П Р В А К Р АГ У Ј Е В А Ч К А Г И М Н А З И ЈА М А Т У Р С К И Р А Д И З М А Т Е М А Т И К Е ПАРАБОЛА И ПАРАБОЛИЧНИ СВЕТ

Transcript

1 П Р В А К Р АГ У Ј Е В А Ч К А Г И М Н А З И ЈА М А Т У Р С К И Р А Д И З М А Т Е М А Т И К Е ПАРАБОЛА И ПАРАБОЛИЧНИ СВЕТ МЕНТОР: УЧЕНИК : Снежана Маринковић Зоран Лазић, IV- Крагујевац, јун 5.

2 САДРЖАЈ Страна. УВОД.... ЕКСЦЕНТРИЦИТЕТ КОНУСНОГ ПРЕСЕКА.... ПАРАБОЛА Конструкција параболе Механички начин конструисања параболе Конструкција параболе : Задати су директриса d и F Конструкција параболе : Задат параметар Oпшта једначина параболе Узајамни положај тачке и параболе Узајамни положај праве и параболе Једначина тангенте и нормале параболе Примена интегралног рачуна за израчунавање површине дела параболе Решени примери.... ПАРАБОЛИЧНИ СВЕТ Квадратна функција Коси хитац Параболички лук Момент просте греде Параболично огледало Параболични колектор Радар ЗАКЉУЧАК ЛИТЕРАТУРА...

3 . УВОД Su tačaa svih ravih oje sadrze aziva se Конусни пресеци заузимају веома значајно место у математици. Сматра се да их је открио грк Менехмо, у четвртом веку старе ере, и то као пресек конуса и равни нормалне на изводницу конуса. Врста пресека зависила је од угла при врху конуса. Уколико је угао оштар, прав или туп настају редом елипса, парабола и хипербола. Грчки математичар и астромом Аполоније из Перге (око 6. до 8. године пре нове ере) је детаљно проучавао конусне пресеке и дао им имена која се и данас користе. Многи математичари других епоха бавили су се проучавањем конусних пресека ( Паскал, Марин Геталдић у XVII веку, наш математичар Руђер Бошковић у XVIII веку у делу Теорија конусних пресека). Увођењем аналитичке геометрије теорија конусних пресека се знатно упрошћава, аналитичким доказивањем особина кривих линија. Аналитичка геометрија је комплетирала теорију конусних пресека, али су и конусни пресеци допринели развоју аналитичке геометрије. Конусни пресеци, поред математике, имају широку примену у :оптици, механици, физици, астрономији, архитектури и разним другим областима. У оптици њихов значај је у конструкцији огледала и сочива. Грчки матерематичар Архимед, који је добро познавао особине конусних пресека, нарочито параболе, конструисао је параболичка огледала помоћу којих је концентрисао сунчеве зраке и запалио римске бродове који су нападали његов град Сиракузу. Највећи значај конусни пресеци су добили када је Њутн доказао Кеплерове законе о кретању планета око Сунца. Путање планета и њихових сателита су елипсе, а путање комета су параболе или хиперболе. Конусни пресеци се називају конике или криве другог реда. Описују их једначине другог степена. Математичари их проучавају више од година. Крива је геометријски појам, апстракција обичне представе криве линије. У различитим одељцима математике,термин крива, се дефинише на различите начине, зависно од циљева и метода изучавања. Крива је геометријско место тачака простора чије су координате функције једне променљиве. Равaнске криве се могу задати :. Као пресек равни са површином,. Као скуп тачака које задовољавају задато својство,. Као путања тачке која се креће по одређеном закону (кинетички облик),. У аналитичком облику (представља график неке функције).

4 . ЕКСЦЕНТРИЦИТЕТ КОНУСНОГ ПРЕСЕКА Теорема: Сваки конусни пресек, осим круга, јесте геометријско место тачака у равни за које је однос растојања од неке сталне тачке F (жиже) и неке сталне праве DD ' (директрисе) стална величина. Доказ: Обележимо са К конусни пресек добијен пресеком равни Ω и конуса. У кружни конус је уписана лопта која додирује раван Ω у тачки F. Лопта додирује конус по кругу који лежи у равни w. Равни Ω и w се секу дуж праве DD. Узмимо произвољну тачку М на кривој К и из ње спустимо нормалу МА на праву DD '. Конструишимо изводницу МВ конуса. Обележимо са,w, обележимо са угао између изводнице и равни w и са =MC растојање тачке М од равни w. Тада важи следеће : MB= / si, AM= / si и MB=MF ( тангентне дужи на лопту повучене из тачке М су једнаке ) Одредимо сада однос растојања MF(=), тачке M од тачке F, и растојања AM(=d), тачке M од праве DD. MF AM MB AM si si e cost., si si или d e Одавде закључујемо да је тај однос сталан за ма коју тачку конусног пресека. Стална вредност е, однос растојања ма које тачке конусног пресека од жиже и директрисе зовемо ексцентрицитет конусног пресека. Ако је е<, конусни пресек је елипса Ако је е>, конусни пресек је хипербола Ако је е=, конусни пресек је парабола - -

5 . ПАРАБОЛА Парабола је крива у равни, која може да се представи као конусни пресек настао пресеком равни са правилном купом, при чему је раван паралелна са изводницом конуса. Дефиниција : Парабола (грч. παραβολή, једнако) је геометријско место тачака у равни са особином да је ма која тачка подједнако удаљена од једне сталне тачке (жижа) и једне сталне праве (директриса) у тој равни... Конструкција параболе.. Механички начин конструисања параболе Узмемо троугаони лењир ABC, са правим углом код темена C и конац дужине АC. Један крај конца учврстимо у темену А, а други у фокусу F. Ако страница BC клизи по директриси d, a конац се затеже оловком чији је врх стално уз страницу AC, онда тачка М у којој се налази врх оловке описује лук параболе са директрисом d и фокусом F

6 ... Конструкција параболе Задати су директриса d и фокус (жижа) F. Кроз тачку F поставимо праву (осу параболе) нормалну на d у тачки D. Теме параболе, тачка О, је средиште дужи DF. На оси бирамо произвољну тачку N тако да је D-O-N, кроз коју вучемо праву d. Праву пресецамо кружницом (F, ND ), тако да добијамо две тачке T и Т које леже на параболи. Са слике видимо да је FT = TD, где је D подножје нормале из Т. Када права садржи фокус, добијене тачке пресека кружнице (F, FD ) и, рецимо P и P дефинишу тачке које припадају параболи.... Конструкција параболе : Задат параметар Ако је задат параметар, парабола се конструише на следећи начин: -конструишемо симетралу параметра -у пресеку симетрале и осе параболе је теме S -лево од тачке S, бирамо произвољан низ тачака,,,, 5 са постепеним повећањем растојања између њих. -кроз тачке повлачимо нормале на осу параболе -из фокуса F описујемо лукове полупречника r5=p5, r= P, r=p, до пресека са нормалама кроз тачке 5,,,, -пресечне тачке лукова и нормала и теме S представљају тачке кроз које пролази парабола

7 .. Oпшта једначина параболе А(,), F(,) AB AF, AB, AF, квадрирањем и сређивањем једнакости добијамо :, једначина параболе. Такође, једначину параболе можемо доказати ако докажемо да се тачка А(,) налази на једнаком растојању од директрисе (са једначином ) и од F(, ) тако да тачка А(,) задовољава једначину параболе ( тачка припада параболи). Тада је AF = = = BA AF, што значи да тачка А припада параболи. = AB. Одавде следи да је... Дискусија једначине параболе:. Све апсцисе параболе су ненегативне ( из једначине параболе добијамо да је, свакој позитивној вредности х припадају две супротне вредности ( и )). Парабола је симетрична на х-осу и зато се х-оса зове оса параболе

8 . Када је х= =. Парабола пролази кроз координатни почетак, који представља теме параболе. Теме параболе је тачка најближа директриси. Због тога се назива и темена једначина параболе.. Када је х< C, на негативној страни х-осе нема тачака параболе.. Када је, што говори да се крива протеже у бесконачност. Удаљеност од х-осе зависи од, што је веће, удаљеност је већа и обрнуто. 5. Тетива повучена у жижи параболе зове се параметар параболе.параметар параболе је. Трансформацијом координатног система мењају се положаји директрисе и жиже, мења се и једначина параболе. Ротацијом за 8, или огледањем око у-осе, добија се парабола = - (<). Ротацијом за 9 добијамо параболу =... Узајамни положај тачке и параболе Парабола и тачка могу заузети три узајамна положаја, и то: -Тачка Т(,) лежи на параболи ако је = - Тачка Т(,) код које је = a > лежи ван параболе и за њу је > - Taчка Т(,) код које је = a < лежи унутар параболе и за њу је >.. Узајамни положај праве и параболе Парабола и права могу заузети три узајамна положаја. Решавањем система од две једначине (једначине праве и параболе) добићемо њихове заједничке тачке ако их има

9 - 9 - ) ( 8 8 ) ( ) ( ) ( D D D D D ac b D ) D>, ->, добијамо две вредности једначине, значи да имају две заједничке тачке, тј. права сече параболу. ) D= -= =, једнакост представља услов додира праве и параболе. Права и парабола имају једну заједничку тачку, тј. права додирује параболу. Права је тангента параболе. ) D<,. -<, једначина нема реална решења, права и парабола немају заједничких тачака, тј. права је ван параболе..5. Једначина тангенте и нормале параболе Ако једначину праве која је тангента на параболу заменимо у једначини параболе долазимо до услова додира праве и параболе =. Координате додирне тачке (,) одређујемо решавањем система = и =+., Координате додирне тачке су,,.ако из координата додирне тачке изразимо и, добијамо и. Ако проширимо са, добићемо. Како је = онда следи да је

10 . Заменом у добићемо, проширивањем једначине са добијамо ( ). Једначина тангенте параболе је ). (. Заменом у једначини праве Како је коефицијент правца тангенте параболе, може се закључити да угао који образује тангента параболе са осом О је мањи уколико је веће и обрнуто. Када, tg О. тада се парабола све више и више приближава смеру паралелном са осом Ако поставимо једначину тангенте која садржи тачку А(, ), коефицијент правца тангенте на параболу = можемо одредити помоћу диференцијаног рачуна (геометријско тумачење првог извода). ' ' ' ' f ( ). Једначина тангенте је f ( )( ) Како је коефицијент правца тангенте параболе, коефицијент правца нормале (из услова нормалности ) је. Ако поставимо једначину нормале која пролази кроз неку тачку А(, ) : ( ) или ( ) једначина нормале параболе у датој ' f тачки. Тангента и нормала у свим тачкама параболе и њихова физичка интерпретација : -зелена линија (тангента) представља вектор брзине -црвена линија вектор убрзања -љубичаста линија вектор нормале - -

11 Примена интегралног рачуна за израчунавање површине дела параболе Познато нам је из алгебре да се површина ограничена : луком криве f, апсцисном осом и ординатама које одговарају апсцисама и (>) израчунава се применом одређеног интеграла, тј.. d P Како је једначина параболе =, површина равног лика према обрасцу је d d d P Пошто је, добијамо да је P, односно површина равног лика ограниченог луком параболе, апсцисом и ординатом неке тачке лука једнака је производа координата. Пример: Израчунати површину равног лика ограниченог кривом =, апсцисном осом и ординатом тачке В(,) која лежи на параболи. d d P P, А(,), P=.7. Решени примери. Одредити жижу и једначину директрисе параболе. 6,) (,) ( 6, 6 F F

12 . Написати једначину тангенте параболе која је паралелна са правом Написати једначине тангенти параболе 6 из тачке А(,9). Прво испитамо да ли тачка припада параболи. 6, A,9 8 7, тачка не припада параболи. Пошто тачка не припада параболи, координате тачке замењујемо у једначини праве, A, / / Једначине тангенти : t : и t : 6.. Права додирује параболу 6( ) у тачки M,. Одредити : а) Одредити површину дела равни ограниченог датом кривом, тангентом у тачки М и O осом. б) Израчунати запремину тела насталог ротацијом око осе O фигуре ограничене правом и параболом. Решење: а) 6( ) 6( ( )) 6 M,

13 Одређивање једначине тангенте 6( ) ' 6 ' ' ' 6, M t 6 ( ) / Нека је Р површина правоуглог троугла ограниченог тангентом и правом х=-. Нека је Р површина фигуре ограничене параболом 6( ), правом х=- и Ох осом. Површина фигуре ограничене параболом, тангентом и Ох осом једнака је Р=Р-Р. 6 P 6 t P 6 6 P P P 6 d 6. 6 d dt d, t 6, t t dt 6 6 t dt t 6 6

14 - - Решење б) Нека је V запремина купе која настаје ротацијом правоуглог троугла ограниченог тангентом, правом х=- и Ох осом. Нека је V запремина тела које настаје ротацијом фигуре ограничене параболом ) 6(, правом х=- и Ох осом. Запремина тела насталог ротацијом фигуре ограничене параболом, тангентом и Ох осом око х осе једнака је разлици наведених запремина, односно V=V-V ) (7 ) ( ( )) ( ( 6 6 6, V V V d d d d V V H r H r V 5. Израчунати површину површи која настаје ротацијом лука параболе, око осе Ох, на сегменту,. b a f f P ) ( ) ( ' ,, ' ' t t dt t t t d dt t d d d P

15 . ПАРАБОЛИЧНИ СВЕТ Примена разних облика параболе у реалном свету представља параболични свет.. Квадратна функција У параболичном свету велику примену има и квадратна функција. Дефиниција: Квадратна функција је функција облика реални бројеви и a. a b c, R, где су a, b, c Крива у равни O која представља график квадратне функције a b c, R је квадратна парабола

16 . Кос хитац Кос хитац је кретање тела у хомогеном гравитационом пољу коме је дата почетна брзина под неким углом у односу на хоризонтални правац. Угао под којим се тело избацује назива се елевациони угао или елевација. Крива која настаје путањом тела је парабола. Једначина путање косог хитца дата је квадратном функцијом :,9 V cos tg Ако се коси хитац изводи са неке почетне висине h тада је,9 tg h. V cos Експериментално мењајући угао елевације при константној брзини V и убрзању, једначина косог хитца даје фамилију парабола. Фамилија парабола је обавијена једном параболом обвојницом која се назива парабола сигурности

17 Са слике се може закључити : -да се истом почетном брзином не може доћи изван параболе сигурности, јер она ограничава простор у коме се коси хитац може кретати. -за угао од 5, домет је највећи -када 9, достиже се највећа висина косог хитца. За, коси хитац постаје хоризонтални хитац а за 9 коси хитац постаје хитац у вис. Од осталих вредности угла елевације добија се фамилија парабола. Домет зависи од почетне брзине V и угла под којим је избачено тело по путањи косог хица. Коси хитац је присутан у великом броју спортова фудбалу (слободни ударац, центаршут), одбојци, кошарци (шутеви) и разним гимнастичким спортовима (бацање кугле, бацање копља). Испаљивање минобацачких и хаубичних (топовских) пројектила, је описано параболичком путањом косог хица... Параболички лук Математички модел параболичког лука, чија је висина f, а распон или ширина лука l је f ( ) f. l. Момент просте греде Момент на растојању х од краја греде је описан квадратном функцијом на следећи начин ql q ql q M q ( l). Може се закључити да је момент на крајевима греде једнак а на средини греде достиже максималну вредност. Када је l q l l ql l ql, M l

18 .5. Параболично огледало Ако парабола ротира око своје осе, она у простору описује површ која се зове параболоид. Параболично огледало je рефлектована површина која има облик дела ротационог параболоида. Параболично огледало је описано једначином, где је f жижно растојање. Ако огледало има f овакав облик онда ће сви зраци који падају паралелно -оси (главна оптичка оса огледала), да се секу у истој тачки која се назива жижа. Користи се за сакупљање или емитовање светлосних, звучних или радио сигнала. Зрак емитован тачкастим извором светлости или другим електромагнетним зрачењем из фокуса, након одбијања ће бити усмерен тако да буде паралелан са осом огледала, а зрак који долази паралелан с осом огледала, након одбијања стиже до жиже. Према закону рефлексије угао ударања једнак је углу одбијања таласа. Сваки зрак који пролази кроз жижу након рефлексије о пaраболу паралелан је оси параболе. То има велику примену код сателитских антена. Технички, парабола се примењује за такозване параболичне прелазе код разних машинских делова као сто су нпр. постоља машина..6. Параболични колектор Једна од интересантних примена параболичних огледала је у соларним термалним електранама које садрже параболичне колекторе. Параболични колектори се састоје се од дугих низова параболичних огледала (закривљених око само једне осе) и од соларног колектора који се налази изнад њих. Њихова предност у односу на остале сакупљаче светлости је што је потребно померање огледала само када је промена положаја Сунца у ортогоналном смеру, док приликом паралелног померања то није потребно, јер светлост и даље пада на колекторе. У Бадњевцу је др. Владимир Петровић инсталирао тањир у облику параболоида пречника метара, који се окреће према сунцу. Основна технологија рада параболичне соларне електране састоји се у концентрацији сунчевог зрачења преко параболичних металних огледала. У фокусу параболичних огледала се поставља пријемни колектор у коме се сунчева енергија - 8 -

19 претвара у топлоту загревајући синтетичко уље као трансфер топлоте која се даље користи у размењивачу топлоте ( парном котлу ) за производњу прегрејане водене паре која покреће стандардну парну турбину и генератор за производњу електричне енергије.. (Слика :Прва соларна топлана у Бадњевцу, патент др. Владимира Петровића).7. Радар Параболичка огледала имају широку примену у војној и цивилној индустрији. Користе се за израду радарских антена у Ратном ваздухопловсту и цивилном ваздухопловсту. Највећи произвођачи ове опреме су Руси. Радар користи параболичку антену за формирање предајног снопа а затим пријем сигнала који се рефлектује од циља (авиона). Параболичка антена се користи као рефлектор и омогућава формирање снопа у простору

20 5. ЗАКЉУЧАК У савременом свету постоје потребе сваког становника планете да примењују разне криве у поступку конструисања, изградње и израде разних објеката или предмета. Примена разних облика конусних пресека доприноси естетском изгледу објекта или готовог производа. У оквиру рада описан је значај једне од кривих сложеног облика парабола и њена функционална примена у реалном свету. Објашњени су неки од начина конструисања параболе. Изведена је алгебарска једначина параболе, као и услов додира праве и параболе, повезујући и примењујући диференцијални и интегрални рачун за израчунавање површине равног лика, запремине ротационих тела и површине ротационог тела ограниченог параболом. Рад садржи сликовито и мотивационо увођење параболе кроз показивање примена у: математици, физици, електротехници, грађевини, мостоградњи, бродоградњи, спорту, војној индустрији и другим областима науке. Одабрани примери и слике имају за циљ да скрену пажњу на неке од машинских, грађевинских, архитектонских, електронских делова које свакодневно срећемо, а настали су применом параболе. Криве су свуда око нас и чине свет лепшим и лакшим за употребу. Основни циљ овог рада је примена и повезивање математике са другим гранама науке. - -

21 6. ЛИТЕРАТУРА. Кечкић, Јован: Математика са збирком задатака за трећи разред средње школе, Београд, Завод за уџбенике, 8.. Петровић-Торгашев, Мирослава : Аналитичка геометрија, Природно- математички факултет, Крагујевац, Богославов, Вене: Збирка решених задатака из математике, Београд, Завод за уџбенике, 7.. Богославов, Вене : Збирка решених задатака из математике, Београд, Завод за уџбенике, Деспотовић, Жељко: Обновљиви извори енергије-стање и перспективе у свету и Србији, Београд,. - -

22 Датум предаје рада:. јун 5. године Датум одбране рада: 9-. јуна 5. године Коментар: Оцена: - -