6 ROVINNÝ OHYB. Obr Obr. 6.2

Transcript

1 6 ROINNÝ OHY eeso namáhané ohbom nazývame nosník Príkad reáneho sstému a vtvoreného matematickofzikáneho modeu pre výpočet napríkad priehbu je na obr 6 nútorné si vznikajúce pri rovinnom ohbe priamch a omených nosníkov sú osová (normáová) sia N, posúvajúca (priečna) sia a ohbový moment Obr 6 Obr 6 Leonardo da inci (5, aiansko 59, rancúzsko) je uznaný ako univerzán génius Pôsobi v obasti ved, architektúr, maiarskeho a sochárskeho umenia, hudb, anatómie, astronómie a stavebníctva, konštrukcie strojov e vnáezcom rôznch strojov a zariadení, ktoré predbiehai jeho dobu o ľavák a svoje poznámk písa zrkadovým písmom, ab písacie brko moho ťahať, tak ako to robia praváci L da inci veri, že Snko a esiac krúžia okoo Zeme, a že esiac odráža snečné sveto, pretože je pokrtý vodou Zisti vpv esiaca na príiv a odiv Podieľa sa na pitvách a vtvori množstvo veľmi podrobných anatomických kresieb e vnáezcom rôznch ietajúcich a bojových strojov, ponork, mechanickej kakuačk, auta na pružinový mechanizmus, priemseného vužitia snečnej energie na ohrev vod a pod nohé vnáez neboi za jeho života vrobené, ae sú technick uskutočniteľné Gaieova škica votknutého nosníka na konci zaťaženého osameou siou G Gaiei spou s L da incim

2 Ohb priamch nosníkov považujeme za rovinný, ak: vonkajšie zaťaženie pôsobí v rovine, v ktorej eží aj os smetrie priečneho prierezu (resp vonkajšie zaťaženie je v rovine havných centránch osí kvadratických momentov), os deformovaného (ohýbaného) nosníka eží v tej istej rovine 6 nútorné si Postup pri určení vnútorných sí pri ohbe: k je nosník statick určitý (obr 6), vpočítame reakcie, ktoré považujeme za vonkajšie si prípade, že nosník je votknutý, s výhodou zvoíme smer rezu od voľného konca, potom výpočet reakcií nie je potrebný Postupne uvoľňujeme odrezané časti nosníka, zakresíme vonkajšie si a do miesta rezu zakresíme kadnú orientáciu vnútorných sí podľa znamienkovej dohod (obr 6) Znamienková dohoda: Obr 6 Osová sia N je kadná, ak pôsobí von z rovin rezu Posúvajúca sia je kadná, ak má snahu pootočiť odrezanú časť nosníka v smere hodinových ručičiek Ohbový moment je kadný, ak spôsobuje v spodných váknach nosníka ťah Obr 6 Napíšeme statické podmienk rovnováh pre jednotivé rez a určíme veľkosť vnútorných sí kresíme priebeh 6 zťah medzi vnútornými siami Pre diferencián eement na obr 65 napíšeme podmienk rovnováh: iz 0; i 0; ( ) ( ) d ( ) ( ) d 0 d 0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d ( ) 0 (6) (6)

3 Po úprave z (6) a (6) dostávame: d ( ) ( ) d Obr 65 d ( ) ( ) (6) d d ( ) ( ) (6) d kde () je vonkajšie zaťaženie zťah (6) a (6) nazývame Schweder Žuravského vzťah 6 Zákonitosti priebehov vnútorných sí pri ohbe Nasedujúce zákonitosti vpývajú zo SchwederŽuravského vzťahov Na úsekoch, kde je ()=0, () = konšt a () má ineárn priebeh miestach, kde ()=0 má () okán etrém Na úsekoch, kde je ()=konšt, () má ineárn priebeh a () má kvadratický priebeh Na úsekoch, kde () >0, () rastie 5 Na úsekoch, kde () <0, () kesá 6 miestach pôsobenia osameých vonkajších sí má priebeh () nespojitý skok (veľkosť skoku sa rovná hodnote vonkajšej si, ktorá v mieste pôsobí) a () má zaomenie ohann Wihem Schweder (889, Nemecko) Navrho budovu havnej žeezničnej vo rankfurte nad ohanom ako architekt spou s Hermanom Eggertom Stanica boa otvorená v roku 888 e jedným z havných žeezničných uzov Nemecka a denne cez ňu prechádza pribižne ľudí e to tiež koncová stanica iniek frankfurtského metra Dmitrij Ivanovič Žuravskij (8 89, Rusko) Pochádza zo zámožnej rodin, ktorá mu umožnia kvaitné vzdeanie enova sa stavbe žeezníc a mostov a ich navrhovaniu roku 869 navštívi US, ab sa zoznámi s výstavbou žeezníc v US Najznámejším Žuravského projektom je oceľový most cez rieku ervera na trati oskvapetrohrad

