7 VÝPOČET DEFORMÁCIE PRI OHYBE

Transcript

1 7 VÝPOČET EOÁCIE PI OHYBE Odozvou konštrukcie (konštrukčných prvkov) n vonkjšie zťženie je vznik deormácie Pod výpočtom deormácie pri ohbe rozumieme určenie veľkosti priehbu (oznčenie je pre priehb - posunutie v smere osi z; oznčenie u je pre priehb - posunutie v smere osi ) uh skonu priehbovej čir (pootočeni) φ (obr 7) Priehb uho skonu priehbovej čir φ nzývme deormčné veičin Obr 7 Horizontáne posunutie u (obr 7) možno znedbť, ebo v porovnní s je o rád menšie Nosník, ktoré pevnostne vhovujú môžu bť z dôvodu nedosttočnej tuhosti nevhovujúce Ab sme určii tuhosť konštrukcie, resp b sme vkoni kontrou tuhosti, musíme vedieť veľkosť priehbu nosník, z účeom určeni súčiniteľ m m (7) kde je dĺžk nosník ovoená hodnot m je pre väčšinu inžinierskch pikácií 4, čo zodpovedá pre nosník dhý 4mm, veľkosť priehbu mm Súčiniteľ m je určovný podľ noriem je v rozpätí e potrebné, b bo spnená podmienk: m m (7) kde m je mimán hodnot priehbu ost Goden Gte Bridge (9) (obr 7) v Sn rnciscu bo nvrhovný, b pri pnej prevádzke jeho mimán priehb bo metre ( stôp) Vzdienosť medzi dvom vežmi je 8 metrov (4 stôp), čiže súčiniteľ m=4 Obr 7

2 ovnic krivosti ρ neutránej osi nosník je vjdrená vzťhom () Výrz pre krivosť ρ z mtemtickej nýz je: d d d d (7) d eďže, možno znedbť, dostávme pribižnú Bernouiho dierenciánu d rovnicu priehbovej čir: d d (74) E Znmienko dierenciánej rovnice závisí od voľb súrdnicovej sústv Ak os z smeruje doe znmienko je mínus Potom: (75) E 7 etód výpočtu deormácie nosníkov Vužitie Cstiginových viet Vužitie ohr-eovej vet etód integrovni dierenciánej rovnice priehbovej čir 4 ohrov metód etód vužívjú energetické princíp etód 4 vužívjú dierenciánu rovnicu priehbovej čir (75) 7 eormčná energi pri ohbe eormčnú energiu ohýbného nosník U vpočítme: U U U (76) V kde U je deormčná energi od ohbových momentov U V je deormčná energi od posúvjúcich sí, ktoré vpočítme: U E d z (77) V UV d (78) G A kde E, G, (), V(),, A sú mteriáové, siové prierezové chrkteristik κ je Timošenkov koeicient eho veľkosť závisí od rozmerov priečneho prierezu U V možno pri riešení znedbť, potom:

3 U U (79) 7 Vužitie Cstiginových viet N výpočet priehbu vužijeme Cstiginovu vetu (7) n výpočet uhu skonu priehbovej čir φ vužijeme Cstiginovu vetu (74) edže poznáme deormčnú energiu ohýbného nosník (77), potom dosdením do prvej druhej Cstiginovej vet dostávme modiikovné Cstiginove vet (tzv ohrove integrá): U U n i n i i i E i d i E i d i n E i i n i E i i i i d i i d i (7) (7) kde, φ sú deormčné veičin v mieste, je si pôsobic v mieste, je ohbový moment pôsobici v mieste n je počet úsekov (rezov) iesto je miesto, v ktorom určujeme deormčné veičin Cstiginove vet môžeme použiť j pre určenie deormácie v bodoch tees, kde nepôsobí židn si, resp moment, k v dnom mieste zvedieme dopnkovú siu, resp dopnkový moment Podľ dopnkovej si, resp dopnkového momentu, robíme en prciánu deriváciu, ďej vo výpočte ich poožíme rovné nue: =, = 7 Vužitie ohr-eovej vet Princíp, z ktorého vchádz použitie ohr-eovej vet, je popísný v kpitoe 7 Vo vzťhu (6) možno pre ohb znedbť vpv normáových posúvjúcich sí, pretože vpv ohbových momentov je podsttne väčší Potom vzťh pre výpočet deormčných veičín pri ohbe má tvr: d E (7) Pre výpočet nosníkov, ktoré sú z jedného mteriáu priečneho proiu po ceej ich dĺžke potom možno písť: n (7) i i di E i i kde δ je deormčná veičin (priehb ebo uho skonu priehbovej čir φ) v mieste, n je počet úsekov, i je dĺžk i-tého úseku, ( i ) je ohbový moment n i-tom úseku od vonkjšieho zťženi je ohbový moment n i-tom úseku od jednotkového i Stepn Prokoievič Timošenko (878, Ukrjin - 97, Nemecko) eden z njvýznmnejších vedcov storoči v odbore mechnik kontinu V roku 9 emigrov do USA, kde prcov vo irme Westinghouse n univerzite v ichigne Od roku 96 prcov prednáš n Stnordskej univerzite V roku 954 prest úpne učiť venov s písniu nových kníh o mechnike pružnosti pevnosti, ktoré boi preožené do mnohých jzkov ptri dodnes k vhľdávným pubikáciám Od roku 964 ži v Nemecku odnes sú po ňom pomenovné bortóriá v Stnordskej univerzite njvššie ocenenie Americkej spoočnosti inžinierov mechnikov (ASE)

4 zťženi, ktoré pôsobí v mieste () smere hľdnej deormácie (, φ) Vzťh (7) oznčujeme ko ohr-eov vet pre ohb Pod jednotkovým zťžením rozumieme: zťženie nosník jednotkovou siou ( ) v mieste v smere hľdnej deormácie, k hľdáme priehb, zťženie jednotkovým momentom ( ) v mieste v smere hľdnej deormácie, k hľdáme uho skonu priehbovej čir φ Ak neznedbáme vpv priečnej si V osovej si N, potom ohr-eov vet pre určenie deormácie pri ohbe má tvr (6) 74 etód integrovni dierenciánej rovnice priehbovej čir N získnie ntického vjdreni priehbov uhov pootočení je potrebné nájsť riešenie dierenciánej rovnice (75) Uskutočníme dvojnásobnú integráciu vzťhu (75): E E d C dd C (74) kde C, sú integrčné konštnt, ktoré určíme z okrjových podmienok pre konkrétn nosník Okrjové podmienk závisi od uoženi nosník dvojnásobná integráci 75 ohrov metód V itertúre je ohrov metód tiež nzývná metód momentovej poch ebo metód sttickej nógie Táto metód vchádz z nógie medzi Scheder-Žurvského vzťhmi (64) pribižnou dierenciánou rovnicou priehbovej čir (74) d ( ) d d ( ) d E (75) Výpočet deormčných veičín možno pretrnsormovť n výpočet iktívnch momentov iktívnch priečnch sí V n iktívnom nosníku, pričom pre iktívne zťženie ptí: d d (76) E d d Hodnot priehbu zodpovedá hodnote iktívneho ohbového momentu ( = ) hodnot uhu skonu priehbovej čir φ zodpovedá hodnote iktívnej priečnej si V (φ =V ), keď zťžíme iktívn nosník iktívnm zťžením iktívne zťženie je priebeh ohbových momentov n pôvodnom nosníku od skutočného zťženi iktívn nosník je nosník, ktorý vtvoríme z pôvodného nosník ĺžk jednotivých úsekov sú zhodné, pričom jeho uoženie musí spĺňť okrjové podmienk (obr 7)

5 Obr 7 7 iešené príkd s použitím uvedených metód Príkd 7 Pre nosník n obr 74 určte priehb v bode pomocou Cstiginovej vet :,, E H: ekcie: A ; B Ohbové moment: B Potom: d E d E Obr 74 Prciáne derivácie: d d E

6 Príkd 7 Pre nosník n obr 75 určte uho skonu priehbovej čir φ A v bode A pomocou Cstiginovej vet :,, E H: φ A V bode A nepôsobí ohbový moment ko vonkjšie zťženie, podľ ktorého b sme robii prciánu deriváciu, keďže chceme vužiť vzťh (7) V tkomto prípde zvádzme dopnkový moment ko je to zobrzené n obr 75 eho orientáci je v smere hľdnej deormácie, resp predpokdná ekci B : B Ohbové moment: Obr 75 Prciáne derivácie: B Potom: A E E d = d d E boo použité pre prciánu deriváciu V ďšom výpočte φ A sme poožii rovné nue: = Ak je výsedný uho záporný, potom predpokdná orientáci dopnkového momentu je opčná, ko je to v tomto prípde Príkd 7 Pre nosník n obr 76 určte priehb v bode pomocou Cstiginovej vet :,, E H:

7 Obr 76 V bode nepôsobí vonkjši si, podľ ktorej b sme robii prciánu deriváciu, keďže chceme vužiť vzťh (7) V tkomto prípde zvádzme dopnkovú siu v mieste ko je to zobrzené n obr 76 ej orientáci je predpokdná, resp v smere hľdnej deormácie ekcie: B A Ohbové moment: Prciáne derivácie: A A Potom: 4 E d d E d d E Pretože ide o smetrický nosník, stčí, k horná hrnic druhého integráu bude /, nie Čiže pri smetrickom nosníku stčí riešiť poovicu nosník výrz násobiť dvomi Príkd 74 Pre nosník n obr 77 určte priehb v bode pomocou ohr-eovej vet :,, E H: Vtvoríme sstém sstém V sstéme pôsobí en vonkjšie zťženie V sstéme pôsobí en virtuán jednotková si v mieste smere hľdného priehbu V kždom sstéme je potrebné vpočítť rekcie zvášť!

8 Obr 77 ekcie: B A B A Ohbové moment v stéme : Ohbové moment v stéme : A A A A Potom: 4 E d d E d d E Opäť bo s výhodou vužitá smetri nosník Integrá pre výpočet priehbu sú identické s príkdom 7 Príkd 75 Pre nosník n obr 78 určte deormčné veičin v bode metódou integrovni dierenciánej rovnice priehbovej čir :, H:, φ Obr 78 Ohbový moment v mieste je, potom: Vkonáme dvojnásobnú integráciu: E

9 d C E E C d C E E Okrjové podmienk pre výpočet integrčných konštánt C : Priehb uho pootočeni vo votknutí sú rovné nue osdíme do vzťhov získných dvojnásobnou integráciou riešime ko sústvu dvoch rovníc s dvomi neznámmi C : E E C C E C E Potom rovnic pre výpočet uhov skonu priehbovej čir je: E E ovnic priehbovej čir je: E E E Pre výpočet φ dosdíme z nuu, keďže bod je v mieste = Potom φ vpočítme: E E φ z Obr 79 Priehb má preto zápornú hodnotu, ebo nstáv v smere zápornej osi z ko zobrzuje obr 79 dný smer φ je proti smeru hodinových ručičiek kdný smer je v smerom ndo Výhodou tejto metód je, že po získní rovnice pre uho skonu priehbovej čir rovnice pre priehbovú čiru možno určiť φ v ľubovoľnom bode nosník

10 Príkd 76 Pre nosník n obr 7 určte deormčné veičin v bode L ohrovou metódou :,, b H: L, φ eďže chceme vpočítť priehb v bode L, potrebujeme vpočítť veľkosť iktívneho momentu L v bode L pre uho skonu priehbovej čir v bode veľkosť iktívnej priečnej si V L, pretože ptí: L L; V V n iktívnom nosníku: V V b b b Uho skonu priehbovej čir v bode : V V b b E Priehb v bode L: b L b b b E Obr 7 Postup: Zostrojíme priebeh ohbových momentov pre skutočný nosník (obr 7) Zostrojíme iktívn nosník V tomto prípde skutočnému voľnému koncu zodpovedá iktívne votknutie, skutočnému votknutiu zodpovedá iktívn voľný koniec (obr 7) ozmer nosník sú rovnké iktívn nosník zťžíme iktívnm zťžením, ktoré zodpovedá priebehu skutočných ohbových momentov z bodu (obr 7) 4 Určíme V L n iktívnom nosníku Tieto veičin zodpovedjú skutočným φ L Príkd 77 Pre nosník n obr 7 určte deormčné veičin v bode vužitím Cstiginových viet, ohr-eovej vet, metód integrácie dierenciánej rovnice priehbovej čir ohrovou metódou : = 4kN, =,4m, E = 5 P, = 7 mm 4 H:, φ

11 Vužitie Cstiginových viet Určenie Obr 7 Obr 7 Ohbový moment prcián deriváci: Uvedené dosdíme do vzťhu (7) riešime: E d 4 N 4 mm 5 7 P mm E 4,8 mm d E E Priehb nosník v bode je,8mm Určenie φ Obr 7 Ohbový moment prcián deriváci: Uvedené dosdíme do vzťhu (7) riešime:

12 E d E d E 4 N 4 mm,5 rd, P mm Uho skonu priehbovej čir nosník v bode je,6 E Vužitie ohr-eovej vet Určenie Obr 74 Ohbové moment v sstéme : Vužitím vzťhu (76) dostávme: E Určenie φ d E d E Obr 75 Ohbové moment v sstéme : Vužitím vzťhu (7) dostávme: d d E E E etód integrovni dierenciánej rovnice priehbovej čir Určenie, φ Vužijeme pribižnú dierenciánu rovnicu priehbovej čir (75) Určíme ohbový moment riešeného nosník dosdíme do (75):

13 E Vkonáme dvojnásobnú integráciu: d E E C Obr 76 C d C E E 6 Pre výpočet integrčných konštánt C vužijeme okrjové podmienk: 6E E C C osdíme: E E C E 6E E E E E E φ() je rovnic skonu priehbovej čir () je rovnic priehbovej čir možno ich použiť pre výpočet φ v ktoromkoľvek mieste nosník, ktorý je určený súrdnicou ohrov metód Určenie, φ Ptí: V Vužijeme postup uvedený v príkde 76 eďže priebeh ohbových momentov n skutočnom nosníku je trojuhoníkový, pričom m, potom iktívnm zťžením bude trojuhoníkové spojité zťženie s veľkosťou: E

14 Ab sme vpočíti, φ, určíme rekcie vo votknutí iktívneho nosník Určenie rekcií: Obr 77 Potom: E E V Z príkdu riešeného podľ štroch uvedených metód možno vidieť, že všetkými metódmi bo získný rovnký výsedok, odišnosť bo v spôsobe získni tohto výsedku Príkd 78 Pre oceľový omený nosník podľ príkdu 66 n obr 66 určte priehb (posunutie v horizontánom smere) v bode vužitím ohr-eovej vet, k priečn prierez je obdĺžnikový 5mm H: vdrtický moment k centránej osi : mm ,7 mm 5 h b Ohbové moment :

15 Vtvoríme stém pre výpočet priehbu n obr 78 Obr 78 Ohbové moment : ohr-eov vet pre výpočet priehbu : E E d d E d d E d d E, potom: E 7 Po dosdení:

16 mm 5 P ,7 mm 6 Nmm Nmm7Nmmmm 4 9,6mm Výsedok získný uvedeným ntickým výpočtom možno porovnť s výsedkom numerického výpočtu pomocou metód konečných prvkov n obr 79 mm Nmm Obr 79 7 Vužitie komerčného sotvéru pre určenie vnútorných sí deormčných veičín N simuáciu mechnického správni s konštrukcií možno použiť sotvér určený pre tkéto výpočt ednou z možností je sotvér PTC Creo Simute vužívjúci n výpočet metódu konečných prvkov (P) [pozri 8], ktorá je numerickou metódou Eistujú rôzne komerčné výpočtové sotvér s rôznm rozshom unkcií vužívjúce ksickú P, resp metódu hrničných prvkov ebo iné výpočtové metód Prktick všetk súčsné progrm pre riešenie konkrétnch probémov technickej pre, ko j vedecko-výskumných probémov, v širokom rozshu pikácií, vužívjú vo svojej výpočtovej čsti P, z ngického inite Eement ethod (E) edzi komerčné výpočtové komerčné sotvér ptri PTC Creo Simute (predtým Pro/echnic), ANSYS, AINA, COSOS/, SC/NASTAN, SAP IV, NONSAP iné

17 Zdnie príkdu: : =4kN, =4kNm-, =5kNm, =b=m, c=m, E= 5 P H: V,, m, σ m HH Výsedk numerického riešeni imán priehb: m =6,9mm imáne redukovné npätie podľ HH hpotéz pevnosti: σ red m =44,64P Obr 7

18 Zdnie príkdu: : =knm, =4kN, =kn, =kn/m, =m, =mm, E= 5 P H: V,, m, σ m HH 4 Výsedk numerického riešeni imán priehb: m =,87mm imáne redukovné npätie podľ HH hpotéz pevnosti: σ red m =,8P priehbová krivk: m σ red m pred deormáciou Obr 7

19 Zdnie príkdu: : =kn, =4kN/m, =5kNm, =b=,8m, c=m, E= 5 P H: V,, m, σ m HH Výsedk numerického riešeni imán priehb: m =7,5mm imáne redukovné npätie podľ HH hpotéz pevnosti: σ red m =9,8P Obr 7

20 Zdnie príkdu: : =kn, =4kN/m, =5kNm, =b=,8m, c=m, E= 5 P H: V,, m, σ m HH Výsedk numerického riešeni imán priehb: m =96,mm imáne redukovné npätie podľ HH hpotéz pevnosti: σ red m =75,P Obr 7

21 Obr 7 7 znázorňujú grick výsedk numerického riešeni príkdov podľ zdni Nu n zvisej osi je oznčená obdĺžnikom ožno porovnť výsedk získné ntick numerick, ted dvom odišnými spôsobmi Výsedné hodnot sú zhodné, odišnosť je v metóde výpočtu, tj v spôsobe dosihnuti týchto výsedkov Numerické riešenie pomocou sotvéru Pro/Engineer Widire echnic nvše obshuje vizuizáciu priehbovej krivk (doe) Pri vužití unkcie nimácie môžeme sedovť ko s deormuje nosník vpvom vonkjšieho zťženi, ktoré pri nimácii kob nrsto od nu ž po konečnú hodnotu zťženi späť, j keď ide o sttickú nýzu