Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α."

Transcript

1 Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005

2 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta Ad so fa as they ae ceta they do ot efe to eaty" Abet Este Geomete ud Efahug Ομιλί στην Πρωσσική Ακδημί (9) - -

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στη διτριβή υτή πργμτοποιούμε τη μθημτική θεμελίωση της επέκτσης της Ανάλυσης Αντιστοιχιών (Coesodece Aayss-CA) στην Ασφή Λογική συλλέγοντς μεττρέποντς κι επεκτείνοντς τις κτάλληλες λγεβρικές έννοιες πό την Ασφή Συνολοθεωρί με τελικό σκοπό τη δυντότητ εφρμογής της κλσικής σττιστικής υτής μεθόδου σε πίνκες συμπτώσεων με Ασφή Δεδομέν ) Η επιστημονική πρωτότυπη συνεισφορά της Διδκτορικής Διτριβής μπορεί ν συνοψιστεί επιγρμμτικά στ κόλουθ: Κτρχήν η εφρμογή της Ανάλυσης Αντιστοιχιών σε πίνκες συμπτώσεων με σφή δεδομέν επιχειρείτι γι πρώτη φορά πράγμ που την κθιστά πό τον ερευνητικό της στόχο κι μόνο πιστεύουμε ενδιφέρουσ Προς τούτο εισάγουμε εξρχής μι νέ νλυτική μέθοδο των σφών πινάκων με βσικό στόχο την επίλυση του κύριου κεντρικής σημσίς κι νπόφευκτου προβλήμτος της ιδιοτιμής της επεκτμένης Ανάλυσης Αντιστοιχιών με σφή δεδομέν δηλδή του προβλήμτος ιδιοτιμής της Ασφούς Ανάλυσης Αντιστοιχιών (Fuzzy Coesodece Aayss-FCA) Συγκεκριμέν κι σύμφων με την νωτέρω μέθοδο «δύο-βημάτων» διερευνούμε κι ποδεικνύουμε κτρχήν θεωρητικά κι κολούθως προσδιορίζουμε λγεβρικά τις ντίστοιχες σφείς ιδιοτιμές νάγοντς έτσι τελικά το βσικό πρόβλημ της σφούς ιδιοτιμής (fuzzy egeobem) της FCA στο σύνηθες πρόβλημ μις κλσικής ιδιοτιμής Ειδικότερ νλύουμε διεξοδικά το νοιχτό μέχρι σήμερ γενικά πρόβλημ της σφούς ιδιοτιμής κι του ντίστοιχου σφούς ιδιοδινύσμτος ενός σφούς πίνκ ποδεικνύοντς ιδιιτέρως την ύπρξη σφών ιδιοτιμών ενός FCA-σφούς πίνκ συμπτώσεων που έχει στοιχεί σφή δεδομέν-τριγωνικούς σφείς ριθμούς Πιο συγκεκριμέν ποδεικνύουμε ότι ένς FCA-σφής πίνκς έχει σφείς ιδιοτιμές που είνι μάλιστ τριγωνικοί σφείς ριθμοί Αντίθετ διπιστώνουμε πως δεν συμβίνει το ίδιο με τ ντίστοιχ σφή ιδιοδινύσμτ πρά μόνο σε εξιρετικές περιπτώσεις (οπότε πρέπει ν νζητηθούν ενδεχομένως άλλες ενλλκτικές διέξοδοι γι τον κθορισμό κτάλληλων πργοντικών ξόνων της FCA) Χρησιμοποιούμε κυρίως έννοιες κι ιδιότητες της Ασφούς Αριθμητικής κθώς κι Ασφείς Πίνκες Ασφή Δινύσμτ κι ιδίως Τριγωνικούς Ασφείς ριθμούς γι την εν λόγω σφή επέκτση Επεξηγούμε τέλος νλυτικά την νωτέρω μέθοδο «δύοβημάτων» της FCA μέσω πλών λλά χρκτηριστικών ριθμητικών πρδειγμάτων σε πίνκες με σφή δεδομέν κι τελικά συνοψίζουμε με την εν γένει προβλημτική τις πρκτικές προοπτικές κθώς κι τ προβλήμτ γι μελλοντική έρευν που πορρέουν πό την εν λόγω γενίκευση της Ασφούς Ανάλυσης Αντιστοιχιών ) Η μέθοδος της Ανάλυσης Αντιστοιχιών κι οι μέχρι σήμερ επεκτάσειςεφρμογές της στην Ασφή Λογική (State of the at): Α) Η Ανάλυση Αντιστοιχιών (ή Πργοντική Ανάλυση Αντιστοιχιών) είνι μι κλά γνωστή σττιστική διερευνητική (γεωμετρική) μέθοδος νάλυσης πολυδιάσττων δεδομένων που συνήθως δίνοντι υπό μορφή ενός πίνκ συμπτώσεων διπλής εισόδου - 3 -

4 (two-way cotgecy tabe) K(I J) που εκφράζει την κτνομή ενός πληθυσμού ως προς δύο ποιοτικές μετβλητές I (γρμμές) κι J (στήλες) Ως μι πργοντική μέθοδος της Ανάλυσης Δεδομένων (Data Aayss) βσίζετι στην έννοι της πόστσης (π όπου κι ο γεωμετρικός χρκτήρς της) κι χρκτηρίζετι πό την προβολή των ρχικών δεδομένων σε χμηλότερης διάστσης υπόχωρους μέσω της μεττροπής του ρχικού πίνκ συμπτώσεων έτσι ώστε οι γρμμές κι οι στήλες του ν πεικονίζοντι ως δινύσμτ-σημεί ενός smex Βσικός σκοπός της CA είνι ν ποκλύψει κι ν εμφνίσει τις ντιστοιχίες ή συσχετίσεις τις ντιθέσεις τάσεις ή ομδοποιήσεις που ενδεχομένως ενυπάρχουν κι υποκρύπτοντι στ πολυάριθμ δεδομέν-στοιχεί του ρχικού πίνκ K μέσω διδιάσττων γρφημάτων (bots) όπου μπορούν ν πεικονίζοντι γρφικά κι τυτόχρον τ σημεί-γρμμές κι σημεί-στήλες Η μέθοδος της πργοντικής Ανάλυσης Αντιστοιχιών έχει τη δυντότητ ν πλοποιεί σύνθετ κι ογκώδη δεδομέν κτκρτώντς τις ουσιώδεις πληροφορίες που υτά μετφέρουν κι νδεικνύοντς πρσττικά την ενδεχόμενη εσωτερική δομή τους Κυρίως όμως επιτρέπει τη συνολική μελέτη-νάλυση των πολυάριθμων τόμων (γρμμών) κι των πολυάριθμων μετβλητών (στηλών) ποκλύπτοντς τις μη-γρμμικές συνήθως σχέσεις τους που ενδεχομένως εμπεριέχοντι σε ένν πίνκ πολυδιάσττων δεδομένων πράγμ που δεν επιτυγχάνετι με τη συνήθη συγκριτική μελέτη μετξύ μις σειράς μεμονωμένων ζευγών των μετβλητών Η εφρμογή της Ανάλυσης Αντιστοιχιών μπορεί γενικά ν γίνει με διάφορους τρόπους κι σε διάφορους πίνκες πολυδιάσττων δεδομένων Το ίδιο συμβίνει κι με τη συνήθη επέκτσή της δηλ την Ανάλυση Πολλπλών Αντιστοιχιών (Mute Coesodece Aayss-MCA) που εφρμόζετι γενικά σε πίνκες συμπτώσεων πoλλπλής εισόδου (mut-way cotgecy tabe) Η MCA μπορεί ν θεωρηθεί ως μι υπέρβση της (διπλής εισόδου) CA έτσι ώστε ν εφρμόζετι στην νάλυση ενός πληθυσμού ως προς περισσότερες πό δύο ποιοτικές μετβλητές (Hyecube de cotgece) βλ πχ [74] σ08 κι [4] σ03 (κθώς κι B Roux & H Rouaet Geometc Data Aayss Kuwe Academc Pubshes 004) Β) Με διάφορους τρόπους επίσης μπορεί ν γίνει γενικά η επέκτση κι η εφρμογή της Πργοντικής Ανάλυσης Αντιστοιχιών (διπλής ή πολλπλής εισόδου) στην Ασφή Λογική όπως ήδη συμβίνει κι με τις άλλες πργοντικές μεθόδους κι ιδιίτερ με την συχνά χρησιμοποιούμενη Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες (Pca Comoets Aayss-PCA) κθώς κι με την Τξινόμηση (Cassfcato) βλ [ 7 0 3] Η πρώτη σημντική επέκτση-εφρμογή της πολλπλής Ανάλυσης Αντιστοιχιών (MCA) με χρήση βσικών εννοιών της Ασφούς Λογικής (όπως σφή σύνολσφής διμέριση) δόθηκε το 98 πό τον FJ Gaego στην εργσί του Codage fou e Aayses des Coesodaces (βλ [43]) Σ υτή την πρωτοπόρ γι την εποχή εργσί (που δημοσιεύτηκε στο εξειδικευμένο περιοδικό Les Cahes de L Aayse des Doees υπό την επιστημονική προεδρεί του JP Bezec) νδεικνύοντι γι πρώτη φορά τ συγκριτικά πλεονεκτήμτ της σφούς διμέρισης (fuzzy codg ή codage fou στ γλλικά) μέσω των σφών συνόλων ένντι της κλσικής μεττροπής μις ποσοτικής μετβλητής σε ποιοτική μέσω της συνήθους διμέρισης (μέσω κλσικών συνόλων) πχ κτά τη μεττροπή της ποσοτικής μετβλητής «ηλικί» σε ποιοτική μετβλητή-μέσω ηλικικών κτηγοριών - 4 -

5 Πιο συγκεκριμέν στην πρώτη υτή «σφοποίηση» της Ανάλυσης Αντιστοιχιών πό τον Gaego επληθεύετι ότι τ «σφή-κλσικά» διστήμτ που ορίζουν τις διάφορες κτηγορίες-διμερίσεις εμπεριέχουν νπόφευκτ λλά κι υθίρετ μι σημντική πώλει πληροφορίς κι ειδικότερ: ) Ότν μι τιμή της ποσοτικής μετβλητής ντικθίσττι με το διάστημ δ της ποιοτικής κτηγορίς στο οποίο συμμετέχει τότε δεν μπορούμε ν επνκτσκευάσουμε επκριβώς τ ρχικά δεδομέν κι β) Το σοβρότερο μειονέκτημ της κλσικής διμέρισης είνι η συνέχει που πράγετι πό υτή την κωδικοποίηση-κτηγοριοποίηση ιδιίτερ ότν ενδιφερόμστε γι την περιγρφή του συνόλου Ι (φού πράγμτι ν b k είνι το σύνορο που διχωρίζει δύο κλσικά διστήμτ μετξύ τους τότε η πόστση δύο γειτονικών σημείων εκτέρωθεν του b k είνι υθίρετη μη-ρελιστική κι τεχνητά κτσκευσμένη) πχ στη συνήθη ηλικική διμέριση [-30] κι [3-40] οι ηλικίες 30 κι 3 πρότι είνι γειτονικές κι πλησιέστερες π ότι πχ οι κι 30 εντούτοις διμερίζοντι κλσικά σε τελείως ξένες μετξύ τους κτηγορίες Μι άλλη πιο πρόσφτη προσέγγιση της MCA με στοιχεί της Ασφούς Λογικής κυρίως μέσω πρδειγμάτων-εφρμογών στο πεδίο των βιοϊτρικών-βιομηχνικών σημάτων (bomedca-bomechaca sgas) δίνετι στις εργσίες [ ] των P Loseve κι S Bouad όπου επισημίνουν χρκτηριστικά (βλ [77] σ 64): As Gaego we ca say that the ma ad geea advatage of fuzzy vs cs codg s the eguasato of the modaty taectoes make t ease to obseve aes ad the aow to show the eatoshs betwee the vaabes bette κι κτλήγουν γι τη χρησιμότητ της Ανάλυσης Αντιστοιχιών στην Ασφή Λογική (βλ [77] σ 75): I the esece of a mutvaate emca database the maage of the mute coesodece aayss ad the fuzzy wdowg shoud be cosdeed the fst statstca aoach to use fo aaysg data sce the mute CA oy shows whee the most motat statstca heomea ae Afte the CA has eveaed the atet heomea - oea eatoshs behavoa casses etc - secfc methods ca be used to mode these heomea moe quattatvey (fo stace the ossbty theoy) Διάφορες άλλες τεχνικές επέκτσης κι γενίκευσης της πολλπλής CA κθώς κι της PCA έχουν επίσης προτθεί κυρίως στη διτριβή του A Chouaka (βλ []) Συγκεκριμέν στη διτριβή υτή προτείνοντι γι την επέκτση της MCA σε πίνκες «διστημάτων»-(exteso de aayse des cooesodaces mutes a' des doees de tye tevae) τρεις ενλλκτικές τεχνικές σφούς κτηγοριοποίησηςκωδικοποίησης (fuzzy codg) μις μετβλητής-διστήμτος: ) η διστυρωμένη κωδικοποίηση (coss codg-codage cose ') ) η μέσω κορυφών κωδικοποίηση (vetces codg-codage a sommets) κι ) η χωρίς ποσύνθεση κωδικοποίηση (codg wthout decomosto-codage sas decomosto) Οι δύο πρώτες τεχνικές βσίζοντι στην ποσύνθεση-μεττροπή μις «μετβλητήςδιστημάτων» σε ριθμητική μετβλητή Η τρίτη βσίζετι στην επέκτση των μεθόδων κλσικής κτηγοριοποίησης ριθμητικών μετβλητών σε δεδομέν υπό μορφή διστημάτων - 5 -

6 Χρκτηριστική εξάλλου εργσί-εφρμογή που φορά στη γενίκευση της PCA στην σφή λογική είνι υτή των Tzeg Je Hu (βλ [0]) όπου μετά πό δημοσκόπηση-έρευν γνώμης με θέμ «η στική συγκοινωνί ως προς την ποιότητ των πρεχομένων υπηρεσιών» τ δεδομέν ως υποκειμενικές πόψεις των ερωτηθέντων εμπεριέχουν συνήθως οριστί κι σάφει οπότε η υποκειμενικότητ των πόψεών τους μπορεί ν εκφρστεί κλύτερ μέσω σφών ριθμών Αξιοσημείωτες είνι επίσης οι σχετικές εργσίες [ ] κθώς κι η εφρμογή [60] γι σφή Τξινόμηση (fuzzy Cassfcato) Τέλος επισημίνετι η ιδιίτερη δρστηριότητ στην Ασφή Ανάλυση Δεδομένων μελών του Πνεπιστημίου της Ρώμης La Saeza (όπως των S Boasco R Vede S Bab κλπ) λλά κυρίως η σημντική δημιουργί της ειδικής επιστημονικής ομάδς γι την νάπτυξη της Ανάλυσης Δεδομένων Goue LISE του INRIA στη Γλλί που ποτελείτι πό τους P Cazes E Dday C Padoux A Chouaka κλπ με κύριο σκοπό σήμερ όπως κτγράφετι χρκτηριστικά στο Κτσττικό της Ετιρείς «Η επέκτση των μεθόδων της Ανάλυσης Δεδομένων σε Συμβολικά Δεδομέν» Συμπερσμτικά λοιπόν δύο τουλάχιστον (συνοπτικά) προσεγγίσεις μπορεί ν γίνουν μετξύ της Ανάλυσης Αντιστοιχιών (διπλής ή πολλπλής εισόδου) κι της Ασφούς Λογικής: ) Αντί η κτηγοριοποίηση μις ποσοτικής-συνεχούς μετβλητής ν γίνει κτά τον συνήθη κλσικό τρόπο (δηλδή σε διμερίσεις κλσικών διστημάτων-ξένων μετξύ τους) μπορεί ν εισάγουμε σφείς διμερίσεις χρησιμοποιώντς σφή σύνολσφείς ριθμούς (πχ LR σφείς ριθμούς τριγωνικούς ή τρπεζοειδείς σφείς ριθμούς) κι β) Εισάγοντς στον ρχικό πίνκ δεδομένων ως στοιχεί του σφείς ριθμούς οπότε η νάλυση θ επεκτθεί νπόφευκτ σε μθημτικές έννοιες της Ασφούς Λογικής (όπως σφείς ριθμοί σφείς δινυσμτικοί χώροι σφείς πίνκες σφείς ιδιοτιμές-ιδιοδινύσμτ σφή γρμμικά συστήμτ κλπ) Σύμφων με την πρπάνω τξινόμηση στη διτριβή υτή κολουθούμε τη δεύτερη πορεί (πράγμ που επιχειρείτι μεθοδολογικά γι πρώτη φορά κι συνιστά πιστεύουμε σημντική επιστημονική πρωτοτυπί υτής της διτριβής) Βέβι μπορεί ν έχουμε κι διάφορους άλλους πιο σύνθετους συνδυσμούς των πρπάνω δύο περιπτώσεων όπως πχ σφείς μετβλητές κι σφή δεδομέν είτε σφή δεδομέν εισγωγής (ut) κι κλσικά ποτελέσμτ (κλσικά δεδομέν εξγωγής-outut) ή κλσικά δεδομέν εισγωγής κι σφή ποτελέσμτ (σφή δεδομέν εξγωγής) κλπ 3) Δομή της Διδκτορικής Διτριβής: Κτρχήν πρέπει ν δηλώσουμε εκ των προτέρων ότι επειδή η Ελληνική βιβλιογρφί είνι φτωχή κόμη στο θέμ των Ασφών Συνόλων κρίθηκε σκόπιμο ν δοθεί μι πιο λεπτομερεική νάπτυξη των προκτρκτικών σφών εννοιών πράγμ που δεν συνηθίζετι βέβι στις διτριβές Αυτό όμως θ κάνει κι τη διτριβή περισσότερο υτόνομη λλά θ βοηθά κι τον νγνώστη στην πληρέστερη κτνόηση των - 6 -

7 θεμάτων της διτριβής Με υτό το σκεπτικό νφερόμστε ίσως κάπως νλυτικότερ (κόμη κι με επεξηγημτικά μερικές φορές πρδείγμτ) ιδίως σε σφείς έννοιες κι σφείς διδικσίες που άπτοντι άμεσ ή έμμεσ των θεωρητικών στόχων των πρκτικών νγκών ή κι των προοπτικών υτής της διτριβής Στο πρώτο Κεφάλιο λοιπόν δίνετι μι γενική εισγωγή στην Ασφή Λογική όπου νπτύσσοντι πιστεύουμε ικνοποιητικά ρκετές βσικές έννοιες της σύγχρονης Ασφούς Συνολοθεωρίς όπως σφές σύνολο γενικευμένο σφές σύνολο - διτομές Ασφές Δυνμοσύνολο Προβολή σφούς συνόλου κλπ Ακολουθούν στη συνέχει το Κεφάλιο που νφέρετι στην λγεβρική δομή κι τις βσικές ιδιότητες του Ασφούς Δυνμοσυνόλου το Κεφάλιο 3 περί Ασφών Δινυσμτικών Χώρων κι Ασφών Πινάκων κθώς κι το Κεφάλιο 5 περί της Γεωμετρίς των Ασφών Συνόλων κι των Ασφών Υπερκύβων όπου ενδεχομένως ν μπορεί ν επεκτθεί η Ασφής Ανάλυση Αντιστοιχιών Ιδιίτερη έμφση δίνετι στο Κεφάλιο 4 περί των Ασφών Αριθμών κι των πράξεων της Ασφούς Αριθμητικής (που βσίζετι στην Αριθμητική των συνήθων κλσικών Διστημάτων) μέσω της οποίς κι επιτυγχάνοντι βσικοί υπολογισμοί υτής της διτριβής κθώς κι στο Κεφάλιο 6 που είνι ειδικά φιερωμένο στην κλσική Ανάλυση Αντιστοιχιών όπου γίνετι μι συνοπτική περιγρφή κι νσκόπηση των νγκίων χρκτηριστικών κι ιδιοτήτων της υπό σφοποίηση κλσικής πργοντικής μεθόδου δηλ της συνήθους (διπλής εισόδου) Ανάλυσης Αντιστοιχιών Στο έβδομο Κεφάλιο γίνετι η νάπτυξη της «δύο-βημάτων» μεθόδου γι την κυρτή νάλυση ενός FCA-σφούς πίνκ όπου μέσω κυρτών συνδυσμών ένς πίνκς διστημάτων μεττρέπετι σε έν ευθύγρμμο τμήμ του δινυσμτικού χώρου πινάκων M ( ) κι όπου θεμελιώνετι η θεωρητική υποδομή της Ασφούς Ανάλυσης Αντιστοιχιών κυρίως μέσω των Θεωρημάτων της FCA-Ασφούς Ιδιοτιμής Στο Κεφάλιο 8 επεξηγούντι κι επιβεβιώνοντι πρκτικά τ θεωρητικά ποτελέσμτ μέσω πλών λλά χρκτηριστικών ριθμητικών πρδειγμάτωνεφρμογών όπου εκτός των άλλων προυσιάζοντι νλυτικά οι νγκίες σφείς ριθμητικές πράξεις κι οι πιτούμενοι υπολογισμοί γι τον προσδιορισμό κι την επίλυση του προβλήμτος της FCA-σφούς ιδιοτιμής Επιπλέον λόγω της μη-ύπρξης (μη-σύστσης) ντίστοιχων σφών ιδιοδινυσμάτων υποδεικνύοντι κάποιες ενλλκτικές λλά κθ όλ ρελιστικές διέξοδοι γι τον κθορισμό κτάλληλων γι την FCA πργοντικών ξόνων κι την άμεση πρκτική εφρμογή της μεθόδου Το τελευτίο Κεφάλιο 9 φιερώνετι στον επίλογο-σύνοψη της διτριβής όπου προυσιάζοντι επίσης ορισμέν προβλήμτ γι μελλοντική έρευν κθώς κι οι άμεσες πρκτικές ή ερευνητικές προοπτικές 4) Εργσίες στ πλίσι της Διδκτορικής Διτριβής (βλ [06 07]: Theodoou Yas Aevzos Phos The Fuzzy Egevaue Pobem of Fuzzy Coesodece Aayss Joua of Itedscay Mathematcs Acceted fo ubcato Θεοδώρου Ιωάννης Δρόσος Κων/νος Αλεβίζος Φίλιππος Ασφής Ανάλυση Αντιστοιχιών 8 ο Πνελλήνιο Συνέδριο Σττιστικής-Ελληνικό Σττιστικό Ινστιτούτο - 7 -

8 Ρόδος 4-7 Μΐου 005 (Έχει γίνει ποδεκτό γι δημοσίευση στ Πρκτικά του Συνεδρίου) 3 Theodoou Yas Dossos Costas ad Aevzos Phos Coesodece Aayss wth Fuzzy Data Submtted Ασφής Επιφάνει μέσω Τριγωνοποίησης (Fuzzy Suface va Taguato-fgue fom Joge dos Satos & Lodwck) - 8 -

9 Ευχριστίες Η εκπόνηση της διτριβής υτής έγινε υπό την εποπτεί κι την επιστημονική επίβλεψη του Κθηγητή κι a o «συνοδοιπόρου» κ Κ Δρόσου Οφείλω κι πό τη θέση υτή ν τον ευχριστήσω τόσο γι την επίπονη κδημϊκή κθοδήγησή του όσο κι γι την κθοριστική λλά δικριτική επιρροή του στην επιστημονική μύησή μου στον όμορφο ερευνητικό κόσμο κι ιδιίτερ στο πργμτικά γοητευτικό «σφές» ερευνητικό πεδίο Κτά τη μκρόχρονη κι συνεχή επικοινωνί μς η συνεργσί μς υπήρξε στενή ρκετές φορές άκρως ειλικρινής μέχρι «πολεμική» λλά πάντ εγκάρδι κι τελικά πργμτικά εποικοδομητική Οφείλω επίσης ν ευχριστήσω το μέλος της Τριμελούς Επιτροπής Επικ Κθηγητή κ Φ Αλεβίζο κι επιστημονικά ειδικό στην Ανάλυση Δεδομένων γι τις τέλειωτες προσωπικές ώρες συνεργσίς που μου φιέρωσε νδεικνύοντς πολλές φορές με τις εύστοχες κδημϊκές πρτηρήσεις του την κτάλληλη πορεί κι προοπτική των εκάστοτε ερευνητικών προβλημάτων της διτριβής Εκφράζω επίσης τις ευχριστίες μου στο μέλος της Τριμελούς Επιτροπής Επικ Κθηγητή κ Α Πτρώνη γι την επιστημονική κι όχι μόνο συμπράστσή του κθώς κι στους Πνεπιστημικούς Δάσκλους κκ Β Ππντωνίου Μ Βρχάτη Ε Ππδοπετράκη κι Π Κρζέρη γι την εν γένει κδημϊκή συμβολή τους Τέλος θ ήθελ ν ευχριστήσω το Μθημτικό Τμήμ γενικά γι την άρτι υποδομή του τις σύγχρονες Διοικητικές του Υπηρεσίες κι ιδιίτερ τον κ Θ Χλκιόπουλο γι τις πάντ πρόθυμες κι νεπιτήδευτες ντιγρφειοκρτικές διευκολύνσεις του Γιάννης Θεοδώρου Επικ Κθηγητής ΤΕΙ - 9 -

10 Περιεχόμεν ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - Εισγωγή στην Ασφή Λογική 3 Γενικά περί Ασφoύς Λογικής κι Ασφών Συνόλων 3 Ερμηνεί των σφών συνόλων-γενικευμέν σφή σύνολ 5 3 Βσικά χρκτηριστικά των σφών συνόλων 9 4 Άλγεβρ Ασφών Συνόλων - Το Ασφές Δυνμοσύνολο F ( X ) 4 5 Γενικευμένες Πράξεις σφών συνόλων t-στάθμες κι s-στάθμες 7 6 Ιδιότητες των -διτομών ενός σφούς συνόλου 30 7 Ασφείς Σχέσεις Προβολή Ασφούς Συνόλου (ή Ασφούς Σχέσης) 33 Άλγεβρ Ασφών Συνόλων 36 Αλγεβρική δομή του Ασφούς Δυνμοσυνόλου F ( X ) Υπενθυμίσεις πό το Κλσικό Δυνμοσύνολο P ( X) 36 ( P ( X ) Ν ) κι (0 ) 37 3 Άλγεβρες Booe (ή Booea δικτυωτά) 39 4 De Moga άλγεβρες κι άλγεβρες Keee 40 Τ Δικτυωτά [ ] 3 Ασφείς Δινυσμτικοί Χώροι Ασφείς Πίνκες 43 3 Ασφής Δινυσμτικός Χώρος-Ιδιότητες 43 3 Ασφής Γρμμική Ανεξρτησί Ασφής Δινυσμτική Βάση Διάστση Ασφούς Δινυσμτικού Χώρου Ασφής Γρμμικός Μετσχημτισμός-Ασφής Δυϊκός Χώρος Ασφείς Πίνκες 49 4 Ασφής Αριθμητική 5 4 Ασφείς Αριθμοί 5-0 -

11 4 Αριθμητική Διστημάτων 5 43 Ασφής Αριθμητική με χρήση των -διτομών LR-σφείς ριθμοί 6 45 Τριγωνικοί κι Τρπεζοειδείς Ασφείς Αριθμοί-(TFN κι T FN) 65 5 Γεωμετρί Ασφών Συνόλων-Ασφείς Υπερκύβοι 68 5 Τ σφή σύνολ ως γεωμετρικά σημεί Υπερκύβων 68 5 Ασφής Εγκλεισμός κι Ασφής Εντροπί 7 6 Η Ανάλυση Αντιστοιχιών (CA) 75 6 Εισγωγή στην Ανάλυση Αντιστοιχιών 75 6 Η μθημτική θεμελίωση της Ανάλυσης Αντιστοιχιών Πργοντικοί (ή Κύριοι) Άξονες ενός νέφους Τυπολόγιο Βσικών Μθημτικών Σχέσεων στη CA 9 7 Ασφής Ανάλυση Αντιστοιχιών (FCA) 94 7 Εισγωγή-Βσική τοποθέτηση 94 7 Ασφή Δεδομέν ένντι Αριθμητικών Δεδομένων Ασφής Διμέριση ένντι Κλσικής Διμέρισης Ανάλυση Αντιστοιχιών με Ασφή Δεδομέν (FCA) Το πρόβλημ της Ασφούς Ιδιοτιμής Η Μέθοδος «δύο-βημάτων» της FCA-Ασφούς Ιδιοτιμής 0 75 Το πρόβλημ της Ασφούς Ιδιοτιμής ενός FCA-σφούς πίνκ με στοιχεί Τριγωνικούς Ασφείς Αριθμούς (TFN) 76 Φσμτική Ανάλυση των FCA-Ασφών Πινάκων 3 8 Εφρμογές στο Πρόβλημ Ασφούς Ιδιοτιμής της Ανάλυσης Αντιστοιχιών με Ασφή Δεδομέν Χρκτηριστικές Εφρμογές στην Ασφή Ανάλυση Αντιστοιχιών 8 Πρώτη Εφρμογή-Πράδειγμ (περίπτωση FCA-πίνκ ( ) ) 8 Δεύτερη Εφρμογή-Πράδειγμ (περίπτωση FCA-πίνκ (3 3) ) 3 83 Αντιπρδείγμτ κι Επληθεύσεις Προοπτικές γι Ασφείς Γεωμετρικές Γρφικές Πρστάσεις της FCA 38 9 Επίλογος 43 9 Σύνοψη-Τελικές Πρτηρήσεις 43 9 Προβλήμτ γι μελλοντική έρευν Προοπτικές Εφρμογών της Ασφούς Ανάλυσης Αντιστοιχιών με Ασφή Δεδομέν 45 Βιβλιογρφί

12 Βσικές Συντομογρφίες: ΑΛ Ασφής Λογική σ σφές σύνολο νν ν κι μόνον ν δηλ δηλδή δχ δινυσμτικός χώρος πχ πρδείγμτος χάριν CA Coesodece Aayss Ανάλυση Αντιστοιχιών FCA Ασφής Ανάλυση Αντιστοιχιών (με σφή δεδομέν) MCA Πολλπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών PCA Pca Comomets Aayss Ανάλυση σε Κύριες Συνιστώσες f fuzzy σφής fδχ σφής δινυσμτικός χώρος K πίνκς διστάσεων ( ) M ( )ο δχ των ( ) πινάκων με στοιχεί στο σώμ Πυρμιδοειδή κι Πρβολοειδή Ασφή Σύνολ-Σημεί (Tetaede-shaed ad Paabood Fuzzy Pots βλ [5] σ) - -

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισγωγή στην Ασφή Λογική Γενικά περί Ασφούς Λογικής κι Ασφών Συνόλων ) Η Ασφής Λογική (Fuzzy Logc) είνι μι επέκτση της κλσικής (Αριστοτέλεις) λογικής που μς εφοδιάζει με ένν ποτελεσμτικό εννοιολογικό σκελετό γι την έκφρση λογικών (γλωσσικών) εννοιών κι την νπράστση γνώσης σε περιβάλλον βεβιότητς κι σάφεις (βλ [6 7] Ο όρος Ασφής Λογική δικρίνετι σημσιολογικά κτά την ευρεί κι τη στενή έννοι (βλ P Haek The Metamathematcs of Fuzzy Logc Kuwe 998) Κτά την ευρεί έννοι συνήθως εννοούμε τη «Θεωρί των Ασφών Συνόλων» που επιχειρεί ν εξομοιώσει τη φυσική-κθομιλουμένη γλώσσ Ενώ κτά τη στενή έννοι η «Ασφής Λογική» μπορεί ν θεωρηθεί πλά ως μι «λογική» δηλδή υπό τη στενή έννοι είνι πράγμτι μι πλειότιμη γενίκευση της κλσικής λογικής Η Ασφής Λογική βσίζετι στην επέκτση πό την έννοι του κλσικού συνόλου στη γενικευμένη έννοι του σφούς συνόλου (fuzzy set) που εισήχθη το 965 πό τον Lotf Zadeh Η Ασφής Συνολοθεωρί στηρίζετι ουσιστικά στη γενίκευση της έννοις της δείκτρις συνάρτησης ενός συνόλου A (ως προς σύμπν X ) όπου η σχέση του «νήκειν» (Ξ) γενικεύετι έτσι ώστε ντί ν πίρνει μόνον δύο τιμές 0 κι ν πίρνει τιμές στο κλειστό διάστημ [0] δηλδή στηρίζετι στην επέκτση της δείκτρις συνάρτησης μ ν x Ξ A IA : X {0} me I A( x) ο ν () ο οξ 0 ν x Ο A στη συνάρτηση συμμετοχής (membesh fucto) της μορφής: m : X [0] me m ( x) Ξ [0] () A A Ο ριθμός m A ( x ) δηλώνει τον βθμό συμμετοχής με τον οποίο το στοιχείο x Ξ X νήκει (συμμετέχει) στο σφές υποσύνολο A του X Στην πρπάνω γενίκευση ς σημειωθεί ότι υτή γίνετι πό την τετριμμένη άλγεβρ Booe ({0} ΩΪ '0) σε διάφορες πλειότιμες άλγεβρες επί του [ 0 ] όπως De Moga May-Vaued άλγεβρες κλπ Στ πλειότιμ μοντέλ γενικά η τιμή λήθεις μις πρότσης δεν πίρνει μόνο μί πό τις τιμές 0 ή λλά μπορεί ν πίρνει μι τιμή μετξύ 0 κι οπότε μι πρότση που δεν είνι ληθής δεν σημίνει νγκί ότι είνι ψευδής λλά μπορεί ν είνι μερικά ληθής δηλ δεν ισχύει εδώ ο Νόμος της Αποκλίσεως του Τρίτου - 3 -

14 Συνεπώς θ μπορούσμε ν πούμε ότι έν κλσικό ή ενργές (cs) σύνολο νφοράς X έχει δύο είδη υποσυνόλων: τ κλσικά κι τ σφή Είτε κλλίτερ ότι η χρκτηριστική δίτιμη συνάρτηση I ( x ) που εκφράζει έν κλσικό σύνολο A εμπεριέχετι στην έννοι της συνάρτησης συμμετοχής m A ( x ) που εκφράζει έν σφές σύνολο (σ) στις κρίες τιμές του διστήμτος [0] (βλ επίσης Σχήμτ κι ) Συχνά χάριν πλούστευσης έν σ A κι η συνάρτηση συμμετοχής του m χρησιμοποιούντι ως τυτόσημες έννοιες δηλ θεωρούμε AΊ m (βλ πχ [66 88]) A A Σχ Γρφική σύγκριση: Σχ Συνήθη στην πράξη σφή σύνολ: κλσικού συνόλου Τριγωνικό A {34567} A«περίπου 4» κι σφούς συνόλου κι Τρπεζοειδές B «περίπου 5» B«περίπου μετξύ 5 κι 7» ) Οι βσικές ρχές της Ασφούς Λογικής συνοψίζοντι επιγρμμτικά στ εξής (βλ Zadeh [6] σ): Στην Ασφή Λογική οτιδήποτε είνι διβθμισμένο Κάθε (λογικό) σύστημ μπορεί ν σφοποιηθεί (fuzzfed) Κάθε κριβής κτάστση στην Ασφή Λογική θεωρείτι ως ορική περίπτωση μις προσεγγιστικής κτάστσης Η Ασφής Λογική (ΑΛ) διφέρει πό την πρδοσική δίτιμη λογική τόσο στην ουσί όσο κι στον τύπο Μερικές πό τις κύριες διφορές τους νλύοντι διεξοδικά στ [6 7 36] πχ Αλήθει ή Αληθοτιμές: Στ δίτιμ λογικά συστήμτ η ληθοτιμή μπορεί ν πάρει μόνο τιμές ληθής ή ψευδής το «τρίτο» ποκλείετι Στ πλειότιμ λογικά συστήμτ η ληθοτιμή μις πρότσης μπορεί ν είνι έν στοιχείο (βλ κι [05 7 9]): ενός πεπερσμένου συνόλου μις άλγεβρς Booe ενός διστήμτος όπως το [0] ή γενικότερ μις πλειότιμης άλγεβρς - 4 -

15 Γενικά στην ΑΛ η ληθοτιμή μις πρότσης μπορεί ν είνι έν σφές υποσύνολο ενός οποιουδήποτε μερικώς διτετγμένου συνόλου το οποίο συνήθως λμβάνετι ως (0 ) που είνι έν πλήρες δικτυωτό το μονδιίο διάστημ [ ] Ερμηνεί των Ασφών Συνόλων-Γενικευμέν Ασφή Σύνολ ) Η συνάρτηση συμμετοχής ενός σ μπορεί ν εκφράσει υποκειμενικές πόψεις γι την ίδι έννοι σε ντίθεση με την χρκτηριστική συνάρτηση ενός κλσικού συνόλου που εκφράζει μι πόλυτη οριστική έννοι νεξάρτητη πό πρτηρητές (με την έννοι ότι όλοι οι πρτηρητές θ εξέφρζν με τον ίδιο τρόπο μι πόλυτη έννοι) πχ γι το σ Α{κέριοι περίπου ίσοι με } η μορφή του εξρτάτι πό το «μάτι» του πρτηρητή οπότε μπορεί ν έχουμε διφορετικές συνρτήσεις συμμετοχής που ν εκφράζουν την ίδι σφή έννοι Α Αντίθετ το κλσικό σύνολο πχ B { xξ 3< x< 0} εκφράζει μι πόλυτη έννοι κι η σημσί του είνι νεξάρτητη πό υποκειμενικές ερμηνείες Γι πράδειγμ στο Σχήμ 3 γι την ίδι σφή έννοι x περίπου με x Ξ έχουμε 4 διφορετικά σφή σύνολ (υποκειμενικές πόψεις) Όμως πρά τις σημντικές διφορές τους όπως φίνοντι στ γρφήμτ των συνρτήσεων συμμετοχής τους έχουν κι ρκετά βσικά κοινά χρκτηριστικά (βλ [66] σελ ) Συγκεκριμέν κθέν πό υτά τ σ A ( 3 4) εκφράζει με μι ιδιίτερη μορφή την ίδι γενική (σφή) έννοι x περίπου με x Ξ έχοντς όμως τυτόχρον τ εξής κοινά χρκτηριστικά: ) A () κι A ( x) < γιά κάθε xή ( 3 4) β) A είνι συμμετρικό ως προς την ευθεί x δηλ A( + x) A( - x) xξ γ) A ( x ) φθίνει πό μέχρι 0 με ύξουσ διφορά - x Οι ιδιότητες υτές είνι νγκίες γι ν εκφρστεί κτάλληλ η δοθείσ σφής έννοι x περίπου με x Ξ λλά κι οποιοδήποτε άλλο σ θέλει ν εκφράσει την ίδι έννοι πρέπει (γενικά) ν έχει υτές τις ιδιότητες Επίσης οι 4 υτές συνρτήσεις συμμετοχής είνι όμοιες στο ότι γι x εκτός του διστήμτος [3] έχουν «βθμό συμμετοχής» μελητέο ή 0 Η ομοιότητ όμως υτή δεν είνι πάντ πρίτητη γι την έκφρση της σφούς έννοις λλά συνήθως συνάγετι πό τ συμφρζόμεν Εξάλλου συνήθως στις εφρμογές δεν πιτούντι εξειδικευμέν σχήμτ γι τις συνρτήσεις συμμετοχής λλά ρκούν πλούστερ πρκτικά σχήμτ (όπως η τριγωνοειδής A ( ) x είτε η τρπεζοειδής-βλ κι Σχήμ ) - 5 -

16 Σχ3 Tέσσερ διφορετικά σφή σύνολ που εκφράζουν την ίδι σφή έννοι: «x περίπου» ) Η ερμηνεί της συνάρτησης : [ 0] f X ως σφούς συνόλου μς δίνει τη δυντότητ ν εκφράσουμε μθημτικά όριστες έννοιες που χρησιμοποιούντι κι στην κθομιλουμένη γλώσσ Όμως η έκφρση υτή δεν εξρτάτι μόνο πό την ίδι την έννοι λλά κι πό τ συμφρζόμεν-το γενικό νοημτικό περιβάλλον (cotext) όπου υτή χρησιμοποιείτι πχ η έννοι «υψηλή θερμοκρσί» άλλο νόημ έχει ότν μιλάμε γι τον κιρό κι άλλο νόημ έχει ότν μιλάμε γι πυρηνικό ντιδρστήρ κι προφνώς οι έννοιες υτές θ εκφράζοντι πό πολύ διφορετικά σφή σύνολ Άρ η ίδι σφής έννοι μπορεί ν εκφράζετι πό πολλά κι διφορετικά σφή σύνολ κι η επιλογή του κτάλληλου σ είνι υποκειμενική φού τ όρι ενός σ είνι σφή κι επομένως εξρτώντι τελικά πό την κρίση του πρτηρητή Αυτή όμως η ελστικότητ ως προς την υποκειμενική επιλογή του σ είνι πολύ χρήσιμη στις εφρμογές όπως πχ στην Ασφή Θεωρί Ελέγχου (fuzzy coto) στις Ασφείς Αποφάσεις (fuzzy decso) κλπ Γι πράδειγμ γι την ίδι σφή έννοι «νέος» λλιώς την ξιολογεί έν νερό άτομο κι λλιώς ένς ηλικιωμένος οπότε η έννοι υτή μπορεί ν εκφράζετι πό διφορετικά σ (βλ Nguye [88] κι Sakawa [00]) δηλδή: - 6 -

17 Σχ 4 «νέος» κτά την άποψη νερού μο ν x< 5 N( x) ο ν 40- x ν 5 x 40 5 ο οξ 0 ν 40< x Σχ 5 «νέος» κτά την άποψη ηλικιωμένου μο ν x< x ν 40 x H( x) ο ν 70 - x ν 60< x 70 0 ο οξ 0 ν 70> x 3) Γενικευμέν Ασφή Σύνολ: Σε μερικές εφρμογές των σ χρειάζετι ενίοτε το πεδίο τιμών τους ν είνι διάφορο του συνήθους [0] Έτσι ντί του πλούστερου διστήμτος [0] μπορεί γενικεύοντς ν έχουμε A: X L όπου L μπορεί γενικά ν είνι έν μερικώς διτετγμένο (τουλάχιστον) σύνολο κι συνήθως θεωρούμε το L ως έν πλήρες δικτυωτό (attce) Ο βσικός λόγος γι τη γενίκευση των συνήθων σ είνι ότι η συνάρτηση συμμετοχής τους στο [0] είνι περισσότερο κριβής πό την βεβιότητ-σάφει που επιχειρείτι ν εκφρστεί σε κάποιες εφρμογές Γι πράδειγμ μερικές σφείς έννοιες μπορούν ν εκφρστούν πό κτάλληλες συνρτήσεις συμμετοχής μόνον προσεγγιστικά φού σε κάθε στοιχείο x του X η συμμετοχή του στο X μπορεί ν θεωρηθεί όχι ως ένς ριθμός του[ 0 ] λλά ως έν υποδιάστημ του [ 0 ] δηλδή εκτιμάτι (λόγω της βεβιότητς) ότι κυμίνετι μετξύ ενός ελάχιστου a κι μέγιστου a ορίου ήτοι κάθε x ντιστοιχίζετι σε έν κλειστό υποδιάστημ [ a a ] Ν [ 0] Πιο συγκεκριμέν τ κυριότερ Γενικευμέν Ασφή Σύνολ είνι: ) Διστημότιμ σφή σύνολ (teva-vaued fuzzy sets) λέγοντι υτά που το πεδίο τιμών της συνάρτησης συμμετοχής τους δεν είνι το σύνηθες [0] λλά είνι κλειστά υποδιστήμτ-υποσύνολ του [0] δηλ είνι της μορφής A: X P ([0]) x a A( x) [ ] όπου P ([0]) είνι το δυνμοσύνολο του [0] Γι πράδειγμ στο Σχήμ 6 γι κάθε x η ντίστοιχη A(x) είνι έν ευθύγρμμο τμήμ μετξύ των κμπυλών που εκφράζει τυτόχρον το κτώτερο κι νώτερο όριο της A(x) δηλ είνι έν κλειστό διάστημ Ax ( ) [ ] [0] (Όμως τ διστημότιμ σ προυσιάζουν στην πράξη έν σημντικό μειονέκτημ: οι υπολογιστικές πιτήσεις τους συγκριτικά με τ συνήθη σ είνι πολύ μεγάλες) - 7 -

18 Σχ 6 Διστημότιμο σφές σύνολο: γι x a A(a) [ ] [0] β) Γενικευμέν σφή σύνολ τύπου (fuzzy sets of tye ): Τ διστημότιμ σ μπορούν κόμη περισσότερο ν γενικευθούν θεωρώντς ότι τ όρι είνι επίσης σφή δηλ [ 3 4] κι [ 5 6] Οπότε θεωρώντς κάθε διάστημ [ ] [ 0] ως σύνηθες σφές σύνολο (ως προς σύμπν [0]) τότε το διάστημ [[ 3 4][ 5 6]] είνι έν σφές διάστημ που λέγετι κι σφές σύνολο τύπου (fuzzy set of tye ) Δηλ τ σφή διστήμτ ή σφή σύνολ τύπου έχουν συνάρτηση συμμετοχής A : X F ([0]) όπου F ([0]) είνι το σύνολο όλων των σφών συνόλων ως προς σύνολο νφοράς το [0] που λέγετι κι σφές δυνμοσύνολο (fuzzy owe set) του [0] Σχ 7 Γρφική ερμηνεί του γενικευμένου σφούς συνόλου τύπου - 8 -

19 Η έννοι του σ τύπου φίνετι γρφικά στο Σχήμ 7 όπου θεωρείτι ότι οι συνρτήσεις συμμετοχής όλων των εμπλεκόμενων σφών διστημάτων είνι τρπεζοειδούς σχήμτος κι συνεπώς κθέν πό υτά ορίζετι πλήρως πό 4 ριθμούς Δηλ γι κάθε x οι ριθμοί υτοί πράγοντι πό 4 συνρτήσεις που στο πρπάνω σχήμ εκφράζοντι πό τις 4 κωδωνόσχημες κμπύλες Έτσι πχ ν x a πίρνουμε 4 ριθμούς 3 4 μέσω των οποίων ορίζετι μονοσήμντ το σφές διάστημ που ντιστοιχεί στο x a (βλ σχήμ 7 ριστερή πλευρά) δηλ A : X F ([0]) // x a a A(a) [[ ][ 3 4]] Όμοι γι x b πίρνουμε 4 άλλους ριθμούς β β β3 β 4 κι ο ντίστοιχος βθμός συμμετοχής του x b είνι το σφές διάστημ [[ β β][ β3 β4]] F ([0]) Ας σημειωθεί ότι τ σ τύπου έχουν πολύ μεγάλη νοημτική κι εκφρστική ισχύ έχουν όμως πράλληλ κι μεγλύτερες υπολογιστικές πιτήσεις κι πό τ διστημότιμ σ γι' υτό κι σπάνι μέχρι σήμερ χρησιμοποιούντι στις εφρμογές Κτά τον ίδιο τρόπο με τη δημιουργί των σφών συνόλων τύπου (ή σφή διστήμτ) μπορούμε ν έχουμε σφή σύνολ τύπου 3 ή κι κόμη υψηλότερου τύπου κθώς κι διάφορ άλλ είδη γενικευμένων σφών συνόλων Όμως είνι φνερό ότι μι τέτοι γενίκευση σε υψηλότερους τύπους σφών συνόλων υξάνει σχεδόν πγορευτικά τις υπολογιστικές πιτήσεις τους στις εφρμογές Επίσης στη γενικότερη-σύμφων με τ προνφερόμεν-περίπτωση σφών συνόλων A:X L όπου δηλ το πεδίο τιμών L της συνάρτησης συμμετοχής είνι οποιοδήποτε σύνολο που πιτείτι μόνο ν είνι μερικώς διτετγμένο (συνήθως πλήρες δικτυωτό) τ ποκλούμεν κι L-σφή σύνολ (Goghe-967) προφνώς εμπεριέχουν ως υποπεριπτώσεις τους προνφερόμενους γενικευμένους τύπους σφών συνόλων 3 Βσικά χρκτηριστικά των σφών συνόλων ) -διτομή (-cut) ενός σφούς συνόλου A (ως προς σύμπν X ) ονομάζετι το κλσικό (cs) σύνολο A που ορίζετι ως εξής: A { x X A( x) } με [0] (3) Όμοι ορίζετι το κλσικό σύνολο + A ισχυρή -διτομή (stog -cut): A + { x X A( x) > } με [0] (4) Γι το σύνολο -διτομή A { x X A( x) } λέγετι κι πυρήνς (coekee) του σ X Δηλ ο πυρήνς του σ A είνι το κλσικό σύνολο που - 9 -

20 περιλμβάνει εκείν τ στοιχεί x του σύμπντος X γι τ οποί Ax ( ) (βλ κι Σχήμ 8) Κάθε σ προσδιορίζει μονδικά όλες τις -διτομές (κι ισχυρές -διτομές) υτού Αλλά κι ντίστροφ η οικογένει των -διτομών (κθώς κι των ισχυρών - διτομών) ενός σ το προσδιορίζουν μονδικά Δηλ κάθε σφές σύνολο Α μπορεί ν εκφρστεί ισοδύνμ πλήρως κι μονδικά μέσω της οικογένεις των -διτομών υτού ως εξής: Θεώρημ Aνπράστσης (Reesetato-Decomosto Τheoem): όπου A A A su A su {m{ I }} (5) Ι A [0] [0] [0] [ 0] ότν Ax ( ) x A ( x) 0 ότν Ax ( ) < x A A είνι η χρκτηριστική ή δείκτρι συνάρτηση του A Αυτή η σημντική ικνότητ ν «δισπάτι» έν σ σε μι οικογένει κλσικών συνόλων (-διτομών) είνι πολύ χρήσιμη (ιδιίτερ στις εφρμογές) κι χρησιμοποιείτι συχνά γι ν μεττρέποντι σχέσεις κι πράξεις μετξύ σ σε σχέσεις κι πράξεις μετξύ των ντίστοιχων -διτομών των σ (βλ [35]-σ9 [00]-σ5 [66]-σ4) Το πρπάνω (σημντικόττο γι την Ασφή Λογική) Θεώρημ δείχνει ότι έν σφές σύνολο είνι πλά μι ειδική οικογένει ενργών (cs) κλσικών συνόλων (Το φινόμενο υτό είνι πολύ σύνηθες στ μθημτικά δηλ μετά πό τη μελέτη ενός ντικειμένου ν κολουθεί η μελέτη οικογενειών τέτοιων ντικειμένων) ) Στήριγμ ή φορές (suot) ενός σ A (ως προς X ) λέγετι το κλσικό σύνολο su ( A) { x X A( x) > 0} (6) Προφνώς su( A) X κι su( ) 0+ A A (βλ κι Σχήμ 8) πχ ν A στο X { 7} τότε: su( ) { } A X (φού () () (7) 0 A A A ) - 0 -

21 Σχ 8 Ο πυρήνς κι το στήριγμ ενός σφούς συνόλου 3) Ύψος (heght) ενός σ A (στο X ) λέγετι το suemum των βθμών συμμετοχής στο X όλων των στοιχείων του X δηλ: hgt( A) su A( x ) (7) x X Αν hgt( A ) τότε το σ A λέγετι κνονικό (oma) ή κνονικοποιημένο (omazed) ενώ ν hgt( A ) < τότε το A λέγετι υποκνονικό (suboma) πχ Αν X { 3} A + + κι B τότε A κνονικό κι B υποκνονικό Ας σημειωθεί ότι έν υποκνονικό σ A μπορεί ν γίνει κνονικό διιρώντς Ax ( ) δι hgt( A ) 4) Έν σaως προς X λέγετι κενό ( Α ) ότν: γι κάθε x X A(x) 0 δηλ [ ] μ :X 0 //x a μ (x) 0 Επίσης γι το βσικό σύνολο X προφνώς ισχύει: γι κάθε x X A X (x) δηλ [ ] μ :X 0 //x a μ (x) X X 5) Πληθάριθμος ενός σ A (ως προς X πεπερσμένο) που συμβολίζετι με A ορίζετι ως εξής: A A( x ) (8) πχ Αν x x x3 x4 A τότε A (Αν X είνι μη-πεπερσμένο τότε προφνώς ο πληθάριθμος A δεν υπάρχει πάντ) Ο πληθάριθμος ενός σ δηλ ο ριθμός που ορίζει πόσ στοιχεί περιέχει έν σ - -

22 -όπου το «πόσ στοιχεί» περιλμβάνει κι τ «ποσοστά συμμετοχής» κθενός στοιχείου-είνι μι σημντικόττη έννοι (τόσο γι τη θεωρί όσο κι γι τις εφρμογές) λλά δυστυχώς φίνετι ν είνι έν πολύ δύσκολο πρόβλημ φού οι μέχρι σήμερ προτθέντες ορισμοί είνι κόμη μφιλεγόμενοι Ο πρπάνω ορισμός είνι ο πιο πλός κι επικρτέστερος κι δίνει μη-σφή πληθάριθμο γι σ ενώ γι σφή πληθάριθμο έχουν προτθεί διάφοροι άλλοι ορισμοί (βλ Dubos [35] σ0 κι Kaczyk [59] σ 7) Εξάλλου ς σημειωθεί ότι έν σ A ως προς έν σύνολο νφοράς X όπου X πεπερσμένο ή ριθμήσιμο ορίζετι (κυρίως γι πρκτικούς λόγους) κι σν έν σύνολο διτετγμένων ζευγών του κάθε στοιχείου x X κι του ντίστοιχου βθμού συμμετοχής του μ A ( x ) στο A (βλ [59] σ 3 κι [66] σ 9) δηλδή: Α {( μ ( x ) x A ) x X } Συνήθως μάλιστ στη θεωρί των Ασφών Συνόλων έχει επικρτήσει ν συμβολίζουμε το διτετγμένο ζεύγος ( μ ( x A ) x ) με μa ( x ) κι την ένωση με Σ x οπότε έν πεπερσμένο σ Α {( μa( x) x)( μ A( x) x)} πριστάνετι κι ως εξής: μ ( ) ( ) ( ) Α + + A x μa x μa x x x x x x X (9) όπου οι πράξεις + κι Σ δεν σημίνουν τη συνήθη λγεβρική πρόσθεση λλά τη συνολοθεωρητική ή «o» Οπότε σ' υτή τη (πρκτική) μορφή τ κλάσμτ είνι στην ουσί διτετγμέν ζεύγη δηλ τ ή 0 x δεν είνι συνήθη κλάσμτ λλά σημίνουν ότι 03 0 ή 0 x ενώ τ ζεύγη μa ( ) x με μ ( x) 0 συνήθως Α πρλείποντι Όμοι ν X είνι πειροσύνολο (πχ είνι έν διάστημ πργμτικών ριθμών) τότε μa ( x) το σ A γράφετι: A όπου το σύμβολο x δεν έχει τη συνήθη έννοι X λλά είνι φυσική επέκτση του πρπάνω Σ δηλ σημίνει ότι το σ A πρτίζετι πό το «συνεχές άθροισμ» των βθμών (ή ποσοστών) συμμετοχής κθενός στοιχείου (βλ [59] σ 3 κι [66] σ 9) 6) Έν σφές σύνολο A (ως προς ) λέγετι κυρτό (covex) ότν όλες οι - διτομές υτού είνι κυρτά υποσύνολ του είτε ισοδύνμ ότν όλες οι -διτομές του A είνι κλειστά διστήμτ του (0) Ισοδύνμ επίσης ισχύει: Θεώρημ: Έν σφές σύνολο A (ως προς ) είνι κυρτό νν: A( λ x + ( λ) x ) m{ A( x ) A( x )} x x κι λ [0] (0β) 7) Δύο σ A κι B (στο X ) λέγοντι ίσ γράφοντς A B νν γι κάθε x X ισχύει: μ ( x) μ ( x) () A B - -

23 Ο πρπάνω ορισμός κρίνετι όμως γι ρκετές εφρμογές πολύ υστηρός δηλ «πόλυτος-πότομος» ενώ συχνά στην πράξη χρειάζετι μι σχέση ισότητς των σ πιο ευέλικτη (softe) πιο διισθητική κτά κάποιο βθμό Έτσι δύο σ A κι B (στο X ) ορίζοντι ως «ίσ κτά έν βθμό eab ( ) [ 0]» γράφοντς A e B Ο βθμός ισότητς eab ( ) μπορεί ν οριστεί κτά διάφορους τρόπους (βλ Kaczyk [59] σ 4) πχ ότν ΑΒ σύμφων με τη σχέση () e ( ) { ( ) ( )} { / ( ) ( )} A B Ax Bx ότν A Bκτά την () κι T x X Ax Bx x T 0 ότν Α Β κτά την () κι x X: [ Ax ( ) 0 Bx ( ) 0] ή [ Ax ( ) 0 Bx ( ) 0] 8) Η σχέση του Εγκλεισμού ή Περιέχεσθι (subsethood) στ σφή σύνολ: Γι δύο σ A κι B (στο X ) λέμε ότι το Α είνι υποσύνολο του Β (ή ότι το Α περιέχετι στο B ) γράφοντς A B νν: A B A( x) B( x) x X () Προφνώς γι κάθε A F ( X ) όπου F ( X ) είνι το σύνολο όλων των σ του A ή λλιώς το σφές δυνμοσύνολο του X δηλδή F ( X ) [ 0] A X ή I I I A X X έχουμε: δηλ το είνι το «μικρότερο» στοιχείο κι το X είνι το «μεγλύτερο» στοιχείο του F ( X ) ως προς Επίσης ποδεικνύετι ότι γι κάθε Α ΒΓ F ( X ) ισχύουν: A A (υτοπθής ή νκλστική-efexve) [Α Β κι Β Α] ΑΒ (ντισυμμετρική) (3) [Α Β κι Β Γ] Α Γ (μετβτική-tastve) δηλ το ( F ( X ) ) είνι έν μερικώς διτετγμένο σύνολο Επιπλέον ισχύουν: Α Β su(a) su(b) hgt(α) hgt(β) + + Α Β A B (0] (κι A B [0]) (4) + + ΑΒ A B (0] (κι A B [0]) A B A B B A B A Ο πρπάνω ορισμός του περιέχεσθι (εγκλεισμού) κρίνετι γι κάποιες εφρμογές ως υστηρός γι' υτό έχουν προτθεί στη διεθνή βιβλιογρφί κι διάφοροι άλλοι «χλρότεροι» ορισμοί όπως πχ «διβθμισμένο περιέχεσθι» c(ab) [0] κλπ (βλ πχ [59]) - 3 -

24 9) Μι σημντική έννοι που χρησιμοποιείτι ιδιίτερ κι στις εφρμογές (πχ σφή συστήμτ ελέγχου) είνι η πόστση μετξύ δύο σ Στην πράξη οι πιο ενδιφέρουσες ποστάσεις είνι οι κνονικοποιημένες (omazed) Στη διεθνή βιβλιογρφί έχουμε σχετικά τους εξής δύο βσικότερους ορισμούς γι την κνονικοποιημένη πόστση μετξύ δύο σ A κι B ως προς πεπερσμένο X (βλ πχ [59] σ 8): ) Η γρμμική κτά Hammg πόστση: ( ) ( ) ( ) AB Ax Bx (5) β) Η τετργωνική Ευκλείδει πόστση: qab ( ) [ Ax ( ) Bx ( )] (6) 4 Άλγεβρ Ασφών Συνόλων - Το Ασφές Δυνμοσύνολο F ( X ) ) Υπενθύμιση Κλσικών Συνολοθεωρητικών Πράξεων κι Συμβόλων: Το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός κλσικού συνόλου X ονομάζετι δυνμοσύνολο (owe-set) του X κι συμβολίζετι P ( X ) ή X δηλ X P ( X): { A A X} : { I I : X {0}} (7) Επίσης το δυνμοσύνολο του P ( X ) λέγετι ης τάξης δυνμοσύνολο του X κι συμβολίζετι P( P( X )) P ( X ) Όμοι ορίζοντι τ υψηλότερης τάξης δυνμοσύνολ A A 3 ν P ( X ) P ( X ) ( ν ) Ο πληθάριθμος ενός πεπερσμένου κλσικού συνόλου Χ συμβολίζετι με X ή cad(x) κι ισχύει (βλ πχ Δρόσος-Σιφρίκς [34] σ 48): X X P(X) P (X) κλπ Στο P (X) ενός κλσικού συνόλου Χ ορίζοντι οι εσωτερικές πράξεις ( ') ή λλιώς ( ) ως κολούθως (γι κάθε AB P (X) κι x X): A B: {x X x A ή x B} A B: {x X x A κι x B} A': {x X x A} (8) είτε στη μορφή των ισοδύνμων χρκτηριστικών (δεικτριών) συνρτήσεων: - 4 -

25 I A B(x) max{i A(x)I B(x)} I A(x) I B(x) I A B(x) m{i A(x)I B(x)} I A(x) I B(x) I A' (x) I A(x) [I A(x)]' (9) Το ( P (X) ) ή ισοδύνμ το ( P (X) ) έχει τη δομή μις πλήρους άλγεβρς Booe ενώ μετξύ των κι ισχύει (γι κάθε Α Β P (X)): A B A B B A B A όπου A B ( x X)[x A x B] κι A B [A B κι B A] Επίσης A B: {x X/x A x B} A B' (διφορά ή σχετικό συμπλήρωμ του B ως προς A ) κι A B: (A B) (B A) (συμμετρική διφορά) Επιπλέον (βλ Δρόσος [30] σ 70): A B P (A) P (B) A B P(A) P (B) P(A) P (B) A B (το ντίστροφο δεν ισχύει) κι P(A) P(B) P(A B) κι P(A) P(B) P (A B) (βλ [34] σ 7) κθώς κι A B IA IB I A B I AI B I ' IA A A B I I I A B A + B IA B IA IB IAIB + κλπ (βλ[34] σ 35) Τέλος οι βσικές συνολοθεωρητικές πράξεις κι ιδιότητες των κλσικών συνόλων συνοψίζοντι στον πρκάτω Πίνκ : A A Aut oaqήv ( Ivouto) AΘ B BΘ A At met aqet kόt ht a ( Commutatvty) A ΗB BΗA ( AΘB) Θ C AΘ( BΘC) P osetastkόthta ( Assocatvty) ( AΗB) Η C AΗ( BΗC) ( AΗ( BΘ C) ( AΗB) Θ( A ΗC) Emestkόthta ( Dstbutvty) ( AΘ( BΗ C) ( AΘ B) Η( A ΘC) AΘ A A AΗ A A Tautodύamh ( Idemotece) ( AΘ( AΗ B) A ( AΗ( AΘ B) A Aoofhtkόthta ( Absoto) AΘ X X AΗΖ Ζ Aoofhtkόthta aό X ka Ζ AΘΖ A AΗ X A Tautόthta - oudέtea ( Idetty) AΘ B AΗB AΗ B AΘ B De Moga όmo AΗ A Ζ Atίqesh ( Lau of cotadcto) AΘ A X S um ήwma ( Lau of excuded mdde) Πίνκς - 5 -

26 ) Βσικές Ασφείς Συνολοθεωρητικές Πράξεις Το Ασφές Δυνμοσύνολο F (X) Μι νάλογη φυσική επέκτση υτών των κλσικών πράξεων ( ') πό το P (X) στο σύνολο όλων των σφών υποσυνόλων του Χ δηλ στο σφές δυνμοσύνολο του X X F (X) [0] οι οποίες επάγοντι μέσω του ([0] '0) που είνι έν πλήρες δικτυωτό κι μι De Moga άλγεβρ ορίζοντι ως κολούθως (γι κάθε AB F (X) κι x X): (A B)(x) : max{a(x)b(x)} {A(x)B(x)} (Ένωση) (A B)(x) : m{a(x)b(x)} {A(x)B(x)} (Τομή) (0) A'(x) : A(x) (Συμπλήρωμ) πχ γι τ σφή σύνολ A { } κι B { } είνι: A B { } A B { } κι A ' { } Γι τις νωτέρω πράξεις (0) των σφών συνόλων ποδεικνύετι ότι στο F (X) ισχύουν όλες οι ιδιότητες των κλσικών συνόλων (Πίνκς ) εκτός πό τις τελευτίες όπου ντ υτών στην Ασφή Λογική ισχύει: A A ' X κι A A' 0 () Έτσι θ λέγμε ότι η Ασφής Λογική ρχίζει ότν ισχύουν οι σχέσεις () ενώ το F (X) δεν είνι συμπληρωμένο - υπό την έννοι της άλγεβρς Booe P (X) φού (A A')(x) max{a(x)a'(x)} πχ γιά A(x) 3 max{a(x)a'(x)} κι (A A')(x) m{a(x)a'(x)} 0 πχ γιά A(x) m{a(x)a'(x)} 0 Δηλ οι πρπάνω ιδιότητες () στ σφή σύνολ δεν ισχύουν γι κάθε τιμή A(x) (0) 0 δηλ ότν A(x) {0} λλά ισχύουν μόνον στ άκρ του [ ] Όλες οι άλλες όμως προνφερθείσες κλσικές συνολοθεωρητικές ιδιότητες του Πίνκ επεκτείνοντι κι στ σφή σύνολ (βλ πχ Bademe [5] σ 30 κι Dubos [35] σ 5) Έτσι γι τις βσικές εσωτερικές πράξεις (7) της Ασφούς Λογικής δηλ ( ' ή ) είτε ισοδύνμ ( ' ή ) ισχύει ο πρκάτω συνοπτικός Πίνκς (γι κάθε AB Γ F (X) ): - 6 -

27 A B A B A B B A B A B' A' Ισοδυνμί ( ή ) κι ( ή ) A'' A Αυτοπθής (vouto) ( A B)' A' B' De Moga νόμοι ( A B)' A' B' A A A A A A Τυτοδυνμί (demotece) A A A X A Ουδέτερ στοιχεί (detty) A X X A Απορροφητικότητ (absoto) των X κι A B A Γ B Γ Μονοτονί (mootocty) Πίνκς X Τέλος όπως η κλσική δομή ( P (X) {0} ' X 0 ) είνι μι άλγεβρ Booe που επάγετι πό τη δομή του {0} - που ως γνωστόν είνι η πιο πλή (δίτιμη) άλγεβρ Booe (Booea attce) X όμοι κι η δομή ( F (X) [0] ' X 0 ) ποδεικνύετι ότι είνι έν πλήρες δικτυωτό κι μι De Moga άλγεβρ λλά όχι μι άλγεβρ Booe (φού το F (X) δεν είνι συμπληρωμένο υπό την έννοι της συμπληρωμτικότητς της άλγεβρς Booe δηλ A A' 0 κι A A' X ενώ έχει ουδέτερ στοιχεί κι X όπου A A A X A) Επίσης το F (X) έχει ιδιότητες που επάγοντι πό το ([0] '0) X φού ( F (X) '0) ([0] '0) (βλ Κεφ κι Nguye [88] σ 4) 5 Γενικευμένες Πράξεις Ασφών Συνόλων t-στάθμες κι s-στάθμες Οι πράξεις τομή κι ένωση των σφών συνόλων είνι η συνηθέστερη μορφή μις γενικότερης κτηγορίς σφών πράξεων που λέγοντι t-στάθμες (t-oms tagua oms) κι s-στάθμες (s-oms) ή t-συστάθμες (t-cooms) ντίστοιχ οι οποίες εισήχθησν πό τους K Mege (94) κι Schweze-Ska (963) γι τη μοντελοποίηση των ποστάσεων σε πιθνοτικούς μετρικούς χώρους κι που ορίζοντι γενικά ως εξής (βλ Kaczyk [59] σ 3): ) Μί t-στάθμη ορίζετι ως μι συνάρτηση (διμελής εσωτερική πράξη) t : () [ ] [ ] [ ] τέτοι ώστε γι κάθε abc [ 0] ν ικνοποιεί τις συνθήκες: - 7 -

28 ) Έχει το ως μονδιίο στοιχείο (ut eemet) δηλ ta ( ) a ) Είνι μονότονη (mootoe) δηλ a b t( a c) t( b c) ) Είνι ντιμετθετική (commutatve) δηλ tab ( ) tba ( ) v) Είνι προσετιριστική (assocatve) δηλ tatbc [ ( )] ttab [ ( ) c] Συμβολίζουμε επίσης tab ( ) atb ενώ μι t-om είνι μονότονη μη-φθίνουσ κι ta ( 0) 0 Οι σημντικότερες t-στάθμες είνι: To mmum tab ( ) a b m{ ab } Το λγεβρικό γινόμενο tab ( ) ab Η Lukasewscz t-στάθμη tab ( ) max{0 a+ b } ) Μί s-στάθμη (ή t-συστάθμη) ορίζετι ως μι πεικόνιση (διμελής εσωτερική πράξη) s :[ 0] [ 0] [ 0] (3) τέτοι ώστε γι κάθε abc [ 0] ν ικνοποιεί τις συνθήκες: ) Έχει το 0 ως μονδιίο στοιχείο δηλ sa ( 0) a ) Είνι μονότονη δηλ a b s( a c) s( b c) ) Είνι ντιμετθετική δηλ sab ( ) sba ( ) v) Είνι προσετιριστική δηλ sasbc [ ( )] ssab [ ( ) c] Συμβολίζουμε ισοδύνμ sab ( ) asb Οι συνηθέστερες s-στάθμες είνι: To maxmum sab ( ) a b max{ ab } Το πιθνοτικό γινόμενο sab ( ) a+ b ab Η Lukasewscz s-στάθμη sab ( ) m{ a+ b } Πρτηρήσεις ) Μι t-στάθμη είνι δυϊκή της ντίστοιχης s-στάθμης ως εξής: sab ( ) t( a b) [ ta ( ' b')]' (4) ενώ οι δομές {0 [ ] t } κι {0 [ ] s } δεν είνι ομάδες λλά είνι πλώς μονοειδή (moods)-φού προφνώς δεν υπάρχει το ντίστροφο a ' κάθε στοιχείου a [ 0] έτσι ώστε taa ( ') κι saa ( ') 0 βλ CA Dossos Agebac Stuctues of Geeazed May-Vaued Logcs (Sema Notes) - 8 -

29 β) Πρότι οι πρπάνω t κι s-στάθμες μς εφοδιάζουν με ρκετή ελευθερί γι την επιλογή μις επρκούς σφούς πράξης γενικότερ στις εφρμογές επιτρέπετι ένς κόμη πιο ευρύς προσδιορισμός τους μέσω των λεγόμενων πρμετρικών t κι s- στθμών όπως η πρμετρική οικογένει των t κι s-στθμών του Webe (983) ή του Yage (980) ή του Hamache (978) κλπ (βλ πχ [59] σ 33) γ) Οι προνφερθέντες ορισμοί κι ιδιότητες των πράξεων σφών συνόλων (σφής ένωση-τομή-συμπλήρωμ) είνι επεκτάσεις των ντίστοιχων εννοιών των κλσικών συνόλων στις οποίες κλσικές έννοιες επνερχόμστε ότν θεωρήσουμε ότι τ εμπλεκόμεν σύνολ είνι δίτιμ δηλ πίρνουν τιμές στο {0} κι όχι στο διάστημ [ 0 ] Γι υτό κι συνήθως χρησιμοποιούμε τ ίδι σύμβολ δ) Η τομή A B είνι το «μεγλύτερο» σ που περιέχετι σε μφότερ τ σ A κι B ενώ η ένωσή τους A B είνι το «μικρότερο» σ που περιέχει μφότερ τ A B (φού γι κάθε σ C με C A κι C Β συνεπάγετι C A B κι γι κάθε σ D με D A κι D Β συνεπάγετι D A B) Δηλ ισχύει (γι κάθε x X): (A B)(x) m{a(x) B(x)} max{a(x) B(x)} (A B)(x) (5) (βλ πχ [00] σ & [35] σ & [65 87]) ε) Η Λογική των Ασφών Συνόλων: Ο όρος «Ασφής Λογική» δικρίνετι σημσιολογικά κτά την ευρεί κι τη στενή έννοι (βλ P Haek The Metamathematcs of Fuzzy Logc Kuwe 998) Υπό την ευρεί έννοι νφέρετι στη χρήση των σφών συνόλων γι την πράστση κι τον χειρισμό σφούς-όριστης πληροφορίς με σκοπό τη λήψη κι εκτέλεση ποφάσεων Έτσι η θεωρί των σφών συνόλων εξετάζει το σύστημ όλων των πεικονίσεων ενός συνόλου X στο μονδιίο διάστημ I [ 0] Οπότε εκτός της σφοποίησης των συνήθων λογικών συνδέσμων max-m στην Ασφή Λογική υπεισέρχοντι κι πλείστοι άλλοι σφείς λογικοί σύνδεσμοι πό τη θεωρί των t- oms t-cooms ρνήσεις κλπ κθώς κι πλείστες επεκτάσεις κλσικών θεωρητικών εννοιών όπως πχ η σχέση ισοδυνμίς Υπό την στενή έννοι η Ασφής Λογική σημίνει την επέκτση της συνήθους λογικής που έχει ληθοτιμές στη δίτιμη άλγεβρ Booe ({0} '0) στην περίπτωση γενικά μις άλγεβρς Keee ([ 0 ] '0) Βεβίως υπάρχουν πολλές επεκτάσεις της δίτιμης λογικής σε διάφορες πλειότιμες λογικές με συνηθέστερες υτές που έχουν πεπερσμένο ριθμό ληθοτιμών όπως πχ η τρίτιμη άλγεβρ Lukasewscz με πεδίο ληθοτιμών {0 } (βλ πχ [88] 4) - 9 -

30 Ιδιότητες των -διτομών ενός σφούς συνόλου Γνωρίζουμε ότι -διτομή (-cut ή -eve set) ενός σφούς συνόλου A (ως προς σύμπν X ) λέγετι το κλσικό σύνολο A [ 0] που ορίζετι σύμφων με τη σχέση (3) βλ σχετικά κι (4) (5) (6) πχ ν X {34} κι A τότε μερικές -διτομές του σ A είνι: 0 05 A { x X / μa ( x) 0} {34} A {34} 08 A {34} A {4} { ο πυρήνς του A} Κάθε -διτομή A ως έν κλσικό σύνολο μπορεί ν οριστεί κι μέσω της χρκτηριστικής συνάρτησής του δηλ ν Ax ( ) x A Ι ( x) [0] A 0 ν Ax ( ) < x A Συνεπώς κάθε -διτομή A { x X / A( x) } είνι έν κλσικό υποσύνολο του σύμπντος X που έχει γι στοιχεί του εκείν τ στοιχεί του X που ο βθμός συμμετοχής τους στο σ A είνι μεγλύτερος ή ίσος του ) Είδμε επίσης ότι κτά τη σχέση (5) ισχύει: Θεώρημ Ανπράστσης: Kάθε σφές σύνολο A μπορεί ν εκφρστεί μέσω της οικογένεις των -διτομών υτού πλήρως κι μονδικά ως εξής: A A A su A su {m{ I }} [0] [0] [0] [ 0] όπου A είνι το λγεβρικό γινόμενο του ριθμού [0] επί το κλσικό σύνολο -διτομή A δηλ ( ) x A x A A x a A ( x) I ( x) Α 0 x A 0 x A A( x) < a Απόδειξη (βλ K [66]-σ 4 Sakawa [00]-σ 6 κι Σχήμ 8): Ax ( ) A ( x): su A ( x) su I ( x) su su { } [0] A [0] [0] [0] 0 Ax ( ) < [0]: A( x) (δηλ ποιό είνι το μεγλύτερο πό υτά που είνι Ax ( )) Ax ( ) ) Θεώρημ I: Γι κάθε [0] ύ : A β β ισχει β A (6) (Δηλ όσο μεγλύτερος ο βθμός διτομής τόσο "λιγότερ" στοιχεί έχει η - διτομή A βλ κι Σχήμ 8) Απόδειξη: Αρκεί ν δειχτεί ότι ν x A β τότε κι x A β Πράγμτι x A A( x) β λλά εξ υποθέσεως β Άρ Ax ( ) x A A

31 - 3 - Αποδεικνύετι επίσης ότι ισοδύνμ με την (6) έχουμε: β β β Α Α Α Α Α Α (6) (κι όμοι γι τις ισχυρές -διτομές: + β+ + β+ β+ + β+ + Α Α Α Α Α Α Α Α) Από την πρπάνω ιδιότητ προφνώς συνάγετι ότι όλες οι -διτομές κι όλες οι ισχυρές -διτομές ενός σ σχημτίζουν δύο διφορετικές οικογένειες πό εγκυβωτισμέν (ested) κλσικά σύνολ (βλ πχ [66]-σ [00]-σ5) 3) Θεώρημ II: Γι τις -διτομές ενός σ ισχύουν οι ιδιότητες: ( A B) A B ( A B) A B ( ) ( A') ( A') + ( A') + A ( A') ( A )' κι ( A') ( A )' (7) Απόδειξη: ( A B) : { x X max{ Ax ( ) Bx ( )} } { x X Ax ( ) ή Bx ( ) } { x X A( x) } { x X B( x) }: Α Β Όμοι ποδεικνύοντι κι οι άλλες ιδιότητες (βλ πχ K [66] σ 35) A (c) Σχ9 Γρφικές πρστάσεις του Θεωρήμτος Ανπράστσης (5) όπου: (a) δοθέν σ Α (b) Ανπράστση - Αποσύνθεση του Α σε : Α 03Α Α 06Α Α Α όπου A A A A κι (c) A { A } su { A } [ 0] [ 0]

32 - 3 - Πρδείγμτ (στις a-διτομές): ότν x 0 35 x ) Έστω το σφές σύνολο A 5 ότν 0< x < 35 0 ότν x 35 ως προς σύμπν X [080] (βλ K [66] σ 9) Ν υπολογιστούν: A A A A A A A A X X X X κι ν συγκριθούν τ A κι A ότν 3 Λύση: 35 x A { x X / A( x) } { x X / } { x X / 35 x 5 } { x X / x 35 5 } [ ] γιά κάθε (0] 5 35 x 5 A { x X / A( x) } { x X / } { x X /35 x 5 } { x X / x 35 75} [0 75] 3 35 x A { x X / A( x) } { x X / } { x X /35 x 5} { x X / x 35 5} [0 30] A x X A x x X x { / ( ) } { / 0} [0 0] 0 A x X A x X { / ( ) 0} [0 80] A { x X / A( x) > } { x X / > } { x X /35 x > 5 } + 35 x 5 { x X / x < 35 5 } [ ) [0) + 35 x 5 A { x X / A( x) > } { x X / > } { x X / x < 35 75} [0 75) A x X A x + { / ( ) > } + X x X X x X X x X X x { / ( ) } { / ( ) > } 0 X { x X / X( x) 0} X X { x X / X( x) } X Εξάλλου A [0 75] A [030] 3 ν ν κι γενικά ν < < < ν < ν τότε A A Α κι A A A ν ν A A A A ν A - 3 -

33 ) Έστω το σ A ως προς σύμπν X {0} Ν επληθευτεί το Θεώρημ Ανπράστσης (5): A A Λύση: Έστω το πίρνει δικριτές τιμές πχ Τότε κτά το Θεώρημ (5) έχουμε: A A x + A x + + A x + A x ( ) 0 ( ) 09 ( ) ( ) [ ] 0 0{ x X/ Ax ( ) 0} + 0{ x X/ Ax ( ) 0} + + { x X/ Ax ( ) } 0{ } + 0{ } {56} + 09{6} + {6} ( ) + 0( ) ( ) + 04( ) ( ) + 06( ) + 07( + + ) + 08( + ) ( ) + ( ) A Σημειωτέον ότι στους πρπάνω πρκτικούς υπολογισμούς: οι -διτομές A ως κλσικά σύνολ κι σύμφων με τη χρκτηριστική τους συνάρτηση I τ μεν στοιχεί τους ντιστοιχούν σε βθμό συμμετοχής ενώ τ μη-στοιχεί τους σε βθμό συμμετοχής πχ C {3} ( ) ως προς σύμπν (ενώ στοιχεί με βθμό συμμετοχής 0 συνήθως πρλείποντι) Επίσης κτά τη συνολοθεωρητική έννοι των σφών πράξεων είνι: ( A+ B)( x) ( A B)( x) max{ A( x) B( x)} ( AB )( x) ( A B)( x) m{ A( x) B( x)} A 7 Ασφείς Σχέσεις Προβολή Ασφούς Συνόλου (ή Ασφούς Σχέσης) ) Ασφής Σχέση: Mι σφής σχέση R μετξύ δύο (κλσικών) συνόλων X {} x κι Y {} y είνι έν σφές σύνολο (ως προς σύμπν το κρτεσινό γινόμενο X Y ) που ορίζετι ως εξής: R:( x y) X Y R( x y) [ 0 ] (8) Επειδή η σφής σχέση ορίζετι στο κρτεσινό γινόμενο δύο (κλσικών) συνόλων X κι Y γι υτό κι λέγετι διμελής σφής σχέση Γενικότερ μι σφής σχέση ορίζετι στο κρτεσινό γινόμενο ν (κλσικών) συνόλων δηλ στο X X X ν κι λέγετι ν-μελής σφής σχέση Με υτή την έννοι έν σφές σύνολο ως προς είνι μι μονομελής σφής σχέση

34 y πχ Έστω τ (κλσικά) σύνολ X { x x } κι Y { y } Τότε μι σφής σχέση έστω R ομοιότητ μπορεί ν εκφρστεί πρκτικά ως εξής: Rxy ( ) ( x y) ( x y ) ( x y) ( x y ) κι μπορεί ν ερμηνευτεί ως κολούθως: τ στοιχεί x κι y είνι όμοι (κτά τη δική μς υποκειμενική άποψη) σε βθμό 08 δηλ μοιάζουν πολύ κτά την άποψή μς ενώ τ x κι y σε βθμό 04 δηλ μοιάζουν λιγότερο κλπ (βλ [59]) Γενικότερ ν ( xy ) τότε η νωτέρω σφής σχέση (ή σφές σύνολο) R μπορεί ν έχει συνάρτηση συμμετοχής πχ της μορφής: 4 ν y-x 5 + ( x y) Rxy ( ) 0 λλού Συνεπώς η έννοι της σφούς σχέσης μπορεί ν εκφράσει μι μερική (νκριβή) λληλοσυσχέτιση μετξύ των στοιχείων κάποιων συνόλων σε ντίθεση με την κριβή κι πόλυτη (πότομη) έκφρση μις κλσικής (o-fuzzy) σχέσης - όπου οποιδήποτε στοιχεί μπορεί ν είνι είτε πλήρως συσχετισμέν είτε πλήρως μη συσχετισμέν Στην σφή σχέση έχουμε μι ρελιστική βάθμωση της σχέσης δηλ πό γι στοιχεί νήκοντ πλήρως στη σχέση μέχρι 0 γι μη-νήκοντ στη σχέση κι όλ τ υπόλοιπ στοιχεί μπορούν ν πάρουν οποιδήποτε ενδιάμεση τιμή (μετξύ 0 κι ) Ας σημειωθεί επίσης ότι μι σφής σχέση R (ως προς έν πεπερσμένο σύνολο νφοράς) μπορεί ν πρστθεί υπό (την πολύ χρήσιμη) μορφή ενός πίνκ Rx ( y) Rx ( y) πχ γι το προνφερθέν πράδειγμ: R 09 0 R( x y R( x y ) ) ) Προβολή Ασφούς Σχέσης ή Ασφούς Συνόλου: Μι συχνά επίσης χρησιμοποιούμενη σφής πράξη είνι η προβολή μις σφούς σχέσης (ή ενός σ - φού το σ είνι μι σφής σχέση) επί ενός επιλεγμένου κλσικού υποχώρου-όπου η σφής σχέση ορίζετι Έστω λοιπόν έν σ A ορισμένο στο κρτεσινό γινόμενο (σύνολο νφοράς) X X X X (συνήθως X ) κι H X X X m ένς υπόχωρος του X όπου J' { m} J { } κι < < < m Ονομάζετι προβολή (oecto ή σκιά-shadow) του σφούς συνόλου A (ή σφούς σχέσης R) στον κλσικό υπόχωρο H του το σφές σύνολο PoH A τέτοιο ώστε Po A( x x ) : su { A( x x )} γι κάθε ( x x x ) H (9) H m x X J' (δηλ το su υπολογίζετι πό όλ τ στοιχεί του υποχώρου X που δεν συμμετέχει στον H βλ πχ [5]-σ66 [59]-σ37 [66]-σ&85 [88]-σ83 [95]-σ30) Αν A είνι κυρτό σφές σύνολο τότε κι η προβολή του θ είνι κυρτό σφές σύνολο Επίσης ν AB είνι κυρτά σ με PoHA PoHB γι κάθε H τότε A B (βλ [35] σ6)

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης 1 Θ Ε Ω Ρ Ι Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Ι Τ Υ Π Ο Ι Ι Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Τ Α Μηδενικό διάνυσµ: AA= 0 µε οποιδήποτε κτεύθυνση Μονδιίο διάνυσµ: AB = 1 Αντίθετ δινύσµτ: ντίθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ

7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφ Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα