ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Αν δεν είσαι σε θέση να µετρήσεις, τότε η γνώση σου είναι φτωχή και ανεπαρκής (T.S. Kuhn)

2 . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Μέτρηση ενός φυσικού µεγέθους ονοµάζεται η σύγκρισή του µε ένα άλλο οµοειδές, το οποίο θεωρείται µονάδα. Για τη µέτρηση διαφόρων φυσικών µεγεθών χρησιµοποιούνται όργανα, µε τα οποία άλλοτε καθορίζεται η τιµή των φυσικών µεγεθών και άλλοτε επαληθεύεται κάποιος Φυσικός νόµος. Η εµπειρία έχει δείξει ότι καµµία µέτρηση, όσο προσεκτικά και αν γίνει, δεν µπορεί να είναι απόλυτα ακριβής. Πάντα θα υπάρχει µια απόκλιση απο την πραγµατική τιµή. Για να γίνει κατανοητό το παραπάνω ας σκεφτούµε το εξής παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να τοποθετήσουµε µια πόρτα οπότε χρειαζόµαστε το ύψος του πλαισίου. Η µέτρηση αυτή µπορεί να γίνει µε διάφορους τρόπους. α) Με µια πρώτη µατιά ένας έµπειρος ξυλουργός εκτιµά ότι το ύψος είναι περίπου 0 cm. Αυτό είναι µια χοντρική εκτίµηση και µετά από λίγη σκέψη δέχεται ότι µπορεί να έχει κάνει ένα σφάλµα της τάξης των 5 cm. Έτσι το ύψος µπορεί να είναι από 05 cm έως 5 cm. β) Επειδή δεν µπορεί να αρκεστεί στην παραπάνω χονδρική εκτίµηση µπορεί να χρησιµοποιήσει ένα µέτρο και να βρει το ύψος ίσο µε,3 cm. Η εκτίµηση αυτή είναι προφανώς καλύτερη από την προηγούµενη αλλά και πάλι δεν είναι απόλυτα ακριβής αφού για παράδειγµα δε µπορεί να πει αν το ύψος είναι,300 ή,300 cm γιατί το µέτρο που χρησιµοποιεί έχει υποδιαιρέσεις ανά ένα mm. Επίσης δεν είναι καν σίγουρος για τα 0,3 cm αφού µπορεί η κορυφή της πόρτας να µη συµπίπτει µε µια από τις υποδιαιρέσεις του µέτρου. Αλλά ακόµα και αν δέχτουµε ότι η σύµπτωση είναι ακριβής, δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι η κάθε υποδιαίρεση έχει κάποιο πάχος και έτσι πρέπει ο ίδιος να αποφασίσει ποιά ακριβώς είναι η ένδειξη. Έτσι και πάλι αναγκαζόµαστε να πούµε ότι το ύψος της πόρτας είναι κάπου ανάµεσα στα,9 και στα,3 cm. Αγοράζοντας ενα καλύτερο µέτρο, µε πυκνοτέρες και λεπτότερες υποδιαιρέσεις, θα πετύχει µεγαλύτερη ακρίβεια αλλά το πρόβληµα θα µεταφερθεί σε επόµενα δεκαδικά ψηφία. γ) Αν έχει καταληφθεί από το πείσµα να µετρήσει το ακριβές ύψος της πόρτας, µπορεί να χρησιµοποιήσει µια σύγχρονη συσκευή µεγάλης ακρίβειας (π.χ. συµβολόµετρο) και µολονότι τώρα θα έχει µια µέτρηση πολύ πιο ακριβή όπως,30065 cm και πάλι δεν θα ξέρει αν το ακριβές ύψος της πόρτας είναι, ή,30065 cm. Έτσι και πάλι µπορούµε να πούµε ότι το ύψος της πόρτας είναι κάπου ανάµεσα στα, και στα,30065 cm. Αυτό που διαπιστώνεται µε το παραπάνω παράδειγµα είναι µια γενική αρχή που ισχύει για όλες τις µετρήσεις όλων των µεγεθών. Καµία φυσική ποσότητα δεν µπορεί να µετρηθεί µε απόλυτη ακρίβεια και αυτό δεν οφείλεται σε απροσεξία ή ανικανότητα του παρατηρητή, αλλά είναι σύµφυτο µε την τεχνική των µετρήσεων. Με πολύ προσοχή µπορούµε να µειώσουµε την απόκλιση απο την πραγµατική τιµή αλλά ποτέ δεν µπορούµε να την εξαλείψουµε. Στη Φυσική τις αποκλίσεις αυτές τις ονοµάζουµε σφάλµατα και µπορούν να προέρχονται απο διάφορες αιτίες εκτός απ αυτές που είδαµε στο παράδειγµα. Στην συνέχεια θα δούµε διάφορους τρόπους για να εκτιµούµε αυτά τα σφάλµατα καθώς και τις συνηθέστερες αιτίες που τα προκαλούν.

