v) = (u +v ),súuvedenévýrazyekvivalentné, pretožepre u = 0 10av= 0jemožnévyjadriť α = (u + v) a β = (u + v ).

30 30 Konečno-stavové akceptory

31 Kapitola 4 Zásobníkové automaty 4.1 Návrh zásobníkových automatov Príklad4.1 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {0 n 1 n,n > 0}. (q 0,0,Z,q 0,0Z) (q 0,0,0,q 0,00) (q 0,1,0,q 1,λ) (q 1,1,0,q 1,λ) (q 1,λ,Z,q F,Z) Príklad4.2 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {a n b 2n,n > 0}. (q 0,a,Z,q 0,aaZ) (q 0,a,a,q 0,aaa) (q 0,b,a,q 1,λ) (q 1,b,a,q 1,λ) (q 1,λ,Z,q F,Z) Príklad4.3 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {xcx R,x {0,1} }. (q 0,0,Z,q 0,0Z) (q 0,1,Z,q 0,1Z) (q 0,0,0,q 0,00) (q 0,0,1,q 0,01) (q 0,1,0,q 0,10) (q 0,1,1,q 0,11) (q 0,c,0,q 1,0) (q 0,c,1,q 1,1) (q 1,0,0,q 1,λ) (q 1,1,1,q 1,λ) (q 1,λ,Z,q F,Z) 31

32 32 Zásobníkové automaty Príklad4.4 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {xx R,x {0,1} }. (q 0,0,Z,q 0,0Z) (q 0,1,Z,q 0,1Z) (q 0,0,0,q 0,00) (q 0,0,1,q 0,01) (q 0,1,0,q 0,10) (q 0,1,1,q 0,11) (q 0,0,0,q 1,λ) (q 0,1,1,q 1,λ) (q 1,0,0,q 1,λ) (q 1,1,1,q 1,λ) (q 1,λ,Z,q F,Z) Pozn. ZA je nedeterministický. Príklad4.5 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {x {a,b},n a (x) = N b (x)}. (q 0,a,Z,q 0,aZ) (q 0,a,a,q 0,aa) (q 0,b,a,q 0,λ) (q 0,b,Z,q 0,bZ) (q 0,b,b,q 0,bb) (q 0,a,b,q 0,λ) (q 0,λ,Z,q 0,λ) Príklad 4.6 Navrhnite za pre jazyk zátvorkových výrazov. (q 0,(,Z,q 0,(Z) (q 0,(,(,q 0,(() (q 0,),(,q 0,λ) (q 0,λ,Z,q 0,λ) Príklad4.7 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {x {a,b},n a (x) > N b (x)}. Príklad4.8 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {xcx R,x b 2 a 2 b a}. Príklad4.9 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {x {a,b},n a (x) = 2.N b (x)}. Príklad4.10 Navrhnitezaprejazyk L(M) = {a n b n c m,n,m > 0}.

33 4.2 Vzťah zásobníkových automatov a bezkontextových gramatík Vzťah zásobníkových automatov a bezkontextových gramatík Príklad 4.11 Zostrojte ZA jazykovo ekvivalentný s gramatikou: S 0S1 01 Po úprave na Greibachovej tvar: S 0SJ 0J J 1 (q 0,λ,Z,q,S) (q,0,s,q,sj) (q,0,s,q,j) (q,1,j,q,λ) Príklad 4.12 Zostrojte ZA jazykovo ekvivalentný s gramatikou: S 0S0 1S1 c Po úprave na Greibachovej tvar: S 0SN 1SJ c N 0 J 1 (q 0,λ,Z,q,S) (q,0,s,q,sn) (q,1,s,q,sj) (q,c,s,q,λ) (q,0,n,q,λ) (q,1,j,q,λ) Príklad 4.13 Zostrojte ZA jazykovo ekvivalentný s gramatikou pre boolovské výrazy: S 0 1 (S S) (S S) S Po úprave na Greibachovej tvar: S 0 1 (SASP (SBSP S A B P ) (q 0,λ,Z,q,S) (q,0,s,q,λ) (q,1,s,q,λ) (q,(,s,q,sasp) (q,(,s,q,sbsp) (q,,s,q,s) (q,,a,q,λ) (q,,b,q,λ) (q,),p,q,λ)

34 34 Zásobníkové automaty Príklad 4.14 Nájdite bezkontextovú gramatiku jazykovo ekvivalentnú so zásobníkovým automatom: (q 1,0,Z,q 1,N) (q 1,0,N,q 1,NN) (q 1,1,N,q 2,λ) (q 2,1,N,q 2,λ) Po substitúcii mien neterminálov: A = [q 1 Zq 1 ] E = [q 1 Nq 1 ] B = [q 1 Zq 2 ] F = [q 1 Nq 2 ] C = [q 2 Zq 1 ] G = [q 2 Nq 1 ] D = [q 2 Zq 2 ] H = [q 2 Nq 2 ] S [q 1 Zq 1 ] [q 1 Zq 2 ] S A B [q 1 Zq 1 ] 0[q 1 Nq 1 ] A 0E [q 1 Zq 2 ] 0[q 1 Nq 2 ] B 0F [q 1 Nq 1 ] 0[q 1 Nq 1 ] [q 1 Nq 1 ] 0[q 1 Nq 2 ] [q 2 Nq 1 ] E 0EE 0FG [q 1 Nq 2 ] 0[q 1 Nq 1 ] [q 1 Nq 2 ] 0[q 1 Nq 2 ] [q 2 Nq 2 ] F 0EF 0FH [q 1 Nq 2 ] 1 F 1 [q 2 Nq 2 ] 1 H 1 Odstránenie neužitočných pravidiel: P 0 = {F 1,H 1} N 0 = {F,H} P 1 = P 0 {F 0FH,B 0F } N 1 = N 0 {B} P 2 = P 1 {S B} N 2 = N 1 {S} P 3 = P 2 N 3 = N 2 Gramatika Po zjednodušení S B S 0F B 0F F 1 0F1 F 1 0FH H 1 S 01 0S1 Príklad 4.15 Nájdite bezkontextovú gramatiku jazykovo ekvivalentnú so zásobníkovým automatom: (q,0,z,q,nz) (q,1,z,q,jz) (q,0,n,q,nn) (q,1,n,q,λ) (q,1,j,q,jj) (q,0,j,q,λ) (q,λ,z,q,λ) S [qzq] [qzq] 0[qNq][qZq] [qzq] 1[qJq] [qzq] [qnq] 0[qNq] [qnq] [qnq] 1 [qjq] 1[qJq] [qjq] [qjq] 0 [qjq] λ Príklad 4.16 Nájdite bezkontextovú gramatiku jazykovo ekvivalentnú so zásobníkovým automatom: (q,(,z,q,lz) (q,(,l,q,ll) (q,),l,q,λ) (q,λ,z,q,λ)

35 4.2 Vzťah zásobníkových automatov a bezkontextových gramatík 35 Príklad 4.17 Nájdite bezkontextovú gramatiku jazykovo ekvivalentnú so zásobníkovým automatom: (q 0,0,Z,q 0,0) (q 0,1,Z,q 0,1) (q 0,0,0,q 0,00) (q 0,0,1,q 0,01) (q 0,1,0,q 0,10) (q 0,1,1,q 0,11) (q 0,c,0,q 1,0) (q 0,c,1,q 1,1) (q 1,0,0,q 1,λ) (q 1,1,1,q 1,λ)

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Automaty a formálne jazyky

Automaty a formálne jazyky Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

VOJENSKÁ AKADÉMIA V LIPTOVSKOM MIKULÁŠI PREKLADAČE

VOJENSKÁ AKADÉMIA V LIPTOVSKOM MIKULÁŠI PREKLADAČE VOJENSKÁ AKADÉMIA V LIPTOVSKOM MIKULÁŠI Fakulta zabezpečenia velenia Katedra informatiky a výpočtovej techniky RNDr. Ľubomír Dedera, PhD. PREKLADAČE Prvá kniha Skriptá Liptovský Mikuláš 2002 RNDr. Ľubomír

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3. 3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe

Διαβάστε περισσότερα

J! "#$ %"& ( ) ) ) " *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) &

J! #$ %& ( ) ) )  *+, -./0-, *- /! /!+12, ,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/<3/ +15;+ 5/<3=9 -!.1!-9 +17/> ) ) & J! "#$ %"& J ' ( ) ) ) " *+, -./0-, L *- /! /!+12,3-4 % +15,. 6 /72-, 0,,3-8 / ',913-51:-*/;+ 5/01 ',913-51:--

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

!" #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& !" #$ -4*30*/335*

! #$! '() -*,*( *(*)* *. 1#,2 (($3-*-/*/330%#& ! #$ -4*30*/335* !" #$ %#&! '( (* + #*,*(**!',(+ *,*( *(** *. * #*,*(**( 0* #*,*(**(***&, 1#,2 (($3**330%#&!" #$ 4*30*335* ( 6777330"$% 8.9% '.* &(",*( *(** *. " ( : %$ *.#*,*(**." %#& 6 &;" * (.#*,*(**( #*,*(**(***&,

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $

!  #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $ [ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

Štrukturálne (syntaktické) rozpoznávanie

Štrukturálne (syntaktické) rozpoznávanie Štrukturálne (syntaktické) rozpoznávanie syntaktické metódy pracujú s relačnými štruktúrami, ktoré sa skladajú z prvkov nosiča relačnej štruktúry zodpovedajú primitívam ako ďalej nedeliteľným častiam

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

!"! # $ %"" & ' ( ! " # '' # $ # # " %( *++*

!! # $ % & ' ( !  # '' # $ # #  %( *++* !"! # $ %"" & ' (! " # $% & %) '' # $ # # '# " %( *++* #'' # $,-"*++* )' )'' # $ (./ 0 ( 1'(+* *++* * ) *+',-.- * / 0 1 - *+- '!*/ 2 0 -+3!'-!*&-'-4' "/ 5 2, %0334)%3/533%43.15.%4 %%3 6!" #" $" % & &'"

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na cvičenia Aut. a gr.

Príklady na cvičenia Aut. a gr. Príklady na cvičenia Aut. a gr. Jan Hric, KTIML MFF UK e-mail: Jan.Hric@mff.cuni.cz http://ktiml.ms.mff.cuni.cz/~hric/vyuka//cvaut.pdf(,.ps) 28. května 2009 Motto: důležitější. Všechny detaily jsou důležité,

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

! " #$ (!$ )* ' & )* # & # & ' +, #

!  #$ (!$ )* ' & )* # & # & ' +, # ! " #$ %%%$&$' %$($% (!$ )* ' & )* # & # & ' +, # $ $!,$$ ' " (!!-!.$-/001 # #2 )!$!$34!$ )$5%$)3' ) 3/001 6$ 3&$ '(5.07808.98: 23*+$3;'$3;',;.8/ *' * $

Διαβάστε περισσότερα

*+,'-'./%#0,1"/#'2"!"./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!"#/5".+!"#$() $!"#%"&'#$() 50&(#5"./%#0,1"/#'2"+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!.

*+,'-'./%#0,1/#'2!./+3(,'4+*5#( *9.!/%#+7(,'#%*!.2 :;!#/5.+!#$() $!#%&'#$() 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-<:):0&3%!.2=#(,1,.%!. # #$%&'#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 :; #/5.+#$( *+,'-'./%#0,1/#'2./+3(,'4+*5#(355. 678*9./%#+7(,'#%*.2 #$% $ #%&'#$( 50&(#5./%#0,1/#'2+*5#(35&* &*,'2-

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018

Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018 Φροντιστήριο #5 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 22/3/2018 Άσκηση Φ5.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *&

! # $%%&$$'($)*#'*#&+$ $&#! #, &,$-.$! $-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& ! "# $"%%&$$'($)*#'*#&+$ ""$&#! "#, &,$-.$! "$-/+#0-, *# $-*/+,/+%!(#*#&1!/+# ##$+!%2&$*2$ 3 4 #' $+#!#!%0 -/+ *& '*$$%!#*#&-!5!&,-/+#$!&- &"/ "$,&/#!6$7,&78 "$% &$&'#-/+#!5*% 3 +!$ 9 &$*,2"%& #$- 3 '*$%#

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 30/03/2017 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts

ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ.

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Ελευθερίου Β. Χρυσούλα. Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Καθηγητής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Αναγνώριση συστημάτων με δεδομένη συνεχή και κρουστική συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw) PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(

Διαβάστε περισσότερα

Cable Systems - Postive/Negative Seq Impedance

Cable Systems - Postive/Negative Seq Impedance Cable Systems - Postive/Negative Seq Impedance Nomenclature: GMD GMR - geometrical mead distance between conductors; depends on construction of the T-line or cable feeder - geometric mean raduius of conductor

Διαβάστε περισσότερα

#&' ()* #+#, 2 )' #$+34 4 )!' 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8')* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :&' 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) ''7 465+436

#&' ()* #+#, 2 )' #$+34 4 )!' 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8')* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :&' 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) ''7 465+436 ! "#$$% #& ()* #+#, -./0*1 2 ) #$+34 4 )! 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8)* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :& 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) 7 465+436 .* &0* 0!*07 ;< =! ))* *0*>!! #6&? @ 8 (? +

Διαβάστε περισσότερα

)))*+,-!-)#..!""-#)/..+-$-*..-!--+ -*

)))*+,-!-)#..!-#)/..+-$-*..-!--+ -* ψ!"#$%&'&( )))*+,-!-)#..!""-#)/..+-$-*..-!--+ -* ψ #-).#!./ #0)1 #2#)--#3#-..-4#32+4#.#34.#-)3$$-!-315$-#+-")3"6.+-32-#-#3-#3#0-.3 ")!4 31-))!7.-3"#*).#03+ --38-#)3#.-!9.-#*-.$-3!#-)#)3!""-#)3#!-*)#!4:--.)))#!-##-.6+#!#+*-.*+.--)-!

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ 2009 ΔΑΤΣΕΡΗΣ ΝΙΚΟΣ ΣΙΑ Ο.Ε. Λ Κ.Καραμανλή 37 72100 ΑΓ. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΗΛ:28410 23150 FAX:28410 23161 E-mail: info@mechanicalsolutions.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ LG ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

tel , version 1-7 Feb 2013

tel , version 1-7 Feb 2013 !"## $ %&' (") *+ '#),! )%)%' *, -#)&,-'" &. % /%%"&.0. )%# "#",1 2" "'' % /%%"&30 "'' "#", /%%%" 4"," % /%%5" 4"," "#",%" 67 &#89% !"!"# $ %& & # &$ ' '#( ''# ))'%&##& *'#$ ##''' "#$ %% +, %'# %+)% $

Διαβάστε περισσότερα

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής

ALFA ROMEO. Έτος κατασκευής 145 1.4 i.e. AR33501 66 90 10/94-01/01 0802-1626M 237,40 1.4 i.e. 16V AR33503 76 103 12/96-01/01 0802-1627M 237,40 1.6 i.e. AR33201 76 103 10/94-01/01 0802-1628M 237,40 1.6 i.e. 16V AR67601 88 120 12/96-01/01

Διαβάστε περισσότερα

Q Q Q 2Q b a a b

Q Q Q 2Q b a a b "! $# % &'()!, "!*.- -0, *# 354 36 4*78 8 :9* :65;< 3= $>?3@ 89A 3; 4CB 8D E :F :G 3$>%H3Ï J @KLK@NMPO O@Ï 3Q S "-T O J3QL'0 U * S -TW 3Q@XYS -Z-TW Q@@[U%'0 * \ * S ]9C;C 8 D_a` 8 b;a b=dce b9 3Q@Q@ 65F

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜOΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Γ.Γ. Χωρικού Σχεδιασμού & Αστικού Περιβάλλοντος Γεν. Δ/νση Χωρικού Σχεδιασμού Δ/νση Χωροταξικού Σχεδιασμού ΜΕΛΕΤΗ: ΧΡΗΜ/ΤΗΣΗ: Αξιολόγηση και αναθεώρηση

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc

Διαβάστε περισσότερα

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité Pierre Clairambault To cite this version: Pierre Clairambault. Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la Totalité. Autre [cs.oh].

Διαβάστε περισσότερα

Supplementary Information 1.

Supplementary Information 1. Supplementary Information 1. Fig. S1. Correlations between litter-derived-c and N (percent of initial input) and Al-/Fe- (hydr)oxides dissolved by ammonium oxalate (AO); a) 0 10 cm; b) 10 20 cm; c) 20

Διαβάστε περισσότερα

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a k b m c n k < m ή m > 2n, όπου k,m,n 0 } Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής:

Διαβάστε περισσότερα

!"# $%&'"()"%'*& # $"%)"#"+(#,'(*,'+*'- *'%,$2%&"%%&,-%&'-,--"%,-$,'-"##%&''3),'4'+%-"-"%&'-,-$ %&'('1'' $"-%' $*,'+*'.

!# $%&'()%'*& # $%)#+(#,'(*,'+*'- *'%,$2%&%%&,-%&'-,--%,-$,'-##%&''3),'4'+%--%&'-,-$ %&'('1'' $-%' $*,'+*'. !"# $%&'"()"%'*& # $"%)"#"+(#,'(*,'+*'- $.."+"+/01'+,'*% *'%,$2%&"%%&,-%&'-,--"%,-$,'-"##%&''3),'4'+%-"-"%&'-,-$ %&'('1'' $"-%' $*,'+*'. $..,4) 5) '"( $'"%4'+% &,-,-% *'%,$2%&"%6'&"!''"(%&,-%&'-,-"+(%&"%,+

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { xyxy rev x {a, b}, y {a, b} * } (α) Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής: S as a

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 7. Κατηγορηματικές Γραμματικές 27,2 Φεβρουαρίου, 9 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Κατηγορηματικές Γραμματικές Ή Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738 Wide Transport Stretcher Model 738 Modèle 738 De Civière Large Pour Le Transport Breites Transport-Bahre-Modell 738 Breed Model 738 van de Brancard van het Vervoer Modello Largo 738 Della Barella Di Trasporto

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..

8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii).. இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # " )"1.0229:3682:;;8)< &.= A = D"# '$ $ A 6 A BE C A >? D

! #$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ #  )1.0229:3682:;;8)< &.= A = D# '$ $ A 6 A BE C A >? D ! "#$ %#&'()* ## # '$ $ +, -# * +./ 0$ # "1.0223456728777)"1.0229:3682:;;8)< &.= >&.=*>1#*>.*?*,#*'(!@ 4AB#/ $C A = D"# '$ $ A +, -#)? D "F,%+./-#)

Διαβάστε περισσότερα

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#%

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#% " #$%& '($) *#+,),# - '($) # -, '$% %#$($) # - '& %#$0##% % '$% %#$0##% % '1*2)$ '#%3$-0 4 '$%3#-#, '1*2)$ '#%3$-0 4 @ @ @

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών . Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών www.pe03.gr. Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας www.pe03.gr Day: 1 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD

Διαβάστε περισσότερα

# " $! % $ " & "! # '' '!" ' ' ( &! )!! ' ( *+ & '

#  $! % $  & ! # '' '! ' ' ( &! )!! ' ( *+ & ' " # " $ % $ " & " # '' '" ' ' ( & ) ' ( *+ & ' "#$% &% '($&)$'%$ *($+,& #,-%($%./*, -./ "' ' + -0,$1./ 2 34 2 51 2 6.77.8. 9:7 ; 9:.? 9 9@7 9:> 9@>.77 9 9=< 9@>./= 9:=.7: 9=@.7@ 9::.87./>./7

Διαβάστε περισσότερα

..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!

..., ISBN: :.!. # -. $, %, 1983 &$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') !$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $! !! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "

Διαβάστε περισσότερα