VECTORI, TENSORI, CÂMPURI

Transcript

1 Liviu JALBĂ Octavian STĂNĂȘILĂ VECTORI, TENSORI, CÂMPURI - de la concept la aplicații - București, 2015 Fundația Floarea Darurilor 1

2 Culegerea textului și tehnoredactarea Elena-Mădălina Florescu Tipărită la Regia Autonomă Monitorul Oficial București, ROMÂNIA, în 500 exemplare. ISBN FD 2

3 3

4 4

5 CUPRINS PREFAȚĂ pag. 11 CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU VECTORI, MODURI DE REPREZENTARE pag Conceptul de vector, operații simple cu vectori pag Reper cartezian în plan și în spațiu pag Produse de vectori pag Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu și repere mobile pag. 43 CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI, APLICAȚII LINIARE, COMPONENTE COVARIANTE ȘI CONTRAVARIANTE pag Bază a unui spațiu vectorial pag Transformări liniare pag Matrice de trecere de la o bază la alta pag Componente contravariante și componente covariante ale unui vector pag. 74 5

6 CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII MECANICE ALE VECTORILOR pag Lucru mecanic pag Echilibrul unui solid rigid pag Mișcarea pe un plan înclinat pag Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea circulară uniformă pag. 97 CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI ȘI APLICAȚII ÎN ELECTROMAGNETISM pag Câmpuri de vectori, linii de câmp pag Câmpul electrostatic pag Câmpul magnetic pag Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori pag. 129 CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE ȘI OPERAȚII pag Mărimi cu caracter tensorial pag Definiția tensorilor 3D liberi și exemple pag Operații cu tensori pag

7 CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI pag Noțiunea de câmp de tensori și exemple pag Tensori în coordonate curbilinii pag Aplicații geometrice ale tensorului metric, simbolurile lui Christoffel pag Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor pag. 186 CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE TENSORILOR pag Mișcarea pe o traiectorie plană pag Mișcarea pe o traiectorie în spațiu pag Tensorul de inerție pag Tensorul câmpului electromagnetic pag Transport paralel pag Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein pag O retrospectivă: Geometria și Fizica pag. 218 BIBLIOGRAFIE pag. 225 INDICE DE NUME ȘI NOTAȚII pag

8 8

9 9

10 10

11 PREFAȚĂ Vectorii și tensorii sunt concepte și instrumente intelectuale, importante prin ele însele (ca fapt de cultură) și mai ales pentru aplicațiile lor în Mecanică, Electromagnetism, Teoria relativității și în alte domenii ale Fizicii și Ingineriei. În Gimnaziu, vectorii au fost introduși, pentru rațiuni didactice, în mod intuitiv, ca țepe care să sugereze mărimea, direcția și sensul unor entități fizice precum viteza, accelerația, forța. În Liceu, vectorii au fost prezentați exclusiv ca obiecte geometrice, mai precis ca segmente orientate. Mai târziu, în Învățământul Superior, programa a cuprins capitole de Calcul vectorial și Teoria câmpului, dizolvate în cursurile de Algebră liniară (studiul vectorilor abstracți) și Analiză matematică. Calculul tensorial a fost utilizat episodic în studiul Rezistenței materialelor sau al Mecanicii mediilor continue. Sunt binecunoscute, deopotrivă de către profesori și elevi, dificultățile întâlnite în predarea și asimilarea noțiunii de vector; s-au realizat progrese și în privința comunicării, a folosirii argumentelor euristice (de tipul voilà!), cu încercări de formalizare (relații de echivalență, inversarea sensului de la particular la general etc.). Tinerii studioși nu pot face diferența între diversele moduri de prezentare, corecte științific și logic echivalente (dar nu și didactic!). Este de asemenea esențial să distingem între conceptul intrinsec și diversele reprezentări ale lui. Astfel, vectorii și tensorii sunt concepte absolute, independente de sistemele de coordonate și de reprezentările lor într-un reper sau altul. Doar coordonatele lor diferă de la un reper la altul. 11

12 Un alt concept de neevitat îl constituie cel de câmp ( familie) de vectori sau tensori depinzând de punct și acționând într-o anumită regiune. Autorii au ales definițiile cele mai lucrative, acoperite de comentarii, exemple/contraexemple sugestive și bineînțeles, de aplicații. Rigoarea este respectată, apelând totuși la desen și la devoalarea aspectelor fizice care stau la baza tuturor conceptelor matematice viabile, frumoase prin utilitatea lor. Ne adresăm tinerilor care au cunoștințe elementare de Analiză matematică și Algebră de liceu, dar și celor care au dorința de a-și dezvolta zestrea matematică. În capitolele finale, îndeosebi în partea lor teoretică, nu am putut evita derivatele parțiale, regula de derivare a funcțiilor compuse ( chain rule ) și câteva elemente de Geometrie diferențială. Autorii, octombrie

13 CAPITOLUL 1: VECTORI, OPERAȚII CU VECTORI, MODURI DE REPREZENTARE 1.1. Conceptul de vector, operații simple cu vectori Euristic, vectorii simbolizează (descriu, reprezintă...) entitățile fizice sau geometrice caracterizate prin mărime, direcție și sens. Termenul vector provine din latinescul veho, vehere, vexi, vectum (a trage, a căra, a purta); el a fost introdus de astronomii Secolului al XVIII lea care studiau mișcarea planetelor în jurul Soarelui. Același termen este utilizat și în alte contexte; de exemplu, în Geografie ( vector turismogen ), în Sociologie ( vector de influență ) sau în studiul memoriei computerelor ( vector de date ). Să fixăm două puncte distincte A, B dintr-un plan P (de exemplu planul acestei foi de hârtie). Acestor două puncte li se pot asocia mai multe obiecte geometrice diferite: - perechea ordonată (A, B) P P, care diferă de perechea ordonată (B, A); - mulțimea {A, B}, care este egală cu mulțimea {B, A}; - dreapta AB (care coincide cu dreapta BA); - segmentul orientat [AB], care conține toate punctele dreptei AB situate între A și B (incluzând capetele); [AB] [BA]; - semidreapta (AB având originea în A; - distanța d(a, B) relativ la o unitate de măsură fixată; numărul real și pozitiv d(a, B) este tocmai lungimea segmentului [AB], exprimată în m, cm, km, µm etc. 13

14 Prin convenție, segmentul orientat [AB] este reprezentat printr-o săgeată spre B; era posibilă și o reprezentare ca un arc de curbă, dar ar fi fost o complicație inutilă (fig. 1.1). Fig. 1.1 În cazul când B=A, dreapta AB nu este definită (nu are sens), iar segmentul [AB] este redus la punctul A și are lungimea nulă. Notă: În Matematică s-a făcut convenția tacită de a considera ca primare unele noțiuni precum: mulțimile, elementele, punctele, dreptele, planele, evenimentele, obiectele, formele etc. Acest fapt a condus la evitarea unor cercuri vicioase și a început să fie preluat și de alte științe. Pentru a defini un concept se fac referiri la concepte anterior definite; de exemplu, spunând că o mulțime este o colecție, apare imediat întrebarea: ce este colecția?, etc. Două segmente orientate [AB] și [CD], nereduse la un punct, se numesc echipolente dacă segmentele [AD] și [BC] au același mijloc, sau echivalent, patrulaterul ABDC este paralelogram (eventual degenerat); se scrie [AB]~[CD]; (fig. 1.2). Fig

15 Definiția 1.1: Un vector liber AB având suportul în planul P (adică A, B P, deci dreapta AB este inclusă în P) este mulțimea segmentelor echipolente cu segmentul [AB]. Doi vectori AB și CD se numesc egali dacă [AB]~[CD]. Vectorul nul este 0=AA. Se mai spune că vectorul AB este un vector liber 2D (bidimensional), având punctul de aplicație în A, extremitatea în B și dreapta AB ca suport. A, V, W etc. Prin convenție, vom nota vectorii cu litere bold a, b, v, w, Dacă v=ab, se notează cu v sau simplu v lungimea vectorului v (numită și mărime, normă sau măsură). Dacă w=v, atunci se mai spune că w este o copie a lui v (fig.1.3). Dacă v=w, atunci desigur v=w, dar reciproc nu! Fig. 1.3 Se notează cu V 2 (P) sau simplu V 2 mulțimea vectorilor liberi 2D având suportul în P. Fiind dat un vector v V 2 (P) și un punct oarecare M P există și este unic un punct N P astfel încât v=mn (fig. 1.3). (În mod tacit, se folosește axioma lui Euclid a paralelelor!). Așadar, orice vector are o infinitate de copii, fiecare având câte un punct de aplicație prescris. 15

16 16 Întrebare firească: Care este deosebirea între un segment orientat [AB] și vectorul v=ab? Un răspuns este următorul: segmentul [AB] determină ( definește) un singur vector v=ab, dar v poate fi de asemenea definit de o infinitate de segmente, toate echipolente între ele. Notă: O direcție în planul P este mulțimea tuturor dreptelor paralele cu o dreaptă fixată. Dacă d este o direcție și D, D d, atunci D D. Deosebirea dintre dreaptă și direcție este următoarea: o dreaptă are o singură direcție d, dar unei direcții îi corespund o infinitate de drepte (paralele între ele). Evident, orice vector nenul are o direcție și un sens. În Gimnaziu, s-au definit vectorii ca entități care au mărime, direcție, sens și punct de aplicație. Se observă că segmentele orientate îndeplinesc aceste cerințe și că definiția din Gimnaziu și definiția 1.1 sunt esențialmente echivalente; nu mai dăm alte detalii. În unele contexte fizice, se utilizează vectori alunecători în lungul unei drepte D, anume vectori AB cu capetele A, B aparținând dreptei D; de exemplu, vom întâlni vectori alunecători în legătură cu forțele care acționează asupra unor solide sau cu momentul unei forțe. De asemenea, se utilizează vectori legați într-un punct A, ca vectori având ca punct de aplicație exclusiv pe A. Exemple: 1) Primele exemple de vectori le constituie segmentele orientate. 2) Să ne imaginăm un râu, asimilat cu o mulțime de particule de apă. Pentru orice particulă M, considerăm viteza acelei particule în punctul M și la momentul t. Această viteză poate

17 fi reprezentată pe hârtie doar adoptând o convenție de scală; de exemplu, 1 cm să reprezinte viteza 1 cm/s. În acest mod, viteza este un vector v(m,t), care este un vector legat în M (fig. 1.4); evident, s-ar pierde sensul fizic dacă s-ar apela la alte copii ale lui v. Fig.1.4 Vom vedea că acest exemplu ilustrează conceptul de câmp de vectori (depinzând de timp). 3) Temperaturile, masele, lungimile, ariile, sarcinile electrice, energiile etc. sunt mărimi exprimate prin numere (reale) și nu au caracter vectorial; unor astfel de mărimi, împreună cu numerele reale, li se spune scalari, care pot varia în timp sau spațiu. Dar vitezele, accelerațiile, forțele, sunt entități calificate ca vectori; acestea pot fi mai mari sau mai mici, dar în plus pot fi orientate într-o direcție sau alta! 4) Să presupunem că pe marginea unei mese orizontale se află un pietroi; împins cu o forță F, pietroiul cade de pe masă, dar o forță F =F, care nu are același suport cu F, poate să nu aibă același efect (fig. 1.5). Așadar, egalitatea vectorilor liberi nu revine la egalitatea efectelor! Dar vectorii alunecători pe suportul lui F pot avea același efect cu F. 17

18 Fig. 1.5 Chiar și aceste exemple arată capcanele înțelegerii de fond a noțiunilor de bază: egalitate, vectori legați, vectori alunecători, câmp de vectori etc. Este mereu necesară lămurirea ambiguităților, prin definirea precisă a termenilor și cenzurarea intuiției. Dar excesul de rigoare nu trebuie să evite utilizarea elementelor intuitive. Exemplul anterior al vitezelor particulelor de apă este înlocuit în unele prezentări prin definiția câmpului de vectori, în următorii termeni seci: un câmp de vectori într-o regiune D este o aplicație D V3. Este corect, dar nu didactic. În acest text, vom combina definițiile fără ambiguități cu comentariile și argumentele euristice. Unghiul a doi vectori Fie v, w V2(P) doi vectori liberi nenuli și necoliniari (adică având suporturile neparalele). Alegem un punct O P și considerăm punctele A, B P astfel încât OA =v și OB =w (fig. 1.6). Măsura unghiului format de vectorii v, w este acel număr α (0, 180 ) sau în radiani α (0, π) astfel încât măs(aob ) = α (Reamintim că unghiul de 1 se obține considerând un cerc trigonometric și divizând arcul de cerc al primului cadran în 90 de părți egale). 18

19 Fig. 1.6 În mod evident, măsura α nu depinde de alegerea punctului O (unghiuri cu laturi paralele). Dacă α = 90, vectorii v, w se numesc ortogonali (v w); dacă v, w sunt nenuli și coliniari, atunci se consideră că α = 0 dacă ei au același sens și α = 180 dacă sunt de sens contrar. Dacă unul din vectorii v, w este nul, atunci măsura α nu este definită. Adunarea vectorilor Definiția 1.2: Dacă v, w V 2 (P) sunt doi vectori nenuli, ca în figura 1.6, fie C al patrulea vârf al paralelogramului construit pe vectorii OA, OB. Se definește suma ( rezultanta): v+w=oc. Desigur, trebuie arătat că acesta nu depinde de alegerea punctului O. Această definiție transcrie celebra regulă a paralelogramului, atribuită lui S.Stevin, dar pe care Arhimede o cunoștea din Antichitate, și anume faptul că trăgând de o cutie K cu forțele F1, F2 în sensul indicat (figura 1.7, a) și neglijând frecarea, se obține același efect cu cel făcut de rezultanta F1+F2. Similar, pentru scripeții cu greutăți din figura 1.7, b. 19

20 Fig. 1.7 Regula paralelogramului este impusă de natură și nu este un moft sau un rod al imaginației cuiva! Vom vedea că adunarea pe componente, des întâlnită mai încolo în diverse contexte, este tocmai o transcripție a acestei reguli. Trebuie amintit că se poate folosi de asemenea regula triunghiului (desigur echivalentă cu cea a paralelogramului, dar uneori mai comod de utilizat): Dacă v=ab și w=bc (deci se consideră o copie a lui w cu punctul de aplicație în extremitatea lui v), atunci v+w=ac (fig. 1.8). Fig. 1.8 Se cunosc proprietățile adunării vectorilor: comutativitate, asociativitate, vectorul nul ca element neutru, opusul unui vector. 20

21 Pe scurt, tripletul (V 2 (P), +, 0) formează un grup comutativ. Dar nu facem exces de Algebra din clasa a XII-a. Din figura 1.6, se observă că lungimea vectorului OC este cel mult egală cu suma lungimilor vectorilor v și w, adică: v+w v + w (1) De asemenea, se poate defini inductiv suma mai multor n vectori vi, 1 i n; în plus, i=1 v i i=1 v i. Definiția 1.3: Fie O P un punct fix. Pentru orice punct M P, se definește vectorul de poziție al lui M (vector legat în O), ca fiind r=om, notat și cu rm. n Fig. 1.9 Pentru orice vector AB, avem OA +AB =OB triunghiului în fig. 1.9) deci: (regula AB =OB -OA =r B -r A. (2) Așadar, orice vector din V 2 (P) este egal cu vectorul de poziție al extremității sale minus vectorul de poziție al capătului. Multiplicarea vectorilor cu scalari Alături de adunarea vectorilor care este o operație internă având eticheta +, se poate considera operația externă prin care care oricărui scalar α R și oricărui vector v V 2 (P) i se asociază multiplicatul αv. Anume, se știe cum se definesc vectorii 21

22 2v, 10v, v, 3v, deci αv pentru α Z; dacă α 0 R, atunci αv=0. De asemenea, dacă n 1 este întreg și α= 1 n, atunci 1 n v este vectorul coliniar, având același sens cu v, dar mărimea de n ori mai mică. Iar dacă α = m, cu m, n numere întregi și n 1, atunci n αv = 1 (mv). Din aproape în aproape se definește multiplicatul αv n pentru orice α Q, rațional. Un salt subtil trebuie realizat pentru a defini, de exemplu, vectorul 2v. Procedeul implică noțiunea de limită de șiruri; anume, alegem un șir de numere raționale rn tinzând către 2 pentru n, de exemplu, șirul extracțiilor succesive ale radicalului: 1; 1,4; 1,41; 1,414 etc. Având deja definiți vectorii rnv, limita lor este 2v. Același procedeu se folosește teoretic pentru a defini αv când α este irațional. Nu dăm mai multe detalii și, de asemenea, amintim fără demonstrație proprietățile următoare, cu notații transparente: α(v+w)=αv+ αw; (α+β)v=αv+βv, α(βv)=(αβ)v și 1 R v=v. O proprietate des utilizată este următoarea: αv = α v, (3) valabilă pentru orice α R și orice v V 2 (P). De asemenea, dacă vi, 1 i n sunt vectori și α i R, se definește combinația liniară n n i=1 α i v i și avem i=1 α i v i i=1 α i v i. Definiția 1.4: Orice vector din V2(P) având mărimea 1 (la care se adaugă eventual unitatea de măsură 1 cm, 1 m etc) se numește versor sau vector unitar. n 22

23 lui, ca fiind: Pentru orice vector nenul v V2(P), se definește versorul ρ = 1 v. (4) v Evident, conform (3), ρ = 1 v =1. v Orice direcție are doi versori ± ρ. Pentru a determina o direcție, este suficient de indicat un vector nenul având suportul paralel cu acea direcție. Dacă v 0 și α 0, atunci vectorii αv și v au aceeași direcție; dacă α>0, ei au și același sens. Atenție! Nu se definesc v >w, v, v w, log 10 v etc. Câteva aplicații geometrice elementare 1) Doi vectori nenuli v1, v2 V2(P), se numesc coliniari (sau echivalent, liniar dependenți) dacă și numai dacă suporturile lor sunt paralele. Să arătăm că aceasta este echivalent cu faptul că există scalari α, β, astfel încât α 2 + β 2 0 și αv1+βv2=0. Fie ρ 1 =versorul lui v1 și ρ2= versorul lui v2. Dacă v1, v2 sunt coliniari, atunci evident ρ 1 = ±ρ 2, deci conform (4), 1 v 1 v 1 = ± 1 v 2 v 2, adică, notând α = v 1 și β = v 2, v 2 v 1 v 1 v 2 = 0, deci α 2 + β 2 0. Reciproc, dacă αv 1 + βv 2 = 0 și de exemplu, β 0, atunci v2= α β v 1 deci v2 și v1 sunt coliniari. 2) Linia mijlocie într-un triunghi Considerăm un triunghi ABC; fie M mijlocul laturii [AB] și N mijlocul laturii [AC]. Atunci dreapta MN este paralelă cu dreapta BC și MN = 1 2 BC ; (fig. 1.10). 23

24 Fig Într-adevăr, MN =AN -AM = 1 2 AC AB = 1 2 (AC -AB )= 1 2 BC. Atunci vectorii MN și BC sunt coliniari deci dreptele MN și BC sunt paralele. În plus, MN = 1 2 BC = 1 2 BC. 3) Punct care împarte un segment dat într-un raport dat Fixăm un segment [AB] cu A B și un număr real k 1. Se spune că un punct M, situat pe dreapta AB, împarte segmentul în raportul k, dacă AM = kmb. Evident, M este un punct interior segmentului k > 0. Pentru orice punct O (numit ad-hoc referențial), relația anterioară devine OM-OA =k(ob - OM), de unde (k+1)om =OA +kob, adică: rm=om = 1 (ra+k rb). (5) k+1 Ca aplicație, indicăm expresia vectorilor mediană AM și bisectoare interioară AD, într-un triunghi ABC (fig. 1.11). 24 Fig. 1.11

25 Considerăm latura [BC] și A ca referențial; aplicând (5) pentru k=1, rezultă AM = 1 2 (AB +AC ). Apoi, aplicând teorema bisectoarei, rezultă că piciorul D al bisectoarei împarte segmentul [BC] în raportul k= BD DC = AB AC = c b. Folosind relația (5), rezultă: AD = 1 c b +1 (AB +(c b)ac )= 1 b+c (bab +cac ). Centrul de greutate G al triunghiului ABC împarte segmentul mediană [AM] în raportul k=2. Alegând un referențial oarecare O și aplicând formula (5), rezultă că OM= 1 2 (OB +OC ) și OG = OA +2OM = (ra+rb+rc). Notă: Printr-o convenție tacită, în Mecanică orice obiect ( solid) care nu își modifică structura în timp este considerat ca având toată masa concentrată într-un punct reprezentativ C, numit centrul de masă al obiectului. Pentru a descrie mișcarea obiectului în raport cu un referențial O, este utilă considerarea vectorului OC, care determină poziția, direcția și sensul în care se deplasează obiectul. Dar în cazul obiectelor vâsco elasto plastice (de tipul cristalelor, cauciucului, curgerilor etc.), care își modifică structura în timp, este necesară utilizarea tensorilor. Ca o sinteză a celor spuse, reținem că scalarii (adică numerele) sunt entități definite printr-o anumită valoare (care poate fi constantă sau variabilă), vectorii sunt caracterizați prin mărime, o singură direcție și un sens; vom vedea că tensorii au mărime, dar simultan mai multe direcții semnificative. 25

26 1.2. Reper cartezian în plan și în spațiu Bijecția lui Descartes Considerăm două drepte distincte concurente într-un punct O și un vector nenul v=ab V2(P), cu suportul într-un plan P (fig.1.12). Prin capetele lui v ducem paralele la cele două drepte și notăm v1=a 1 B 1, v2=a 2 B 2. Evident, v=v1+v2. (6) Fig Vectorii v1, v2 se numesc componentele vectoriale ale lui v relativ la direcțiile dreptelor D1, D2; ei se mai numesc și proiecțiile lui v, notate pr1v și pr2v. Se demonstează ușor că pentru orice v, w V2(P) și orice α R, prk(v+w)=prkv+prkw și prk( v)= prkv pentru k=1, 2. Relația (6) extinde descompunerea forțelor pe două direcții neparalele. Reamintim că se numește axă de coordonate orice dreaptă D pe care sunt fixate un punct O D (originea axei) și unul din cei doi versori ai axei, notat u. 26

27 Pe scurt, o axă este orice dreaptă pe care se fixează convențional 0, 1 și. Pentru orice punct M D există și este unic un scalar x M R astfel încât OM = x M u. Se mai spune că {O;u} formează un reper 1D (unidimensional) și scalarul x M este numit abscisa lui M relativ la acest reper. Aplicația f:d R, M x M este bijectivă (numită bijecția lui Descartes). Dacă M, N D, atunci MN =ON - OM= = (x N -x M ) u și distanța dintre punctele M, N este: cu 1 2 (x M+x N ). d(m,n)= MN = (x N -x M )u = x N -x M, conform (3). Evident, abscisa mijlocului segmentului [MN] este egală Bijecția lui Descartes are o interpretare de natură filosofică: ea stabilește o legătură strânsă între obiecte geometrice (puncte) și obiecte algebrice (numere), care a condus la Geometria analitică, adică geometrie prin calcul. Matematica și Fizica au urmărit mereu diverse punți de legătură numite unificări ; de exemplu, este binecunoscut visul lui Einstein de a strânge într-o teorie unitară toate interacțiunile din Univers. Descartes a realizat primul unificarea Algebrei cu Geometria! Reper cartezian în plan Definiția 1.5: Se numește reper cartezian 2D ( bidimensional) în planul P orice triplet {O; e1, e2}, unde O P și e 1, e 2 sunt doi vectori nenuli și necoliniari, având suportul în P (figura 1.13). Se mai spune că planul P este raportat la un sistem de coordonate xoy, unde axa Ox este reperul {O;e 1 } și axa Oy, reperul {O; e 2 }. 27

28 Termenul cartezian provine de la Cartezius (numele latinizat al lui Descartes). Pentru orice punct M P, ducem paralele MM1 și MM2 la cele două axe. Atunci există scalari a, b R astfel încât OM 1 =ae 1 și OM 2 =be 2 deci: OM=OM 1 +OM 2 =ae 1 +be 2. (7) 28 Fig Numerele a, b sunt unice (căci dacă OM = a e 1 +b e 2, atunci ar rezulta că (a-a') e 1 +(b-b') e 2 =0 și dacă a a, atunci e 1 = b-b' a'-a e 2 și e 1, e 2 ar fi coliniari; absurd. Așadar, a =a și apoi b =b. Relația OM =ae 1 +be 2 se scrie mai sintetic M(a, b) și se spune că a, b sunt coordonatele carteziene ( abscisa și ordonata) ale lui M relativ la reperul considerat. Dacă M (a,b ), atunci: MM = OM OM = (a a) e 1 +(b b) e 2. Fiind dat un vector v V2(P), există și este unic un punct M P astfel încât v=om ; dacă M(a, b) atunci: v=ae 1 +be 2. (8) Numerele a, b se numesc componentele scalare ale lui v.

29 Este evident că acestea depind de reperul fixat {O; e 1, e 2 } xoy (dar vectorul v, nu!). Regăsim astfel bijecția lui Descartes f:p R 2, M (a, b). Totodată, orice vector v V2(P), se reprezintă în mod unic, ca o combinație liniară a vectorilor e1, e2. Această proprietate se mai formulează astfel: vectorii e1, e2 constituie o bază pentru V2(P). Se poate spune că prin identificarea v (a, b) s-a deschis ERA DIGITALIZĂRILOR, prin care diverse obiecte fizice, matematice, chimice, economice și chiar artistice sunt descrise perfect prin numere! Definiția 1.6: Un reper {O; e1, e2} se numește ortonormal dacă vectorii e1, e2 sunt versori perpendiculari (adică e 1 =1, e 2 =1 și e1 e2). Reperul se zice ortogonal dacă e1 e2 și atât. Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian plan Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e1, e2} în planul P și fie v=ae1+be2, w=ce1+de2 orice doi vectori din V2(P). 1) v=w a=c și b=d; 2) v+w=(a+c)e1+(b+d)e2; 3) v=( a)e1+( b)e2 pentru orice scalar α R; 4) vectorii v, w presupuși nenuli sunt coliniari există λ R astfel încât v=λw componentele lor scalare sunt proporționale. Notă: Demonstrația acestor proprietăți rezultă direct din definiții. Proprietatea 2) este o consecință a regulii paralelogramului. Anume, putem presupune că v=om și w = ON au punctul de aplicație în O; (fig. 1.14). Atunci M(a, b) și N(c, d). Fie S al patrulea vârf al paralelogramului construit pe vectorii v, w. Ducând prin punctele M, N, S paralele la axele de 29

30 coordonate și folosind congruența unor triunghiuri, rezultă coordonatele carteziene ale lui S(a+c, b+d). următoarele: Fig Deci OS =(a+c)e1+(b+d)e2; dar OS =v+w. Dacă reperul {O; e1, e2} este ortonormal, atunci se adaugă 5) v = a 2 +b 2 ( lungimea unui vector este radical din suma pătratelor componentelor scalare ); 6) Dacă M(a, b) și M (a, b ), atunci distanța d(m, M )= MM' = (a ' -a) 2 +(b ' -b) 2 ; 7) Vectorii v și w sunt perpendiculari are loc relația ac+bd=0 ( suma produselor componentelor scalare este nulă ). Proprietățile 5) și 6) rezultă direct din definiții, aplicând teorema lui Pitagora. Iată un argument demonstrativ pentru proprietatea 7 (fig. 1.15): avem v w paralelogramul OMSN prop. 5) este un dreptunghi OS 2 =OM 2 +ON 2 = (a+c) 2 +(b+d) 2 = = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ac+bd=0. 30

31 Fig Notă: Reperele carteziene ortonormale sunt utilizate cu precădere în Geometria analitică. Reperele ortogonale sunt utilizate atunci când pe axe se dispun mărimi de natură diferită (timp pe axa orizontală/spațiu parcurs pe verticală, presiune/volum, temperatură/presiune etc.). În prezentarea Teoriei tensorilor, vom adopta repere carteziene oarecare. Menționăm de asemenea că în probleme concrete, alegerea reperului exploatează diverse simetrii fizice. Reper cartezian în spațiu În continuare, vom nota cu S mulțimea punctelor din spațiu ( Universul fizic). Pentru orice două puncte distincte A, B S se pot considera segmentul orientat [A,B], dreapta AB, distanța d(a,b) (scalar real însoțit de o anumită unitate de măsură), paralelograme, echipolența a două segmente coplanare etc. Ca în cazul plan, se definesc vectorii liberi de tipul v=ab. Vom nota cu V3 mulțimea vectorilor liberi 3D (tridimensionali) cu suportul în S. Din nou, dacă v V3 și M S, atunci există și este unic un punct N S astfel încât v=mn. Pentru orice v, w V3, se definesc v= v, lungimea ( norma, măsura) 31

32 lui v, suma v+w (cu regula paralelogramului), v (cu R), vectorul nul 0, cu proprietățile uzuale, în analogie cu cazul 2D. Și în acest caz, {V3,+,0} formează un grup comutativ. Trei vectori v1, v2, v3 V3 se numesc coplanari dacă există scalari a, b, c R, nu toți nuli, astfel încât av1+bv2+cv3=0; de exemplu, dacă c 0, atunci v3=- a c v 1- b c v 2 deci v3 este situat întrun plan paralel cu vectorii v1 și v2. Așadar, vectorii coplanari au suporturile paralele cu un plan. Se spune că mișcarea corpurilor în spațiu nu poate fi descrisă fără a avea în vedere un reper. Reperele sunt evocate și în alte contexte (de ex. social economice). Definiția 1.7: Se numește reper cartezian 3D în spațiul S orice triplet {O; e1, e2, e3}, unde O S este un punct considerat fixat și e1, e2, e3 vectori nenuli și necoplanari. Reperul se numește ortonormal dacă e1,e2,e3 sunt versori doi câte doi perpendiculari. Se mai spune că spațiul S este raportat la un sistem de coordonate Oxyz unde axa Ox este {O;e1}, Oy este {O;e2} și Oz {O;e3}. Pentru orice punct M S, paralela prin M la Oz intersectează planul xoy în M. Se duc M M1 Oy, M M2 Ox și MM3 OM (figura 1.16). 32 Fig. 1.16

33 Avem OM=OM' +OM 3 =OM 1 +OM 2 +OM 3. Dar există scalari unici a, b, c astfel încât OM 1 =ae 1, OM 2 =be 2, OM 3 =ce 3 ; aceștia sunt numiți coordonatele carteziene ale punctului M relativ la reperul considerat (numite abscisa, ordonate și cota lui M). Se scrie M(a, b, c), ceea ce este echivalent cu relația OM=ae 1 +be 2 +ce 3. Pentru orice vector v V3, există și este unic un punct M S astfel încât v=om ; coordonatele carteziene ale acestui punct M se mai numesc componentele scalare ale lui v. Dacă M(a,b,c), atunci: v=ae 1 +be 1 +ce 3. (9) Așadar, orice vector v V3 este combinație liniară unică de vectorii e 1,e 2,e 3. Se mai spune că e 1,e 2,e 3 formează o bază pentru V3 (sau pentru spațiul S raportat la reperul considerat). Proprietăți ale vectorilor relativ la un reper cartezian în spațiu Fixăm un reper cartezian oarecare {O; e 1,e 2,e 3 } în spațiu și fie v = ae 1 +be 2 +ce 3, v = a'e 1 +b'e 2 +c'e 3, doi vectori din V3. 1) v=v a=a, b=b, c=c ; 2) v+w=(a+a )e 1 + (b + b )e 2 + (c + c )e 3 ; 3) v=( a) e 1 + ( b) e 2 + ( c) e 3 ; 4) vectorii v, v presupuși nenuli sunt coliniari există λ R astfel încât v= v componentele lor scalare sunt proporționale; 5) trei vectori din V3 sunt coplanari unul din ei este combinație liniară a celorlalți doi; 6) considerând punctele M(a, b, c), M (a, b, c ),vectorul MM = OM OM = (a a)e 1 + (b b)e 2 + (c c)e 3 33

34 deci componentele scalare ale vectorului MM sunt diferențele coordonatelor lui M și M, adică ale extremității și capătului acelui vector. Dacă reperul {O; e 1, e 2, e 3 } este ortonormal, atunci: 7) v= v = a 2 + b 2 + c 2 și distanța: d(m,m )= MM = ((a a) 2 + (b b) 2 + (c c) 2 ) 1 2 ; 8) vectorii v, v presupuși nenuli sunt perpendiculari aa + bb + cc = 0. Proprietatea 7) rezultă direct din definiție, aplicând teorema lui Pitagora, iar proprietatea 8) va fi demonstrată în paragraful următor. Notă: Fixând un reper în spațiu ca mai sus, bijecția lui Descartes f: S R 3, M (a, b, c), care asociază oricărui punct din spațiul fizic tripleta coordonatelor sale, extinde ideea unificării Geometriei și Algebrei, resursă pentru multe dezvoltări benefice parametri de stare, spații cu mai multe dimensiuni, identificări ale diverselor obiecte și chiar procese cu seturi convenabile de numere. Spațiul R n, n 4, are o existență matematică în sine, chiar dacă dispare suportul geometric direct (așa cum se întâmplă în cazul 1D, 2D, 3D) Produse de vectori În acest paragraf, vom reaminti definițiile și proprietățile principale ale produsului scalar (PS), produsului vectorial (PV), produsului mixt (PM) și ale dublului produs vectorial (DPV), pentru vectori din V3 și implicit pentru vectori din V2(P). 34

35 Produs scalar Definiția 1.8. Pentru orice doi vectori nenuli v, w V3, se numește produsul lor scalar (pe scurt, PS) numărul real v w=v w cos θ, (10) unde θ = măs(v, w); fig Dacă unul din vectori este nul, atunci produsul lor scalar este nul. Așadar, v w=v prvw (adică mărimea lui v multiplicată cu proiecția scalară a lui w pe v). Denumirea PS provine de la faptul că valoarea lui este un scalar. Fig În continuare, vom fixa un reper ortonormal {O;e 1, e 2, e 3 }; în acest caz, e 1 e 1 = 1 1 cos 0 = 1; e 1 e 2 = = 1 1 cos 90 = 0, e 2 e 2 = 1, e 2 e 3 = 0 etc. Altfel spus, e i e j = δ i j (simbolul lui Kronecker) pentru orice 1 i, j 3. Proprietăți ale PS PS 1. Dacă v, w V3, atunci v w=w v(comutativitate); PS 2. Dacă v, w1, w2 V3, atunci v (w1+w2)=v w1+v w2 (distributivitatea PS în raport cu adunarea) și mai general, n n v ( k=1 w k ) = k=1 (v w k ); PS 3. Dacă v, w V3 și α R, atunci ( v) w= (v w) =v ( w) (balansarea scalarului); PS 4. Dacă v V3, atunci v v 0 și v v=0 v=0. 35

36 Demonstrația este imediată. Astfel, PS 1 rezultă din relația cos( θ) = cos θ. Apoi, ortonormal). v (w1+w2)=v prv(w1+w2)= = v prvw1+ v prvw2=v w1+v w2. Dăm câteva consecințe directe (relativ la un reper 1) Dacă v=ae 1 + be 2 + ce 3 și v = a e 1 + b e 2 + c e 3, atunci v v = aa + bb + cc. Într-adevăr, v v =v (a e 1 + b e 2 + c e 3 )= PS 2 = a (v e 1 ) + b (v e 2 ) + c (v e 3 ). Dar, v e1=(ae 1 + be 2 + ce 3 ) e 1 = = a(e 1 e 1 ) + b(e 2 e 1 ) + c(e 3 e 1 ) = = a 1 + b 0 + c 0 = a; similar, v e2=b și v e3=c. Ca atare, v v = a a + b b + c c. Așadar, PS v v este egal cu suma produselor componentelor lor scalare. 2) Dacă v, w V3 sunt nenuli, atunci v w v w=0. 3) Dacă v=ae 1 + be 2 + ce 3, atunci v v = v v cos 0 = v 2 ; PS v v se mai notează v 2 deci v 2 = v 2. 4) Dacă v, w V3 sunt nenuli, atunci din definiția PS, rezultă cos(v, v w w) =. (11) vw Atenție: PS nu este asociativ: v (w w1) (v w) w1. Din acest motiv, produsele scalare trebuie puse în paranteze. 36

37 Exemple 1) Fie un plan P raportat la un reper 2D ortonormal {O;e1,e2} și ρ un versor cu punctul de aplicație în O. Dacă θ = măs(ρ, e 1 ), atunci componentele scalare ale lui ρ sunt cos θ și sin θ deci =(cos ) e1+(sin ) e2. Dacă este un alt versor și θ = măs(ρ, e 1 ) atunci ρ = (cos θ )e 1 + (sin θ )e 2 ;(fig. 1.18). Să calculăm în două moduri PS ρ ρ. Pe de-o parte, =1 1 cos(θ θ ) și pe de-alta, = (cos θe 1 + sin θ e 2 ) (cos θ e 1 + sin θ e 2 ) = cos θ cos θ +sin θ sin θ. Am demonstrat în acest mod formula nebanală: cos(θ θ ) = cos θ cos θ + sin θ sin θ. Fig ) Fie F și F două forțe care fac unghiul de măsură. Iată cum se determină mărimea rezultantei R=F+F ; anume, avem: Deci, R 2 =R 2 =(F+F ) (F+F )=F 2 + F 2 + 2F F R = (F 2 + F 2 + 2FF cos α)

38 Produs vectorial Așa cum îi spune numele, acesta este un alt vector, care se dovedește util, de exemplu, pentru studiul momentului unei forțe aplicate la capătul unei pârghii sau asupra unei particule încărcate aflate într-un câmp magnetic. Definiția 1.9: Fie v, w doi vectori din V3. Dacă unul este nul sau dacă ei sunt coliniari, atunci se definește v w = 0. Dacă v, w sunt vectori nenuli, se pot presupune ca având același punct de aplicație O și formând unghiul θ [0, π]. Atunci v w este acel unic vector: -cu punctul de aplicație O; -cu direcția perpendiculară pe planul determinat de v și w; -cu mărimea A numeric egală cu aria paralelogramului construit pe vectorii v, w deci: A=v w sin θ; - cu sensul dat de regula burghiului rotit de la v spre w. Dintre cei doi versori ai direcției menționate, notăm cu N pe cel având sensul burghiului. Mulți autori recomandă în locul regulii burghiului, regula mâinii drepte, ca în figura Atunci, v w=an (12) 38 Fig. 1.19

39 Notă: Produsul scalar al vectorilor v, w se mai notează v, w, între croșete și se mai numește dot product ; produsul vectorial se mai notează [v, w], între paranteze mari și se mai numește cross product. În continuare, fixăm un reper ortonormal {O; e 1, e 2, e 3 }. Evident, e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2, e 1 e 1 = 0, e 2 e 2 = 0, e 3 e 3 = 0, e 2 e 1 = e 3, e 3 e 2 = e 1 și e 1 e 3 = e 2. Proprietăți ale PV PV 1. Dacă v, w V3, atunci v w este un vector perpendicular și pe v și pe w; în plus, v w = v w sin θ; PV 2. Pentru orice v, w V3, v w= w v (anticomutativitate); PV 3. v (w + w ) = v w + v w (distributivitatea PV în raport cu adunarea); PV 4. Dacă v, w V3 și α R, atunci v (αw) = α(v w) = v (αw) (balansarea scalarului); PV 5. v w este nul unul din vectori este nul sau v, w sunt coliniari; PV 6. Dacă v=ae1+be2+ce3, v =a e1+b e2+c e3, atunci e 1 e 2 e 3 v w = a b c, (13) a b c unde acest determinant se dezvoltă numai după linia întâi. Afirmațiile PV 1, PV 2, PV 4 și PV 5 rezultă direct din definiție. Proprietatea PV 3 este mai dificil de demonstrat. Pentru demonstrație (nebanală!) putem presupune că vectorii sunt nenuli și că au același punct de aplicație A. Fie P planul trecând prin A și perpendicular pe v (figura 1.20). Dacă w1 este proiecția 39

40 ortogonală a vectorului w pe planul P, atunci v w = v w 1 (aplicând definiția); în plus, vectorul v w 1 are suportul conținut în P și este obținut din w 1 prin rotire cu π și multiplicare cu v. 2 Notând s=w w și s1 proiecția lui s pe P, rezultă ( ) v (w + w ) = v s = v s 1 = v (w 1 + w 1) = v w 1 + v w 1 = v w + v w. Relația ( ) rezultă observând că rotind un paralelogram în planul P cu π și multiplicând laturile lui 2 cu v, se obține tot un paralelogram. Fig Rămâne de demonstrat PV 6. Aplicând distributivitatea, adică desfacerea parantezelor, rezultă v w = (ae 1 + be 2 + ce 3 ) (a e 1 + b e 2 + c e 3 ) = aa e 1 e 1 + ab e 1 e 2 + ac e 1 e 3 + ba e 2 e 1 +. Ținând cont că: e 1 e 1 = 0, e 1 e 2 = e 3, e 2 e 1 = e 3 etc, se obține după calcul relația (13). Atenție. Nici PV nu este asociativ: v (w w 1 ) (v w) w 1. Din acest motiv, produsele vectoriale trebuie puse în paranteze. 40

41 Produs mixt Reamintim acum produsul mixt, care amestecă PS și PV. Presupunem fixat un reper ortonormal 3D {O;e1,e2,e3}. Definiția 1.10: Pentru orice trei vectori a, b, c V3, produsul lor mixt (PM) este scalarul a (b c). Proprietăți ale PM PM 1. Dacă a=a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3, b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3, c = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3, atunci a 1 a 2 a 3 a (b c)= b 1 b 2 b 3, (14) c 1 c 2 c 3 adică PM a trei vectori este un scalar egal cu determinantul componentelor lor scalare. PM 2. a (b c) este egal în modul cu volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c (figura 1.21). Fig.1.21 PM 3. PM este nul dacă unul din vectori este nul sau doi dintre ei sunt coliniari; mai general, PM este nul cei trei vectori sunt coplanari (adică suporturile lor sunt paralele cu același plan). Demonstrăm PM 1. Avem: e 1 e 2 e 3 b c = b 1 b 2 b 2 = b 2 b 3 e c c 1 c 2 c 2 c 1 b 1 b 3 e 3 c 1 c 2 + b 1 b 2 e 3 c 1 c

42 Și relația (14). a (b c)=a 1 b 2 b 3 a c 2 c 2 b 1 b 3 + a 3 c 1 c 3 b 1 b 2 și rezultă 3 c 2 Pentru PM 2, putem presupune că vectorii sunt nenuli și că au același punct de aplicație. În general, v w=v prvw deci a (b c)= b c prbxca. Dar b c este egal cu aria A a paralelogramului construit pe vectorii b, c. Apoi notăm cu h proiecția ortogonală a vectorului a pe vectorul b c. Apoi, proiecția scalară prbxca=εh, unde ε = ±1 după cum h are sau nu același sens cu b c. Rezultă că a (b c) = A h=volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b, c. Notă: Conform PM 1, proprietățile de calcul ale produsului mixt rezultă din reformularea proprietăților determinanților. Atunci PM 3 este o consecință directă. Adăugăm că dacă intervertim doi vectori, atunci PM își schimbă semnul (căci așa se întâmplă cu un determinant prin intervertirea a două linii): a (c b)= a (b c) etc. Iar dacă se face o permutare circulară a celor trei vectori, produsul mixt nu se modifică: a (b c)=c (a b)=b (c a). Un fapt important este următorul: aplicând proprietățile anterioare, avem: a (b c)= c (b a) = c (a b) = (a b) c. Așadar, a (b c)=(a b) c și din această cauză, PM a (b c) se poate nota fără ambiguitate (a, b, c), ceea ce este folosit în mod curent. c 1 42

43 lui Gibbs: Dublu produs vectorial (DPV) Dacă a, b, c sunt trei vectori din V3, atunci are loc formula b c a (b c)=(a c)b (a b)c=. (15) (a c) (c b) Fără micșorarea generalității, putem alege un reper ortonormal {O; e1, e2, e3}, astfel încât a=e3. Formula (15) se obține prin calcul direct, explicitând cei doi membri ai formulei. Notă: Pentru memorizare, formula lui Gibbs se scrie a (b c)=b(a c) c(a b) și se mai numește formula BAC CAB. Vectorul DPV a (b c) este o combinație liniară a vectorilor b, c din paranteză (presupuși nenuli și necoliniari); ca atare, el are suportul conținut în planul determinat de b și c. Să recapitulăm... Reținem că PS (respectiv PV) se utilizează în relații de perpendicularitate (respectiv coliniaritate), iar PM în relații de coplanaritate. Apoi, PS permite calculul lungimilor de vectori (v= v v) sau măsurilor unghiurilor dintre vectori (conform (11)); PV este util pentru calculul ariilor triunghiurilor ( 1 v w ), iar scalarul PM pentru calculul 2 volumelor paralelipipedelor sau tetraedrelor ( 1 a (b c) ) Alte sisteme de coordonate în plan sau în spațiu și repere mobile Coordonatele unui punct sunt seturi de numere care permit localizarea cu precizie a acelui punct. De exemplu, pentru a cunoaște poziția unui punct în plan, este necesară fixarea unui reper și determinarea coordonatelor carteziene sau polare. Iar pe suprafața Pământului, ignorând altitudinea, un punct este bine 43

44 determinat dacă se cunosc longitudinea și latitudinea. Sistemul GPS de cartografiere a dus la paroxism aceste disponibilități ale sateliților și observatorilor tereștri. Pentru multe probleme, reperele carteziene (sistemele carteziene de coordonate) sunt utile, dar există și alte sisteme de coordonate care pot fi mai convenabile. Astfel, în probleme cu simetrie centrală (simetrie față de un punct) se recomandă trecerea la coordonate polare în plan sau sferice în spațiu, după cum în cazul simetriilor axiale (de exemplu, propagarea undelor electromagnetice în antene sau studiul transmisiei căldurii prin țevi), sunt binevenite coordonate cilindrice. Coordonate polare în plan Fie un plan P raportat la un reper ortonormal {O;e1,e2} xoy. Poziția unui punct curent M P poate fi precizată nu doar prin perechea (x,y) R 2 a coordonatelor carteziene, astfel încât OM = xe 1 + ye 2. Dacă M O, se pot considera raza polară ρ = d(o, M) și unghiul polar θ dintre semidreptele Ox și OM (figura 1.22). Fig Evident, ρ > 0 și θ [0,2π). Dacă M=O, atunci ρ = 0, este nedeterminat și au loc relațiile: 44

45 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, (16) valabile nu numai în cadranul întâi. Aplicația, F D R 2, (ρ, θ) (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) (17) unde D = {(ρ, θ) ρ > 0, θ [0, π ) 2 (π, 3π ) 2 2 (3π, 2π)} este 2 numită trecerea de la coordonate polare la coordonate carteziene. Bineînțeles, trecerea inversă este dată de relațiile ρ = x 2 + y 2 și tg θ = y (unde θ este ales astfel încât să fie în x același cadran cu punctul (x, y)). Așa cum e1 arată sensul creșterii abscisei x a punctului curent M, iar e2 sensul creșterii ordonatei y, tot astfel putem defini versori care descriu sensul creșterii lui sau. Pentru aceasta, considerăm vectorul de poziție al lui M, anume: r=xe1+ye2=(ρ cos θ)e 1 + (ρ sin θ)e 2 și vitezele de variație ale lui r în raport cu și, exprimate prin vectorii derivate parțiale: r = cos θe ρ 1 + sin θe 2 și r = (ρ sin θ)e θ 1 + (ρ cos θ) e 2. Mărimile acestor vectori sunt r ρ = cos2 θ + sin 2 θ=1 și r = ρ. Perechea (1, ) poartă numele de parametrii lui θ Lamé. Versorii lor sunt notați: u ρ = cos θ e 1 + sin θ e 2 și u θ = (sin θ)e 1 + (cos θ)e 2 (17) Evident, u ρ u θ = cos θ sin θ + sin θ cos θ = 0 deci u ρ u θ. În fiecare punct M din plan, acești vectori arată ca în figura

46 Fig În timp ce reperul ortonormal {O;e1,e2} este fix, reperul ortonormal 2D {M; u ρ, u θ } este mobil, variind odată cu punctul M. De exemplu, în lungul semiaxei pozitive Ox, θ = 0 și conform (17), u ρ = e 1, u θ = e 2. Dar în lungul semiaxei negative Ox, θ = π și u ρ = e 1, u θ = e 2. În lungul semiaxei pozitive Oy, θ = π și u 2 ρ = e 2, u θ = e 1. Mulțimea C a = {M ρ = a, cu a > 0 constant} este un cerc cu centrul în O de rază a, iar mulțimea C b = {M θ = b, b R} este o semidreaptă cu capătul în O (figura 1.24). Fig În punctul T, având coordonatele polare a, b, versorii u ρ și u θ corespunzători sunt tangenți la curbele Ca și Cb 46

47 respectiv. În lungul dreptei Cb, variază, iar în lungul cercului Ca variază. Coordonate sferice în spațiu Considerăm un reper ortonormal în spațiul fizic S,{O; e 1, e 2, e 3 } Oxyz. Fie M un punct oarecare nesituat pe axa Oz, pe care îl proiectăm pe planul xoy în punctul M. Notăm r=d(o,m), raza polară a lui M, = unghiul dintre semidreptele OM și Oz (numit colatitudinea lui M) și =unghiul dintre semidreptele OM și Ox (numit longitudinea lui M). În general, r>0, θ (0, π) și φ [0,2π). Se mai notează ρ = OM. Dacă M aparține axei Oz, atunci φ este nedeterminat și ρ = 0. Ducem M M 1 Ox, M M 2 Oy și MM 3 Oz. Dacă M are coordonatele carteziene x, y, z, atunci M (x, y, 0), M 1 (x, 0,0), M 2 (0, y, 0) și M 3 (0,0, z). Evident, ρ = OM = r sin θ și MM 3 = ρ = x 2 + y 2 ; (fig.1.25). Fig Tripletul (r, θ, φ) formează coordonatele sferice ale lui M. Justificarea denumirii este aceea că dacă r = r 0, constant, atunci M descrie o sferă cu centrul în O și rază r 0 ; dacă θ = θ 0, constant, atunci punctul M descrie un con cu vârful în origine și 47

48 axa Oz; iar dacă φ = φ 0, constant, atunci M se află într-un semiplan care trece prin axa Oz. Au loc relațiile: x = ρ cos φ = r sin θ cos φ, y = ρ sin φ = = r sin θ sin φ, z = r cos θ, (18) care dau legătura între coordonate carteziene și cele sferice ale unui punct curent. Invers, cunoscând x, y, z, se determină r, θ, φ; de exemplu: r = x 2 + y 2 + z 2, cos θ =, tg φ = y etc. x 2 +y 2 +z 2 x conform (18), Dăm acum expresia vectorului de poziție r=om ; r=r sin θ cos φ e 1 + r sin θ sin φ e 2 + r cos θ e 3. (19) Pentru a determina direcția și sensul mișcării punctului mobil M dacă r (θ sau φ ) cresc, trebuie calculate vitezele de variație ale lui r în raport cu r, θ sau φ, adică derivatele parțiale respective. Conform (19), ținând θ și φ constante, avem: r = sin θ cos φ e r 1 + sin θ sin φ e 2 + cos θ e 3 ; r = 1. r Apoi, r = rcos θ cos φ e θ 1 + rcos θ sin φ e 2 r sin θ e 3 și r = r. θ În fine, r = r sin θ sin φ e φ 1 + r sin θ cos φ e 2 și r = r sin θ. φ Mărimile acestor vectori sunt numite parametrii lui Lamé: 1, r, r sin θ. Versorii acestora sunt: u r = sin θ cos φ e 1 + sin θ sin φ e 2 + cos θ e 3 = r r ; u θ = cos θ cos φ e 1 + cos θ sin φ e 2 sin θ e 3 și u φ = sin φ e 1 + cos φ e 2. z 48

49 Se observă că u r u θ = 0, u r u φ = 0 și u θ u φ = 0 deci reperul {M; u r, u θ, u φ } este un reper ortonormal 3D mobil în spațiul S. Coordonate cilindrice în spațiu Considerând din nou figura 1.25, tripletul (ρ, φ, z) formează coordonatele cilindrice ale punctului curent M(x, y, z). Justificarea denumirii este aceea că dacă ρ = ρ 0, constant, atunci M descrie un cilindru circular drept infinit având Oz ca axă; dacă φ = φ 0, atunci M se află într-un semiplan trecând prin axa Oz, iar dacă z=z0, constant, atunci M descrie un plan paralel cu planul xoy. În acest caz, legătura dintre coordonatele carteziene și cele cilindrice, este dată de relațiile: deci x = ρ cos φ ; y = ρ sin φ ; z = z; ρ = x 2 + y 2 ; tg φ = y x Atunci, r=om = ρ cos φ e 1 + ρ sin φ e 2 + ze 3. (20) r ρ = cos φ e 1 + sin φ e 2 și u ρ = vers ( r ρ ) = cos φ e 1 + sin φ e 2. Apoi, r φ = ρ sin φ e 1 + ρ cos φ e 2 și u φ = vers ( r φ ) = sin φ e 1 + cos φ e 2. În fine, r = e z 3 și u z = vers ( r ) = e z 3. Mărimile vectorilor r, r, r sunt respectiv 1,, 1 (parametrii lui Lamé). ρ φ z 49

50 Deoarece u ρ u φ = 0, u ρ u z = 0 și u φ u z = 0, rezultă că reperul mobil 3D {M; u ρ, u φ, u z } este ortonormal, variabil odată cu punctul M. Vom adăuga și alte proprietăți, după ce vom studia, bineînțeles cu ajutorul vectorilor, mișcarea curbilinie. Nu întâmplător coordonatele sferice și cele cilindrice sunt un caz particular al coordonatelor curbilinii în spațiu. Întrebare: Sunt necesare aceste noi tipuri de coordonate și repere mobile? Un răspuns: vom vedea că există diverse probleme care se rezolvă mai simplu dacă se aplică aceste coordonate; de exemplu, la studiul mișcării în lungul unei curbe cu longitudine constantă pe o planetă sferică ( =constant), sau la studiul câmpului magnetic în jurul unui conductor electric ( =constant). 50

51 CAPITOLUL 2: VECTORI ABSTRACȚI, APLICAȚII LINIARE, COMPONENTE COVARIANTE ȘI CONTRAVARIANTE 2.1. Bază a unui spațiu vectorial Până acum, am considerat vectorii clasici, priviți ca entități definite prin mărime, direcție și sens. Prin introducerea reperelor 2D sau 3D, am observat că aceeași vectori pot fi caracterizați și identificați cu seturi de numere, omițând structura lor fizică. Se pierde în concretețe, dar se câștigă altceva. Epoca noastră este dominată de tehnologia informației și una din ideile fanion este cea a digitalizării, a asocierii de numere convenabile celor mai diverse obiecte fizice și concepte. Algebrizarea și digitalizarea sunt opuse geometrizării, dar sunt strâns legate de procesul de abstractizare; orice efort în acest sens va fi răsplătit. Matematica secolului al XX lea a introdus ideea utilizării noțiunilor prin proprietățile lor, admise ca reguli de joc, omițând astfel materializarea lor vulgară (de tipul vectorilor ca țepe sau ale triunghiurilor ca plăci). Aceasta nu împiedică folosirea argumentelor de tip voilà!, euristice. Definirea vectorilor prin seturile lor de coordonate relativ la un reper sau altul permite răspunsul la întrebări de tipul: ce se întâmplă cu un vector dacă se modifică reperul? Răspunsul: nu se întâmplă nimic cu vectorul în sine (care are un caracter absolut), ci doar cu componentele lui. Vitezele, accelerațiile, forțele, intensitățile etc. nu se modifică în esența lor; vor diferi însă numerele care le vor fi asociate! Tot astfel, 51

52 scalarii numerele, constantele fizice, temperaturile, masele, sarcinile electrice etc. Se modifică doar dacă le dăm alte moduri de reprezentare (de exemplu, trecând în baza 2 sau modificând scala sau unitățile de măsură). Un ultim argument este acela că trebuie pregătită definirea tensorilor, care sunt în esență entități definite prin mărime și mai multe direcții. Spații vectoriale S-a constatat că multe obiecte matematice polinoame, matrice, funcții etc. au proprietăți similare cu cele ale vectorilor; se adună, se înmulțesc cu scalari etc. Alte operații trebuie introduse cu precauție, ținând cont de specific; de exemplu, vectorii nu se împart și nu se logaritmează etc. Ținând cont de acest fapt, s-a dezvoltat studiul vectorilor abstracți, care sunt obiecte matematice de natură neprecizată (ca elemente ale unei anumite mulțimi, numite spațiu vectorial) și care respectă anumite reguli de joc, anume cele 9 axiome de spațiu vectorial. Definiția 2.1: Se numește spațiu vectorial ( liniar) orice mulțime nevidă V pe care sunt definite o operație algebrică internă numită adunare (cu eticheta + ) și o operație externă de multiplicare cu scalari (α, x) αx, astfel încât (V,+,0V) să fie grup comutativ și în plus, x, y V și α, β R, α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx, α(βx) = (αβ)x și 1x=x. Elementele lui V se numesc vectori (abstracți), iar numerele reale ca mutiplicatori de vectori scalari. Prototipul spațiilor vectoriale reale le constituie mulțimea V2(P) a vectorilor liberi având suportul conținut în planul P și mulțimea V3 a vectorilor liberi din spațiu (cf. 1.1). 52

53 Dacă V este un spațiu vectorial real și notăm 0V=0 vectorul nul (care este tocmai elementul neutru la adunare), atunci pentru orice α R, α0 V = 0 V și oricare ar fi x V, 0 R x = 0 V. Iar dacă αx = 0 V, atunci fie α = 0 R, fie x = 0 R. Reținem că în orice spațiu vectorial există un vector abstract marcat, anume vectorul nul 0 V (pe care îl vom nota simplu 0); apoi, pentru x V, există opusul x V și pentru orice număr finit de scalari α 1,, α n și tot atâția vectori abstracți x 1,, x n, se poate considera combinația liniară n j=1 α j x j. Dar pentru a defini lungimi de vectori, versori, unghiuri între vectori nenuli, paralelograme, arii, ortogonalitate etc., este necesară definirea unui produs scalar (PS) abstract. Un alt exemplu important de spațiu vectorial îl constituie spațiul n dimensional R n (n 1 fiind un întreg fixat); vectorii din R n, numiți n dimensionali, sunt seturi ordonate x=(x 1,, x n ) de câte n numere reale. Folosirea indicilor etaj va fi explicată mai târziu. Dacă y=(y 1,, y n ) R n, atunci prin convenție x=y x j = y j pentru orice j (1 j n). Vectorul nul este setul 0 având toate cele n componente nule. În R n există și alți vectori remarcabili: e1=(1,0,...,0); e2=(0,1,0,...,0),..., en=(0,0,...,1), (1) numiți vectorii bazei canonice. Considerând simbolul lui Kronecker δ i 1 dacă i = j j = { 0 dacă i j, atunci e i = (δ i j ); 1 i n. Uneori acesta este notat δ ij e3=(0,0,1). Exemple 1) Fie V=R 3 ; atunci 0V=(0,0,0); e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), 53

54 54 Pentru orice vector x=(x 1,x 2,x 3 ), avem 3 k=1 n k=1 x k e k. x 1 e1+x 2 e2+x 3 e3=(x 1,x 2,x 3 ). Deci x = orice vector x R n se scrie x= x k e k. Mai general, 2) Dacă V este un spațiu vectorial și dacă W V este o submulțime, astfel încât, ori de câte ori x, y W și α R, să rezulte că x+y W și αx W, atunci W este un spațiu vectorial (numit subspațiu al lui V); desigur, 0V W. De exemplu, luând V=V3, mulțimea W a vectorilor având suportul conținut într-un plan trecând prin origine formează un subspațiu al lui V. Notă: Printr-o convenție propusă de Einstein și acceptată de toți fizicienii și matematicienii, în sumele unde un indice etaj și un indice subsol se repetă, se omite semnul și se subînțelege că se face sumarea după acel indice repetat; indicii care se repetă sunt numiți muți și nu contează modul în care sunt notați. De regulă, se înțelege din context care este domeniul de variație al valorilor indicilor muți. Exemple 3 1) Suma k=1 x k e k este notată x k e k sau x j e j omițând 3 simbolul k=1. În mod similar: 3 k=1 x p e p = x p e p = x k e k = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Apoi, x pk y p = x pk y p (sumă după p) deci rezultatul este o mărime z k ; x pq y pr = z q r. n 2) x k j j=1 δ k = x k δ j k = x j ; 3) x pq y pr 3 p=1 este o mărime care poate fi notată Definiția 2.2: Pentru orice doi vectori n dimensionali x=(x 1,...,x n ), y=(y 1,...,y n ) din R n se definește produsul scalar euclidian: x, y = x 1 y x n y n (2)

55 (un număr real egal cu suma produselor componentelor). Se extind fără dificultate proprietățile PS 1 PS 4 din Se definește norma euclidiană ( lungimea) vectorului n dimensional x ca fiind acel număr real și pozitiv x =radical din suma pătratelor componentelor; adică: x = ((x 1 ) (x n ) 2 ) 1 2. Dacă vectorii x, y sunt nenuli, atunci se definește măsura unghiului dintre ei, prin: cos θ = x,y x y, θ [0, π]. Se verifică ușor proprietățile unei norme: N1 (pozitivitate). Pentru orice x R n, x 0 și x = 0 x = 0; N2 (balansarea scalarului). Dacă x R n și α R, atunci αx = α x ; N3 (inegalitatea triunghiului). Dacă x, y R n, atunci x + y x + y. Distanța euclidiană între punctele x, y din R n este x y deci d(0,x)= x. Punctul x se poate identifica cu vectorul Ox (ca un reflex al bijecției lui Descartes). Exemplu: Dacă x=(1,2, 3,0) și y=(2,1,1, 2) în R 4, atunci x = = 14, y = 10 și cos θ =. 140 Desigur, R 1 = R; am văzut că dacă P este un plan raportat la un reper cartezian {O,e1,e2} xoy, atunci are loc bijecția lui Descartes, prin care fiecărui punct M P se asociază perechea coordonatelor sale carteziene x, y(om = xe 1 + ye 2 ). 55

56 În mod similar, fixând în spațiul fizic S un reper cartezian {O;e 1, e 2, e 3 } Oxyz, se definește bijecția lui Descartes f: P R 3, M (x, y, z); OM = xe 1 + ye 2 + ze 3. Așadar, spațiile aritmetice R 2 și R 3 sunt direct legate de Geometria analitică 2D sau 3D. Dar apare un prim șoc... În timp ce R n are o existență algebrică asigurată pentru n 4, au dispărut interpretările geometrice directe. Se spune că raționăm fără să vedem, folosind ochiul minții. Chiar și fizicienii, inginerii sau economiștii sunt interesați de spațiile n dimensionale. Exemplu: Spațio timpul lui Minkowski M=R 4 nu este o ficțiune matematică, ci este la fel de real ca orice alt obiect matematic. Pentru matematicieni, existența unui obiect revine la necontradicția lui și atât! Un element E=(t, x, y, z) M este numit un eveniment punctual ( un "flash") care se produce în punctul (x, y, z) și la momentul t. Două evenimente E și E =(t, x, y, z ) sunt fizic conectabile, dacă există și se poate transmite semnal de la unul la celălalt, adică distanța poate fi acoperită cu cel mult viteza luminii, ((x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 ) 1 2 c t t, unde c este viteza luminii. Dacă E = 0 R 4, evenimentul E este fizic conectabil cu 0 x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 0. Mulțimea evenimentelor E fizic conectabile cu 0 în viitor (t > 0) este C+={(t, x, y, z) M x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 0, t > 0}. Această mulțime este numită sugestiv conul luminii sau conul viitorului, cu vârful în 0; este imposibil de vizualizat. Cel mult putem contempla secțiunea lui C+ cu hiperplanele y=0, z=0, notată C + s, care este redată în figura 2.1. Pentru orice 56

57 eveniment E există câte un con al viitorului, în lungul traiectoriilor. Fig. 2.1 Nu extindem aceste dezvoltări, deoarece ne-am îndepărta de scopul cărții. Menționăm, de asemenea, că o funcție reală f(x 1,, x n ) de n variabile poate fi considerată ca o funcție de o singură variabilă vectorială x=(x 1,, x n ). De exemplu, dacă la bordul unui automobil există 15 instrumente de măsură, se poate considera ca evoluția acelui automobil este o funcție de 15 parametri reali. Așa s-a ajuns la parametri de stare și la studiul evoluției în timp a stărilor, ceea ce a stimulat împletirea geometriei multidimensionale cu concepte algebrice. Și totul a plecat de la lărgirea viziunii asupra vectorilor! Baze și digitalizarea vectorilor abstracți Definiția 2.3: Fie V un spațiu vectorial real și k vectori (abstracți) x 1,, x k V; k 1. Se spune că acești vectori sunt liniar independenți ( formează o familie liniar independentă) dacă din ipoteza că k j=1 α j x j = 0 V, rezultă că toți scalarii α j sunt nuli. De asemenea, se spune că vectorii x 1,, x k generează spațiul V ( formează o familie de generatori), dacă orice vector din V este o combinație liniară a lor. 57

58 Dacă vectorii x 1,, x k nu sunt liniar independenți, atunci ei se numesc liniar dependenți; în acest caz, există scalari α 1,, α k, nu toți nuli, astfel încât j=1 α j x j = 0 V. Exemple 1) Doi vectori nenuli din V2(P) sunt liniar independenți dreptele suport ale lor sunt concurente neparalele. Trei vectori nenului din V3 sunt liniar independenți sunt necoplanari. 2) Fie V = R 3 [X] mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali de grad cel mult 3. Polinoamele u 1 = X 3 + 2X 2, u 2 = X 2 și u 3 = X 3 + X 2 sunt liniar dependente, deoarece u 1 u 2 u 3 = 0. Definiția 2.4: Un spațiu vectorial V se numește de dimensiune finită dacă există o familie finită B = {e 1,, e k }, (3) formată din vectori liniar independenți și care generează spațiul V. Se poate arăta că spațiul V are mai multe baze diferite (chiar o infinitate!), dar toate au același număr de vectori, numit dimensiunea lui V; se scrie dim V=k. Dacă dim V=k, k vectori liniar independenți (atâția cât dimensiunea!) formează o bază; similar, k generatori formează bază. Nu dăm detalii. Exemple 1) Fie V=V2(P), unde planul P este raportat la un reper cartezian ortonormal {O;e1,e2}.Vectorii e1, e2 formează o bază a lui V2(P); căci dacă αe 1 + βe 2 = 0, atunci rezultă α = 0, β = 0 iar relația (8) din 1.2 arată că ei generează V2(P). Dar există o infinitate de alte baze pentru V2(P); de exemplu, considerând vectorii f 1 = e 1 + ae 2 și f 2 = e 1 + e 2, cu a k

59 2) Fie V=V3 și {O;e 1, e 2, e 3 } un reper cartezian ortonormal în spațiu. Atunci B = {e 1, e 2, e 3 } constituie o bază a lui V3. Într-adevăr, dacă α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 = 0 V și înmulțim scalar cu e 1, rezultă că α 1 = 0 (căci e 1 e 2 = 0, e 1 e 3 = 0); similar, înmulțind scalar cu e 2 și cu e 3, rezultă α 2 = 0, α 3 = 0. Deci vectorii lui B sunt liniar independenți. Apoi orice vector v V3 este combinație liniară a vectorilor e 1, e 2, e 3 (relația (9) din 1. 2). Așadar, dim V3=3. Similar, dim V2(P)=2. 3) În spațiul aritmetic n dimensional R n, vectorii e i, 1 i n explicitați în (1) formează baza canonică [Dacă n k=1 x k e k = 0, atunci (x 1,, x n ) = (0,,0) deci toți x k =0. Apoi pentru orice x=(x 1,, x n ) R n n, x = k=1 x k e k.]. Așadar, dim R n = n. 4) Mulțimea polinoamelor de grad p cu coeficienți reali formează un spațiu vectorial de dimensiune p+1, cu baza canonică B = {1, X, X 2,, X p }. De asemenea, mulțimea Mm, n a matricelor m n cu coeficienți reali este un spațiu vectorial de dimensiune mn, cu baza B = {M ij }; 1 i m, 1 j n unde matricea M ij are toate elementele nule, cu excepția celui situat pe linia i și coloana j, care este egal cu 1. Spațiul Mn(R) al matricilor pătratice de ordin n are dimensiunea n 2. 5) Iată și un exemplu insolit. Să notăm cu R, G, B culorile numite de bază (R=roșu, având lungimea de undă λ R 700,0 mm; G=verde, cu λ G 546,1 mm și B=albastru, cu λ B 435,8 mm). Pentru orice altă culoare F, o lege a lui Grassmann arată că există și sunt unici scalarii a, b, c R astfel încât F=aR+bG+cB. Transmisiile TV în culori sunt de fapt transmisiile adaptate pentru culorile de bază, cu calibrările necesare. 59

60 În continuare, vom considera exclusiv spații vectoriale de dimensiune finită. Reținem că dimensiunea este numărul maxim de vectori liniar independenți; de asemenea, dim V este numărul de condiții necesare și suficiente pentru a determina un element al lui V. Notă importantă Existența unei baze B = {e 1,..., e n } într-un spațiu vectorial V permite, între altele, digitalizarea vectorilor abstracți. Anume, pentru orice x V există un set de scalari n x 1,, x n astfel încât x = k=1 x k e k = x k e k (Einstein). n Acest set este unic, deoarece dacă x= k=1 α k e k, atunci n k=1 (x k α k )e k = 0 V și cum vectorii ek sunt liniar independenți, rezultă x k α k = 0, deci x k = α k pentru orice k. În acest mod, vectorul abstract x se identifică prin setul ordonat de scalari x 1,, x n, numite coordonatele (sau componentele) lui x relativ la baza B. Ca atare, în loc de a manipula vectori, se prelucrează seturi de numere asociate, perfect controlabile. Aceasta este o idee fundamentală în proliferarea tehnicilor informatice; de exemplu, domeniul Codificării sau cel al Recunoașterii Formelor exploatează digitalizarea diverselor configurații (de exemplu, electrocardiograme, recunoașterea vocii sau amprentelor, undele seismice, undinele, codul genetic, codurile bancare sau militare etc.). 60

61 2.2. Transformări liniare Transformare liniară, izomorfism În unele probleme sau descrieri este necesar un anumit tip de transfer de informație. De fapt, orice funcție f: A B, x f(x) transferă date din A în B. De asemenea, multe transformări geometrice rotații, omotetii, scalări trebuie descrise numeric ( digitalizat ). Definiția 2.5: Fie V, W sunt două spații vectoriale (reale). O funcție f: V W se numește transformare liniară ( aplicație liniară) dacă pentru orice vectori x, y V și orice scalar, avem: f(x + y) = f(x) + f(y) și f(αx) = αf(x). (4) n De aici rezultă că f( k=1 α k x k ) = k=1 α k f(x k ) pentru x k V și α k scalari. Înlocuind =0, rezultă că f (0V)=0W. Așadar, f transferă informație de tip liniar (de exemplu, combinații liniare) de la V la W. O transformare liniară f: V W este bine determinată dacă se cunosc valorile ei pe vectorii unei baze din V. Într-adevăr, fie B = {e 1,, e n } o bază în V și y i = f(e i ) W. Pentru orice x V avem o scriere unică x = k=1 b k e k. Așadar, scalarii bk și n vectorii yi sunt cunoscuți. Atunci valoarea f(x) = b k f(e k ) n n k=1 va fi ea însăși cunoscută! Definiția 2.6: Transformarea liniară f: V W se numește izomorfism dacă este și bijectivă. Două spații vectoriale V, W se numesc izomorfe dacă se poate stabili un izomorfism f: V W. În acest caz, inversa f 1 W V este de asemenea un izomorfism. 61

62 Dacă B = {e 1,, e n } este o bază a lui V și f: V W este un izomorfism, atunci f(b) = {f(e 1 ),, f(e n )} este o bază a lui W. Se arată ușor că dacă două spații vectoriale sunt izomorfe, atunci ele au aceeași dimensiune și reciproc. Exemple 1) Orice spațiu vectorial V de dimensiune n este izomorf cu R n ; anume, fixând o bază B = {e 1,, e n } a lui V, aplicația f: R n V, f(x 1,, x n ) = n k=1 x k e k x k e k este un izomorfism. Aplicația f este bijecția lui Descartes. 2) Funcțiile f: V R se numesc funcționale pe V. Explicităm funcționalele liniare f: R n R și pentru aceasta, fie B = {e 1,, e n } o bază a lui R n (de exemplu, baza canonică). Pentru orice x R n, x = (x 1,, x n ) avem x = x k e k deci f(x) = f(x k e k ) = x k f(e k ). Notăm c k = f(e k ) deci c k R. Așadar, f(x) = f(x 1,, x n ) = n k=1 c k x k c k x k. Deci funcționalele liniare pe R n sunt polinoame omogene de gradul întâi în variabilele x 1,...,x n. 3) Fie V = C [a,b] mulțimea funcțiilor indefinit derivabile pe intervalul [a, b]. Operația de derivare D: V V, f f este o transformare liniară. De asemenea, luarea integralei I: V R, b f f(t)dt este o funcțională liniară. În acest caz, spațiul a vectorial V este infinit dimensional și ne interesează mai puțin. Transformări geometrice în plan Fixăm un plan P. Se numește transformare geometrică a lui P orice funcție bijectivă f: P P. Dacă A P, atunci punctul A = f(a) se numește transformatul ( imaginea) lui A prin f, iar dacă F P este o figură, F = f(f) se numește 62

63 transformata ( imaginea) figurii F. Transformările geometrice care păstrează distanțele și măsurile unghiurilor se numesc deplasări ( transformări rigide). Translațiile, rotațiile, simetriile față de drepte fixate sunt exemple de deplasări. Exemple 1) Fiind dat un vector v V2(P), translația de vector v este funcția bijectivă τ v P P care asociază oricărui punct A P acel unic punct A P, astfel încât AA =v; (fig. 2.2). Dacă v, w V2(P), atunci: τ v τ w = τ v + w și (τ v ) 1 = τ v. Așadar, translația de vector w urmată de translație de vector v are același efect cu translația de vector v+w. Fig ) Fixăm un punct O P și un număr real. Rotația de unghi în jurul lui O este funcția bijectivă ρ θ P P care asociază oricărui punct A P acel unic punct A P astfel încât OA = OA și măs AOA π = θ; (fig. 2.3), pentru θ =. Rotația se presupune în sens invers acelor de ceas. Pentru orice θ, θ avem: ρ θ ρ θ = ρ θ+θ și (ρ θ ) 1 = ρ θ. 2 63

64 Fig ) Fixăm k > 0 și un punct O P. Omotetia de centru O și raport k este funcția bijectivă ω k P P care asociază oricărui punct A P acel unic punct A P astfel încât punctele O, A, A să fie coliniare și OA =k OA; fig. 2.4 pentru k=2. Fig. 2.4 Translațiile și rotațiile sunt deplasări și figura deplasată F este congruentă cu originalul F; dar omotetiile, nu (pentru k 1), figura F fiind asemenea, dar nu congruentă cu F. Bineînțeles, translațiile și rotațiile conservă distanțele, măsurile unghiurilor și ariile. Omotetiile conservă unghiurile dar amplifică distanțele cu k și ariile cu k 2. Translațiile nu sunt transformări liniare (pentru că nu duc O în O), dar rotațiile și omotetiile, da. 64

65 Fixăm acum un reper {O; e 1, e 2 } xoy în planul P și fie v=v 1 e 1 + v 2 e 2. Prin translația τ v, punctul M(x,y) este transformat în M (x, y ) astfel încât MM =v. Așadar (x x)e 1 + (y y)e 2 = v 1 e 1 + v 2 e 2, de unde x = x + v 1, y = y + v 2. Aceste relații se mai numesc formulele translației. Introducând matricele: 1 0 v 1 x x T v = ( 0 1 v 2 ), X = ( y), X = ( y ), formulele translației se scriu matriceal astfel: X = T v X. Matricea Tv este inversabilă, având ca inversă T v deci X = T v X și explicit, x = x v 1, y = y v 2. Prin rotația ρ θ, punctul curent M(x, y) este transformat în M (x, y ) astfel încât OM = OM și măs(mom ) = θ; fig Fig. 2.5 Notând OM=OM = r și α = măs(ox, OM) rezultă: x = r cos(θ + α) = r(cos θ cos α sin θ sin α) și y = r sin(θ + α) = r(sin θ cos α + cos θ sin α). Așadar, au loc următoarele formule ale rotației: x = x cos θ y sin θ, y = x sin θ + y cos θ. (5) 65

66 În mod explicit, ρ θ R 2 R 2, ρ θ (x, y) = (x cos θ y sin θ, x sin θ + y cos θ) (6) și evident, ρ θ este o transformare liniară. Relațiile (5) se pot scrie matriceal, anume: cos θ sin θ 0 X = R θ X, unde R θ = ( sin θ cos θ 0); matricea R θ este ireversibilă și (R θ ) 1 = R θ deci X=R θ X. În fine, prin omotetia ω k a planului P, de raport k, în raport cu O, punctul curent M(x, y) este transformat în M (x, y ) unde x = kx, y = ky. Așadar, ω k R 2 R 2, ω k = (kx, ky) este o transformare liniară. Relațiile anterioare pot fi scrise matriceal, introducând matricea: k 0 0 Ω k = ( 0 k 0) ; anume X = Ω k X și X = Ω 1 k X Exemple 1) Pentru a reprezenta conica 2x 2 +y 2 4x+2y=0, efectuăm translația x = x + 1, y = y 1 (de vector v=e1 e2, unind O cu O (1, 1)). După calcule, ecuația devine 2x 2 + y 2 3 = 0. Recunoaștem o elipsă având ecuația x 2 + y = 0 relativ la reperul x O y, cu lungimile semiaxelor 3 2 și 3; (fig. 2.6). 66 Fig. 2.6

67 2) Să considerăm un reper cartezian ortonormal {O;e 1, e 2 } xoy și punctul A(4, 5). Determinăm coordonatele x, y ale imaginii lui A după translația de vector v=3e 1 + 2e 2, urmată de omotetia de raport k=2, în raport cu originea și rotația de unghi π în jurul originii. Cu notații transparente, avem: 5 x x ( y ) = R π 5 Ω 2 T v ( y) = 1 1 cos π 5 sin π 5 0 = sin π cos π ( 0 2 0) ( 0 1 2) ( 5) ( 0 0 1) și se fac calculele produselor de matrice (care corespund compunerilor succesive de transformări). Notă importantă Așa cum prin fixarea unei baze într-un spațiu vectorial V, vectorii lui V pot fi afectați cu numere (prin extinderea reprezentărilor vectorilor fizici relativ la repere carteziene de coordonate, studiată în 1. 2), tot astfel, transformările liniare între spații vectoriale pot fi digitalizate, fiind asociate cu anumite matrice. Definiția 2.7: Fie f: V W o transformare liniară (între spații vectoriale de dimensiune finită). Fixăm o bază B = {e 1,, e n } în V și o bază B = {f 1,, f m } în W. Pentru orice j,1 j n, vectorul e j al bazei va avea imaginea f(e j ) în W și acesta este o combinație liniară a vectorilor bazei B ; așadar, avem o scriere unică: n f(e j ) = i=1 a ij f i, 1 j m. (7) Matricea de tip m n astfel formată este notată: B,B M f = (a ij ); 1 i m, 1 j n 67

68 și numită matricea asociată lui f relativ la bazele B, B. 68 Evident, M f B,B = (f(e 1 ) f(e 2 ) f(e n )), unde pe coloane sunt trecute componentele scalare ale vectorilor respectivi. Definiția 2.8: Fie V un spațiu vectorial real. Se numește operator liniar al lui V orice transformare liniară h: V V a spațiului V în el însuși. Dacă B = {e 1,, e n } este o bază a lui V, n avem o scriere h(e j ) = a i B i=1 j e i, 1 j n și matricea M h astfel formată se numește matricea operatorului h relativ la baza B. M h B = M h B,B. Evident, matricea M h B este pătratică de ordin n și Exemple 1) Fie V = R 3, W = R 2 și f: V W, f(x, y, z) = (5x + 3y + 2z, 2y + 3z). f este o transformare liniară și determinăm matricea lui f relativ la bazele canonice din R 2 și R 3. Avem, f(e 1 ) = f(1, 0, 0) = (5, 0) = 5f 1 + 0f 2 ; apoi f(e 2 ) = f(0, 1, 0) = (3, 2) = 3f 1 2f 2 și f(e 3 ) = f(0, 0, 1) = (2, 3) = 2f 1 + 3f 2. Atunci matricea lui f este o matrice 2 3; anume: M f = (f(e 1 ) f(e 2 ) f(e 3 )) = ( ). 2) Fie V=R 2 și h = ρ θ operatorul de rotație în jurul originii. Scriem matricea lui h relativ la baza canonică {e 1, e 2 } din R 2 ; e 1 =(1,0) și e 2 =(0,1). Conform (6), h(e 1 ) = h(1,0) = (cos θ, sin θ); h(e 2 ) = cos θ sin θ h(0,1) = ( sin θ, cos θ) deci M h = ( sin θ cos θ ).

69 3) Considerăm operatorul de derivare al spațiului V = R 3 [X], relativ la baza canonică B = {1, X, X 2, X 3 } a lui V. Notăm e 1 = 1, e 2 = X, e 3 = X 2, e 4 = X 3. Avem: h(e 1 ) = 0 = 0 e e e e 4 ; h(e 2 ) = 1 = 1 e e e e 4 ; h(e 3 ) = 2X = 0 e e e e 4 și h(e 4 ) = 3X 2 = 0 e e e e 4. Atunci M h = ( ) Notă: Menționăm o problemă fundamentală a teoriei matricelor pătratice, anume cea a reducerii la forme mai simple, prin folosirea vectorilor proprii. Dacă A M n (R), trebuie determinată o matrice nesingulară T M n (R) astfel încât produsul T 1 AT să aibă o formă cât mai simplă (diagonală, triunghiulară superior, forma Jordan etc.). În acest text, nu vom folosi această disponibilitate Matrice de trecere de la o bază la alta Există situații când sunt necesare repere distincte și stabilirea unor transferări de informații de la un reper la altul. De exemplu, studiul mișcării unui satelit artificial în jurul Lunii necesită un reper relativ la Lună; de asemenea, legătura cu Pământul reclamă un reper relativ la Pământ. Este utilă stabilirea regulilor de trecere de la un reper la altul. 69

70 70 Definiția 2.9: Fie V un spațiu vectorial real de dim n. Dacă B = {e 1,, e n } și B = {e 1,, e n} sunt două baze ale lui V, atunci pentru orice j, 1 j n există scalari reali t i j, astfel încât: e j = t j i e i, (sumă după i). (8) Matricea pătratică de ordin n T = (t j i ), 1 i, j n astfel formată, se numește matricea de trecere de la B la B. De exemplu, e 1 = t 1 1 e 1 + t 1 2 e t 1 n e n și componentele lui e 1 formează coloana întâi a matricei T; similar, componentele lui e 2 alcătuiesc coloana a doua a lui T etc. Dacă e 1 = 2e 1, atunci t 1 1 = 2, t 1 2 = 0,, t 1 n = 0. Fie x V un vector (abstract) oarecare. El are reprezentări (scrieri) unice relativ la cele două baze: x = x i e i, x = x j e j. Atunci: cf.(8) x i e i = x j e j = x j (t j i e i ) = (t j i x j )e i deci (x i t j i x j )e i = 0. Deoarece vectorii e i sunt liniar independenți, rezultă că parantezele sunt nule, deci: Notând: x i = t j i x j, 1 i n. (9) X = (x 1,, x n ) T și X = (x 1,, x n ) T, matricile coloană ale coordonatelor lui x relativ la bazele B și B, relațiile (9) se scriu matriceal condensat astfel: X = T X. (9 ) În mod similar ( simetric), are loc relația X = U X, unde U este matricea de trecere de la B la B. Așadar, X=TUX și X fiind arbitrar, rezultă că TU=In. Așadar, matricele T și U sunt nesingulare și U = T 1.

71 În mod explicit, dacă U = (u i j ); 1 i, j n, atunci au loc relațiile x i = u i j x j, 1 i n. Reamintim că dacă A este o matrice de tip m n și B de tip n p, atunci are sens produsul AB (de tip m p) și pentru transpuse, (AB) T = B T A T. În continuare, o matrice notată uzual (aij) va fi notată (a i j ) cu indicele de linie la etaj și cel de coloană la subsol. Dacă A, B sunt matrice pătratice de ordin n și A=(a i j ), B = (b i j ), atunci AB =(c i j ) și c i j = a i k b k j (sumă după k). Dacă AB=In=(δ i j ), matricea unitate, atunci A este inversabilă și B = A 1. Dacă T=(t i j ) este inversabilă și U=(u i j ) este inversa ei, atunci au loc relațiile t i k u k i j = δ j și u i k t k j = δ i j. (10) Exemple 1) Fie B = {e 1, e 2, e 3 } o bază carteziană ortonormală în V3 și B = {e 2, e 1, e 2 + 2e 3 }. Arătăm că B este o bază în V3 și determinăm matricea de trecere de la B la B, precum și coordonatele vectorului v = e 1 + e 2 + e 3 relativ la baza B. Este suficient să arătăm că vectorii bazei B, adică e 1 = e 2, e 2 = e 1, e 3 = e 2 + 2e 3 sunt liniar independenți; ori, dacă: ae 2 + be 1 + c(e 2 + 2e 3 ) = 0, atunci b=0, a+c=0, 2c=0 deci a=0, b=0, c=0. Apoi, X=(1, 1, 1) T ; e 1 = e 2 = 0 e e e 3, e 2 = e 1 = 1 e e e 3 și e 3 = 0 e e e 3, deci 71

72 0 1 0 T=( 1 0 1); Atunci: T 1 = ( ) și X = T 1 X = ( ) T. 2) Fie V=V2(P) R 2 raportat la reperul ortonormal {O, e 1, e 2 } xoy și x Oy sistemul de coordonate, având versorii axelor e 1, e 2, obținut prin rotirea în jurul lui O, cu unghiul θ, în sens pozitiv (fig. 2.7). 72 Fig. 2.7 Am văzut în 1.3 că: e 1 = e 1 cos θ + e 2 sin θ și e 2 = e 1 cos (θ + π 2 ) + e 2 sin (θ + π 2 ) = e 1 sin θ + e 2 cos θ, deci matricea de trecere de la baza B = {e 1, e 2 } la baza B = {e 1, e 2} cos θ sin θ este T=( ), cu inversa: sin θ cos θ T 1 cos θ sin θ = ( sin θ cos θ ). Dacă v V este un vector care în baza B se reprezintă prin v = v 1 e 1 + v 1 e 2, atunci în baza B va avea reprezentarea v = v 1 e 1 + v 2 e 2, unde ( v 1 2 v ) = T 1 ( v1 v2) deci: v 1 = v 1 cos θ + v 2 sin θ și

73 v 2 = v 1 sin θ + v 2 cos θ. De exemplu, dacă v=3e 1 + 2e 2 și θ = 120, atunci v 1 =3, v 2 =2,v 1 = 3 ( 1 2 ) + 2 ( 3 2 ) 0,23; v 2 = 3 ( 3 2 ) + 2 ( 1 2 ) 3,6. Extindem acum conceptul de reper la spații vectoriale generale. Definiția 2.10: Dacă V este un spațiu vectorial real, se numește reper în V (sau observator) orice pereche (a; B) formată dintr-un punct a V și o bază B a lui V. Reperul se mai numește sistem de coordonate atașat unui observator plasat în punctul a. În continuare, vom presupune că a=0 V 0. Dacă B și B sunt două repere și T este matricea de trecere de la B la B, atunci pentru orice vector abstract x V, matricele coloană ale coordonatele lui x relativ la cele două baze satisfac relația X = T X sau X = T 1 X. Definiția 2.11: Se spune că două baze B, B sunt orientate la fel, dacă determinantul matricei de trecere este strict pozitiv (det T> 0). Dacă B = {e 1, e 2, e 3,, e n } și B = {e 2, e 1, e 3,, e n } (intervertind primii doi vectori), atunci determinantul matricei de trecere este egal cu 1, deci B și B nu sunt orientate la fel. Orice altă bază a lui V este orientată la fel ca B sau ca B, deci bazele ordonate ale spațiului V sunt împărțite în două clase disjuncte. A fixa o orientare a spațiului V revine la a fixa una din cele două clase. 73

74 Exemple 1) Dacă dim V=1, atunci sunt posibile două orientări, prin versori: B = {e 1 } și B ={ e 1 }. Orientarea unei drepte se realizează fixând unul din cei doi versori opuși. 2) Dacă dim V=2 (de exemplu V este asimilat cu un plan trecând prin originea unui reper cartezian 3D), a fixa o orientare revine la a fixa o bază {e 1, e 2 }; cealaltă orientare corespunde bazei {e 2, e 1 }. În exemplul legat de figura 2.7, cele două repere erau orientate la fel. 3) În spațiul fizic 3D, alegerea unei orientări este legată de particularitățile ființei umane; una din orientări este numită sinistrorsum (regula mâinii stângi) și cealaltă este numită dextrorsum (regula mâinii drepte). Astfel, un reper cartezian ortonormal Oxyz de versori i, j, k astfel încât k=i j este sinistrorsum. Simetria în oglindă modifică orientarea. Notă: În exemplul legat de figura 2.7, același vector v a fost descris pentru doi observatori; se spune că acesta este punctul de vedere pasiv ( contemplativ ). Dar se pot considera un singur observator {O; B}, operatorul f=ρ θ : V V de rotație și vectorul v = ρ θ (v) cf.(6) activ ( participativ ). 0,23e 1 3,6e 2. Acesta este punctul de vedere 2.4. Componente contravariante și componente covariante ale unui vector Vom modifica notațiile și vom folosi în mod consecvent convenția lui Einstein de notație a sumelor. Glumind, Einstein a declarat că aceasta este singura lui contribuție în Matematică... 74

75 Cazul 2D Identificăm spațiul vectorial V2(P) cu R 2 și fixăm o bază B = {g 1, g 2 }, asociată cu un sistem cartezian de coordonate xoy, nu neapărat ortonormal (fig. 2.8). Fig. 2.8 Definiția 2.12: Baza reciprocă a lui B este B r = {g 1, g 2 }, având proprietatea definitorie că produsele scalare satisfac relațiile g i g j = δ ij pentru 1 i, j 2. (11) Așadar, g 1 g 2 și g 2 g 1 ; apoi g 1 g 1 =1 ș i g 2 g 2 =1. Deoarece g 1 și g 2 sunt nenuli și liniar independenți (adică necoliniari), la fel vor fi vectorii g 1 și g 2 perpendiculari pe ei. scalare: Definiția 2.13: Considerăm pentru 1 i, j 2, produsele a ij = g i g j ; a ji = a ij. (12) Matricea simetrică G=(a ij ) M 2 (R) se numește matricea Gram a bazei B. Notând δ = detg = a 11 a 22 a 2 12, rezultă δ 0 deoarece δ = g 1 g 2 2. Explicităm vectorii g 1, g 2. Scriind g 1 = ag 1 + bg 2 și înmulțind scalar cu g 1 și apoi cu g 2, rezultă relațiile: 75

76 1 = a a 11 + b a 12, 0 = a a 12 + b a 22, de unde rezultă a= 1 δ a 22 și b = 1 δ a 12. În mod similar, scriind g 2 = cg 1 + dg 2 și înmulțind scalar cu g 1, g 2, rezultă c = 1 δ a 12 și d = 1 δ a 11. În final, g 1 = 1 δ (a 22g 1 a 12 g 2 ), g 2 = 1 δ ( a 12g 1 +a 11 g 2 ). (13) Conform (13), rezultă că matricea de trecere de la baza B la baza ei reciprocă B r este: T = 1 ( a 22 a 12 δ a 12 a ); inversa ei este: 11 T 1 = ( a 11 a 12 a 12 a 22 ) = G. (14) Deci matricea de trecere de la B r la B este tocmai matricea Gram a lui B. Așa cum am mai spus, vectorii sunt entități independente de reper (numite absolute ). Doar componentele lor scalare relativ la o bază fixată depind de acea bază. Fie v V 2 (P) un vector liber oarecare, având o copie cu punctul de aplicație în O. Definiția 2.14: Vectorul v are o scriere unică relativ la baza B și o altă scriere unică relativ la baza reciprocă B r ; anume și similar, v=v 1 g 1 +v 2 g 2 = v k g k (sumă după k) (15) v=v 1 g 1 + v 2 g 2 = v k g k. (16) Componentele scalare v k se numesc contravariante (sau componente etaj), iar v k covariante (sau componente subsol). 76

77 Pentru determinarea componentelor contravariante, se înmulțește scalar relația (15) cu g 1 și cu g 2 ; rezultă: v 1 = v g 1 și v 2 = v g 2. (17) În mod similar, pentru determinarea componentelor covariante, se înmulțește relația (16) scalar cu g 1 și g 2 : v 1 = v g 1 și v 2 = v g 2. (18) Așadar, au loc reprezentările: v =(v g k )g k și v = (v g k )g k (sume după k). (19) Reținem următoarea procedură algoritmică pentru determinarea bazei reciproce și componentelor covariante sau contravariante. Dată o bază B = {g 1, g 2 } în R 2 (sau V2(P)), se urmează pașii: 1 i, j 2; Pasul 1. Se determină produsele scalare a ij = g i g j, Pasul 2. Se determină matricea Gram G și inversa ei; Pasul 3. Relațiile (13) se scriu matriceal: ( g1 g 2) = G 1 ( g 1 g 2 )și se deduc vectorii bazei reciproce; Pasul 4. Fixând un vector v, componentele lui contravariante sunt v k = v g k, iar componentele covariante sunt v k = v g k pentru k=1, 2. Exemple 1) Dacă B = {e 1, e 2 } este baza canonică (sau orice altă bază carteziană ortonormală în plan), atunci G=I2 (matricea unitate), g 1 =g 1 =e 1 și g 2 =g 2 =e 2 deci B r = B. În acest caz, componentele contravariante coincid cu cele covariante și cu cele inițiale. 77

78 2) Fie B = {g 1,g 2 } o bază în R 2 ; g1=(1,3) și g2=(4,0). Atunci a11=g1 g1=10, a12=a21=g1 g2=4 și a22=g2 g2=16. Atunci matricea Gram este G=( 10 4 ) și inversa ei este: 4 16 G 1 = 1 4 ( ). Apoi Deci: ( g1 g 2) = G 1 ( g 1 g 2 ). g 1 = (16g 1 4g 2 ) = 1 36 (4g 1 g 2 ) și g 2 = ( 4g g 2 ). În mod explicit, g 1 = (0, 1 ) și 3 g2 = ( 1, 1 ) și baza 4 12 reciprocă este B r = {g 1, g 2 }. Să considerăm acum vectorul v=(1,2) din R 2. Componentele lui contravariante sunt: iar cele covariante sunt: v 1 = v g 1 = 2 3, v2 = v g 2 = 1 12 ; v 1 = v g 1 = 7 și v 2 = v g 2 = 4. și covariante 78 Interpretarea geometrică a componentelor contravariante Fiind dat reperul oarecare în plan R={O; g 1, g 2 } și vectorul v=oc, ducem CA (respectiv CB) paralele cu suportul lui g 2 (respectiv g 2 ). Din paralelogramul OACB, rezultă descompunerea v=oa + OB = v 1 g 1 + v 2 g 2 și astfel se obțin componentele contravariante v 1, v 2 ale lui v (fig. 2.9). Apoi vectorul g 1 al bazei reciproce este perpendicular pe g 2 și

79 g 2 g 1. Prin punctul C ducem paralele CE la g 2 și CF la g 1. Din paralelogramul OECF rezultă descompunerea v=oe + OF = v 1 g 1 + v 2 g 2 și scalarii v1, v2 sunt componentele covariante ale lui v relativ la reperul R considerat. Pentru determinare efectivă, trebuie urmată procedura menționată anterior. Fig.2.9 Cazul 3D Fie acum R={O;g 1, g 2, g 3 } un reper cartezian oarecare în spațiul S R 3 și baza B = {g 1, g 2, g 3 }. Definiția 2.14: Baza reciprocă a lui B este B r = {g 1, g 2, g 3 }, având proprietatea definitorie: g i g j = δ ij pentru 1 i, j 3. (20) Așadar, pentru i j, vectorul g j este perpendicular pe g i. Vectorii g 1, g 2, g 3 se mai numesc reciprocii lui g 1, g 2, g 3. În acest caz, folosind produsele mixte, vectorii g j se exprimă direct. Notăm G=(g 1, g 2, g 3 ), determinantul componentelor scalare ale vectorilor bazei B; desigur G 0 (deoarece vectorii g i nu sunt coplanari). Atunci considerăm vectorii: g 1 = 1 (g G 2 g 3 ), g 2 = 1 (g G 3 g 1 ), g 3 = 1 (g G 1 g 2 ). (21) 79

80 Se verifică ușor, folosind proprietățile PM, cele 9 relații (20). Definiția 2.15: Dacă v V 3 este un vector oarecare, avem scrieri unice: v=v k g k și v = v k g k, (22) similare cu (15) și (16). Componentele covariante și contravariante ale lui v sunt: v k = v g k și v k = v g k, 1 k 3. (23) Dacă baza B este ortonormală (adică g i g j = δ ij pentru orice i, j), atunci g k = g k pentru 1 k 3 și B r = B. Notă: Reținem că oricărei baze B i se asociază o bază reciprocă B r ; nu există reciprocul unui vector, ci setului de vectori din baza B i se asociază un set de reciproci. Din acest moment, vectorii pot fi gândiți nu doar ca săgeți cu mărime și direcție ; apoi, nu vorbim de vectori covarianți sau contravarianți, ci de componente covariante sau contravariante ale unui vector. Acesta este un pas important în abordarea și stăpânirea conceptului de tensor. 80

81 CAPITOLUL 3: CÂTEVA APLICAȚII MECANICE ALE VECTORILOR Vom da câteva exemple semnificative, unde vectorii sunt utilizați în mod esențial și eficient. În acest mod, se poate câștiga încrederea în conceptele prezentate, în posibilitatea de a rezolva probleme și apoi de a aborda studii mai complexe Lucru mecanic Un automobil utilizează în deplasare forța de tracțiune datorată motorului; se spune că efectuează lucru (mecanic). La fel se întâmplă dacă ridicăm un obiect sau dacă împingem un dulap în cameră. Dar forța de greutate a unui dulap sau greutatea unui obiect care atârnă nu fac lucru mecanic. O aplicație importantă a PS este expresia lucrului efectuat de o forță care acționează asupra unui obiect sau corp. Mulți elevi răspund automat că lucrul este egal cu forța înmulțită cu distanța. Această afirmație este relativ corectă numai dacă forța ar fi coliniară cu direcția de deplasare a obiectului. Vom mai întâlni PS și în studiul câmpului electromagnetic. Definiția 3.1: Lucrul mecanic (pe scurt, lucrul) al unei forțe F în lungul unui vector deplasare d este produsul scalar: unde α = măs(f, d). L=F d=fd cos α, (1) Dacă α este unghi obtuz, atunci L < 0. Dacă α = 0, adică forța F are punctul de aplicație deplasat pe distanța d, în 81

82 același sens, atunci L=F d ( forța deplasarea ). Dacă F d, atunci L = 0, deoarece cos 90 = 0. Lucrul se măsoară în Jouli [J]; 1J 1Nm este lucrul efectuat de o forță cu mărimea 1N, al cărei punct de aplicație se deplasează cu 1 m. Dacă forța F are mărimea constantă și acționează în lungul unui interval [a, b] pe o axă, atunci L=F (b a), adică aria dreptunghiului hașurat din figura 3.1. Fig. 3.1 Dar dacă F este o forță variabilă având mărimea F(x) în punctul ei x de aplicație, atunci lucrul lui F în lungul intervalului [a, b] este numeric egal cu aria trapezului curbiliniu hașurat în figura 3.2, mărginit în planul xoy de curba y=f(x), axa Ox și paralelele duse la axa Oy prin capetele intervalului. Fig

83 Așadar, b L = f(x)dx. (2) a Justificarea formulei (2) este aceea că lucrul este o mărime aditivă de domeniu (în sensul că lucrul efectuat în lungul reuniunii a două sau mai multe intervale disjuncte este suma lucrurilor pe intervalele separate); temperatura sau umiditatea nu sunt mărimi aditive de domeniu. Lucrul L al forței variabile este n limita sumei lucrurilor k=1 F(x k ) (x k+1 x k ) pe subintervalele unei diviziuni ale intervalului [a, b] deci (2). În unele considerații, este util conceptul de lucru elementar dl al unei forțe F, exprimat ca PS dintre F și vectorul deplasare dr; anume, dl=f dr. În Fizică se adoptă din rațiuni didactice unele concepte ideale; de exemplu, particulă sau mobil cu masă, dar 0 dimensional, sarcină electrică punctuală etc. Tot astfel, vectorul deplasare dr este o ficțiune fizico matematică, fiind un vector având mărimea infinitezimală (!?) și direcția nedeterminată. Lucrul L al unei forțe F în lungul unei curbe plane C este suma lucrurilor elementare și se exprimă printr-o integrală curbilinie; L= C Exemple F dr. Dar nu mai dăm detalii. 1) Lucrul efectuat prin ridicarea unei mase m la înălțimea h este L=G h=mgh. Dar lucrul greutății în raport cu vectorul h orientat în sus este L=G h=mgh cos 180 = mgh; așadar, căderea unei pietre nu face lucru! 2) Lucrul unei forțe elastice variabile Fe(x)=3x, pentru b a x [a, b], este L= F e (x)dx= 3 2 (b2 a 2 ). 83

84 3) Pe un plan înclinat cu unghiul α față de orizontală, un corp (punctual) cu masa m coboară din poziția A în poziția B; (fig. 3.3). Fig. 3.3 Determinăm lucrul forței de frecare pe distanța d dintre cele două poziții. Acest lucru trebuie să fie negativ, deoarece forța de frecare se opune mișcării. Componenta normală la plan a greutății mg a corpului este N=mgcos α și forța de frecare este Ffr=kN (k fiind coeficientul de frecare pe plan). Atunci lucrul cerut este L=Ffr d=kmg cos α d cos 180 = kmgd cos α. Notă: În limbaj uzual, se spune că un sistem fizic are energie, dacă el poate efectua lucru. Energia unui sistem este o mărime fizică măsurată în J, exprimând tocmai capacitatea sistemului de a efectua lucru. În cazul sistemelor mecanice, se vorbește de energie mecanică; aceasta este de două tipuri: cinetică ( de mișcare) și potențială ( de poziție). Energia cinetică a unui corp cu masa m și viteza v este scalarul mv2 2. O teoremă fundamentală afirmă că variația energiei cinetice între două stări ale unui corp aflat în mișcare de translație este egală cu lucrul rezultantei forțelor care acționează asupra acelui corp, între cele două stări. 84

85 3.2. Echilibrul unui solid rigid Legea pârghiilor Statica este acea parte a Mecanicii care studiază echilibrul forțelor care acționează asupra corpurilor solide rigide, care nu se deformează, putând fi deplasate (adică translatate sau rotite) fără a fi modificate distanțele dintre puncte. Există trei axiome ale staticii: I. Două forțe care acționează asupra unui corp K realizează echilibrul dacă ele au punctele de aplicație situate pe aceeași dreaptă suport și sunt de tipul F, F; punctele de aplicație pot fi deplasate pe acea dreaptă suport (fig. 3.4). Fig. 3.4 II. Dacă mai multe forțe care acționează asupra unui corp sunt în echilibru, atunci rezultanta ( suma) lor este nulă; așadar, fiecare forță este egală ca mărime și de sens opus cu rezultanta celorlalte. III. Dacă două forțe F 1, F 2 care acționează asupra unui corp K au un punct comun de aplicație, atunci ele pot fi înlocuite cu suma lor R=F 1 + F 2 (fig. 3.5). 85

86 Fig. 3.5 În Statică se aplică aceste principii și mai puțin faptul că un vector ar fi egal cu o copie translatată a lui, așa cum se consideră în Geometria analitică. Folosind aceste principii, se poate demonstra o teoremă veche, celebra lege a pârghiilor a lui Arhimede: Fiind date punctele distincte A, B ca puncte de aplicație ale forțelor paralele și având același sens F 1 F 2, rezultanta R=F 1 + F 2 este paralelă cu forțele și are punctul de aplicație în acel unic punct S (numit punct de sprijin) situat pe segmentul [AB], astfel încât SA F1=SB F2 (fig. 3.6) (SA este brațul forței F 1, iar SB brațul forței F 2 ). Fig. 3.6 În cazul când F 1 F 2 dar au sens contrar și F 1 > F 2, punctul de sprijin S este situat pe prelungirea dreptei AB, mai aproape de forța mai mare, astfel încât SA F1=SB F2 (fig. 3.7). 86

87 Fig. 3.7 Dacă F 2 = F 1 și suporturile lor sunt diferite, atunci se spune că avem un cuplu de forțe; în acest caz, corpul K se rotește în jurul mijlocului segmentului [AB]. Se cunosc multiple aplicații ale legii pârghiilor, la tot felul de mașini și mecanisme simple. Noțiunile de echilibru și lucru pot părea contradictorii. O forță efectuează lucru doar dacă este aplicată unui punct aflat în mișcare, iar echilibrul sugerează tocmai lipsa mișcării. Deoarece forța musculară a omului este prea limitată, s-au inventat multe dispozitive care ne amplifică forța. Nu se pot uita cuvintele lui Arhimede: Dați-mi un punct de sprijin și voi muta Pământul. Dar pentru a muta Pământul cu 1 m, brațul pârghiei respective trebuia să fie enorm! Niciun mecanism nu poate da vreun câștig de lucru sau energie și ce se câștigă în forță, se pierde în distanță!, conform legii conservării energiei. Așadar, produsul scalar a fost utilizat în mod esențial pentru a defini conceptul de lucru. În continuare, reamintim o utilizare spectaculoasă a produsului vectorial. Definiția 3.2: Momentul unei forțe F=AB în raport cu un punct fixat O este produsul vectorial: M(O)=OA F. (3) 87

88 M(O) este un vector perpendicular atât pe vectorul de poziție r A = OA al punctului de aplicație al forței F, cât și pe vectorul F. Mărimea lui este egală cu OA F sin α = F OO, unde OO AB (fig. 3.8). Fig. 3.8 Sensul vectorului M(O) este dat de regula burghiului sau a mâinii drepte. Dacă A este un alt punct situat pe dreapta suport AB a lui F, atunci M(O)=OA F (deoarece OA = OA + AA și AA F=0). Așadar, F poate aluneca pe suportul ei, fără a modifica momentul în raport cu O. Distanța d = OO de la O la suportul forței se numește brațul forței. Așadar, M (O) = forța brațul. Exemplu Momentul rezultant al unui cuplu F, F (unde F=AB și F = CD ) în raport cu un punct O nu depinde de acel punct; întradevăr, OA F + OC ( F) = (OA OC ) F = CA F și acest produs vectorial nu depinde de O. Dacă mai multe forțe acționează asupra unui corp, atunci suma momentelor lor în raport cu un punct se numește momentul rezultant. Se poate arăta că dacă forțele au suporturile fie concurente în același punct fie paralele, atunci momentul 88

89 rezultant al lor este egal cu momentul rezultantei acelor forțe (teorema lui Varignon). Teorema condițiilor de echilibru Reamintim că un solid rigid se află în echilibru dacă sub acțiunea tuturor forțelor care acționează asupra acelui solid, el nu își modifică poziția față de un reper fix (sau inerțial). O particulă este în echilibru rezultanta R a tuturor forțelor care acționează asupra ei este nulă. Acest fapt este valabil și pentru un solid rigid care ar putea fi doar translatat (nu și rotit) pe o suprafață orizontală sau pe un plan înclinat. Are loc următoarea: TEOREMĂ: Presupunem că toate forțele care acționează asupra unui solid rigid sunt coplanare. Solidul se află în echilibru rezultanta forțelor este nulă și suma momentelor forțelor relativ la un punct este nulă. Aplicând momentele, se poate face un studiu unitar al echilibrului pârghiilor, ca solide rigide (bare) asupra cărora acționează două forțe paralele forța rezistentă R și forța activă F; suma forțelor R, F și a reacției sprijinului este nulă și în plus, barele respective se pot roti în jurul unui punct de sprijin S. În funcție de poziția punctelor de aplicație ale forțelor față de S, avem trei tipuri de pârghii: a. S situat între punctele de aplicație ale forțelor coliniare și cu același sens R și F (fig. 3.9 a)); pentru echilibru, suma momentelor lui F și R în raport cu S este nulă, adică SA F + SB R = 0. Explicitând, regăsim legea lui Arhimede: F b F = R b R (brațul unei forțe este distanța de la punctul de sprijin la suportul forței); similar pentru celelalte două cazuri: 89

90 b. R are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație al lui F, iar R și F au sens contrar (fig. 3.9 b)); c. F are punctul de aplicație între S și punctul de aplicație al lui R și F, R au sens contrar (fig. 3.9 c)). Fig. 3.9 Exemplu Un corp aflat pe un plan înclinat se poate cel mult translata (fig. 3.10). Fig Condiția de echilibru este ca rezultanta forțelor care acționează asupra corpului să fie nulă, adică G+N+Ffr=0, cu notații transparente. Înmulțind scalar cu versorul orizontal u, rezultă 0+N 1 cos(90 + α) + F fr 1 cos α = 0, adică: 90

91 N sin α + kn cos α = 0; regăsim condiția tgα = k (unde k este coeficientul de frecare pe plan). Dacă tgα > k, forța de frecare este înfrântă și corpul alunecă pe plan. Centrul de greutate al unui solid rigid Orice particulă de masă m din această cameră este atrasă spre centrul Pământului cu forța gravitațională G=m g ( greutatea particulei). Orice corp solid K este alcătuit din particule Pi având mase m i (număr imens, dar finit!) și masa corpului este M = i m i, iar greutatea lui este G= i (m i g) = g i m i = Mg; am presupus că g 9,81 m/s 2 este o constantă. Punctul de aplicație al forței G este numit centrul de greutate al corpului K, notat GK. Corpul K este omogen dacă masa lui M este distribuită uniform, în sensul că dacă numărul componentelor Pi este N, atunci m i = M pentru orice i. N Pentru un corp omogen de masă M și volum V, se definește densitatea lui de volum ρ = M V (măsurată în kg/m3 ); în cazul unei bare omogene 1D, se definește densitatea liniară ρ = M l (l=lungimea barei), iar în cazul unei plăci omogene, ρ = M (A=aria plăcii). A Revenim la cazul unui corp solid omogen K având masa M și alcătuit din N particule Pi. Considerând un referențial O și notând r i = OP i, vectorul de poziție al particulei Pi, se poate arăta că vectorul de poziție al centrului de greutate GK este: OG K = 1 m M i ir i = 1 M M i r N i = 1 r N i i. (4) În cazul când corpul omogen K are o axă de simetrie, centrul de greutate GK aparține acelei drepte, iar dacă K are un 91

92 centru de simetrie, atunci GK va fi tocmai acel punct. În studiul echilibrului unui corp solid, este util de calculat momentul forței de greutate în raport cu centrul de greutate. Exemplu Pentru o bară omogenă K, centrul de greutate GK se află la mijlocul barei și pentru o placă omogenă triunghiulară, GK se află în punctul de intersecție a medianelor și în plus, pentru orice referențial O, OG K = 1 (r r 2 + r 3 ), media aritmetică a vectorilor de poziție ai vârfurilor triunghiului. Pentru un corp conic circular drept omogen K, GK este situat pe înălțimea conului, la trei pătrimi de vârf. Fie K un corp solid așezat pe o față plană P ( suprafața de sprijin). Se spune că echilibrul lui K este stabil dacă, după mici intervenții asupra corpului, acesta revine la poziția anterioară. Astfel, o prismă omogenă ca în figura 3.11, pentru care centrul de greutate GK se proiectează în interiorul suprafeței de sprijin hașurate, se află în echilibru stabil. Este și cazul celebrului turn din Pisa. Fig

93 3.3. Mișcarea pe un plan înclinat Studiul planului înclinat oferă o bună ocazie pentru a vedea rolul vectorilor în descrierea unor mișcări uzuale ale obiectelor. Bineînțeles, considerăm un model idealizat al planului înclinat, abstras din observarea diverselor rampe, piste de ski sau bob, drumuri în pantă etc. Definiția 2.3: Planul înclinat este o suprafață plană care formează cu planul orizontal un unghi ascuțit (de măsură α). Ne propunem să studiem mișcarea unei cutii de masă m pe o suprafață plană orizontală. Asupra cutiei acționează greutatea G și forța de reacție a suportului N= G. În cazul când cutia este deplasată (bineînțeles sub acțiunea unei anumite forțe), apare o forță orizontală de frecare Ffr care se opune mișcării, având mărimea kn, unde k este coeficientul de frecare; acesta depinde de suprafață și este determinabil experimental. Dacă însă cutia se deplasează pe un plan înclinat (cu α), atunci G trebuie descompusă în două componente vectoriale, una G 1 în lungul planului și alta G 2 perpendiculară pe plan (fig. 3.12). Fig Așadar, G=G 1 + G 2. Reacția planului înclinat este N= G 2. Mărimile vectorilor considerați sunt: G=mg, G1=Gsin α și G2=Gcos α. 93

94 Notă: Există convenții, uneori subînțelese, alteori omise. Astfel, automobilul, schiorul sau cutia sunt asimilate cu o particulă (sau cu un mobil zero dimensional) și se neglijează rezistența aerului; de asemenea, punctul de aplicație al greutății G este chiar centrul de masă C al cutiei. Alegem un reper ortonormal {C; i, j} xcy, cu axa Cx de versor i îndreptată în lungul planului spre coborâre și Cy cu versorul j pe direcția normală. Totdeauna se recomandă axele legate de sensul mișcării (fig. 3.13). Fig Componentele scalare ale lui G sunt G x = G sin α, G y = G cos α și G = mg. Atunci G=G x i + G y j = mg(sin α i cos α j). În lipsa frecării, forțele care acționează asupra cutiei sunt greutatea G și reacția planului de sprijin N=Nj și rezultanta lor este: R=G+N=mg sin α i + (N mg cos α)j. Dar N = G cos α = mg cos α deci R=mg sin αi. Pe de-altă parte, legea a II-a a dinamicii lui Newton arată că R=ma deci a= 1 R = 1 (mg sin α i) = gi sin α. Ca atare, în m m lipsa frecării sau a tracțiunii în sus, accelerația mișcării are același sens cu versorul i, independent de masă. Mărimea accelerației 94

95 este a=gsin α, strict mai mică decât accelerația gravitațională g (deoarece sin α < 1). Cunoscând accelerația (constantă) a, se determină diverse elemente ale mișcării viteze, durate etc. Reamintim formulele mișcării rectilinii uniform accelerate; cu notații transparente, dacă viteza inițială a cutiei într-o anumită poziție este v 0, atunci viteza la momentul t este v(t) = v 0 + at, iar drumul parcurs până la momentul t este s(t) = v 0 t + at2 2. Notând cu v 1 viteza cutiei întro poziție aflată la distanța d de poziția inițială, rezultă v 1 = v 0 + at, deci t = v 1 v 0 a și d=v 0 v1 v 0 a + 1 a 2 (v 1 v 0 a )2 și după calcule, d = v 1 2 v 2 0. Această relație se poate obține și 2a aplicând teorema variației energiei cinetice (diferența energiilor cinetice este egală cu lucrul efectuat): Exemplu mv mv = Fd = mad. Dacă alunecarea cutiei se produce pe o rampă cu lungimea d=3 m, înclinată cu α = 20 față de orizontală și pornește din vârful rampei cu viteza v 0 = 0, atunci accelerația va fi a=g sin α 9,81 sin 20 3,36 m/s 2 ; viteza finală (la baza rampei) va fi v 1 = 2ad = 2 3,36 3 4,5 m/s. Iar durata mișcării va fi t = v 1 v 0 1,3 s. a Acum să introducem în discuție frecarea, ceea ce revine la a ține cont de încă o forță. Frecarea operează în două regimuri: frecarea statică descrie cât trebuie împins un obiect staționar pentru a-l deplasa; frecarea cinetică apare după ce obiectul se mișcă și se opune mișcării. În cazul planului înclinat, forța de frecare Ffr este coliniară cu componenta G 1 și are mărimea kn 95

96 deci Ffr= kni = kmg cos αi. În acest caz, rezultanta forțelor va fi R+Ffr=mg(sin α k cos α)i și accelerația mișcării va fi a = R = g(sin α k cos α). Efectul frecării este acela că m accelerația mișcării este mai mică și durata mișcării mai mare. 96 Exemple 1) Reluăm exemplul anterior, presupunând k=0,2. Atunci a=9,81(sin 20-0,2 cos 20 ) 1,51 m/s 2 și v 1 = 2ad 3,0 m/s; durata mișcării va fi de circa 2 s. 2) Pe o rampă se află un corp de masă m. Ce forță trebuie să acționeze asupra corpului în următoarele situații: a) corpul să se deplaseze uniform accelerat în sus; b) corpul să fie menținut în repaus; c) corpul să fie deplasat în sus cu accelerația a1; d) corpul să alunece în jos cu accelerația a1? Răspuns a) mg(sin α + k cos α); b) mg(sin α k cos α); c) m[a 1 + g(sin α + k cos α)]; d) m[a 1 g(sin α k cos α)]. 3) Estimăm randamentul unui plan înclinat și considerăm un corp cu greutatea G care trebuie ridicat la înălțimea h. Lucrul util este Lu=Gh; lucrul consumat Lc este lucrul forței de tracțiune pe lungimea l a planului deci Lc=(G sin α + kg cos α) l. Randamentul este numărul adimensional: η = L u L c = h l(sin α+k cos α) = sin α = 1. (sin α+k cos α) 1+k ctgα Întrebare: Cum se determină experimental coeficientul de frecare k? Iată un răspuns: Se așează o cutie paralelipipedică pe o scândură netedă, dar nu unsă! Se ridică încet, la un capăt

97 scândura, până ce bătând ușor în scândură, să se asigure deplasarea uniformă a cutiei. Greutatea cutiei plus reacțiunea sprijinului au valoarea mg sin α, iar valoarea forței de frecare este kmg cos α. Cutia începe să alunece dacă mgsin α kmg cos α deci k tg α. Se consideră măsura minimă a unghiului α când cutia începe să alunece. Atunci k=tgα. uniformă 3.4. Mișcarea curbilinie 2D și mișcarea circulară Reamintim că dacă la fiecare moment t, se notează cu s(t) drumul parcurs pe o axă de un mobil ( particulă) până la momentul t, atunci se definește viteza v(t) ca fiind limita lim h 0 s(t+h) s(t) h, adică derivata s (t). Accelerația particulei la momentul t este v (t) = s (t). Aceste noțiuni se extind la cazul mobilelor constrânse să se miște pe anumite curbe în plan sau în spațiu. Vectori tangenți Arătăm acum virtuțile vectorilor în studiul mișcărilor curbilinii 2D sau 3D. În mod concret, considerăm un mobil ( particulă) situată pe o curbă (C) dintr-un plan raportat la un reper cartezian ortonormal plan {O;e 1, e 2 } xoy; presupunem că la fiecare moment t, dintr-un interval de timp I, mobilul se află în punctul M(x(t), y(t)); (fig. 3.14). 97

98 Fig Vectorul său de poziție este: r(t) OM = x(t)e 1 + y(t)e 2. (5) Curba (C) este presupusă netedă (continuă, având tangentă în fiecare punct și fără autointersecții). Relațiile: x = x(t), y = y(t), pentru orice t I (6) se numesc ecuațiile parametrice ale curbei (C). Eliminând parametrul t, se obține o relație de forma F(x,y)=0, care este ecuația carteziană a curbei (C). Fixăm un moment t 0 I și fie M 0 (C) poziția corespunzătoare a mobilului. Așadar, M 0 (x(t 0 ), y(t 0 )) deci M 0 M = OM OM 0 = r(t) r(t 0 ), conform (5). Pentru t t 0, rezultă: 1 M t t 0 M = 1 (r(t) r(t 0 t t 0 )) = x(t) x(t 0 ) e 0 t t 1 + y(t) y(t 0) e 0 t t 2. 0 Pentru t tinzând spre t0, rezultă că punctul M tinde spre M0, iar dreapta coardă M0M tinde spre tangenta la curba (C) în punctul M0. La limită, rezultă relația între derivate: r (t 0 ) = x (t 0 )e 1 + y (t 0 )e 2. Acest vector este coliniar cu tangenta în punctul M0 la curba (C). El este notat v(t 0 ) și numit totodată vectorul viteză al mobilului M la momentul t0. 98

99 Definiția 3.4: Pentru orice t I, vectorul: v(t) r (t) = x (t)e 1 + y (t)e 2 (7) este vectorul viteză la momentul t. El este tangent în punctul M la curba (C), adică are direcția tangentei la curba (C) în punctul curent M al curbei. Momentele t, când v(t)=0, se numesc de repaus. În cazul unui cerc, tangenta într-un punct al cercului este perpendiculară pe raza respectivă; în cazul unei drepte, tangenta este acea dreaptă, dar la alte curbe, singurul raționament este cel anterior, care apelează la limita coardelor și la derivarea vectorului de poziție pe componente. Curba (C) se mai numește traiectoria mobilului curent. Se studiază și traiectorii spațiale, pe curbe 3D raportate la repere ortonormale Oxyz. Curbele din spațiu sunt fie date parametric, adăugând la relațiile (6) încă o ecuație de tipul z=z(t), fie ca intersecție a două suprafețe (de exemplu, cercuri privite ca intersecții ale unor sfere cu plane sau secțiunile conice elipse, parabole sau hiperbole obținute din intersecția unui con circular drept cu diverse plane). Din nou, dacă o curbă în spațiu este dată parametric, prin r=r(t), atunci derivata r (t) are direcția tangentei la curbă, în punctul corespunzător. Exemplu Fie curba (C): x=2t+3, y=t 2 + t și t 0 = 1. Atunci r(t) = (2t + 3)e 1 + (t 2 + t)e 2, r (t) = 2e 1 + (2t + 1)e 2 și r (t 0 ) = 2e 1 + 3e 2. Eliminând t, se obține ecuația y = ( x 3 2 )2 + x 3 2 = 1 4 (x2 4x + 3) și recunoaștem un trinom de gradul al doilea, deci ecuația unei parabole. Se poate considera mai departe vectorul accelerație la momentul t, anume a(t)=v (t) = r (t). Viteza scalară este 99

100 v(t) = v(t) și accelerația scalară este a(t) = a(t) pentru orice t I. Atenție: în timp ce a(t) = v (t), se poate întâmpla ca a(t) v (t), așa cum arată exemplul următor. Exemplu Presupunem că la orice moment t, un mobil se află în punctul M(t 2 4t, t 2 + 1). Determinăm vectorul viteză, vectorul accelerație, viteza scalară și accelerația scalară la orice moment. Avem r(t)=(t 2 4t)e 1 + (t 2 + 1)e 2 deci v(t) = r (t) = (2t 4)e 1 + 2te 2 și a(t) = v (t) = 2e 1 + 2e 2. Apoi, v(t) = (2t 4) 2 + 4t 2 și a(t) = 2 2. Mișcarea circulară uniformă Fie (C) cercul cu centrul în origine și raza R (R>0). Îi atașăm reperul ortonormal {O;e 1, e 2 } xoy. Presupunem că un mobil este identificat cu punctul curent M(x, y), care satisface condiția OM=R, deci x 2 + y 2 = R. Așadar, ecuația cercului este x 2 + y 2 R 2 = 0. Fie MM Ox și A punctul de intersecție dintre OM și (C); (fig. 3.15). 100 Fig. 3.15

101 Definiția 3.5: Mișcarea mobilului M pe cercul (C) este numită uniformă dacă în intervale de timp egale, mobilul parcurge arce de cerc egale ( congruente). Se notează cu T durata unei singure rotiri complete (numită perioada mișcării) și cu f numărul de rotații pe secundă (f se numește frecvența mișcării sau turația). Așadar, aplicând regula de trei simplă: în T [s] mobilul face 1 rotație, deci în 1 s, va face f= 1 T mobilul face n=t f rotații. rotații. Atunci în timpul t, Mobilul M se deplasează pe cerc cu viteză constantă v și parcurge lungimea 2πR a cercului în T secunde. Atunci: v = 2πR T. (8) Notăm cu ω măsura unghiului la centru al cărui arc este parcurs în 1s. Atunci în t secunde, mobilul parcurge un arc de măsură ωt și lungime Rωt. În T secunde (cât perioada), mobilul parcurge o singură dată întregul cerc deci RωT = 2πR, de unde ω = 2π = 2πf și ca atare, conform (8), T v = Rω. (9) Așadar, dacă arcul AM este parcurs în t secunde, atunci măsura lui este ωt și aceeași măsură (în radiani) o va avea și unghiul AOM. Numărul ω>0 se numește accelerația unghiulară (constantă) a mișcării (presupusă în sens invers acelor de ceasornic). Din triunghiul OMM, rezultă: x(t) = R cos ωt și y(t) = R sin ωt (x 2 + y 2 = R 2 ). Acestea sunt ecuațiile parametrice ale cercului (C). Cercul este parcurs o singură dată pornind din punctul A și revenind tot în A dacă 0 ωt 2π; așadar, parametrul t variază de la 0 la T. Vectorul de poziție al mobilului M va fi: 101

102 r(t) = R cos ωt e 1 + R sin ωt e 2, pentru t [0, T]. Vectorul-viteză este: v(t) = r (t) = Rω sin ωt e 1 + Rω cos ωt e 2 ; mărimea lui, adică v(t), se numește viteza liniară a mobilului. Evident, v(t) = v(t) = R 2 ω 2 sin 2 ωt + R 2 ω 2 cos 2 ωt = Rω și regăsim formula (9). Apoi vectorul accelerație este: a(t) = v(t) = Rω 2 cos ωt e 1 Rω 2 sin ωt e 2, care este egal tocmai cu ω 2 r(t). Accelerația scalară a mobilului este: a(t) = a(t) = ω 2 r(t) = Rω 2 = R ( v R )2 = v2 R. Reținem că vectorii viteză și accelerație sunt variabili (depinzând de t), dar mărimile lor sunt constante (fiind independente de t); anume, v = Rω și a = v2 = R Rω2. (10) Deoarece v(t) = OM și r (t) are direcția tangentei în M la cercul (C), rezultă că r (t) r(t), deci vectorul viteză este perpendicular pe vectorul de poziție, la orice moment t. Apoi a(t) = ω 2 r(t), deci vectorul accelerație este coliniar cu r(t) și este orientat pe rază cu sensul spre centru. Din aceste motive, viteza v(t) =r (t) se mai numește tangențială, iar accelerația a(t) se numește centripetă (radială sau normală); (fig. 3.16). Viteza scalară v=rω se numește liniară (sau periferică). 102

103 Fig Notă: Frecvența f se măsoară în Hz (1 Hz=1 s 1 ); ω se măsoară în rad/s. Notând cu α(t) măsura unghiului la centru AOM, atunci viteza unghiulară este derivata ω(t) = α (t). În cazul mișcării circulare uniforme, avem: Exemplu α(t) = ωt și α (t) = ω, constantă. Presupunem că în mișcarea circulară uniformă pe un cerc de centru O și rază R=2 m, un mobil M se deplasează astfel încât vectorul său de poziție OM se rotește cu unghiul π 2 Determinăm viteza periferică și accelerația. în 3s. Așadar, o rotație completă se face în T=12s deci conform (9), ω = 2π T = π 6. Atunci v=rω = πr 6 1,04 m/s și a=v2 =0,54 R m/s2. Vectorul viteză al unui solid rotitor Rotirea unui solid rigid K în spațiu (de exemplu, un tambur) poate fi descrisă printr-un vector w având direcția axului de rotație și mărimea egală cu viteza unghiulară ω a rotației; sensul va fi precizat mai jos. Fie M K un punct al solidului, aflat la distanța d de ax. Atunci viteza sa liniară v este, conform (9), 103

104 egală cu ωd. Alegem un punct referențial O pe ax. Vectorul de poziție al punctului M este OM =r; figura Notând cu θ unghiul dintre vectorii w și r, rezultă: v = ωd = w d = w r sin θ = w r. Sensul vectorului w este ales astfel încât vectorul viteză v cu punctul de aplicație M să fie egal tocmai cu produsul vectorial w r. Formula: v=w r (11) este utilizată pentru a determina viteza v în orice punct al corpului K. Unii autori numesc w ca fiind vectorul viteză tangențială și îl notează cu ω. Așadar, v=ω r. Fig Notă: În Mecanică se studiază mișcări curbilinii mai complexe și mișcări circulare neuniforme, nu numai ale particulelor dar și ale solidelor sau fluidelor. Scopul nostru declarat a fost acela de a ilustra câteva aplicații în care vectorii sunt indispensabili. Am văzut că ei reprezintă forțe greutatea, frecarea, forțe elastice; am vorbit de componente ale vectorilor și de viteze sau accelerații ale 104

105 diverselor mișcări. În practica uzuală, accelerația este privită ca viteza de variație a vitezei ; astfel, la un automobil avem trei acceleratoare pedala cu care modificăm viteza scalară, frâna (decelerare) ce produce o variație în lungul tangentei la traiectorie și rotirea volanului, care produce o variație radială a direcției automobilului, independentă de viteza scalară. Toate acestea necesită abordări mai subtile, în care rolul vectorilor este amplificat, ajungând la câmpuri de vectori variabili în spațiu și timp. Cu ajutorul acestora, se descriu nu numai fenomene mecanice, dar și fenomene electrice sau magnetice, care constituie o altă fațetă a realității fizice. 105

106 106

107 CAPITOLUL 4: CÂMPURI DE VECTORI ȘI APLICAȚII ÎN ELECTROMAGNETISM În capitolele anterioare, am studiat vectori liberi, considerați în diverse situații. Denumirea de liberi provine de la faptul că punctul de aplicație poate fi oriunde, adică un vector liber are o copie cu punctul de aplicație în orice punct prescris. În acest capitol, vom considera câmpuri de vectori; un câmp de vectori este o familie de vectori legați. De asemenea, ne vom referi la câmpuri scalare care sunt în fond funcții de mai multe variabile (reale) Câmpuri de vectori, linii de câmp Câmp de vectori, câmp scalar Stările principale ale materiei supuse unor acțiuni sau forțe sunt cele de substanță (în cazul acțiunii directe ) și de câmp (pentru acțiuni la distanță ). În substanțe, materia este concentrată, bine localizată și adeseori, la vedere. În cazul câmpurilor, materia este delocalizată, relativ ascunsă organelor de simț, dar capabilă să transmită interacțiuni prin contingență. Definiția 4.1: A defini ( a considera) un câmp de vectori ( câmp vectorial) într-o regiune D din spațiul fizic S revine la a asocia oricărui punct M D un vector având punctul de aplicație în M. Mai precis, un câmp de vectori este o aplicație: v: D V 3, M v(m), (1) 107

108 sau echivalent, o familie de vectori legați {v(m)}, M D, indexată după punctele regiunii D; (fig. 4.1). Fig. 4.1 Dacă spațiul S este raportat la un reper cartezian {O;e 1, e 2, e 3 } de versori e 1, e 2, e 3, atunci punctul curent M(x 1, x 2, x 3 ) din D este bine definit prin vectorul său de poziție OM = x i e i (sumă după i) și: v(m) = v(x 1, x 2, x 3 ) = P k (x 1, x 2, x 3 )e k (2) (sumă după k), unde funcțiile P k, 1 k 3, presupuse continue, se numesc componentele scalare ale câmpului vectorial v. Definiția 4.2: Un câmp scalar în regiunea D este o funcție continuă φ(x 1, x 2, x 3 ), φ D R, prin care fiecărui punct M D i se asociază un scalar φ(m) φ(x 1, x 2, x 3 ). Așadar, un câmp de vectori echivalează (relativ la un reper) cu trei câmpuri scalare. Notă: Ideea de câmp a fost introdusă în secolul al XIX-lea de Faraday și apoi dezvoltată de Maxwell. Acum știm că suntem străbătuți sau înconjurați de diverse câmpuri gravitațional, electromagnetic, termic, al radiației solare etc. În continuare, nu vom mai menționa explicit regiunea D în care acționează câmpurile considerate. 108

109 Cele spuse anterior au loc în plan. Dacă {O; e 1, e 2 } este un reper cartezian 2D într-un plan P, atunci punctul curent M(x 1, x 2 ) are vectorul de poziție rm=x 1 e 1 + x 2 e 2 ; un câmp de vectori este de forma v(m) = P 1 (x 1, x 2 )e 1 + P 2 (x 1, x 2 )e 2. Un câmp scalar este o funcție φ(x 1, x 2 ) cu valori reale. Exemple 1) Se poate considera câmpul vectorilor de poziție r=r(m) OM relativ la un reper plan {O; e 1, e 2 } deci r=x k e k ; fig Același lucru în spațiu, relativ la un reper {O; e 1, e 2, e 3 }. Fig. 4.2 În acest caz, din nou r=x k e k (sumă după k, pentru 1 k 3); (fig. 4.3). Fig ) Funcția definită prin φ(m)=temperatura în M sau ψ(m)=umiditatea în M sunt exemple de câmpuri scalare. 109

110 Dacă φ: D R este un câmp scalar și a o constantă reală, mulțimea {M D φ(m) = a} se numește suprafața de nivel a a câmpului φ. Evident, suprafețele de nivele diferite sunt disjuncte. În cazul câmpului scalar al temperaturilor, suprafețele de nivel sunt izotermele. 3) În figura 4.4 este redat un câmp de vectori normali la o suprafață Σ (deci perpendiculari pe planele tangente corespunzătoare). Fig ) Am văzut că rotirea unui solid rigid K (de exemplu un tambur) poate fi descrisă printr-un vector ω având direcția axului de rotație (fig. 3.17). Conform formulei (11) din 3.4, pentru orice punct M K, vectorul viteză v cu punctul de aplicație în M este: v=ω r (2 ) unde r este vectorul de poziție al lui M relativ la un punct referențial O situat pe ax. În acest mod, se poate considera câmpul vectorilor viteză ai punctelor solidului K (aici D=K). Tot astfel, putem vorbi de câmpul vitezelor moleculelor oricărui fluid (gaz sau lichid). 110

111 Linii de câmp Definiția 4.3: Fie v un câmp de vectori. Se numește linie de câmp al lui v orice curbă γ care este netedă ( având tangentă în fiecare punct și fără autointersecții), care are proprietatea definitorie că pentru orice punct M γ, vectorul v(m) al câmpului, având punctul de aplicație în M, este tangent la γ chiar în M. În figura 4.5 redăm mai multe linii de câmp γ, γ 1, γ 2 ale aceluiași câmp v. Presupunem îndeplinite condițiile matematice de continuitate sau netezime ( derivabilitate), care asigură că prin fiecare punct trece o singură linie de câmp; așadar, orice două linii de câmp distincte nu se intersectează. Fig. 4.5 Liniile de câmp indică orientarea vectorilor câmpului. Ne amintim de experimentul cu pilitura de fier răsfirată pe o masă orizontală și care, la apropierea unui magnet, se regrupează pe niște curbe închise. Reamintim că în lungul unei curbe dată parametric r=r(t), direcția tangentei este cea a derivatei r (t) = dr a vectorului de poziție (conform 3.4). Dacă v=p k e k (conform (2)) este un câmp de vectori, atunci în fiecare punct M al unei linii de câmp, r (M) dt 111

112 este coliniar cu v(m); ca atare, v=p k e k și vectorul deplasare dr=(dx k )e k au componentele scalare proporționale, adică: dx 1 P 1 = dx2 P 2 = dx3 P 3. (3) Aceste relații formează sistemul diferențial al liniilor de câmp. În cazul unui câmp de vectori bidimensional v, având componentele P 1 (x 1, x 2 ) și P 2 (x 1, x 2 ), liniile de câmp sunt curbe situate în planul x 1 Ox 2, în lungul cărora, dx 1 P 1 = dx2 P 2, (4) relație numită ecuația diferențială a liniilor de câmp. Exemple 1) Dacă r este câmpul plan al vectorilor de poziție, atunci r=x 1 e 1 + x 2 e 2 și ecuația (4) devine dx1 = dx2. Prin integrare, x 1 x2 rezultă ln x 1 = ln x 2 + ln C, deci x 1 = Cx 2, cu C constantă arbitrară. Recunoaștem o familie de semidrepte având capătul în origine; în acest caz, D=R 2 \{(0, 0)}. În cazul câmpului vectorilor de poziție din spațiu, sistemul (3) devine dx1 = dx2 = dx3 ; prin integrare, rezultă: x 1 x 2 x3 x 1 = C 1 x 2 și x 2 = C 2 x 3, cu C 1, C 2 constante arbitrare. Recunoaștem din nou o familie de semidrepte în spațiu având capătul în origine, situate în regiunea D=R 3 \{(0, 0, 0)}. 2) Pentru câmpul plan al vectorilor v=x 2 e 1 x 1 e 2, ecuația (4) devine dx1 = dx2 x 2 x 1. Atunci x1 dx 1 + x 2 dx 2 = 0 și prin integrare, (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = C. Recunoaștem o familie de cercuri cu centrul în origine. În figura 4.6, redăm valorile câmpului v cu punctul de aplicație în punctele A(2,1), B(1,2), C(0,1), D ( 1,0) și E( 5,0). 112

113 Evident, v(a)=e 1 2e 2, v(b)=2e 1 e 2, v(c)=e 1, v(d)=e 2, v(e)= 5e 2. Sunt figurate și două linii de câmp: cercurile γ 1 (tangent la vectorii v(a), v(b), și v(e)) și γ 2 (tangent la v(c) și la v(d)). Fig ) Să reluăm exemplul câmpului v=w r al vitezelor punctelor solidului rotitor din figura Alegem reperul cartezian ortonormal Ox 1 x 2 x 3 de versori e 1, e 2, e 3 astfel încât vectorul ω, adică axa de rotație să aibă direcția axei Ox 3, adică ω = ae 3 cu a real nenul. Atunci, v=ω r = ae 3 (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = = ax 1 (e 3 e 1 ) + ax 2 (e 3 e 2 ) = ax 2 e 1 + ax 1 e 2. Liniile de câmp satisfac sistemul diferențial dx 1 ax 2 = dx2 ax 1 = dx3 0. Prin convenție, dacă într-un șir de rapoarte egale, un numitor este nul, atunci și numărătorul corespunzător este nul. Atunci x 1 dx 1 + x 2 dx 2 = 0 și dx 3 = 0 și prin integrare, (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = C 1 și x 3 = C 2. Recunoaștem cercuri cu centrul pe axa de rotație. 113

114 Câmpul gravitațional Să considerăm o particulă atractoare de masă m, plasată într-un punct fix O. Pentru orice particulă de masă m, plasată într-un punct M S\{O}, fie r=om vectorul de poziție al lui M și r = r =distanța OM. Atunci 1 r este versorul lui r (fig. 4.7). r Fig. 4.7 Forța F de atracție exercitată de O asupra particulei din M are mărimea F = γ G mm r 2 (γ G fiind constanta gravitațională). Notând γ G mm = a, rezultă F= a r2; așadar, forța de atracție va fi: F(M)= F vers(r)= a r, cu a>0 constant. (5) r3 Definiția 4.4: Câmpul de vectori {F(M)}, definit în S\{O}, este numit câmpul gravitațional newtonian creat de perechea atractoare (O, m), în regiunea S\{O}. Dacă se consideră un reper 3D cartezian {O;e 1, e 2, e 3 } Ox 1 x 2 x 3, atunci r=x k e k (sumă după k), r = (x x x 2 3 ) 1 2 și F(x 1, x 2, x 3 ) = ax1 e 1 + ax 2 e 2 + ax 3 e 3 (x x x 32 ) 3 2. Liniile de câmp ale câmpului gravitațional satisfac sistemul diferențial dx1 = dx2 = dx3 x 1 x 2 x3 ca și liniile de câmp ale câmpului vectorilor de poziție; deci sunt semidrepte cu capătul în punctul atractor O. 114

115 Câmpul scalar: U= a = a r (x 2 1 +x 2 2 +x 3 2) (6) 1 2 este numit potențialul scalar newtonian al câmpului gravitațional al perechii (O, m). Un set finit de N particule (O k, m k ), 1 k N, determină câmpul gravitațional: N F= ( a k k=1 r r k ), unde r k = O k M, r k = r k și a k > 0 k sunt constante. Potențialul scalar corespunzător este U= N a k k=1. r k Notă: Orice corp fizic este atractor și creează un câmp gravitațional, având un potențial scalar. În cazul setului de N particule, ca și al corpurilor, acțiunea poate fi echivalentă cu cea a unui centru de masă (C,m), unde m=suma maselor componentelor. Nu intrăm în detalii. Reamintim doar că greutatea G a unui corp K de pe Pământ este forța cu care Pământul, considerat concentrat în centrul său de masă, atrage acel corp. Avem G= G = γ G m m P R 2 unde m=masa corpului K, mp=masa Pământului și R=raza Pământului. Notăm g=γ G mp R 2. Deoarece γ G 6, Nm 4 /kg 2 (constanta gravitațională fiind una din constantele fundamentale ale Fizicii), m P kg și R 6, m, rezultă g 9,81 m/s 2 deci G=mg. Vectorial, G=mg, cu G orientat spre centrul Pământului. 115

116 4.2. Câmpul electrostatic 116 Legea lui Coulomb Am văzut în Capitolul 3 utilitatea vectorilor în probleme de mecanică. Vectorii sunt un instrument esențial și în abordarea bazelor Electromagnetismului. Noțiunea de sarcină electrică este una primară; sarcinile electrice sunt pozitive sau negative și își păsrează această calitate atunci când sunt deplasate sau transferate de la un corp la altul. Reamintim legea lui Coulomb relativ la forța de interacțiune dintre sarcinile electrice : Dacă q și q sunt două sarcini electrice punctuale aflate la distanța r, atunci între ele există o forță de atracție sau respingere F qq = ε qq r 2, (7) unde ε este o constantă multiplicativă. Ca vector, forța F qq, numită coulombiană, are suportul pe dreapta care unește sarcinile. Sarcinile electrice se măsoară în Coulombi (C). Prin convenție, două sarcini identice, situate la distanța de 1 m, au mărimea de 1C dacă forța lor coulombiană are mărimea de 1N. Constanta fizică ε are, în vid, valoarea ±8, [m 2 N/C 2 ]. Semnul + (respectiv ) este folosit dacă sarcinile sunt de semn contrar (respectiv de același semn). Atenție! Spre deosebire de forțele gravitaționale newtoniene care sunt doar atractive, forțele coulombiene pot fi și de respingere. Notă: Atomii, moleculele și corpurile fizice sunt neutre electric. Însă electronii sunt purtători de sarcini negative, iar

117 protonii purtători de sarcini pozitive. Sarcina elementară este e 1, C (constantă fizică fundamentală, alături de viteza luminii, constanta gravitațională γ G, numărul lui Avogadro, masa electronului etc.). Sarcina unui electron este e și cea a unui proton este +e. Nu intrăm în detalii. Câmpul electrostatic Fie q o sarcină electrică punctuală; vom nota tot cu q punctul unde este plasată. Pentru orice punct M S {q}, fie r=qm și r = qm =distanța dintre locul sarcinii q și M (fig. 4.8). este: Fig. 4.8 Definiția 4.5: Câmpul electrostatic generat de sarcina q E q = {E q (M)}; M S {q}, unde E q (M) = ε q r3 r. (8) Dacă q este o sarcină +, atunci E q (M) este coliniar și are același sens cu r; dacă q este, atunci E q (M) = ε q r 3 r are sens contrar lui r: fig Fig

118 Vectorii câmpului electrostatic creat de o sarcină electrică pozitivă q arată ca în figura 4.10 a), iar liniile sale de câmp sunt semidrepte care ies din acea sarcină. În cazul când q este o sarcină negativă, situația este redată în figura 4.10 b), iar liniile de câmp sunt semidrepte care intră în sarcina q. Fig Se spune că liniile de câmp ies din sarcinile + și intră în sarcinile. Mai multe sarcini electrice separate produc un câmp electric, așa cum mase punctuale separate produc un câmp gravitațional. Vom vedea ulterior că și câmpurile magnetice variabile produc câmpuri electrice. Exemple 1) Să considerăm două sarcini q 1, q 2 pozitive și cu aceeași mărime în C. Câmpul electrostatic asociat acestei perechi este E=E1+E2; pentru orice punct M, E(M)=E1(M)+E2(M), conform regulei paralelogramului (fig. 4.11). 118

119 Fig ) Conform (8), un proton generează la distanța de 1 cm, în vid, câmpul E=8,99 1, r (14, N/C)r; în aceleași condiții, un electron, generează câmpul ( 14, N/C)r, în sensul că dacă electronul se află într-un punct A, atunci vectorul câmpului electrostatic generat într-un punct M este ( 14, )AM. 3) O sarcină pozitivă q1=+2c este plasată în punctul A( 1, 0) și una negativă q2= 1C este plasată în punctul B(2, 1). Ne propunem să determinăm vectorul câmpului E creat de cele două sarcini având punctul de aplicație în M(3, 0); fig Conform (8), 2 E1(M)=ε AM = ε 2 4i = ε i și AM E2(M)= ε BM 1 = ε (i j) deci BM E(M)=E1(M)+E2(M) ε( 0,22i + 0,35j). 119

120 Fig Proprietățile câmpului electrostatic Am văzut în 3.1 că un câmp de forțe F efectuează lucrul elementar dl=f dr (produs scalar) și că lucrul mecanic în lungul unui arc de curbă unind două puncte A și B este: L AB = AB F dr. Fie q o sarcină electrică pozitivă și F=Eq=ε q r, câmpul r3 electrostatic generat de q. Forța asupra unei sarcini q este q Eq și lucrul elementar al acestei forțe este dl=ε qq r dr. r 3 Dar r r=r 2 și diferențiind, rezultă r dr=rdr, deci dl=ε qq r rezultă: L AB = dr rdr = εqq 3 2. Atunci notând rm=distanța de la q la M, AB r εqq dr = εqq ( 1 ) B r 2 r A = εqq ( 1 r A 1 r B ); (fig. 4.13). 120 Fig. 4.13

121 Definiția 4.6: Expresia V M = εq 1 r M se numește potențialul electrostatic al sarcinii q în punctul M. Funcția V: S {q} R, M V M este un câmp scalar. Sintetizăm câteva proprietăți: 1) Lucrul câmpului electrostatic pe orice arc de curbă, unind punctele A, B, este: L AB = q (V A V B ), independent de arc. (9) Anume, LAB depinde numai de capetele arcului. 2) În cazul când curba este închisă (A B), atunci lucrul câmpului electrostatic este nul (căci ra=rb). 3) Dacă B, atunci r B și V B 0, deci conform (9), potențialul sarcinii q în punctul A este egal cu lucrul sarcinii q deplasate de la A la infinit, împărțit cu q. 4) Dacă există mai multe sarcini electrice q1, q2,..., fiecare determină câte un câmp electrostatic și câte un potențial, care se însumează. Notă: Cele spuse anterior se refac pentru o sarcină negativă q și V A ar fi lucrul sarcinii deplasate de la infinit la punctul A. Potențialul V A nu poate fi măsurat (căci nu putem ajunge de la infinit sau merge spre infinit!). Dar diferențele de potențial pot fi măsurate. Definiția 4.7: Diferența de potențial V A V B se numește tensiunea creată de sarcina q între punctele A și B. Mărimea vectorului câmpului electrostatic Eq este E q = εq r 2 și se măsoară în [m2 N/C 2 ] [C/m 2 ]=[N/C]. Apoi, lucrul forței coulumbiene F se măsoară în Nm și potențialul electrostatic al sarcinii q se măsoară în [m 2 N/C 2 ] [C/m]=[Nm/C]. Dar 1 Nm=1 J. Așadar, potențialul electrostatic al unei sarcini 121

122 electrice se măsoară în [J/C]. Deoarece 1 J/C=1 V (volt), diferențele de potențial electrostatic se măsoară în volți. Curentul electric este mișcarea ordonată ( fluxul) de sarcini electrice libere care circulă printr-un conductor (de exemplu, un cablu de sârmă). În metale, purtătorii de sarcini electrice sunt electronii. Circulația curentului electric este similară cu căderea gravitațională a unei ape de la o înălțime, iar diferența de potențial este similară cu diferența dintre nivelurile apei. Dacă nu există diferență de potențial electric la capetele unui conductor, nu există curent electric! Curentul continuu (numit și constant sau direct) este cel în care același număr de sarcini electrice, fără schimbare de sens, trec în aceleași intervale de timp, prin secțiunea transversală a conductorului. Dacă N este numărul de purtători de sarcini electrice (electroni liberi), ce trec printr-un conductor metalic în timpul Δt, atunci intensitatea medie a curentului este I = Ne ; I se măsoară în amperi (1 A=1 C/s). Pentru o singură sarcină electrică q avem q=it. Dar scopul nostru nu este un curs de Electricitate, ci doar o ocazie să arătăm rostul vectorilor și câmpurilor de vectori. Δt 4.3. Câmpul magnetic Linii magnetice Nu vom discuta despre fascinanții magneți permanenți cu doi poli N/S (care nu există separat), nici despre busolă sau despre experimentele lui Oersted, cel care a observat că în 122

123 apropierea unui conductor electric, că acul busolei este deviat de la poziția N S. Faraday a făcut primul mare pas, arătând că dacă un curent trece printr-un conductor electric (cu intensitatea I), ca în figura 4.14, dispus pe axa Oz, atunci în jurul conductorului se află linii magnetice circulare închise; sensul de deplasare a curentului spre z crescător este dat de regula burghiului rotit de la Ox la Oy. Altfel spus, dacă punem degetul mare al mâinii drepte în lungul unui conductor electric în sensul vectorului intensitate I și apoi ne îndoim degetele ca și când am apuca acel conductor, câmpul magnetic are direcția degetelor răsucite! În acest mod, Faraday a explicat și experimentul lui Oersted. Fig Definiția 4.7: Câmpul magnetic este un câmp de vectori, care asociază fiecărui punct M din vecinătatea unui magnet permanent (sau a unui conductor cu sarcini electrice în mișcare, sau al unei bobine solenoid), un vector B(M) tangent în M la linia magnetică trecând prin acel punct. Mărimea B(M) = B(M) se numește inducția magnetică în M. 123

124 Așadar, un curent electric generează un câmp magnetic; Faraday a arătat că și invers, un câmp magnetic aflat în mișcare, produce un curent electric, descoperind fenomenul de inducție magnetică și deschizând astfel era motoarelor electrice și a Electromagnetismului. După anul 1850, Maxwell a stabilit legătura matematică subtilă dintre câmpurile electric și magnetic, pe care o vom prezenta la sfârșitul acestui Capitol. Un mic electromagnet se poate construi înfășurând o sârmă metalică în jurul unui miez de fier și conectând capetele sârmei la bornele unei baterii ca în figura Fig Electromagneții sunt bobine având un miez de fier interior; ei au diverse forme și mărimi și pot susține, prin atracția magnetică, încărcături suspendate, fiind folosiți la transport de mari lingouri, containere cu materiale, dar și la telefoane, motoare electrice, relee etc. Spre deosebire de liniile de câmp ale câmpului electrostatic, care ies din sarcinile electrice + și intră în sarcinile, liniile de câmp ale câmpului magnetic ( linii magnetice) sunt curbe închise în jurul conductorului electric care le-a produs. Ca și în cazul sarcinilor electrice fixe care 124

125 generează câmpul electrostatic, curenții electrici staționari (pentru care fluxul de sarcini electrice este constant) produc un câmp magnetostatic. Legea lui Lorentz Considerăm un magnet în formă de U și un conductor rectiliniu AB de lungime relativ mică l, așezat între polii magnetului, ca în figura Fig Aplicând o tensiune de curent continuu la capetele conductorului, cu intensitatea I direcționată în sensul curentului, Ampère a arătat că există o forță F, numită forță magnetică, acționând asupra conductorului. Această forță este exprimată prin produsul vectorial F=lI B, (10) unde B este câmpul magnetic și I un vector în sensul conductorului AB, cu mărimea cât intensitatea curentului electric. De fapt, F este un câmp de vectori, pentru că acționează într-o întreagă regiune. Dacă q este o sarcină electrică deplasată cu viteza purtătorilor de sarcini v printr-un conductor rectiliniu de lungime l și dacă în câmpul magnetic creat avem B I, atunci conform 125

126 (10), rezultă că F=lIB. Notând cu t durata parcurgerii conductorului, de către curentul electric, atunci l = vt deci F = vbit = vbq (deoarece q=it). Așadar, conform (10), rezultă F=(vt)I B=t(Iv) B=(It)v B. Am dedus astfel legea lui Lorentz: TEOREMĂ: Forța magnetică FB produsă de un câmp magnetic B acționând asupra unei sarcini electrice q, care se deplasează cu viteza v printr-un conductor rectiliniu, este: F B = qv B. (11) Mărimea ei este F B = qvb sin θ, unde θ = măs(v, B). Definiția 4.8: Inducția magnetică B= B se măsoară în tesla (T). Conform (10), 1 T=1 N/Am este inducția magnetică ce realizează forța de 1 N asupra unui conductor de lungime 1 m, prin care trece un curent de 1 A, perpendicular pe liniile magnetice ale lui B. Notă: Conform legii lui Coulomb și relației (8), forța indusă de câmpul electrostatic Eq asupra unei alte sarcini q este q E q. Există unele similitudini, dar și diferențe între forțele magnetice și cele electrice; subliniem câteva din acestea: - ambele sunt proporționale cu mărimea sarcinii q; - ambele sunt direct proporționale cu mărimea câmpurilor E q și B; - sarcinile de semn opus induc forțe de sens opus; - viteza de deplasare a sarcinii apare doar în cazul magnetic, unde forța depinde de măsura unghiului dintre vectorul viteză v și vectorul câmpului magnetic B. Toate aceste afirmații sunt deduse din interpretarea produsului vectorial din relația (11). Adăugăm că, dacă vectorii v 126

127 și B sunt coliniari, atunci F B este nulă; apoi forța F B are mărimea maximă dacă θ = 90. Considerăm planul determinat de vectorii v și B presupuși necoliniari. Forța magnetică F B este perpendiculară pe acest plan (figura 4.17). Câmpurile magnetice pot produce accelerații radiale, dar nu și tangențiale, unor particule încărcate ( sarcini electrice); ca atare, ele pot modifica direcția, dar nu și viteza particulelor. Fig Notă: O convenție comună în Fizică și Inginerie este cea care amintește de săgeata vânătorului. Privită din față, vezi vârful săgeții și din spate, se vede crucea. Cu această convenție, notația B înseamnă că vectorul B intră în pagină, iar B înseamnă că vectorul B iese din pagină. Convențiile sunt folosite în figura 4.17, în cazul sarcinii q pozitive sau negative. Dacă q este o particulă încărcată pozitiv și aceasta se rotește în lungul liniilor magnetice (pe cercuri sau spirale), în sensul indicat în figura 4.18, iar B, atunci forța magnetică F B are orientarea indicată. Așadar, o particulă parcurge cercuri închise, reluate indefinit, în sensul acelor de ceasornic, împinsă de forța magnetică. 127

128 Fig În cazul unei particule încărcate negativ, același vector inducție magnetică B inversează sensul mișcării pe cerc. Mișcarea particulei are loc pe spirală în dacă v nu este perpendicular pe B. Iată acum și o aplicație a produselor scalare. Flux magnetic Definiția 4.9: Fluxul câmpului magnetic B printr-o placă plană de arie A este scalarul Φ = (B n)a, (12) unde n este versorul normalei la plan de aceeași parte cu B (figura 4.19). Fig

129 Notând α=măs(b, n), avem Φ = BA cos α. Fluxul se măsoară în weberi [wb]; 1 wb=1tm 2 este fluxul printr-o placă de arie 1m 2, străbătută normal de un câmp magnetic cu mărime 1T. Exemplu: Dacă A=10 cm 2, B=2 T și α = 60, atunci Φ = cos(60 ) = 10 3 wb. Pentru a varia fluxul, trebuie modificate B, A, α. Dacă se translatează placa, fluxul nu se modifică. Dar în cazul când câmpul B nu este constant sau dacă placa se rotește, atunci Φ variază. S-a constatat experimental că prin variația fluxului magnetic, se generează o forță electromotoare E i și un curent electric, numit curent de inducție. În plus, Faraday a arătat că forța E i este proporțională cu viteza de variație în timp a fluxului, adică E i = Φ (t). Semnul este explicat prin legea Joule Lenz, conform căreia curentul electric de inducție generează un câmp care se opune cauzei care l-a produs. Această afirmație susține următorul principiu al lui Le Chatelier: Dacă asupra unui sistem fizico chimic, social economic etc., aflat în echilibru, se aplică o constrângere, atunci sistemul se opune acelei constrângeri. Ne oprim aici cu aplicațiile vectorilor în Electromagnetism Operații diferențiale asupra câmpurilor de vectori Pentru a descrie mărimile variabile și vitezele lor de variație, în raport cu timpul sau cu poziția, sunt necesare derivatele, în diferite ipostaze derivate pe anumite direcții, derivate parțiale (pe direcțiile axelor), gradienți etc. În liceu, s-au învățat derivatele funcțiilor de o variabilă reală, proprietățile lor 129

130 legate de viteze, accelerații, curburi etc., ca și rolul lor în trasarea graficelor. Aici vom sublinia doar câteva aspecte conceptuale. Fixăm un reper cartezian ortonormal 3D, {O;e 1, e 2, e 3 } Ox 1 x 2 x 3. Gradientul unui câmp scalar Definiția 4.10: Dacă φ(x 1, x 2, x 3 ) este o funcție netedă într-o regiune D R 3 și cu valori reale, atunci pentru orice punct a D, gradientul lui φ în a este vectorul liber: grad a φ = φ x 1 (a)e 1 + φ x 2 (a)e 2 + φ x 3 (a)e 3 = φ x k (a)e k. (13) Câmpul de gradienți în D va fi grad φ = φ x k e k. Exemple 1) Dacă φ(x 1, x 2, x 3 ) = 5x 1 + x2 x 3 ( pentru x3 0), atunci grad φ = 5e e x 3 2 x2 e (x 3 ) ) Dacă r este vectorul de poziție al unui punct curent M(x 1, x 2, x 3 ), atunci r=x k e k, r = ((x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 ) 1 2. r xk xk = r Avem și grad r = 1 r (xk e k ) = r. Iar dacă r c=(c 1, c 2, c 3 ) este un vector constant și φ = c r = c k x k, φ x k = c k deci grad (c r)=c. Notă: Nu are sens gradientul unui câmp de vectori. Aparent, grad a φ depinde de reper, dar nu este așa; acest vector are un caracter absolut, anume el depinde numai de φ și a. De asemenea, pentru o funcție de două variabile reale φ(x 1, x 2 ), se definește, în analogie cu formula (13), grad φ = φ x 1 e 1 + φ x 2 e

131 este dφ ds Proprietăți ale gradientului 1) Dacă φ = a, constant, atunci grad a=0. 2) Dacă φ, ψ sunt două câmpuri scalare, atunci: grad(φ + ψ) = gradφ + gradψ, grad(φψ) = φ grad ψ + ψ grad φ. 3) grad u(φ) = u (φ)grad φ. Exemplu: grad(r 2 ) = 2r r = 2r și r grad(1) = 1 r = 1 r. r r 2 r r 3 4) Derivata după o direcție (de fapt după un versor s) (a) = lim t 0 φ(a+ts) φ(a) t ; în punctul curent, dφ = s grad φ. ds Exemplu: Fie φ și a fixate; dintre toate direcțiile, cea pentru care dφ (a) este maximă (sau minimă) este ±s, unde s este ds versorul vectorului grad a φ. Ca nostimadă, dacă T reprezintă temperatura dintr-o regiune, s-a constatat experimental (!?) că o muscă aflată într-un punct a zboară în direcția unde va fi mai cald și acea direcție este tocmai grad a T. 5) Fixăm φ și a și considerăm suprafața Σ de nivel a câmpului scalar φ care trece prin a, având ecuația φ(x 1, x 2, x 3 ) = φ(a). Punctul a se numește singular dacă grad a φ = 0. Dacă a este nesingular, atunci suprafața Σ are plan tangent în punctul a și normala la Σ în a are direcția vectorului grad a φ (figura 4.20). 131

132 Fig Divergența și rotorul unui câmp de vectori Divergența unui câmp vectorial descrie tendința creării unor surse emitente sau absorbante. De exemplu, în cazul câmpului vectorilor viteză ai unor particule de fluid, punctele unde divergența este strict pozitivă (respectiv negativă) sunt izvoare (respectiv puțuri) locale. Similar, rotorul unui câmp descrie tendința de a crea vârtejuri locale. Divergența și rotorul au fost introduse în Fizică și Matematică de Maxwell. Fie v(x 1, x 2, x 3 ) P k (x 1, x 2, x 3 )e k un câmp de vectori în D, unde componentele scalare sunt continue și au derivate parțiale continue în D. este scalarul: Definiția 4.11: Dacă a D, atunci divergența lui v în a div a v = P 1 (a) + P 2 (a) + P 3 x 1 x 2 x3 (a) (14) și rotorul lui v în a este vectorul e 1 e 2 e 3 rot a v = = x 1 x 2 x 3 P 1 P 2 P 3 132

133 = ( P 3 x 2 P 2 x 3) e 1 + ( P 1 x 3 P 3 x 1) e 2 + ( P 2 x 1 P 1 x 2) e 3, (15) cu derivatele parțiale calculate în punctul a. În punctul curent, div v= P 1 + P 2 x 1 rot v, omițând punctul a. + P 3 x 2 x 3 și similar pentru Atenție! grad φ este un câmp de vectori (numit câmp de gradienți); div v este un câmp scalar, iar rot v este un câmp de vectori. Definiția 4.12: Un câmp de vectori v se numește solenoidal ( fără surse) dacă div a v = 0 în orice punct a. Dacă rot a v = 0 pentru orice a, se spune că v este un câmp irotațional ( fără vârtejuri). Exemple 1) Pentru cazul vectorilor de poziție în spațiu, aplicând direct (14) și (15), rezultă div r=3 și rot r=0. 2) Fie v=4x 1 e 1 + 2(x 2 ) 2 e 2 3(x 3 ) 2 e 3. Atunci div v=4+4x 2 6x 3 și: e 1 e 2 e 3 rot v= x 1 x 2 x 3 = 0. 4x 1 2(x 2 ) 2 3(x 3 ) 2 Proprietăți ale divergenței și rotorului Cu notații transparente, avem: 1) Dacă c este un câmp constant de vectori, atunci div c=0, rot c=0; 2) div(v+w)=div v+div w, rot(v+w)=rot v+rot w; 3) Dacă c este un vector constant și r vectorul de poziție, atunci div r=3, rot r=0, div(c r)=0 și rot(c r)=2c. 133

134 134 4) Dacă φ este un câmp scalar și v un câmp de vectori, atunci div(φv)=φ div v+v grad φ și rot(φv)=φ rotv v grad φ. Demonstrația rezultă din definiția 4.11, prin calcul de derivate. Exemple 1) Considerăm câmpul gravitațional newtonian creat de perechea atractoare (O, m), definit în relația (5). Așadar, F= a r, cu a > 0 constantă. r3 Atunci, notând φ = a r3, avem grad φ=3a r r 4 F=φr. Așadar: = 3a r r 5 r deci divf=φdivr+r gradφ = 3φ +r ( 3a r 5 r) 3 a r 3 + 3a r 3 0 și rot F=φ rot r r grad φ=0 r ( 3a 3a r) = (r r) r Așadar, câmpul F este atât solenoidal, cât și irotațional în regiunea D = S {O}. 2) Am definit în relația (6) potențialul scalar U= a r. Avem grad U= a r = a r =F. Așadar, câmpul gravitațional este r 2 r r3 un câmp de gradienți (F=gradU). 3) Câmpul electrostatic generat de o sarcină q a fost definit în relația (8): E q = ε q r3 r; iar potențialul electrostatic corespunzător este V=εq 1. Așadar, div E r q 0, rot E q 0 (același calcul ca mai sus) și în plus, E q = grad V. Deci, câmpul electrostatic generat de o sarcină electrică este de asemenea solenoidal, irotațional și un câmp de gradienți. 3) Am văzut că în cadrul rotirii unui tambur în jurul unui ax, se pune în evidență câmpul vectorilor viteză ai punctelor acelui tambur; anume v=ω r, unde ω este vectorul viteză tangențială și r vectorul de poziție. r

135 Atunci div v=0 și rot v=2 ω. Vectorul viteză tangențială măsoară tendința de rotire a punctelor tamburului, iar câmpul vitezelor nu are surse. Notă: Pentru un câmp de vectori plan v=p 1 (x 1, x 2 )e 1 + P 2 (x 1, x 2 )e 2, se definesc div v= P 1 x 1 + P 2 x 2 și rot v=( P 2 x 1 P 1 x 2) e 3. De exemplu, pentru vectorul de poziție, div r=2 și rot v=0. Pseudo-operatorul nabla Gradientul, divergența și rotorul se mai numesc operatori diferențiali de ordinul întâi în Teoria câmpului. O tratare unitară a lor se realizează folosind forme diferențiale, dar nu dorim această abordare. O altă posibilitate de prezentare unitară este apelarea la un pseudo-operator cu caracter vectorial = e 1 + e x e x 2 3 x3, numit nabla ; prin folosirea unor convenții, el permite obținerea de formule corecte și unele simplificări de scriere. Astfel, φ ( multiplicarea lui cu câmpul scalar φ) este interpretat ca grad φ; produsul scalar v reprezintă div v, iar produsul vectorial v este rot v. Pseudooperatorul este liniar în toate cele trei ipostaze. Apoi, precum derivata clasică a unui produs, (uv) = u v + vu, aplicat unui produs are ca rezultat o sumă de două produse, în care acționează câte o singură dată, păstrând ordinea și regulile de algebră vectorială (cu condiția ca toate entitățile cărora li se aplică să fie scrise la dreapta lui). În plus, derivata dφ după un versor s se exprimă de asemenea cu nabla : dφ ds = s φ = (s )φ. ds 135

136 Exemple 1) Dacă c este un vector constant, atunci c=0 și c=0. 2) Apoi, div(φv)= (φv)= (φ v) + (φ v ) = =v φ + φ( v) = v gradφ + φrot v; rot(φv) = (φ v) + (φ v )= = v φ + φ v = v gradφ + φrot v; 3) div(v w) = (v w)+ (v w )=w ( v) v ( w) = w rot v v rot w. Săgeata verticală indică factorul căruia i se aplică. În fine, menționăm iterarea lui : div(rot v) = ( v) 0; div(grad φ) = div ( φ x k e k) = = k x k ( φ x k) = 2 φ + 2 φ ( x 1 ) φ ( x 2 ) 2 ( x 3 ) 2 φ, care se mai numește laplacianul lui φ. Funcțiile φ asfel încât Φ 0 se numesc armonice. În fine, rot(grad φ) = ( φ) 0. Așadar, orice câmp de gradienți este irotațional și orice câmp de rotori (de tip rot v) este solenoidal. Se poate arăta că și invers, orice câmp irotațional este un câmp de gradienți (dacă regiunea D nu are găuri ). Operații diferențiale în coordonate curbilinii Am prezentat în 1.4 coordonatele polare în plan și coordonatele sferice și cilindrice în spațiu (fig. 1.25). În cazul coordonatelor sferice, am explicitat triedrul mobil ortonormal {M;u r, u θ, u φ } cu originea în orice punct M din spațiu având coordonatele r, θ, φ; fig

137 Fig În cazul coordonatelor cilindrice ρ, φ, z, triedrul mobil este {M; u ρ, u φ, u z }; fig Fig Astfel de repere sunt utilizate în unele probleme specifice, exploatând unele simetrii; astfel, pentru a descrie mișcarea în lungul unor curbe de longitudine constantă pe o sferă (în direcția versorului e θ ) se recomandă coordonate sferice, iar în studiul câmpului magnetic în jurul unui conductor electric cilindric, ca în cazul antenelor, se recomandă coordonate cilindrice. Exemple 1) Exprimăm vectorul de poziție r în coordonate sferice și apoi în coordonate cilindrice: 137

138 Evident, r=r u r ; apoi r=ρu ρ + zu z. 2) Același lucru pentru vectorul v=a r, unde a este un vector constant. Alegem axele astfel încât a să fie orientat pe axa Ox 3 deci a=au z. Scriem a=a 1 u r + a 2 u θ + a 3 u φ deci: a 1 = a u r = = a 1 cos θ = a cos θ, a 2 = a u θ = a 1 cos( π 2 + θ) = = a sin θ și a 3 = a u φ = 0. Atunci a=a cos θ u r a sin θ u θ. Deci v=(a cos θ u r a sin θ u θ ) ru r = a sin θ u r u θ = ar sin θ u φ. În fine, în coordonate cilindrice, v=au z (ρu ρ + zu z ) = aρu z u ρ = aρu φ. Mai general, considerăm un reper cartezian ortonormal {O; e 1, e 2, e 3 } Ox 1 x 2 x 3 și coordonate curbilinii în spațiu u 1, u 2, u 3 (de exemplu, sferice sau cilindice). Utilizarea indicilor etaj sau subsol ține de convențiile de covarianță care vor fi stabilite ulterior. Orice punct M are două rânduri de coordonate și vectorul său de poziție este r OM = x k e k (sumă după k). Se presupune că există relații de forma x i = x i (u 1, u 2, u 3 ); 1 i 3, inversabile și cu funcții continue având derivate parțiale continue. Notăm g i = r, 1 i 3. Reamintim că derivatele parțiale sunt ui derivate în raport cu una din variabile, considerând constante pe celelalte. De aceea, fiecare vector g i este tangent în punctul curent la curbele u j = C, constant (pentru j i). Vectorii g i formează o bază mobilă care variază cu u 1, u 2, u 3. Definiția 4.12: Notăm u i =versorul lui g i și L i = g i, 1 i 3. Așadar, g 1 = L 1 u 1, g 2 = L 2 u 2, g 3 = L 3 u 3 și în 138

139 acest mod, avem reperul mobil R = {M; u 1, u 2, u 3 }. Scalarii L 1, L 2, L 3 se numesc parametrii Lamé ai sistemului de coordonate {u 1, u 2, u 3 }. Aceste coordonate curbilinii se numesc ortogonale, dacă produsele scalare satisfac relațiile u i u j = δ ij, 1 i, j 3. Atunci reperul R mobil este ortonormal. Exemple 1)Pentru coordonate carteziene ortonormale, {O;i,j,k} Oxyz, r = x i + y j + z k, avem: g 1 = r x = i, g 2 = r y = j, g 3 = r z = k, L 1 = 1, L 2 = 1, L 3 = 1. Acest sistem de coordonate este evident ortogonal. 2) În cazul coordonatelor sferice, vectorul de poziție este dat de formula (19) din 1.4 și am explicitat versorii u 1 = e r, u 2 = e θ și u 3 = e φ (fig.4.21); coeficienții Lamé sunt L 1 = 1, L 2 =r și L 3 = r sin θ. În cazul coordonatelor cilindrice, vectorul de poziție a fost indicat în formula (20) din 1.4; în plus, u 1 = e ρ, u 2 = e φ și u 3 = e z (fig. 4.22). Coeficienții Lamé sunt L 1 = 1, L 2 = ρ și L 3 = 1. Ambele sisteme de coordonate sunt ortogonale. În continuare, indicăm expresia gradientului, divergenței, rotorului și laplacianului în coordonate curbilinii ortogonale; ele se pot explicita, în coordonate sferice și cilindrice. Nu dăm detalii. - Dacă Φ(u 1, u 2, u 3 ) este un câmp scalar, atunci: Φ = 1 L 1 Φ u 1 u L 2 Φ u 2 u L 3 Φ u 3 u 3. - Dacă v=p 1 u 1 + P 2 u 2 + P 3 u 3, atunci v = 1 L 1 L 2 L 3 [ u 1 (P 1L 2 L 3 ) + u 2 (P 2L 3 L 1 ) + u 3 (P 3L 1 L 2 )] și 139

140 - Laplacianul: Φ = 1 L 1 L 2 L 3 [ L 1 u 1 L 2 u 2 L 3 u 3 v = 1. L 1 L 2 L 3 u 1 u 2 u 3 L 1 P 1 L 2 P 2 L 3 P 3 u 1 (L 2L 3 Φ L 1 u 1) + u 2 (L 3L 1 Φ L 2 u 2) + u 3 (L 1L 2 Φ L 3 u 3)]. În cazul coordonatelor carteziene, regăsim formulele (13), (14), (15) și Φ(x, y, z) = 2 Φ x Φ y Φ z 2; ( 1 Φ )]; φ sin θ φ în coordonate sferice, Φ(r, θ, φ) = 1 [ r 2 sin θ r (r2 sin θ Φ ) + Φ (sin θ ) + r θ θ în coordonate cilindrice, Φ = 1 [ Φ (ρ ) + ρ ρ ρ φ (1 Φ ) + Φ (ρ )]; ρ φ z z în fine, în coordonate polare în plan, Φ(ρ, θ) = 2 Φ + 1 Φ Φ ρ 2 ρ ρ ρ 2 θ 2. Ecuațiile lui Maxwell Am văzut că sarcinile electrice mobile induc un câmp magnetic B (legea lui Lorentz, din 4.3), după cum variația în timp a câmpului magnetic induce un câmp electric E. Vectorii E și B sunt perpendiculari. Definiția 4.13: A defini un câmp electromagnetic într-o regiune D din spațiu revine la a asocia fiecărui punct M D și la orice moment t, o pereche de câmpuri variabile de vectori E(M,t) și B(M, t) (pe scurt, (E,B)), formată dintr-un câmp electric și un câmp magnetic, perpendiculare unul pe altul în fiecare punct, legate inseparabil între ele, oscilând și generându-se reciproc. 140

141 Hertz a descoperit circuitul oscilant L C care îi poartă numele, generând primul exemplu de câmp electromagnetic și confirmând profeția lui Maxwell. Există acum și alte modalități de generare de astfel de câmpuri. Liniile de câmp ale câmpului electromagnetic apar ca împletituri de curbe γ E, γ B precum inelele unui lanț, care trec prin fiecare punct din regiunea D (fig. 4.23). Fig Undele electromagnetice sunt purtătoare ale câmpului electromagnetic, cu viteze v astfel încât E=B v, cu mărimi comparabile cu viteza luminii ( v c). Folosind, formulăm cele 4 ecuații celebre ale câmpului electromagnetic, care sunt atribuite lui Maxwell, deși parțial, ele fuseseră descoperite anterior de Faraday și Gauss. Maxwell le-a dat forma actuală, folosind operatorii diferențiali. Se notează cu ρ densitatea de sarcină electrică volumică (în C/m 3 ) și cu ε 0 =permitivitatea în vid (o constantă egală cu 8, Nm 2 /C 2 ). Apoi J este vectorul densitate de curent electric și μ 0 =permeabilitatea magnetică exprimând gradul de magnetizare în vid (numită de asemenea constanta magnetică și având valoarea μ 0 = 4π 10 7 N/A 2 ); avem ε 0 μ 0 = 1 c

142 142 M1. E = ρ (legea lui Gauss a câmpului electric); ε 0 M2. B = 0 (legea lui Gauss a câmpului magnetic); M3. E = B t (legea lui Faraday); M4. B = μ 0 J + 1 E (legea lui Maxwell). c 2 t Vom relua aceste ecuații în Capitolul 7 în legătură cu tensorul electromagnetic. Ecuația M1 arată că în punctele unde ρ > 0 (respectiv ρ < 0), liniile de câmp ale câmpului electric E diverg (respectiv converg), în analogie cu sursele (respectiv puțurile) curgerii unor fluide. Ecuația M2 exprimă imposibilitatea izolării unei sarcini magnetice (imposibilitatea existenței unui monopol magnetic) și faptul că liniile câmpului magnetic sunt curbe închise în jurul conductorilor electrici. Ecuația M3 arată că variația în timp a câmpului magnetic generează un câmp electric nenul, iar M4 arată că variația în timp a câmpului electric generează un câmp magnetic chiar dacă J=0. În încheierea acestui capitol, dăm câteva consecințe ale ecuațiilor M1 M4. 1) Conform M4, aplicând div, rezultă: 0=μ 0 J + 1 c 2 ( E t ) deci J + 1 c 2 μ 0 t ( E) și conform M1, J + ρ = 0 (ecuația de continuitate). t 2) Presupunem că J 0, ρ 0; se spune atunci că spațiul este liber de sarcini. Conform M1 și M2, câmpurile E și B sunt solenoidale și E = B t și B = 1 c 2 E t.

143 Notăm M=E B și φ = 1 2 (B2 + 1 c 2 E2 ). Atunci: M = (E B) = B ( E) E ( B) = = B ( B ) E ( 1 E ) = 1 t c 2 t 2 Așadar, are loc relația t (B2 + 1 c 2 E2 ) = φ M + φ t = 0, numită ecuația de continuitate a lui Poynting în spațiul liber. 3) Dacă B este constant în timp, atunci B 0 și conform M3, E este un câmp irotațional, deci un câmp de gradienți: E = Φ. Înlocuind în ecuația M1, rezultă ( Φ) = ρ ε 0, deci Φ = ρ ε 0. Aceasta este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul doi, de tip Poisson. Dacă în plus, ρ 0 atunci Φ = 0 (ecuație de tip Laplace), iar Φ este o funcție armonică (numită potențialul câmpului electric). 4) Presupunem că J 0 și ρ =constant. Aplicând rotorul în M4, se obține ( B) = ( 1 c 2 E t ) = 1 c 2 ( E ) = 1 cf.m3 1 B ( E) = ( ) = 1 2 B t c 2 t c 2 t t c 2 t 2. În mod similar, cf.m3 ( E) = ( B t ) = cf.m4 ( B) = t = 1 c 2 t ( E t ) = 1 c 2 2 E t 2. Pe de altă parte, are loc identitatea ( v) = ( v) v deci cf.m2 ( B) = ( B) B = B și t t. 143

144 cf.m1 ( E) = ( E) E = E. Ca atare, B = 1 2 B c 2 t 2 și E = 1 2 E c 2 t 2. Deci câmpurile de vectori B și E sunt soluții ale aceleeași ecuații vectoriale cu derivate parțiale de ordinul II: u 1 2 u c 2 t 2 = 0 (numită ecuația propagării undelor). O soluție particulară a acestei ecuații pentru proiecția vectorului u pe axa Ox este de forma u x = A sin 2π λ λ este lungimea de undă; într-adevăr, 2 u x x 2 2 u x t 2 = A 4π2 λ 2 = A 4π2 λ 2 sin 2π λ (x ct), 2 u x y 2 c2 sin 2π λ (x ct) deci = 0, 2 u x z 2 (x ct), unde = 0 și u x 1 c 2 2 u x t 2 0. Studiul ecuației propagării undelor electromagnetice este adâncit în Electrodinamică. 144

145 CAPITOLUL 5: TENSORI, EXEMPLE ȘI OPERAȚII Printr-o convenție tacită, obiectele materiale sunt privite ca puncte ( centre de masă) atribuite maselor lor. Pentru a descrie mișcarea unui obiect M, care nu își modifică în timp structura, se consideră un referențial fix O, împreună cu vectorul de poziție OM având o singură direcție. Dar dacă obiectul urmărit își modifică structura, este necesară considerarea simultană a mai multor direcții. Acesta este cazul unui corp aflat într-un fluid unde apar vârtejuri locale, cazul mersului pe o sârmă sau al unui corp ceresc cu traiectorie curbată în jurul unei mase mari. Dar și cel al unui cristal străbătut de un câmp electric. Așa cum vectorii permit studiul unor mărimi, numite vectoriale (de tipul forțelor, vitezelor, accelerațiilor etc.), care se referă la o singură direcție, tot astfel tensorii sunt utilizați în probleme care necesită două sau trei direcții. Se spune că nu poți trece printr-o incintă dacă nu cunoști tensorul presiunilor și nu poți echilibra roțile unui automobil fără să apelezi la tensorul de inerție. Fără a mai vorbi de Teoria elasticității, Mecanica fluidelor, Teoria relativității generale și Cosmologie. Vom considera cu precădere tensori 3D în spațiul fizic S, raportat la diverse repere. Am văzut că relativ la un reper fixat, vectorii sunt descriși prin componentele lor triplete de scalari sau numere reale; tensorii 2D sau 3D sunt utilizați în probleme care necesită două (respectiv trei) direcții și au 9 (respectiv 27) componente scalare. Dar vectorii și tensorii, în esența lor, nu depind de vreun reper,ei având un caracter absolut. 145

146 Tensorii au fost descoperiți de italienii Levi Civita și Ricci spre sfârșitul secolului al XIX lea, aceștia creând Calculul tensorial, odată cu studiul matricelor și al funcțiilor de mai multe variabile reale Mărimi cu caracter tensorial În acest capitol și următoarele, vom nota V=V3. Exemple preliminare 1) Pentru orice forță F și orice vector deplasare d, se poate considera lucrul L=F d (produs scalar) și în acest mod, este definită o aplicație: L: V V R, L(F, d) = F d. Această aplicație este biliniară (adică liniară în fiecare argument) și vom vedea că aceasta definește un tensor. 2) Considerăm un tambur rotitor K în jurul unei axe și exprimăm momentul lui cinetic. Fixăm un punct referențial O pe axă și admitem că tamburul constă din N particule materiale având masele m k și vectorii de poziție r k (1 k N). Notăm cu ω vectorul viteză unghiulară al lui K; (fig. 5.1). Fig

147 Fiecare particulă are momentul cinetic ( unghiular) L k = r k (m k v k ), cu viteza v k = ω r k, 1 k N (conform formulei (11) din 3.4). Momentul cinetic total al lui K este L= N k=1 L k. Acesta depinde de distribuția maselor m k și de viteza unghiulară. Asocierea ω L este un operator liniar: I: V V, care este tocmai tensorul de inerție asociat corpului K. 3) Presupunem un solid rigid asupra căruia acționează o forță de compresie sau răsucire; făcând o secțiune plană Σ în acel solid, el se desface în două părți. Datorită forțelor interne, cele două părți se deplasează, una în raport cu cealaltă, cu o forță F care este proporțională cu aria A a secțiunii și perpendiculară pe planul secțiunii (fig. 5.2). Fig. 5.2 Considerăm vectorul A=An, unde n este versorul normalei la planul Σ. La nivel infinitezimal (adică pentru o secțiune mică ), asocierea A F definește un alt operator liniar T: V V, care reprezintă tensorul tensiunilor în solidul considerat. Vectori și covectori Definiția 5.1: Orice aplicație liniară φ: V R se numește funcțională liniară pe V și se notează cu V* mulțimea 147

148 funcționalelor liniare pe V. Definind suma φ + ψ și multiplicarea cu scalarul λ în mod uzual, mulțimea V* este un spațiu vectorial real, numit dualul lui V. Așa cum elementele lui V se numesc vectori, funcționalele liniare pe V se mai numesc covectori; covectorul nul din V* este funcționala φ: V R care asociază oricărui vector v V, scalarul φ(v) = 0. Pentru orice bază B = {g 1, g 2, g 3 } a lui V, se definește ( asociază) un set de trei covectori ai lui V *; anume, se consideră funcționalele liniare g i V R (cu i indice etaj) astfel încât g i i (g j ) = δ j pentru 1 i, j 3. (1) LEMĂ: Covectorii g i, 1 i 3, formează o bază a lui V*. Demonstrație: Într-adevăr, dacă α i g i = 0 (sumă după i), atunci pentru orice j, (α i g i )(g j ) = 0, deci 0=α i g i (g j ) = α i δ i j = α j. Așadar, covectorii g i sunt liniar independenți. Apoi, pentru orice covector a V*, avem a=a i g i, unde a i = a(g i ), 1 i 3. (2) Într-adevăr, este suficient să arătăm că această relație are loc pe vectorii bazei B: (a i g i )(g j ) = a i g i (g j ) = a i δ i j = a j = a(g j ). Relația (2) arată că g i generează spațiul dual V*. Definiția 5.2: Baza {g 1, g 2, g 3 } de covectori a lui V* se numește baza duală a lui B = {g 1, g 2, g 3 } și se notează cu B d. Așadar, dim V*=dim V=3. Notă: Există o anumită similitudine (și atât) între baza duală B d (a lui V*) și baza reciprocă B r (a lui V3). 148

149 Dacă a V* este un covector, el se reprezintă unic sub forma a=a i g i (sumă după i); numerele reale a 1, a 2, a 3 formează setul de componente scalare ale covectorului a. Este important să stabilim modul cum se modifică, la o schimbare de bază, componentele scalare ale vectorilor sau covectorilor. Presupunem că în V3 se consideră două baze B = {g 1, g 2, g 3 } și B = {g 1, g 2, g 3} (legate de repere carteziene diferite în spațiu). Atunci există scalari t j i 1 i, j 3 au loc relațiile: astfel încât pentru g j = t j i g i (sumă după i) și, invers, g j = u j k g k (sumă după k) (3) Notă: Se observă corespondențele de tip între indicii etaj și subsol. Se consideră că acest tip de corespondență a indicilor este cea standard (sau covariantă). Cealaltă posibilitate se numește contravariantă. Reamintim că matricea T=(t j i ) pătratică de ordin 3, este inversabilă cu U = T 1 = (u j i ) și au loc relațiile: B, B și anume: t k i u j k = δ j i, u k i t j k = δ j i pentru orice i,j. (4) Orice vector v V are două reprezentări relativ la bazele v=v i g i și v=v j g j. (5) Folosind relațiile (3), rezultă v=v j g j = v j t j i g i deci v i = t j i v j ; înmulțind aici cu u i k, rezultă: Așadar, cf.(4) u k i v i = (u k i t i j )v j = δ k v j j = v k. v i = t j i v j și v k = u i k v i, pentru orice i, k. (6) 149

150 (Relația secundă se poate obține și direct prin inversarea bazelor B și B ). Se observă aici corespondența de tip / între indicii etaj și subsol, numită contravariantă (căci contravine standardului fixat). Notă: Ca un fapt esențial, reținem că dacă se măsoară componentele scalare ale unui vector relativ la o bază, atunci se pot determina ( deduce) prin calcul, fără alte măsurători, componentele scalare ale aceluiași vector relativ la altă bază, fiind suficient de știut matricea de trecere T (sau inversa ei U). Aceasta este semnificația formulelor (6). Stabilim acum modul cum se modifică, la o schimbare a bazei, componentele scalare ale covectorilor. Fie B = {g 1, g 2, g 2 }, B = {g 1, g 2, g 3} două baze ale lui V și B d = {g 1, g 2, g 3 }, B d = {g 1, g 2, g 3} bazele duale respective (pentru V*). Fie a V* un covector oarecare; a j = a(g j ) și a k = a(g k). Conform (3), avem a j = a(g j )=a(u k j g k) = u k j a(g k) = u k j a k. Așadar, setul (a 1, a 2, a 3 ) al componentelor scalare ale covectorului a relativ la baza B se modifică după regula: a i = u k i a k, de unde a i = t k i a k, pentru 1 i 3, (7) unde (a 1, a 2, a 3) este setul componentelor scalare ale aceluiași covector a relativ la baza duală B d. Se observă că pentru covectori are loc regula, pentru corespondența indicilor etaj și subsol, diferită de regula (6) de tipul / din cazul vectorilor v=(v 1, v 2, v 3 ). 150

151 Operatori liniari Reamintim că un operator liniar al spațiului V=V3 este orice aplicație liniară h: V V (definiția 2.8 din 2.2). Dacă B = {g 1, g 2, g 2 } și B = {g 1, g 2, g 3} sunt două baze ale lui V, atunci se pot considera următoarele trei matrice pătratice din M3(R): - matricea M h B = (h j i ) a lui h relativ la B; - matricea M h B =(h ji ) a lui h relativ la B ; - matricea de trecere T = (t j i ) de la B la B și inversa ei, U = (u j i ) asigurând trecerea de la B la B. Conform definiției 2.8 din 2.3 și relațiilor (3), au loc următoarele relații, pentru orice 1 j 3: h(g j ) = h j i g i ; h(g j) = h ji g i ; g j = t j i g j și g j = u j k g k. (8) Fie v V oarecare și w=h(v) imaginea lui v prin cf.(8) operatorul h. Așadar, w=h(v j g j ) = v j h(g j ) = v j h k j g k. Comparând cu relația w=w k g k, rezultă că w k = h j k v j pentru orice k [Aceasta este tocmai scrierea pe componente a relației cf.(6) w=h(v)]. În mod similar, w k = h jk v j = h jk u j q v q. Ca atare, conform (6), w p = t k p w k = t k p h jk v j = t k p h jk u q j v q ; pe de-altă parte, w p = h q p v q și, în concluzie, rezultă următoarea relație între elementele matricei operatorului h între cele două baze: h q p = t k p u q j h jk (deoarece v a fost ales arbitrar!). Schimbând notarea indicilor de sumare, rezultă relația h i j = t i p u q j h q p (sumă după p și q) și invers, 151

152 h ji = u i p t q j h p q, (9) ultima relație rezultând și prin intervertirea bazelor B, B. Notă: Notând cu X (respectiv X ) matricea coloană a componentelor scalare ale vectorului v relativ la baza B (respectiv B ), faptul că w=h(v) revine la relațiile Y=HX și respectiv Y = H X, unde H=M B B h și H = M h și Y (respectiv Y ), reprezintă matricea coloană a componentelor lui w=h(v) relativ la B (respectiv B ). Deoarece X = TX, Y = TY și U = T 1, rezultă Y = H X = H UX, deci Y = TY = TH UX, adică HX = TH UX; cum X este arbitrar, rezultă H = TH U și invers, H = UHT. Aceasta este scrierea matriceală a relațiilor (9). Reținem că H = T 1 HT; în general, două matrice pătratice A, B M 3 (R) se numesc asemenea, dacă există o matrice nesingulară T M 3 (R), astfel încât B=T 1 AT. Așadar, matricele H și H ale aceluiași operator relativ la baze distincte sunt asemenea. Problema reducerii matricei pătratice H (sau echivalent, a operatorului h) revine la a determina o matrice nesingulară T, astfel încât matricea T 1 HT să aibă o formă cât mai simplă (diagonală sau Jordan etc.). Această problemă este un punct central al Algebrei liniare, care se rezolvă apelând la vectori și valori proprii, dar ne oprim aici Definiția tensorilor 3D liberi și exemple Reamintim că prin scalari se înțeleg numerele reale, dar și mărimile fizice, chimice, economice etc. asociate cu diverse unități de măsură, care nu depind de vreo poziție sau direcție în spațiu. Scalarii sunt independenți de reper. 152

153 Ca și până acum, fie V=V3. Multe noțiuni pot fi extinse la cazul vectorilor și tensorilor din R n, cu n 2. Definiția generală 5.3: Prin convenție, scalarii se consideră tensori de ordin 0 (zero). Fie n 1 și r, s 0 numere întregi astfel încât r+s=n. Se numește tensor liber 3D de ordin n și tip r+s orice aplicație multiliniară (adică liniară în fiecare argument) r ori T: V... V s ori V V R. (10) Această definiție trebuie aplicată și transformată în instrument de lucru. Se observă că tensorii liberi, ca și vectorii liberi (nu câmpurile), sunt obiecte matematice absolute, în sensul că nu sunt relative la vreun reper 3D. În practica utilizării tensorilor în probleme concrete, este esențială reprezentarea lor prin seturi sau masive de numere reale, numite componente. În acest sens, explicităm definiția anterioară (10), începând cu valorile mici ale ordinului n. Fixăm o bază B = {g 1, g 2, g 2 } a lui V și fie B = {g 1, g 2, g 3} baza duală (a lui V*). Tensori de ordin 1 și tip 1+0 Conform definiției (10) aceștia sunt aplicații liniare: T:V* R. Stabilim mai întâi următoarea: LEMĂ: Există un izomorfism liniar canonic I: V V. Demonstrație: Se subînțelege că V** este spațiul vectorial al aplicațiilor liniare T:V* R. Fiecărui vector v V îi asociem aplicația l v V R, definită prin l v (φ) = φ(v). Așadar, I(v)=l v. Este evident că 153

154 aplicația I este liniară. Termenul canonic este legat de faptul că definiția aplicației I nu folosește vreun reper extern. Arătăm că I este injectivă; într-adevăr, dacă I(v)=0, atunci l v = 0 adică φ(v)=0 pentru orice φ V*. Dacă v=α i g i (scriere în baza B), atunci luând φ = g j, rezultă g j (α i g i ) = 0, adică α i g j (g i ) = 0, deci α i δ j i = 0. Ca atare toți α j = 0 și v=0. În fine, arătăm că I este surjectivă: fixăm T V** și fie v j = T(g j ), 1 j 3. Luând v=v i g i, rezultă: l v (g j ) = g j (v) = g j (v i g i ) = v i g j (g i ) = v i δ j i = v j. Așadar, aplicațiile liniare T și l v coincid pe toți vectorii v j ai bazei B d, deci T=l v. Conform acestei leme, tensorul T:V* R de tip 1+0 se identifică cu acel unic vector v V, astfel încât T=l v ; am văzut că v=v i g i, unde v i = T(g i ); 1 i 3. Invers, orice vector v V, v = v i g i, reprezentat prin componentele scalare contravariante v i (cu indice etaj), este identificat cu un tensor 1+0 și se mai numește vector contravariant. Dacă B = {g 1, g 2, g 3} este o altă bază a lui V3, am văzut că între componentele scalare (v i ) și (v i ) ale aceluiași vector v V3, au loc relațiile (6). Reținem că a considera un tensor 1+0, adică un vector contravariant v V3, este echivalent cu a considera setul componentelor (v 1, v 2, v 3 ) cu indici etaj relativ la o bază B, împreună cu relațiile (6) de legătură cu componentele aceluiași vector relativ la orice altă bază B. Notă: Trebuie făcută distincția între tensori și seturile de componente scalare ale lor. Înainte de dezvoltarea Algebrei 154

155 liniare, tensorii 1+0 erau definiți direct prin seturile de numere de tip (v i ), ceea ce conducea la confuzii de limbaj. Tensori de ordinul 1 și tip 0+1 Conform definiției (10), aceștia sunt aplicații liniare T:V R. Notăm v i = T(g i ); 1 i 3 și fie v = v i g i. Aplicația T se identifică prin setul de numere (v i ), al componentelor scalare covariante ale vectorului v=v i g i. Dacă B = {g 1, g 2, g 3} este o altă bază a lui V3, atunci între componentele scalare (v i ) și (v i) ale aceluiași vector v V3 au loc relațiile (7). Tensorii de tip 0+1 sunt exact covectori (conform definiției 5.1); ei se mai numesc vectori covarianți. De fapt, este vorba de componentele covariante ale vectorilor. Reținem că a considera ( a defini sau a da) un tensor 0+1 revine la a defini un set de trei numere reale de tipul (v 1, v 2, v 3 ) cu indici subsol relativ la o bază B, împreună cu relațiile (7) care arată cum se determină componentele aceluiași tensor relativ la orice altă bază B a lui V3. Tensori de ordinul 2 Tensorii de ordin 2 au 3 2 =9 componente scalare și corespund la două direcții. Componentele lor formează matrice pătratice de ordin 3. Există trei posibilități: tensori de tip 2+0 (dublu contravarianți), tensori micști de tipul 1+1 (o dată covariant și o dată contravariant) și tensori 0+2 (dublu covarianți). 155

156 Un tensor dublu contravariant este, conform (10), o aplicație biliniară T:V* V* R. (11) Componentele lui scalare, relativ la baza B, sunt: T ij = T(g i, g j ); 1 i, j 3. Reamintim că o aplicație biliniară h: R 3 R 3 R asociază oricărei perechi x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) un număr real de forma h(x, y) = a ij x i y j (sumă după i, j). Fie v, w V* doi covectori oarecare. Atunci avem scrieri v = v i g i, w=w j g j, deci T(v, w)=t(v i g i, w j g j )=v i w j T(g i, g j )= =T ij v i w j. În mod similar, relativ la baza B avem T(v,w)= T ij v iw j unde T ij = T(g i, g j). Conform (7), avem v i = t k i v k și w j = t p j w p, deci T(v,w)=T ij t k i v k t p j w p. Așadar, T ij v i w j = T ij t k i t p j v k w p și înlocuind indicii de sumare i și j cu k, respectiv p, în membrul stâng și ținând cont că v, w erau arbitrari, rezultă relațiile T kp = t k i t p j T ij (sumă după i, j). (12) Raționând similar, sau intervertind bazele, rezultă T ij = u i k u j p T kp (sumă după k, p) (12 ) Așadar, a considera ( a defini, a da) un tensor dublu contravariant revine la a avea un masiv de numere (T ij ), formând o matrice pătratică 3 3, care la o schimbare de bază B B se modifică după regulile (12) și (12 ). Un tensor dublu covariant (de tip 0+2) este o aplicație biliniară T: V V R. 156

157 Relativ la baza B, el are componentele T ij = T(g i, g j ), 1 i, j 3. Dacă v, w V sunt doi vectori oarecare, v= v i g i, w=w j g j și, raționând ca mai sus, la o schimbare de bază B B, au loc relații de forma T ij = u i p u j q T pq și T pq = t p i t q j T ij. (13) În fine, pentru un tensor mixt de tip 1+1, adică o aplicație biliniară, T: V V R, componentele scalare relativ la baza B sunt T j i = T(g j, g i ) și la o schimbare de bază ca mai sus, au loc relațiile T i j = t i p t q j T q p și T q p = u i p t q j T i j. (14) Există încă un tensor mixt de tip 1+1, anume T: V V R, dar nu mai dăm detalii. Notă: Se poate observa că s-a păstrat peste tot convenția privind corespondența indicilor de contravarianță sau covarianță, de sumare, pe direcțiile / sau. Vom considera ulterior tensori de ordin 3, 4 sau mai general. Prin convenție, un tensor de tip r+s este numit de r ori contravariant și de s ori covariant. Definiția generală 5.3 poate fi reformulată astfel: Definiția 5.3 : Un tensor de ordin n=r+s în spațiul R 3 este un masiv de 3 n i numere reale T 1 i r j1 j s, astfel încât, la o schimbare a bazei B B, să fie satisfăcute relațiile următoare: i T 1 i r i j1 j s = t 1 i p1 t r q pr u 1 q j1 u s p 1 p r js T q1 q s (15) și invers,; există n=r+s indici de sumare (muți) p 1,, p r, q 1,, q s, iar indicii de contravarianță i 1 i r și cei de covarianță j 1 j s își păstrează locurile (cu menținerea regulilor 157

158 de corespondență / sau între indicii de sumare). Reamintim că t j i (sau u j i ) sunt elemente corespunzătoare ale matricei de trecere de la o bază la alta. Suma din formula (15) este o sumă multiplă, cu indicii de sumare variind de la 1 la 3. Exemple de tensori 1) Fie v=(v i ) un vector contravariant și a=(a i ) un covector ( vector covariant), 1 i 3, relativ la aceeași bază B. Se definește coprodusul scalar a, v = a i v i (sumă după i). (16) Arătăm că acesta este un scalar ( tensor de ordin 0), adică este independent de reper. Într-adevăr, dacă B este o altă bază, atunci cu notații transparente, conform relațiilor (6) și (7), avem: cf.(7) a, v = a j v j = (u i j a i)(t j k v k ) = (u i j t j k )(a iv k ) = δ k i a iv k = a iv i = a, v. Atenție: v, a nu are sens! Deci coprodusul scalar este o operație diferită de PS. 2) Aplicația F: V V R, (a, v) a, v este evident biliniară; anume, dacă a=a i g i și v = v j g j, atunci a, v = a i v i = (a i v j )δ j i = (a i v j )(g i (g j )) = (a i g i )(v j g j ) = = a(v) și F este liniară în ambele argumente. Așadar, F este un tensor mixt. 3) Tensorul lui Kronecker este K=(δ j i ), indicând astfel componentele lui relativ la o bază B. Acesta este un tensor mixt, deoarece trecând la o altă bază B, avem δ i j = t i p u q j δ q p δ j i = t p i u j p ); așadar, se verifică relația (14). (căci 158

159 4) Cel mai important tensor, având multiple aplicații, așa cum vom vedea, este tensorul metric, definit prin produsul scalar și notat g; anume el este tensorul dublu covariant g:v V R, (v, w) v w. În mod explicit, relativ la o bază B = {g 1, g 2, g 2 } a lui V=V3, scriind v=v i g i, w = w j g j, rezultă: g(v,w)=v w=(v i g i ) (w j g j ) = (v i w j )(g i g j ). Notând g ij = g i g j (produse scalare uzuale în V3), rezultă că g(v,w)=g ij v i w j (sumă după i, j), ceea ce confirmă faptul că aplicația g este biliniară. Matricea pătratică (g ij ) ; 1 i, j 3 este evident simetrică. Tensorul metric este evident independent de reper, deoarece are o definiție fizică intrinsecă produsul mărimilor vectorilor prin cosinusul unghiului dintre ei. 5) Am văzut că orice operator liniar h: V V are o matrice pătratică (h i j ) relativ la orice bază B și că la orice schimbare de bază B B au loc relațiile (9); comparând cu relațiile (14), constatăm că este definit un tensor mixt de tip ) Reluând exemplele date în 5.1, se observă că lucrul unei forțe determină un tensor dublu covariant (0+2), iar tensorul de inerție și tensorul tensiunilor sunt micști, de tipul 1+1. Fără a intra în detalii, indicăm câțiva tensori semnificativi: tensorii de deformare și de tensiune în Mecanica mediilor continue, tensorul lui Faraday Maxwell în Electromagnetism, tensorul dielectric, tensorul de difuzie în medii biologice (celule, țesuturi etc.), tensorul vederii computerizate, tensorul de curbură. Câteva aplicații vor fi mai adâncite în Capitolul

160 Notă: Conform definiției 5.3, tensorii sunt obiecte matematice, anume aplicații multiliniare, independente de vreun reper; în același timp, ei apar în descrierea unor situații fizice. Pentru a opera cu tensori, este utilă considerarea unor repere convenabile și a raporta acei tensori la reperele respective, apelând la masivele ( matricele) componentelor scalare. Nu orice masiv de date (seturi 1D, matrice pătratice 2D sau matrice cubice 3D etc.) reprezintă componentele unui tensor, ci numai cele care la o schimbare de reper ( bază), respectă reguli de tipul (12) (15). Mulți autori identifică tensorii cu masivele sau seturile componentelor lor, ceea ce poate fi lucrativ, dar necesită precauții de limbaj. În cazul R n, vectorii (din V) și respectiv covectorii (din V*) sunt reprezentați prin seturile de câte n componente scalare, cu indici etaj, respectiv indici subsol. Pentru tensorii de ordin 1 componentele sunt legate de o singură direcție. În reprezentarea unor aplicații biliniare, numărul componentelor este n 2 și tensorii respectivi se referă la două direcții. Un tensor de ordin 3 are n 3 componente scalare formând o matrice cubică și se referă la informații simultan pe trei direcții. Numărul de indici și pozițiile lor determină regulile de transformare a componentelor la o schimbare a bazei. Tensorii considerați aici sunt liberi, în sensul că nu variază punct cu punct într-un domeniu, în analogie cu cazul vectorilor liberi. În Capitolul următor vom studia câmpuri de tensori, legați de punctul de aplicație, de repere mobile și de coordonate curbilinii. 160

161 Spinori La trecerea de la un reper ortonormal la altul printr-o rotație, se modifică desigur componentele oricărui tensor și această transformare nu depinde de drumul reperului în spațiul reperelor ; există însă drumuri continue în acest spațiu care nu se pot deforma continuu unul la celălalt din cauza orientării reperului. Din acest motiv, se atașează fiecărui reper un invariant discret, având doar două valori, +1 și 1, care precizează comportarea; acest invariant se numește spin. Un spinor este un obiect fizico matematic, care se comportă ca un tensor rotit, cu precizarea semnului determinat de spin Operații cu tensori 1. Multiplicarea cu scalari, sumă Dacă T este un tensor de tip r+s și α este un scalar, atunci multiplicatul αt este un tensor de același tip; în particular, T este opusul lui T. Dacă X, Y sunt doi tensori de același tip (r, s), atunci suma X+Yeste un tensor de același tip (cu suma pe componente). Nu se pot aduna tensori de tipuri diferite. Tensorul nul are toate componentele nule, indiferent de bază. Desigur, X Y=X+( Y). 2. Produsul tensorial Fie X un tensor de tip r+s și Y un tensor de tip p+q. Definim un nou tensor, notat Z=X Y, numit produsul tensorial al tensorilor X, Y având componentele (relativ la o bază B): i Z 1 i r+p i j1 j s+q = X 1 i r i r+1 i r+p j1 j Yjs+1 s j s+q. 161

162 Tensorul Z are tipul (r+p, s+q), ordinul n=r+p+s+q și 3 n componente scalare. Z i j = X i Y j. Atenție: X Y Y X. Exemple 1) Fie X=(X i ) și Y=(Y j ). Atunci X Y = (Z i j ), unde 2) Fie X=(X i ), Y = (Y k j ). Atunci X Y = (Z k ij ), unde Z k ij = X i Y k j (27 de componente). 3) Dacă X=(X i n j ) și Y = (Y p i n q ), atunci X Y = (Z p j q ), i n unde Z p j q = X i n j Y p q. Așadar, X are ordinul 2 și Y are ordinul 3, iar X Y are ordinul 5 (deci 3 5 componente). Faptul că se obțin tensori valabili se verifică arătând modul cum se respectă regulile de schimbare a bzei. Ca exemplificare, reluăm exemplul 1). Așadar, la o schimbare B B, avem X i = u i p X p și Y j = t k j Y k (conform (11) și (12)) deci X i Y j = u i p t k j X py k, adică Z i j = t k j u i p Z p k și recunoaștem regula (14) a unui tensor mixt. Notă: Este importantă notarea indicilor pentru a evita repetările de indici, acolo unde nu este cazul. Indicele repetat implică automat aplicarea convenției lui Einstein. 3. Contracția tensorilor Reținem că prin considerarea unui produs tensorial, crește numărul de indici (deci ordinul) tensorilor factori. Operația de contracție diminuează numărul de indici. Anume, se egalează un indice etaj cu unul subsol și se face suma componentelor după indicele repetat. Nu se face contracția a doi indici etaj sau a doi 162

163 indici subsol! Așadar, dintr-un tensor de tip r+s se obține unul de tip (r 1)+(s 1) și ordinul scade cu 2. Exemple 1) Fie X=(X i ) și Y = (Y j ). Atunci X Y = (X i Y j ). Făcând contracția i=j, se obține un scalar, anume suma z = X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + X 3 Y 3. 2) Coprodusul scalar a, v a unui covector a=(a i ) cu un vector v=(v j ) se obține considerând produsul tensorial a v = (a i v j ), făcând contracția i=j; se obține astfel scalarul a, v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3, adică (16). Am văzut că a v v a. i 3) Fie X=(X j p q ) un tensor de tip (2, 2) și ordin 4. Făcând contracția i=q, rezultă un tensor mixt de ordin 2, notat Y, având componentele (Y j p ), unde Y j 3 i j 1 p = i=1 = Y j 2 j p 1 + Y p 2 + Y p 3 Y p i 3 j. i 4) Fie tensorul C=(C j k ) de ordin 3. Prin contracția i=j se obține vectorul covariant V=(v k ), cu componentele: i v k = C i k = C 1 1 k + C k + C 3 k, 1 k 3. i 5) Fie X=(X j k ) și Y = (Y l i j p ). Atunci X Y = (Z l k p ), i j unde Z l i k p = X j l k Y p și făcând contracția i = k, l = p, se obține un vector contravariant V=(v j ), unde v j i = i p X j i Y p p = =(X 1 1 j + X 2 2 j + X 3 3 j )(Y Y Y 3 3 ). 4. Ridicarea și coborârea indicilor Reamintim că am definit tensorul metric g, care este un tensor dublu covariant, având, relativ la o bază B = {g 1, g 2, g 2 } a spațiului V3, componentele g ij = g i g j (produse scalare). Matricea pătratică G=(g ij ) de ordin 3 se numește matricea 163

164 Gram asociată bazei B (definiția 2.13 din 2.4). Această matrice este inversabilă și se poate considera baza B r = {g 1, g 2, g 3 } a vectorilor reciproci (definiția 2.14 din 2.4), unde g 1 = 1 (g 2 g 3 ), g 2 = 1 (g 3 g 1 ), g 3 = 1 (g 1 g 2 ) și =detg. Notând produsele scalare g ij = g i g j și folosind faptul că g i g j = δ ij (relația (20) din 2.4), rezultă relațiile g ij g jk = δ k i, deci matricea G=(g ij ) are ca inversă matricea G 1 = (g ij ). Se poate considera tensorul dublu contravariant (2+0) având componentele (g ij ), numit dualul tensorului metric g și notat g d. Fie X un tensor de tip r+s și fixăm un indice subsol k. Facem apoi produsul tensorial Y=g d X dintre dualul tensorului metric g și X; contractăm indicele k cu un indice etaj q și se va obține un nou tensor. Acest procedeu se numește ridicarea indicelui k. Prin operația inversă și luând produsul tensorial g X, se obține coborârea indicelui. Exemple 1) Fie tensorul mixt X=(X i j ); pentru a ridica indicele j, considerăm g d X = (g pq X i j ) și contractăm j=p. Se obține tensorul dublu contravariant Y=(Y qi ) unde Y qi = g jq i j=1 X j = = g 1q X i 1 + g 2q X i 2 + g 3q X i 3. 2) Fie X=(X i j ) și coborâm indicele i; considerăm g X = (g pq X i j ) și facem contracția i=p. Atunci se obține tensorul Z=(Z qj ), unde Z qj = 3 i i=1 g iq X j. 3) Coborârea (sau ridicarea) de indici se poate face și folosind alți tensori, nu numai tensorul metric. De exemplu, fie A=(a ij ) și X=(x k ); ridicăm k, considerând A X = (a ij x k ) și

165 realizând contracția i=k. Se obține vectorul contravariant Y = (Y j ), unde Y j 3 = k=1 a kj x k. Notă: Considerând un tensor și permutând indicii, se obține un nou tensor, diferit de cel inițial. Componentele acestuia coincid cu componentele tensorului inițial, dar se află pe locuri diferite. De exemplu, dacă X=(X ij k ) și considerăm Y=(Y ij k ) cu Y ij k = X ji k, avem X Y. Levi Civita a introdus un simbol care îi poartă numele, anume: ε jkl = ε jkl = { 0 dacă cel puțin doi indici sunt egali 1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este pară -1 dacă permutarea (jkl)a numerelor 1,2,3 este impară ε jkl nu sunt componentele unui tensor, dar ω ijk = det (g ij ) ε ijk sunt componentele unui tensor 3+0, numit tensorul de volum. Dacă v=(v i ), w = (w i ) sunt doi vectori contravarianți, atunci se poate defini vectorul covariant cu componentele a i = ω ijk v j w k (sumă după j și k); apoi prin ridicarea indicelui i, se obține un vector contravariant remarcabil cu componentele a r = g ri a i, care este tocmai produsul vectorial v w, relativ la o bază nu neapărat ortonormală. Nu dăm detalii. 165

166 166

167 CAPITOLUL 6: CÂMPURI DE TENSORI Până acum am definit și am operat cu tensori liberi, care nu sunt legați de un anumit punct. Componentele lor depind de baze ale lui V3, care sunt formate din vectori liberi. Așa cum am studiat câmpurile de vectori în Capitolul 4, vom considera tensori legați de diverse puncte dintr-o regiune D a spațiului fizic S. În acest mod, regiunea D se umple cu tensori și se spune că avem un câmp de tensori în D. Ideea acestora a apărut la italianul Ricci Noțiunea de câmp de tensori și exemple Definiția 6.1: A defini ( a considera) un câmp de tensori de ordin n și de tip (r, s) (r+s=n) într-o regiune D a spațiului înseamnă a asocia oricărui punct M D un astfel de tensor T(M) legat de punctul M. Echivalent, este definită o familie de tensori de același tip {T(M)}, M D, indexată după punctele regiunii D. Spre deosebire de vectori, tensorii nu pot fi vizualizați prin săgeți, dar pot fi reprezentați prin matrici (sau masive) de numere reale! Fixând în spațiul S un reper cartezian ortonormal {O; e 1, e 2, e 2 } Ox 1 x 2 x 3 și implicit o bază B = {e 1, e 2, e 2 } a lui V3, orice punct M D este bine localizat prin vectorul său de poziție r=om = x i e i și punctul M are coordonatele carteziene (x 1, x 2, x 3 ), deci componentele tensorului T sunt funcții T j1 j s i 1 i r (x 1, x 2, x 3 ), de trei variabile reale x i, care pot fi derivate parțial; iar dacă depind și de timpul t, pot fi derivate și în raport 167

168 cu t. Așadar, câmpurile de tensori reprezintă matrice pătratice, cubice etc. de funcții continue și netede. Exemple 1) Câmpurile de vectori sau de covectori sunt exemple de câmpuri de tensori de ordin 1. 2) Se poate vorbi de câmpul de tensori ai tensiunilor în orice solid rigid. 3) Diversele operații cu tensori (sumă, produs tensorial, contracție, ridicare de indici etc.) se pot face simultan pentru câmpuri de tensori de același tip. Notă: Adeseori, în loc de câmpuri de tensori se spune simplu tensori și doar în funcție de context, trebuie văzut că tensorii depind de punct, deci componentele lor sunt funcții neconstante Tensori în coordonate curbilinii Considerăm un alt reper cartezian {O; e 1, e 2, e 3} Ox 1 x 2 x 3. În figura 6. 1 am reprezentat simbolic cele două repere. Dacă r=om Fig. 6.1 și r = O M sunt vectorii de poziție ai punctului curent M și dacă OO = a, atunci r=a+r. Punctul M are două rânduri de coordonate carteziene: (x i ) și (x i ) deci 168

169 r=x i e i, r = x k e k, a = a i e i. Notând cu T = (t i j ) matricea de trecere de la B la baza B = {e 1, e 2, e 3} și cu U = T 1 = (u i j ), inversa ei, avem e k = t i k e i (relația (1) din 5.1) și rezultă următoarele relații de legătură între coordonatele carteziene ale lui M relativ la cele două repere: x i = a i + t i k k x și invers, x i = a i + u i k x k ; a = a. (1) Cunoscând componentele unui tensor T relativ la reperul B, se pot calcula componentele aceluiași tensor relativ la orice alt reper cartezian B, prin formule de tipul (10) din 5.2. Dar afirmația este mai generală. Se mai spune că vectorii și tensorii geometrizează spațiul fizic, iar reperele fixe îl aritmetizează. Câmpurile de vectori și tensori nu pot fi studiate fără a recurge la derivate și la noțiuni de Analiză matematică, deoarece trebuie descrisă viteza de variație a componentelor. Definiția 6.2: Se numesc coordonate curbilinii ale unui punct M triplete de numere reale (u 1, u 2, u 3 ) care determină în mod precis poziția lui M, realizând o corespondență bijectivă M (u 1, u 2, u 3 ). În plus, se presupune că există relații între coordonatele carteziene (x i ) și coordonatele curbilinii (u i ), de forma: x i = x i (u 1, u 2, u 3 ) și invers, u i = u i (x 1, x 2, x 3 ), (2) exprimate prin funcții continue, cu derivate parțiale continue (sau cum se spune în jargon riguros, determină un difeomorfism de clasă C 2 ). Exemple: Coordonatele sferice u 1 = r, u 2 = θ, u 3 = φ sau coordonatele cilindrice u 1 = ρ, u 2 = φ, u 3 = z sunt coordonate curbilinii, prezentate în 1.4, împreună cu relațiile lor 169

170 cu coordonatele carteziene. În 4.4 am indicat și reperele mobile legate de aceste coordonate (figurile 4.21, 4.22). Digresiune matematică Reamintim regula de derivare a funcțiilor compuse (numită chain rule ), în cazul funcțiilor derivabile de o variabilă (reală): dacă z = f(x) și x = φ(u), atunci z = f(φ(u)) și z (u) = dz = df dx = du dx du f (x)x (u). Reamintim că derivatele parțiale sunt derivate în raport cu una din variabile, considerând constante pe celelalte. În cazul funcțiilor de două sau mai multe variabile, regula se complică. Dacă z = f(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y), atunci: z = f(u(x, y), v(x, y)), z = f x u z = f u + f v y u y v y Derivând identitatea: etc. u + f v și x v x x i x i (u 1 (x 1, x 2, x 3 ), u 2 (x 1, x 2, x 3 ), u 3 (x 1, x 2, x 3 )), 1 i 3 în raport cu x j, rezultă: x i uk xi = uk xj = δ x j j i. (3) Vectorul de poziție r=om al punctului M va avea expresia r=x i e i = x i (u 1, u 2, u 3 )e i (sumă după i) și se notează: g i = r ui, 1 i 3. (4) Reperul mobil Definiția 6.3: Reperul R u = {M; g 1, g 2, g 3 } (u 1, u 2, u 3 ) se numește reperul mobil asociat coordonatelor curbilinii (u i ). 170

171 Versorii vectorilor g i se notează u i ; scalarii L i = g i se numesc parametri Lamé relativ la coordonatele curbilinii (u i ), 1 i 3. Evident, g 1 = L 1 u 1, g 2 = L 2 u 2, g 3 = L 3 u 3. Reperul R u se numește ortogonal dacă: u i u j = δ ij deci g i g j pentru i j. (5) Vectorul g 1 fiind derivata parțială r 1, el este tangent curbei parametrice γ 1 : r = r(u 1, C, C ) cu u 2 = C, u 3 = C constante; similar pentru vectorii g 2 și g 3 (fig. 6.2). u Fig. 6.2 Exemple Coordonatele sferice și cilindrice determină repere mobile ortogonale. În cazul coordonatelor sferice (fig. 1.25), mulțimea punctelor cu r=r 0 constant este o sferă, θ = θ 0 este un con cu vârful în origine, iar φ = φ 0 reprezintă un semiplan trecând prin axa Ox 3 ; g 1 va fi tangent la curba γ 1 care este o semidreaptă prin origine (intersecția con plan); similar g 2 este tangent la meridianul r=c, φ = C etc. De aceea versorul u r este orientat în lungul vectorului de poziție r. Similar, pentru ceilalți versori ai bazelor mobile din figurile 4.21 și Definiția 6.4: Setul de trei vectori variabili (depinzând de coordonatele (u i )): 171

172 g i = ui x p e p (sumă după p) (6) poartă numele de reciprocii vectorilor g i = r i, 1 i 3 ai bazei B = {g 1, g 2, g 3 } a lui V3. TEOREMĂ: Au loc relațiile, u g i g j = δ i j și g i g j = δ j i, 1 i, j 3 deci {g 1, g 2, g 3 } formează baza reciprocă a bazei B = {g 1, g 2, g 3 }. Demonstrație: Conform (4), g i = (r) = ui u i (xk e k ) = xk e u i k g i g j = ( xk u i e k) ( uj x p e p)= xk u i u j x p (e k e p ) = xk u i u j x p (δ kp) = cf.(3) x k u j u i xk = δ j i. Cum PS este comutativ, g i g j = g j g i = δ i j. Din cunoașterea componentelor unui vector (sau tensor) într-o bază asociată unui sistem de coordonate curbilinii (u i ), vom arăta că se pot calcula componentele aceluiași vector (sau tensor) într-o bază asociată oricărui alt sistem de coordonate curbilinii (u i). Din relații de tipul (2) între coordonatele carteziene (x i ) și coordonatele curbilinii (u i), se obțin relații directe (u i ) (u i), prin eliminarea variabilelor intermediare x 1, x 2, x 3. În mod similar cu cazul vectorilor g i = r i, se introduc g i = r, 1 i 3. Aplicând regula derivării funcțiilor u i compuse, avem r r u j ui = u j ui, deci: g i = u j u i g j și simetric, g i = u j u și u i g j. (7) 172

173 Un rezultat des utilizat îl constituie următoarea LEMĂ: Au loc următoarele relații: u i u j u j u i u j = δ u k k i și simetric similar, = δ u j u k k i. (8) Demonstrație: Avem identități de forma: u i = u i(u 1 (u 1, u 2, u 3), u 2 (u 1, u 2, u 3), u 3 (u 1, u 2, u 3)) și invers, u i = u i (u 1(u 1, u 2, u 3 ), u 2(u 1, u 2, u 3 ), u 3(u 1, u 2, u 3 )), 1 i 3. Derivând prima relație în raport cu u j, rezultă u i u j = u i u j u k u k și ținem cont că u i u k = δ k i. Arătăm acum că: g i = ui u j g j și simetric, g i = u i u j gj. (9) În general, pentru a arăta că doi vectori v, w sunt egali, este suficient să arătăm că produsele lor scalare cu vectorii unei baze sunt egale. Dar g i g k = δ k i și pe de altă parte: ( ui g j) cf.(6) g u j k = ( ui g j) ( u p g u j u p) = k u i u p u p j = ui u j (g j g u j u p) = ui δ k u j u k p = δ u j u k k i, ultima relație rezultând aplicând lema anterioară. Se obține astfel prima relație (9); cealaltă, rezultă intervertind coordonatele (u i ) și (u i). Putem acum stabili legătura între componentele etaj sau între cele subsol ale vectorilor sau tensorilor relativ la schimbarea de coordonate (u i ) (u i). Fie v V3 un vector oarecare. Pentru componentele contravariante, avem scrieri unice v=v i g i și v = v j g j. Așadar, v j g j=v i g i = cf.(6) v i u j u i g j și cum vectorii g j (1 j 3) sunt liniar independenți, rezultă: 173

174 v j = u j u i vi ; simetric, v j = uj v i. (10) u i Aceste relații se referă la componentele etaj. În mod similar, v=v i g i = v jg j. Se remarcă dispunerea / a indicilor și barelor. 174 Similar, pentru componentele covariante, avem v=v i g i, cf.(8) v=v jg j deci v jg j = v i g i = v i ( ui g j) u = (v i u j i u j) g j și cum g j sunt liniar independenți (1 j 3), rezultă relațiile: v j = ui u j v i ; simetric v i = u i u j v j. (11) Și în acest caz, există corespondența pentru indici și bare. Relațiile (10) și (11) probează afirmația anterioară; anume, cunoscând componentelor unui vector contravariant (sau covariant) într-un sistem de coordonate curbilinii (u i ), se pot determina, prin calculul unor derivate parțiale, componentele acelui vector în oricare alt sistem de coordonate (u i). În Capitolul 5, am definit tensorii liberi, prin componentele lor relativ la un reper cartezian fixat; prin regulile de tip (4), (6), (9) și în general, (10) din acest capitol, am stabilit legătura între componentele respective la o schimbare de reper, prin trecere la alt reper cartezian. Acum am extins aceste reguli, aplicabile câmpurilor de tensori, anume la repere mobile, asociate unor sisteme de coordonate curbilinii. Extindem relațiile (10), (11) la câmpurile de ordin n 2. Fie T un câmp de tensori dublu covarianți și T ij = T(g i, g j ), componentele relativ la sistemul (u i ) de coordonate curbilinii și T ij = T(g i, g j), componentele relativ la coordonatele curbilinii (u i). Aceste componente sunt funcții de u i sau u i. Așadar, cum T este o aplicație biliniară, conform definiției 5.4, avem:

175 cf.(7) T ij = T(g i, g j ) = T ( u p g u p, u q g i u q) = u p u q T(g j u i u p, g q), j pentru orice i, j. Deci: T ij = u p u q u i u j T pq și simetric, T ij = up u q T pq. (12) u i u j În cazul tensorilor dublu contravarianți, cf.(9) T ij = T(g i, g j ) = T ( ui g p, uj g q) = ui u j T(g p, g q), u p u q u p u q adică: T ij = ui u j T pq și simetric, T ij = u i u j u p u q u p u q Tpq. (13) În cazul tensorilor micști de ordin 2 apar două posibilități, considerând T(g i, g j ) sau T(g i, g j ). În cazul când T este un tensor simetric, relația de legătură între componente este: T i j = ui u q u p uj T q p și T ji = u i u q T p u p u j q, pentru orice i, j. (14) Se extinde acea corespondență de indici și bare, remarcată în cazul vectorilor. Exemple 1) Dacă φ(u 1, u 2, u 3 ), φ D R este un câmp scalar, am definit gradientul φ ca fiind vectorul având componentele T i = φ, 1 i 3. ui Realizând o schimbare de coordonate de tipul (2), funcția φ depinde de variabilele u i și φ u i = φ u j u j u i deci T i = uj u i T j, de tipul (11). Așadar, gradientul unui câmp scalar este un vector covariant. 2) Pentru o funcție derivabilă de o variabilă, diferențiala ei în punctul curent este df=f (x)1 R unde 1 R este aplicația identică. În particular, dacă f(x) = x, atunci f (x) = 1 și ca 175

176 atare, dx=1 R. Așadar, df = f (x)dx. Pentru o funcție f(x, y) avem df = f x variabile f(x 1, x 2, x 3 ), diferențiala ei este: f dx + dy și pentru o funcție de trei y df = f x 1 dx1 + f x 2 dx2 + f x 3 dx3 = f dr, unde dr=(dx i ) este vectorul deplasare, având drept componente diferențialele variabilelor. În cazul unei schimbări de coordonate de tipul (2), avem: du i = ui du j și notând T i = du i, T i = du i, avem T i = ui du j, u j u j relație de tipul (10), deci vectorul deplasare se comportă ca un vector contravariant. 3) Câmpul tensorului metric în R 3 Pentru orice sistem de coordonate curbilinii u 1, u 2, u 3, se consideră conform (4), produsele scalare g ij = g i g j = r u r i u j (15) și cum r=x k e k = x p e p, rezultă g ij = ( xk u i e k) ( xp u j e p) = ( xk u i x p u j) (e k e p ). g ij = xk Dar{e 1, e 2, e 3 } este o bază ortonormală deci e k e p = δ kp. Atunci, x k u i u j (sumă după k), pentru orice 1 i, j 3. (16) Pentru orice schimbare de coordonate (u i ) (u i) avem: g ij = xk x k = u p u i u j ( xk ) u q u p u i ( xk u q u j) = = up u q x k u i u j ( xk u p u q) = up u q g pq; u i u j 176

177 Așadar, conform (11), (g ij ) sunt componentele unui câmp de tensori dublu covariant, numit câmpul tensorului metric al spațiului și notat cu g. În cazul câmpurilor de tensori de tip (r,s) și ordin n i (n=r+s), setul de componente T 1 i r j1 j s (u i ) se modifică la o schimbare de coordonate (u i ) (u i), după regula: i T 1 i r j1 j s = ui 1 uir u q1 u qs p 1 p r u p1 u pr u j 1 u j s T q1 q s și invers, (17) cu corespondența / pentru indicii etaj de contravarianță (și bare) și pentru indicii subsol de covarianță. Notă importantă Relațiile (10) (15) din 5.2 se referă la legăturile dintre componentele aceluiași tensor relativ la două sisteme de coordonate carteziene ( necurbilinii ), unde coeficienții t j i, respectiv u j i erau elementele matricei de trecere de la un reper la altul. Relațiile (10) (14) de mai sus se referă la cazul câmpurilor de tensori ( tensori variabili cu punctul ), unde rolul coeficienților t j i (respectiv u j i ) este luat de derivatele parțiale u i (respectiv ui u j). Așa cum am mai spus, ne situăm într-o regiune D a spațiului S R 3. Scalarii sunt mărimi care au o singură valoare, independentă de vreun reper. Câmpurile de vectori sunt triplete de componente scalare depinzând de u i, care combinate cu vectorii bazei unor repere formează mărimi care au un caracter absolut, având o singură direcție, de îndată ce respectă regulile de joc la schimbările de coordonate (u i ) (u i). Un câmp de tensori de ordin n în R 3 este un masiv de 3 n scalari numiți u j 177

178 componentele tensorului; acești scalari combinați cu vectorii bazei mobile formează o mărime fizică cu caracter absolut (independentă de reper), corespunzând la n direcții în spațiu. Astfel, un câmp de tensori de ordin 2 are 9 componente, variabile odată cu punctul în care sunt plasate Aplicații geometrice ale tensorului metric, simbolurile lui Christoffel Componentele dublu covariante și dublu contravariante ale tensorului metric Am văzut că prin utilizarea sistemelor de coordonate, carteziene sau curbilinii, vectorii și tensorii sunt aritmetizați și în acest mod, li se pot asocia disponibilități aplicative deosebite. Astfel, tensorul metric g permite definirea unor mărimi fundamentale din spațiu lungimi de arce de curbă, măsuri de unghiuri între curbe, arii ale unor porțiuni curbilinii de suprafață etc. Se spune că tensorul metric produce geometria spațiului. Fixând un reper cartezian ortonormal {O; e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ) și un sistem de coordonate curbilinii (u i ), atunci avem relații de tipul (2) și poziția oricărui punct M este determinată prin vectorul său de poziție r=x i e i = x i (u 1, u 2, u 3 )e i ; am notat g i = r i, 1 i 3 (conform (4)). În acest mod, se obține reperul mobil {M; g 1, g 2, g 2 } (u 1, u 2, u 3 ), cu axe curbe (nu drepte ca în cazul reperelor carteziene). Bazei {g 1, g 2, g 2 } i se asociază baza vectorilor reciproci {g 1, g 2, g 3 } definiți în (6), prin g i = ui x j e j. u 178

179 Am văzut că g i g j = δ j i și g i i g j = δ j și că au loc relațiile (7) și (9) de legătură la o schimbare de coordonate (u i ) (u i). Tensorul metric g are în coordonate curbilinii (u i ) cf.(6) x k x componentele dublu covariante g ij = g i g j = k u i uj (sumă după k), pentru 1 i, j 3. De asemenea se pot defini componentele contravariante ale tensorului metric g, anume: g ij = g i g j = ( ui x p e p) ( uj x q e q) = = ui x p u j x q (e p e q ) = ui x p u j x q δ pq = ui u j x p x p (sumă după p). Calculul lungimilor vectorilor (în coordonate curbilinii) Fie v V3 un vector fixat. Avem v 2 = v v. Considerând componentele covariante ale lui v, avem v=v i g i deci v 2 =(v i g i ) ( v j g j ) = v i v j (g i gj ) = g ij v i v j și v = g ij v i v j. Pe de altă parte, considerând componentele contravariante, v 2 = (v i g i )(v j g j ) = v i v j (g i g j ) = g ij v i v j și v= g ij v i v j. De asemenea, v 2 = (v i g i ) (v j g j ) = v i v j (g i g j ) = v i v j δ j i = v i v i. În acest mod, avem trei formule pentru calculul lungimii v = v a oricărui vector. Bineînțeles, toate sunt corecte și extind cazul reperelor carteziene ortogonale (din Geometria analitică de liceu) atât la cazul reperelor carteziene neortonormale, cât și la cel al reperelor mobile legate de coordonate curbilinii. În cazul unui reper cartezian ortonormal {O; e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ) avem g i = e i, g i = e i și pentru un vector v, avem 179

180 v i = v i și v 2 = v i v i, regăsind faptul că lungimea unui vector este radical din suma pătratelor componentelor scalare. Calculul măsurii unghiului a doi vectori nenuli Fie v, w V3 doi vectori nenuli. Produsul scalar este un scalar independent de vreun reper. Dacă θ=măs(v, w), atunci v w=v w cos θ deci cos θ = v w. vw Considerând componentele covariante ale lui v și w avem v=v i g i, w = w j g j deci v w=v i w j (g i g j ) = g ij v i w j. Același lucru pentru componentele contravariante; avem v=v i g i, w=w j g j deci v w=g ij v i w j. Atunci: cos θ = g ij v i w j g = ij v i w j. g ij v i v j g ij w i w j g ij v i v j g ij w i w j De asemenea, scriind v = v i g i și w = w j g j, avem formula: cos θ = v i w i v i v i w i w i. Metrica spațiului R 3 Un rol deosebit de important îl joacă cel de metrică. Definiția 6.5: Se numește metrica euclidiană a spațiului R 3, forma pătratică (scalară): ds 2 = dx k dx k = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2. (17) În esență, ea exprimă pătratul distanței euclidiene dintre punctele infinitezimal vecine (x 1, x 2, x 3 ) și (x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ); (fig. 6.3). De asemenea, ds= dr, adică elementul de arc este mărimea vectorului deplasare, adică ds 2 = dr dr. 180

181 Fig. 6.3 Deoarece x k = x k (u 1, u 2, u 3 ), 1 k 3, rezultă dx k = xk dui i Deci, ds 2 =( xk u i dui ) ( xk u j duj ) = xk u i x k u j dui du j. Conform (16), se obține următorul rezultat fundamental: curbilinii este: TEOREMĂ: Metrica spațiului R 3 în coordonate Exemple ds 2 = g ij du i du j. (18) Explicităm componentele tensorului metric în coordonate sferice și apoi în cilindrice. Notăm cu x 1, x 2, x 3 coordonatele carteziene {O;e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ) reperul ortonormal în spațiul R 3 ; fie u 1 = r, u 2 = θ, u 3 = φ coordonatele sferice. Vectorul de poziție al punctului M(x 1, x 2, x 3 ) curent este: r=(u 1 sin u 2 cos u 3 ) e 1 + (u 1 sin u 2 sin u 3 ) e 2 + (u 1 cos u 2 )e 3 Atunci, g 1 = r u 1 = (sin u2 cos u 3 ) e 1 + (sin u 2 sin u 3 ) e 2 + (cos u 2 )e 3, g 2 = r u 2=(u1 cos u 2 cos u 3 ) e 1 +(u 1 cos u 2 sin u 3 ) e 2 -(u 1 sin u 2 )e 3 g 3 = r u 3 = ( u1 sin u 2 sin u 3 ) e 1 + (u 1 sin u 2 cos u 3 ) e 2 + 0e 3. Atunci, g 11 = g 1 g 1 = 1, g 22 = g 2 g 2 = (u 1 ) 2 = r 2, g 33 = g 3 g 3 = (u 1 sin u 2 ) 2 = r 2 sin 2 θ și g ij = g i g j = 0 pentru i j. u 181

182 Matricea G = (g ij ) este: G = ( 0 r 2 0 ) cu inversa, 0 0 r 2 sin 2 θ G 1 = r (. 1 r 2 sin 2 θ) G este simetrică; în plus, parametrii Lamé sunt L i = g ii (deci 1, r, rsinθ). Conform (18), metrica spațiului R 3 în coordonate sferice este: ds 2 = g 11 (du 1 ) 2 + g 22 (du 2 ) 2 + g 33 (du 3 ) 2 = = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2. Exemplu Pe sfera r=r, metrica este ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdφ 2. Punctele de pe emisfera nordică unde longitudinea este egală cu latitudinea se află pe curba γ: r = R, θ = φ. Elementul de arc pe această curbă este dat de ds 2 = (R 2 + R 2 sin 2 θ)dθ 2 și lungimea arcului pentru 0 θ π 2 π este L = ds = R sin 2 θ dθ, ușor de estimat. γ 0 În coordonate cilindrice, avem u 1 = ρ, u 2 = φ, u 3 = z; atunci: r=(u 1 cos u 2 ) e 1 + (u 1 sin u 2 )e 2 + u 3 e 3 deci, g 1 = r u 1 = (cos u2 ) e 1 + (sin u 2 )e 2, g 2 = r u 2 = ( u1 sin u 2 )e 1 + (u 1 cos u 2 )e 2 și g 3 = r u 3 = e

183 Deci g 11 = 1, g 22 = (u 1 ) 2 = ρ 2 și g 33 = 1. Parametrii Lamé sunt L i = g ii deci L 1 = 1, L 2 = ρ, L 3 = 1. Iar metrica spațiului R 3 în coordonate cilindrice este: ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dφ 2 + dz 2. Simbolurile lui Christoffel În multe aplicații, este important modul de variație a unui câmp de vectori de la un punct la altul. În cazul exprimărilor vectorilor sau tensorilor relativ la repere carteziene fixe, cu versori constanți, derivarea se face pe componente, dar în cazul raportării la repere mobile, lucrurile sunt ceva mai complicate. Fixând un reper cartezian ortonormal {O;e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ) și un sistem de coordonate curbilinii (u i ), atunci vectorul de poziție al punctului curent este r = x i (u 1, u 2, u 3 )e i și am notat g i = r u i, 1 i 3 și gi = ui x j e j. Orice vector v V3 se poate exprima în componente contravariante prin v = v i g i. De exemplu, v = u 1 u 1 (vi g i ) = vi g u 1 i + v i g i. Similar se petrec u1 lucrurile în cazul celorlalte variabile u i și al tensorilor. Așadar, trebuie ținut cont de derivatele vectorilor bazei {g i }. Definiția 6.6: Derivatele g i fiind ele însele vectori din uj V3 (depinzând de u j ) se exprimă prin combinații liniare ale vectorilor bazei {g i }. Așadar, au loc relații de forma: g i u j = Γ ij k g k (sumă după k), pentru 1 i, j 3. (19) Funcțiile Γ ij k se numesc simbolurile lui Christoffel. Numărul lor este 27 și nu sunt componente ale vreunui tensor (de ordin 3). 183

184 184 Indicele i este cel al vectorului de bază care se derivează, j este indicele variabilei în raport cu care se face derivata, iar k indică direcția. Din formula definitorie (19) rezultă de asemenea că: g i = Γ u j kj i g k. (19 ) Într-adevăr, aplicând faptul că pentru orice vector w V3 avem w=(w g k )g k, rezultă că gi = ( gi g uj u k) g k. j Dar g i g k = δ k i g i g k = 0 deci: uj g i cf.(19) u j g k = g i g k u j = și derivând în raport cu u j, g i (Γ p i kj g p ) = Γ kj g i u j g k + și avem (19 ). În continuare, vom stabili cum se calculează simbolurile Γ ij k dacă se cunoaște tensorul metric (deci componentele dublu covariante sau dublu contravariante ale acestuia). Înmulțim scalar relația vectorială (19) cu g p ; așadar, g p g i u j = Γ ij k (g p g k ). Dar g p g k = δ k p deci: Dar g i u j = Γ p ij = g p g i uj. (20) r uj ( Schwartz), deci g i u u i) = 2 r u j u i = r = ( j ui 2 r u i u j (conform teoremei lui u j) = g j și relația (19) se scrie ui g j u i = Γ ij k g k, apoi înmulțind scalar cu g p, rezultă Γ ij p = g p g j u i, adică intervertind indicii i, j, rezultă că Γ ji p = g p g i u j. Comparând cu (20), rezultă că Γ ij k = Γ ji k, adică simbolurile lui Christoffel sunt simetrice în raport cu indicii inferiori. Așadar, putem scrie: Γ ij p = 1 2 gp g i u j gp g j u i.

185 Aici se face un artificiu, adunând două paranteze care de fapt sunt identic nule. Anume, Γ ij p = 1 2 gp g i u j + (1 2 gkp g k u j g i 1 2 gkp g j u k g i) gp g j u i + (1 2 gkp g k u i g j 1 2 gkp g i u k g j). Dar, g p = g kp g k, deci Γ ij p = 1 2 gkp g k g i u j + (1 2 gkp g k u j g i 1 2 gkp g j u k g i) gkp g k g j u i + (1 2 gkp g k u i g j 1 2 gkp g i u k g j). Grupând termenii, rezultă: Γ ij p = 1 2 gkp [(g k g i u j + g k u j g i) + (g k g j u i + g k u i g j) ( g j u i g i + g i u k g j)]= 1 2 gkp [ u j (g k g i ) + (g u i k g j ) (g u k i g j )]. În acest mod, am demonstrat următoarea: TEOREMĂ: Γ p ij = 1 2 gkp ( g ik + g jk g ij u j u i uk), sumă după k. (21) Aplicând această formulă, se pot calcula explicit simbolurile lui Christoffel pentru orice sistem de coordonate curbilinii, de îndată ce se cunosc componentele tensorului metric. Exemplu Determinăm simbolurile lui Christoffel în coordonate cilindrice ρ, φ, z. Avem g 11 = 1, g 22 = ρ 2, g 33 = 1, g 11 = 1, g 22 = 1 ρ 2, g 33 = 1, g ij = 0 pentru i j și g ij = 0 pentru i j. Conform (21), rezultă: 185

186 Γ 1 11 = 1 2 g11 ( g 11 + g 11 g 11 ) + 1 ρ ρ ρ 2 g21 ( g 12 + g 12 g 11 ) + ρ ρ φ 1 2 g31 ( g 13 + g 13 g 11 ) = 1 ( ) = 0; apoi, ρ ρ z 2 Γ 1 22 = ρ, Γ 2 12 = 1, Γ ρ 21 2 = 1 ρ sunt nule. (după calcule). Restul simbolurilor 6.4. Derivarea covariantă a scalarilor și vectorilor Am văzut rolul operației de derivare în studiul variației câmpurilor de vectori; ca exemplu, reamintim viteza și accelerația mișcării în lungul unei curbe (vezi 3.4). În cazul reperelor carteziene fixe {O;e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ), ca în cazul Geometriei analitice, vectorii e i ai bazei lui V3 sunt constanți ca mărime și direcție și ca atare, derivarea oricărui vector v(x 1, x 2, x 3 ) = v i (x j ) e i, se face derivând componentele scalare, anume v x j = v i x j e i (relativ la coponentele covariante); iar dacă reperul ar fi și ortonormal, atunci e i = e i și v i = v i pentru orice 1 i 3. Dar în cazul coordonatelor curbilinii, pentru derivarea vectorilor de bază, trebuie utilizate simbolurile lui Christoffel. Considerăm un reper mobil 3D, {M; g 1, g 2, g 3 } (u 1, u 2, u 3 ) în coordonate curbilinii. Dacă v(u 1, u 2, u 3 ) este un câmp de vectori din V3 și folosim componentele sale contravariante, atunci v=v i g i deci v vi uj = g i u j = Γ ij k g k (conform formulei (19)) și ca atare: v vi = uj u j g i + v i Γ ij k g k. g u j i + v i g i uj. Dar 186

187 Intervertind indicii de sumare i k în ultimul termen, rezultă v uj = ( vi + u j vk Γ i kj )g i. Definiția 6.7: Setul de funcții i v ;j = vi + u j vk Γ i kj, depinzând de u 1, u 2, u 3, (22) poartă numele de componentele derivatei covariante, j v i, în lungul direcției g j. Am demonstrat astfel relația: v = v u j ;j i g i (sumă după i); 1 j 3. (23) În mod similar, folosind componentele covariante ale vectorului v, avem v = v i g i deci v = v i u j u j gi g + v i i. Aplicând uj formula (19 ) și intervertind indicii de sumare i, k, rezultă că g v i i = v u iγ i j kj g k = (v k Γ k ij )g i deci v = u j ( v i v u kγ k j ij )g i. Setul de funcții v i;j = v i u j v kγ ij k ; 1 i, j 3 (24) reprezintă componentele derivatei covariante j v i, în lungul direcției g j. Așadar, v u j = v i;jg i (sumă după i). (25) Notă: Se poate arăta că seturile de funcții vi (sau v i ) nu u j uj au caracter tensorial (la o schimbare de coordonate (u i i ) (u i)). Dar v ;j și respectiv v i;j sunt componentele unui tensor mixt, respectiv tensor dublu covariant, care reprezintă derivata covariantă a vectorului (v i ) respectiv (v i ). Atenție! Nu există derivate contravariante. 187

188 Derivata covariantă a unui câmp scalar φ pe direcția unui vector nenul h V3, într-un punct a din spațiu este scalarul dφ φ(a+th) φ(a) (a) ( dh hφ) a = lim. t 0 t t 0 În punctul curent, are loc formula h φ = h φ. (26) Acesta nu este un concept nou; l-am reamintit în Capitolul 4, 4.4 (derivata lui φ după un versor s, notată (s )φ). În Capitolul 4, am definit pseudovectorul care trebuie uitat, deoarece nu are legătură directă cu derivata covariantă a tensorilor. Exemplu Derivatele parțiale ale unei funcții (netede) scalare sunt derivatele pe direcția axelor. Tot astfel, deriata parțială a unui câmp scalar sau vectorial în raport cu variabila u j este tocmai derivata pe direcția vectorului g j de bază. Conceptul general de derivare covariantă Acest concept a fost introdus și studiat de italienii Levi- Civita și Ricci, ca și de germanul Christoffel, ca un instrument indispensabil în studiul curburii suprafețelor sau varietăților, ca și în probleme de Mecanică cerească. Până acum am definit: I. derivata covariantă h φ a unui câmp scalar φ pe direcția unui vector nenul h; II. derivata covariantă a unui câmp de tensori de ordin 1 (ca vectori contravarianți sau covarianți, prin formulele (22) și (24)); III. iar dacă φ este un câmp scalar, v un câmp de vectori, ambele netede în vecinătatea unui punct a și dacă h este un vector nenul, 188

189 atunci asocierea (v, h) ( h v) a este liniară în fiecare argument și în plus, h (φv) a = φ(a)( h v) a +( h φ) a v(a). În punctul curent, Exemplu h (φv) = φ h v + ( h φ)v. (27) Dacă v V3 și considerăm componentele contravariante (se mai spune atunci că v însuși este un vector contravariant!), atunci v = v i g i și avem: cf.(27) v = u j g j v = gj (v i g i ) = v i gj g i + ( gj v i ) g i = v i g cf.(19) i vi + g uj u j i = v i (Γ k ij g k ) + vi g u j i = (v i Γ k ij )g k + vi g u i; j intervertind în primul termen indicii de sumare i și k, regăsim formula (23). I. Pentru orice câmp de tensori T de tip (r,s), se asociază derivata sa covariantă T, care este un câmp de tensori de tip (r, s+1). Asocierea T T este liniară și în plus, pentru orice câmp scalar φ, avem: (φt) = φ T + φ T și dacă T, U sunt doi tensori oarecare, atunci: (T U) = ( T) U + T ( U). Reținem că prin aplicarea derivării covariante, unui tensor îi crește ordinul de covarianță cu o unitate. Exemple Aplicând aceste reguli, se obțin următoarele formule privind derivatele covariante (pe direcția g k ) ale tensorilor de ordin doi și mai general: 189

190 i Γ r pk T j1 j s T ij ;k = Tij + Γ u k pk i T pj + Γ j pk T ip ; T ij;k = T ij Γ q u k kit qj Γ q kj T iq ; i T j;k = T j i i u k + Γ kp i (T 1 i r j1 j s ) = ;k i 1 i r 1 p Γ q kj1 T p j Γ q kj T i q. } u k T j 1 j s i T 1 i r qj2 j s i 1 i r i + Γ 1 pi pk T 2 i r j1 j s + + (28) q i Γkjs T 1 i r j1 j s 1q (29) Așadar, se consideră derivata parțială uzuală a tensorului i la care se adaugă multiplicatul corespunzător Γ pk pentru fiecare indice etaj i și se scade multiplicatul corespunzător Γ q jk pentru fiecare indice subsol j. Derivarea covariantă în lungul unei curbe situată pe o suprafață; interpretarea geometrică Fixăm pentru moment un reper cartezian ortonormal {O;e 1, e 2, e 2 } (Ox 1 x 2 x 3 ) în spațiu. Fie γ: ρ = ρ(t), t I o curbă parametrizată netedă, cu ρ (t) 0 pentru orice t I. În plus, presupunem că γ este situată pe o suprafață Σ r = r(u 1, u 2 ) cu (u 1, u 2 ) variind într-o regiune D din R 2, astfel încât să existe funcții u 1, u 2 I R astfel încât (u 1 (t), u 2 (t)) D și ρ(t) = r(u 1 (t), u 2 (t)) pentru orice t I. Un vector h V3 se numește tangent la Σ într-un punct a Σ dacă există o curbă γ: ρ = ρ(t), t I situată pe Σ și o valoare t 0 I astfel încât ρ(t 0 ) = Oa și ρ (t 0 ) = h; (fig. 6.4). A determina curba γ revine la a indica explicit funcțiile: u 1 = u 1 (t), u 2 = u 2 (t); t I. 190

191 Fig. 6.4 Presupunem în plus că pentru orice (u 1, u 2 ) D, vectorii g 1 = r u 1 și g 2 = r u 2 sunt necoliniari (adică g 1 g 2 0); se spune atunci că Σ este nesingulară. De fapt, acești vectori sunt tangenți la suprafața Σ, fiind tangenți la curbele de coordonate u 2 = C, constant și u 1 = C, constant. Se notează cu T a Σ mulțimea tuturor vectorilor tangenți la Σ în punctul a, având punctul de aplicație în originea sistemului de coordonate Ox 1 x 2 x 3 ; T a Σ este un spațiu vectorial de dimensiune 2, având baza g 1, g 2 (calculați în a). T a Σ este numit planul tangent la Σ în a. Fie acum v V3 un vector având punctul de aplicație în ρ(t) și tangent la Σ în acest punct; așadar, vectorul variabil v(t) = v(ρ(t)) = v(u 1 (t), u 2 (t)) are suportul în planul tangent T ρ(t) Σ; desenat punctat în figura 6.5. În general, derivata în sens clasic v (t) nu este conținută în acest plan. 191

192 192 Fig. 6.5 Considerăm reperul mobil format din vectorii g 1, g 2 și g 3 = g 1 g 2. Avem o scriere v(t) = v i (u 1 (t), u 2 (t))g i ; sumă după i pentru 1 i 2. Dar v (t) = dvi g g dt i + v i du j cf.(19) i = ( dvi + u j dt dt vk i du Γ j ) g kj dt i; sumă după i (aici 1 i 3). Notăm Dv = proiecția vectorului v (t) pe planul tangent T ρ(t) Σ (generat de g 1, g 2 ). Așadar, (sumă după i și k; 1 i 2 și 1 k 3), Avem dvi dt dt Dv = dt (dvi + dt vk i du Γ j ) g kj dt i. (30) = vi du j și comparând cu relația (23), rezultă u j dt Dv = v i duj dt ;j g dt i (sumă după i, j) (31) Așadar, are loc: TEOREMĂ: Funcțiile scalare v ;j i duj contravariante ale vectorului Dv dt, deci: Dv dt sunt componentele dt = ρ (t)v. (32) Cu alte cuvinte, vectorul Dv ( proiecția lui v (t) pe planul dt T ρ(t) Σ) este derivata covariantă a câmpului v presupus tangent la Σ pe direcția h=ρ (t).

193 CAPITOLUL 7: CÂTEVA APLICAȚII ALE TENSORILOR În acest capitol, vom depăși acumulările teoretice și vom prezenta argumente pentru a justifica de ce tensorii sunt obiecte fizico matematice importante sau chiar indispensabile. Până acum ne-am plasat în spațiul fizic S R 3, dar tot ce am spus este valabil și poate fi refăcut fără dificultăți principiale în R n, pentru n Mișcarea pe o traiectorie plană În Capitolul 3 am considerat mișcarea circulară uniformă. Determinăm acum vectorul viteză și vectorul accelerație în lungul unei curbe plane parametrizate, în coordonate curbilinii. Considerăm un reper cartezian ortonormal 2D, într-un plan P, {O;e 1, e 2 } Ox 1 x 2 (Am schimbat notația sistemului de coordonate xoy de versori i, j, folosită în Capitolul 1). Poziția unui punct M din planul P poate fi de asemenea precizată prin două coordonate curbilinii u 1, u 2 (de exemplu, ρ și θ). Așadar, punctul curent M are două rânduri de coordonate: (x 1, x 2 ) și (u 1, u 2 ); în plus, există relații x i = x i (u 1, u 2 ), inversabile prin u i = u i (x 1, x 2 ); 1 i 2, care asigură o corespondență bijectivă, (x 1, x 2 ) (u 1, u 2 ) exprimată prin funcții continue cu derivate parțiale continue. Vectorul de poziție r=om al punctului M se scrie astfel: r= OM = x k e k = x 1 e 2 + x 2 e 2, deci r=x k (u 1, u 2 )e k ; (fig.7.1). (1) 193

194 Fig. 7.1 Notând g i = r (pentru i = 1, 2), se obține un reper ui mobil curbiliniu 2D în planul P, {M;g 1, g 2 } (Ox 1 x 2 ). Bazei {g 1, g 2 } a spațiului vectorial V2(P) îi corespunde baza reciprocă {g 1, g 2 }, unde g j = uj x p e p. Într-adevăr, g i = u i (xk e k ) = xk u i e k și g j = uj x p e p, deci: g i g j = xk u j (e u i x p k e p ) = xk u j δ u i x p kp = xk u j = δ j u i x k i, pentru 1 i, j 2, ultima egalitate rezultă din relația (3), 6.2. De asemenea, g i g j = g j g i = δ j i. Exemplu (coordonate polare) În acest caz, u 1 = ρ și u 2 = θ deci r=x 1 e 1 + x 2 e 2 = ρ cos θ e 1 + ρ sin θ e 2. Atuncig 1 = r ρ = cos θ e 1 + sin θ e 2 și g 2 = r θ = ρ sin θ e 1 + ρ cos θ e 2. Evident, g 1 g 2 = 0 deci g 1 g 2 ; (fig. 7.2). 194 Fig. 7.2

195 Luând g 1 = g 1 și g 2 = 1 ρ 2 g 2, avem: g 1 g 1 = 1, g 1 g 2 = g 1 ( 1 ρ 2 g 2) = 1 ρ 2 (g 1 g 2 ) = 0 și g 2 g 2 = g 2 ( 1 ρ 2 g 2) = 1 ρ 2 (g 2 g 2 ) = 1 ρ 2 ρ2 = 1. Așadar, g i g j = δ i j pentru orice i, j. În acest mod, {g 1, g 2 } este baza reciprocă a bazei {g 1, g 2 } în spațiul vectorial V2(P). Să presupunem acum o curbă parametrizată γ: u 1 = u 1 (t), u 2 = u 2 (t), cu parametrul t variind într-un interval I. Atunci r(t) = x k (u 1, u 2 )e k și vectorul viteză este: v(t) = r (t) = ( xk u 1 u 1 + xk u 2 u 2 ) e k = ( xk u 1 e k) u 1 + ( xk u 2 e k) u 2 = r u 1 u 1 + r u 2 u 2 = g 1 u 1 + g 2 u 2. Așadar, v(t) = u i (t)g i (sumă după i). (2) Apoi vectorul accelerație este a(t) = v (t) = (u i g i ) (t) = u i g i + u i g i. Dar g i = d dt (g i) = g i u j u j (t). Deoarece g i sunt vectori din V2(P), ei sunt combinații uj liniare ale vectorilor {g 1, g 2 }. Anume g i u j = Γ ij k g k (sumă după k). Simbolurile lui Christoffel Γ ij k (în număr de 2 3 =8) sunt funcții de u 1, u 2. Ca atare, a(t) = g k u k + u i g i u j u j = g k u k + Γ ij k u i u j g k. Am demonstrat astfel următoarea formulă: a(t) = (u (t) + Γ ij k u i (t)u j (t))g k. (3) 195

196 196 TEOREMĂ: Componentele etaj ale vectorilor viteză și accelerație, în lungul unei curbe plane, în coordonate curbilinii sunt: v k = u k (t) și a k = u k (t) + Γ ij k u i (t)u j (t); k = 1, 2. (4) Exemplu: În coordonate polare, avem: r=ρ cos θ e 1 + ρ sin θ e 2 ; g 1 = r ρ = cos θ e 1 + sin θ e 2, g 2 = r θ = ρ sin θ e 1 + ρ cos θ e 2. Apoi, g 1 = 0 = Γ ρ 11 k g k deci Γ 1 11 = 0, Γ 2 11 = 0. g 1 = sin θ e θ 1 + cos θ e 2 = Γ k 12 g k = Γ 1 12 g 1 + Γ 2 12 g 2 = Γ 1 12 (cos θ e 1 + sin θ e 2 ) + Γ 2 12 ( ρ sin θ e 1 + ρ cos θ e 2 ) și identificând coeficienții, rezultă Γ 1 12 = 0, Γ 2 12 = 1 etc. ρ În final, Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1, Γ ρ 22 1 = ρ și restul Γ k ij sunt nuli. Așadar, conform (2), viteza v(t)=ρ (t)g 1 + θ (t)g 2 are componentele v ρ = ρ (t) (numită viteza radială, în direcția lui g 1 ), respectiv v θ = θ (t)- viteza tangențială (în direcția lui g 2 ). Apoi, conform (4) a ρ = ρ ρ(t)θ (t) 2 este accelerația radială (în direcția g 1 ) și a θ = θ (t) + 2 ρ ρ (t)θ (t) este accelerația tangențială (în direcția lui g 2 ). Notă: Calculul prealabil al simbolurilor lui Christoffel este mai migălos. Conform (2), v(t)=ρ (t)g 1 + θ (t)g 2 și apoi:

197 a(t) = v (t) = ρ (t)g 1 + ρ (t)g 1 + θ (t)g 2 + θ (t)g 2. și Dar Deci, g 1 = ( sin θ e 1 + cos θ e 2 )θ = θ (t) ρ g 2 g 2 = [( ρ sin θ ρ cos θ θ )e 1 + (ρ cos θ ρ sin θ θ )e 2 ] ρθ g 1 + ρ ρ g 2. a(t) = ρ (t)g 1 + ρ (t) θ (t) ρ g 2 + θ (t)g 2 + Ca atare, θ (t) ( ρθ g 1 + ρ ρ g 2). a(t) = (ρ ρθ 2 )g 1 + (θ + 2ρ θ regăsind formulele anterioare. Aplicație ρ )g 2, (5) În cazul mișcării circulare (Capitolul 3, 3.4), avem ρ(t) = R constant și toate formulele se simplifică masiv. În acest caz, vectorul viteză este v(t) = θ (t)g 2, deci viteza radială este nulă și viteza tangențială are mărimea θ (t). Dacă mișcarea este uniformă, atunci θ(t) = ωt (ω = constant), deci v(t) = ωg 2 și ca mărime v(t) = ω g 2 = Rω. Regăsim că v=rω, tocmai formula (9) din Capitolul 3, 3.4. Apoi a ρ = ρθ 2 și a θ = θ. În cazul mișcării circulare uniforme, a ρ = ω 2 R și a θ = 0; vectorul accelerație este a(t) = Rω 2 g 1, cu mărimea a=rω 2 = v 2 R, regăsind formula (10) din Capitolul 3,

198 7.2. Mișcarea pe o traiectorie în spațiu Ne restrângem la a obține expresia vectorilor viteză și accelerație. Fie γ: u i = u i (t), 1 i 3, t I o curbă parametrizată în spațiu, în coordonate curbilinii. Atunci vectorul de poziție la momentul t este r(t) = x k (u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t))e k și vectorul viteză este v(t) = r (t) = r u i u i (t) = u i (t)g i. Apoi vectorul accelerație este a(t) = v (t) = u i (t)g i + u i (t)g i (t). Vectorii g i (t) se reprezintă cu cele 27 de simboluri ale lui Christoffel: (Γ ij k g k )u j (t). g i (t) = d dt (g i(u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t))) = g i u j u j (t) = Ca atare, a(t) = u k (t)g k + u i Γ ij k g k u j = (u k (t) + Γ ij k u i (t)u j (t))g k, regăsind (3). Sintetizând, am demonstrat următoarea: TEOREMĂ: Vectorii viteză și accelerație în mișcarea pe o curbă în spațiu r=r(u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t), t I în coordonate curbilinii sunt v(t) = u k (t)g k și a(t) = (u k (t) + Γ ij k u i (t)u j (t))g k. (6) Bineînțeles, în cazul coordonatelor carteziene ortonormale, regăsim formulele v(t) = r (t) și a(t) = r (t), în lungul unei curbe x i = x i (t), t I. Aplicație Dacă F=F k g k este forța aplicată unei particule de masă m, atunci legea a II a a dinamicii lui Newton ma=f devine, 198

199 conform (5), sistemul diferențial al ecuațiilor de mișcare pe o traiectorie în spațiu, în coordonate curbilinii; anume: m(u k (t) + Γ ij k u i (t)u j (t)) = F k, 1 k 3. COROLAR: Dacă F=0, adică în lipsa forțelor, atunci mișcarea are loc în lungul geodezicelor, care verifică sistemul diferențial u k (t) + Γ ij k u i (t)u j(t) = 0, 1 k 3. (7) Acesta este numit sistemul liniilor geodezice ale spațiului; îl vom reîntâlni în legătură cu transportul paralel (sau mai bine zis, autoparalel ) pe o suprafață. Notă: În cazul coordonatelor carteziene ortonormale, acestea sunt curbele r=r(t) cu r (t) = 0, t I, adică liniile drepte. Considerând o curbă γ: u i = u i (t), t [a, b], cu funcțiile u i continue și cu derivate continue până la ordinul doi inclusiv, lungimea L a curbei γ este L= γ ds. Dar elementul de arc ds este dat de metrica (ds) 2 = g ij du i du j, (g ij = g i g j ), conform formulei (18) din Capitolul 6, Așadar, b L= g ij u i (t)u j (t) a dt. În Calculul variațional se arată că această integrală este minimă (sau maximă) tocmai în lungul liniilor geodezice (care verifică (7)). Se spune popular că pentru a ajunge dintr-un punct A într-un punct B în timp minim, trebuie să mergi pe geodezica spațiului care trece prin punctele A și B. Geodezicele în plan sunt liniile drepte; geodezicele pe sferă sunt arcele de cercuri mari, iar pe un cilindru circular drept, elicele circulare. Nu mai dăm detalii. 199

200 7.3. Tensorul de inerție Masa unui corp este acea proprietate a corpului care se opune accelerației lui; pentru accelerare este necesară aplicarea unei forțe. În mod analog, momentul de inerție este cel care se opune accelerării unghiulare, fiind necesară aplicarea unui moment. În acest paralelism, între mișcarea de translație pe o axă și mișcarea de rotație în jurul unui ax, legii a II a a lui Newton F=m a îi corespunde legea L=Iω, unde I este momentul de inerție, L este momentul unghiular ( cinetic) și ω viteza unghiulară. Dar surpriză... I nu mai este un scalar (ca în cazul masei) ci un operator liniar, pe care l-am definit în Capitolul 5, 5.1. Anume, pentru o particulă de masă m și vectorul de poziție r, considerăm operatorul liniar I:V3 V3, ω L = r p = r (mv) = mr (ω r), conform relației (11) din Capitolul 3, 3.4. Explicităm acest operator, asimilat cu un tensor mixt de ordinul 2 (cf. 5.2). Considerăm un reper ortonormal {O; i, j, k} {Oxyz} ca în Capitolul 1; vectorul de poziție al punctului curent este r=xi+yj+zk și vectorul-viteză unghiulară ω=ai+bj+ck. Admitem un sistem de N puncte materiale cu masele m k și vectorii de poziție r k (1 k N), relativ la originea reperului considerat. Aplicând CAB BAC (Capitolul 1, formula (15)), r (ω r) = r 2 ω (ω r)r, rezultă că momentul unghiular N al sistemului este L= k=1 L k unde L k = m k [r 2 k ω (ω r k )r k ]. Scriind r k =x k i+y k j+z k k, 1 k N, rezultă L k = m k [(x 2 k + y 2 k + z 2 k )(ai + bj + ck) (ax k + by k + cz k )(x k i + y k j + z k k)]. 200

201 Atunci componentele scalare ale lui L, anume L 1, L 2, L 3, sunt coeficienții lui i, j și respectiv k deci L 1 = N m k [a(y 2 k + z 2 k ) bx k y k cx k z k ] k=1, N k=1 și N L 2 = m k [b(z k 2 + y k 2 ) ay k x k cy k z k ] L 3 = k=1 m k [c(x 2 k + y 2 k ) az k x k bz k y k ]. Introducem acum următoarea matrice simetrică 3 3, numită matricea de inerție a sistemului: m k (y 2 k + z 2 k ) m k x k y k m k x k z k I = ( m k x k y k m k (z 2 k + x 2 k ) m k y k z k ). m k x k z k m k y k z k m k (x 2 k + y 2 k ) Relația operatorială L=I ω se scrie matriceal astfel: (L 1 L 2 L 3 ) T = I (a b c) T. (8) Toate elementele matricei I au dimensiunea [kgm 2 ] în sistemul SI de unități, ca în cazul momentului scalar de inerție, notat md 2. Elementele de pe diagonala principală a matricei anterioare se numesc momentele de inerție ale sistemului celor N puncte materiale, iar celelalte se numesc produse ale inerției. Notă: În mecanică, momentul de inerție al unui obiect măsoară tendința lui de a se opune accelerării unghiulare și depinde de masa obiectului și de poziția față de axa de rotație. Astfel, I 11 = m k (y k 2 + z k 2 ) arată ce moment unghiular (cinetic) se produce în direcția axei Ox datorită rotirii în jurul lui Ox, iar I 13 arată momentul produs în direcția Ox datorită rotirii în jurul lui Oz etc. Exemplu Să considerăm un sistem de 4 particule situate în punctele A 1 (1, 0, 0), A 2 ( 1 2, 3 2, 0), A 3 ( 1 2, 3 2, 0) și A 4(0, 0, d); 201

202 (fig.7.3). În aceste puncte dispunem mase m k = 1. În acest caz, matricea de inerție se determină cu ușurință; anume, este matricea diagonală I = diag (d , d , 3). 202 Fig. 7.3 Efectuăm o rotație R 1 de unghi θ în jurul axei Ox; matricea de rotație este R 1 = ( 0 cos θ sin θ). 0 sin θ cos θ Noua matrice de inerție va fi: cf.(8) L = R 1 (L 1 L 2 L 3 ) T = R 1 I (a b c) T = = (R 1 I R 1 ) R (a b c) T. Notăm I 1 = R 1 I R 1 și ω 1 = R (a b c) T deci L = I 1ω 1. Matricea I 1 este asemenea cu I și ω 1 este matricea componentelor vitezei unghiulare a sistemului de puncte rotit în jurul lui Ox. Aici se probează virtutea utilizării tensorilor. Se pot determina, prin calcule de matrice, diverse mărimi după modificări ale poziției sau ale maselor punctelor sistemului. Dar problema se pune și invers. Determinăm prin măsurători matricea de inerție I (matrice simetrică). Prin metode

203 de Algebră liniară, se diagonalizează I și în acest mod, se determină matricea de rotație prin care noua matrice de inerție devine o matrice diagonală D. Vectorii proprii ai matricei I dau axele principale, iar elementele lui D sunt tocmai noile momente de inerție Tensorul câmpului electromagnetic Specialiștii în telecomunicații au reușit să transmită în eter fără fir, informații la mare distanță și aproape instantaneu. Cei mai mulți semeni ai noștri nu știu că, în ultimă analiză, tehnologiile moderne utilizează ecuațiile lui Maxwell M1 M4 (din Capitolul 4, 4.4). Pentru a înțelege esența tensorului electromagnetic care va fi introdus mai jos, este necesară descifrarea acestor ecuații. Ecuația M1 (div E = ρ ε 0 ) arată că în orice loc, divergența câmpului electric este proporțională cu densitatea ρ de sarcini electrice din acel loc. Deoarece liniile de câmp ale câmpului electrostatic pornesc din sarcinile + și intră în sarcinile, acele linii diverg din locurile unde se concentrează sarcini + și converg (se strâng) spre concentrările de sarcini. Ecuația M2 (div B 0) arată că în Univers nu există sarcini magnetice, iar câmpul B este fără surse și fără puțuri. Ecuația M3 (rot E= B ) arată că vârtejul câmpului t electric este egal cu opusa vitezei de variație a câmpului magnetic. 203

204 În fine, ecuația M4 (rot B=μ 0 J + 1 E c 2 t ) arată că vârtejul lui B este produs atât de un curent electric cât și de o variație a câmpului electric. Pe scurt, ecuațiile lui Maxwell descriu comportarea în spațiu și timp a câmpului electromagnetic. Pentru fundamentarea Teoriei relativității restrânse, Einstein a impus două rezultate: - legile fizicii sunt aceleași în toate reperele inerțiale neaccelerate; - viteza luminii în vid este constantă (cu valoarea c) independent de mișcarea sursei sau observatorului. Pornind de aici, Einstein a dedus că distanțele în spațiu și duratele în timp depind de mișcarea relativă a observatorului. Ca atare, spațiul și timpul sunt inter-legate și transformările Galilei (t, x, y, z, ) (t, x, y, z ) nu sunt compatibile cu cele două postulate. Să ne imaginăm un puls de lumină care radiază sferic dintr-un anumit loc. Un observator aflat în originea sistemului de coordonate (t, x, y, z) va vedea că pătratul distanței acoperite de frontul de undă al undei de lumină va fi x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ; similar, un observator din celălalt sistem de coordonate (t, x, y, z ) va măsura același lucru și ținând cont de constanța vitezei luminii, rezultă că: c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Pentru a da aceeași dimensiune coordonatelor, s-a introdus 4 vectorul (x 0, x 1, x 2, x 3 ), unde x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Totodată, s-a introdus elementul de arc spațio temporal ds, definit prin: (ds) 2 = (dx 0 ) 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2, 204

205 care corespunde celui din geometria euclidiană din R 3 (definiția 6.5 din 6.3). (ds) 2 Schimbarea de coordonate (x i ) (x i ) care conservă între repere inerțiale a fost stabilită de olandezul H.Lorentz. Pentru a simplifica formulele, transformarea Lorentz, în sensul deplasării pe axa Ox 1 cu viteza v, este definită prin: x 0 = γ(x 0 βx 1 ), x 1 = γ(x 1 βx 0 ), x 2 = x 2, x 3 = x 3 ; (9) unde am notat β = v c și γ = (1 β2 ) 1 2. Așadar, (ds) 2 = g ij dx i dx j, unde g ij sunt componentele covariante ale tensorului metric din spațiul Einstein Minkowski; matricea acestora este: (g ij ) = ( ) Nu discutăm acum consecințele aparent contradictorii ale teoriei lui Einstein asupra observatorilor aflați în repere inerțiale diferite precum: contracția lungimilor, dilatarea timpului sau relativitatea simultaneității. Conform Teoriei relativității restrânse, ecuațiile lui Maxwell sunt adevărate în toate reperele inerțiale și ca atare, ele trebuie să aibă o formulare tensorială. Astfel, densitatea de sarcină electrică ρ este un scalar și densitatea de curent este un 4 vector de forma J=(cρ, J x, J y, J z ), iar componentele câmpului electric E=(E x, E y, E z ) și magnetic B=(B x, B y, B z ) vor fi incorporate în componente ale unui tensor. 205

206 206 Definiția 7.1: Componentele dublu contravariante ale tensorului electromagnetic sunt elementele următoarei matrici antisimetrice: 0 E x c E y c E z c F ij E = x c 0 B z B y E y c B z 0 B x ( E z c B y B x 0 ) iar componentele dublu covariante sunt (F ij ) = (F ij ) T. Să considerăm ecuația: F ij x i = μ 0 J j. (10) Înlocuind j=0 și explicitând însumarea după i, rezultă: Deci, F 00 x 0 + F10 x + F20 y 0+ (E x x c) + (E x ) x + (E y) y y (E y + (E z) z + F30 z = μ 0(cρ), adică c) + (E z z c) = μ 0 cρ. = μ 0 c 2 ρ, adică dive=μ 0 1 ε 0 μ 0 ρ = ρ ε 0. Tocmai legea M1! Apoi înlocuim β=1, 2, 3 în (10) obținând: F i1 x i = μ 0 J 1, Fi2 x i = μ 0 J 2, Fi3 x i = μ 0 J 3. Înlocuind componentele F ij și însumând după i, rezultă respectiv relațiile (B z ) y (B y) z = μ 0 J x + 1 c 2 (E x ) t, (B x ) (B z ) = μ z x 0J y + 1 (E y ) și c 2 t (B y ) (B x ) = μ x y 0J z + 1 (E z ), c 2 t Așadar, rot B=μ 0 J + 1 E c 2 t, adică tocmai M4.

207 Considerăm acum tensorul antisimetric: 0 B x B y B z F ij B = x 0 E z c E y c, B y E z c 0 E x c B ( z E y c E x c 0 ) care este de fapt dualul tensorului electromagnetic și ecuația F ij x i = 0. Înlocuind j=1, 2, 3 și însumând după i, rezultă M3. În fine, înlocuind j=0, rezultă Fi0 x i div B=0 deci M2. Am stabilit astfel următoarea: = 0 și însumând după i, se obține TEOREMĂ: Ecuațiile M1 M4 se scriu condensat, sub formă tensorială, astfel: F ij = μ x i 0 J j și Fij = 0 (11) x i Dar virtutea tensorilor nu este numai simplificarea scrierii! Desigur, a scrie că doi vectori (din R 3 ) sunt egali revine la trei ecuații într-una singură; iar faptul că doi tensori de ordinul k sunt egali înseamnă 3 k ecuații scalare într-una; în cazul electromagnetic, ecuațiile (11) înlocuiesc împreună = 18 ecuații scalare. Tensorii ascund o altă excepțională disponibilitate; anume, permit decelarea comportării componentelor lor la diverse schimbări de coordonate. În cazul tensorului electromagnetic, putem studia modul cum câmpurile E, B depind de mișcarea observatorului! Să presupunem un observator aflat într-un reper care se deplasează în lungul axei Ox 1 cu viteza constantă v. Putem acum deduce comportarea lui E și B din cunoașterea comportării în reperul inițial și iată cum

208 Considerăm matricea transformării liniare Lorentz (9): γ γβ 0 0 γβ γ M = ( 0 0 ) Matricea (F ij ) = MF ij M T dă componentele tensorului electromagnetic relativ la celălalt reper. Explicitând acest produs de matrici și comparând componentele în cele două repere, rezultă relațiile: E x = E x, E y = cγ(e y c βb z ), E z = cγ(e z c + βb y ); B x = B x, B y = γ(b y + βe z c) și B z = γ(b z β E y c). (12) Să presupunem că E=0 și că B 0. Așadar în reperul (t, x, y, z) nu există câmp electric, dar există câmp magnetic. Conform relațiilor (12), în celălalt reper, avem E y = cγβb z și E z = cγβb y deci avem atât câmp electric cât și câmp magnetic! Invers, dacă B=0 și E 0, atunci conform (12), B y = γβ E z c și B z = γβ E y c deci avem din nou un câmp electric și unul magnetic. Așadar, existența și modul de manifestare al câmpurilor electric și magnetic depind de mișcarea observatorului! Acesta este încă un argument privind dependența profundă a celor două câmpuri intim inter-legate Transport paralel 208 În planul sau spațiul euclidian, orice doi vectori (liberi), având puncte de aplicație diferite, pot fi aduși să aibă același punct

209 de aplicație prin simplă translație, fără a-și modifica valoarea (vectorii bazei e i, 1 i 3, ai unui reper cartezian fiind constanți). Dar în cazul unui vector tangent la o suprafață curbată, pentru derivarea lui este necesară compararea lui cu vectori tangenți vecini situați în alte plane tangente. Pentru a realiza o astfel de comparare, se definește un transport mai special. Definiția 7.2: Considerăm un câmp de vectori v tangenți la o suprafață Σ în lungul unei curbe γ: ρ = ρ(t), t I, situată pe Σ. Câmpul v se numește paralel în lungul lui γ dacă derivata sa covariantă este identic nulă, adică: Dv dt = 0, pentru orice t I. (13) Dacă t 0, t 1 I sunt distincte, un vector Z 0 T ρ(t0 )Σ se numește paralel cu un vector Z 1 T ρ(t1 )Σ dacă există un câmp de vectori v paralel în lungul drumului ρ(t), t I, astfel încât Z 0 = v(t 0 ) și Z 1 = v(t 1 ); (fig. 7.4). Fig. 7.4 Din definiția 7.2 și din formula (30) din Capitolul 6, rezultă următoarea: TEOREMĂ: Fie v(t) un câmp de vectori tangenți la o suprafață Σ în lungul unei curbe γ: u i = u i (t), t I situată pe Σ. 209

210 Câmpul este paralel în lungul lui γ scriind v=v i g i (g i = r i ), componentele scalare contravariante v i (t) sunt soluții ale sistemului diferențial: dv i i du j + dt vk Γ kj = 0, pentru 1 i 3. (14) dt În mod echivalent, componentele scalare v i verifică relația: v ;j i i Notă: Simbolurile Γ kj = 0 pentru orice i, j. (15) u depind de u 1, u 2 ; deoarece Σ și γ sunt date, parametrii u 1 (t), u 2 (t) depind de t și sunt cunoscuți. Atunci sistemul (14) este un sistem liniar și omogen, cu coeficienți variabili. Se determină v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t) și apoi v(t), cunoscând condițiile inițiale la momentul t0; în acest mod se determină câmpul paralel v(t) căutat la orice alt moment t I. Aplicație 1) Curbele ρ = ρ(t), t I, tangente la suprafața Σ și în lungul cărora Dρ dt = 0 pentru orice t I (adică ρ ρ 0 deci ρ se deplasează paralel în direcția ρ ) sunt geodezice pe Σ. În acest caz, ρ(t) = r(u 1 (t), u 2 (t)) deci, ρ (t) = r du j = duj g u j dt dt j; așadar, vectorul ρ (t) are componentele du1 dt, du2 dt, 0 relativ la reperul {g 1, g 2, g 3 }. Ca atare, vectorul v=ρ (t) are componentele v i (t) = dui dt pentru i=1, 2 și v 3 (t) 0. Atunci sistemul diferențial (14) devine: d dt (dui) + duk Γ dt dt kj i du j = 0, adică: dt d 2 u i dt 2 + Γ kj i du j du k dt dt = 0, 1 i 2. (16) 210

211 suprafața Σ. Acesta este tocmai sistemul diferențial al geodezicelor pe 2) Studiem transportul paralel în lungul unei curbe γ situate pe sfera Σ cu centrul în O și raza R. Am văzut în 6.3 metrica spațiului în coordonate sferice r, θ, φ. Pe suprafața Σ avem r=r, deci metrica pe Σ este dată de: ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdφ 2. Așadar, tensorul metric pe Σ are componentele: (g ij ) = ( R2 0 0 R 2 sin 2 θ ) și (gij ) = ( 1 R R 2 sin 2 ). θ Putem acum calcula simbolurile lui Christoffel, folosind formula (21) din Capitolul 6, anume: Γ p ij = 1 2 gkp ( g ik + g jk g ij u j u i uk); sumă după k. Notând u 1 = θ și u 2 = φ rezultă: Γ 1 22 = 1 2 gk1 ( g 2k + g 2k g 22 ) = u 2 u 1 u k = 1 2 g11 ( g 21 u 2 + g 21 u 1 g 22 u 1 ) + 0 = R ( θ (R2 sin 2 θ)) = sin θ cos θ; apoi Γ 2 21 = 1 2 gk2 ( g 2k + g 1k g 21 ) = u 1 u 2 u k 1 2 g22 ( g 22 u 1 + g 12 u 2 g 21 u 2 ) = R 2 sin 2 θ θ (R2 sin 2 θ) = cos θ sin θ ; valorile celor 8 i simboluri Γ jk sunt Γ 1 22 = sin θ cos θ, Γ 2 21 = Γ 2 cos θ 12 = și restul sin θ de 5 sunt nule. Folosind sistemul (34), se pot determina geodezicele sferei (care sunt cercurile mari). Considerăm însă curba γ: θ = θ 0 (paralel al sferei) și transportăm paralel vectorul v=(v 1, v 2 ) care la momentul inițial 211

212 t=0 are valoarea (0, 1). Așadar, u 1 (t) = θ 0, u 2 (t) = φ(t) și v(t)=v(θ 0, φ(t)); v 1 (0) = 0, v 2 (0) = 1. Sistemul (14) devine: Ca atare, 212 dv 1 dt + Γ 22 dv 2 dt + Γ 21 dv 1 1 du2 2 du2 dt v2 = 0, dt v1 + Γ 12 2 du1 dt v2 = 0. dφ φ (t) sin θ 0 cos θ 0 v 2 φ (t) = 0, dv 2 dφ φ (t) + cos θ 0 sin θ 0 φ (t)v 1 = 0. dv 1 dφ sin θ 0 cos θ 0 v 2 = 0, Derivând prima ecuație, rezultă: dv 2 d 2 v 1 sin θ dv dφ 2 0 cos θ 2 0 = 0, adică dφ d 2 v 1 dφ 2 + cos2 θ 0 v 1 = 0. Aceasta este o ecuație diferențială de forma: Așadar, d 2 y dφ 2 + ω2 y = 0, care are soluția generală y(φ) = A cos(ωφ) + B sin(ωφ) etc. dφ + cos θ 0 sin θ 0 v 1 = 0. (17) v 1 = A cos(φcosθ 0 ) + B sin(φcosθ 0 ) și similar, v 2 = C cos(φcosθ 0 ) + D sin(φcosθ 0 ). Se pun condițiile inițiale: v 1 φ=0 = 0, v 2 φ=0 = 1. Apoi din relațiile (17), rezultă: dv 1 dφ φ=0 = sin θ 0 cos θ 0 și dv2 = 0. dφ φ=0 Din aceste relații, rezultă A=0, B=sin θ 0, C=1, D=0. În concluzie, se determină v 1 = sin θ 0 sin(φ cos θ 0 ) și v 2 = cos(φ cos θ 0 ), deci componentele vectorului transportat.

213 Notă: Se poate arăta că prin transport paralel în lungul unei curbe situate pe o suprafață, vectorii își conservă norma (adică Z 0 = Z 1 în figura 7.4). În cazul unei suprafețe plane, în lungul unei drepte γ, transportul paralel al unui vector revine la o simplă translație (fig. 7.5.a). Dar în cazul unei sfere, pe curba închisă pqnp formată dintr-un arc de ecuator pq și două arce de median qn, Np, un vector v cu punctul de aplicație în p și orientat spre Nord, revine în p având o altă orientare. Această aparentă anomalie este datorată curburii suprafeței sferice. Fig. 7.5 Transportul paralel poate fi definit și pe varietăți diferențiabile, care extind deopotrivă curbele și suprafețele. Fără a intra în detalii, o varietate diferențiabilă M de dimensiune n este un spațiu metric care local este un interval deschis (pentru n=1), un disc deschis (pentru n=2), o bilă deschisă pentru n=3 etc. Pentru orice punct a M, se definește spațiul T a M al vectorilor tangenți la M în a; acest spațiu vectorial are o bază mobilă de tipul r u i ; 1 i n. Se pot considera tensori pe o varietate și câmpuri de vectori tangenți, derivata covariantă Dv dt și transportul paralel al unui câmp de vectori tangenți în lungul unei 213

214 curbe situate pe M. Modelul îl constituie cazul suprafețelor prezentat anterior. Varietatea M se numește riemanniană dacă pentru orice punct a M, se poate indica un produs scalar abstract g a T a M T a M R; notând g ij (a) = g a ( r r ui, u j), se definesc componentele unui tensor dublu covariant (0+2) pe M, numit tensorul metric al varietății M. O teoremă a lui I. Nash arată că orice varietate riemanniană se scufundă într-un spațiu euclidian. Dar Riemann ne-a lăsat o moștenire neprețuită, anume posibilitatea de a considera diverse metrici ds 2, inclusiv unele compatibile cu Fizica Universului material, precum metrica Schwarzschild Tensorul de curbură și ecuațiile lui Einstein Studiul curburii unui spațiu este un subiect central în Fizică și Matematică; acesta poate fi abordat doar apelând la tensori de ordin superior. Ne reamintim că produsul a două matrice pătrate A, B de același ordin este necomutativ, deci comutatorul lor C=AB BA este, în general, nenul. În mod similar, compunerea a doi operatori este necomutativă. Exemplu: Fie A=operatorul de derivare a funcțiilor de o variabilă (φ φ ) și B=operatorul de înmulțire cu x (φ xφ). Atunci A(φ) = φ și B(A(φ)) = xφ, în timp ce A(B(φ)) = (xφ) = φ + xφ deci BA AB. 214

215 Fixăm un reper mobil 4D R ={g 1, g 2, g 3, g 4 } (O u 1 u 2 u 3 u 4 ) în coordonate curbilinii. Comparăm operatorii de derivare covariantă pe direcția g j și pe direcția g k. Fie v V4 un vector; apelând la componente covariante, v=v i g i. Derivata covariantă pe direcția g j va fi tensorul având componentele dublu covariante v i;j = v i Γ p u j ijv p și apoi derivata covariantă a acestui tensor, notat v ij, pe direcția g k, va fi: v ij;k = v ij Γ q u k ikv qj Γ r jk v ir deci v ij;k = Γ r jk ( v i Γ p u r irv p ) = u k ( v i Γ p u j ijv p ) Γ q ik ( v q Γ p u j qjv p ) 2 v i (Γ p ij ) u k u j u k v p v p Γ j Γ q v q ij u k ik + u j Γ q ik Γ p r qj v p Γ v i + Γ jk u r jk r Γ p ir v p (în total 7 termeni). (18) Așadar, pornind de la v (v i ), am considerat viteza de variație a lui v i pe direcția g j și apoi variația acelei viteze pe direcția g k. Vom explicita acum aceleași variații, dar inversând ordinea (fig. 7.6). Așadar, Fig. 7.6 Ca mai sus, intervertind indicii j, k, avem: v i;k = v ik Γ p u j ijv p și 215

216 v ik;j = 2 v i (Γ p ik ) u j u k u j p v p v p Γ Γ q v q ik u j ij + u k Γ q ij Γ p r qk v p Γ v i + Γ kj u r kj r Γ p ir v p. (18 ) Într-un spațiu euclidian plat, simbolurile lui Christoffel sunt identic nule, deci v ij;k = v ik;j. Ca atare, orice diferență care apare în formulele (18) și (18 ) este datorată curburii spațiului R 3 relativ la reperul R. Comparând termen cu termen cele două formule, constatăm că primii termeni coincid (conform teoremei lui Schwartz din Analiza matematică); apoi termenul al 4 lea din (18) coincide cu al 3 lea din (18 ) și al 3 lea din (18) cu al 4 lea din (18 ) și în fine, penultimii și ultimii termeni coincid, deoarece Γ jk r = Γ r kj. sumă după p. componentele Ca atare, am demonstrat următoarea: TEOREMĂ: Pentru orice i, j, k v ij;k v ik;j = ( Γ p ik u j Γ p ij + Γ q u k ikγ p qk Γ q ij Γ p qk ) v p ; (19) Definiția 7.3: Termenii din paranteză reprezintă p R ijk ale unui tensor de tip 1+3 (o dată contravariant și de trei ori covariant), numit tensorul de curbură al lui Riemann și notat cu R. Așadar, v ij;k v ik;j = R p ijk v p (sumă după p). (20) COROLAR: Un spațiu este plat ( fără curbură) toate cele 4 4 componente R p ijk sunt identic nule pentru orice i, j, k, p. Definiția 7.4: Tensorul lui Ricci este obținut contractând p în tensorul lui Riemann indicii p și j deci R ik = R ipk (sumă după p). 216

217 lui Ricci. Scalarul R=g ik R ik (sumă după i și k) este numit curbura Definiția 7.5: Tensorul lui Einstein este tensorul dublu covariant, având componentele: E ij = R ij 1 2 Rg ij. Acest tensor apare în următoarea ecuație a Relativității generale, anume E ij + Γg ij = 8πG c 4 T ij, (21) unde (T ij ) este tensorul energie moment, care caracterizează diverse ipostaze ale materiei în Univers, de exemplu fluxuri de energie sau masă; G este constanta gravitațională, Γ este constanta cosmologică și c viteza luminii. Ecuația (21) este forma tensorială a unui sistem de ecuații diferențiale neliniare de ordin 2; impunând condiții suplimentare la frontiera unor regiuni, se obțin soluții care descriu câmpul gravitațional din acele regiuni. În ecuația (21) este concentrată următoarea profeție a lui Einstein: materia descrie modul în care spațiul ( Universul) se curbează, iar spațio timpul lui Minkowski descrie modul în care materia se mișcă. Nu dăm alte detalii. Exemplu: Să considerăm ca spațiu suprafața Σ a unei sfere de rază R din R 3. Am văzut că metrica suprafeței este dată de ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 (sin 2 θ)dφ 2 ; notând coordonatele cu indicii 1, 2 în loc de θ, φ, avem g 11 = R 2, g 12 = g 21 = 0, g 22 = R 2 sin 2 θ și g 11 = 1, R 2 g12 = g 21 = 0, g 22 = 1. Am văzut în R 2 sin 2 θ aplicația V că: Γ 1 22 = sin θ cos θ, Γ 2 12 = Γ 2 cos θ 21 = și restul, sin θ nule. Atunci componentele tensorului lui Riemann de curbură pot 217

218 fi calculate explicit; fără a mai da detalii, se obțin următoarele 2 2 componente R 112 = 1, R 121 = 1 (restul fiind nule). Așadar, sfera nu este un spațiu plat, deoarece R O retrospectivă: Geometria și Fizica Ambele sunt domenii vechi ale cunoașterii nu doar contemplative. Se vorbește de intuiția geometrică, de interpretările geometrice ale unor considerații, de reprezentări geometrice ale datelor etc. Dar s-a ajuns acum la o situație când utilizarea obiectelor sau conceptelor geometrice nu mai are înțelesul uzual. Descoperirea coordonatelor (prin Descartes și Galilei) a lărgit mult disponibilitățile Geometriei, prin studiul curbelor și suprafețelor, ca și conexiunile cu Mecanica și legile mișcării pe curbe sau suprafețe. S-au clarificat bazele Geometriei analitice vectori, operațiile cu vectori, măsurile (lungimi, arii, 218