UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED. Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE

Transcript

1 UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan ČÍSLA A POČÍTANIE BANSKÁ BYSTRICA 2013

2 Názov: Čísla a počítanie Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Vedecký redaktor: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Recenzenti: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Doc. RNDr. Tomáš Zdráhal, CSc. Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc. Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Všetky práva vyhradené. Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná a/alebo distribuovaná v akejkoľvek forme a akýmikoľvek prostriedkami či uchovávaná v databáze alebo systéme vyhľadávania bez predchádzajúceho písomného súhlasu vydavateľa a autorov. Za jazykovú úpravu a odbornú stránku textu zodpovedajú autori. ISBN

3 Abstrakt V tejto monografickej štúdii sa pokúsime priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní číselných oborov. Predstavíme matematický pohľad na cestu budovania číselných oborov. Podrobne charakterizujeme axiomatickú štruktúru oboru prirodzených čísel, ktorá je základom pre všetky ďalšie číselné obory. Pri každom číselnom obore poukážeme na spojitosť s vyučovaním matematiky na základných a stredných školách. Neopomenieme ani historické pozadie rozvoja číselných sústav. V závere práce sa venujeme zápisu prirodzeného čísla v rôznych z adických číselných sústavách. Abstract In this monographic study will attempt to bring background in establishing and expanding the numeric fields. We introduce a mathematical view of the road-building numeric fields. Characterize in detail the axiomatic structure of the field of natural numbers, which is the basis for all other numerical fields. For each numerical domain will point to a connection with the teaching of mathematics in primary and secondary schools. Aware that there is historical background of the development of number systems. In conclusion we pay the entry of natural numbers in a variety of system s-adic numbers.

4 Obsah Použitá symbolika a zvýraznenie textu... 6 Predslov... 7 Úvod Číselné obory Rozširovanie číselných oborov Obor prirodzených čísel Peanova aritmetika Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel Tretia skupina - súčin prirodzených čísel Štvrtá skupina - indukcia Vlastnosti operácií sčítania a násobenia Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel Kardinálne číslo množiny Prirodzené čísla ako kardinálne čísla Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami Konečná a nekonečná množina Usporiadanie na množine prirodzených čísel Cvičenie Obor celých čísel Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel Množina celých čísel Súčet a súčin celých čísel Absolútna hodnota celého čísla Usporiadanie na množine celých čísel Záporné čísla historický pohľad a modely Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel Cvičenie Obor racionálnych čísel Množina racionálnych čísel Vzťahy medzi množinami N, Z, Q Cvičenie... 51

5 5 Obor reálnych čísel Množina reálnych čísel Súčet a súčin reálnych čísel Cvičenie Obor komplexných čísel Množina komplexných čísel Algebrický tvar komplexného čísla Geometrická interpretácia - komplexná rovina Goniometrický zápis komplexného čísla Vlastnosti operácií sčítania a násobenia Cvičenie Spočítateľné a nespočítateľné množiny Veľkosť množín Spočítateľné množiny Nespočítateľné množiny Cvičenie Číselné sústavy Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave Počtové výkony s prirodzenými číslami Kritériá (znaky) deliteľnosti Cvičenie Kultúra počítania Zoznam použitej literatúry... 98

6 Použitá symbolika a zvýraznenie textu N = {0, 1, 2,, n, } - množina všetkých prirodzených čísel Z = {0, ±1, ±2,, ±n, } - množina všetkých celých čísel Q resp. R - množina všetkých racionálnych resp. reálnych čísel C - množina všetkých komplexných čísel x N, M N, symbolika používaná pre množiny v školskej matematike,,, - logické spojky: konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia Dôležitá poznámka Tvrdenie resp. matematická veta Matematický pojem, definícia resp. axióma Riešený príklad 6

7 Predslov Veda stále ovplyvňuje silnejšie náš život. V súčasnosti neexistuje oblasť spoločenskej praxe a ľudského života, ktorá by nebola zasiahnutá vedecko-technickým rozvojom. Dnešná doba je charakteristická prudkým prenikaním počítačov do všetkých sfér nášho života. Zároveň si však uvedomujeme, že veda sa vo svojom dlhom procese vývoja len postupne vydeľovala zo súhrnného poznania okolitého sveta na ako ho poznáme v súčasnosti výrobný prostriedok. Prešlo mnoho tisícročí, kým sa veda vyvinula do dnešnej podoby. Dlhodobý ale i obrovský rozmach vedy sa snáď do popísať na ceste, ktorej na začiatku stálo číslo prirodzené a pokračuje popri míľniku cesty nazvanom samočinný počítač. Začiatok cesty sme si stanovili do obdobia vzniku prirodzeného čísla. Ako a kedy to bolo, nie je jednoduché odpovedať. Na základe archeologických nálezov môžeme usudzovať na obdobie 30 tisíc rokov pred naším letopočtom, do ktorého je datovaný známy doklad o číselnom zázname, tzv. věstonická vrubovka. O prirodzenom čísle sa veľa popísalo, vznikali rôzne teórie o prirodzených číslach, až nakoniec sa zrodila teória množín (E. Zermelo 1908). Prvá písomná zmienka o prirodzených číslach a o základných matematických operáciách (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) je v moskovskom papyruse pochádzajúceho z roku 1890 pred n. l. a v Rhindovom papyruse, ktorý vznikol asi 1850 rokov pred n. l. Okolo roku 263 v Číne, Liou Hui 1 si svoj voľný čas krátil vymýšľaním jednoduchého zápisu pre svoje aktíva a pasíva svojej finančnej bilancie. Zavedie číslo fu", ako dlžobnú hodnotu, a má po starostiach. Trochu síce ešte potrvá, pokiaľ si ľudstvo vymudruje záporné čísla označovať pomocou znamienka (mínus). So zápornými číslami, tak ako ich dnes poznáme, sa stretávame roku 1489 v knihe Regel Algebra oder Cosse od chebského rodáka Johanna Widmanna 2. Medzi kladnými a zápornými číslami sa nachádza nula. V matematike zohrala veľkú úlohu a nemálo starostí narobila aj filozofom. Prvá zmienka o nule sa objavuje ojedinelo už v Egypte v 2. až 1. storočí pred n. l. Presný matematický význam nuly bol popísaný až v 6. storočí indo-arabskou matematikou. Dôležitú úlohu pri rozvíjaní pojmu čísla malo zavedenie znakov čísel (číslic). Nám známe a najčastejšie používané arabské číslice pochádzajú z Indie a do Európy sa dostali zásluhou Arabov v 10. storočí. Staré kultúrne národy mali svoje vlastné znaky (Číňania, Egypťania, Rimania a indiánsky kmeň Mayov). 1 Čínsky matematik Liu Hui ( ). Preslávil sa komentármi k Deviatim traktátom. 2 Pozri [FOLTA, 1979]. 7

8 Prvé vedecky spracované poznatky z aritmetiky pochádzajú zo starého Grécka. Nachádzame ich v prácach Pytagora, Euklida a Diofanta. Práve obdobie antického Grécka je poznamenané širokým rozvojom teórie čísel. Možno konštatovať, že od čias antických Grékov aritmetika stagnovala až do 17. storočia, keď sa zásluhou Fermata ( ) začala prudko rozvíjať. Veľa (ne)matematikov vymýšľalo a skúmalo vlastnosti rôznych čísel. Napríklad Leonardo Pisánský, zvaný Fibonacci ( ) bol obchodníkom a cestovateľom. Jeho obchodné cesty často smerovali do Grécka, Sýrie a Egypta a ako to už pri cestovaní býva máme dosť voľného času na premýšľanie. Fibonacciho pri cestách trápila takáto úloha. Koľko potomkov môže mať v jednom roku jediný pár mladých králikov, ak: 1. každý pár má v každom mesiaci jednu dvojicu potomkov, ktorá sa od druhého mesiaca rozmnožuje rovnakým spôsobom, 2. nevyskytujú sa žiadne prípady uhynutia. Neskôr sa rozvinula teória, ktorá skúma kategóriu takýchto čísel tiež nazývaných ako Fibonacciho čísla. Podobne lekár z Milána, Hieronimo Cardano ( ) v knihe Ars Magna vydanej roku 1545 dáva podnet pre zavedenie imaginárnych čísel. Precíznejšiu teóriu spracuje roku 1572 Rafael Bombelli. Ku komplexným číslam sa postupne vracajú A. de Moivre (1730), d Alembert (1746), ale až Hamilton v roku 1835 publikuje teóriu komplexných čísel. V histórii boli zaujímavé zastávky napríklad pri: Ludolphovom čísle π alebo pri iracionálnom čísle e, ktoré je základom prirodzeného logaritmu. Náš neúplný prierez o fundamentálnosti pojmu čísla nás doviedol až do doby vysokovýkonných počítačov. Viete aké čísla používajú tieto zariadenia pri svojej činnosti? Sú to len dve čísla: nula a jedna! A predsa, pomocou len týchto dvoch čísel a pomocou vopred vypracovaného predpisu, môžu riešiť zložité úlohy vo veľmi krátkom čase. Myšlienka na záver tohto predslovu. Vzniklo číslo, ale ľudstvo sa muselo s ním naučiť narábať (sčitovať, násobiť, a pod.). Vznikol počítač a ľudstvo sa musí naučiť s ním narábať! 8

9 Úvod Aritmetika (z gréckeho slova ἀριθμός, arithmos "číslo") je najstarší a najzákladnejší odbor matematiky. Význam aritmetiky je pozorovateľný v bežnom živote. Aritmetické operácie sčítania a násobenia používa takmer každý človek každý deň. Za základné aritmetické operácie považujeme sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Aritmetika zahŕňa aj zložitejšie operácie, ako sú odmocniny, mocniny, logaritmy a pod. Pojem prirodzeného čísla a algoritmy, ktoré popisujú sčitovanie a násobenie prirodzených čísel, sú preto hlavným predmetom štúdia už na prvom stupni základnej školy. Neskôr sa žiaci postupne oboznamujú s celými, racionálnymi, iracionálnymi a na strednej škole aj s komplexnými číslami. Na túto skutočnosť musí byť dobre pripravený učiteľ matematiky. Učiteľ matematiky musí poznať teoretické východiská zavedenia rôznych typov čísel ako aj matematické zdôvodnenie vlastností aritmetických operácií. Vedná disciplína, ktorá skúma vnútornú podstatu číselných štruktúr sa nazýva teoretická aritmetika. Teoretická aritmetika je vedná disciplína matematiky, ktorá sa systematicky zaoberá rôznymi spôsobmi zavádzania množiny prirodzených čísel a vlastnosťami aritmetických operácií s týmito číslami. Množinu prirodzených čísel chápe ako východisko pre postupné rozširovanie na množinu celých až komplexných čísel. Teoretická aritmetika každú číselnú množinu definuje ako číselný obor, ktorý interpretuje ako algebrickú štruktúru s dvoma binárnymi operáciami. V predloženom texte sme sa snažili priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní číselných oborov. Zdôrazníme tiež spojitosť s vyučovaním matematiky na základných a stredných školách. Neopomenieme ani historické pozadie rozvoja číselných sústav. V našej práci sme sa pokúsili nájsť kompromis medzi matematickou presnosťou a medzi zrozumiteľnosťou. Našou snahou bolo, aby čitateľ získal na malom priestore prehľad o základných číselných oboroch a číselných sústavách. Na niektorých vybraných miestach sme ponúkli aj pohľad na určité didaktické aspekty tykajúce sa vnímania danej problematiky žiakmi a študentmi základných a stredných škôl. Tento text nemá typickú matematickú štruktúru "Axiómy" - "Definícia" - "Lema" - "Dokaz lemy" - "Veta" - "Dokaz vety" - "Dôsledok" - Dokaz dôsledku" - atd. Nie je to ani "čistá didaktika", ale nie je to ani také voľne rozprávanie. V texte je určitá (avšak dostatočná) miera presnosti, technické detaily niektorých príslušných konštrukcií a dôkazov sa nachádzajú v ďalšej odporučenej literatúre. 9

10 1 Číselné obory Jedným z najčastejšie používaným pojmom, s ktorým sme sa doteraz pri štúdiu matematiky stretávali je pojem čísla. Postupne sme sa oboznamovali s prirodzenými, celými, racionálnymi a reálnymi číslami ako množinami čísel s určitou charakteristickou vlastnosťou. Na strednej škole sme sa mohli stretnúť aj s učivom o komplexných číslach. Poznáme základné vlastnosti sčítania, násobenia, odčítania, delenia, umocňovania, odmocňovania a usporiadania. Základné aritmetické operácie sú úzko prepojené s konkrétnou číselnou množinou. Číselný obor je množina čísel (číselná množina), na ktorej sú zavedené základné aritmetické operácie, sčítanie a násobenie. Číselné obory zavádzame postupne. Začíname oborom prirodzených čísel, ktorý rozšírime na obor celých. Obor celých čísel rozšírime na obor racionálnych a obor racionálnych na obor reálnych čísel. Nakoniec zavedieme komplexné čísla ako množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel. Potrebu rozširovania číselných oborov budeme demonštrovať na riešení jednoduchých typov rovníc. Ukážeme, že niektoré rovnice nemajú žiadny koreň v určitom číselnom obore ale v rozšírenom obore už majú korene. Budú nás zaujímať algebrické rovnice o jednej neznámej, t.j. rovnice typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, kde a sú konkrétne čísla s daného číselného oboru a x je neznáma. Žiaci počas štúdia na i základnej a strednej škole sa oboznamujú s postupným riešením rovníc rôznych typov. Uvedieme niekoľko prípadov, ktoré sa vyskytujú pri riešení rovníc. I. Na prvom stupni základnej školy rovnicu: x + 2 = 5 x + 5 = 2 žiaci vedia riešiť, ale rovnicu nedokážu riešiť, keďže nepoznajú záporné čísla. II. Na druhom stupni základnej školy: 2x 5 = 0 x = 0 žiaci vedia riešiť v obore racionálnych čísel nevedia riešiť - nepoznajú komplexné čísla. III. Na strednej škole už riešia ľubovoľné kvadratické rovnice s reálnymi koeficientmi a, b, c: ax 2 + bx + c = 0. 10

11 Z uvedeného vyplýva, že na prvom stupni ZŠ sa žiaci naučia počítať v obore prirodzených čísel. Musíme teda zaviesť pojem prirodzeného čísla a určiť pravidlá pre aritmetické operácie s týmito prirodzenými číslami. Neskôr na vyšších stupňoch vzdelávania vznikne potreba zavedenia: záporných čísel ako opačných čísel k prirodzeným, racionálnych čísel pomocou kmeňových zlomkov, iracionálnych čísel zavedením operácie odmocňovania, komplexných čísel v algebrickom a goniometrickom tvare. Učiteľ matematiky túto skutočnosť môže vhodne využiť pri motivácii žiakov v tematických celkoch, ktoré sa zaoberajú riešením rovníc. Na druhej strane učiteľ matematiky musí poznať teoretické východiská zavádzania a rozširovania číselných oborov. 1.1 Rozširovanie číselných oborov Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz predovšetkým na: Konštrukciu ( vytvorenie ) číselnej množiny ( nosiča ). Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine. Popísanie základných vlastností aritmetických operácií. To znamená, že v prvom rade musíme popísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla. Začneme vytvorením množiny prirodzených čísel. Pri každej ďalšej konštrukcii nového číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov. Uvedieme zjednodušenú ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla. Nech q N je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a p Z je ľubovoľné celé číslo. Potom môžeme množinu racionálnych čísel Q zaviesť aj pomocou relácie ekvivalencie na množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel. Takéto dvojice (p, q) môžeme interpretovať aj ako zlomky p. q Na množine zlomkov { a, a Z b b N+ } potom definujme rovnosť zlomkov takto: a b x y a. y = b. x. Dá sa ukázať, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín. Napríklad podmnožina, ktorá obsahuje zlomok 1 2 bude obsahovať aj zlomky 2, 3, Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú

12 Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za racionálne číslo. Za reprezentanta racionálneho čísla zvolíme každý zlomok p, ktorý je v základnom tvare q alebo tiež v primitívnom tvare. Teda, keď čísla p, q sú nesúdeliteľné a zároveň q > 0. Inými slovami, ak zlomok p q už nemôžeme krátiť. Množina racionálnych čísel Q je množina všetkých zlomkov v základnom tvare. Uveďme aj matematický zápis takejto množiny. Q = { p, p Z q q N+ D(p, q) = 1}. Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel (usporiadaných dvojíc) potom môžeme zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Prístup k zavedeniu racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Zavedenie racionálnych čísel pomocou vhodnej relácie ekvivalencie na množine karteziánskeho súčinu N N nachádzame vo väčšine odbornej literatúry, ktorá sa venuje teoretickej aritmetike. V tejto publikácii v kapitole Racionálne čísla detailnejšie popíšeme tento prístup. Výklad o číselných oboroch začneme axiomatickou konštrukciou prirodzených čísel a skončíme pri Gaussovej rovine komplexných čísel. 12

13 2 Obor prirodzených čísel Prirodzené čísla si utvorili ľudia pri skúmaní vzťahov medzi súbormi reálnych objektov. Ich vytvorenie bolo dôsledkom prirodzených potrieb pri riešení úloh bežného života ako napr. pri určovaní počtu kusov dobytka v stáde alebo pri hľadaní spravodlivého spôsobu rozdeľovania produktov spoločnej práce a pod. Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do dvojíc. Za najdôležitejšie zistenie pri počítaní objektov bol objav ľudstva, pomocou ktorého dokázali odpovedať na otázku: V ktorej zo skúmaných skupín je menej, viac resp. rovnako objektov? Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky, ktoré slúžili na primitívne určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave v roku Z archeologických údajov vyplýva, že ide o prvý doklad číselného záznamu, ktorý sa datuje do obdobia asi 30 tisíc rokov pred naším letopočtom. Obrázok 1: Věstonická vrubovka Ide o archeologický objav nazvaný podľa miesta nálezu - věstonická vrubovka 3. Je to stehenná kosť vlka, do ktorej je vyrytých 25 a 30 dobre hmatateľných zárezov. V prenesenom význame môžeme vrubovku nazvať aj modelom pre "jednotkovú" číselnú sústavu (sústavu o základe jeden), v ktorej poznáme len jeden zárez a prirodzené číslo vyjadríme počtom zárezov na kosti. Archeologické objavy dokázali, že ľudia už v prehistorickej dobe používali primitívne modely pre počítanie s prirodzenými číslami. Neskôr s rozvojom civilizácie v Mezopotámii a Egypte sa postupne zdokonaľovali počtové algoritmy. Dokonca v siedmom storočí nášho letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu. Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú teóriu prirodzených čísel. Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel 3 Pozri [FOLTA, 1997] 13

14 axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký matematik ) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu: Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo. 4 Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla axiomaticky. Giuseppe Peano ( ) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín. Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika. Existujú aj iné spôsoby zavedenia prirodzených čísel. Jedným z nich je množinový prístup, ktorý vychádza z axiomatickej teórie množín. Peanovej aritmetike a množinovému prístupu zavedenia prirodzených čísel sa podrobnejšie venujeme v nasledujúcich dvoch podkapitolách. 2.1 Peanova aritmetika Pri axiomatickom budovaní aritmetiky musíme vybrať niekoľko "základných" tvrdení, pomocou ktorých bude možné všetky ostatné odvodiť. Tieto základné tvrdenia budeme nazývať axiómy a ich pravdivosť nemusíme overovať. Všetky ostatné vety musíme dokázať pomocou zvolených axióm alebo už skôr dokázaných viet. Podobne pojmy, ktoré sa vyskytujú v axiomatickej teórii sú buď základné alebo odvodené. Východiskovým základným pojmom Peanovej aritmetiky je prirodzené číslo resp. množina všetkých prirodzených čísel. Pojem prirodzené číslo nedefinujeme, podobne ako v euklidovskej geometrii nedefinujeme bod. Takéto východisko trochu pripomína Kroneckerov výrok, že prirodzené sú dané vopred a mi im pripíšeme len nejaké vlastnosti. Axiomatická teória však popisuje aj spôsob ich vytvárania. V tejto súvislosti je vhodné si uvedomiť, že už deti v rannom veku nadobúdajú dosť dobrú predstavu o prirodzenom čísle jeden napríklad tým, že chápu význam prosby Daj mi... (cukrík a pod.). Neskôr, ale tiež ešte v rannom veku začnú chápať význam slovného spojenia Ešte raz alebo To je veľa a pod. Pripomeňme, že takýto vývoj zaznamenala aj naša civilizácia, dokonca 4 E. T. Bell, Men of Mathematics. New York 1986, str

15 ešte aj dnes existujú izolované kmeňové skupiny ľudí, ktorí poznajú len niektoré matematické pojmy: jeden, dva, tri a veľa 5. Peanova aritmetika si kladie za cieľ vedecky popísať vnútornú štruktúru množiny všetkých prirodzených čísel a zároveň popísať operácie sčítanie a násobenie na tejto množine. Axiómy navrhnuté Peanom, ktoré platia pre prirodzené čísla, nemajú zložité matematické vyjadrenie, preto si dovolíme ich uviesť v plnom znení. Komentár, ktorý k týmto axiómam uvádzame, pomôže čitateľovi pochopiť filozofiu Peanovej aritmetiky. Uvedieme aj niektoré jednoduché tvrdenia s ukážkami dôkazov. Prezentované dôkazy sa len v malej miere (možno len matematickým jazykom) líšia od zdôvodnení vlastností sčítania a násobenia, ktoré sa prezentujú v bežných učebniciach matematiky pre základné resp. pre stredné školy. Axiómy rozdelíme do štyroch skupín: Prvá skupina sa viaže na existenciu množiny prirodzených čísel. Druhá skupina definuje binárnu operáciu sčítanie. Tretia skupina definuje binárnu operáciu násobenie. n V štvrtej skupine uvedieme princíp matematickej indukcie Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník Existuje množina prirodzených čísel N s nasledujúcimi vlastnosťami: I. Ku každému prirodzenému číslu n N existuje jediný nasledovník n N (tiež prirodzené číslo!). II. Existuje jedno prirodzené číslo, ktoré nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného čísla. III. Každé dve rôzne prirodzené čísla majú dvoch rôznych nasledovníkov. Komentár. Prirodzené číslo, o ktorom hovorí druhá axióma označujeme symbolom 0 a nazývame nula. Nasledovník nuly 0 označíme arabskou číslicou 1. Podobne budeme postupovať pri ďalších nasledovníkoch. Teda budeme používať označenie: 0 = 1, 1 = 2, 2 = 3, Považujeme za dôležité upozorniť, že zároveň platia aj symetrické rovnosti: 1 = 0, 2 = 1, Použitím arabských číslic môžeme množinu prirodzených čísel, o ktorých hovorí prvá skupina axióm, symbolicky zapísať ako N = {1,2,, n, }. 5 [BARROW, 2000] 15

16 Tretia axióma hovorí, že nasledovník je prosté zobrazenie N do N. Pripomeňme, že v prvom ročníku na základnej škole deti sa začínajú najskôr zoznamovať s číslami 1, 2, 3, 4, 5, 6 a až potom sa stretnú s pojmom nula. Dokonca aj z historického nula 6 pohľadu sa objavuje až na konci 6. storočia v indo-arabskej matematike Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel Ku každým dvom prirodzeným číslam m, n N existuje prirodzené číslo m + n nazývané súčet týchto čísel, pričom platí: IV. Nula je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Matematický zápis m + 0 = m, pre každé prirodzené číslo m N. V. Pre pripočítanie nasledovníka k prirodzenému číslu platí vzťah: m + n = (m + n), pre každé dve prirodzené čísla m, n N. Komentár. Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla nula a existencie nasledovníka. Peano musel zodpovedať dve otázky. Prvá, čo sa stane s prirodzeným číslom, keď k nemu pripočítame číslo nula (napríklad sprava). Druhá, ako bude vyzerať súčet, keď pripočítame nasledovníka. Peano svoje odpovede sformuloval ako axiómy, pričom uvedená V. axióma je rekurentným matematickým vyjadrením. Táto axióma nám umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene. Ak v nej položíme n = 0, tak dostaneme: m + 0 = (m + 0), t. j. m = m + 1. Inými slovami, nasledovníka ľubovoľného prirodzeného čísla m získame pripočítaním čísla 1 k pôvodnému číslu m. Táto rekurentnosť umožňuje neobmedzené sčitovanie tak, ako to prezentuje nasledujúci príklad. Príklad. Vypočítajte Číslo 3 je nasledovníkom čísla 2, teda platí: 3 = 2. Po dosadení do a po opätovnej substitúcii: 2 = 1 a 1 = 0 dostaneme, že = (2 + 1 ) = ((2 + 1) ) = (((2 + 0) ) ) = (((2) ) ) = ((3) ) = (4) = 5 6 Pozri [STRUIK, 1963] 16

17 2.1.3 Tretia skupina - súčin prirodzených čísel Ku každým dvom prirodzeným číslam m, n N existuje prirodzené číslo m. n nazývané súčin týchto čísel, pričom platí: VI. Nula je agresívny 7 prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Matematický zápis m. 0 = 0, pre každé prirodzené číslo m N. VII. Pre vynásobenie nasledovníkom platí vzťah: m n = m n + m, pre každé dve prirodzené čísla m, n N Podobne ako pri súčte, navrhnuté axiómy definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla a nuly resp. nasledovníka. V axióme VII je skrytý súčin m (n + 1), ktorý v súlade so zaužívanými pravidlami v matematike chceme, aby sa rovnal súčtu m n + m. Príklad. Vypočítajte Číslo 2 je nasledovníkom čísla 1, teda platí: 2 = 1 a zároveň platí: 1 = 0. Po dosadení do 3. 2 dostaneme, že 3. 2 = 3.1 = ( ) = ( ) = ( ) + 3 = = Štvrtá skupina - indukcia VIII. Ak M je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu (0 M ) a zároveň pre každé prirodzené číslo n platí: n M n M potom M = N. Túto axiómu môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky. Nech φ(x) je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná x má definičný obor množinu prirodzených čísel N. Potom formula [φ(0) x(φ(x) φ(x ))] [ x N: φ(x)] je axióma, ktorá predstavuje formálny zápis matematickej indukcie Vlastnosti operácií sčítania a násobenia Predchádzajúce axiómy umožňujú vytvorenie množiny prirodzených čísel spolu s operáciami sčítania a násobenia. Operácie odčítania a delenia je možné zaviesť ako inverzné operácie k týmto operáciám. K operáciám odčítania a delenia sa vrátime v kapitole Obor celých 7 Termín sa používa v teórii o algebrických štruktúrach 17

18 čísel. V tejto kapitole sa budeme ešte venovať vlastnostiam sčítania a násobenia. Zo základnej školy si určite pamätáme, že napríklad platí: Sčítanie aj násobenie je komutatívne, teda môžeme napr. napísať = = 5 a zároveň 2 3 = 3 2 = 6 Riešenie danej rovnice sa nezmení, ak k obidvom stranám tejto rovnice pripočítame resp. odpočítame to isté číslo, teda napríklad [x + 3 = 5 ( 3)] [x = 2]. Podobná ekvivalentná úprava platí aj pre vynásobenie resp. vydelenie (pozor nenulovým číslom!) obidvoch strán rovnice vhodným číslom. Uvedieme niekoľko vlastností, ktoré platia pre sčítanie a násobenie prirodzených čísel zavedených pomocou Peanových axióm. Takéto vlastnosti v matematike nazývame vety. Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel Pripočítanie nuly (zľava) k ľubovoľnému prirodzenému číslu je tiež neutrálna operácia. Matematická formulácia: Pre ľubovoľné prirodzené číslo n N platí vzťah: 0 + n = n. Ak ľubovoľné prirodzené číslo vynásobíme nulou (zľava) dostaneme nulu. Matematická formulácia: Pre ľubovoľné prirodzené číslo n N platí vzťah: 0 n = 0. Operácie sčítania a násobenia sú komutatívne a asociatívne, naviac operácia násobenia je distributívna k operácii sčítania. Pre ľubovoľné prirodzené čísla a, b, c N platia nasledujúce vzťahy: a + b = a + b a zároveň a b = b a komutatívnosť a + (b + c) = (a + b) + c asociatívnosť sčítania a. (b. c) = (a. b). c asociatívnosť násobenia a (b + c) = a b + a c distributívnosť násobenia k sčítaniu Pri riešení rovníc využívame ekvivalentné úpravy dvoch druhov. Pre ľubovoľné čísla x, y, n 0 N platia nasledujúce vzťahy: x + n = y + n x = y krátenie pri sčítaní x n = y n x = y krátenie pri násobení V Peanovej aritmetike samozrejme platí vlastnosť jednotky: Pre ľubovoľné prirodzené číslo platí vzťah: n 1 = 1 n = n 18

19 Pri dokazovaní tvrdení uvedených v predchádzajúcich vetách sa vo väčšine prípadov využije princíp matematickej indukcie a zároveň sa aplikujú vhodné Peanove axiómy. V tejto publikácii si nekladieme za cieľ podávať podrobné matematické dôkazy vlastností/tvrdení. Podrobné dôkazy predchádzajúcich tvrdení môže čitateľ nájsť v rôznych vysokoškolských učebniciach z teoretickej aritmetiky 8. Uvedieme ukážku (filozofiu) dôkazu tvrdenia, ktoré sa nenachádza vo vyššie sformulovaných vetách. Našou úlohou bude dokázať tvrdenie: Pre ľubovoľné prirodzené číslo x N platí vzťah: x = x + 1 = 1 + x. Prvá časť tvrdenia (x = x + 1) vyplýva priamo s definície súčtu, presnejšie z druhej axiómy pre sčítanie. Stačí si uvedomiť, že platí x = x + 0. Potom už ľahko spočítame, že pre x platí: axióma pre pričítanie nasledníka x = (x + 0) = x + 0 = x + 1 Druhá časť tvrdenia (x + 1 = 1 + x) vyplýva priamo z vety o komutatívnosti sčítania. Toto tvrdenie môžeme dokázať aj pomocou matematickej indukcie. Ľahko sa presvedčíme, že tvrdenie platí pre x = 0: (veta o pričítaní nuly zľava) (axióma o pričítaní nuly) = 1 = Predpokladajme, že platí: x + 1 = 1 + x. [prvá časť implikácie (φ(x) φ(x )) o matematickej indukcii] Ak ukážeme, že platí: x + 1 = 1 + x, [druhá časť implikácie (φ(x) φ(x ))] tak tvrdenie podľa axiómy indukcie bude platiť pre všetky prirodzené čísla. Začnime s úpravou pravej strany poslednej rovnosti. Využitím druhej axiómy pre sčítanie postupne dostaneme: (indukčný predpoklad) 1 + x = (1 + x) = (x + 1) = čo bolo treba dokázať. (axiómy) = ((x + 1) + 0) = (x + 0) = x Napríklad: [POKORNÝ, 2010] 19

20 Uvedených osem axióm Peanovej aritmetiky úplne popisuje štruktúru číselného oboru prirodzených čísel. Prvé tri axiómy charakterizujú jeho nosiča - množinu prirodzených čísel. V školskej matematike týmto trom axiómam zodpovedá zápis prirodzených čísel pomocou číselnej osi. Obrázok 2: Číselná os pre prirodzené čísla Ďalšie štyri axiómy sú potrebné, aby sme vedeli sčitovať a násobiť dve prirodzené čísla. Posledná ôsma axióma o indukcii zaručuje, že žiadna iná množina vytvorená pomocou prvých šiestich axióm nebude nič iné, len množina všetkých prirodzených čísel. 2.2 Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel Množinový prístup pri zavedení pojmu prirodzeného čísla sa opiera o axiomatickú teóriu množín. Teóriu množín ako prvý systematicky spracoval Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ). Cantor je známy ako tvorca naivnej teórie množín, ktorú neskôr Ernst Zermelo a Abrahám Fraenkel rozpracovali do axiomatickej podoby. Axiomatická teória množín spolu s axiómou výberu sa stala základnou teóriou v matematike 20. storočia. Uvedieme len niektoré axiómy z teórie množín, ktoré úzko súvisia s množinovým prístupom zavedenia pojmu prirodzeného čísla. Pri formulovaní týchto axióm použijeme matematickú symboliku a ich voľnejší výklad popíšeme v priložených komentároch. Podrobnejší výklad k axiomatickej teórii množín čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1985] Axióma extenzionality Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď obsahujú rovnaké prvky. A = B (x A x B) Axióma vymedzenia Pre každú množinu A existuje množina B obsahujúca práve tie prvky z A, pre ktoré je splnená výroková forma φ(x). Túto množinu symbolicky zapíšeme B = {x A: φ(x)} Axióma nekonečna Existuje aspoň jedna nekonečná množina. 20

21 Komentár k axiómam Axióma extenzionality Množiny, ktoré majú rovnaké prvky, sa rovnajú. Uvedomte si, že rovnosť dvoch množín A = B je binárna relácia. Táto relácia je reflexívna, symetrická a tranzitívna, lebo ekvivalencia (x A x B) má tieto vlastnosti. Axióma vymedzenia Pre výrokovú formu φ(x) 9 definovanú na množine A existuje práve jedna množina B = {x A: φ(x)}. Je to množina všetkých prvkom z množiny A, ktoré majú vlastnosť φ(x). Niektoré zaujímavé dôsledky: prázdnu množinu charakterizuje výroková forma x x podmnožina B A je určená výrokovou formou x B x A prienik dvoch množín určíme pomocou výrokovej formy x A x B. Axióma nekonečna Podrobnejší matematický výklad, ktorý čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1994] popisuje konštrukciu aspoň jednej nekonečnej množiny. Konštrukcia nekonečnej množiny (teda aj jej existencia) vychádza z myšlienky, že ak máme nejaký prvok x potom vieme vytvoriť aj množinu {x} a následne aj množinu {x, {x} }. Túto konštrukciu môžeme opakovať nekonečne krát. Napríklad vezmime si prázdnu množinu ako nejaký konkrétny prvok. V podstate sme si vzali nič. Potom podľa axiómy vymedzenia existuje množina {x: x = } = { }. Teda množina, ktorá obsahuje prázdnu množinu ako jediný prvok. Teraz podľa axiómy zdvojenia (túto sme v našom zozname neuviedli) existuje množina {, { }}. { } {, { }} {, { }, {, { }}} V tomto rade máme množiny, ktoré zrejme majú nejaký počet prvkov: - nula prvkov { } - jeden prvok {, { }} - dva prvky atď. Tento príklad nám ukazuje na možnú súvislosť teórie množín a aritmetiky. Práve o tom je táto podkapitola. 9 Výroková forma φ(x) je výraz, ktorý obsahuje premennú x. Ak za premennú dosadíme vhodnú konštantu dostaneme výrok. Napríklad φ(x): x + 3 = 5 je výroková forma a φ(2): = 5 je pravdivý výrok. 21

22 Nekonečným množinám sa budeme venovať podrobnejšie v samostatnej kapitole. Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem ekvivalentnosti dvoch množín. Pri jeho zavedení použijeme termín bijektívne zobrazenie medzi dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla jeden len s jedným. Ak budú pospájané všetky prvky v množine A a zároveň všetky prvky v množine B, tak sme vytvorili bijektívne zobrazenie. Takéto pravidlo používajú aj deti na prvom stupni základnej školy. Napríklad, keď porovnávajú dve skupiny s rovnakým počtom prvkov. Budeme hovoriť, že množina A je ekvivalentná s množinou B, ak existuje prosté zobrazenie množiny A na množinu B (bijekcia: A B). Skutočnosť, že množina A je ekvivalentná s množinou B budeme zapisovať symbolom A B Kardinálne číslo množiny Nech M je nekonečná množina a P(M) jej potenčná množina 10. Existenciu množiny M zaručuje axióma nekonečna. Definujme binárnu reláciu R na potenčnej množine P(M): R = {(A, B) P(M) P(M): A B}. Príklad. Nech M = N = {0,1,2,, n, } je množina prirodzených čísel. Potom relácia R bude obsahovať napríklad dvojice: ({0}, {1}), ({1}, {2}),..., ({0}, {7}),..., jednoprvkových podmnožín ({0, 1}, {1, 2}),,..., ({0,1}, {5,7}),..., dvojprvkových podmnožín ({0, 1, 2}, {1, 2, 4}),,..., ({0,1,2}, {5,7,8}),..., trojprvkových podmnožín atď. Veta o ekvivalentnosti množín Nech P(M) je potenčná množina. Binárna relácia R = {(A, B) P(M) P(M): A B} je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Dôkaz. Binárna relácia R = {(A, B) P(M) P(M): A B} je zrejme reflexívna. Stačí uvažovať o identickom zobrazení na množine A, ktoré je zrejme bijektívne. V takom prípade dostaneme A A, z čoho vyplýva (A, A) R. 10 Potenčná množina P(S) je množina všetkých jej podmnožín. 22

23 Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu (A, B) R musí v zmysle definície relácie R existovať bijekcia f: A B. Uvažujme o inverznom zobrazení f 1 : B A. Také zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí (B, A) R. Tým sme dokázali, že R je symetrická. Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je bijekcia. Dôsledok. Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine P(M). Existuje rozklad množiny P(M) podľa relácie R. Takýto rozklad označíme symbolom P(M) R. Skúmajme teraz triedy tohto rozkladu. Príklad. Nech M = N = {0,1,2,, n, } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad P(N) R bude obsahovať napríklad triedu, ktorá obsahuje: všetky jednoprvkové podmnožiny: T {1} = {{0}, {1}, {2},, {n}, } alebo všetky dvojprvkové podmnožiny: T {0,1} = {{0,1}, {0,2},, {1,2},, {1, n}, }. Označenie pre triedy rozkladov T {1}, T {0,1},... môžeme nahradiť jednoducho symbolmi 1, 2,..., čo sú vlastne arabské číslice pre označenie prirodzených čísel. Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí (pod)množina A, môže byť symbolicky zapísaná ako T A = {X P(M): X A}. Teda je to množina všetkých podmnožín X množiny M, ktoré sú ekvivalentné s podmnožinou A. 1. Trieda rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine môžeme zapísať v tvare: T = {X P(M): X }. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina. Teda T = { } obsahuje množinu, ktorá má nula prvkov. 2. Trieda rozkladu, ktorá prináleží množine A = {a} môžeme zapísať v tvare: T A = {X P(M): X {a}}. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden prvok. 3. Ak zvolíme konečnú množinu N k = {n 1, n 2,, n k }, tak trieda rozkladu prislúchajúca množine N k bude obsahovať všetky konečné množiny, ktoré obsahujú práve k prvkov. Tieto úvahy nás vedú ku konštatovaniu, že všetky množiny v danej triede rozkladu majú rovnaký počet prvkov. To nás oprávňuje zaviesť pojem kardinálneho čísla množiny. 23

24 Tvrdenie uvedené v predošlej vete platí aj pre systém S všetkých množín. Systém všetkých množín je korektný termín v axiomatickej teórii množín. Termín množina všetkých množín je nekorektný a vedie k známym Zenónovým apóriam, ktoré sa objavujú pri úvahách o nekonečne. Kardinálne číslo množiny Každej triede rozkladu T A = {X S: X A} na systéme S všetkých množín priradíme symbol, ktorý nazveme kardinálne číslo množiny A. Symboly používané pre kardinálne číslo množiny A sú: card(a) alebo A prípadne A Prirodzené čísla ako kardinálne čísla Nech S je nekonečná množina a nech K je ľubovoľná konečná podmnožina množiny S. Potom množina N = {card(k), K S} je množina prirodzených čísel. Prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín sú východiskom pre zavedenie pojmu prirodzeného čísla v školskej matematike. Na prvom stupni základných škôl sa žiaci oboznamujú s prirodzenými číslami tak, že skúmajú vlastnosti konkrétnych konečných množín pomocou spájania prvkov v týchto množinách. Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu, že počet krúžkov v prvej skupinke je rovný počtu štvorčekov v druhej skupinke. Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3. Obrázok 3: Porovnávanie množín Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomme si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny. Nasledujúci príklad z pracovného listu pre prvý ročník základnej školy hovorí o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. Úlohy tohto typu neskôr rozširuje tak, že 24

25 vytvárame skupinky rôznych druhov ovocia a zároveň zväčšujeme jeho množstvo. To nám umožní meniť charakteristickú vlastnosť pre konkrétnu podmnožinu ovocia. Príklad. Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku? Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká. Obrázok 4: Jablká Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami Sčítanie kardinálnych čísel Nech A, B sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú card(a), card(b). Potom pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo zjednotenia A B. Symbolicky: card(a) + card(b) = card(a B), ak A B = V definícii predpokladáme, že množiny A, B sú disjunktné. Ak množiny A, B nie sú disjunktné, tak vieme nájsť množiny A, B, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť A A, B B. 11 Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín A, B budeme rozumieť súčet kardinálnych čísel množín A, B. Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín A, B. Dokážeme nasledujúce tvrdenie. Veta o súčte kardinálnych čísel Nech A, B sú množiny, pre ktoré platí A B = a nech A, B sú ľubovoľné disjunktné množiny, pre ktoré platí A A, B B. Potom platí: card(a) + card(b) = card(a B ) Dôkaz. Stačí ukázať, že existuje bijekcia f: A B A B. 1. Množiny A, A sú ekvivalentné existuje bijekcia f 1 : A A. 2. Podobne pre množiny B, B vieme nájsť bijekciu f 2 : B B 3. Definujme zobrazenie f: A B A B takto: f(x) = { f 1(x), x A f 2 (x), x B. 11 Premyslite dôkaz tohto tvrdenia. 25

26 Zobrazenie f(x) je zrejme bijekcia. Ilustrujte to konkrétnom príklade a premyslite podrobný zápis dôkazu. Príklad. Nech A, B sú množiny, pre ktoré platí A = {1,2,3} a B = {3,4}. Vypočítajte súčet card(a) + card(b). Keďže množiny A, B nie sú disjunktné, nahraďme napríklad množinu B inou ale s ňou ekvivalentnou množinou. Napríklad B = {a, b}, ktorá obsahuje písmená. Potom už bude platiť A B = a podľa predchádzajúcej vety dostaneme: card(a) + card(b) = card(a B ) = card({1,2,3, a, b}) = 5. Na začiatku tejto podkapitoly sme uviedli, že axiomatická teória množín sa stala základnou teóriou v matematike 20. storočia. Silu teórie množín teraz môžeme prezentovať pri odvodení vlastností sčítania prirodzených čísel, ak využijeme vlastnosti zjednotenia dvoch množín. Pre zjednotenie dvoch množín (a teda aj disjunktných množín) platí komutatívny a asociatívny zákon. Ak označíme card( ) = 0, card({a}) = 1,..., card({n 1, n 2,, n k }) = k, tak tvrdenia z Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel týkajúce sa komutatívnosti, asociatívnosti a distributívnosti uvedené v Peanovej aritmetike sú jednoduchým dôsledkom tvrdení z teórie množín. Napríklad platí card(a) + card(b) = card(b) + card(a) lebo platí A B = B A. Táto skutočnosť je hlavným dôvodom, prečo sa v školskej matematike zavádzajú prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín. Násobenie kardinálnych čísel Nech A, B sú dve konečné množiny, ktorých kardinálne čísla sú card(a), card(b). Potom pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo karteziánskeho súčinu A B. Symbolicky: card(a) card(b) = card(a B). Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená, že násobenie prirodzených čísel je komutatívne a asociatívne. Tiež platí množinová rovnosť (v logike jej zodpovedá tautológia) A (B C) = (A B) (A C), odkiaľ vyplynie distributívnosť násobenia voči sčítaniu. Pomocou množinových rovností môžeme ľahko ukázať vlastnosť násobenia číslami nula a jedna. 26

27 V tejto podkapitole sme niekoľko krát použili termín konečná resp. nekonečná množina, ktorých význam intuitívne chápeme. V teórii množín sa zaužívali dva prístupy k definovaniu pojmu konečná resp. nekonečná množina. Uvedieme obidva prístupy. Predtým ešte uvedieme aký je vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom. Vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom popisuje nasledujúca konštrukcia. Nasledovníka prirodzeného čísla n zavedieme ako kardinálne číslo množiny A {x}, kde card(a) = n a zároveň x A Konečná a nekonečná množina Tarskeho definícia konečnej množiny: Množina A je konečná, pokiaľ každá neprázdna podmnožina potenčnej množiny P(A) má aspoň jeden maximálny prvok vzhľadom k usporiadaniu byť podmnožinou. Nekonečná množina je taká množina, ktorá nie je konečná. Príklad. Maximálny prvok množiny A = {{1}, {2}, {1,2,3}} je podmnožina {1,2,3}, pretože množiny {1}, {2} sú zároveň jej podmnožinami. Prešetrením všetkých možných podmnožín množiny P(A) zistíme, že každá má maximálny prvok. Z uvedeného vyplýva, že množina A je konečná. Mimochodom počet všetkých podmnožín množiny A = {{1}, {2}, {1,2,3}} je rovný 2 3 = 8! Pri množinách s veľkým počtom prvkov je aplikácia Tarskeho definície príliš náročná a rozsiahla. Dedekindova definícia nekonečnej množiny: Množina A je nekonečná, ak je ekvivalentná s nejakou jej vlastnou podmnožinou. Konečná množina je taká množina, ktorá nie je nekonečná. Pre naše ďalšie skúmania vlastností prirodzených čísel bude vhodná Dedekindova definícia nekonečnej množiny. Ukážeme, že množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná množina. 27

28 Veta o nekonečnosti množiny prirodzených čísel Množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná množina Dôkaz. Nech M = N {0} je množina všetkých prirodzených čísel okrem nuly. Zrejme platí: M N. Definujme zobrazenie υ: N M, kde υ(n) označuje nasledovníka prirodzeného čísla n. Z definície nasledovníka vyplýva, že funkcia nasledovník je prostá. Keďže 0 M, tak zobrazenie υ bude aj zobrazením na. Pozri obrázok. Obrázok 5: Bijekcia To znamená, že množina prirodzených čísel je ekvivalentná so svojou vlastnou podmnožinou. Odtiaľ vyplýva, že množina N nekonečná. V definícii kardinálneho čísla sme predpokladali, že S je systém všetkých množín. To znamená, že tento systém obsahuje aj množinu všetkých prirodzených čísel N. Preto má zmysel pýtať sa, aké je kardinálne číslo množiny všetkých prirodzených čísel. Je zrejmé, že to nemôže byť žiadne prirodzené číslo. V opačnom prípade, by množina N všetkých prirodzených čísel bola konečná. Pripomíname, že sme prirodzené čísla v predchádzajúcej časti zaviedli takto: Nech S je nekonečná množina a nech K je ľubovoľná konečná podmnožina množiny S. Potom množina N = {card(k), K S} je množina prirodzených čísel. Na označenie kardinálneho čísla množiny všetkých prirodzených čísel použil Cantor písmeno hebrejskej abecedy ℵ - alef, pričom pridal dolný index 0. Z uvedeného vyplýva, že card(n) ℵ 0. Úvahy aplikované v dôkaze vety o nekonečnosti množiny prirodzených čísel nám umožňujú tvrdiť, že pre kardinálne číslo množiny M = N {0} platí: card(n {0}) = ℵ 0 ale tiež platí ℵ = ℵ 0. Analogickými úvahami by sme prišli k záveru, že card(n N k ) = ℵ 0, kde N k = {1,2,, k} 28

29 Uvedené vzťahy sa často interpretujú známou historkou, ako sa ubytovať v nekonečnom hoteli 12. Kardinálne číslo ℵ 0 je prvým nekonečným kardinálnym číslom. Teória, ktorá skúma vzťahy medzi nekonečnými kardinálnymi číslami, tvorí samostatnú časť v teoretickej aritmetike a nesie názov Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Kapitolu o obore prirodzených číslach uzavrieme podkapitolou o usporiadaní na množine prirodzených čísel Usporiadanie na množine prirodzených čísel Pri štúdiu binárnych relácií sme sa stretli s pojmom lineárneho usporiadania. Vo všeobecnosti binárnu reláciu nazývame lineárnym usporiadaním, ak táto relácia je antisymetrická, tranzitívna a úplná. V prípade, že relácia je zároveň antireflexívna hovoríme o ostrom lineárnom usporiadaní. Na množine prirodzených čísel N zavedieme binárnu reláciu takto: Prirodzené číslo m je menšie nanajvýš rovné číslu n (označenie m n ) práve vtedy, ak existuje prirodzené číslo p N a zároveň m + p = n, kde m, n N. Z vlastností množiny prirodzených čísel ako kardinálnych čísel vyplýva, že existujú množiny N m = {1,2,, m} a N n = {1,2,, n} a zároveň pre ich kardinálne čísla platí: card(n m ) = m, card(n n ) = n. Teraz môžeme reláciu zaviesť nasledovne: m n práve vtedy, ak N m N n. Takto definovaná binárna relácia má tri základné vlastnosti: je antisymetrická, tranzitívna a úplná. Veta o lineárnom usporiadaní množiny prirodzených čísel V nasledujúcej vete použijeme formálne matematické zápisy z dôvodu, aby sme čitateľovi priblížili aj ukážku čisto matematického dôkazu. Komentár k nasledujúcej vete prenechávame pre čitateľa. Binárna relácia je lineárnym usporiadaním. Relácia je antisymetrická: m, n N: (m n) (n m) m = n Relácia je tranzitívna: m, n, k N: (m n) (n k) m k Relácia je úplná: m, n N: (m n) (n m) 12 Viac na 29

30 Dôkaz. 1. Antisymetričnosť. Predpokladajme, že výrok m, n N: (m n) (n m) je pravdivý. Z definície binárnej operácie vyplýva, že existujú prirodzené čísla p 1, p 2 a zároveň platia rovnosti: m + p 1 = n a zároveň n + p 2 = m. Dosaďme do druhej rovnosti za číslo n hodnotu m + p 1. Po vhodných úpravách (ak použijeme asociatívnosť pre sčítanie a vlastnosť nuly) dostaneme rovnosť m + (p 1 + p 2 ) = m + 0. Využitím vlastnosti vety o krátení pre sčítanie dostaneme, že p 1 + p 2 = 0. Posledná rovnosť platí len pre p 1 = p 2 = 0. Dokážte to! Záver: m = n. 2. Tranzitívnosť. Predpokladajme, že výrok m, n, k N: (m n) (n k) je pravdivý. Z definície operácie vyplýva, že existujú prirodzené čísla p 1, p 2 a zároveň platia rovnosti: m + p 1 = n a zároveň n + p 2 = k. Dosadením za n dostaneme (m + p 1 ) + p 2 = k a využitím asociatívnosti sčítania dostaneme požadované tvrdenie. Dôkaz posledného tvrdenia prenechávame na čitateľa. Operácie sčítania a násobenia prirodzených čísel sú kompatibilné s reláciou lineárneho usporiadania v nasledujúcom význame. Pre ľubovoľné prirodzené čísla 1. Ak m n, tak m + k n + k. 2. Ak m n, tak m. k n. k. m, n, k platí: Dokážte tieto tvrdenia využitím vlastností kardinálnych čísel. Zrejme druhé tvrdenie triviálne platí pre k = 0. V školskej matematike tieto tvrdenia môžeme prezentovať ako ekvivalentné úpravy pri riešení nerovníc. Pričítanie prirodzeného čísla k obidvom stranám nerovnice a vynásobenie oboch strán nerovnice nenulovým prirodzeným číslom (teda kladným). 30

31 Cvičenie 1. Spočítajte a zdôvodnite: = 0. 2 = = 5. 1 = = 4. 3 = 2. Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla x, y N platí: x = 0 + x = x + 0 x + y = y + x x y = y x 3. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n 1 platí: (2n 1) = n n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2 4. Zdôvodnite priamo z definície, prečo platí:

32 3 Obor celých čísel Ako sme ukázali na začiatku prvej kapitoly jednoduchá algebrická rovnica x + 5 = 2, ktorej koeficienty 1, 2, 5 sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie. Naše vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav odčítanie čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme (x + 5) 5 = 2 5. Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme x, ale na pravej strane rovnice to nie je prirodzené číslo. Výsledkom je záporné číslo -3. Táto jednoduchá rovnica a jej riešenie skrýva v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel. Pomocou inverznej operácie k sčítaniu pomocou odčítania. V kapitole o prirodzených číslach sme sa nezmienili o možnostiach odčítania v množine N. Zrejme niekedy odčítať dve prirodzené čísla vieme a niekedy nie. Vo všeobecnosti odčítanie v obore prirodzených čísel zavedieme nasledovne. Nech m, n N sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo r N, pre ktoré je splnená rovnosť m + r = n, tak toto číslo nazveme rozdielom čísel n, m v tomto poradí a budeme ho označovať symbolom n m. Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel r = 2 5. Pri jeho hľadaní vlastne riešime rovnicu 5 + r = 2, čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly. Keď chcel človek vyjadriť hodnoty menšie ako nula (nadmorská výška pod úrovňou morskej hladiny, teplota pod 0 C a pod.) začal používať aj opačné čísla k prirodzeným číslam. Opačné číslo k prirodzenému číslu n N, ktoré už nevyjadruje počet prvkov nejakej množiny (nie je to už prirodzené číslo), označme symbolom n. Číslo opačné k prirodzenému číslu budeme nazývať záporné číslo. Opačné číslo n jednoznačne dokážeme určiť pomocou prirodzeného čísla n. Jednoducho postačí, ak budeme požadovať platnosť vzťahu n + ( n) = 0. Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla ( 3) v piatom ročníku základnej školy s výhodou môžeme použiť termín pasíva. Na druhej strane prirodzené číslo 3 interpretujme ako aktíva. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť 3 + ( 3) = 0 alebo rovnosť ( 3) + 3 = 0. Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice x + 5 = 2. Po jednoduchej úprave (asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu (x + 3) + 2 = 2. 32

33 Predpokladajme, že od obidvoch strán rovnice žiaci vedia odčítať to isté prirodzené číslo. V tomto prípade zvolia číslo 2. Poznamenajme, že toto odčítanie je predstavuje vetu o krátení pri sčítaní. Po odčítaní dostaneme jednoduchšiu rovnicu x + 3 = 0. Keďže už ukázali, že platí rovnosť 3 + ( 3) = 0, tak zrejme dokážu nájsť riešenie rovnice. Bude ním záporné číslo x = ( 3). Navrhnutý spôsob riešenia rovnice x + 5 = 2 je nepraktický, ktorý žiakom na 2. stupni ZŠ nebude vyhovovať. Zrejme by očakávali, že bude výhodnejšie poznať rozdiel (2 5) a danú rovnicu potom riešiť pomocou odčítania čísla 5 od obidvoch strán rovnice. K tomu budú potrebovať nové teoretické rozšírenie oboru prirodzených čísel práve o takéto rozdiely. Celé čísla (prirodzené čísla spolu so zápornými) môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré rozdiely neexistujú v množine prirodzených čísel. Napríklad ako sme už poukázali rozdiel (2 5), ktorý by mal byť riešením našej rovnice neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel (0 3) je riešením našej rovnice. Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel (2 5) a zároveň aj rozdiel (0 3) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť (2 5) = (0 3). Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla 5 a čísla 3 k obidvom stranám rovnosti) dostaneme rovnosť = To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel (2 5) a (0 3) budú predstavovať to isté záporné číslo ( 3) práve vtedy, ak platí rovnosť = Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla sme sa naučili v prvej kapitole. Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel, pričom dve dvojice prirodzených čísel (a, b), (c, d) budú predstavovať to isté celé číslo, ak bude platiť rovnosť a + d = c + b. 33

34 3.1 Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel Nech N je množina všetkých prirodzených čísel a nech N N je karteziánsky súčin tejto množiny. Definujme binárnu reláciu R N N takto: (a, b)r(c, d) a + d = c + b. Slovom: Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel (a, b), (c, d) sú v relácii 13, ak platí rovnosť a + d = c + b (súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej dvojice s druhým členom prvej dvojice). Relácia R je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Dôkaz: 1. Nech R je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech (x, x) N N je ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí (x, x)r(x, x), lebo platí x + x = x + x. Odkiaľ dostaneme, že relácia R N N je reflexívna. 2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii R: (a, b)r(c, d). Posledný vzťah je ekvivalentný s rovnosťou: a + d = c + b. Rovnosť prirodzených čísel je symetrická, preto tiež platí: c + b = a + d. Táto rovnosť je ekvivalentná so vzťahom (c, d)r(a, b), preto platí: binárna relácia je R symetrická. 3. Nech platí (a, b)r(c, d) a zároveň (c, d)r(e, f). Z definície relácie R vyplýva, že musí platiť a + d = c + b a zároveň c + f = d + e. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo f a k druhej rovnosti číslo b. Dostaneme rovnosti a + d + f = c + b + f, c + f + b = d + e + b. Zrejme platí c + b + f = c + f + b (komutatívnosť sčítania). Ak využijeme, že rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme a + d + f = d + e + b. Teraz stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme (a, b)r(e, f). Dôsledky: Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine N N. Existuje rozklad množiny N N podľa relácie R. Tento rozklad budeme označovať symbolom N N/R. Skúmajme triedy rozkladu. 13 Binárna relácia R je množina, ktorej prvky sú dvojice prirodzených čísel! 34

35 Nech N = {0,1,2,, n, } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad N N R je množina, ktorej prvky/triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel! Príklad. Označme symbolom T (1,0) triedu, ktorá obsahuje dvojicu (1, 0) N N. Potom trieda T (1,0) bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (n + 1, n), lebo platí (1, 0)R(n + 1, n) 1 + n = (n + 1) + 0. Triedu T (1,0) môžeme určiť vymenovaním jej prvkov: T (1,0) = {(1, 0), (2, 1), (3, 2),, (n + 1, n), }. Podobne by sme ukázali, že trieda T (0,1), ktorá obsahuje dvojicu (0,1) N N bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (n, n + 1). T (0,1) = {(0, 1), (1, 2),, (7, 8),, (n, n + 1), }. Označenie pre triedy rozkladov T (1,0), T (0,1) môžeme nahradiť aj inými symbolmi. Napríklad v literatúre sa objavujú symboly (1,, 0) (0,. 1) My použijeme jednoduchšie symboly 1, -1, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel. Poznámky. Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica (a, b) je množina všetkých usporiadaných dvojíc (x, y), ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako T (a,b) = {(x, y) N N: a + y = x + b} Všimnime si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici (a, b), kde a b, budú reprezentované prirodzenými číslami. V prípade, že a < b dostaneme triedy rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami. Naše úvahy o triedach rozkladu N N/R nás oprávňujú zaviesť množinu všetkých celých čísel ako množinu tried tohto rozkladu. Zhrňme si naše úvahy: 1. Za základnú (východiskovú) množinu sme zvolili množinu prirodzených čísel N, ktorú sme napríklad popísali Peanovou aritmetikou. 2. Vytvorili sme množinu všetkých usporiadaných dvojíc (x, y) prirodzených čísel pomocou karteziánskeho súčinu N N. 3. Dvojice prirodzených čísel sme zatriedili do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice čísel (a, b), (c, d) z rovnakej skupiny platí rovnosť a + d = c + b. Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah. 35

36 3.2 Množina celých čísel Nech R N N je relácia ekvivalencie, pre ktorú platí: (a, b)r(c, d) a + d = c + b a nech Z = N N/R je rozklad množiny N N podľa relácie R. Potom prvky množiny Z budeme nazývať celé čísla. Poznámka. Nech (a, b) N N, potom v prípade: a b triedu rozkladu T (a,b) budeme označovať symbolom n, kde n = a b je prirodzené číslo, zrejme platí T (a,b) =T (a b,0) n. Tieto čísla budeme nazývať nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom Z +. a < b triedu rozkladu T (a,b) budeme označovať symbolom n, kde n = b a je zrejme prirodzené číslo. V tomto prípade je T (a,b) =T (0,b a) n. Takéto celé čísla budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom Z Súčet a súčin celých čísel Relácia ekvivalencie R z predchádzajúcej definície nám zabezpečila, že máme nosič pre celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel. Nech T (a,b) a T (c,d) sú dve celé čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet a súčin 14 týchto celých čísel popisujú nasledujúce dve definície. Sčítanie celých čísel: Násobenie celých čísel: T (a,b) T (c,d) = T (a+c,b+d) T (c,d) = T ((a.c+b.d),(a.d+b.c)) Zvoľme si tri celé čísla 2, 3, 3. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla sú triedy rozkladu N N/R. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy T (2,0) 2, T (3,0) 3, T (0,2) = 2, T (0,3) = Interpretujme súčet tried 2 3 = T (2,0) T (3,0) = T (2+3,0+0) = T (5,0) = 5 3 ( 2) = T (3,0) T (0,2) = T (3+0,0+2) = T (3,2) = 1 2 ( 3) = T (2,0) T (0,3) = T (2+0,0+3) = T (2.3) = 1 14 Bežne používané symboly pre sčítanie a násobenie v algebrických štruktúrach. 15 Uvedené vzťahy nezávisia od výberu reprezentantov. Napríklad T (2,0) = T (3,1) = T (n+2,n). Pozri cvičenia k tejto kapitole. 36

37 Interpretujme súčin tried 2 3 = T (2,0) T (3,0) = T (( ),( )) = T (6,0) = 6 2 ( 3) = T (2,0) T (0,3) = T (( ),( )) = T (0,6) = 6 ( 2) ( 3) = T (0,2) T (0,3) = T (( ),( )) = T (6,0) = 6 Poznámka. Súčin T (a,b). T (c,d) si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov (a b)(c d) = (a. c + b. d) (a. d + b. c). Takto definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od výberu reprezentantov T (a,b), T (c,d). Korektnosť definície súčtu znamená, že platí nasledujúce tvrdenie. Ak T (a,b) = T (p,q) a zároveň T (c,d) = T (r,s), tak: T (a,b) T (c,d) = T (p,q) T (r,s) T (a,b) T (c,d) = T (p,q) T (r,s) Dôkazy týchto tvrdení presahujú rámec tejto publikácie. Vo vysokoškolských kurzoch z aritmetiky ich študenti dostávajú ako samostatné cvičenia. Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako množinu: alebo Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Z = { 0, ±1, ±2, ±3, }. Vlastnosti celých čísel 1. Pre súčet a súčin celých čísel (tried rozkladu) platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu. 2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je trieda T (x,x) Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je trieda T (x+1,x) Pre operáciu sčítania k ľubovoľnému číslu (triede) T (a,b) existuje inverzný prvok (opačné číslo) T (b,a). Budeme používať označenie T (b,a) = T (a,b). Napríklad k celému číslu T (3,1) 2 opačné číslo je T (1,3) = T (3,1) Pre ľubovoľné tri celé čísla platia vzťahy (vety o krátení): a = b a + c = b + c, a = b a c = b c. 37

38 Pre operáciu násobenia neexistujú inverzné prvky. Napriek tomu má zmysel hovoriť o inverznej operácii k násobeniu. Budeme ju nazývať delenie. Ak pre dve celé čísla a, b Z b 0 existuje jediné číslo d Z, pre ktoré platí rovnosť a = b d, tak číslo d Z nazveme podielom celých čísel a, b Z v tomto poradí. Symbolicky zapíšeme d = a b. Tiež budeme hovoriť, že číslo b Z je deliteľ čísla a Z. V ďalšom texte budeme pre súčet i súčin celých čísel používať symboly používané pre sčítanie a násobenie prirodzených čísel: +, Absolútna hodnota celého čísla Každému celému číslu x môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa volá absolútna hodnota tohto čísla. Absolútnu hodnotu celého čísla x Z označujeme x a definujeme takto: x = x, ak x 0 x = x, ak x < 0 V zmysle tejto definície bude absolútna hodnota nezáporného čísla rovná tomu istému číslu. Príklad. Pre nezáporné celé číslo (napríklad pre x = 5) bude absolútna hodnota to isté nezáporné číslo. Symbolicky 5 = 5, 0 = 0, čo sú zrejme nezáporné celé čísla. Pre záporné celé číslo (napríklad pre x = 3) bude absolútna hodnota opäť nezáporné číslo, presnejšie bude to opačné číslo k tomuto číslu. Symbolicky: 3 = ( 3) = 3. K číslu (triede) T (0,3) je opačné číslo (trieda) T (0,3) = T (3,0) = 3. V nasledujúcom tvrdení sú zahrnuté niektoré základné vlastnosti absolútnej hodnoty. Vlastnosti absolútnej hodnoty celých čísel Pre ľubovoľné reálne čísla a, b Z platí: 1. x = x 2. a + b a + b 3. a. b = a. b. 16 Uvedomte si, že operácie sčítania a násobenia v obore celých čísel sú odlišné od operácii sčítania a násobenia v obore prirodzených čísel. Napriek tomu má zmysel používať rovnaké symboly v obidvoch oboroch. 38

39 3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel Podobne ako na množine prirodzených čísel môžeme zaviesť aj usporiadanie na množine celých čísel. Na množine celých čísel Z zavedieme binárnu reláciu takto: Celé číslo a je menšie nanajvýš rovné celému číslu b (označenie a b ) práve vtedy, ak existuje prirodzené číslo p N a zároveň a + p = b. Takto definovaná binárna relácia má tri základné vlastnosti: je antisymetrická, tranzitívna a úplná. Dôkazy týchto tvrdení sú analogické ako pri množine prirodzených čísel. Usporiadanie celých čísel uvedené v našej definícii budeme jednoducho nazývať prirodzené usporiadanie. Viac o usporiadaní celých čísel čitateľ môže získať v literatúre [KLENOVČAN, HAVIAR, 1996, 1998] Záporné čísla historický pohľad a modely Dejiny matematiky nám naznačujú, že ak chceme pochopiť podstatu pojmu záporného čísla, tak to nebude ľahká vec. Matematici v rôznych historických obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli). Táto informácia nám prezrádza, že záporné čísla neboli pre týchto matematikov prirodzené a ich prijatie nebolo elementárne. [KAPUSTOVÁ, 2012]. Podľa doteraz známych archeologických objavov záporné čísla sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe Deväť kapitol matematického umenia (Jiu Zhang Suan-shu 17 ), ktorá v súčasnej podobe pochádza z obdobia dynastie Han (202 pred n. l n. l.) sú použité červené úsečky pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla 18. Obrázok 6: Kladné a záporné čísla v Číne 17 Tiež Chou Pei Suan Ching, ( 周髀算經 ) 18 TEMPLE, 1986, str

40 Tento systém je presný opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode, kde červené čísla označujú záporné hodnoty a čierne číslice znamenajú kladné hodnoty. Bežne sa hovorí: Firma sa ocitla v červených číslach. V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický matematik Brahmagupta 19 v Brahma-Sphuta-Siddhanta, píše o záporných čísel pri riešení kvadratickej rovnice. Tiež uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými číslami. Používal termíny "dlh a úver. Islamskí matematici v 8. storočí prevzali záporné čísla od indickej matematiky, pomocou ktorých tiež vyjadrovali dlhy. Známy islamský text, ktorý používa záporné čísla je Kniha o nevyhnutnosti aritmetiky pre pisárov a podnikateľov od Abū al-wafā' al-būzjānī. Záporné čísla prišli do Európy cez latinské preklady arabských a indických diel. Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202). Gottfried Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla. Zaujímavý model pre záporné čísla - čierne a červené paličky - vychádza z čínskeho spôsobu zápisu záporných čísel. Tento model je vhodný aj pre žiakov základných škôl. Stačí im povedať pravidlo: Jedna čierna a jedna červená palička sa vyruší. Teda rovnaký počet čiernych a červených paličiek dáva nulu. Potom napríklad rovnosť 3 + ( 2) = 1 môžeme reprezentovať ako obrázok Obrázok 7: Sčítanie čínsky model Model Tajná chodba je popísaný v práci [HEJNÝ, 2004], v ktorom používame pravidlo: Vystúp o jeden schod predstavuje prirodzené číslo 1 a zostup o jeden schod predstavuje záporné číslo ( 1). Potom matematickú úlohu na sčítanie v obore celých čísel môžeme prezentovať ako prechádzku po chodbe, v ktorej sa nachádzajú viaceré schodištia v smere nahor ako aj nadol. Pravdepodobne najprirodzenejším a najpraktickejším modelom pre operácie sčítania ale i násobenia v obore celých čísel zrejme ostane číselná os. V tomto prípade na grafické 19 Pozri 40

41 znázornenie celých čísel využívame priamku o ako jednorozmerný geometrický útvar, na ktorej vyznačíme dva pevné body 0,1. Označme veľkosť úsečky, ktorá je určená týmito bodmi symbolom: d(0,1) = 1j. Celému číslu a Z potom priradíme bod na priamke podľa pravidiel: 1. Napríklad, ak číslo a = 3 je nezáporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod 3 na polpriamke 01, pričom pre veľkosť úsečky 03 bude platiť d(03) = 3. d(01) = 3j. 2. Ak číslo a = 4 je záporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod 4 na opačnej polpriamke k polpriamke 01, pričom vzdialenosť bodu ( 4) bude rovná číslu 4. d(01) = 4j. Číselná os je teda priamka, na ktorej sú znázornené celé čísla. Využívame ju hlavne v školskej matematike v aplikačných úlohách o teplote alebo úlohách z finančnej matematiky o aktívach a pasívach. Teplomer s výhodou používame na interpretáciu záporných čísel, napríklad pri úlohe: Večer bola teplota vzduchu 3. V noci klesla teplota o 5. Aká bola teplota vzduchu ráno? Na číselnej osi môžeme aplikovať model profesora Milana Hejného Panáček, ktorý sa pohybuje po priamke vpravo a vľavo (alebo dopredu a dozadu) Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel Zavedenie oboru celých čísel Z pomocou relácie ekvivalencie (a + d = b + c) na množine karteziánskeho súčinu N N si vyžaduje od študujúceho dobrú počtársku zručnosť pri práci s dvojicami dvojíc prvkov. To niekedy prináša mnohé numerické chyby, najmä pri dôkazoch tvrdení o vlastnostiach operácií sčítania a násobenia. Existujú aj iné spôsoby zavedenia oboru celých čísel. Mac Lane a Birkhoff v ich dobre známej knihe Algebra uvádzajú nasledujúci spôsob. Najskôr si označia množinu kladných prirodzených čísel P = {p N: p > 0} a zároveň vytvoria množinu { }, ktorá obsahuje len jeden prvok " ". Množinu celých čísel Z jednoducho zavedú ako disjunktné zjednotenie množín ({ } P) N, pričom usporiadanú dvojicu ({ }, p) označia symbolom p. Neformálne tak vytvorili množinu celých čísel Z = 41

42 {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. Je to jednoduché a prirodzené. Väčší problém nastane pri definovaní sčítania a násobenia. MacLane a Birkhoff definujú najskôr funkciu odčítania f: N N Z pre všetky m, n, k N pomocou pravidiel f(n + k, n) = k, f(m, m + k) = k. Súčet dvoch celých čísel potom definujú nasledovne f(u) f(v) = f(u + v), u, v N N. Na prvý pohľad je takáto definícia veľmi jednoduchá. Sčítanie celých čísel je zavedené pomocou sčítania usporiadaných dvojíc prirodzených čísel, ktoré sa chápe ako sčítanie po zložkách 20. Problém je v tom, že treba dokázať existenciu a korektnosť takto definovaného sčítania f(u) f(v). Naznačíme myšlienku dôkazu. Z vlastností funkcie odčítania f: N N Z vyplýva, že pre pevne zvolené celé číslo a ({ } P) N existuje nekonečne veľa dvojíc u N N, pre ktoré zároveň platí a = f(u). V karteziánskom súradnom systéme všetky takéto dvojice u = (m, n) reprezentujú body s celočíselnými súradnicami (m, n), ktoré ležia v prvom kvadrante a zároveň na polpriamke. MacLane a Birkhoff dvojice tvaru (m, m) nazývajú diagonále dvojice. Na obrázku č.8 sú to body ležiace na modrej polpriamke.. Ukázať korektnosť sčítania f(u) f(v) znamená dokázať tvrdenie: Pre ľubovoľné dve reprezentácie u, u celého čísla a (a = f(u) = f(u )) a zároveň pre ľubovoľné dve reprezentácie v, v celého čísla b (b = f(v) = f(v )) platí vzťah f(u) f(v) = f(u ) f(v ), u, u, v, v N N. Dôkaz, ktorý je uvedený v práci [BIRKHOFF,1979] využíva vlastnosti funkcie odčítania f: N N Z a k nej pravej inverznej funkcie g: Z N N. Dôkaz je ukážka typického matematického prístupu. Pri súčine dvoch celých čísel postupujú analogicky. 20 Ak (p, q), (r, s) N N sú dve usporiadané dvojice, tak ich súčet je dvojica (p + r, q + s) N N. 42

43 Obrázok 8: Funkcia "odčítania" Spôsob zavedenia celých čísel podľa MacLane, Birkhoff vlastne ukrýva rozklad množiny N N podľa relácie odčítania. Relácia je zrejme ekvivalencia a triedy rozkladu sú dvojice ležiace na polpriamkach rovnobežných s polpriamkou, ktorá obsahuje len diagonálne dvojice. 43

44 Cvičenie 1. Spočítajte a zdôvodnite: 2 ( 3) = ( 5 ) ( 7) = 3 ( 2) = ( 5 ) ( 7) = 2. Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla a, b, c Z platí: a + ( b) = (b + ( a)) ( a) + ( b) = (a + b) a ( b) = (a b) ( a) ( b) = a b 3. Dokážte, že pre dve triedy T (a,b), T (c,d) rozkladu N N R platí práve jeden zo vzťahov: T (a,b) = T (c,d) alebo T (a,b) T (c,d) =. Dve triedy sa buď rovnajú alebo nemajú žiadny spoločný prvok! 4. V množine celých čísel riešte: a. rovnicu x + 2 = 5 b. nerovnicu x Ukážte, že množinu celých čísel možno rozdeliť do dvoch disjunktných skupín Z 2k = {0, ±2, ±4,, ±2k, } a Z 2k+1 = { ±1, ±3,, ±(2k + 1), }, kde k je prirodzené číslo. Čísla z množiny Z 2k nazývame párne celé čísla a čísla z množiny Z 2k+1 nazývame nepárne celé čísla. 6. Dokážte, že platí T (2,0) = T (3,1) = T (n+2,n). 44

45 4 Obor racionálnych čísel Ľahko sa presvedčíme, že algebrická rovnica 6x + 3 = 6, ktorej koeficienty sú celé čísla nemá v obore celých čísel riešenie. Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo 3 a dostaneme rovnicu 6x = 3, ktorej riešením nemôže byť celé číslo. Na ľavej strane rovnice 6x = 3 máme párne číslo 2 (3x) = 2 k, ale na pravej strane nepárne číslo 3 = To nie je možné! Na chvíľu predpokladajme, že existuje celé číslo, ktoré je riešením danej rovnice 6x = 3. Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo x musí byť podiel 3 6 celých čísel 3, 6. Teda muselo by platiť: x = (3 6). Zároveň zo základnej školy vieme, že rovnicu 6x + 3 = 6 môžeme upraviť na tvar 2x + 1 = 2. Riešením tejto rovnice je číslo x = 1, ktoré nie je celé. Zlomok 1 vlastne predstavuje 2 2 podiel 1 2, teda x = (1 2). Ľahko sa presvedčíme, že rovnica 6x + 3 = 6 má nanajvýš jedno riešenie. Totiž, ak by existovali dve rôzne riešenia x 1, x 2 [x 1 x 2 ], tak by muselo platiť 6x = 6 a zároveň 6x = 6. Odkiaľ dostaneme, že 6x = 6x Aplikovaním viet o krátení v obore celých čísel dostaneme x 1 = x 2, čo je v spore s predpokladom. Zistili sme, že riešením rovnice 6x + 3 = 6 sú podiely (3 6), (1 2). Lenže takéto podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak zostrojíme vhodný číselný obor, v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť (3 6) = (1 2). V nasledujúcej časti vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica bude mať riešenie. Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely dvoch celých čísel. Ukázali sme jednu podstatnú skutočnosť. Ak podiel celých čísel (3 6) a zároveň aj podiel (1 2) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť (3 6) = (1 2). Ak na chvíľu použijeme označenie x 1 = (3 6) a x 2 = (1 2), tak je zrejmé, že (x 1 = x 2 ) (6x 1 = 6x 2 ) (1. 6. x 1 = x 2 ). Po vykrátení dostaneme ekvivalentnú rovnosť: (1. 6 = 2. 3). Inými slovami Rovnosť podielov (3 6)=(1 2) je ekvivalentná s rovnosťou súčinov (1. 6 = 2. 3). Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje 45

46 len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j. vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla. Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel, pričom dve dvojice celých čísel (a, b), (c, d) budú predstavovať to isté racionálne číslo [(a, b) = (c, d)], ak bude platiť rovnosť [a d = c b]. 4.1 Množina racionálnych čísel V tejto kapitole nebudeme podrobne rozoberať postup definovania racionálnych čísel. Zameriame sa na vzájomný vzťah medzi zavedením množiny celých čísel a zavedením množiny racionálnych čísel. Z tabuľky č.1 je zrejmé, že rozdiel je len v základnej množine a v predpise pre reláciu ekvivalencie. Pri celých číslach sú východiskom prirodzené čísla a pri racionálnych číslach už môžeme použiť celé čísla! Relácia ekvivalencie pri celých číslach predstavuje rozdiel prirodzených čísel a pri racionálnych číslach je to podiel celých čísel. Tabuľka 1: Vzťah medzi Z a Q Celé čísla, označenie Z Racionálne čísla, označenie Q Definujeme binárnu reláciu R N N celé číslo ako rozdiel (a, b)r(c, d) a + d = c + b R Z Z racionálne číslo ako podiel (a, b)r(c, d) a d = c b Relácia je reláciou ekvivalencie Existuje rozklad na množine N N resp. Z Z T (a,b) = {(x, y) N N: (x, y)r(a, b)} T (a,b) = {(x, y) Z Z : (x, y)r(a, b)} T (1,2) = {(1,2), (0,1), (5,6), } = 1 T (1,2) = {(1,2), (2,4), } = 1 2 Upozornenie: Pri racionálnych číslach musí pre každú dvojicu (x, y) platiť: y 0. 46

47 Rozdiely v definícii operácií sčítania a násobenia popisuje tabuľka č.2. Tabuľka 2: Sčítanie a násobenie Definujeme operáciu sčítanie v (Z,, ) a (Q,, ) Celé čísla - (Z,, ) Racionálne čísla - (Q,, ) T (a,b) T (c,d) = T (a+c,b+d) (2, 1) (3, 5) (4, 5) T (0,1) ( 2) = 1 T (a,b) T (c,d) = T (a d+c b,b d) (2, 1) (3, 5) (13, 5) T (13,5) = 13 5 Operácia sčítania je komutatívna, asociatívna Definujeme operáciu násobenie v (Z,, ) a (Q,, ) T (a,b) T (c,d) = T (a c+b d,a d+b c) T (a,b) T (c,d) = T (a c,b d) (2, 1) (3, 5) (11, 13) T (0,2) 2 (2, 1) (3, 5) (6, 5) T (6,5) ( 2) = = 6 5 Operácia násobenia je komutatívna, asociatívna a distributívna vzhľadom na operáciu sčítania (Z,, ) je obor integrity (Q,, ) je teleso 21 Postupy pri dôkazoch vlastností operácií v množine Q všetkých racionálnych čísel sú analogické ako pre množinu celých čísel Z. Z tvrdenia (Q,, ) je teleso, vyplýva aj skutočnosť, že pre ľubovoľné racionálne číslo r 0 existuje inverzné číslo r 1 Q. Ak označíme r = T (p,q), tak r 1 = T (q,p). V tomto prípade je p 0 a naviac [r r 1 = 1 ] [ p q = 1]. Dôkaz tvrdenia: Operácia sčítania q p a násobenia je komutatívna,... prenechávame čitateľovi ako samostatné cvičenie. Zjednodušene povedané množinu racionálnych čísel reprezentujú všetky zlomky, ktoré sú v základnom tvare. Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre a Z je zlomok a 1 21 Termíny používané v algebre 47

48 v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo. Zlomky je možné zobraziť aj na číselnej osi, ak využijeme prirodzené usporiadanie na množine racionálnych čísel. Napríklad pre zlomky 1, 1 platí 0 < 1 < 1 < 1, preto obrazy týchto zlomkov budú ležať medzi bodmi 0, Príklad. Nech a, b Q sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body A, B. Ukážeme, že aritmetický priemer a+b je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi je stred úsečky AB. Aritmetický priemer a+b 2 1. Zlomok a+b 2 2 je zlomok. Môžu nastať dva prípady: je v základnom tvare (nemožno ho krátiť). V tomto prípade daný zlomok reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu T (a+b,2). 2. Zlomok a+b 2 nie je v základnom tvare: Vtedy existuje nejaké prirodzené číslo k, ktorým zlomok vykrátime na základný tvar p. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť q a+b = p.k = p. Z týchto rovností ľahko odvodíme, že platí rovnosť (a + b) q = p 2. 2 q.k q Posledná rovnosť hovorí, že dvojica (a + b, 2) je ekvivalentná s dvojicou (p, q). Obidve dvojice patria do rovnakej triedy rozkladu, preto musí platiť T (a+b,2) = T (p,q). Posledná rovnosť hovorí, že zlomok a+b reprezentuje racionálne číslo. 2 Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché. Stačí si uvedomiť, že pre stred S úsečky AB platí vzťah AS = SB. Skutočnosť, že aritmetický priemer dvoch racionálnych čísel je opäť racionálne číslo, je veľmi zaujímavá z hľadiska rozloženia racionálnych čísel na číselnej osi. Vytvorme algoritmus aritmetický priemer : 1. Nech a 1, a 2 sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body A 1, A 2. Označme stred úsečky A 1 A 2 symbolom A 3, ktorý reprezentuje aritmetický priemer a 3 = a 1+a Prvý krok zopakujme s racionálnymi číslami a k, a k+1 postupne pre k = 2, 3, Tento algoritmus nie je konečný, pretože pre ľubovoľne veľké prirodzené číslo k sú body A k, A k+1 rôzne! Interpretujme niekoľko krokov tohto algoritmu. V prvom kroku zvoľme racionálne čísla a 1 = 0, a 2 = 1. Aritmetický priemer týchto čísel je 1. Zobrazme tieto tri čísla na číselnej osi. 2 Vypočítajme aritmetické priemery 48

49 = 1 1, 2 +1 = a zobrazme čísla 1 4, 3 4 na číselnej osi. Teraz môžeme vypočítať ďalšie aritmetické priemery 1 8, 3, 5, 7 a zároveň vyznačiť ďalšie stredy úsečiek Postupne na číselnej osi budú pribúdať ďalšie a ďalšie stredy úsečiek. Po dostatočnom počte krokov bude množina stredov úsečiek hustá. Pozri obrázok č.9. Obrázok 9: Hustota racionálnych čísel Úvahy o hustote množiny Q nás navádzajú k tvrdeniu, že obrazy racionálnych čísel pokryjú celú číselnú os. Takýto záver by bol predčasný. Napríklad 2 nie je racionálne číslo (neskôr ukážeme, že je to iracionálne číslo). Jeho obraz 2 leží niekde v otvorenom intervale (0, 1). Ak budeme toto číslo postupne deliť dvomi, tak dostaneme nekonečne veľa iracionálnych čísel ležiacich v otvorenom intervale (0, 1). 4.2 Vzťahy medzi množinami N, Z, Q Prirodzené čísla a celé čísla Zaujímavú podmnožinu množiny celých čísel tvoria nezáporné celé čísla, ktoré sú reprezentované triedami rozkladu T (n,0), kde n N. Na označenie tejto podmnožiny používame symbol Z +. Skúmajme vlastnosti tejto podmnožiny. Ľahko nahliadneme, že platí T (m,0) T (n,0) = T (m+n,0) a zároveň T (m,0) T (n,0) = T (m.n,0) pre ľubovoľné dve prirodzené čísla m, n. Súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť nezáporné celé číslo. Uvažujme o usporiadaných trojiciach (N, +,. ) a (Z +,, ). Takýmto trojiciam v algebre hovoríme algebrické štruktúry. Definujme zobrazenie f: N Z + pomocou predpisu n T (n,0). Zobrazenie f zrejme dvom rôznym prirodzeným číslam priradí dve rôzne triedy resp. dve rôzne nezáporné celé čísla. Pre ľubovoľné nezáporné celé číslo T (n,0) existuje prirodzené číslo n, pre ktoré platí f(n) = T (n,0). 49

50 Uvedené dve vlastnosti hovoria, že zobrazenie f: N Z + je bijektívne zobrazenie. Z vlastnosti súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť nezáporné celé číslo vyplýva, že f(m + n) = f(m) f(n) a zároveň f(m. n) = f(m) f(n) V množine celých čísel sme našli podmnožinu Z +, ktorá má rovnaké vlastnosti ako množina všetkých prirodzených čísel. V algebre tomu hovoríme, že štruktúry (N, +,. ), (Z +,, ) sú izomorfné. Celé čísla a racionálne čísla V množine racionálnych čísel je zaujímavá podmnožina Q reprezentovaná triedami rozkladu T (a,1), ktorým odpovedajú zlomky v základnom tvare a 1. Podobne ako v predchádzajúcej časti nájdeme bijekciu f: Z Q, ktorá zachováva súčet a súčin. Podmnožina Q má rovnaké vlastnosti ako množina všetkých celých čísel. Závery z týchto dvoch častí znázornime graficky. Obrázok 10: Vzťahy medzi číselnými množinami 50

51 Cvičenie 1. Popíšte triedy rozkladu v obore racionálnych čísel pre súčet a súčin tried T (1,2), T (4,3). T (1,2) T (4,3) = T (1,2) T (4,3) = 2. Vyznačte na číselnej osi zlomky, ktoré reprezentujú všetky triedy rozkladu z predchádzajúceho cvičenia. 3. Ukážte, že ( 3) nie je prirodzené číslo a 1 2 nie je celé číslo. 4. Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla a, b, c Q platí: a b = b a, a b = b a a (b c) = ((a b) (a c)) 5. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo r Q rôzne od nuly existuje racionálne číslo r Q, pre ktoré platí r ( r) = 0. 51

52 5 Obor reálnych čísel Matematik Pytagorovej školy menom Hippasus (5. storočie pred n. l.) dokázal, že uhlopriečka u štvorca s jednotkovou stranou a = 1 nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom 22. Nepoznáme jeho dôkaz, ale keďže bol členom Pytagorovej školy určite dospel k rovnici u 2 = a po jednoduchej úprave dostal ekvivalentnú kvadratickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi u 2 = 2. S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel Q riešenie. Dokážeme to nepriamo. Nech existuje racionálne číslo r Q, ktoré je riešením našej rovnice. Potom zrejme r = p q, pričom celé čísla p, q sú nesúdeliteľné, ich najväčší spoločný deliteľ je rovný číslu 1. Po dosadení do rovnice u 2 = 2 a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť p 2 = 2. q 2. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo 2 delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. [Pozri cvičenie]. Teda číslo p 2 je párne, preto musí byť aj číslo p párne. To znamená, že je v tvare p = 2k. Po dosadení do rovnosti p 2 = 2. q 2 dostávame (2k) 2 = 2. q 2 2k 2 = q 2. Analogickou úvahou zistíme, že číslo q je párne. Keďže aj číslo p je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel p, q je väčší alebo rovný číslu 2. To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo r = p, kde p, q sú nesúdeliteľné celé čísla. q Ak označíme jedno riešenie rovnice u 2 = 2 symbolom 2 (druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj 2 je riešením rovnice u 2 = 2 a tiež nie je racionálne. 5.1 Množina reálnych čísel Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel, ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu. Konštrukcia, ktorá popíše reálne číslo je náročnejšia ako pri celých resp. racionálnych číslach. Zo strednej školy si možno 22 Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený. 52

53 pamätáte, že 2 má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj. Dokonca niektorí si pamätajú aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr Na stránke Wikipedie 23 môžete nájsť až 10 miliónov cifier. Vyjadriť 2 presne ciframi sa nikomu nemôže podariť. Môžeme však nájsť racionálne číslo, ktoré aproximuje 2 s vopred danou presnosťou, napr. na 10 miliónov cifier. Z matematického pohľadu vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej členy sa budú približovať k druhej odmocnine z dvoch. Ak vezmeme do úvahy všetky možné konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu n. Zostáva otázkou, či popíšeme všetky neracionálne čísla. Odpoveď na túto otázku je kladná. K tomu by sme však potrebovali trochu viac z matematickej analýzy prípadne algebry. My zvolíme cestu, ktorou sa vybral Dedekind. Reálne číslo pomocou dedekindových rezov na množine Q. Podmnožinu α Q nazývame rezom množiny Q, ak: 1. Podmnožina α je neprázdna množina: α. 2. Doplnok podmnožiny α v množine Q je tiež neprázdny: Q α. 3. Nech a je prvkom rezu α a nech b Q má vlastnosť b a. Potom musí aj racionálne číslo b patriť do rezu: b α. 4. Rez α nemá najväčší prvok. Ak a α, tak existuje a α, pre ktoré je a < a. Množinu všetkých rezov množiny Q označíme symbolom R. Prvky patriace do množiny R voláme reálne čísla. Poznámky: Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny α Q, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti. Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel. Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina α Q bola slušne usporiadaná: Ak podmnožina α obsahuje racionálne číslo a, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla a. Ak by sme zobrazili bod A reprezentujúci racionálne číslo a Q, tak podmnožina α musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu A

54 Štvrtá vlastnosť hovorí, že podmnožine α Q zodpovedá na číselnej osi sprava otvorený interval (, α). Pozri obrázok č. 11. Obrázok 11 Rez na množine racionálnych čísel Príklady. 1. Nech r Q je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo. Pomocou výrovej formy x < r vytvorme množinu r = {x Q: x < r}. Potom r je rezom na množine racionálnych čísel, ktorý reprezentuje racionálne číslo r. Ukážte, že množina r má všetky štyri vlastnosti. 2. Zameňme výrokovú formu x < r za výrokovú formu x 2 < 2. Dostaneme opäť rez r = {x Q: x 2 < 2}, ktorý reprezentuje iracionálne číslo 2. Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla. Príkladmi iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel 24, číslo π alebo prirodzený základ logaritmov e. 5.2 Súčet a súčin reálnych čísel Operácie sčítanie a násobenie dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčtu a súčinu dedekindových rezov. Princíp je pomerne jednoduché. Nech α, β sú dva rezy. Z definície vyplýva, že prvkami rezov sú len racionálne čísla. Sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla už vieme. 1. Vytvorme množinu α β všetkých možných súčtov a + b, kde a α a zároveň b β sú racionálne čísla. i. Množina α β je určite neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo a = a + 0 a racionálne číslo b = 0 + b. ii. Ukážeme, že množina Q (α β ) je neprázdna. Vieme, že množina Q α aj množina Q β sú neprázdne. Nech racionálne čísla a, b sú prvky týchto množinových doplnkov, potom musí platiť a < a a zároveň b < b pre 24 Prvočíslo p má len dva kladné delitele, sú to čísla 1, p. 54

55 ľubovoľné prvky a, b rezov α, β. Z týchto dvoch nerovností ľahko vyplynie, že a + b < a + b, odkiaľ máme a + b Q (α β ). iii. Nech r α β a nech r je racionálne číslo, pre ktoré platí r < r (resp. r = r + k). Z definície množiny α β vyplýva, že existujú dve racionálne čísla r 1 α, r 2 β, pričom r = r 1 + r 2. Po dosadení dostaneme r = r 1 + (r 2 k), čo znamená, že r je súčtom dvoch racionálnych čísel. iv. Množina α β nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by K α β bol najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla a α, b β, pričom K = a + b. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že a b. Nech r = r 1 + r 2 je ľubovoľný prvok rezu α β. V prípade, že r 2 a dostaneme r 2 a + (b a) b + (a a) b. V prípade, že a < r 2 dostaneme r 2 r 2 + (b a) < (r 2 a) + b b. V obidvoch prípadoch je racionálne číslo b najväčším prvkom pre rez β, čo je spor s predpokladom. Pozri obrázok č. 12. Obrázok 12: Najväčší prvok 55

56 2. Vytvorme množinu α β všetkých vhodných súčinov a b, kde a α a zároveň b β sú racionálne čísla. Podobnými úvahami ako pri súčte vieme dokázať, že α β je rezom na množine racionálnych čísel. Pozri cvičenie. Závery, ktoré sme urobili pri popise množín α β, α β nás oprávňujú k definovanie súčtu a súčinu reálnych čísel. 56

57 Definujeme operácie sčítanie a násobenie pre (R,, ) sčítanie α β = {a + b: (a α) (b β)} násobenie α β = {a b: (a α) (b β)} Operácia sčítania a násobenia je komutatívna, asociatívna 25 Operácia násobenia je distributívna k sčítaniu (R,,) je komutatívna grupa (R, ) je komutatívna grupa Štruktúra (R,, ) je archimedovsky usporiadané pole 26 Zavedenie oboru reálnych čísel na základnej škole nie je prijateľné pomocou dedekindových rezov, ale ani pomocou postupností racionálnych čísel. Napriek tomu sa didaktika matematiky musí vysporiadať s týmto problémom. Navrhuje, aby sa žiaci s reálnymi číslami zoznamovali viac na empirickej báze. To znamená, aby bol kladený dôraz na popísanie vlastností konkrétnych čísel, ktoré nie sú racionálne. Žiaci by mali hľadať vhodné aproximácie iracionálnych čísel. Napríklad pre 2 pomocou vhodného tabuľkového kalkulátora zistia, že Obrázok 13 Druhá odmocnina z dvoch Excel Pre aproximáciu čísla π by učiteľ mohol využiť Archimedovu metódu vpisovania pravidelných n uholníkov do kruhu s polomerom r = 1. Takýto pravidelný n uholník sa skladá z n rovnoramenných trojuholníkov. Obsah jedného takéhoto trojuholníka SUV určíme pomocou vzorca sin. Tu by mohol nastať problém s funkciou sínus, ak ju žiaci nepreberali. n V tom prípade si môžu odvodiť iný vzorec pomocou Pytagorovej vety. Výpočet hodnoty 25 Pozri cvičenie 26 Viac v práci [HAVIAR, M., KLENOVČAN, P., 1998] 57

58 obsahu vpísaného n uholník učiteľ môže prezentovať napríklad pomocou appletu znázorneného na obrázku č. 14 alebo výpočtom pomocou tabuľkového kalkulátora. Funkčný applet získate tak, že kliknete na obrázok. Obrázok 14: Obsah kruhu Po reálnych číslach v teoretickej aritmetike nasledujú zvyčajne komplexné čísla, ktoré sa zavádzajú len na stredných školách. Existujú ale stredné školy, ktoré toto učivo nemajú zaradené do svojich školských vzdelávacích programov. 58

59 Cvičenie 1. Ukážte, že množina r = {x Q: x < r} má všetky štyri vlastnosti uvedené v definícii rezu pre ľubovoľné racionálne číslo r Q. 2. Ukážte, že 3, 2 2 reprezentujú reálne čísla 3, π. nie sú racionálne čísla. Vyznačte na číselnej osi body, ktoré 3. Nech α β je množina všetkých možných súčinov a b, kde a α a zároveň b β sú racionálne čísla. Dokážte, že α β je rez na množine racionálnych čísel. 4. Dokážte, že operácie sčítanie a násobenie reálnych čísel sú komutatívne i asociatívne. 5. Dokážte, že množina Q (α β ) je neprázdna. Návod: Zvoľte racionálne čísla a Q α a b Q β, pre ktoré platí a < a, b < b. 6. Dokážte, že operácia násobenia je distributívna k sčítaniu. 59

60 6 Obor komplexných čísel Pri riešení kvadratickej rovnice zistíme, že rovnica x = 0 nemá riešenie v obore reálnych čísel. V opačnom prípade, ak by existovalo reálne číslo a R, ktoré je koreňom hľadanej rovnice, tak musí byť splnená rovnosť a = 0. Súčet na ľavej strane rovnosti je súčtom dvoch reálnych čísel: reálneho čísla a 2, ktoré je v tvare druhej mocniny 27, preto musí platiť a 2 0, čísla 1, ktoré je zrejme kladné. Ich súčet bude kladné číslo väčšie alebo rovné číslu 1. Teda platí a > 0. To je spor s predpokladom, že existuje reálne číslo a, ktoré je riešením rovnice x = 0. Skutočnosť, že rovnica x = 0 nemá v obore reálnych čísel riešenie, nás privádza k myšlienke rozšíriť obor reálnych čísel na taký číselný obor, kde rovnice tohto typu budú mať riešenie. Budeme požadovať, aby existovalo nejaké imaginárne číslo i, pre ktoré je druhá mocnina rovná 1. Na chvíľu si predstavme, že také číslo i už máme. Nech platí i 2 = 1, potom zrejme bude platiť aj rovnosť (2i) 2 = (2i) (2i) = 4i 2 = 4 resp. pre ľubovoľné reálne číslo k bude (ki) 2 = (k 2 ). Čísla i, 2i,, ki, nie sú reálne, ale podľa nášho pracovného návrhu sú imaginárne. Musíme ich nejako formálne odlíšiť od reálnych čísel. Urobme to takto: 1. Reálne číslo r R zapíšme ako usporiadanú dvojicu (r, 0). 2. Imaginárne číslo ki zapíšme ako usporiadanú dvojicu (0, ki). 3. Súčty dvojíc definujeme takto: (x, 0) (y, 0) = (x + y, 0), (0, ui) (0, vi) = (0, (u + v)i) resp. pre dvojice (x, ui), (y, vi) (x, ui) (y, vi) = (x + y, (u + v)i) 4. Súčiny dvojíc definujeme ako súčiny dvojčlenov. Vo všeobecnosti súčin vytvoríme pomocou vzťahu(x, ui) (y, vi) = (xy uv, xv + uy). Operácia násobenia usporiadaných dvojíc (x, ui), (y, vi) je založená na násobení dvoch dvojčlenov typu A + B. 27 Druhá mocnina reálneho čísla je vždy nezáporné číslo. 60

61 Zo základnej školy poznáme vzorec pre násobenie dvoch rovnakých dvojčlenov alebo vzorec pre druhú mocninu dvojčlena: (A + B) (A + B) = A 2 + 2AB + B 2. Formálne dosaďme A = 0, B = i a dostaneme (0 + i) (0 + i) = ( i + (i) 2 ). Ak využijeme náš pracovný návrh a dosadíme i 2 = 1, tak výsledok súčinu dvojčlenov (0 + i) (0 + i) môžeme zapísať ako dvojčlen ( 1 + 0). Vidíme, že súčin imaginárneho čísla (0, i) so sebou je číslo reálne ( 1, 0)! V tejto časti urobíme rozšírenie oboru reálnych čísel R na obor komplexných čísel C nasledovne. 6.1 Množina komplexných čísel Nech C = R R je karteziánsky súčin na množine reálnych čísel, potom prvky karteziánskeho súčinu R R nazveme komplexné čísla. V podstate je to veľmi jednoduché zavedenie komplexných čísel, lebo vytvorenie karteziánskeho súčinu je jednoduché. Z definície vyplýva: Komplexné číslo z je usporiadaná dvojica reálnych čísel: z = (a, b). 1. Nosič oboru komplexných čísel je karteziánsky súčin R R. 2. Zavedieme operácie sčítania a násobenia komplexných čísel podľa pravidiel: Operácia sčítania: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Operácia násobenia: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Poznámka. Nech z = (a, b) je komplexné číslo, potom reálne číslo a sa nazýva reálna časť komplexného čísla z. Podobne reálne číslo b sa nazýva imaginárna časť. Dve komplexné čísla (a, b), (c, d) sa rovnajú, ak platí a = c b = d. 6.2 Algebrický tvar komplexného čísla Pri zavádzaní komplexných čísel môžeme využiť aj inú symboliku. Napríklad, každé komplexné číslo z = (a, b) možno zapísať v tvare a + ib, kde a, b sú reálne čísla a i je tzv. imaginárna jednotka, pre ktorú platí i 2 = 1. Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebrických dvojčlenov. Potom pre súčet a súčin komplexných čísel bude platiť: (a + ib) (c + id) = ((a + c) + i(b + d)) 61

62 (a + ib) (c + id) = ((ac bd) + i(ad + bc)) Zápis komplexného čísla v tvare a + ib sa nazýva algebrický 28. Príklad. Nájdite také reálne čísla x, y, pre ktoré bude platiť: (2 i)x + (5 + 6i) = 1 3i Riešenie. Ak upravíme ľavú stranu rovnice na tvar a + bi, dostaneme: (2x + 5y) + i( x + 6y) = 1 3i Ak využijeme vlastnosť, ktorá platí pre rovnosť komplexných čísel, tak dostaneme sústavu rovníc 2x + 5y = 1 x + 6y = 3 Riešením sústavy je dvojica reálnych čísel x = 21 17, y = Z definície súčinu dvoch komplexných čísel vyplynie zaujímavá vlastnosť, ak jedno z čísel bude reálne. Nech z 1 = (a + ib) je komplexné číslo a nech z 2 = (k + i0) = k je reálne číslo. Potom k(a + ib) = (ka + ikb). 6.3 Geometrická interpretácia - komplexná rovina Existuje bijektívne zobrazenie f ( prosté a na ) množiny všetkých komplexných čísel C na body euklidovskej roviny Ε 2. f: C Ε 2, z = (a, b) Z(a, b), kde Z(a, b) je bod Z Ε 2 so súradnicami (a, b). Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla z = (a, b) resp. z = a + ib je bod Z so súradnicami (a, b). Pozri obrázok č. 15. Obrázok 15: Obraz komplexného čísla 28 V literatúre sa tiež používa termín algebraický. 62

63 Niekedy však za obraz čísla z = (a, b) pokladáme vektor, ktorý je daný orientovanou úsečkou so začiatočným bodom (0, 0) a koncovým bodom so súradnicami (a, b). 6.4 Goniometrický zápis komplexného čísla Pri zavádzaní goniometrických funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice sme ukázali 29, že platia rovnosti: sin φ = b, cos φ = a, r r kde r = a 2 + b 2 a φ je orientovaný uhol ZOP. Pre r = 1 pozri obrázok č. 16. Obrázok 16: Funkcia sínus Číslo r predstavuje veľkosť vektora OZ. Táto veľkosť sa nazýva absolútna hodnota komplexného čísla z = (a, b) a označuje sa symbolom z. Platí teda z = a 2 + b 2. Z rovností sin φ = b r, cos φ = a r môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného čísla z = (a, b). Dostaneme a = r cos φ, b = r sin φ. Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla a + ib. Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla z = z (cos φ + i sin φ) ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla. Príklad. Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla z = 3 i. 1. Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že z = = Možno už na strednej škole. 63

64 2. Potom určíme veľkosť uhla φ, pre ktorý platí cos φ = 3 a sin φ = 1. Uhol, pre ktorý platia 2 2 tieto dve rovnosti sa nachádza v II. kvadrante a jeho veľkosť je 150 = 5π Goniometrický tvar komplexného čísla je z = 2 (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ). 6.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia Podobne ako pri predchádzajúcich oboroch aj pri komplexných číslach platia vlastnosti o komutatívnosti, asociatívnosti atď. Uvedieme ich stručnú formuláciu. 1. Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu. 2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo (0, 0). 3. Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo (1, 0). 4. K ľubovoľnému komplexnému číslu z = (a, b) existuje inverzný prvok vzhľadom na sčítanie. Takýto prvok budeme nazývať opačné komplexné číslo. Je to dvojica z = ( a, b). 5. K ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu z = (a, b) existuje inverzný prvok vzhľadom na súčin. Budeme ho označovať symbolom z 1. Prvé tri vlastnosti vyplývajú priamo z definície operácií sčítania a násobenia v obore komplexných čísel. Ukážeme napríklad, že platí komutatívnosť sčítania: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ). 1. Ľavú stranu rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré sme vyjadrili v algebrickom tvare. Dostaneme (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = ((x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )). Ak využijeme komutatívnosť sčítania reálnych čísel, tak dôjdeme k rovnosti ((x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )) = ((x 2 + x 1 ) + i(y 2 + y 1 )). 2. Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel. Dostaneme rovnosť (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) = ((x 2 + x 1 ) + i(y 2 + y 1 )). 3. V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel. Štvrtú vlastnosť overíme prostým sčítaním komplexného čísla z = (a, b) a opačného čísla z = ( a, b). Sčítanie dvojíc po zložkách vedie k rovnosti (a, b) ( a, b) = (a a, b b) = (0, 0). 64

65 Pri dôkaze piatej vlastnosti budeme postupovať konštruktívnym spôsobom. To znamená skonštruujeme inverzné číslo z 1 ku komplexnému číslu z = (a, b) (0, 0). Predpokladajme, že existuje takýto inverzný prvok a nech z 1 = (x, y). Potom musí platiť rovnosť (a, b) (x, y) = (1, 0), ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych x, y. Upravme ju na tvar (ax by, bx + ay) = (1, 0). Porovnanie dvoch usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. ax by = 1, bx + ay = 0, ktorej riešením sú reálne čísla x = a a 2 +b 2, y = b a 2 b 2. Na záver tejto kapitoly uvedieme vetu, ktorá má veľké uplatnenie pri numerických výpočtoch s komplexnými číslami. Moivreova veta Francúzsky matematik Abraham de Moivre 30 sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare. Moivreova veta hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo z = z (cos φ + i sin φ) a ľubovoľné celé číslo n platí: z n = z n (cos nφ + i sin nφ). V literatúre môžeme nájsť aj odvodený tvar Moivreovej vety pre súčin dvoch komplexných čísel z 1 = z 1 (cos φ + i sin φ) a z 2 = z 2 (cos ψ + i sin ψ). Pre súčin týchto dvoch komplexných čísel platí: Poznámka. z 1 z 2 = z 1. z 2 (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)). Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru. V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebrická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné čísla, má v obore komplexných čísel riešenie. To znamená, že obor komplexných čísel už nie je potrebné ďalej rozširovať. 30 Abraham de Moivre sa narodil vo Vitry, v oblasti Champagne 26. mája

66 Cvičenie 1. Nájdite všetky komplexné čísla, ktoré sú riešením rovnice: x 2 + 2x + 5 = Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla z = 2 + 3i. 3. Dokážte, že pre súčet a súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Pri násobení použite Moivrovu vetu. 4. Nájdite inverzný prvok k číslu (3, 5). 5. Vypočítajte z 5, ak z = 2 + 3i. 6. Dokážte, že operácia násobenia komplexných čísel je distributívna k sčítaniu. 66

67 7 Spočítateľné a nespočítateľné množiny Aktuálne nekonečno neexistuje! Henri Poincaré Každý z nás sa určite v bežnom živote stretol s úlohou, v ktorej bolo treba porovnať veľkosť nejakých skupín prvkov. Napríklad už žiakom na základnej škole otázky typu Kto z triedy má najviac nasporených peňazí? sú celkom prirodzené. V obchode často krát porovnávame naše finančné možnosti s cenou tovaru: Môžem si dovoliť kúpiť...? Z matematického pohľadu porovnať veľkosť dvoch konečných množín znamená spočítať počty ich prvkov. Predstavme si, že nepoznáme žiadnu teóriu o číslach ale poznáme len pojmy jeden, dva a viac. Našou úlohou bude zistiť, ktorých krúžkov je viac modrých alebo červených? Pozri obrázok č. 17. Úlohu jednoducho vyriešime tak, že budeme spájať jeden modrý krúžok s jedným červeným krúžkom. Dostaneme sa do situácie, keď už nemôžeme spájať a pritom máme ešte voľné dva modré krúžky. Vtedy slávnostne vyhlásime, že modrých krúžkov je viac ako červených krúžkov. 7.1 Veľkosť množín Obrázok 17: Porovnávanie množín Oveľa väčší problém vznikne, ak by sme sa pokúsili nájsť odpoveď na otázku: Je celých čísel je viac ako prirodzených? V tejto otázke mimovoľne myslíme, že vezmeme všetky celé i všetky prirodzené čísla. Na základe Dedekindovej definície nekonečnej množiny už vieme, že množina N všetkých prirodzených čísel je nekonečná. V tretej kapitole sme ukázali, že množina všetkých celých čísel Z je rozšírením množiny N. Z toho vyplýva, že množina N je vlastnou podmnožinou množiny Z. Našu otázku teraz mierne preformulujme: Ktorá z nekonečných množín má viac prvkov, množina N alebo množina Z? Ak použijeme metódu spájania, tak toto spájanie môžeme matematicky vyjadriť funkciou f: Z N, ktorá zobrazuje nezáporné 67

68 celé číslo n na prirodzené číslo (2n 1) a záporné celé číslo n na prirodzené číslo 2n. Pozri obrázok č. 19. Obrázok 18: Celé a prirodzené čísla Zobrazenie f: Z N je bijektívne, preto množiny N, Z sú ekvivalentné. Ich kardinálne čísla sú rovnaké, teda card N = card Z = ℵ 0. Tento záver by nás naviedol na odpoveď: Množiny N, Z majú rovnaký počet prvkov. Na druhej strane intuitívny prístup k vlastnosti byť vlastnou podmnožinou nás navádza na odpoveď, ktorá vo svojej podstate protirečí predchádzajúcej odpovedi. Množina Z má viac prvkov ako množina N. Tento zdanlivý rozpor matematika vyriešila ako vždy po svojom. Cantor navrhol, aby sa nepoužíval termín veľkosť množiny ale zaviedol nový termín mohutnosť množiny. V školskej matematike pracujeme len s konečnými číselnými množinami, preto termín počet prvkov množiny má zmysel. Chápe sa ním mohutnosť konečnej množiny, čo predstavuje prirodzené číslo. V matematike sa na označenie veľkosti množiny používa pojem mohutnosť množiny. 7.2 Spočítateľné množiny V druhej kapitole sme zaviedli pojem konečnej a nekonečnej množiny. Profesor Zlatoš vo svojej práci Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou prezentuje zaujímavé pohľady na konečno a nekonečno. V nasledujúcom odseku uvádzame niektoré jeho myšlienky týkajúce sa prirodzeného nekonečna. To, čo vidíme pred obzorom, môžeme oprávnene prehlásiť za konečné. Vidieť neznemená len pohľad zrakom, ale ľubovoľné vedomé zmyslové, prípadne i čisto myšlienkové uchopenie nejakého javu. Javy, vstupujúce až k (do) obzoru nazveme prirodzené nekonečno. 68

69 Každý náš pohľad ohraničuje obzor. Číselnú os prirodzených čísel môžeme pokladať za prirodzené nekonečno. Obzor bude v tomto prípade to, čo nikdy nemôžeme dosiahnuť. To, čo je za týmto obzorom, už nevidíme. Svet plynule pokračuje aj za obzorom (tam práve nevidíme ). Množina N všetkých prirodzených čísel (nekonečná množina) zohráva ústrednú rolu medzi nekonečnými množinami. Nekonečné množiny rozdelíme do dvoch kategórií 1. Spočítateľné množiny. 2. Nespočítateľné množiny Nekonečná množina M je spočítateľná, ak je ekvivalentná s množinou prirodzených čísel. V terminológii kardinálnych čísel: Existuje bijekcia f: M N, odkiaľ dostávame card (M) = ℵ 0. Množina všetkých racionálnych čísel je spočítateľná. Príklad. Uvažujme o množine Z všetkých možných zlomkov nad oborom celých čísel, ktoré sa nachádzajú v schéme na obrázku č. 20. Schéma je matica s nekonečným počtom riadkov a stĺpcov. Obrázok 19: Matica zlomkov V matici najskôr vyznačme záhlavie (žltý riadok a stĺpec) pomocou množiny celých čísel, ktoré sú usporiadané do postupnosti {0, 1, 1, 2, 2,, k, k, } kde k je prirodzené 69

70 číslo. Prvky matice budú zlomky m n, pričom celé čísla m, n Z sú v záhlaví matice. Zrejme sa v matici budú nachádzať všetky možné zlomky nad oborom celých čísel. Nie všetky zlomky budú v základnom tvare. Napríklad zlomok 2, ktorý sa nachádza v treťom riadku a zároveň 2 v treťom stĺpci nie je v základnom tvare. Zlomok 2 2 sa dá vykrátiť na zlomok 1, ktorý sa 1 nachádza na inom mieste matice. Z kapitoly o racionálnych číslach vieme, že každé racionálne číslo môžeme vyjadriť v tvare zlomku. Predchádzajúce úvahy o matici všetkých zlomkov nám umožňujú urobiť záver, že množina racionálnych čísle je podmnožinou množiny Z. 1. Musí teda platiť: card(q) card(z ). Množina všetkých prirodzených čísel je podmnožinou množiny všetkých racionálnych čísel. 2. Preto platí card(n) card(q). Orientované úsečky vyznačené v matici popisujú zobrazenie f: Z N, ktoré je bijektívne. 3. Platí card (Z ) = card(n). Z týchto troch (ne)rovností dostaneme záver card(q) = card(n) = ℵ 0. Množina racionálnych čísel je spočítateľná. Pre spočítateľné množiny platí: Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je nanajvýš spočítateľná množina. Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina. Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina. Dôkazy týchto tvrdení prenechávame na čitateľa vo forme cvičení. 7.3 Nespočítateľné množiny Pri skúmaní kardinality nekonečných množín sme zatiaľ zistili, že tri základné číselné množiny sú spočítateľné. Z definície je to množina všetkých prirodzených čísel, potom sme ukázali, že aj množiny celých i racionálnych čísel sú spočítateľné. Pre kardinálne čísla týchto množín platí card(n) = card(z) = card(q) = ℵ 0. 70

71 Zostáva nám množina všetkých reálnych a komplexných čísel. Množinu reálnych čísel hlbšie skúmal už G. Cantor, ktorý pomocou diagonálnej metódy dokázal tvrdenie Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná. Cantorova diagonálna metóda je dôkaz, ktorý ukazuje, že množina všetkých reálnych čísel v intervale (0, 1) nie je spočítateľná množina. Naznačíme hlavnú myšlienku dôkazu. Predpokladajme, že množina R je spočítateľná. To znamená, že všetky reálne čísla z intervalu (0, 1) môžeme usporiadať do postupnosti: α 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 α 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 α 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 α 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 α 5 = 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 kde α k je dekadický rozvoj reálneho čísla z intervalu (0, 1). Reálne čísla, ktoré nemajú jednoznačný dekadický rozvoj 31, budú v postupnosti reprezentovať ich jednoduchšie dekadické rozvoje. Týmto spôsobom zaručíme, že postupnosť bude obsahovať všetky reálne čísla z intervalu (0, 1). Ukážeme, že existuje reálne číslo β = 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5, ktoré patrí do intervalu (0, 1), ale nie je uvedené v postupnosti α 1 α 2 α 3 α 4 α 5. Stačí vziať b i a ii. Zrejme β a i pre ľubovoľné i N. Pri konštrukcii reálneho čísla β nepoužívame číslice 0, 9. Týmto postupom by sme sa dostali k sporu. Dokážte, že: A. Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná. B. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná. C. Množina všetkých priamok v rovine je nespočítateľná. 31 Niektoré reálne čísla nemajú jednoznačný dekadický rozvoj. Číslo, ktoré má konečný desatinný rozvoj možno zapísať dvoma rozličnými spôsobmi. Od určitého miesta môže postupnosť číslic v jeho zápise pozostávať zo samých núl alebo samých deviatok. Napr.: 0,2 = 0, = 0,

72 Kardinálne číslo množiny reálnych čísel nazývame mohutnosť kontinua, označujeme ho symbolom c. Symbolicky: card(r) = c, kde R je množina reálnych čísel. Hľadajme odpovede na otázky: Aký je vzťah medzi spočítateľnými množinami a množinami mohutnosti kontinua? Existujú nekonečné množiny väčšej mohutnosti, ako je mohutnosť kontinua? Existuje najväčšie kardinálne číslo? Najskôr dokážeme tvrdenie známe ako Cantor-Bernsteinova veta. Nech sú A, B ľubovoľné množiny, ktorých kardinálne čísla sú a = card(a), b = card(b). 1. Nech sú A, B ľubovoľné množiny a nech existujú injektívne zobrazenia f: A B, g: B A. Potom sú množiny A, B ekvivalentné. 2. Nech pre kardinálne čísla a = card(a), b = card(b) platí a b b a, potom sa kardinálne čísla a, b rovnajú: a = b. Dôkaz: Keďže f je injekcia 32, tak obrazom prvku a A je nanajvýš jeden prvok b B: f(a) = b. Tento prvok, ak existuje, má najviac jedného rodiča a = f 1 (b) atd. Obrázok 20: Cantorova veta Takýmto spôsobom sledujme všetkých predkov daného prvku a A tak dlho ako to je len možné. Môžu nastať tri navzájom sa vylučujúce prípady: 1. každý predok daného prvku má rodiča; t.j. existuje nekonečná reťaz predkov, 2. prvok má takého predka v množine A, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v A), 3. prvok má takého predka v množine B, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v B). Vzhľadom na uvedené tri prípady rozdelíme A na tri podmnožiny A 1, A 2, A 3 a podobne 32 Injektívne zobrazenie je prosté zobrazenie 72

73 rozdelíme B na tri podmnožiny B 1, B 2, B 3. Definujme zobrazenie h: A B takto: h(x) = { f(x), ak x A 1 A 3 g 1 (x), ak ak x A 2, ktoré je bijektívne. Odtiaľ vyplýva pravdivosť prvého tvrdenia v Cantorovej vete. Druhé tvrdenie je jednoduchým dôsledkom prvého tvrdenia. Pre ľubovoľnú množinu M a pre množinu všetkých jej podmnožín P(M) platí nerovnosť: card(m) < card(p(m)). Dôkaz tvrdenia: 1. Zobrazenie f: M P(M), kde x {x} je zrejme injekcia. Preto platí: card(m) card(p(m)). 2. Zložitejšie bude ukázať, že neexistuje injekcia g: P(M) M. Dokážeme to tak, že nájdeme aspoň jednu množinu X, ktorá sa nemá na čo zobraziť. Predpokladajme, že taká injekcia g: P(M) M existuje. Nech X je množina X = {a M; a g 1 (a)} všetkých prvkov množiny M, ktoré nepatria do svojho vzoru. Takáto množina je určite neprázdna. Označme g(x) = x resp. X = g 1 (x). Môžu nastať dva prípady: x X alebo x X. x X x g 1 (x) potom podľa definície množiny X by malo platiť x X x X x g 1 (x) potom podľa definície množiny X musí x X Obrázok 21: Množina všetkých podmnožín V obidvoch prípadoch sme dospeli k sporu. Tým je veta dokázaná. Toto tvrdenie umožňuje vytvárať nové (väčšie) kardinálne čísla. Poznámky. 1. Kardinálne číslo množiny P(M) označujeme tiež symbolom 2 card(m). 2. Ak za M zvolíme množinu prirodzených čísel, dostaneme nerovnosť: ℵ 0 < 2 ℵ Pretože množina R všetkých reálnych čísel je nespočítateľná, tiež platí: ℵ 0 < c. 4. Neskôr ukážeme, že platí rovnosť: 2 ℵ 0 = c 73

74 Medzi kardinálnymi číslami ℵ 0 a c neexistuje iné kardinálne číslo. Pre mohutnosť kontinua platí: c = 2 ℵ 0 Dôkaz: Každú podmnožinu A množiny prirodzených čísel N je možné jednoznačne zadať pomocou charakteristickej funkcie: 1, x A χ A (x) = { 0, x A. Napríklad množine A = {1, 3, 7} resp. množine B = {0, 6, 7} priradíme postupnosti : A = {1, 3, 7} 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, B = {0, 6, 7} 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, Postupnosť 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, možno považovať za dvojkový zápis reálneho čísla a = (0, ) 2, ktoré patrí do intervalu (0,1). a = To znamená, že existuje bijekcia z intervalu (0,1) do systému podmnožín P(N) množiny prirodzených čísel, čím je veta dokázaná. 74

75 Cvičenie 1. Dokážte, že: Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná. 2. Dokážte, že pre spočítateľné množiny platí: Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina. Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina. Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina. 75

76 8 Číselné sústavy Keď bolo v prehistorickej dobe známe len niekoľko málo najmenších prirodzených čísel, nebol problém vyjadrovať ich napríklad pomocou vrypov na tyči alebo pomocou kamienkov. Napríklad vo Věstoniciach bola nájdená vlčia kosť zo staršej doby kamennej, na ktorej bolo 55 vrypov. Ako však začali pribúdať ďalšie čísla, stal sa taký spôsob zápisu neprehľadný. Veľkým pokrokom preto bolo, keď sa značky začali zoskupovať do skupín o rovnakom počte. Tak sa zrodila myšlienka číselných sústav. Tak napríklad v Zaire bola nájdená tyč (obr. 22) z doby asi pred rokmi, na ktorej už bolo zrejmé zoskupovanie vrypov. Obrázok 22: Kosť s drážkam nájdená pri osade Ishango v Zaire Neskôr prišli matematici na to, že je výhodné označiť vzniknutú skupinu novým znakom. Tak vznikli aditívne nepozičné sústavy. Každý znak mal svoju hodnotu a číslo sa určilo sčítaním hodnôt všetkých znakov. Nezáležalo na tom, v akom poradí sme znaky napísali. Takáto sústava bola používaná napr. v starom Egypte. Z tej doby je známy aj Rhindov papyrus (18. až 16. storočie pred Kristom). Určité znaky takejto sústavy má aj rímska sústava, pomocou ktorej sa počítalo v Európe až do 16. storočia. Veľmi skoro sa objavila myšlienka, aby pozícia znaku určovala aj jeho hodnotu. Tak sa začali objavovať pozičné sústavy. Príkladom bolo vyjadrovanie čísel u starých Sumerov a neskôr u stredoamerických indiánov Mayov (4. storočie pred Kristom). V histórii sa popri desiatkovej sústave objavili aj sústavy o iných základoch. Historicky doložené sú sústavy o základoch 5, 7, 9, 12, 20 a 60, ale tiež kombinované sústavy ako napr Skutočne dôsledná desiatková pozičná sústava vznikla asi v 6. až 8. storočí v Indii. Indickí matematici mali totiž veľkú vášeň pre počítanie s veľkými číslami a tak výhody počítanie v pozičnej desiatkovej sústave dokázali naplno oceniť. Z Indie sa potom táto sústava rozšírila do celého sveta. Do Európy ju priniesli Arabi v desiatom storočí. Trvalo však celých 600 rokov, než túto sústavu Európa dôsledne prijala. Matematici ju samozrejme prijali oveľa skôr a jedným z najväčších propagátorov bol v 12. storočí veľký taliansky matematik Fibonacci. Využívanie rímskych číslic v Európe trvalo až do šestnásteho storočia. Až potom ich nahradili arabské číslice. 76

77 8.1 Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave Historický prehľad kultúry počítania je podrobne spracovaný napríklad aj v knihe Pí na nebesích (Barrow 1992, český preklad 2000). V súvislosti so zavedením sústav s rôznymi základmi uvádza, že technika počítania na prstoch je zaujímavá už preto, že je podľa všetkého nejakým spôsobom spojená so základom číselnej sústavy, v ktorej sa počíta. Mohli by sme síce počítať do nekonečna a pre každé nové číslo mať iné slovo, taký postup by však bol ťažkopádny a nepraktický a naša pamäť by bola čoskoro zaťažená nad únosnú mieru. Účinnejšie je mať určitý počet ako hromadnú jednotku. Tak je možné počítať päť oviec na jednej ruke a na tej istej ruke začať znova a pritom si zaznamenávať počet pätíc na prstoch druhej ruky. Táto myšlienka tvorí základ všetkých číselných sústav. Počet, ktorý určuje veľkosť hromadnej jednotky sa nazýva základ číselnej sústavy. V našej desiatkovej sústave je základom číslo 10. Objav toho, ako pomocou desiatich znakov označiť ľubovoľné prirodzené číslo patrí určite medzi najväčšie objavy, ku ktorým ľudstvo vo svojich dejinách dospelo. Navyše nejde len o to, že rôznym prirodzeným číslam odpovedajú jednoznačne rôzne zápisy, ale dôležité je aj to, že sa s takýmito zápismi dá efektívne počítať. Ak sa napríklad v stredoveku u nás používali rímske číslice, bolo numerické počítanie veľmi komplikované a dokázať spamäti vypočítať napr dokázali iba vynikajúci počtári. Obrázok 23: Margareta philosophica Zástancovia rímskych číslic počítali tak, že pohybovali žetónmi či guličkami na počítacím stole alebo abaku. Nemohli gumovať a mali oveľa menej priestoru pre uchovanie informácií počas výpočtu aj po ňom. Do 14. storočia sa vďaka zvyšujúcim sa nárokom na zložité matematické výpočty a vďaka rastúcej dostupnosti papiera preukázalo, že pero je mocnejšie ako abakus. Drevoryt Gregora Reischa z roku 1504 (obr. 23) s názvom Margareta philosophica (Perla filozofia) ukazuje kontrast medzi výkonnosťou algoritmika vľavo (Boetius) a neschopnosťou abakistu vpravo (nešťastný Pytagoras). 77

78 Na nasledovnom príklade budeme ilustrovať podstatu vyjadrovanie čísel v číselných sústavách. Príklad. Ukážeme graficky, ako by sme dospeli k zápisu počtu hviezdičiek na nasledovnom obrázku (obr. 24) v číselnej sústave so základom 4 (v štvorkovej číselnej sústave). Poznámka. Vieme, že zápis počtu hviezdičiek z obrázka v (nám dobre známej) desiatkovej sústave je 27 (dve desiatky a sedem jednotiek). Obrázok 24: Grafické znázornenie počtu predmetov v sústave o základe 4 Na obrázku je 27 hviezdičiek a zoskupili sme ich do skupín po štyri hviezdičky. Dostali sme 6 skupín po štyri hviezdičky a 3 zostali nezoskupené. Týchto 6 skupín opäť zoskupíme po 4 Dostali sme 1 veľkú skupinu, zostali dve malé skupiny a ešte máme tri voľné (nezoskupené) hviezdičky. Zápis čísla 27 v sústave o základe 4 teda vyzerá nasledovne: 123, čo čítame jedna dva tri. Čítanie sto dvadsať tri je používané iba pre desiatkovú sústavu. Samozrejme číslice (cifry) sme si požičali z desiatkovej sústavy. Aby nedošlo k nedorozumeniu, v akej sústave práve pracujeme, napíšeme základ sústavy ako index, tzn. (27)10 = (123)4. Poznámka. Pri desiatkovej sústave väčšinou index 10 nepíšeme. V prípade, že ak nemôže dôjsť k nedorozumeniu, tak vynecháme aj zátvorky. Teda zápis (27)10 = (123)4 môžeme nahradiť aj zápisom 27 =

79 Samozrejme to postupné zoskupovanie, ktoré je znázornené na obrázku môžeme zapísať postupne ako delenie (so zvyškom) číslom 4: 27 = = = Potom už stačí napísať získané zvyšky v poradí ako idú zdola nahor (a dopísať index 4). Pri prevode čísla z desiatkovej sústavy do inej sústavy (v našom prípade do štvorkovej) sme počítali v desiatkovej sústave, t.j. v pôvodnej sústave a použili sme tzv. algoritmus postupného delenia. Bolo by užitočné, keby si čitateľ uchoval predstavu, ktorú sme si práve o vyjadrení čísla v štvorkovej sústave vytvorili. Už žiaci základnej školy vedia, že napr. zápis v desiatkovej sústave znamená Podobne teraz vieme, že zápis 1234 v štvorkovej sústave znamená Doterajšie úvahy a pozorovania teraz sformulujeme precíznejšie a vyslovíme vetu, na ktorej spočíva vyjadrovanie čísel v pozičnej číselnej sústave so základom z. Veta o rozvoji prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe z. Nech z je prirodzené číslo, z > 1. Potom každé nenulové prirodzené číslo x je možné jednoznačne vyjadriť v tvare: (R) x = a n z n + a n 1 z n 1 + a n 2 z n a 1 z + a 0, kde a i sú prirodzené čísla pre ktoré platí 0 a i < z, pre i {0,1,2, n} a a n 0. Ak je prirodzené číslo x zapísané v tvare (R) hovoríme, že sme ho vyjadrili v číselnej sústave o základe z alebo v z-adickej sústave. Skrátene píšeme x = (a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 ) z. Pri zápise konkrétneho čísla môžeme zátvorky v predchádzajúcom zápise vynechať. Číslo z nazývame základom číselnej sústavy. Symboly a n, a n 1, a n 2,, a 1, a 0 sa nazývajú číslice alebo cifry. O číslici a i hovoríme, že je i teho rádu alebo rádu i. Číslo z i sa volá jednotka rádu i. Ak je z = 10, tak bude písať len x = a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 a hovoriť, že číslo x je zapísané v desiatkovej (dekadickej) sústave. 79

80 Veta o rozvoji prirodzeného čísla predstavuje základ vyjadrovania prirodzených čísel v sústave o základe z a preto (aspoň stručne) popíšeme jej dôkaz. To, čo bude v dôkaze popisované vo všeobecnej rovine, sme už mali možnosť vidieť v konkrétnej situácii v príklade prevodu čísla 27 do sústavy o základe 4. Dôkaz vety o rozvoji prirodzeného čísla. Ak n = 0, tak x = a 0. Pre n > 0 je x z. Myšlienka vytvorenia rozvoja (R) pre číslo x spočíva v tom, že číslo x delíme základom z, potom vzniknutý neúplný (čiastočný) podiel opäť delíme číslom z, atď. Toto delenie robíme tak dlho, kým čiastočný podiel nie je nulový. Zo získaných zvyškov potom vytvoríme rozvoj. Uvedený popis teraz zapíšeme podrobnejšie. Deľme číslo x základom z. Dostávame x = z. q 0 + a 0, kde 0 a 0 < x. Teraz vydelíme neúplný podiel q 0 opäť základom z. Dostávame q 0 = z. q 1 + a 1. Takto pokračujeme ďalej. Pretože x > q 0 > q 1 > q 2 >, dostaneme sa po určitom počte delení k neúplnému podielu q n = 0. Popísaný postup zapíšeme prehľadnejšie: x = z. q 0 + a 0 0 a 0 < z q 0 = z. q 1 + a 1 0 a 1 < z q 1 = z. q 2 + a 2 0 a 2 < z q n 2 = z. q n 1 + a n 1 q n 1 = z. q n + a n 0 a n 1 < z 0 a n < z Tieto rovnosti násobíme postupne číslami 1, z, z 2,..., z n 1, z n. Ak potom všetky získané rovnosti sčítame, dostaneme: x = a n z n + a n 1 z n 1 + a n 2 z n a 1 z + a 0. Pretože delenie so zvyškom je jednoznačné je jednoznačným aj uvedené vyjadrenie čísla x. Precízny zápis dôkazu jednoznačnosti vyjadrenia prirodzeného čísla v tvare (R) je možné urobiť metódou matematickej indukcie. Z vety o rozvoji vyplýva, že k zápisu prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe z potrebujeme práve z rôznych symbolov pre označenie jednotlivých číslic. Ak chceme napríklad vyjadrovať čísla v päťkovej číselnej sústave budeme k tomu potrebovať päť číslic. Zvyčajne sa to robí tak, že symboly pre číslice sa požičajú z desiatkovej číselnej sústavy. V prípade päťkovej sústavy to teda budú: 0, 1, 2, 3 a 4. Postup, ktorým sme sa k rozvoju (R) dostali, môžeme využiť pri prevode čísla z jednej číselnej sústavy do inej. Predvedieme to na nasledujúcom príklade. 80

81 Príklad. Zapíšeme číslo 482 v číselnej sústave o základe 5. Postupným delením čísla 482 a následných čiastočných podielov číslom 5 postupne dostávame. 482 = = = = Teraz už stačí vypísať získané zvyšky zdola nahor a z uvedenej schémy už bezprostredne vyplýva, že 482 = Ak ale chceme vyjadrovať čísla napríklad v sústave o základe 12, musíme mať k dispozícii 12 číslic. Dohodneme sa, že číslo 10 označíme číslicou (symbolom) A a číslo 11 označíme číslicou (symbolom) B. Pri vyššom základe ako 12 postupujeme analogicky a využívame ďalšie písmená (C, D, E,...). Teraz môžeme riešiť aj nasledujúci príklad. Príklad. Zapíšeme číslo 279 v číselnej sústave o základe 12. Postupným delením čísla 279 a následných čiastočných podielov číslom 12 postupne dostávame. 279 = = (B) 1 = Vypíšeme získané zvyšky zdola nahor a dostávame, že 279 = 1B312. Naozaj, 1B312 = =

82 8.2 Počtové výkony s prirodzenými číslami Teraz sa budeme zaoberať počítaním v číselných sústavách. Začneme sčítaním. Využitie algoritmu pre sčítanie viacciferných čísel v desiatkovej sústave poznáme už zo základnej školy. Príklad. Vypočítame v desiatkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné súčty: Riešenie. a) , b) a) = = = 5 b) = = = = 3 V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie s prechodom cez základ. Okomentujme teraz postup v prípade b). Tento postup spočíva v tom, že najprv sčítame číslice rádu 0, t.j = 13 = Napíšeme číslicu 3 hľadaného súčtu a číslicu 1 pripočítame k súčtu číslic rádu 1, t.j = 12 = Napíšeme číslicu 2 a číslicu 1 pripočítame k súčtu číslic rádu 2, t.j = 14 = Napíšeme číslicu 4 a číslicu 1 pripočítame k súčtu číslic rádu 3, t.j = 3. Napíšeme číslicu 3. Skrátený (schematický) zápis uvedeného komentára je v riešení príkladu časti b) uvedený vpravo od zápisu tzv. písomného sčítania (sčítania podľa algoritmu). Samozrejme pri praktických výpočtoch už uvedené komentáre nezapisujeme. Analogicky môžeme postupovať v číselnej sústave s ľubovoľným základom. Užitočné je ale (pre zjednodušenie výpočtov) mať napísanú tzv. tabuľku základných spojov pre sčítanie pre danú sústavu. To odpovedá aj postupu v školskej praxi, kde žiaci pred tým ako majú zvládnuť sčítanie viacciferných čísel s využitím algoritmu, tzv. písomné sčítanie, musia najprv ovládať základné spoje sčítania pre čísla 0, 1, 2,..., 9. Napíšme teraz tabuľku (tab. 3) základných spojov pre sedmičkovú číselnú sústavu. Kvôli prehľadnosti v tabuľke vynechávame index 7. 82

83 Tabuľka 3: Tabuľka základných spojov pre sčítanie v sedmičkovej sústave sústave. Príklad. Pomocou tejto tabuľky ukážeme príklad sčítania viacciferných čísel v sedmičkovej Vypočítame v sedmičkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné súčty: Riešenie. a) , b) a) = = = 3 b) = = = = 3 V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie s prechodom cez základ. Zapíšme ešte raz trochu podrobne postup pri hľadaní súčtu : = ( ) + ( ) = = (5 + 5) (3 + 5).7 + (6 + 4) = (5 + 5) (3 + 5).7 + (7 + 3) = = (5 + 5) ( ) = (5 + 5) (7 + 2) = = ( ) = (7 + 4) = = (1 + 2) = = Všimnime si, že to, čo sme robili pri riešení príkladu v časti b) je vlastne skrátený zápis predchádzajúceho (pomerne zdĺhavého) päťriadkového výpočtu. Využívali sme základné vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel a postupovali sme tak, aby sme vo 83

84 výslednom rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami základu 7 boli čísla menšie ako 7). V obidvoch prípadoch sme postupovali podľa algoritmu pre sčítanie, ktorý teraz uvedieme pre číselnú sústavu so základom z. Pre tento prípad pripustíme aj zápis prirodzeného čísla v tvare ( e n... e 1 e 0 ) z. Algoritmus pre sčítanie. Nech x = (a n a n 1 a 1 a 0 ) z, y = (b n b n 1 b 1 b 0 ) z. Potom x + y = (d n+1 c n c n 1 c 1 c 0 ) z, pričom o číslach c 0, c 1,..., c n, d n+1 platí a 0 + b 0 = d 1. z + c 0, d 1 + a 1 + b 1 = d 2. z + c 1, d 2 + a 2 + b 2 = d 3. z + c 2, 0 c 0 < z, 0 c 1 < z, 0 c 2 < z, d n + a n + b n = d n+1. z + c n, 0 c n < z. Dôkaz možno urobiť podobnou metódou ako to bolo pri vete o rozvoji prirodzeného čísla. Stačí prvú rovnosť vynásobiť číslom 1, druhú číslom z atď., až poslednú číslom z n a takto získané rovnosti sčítať. Skôr ako sa budeme zaoberať odčítaním, musíme vedieť porovnať prirodzené čísla, t.j. musíme vedieť zistiť, ktoré z nich je väčšie. Usporiadanie prirodzených čísel. Z dvoch čísel v danej číselnej sústave je väčšie to, ktoré má v zápise väčší počet cifier. Ak majú rovnaký počet cifier, tak je väčšie to, ktoré má pri porovnávaní číslic rovnakého rádu sprava skôr väčšiu číslicu. Odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu a preto pri odčítaní dvoch prirodzených čísel môžeme využiť poznatky o sčitovaní. Postup najprv ukážeme na príklade rozdielu dvoch čísel zapísaných v desiatkovej sústave a budeme ilustrovať využitie písomného odčítania. Príklad. Vypočítajme rozdiel Využijeme rozvoje daných čísel a postupne upravujeme: = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = 485. Všimnite si, že pri úprave sme vyžili to, že k číslu 738 sme vhodne pripočítali číslo 100 aj odčítali číslo 100, teda použili sme úpravu a b = (a c + c) b. Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude: 84

85 = = = 6 Všimnime si, že aj tu využívame, že odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu. Prvý riadok schematického zápisu = 8 vlastne znamená, že sa pýtame na riešenie rovnice 3 + x = 8 ( 3 plus koľko je 8 ), kde x je rozdiel čísel 8 a 3. Ukážeme si aj trochu odlišný postup. Opäť využijeme rozvoje a upravujeme: = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = 485. V tomto prípade sme číslo 100 pripočítali aj k číslu 738 aj k číslu 253. Použili sme úpravu a b = (a + c) (b + c). Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude: Príklad = = = 7 Posúďte, ktorý z uvedených dvoch postupov sa v súčasnosti používa v školskej praxi. Ukážeme ešte jeden príklad pre odčítane v sedmičkovej sústave. Vypočítame v sedmičkovej sústave rozdiel = = = 6 Využívanie algoritmu pre násobenie v desiatkovej sústave poznáme. Uvedieme najprv algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom v číselnej sústave so základom z a ukážeme jeho použitie. Jeho formálny dôkaz by bolo opäť možné urobiť podobne ako dôkaz vety o rozvoji prirodzeného čísla. Algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom. Nech x = (a n a n 1 a 1 a 0 ) z a nech b je jednociferné číslo. Potom pričom o číslach c 0, c 1,..., c n, d n+1 platí x b = (d n+1 c n c n 1 c 1 c 0 ) z, a 0 b = d 1 z + c 0, d 1 + a 1 b 1 = d 2 z + c 1, 0 c 0 < z, 0 c 1 < z, d n + a n b n = d n+1 z + c n, 0 c n < z. 85

86 Pri násobení v desiatkovej sústave využívame základné spoje násobenia (tzv. malú násobilku). Pretože nasledovná ukážka bude ukážkou násobenia v číselnej sústave so základom 7 využijeme tabuľku základných spojov násobenia pre sedmičkovú sústavu. Kvôli prehľadnosti v tabuľke vynechávame index 7. Tabuľka 4: Tabuľka základných spojov pre násobenie v sedmičkovej sústave Príklad. Budeme ilustrovať využitie algoritmu násobenia jednociferným číslom. Vypočítame súčin Využijeme rozvoj a úpravy robíme tak, aby sme vo výslednom rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami základu 7 boli čísla menšie ako 7): = ( ).4 = = = = = ( ) = = = Uvedieme skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom): Príklad = 24 = = 15 = = 6 Na ďalšom príklade ukážeme postup pri písomnom násobení viacciferných čísel. Vypočítame súčin Riešenie. Využijeme základné vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel a postupnými úpravami dostávame: = 567.( ) = = = = = Vidíme, že pre ukončenie výpočtu potrebujeme vlastne poznať algoritmus násobenia jednociferným číslom, násobenie mocninou základu ( pripísanie núl ) a algoritmus pre sčítanie. Zápis písomného výpočtu môže byť potom napríklad nasledovný 86