3 . ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κατά την εκτέλεση ενός πειράµατος πολύ συχνά µπορεί να γίνει κάποιο λάθος στη µέτρηση µιας ποσότητας. Εποµένως µια και µόνη µέτρηση δεν είναι αξιόπιστη για ασφαλή εξαγωγή συµπερασµάτων. Για το λόγο αυτό προτιµούµε να παίρνουµε πολλαπλές µετρήσεις. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου δεν έχουµε τη δυνατότητα ή τα χρονικά περιθώρια να καταγράψουµε πολλές µετρήσεις. Τότε περιοριζόµαστε αναγκαστικά σε µια µέτρηση για την οποία όµως πρέπει να εκτιµήσουµε το σφάλµα της... Υπολογισµός Σφάλµατος σε µια Απλή Μέτρηση Σφάλµα ιακριτικής Ικανότητας Στις εργαστηριακές ασκήσεις που ακολουθούν η µέτρηση µας ανάγεται στην ανάγνωση κάποιων ενδείξεων από τα όργανα τα οποία χρησιµοποιούµε. Τα περισσότερα από αυτά είναι αναλογικά παρέχουν δηλ. το ζητούµενο µε τη βοήθεια ενός δείκτη που κινείται παράλληλα προς µια βαθµολογηµένη κλίµακα. Oι µετρήσεις γίνονται µε την ανάγνωση της τιµής του µετρούµενου µεγέθους στην κλίµακα, η οποία είναι χαραγµένη µε τις κατάλληλες µονάδες. Tη στιγµή της µέτρησης πρέπει να παρατηρηθεί, κοντά σε ποιά χαραγή της κλίµακας βρίσκεται ο δείκτης του οργάνου. Στο Σχ.., για παράδειγµα, έχει σχεδιαστεί η κλίµακα και ο δείκτης σε ένα αµπερόµετρο. Παρατηρούµε ότι ο δείκτης του οργάνου βρίσκεται µεταξύ των ενδείξεων 66 ma και 68 ma δηλ. 66 ma Ι 68 ma. Θα µπορούσε κάποιος να πει ότι ο δείκτης βρίσκεται πιο κοντά στην ένδειξη 67 ma από ότι στην 66 ma ή στην 68 ma, αλλά δεν είναι δυνατόν να έχει µεγαλύτερη ακρίβεια από όση εµπεριέχει αυτή η δήλωση. Αυτήν την ακρίβεια µπορούµε καλύτερα να την εκφράσουµε χρησιµοποιώντας την έννοια του σφάλµατος διακριτικής ικανότητας. Μπορούµε δηλαδή να θεωρήσουµε ως πιθανότερη ένδειξη αυτήν των 67mA µε σφάλµα δι= ± ma και όπως θα δούµε στις επόµενες παραγράφους να γράψουµε ισοδύναµα: Ι = (67 ± ) ma. Σχήµα. Συνήθως θεωρούµε ότι το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι ίσο µε το µισό της µικρότερης υποδιαίρεσης που φέρει το όργανο µέτρησης, εκτός εάν κάτι διαφορετικό αναφέρεται ρητά στην άσκηση. 3

4 Στην περίπτωση που χρησιµοποιούµε ψηφιακό όργανο, θεωρούµε ότι το τελευταίο ψηφίο που εµφανίζεται είναι αβέβαιο. Για παράδειγµα η ένδειξη 7,8mA θα έχει σφάλµα ± 0,0mA. Σφάλµα Ανάγνωσης Είναι δυνατό σε µια µέτρηση η µετρούµενη ποσότητα να µεταβάλεται σηµαντικά, περισσότερο και από τα όρια του σφάλµατος της διακριτικής ικανότητας. Για παράδειγµα κατά τη µέτρηση της θερµοκρασίας, µε ένα θερµόµετρο που φέρει υποδιαιρέσεις ανά ο C, είναι δυνατό να παρατηρηθεί µεταβολή της ένδειξης από τους 36 ο C στους 34 ο C και αµέσως µετά στους 35 ο C. Είναι φανερό ότι στην περίπτωση αυτή το σφάλµα διακριτικής ικανότητας ± 0.5 ο C είναι υποεκτίµηση του πραγµατικού σφάλµατος. Ένα τέτοιο σφάλµα λέγεται σφάλµα ανάγνωσης και η εκτίµησή του ποικίλλει ανάλογα µε την περίπτωση. Σφάλµα Βαθµονόµησης Μπορεί ένα όργανο µέτρησης, είτε λόγω κάποιου κατασκευαστικού προβλή- µατος είτε λόγω της φθοράς του από το χρόνο και τη χρήση του, να δίνει λανθασµένες µετρήσεις. Ο µόνος τρόπος για να αποφύγουµε τέτοια σφάλµατα είναι να συγκρίνουµε τα όργανα µετρήσεως, ανά τακτά χρονικά διαστήµατα, µε πρότυπα οµοειδή όργανα... Υπολογισµός Σφάλµατος σε Πολλαπλές Μετρήσεις Τυχαία Σφάλµατα Είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε τα σφάλµατα διακριτικής ικανότητας, ανάγνωσης, βαθµονόµησης όταν προσπαθούµε να εκτιµήσουµε το σφάλµα µιας απλής µέτρησης. Σε κάθε περίπτωση όµως που έχουµε την ευχέρεια, προτιµάµε να εκτελούµε περισσότερες από µία µετρήσεις. Για παράδειγµα, ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετρήσουµε ένα χρονικό διάστηµα µε τη βοήθεια χρονοµέτρου. Η κύρια πηγή σφάλµατος σε µια τέτοια µέτρηση δεν είναι η διακριτότητα της κλίµακας αλλά ο άγνωστος χρόνος αντίδρασης στην εκκίνηση και στο σταµάτηµα του χρονοµέτρου. Αν ο χρόνος αυτός ήταν πάντα ο ίδιος τότε η µια καθυστέρηση θα εξουδετέρωνε την άλλη. Στην πραγµατικότητα όµως ο χρόνος αντίδρασης ποικίλλει (είναι τυχαίος) και έτσι άλλες φορές υπερεκτιµούµε και άλλες φορές υποεκτιµούµε το πραγµατικό χρονικό διάστηµα. Τέτοιου είδους σφάλµατα (τυχαία σφάλµατα) είναι δυνατό να εκτιµηθούν µε τη βοήθεια της Στατιστικής Ανάλυσης. Έστω λοιπόν ότι µετράµε το προηγούµενο χρονικό διάστηµα πέντε φορές και βρίσκουµε τα εξής αποτελέσµατα: 7s, 7s, 7s, 73s, 7s Μπορεί να αποδειχθεί στα πλαίσια της Στατιστικής ότι η καλύτερη εκτίµηση για το χρονικό διάστηµα είναι η µέση τιµή των πέντε µετρήσεων. Έτσι: t = = 7.8s 5 4

5 Γενικότερα αν κάνουµε Ν µετρήσεις µιας ποσότητας x από τις οποίες παίρνουµε τις τιµές x, x,. x N τότε η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα x είναι η µέση τιµή των µετρήσεων x, x,. x N δηλ. x + x + + x x = N N x i = = N N i (.) Στη Στατιστική αποδεικνύεται ότι το σφάλµα της µέσης τιµής (τυπική απόκλιση της µέσης τιµής) µπορεί να εκτιµηθεί ως εξής: Α) Αν ο αριθµός των µετρήσεων που έχουµε είναι µεγάλος (κατά σύµβαση µεγαλύτερος από 0): δx = σ = x N i= ( x x) i ( ) ) NN (.) Β) Αν ο αριθµός των µετρήσεων που έχουµε είναι µικρός (κατά σύµβαση µικρότερος από 0) N ( x x) i= δx = σx = (.3) N Στην περίπτωση κατά την οποία ο αριθµός των µετρήσεων είναι ακριβώς 0 (που είναι η πιο συνηθισµένη περίπτωση στο Εργαστήριο), προτιµούµε τη σχέση (.) και για ευνόητους λόγους (ποιους;) Στη συγκεκριµένη περίπτωση το σφάλµα της µέσης τιµής υπολογίζεται µε την βοήθεια του Πίνακα.: Πίνακας. t i (s) ti t ( ti t) (s ) i 5 ( ) ti t i= δ t =σ t =± =± 0.374s ± 0.4s 5 Το αποτέλεσµα αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα 68% η πραγµατική τιµή του χρονικού διαστήµατος να βρίσκεται κάπου ανάµεσα στο 7.4 sec ( )s και στο 7. sec ( )s. Αυτό ισοδυναµεί µε το εξής: αν πάρουµε 00 οµάδες των 5 µετρήσεων, από την καθεµία τους υπολογίσουµε το t και το δ t µε την προηγούµενη τρόπο και βρούµε τα διαστήµατα ( t δ t, t + δ t ), τότε περιµένουµε 5

6 ότι στις 68 περίπου από αυτές τις οµάδες µετρήσεων τα διαστήµατα θα περιλαµβάνουν την πραγµατική τιµή, ενώ στις υπόλοιπες 3 δε θα την περιλαµβάνουν. Το συµπέρασµα αυτό φαίνεται καλύτερα στο παρακάτω σχήµα. είγµα µεγέθους : Πραγµατική τιµή Σχήµα. Aποδεικνύεται από την Στατιστική ότι, κάτω από συγκεκριµένες προϋποθέσεις, το σφάλµα της µέσης τιµής ορίζει ένα διάστηµα γύρω από τη µέση τιµή, µέσα στο οποίο µπορούµε να ισχυριστούµε πως βρίσκεται η πραγµατική τιµή του µεγέθους µε πιθανότητα (Ρ) 68%. Αν υπολογίσουµε το διάστηµα µε χρήση του σ x αντί του σ x, τότε η πιθανότητα Ρ για σωστή εκτίµηση αυξάνει σε 95.4% όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. Σχήµα.3 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Θα πρέπει να χρησιµοποιούµε τις επαναλαµβανόµενες µετρήσεις, µόνο αν είµαστε σίγουροι ότι σε κάθε επανάληψη µετράµε το ίδιο µέγεθος κάτω από τις ίδιες ακριβώς πειραµατικές συνθήκες. Για παράδειγµα, αν τα προηγούµενα χρονικά διαστήµατα αφορούν τον χρόνο πτώσης ενός σώµατος από ένα ύψος h θα πρέπει να είµαστε σίγουροι ότι κάθε φορά το σώµα πέφτει από το ίδιο ύψος h και κάτω από τις ίδιες συνθήκες. εν έχει κάποιο νόηµα να υπολογίσουµε την µέση τιµή και το σφάλµα της για χρόνους πτώσης του σώµατος από διαφορετικά ύψη. Και, 6

7 γενικά, δεν υπολογίζουµε ποτέ µέση τιµή και σφάλµατα, όταν κάτι αλλάζει στο σύστηµα (π.χ. δίνουµε θερµότητα σε σώµα και φυσικά αλλάζει η θερµοκρασία του. Οι διαφορετικές τιµές της θερµοκρασίας, όµως, δεν αποτελούν στατιστικό δείγµα για επεξεργασία σφαλµάτων) Συστηµατικά Σφάλµατα Ας υποθέσουµε τώρα ότι το χρονόµετρο που χρησιµοποιήσαµε στην προηγούµενη παράγραφο είναι ελαττωµατικό και πηγαίνει πιο αργά από το κανονικό. Αυτό έχει, σαν αποτέλεσµα, να υποεκτιµούµε το χρονικό διάστηµα και όσες επαναλήψεις και αν κάνουµε δε θα µπορέσουµε να ανακαλύψουµε και να εκτιµήσουµε το σφάλµα αυτό. Τα σφάλµατα αυτού του τύπου καλούνται συστηµατικά, γιατί πάντα µετατοπίζουν τις µετρήσεις µας προς µια κατεύθυνση (είτε υποεκτιµούν είτε υπερεκτιµούν) σε αντίθεση µε τα τυχαία σφάλµατα που µετατοπίζουν τις µετρήσεις µας και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η διαφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Τυχαία Σφάλµατα Πραγµατική τιµή Συστηµατικά Σφάλµατα (Υποεκτίµηση) Πραγµατική τιµή Πραγµατική τιµή Συστηµατικά Σφάλµατα (Υπερεκτίµηση) Σχήµα.4 Έτσι λοιπόν, ενώ τα τυχαία σφάλµατα µπορούν να εκτιµηθούν µε τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης, τα συστηµατικά δεν µπορούν να εκτιµηθούν µε την βοήθεια της θεωρίας της προηγούµενης παραγράφου. Περιπτώσεις συστηµατικών σφαλµάτων έχουµε για παράδειγµα: i) σφάλµα µετάθεσης του µηδενός σε µία ζυγαριά, ii) µεταλλικός χάρακας που βρίσκεται σε πολύ υψηλή ή πολύ χαµηλή θερµοκρασία, κ.ο.κ. Στις εργαστηριακές ασκήσεις που ακολουθούν δε θα ασχοληθούµε µε την εκτίµηση συστηµατικών σφαλµάτων (εκτός από εκείνο της µετάθεσης του µηδενός), οπότε δε θα δώσουµε και µέθοδο για την εκτίµηση τέτοιων σφαλµάτων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρατηρούµε ότι, όταν το σφάλµα της µέσης τιµής είναι 0, δε το σηµειώνουµε γιατί το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι µεγαλύτερο. Εποµένως το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι το ελάχιστο δυνατό σφάλµα που µπορούµε να έχουµε για µια µετρούµενη ποσότητα. Π.χ. αν οι µετρήσεις κάποιου µήκους x έδωσαν Ν φορές το ίδιο αποτέλεσµα (π.χ. 6mm), η µέση τιµή και το σφάλµα της βρίσκονται : x = 6mm και δ x =± 0mm. Επειδή, όµως, το σφάλµα διακριτικής ικανότητας είναι ± 0,5 υποδ.= ± 0,5mm και το τελικό αποτέλεσµα γράφεται : x± δ x = (6,0± 0,5)mm 7

8 .3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Μέχρι τώρα είδαµε πώς µπορούµε να εκτιµήσουµε τα σφάλµατα σε διάφορες περιπτώσεις. Ακόµα, πώς χρησιµοποιούµε τα σφάλµατα, που βρήκαµε, για να ορίσουµε µια περιοχή γύρω από τη µέση τιµή (καλύτερη εκτίµηση), µέσα στην οποία βρίσκεται η πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους µε µια προκαθορισµένη πιθανότητα. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι, µε κάποιο τρόπο έχουµε µια εκτίµηση για ένα µέγεθος, π.χ µήκος, την τιµή x=,3mm και έχουµε εκτιµήσει το σφάλµα ίσο µε ± 0,mm. Αυτό σηµαίνει ότι η πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους είναι κάπου µεταξύ των στο,mm και,4mm. Το συµπέρασµα αυτό µπορεί να γραφτεί σε πιο συνεπτυγµένη µορφή ως: x± δ x = (,3± 0,)mm Έστω τώρα ότι σε µια άλλη περίπτωση έχουµε υπολογίσει για τον χρόνο t ως αποδεκτή τιµή, π.χ., το 9,783s και ως σφάλµα το ± 0.385s. Στα πλαίσια του Εργαστηρίου Φυσικής δεν µπορούµε να έχουµε εκτίµηση σφάλµατος µε µεγαλύτερη ακρίβεια από ένα σηµαντικό ψηφίο (δηλ. ψηφίο ενός αριθµού που είναι διαφορετικό του µηδενός), γιατί το σφάλµα του πρώτου σηµαντικού ψηφίου καλύπτει εκείνο των ψηφίων που ακολουθούν. Έτσι πάντα θα στρογγυλοποιούµε το σφάλµα στο πρώτο σηµαντικό ψηφίο δηλ. εδώ θα είναι 0,s. Η αποδεκτή τιµή πρέπει, εποµένως, να γραφεί µε ένα δεκαδικό ψηφίο (όµοια µε την 0,s). Προφανώς, λοιπόν, πρέπει να στρογγυλοποιήσουµε την τιµή 9,783s στην τιµή 9,8s. Η µέτρηση µας λοιπόν θα γράφεται ως: t ± δ t = (9.8± 0.)s Γενικά στα πλαίσια του Εργαστηρίου Φυσικής θα πρέπει να ακολουθούµε πιστά τον εξής κανόνα: Αν έχουµε βρει την πιθανότερη τιµή και το σφάλµα της, τότε στρογγυλοποιούµε το σφάλµα µέχρι του ενός σηµαντικού ψηφίου και στην συνέχεια στρογγυλοποιούµε την πιθανότερη τιµή, αφήνοντας ως τελευταίο ψηφίο το της ίδιας τάξης µεγέθους µε το σφάλµα. Αν η πιθανότερη τιµή έχει λιγότερα ψηφία, προσθέτουµε το 0 µέχρι να φτάσουµε στο σηµαντικό ψηφίο (όπως φάνηκε και σε προηγούµενο παράδειγµα, όπου η τιµή 6mm γράφτηκε 6,0 mm ) ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο παραπάνω κανόνας για την στρογγυλοποίηση των αποτελεσµάτων αφορά µόνο τη γραφή των µετρήσεων. Όταν θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις αυτές για υπολογισµούς θα πρέπει να κρατάµε δύο σηµαντικά ψηφία προκειµένου να αποφύγουµε σφάλµατα λόγω στρογγυλοποιήσεων στους υπολογισµούς. Ορισµένες εφαρµογές του κανόνα αυτού έχουν καταγραφεί στον Πίνακα.. Πίνακας. Πριν από την επιλογή των σηµαντικών ψηφίων Μετά την επιλογή των σηµαντικών ψηφίων Τελικό αποτέλεσµα X x δx X x±δ x ± ± ± ± 0.3 8

9 Το σφάλµα µέτρησης δείχνει την ακρίβεια της µέτρησης, αλλά πολλές φορές για να κατανοήσουµε καλύτερα την ακρίβεια αυτή πρέπει να υπολογίζουµε το σχετικό σφάλµα, το οποίο ορίζεται ως: Εκτιµωµενο Σϕαλµα δx Σχετικό Σφάλµα = = (.4) Εκτιµωµενη Τιµη x Το σχετικό σφάλµα είναι καθαρός αριθµός και εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό. Η αξία του είναι φανερή, αφού το να πούµε έχουµε σφάλµα ± 0,s από µόνο του δεν είναι πλήρες όσο το να µιλήσουµε για σφάλµα ± %..4 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Τα περισσότερα φυσικά µεγέθη δεν µπορούν να µετρηθούν αµέσως αλλά υπολογίζονται εµµέσως. Συνήθως ο παρατηρητής µετράει ένα ή περισσότερα µεγέθη, µε τη βοήθεια ενός ή περισσότερων οργάνων και στη συνέχεια υπολογίζει από αυτά την τιµή του µεγέθους που τον ενδιαφέρει. Αφού λοιπόν έχει εκτιµήσει τα επιµέρους σφάλµατα των αµέσως µετρουµένων µεγεθών, στη συνέχεια θα πρέπει να βρει τον τρόπο µε τον οποίο αυτά "µεταδίδονται" µέσω των υπολογισµών και οδηγούν στο σφάλµα του ζητούµενου µεγέθους. Έστω ότι µετρήθηκαν οι ποσότητες x, y, z, και εκτιµήθηκαν τα σφάλµατα µέτρησης τους δx, δy, δz, (σφάλµατα µέσης τιµής) µε σκοπό να υπολογισθεί η ποσότητα Q, της οποίας η άµεση µέτρηση δεν είναι δυνατή και που είναι συνάρτηση των ποσοτήτων x, y, z δηλ: Q = f(x, y, z, ) (.5) Προφανώς η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα Q προκύπτει από τις καλύτερες εκτιµήσεις για τις ποσότητες x, y, z. Eπι πλέον πρέπει να εκτιµηθεί το σφάλµα, που προκύπτει κατά τον υπολογισµό της Q, δεδοµένου ότι τα επί µέρους σφάλµατα µέτρησης µεταδίδονται κατά τον υπολογισµό της. Στη θεωρία των σφαλµάτων αποδεικνύεται ότι το σφάλµα δq της ποσότητας Q υπολογίζεται µε διαφόριση της σχέσης (.5), µε τη βοήθεια της απόλυτης τιµής των µερικών παραγώγων της Q, ως προς κάθε µία από τις µεταβλητές, δηλ.: f f f δq = δx + δy + δz + (.6) x y z f f f όπου, και είναι οι µερικές παράγωγοι της f ως προς x, y και z x y z αντίστοιχα.(σκεφτείτε: γιατί µιλήσαµε για απόλυτη τιµή των µερικών παραγώγων;) f Η µερική παράγωγος π.χ είναι το αποτέλεσµα της παραγώγισης της f ως προς x x θεωρώντας τις µεταβλητές y και z σταθερές. Tο σφάλµα που υπολογίζεται µε βάση τη σχέση αυτή, ονοµάζεται µέγιστο σφάλµα σύνθετης µετρήσεως. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε µερικές εφαρµογές και παραδείγµατα στη µετάδοση σφαλµάτων σε απλές περιπτώσεις µεγεθών που δεν είναι δυνατόν να µετρηθούν άµεσα. 9

10 Α) Αθροίσµατα και ιαφορές: Έστω ότι ένα µέγεθος Q υπολογίζεται σαν άθροισµα ή διαφορά δύο ή περισσοτέρων µεγεθών δηλ.: Q = ( x + y + + z ) - ( x + y + + z ) (.7) Q Στην περίπτωση αυτή x = Q Q y = = z = οπότε σύµφωνα µε την σχέση (.6) το σφάλµα του Q, δq, ισούται µε το άθροισµα: δq = δx + δy + + δx + δy + + δz (.8) όλων των επιµέρους σφαλµάτων. Β) Γινόµενα και Πηλίκα: Άν η ποσότητα Q προκύπτει από το γινόµενο ή το πηλίκο των µετρουµένων ποσοτήτων, δηλ.: Q = x y z x y z (.9) ή xy z Q = (.0) x y z τότε όπως αποδεικνύεται εύκολα από την (.6) µπορούµε να πάρουµε µια απλή σχέση που δίνει το σχετικό σφάλµα της Q σαν άθροισµα των σχετικών σφαλµάτων των επί µέρους ποσοτήτων. ηλαδή: δq δx δy δz δx δy δz = (.) Q x y z x y z Συνοψίζοντας τα συµπεράσµατα για αυτές τις δύο σηµαντικές περιπτώσεις µπορούµε να εξαγάγουµε τον ακόλουθο µνηµονικό κανόνα: Όταν οι αµέσως µετρούµενες ποσότητες προστίθενται ή αφαιρούνται τα σφάλµατα τους αθροίζονται. Όταν οι αµέσως µετρούµενες ποσότητες πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται τότε τα σχετικά τους σφάλµατα αθροίζονται. Γ) υνάµεις: Άν η ποσότητα Q υπολογίζεται ως δύναµη ενός µεγέθους, δηλ. Q = x ν (.) τότε εύκολα µπορεί να αποδειχθεί ότι: δq δx = ν (.3) Q x ) Γινόµενο µε σταθερά: Έστω ότι η ποσότητα Q υπολογίζεται ως γινόµενο µιας αµέσως µετρούµενης ποσότητας µε µια σταθερά, δηλ.: Q = Ax (.4) Εύκολα και πάλι µπορεί να αποδειχθεί ότι: δq = Aδx (.5) Παραδείγµατα :. Η σχέση της κλίµακας βαθµών Baume (B) µε την αντίστοιχη σε gr/cm 3 (ρ) για 45 την πυκνότητα υγρού είναι: ρ=. Το σφάλµα διακριτικής ικανότητας για την 45 Β κλίµακα Baume είναι δβ. Αυτό µεταφέρεται στην πυκνότητα ρ έτσι: 0

11 ρ( Β) 45 δρ = ± δβ = ρ ( Β) δβ =. δβ Β (45 Β). O συντελεστής (γ) επιφανειακής τάσης υγρού υπολογίζεται από τη σχέση : ρ.g.d.h γ= (d=διάµετρος σωλήνα και h =διάµετρος σωλήνα). Τα σφάλµατα για 4 τηνπυκνότητα (ρ) και την επιτάχυνση της βαρύτητας (g) θεωρούνται αµελητέα, ενώ για τα d, h είναι δd και δh αντίστοιχα. Το σφάλµα για τον συντελεστή (γ) βρίσκεται: γ(d, h) γ(d, h) ρ.g.d ρ.g.h δγ = ±.h δ +.d δ = ±.h δ +.d δ h d =σταθ. d h =σταθ. 4 4 Εννοείται, ότι στις παραπάνω σχέσεις τα µεγέθη εκφράζονται µε τη µέση ή, γενικά, µε την αποδεκτή τιµή τους. Υπενθυµίζουµε, εξάλλου, ότι µε τη διαδικασία αυτή υπολογίζεται το µέγιστο σφάλµα για το µέγεθος που µας ενδιαφέρει..4. Ανεξάρτητα Σφάλµατα Ας πάρουµε την πιο απλή απ όλες τις περιπτώσεις που εξετάσαµε ως τώρα για την µετάδοση των σφαλµάτων. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα q = x + y δύο ποσοτήτων που µετρήθηκαν µε σφάλµατα δx και δy. Οπως είδαµε µέχρι τώρα η καλύτερη εκτίµηση για την ποσότητα q θα προκύπτει απο το άθροισµα των καλυτέρων εκτιµήσεων για τις ποσότητες x και y, ενώ το σφάλµα της ποσότητας q θα είναι δq = δx + δy. Σύµφωνα µε αυτά η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το q είναι x + y + δx + δy ενώ η µικρότερη x + y - δx - δy. Πότε όµως και µε ποιά πιθανότητα είναι δυνατον να συµβεί κάτι τέτοιο; Προφανώς αυτό θα συµβεί, όταν έχουµε ταυτόχρονα υπερεκτιµήσει ή υποεκτιµήσει τόσο το x όσο και το y µε την µέγιστη τιµή των σφαλµάτων τους δx και δy. Μία τέτοια περίπτωση έχουµε όταν, για παράδειγµα: q = x + y είναι το άθροισµα δύο µηκών x και y, τα οποία έχουν µετρηθεί µε την ίδια ελλατωµατική µετρητική ταινία. Αν υποθέσουµε ότι κάθε µέτρηση µε αυτήν την ταινία εισάγει ένα σφάλµα, είναι σίγουρο ότι τόσο η µέτρηση του x όσο και του y θα εµπεριέχουν αυτό το σφάλµα, και µάλιστα θα είναι υπερεκτιµηµένες ή υποεκτιµηµένες κατά την ίδια ποσότητα. Όταν όµως τα x και y εκφράζουν µετρήσεις που αντιπροσωπεύουν διαφορετικά µεγέθη και έχουν γίνει από διαφορετικά όργανα, είναι δηλαδή ανεξάρτητες µετρήσεις, και τα σφαλµατά τους είναι τυχαία στην φύση τους, η περίπτωση που εξετάζουµε είναι µάλλον απίθανο να συµβεί. Κι αυτό γιατί τότε η περίπτωση το x να είναι υπερεκτιµηµένο συνοδεύεται από µια πιθανότητα 50% το y να είναι υποεκτιµηµένο και αντίστροφα. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι η πιθανότητα να έχουµε υπερεκτιµήσει ή υποεκτιµήσει το x και το y ταυτόχρονα µε την µέγιστη ποσότητα δx και δy είναι πάρα πολύ µικρή και εποµένως το δq = δx + δy υπερεκτιµά το πιθανό µας σφάλµα. Για να αποφύγουµε σ αυτήν την περίπτωση το υπερεκτιµηµένο σφάλµα για το τελικό µέγεθος χρησιµοποιούµε από τη θεωρία σφαλµάτων τη σχέση: δq + = (δx) (δy) (.6) Η σχέση αυτή δίνει πάντα µικρότερη τιµή για το σφάλµα της q απ ότι η δq = δx + δy και η µορφή της εφαρµόζεται στον υπολογισµό των σφαλµάτων για όλες τις περιπτώσεις εµµέσως υπολογισµένων µεγεθών, που συναντήσαµε έως τώρα.

12 Αν λοιπόν έχουµε ανεξάρτητα σφάλµατα τότε η βασική σχέση (.6) γίνεται: δ Q = f δ δ x x f y y f + + z δz + (.7) Με την σειρά τους οι σχέσεις (.8) και (.) γίνονται αντίστοιχα: ( ) ( ) ( ) ( ) δq = δx + δz + δx + + δz (.8) δq δx δz δx δz = Q + + x + z + + x (.9) z Οι σχέσεις (.6), (.8), (.) αποτελούν ένα άνω όριο για την τιµή που µπορούν να πάρουν σύµφωνα µε αυτές τα εµµέσως υπολογισµένα σφάλµατα, τα οποία όπως είδαµε ονοµάζονται γι αυτό το λόγο µέγιστα σφάλµατα σύνθετης µετρήσεως. Οι νέες σχέσεις (.7), (.8), (.9) υπολογίζουν πάντα µικρότερη τιµή για το τελικό σφάλµα απ ότι οι αντίστοιχες (.6), (.8), (.) και γι αυτό θα πρέπει πάντα να χρησιµοποιούνται όταν είναι εφαρµόσιµες δηλαδή όταν τα σφάλµατα των µετρουµένων µεγεθών είναι ανεξάρτητα και τυχαία. Σηµειώνουµε εδώ ότι σχεδόν ΟΛΕΣ οι µετρήσεις που γίνονται στο Εργαστήριο εµπεριέχουν ανεξάρτητα και τυχαία σφάλµατα. Εφαρµογή : Εφαρµόστε τις σχέσεις (.7), (.8) και (.9) για τα δυο παραδείγµατα που αναφέρονται µετά τη σχέση (.5) και συγκρίνετε τα νέα αποτελέσµατα µε τα προηγούµενα..5 ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Αφού είδαµε διάφορους τρόπους για την εκτίµηση των σφαλµάτων θα δούµε τώρα πόσο σηµαντικό είναι να τα γνωρίζουµε και τι συµπεράσµτα µπορούµε να βγάλουµε απο τις µετρήσεις µας. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε να λύσουµε ένα πρόβληµα ανάλογο µε αυτό που είχε αντιµετωπίσει ο Αρχιµήδης δηλ. να βρούµε αν ένα κόσµηµα αποτελείται απο χρυσό (ρ χρυσ = 5.5 gm/cm 3 ) ή απο ένα άλλο µείγµα (ρ µειγµ = 3.8 gm/cm 3 ). ύο φοιτητές Α και Β µετρούν την πυκνότητα του κοσµήµατος και βρίσκουν αντίστοιχα: (5 ± ) gm/cm 3 και (3.9 ± 0.) gm/cm 3. Η πρώτη παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε είναι ότι αν και η µέτρηση του Β είναι πολύ πιο ακριβής απο την µέτρηση του Α, µπορεί και οι δύο µετρήσεις να είναι εξίσου σωστές αφού τα διαστήµατα που δίνουν επικαλύπτονται σε ένα µέρος τους. Η µέτρηση του Α όµως είναι χωρίς πρακτική σηµασία καθώς το διάστηµα που δίνει (απο 3 εώς 7) περιλαµβάνει τόσο την πυκνότητα του χρυσού όσο και την πυκνότητα του ύποπτου µείγµατος. Απο την άλλη πλευρά η µέτρηση του Β µας δείχνει ότι το κόσµηµα είναι φτιαγµένο απο το µείγµα και όχι απο καθαρό χρυσό, αφού το διάστηµα που δίνει (απο 3.7 εώς 4.) περιέχει την πυκνότητα του ύποπτου µείγµατος αλλά όχι την πυκνότητα του χρυσού. Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι προκειµένου να βγάλουµε χρήσιµα συµπεράσµατα απο ένα πείραµα θα πρέπει τα εκτιµόµενα σφάλµατα να µην είναι σχετικά µεγάλα. Αυτό δεν σηµαίνει απαραίτητα ότι τα σφάλµατα θα πρέπει να είναι

13 σχετικά πολύ µικρά. Για να καταλάβουµε το σηµείο αυτό ας ξαναθυµηθούµε το παράδειγµα της πρώτης παραγράφου µε τον ξυλουργό. Στον ξυλουργό προφανώς αρκεί η δεύτερη µέτρηση. Η πρώτη µέτρηση δεν είναι αρκετά ακριβής ενώ η τελευταία περιέχει περιττή πληροφορία που ο ξυλουργός δεν θα χρησιµοποιήσει ποτέ. Άρα λοιπόν θα πρέπει πάντα να έχουµε κατά νού σε τι θα χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις µας, ώστε να µην επιδιώκουµε παραπάνω απο την απαιτούµενη ακρίβεια. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγουµε κόπο αλλά και έξοδα που ουσιαστικά δεν χρειάζονται. ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε φορά που υπολογίζουµε κάποιο µέγεθος και το σφάλµα του πρέπει να το γράφουµε µε τη µορφή : x±δx..6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Αν y = α(x + x ) όπου α = 5., x = 33.0 ± 0.4 και x = 84. ± 0.7 να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα. ) ίνεται ότι z = xy, x = 3.77 ± 0.08 και y = 4.65 ± Να υπολογισθεί το σχετικό σφάλµα του z. 3) Να υπολογισθεί το απόλυτο σφάλµα του y = x 5 όπου x =.6 ± ) Η ανύψωση h του νερού σε τριχοειδή σωλήνα µε διάµετρο d δίνεται απο τη σχέση: h = 4γ ρgd όπου γ ο συντελεστής επιφανειακής τάσεως, ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Αν h ± δh = (40.03 ± 0.08) mm, ρ = gr/cm 3, g = 0 m/s και d ± δd = (0.7 ± 0.06) mm, να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα του συντελεστή επιφανειακής τάσεως. 5) Ο συντελεστής απορροφήσεως υλικού µ για την ακτινοβολία γ δίνεται απο την σχέση: ln I 0 =µ x I όπου Ι 0, Ι η ένταση της ακτινοβολίας για πάχος 0 και x του υλικού. ίνονται Ι 0 ± δι 0 = (50 ± 0) κρούσεις/min, I ± δι = (30 ± 0) κρούσεις/min και x ± δx = (4.74 ± 0.0) mm. Να υπολογισθεί το µ καθώς και το απόλυτο και σχετικό σφάλµα. 6) Η διάµετρος d σύρµατος µετρήθηκε απο δύο φοιτητές και οι µετρήσεις τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα (n η πολλαπλότητα της µέτρησης): Μετρήσεις Α φοιτητή Μετρήσεις Β φοιτητή n d (mm) n d (mm)

14 Να υπολογισθούν τα απόλυτα και τα σχετικά σφάλµατα που προκύπτουν απο τις µετρήσεις των δύο φοιτητών. 7) Να σηµειωθεί ποιές απο τις εκφράσεις που ακολουθούν είναι σωστές και να δικαιολογήσεται την άποψή σας: x ± δx = (.345 ± 0.43) mm x ± δx = (65 ±.) κρ/min x ± δx = (.34 ± 0.4) mm x ± δx = (65. ±.) κρ/min x ± δx = (.34 ± 0.43) mm x ± δx = (650 ± ) κρ/min x ± δx = (.3 ± 0.4) mm x ± δx = (650 ± 0) κρ/min x ± δx = (.30 ± 0.43) mm x ± δx = (600 ± 0) κρ/min ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis. University Science Books 98. ). Μεντζαφός, Α. Χούντας, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής. Ανωτάτη Γεωπονική Σχολή Αθηνών ) Εργαστήριο Φυσικής Εισαγωγικά µαθήµατα για τα σφάλµατα. Πανεπιστήµιο Αθηνών, Τµήµα Φυσικής ) Χ. αµιανού, Μ. Κούτρας, Εισαγωγή στη Στατιστική Μέρος Ι. Εκδόσεις Αίθρα. 5) L. Kirkup, Experimental Methods. J. Wiley & Sons

15 ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ η : ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. ίνονται σειρές µετρήσεων του πάχους νήµατος µε διαφορετικό πληθυσµό (d=πάχος νήµατος, f= συχνότητα των εµφανιζόµενων τιµών) o Set Μετρήσεων o Set Μετρήσεων d mm f d mm f,0,04,04 3,06,06 6,08,08 8,0,0 0,, 9,4,4 7,6,6 4,8,8 3,0, Να βρεθεί η µέση τιµή d, το σφάλµα της µέσης τιµής δ d και το σχετικό σφάλµα δd για τις δυο σειρές µετρήσεων. Να γίνει η γραφική παράσταση f=f(d) στο ίδιο d διάγραµµα και να εµφανίζεται η περιοχή σφάλµατος για τις περιπτώσεις. Σχολιάστε τις διαφορές των σειρών και διατυπώστε το συµπέρασµα που προκύπτει... Ποιές απο τις παρακάτω εκφράσεις είναι λανθασµένες και γιατί Γράψτε δίπλα τις διορθωµένες. ( 9,47 ± 0,03 ) cm 3 ( 5 ± 8 ) κρούσεις/min ( 45,378 ± 0 - ) cm (,04 ± 0,3 ) mm 3. Σε µεταλλικό παραλληλεπίπεδο µε διαστάσεις x, y, z και µάζα m έγιναν µετρήσεις µε τα παρακάτω αποτελέσµατα x (mm) y (mm) z (mm) m (gr), 6,8 8,6 64,4, 7, 8,8 64,3, 7, 8,7 64,5,3 7,4 8,6 64,4, 6,8 8,7 64,5 Να υπολογιστούν τα σφάλµατα µέσης τιµής και τα σχετικά σφάλµατα για τα µεγέθη του πίνακα και για την πυκνότητα του υλικού του παραλληλεπίπεδου. Τα αποτελέσµατα να γραφούν µε την τελική τους µορφή. 5

16 4. Φοιτητής πρόκειται να υπολογίσει τη σκληρότητα (k) ελατηρίου κρεµώντας στο άκρο του σώµατα µε µάζες m, οπότε µεταβάλλεται το µήκος του l. Οι µετρήσεις: m(gr) l (cm) 5,00 5,40 5,78 6,8 6,55 6,90 7,35 7,75 8,5 8,50 Με τη βοήθεια των παραπάνω τιµών µπορούν να υπολογιστούν σφάλµατα για τα µεγέθη m και l; ικαιολογείστε την απάντησή σας. Αν δίνονται: δm = ±,85g, δl= ± 0,86mm. να βρεθούν τα σφάλµατα για το k µε τρόπους και να συγκριθούν. 5. Με τη βοήθεια της σχέσης:i=i o e -µx και των: I ± δι = ( 30 ± 5) κρ., min I o κρ. ± δι ο = (50 ± 0), min x ± δx = (4,74 ± 0,0) mm, γράψτε τη σχέση: µ ± δµ=...mm - 6

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΤΡΙΧΟΕΙ ΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ- ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΤΡΙΧΟΕΙ ΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ- ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΤΡΙΧΟΕΙ ΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ- ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Οι ρίζες των δέντρων αποτελούνται απο τρία είδη ιστών ένα εκ των οποίων, (ο επιφανειακός ιστός) περιλαµβάνει ειδικά τροποποιηµένα

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι Α Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Μπεθάνης Κ., Καρπούζας Μ. & Τζαμαλής Π. ΑΘΗΝΑ 03-4 i ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 8 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΞΩ ΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΗ 8 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΞΩ ΟΥΣ Η αντίσταση που δέχεται ένα σώµα όταν κινείται µέσα σ ένα ρευστό εξαρτάται απο το σχήµα του σώµατος. Παρατηρούµε οτι η µικρότερη αντίσταση εµφανίζεται στο ατρακτοειδές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΙ ΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΙ ΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 9 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΙ ΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ Πείραµα του J. Joule που αποδεικνύει τη διατήρηση της ενέργειας URL: http://www. hcc.hawaii.edu 95 9.1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η µελέτη του φαινοµένου Joule και ο προσδιορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

gr/ Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός

gr/ Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός 1. ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ Όργανα µέτρησης µήκους Όταν πρόκειται να µετρήσουµε ένα µήκος, πρέπει να επιλέξουµε εκείνο το όργανο µέτρησης το οποίο είναι κατάλληλο για να µετρήσει το µήκος αυτό και να δώσει την απαιτούµενη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ y = A + Bx Α = 0.0871 Β = 1.9398 y 1 = 0,087 + 1,94 0,7 = 1,44 (x 1, y 1 ) = (0,7, 1,44) y = 0,087

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης

ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης ΠΕΙΡΑΜΑ III Μελέτη Ελευθερης Πτώσης Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κίνηση ενός σώµατος καθώς πέφτει ελεύθερα υπό την επίδραση του βάρους του. Πιο συγκεκριµένα θα επαληθεύσουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ 2002 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...4 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ...7 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ...0

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφή των Εργασιών των ΠειραµατικώνΑσκήσεων ΧΡΗΣΙΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ

Γραφή των Εργασιών των ΠειραµατικώνΑσκήσεων ΧΡΗΣΙΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΕΚΘΕΣΕΩΝ ΤΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ενασχόληση στο Εργαστήριο Φυσικής περιλαµβάνει τρία µέρη. Το πρώτο, το προπαρασκευαστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣ 114 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φθινόπωρο 2014 Διδάσκων/Υπεύθυνος: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~fotis/phy114/phy114.htm ΦΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονική µέθοδος. Πείραµα, Γαλιλαίου. Εφαρµογή: επιστηµονικής µεθόδου. Βήµα 2: Υπόθεση

Επιστηµονική µέθοδος. Πείραµα, Γαλιλαίου. Εφαρµογή: επιστηµονικής µεθόδου. Βήµα 2: Υπόθεση Επιστηµονική µέθοδος Η Φυσική για να µελετήσει ένα φαινόµενο εφαρµόζει την λεγόµενη επιστηµονική µέθοδο. Η επιστηµονική µέθοδος αποτελείται από τα εξής βήµατα: Βήµα 1: Παρατήρηση Χρησιµοποιώντας τις αισθήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. ιάταξη φυσικών αριθµών 2. Στρογγυλοποίηση 3. Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασµός 4. υνάµεις 5. Ευκλείδεια ιαίρεση 6. ιαιρετότητα-μκ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Η κλίµακα των διαστάσεων της ύλης από τα στοιχειώδη σωµάτια έως τα όρια του Σύµπαντος. Το παραπάνω σχήµα προέρχεται απο το βιβλίο του E. Hecht Physics Brooks 3.1

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΖΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η συνειδητή χρήση των κανόνων ασφαλείας στο εργαστήριο. Η εξοικείωση στη χρήση του υποδεκάμετρου και του διαστημόμετρου

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Εργαστηριακό Κέντρο Φυσικών Επιστηµών Αγίων Αναργύρων Αθήνας Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επιµέλεια-Εκτέλεση-Παρουσίαση: Ευάγγελος Κουντούρης, Φυσικός, Υπεύθυνος του Εργαστηριακού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2

m (gr) 100 200 300 400 500 600 700 l (cm) 59.1 62.4 65.2 69.3 71.2 74.1 77.2 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Η εργασία αυτή απευθύνεται σε όλους όσους επιθυµούν να ϐελτιώσουν την ϐαθµολογία τους. Βασικό στοιχείο της εργασίας είναι οι γραφικές παραστάσεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία

ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία ΠΕΙΡΑΜΑ VIII Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε τις βασικές αρχές της θερµιδοµετρίας προκειµένου να µετρήσουµε τα εξής: Ειδική θερµότητα θερµιδοµέτρου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1

10,0 0 11,5 0,5 13,0 1,0 15,0 1,5 16,0 2,0. www.ylikonet.gr 1 σε µια διάσταση. Οµάδα Β. 1.2.1. Ελαστική παραµόρφωση και σκληρότητα ελατηρίου. Στο διάγραµµα δίνεται η γραφική παράσταση της δύναµης που ασκείται σε δύο ελατήρια σε συνάρτηση µε την επιµήκυνση των ελατηρίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Αθήνα 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ... 2. ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ... 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΧΙΚΟΥ Κ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΗΧΑΝΗΣ ΣΕ Κ=1,1 kg/mm ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΛΕΒΑΝΤΗ ΖΑΝΝΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΜΗΜΑ Α 2 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΣΕΝΑΡΙΟ : Πρόκειται να μετατρέψουμε τα εμπρός ελατήρια μιας μοτοσυκλέτας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία

ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία ΠΕΙΡΑΜΑ IX Θερµιδοµετρία και Θερµοστοιχεία Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε τισ βασικές αρχές της θερµιδοµετρίας προκειµένου να µετρήσουµε τα εξής: Ειδική θερµότητα θερµιδοµέτρου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο

Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1, 2, 3 και 4 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ Οι ασκήσεις που αναφέρονται στο νόµο του Τζάουλ είναι απλή εφαρµογή στον τύπο. Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθούµε τα εξής βήµατα: i) ιαβάζουµε προσεκτικά την εκφώνηση της άσκησης,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα