ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

2 . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Μέτρηση ενός φυσικού µεγέθους ονοµάζεται η σύγκρισή του µε ένα άλλο οµοειδές, το οποίο θεωρείται µονάδα. Για τη µέτρηση διαφόρων φυσικών µεγεθών χρησιµοποιούνται όργανα, µε τα οποία άλλοτε καθορίζεται η τιµή των φυσικών µεγεθών και άλλοτε επαληθεύεται κάποιος Φυσικός νόµος. Η εµπειρία έχει δείξει ότι καµµία µέτρηση, όσο προσεκτικά και αν γίνει, δεν µπορεί να είναι απόλυτα ακριβής. Πάντα θα υπάρχει µια απόκλιση απο την πραγµατική τιµή. Για να γίνει κατανοητό το παραπάνω ας σκεφτούµε το εξής παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να τοποθετήσουµε µια πόρτα οπότε χρειαζόµαστε το ύψος του πλαισίου. Η µέτρηση αυτή µπορεί να γίνει µε διάφορους τρόπους. α) Με µια πρώτη µατιά ένας έµπειρος ξυλουργός εκτιµά ότι το ύψος είναι περίπου 0 cm. Αυτό είναι µια χοντρική εκτίµηση και µετά από λίγη σκέψη δέχεται ότι µπορεί να έχει κάνει ένα σφάλµα της τάξης των 5 cm. Έτσι το ύψος µπορεί να είναι από 05 cm έως 5 cm. β) Επειδή δεν µπορεί να αρκεστεί στην παραπάνω χονδρική εκτίµηση µπορεί να χρησιµοποιήσει ένα µέτρο και να βρει το ύψος ίσο µε,3 cm. Η εκτίµηση αυτή είναι προφανώς καλύτερη από την προηγούµενη αλλά και πάλι δεν είναι απόλυτα ακριβής αφού για παράδειγµα δε µπορεί να πει αν το ύψος είναι,300 ή,300 cm γιατί το µέτρο που χρησιµοποιεί έχει υποδιαιρέσεις ανά ένα mm. Επίσης δεν είναι καν σίγουρος για τα 0,3 cm αφού µπορεί η κορυφή της πόρτας να µη συµπίπτει µε µια από τις υποδιαιρέσεις του µέτρου. Αλλά ακόµα και αν δέχτουµε ότι η σύµπτωση είναι ακριβής, δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι η κάθε υποδιαίρεση έχει κάποιο πάχος και έτσι πρέπει ο ίδιος να αποφασίσει ποιά ακριβώς είναι η ένδειξη. Έτσι και πάλι αναγκαζόµαστε να πούµε ότι το ύψος της πόρτας είναι κάπου ανάµεσα στα,9 και στα,3 cm. Αγοράζοντας ενα καλύτερο µέτρο, µε πυκνοτέρες και λεπτότερες υποδιαιρέσεις, θα πετύχει µεγαλύτερη ακρίβεια αλλά το πρόβληµα θα µεταφερθεί σε επόµενα δεκαδικά ψηφία. γ) Αν έχει καταληφθεί από το πείσµα να µετρήσει το ακριβές ύψος της πόρτας, µπορεί να χρησιµοποιήσει µια σύγχρονη συσκευή µεγάλης ακρίβειας (π.χ. συµβολόµετρο) και µολονότι τώρα θα έχει µια µέτρηση πολύ πιο ακριβή όπως,30065 cm και πάλι δεν θα ξέρει αν το ακριβές ύψος της πόρτας είναι, ή,30065 cm. Έτσι και πάλι µπορούµε να πούµε ότι το ύψος της πόρτας είναι κάπου ανάµεσα στα, και στα,30065 cm. Αυτό που διαπιστώνεται µε το παραπάνω παράδειγµα είναι µια γενική αρχή που ισχύει για όλες τις µετρήσεις όλων των µεγεθών. Καµία φυσική ποσότητα δεν µπορεί να µετρηθεί µε απόλυτη ακρίβεια και αυτό δεν οφείλεται σε απροσεξία ή ανικανότητα του παρατηρητή, αλλά είναι σύµφυτο µε την τεχνική των µετρήσεων. Με πολύ προσοχή µπορούµε να µειώσουµε την απόκλιση απο την πραγµατική τιµή αλλά ποτέ δεν µπορούµε να την εξαλείψουµε. Στη Φυσική τις αποκλίσεις αυτές τις ονοµάζουµε σφάλµατα και µπορούν να προέρχονται απο διάφορες αιτίες εκτός απ αυτές που είδαµε στο παράδειγµα. Στην συνέχεια θα δούµε διάφορους τρόπους για να εκτιµούµε αυτά τα σφάλµατα καθώς και τις συνηθέστερες αιτίες που τα προκαλούν.

3 . ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κατά την εκτέλεση ενός πειράµατος πολύ συχνά µπορεί να γίνει κάποιο λάθος στη µέτρηση µιας ποσότητας. Εποµένως µια και µόνη µέτρηση δεν είναι αξιόπιστη για ασφαλή εξαγωγή συµπερασµάτων. Για το λόγο αυτό προτιµούµε να παίρνουµε πολλαπλές µετρήσεις. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου δεν έχουµε τη δυνατότητα ή τα χρονικά περιθώρια να καταγράψουµε πολλές µετρήσεις. Τότε περιοριζόµαστε αναγκαστικά σε µια µέτρηση για την οποία όµως πρέπει να εκτιµήσουµε το σφάλµα της... Υπολογισµός Σφάλµατος σε µια Απλή Μέτρηση Σφάλµα ιακριτικής Ικανότητας Στις εργαστηριακές ασκήσεις που ακολουθούν η µέτρηση µας ανάγεται στην ανάγνωση κάποιων ενδείξεων από τα όργανα τα οποία χρησιµοποιούµε. Τα περισσότερα από αυτά είναι αναλογικά παρέχουν δηλ. το ζητούµενο µε τη βοήθεια ενός δείκτη που κινείται παράλληλα προς µια βαθµολογηµένη κλίµακα. Oι µετρήσεις γίνονται µε την ανάγνωση της τιµής του µετρούµενου µεγέθους στην κλίµακα, η οποία είναι χαραγµένη µε τις κατάλληλες µονάδες. Tη στιγµή της µέτρησης πρέπει να παρατηρηθεί, κοντά σε ποιά χαραγή της κλίµακας βρίσκεται ο δείκτης του οργάνου. Στο Σχ.., για παράδειγµα, έχει σχεδιαστεί η κλίµακα και ο δείκτης σε ένα αµπερόµετρο. Παρατηρούµε ότι ο δείκτης του οργάνου βρίσκεται µεταξύ των ενδείξεων 66 ma και 68 ma δηλ. 66 ma Ι 68 ma. Θα µπορούσε κάποιος να πει ότι ο δείκτης βρίσκεται πιο κοντά στην ένδειξη 67 ma από ότι στην 66 ma ή στην 68 ma, αλλά δεν είναι δυνατόν να έχει µεγαλύτερη ακρίβεια από όση εµπεριέχει αυτή η δήλωση. Αυτήν την ακρίβεια µπορούµε καλύτερα να την εκφράσουµε χρησιµοποιώντας την έννοια του σφάλµατος διακριτικής ικανότητας. Μπορούµε δηλαδή να θεωρήσουµε ως πιθανότερη ένδειξη αυτήν των 67mA µε σφάλµα δι= ± ma και όπως θα δούµε στις επόµενες παραγράφους να γράψουµε ισοδύναµα: Ι = (67 ± ) ma. Σχήµα. Συνήθως θεωρούµε ότι το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι ίσο µε το µισό της µικρότερης υποδιαίρεσης που φέρει το όργανο µέτρησης, εκτός εάν κάτι διαφορετικό αναφέρεται ρητά στην άσκηση. 3

4 Στην περίπτωση που χρησιµοποιούµε ψηφιακό όργανο, θεωρούµε ότι το τελευταίο ψηφίο που εµφανίζεται είναι αβέβαιο. Για παράδειγµα η ένδειξη 7,8mA θα έχει σφάλµα ± 0,0mA. Σφάλµα Ανάγνωσης Είναι δυνατό σε µια µέτρηση η µετρούµενη ποσότητα να µεταβάλεται σηµαντικά, περισσότερο και από τα όρια του σφάλµατος της διακριτικής ικανότητας. Για παράδειγµα κατά τη µέτρηση της θερµοκρασίας, µε ένα θερµόµετρο που φέρει υποδιαιρέσεις ανά ο C, είναι δυνατό να παρατηρηθεί µεταβολή της ένδειξης από τους 36 ο C στους 34 ο C και αµέσως µετά στους 35 ο C. Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή το σφάλµα διακριτικής ικανότητας ± 0.5 ο C είναι υποεκτίµηση του πραγµατικού σφάλµατος. Ένα τέτοιο σφάλµα λέγεται σφάλµα ανάγνωσης και η εκτίµησή του ποικίλλει ανάλογα µε την περίπτωση. Σφάλµα Βαθµονόµησης Μπορεί ένα όργανο µέτρησης, είτε λόγω κάποιου κατασκευαστικού προβλή- µατος είτε λόγω της φθοράς του από το χρόνο και τη χρήση του, να δίνει λανθασµένες µετρήσεις. Ο µόνος τρόπος για να αποφύγουµε τέτοια σφάλµατα είναι να συγκρίνουµε τα όργανα µετρήσεως, ανά τακτά χρονικά διαστήµατα, µε πρότυπα οµοειδή όργανα... Υπολογισµός Σφάλµατος σε Πολλαπλές Μετρήσεις Τυχαία Σφάλµατα Είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε τα σφάλµατα διακριτικής ικανότητας, ανάγνωσης, βαθµονόµησης όταν προσπαθούµε να εκτιµήσουµε το σφάλµα µιας απλής µέτρησης. Σε κάθε περίπτωση όµως που έχουµε την ευχέρεια, προτιµάµε να εκτελούµε περισσότερες από µία µετρήσεις. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετρήσουµε ένα χρονικό διάστηµα µε τη βοήθεια χρονοµέτρου. Η κύρια πηγή σφάλµατος σε µια τέτοια µέτρηση δεν είναι η διακριτότητα της κλίµακας αλλά ο άγνωστος χρόνος αντίδρασης στην εκκίνηση και στο σταµάτηµα του χρονοµέτρου. Αν ο χρόνος αυτός ήταν πάντα ο ίδιος τότε η µια καθυστέρηση θα εξουδετέρωνε την άλλη. Στην πραγµατικότητα όµως ο χρόνος αντίδρασης ποικίλλει (είναι τυχαίος) και έτσι άλλες φορές υπερεκτιµούµε και άλλες φορές υποεκτιµούµε το πραγµατικό χρονικό διάστηµα. Τέτοιου είδους σφάλµατα (τυχαία σφάλµατα) είναι δυνατό να εκτιµηθούν µε τη βοήθεια της Στατιστικής Ανάλυσης. Έστω λοιπόν ότι µετράµε το προηγούµενο χρονικό διάστηµα πέντε φορές και βρίσκουµε τα εξής αποτελέσµατα: 7s, 7s, 7s, 73s, 7s Μπορεί να αποδειχθεί στα πλαίσια της Στατιστικής ότι η καλύτερη εκτίµηση για το χρονικό διάστηµα είναι η µέση τιµή των πέντε µετρήσεων. Έτσι: t = = 7.8s 5 4

5 Γενικότερα αν κάνουµε Ν µετρήσεις µιας ποσότητας x από τις οποίες παίρνουµε τις τιµές x, x,. x N τότε η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα x είναι η µέση τιµή των µετρήσεων x, x,. x N δηλ. x + x + + x x = N N x i = = N N i (.) Στη Στατιστική αποδεικνύεται ότι το σφάλµα της µέσης τιµής (τυπική απόκλιση της µέσης τιµής) µπορεί να εκτιµηθεί ως εξής: Α) Αν ο αριθµός των µετρήσεων που έχουµε είναι µεγάλος (κατά σύµβαση µεγαλύτερος από 0): δx = σ = x N i= ( x x) i ( ) ) NN (.) Β) Αν ο αριθµός των µετρήσεων που έχουµε είναι µικρός (κατά σύµβαση µικρότερος από 0) N ( x x) i= δx = σx = (.3) N Στην περίπτωση κατά την οποία ο αριθµός των µετρήσεων είναι ακριβώς 0 (που είναι η πιο συνηθισµένη περίπτωση στο Εργαστήριο), προτιµούµε τη σχέση (.) και για ευνόητους λόγους (ποιους;) Στη συγκεκριµένη περίπτωση το σφάλµα της µέσης τιµής υπολογίζεται µε την βοήθεια του Πίνακα.: Πίνακας. t i (s) ti t ( ti t) (s ) i 5 ( ) ti t i= δ t =σ t =± =± 0.374s ± 0.4s 5 Το αποτέλεσµα αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα 68% η πραγµατική τιµή του χρονικού διαστήµατος να βρίσκεται κάπου ανάµεσα στο 7.4 sec ( )s και στο 7. sec ( )s. Αυτό ισοδυναµεί µε το εξής: αν πάρουµε 00 οµάδες των 5 µετρήσεων, από την καθεµία τους υπολογίσουµε το t και το δ t µε την προηγούµενη τρόπο και βρούµε τα διαστήµατα ( t δ t, t + δ t ), τότε περιµένουµε 5

6 ότι στις 68 περίπου από αυτές τις οµάδες µετρήσεων τα διαστήµατα θα περιλαµβάνουν την πραγµατική τιµή, ενώ στις υπόλοιπες 3 δε θα την περιλαµβάνουν. Το συµπέρασµα αυτό φαίνεται καλύτερα στο παρακάτω σχήµα. είγµα µεγέθους : Πραγµατική τιµή Σχήµα. Aποδεικνύεται από την Στατιστική ότι, κάτω από συγκεκριµένες προϋποθέσεις, το σφάλµα της µέσης τιµής ορίζει ένα διάστηµα γύρω από τη µέση τιµή, µέσα στο οποίο µπορούµε να ισχυριστούµε πως βρίσκεται η πραγµατική τιµή του µεγέθους µε πιθανότητα (Ρ) 68%. Αν υπολογίσουµε το διάστηµα µε χρήση του σ x αντί του σ x, τότε η πιθανότητα Ρ για σωστή εκτίµηση αυξάνει σε 95.4% όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. Σχήµα.3 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θα πρέπει να χρησιµοποιούµε τις επαναλαµβανόµενες µετρήσεις, µόνο αν είµαστε σίγουροι ότι σε κάθε επανάληψη µετράµε το ίδιο µέγεθος κάτω από τις ίδιες ακριβώς πειραµατικές συνθήκες. Για παράδειγµα, αν τα προηγούµενα χρονικά διαστήµατα αφορούν τον χρόνο πτώσης ενός σώµατος από ένα ύψος h θα πρέπει να είµαστε σίγουροι ότι κάθε φορά το σώµα πέφτει από το ίδιο ύψος h και κάτω από τις ίδιες συνθήκες. εν έχει κάποιο νόηµα να υπολογίσουµε την µέση τιµή και το σφάλµα της για χρόνους πτώσης του σώµατος από διαφορετικά ύψη. Και, 6

7 γενικά, δεν υπολογίζουµε ποτέ µέση τιµή και σφάλµατα, όταν κάτι αλλάζει στο σύστηµα (π.χ. δίνουµε θερµότητα σε σώµα και φυσικά αλλάζει η θερµοκρασία του. Οι διαφορετικές τιµές της θερµοκρασίας, όµως, δεν αποτελούν στατιστικό δείγµα για επεξεργασία σφαλµάτων) Συστηµατικά Σφάλµατα Ας υποθέσουµε τώρα ότι το χρονόµετρο που χρησιµοποιήσαµε στην προηγούµενη παράγραφο είναι ελαττωµατικό και πηγαίνει πιο αργά από το κανονικό. Αυτό έχει, σαν αποτέλεσµα, να υποεκτιµούµε το χρονικό διάστηµα και όσες επαναλήψεις και αν κάνουµε δε θα µπορέσουµε να ανακαλύψουµε και να εκτιµήσουµε το σφάλµα αυτό. Τα σφάλµατα αυτού του τύπου καλούνται συστηµατικά, γιατί πάντα µετατοπίζουν τις µετρήσεις µας προς µια κατεύθυνση (είτε υποεκτιµούν είτε υπερεκτιµούν) σε αντίθεση µε τα τυχαία σφάλµατα που µετατοπίζουν τις µετρήσεις µας και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η διαφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Τυχαία Σφάλµατα Πραγµατική τιµή Συστηµατικά Σφάλµατα (Υποεκτίµηση) Πραγµατική τιµή Πραγµατική τιµή Συστηµατικά Σφάλµατα (Υπερεκτίµηση) Σχήµα.4 Έτσι λοιπόν, ενώ τα τυχαία σφάλµατα µπορούν να εκτιµηθούν µε τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης, τα συστηµατικά δεν µπορούν να εκτιµηθούν µε την βοήθεια της θεωρίας της προηγούµενης παραγράφου. Περιπτώσεις συστηµατικών σφαλµάτων έχουµε για παράδειγµα: i) σφάλµα µετάθεσης του µηδενός σε µία ζυγαριά, ii) µεταλλικός χάρακας που βρίσκεται σε πολύ υψηλή ή πολύ χαµηλή θερµοκρασία, κ.ο.κ. Στις εργαστηριακές ασκήσεις που ακολουθούν δε θα ασχοληθούµε µε την εκτίµηση συστηµατικών σφαλµάτων (εκτός από εκείνο της µετάθεσης του µηδενός), οπότε δε θα δώσουµε και µέθοδο για την εκτίµηση τέτοιων σφαλµάτων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρατηρούµε ότι, όταν το σφάλµα της µέσης τιµής είναι 0, δε το σηµειώνουµε γιατί το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι µεγαλύτερο. Εποµένως το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι το ελάχιστο δυνατό σφάλµα που µπορούµε να έχουµε για µια µετρούµενη ποσότητα. Π.χ. αν οι µετρήσεις κάποιου µήκους x έδωσαν Ν φορές το ίδιο αποτέλεσµα (π.χ. 6mm), η µέση τιµή και το σφάλµα της βρίσκονται : x = 6mm και δ x =± 0mm. Επειδή, όµως, το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι ± 0,5 υποδ.= ± 0,5mm και το τελικό αποτέλεσµα γράφεται : x± δ x = (6,0± 0,5)mm 7

8 .3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Μέχρι τώρα είδαµε πώς µπορούµε να εκτιµήσουµε τα σφάλµατα σε διάφορες περιπτώσεις. Ακόµα, πώς χρησιµοποιούµε τα σφάλµατα, που βρήκαµε, για να ορίσουµε µια περιοχή γύρω από τη µέση τιµή (καλύτερη εκτίµηση), µέσα στην οποία βρίσκεται η πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους µε µια προκαθορισµένη πιθανότητα. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι, µε κάποιο τρόπο έχουµε µια εκτίµηση για ένα µέγεθος, π.χ µήκος, την τιµή x=,3mm και έχουµε εκτιµήσει το σφάλµα ίσο µε ± 0,mm. Αυτό σηµαίνει ότι η πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους είναι κάπου µεταξύ των στο,mm και,4mm. Το συµπέρασµα αυτό µπορεί να γραφτεί σε πιο συνεπτυγµένη µορφή ως: x± δ x = (,3± 0,)mm Έστω τώρα ότι σε µια άλλη περίπτωση έχουµε υπολογίσει για τον χρόνο t ως αποδεκτή τιµή, π.χ., το 9,783s και ως σφάλµα το ± 0.385s. Στα πλαίσια του Εργαστηρίου Φυσικής δεν µπορούµε να έχουµε εκτίµηση σφάλµατος µε µεγαλύτερη ακρίβεια από ένα σηµαντικό ψηφίο (δηλ. ψηφίο ενός αριθµού που είναι διαφορετικό του µηδενός), γιατί το σφάλµα του πρώτου σηµαντικού ψηφίου καλύπτει εκείνο των ψηφίων που ακολουθούν. Έτσι πάντα θα στρογγυλοποιούµε το σφάλµα στο πρώτο σηµαντικό ψηφίο δηλ. εδώ θα είναι 0,s. Η αποδεκτή τιµή πρέπει, εποµένως, να γραφεί µε ένα δεκαδικό ψηφίο (όµοια µε την 0,s). Προφανώς, λοιπόν, πρέπει να στρογγυλοποιήσουµε την τιµή 9,783s στην τιµή 9,8s. Η µέτρηση µας λοιπόν θα γράφεται ως: t ± δ t = (9.8± 0.)s Γενικά στα πλαίσια του Εργαστηρίου Φυσικής θα πρέπει να ακολουθούµε πιστά τον εξής κανόνα: Αν έχουµε βρει την πιθανότερη τιµή και το σφάλµα της, τότε στρογγυλοποιούµε το σφάλµα µέχρι του ενός σηµαντικού ψηφίου και στην συνέχεια στρογγυλοποιούµε την πιθανότερη τιµή, αφήνοντας ως τελευταίο ψηφίο το της ίδιας τάξης µεγέθους µε το σφάλµα. Αν η πιθανότερη τιµή έχει λιγότερα ψηφία, προσθέτουµε το 0 µέχρι να φτάσουµε στο σηµαντικό ψηφίο (όπως φάνηκε και σε προηγούµενο παράδειγµα, όπου η τιµή 6mm γράφτηκε 6,0 mm ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο παραπάνω κανόνας για την στρογγυλοποίηση των αποτελεσµάτων αφορά µόνο τη γραφή των µετρήσεων. Όταν θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις αυτές για υπολογισµούς θα πρέπει να κρατάµε δύο σηµαντικά ψηφία προκειµένου να αποφύγουµε σφάλµατα λόγω στρογγυλοποιήσεων στους υπολογισµούς. Ορισµένες εφαρµογές του κανόνα αυτού έχουν καταγραφεί στον Πίνακα.. Πίνακας. Πριν από την επιλογή των σηµαντικών ψηφίων Μετά την επιλογή των σηµαντικών ψηφίων Τελικό αποτέλεσµα X x δx X x±δ x ± ± ± ± 0.3 8

9 Το σφάλµα µέτρησης δείχνει την ακρίβεια της µέτρησης, αλλά πολλές φορές για να κατανοήσουµε καλύτερα την ακρίβεια αυτή πρέπει να υπολογίζουµε το σχετικό σφάλµα, το οποίο ορίζεται ως: Εκτιµωµενο Σϕαλµα δx Σχετικό Σφάλµα = = (.4) Εκτιµωµενη Τιµη x Το σχετικό σφάλµα είναι καθαρός αριθµός και εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό. Η αξία του είναι φανερή, αφού το να πούµε έχουµε σφάλµα ± 0,s από µόνο του δεν είναι πλήρες όσο το να µιλήσουµε για σφάλµα ± %..4 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Τα περισσότερα φυσικά µεγέθη δεν µπορούν να µετρηθούν αµέσως αλλά υπολογίζονται εµµέσως. Συνήθως ο παρατηρητής µετράει ένα ή περισσότερα µεγέθη, µε τη βοήθεια ενός ή περισσότερων οργάνων και στη συνέχεια υπολογίζει από αυτά την τιµή του µεγέθους που τον ενδιαφέρει. Αφού λοιπόν έχει εκτιµήσει τα επιµέρους σφάλµατα των αµέσως µετρουµένων µεγεθών, στη συνέχεια θα πρέπει να βρει τον τρόπο µε τον οποίο αυτά "µεταδίδονται" µέσω των υπολογισµών και οδηγούν στο σφάλµα του ζητούµενου µεγέθους. Έστω ότι µετρήθηκαν οι ποσότητες x, y, z, και εκτιµήθηκαν τα σφάλµατα µέτρησης τους δx, δy, δz, (σφάλµατα µέσης τιµής) µε σκοπό να υπολογισθεί η ποσότητα Q, της οποίας η άµεση µέτρηση δεν είναι δυνατή και που είναι συνάρτηση των ποσοτήτων x, y, z δηλ: Q = f(x, y, z, ) (.5) Προφανώς η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα Q προκύπτει από τις καλύτερες εκτιµήσεις για τις ποσότητες x, y, z. Eπι πλέον πρέπει να εκτιµηθεί το σφάλµα, που προκύπτει κατά τον υπολογισµό της Q, δεδοµένου ότι τα επί µέρους σφάλµατα µέτρησης µεταδίδονται κατά τον υπολογισµό της. Στη θεωρία των σφαλµάτων αποδεικνύεται ότι το σφάλµα δq της ποσότητας Q υπολογίζεται µε διαφόριση της σχέσης (.5), µε τη βοήθεια της απόλυτης τιµής των µερικών παραγώγων της Q, ως προς κάθε µία από τις µεταβλητές, δηλ.: f f f δq = δx + δy + δz + (.6) x y z f f f όπου, και είναι οι µερικές παράγωγοι της f ως προς x, y και z x y z αντίστοιχα.(σκεφτείτε: γιατί µιλήσαµε για απόλυτη τιµή των µερικών παραγώγων;) f Η µερική παράγωγος π.χ είναι το αποτέλεσµα της παραγώγισης της f ως προς x x θεωρώντας τις µεταβλητές y και z σταθερές. Tο σφάλµα που υπολογίζεται µε βάση τη σχέση αυτή, ονοµάζεται µέγιστο σφάλµα σύνθετης µετρήσεως. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε µερικές εφαρµογές και παραδείγµατα στη µετάδοση σφαλµάτων σε απλές περιπτώσεις µεγεθών που δεν είναι δυνατόν να µετρηθούν άµεσα. 9

10 Α) Αθροίσµατα και ιαφορές: Έστω ότι ένα µέγεθος Q υπολογίζεται σαν άθροισµα ή διαφορά δύο ή περισσοτέρων µεγεθών δηλ.: Q = ( x + y + + z ) - ( x + y + + z ) (.7) Q Στην περίπτωση αυτή x = Q Q y = = z = οπότε σύµφωνα µε την σχέση (.6) το σφάλµα του Q, δq, ισούται µε το άθροισµα: δq = δx + δy + + δx + δy + + δz (.8) όλων των επιµέρους σφαλµάτων. Β) Γινόµενα και Πηλίκα: Άν η ποσότητα Q προκύπτει από το γινόµενο ή το πηλίκο των µετρουµένων ποσοτήτων, δηλ.: Q = x y z x y z (.9) ή xy z Q = (.0) x y z τότε όπως αποδεικνύεται εύκολα από την (.6) µπορούµε να πάρουµε µια απλή σχέση που δίνει το σχετικό σφάλµα της Q σαν άθροισµα των σχετικών σφαλµάτων των επί µέρους ποσοτήτων. ηλαδή: δq δx δy δz δx δy δz = (.) Q x y z x y z Συνοψίζοντας τα συµπεράσµατα για αυτές τις δύο σηµαντικές περιπτώσεις µπορούµε να εξαγάγουµε τον ακόλουθο µνηµονικό κανόνα: Όταν οι αµέσως µετρούµενες ποσότητες προστίθενται ή αφαιρούνται τα σφάλµατα τους αθροίζονται. Όταν οι αµέσως µετρούµενες ποσότητες πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται τότε τα σχετικά τους σφάλµατα αθροίζονται. Γ) υνάµεις: Άν η ποσότητα Q υπολογίζεται ως δύναµη ενός µεγέθους, δηλ. Q = x ν (.) τότε εύκολα µπορεί να αποδειχθεί ότι: δq δx = ν (.3) Q x ) Γινόµενο µε σταθερά: Έστω ότι η ποσότητα Q υπολογίζεται ως γινόµενο µιας αµέσως µετρούµενης ποσότητας µε µια σταθερά, δηλ.: Q = Ax (.4) Εύκολα και πάλι µπορεί να αποδειχθεί ότι: δq = Aδx (.5) Παραδείγµατα :. Η σχέση της κλίµακας βαθµών Baume (B) µε την αντίστοιχη σε gr/cm 3 (ρ) για 45 την πυκνότητα υγρού είναι: ρ=. Το σφάλµα διακριτικής ικανότητας για την 45 Β κλίµακα Baume είναι δβ. Αυτό µεταφέρεται στην πυκνότητα ρ έτσι: 0

11 ρ( Β) 45 δρ = ± δβ = ρ ( Β) δβ =. δβ Β (45 Β). O συντελεστής (γ) επιφανειακής τάσης υγρού υπολογίζεται από τη σχέση : ρ.g.d.h γ= (d=διάµετρος σωλήνα και h =διάµετρος σωλήνα). Τα σφάλµατα για 4 τηνπυκνότητα (ρ) και την επιτάχυνση της βαρύτητας (g) θεωρούνται αµελητέα, ενώ για τα d, h είναι δd και δh αντίστοιχα. Το σφάλµα για τον συντελεστή (γ) βρίσκεται: γ(d, h) γ(d, h) ρ.g.d ρ.g.h δγ = ±.h δ +.d δ = ±.h δ +.d δ h d =σταθ. d h =σταθ. 4 4 Εννοείται, ότι στις παραπάνω σχέσεις τα µεγέθη εκφράζονται µε τη µέση ή, γενικά, µε την αποδεκτή τιµή τους. Υπενθυµίζουµε, εξάλλου, ότι µε τη διαδικασία αυτή υπολογίζεται το µέγιστο σφάλµα για το µέγεθος που µας ενδιαφέρει..4. Ανεξάρτητα Σφάλµατα Ας πάρουµε την πιο απλή απ όλες τις περιπτώσεις που εξετάσαµε ως τώρα για την µετάδοση των σφαλµάτων. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα q = x + y δύο ποσοτήτων που µετρήθηκαν µε σφάλµατα δx και δy. Οπως είδαµε µέχρι τώρα η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα q θα προκύπτει απο το άθροισµα των καλυτέρων εκτιµήσεων για τις ποσότητες x και y, ενώ το σφάλµα της ποσότητας q θα είναι δq = δx + δy. Σύµφωνα µε αυτά η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το q είναι x + y + δx + δy ενώ η µικρότερη x + y - δx - δy. Πότε όµως και µε ποιά πιθανότητα είναι δυνατον να συµβεί κάτι τέτοιο; Προφανώς αυτό θα συµβεί, όταν έχουµε ταυτόχρονα υπερεκτιµήσει ή υποεκτιµήσει τόσο το x όσο και το y µε την µέγιστη τιµή των σφαλµάτων τους δx και δy. Μία τέτοια περίπτωση έχουµε όταν, για παράδειγµα: q = x + y είναι το άθροισµα δύο µηκών x και y, τα οποία έχουν µετρηθεί µε την ίδια ελλατωµατική µετρητική ταινία. Αν υποθέσουµε ότι κάθε µέτρηση µε αυτήν την ταινία εισάγει ένα σφάλµα, είναι σίγουρο ότι τόσο η µέτρηση του x όσο και του y θα εµπεριέχουν αυτό το σφάλµα, και µάλιστα θα είναι υπερεκτιµηµένες ή υποεκτιµηµένες κατά την ίδια ποσότητα. Όταν όµως τα x και y εκφράζουν µετρήσεις που αντιπροσωπεύουν διαφορετικά µεγέθη και έχουν γίνει από διαφορετικά όργανα, είναι δηλαδή ανεξάρτητες µετρήσεις, και τα σφαλµατά τους είναι τυχαία στην φύση τους, η περίπτωση που εξετάζουµε είναι µάλλον απίθανο να συµβεί. Κι αυτό γιατί τότε η περίπτωση το x να είναι υπερεκτιµηµένο συνοδεύεται από µια πιθανότητα 50% το y να είναι υποεκτιµηµένο και αντίστροφα. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι η πιθανότητα να έχουµε υπερεκτιµήσει ή υποεκτιµήσει το x και το y ταυτόχρονα µε την µέγιστη ποσότητα δx και δy είναι πάρα πολύ µικρή και εποµένως το δq = δx + δy υπερεκτιµά το πιθανό µας σφάλµα. Για να αποφύγουµε σ αυτήν την περίπτωση το υπερεκτιµηµένο σφάλµα για το τελικό µέγεθος χρησιµοποιούµε από τη θεωρία σφαλµάτων τη σχέση: δq + = (δx) (δy) (.6) Η σχέση αυτή δίνει πάντα µικρότερη τιµή για το σφάλµα της q απ ότι η δq = δx + δy και η µορφή της εφαρµόζεται στον υπολογισµό των σφαλµάτων για όλες τις περιπτώσεις εµµέσως υπολογισµένων µεγεθών, που συναντήσαµε έως τώρα.

12 Αν λοιπόν έχουµε ανεξάρτητα σφάλµατα τότε η βασική σχέση (.6) γίνεται: δ Q = f δ δ x x f y y f + + z δz + (.7) Με την σειρά τους οι σχέσεις (.8) και (.) γίνονται αντίστοιχα: ( ) ( ) ( ) ( ) δq = δx + δz + δx + + δz (.8) δq δx δz δx δz = Q + + x + z + + x (.9) z Οι σχέσεις (.6), (.8), (.) αποτελούν ένα άνω όριο για την τιµή που µπορούν να πάρουν σύµφωνα µε αυτές τα εµµέσως υπολογισµένα σφάλµατα, τα οποία όπως είδαµε ονοµάζονται γι αυτό το λόγο µέγιστα σφάλµατα σύνθετης µετρήσεως. Οι νέες σχέσεις (.7), (.8), (.9) υπολογίζουν πάντα µικρότερη τιµή για το τελικό σφάλµα απ ότι οι αντίστοιχες (.6), (.8), (.) και γι αυτό θα πρέπει πάντα να χρησιµοποιούνται όταν είναι εφαρµόσιµες δηλαδή όταν τα σφάλµατα των µετρουµένων µεγεθών είναι ανεξάρτητα και τυχαία. Σηµειώνουµε εδώ ότι σχεδόν ΟΛΕΣ οι µετρήσεις που γίνονται στο Εργαστήριο εµπεριέχουν ανεξάρτητα και τυχαία σφάλµατα. Εφαρµογή : Εφαρµόστε τις σχέσεις (.7), (.8) και (.9) για τα δυο παραδείγµατα που αναφέρονται µετά τη σχέση (.5) και συγκρίνετε τα νέα αποτελέσµατα µε τα προηγούµενα..5 ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Αφού είδαµε διάφορους τρόπους για την εκτίµηση των σφαλµάτων θα δούµε τώρα πόσο σηµαντικό είναι να τα γνωρίζουµε και τι συµπεράσµτα µπορούµε να βγάλουµε απο τις µετρήσεις µας. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα ανάλογο µε αυτό που είχε αντιµετωπίσει ο Αρχιµήδης δηλ. να βρούµε αν ένα κόσµηµα αποτελείται απο χρυσό (ρ χρυσ = 5.5 gm/cm 3 ) ή απο ένα άλλο µείγµα (ρ µειγµ = 3.8 gm/cm 3 ). ύο φοιτητές Α και Β µετρούν την πυκνότητα του κοσµήµατος και βρίσκουν αντίστοιχα: (5 ± ) gm/cm 3 και (3.9 ± 0.) gm/cm 3. Η πρώτη παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε είναι ότι αν και η µέτρηση του Β είναι πολύ πιο ακριβής απο την µέτρηση του Α, µπορεί και οι δύο µετρήσεις να είναι εξίσου σωστές αφού τα διαστήµατα που δίνουν επικαλύπτονται σε ένα µέρος τους. Η µέτρηση του Α όµως είναι χωρίς πρακτική σηµασία καθώς το διάστηµα που δίνει (απο 3 εώς 7) περιλαµβάνει τόσο την πυκνότητα του χρυσού όσο και την πυκνότητα του ύποπτου µείγµατος. Απο την άλλη πλευρά η µέτρηση του Β µας δείχνει ότι το κόσµηµα είναι φτιαγµένο απο το µείγµα και όχι απο καθαρό χρυσό, αφού το διάστηµα που δίνει (απο 3.7 εώς 4.) περιέχει την πυκνότητα του ύποπτου µείγµατος αλλά όχι την πυκνότητα του χρυσού. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι προκειµένου να βγάλουµε χρήσιµα συµπεράσµατα απο ένα πείραµα θα πρέπει τα εκτιµόµενα σφάλµατα να µην είναι σχετικά µεγάλα. Αυτό δεν σηµαίνει απαραίτητα ότι τα σφάλµατα θα πρέπει να είναι

13 σχετικά πολύ µικρά. Για να καταλάβουµε το σηµείο αυτό ας ξαναθυµηθούµε το παράδειγµα της πρώτης παραγράφου µε τον ξυλουργό. Στον ξυλουργό προφανώς αρκεί η δεύτερη µέτρηση. Η πρώτη µέτρηση δεν είναι αρκετά ακριβής ενώ η τελευταία περιέχει περιττή πληροφορία που ο ξυλουργός δεν θα χρησιµοποιήσει ποτέ. Άρα λοιπόν θα πρέπει πάντα να έχουµε κατά νού σε τι θα χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις µας, ώστε να µην επιδιώκουµε παραπάνω απο την απαιτούµενη ακρίβεια. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγουµε κόπο αλλά και έξοδα που ουσιαστικά δεν χρειάζονται. ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε φορά που υπολογίζουµε κάποιο µέγεθος και το σφάλµα του πρέπει να το γράφουµε µε τη µορφή : x±δx..6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Αν y = α(x + x ) όπου α = 5., x = 33.0 ± 0.4 και x = 84. ± 0.7 να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα. ) ίνεται ότι z = xy, x = 3.77 ± 0.08 και y = 4.65 ± Να υπολογισθεί το σχετικό σφάλµα του z. 3) Να υπολογισθεί το απόλυτο σφάλµα του y = x 5 όπου x =.6 ± ) Η ανύψωση h του νερού σε τριχοειδή σωλήνα µε διάµετρο d δίνεται απο τη σχέση: h = 4γ ρgd όπου γ ο συντελεστής επιφανειακής τάσεως, ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αν h ± δh = (40.03 ± 0.08) mm, ρ = gr/cm 3, g = 0 m/s και d ± δd = (0.7 ± 0.06) mm, να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα του συντελεστή επιφανειακής τάσεως. 5) Ο συντελεστής απορροφήσεως υλικού µ για την ακτινοβολία γ δίνεται απο την σχέση: ln I 0 =µ x I όπου Ι 0, Ι η ένταση της ακτινοβολίας για πάχος 0 και x του υλικού. ίνονται Ι 0 ± δι 0 = (50 ± 0) κρούσεις/min, I ± δι = (30 ± 0) κρούσεις/min και x ± δx = (4.74 ± 0.0) mm. Να υπολογισθεί το µ καθώς και το απόλυτο και σχετικό σφάλµα. 6) Η διάµετρος d σύρµατος µετρήθηκε απο δύο φοιτητές και οι µετρήσεις τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα (n η πολλαπλότητα της µέτρησης): Μετρήσεις Α φοιτητή Μετρήσεις Β φοιτητή n d (mm) n d (mm)

14 Να υπολογισθούν τα απόλυτα και τα σχετικά σφάλµατα που προκύπτουν απο τις µετρήσεις των δύο φοιτητών. 7) Να σηµειωθεί ποιές απο τις εκφράσεις που ακολουθούν είναι σωστές και να δικαιολογήσεται την άποψή σας: x ± δx = (.345 ± 0.43) mm x ± δx = (65 ±.) κρ/min x ± δx = (.34 ± 0.4) mm x ± δx = (65. ±.) κρ/min x ± δx = (.34 ± 0.43) mm x ± δx = (650 ± ) κρ/min x ± δx = (.3 ± 0.4) mm x ± δx = (650 ± 0) κρ/min x ± δx = (.30 ± 0.43) mm x ± δx = (600 ± 0) κρ/min ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis. University Science Books 98. ). Μεντζαφός, Α. Χούντας, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής. Ανωτάτη Γεωπονική Σχολή Αθηνών ) Εργαστήριο Φυσικής Εισαγωγικά µαθήµατα για τα σφάλµατα. Πανεπιστήµιο Αθηνών, Τµήµα Φυσικής ) Χ. αµιανού, Μ. Κούτρας, Εισαγωγή στη Στατιστική Μέρος Ι. Εκδόσεις Αίθρα. 5) L. Kirkup, Experimental Methods. J. Wiley & Sons

15 ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ η : ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. ίνονται σειρές µετρήσεων του πάχους νήµατος µε διαφορετικό πληθυσµό (d=πάχος νήµατος, f= συχνότητα των εµφανιζόµενων τιµών) o Set Μετρήσεων o Set Μετρήσεων d mm f d mm f,0,04,04 3,06,06 6,08,08 8,0,0 0,, 9,4,4 7,6,6 4,8,8 3,0, Να βρεθεί η µέση τιµή d, το σφάλµα της µέσης τιµής δ d και το σχετικό σφάλµα δd για τις δυο σειρές µετρήσεων. Να γίνει η γραφική παράσταση f=f(d) στο ίδιο d διάγραµµα και να εµφανίζεται η περιοχή σφάλµατος για τις περιπτώσεις. Σχολιάστε τις διαφορές των σειρών και διατυπώστε το συµπέρασµα που προκύπτει... Ποιές απο τις παρακάτω εκφράσεις είναι λανθασµένες και γιατί Γράψτε δίπλα τις διορθωµένες. ( 9,47 ± 0,03 ) cm 3 ( 5 ± 8 ) κρούσεις/min ( 45,378 ± 0 - ) cm (,04 ± 0,3 ) mm 3. Σε µεταλλικό παραλληλεπίπεδο µε διαστάσεις x, y, z και µάζα m έγιναν µετρήσεις µε τα παρακάτω αποτελέσµατα x (mm) y (mm) z (mm) m (gr), 6,8 8,6 64,4, 7, 8,8 64,3, 7, 8,7 64,5,3 7,4 8,6 64,4, 6,8 8,7 64,5 Να υπολογιστούν τα σφάλµατα µέσης τιµής και τα σχετικά σφάλµατα για τα µεγέθη του πίνακα και για την πυκνότητα του υλικού του παραλληλεπίπεδου. Τα αποτελέσµατα να γραφούν µε την τελική τους µορφή. 5

16 4. Φοιτητής πρόκειται να υπολογίσει τη σκληρότητα (k) ελατηρίου κρεµώντας στο άκρο του σώµατα µε µάζες m, οπότε µεταβάλλεται το µήκος του l. Οι µετρήσεις: m(gr) l (cm) 5,00 5,40 5,78 6,8 6,55 6,90 7,35 7,75 8,5 8,50 Με τη βοήθεια των παραπάνω τιµών µπορούν να υπολογιστούν σφάλµατα για τα µεγέθη m και l; ικαιολογείστε την απάντησή σας. Αν δίνονται: δm = ±,85g, δl= ± 0,86mm. να βρεθούν τα σφάλµατα για το k µε τρόπους και να συγκριθούν. 5. Με τη βοήθεια της σχέσης:i=i o e -µx και των: I ± δι = ( 30 ± 5) κρ., min I o κρ. ± δι ο = (50 ± 0), min x ± δx = (4,74 ± 0,0) mm, γράψτε τη σχέση: µ ± δµ=...mm - 6

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Μπεθάνης Κ., Καρπούζας Μ. & Τζαμαλής Π. ΑΘΗΝΑ 03-4 i ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ y = A + Bx Α = 0.0871 Β = 1.9398 y 1 = 0,087 + 1,94 0,7 = 1,44 (x 1, y 1 ) = (0,7, 1,44) y = 0,087

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ 2002 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...4 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ...7 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ...0

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Η κλίµακα των διαστάσεων της ύλης από τα στοιχειώδη σωµάτια έως τα όρια του Σύµπαντος. Το παραπάνω σχήµα προέρχεται απο το βιβλίο του E. Hecht Physics Brooks 3.1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Εργαστηριακό Κέντρο Φυσικών Επιστηµών Αγίων Αναργύρων Αθήνας Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επιµέλεια-Εκτέλεση-Παρουσίαση: Ευάγγελος Κουντούρης, Φυσικός, Υπεύθυνος του Εργαστηριακού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία

ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε τις βασικές αρχές της θερµιδοµετρίας προκειµένου να µετρήσουµε τα εξής: Ειδική θερµότητα θερµιδοµέτρου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε τισ βασικές αρχές της θερµιδοµετρίας προκειµένου να µετρήσουµε τα εξής: Ειδική θερµότητα θερµιδοµέτρου.

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών ΠΕΙΡΑΜΑ IX Μέτρηση Ιξώδους Ρευστών Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µετρήσουµε το ιξώδες (εσωτερική τριβή) διαφόρων ρευστών χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της πτώσης σφαιριδίων. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Μετρήσεις μήκους Η μέση τιμή. 1. Ποια μεγέθη λέγονται φυσικά μεγέθη; Πως γίνεται η μέτρησή τους; Οι ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν ονομάζονται φυσικά μεγέθη. Η μέτρησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ονοµατεπώνυµο: µήµα: Επιµέλεια: Παναγιώτης Παζούλης Φυσική Γ Λυκείου θετικής εχνολογικής Κατεύθυνσης 1 η Εργαστηριακή Άσκηση: Απλή Αρµονική αλάντωση Α) Εισαγωγικές έννοιες. Περιοδική κίνηση ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ 45 6.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΦΑΣΕΩΝ Όλα τα σώµατα,στερεά -ά-αέρια, που υπάρχουν στη φύση βρίσκονται σε µια από τις τρεις φάσεις ή σε δύο ή και τις τρεις. Όλα τα σώµατα µπορεί να αλλάξουν φάση

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου

Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου Μ7 Μετρήσεις γεωµετρικών µεγεθών µε χρήση διαστη- µόµετρου, µικρόµετρου και σφαιρόµετρου A. Προσδιορισµός της πυκνότητας στερεού σώµατος B. Εύρεση της εστιακής απόστασης συγκλίνοντα φακού. Σκοπός Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Μετατροπή ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµότητα

Μετατροπή ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµότητα Μετατροπή ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµότητα Στη σύγχρονη κοινωνία είναι ευρύτατα διαδεδοµένη η χρήση της ηλεκτρικής ενέργειας. εν θα ήταν ψέµα αν λέγαµε ότι είµαστε πλήρως εξαρτηµένοι από αυτή. Σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός συγγραφής αναφοράς

Οδηγός συγγραφής αναφοράς ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Οδηγός συγγραφής αναφοράς Για τις εργαστηριακές ασκήσεις της Φυσικής Για τις Σχολές ΜΠΔ, ΜΗΧΟΠ και ΜΗΠΕΡ Επιμέλεια: Δρ. Ναθαναήλ Κορτσαλιουδάκης, Φυσικός ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΗ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΤΙΗΣ Ι ΤΕΧ/ΗΣ ΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜ : Στις ερωτήσεις - να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στις ερωτήσεις -5 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2.

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2. 1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr γ) πr 2 δ) καµία από τις παραπάνω τιµές Το µέτρο της µετατόπισης που έχει υποστεί

Διαβάστε περισσότερα

κάθετη δύναμη εμβαδόν επιφάνειας Σύμβολο μεγέθους Ορισμός μεγέθους Μονάδα στο S.I.

κάθετη δύναμη εμβαδόν επιφάνειας Σύμβολο μεγέθους Ορισμός μεγέθους Μονάδα στο S.I. 4.1 Η πίεση ονομάζουμε το μονόμετρο φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της συνολικής δύναμης που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής. πίεση = κάθετη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής

Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής ΑΠ2 Μελέτη των χαρακτηριστικών της β - ραδιενεργού εκποµπής 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση µελετά τα χαρακτηριστικά της β - ακτινοβολίας. Πιο συγκεκριµένα υπολογίζεται πειραµατικά η εµβέλεια των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία

Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΙΝ ΥΝΩΝ (MULTIPLE DECREMENT TABLES) Στον πίνακα επιβίωσης θεωρούµε τον αριθµό ζώντων στην κάθε ηλικία αρχίζοντας από µια οµάδα γεννήσεων ζώντων που αποτελεί την ρίζα του πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller

Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller ΑΠ1 Μελέτη της ακτινοβολίας γ µε τη βοήθεια απαριθµητή Geiger - Muller 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή γίνεται µελέτη της εξασθενήσεως της ακτινοβολίας γ (ραδιενεργός πηγή Co 60 ) µε την βοήθεια απαριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματική διάταξη

1. Πειραματική διάταξη 1. Πειραματική διάταξη 1.1 Περιγραφή της διάταξης Η διάταξη του πειράματος αποτελείται από έναν αερόδρομο και ένα ή δύο κινητά τα οποία είναι συζευγμένα μέσω ελατήριου. Η κίνηση των ταλαντωτών καταγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα