Potommádif.rov.(3),(4)jedinériešeniedefinovanénanejakomokolíbodu x 0.

Obyčajné diferenciálne rovnice Rovnica F(x,y,y,y,...,y (n) )=0 je obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu v implicitnom tvare. F je funkcia(n+2) premenných, y je funkcia xay,y,...,y (n) sújejderivácie. Aksaztejtorovnicedávyjadriť y (n),môžemejunapísaťvexplicitnomtvare y (n) = f(x,y,y,y,...,y (n 1) ) Riešením diferenciálnej rovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0 naneprázdnejmnožine M jekaždá funkcia y= f(x),ktorámánamnožine Mnderiváciíaprektorúplatí F(x,f(x),f (x),f (x),...,f (n) (x))=0 prevšetky x M. Hľadané riešenie diferenciálnej rovnice získame obvykle integrovaním. Všeobecnériešeniediferenciálnejrovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0jeriešenie,ktorémôžemezapísať vtvare y= f(x,c 1,c 2,...,c n ), kde c 1,c 2,...,c n súľubovoľnékonštanty.akkonštanty c 1,c 2,...,c n konkrétnezvolíme,dostanemepartikulárne riešenie. Cauchyhozačiatočnáúloha-nájsťriešenie y= f(x) rovnice F(x,y,y,y,...,y (n) )=0,ktoréspĺňadanézačiatočnépodmienky: f(x 0 )=b 0, f (x 0 )=b 1,..., f (n 1) (x 0 )=b n 1, x 0 D f. 1. Diferenciálne rovnice prvého rádu Všeobecný tvar diferenciálnej rovnice 1. rádu je (1) F(x,y,y )=0. Aksadáztejtorovnicevyjadriť y,nazývamejuexplicitnourovnicou: (2) y = f(x,y). Cauchyho začiatočná úloha pre diferenciálnu rovnicu 1. rádu: (3) y = f(x,y) (4) y(x 0 )=y 0 Veta.(O existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálnej rovnice(3),(4).) Nechprefunkciu f(x,y)naoblasti O=(x 0 a,x 0 + a) (y 0 b,y 0 + b)platí: 1. f(x,y) jespojitá, 2. f(x,y) jeohraničená, f(x,y) 3. je ohraničená. y Potommádif.rov.(3),(4)jedinériešeniedefinovanénanejakomokolíbodu x 0. 1

Úprava diferenciálnej rovnice Pri hľadaní riešenia rovnice často postupujeme tak, že rovnicu upravujeme. Ak pôvodná a upravená rovnicasúvovzťahu,žekaždériešeniejednejrovnicejeajriešenímdruhejnatejistejmnožineanaopak, hovoríme, že diferenciálne rovnice sú ekvivalentné a použitá úprava je ekvivalentná. Pri úprave diferenciálnej rovnice musíme dávať pozor, či úprava je ekvivalentná. Diferenciálna rovnica so separovanými premennými. (5) P(x)+Q(y).y =0 Riešime integrovaním. Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými. (6) P 1 (x).p 2 (y)=q 1 (x).q 2 (y).y Riešime separovaním a integrovaním. Homogénna diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica y = f(x,y) sanazývahomogénna,aksadázapísaťvtvare ( y (7) y = F x) Riešenie:posubstitúcii y(x)=u(x).x y x = u a y = u x+u dostaneme separovateľnú diferenciálnu rovnicu. Lineárna diferenciálna rovnica. (8) y + p(x).y= q(x) pričom funkcie p(x), q(x) sú spojité na intervale (a, b). Riešenie: 1. Riešime najprv príslušnú lineárnu diferenciálnu rovnicu bez pravej strany (9) y + p(x).y=0, je to separovateľná diferenciálna rovnica. 2. Diferenciálnu rovnicu s pravou stranou (10) y + p(x).y= q(x), q(x) 0 x (a,b) riešime metódou variácie konštanty. Bernoulliho diferenciálna rovnica. (11) y + p(x).y= q(x).y α pričomfunkcie p(x), q(x) súspojiténaintervale (a,b) a α 0, α 1. Riešenie: y + p(x)y= q(x)y α /.y α y α y + y 1 α p(x)=q(x) posubstitúcii z(x)=y(x) (1 α) z =(1 α)y α y dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu. 2

2. Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu (1) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y= f(x), kde f(x), a i (x), i=1,2,...nsúspojitéfunkcienaintervale J. Ak f(x)=0hovoríme,žerovnica y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0 je bez pravej strany alebo homogénna. Ak f(x) 0hovoríme,žerovnica(1)jespravoustranoualebonehomogénna. Lineárna homogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu (2) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0 Pri riešení tejto rovnice budeme potrebovať nasledovné pojmy: Definícia.Hovoríme,žefunkcie ϕ 1 (x),ϕ 2 (x),...,ϕ k (x)súlineárnezávislénaintervale J,akexistuje nenulovák-tica (c 1,c 2,...,c k )reálnychčíseltaká,že (3) c 1.ϕ 1 (x)+c 2.ϕ 2 (x)+...+c k.ϕ k (x)=0, x J. Ak(3)platílenprenulovúk-ticu,hovoríme,žefunkcie ψ 1 (x),ψ 2 (x),...,ψ k (x)súlineárnenezávislé na intervale J. Predpokladajme,žefunkcie ϕ i (x), i=1,2,...,n majúderivácieaždorádu (k 1) naintervale J. Potom determinant ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ k (x) ϕ 1(x) ϕ 2(x)... ϕ k (x)... (4) W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x)=...... ϕ (k 1) 1 (x) ϕ (k 1) 2 (x)... ϕ (k 1) (x) nazývame Wronského determinant alebo wronskián. Veta.Aksúfunkcie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k lineárnezávislénaintervale J, potom W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x)=0 x J. Ak W(ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ k )(x) 0 aspoňvjednomčíslezintervalu J, potomsúfunkcie ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ k lineárnenezávislénaintervale J. Poznámka. Wronskián n ľubovoľných riešení rovnice (2) sa buď rovná nule pre každé x z intervalu J (riešeniasúlineárnezávislé)alebojerôznyodnulyprekaždé x zintervalu J (riešeniasúlineárne nezávislé). Pre riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice platia tieto tvrdenia: 1. Ak y 1, y 2 súriešeniahomogénnejrovnice(2)potomaj y 1 + y 2 jeriešenierovnice(2). 2. Ak y 1 jeriešeniehomogénnejrovnice(2)potomaj cy 1 jeriešenierovnice(2),kde cjeľubovoľná konštanta. 3. Všetky riešenie homogénnej rovnice(2) n-tého rádu tvoria vektorový priestor dimenzie n. Bázu tohoto priestoru tvorí n- lineárne nezávislých riešení y 1, y 2,... y n,tzv.fundamentálnysystémriešení. Všeobecné riešenie homogénnej rovnice(2) je y= c 1 y 1 + c 2 y 2 +...+c n y n, kde c 1,c 2,...,c n R. k 3

Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu (LP) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y= f(x), odpovedajúca rovnica bez pravej strany (L) y (n) + a 1 (x).y (n 1) +...+a n 1 (x).y + a n (x).y=0. Všeobecné riešenie y diferenciálnej rovnice(lp) je súčtom všeobecného riešenia y diferenciálnej rovnice (L) apartikulárnehoriešenia y diferenciálnejrovnice (LP). y= y+ y Lagrangeova metóda variácie konštánt Toutometódoumôžemenájsťpartikulárneriešenie y diferenciálnejrovnice (LP). Nech y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x)jefundamentálnysystémriešenídiferenciálnejrovnice(l).všeobecnériešenie y diferenciálnej rovnice (L) je Potompartikulárneriešenie y n y= c i.y i (x), c i R. i=1 diferenciálnejrovnice (LP)je n y = c i (x).y i (x), i=1 kde c i (x)= Wi (x) dx, i=1,2,...,n; W(x) pričom W(x)=W (y1,y 2,...,y n)(x) jewronskiánfundamentálnehosystémuriešení y 1 (x),y 2 (x),...,y n (x) a W i (x) dostanemez W(x) keďzamenímei-tystľpecstľpcom(0,0,...,f(x)) T. 3. Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami je rovnica y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= f(x), (1) kde a 1, a 2,...a n súreálnekonštantyaf(x)jereálnafunkciadefinovanánaintervale J. Ak f(x)=0hovoríme,žerovnica y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y=0 (2) je bez pravej strany alebo homogénna. Ak f(x) 0hovoríme,žerovnica(1)jespravoustranoualeboalebonehomogénna. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientami 1. rádu Pre n=1dostanemezrovnice(2)rovnicu1.rádu: Jej riešenie hľadáme v tvare kde λ je neznáma konštanta. y + a 1 y=0. (3) y=e λx, 4

Ak do rovnice(3) dosadíme y=e λx, y = λe λx dostaneme λe λx + a 1 e λx =0 Rovnica(4) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice(3). Jej riešením je Riešením rovnice(3) je a všeobecným riešením rovnice(3) je λ+a 1 =0 (4) λ= a 1. y 1 =e a1x y= ce a1x, c R. 2. rádu Pre n=2dostanemezrovnice(2)rovnicu2.rádu: Jej riešenie hľadáme v tvare kde λ je neznáma komplexná konštanta. Ak do rovnice(5) dosadíme dostaneme y + a 1 y + a 2 y=0. (5) y=e λx, y=e λx, y = λe λx, y = λ 2 e λx λ 2 e λx + a 1 λe λx + a 2 e λx =0 λ 2 + a 1 λ+a 2 =0 (6) Rovnica(6) sa nazýva charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice(5). Rovnica(6) je kvadratická rovnica. Rozlišujeme tri prípady: 1. Rovnica(6)mánavzájomrôznereálnekorene λ 1, λ 2. Potom rovnica(5) má riešenia y 1 =e λ1x, y 2 =e λ2x. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je 2. Rovnica(6)mádvojnásobnýreálnykoreň λ 1. Potom rovnica(5) má riešenia y= c 1 e λ1x + c 2 e λ2x, c 1,c 2 R. 5

y 1 =e λ1x, y 2 = xe λ1x. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je y= c 1 e λ1x + c 2 xe λ1x, c 1,c 2 R. 3. Rovnica(6)mádvakomplexnezdruženékorene λ 1 = α+iβ, λ 2 = α iβ, α,β R, β 0. Vyberieme jeden z týchto koreňov, napríklad Potom rovnica(5) má komplexné riešenie λ 1 = α+iβ. ỹ=e (α+iβ)x =e αx e iβx =e αx (cos βx+isin βx). Z vlastností riešení lineárnej diferenciálnej rovnice vyplýva, že reálne riešenia rovnice(5) sú y 1 =Re ỹ=e αx cos βx, y 2 =Im ỹ=e αx sin βx. Tieto riešenia sú lineárne nezávislé. Všeobecné riešenie rovnice(5) je n-tý rád y= c 1 e αx cos βx+c 2 e αx sin βx, c 1,c 2 R. Uvedené výsledky môžme zovšeobecniť pre diferenciálnu rovnicu(2) n-tého rádu. Rovnica(2): má riešenia v tvare kde λ je koreň charakteristickej rovnice Všeobecné riešenie rovnice(2) je y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y=0 y=e λx, λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n 2 +...+a n 1 λ+a n =0. (7) y= c 1 y 1 + c 2 y 2 +...+c n y n, c 1,c 2,...,c n R, kde y 1,y 2,...,y n súlineárnenezávislériešeniaodpovedajúcekoreňomcharakteristickejrovnice(7). Veta.Akcharakteristickárovnica (7) má n rôznychreálnychkoreňov λ 1, λ 2,...,λ n, potomfunkcie e λ1x, e λ2x,...,e λnx tvoriafundamentálnysystémriešenídiferenciálnejrovnice (2). Veta.Nech λ 0 je k-násobnýreálnykoreňcharakteristickejrovnice (7), k 2.Potomfunkcie y 1 = e λ0x, y 2 = xe λ0x,..., y k = x k 1 e λ0x súlineárnenezávislériešeniarovnice (2). Veta. Nech charakteristická rovnica (7) má jednoduchý komplexný koreň λ 0 = α+iβ, α 0, β 0 (potommáajkoreň λ 0 = α iβ).potomfunkcie e αx cos βx, e αx sin βx súodpovedajúcedvelineárnenezávislériešeniarovnice (2). Veta. Ak charakteristická rovnica (7) má k- násobný komplexný koreň λ 0 = α+iβ, α 0, β 0. Potomfunkcie e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x k 1 e αx cos βx, e αx sinβx, xe αx sinβx,..., x k 1 e αx sinβx, sú odpovedajúce lineárne nezávislé riešenia rovnice (2). ( je ich 2k) 6

Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientami y (n) + a 1.y (n 1) +...+a n 1.y + a n.y= f(x), (L 1 P) odpovedajúca rovnica bez pravej strany y (n) + a 1.y (n 1) +...+a n 1.y + a n.y=0. (L 1 ) Všeobecnériešenie ydiferenciálnejrovnice(l 1 P)jesúčtomvšeobecnéhoriešenia ydiferenciálnejrovnice (L 1 )apartikulárnehoriešenia y diferenciálnejrovnice (L 1 P). y= y+ y Partikulárneriešenie y diferenciálnejrovnice (L 1 P)môžemenájsť 1. Lagrangeovou metódou variácie konštánt. 2. Metódou neurčitých koeficientov, ak pravá strana rovnice má špeciálny tvar. Metóda neurčitých koeficientov Nech diferenciálna rovnica má tvar: y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e ax, (8) kde a 1, a 2,...a n súreálnečísla, P m (x)jepolynómstupňa m, ajekomplexnéčíslo(môžebyťajreálne, aj rovné nule). Ak a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany, potom rovnica(8) má partikulárne riešenie y = Q m (x)e ax. (9) Ak a je k-násobným koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany, potom rovnica(8) má partikulárne riešenie Q m (x)jeneznámypolynómstupňa m. y = x k Q m (x)e ax. (10) Vtabuľke1súuvedenépartikulárneriešenia y rovnice(8),akpravástranarovnicemášpeciálnytvara číslo a nie je koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany. pravástranarovnice(8) P m (x) a U= konštanta U 0 K= konštanta 2x+3 2x+3 0 Ax+B e 2x 1 2 Ke 2x e (3+5i)x 1 3+5i Ke (3+5i)x xe i2x x 2 (Ax+B)e i2x y Tabuľka 1 Vtabuľke2súuvedenépartikulárneriešenia y rovnice(8),akpravástranarovnicemášpeciálnytvar a číslo a je jednoduchým koreňom charakteristickej rovnice príslušnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany. 7

pravástranarovnice(8) P m (x) a U= konštanta U 0 Kx 2x+3 2x+3 0 x(ax+b) e 2x 1 2 K xe 2x e (3+5i)x 1 3+5i K xe (3+5i)x xe i2x x 2 x(ax+b)e i2x y Ak diferenciálna rovnica má tvar: alebo Tabuľka 2 y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e αx cos βx, (11) y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e αx sinβx, (12) postupujeme pri hľadaní riešenia takto: Nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) +...+a n 1 y + a n y= P m (x)e (α+iβ)x. Riešením bude nejaká komplexná funkcia ỹ(x) reálnej premennej x. Potom riešením rovnice(11) je reálna funkcia a riešením rovnice(12) je reálna funkcia Re ỹ Imỹ. Príklady Príklad 1. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú Lineárne nezávislé riešenia sú y + y 2y=0. λ 2 + λ 2=0 λ 1 =1 λ 2 = 2 y 1 =e x y 2 =e 2x Všeobecné riešenie je y= c 1 e x + c 2 e 2x, c 1,c 2 R 8

7 6 5 4 3 2 1-1 -0.5 0.5 1 Nájdime teraz riešenie, ktoré spĺňa začiatočné podmienky y(0)=1, y (0)= 5 Podmienky dosadíme do y= c 1 e x + c 2 e 2x y = c 1 e x 2c 2 e 2x Dostaneme c 1 + c 2 =1 c 1 2c 2= 5 aodtiaľ c 1 = 1 c 2 =2 Potom riešenie, ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky je y= e x +2e 2x 10 5-1 -0.5 0.5 1 1.5 2-5 Príklad 2. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú Lineárne nezávislé riešenia sú y +6y +9y=0 λ 2 +6λ+9=0 λ 1 = 3 λ 2 = 3 y 1 =e 3x y 2 = xe 3x Všeobecné riešenie je 9

y= c 1 e 3x + c 2 xe 3x, c 1,c 2 R 1 0.5-1 -0.5 0.5 1-0.5-1 Príklad 3. Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice Riešenie. Charakteristická rovnica: Jej korene sú y +2y +5y=0 λ 2 +2λ+5=0 λ 1 = 1+2i Vyberiemejedenkoreň,napríklad λ 1 = 1+2i Komplexné riešenie je λ 2 = 1 2i ỹ=e ( 1+2i)x =e x (cos2x+isin2x). Reálne riešenia sú Všeobecné riešenie rovnice je y 1 =Re ỹ=e x cos2x, y 2 =Im ỹ=e x sin2x. y= c 1 e x cos2x+c 2 e x sin2x, c 1,c 2 R. 2 1-2 -1 1 2 3-1 -2 10