4 7 miestach pôsobenia osameých momentov má priebeh () nespojitý skok (veľkosť skoku sa rovná hodnote vonkajšieho momentu, ktorý v mieste pôsobí) Každý uvedený bod možno nájsť v príkade 6 na obr 67, ae aj v ďaších príkadoch Skúste to Príkad 6 Na obr 66 je zobrazený statick určitý nosník zaťažený siou, rovnomerným spojitým zaťažením a ohbovým momentom kresite priebeh priečnch sí a ohbových momentov, ak sú dané rozmer a, b, c a veľkosť vonkajšieho zaťaženia nosníka D: = kn, = 6 knm, = knm, a = 0,6 m, b = m, c = 0,5 m H:, R a b R c Obr 66 ýpočet reakcií: R R i 0; R b b a b R R R b 0 b a b b b 0 m knm 6kNm 0,6m m b,5kn kn 6kNm m,5kn knm,5kn nútorné si v reze : R,5 kn R nútorné si v reze : R R 0 knm b R nútorné si v reze : 0 0 a R a,5kn0,6m,5 knm 0 R,5kN b R b,5kn 6kNm m,5kn b b knm,5knm 6kNm m,5knm

5 0 knm ýpočet pooh etrému ohbového momentu E : R,5kN 0 R E E 6kNm 0,5m ýpočet hodnot etrému ohbového momentu ( E ): E E R E knm,5kn0,5m 6kNm Priebeh vnútorných sí sú na obr 67 0,5m R a b R c,knm,5,5 [kn] [knm] E,5,5, Obr 67 Príkad 6 Na obr 68 je zobrazený statick určitý nosník zaťažený siou, rovnomernými spojitými zaťaženiami a a ohbovým momentom kresite priebeh priečnch sí a ohbových momentov, ak je daný rozmer a a veľkosť vonkajšieho zaťaženia nosníka D: = kn, = knm, = knm, = knm, a = m H:, a,5a a nútorné si v reze : Obr 68

6 nútorné si v reze : 0 0 a a knm m kn 0 knm a m a knmknm a 0 a knm m kn,5 a a,5 a knm m knm,5m kn aa a knmknm 0 m,5 a,5a 5a knmknm 5 m knm knm,5m,75 knm knm a,5a a 5,75 [kn] E [knm],75 Obr 69 nútorné si v reze : a,5 a knm m knm,5m kn kn a,5a,5 a0,75a 0 5a,5a knmknm 5 m knm,5 m,75 knm a 7a,65a a knmknm 7 m knm,65 m knm 5,75kNm

7 ýpočet pooh etrému ohbového momentu E : a knm m 0 a E E knm m ýpočet hodnot etrému ohbového momentu ( E ): E E Priebeh vnútorných sí sú na obr 69 E aa knmknm m m m knm m knm Príkad 6 Na obr 60 je zobrazený statick určitý nosník zaťažený siou, trojuhoníkovým spojitým zaťažením a ohbovým momentom kresite priebeh osových sí N, priečnch sí a ohbových momentov, ak je daný rozmer a a veľkosť vonkajšieho zaťaženia nosníka D: = 0 kn, = 5 knm, = 5 knm, a = 0,5 m H: N,, ýpočet reakcií: i i 0; 0; i 0; a 60a 0a 6a tg H H Obr a 0 0a a 6a0a 0 nútorné si v reze : N H 0kN H 0kN0,5m 5kNm 60 0,5m 00,5 m 0kN5kNm tg 0 kntg0, kn nútorné si v reze : N H H, kn 0kN 0kN 0kN α a a H 60,5m 5kN 0kN, kn H 5kNm 5kN a 0kN0,5m 0kNm a 5 a a v H

8 a 0 a 0kN0,5m 0kNm a a a 0kN0,5m 0kN0,5m 0kNm nútorné si v reze : N, kn H a 0 0kN 0kN 0kN a 6a 0kN 0kN5kNm 60,5m 5kN a a a 7a 0 a a 0kN0,5m 0kN0,5m 0kNm nútorné si v reze : N H, kn 5kN a a a 0kN0,5m 0kN0,5m 5kNm 0,5m 60kNm 0 0 a a 5kN0,5m 50kNm H 5 H α a a a a a v N [kn], [knm] 0 [kn] E 8, Obr 6

9 nútorné si v reze 5 : N 5 H, kn 5 5kN 5 a a 5 kn0,5 m5knm 5kNm a 6a 5 kn60,5 m5knm 60kNm 5 Etrém ohbového momentu: E a a 0,5m0kN 0kN 0 E 5kNm m E 5kNm m E a E a E 0kN5m 0kN,5m 7a 70,5 m Priebeh vnútorných sí sú znázornené na obr 6 8,kNm 6 Rovinné omené nosník Okrem priamch nosníkov sa v mnohých prípadoch vsktujú aj omené nosník, u ktorých spojnice ťažísk priečnch prierezov tvoria rovinné omené úsečk k sú tieto omené nosník zaťažené v rovine nosníka, potom ide o rovinný ohb Na určenie vnútorných sí použijeme metódu mseného rezu Znamienková dohoda je rovnaká ako pre priame nosník, rovnako ako postup výpočtu uvedený v kapitoe 6 Príkad 6 Lomený nosník je zaťažený siou, ohbovým momentom a rovnomerným spojitým zaťažením a má rozmer v metroch podľa obr 6 Zostrojte priebeh normáovej si N, posúvajúcej si a ohbového momentu D: = 0 kn, = 0 knm, = 0 knm H: N,, H 5 Určenie reakcií: Obr 6

10 i i 0; 0; i 0; H 0 0 m 5m mm 0 Určenie vnútorných sí v reze : N N 6 kn 0 0 m 80kN 0 0 m Určenie vnútorných sí v reze : N H m0 knm 0 kn6 kn 56 kn 5m 0kNm m 80 kn m 6 kn 60kNm N 80kN 6kN kNm 5m 6kN5m 0kNm mm 0kNm Určenie vnútorných sí v reze : N 0 0kN 0 0 m 0m 0kNm Určenie vnútorných sí v reze : N N 56kN H 80kN H 0 0kNm m 80kNm 0kNm 00kNm Určenie etrému ohbového momentu ( E ) pre tento nosník, nie je potrebné vkonať, ebo na žiadnom úseku nie je priečna sia =0 Grafick znázorníme priebeh vnútorných sí (obr 6) N [kn] [kn] [knm] Obr 6

11 c Príkad 65 Lomený nosník je zaťažený siou, ohbovým momentom a rovnomerným spojitým zaťažením a má rozmer c podľa obr6 Zostrojte priebeh normáovej si N, posúvajúcej si a ohbového momentu D: = 0 kn, = 5 knm, = 5 knm, c = m H: N,, H =0 0,5c c Obr 6 ýpočet reakcií: 0; i i 0 0; c 0 i H 0; c 0,5c c0,5c 0 0,5c 0,5c c c 0kN5kNm Osové si v jednotivých rezoch: N,5 kn N 0 N 0 N kn 0kN0,5m 5kNm 0,5 m m 7,5 Priečne si v jednotivých rezoch: 0 0 m 7,5kN,5kN 5kNm 7,5kN 0,5kN 0,5c 0,5c 5kNm 0,5m,5kN,5 kn 0 7,5kN 0,5c 0,5c 5kNm 0,5m 7,5kN,5 kn

12 Ohbové moment v jednotivých rezoch: ,5c 0 5kNm 0,5c knm 0,5c 0,5m 0,5c 5kNm 5 Etrém ohbového momentu:,5kn 0 E E 5kNm 0,5c 5kNm 0,5c 0,5 m 0,8m,5kN0,5m 5kNm 7,5kN0,5m 5kNm 5kNm E 0,8m E E 5kNm,5kN0,8m 5,kNm Priebeh vnútorných sí sú znázornené na obr 65 E,5,5 5, 5,5 7,5 5,5 N [kn] 7,5 [kn] [knm] 5 Obr 65 Príkad 66 Lomený nosník je zaťažený siami,,, ohbovým momentom a rovnomernými spojitými zaťaženiami, a má rozmer podľa obr66 Zostrojte priebeh normáovej si N, posúvajúcej si a ohbového momentu D: = kn, = kn, = kn, = = knm, = knm, = m H: N,,

13 Obr 66 nútorné si v reze : kn N kn 5 m knm kn kn 0 6kNm m knm knm knm knm 0 nútorné si v reze : kn m knm kn kn N kn 5 m knm kn kn 0,5 knm m knm m knm knm knm knm 6 knm m knm knm knm 0 ýpočet pooh etrému ohbového momentu E :

14 kn 0 E E knm 0,m ýpočet hodnot etrému ohbového momentu ( E ): E E E knmkn0,m knm Priebeh vnútorných sí sú na obr 67 0,m,8kNm 5 5,5 6 6,8 N [kn] [kn] E [knm] Obr 67 6 Normáové napätie pri rovinnom ohbe berme eement d z nosníka v mieste (obr 68) Na vbraný eement pôsobí jediná nenuová vnútorná sia, a to ohbový moment: 0, = N = 0 Ide o čistý ohb Obr 68 Pri odvodení normáového napätia pri ohbe budú patiť nasedujúce predpokad: ohb je rovinný, prierez a a', b b' (obr 68) ostávajú po deformácii rovinné (Navierernouiho hpotéza),

15 vákna na seba netačia, spodné vákna pri deformácii sa predžujú, horné sa skracujú, os nosníka a pozdĺžne vákna sa zakrivujú, k pred deformáciou mai časti vákna označené CD (neutrána os) a LN rovnakú dĺžku, po zaťažení nosníka predĺženie Δ vákna zodpovedá vzdiaenosti N N Potom pomerné predĺženie ε vákna LN podľa obr 68 je nasedujúce: NN LN CD CD CD Podľa obr 68 vjadríme LN a CD : L N tgd L N z CD tgd CD d zťah (66) dosadíme do (65): z d (65) (66) z d d z (67) d kde ρ je poomer krivosti neutránej osi a z je súradnica po výške prierezu Dosadením do Hookeovho zákona pre jednoosovú napätosť dostávame: z E E (68) kde E je Youngov modu pružnosti Potrebujeme vjadriť napätie ako funkciu ohbového momentu, preto napíšeme momentovú podmienku rovnováh k osi podľa obr 69, kde je zobrazená mseným rezom oddeená časť nosníka 0; ( ) d z 0 i ( ) Obr 69 Po dosadení vzťahu (68) do (69) dostávame: (69) akob ernoui (65706, aziej, Švajčiarsko) atematiku muse vštudovať tajne proti prianiu svojho otca, ktorý chce, ab sa sta kňazom študova teoógiu, prednáša v azieji Zaujíma sa havne o matematiku, fziku a astronómiu ko prvý z rozsiahej vedeckej rodin cestova po svete a stretáva sa s vedcami z iných krajín, s ktorými spoupracova na objavoch pružnosti a pevnosti dokáza priamu úmeru medzi krivosťou priehbovej čiar a zaťažujúcim momentom, ktorú neskôr rozpracova Euer, a dnes je známa ako ernouiho diferenciána rovnica priehbovej čiar Zomre na tuberkuózu vo veku 5 rokov (priemerná dĺžka života ernouiovcov boa viac ako 70 rokov)

16 E z d E E (60) kde je kvadratický moment k havnej centránej osi Súčin E nazývame tuhosťou v ohbe Z (68) vpýva: z E (6) E z Po dosadení (6) do (60) dostávame tzv Navierovu rovnicu, tj vzťah pre normáové napätie σ pri ohbe v priereze definovanom súradnicou po výške (z) prierezu: E z E z (6) aimáne normáové napätie pri ohbe je vo váknach, ktoré sú najvzdiaenejšie od neutránej osi, (obr 60, z ma =h/) Neutrána os je priamka obsahujúca bod prierezu, v ktorých je σ=0 aimáne normáové napätie v mieste definovanom súradnicou je nasedovné: ma zma (6) W O kde z ma O Obr 60 W, m ; mm (6) Pomer vo vzťahu (6) nazývame modu prierezu (prierezový modu) v ohbe W O Inde znamená, že ide o ohb okoo havnej centránej osi odu prierezu W O pre obdĺžnikový prierez podľa obr 60: bh bh WO (65) z h ma 6 Na obr 6 a 6 možno porovnať priebeh normáového napätia pri ohbe pre prierez, ktoré sú smetrické k neutránej osi (obr 6) a nesmetrické k neutránej osi (obr 6)

17 Obr 6 Obr 6 6 Šmkové napätie pri rovinnom ohbe k v priečnom priereze pôsobí okrem ohbového momentu aj priečna sia (priečn ohb), potom okrem normáového napätia σ pôsobí v priereze aj šmkové napätie τ Priečna sia je výsednicou šmkových napätí v priereze Pre šmkové napätie patí Žuravského vzťah: * S (66) b kde () je priečna sia v mieste rezu definovanom súradnicou, b je šírka všetrovaného prierezu v mieste rezu, je osový kvadratický moment k neutránej osi, S * je statický moment časti poch prierezu nad bodom, v ktorom napätie všetrujeme vzhľadom k neutránej osi ernouiho hpotéza rovinnosti prierezu a ineárne rozoženie normáových napätí patí presne en pre čistý ohb (v priečnom reze pôsobí en ohbový moment, =konšt, =0) Šmkové napätia spôsobujú depanáciu (bortenie) prierezu, čo je v rozpore s ernouiho hpotézou pv šmkových napätí je zanedbateľný pre dhé nosník, kde je dominantný vpv ohbových momentov k je účinok priečnej si porovnateľný s účinkom ohbového momentu, resp ho prevšuje, vpv šmkového napätia nemožno zanedbať Patí to pre krátke nosník a vsoké profi Účinok priečnej si možno prezentovať na jej podiee na cekovom priehbe pre priam nosník na dvoch podperách, ktorý je zaťažený osameou siou v poovici rozpätia Pokiaľ takýto nosník má prierez I00 a dĺžku 500mm (krátk nosník), podie priečnej si na cekovom priehbe je 8,56% prípade, že prierez je I80 a dĺžka mm (dhý nosník), potom tento podie je en 0,0% [9] Obr 6 zobrazuje priebeh normáového a šmkového napätia pre obdĺžnikový prierez, obr 6 priebeh σ a τ pre smetrický I prierez e zrejmé, že maimáne šmkové napätie je v bodoch neutránej osi

18 Obr 6 Obr 6 Pre profi U (a podobné profi), ak vonkajšia sia neeží v tzv strede šmku, ae v ťažisku, potom dochádza aj ku skrucovaniu profiu (obr 65 a, b), pribúda namáhanie na krut k pre profi U chceme predísť skrúteniu profiu, je potrebné ho zaťažiť v bode C (obr 65 c, čo je stred šmku Podrobnejšie popis tejto probematik môžete nájsť v [, 7, ] a) b) c) C z Obr 65 Probém skrucovania profiu nevzniká u profiov, kde vonkajšia sia pôsobí v osi smetrie priečneho prierezu 65 Napätosť v nosníku Napätosť v rôznch bodoch nosníka môže bť rôzna Napätosť v bodoch,,, na obr 66 je priamková (ide o krajné vákna), napätosť v bodoch 5, 6, 7 je rovinná bodoch 8, 9 je čistý šmk a v bode 0 je napätosť nuová

19 Obr 66 Príkad 67 Pre priam nosník na obr 68 vkresite priebeh normáového a šmkového napätia vo votknutí, ak je daný obdĺžnikový prierez 5080mm H: σ, τ Ohbový moment vo votknutí pre nosník na obr 68 je = 5,75kNm a priečna sia vo votknutí je = kn Kvadratický moment k centránej osi pre obdĺžnikový prierez: 5080 b h mm mm Normáové napätie vo votknutí v horných váknach: 6 5,750 Nmm 0mm 07,8Pa mm z Keďže z =z =0mm, potom normáové napätie vo votknutí v spodných váknach: Šmkové napätie vo votknutí v horných a spodných váknach: 0 Šmkové napätie vo votknutí v ťažisku: S b * z * b * 0 N(5500) mm 50 mm mm 0,75 Pa

20 z σ [Pa] 07,8 τ [Pa] 0,75 Obr 67 07,8 Príkad 68 Pre priam nosník na obr 68 vkresite priebeh normáového a šmkového napätia vo votknutí, ak je daný prierez na obr 68 Rozmer sú v miimetroch H: σ, τ σ τ 0 [Pa] [Pa] z'=z = z =z 5, a a C z 0,7,9,5 z z 0 ' Obr 68 09, Ohbový moment vo votknutí pre nosník na obr 68 je =5,75kNm a priečna sia vo votknutí je =kn Pooha ťažiska prierezu podľa obr 68: z z z ,55 mm Komé vzdiaenosti medzi centránmi osami: a z a z z z 9,55 5,55 mm 75 9,55 5,5 mm

21 Kvadratický moment k cetránej osi : i i i a i i a , , ,mm Normáové napätie vo votknutí v horných váknach: a 6 5,750 Nmm 0,5 mm 5, Pa 696 9, mm z Normáové napätie vo votknutí v spodných váknach: 6 5,750 Nmm 9,55 mm 09,Pa 696 9, mm z Šmkové napätie vo votknutí v horných a spodných váknach: 0 Šmkové napätie vo votknutí v ťažisku: S b * 0 N(,77509,55) mm 0mm696 9,mm,5Pa Šmkové napätie vo votknutí v bode C (prechod stojinapásnica): S C b * S C b * 0 N(5,500) mm 0mm696 9,mm 0 N(5,500) mm 0mm696 9,mm Priebeh napätí sú zobrazené na obr 68 0,7Pa,9Pa Príkad 69 Posúďte, či daný prierez nesmetrické I na obr 68 vhovuje pre omený nosník na obr 66, ak je dané dovoené napätie σ DO (označenie en pre tento príkad) a vkresite priebeh normáového a šmkového napätia Rozmer sú v miimetroch D: σ DO = 80Pa H: σ, τ Ohbový moment v najviac namáhanom mieste pre nosník na obr 66 je = 6kNm a priečna sia = 5kN počet súradnice z ťažiska zoženého prierezu I: z z z z ,6mm Komé vzdiaenosti medzi rovnobežnými centánmi osami a, a a a : a z a a z z z z z 55,6 5 50,6mm 55,6 50 5,6mm 95 55,6 9,7 mm

22 Kvadratický moment k centránej osi : i i 00 a a a i a i i a ,6 00 z'=z = z =z =z C 50 0 D 0 a 500 5,6 080 a ' 67 Obr69 9, ,mm 6, z z z z σ τ [Pa] [Pa],9,,8 Normáové napätie v horných váknach: 6 60 Nmm ,mm z Normáové napätie v spodných váknach: 6 60 Nmm ,mm z Normáové napätie v bode C: C 6 60 Nmm ,mm zc Normáové napätie v bode D: D 6 60 Nmm ,mm zd,7 mm Pa 55,6mm 67 Pa,7 mm 0Pa 5,6mm 6,7 Pa Šmkové napätie v horných a spodných váknach: 0 Šmkové napätie v ťažisku:

23 S b * 50 N(9,7500 7,850,7) mm 0mm ,mm Šmkové napätie v bode C (prechod stojinapásnica): S C b * S C b * 50 N(9,7500) mm 50mm ,mm 50 N(9,7500) mm 0mm ,mm Pa,9Pa Šmkové napätie v bode D (prechod stojinapásnica): S D b * S D b * 50 N(50,600) mm 0mm ,mm 50 N(50,600) mm 0mm ,mm,Pa,8Pa 6,Pa Priebeh napätí sú zobrazené na obr 69 Z pevnostnej podmienk pre krajné vákna možno posúdiť, že daný prierez vhovuje, ebo je spnené: ma DO 67 Pa 80Pa však v bodoch C a D pôsobia okrem normáových napätí aj šmkové napätia, preto urobíme kontrou aj v týchto bodoch, pričom použijeme HH hpotézu pevnosti (pozri kapitou 9) Kontroa v bode C: HH red C C 0Pa,9Pa Kontroa v bode D: HH red D C DO DO 0,Pa 80Pa D 6,7 Pa,8Pa Daný prierez vhovuje D DO DO 6,9Pa 80Pa 66 Dimenzovanie nosníka Keďže maimáne normáové napätie je v krajných váknach, pevnostná podmienka pri dimenzovaní na ohb pre krajné vákna je: ma ma z ma D (66) kde σ D je dovoené napätie o všeobecnosti však môžu na eement pôsobiť ako normáové, tak aj šmkové napätia Potom na zákade havných normáových napätí aebo normáových a šmkových

24 t 6t t napätí je potrebné určiť redukované napätie σ red podľa vhodnej hpotéz pevnosti (pozri [, 6, ]) Potom pevnostná podmienka má tvar: red D (67) Príkad 60 Navrhnite rozmer priečneho prierezu podľa obr 60 z pevnostnej podmienk pre krajné vákna, ak je dané dovoené napätie ocee σ D Uoženie, tvar, zaťaženie a rozmer nosníka sú zrejmé z obr 60 Pre navrhnutý prierez vpočítajte hodnot normáového napätia v krajných váknach D: = 5kNm, =,5 m, σ D = 80Pa H: t 6t z'=z = z =z =z a 7,5 6,9 [kn] [knm] a a 0 t z z z z ' Obr60 Nosník budeme dimenzovať podľa najviac namáhaného miesta, ktoré je potrebné urrčiť tým, že zistíme hodnot vnútorných sí a vkresíme priebeh: 0 0 5kNm,5m 7,5kN 0 0,5m 5kNm 6,9kNm Priebeh vnútorných sí sú na obr 60 Najviac namáhaný prierez je vo votknutí, kde ma =6,9kNm počet súradnice z ťažiska zoženého prierezu I: z z z 0,5 tt t t t6t 7,5 t6t t z, t t t t6t 6t t Komé vzdiaenosti medzi rovnobežnými centánmi osami a, a a a :

25 a z a a z z z z z,t 0,5t,9t,t t 0,t 7,5t,t,06t Kvadratický moment k centránej osi : i i i a i i a t t t 6t 6t t,9t t t Z pevnostnej podmienk pre krajné vákna vpýva: ma ma z ma 8,7t ma D D,t t D t t 0,0m a a 0,t t6t,06t 6t t 8,7t, ma 8,7 D,6,90 Nm 6 8,7800 Pa t návrh Normáové napätie v horných váknach (ťah), z =,56t: 6,90 Nm 8,7 0,05m ma z 0,05m,560,05m 77,Pa Normáové napätie v spodných váknach (tak), z =,t: 6,90 Nm 8,7 0,05m ma z,0,05m 96,Pa Príkad 6 Navrhnite rozmer priečneho prierezu podľa obr 60 z pevnostnej podmienk pre krajné vákna, ak nosník je iatinový a je dané dovoené napätie v ťahu σ Dt a dovoené napätie v taku σ Dd Uoženie, tvar, zaťaženie a rozmer nosníka sú zrejmé z obr 60 D: = 5kNm, =,5 m, σ Dt = 5Pa, σ Dd = 00Pa H: t Keďže iatina má rôzne materiáové vastnosti v ťahu a v taku, musíme zistiť podľa ktorého dovoeného napätia budeme dimenzovať aimán ohbový moment je vo votknutí (obr 60) Hodnot normáového napätia sa menia po výške prierezu aimána hodnota normáového napätia vo votknutí bude v spodných váknach (z = z ma ) spodných váknach je tak, pretože ohbový moment je s mínusom: 6,9 knm Dimenzovať budeme podľa dovoeného napätia v taku σ Dd :

26 0,0m 0,05m Pa 8,7000 Nm,6,90 8,7,, 8,7 6 Dd ma Dd ma Dd ma ma Dd ma t návrh t t t t t z