UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
|
|
- Ἀελλώ Γεωργίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VPLYV KORELÁCIE MEDZI FAKTORMI NA CENY DLHOPISOV V DVOJFAKTOROVÝCH SHORT RATE MODELOCH DIPLOMOVÁ PRÁCA 018 Bc. Zuzana GIROVÁ
2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VPLYV KORELÁCIE MEDZI FAKTORMI NA CENY DLHOPISOV V DVOJFAKTOROVÝCH SHORT RATE MODELOCH DIPLOMOVÁ PRÁCA Študijný program: Študijný odbor: Školiace pracovisko: Vedúci práce: Ekonomicko-finančná matematika a modelovanie Aplikovaná matematika Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky doc. RNDr. Beáta Stehlíková, PhD. Bratislava 018 Bc. Zuzana GIROVÁ
3 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a priezvisko študenta: Študijný program: Študijný odbor: Typ záverečnej práce: Jazyk záverečnej práce: Sekundárny jazyk: Bc. Zuzana Girová ekonomicko-finančná matematika a modelovanie (Jednoodborové štúdium, magisterský II. st., denná forma) aplikovaná matematika diplomová slovenský anglický Názov: Anotácia: Vplyv korelácie medzi faktormi na ceny dlhopisov v dvojfaktorových short rate modeloch Effect of correlation between factors on bond prices in two-factor short rate models 1. Numericky a analyticky zistiť, aký vplyv má korelácia medzi faktormi v dvojfaktorovom short rate modeli na ceny dlhopisov a výnosové krivky - pre konkrétne modely a potom sa pokúsiť nájsť vlastnosti, ktoré platia vo všeobecnosti.. V niektorých prípadoch je vplyv korelácie malý, vtedy sa zrejme korelácia nedá dobre odhadovať z výnosových kriviek. V práci sa zoberie konkrétny model a navrhne sa metóda kalibrácie, vrátane kalibrácie korelácie. Vedúci: Katedra: Vedúci katedry: Dátum zadania: doc. RNDr. Mgr. Beáta Stehlíková, PhD. FMFI.KAMŠ - Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc. Dátum schválenia: prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc. garant študijného programu študent vedúci práce
4 Poďakovanie. Touto cestou sa chcem poďakovať svojej vedúcej diplomovej práce doc. RNDr. Beáte Stehlíkovej, PhD. za ochotu a podnetné pripomienky, ktoré mi pomohli pri písaní tejto práce. Ďalej jej ďakujem za odbornú pomoc, poskytnutie vhodnej literatúry a v neposlednom rade za schopnosť motivácie k pravidelnej a priebežnej práci.
5 Abstrakt v štátnom jazyku GIROVÁ, Zuzana: Vplyv korelácie medzi faktormi na ceny dlhopisov v dvojfaktorových short rate modeloch. [Diplomová práca], Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky; školiteľ: doc. RNDr. Beáta Stehlíková, PhD., Bratislava, 018, 79 s. V našej práci sa venujeme modelovaniu okamžitej úrokovej miery. Cieľom je numericky a analyticky zistiť, aký vplyv má korelácia medzi faktormi v dvojfaktorovom short rate modeli na ceny dlhopisov a výnosové krivky. Prácu môžeme rozdeliť na teoretickú a praktickú časť. V teoretickej časti uvádzame základné pojmy v modelovaní okamžitej úrokovej miery a najznámejších predstaviteľov jednofaktorových modelov. Ďalej sme triedu modelov rozšírili o dvojfaktorové modely, v ktorých nás zaujíma vplyv korelácie medzi faktormi modelu. Pozornosť sme upriamili na dvojfaktorový Vašíčkov model, dvojfaktorový Fong-Vašíčkov model a konvergenčný model CKLS typu a odvodili rád konvergencie. Ukazuje sa, že rád konvergencie sa v modeloch líši. Toto pozorovanie je motiváciou k nájdeniu všeobecnej vlastnosti. To je v práci vyriešené pre všeobecný dvojfaktorový model. V praktickej časti predstavujeme kalibráciu konvergenčného modelu Vašíčkovho typu. Vychádzame z [8], kde je navrhnutá kalibrácia modelu pre jednofaktorový Vašíčkov model. V našej práci sme postup z [8] zovšeobecnili na dvojfaktorový model úrokovej miery. Kalibráciu konvergenčného modelu testujeme najprv na simulovaných dátach, potom spustíme algoritmus na reálne dáta. Kľúčové slová: úroková miera, model okamžitej úrokovej miery, dvojfaktorový model, konvergenčný model, korelácia, kalibrácia
6 Abstract GIROVÁ, Zuzana: Effect of correlation between factors on bond prices in two-factor short rate models. [Master Thesis], Comenius University in Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Department of Applied Mathematics and Statistics; Supervisor: doc. RNDr. Beáta Stehlíková, PhD., Bratislava, 018, 79 p. In our thesis we devoted ourselves to modelling short rate. The purpose of the thesis is a numerical and analytical derivation of correlation impact between factors in a two-factor short rate model on bond prices and yield curve. The thesis consists of two parts, theoretical and practical. In the first part we introduced basic concepts in the short rate modelling and the most famous representatives of one-factor models. Furthermore, we extended the model class to two-factor models, in which we investigated the impact of correlation between factors. We focused on the two-factor Vašíček model, the two-factor Fong-Vašíček model and the convergence model of CKLS type and deduced a rate of convergence. It turns out that the rate of convergence varies in the models. This observation is a motivation to find a general feature. This is solved in the work for a general two-factor model. In the practical part, we present the calibration of the convergence model of the Vašíček type. We are based on [8], where model calibration is proposed for the one-factor Vašíček model. In our work, we proceeded from [8] and generalized to a twofactor interest rate model. Firstly, we calibrate the convergence model on simulated data, then run the algorithm on real data. Keywords: interest rate, short rate model, two-factor model, convergence model, correlation, calibration
7 OBSAH Obsah Úvod 9 1 Úvod do modelovania úrokovej miery Základné pojmy Stochastický kalkulus Modely okamžitej úrokovej miery Jednofaktorové rovnovážne modely Dvojfaktorové rovnovážne modely úrokovej miery.1 Odvodenie parciálnej diferenciálnej rovnice Dvojfaktorový Vašíčkov model Vplyv korelácie vo Vašíčkovom modeli Fong-Vašíčkov model so stochastickou volatilitou Vplyv korelácie vo Fong-Vašíčkovom modeli Konvergenčný model CKLS typu Taylorov rozvoj ceny dlhopisu Taylorov rozvoj logaritmu ceny dlhopisu a porovnanie Všeobecný model okamžitej úrokovej miery Metoda kalibrácie konvergenčného modelu Formulácia optimalizačných úloh konvergenčného modelu Algoritmus na odhad európskych parametrov Simulované dáta Reálne dáta Algoritmus na odhad domácich parametrov Simulované dáta Reálne dáta Metóda maximálnej vierohodnosti na odhad parametrov modelov úrokových mier Odhad trhovej ceny rizika pre európsky dlhopis Odhad trhovej ceny rizika pre domáci dlhopis Odhad korelácie modelu
8 OBSAH 5 Ďalšie výsledky kalibrácie Kalibrácia medzibankovej úrokovej miery pobaltských štátov Záver 75 Literatúra 77 8
9 ÚVOD Úvod Počiatky úrokovej miery siahajú do hlbokej histórie. V časoch, kedy sa človek prvýkrát stretáva s pôžičkou, sa objavuje aj úrok. Úrok predstavoval akúsi istotu pre veriteľa, že sa mu vráti aspoň taká čiastka akú požičal. V dnešnej dobe môžeme na finančnom trhu pozorovať aj záporné úrokové miery, napr. referenčná úroková miera Euribor. Záporná úroková miera je fenomén, ktorý znamená, že veriteľ platí úroky za úver dlžníkovi. V reálnej ekonomike bol takýto úverový vzťah donedávna nepredstaviteľný, no v posledných rokoch čoraz viac centrálnych bank zavádza záporné úrokové miery. Ďalšou charakteristikou úrokovej miery, ktorá dlhé roky sprevádzala finančný trh je konštantnosť. Úroková miera bola považovaná za pomaly sa meniaci parameter, teda bola konštantná. V dnešnej dobe naopak vykazuje náhodný vývoj, a teda vznikla potreba modelovania úrokovej miery. Modely úrokovej miery popisujú úrokovú mieru pomocou stochastickej diferenciálnej rovnice a ich cieľom je okrem iného modelovať aj jej ďalší vývoj. Zásadným bodom pri modelovaní okamžitej úrokovej miery je zachytenie tejto miery ako teoretického začiatku výnosovej krivky. V práci sa zameriavame najmä na dvojfaktorové modely okamžitej úrokovej miery. V modeloch uvažujeme aj koreláciu medzi faktormi modelu, pričom pracujeme s konštantnou hodnotou korelácie. Našim prvým cieľom je analyticky a numericky odvodiť vplyv korelácie na ceny dlhopisov vo vybraných modeloch okamžitej úrokovej miery. Pozornosť upriamujeme na dvojfaktorový Vašíčkov model, dvojfaktorový Fong- Vašíčkov model, konvergenčný model CKLS typu a všeobecný dvojfaktorový model. V spomenutých modeloch odvodíme rád konvergencie. Druhým cieľom je navrhnúť kalibráciu modelu. Zoberieme konkrétny model a odhadneme jeho parametre, vrátane odhadovania korelácie. Práca pozostáva z piatich kapitol. Prvé dve kapitoly môžeme zaradiť do teoretickej časti práce. Prvá kapitola je venovaná základnej terminológii z oblasti modelovania úrokovej miery, ktorá sa využívajú v ďalších kapitolách ako aj stochastický kalkulus. V závere prvej kapitoly, predkladáme čitateľovi prehľad jednofaktorových modelov úrokovej miery. Obsahom druhej kapitoly je analytické odvodenie ceny dlhopisu v konkrétnych dvojfaktorových modeloch a určenie vplyvu korelácie. Pri odvodzovaní parciálnej diferenciálnej rovnice pre cenu dlhopisu vychádzame z [16]. Nakoniec sa zoberie všeobecný dvojfaktorový model, odvodí sa aproximácia ceny dlhopisu a nájde sa 9
10 ÚVOD rád rozdielu cien. Úvodom do praktickej časti práce je tretia kapitola. V tretej kapitole odhadneme hodnoty parametrov konvergenčného modelu Vašíčkovho typu metódou najmenších štvorcov. Vychádzame z [8], kde je navrhnutá kalibrácia modelu pre jednofaktorový Vašíčkov model. V našej práci sme postup z [8] zovšeobecnili na dvojfaktorový model úrokovej miery. Kalibráciu modelu testujeme najprv na simulovaných dátach, následne algoritmus použijeme na reálne dáta. Pomocou kalibrácie overujeme presnosť modelu. Odhadovanie trhovej ceny rizika pre európsky a domáci dlhopis je obsahom štvrtej kapitoly. Na ich odhadovanie aplikujeme metódu maximálnej vierohodnosti. V závere kapitoly uvádzame aj odhad korelácie modelu. Posledná kapitola je venovaná kalibrácii modelu pre pobaltské štáty. 10
11 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY 1 Úvod do modelovania úrokovej miery Finančný trh je veľmi rozsiahly a delí sa na viacero segmentov. V zásade sa člení podľa viacerých hľadísk, ako napr. časové hľadisko, predmetné hľadisko alebo iné. Na to, aby jednotlivé časti finančného trhu mohli účinne fungovať využívajú v praxi finančné nástroje. Podľa [11] za nástroj finančného trhu možno označiť mechanizmus získavania peňažných prostriedkov, a ich využívanie v záujme efektívneho hospodárenia s peňažnými prostriedkami v prospech ich vlastníkov. Predmetom nášho záujmu budú dve skupiny finančných nástrojov. Prvou skupinou sú tzv. podkladové aktíva, medzi ktoré radíme najmä akcie, úrokovú mieru a iné. Druhou skupinou sú finančné deriváty, ktoré sú odvodené od podkladových aktív. V súčasnosti sa do popredia dostávajú deriváty úrokovej miery. Úroková miera sa využíva pri diskontovaní, ale čoraz častejšie definuje výnos derivátov. Hodnota derivátov úrokovej miery závisí od hodnoty samotnej úrokovej miery, resp. úrovne, na ktorej sa nachádza. Pri konštrukcií modelu na oceňovanie derivátov úrokovej miery je nevyhnutné brať do úvahy stochastický vývoj úrokovej miery. V oblasti finančného modelovania zohráva významnú úlohu aj časová štruktúra úrokových mier. Jej dôležitosť sa prejaví pri zostavovaní modelu na oceňovanie derivátov tak, aby sa čo najlepšie pripodobnil realite. Cieľom tejto kapitoly je uviesť a stručne vysvetliť základné pojmy. Svoju nezastupiteľnú úlohu majú aj nástroje stochastického kalkulu, ktoré využijeme pri oceňovaní derivátov úrokových mier. 1.1 Základné pojmy Za najjednoduchšie deriváty úrokovej miery môžeme označiť dlhopisy. Dlhopisy (bonds) sú investičné nástroje obchodovateľné na burze. Firmy, ako aj vláda využívajú dlhopisu k navýšeniu kapitálu. Dlhopis predstavuje záväzok dlžníka (eminent) voči veriteľovi, v ktorom sa dlžník zaväzuje vyplácať úrok (kupón) veriteľovi počas doby platnosti dlhopisu. V čase splatnosti dlhopisu (maturity) T vyplatí dlžník nominálnu hodnotu dlhopisu F. Dlhopis s nominálnou hodnotou rovnej 1 sa nazýva diskontný dlhopis. V práci budeme ďalej pracovať s bezkupónovým diskontným dlhopisom. Medzi ďalšie 11
12 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY deriváty úrokovej miery môžeme zaradiť napríklad swapy, forwardy alebo opcie. Cenu dlhopisu v čase t so splatnosťou v čase T, t < T, označme P (t, T ). Čas do splatnosti dlhopisu τ vyjadruje vzťah T t. Z ceny dlhopisu [16] určenej vzťahom P (t, T ) = e R(t,T )(T t), 0 < t < T, je odvodená časová štruktúra úrokových mier R(t, T ) ako funkcia R(t, T ) = lnp (t, T ). (1.1) T t Časová štruktúra úrokových mier (term structure of interest rates) predstavuje závislosť úrokovej miery R(t, T ) od splatnosti dlhopisov T. Grafické vyjadrenie časovej štruktúry úrokových mier pre fixný čas t sa nazýva výnosová krivka. Výnosová krivka je zostavená z dlhopisov s podobnými charakteristikami, ale s rôznymi dobami splatnosti, väčšinou od troch mesiacov do tridsiatich rokov. Tvar tejto krivky nie je exaktne daný. V praxi sa ukazuje, že tvary výnosovej krivky môžu byť rôzne. Čitateľa ďalej oboznámime s tromi základnými tvarmi. Je všeobecne známe, že výnos dlhopisu s dlhšou dobou splatnosti je vyšší ako výnos dlhopisu s kratšou dobou splatnosti. Vyšší výnos je dosiahnutý vďaka vyššiemu riziku, ktoré prináša dlhopis, ktorý je na trhu dlhšie. To nás vedie k rastúcej výnosovej krivke, ktorá je inak označovaná ako normálna. Rastúca výnosová krivka je charakteristická pre trh, kedy sa neočakávajú výrazné zmeny, alebo ak trh očakáva rast úrokových mier. V súčasnosti veľké množstvo krajín zotrváva pri rastúcej výnosovej krivke, a tým očakáva, že bude ekonomicky prosperovať. Pomerne zriedkavo môžeme spozorovať na trhu klesajúcu výnosovú krivku. Klesajúca výnosová krivka je úzko spojená s očakávaním, že úrokové miery budú v najbližšom čase klesať. V takomto prípade dochádza k poklesu ekonomickej aktivity. Klesajúca výnosová krivka vzniká v dôsledku zvýšenia úrokových mier centrálnou bankou na nezvyčajne vysokú hodnotu. Táto situácia nastáva zväčša pri boji s infláciou. V prípade, že sa očakáva nárast úrokových mier v nasledujúcom čase a potom ich pokles, hovoríme o tzv. humped výnosovej krivke. Táto krivka sa v ekonomike vyskytuje vtedy, keď dlhopisy so strednedlhou dobou splatnosti majú najvyšší výnos. Na Obr. 1.1 sme vykreslili rastúcu výnosovú krivku bezkupónových štátnych dlhopisov Spojených štátov amerických (US Treasury) na základe dát z [31]. 1
13 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY Obr. 1.1: Rastúca výnosová krivka, zdroj dát [31]. V nasledujúcej tabuľke uvádzame číselné hodnoty výnosov štátnych dlhopisov zobrazených na Obr V prvom riadku sú maturity jednotlivých dlhopisov, v druhom riadku ich výnosy, ktoré sa pohybujú v rozmedzí od 1.3% do.94%. Maturita 1r. r. 5r. 10r. 15r. 0r. 5r. 30r. Výnos(%) Tabuľka 1.1: Výnosy US Treasury, zdroj dát [31] z dňa V tabuľke 1.1 vystupujú len kladné hodnoty výnosu. V dnešnej dobe sa mnohé krajiny tešia zápornému výnosu zo štátnych dlhopisov. Medzi tieto krajiny patrí aj Slovensko. V praxi to znamená to, že investori platia vláde za to, aby jej požičali. Veľkú časť tejto zdanlivej iracionality podnecujú deflačné obavy a značná politika centrálnej banky zameraná na menovú politiku Európskej centrálnej banky (ECB) [8]. Európska centrálna banka je inštitúciou Európskej únie a je zároveň centrálnou bankou 19 krajín tohto spoločenstva. Okrem iného nastavuje referenčné sadzby - Euribor, Euribid, Eonia [], ktoré sú platné vo všetkých krajinách hospodárskej a menovej únie (HMÚ). Euribor (Euro Interbank Offered Rate) je medzibanková referenčná úroková sadzba upravovaná na dennej báze. Táto sadzba bola zavedená v roku 1999 a je zverejňovaná denne o 11:00. Výpočet Euriboru je založený na priemerných úrokových sadzbách, za ktoré sú banky ochotné požičať euro termínové vklady na medzibankovom trhu. Euribor a Euribid sú vo vzťahu ako Ask a Bid. Podrobnejšie informácie sú na [1]. Na Obr.1. sme zobrazili časovú štruktúru európskej úrokovej 13
14 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY miery Euribor zo dňa Obr. 1.: Časová štruktúra úrokovej miery pre Euribor [3]. Zavedením novej meny na Slovensku, eura, sme sa 1. januára 009 stali súčasťou menovej únie, t. j. vstúpili sme do tretej fázy HMÚ. Naviac, medzibankové trhy sa začali riadiť Euriborom, kým dovtedy bola slovenská referenčná úroková sadzba Bribor (Bratislava Interbank Offered Rate)[7]. Krajiny, ktoré nepatria do HMÚ obchodujú so svojou úrokovou mierou. Ďalšími príkladmi úrokových mier na medzibankovom trhu sú: Pribor (Prague Interbank Offered Rate) [0], Bubor (Budapest Interbank Offered Rate) [6], Shibor (Shanghai Interbank Offered Rate) (zverejňovaná na [30]) alebo Nibor (Norwegian Interbank Offered Rate) (zverejňovaná na [9]). Azda najznámejšia z nich je Libor (London Interbank Offered Rate). Na Obr. 1.3 predkladáme ukážku časového vývoja úrokovej miery Eonia v priebehu dvoch rokov, 015 a 016. Eonia (Euro OverNight Index Average) patrí do skupiny referenčných sadzieb na medzibankovom trhu v mene euro. Vzhľadom k tomu, že plní úlohu jednodňovej sadzby, za ktorú si banky medzi sebou požičiavajú, je označovaná aj ako tzv. overnight. V teoretickej rovine sa často stretávame so short rate (okamžitá úroková miera). V praxi pristupujeme k aproximácii okamžitej úrokovej miery ako k úrokovej miere na krátky čas, ako napríklad tzv. overnight či mesačná úroková miera. Matematicky ju vyjadríme pomocou vzťahu r t = lim R(t, T ) = R(t, t). (1.) T t + 14
15 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY Obr. 1.3: Časový vývoj úrokovej miery Eonia v rokoch , zdroj dát []. Okamžitá úroková miera r t predstavuje štartovací bod výnosovej krivky a podáva informáciu o jej ďalšom vývoji. 1. Stochastický kalkulus 1 Časový vývoj úrokovej miery je náhodný, t. j. stochastický, v čase ako referuje Obr Úrokovú mieru preto chápeme ako stochastický proces. Stochastický proces na pravdepodobnostnom priestore (Ω, F, P) je súbor náhodných premenných X t, kde t T R je parameter. V závislosti od voľby T rozlišujeme dva typy stochastických procesov. V prvom prípade, kedy T je vyjadrený ako interval, hovoríme o stochastickom procese so spojitým časom. V druhom prípade, kde T je daná množina {1,,3,... }, myslíme stochastický proces s diskrétnym časom. Vo finančnej matematike sa pomerne často stretávame s pojmom Wienerov proces, alebo jeho zovšeobecnením Brownovym pohybom. Oba procesy sú stochastické procesy Markovovského typu, t. j. budúca hodnota procesu závisí len od súčasnej hodnoty. Uvádzame presnú definíciu Wienerovho procesu. Definícia 1.1. ([3], str. 7) Wienerov proces je stochastický proces W t, t > 0, ktorý spĺňa: 1. Proces začína v počiatku sústavy, W 0 = 0,. Proces W t má stacionárne, nezávisle prírastky, 3. Proces W t je spojitý v čase t, 1 Spracované najmä na základe [3] a [16]. 15
16 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY 4. Prírastky W t W s sú normálne rozdelené so strednou hodnotou rovnou 0 a varianciou t s, W t W s N(0, t s ). Malý prírastok Wienerovho procesu za malý časový úsek dt označíme dw a má nasledovné vlastnosti dw N(0, dt), t. j. E[dw] = 0 a V ar[dw] = dt. Prírastok Wienerovho procesu vystupuje aj v stochastickej diferenciálnej rovnici na modelovanie okamžitej úrokovej miery. Tento prírastok spôsobuje náhodnosť celej diferenciálnej rovnice dr t = µ(r, t)dt + σ(r, t)dw. V prípade dvoch a viacerých stochastických diferenciálnych rovníc zavádzame pojem korelácia. Koreláciu medzi procesmi môžeme zaviesť prostredníctvom korelácie medzi prírastkami Wienerových procesov dw 1, dw, ktoré v ich stochastickej diferenciálne rovnici vystupujú. Formálne zapísané Cov(dw 1, dw ) = ρdt, (1.3) pričom predpokladáme, že ρ je konštanta z intervalu [-1,1]. Hoci pojem korelácie, ako nástroja na meranie závislosti, prináša so sebou určité obmedzenia, v súčasnosti je predmetom rozsiahleho skúmania. Do popredia sa dostávajú stochastické korelačné modely. V našej práci budeme pracovať s konštantnou koreláciou. V teórii oceňovania finančných derivátov nachádzame ako kľúčový nástroj Itóovu formulu (lemu). Itóova formula je odpoveďou na otázku, či je možné zostaviť stochastickú diferenciálnu rovnicu, ktorá opisuje vývoj akejkoľvek hladkej funkcie f(x, t), zatiaľ čo premenná x je riešením zadanej stochastickej rovnice. Lema 1.1. (Itóova lema). ([16], str. 7) Nech f(x, t) je hladká funkcia dvoch premenných, pričom premenná x je riešením stochastickej diferenciálnej rovnice dx = µ(x, t)dt + σ(x, t)dw, kde w je Wienerov proces. Potom prvý diferenciál funkcie f je daný vzťahom df = f ( f x dx + t + 1 ) σ (x, t) f dt, x 16
17 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY dôsledkom čoho funkcia f vyhovuje stochastickej diferenciálnej rovnici df = ( f t + µ(x, t) f x + 1 ) σ (x, t) f dt + σ(x, t) f x x dw. Intuitívny dôkaz Itóovej lemy môže čitateľ nájsť napríklad v [16]. 1.3 Modely okamžitej úrokovej miery Na modelovanie úrokovej miery existujú rôzne prístupy. V závislosti od informácie o vývoji úrokovej miery, ktorú modely majú v sebe zahrnutú, rozlišujeme dve hlavné triedy modelov. Prvým prístupom sú rovnovážne modely. Ako už napovedá samotný názov, rovnovážne modely zdôrazňujú koncept rovnováhy. Ich hlavnou myšlienkou je nájsť rovnováhu medzi dopytom a ponukou po finančných derivátoch. Najznámejšími príkladmi rovnovážnych modelov sú Vašíčkov model (1977, publikovaný v [17]), Cox-Ingersoll-Ross model (1985, publikovaný v [6]) a Fong-Vašíčkov model (1991, publikovaný v [7]). Tieto modely majú konštantné parametre, ktoré môžeme odhadnúť z historických dát. Jednou z hlavných nevýhod rovnovážnych modelov sa ukazuje možný vznik arbitráže. Arbitrážna príležitosť vzniká v dôsledku nepresnosti v modelovaní časovej štruktúry úrokových mier a tým pádom sa cena derivátu vypočítaná modelom nezhoduje s reálnou cenou. Tento nedostatok sa snažia odstrániť bezarbitrážne modely. Táto trieda modelov sa vyznačuje okrem iného tým, že súčasná časová štruktúra je vstupom a zároveň štartovacím bodom. Naopak, v rovnovážnych modeloch je výstupom. Medzi významné bezarbitrážne modely boli zaradené práca finančných akademikov Thomas Ho a Sang bin Lee (1986, uvedené prácou v [9]) a práca profesorov John C. Hull a Alan White (1990, uvedené prácou v [10]). Od vzniku prvého modelu úrokovej miery (Vašíček, 1977) vzniklo mnoho modelov s cieľom čo najlepšie opísať časovú štruktúru úrokových mier. Časom sa však ukázalo, že nie všetky vzniknuté modely prinášajú užitočné a presné výsledky. Na jednej strane máme jednoduchšie modely, ktoré nedokážu presne zachytiť pohyb časovej štruktúry a na druhej strane sofistikovanejšie modely, ktoré svojou zložitou konštrukciou sú ťažko aplikovateľné. Predmetom nášho záujmu budú tzv. short-rate modely. Short-rate modely zachytávajú vývoj okamžitej úrokovej miery. V závislosti od tvaru koeficientov vystupujúcich v modeloch budeme rozlišovať jednotlivé modely úrokovej 17
18 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY miery. V tejto práci sa budeme ďalej zaoberať triedou rovnovážnych modelov, ktoré modelujú okamitú úrokovú mieru. Oceňovanie dlhopisov pomocou konkrétnych rovnovážnych modelov špecifikujeme neskôr Jednofaktorové rovnovážne modely Charakteristickou črtou jednofaktorových modelov je závislosť vývoja okamžitej úrokovej miery od jedného faktora. Týmto faktorom a zároveň zdrojom náhodnosti je samotná úroková miera r. Jej dynamiku zachytáva stochastická diferenciálna rovnica, ktorá môže mať vo všeobecnosti tvar dr(t) = µ(r, t)dt + σ(r, t)dw, kde r(t) je úroková miera v čase t = 0, µ(r, t) predstavuje trend (drift) vo vývoji okamžitej úrokovej miery (deterministická zložka) a σ(r, t) je volatilita procesu (stochastická zložka). Volatilita procesu určuje charakter náhodných fluktuácií úrokovej miery v okolí deterministickej zložky. dw je prírastok Wienerovho procesu za malý časový interval dt. Poznamenávame, že trend a volatilita nemusia nutne závisieť od času t. Závislosť od t nie je v žiadnom z tých modelov, ktorými sa ďalej zaoberáte. Trend µ(r, t) je funkcia od okamžitej úrokovej miery r a času t. Jej tvar je zvyčajne definovaný výrazom µ(r, t) = κ(θ r), kde κ, θ sú kladné konštanty. Parameter κ je definovaný ako rýchlosť návratu k limitnej úrokovej miere a parameter θ je limitná úroková miera. Model s takýmto tvarom trendu má mean reversion vlastnosť. Podstata tejto vlastnosti spočíva v tom, že stredná hodnota úrokovej miery E(r) je priťahovaná k rovnovážnej hodnote θ silou danou parametrom κ. Stredná hodnota úrokovej miery rieši diferenciálnu rovnicu E(dr) = de(r) = κ(θ E(r))dt + E(σ(r, t)dw)) = κ(θ E(r))dt. Volatilita modelu môže mať tiež rôzne tvary, ale najčastejšie sa stretávame s tvarom σ(r, t) = σr γ, kde σ > 0 a γ 0 chápeme ako konštantné parametre. V závislosti od tvaru funkcie volatility budeme rozlišovať nasledovné modely okamžitej úrokovej miery 18
19 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY Vašíčkov model. Vašíčkov model je jedným z prvých a najjednoduchších modelov okamžitej úrokovej miery s vlastnosťou mean reversion. Stochastická diferenciálna rovnica v jednofaktorovom Vašíčkovom modeli je v tvare dr(t) = κ(θ r(t))dt + σdw. (1.4) Hlavnou nevýhodou tohto modelu je konštantná volatilita. Ak je úroková miera blízka nule, hodnota volatility sa nemení. Dôsledkom čoho sa môže proces s nenulovou pravdepodobnosťou dostať aj do záporných hodnôt. Tento nedostatok odstránil model, ktorý predstavili John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll a Stephen A. Ross ako CIR model. V dnešnej dobe, kedy na finančnom trhu sa objavujú záporné úrokové miery, nehovoríme už o nedostatku. Obr. 1.4: Vývoj úrokovej miery. Parametre modelu: σ = 0.015, κ = 0.1, θ = 0.1, r 0 = Na Obr.1.4 sme vykreslili jednu trajektóriu Vašíčkovho modelu, ktorá začína v bode r 0 = Vodorovná prerušovaná čiara na Obr.(1.4) vyjadruje strednú hodnotu, t. j. hodnotu parametra θ, ku ktorej je priťahovaná úroková miera r t. Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model. CIR model je ďalším rovnovážnym modelom, ktorý je rozšírením Vašíčkovho modelu. Tento model využíva na modelovanie okamžitej úrokovej miery stochastickú diferenciálnu rovnicu dr(t) = κ(θ r(t))dt + σ rdw. Volatilita modelu σ r nepripúšťa záporné hodnoty. V prípade, že úroková miera sa rovná nule, potom je aj volatilita nulová a trend nadvihne úrokovú mieru do kladných 19
20 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY čísiel. Naviac, ak je splnená podmienka κθ > σ úroková miera nadobúda hodnotu nula s nulovou pravdepodobnosťou. Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders (CKLS) model. CKLS model [4] bol navrhnutý v roku 199 na modelovanie správania sa okamžitej úrokovej miery. Okamžitá úroková miera sa v tomto modeli riadi nasledovnou stochastickou diferenciálnou rovnicou dr(t) = κ(θ r(t))dt + σr γ (t)dw. V závislosti od voľby parametra γ dostávame konkrétne modely. Voľbou parametra γ = 0 získame Vašíčkov model a pri voľbe γ = 1 zase CIR model. CKLS model je označovaný aj ako zovšeobecnený model. Kým jednofaktorové modely, Vašíček a CIR model, vedú k analytickému riešeniu pre cenu dlhopisu, v CKLS modeli je možné odvodiť cenu dlhopisu len numericky. Medzi ďalšie významné jednofaktorové modely patrí napríklad Dothanov model (1978), či Cox-Ross model. Prehľad spomenutých jednofaktorových modelov aj spolu s tvarom stochastickej diferenciálnej rovnice uvádzame v tabuľke 1.. Model Vašíček CIR CKLS Dothan Cox-Ross SDR pre r dr = κ(θ r)dt + σdw dr = κ(θ r)dt + σ rdw dr = κ(θ r)dt + σr γ dw dr = αrdt + σrdw dr = βrdt + σr γ dw Tabuľka 1.: Ďalšie jednofaktorové modely okamžitej úrokovej miery. V jednofaktorovom modeli určuje tvar výnosovej krivky jej začiatok, teda okamžitá úroková miera, a parametre modelu. Ak špecifikujeme parametre modelu, potom je výnosová krivka jednoznačne daná hodnotou okamžitej úrokovej miery. Výhodou jednofaktorových modelov je ich jednoduchosť. Naopak, tieto modely vykazujú menšiu flexibilitu na modelovanie skutočného vývoja úrokovej miery. V reálnom svete môžeme v rôznych časových okamihoch pozorovať rôzne výnosové krivky začínajúce v tej istej 0
21 1 ÚVOD DO MODELOVANIA ÚROKOVEJ MIERY okamžitej úrokovej miere. K riešeniu tohto javu sa používajú dvoj- a viacfaktorové modely okamžitej úrokovej miery. V závislosti od počtu faktorov, sú modely formulované pomocou stochastických diferenciálnych rovníc, pričom počet faktorov zodpovedá počtu týchto rovníc a rovnako počtu prítomných Wienerovych procesov. V tejto práci sa budeme ďalej venovať len dvojfaktorovým modelom. 1
22 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Dvojfaktorové rovnovážne modely úrokovej miery V tejto časti práce predstavíme dvojfaktorové modely krátkodobej úrokovej miery, s ktorými budeme ďalej pracovať. V kapitole podrobnejšie popíšeme Vašíčkov model, Fong-Vašíčkov model a konvergenčný model CKLS typu. V podkapitole.1. odvodíme parciálnu diferenciálnu rovnicu pre cenu dlhopisu ako derivátu okamžitej úrokovej miery pre všeobecný dvojfaktorový model. Následne túto parciálnu diferenciálnu rovnicu aplikujeme v konkrétnych modeloch a odvodíme cenu dlhopisu. Postupovať budeme podľa [16]. Po odvodení cien dlhopisov zistíme, aký je vplyv korelácie na faktory modelu v jednotlivých modeloch. Nakoniec pomocou aproximácie odvodíme vplyv korelácie pre všeobecný model krátkodobej úrokovej miery..1 Odvodenie parciálnej diferenciálnej rovnice Okamžitú úrokovú mieru r t vo všeobecnom dvojfaktorovom modeli chápeme ako funkciu dvoch faktorov x, y, čo môžeme formálne zapísať ako r t = r t (x, y). Pri odvodzovaní parciálnej diferenciálnej rovnice dvojfaktorového modelu vychádzame z predpokladu, že faktory x, y sa riadia stochastickými diferenciálnymi rovnicami dx = µ x (x, y)dt + σ x (x, y)dw 1, dy = µ y (x, y)dt + σ y (x, y)dw, kde w 1 a w sú Wienerove procesy. Keďže faktory x, y môžu od seba závisieť, budeme uvažovať koreláciu medzi prírastkami Wienerových procesov dw 1 a dw. Konkrétne budeme pracovať s konštantnou koreláciou, t. j. cov(dw 1, dw ) = ρdt, ρ ( 1, 1). Cena dlhopisu P = P (x, y, t) je funkcia od faktorov x, y a času t. Stochastickú diferenciálnu rovnicu pre cenu P dostaneme z viacrozmernej Itóovej lemy ako dp = µdt + σdw 1 + σdw, kde µ = P t + µ P x x + µ P y y + σ x P x + σ y P y + ρσ P xσ y x y, P σ = σ x x, P σ = σ y y. Spracované na základe [16].
23 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Poznamenávame, že funkcie µ, σ a σ tiež závisia od faktorov x, y a času t. Ďalším krokom je konštrukcia bezrizikového portfólia π. Portfólio π zostavíme z troch dlhopisov s rôznymi dobami splatnosti T 1, T a T 3. Počty dlhopisov v portfóliu označíme V 1, V a V 3 π = V 1 P (T 1 ) + V P (T ) + V 3 P (T 3 ). Zmenu hodnoty portfólia π potom vyjadríme ako súčet dπ = V 1 dp (T 1 ) + V dp (T ) + V 3 dp (T 3 ) = [V 1 µ(t 1 ) + V µ(t ) + V 3 µ(t 3 )] dt + [V 1 σ(t 1 ) + V σ(t ) + V 3 σ(t 3 )] dw 1 (.1) + [V 1 σ(t 1 ) + V σ(t ) + V 3 σ(t 3 )] dw. Z vývoja ceny portfólia daného rovnicou (.1) chceme vylúčiť náhodnosť. Rovnica má dva náhodné členy a teda koeficienty k nim prislúchajúce položíme rovné nule [V 1 σ(t 1 ) + V σ(t ) + V 3 σ(t 3 )] = 0, [V 1 σ(t 1 ) + V σ(t ) + V 3 σ(t 3 )] = 0. Ďalej chceme dosiahnuť bezarbitrážnosť modelu. Bezarbitrážnosť modelu znamená to, že výnos z takto skonštruovaného portfólia sa musí rovnať bezrizikovej úrokovej miere r, t. j. dπ = rπdt. Vylúčením možnosti arbitráže sa dopracujeme k tretej identite [V 1 µ(t 1 ) + V µ(t ) + V 3 µ(t 3 )] = rπ. Z odvodených identít tak dostávame sústavu lineárnych rovníc pre množstva dlhopisov V 1, V, V 3 σ(t 1 ) σ(t ) σ(t 3 ) V 1 0 σ(t 1 ) σ(t ) σ(t 3 ). V = 0. (.) µ(t 1 ) rp (T 1 ) µ(t ) rp (T ) µ(t 3 ) rp (T 3 ) V 3 0 Hľadáme netriviálne riešenie uvedenej sústavy. Sústava rovníc v maticovom tvare má netriviálne riešenie práve vtedy, keď riadky matice sú lineárne závislé. Táto situácia nastáva v prípade sústavy (.) vtedy, keď tretí riadok je lineárnou kombináciou predchádzajúcich dvoch. Existujú teda také λ 1 a λ, že platí µ(t i ) rp (T i ) = λ 1 σ(t i ) + λ σ(t i ) i = 1,, 3. (.3) 3
24 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Trhová cena rizika λ i môže závisieť od času t a faktorov x, y, ale nemôže závisieť od maturity T. Keďže maturity T i boli zvolené ľubovoľne, (.3) musí platiť pre hocijaké T. Napokon dosadíme µ, σ, σ do (.3) a dostávame parciálnu diferenciálnu rovnicu pre cenu dlhopisu P t + (µ x λ 1 σ x ) P x + (µ y λ σ y ) P y + σ x P x + σ y P y. Dvojfaktorový Vašíčkov model P + ρσ x σ y r(x, y)p = 0. (.4) x y Dvojfaktorový Vašíčkov model, publikovaný v [1] patrí do triedy modelov s vlastnosťou mean reversion. Zároveň je špeciálnym prípadom Ornstein-Uhlenbeckovho procesu s konštantnou volatilitou. Vo Vašíčkovom modeli za faktory vezmeme úrokové miery r 1, r. Ďalej predpokladáme, že okamžitá úroková miera r t je súčtom týchto dvoch nezávislých faktorov. V nasledujúcej časti práce odvodíme cenu dlhopisu ako derivátu okamžitej úrokovej miery pre Vašíčkov model s korelovanými zložkami. Pri odvodzovaní ceny dlhopisu budeme postupovať podľa [16]. Cena dlhopisu P závisí od faktorov r 1, r (, ) a od doby do splatnosti (maturity) τ = T t (0, ). Ako vstup budeme uvažovať sústavu rovníc dr 1 = κ 1 (θ 1 r 1 )dt + σ 1 dw 1, (.5) dr = κ (θ r )dt + σ dw, (.6) Cov(dw 1, dw ) = ρdt. Parametre modelu κ 1, κ, θ 1 a θ sú kladné konštanty. Volatilita modelu je v rovniciach vyjadrená konštantami σ 1, σ. Za predpokladu, že trhové ceny rizika λ 1, λ sú konštanty, cena dlhopisu P (r 1, r, τ) je riešením parciálnej diferenciálnej rovnice (.4). Dosadením (.5), (.6) do (.4) dostávame parciálnu diferenciálnu rovnicu pre cenu dlhopisu v tvare P τ + [κ 1(θ 1 r 1 ) λ 1 σ 1 ] P + [κ (θ r ) λ σ ] P r 1 r + σ 1 P r 1 + σ P r 4 + ρσ 1 σ P r 1 r (r 1 + r )P = 0. (.7)
25 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Na dourčenie ceny dlhopisu potrebujeme ďalšiu podmienku. Počiatočná podmienka je v tvare P (r 1, r, 0) = 1 pre r 1, r. Pri konštantných hodnotách λ 1, λ, hľadáme riešenie v separovanom tvare P (r 1, r, τ) = P 1 (r 1, τ)p (r, τ). Z pôvodnej počiatočnej podmienky môžeme odvodiť počiatočné podmienky pre separovaný tvar a teda pre funkcie P 1 a P platí P 1 (r 1, 0) = 1, P (r, 0) = 1. Rovnicu (.7) môžeme zapísať nasledovne P 1 τ P P τ P 1 + [κ 1 (θ 1 r 1 ) λ 1 σ 1 ] P 1 P + [κ (θ r ) λ σ ] P P 1 r 1 r + σ 1 P 1 P r1 + σ P P 1 P P r 1 + ρσ 1 σ (r 1 + r )P 1 P = 0. r 1 r Funkciu P si podľa [16] vyjadríme v tvare P (r 1, r, τ) = A 1 (τ)a (τ)e B 1(τ)r 1 B (τ)r, kde P i (r i, τ) = A i (τ)e B i(τ)r i, i = 1,. Aby počiatočné podmienky zostali zachované, platí A i (0) = 1, B i (0) = 0. Potom pre jednotlivé parciálne derivácie dostávame P i τ = Ȧie B ir i ḂiA i re B ir i, P i = A i B i e B ir i, r i P i = A ri i Bi e B ir i. Odvodené parciálne derivácie dosadíme do rovnice (.7). V každom člene tejto rovnice máme nenulový výraz e B 1(τ)r 1 B (τ)r, ktorým môžeme obe strany rovnice predeliť. Tým sa nám rovnica zjednoduší. Označme A = A 1 A. V ďalšom kroku združíme tie členy, ktoré obsahujú člen r 1, potom člen r a tie, ktoré neobsahujú r 1, ani r a po úprave dostávame [ A + (λ 1 σ 1 κ 1 θ 1 )AB 1 + (λ σ κ θ )AB + σ 1 AB 1 + σ AB + ρσ 1 σ AB 1 B ] + [Ḃ1A + κ 1 AB 1 A]r 1 + [ḂA + κ AB A]r = 0. Identita musí byť splnená pre r 1, r, preto všetky tri výrazy v zátvorkách musia byť identický rovné nule. Dostávame teda sústavu troch obyčajných diferenciálnych rovníc Ȧ = (λ 1 σ 1 κ 1 θ 1 )AB 1 + (λ σ κ θ )AB + σ 1 AB 1 + σ AB + ρσ 1 σ AB 1 B, Ḃ 1 = 1 κ 1 B 1, Ḃ = 1 κ B, 5
26 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY s počiatočnými podmienkami A(0) = 1, B i (0) = 0, i = 1,. Budeme hľadať riešenie tohto systému. Všimnime si, že obyčajné diferenciálne rovnice pre funkcie B i (τ) sú lineárne. Preto ich riešenie vieme ľahko analyticky vypočítať a spolu s počiatočnou podmienkou dostávame explicitné riešenia B 1 (τ) = 1 (1 e κ1τ ), (.8) κ 1 B (τ) = 1 (1 e κτ ). (.9) κ Hľadanie riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice pre funkciu A(τ) je o niečo náročnejšie. Explicitné riešenia pre B 1 (τ), B (τ) nezávisia od funkcie A(τ) iba od premennej τ. S využitím počiatočnej podmienky A(0) = 1, separáciou premenných a zintegrovaním získavame riešenie pre funkciu A(τ) v tvare lna(τ) = τ 0 [(λ 1 σ 1 κ 1 θ 1 )B 1 + (λ σ κ θ )B + σ 1 B 1 + σ B + ρσ 1 σ B 1 B ] ds. Dosadíme získané riešenia B 1 (τ), B (τ) a opäť využijeme počiatočnú podmienku A(0) = 1. Po krátkej úprave nakoniec dostaneme lna(τ) = lnã1 + lnã + ρ σ 1σ [τ 1κ1 (1 e κ1τ ) 1κ (1 e κτ ) + 1 e (κ 1+κ )τ κ 1 κ κ 1 + κ ], (.10) pričom lnãi = [ ] 1 (1 e κiτ ) τ R i σ i (1 e κiτ ), i = 1,, κ i 4κ 3 i R i = θ i λ iσ i κ i σ i, i = 1,. κ i Pre cenu dlhopisu v dvojfaktorovom Vašíčkovom modeli platí vzťah lnp (r 1, r, τ, ρ) = lna(τ) B 1 (τ)r 1 B (τ)r, (.11) kde lna(τ) je dané rovnicou (.10) a explicitné riešenia B 1 (τ), B (τ) sú dané výrazmi (.8), (.9). Časovú štruktúru úrokových mier môžeme potom vo Vašíčkovom modeli vyjadriť ako R(r 1, r, t, t + τ) = lnp (r 1, r, τ) τ 6 = lna 1A τ + B 1 τ + B τ. (.1)
27 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Pri odvodzovaní ceny dlhopisu pre dvojfaktorový Vašíčkov model sme predpokladali, že korelácia medzi faktormi r 1 a r je rovná konštante ρ. Ak by sme zobrali Vašíčkov model s predpokladom nulovej korelácie, t. j. ρ = 0, postup odvodenia ceny dlhopisu by obsahoval rovnaké kroky ako pri Vašíčkovom modeli s nenulovou koreláciou. Položme teda ρ = 0. Cena dlhopisu potom spĺňa nasledovnú parciálnu diferenciálnu rovnicu P τ + [κ 1(θ 1 r 1 ) λ 1 σ 1 ] P + [κ (θ r ) λ σ ] P r 1 r + σ 1 P r 1 + σ P r Opäť budeme hľadať riešenie v separovanom tvare (r 1 + r )P = 0. (.13) P (r 1, r, τ) = A 1 (τ)a (τ)e B 1(τ)r 1 B (τ)r pri počiatočných podmienkach P 1 (r 1, 0) = 1, P (r, 0) = 1. Jednotlivé derivácie funkcie P sú rovnaké bez ohľadu na koreláciu. Derivácie funkcie P dosadíme do rovnice (.13). Dostávame sústavu obyčajných diferenciálnych rovníc à = (λ 1 σ 1 κ 1 θ 1 )AB 1 + (λ σ κ θ )AB + σ 1 AB 1 + σ AB, (.14) Ḃ 1 = 1 κ 1 B 1, Ḃ = 1 κ B. Funkcie B 1, B majú explicitné vyjadrenie totožné s výrazmi (.8), (.9). Integrovaním rovnice (.14) a využitím vlastnosti integrálu dostávame súčet takmer identických integrálov líšiacich sa v indexe lnã = lnã1 + lnã = τ 0 (λ 1 σ 1 κ 1 θ 1 )B 1 + σ 1 B 1 dτ + τ 0 (λ σ κ θ )B + σ B dτ. Do výrazu ďalej dosadíme riešenie funkcií B 1 (τ), B (τ), vypočítame integrály a využitím počiatočnej podmienky A(0) = 1 dostaneme konečné riešenie integrálov [ ] 1 lnãi = (1 e κiτ ) τ R i σ i (1 e κiτ ), i = 1,, κ i 4κ 3 i kde R i = θ i λ iσ i κ i σ i, i = 1,. κ i 7
28 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Za predpokladu nulovej korelácie medzi faktormi modelu, pre cenu dlhopisu v dvojfaktorovom Vašíčkovom modeli platí vzťah lnp (r 1, r, τ, 0) = lnã(τ) B 1(τ)r 1 B (τ)r, (.15) kde lnã(τ) a explicitné riešenia B 1(τ), B (τ) sme odvodili vyššie...1 Vplyv korelácie vo Vašíčkovom modeli Prvým cieľom tejto práce je zistiť, aký je vplyv korelácie medzi faktormi modelu na ceny dlhopisov. V tejto časti práce zoberieme cenu dlhopisu s koreláciou a cenu dlhopisu bez korelácie a porovnáme ich. Rozdiel cien aproximujeme a odvodíme experimentálny rád konvergencie. Na odvodenie rádu konvergencie budeme počítať Taylorov rozvoj rozdielu cien. Na ilustráciu odvodených výsledkov zvolíme nasledujúce parametre modelu: κ 1 = 0.3, θ 1 = 0.4, σ 1 = 0.03, λ 1 = 0, κ = 0.8, θ = 0.5, σ = 0.8, λ = 0, ρ = 0.5. Na Obr..1 si môžeme všimnúť, že ceny dlhopisov bez ohľadu na hodnotu korelácie majú rovnaký tvar. Líšia sa iba výškou ceny v jednotlivých časoch. Pre nízke splatnosti sú ceny pri zvolených parametroch takmer totožne. Pri vyšších splatnostiach je rozdiel signifikantnejší. Obr..1: Logaritmus cien dlhopisov vo Vašíčkovom modeli. Parametre modelu: κ 1 = 0.3, θ 1 = 0.4, σ 1 = 0.03, λ 1 = 0, κ = 0.8, θ = 0.5, σ = 0.8, λ = 0, ρ = 0.5. V nasledujúcej sekcii analyticky vyjadríme vplyv korelácie medzi faktormi pre 8
29 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY všeobecné hodnoty parametrov modelu. Zoberme rozdiel logaritmov cien dlhopisov ln P (r 1, r, τ, ρ) ln P (r 1, r, τ, 0), pričom vychádzame zo vzorcov (.11), (.15). Funkcie B 1, B sú pre obe ceny rovnaké, preto sa navzájom odčítajú. Funkcie ln A a ln à nie sú identické ln P (r 1, r, τ, ρ) ln P (r 1, r, τ, 0) = ln A ln Ã. (.16) Funkcia ln A obsahuje naviac člen s koreláciou a teda rozdiel (.16) dáva výraz ρ σ 1σ [τ 1κ1 (1 e κ1τ ) 1κ (1 e κτ ) + 1 e (κ 1+κ ] )τ. (.17) κ 1 κ κ 1 + κ Rozdiel logaritmov cien (.17) je explicitne daná funkcia. Túto funkciu aproximujeme Taylorovym rozvojom elementárnych funkcií. Z aproximácie neskôr vyčítame rád rozdielu cien. Keďže ρ σ 1σ κ 1 κ predstavuje konštantu pri známych parametroch, aproximovať budeme len výraz v hranatej zátvorke. Hranatú zátvorku v (.17) označíme ako funkciu od τ f(τ) = τ 1 κ 1 (1 e κ 1τ ) 1 κ (1 e κ τ ) + 1 e (κ 1+κ )τ κ 1 + κ. Vypočítajme jednotlivé derivácie funkcie f(τ) v bode τ = 0, ktoré potrebujeme na vyjadrenie Taylorovho rozvoja f (1) (τ) τ=0 = 1 e κ1τ e κτ + e (κ 1+κ )τ τ=0 = 0, f () (τ) τ=0 = κ 1 e κ1τ + κ e κτ (κ 1 + κ )e (κ 1+κ )τ τ=0 = 0, f (3) (τ) τ=0 = κ 1e κ1τ κ e κτ + (κ 1 + κ ) e (κ 1+κ )τ τ=0 = κ 1 κ, f (4) (τ) τ=0 = κ 3 1e κ1τ + κ 3 e κτ (κ 1 + κ ) 3 e (κ 1+κ )τ τ=0 = 3(κ 1κ + κ 1 κ ), f (5) (τ) τ=0 = κ 4 1e κ 1τ κ 4 e κ τ + (κ 1 + κ ) 4 e (κ 1+κ )τ τ=0 = 4κ 3 1κ + 6κ 1κ + 4κ 1 κ 3 Prvé dve derivácie funkcie f(τ) sú nulové a teda vypadnú. Taylorov rozvoj uvažovanej funkcie f(τ) rozvinieme do piateho rádu a dostávame f = f(0) + f (1) (0)τ + 1 f () (0)τ f (3) (0)τ ! f (4) (0)τ ! f (5) (0)τ 5 + O(τ 6 ) = 1 3 κ 1κ τ (κ 1κ + κ 1 κ )τ ! (4κ3 1κ + 6κ 1κ + 4κ 1 κ 3 )τ 5 + O(τ 6 ). (.18) 9
30 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Nakoniec výraz (.18) dosadíme do výrazu (.17). Rozdiel zlogaritmovaných cien dlhopisov ln P (r 1, r, τ, ρ) ln P (r 1, r, τ, 0) môžeme aproximovať ρ σ ( 1σ 1 κ 1 κ 3 κ 1κ τ (κ 1κ + κ 1 κ )τ ) 5! (4κ3 1κ + 6κ 1κ + 4κ 1 κ 3 )τ 5 + O(τ 6 ) (.19) ( 1 ρσ 1 σ 3 τ (κ 1 + κ )τ 4 + ) 5! (κ 1 + 3κ 1 κ + κ )τ 5. (.0) Experimentálny rád konvergencie (EOC) [13] predstavuje aproximáciu exponentu α v rovnici ln P (., τ, ρ) ln P (., τ, 0) = O(τ α ), τ 0 +. Hodnotu exponentu α môžeme odvodiť použitím nasledovného vzťahu EOC i = ln(err i) ln(err i+1 ), kde err i = ln P (., τ i, ρ) ln P (., τ i, 0). (.1) ln(τ i ) ln(τ i+1 ) Vybrané hodnoty EOC pre Vašíčkov model pri zvolených hodnotách parametrov uvádzame v tabuľke.1. Numericky, tabuľka.1, aj analyticky (.19) sme odvodili rád konvergencie, ktorého hodnota je 3. τ EOC Tabuľka.1: Experimentálny rád konvergencie - Vašíčkov model. Na Obr.. sme zobrazili výnosovú krivku Vašíčkovho modelu s nenulovou koreláciou (modrá krivka) a výnosovú krivku Vašíčkovho modelu s nulovou koreláciou medzi faktormi modelu (červená krivka). Môžeme si všimnúť, že pri parametroch definovaných na začiatku tejto podkapitoly, dlhopis, ktorý uvažuje nenulovú koreláciu 30
31 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Obr..: Porovnanie výnosových kriviek Vašíčkovho modelu. medzi faktormi r 1 a r, prináša vyšší výnos. Vyšší výnos značí, že výraz (.17) je záporný, keďže výnos (.1) má opačné znamienko ako logaritmus ceny, pre ktorý sme odvodili rozdiel (.17). V tabuľke.1 uvádzame niekoľko hodnôt výnosov dlhopisov s rôznymi dobami splatnosti. Výnos dlhopisu pre Vašíčkov model s nenulovou koreláciou označíme R(ρ 0), výnos dlhopisu v modeli bez korelácie označíme R(ρ = 0). Tento krátky náhľad naznačuje rast rozdielu medzi výnosmi modelov vzhľadom na zvolené parametre na začiatku tejto podkapitoly, ktorý sme vykreslili aj na Obr.. pre všetky hodnoty maturity. Hodnoty výnosov vychádzajú z rovnakého bodu, t. j. R t = 0.1. Pri takto zvolených parametroch môžeme pozorovať, že rozdiel medzi výnosmi rastie. τ Výnos R(ρ 0) Výnos R(ρ = 0) Tabuľka.: Výnosy dlhopisov. 31
32 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY.3 Fong-Vašíčkov model so stochastickou volatilitou Ďalším modelom triedy dvojfaktorových modelov je Fong-Vašíčkov model so stochastickou volatilitou. Tento model bol prvýkrát publikovaná v článku [7] v roku Model je pomenovaný po autoroch článku H. Gifford Fong a Oldrich A. Vašíček. Dvojfaktorový Fong-Vašíčkov model je založený na pozorovaní, že volatilita úrokovej miery nie je nutne konštantná. Prvý stochastický proces patrí okamžitej úrokovej miere r t ako prvému faktoru modelu. Tento proces, na rozdiel od Vašíčkovho modelu, závisí aj od druhého faktora. Druhým faktorom je stochastická volatilita y. Vo Fong-Vašíčkovom modeli je zachytený vývoj oboch faktorov systémom stochastických diferenciálnych rovníc dr = κ 1 (θ 1 r)dt + ydw 1, dy = κ (θ y)dt + v ydw. Ako v prípade Vašíčkovho modelu, najprv uvažujeme model s koreláciou, t. j. naviac predpokladáme E(dw 1, dw ) = ρdt. Trhovú mieru rizika v tomto modeli definujeme ako λ 1 y, resp. λ y, kde λ1, λ sú konštanty. Následne dostávame parciálnu diferenciálnu rovnicu pre cenu dlhopisu P (r, y, τ) P τ + [κ 1(θ 1 r) λ 1 y] P r + [κ (θ y) λ vy] P y + y P r + v y Počiatočná podmienka je v tvare P (r, y, 0) = 1. P y + ρvy P rp = 0. (.) r y V článku [14] je riešenie rovnice (.) definované v separovanom tvare P (r, y, τ) = A(τ)e B 1(τ)r B (τ)y. (.3) Z počiatočnej podmienky P (r, y, 0) = 1 vyplýva, že pre funkcie A, B 1 a B platí A(0) = 1, B 1 (0) = 0 a B (0) = 0. Definovaná cena dlhopisu v tvare (.3) je východiskom pre mnohé postupy hľadania časovej štruktúry úrokovej miery, ako napríklad [14]. V našej práci zvolíme postup uvedený v [16]. Z (.3) odvodíme parciálne derivácie, ktoré vystupujú v rovnici (.). Následne spätne dosadíme odvodené parciálne derivácie do rovnice (.). V rovnici zlúčime výrazy, ktoré prislúchajú k faktoru r a prislúchajúce k faktoru y. Z platnosti identity (.) potom dostávame systém obyčaj- 3
33 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY ných diferenciálnych rovníc A(τ) = A(τ)(κ 1 θ 1 B 1 (τ) + κ θ B (τ)), (.4) B 1 (τ) = 1 κ 1 B 1 (τ), (.5) B (τ) = λ 1 B 1 (τ) κ B (τ) λ vb (τ) B (τ) v B(τ) vρb 1 (τ)b (τ). (.6) V nasledujúcej časti sa bližšie pozrieme na tento systém rovníc a uvedieme jeho riešenie. Obyčajná diferenciálna rovnica (.5) pre B 1 (τ) je lineárna a nezávisí od ostatných dvoch funkcií A(τ), B (τ). Hneď dostávame explicitné riešenie B 1 (τ) = 1 κ 1 (1 e κ 1τ ). (.7) Rovnicu (.6) pre funkciu B (τ) vieme riešiť numericky Runge-Kutta metódou. Najprv do rovnice B (τ) = λ 1 B 1 (τ) B 1(τ) [κ + λ v + vρb 1 (τ)]b (τ) v B(τ) (.8) dosadíme nájdené riešenie funkcie B 1 (τ) a potom aplikujeme explicitnú Runge-Kutta metódu. Nakoniec pristúpime k integrácii rovnice (.4) pre funkciu A(τ). Do tejto rovnice dosadíme riešenia funkcií B 1 (τ) a B (τ). Riešenie rovnice (.4) uvádzame v tvare ln A(τ) = θ 1 τ + θ 1 B 1 (τ) κ θ Časová štruktúra úrokovej miery je potom vyjadrená R(r, y, t) = lna(τ) τ + B 1(τ) τ τ 0 B (s) ds. (.9) r + B (τ) y. τ Funkcie lna(τ), B 1 (τ), B (τ) sú dané vzťahmi (.9), (.7) a integrovaním výrazu (.8). V prípade nulovej korelácie pracujeme s nasledovnými rovnicami Ȧ(τ) = A(τ)(κ 1 θ 1 B 1 (τ) + κ θ B (τ)), (.30) B 1 (τ) = 1 κ 1 B 1 (τ), B (τ) = λ 1 B 1 (τ) [κ + λ v] B (τ) B 1(τ) 33 v B(τ),
34 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY ktorých riešenie dostávame v tvare ln P (r 1, r, τ, 0) = ln Ã(τ) B 1(τ)r B (τ)y. Funkcia B 1 je daná vzťahom (.7), funkciu B riešime numericky, opäť Runge-Kutta metódou. Nakoniec integrovaním rovnice (.30) dostávame funkciu ln à v tvare ln Ã(τ) = θ 1τ + θ 1 B 1 (τ) κ θ τ B (s) ds..3.1 Vplyv korelácie vo Fong-Vašíčkovom modeli V tejto časti určíte aproximáciu rozdielu logaritmov cien dvojfaktorového Fong-Vašíčkovho modelu ln P (r 1, r, τ, ρ) ln P (r 1, r, τ, 0). (.31) 0 Pre lepšiu predstavu, ako sa správajú logaritmy cien dlhopisov ln P (r 1, r, τ, ρ) a ln P (r 1, r, τ, 0), predkladáme čitateľovi Obr..3. Na vykreslenie kriviek sme zvolili nasledujúce parametre modelu κ 1 = 0.109, θ 1 = 0.065, λ 1 = 1, κ = 1.48, θ = , λ = 5, v = , ρ = 0.8, ktorými budeme ďalej ilustrovať dosiahnuté výsledky. Ako obrázok referuje, hodnoty logaritmu ceny dlhopisu v modeli s koreláciou sú takmer totožné s hodnotami logaritmov cien bez korelácie pre dané hodnoty maturity. Obr..3: Porovnanie výnosových kriviek vo Fong-Vašíčkovom modeli. 34
35 DVOJFAKTOROVÉ ROVNOVÁŽNE MODELY ÚROKOVEJ MIERY Tento nepatrný rozdiel cien môže byť spôsobený aj voľbou parametrov. Preto sa ďalej zameriame na analytické vyjadrenie rozdielu (.31) pre všeobecne hodnoty parametrov. Využijeme vzťahy, ktoré sme odvodili vyššie ln P (r 1, r, τ, ρ) = ln A(τ) B 1 (τ)r B (τ)y, ln P (r 1, r, τ, 0) = ln Ã(τ) B 1(τ)r B (τ)y. Ak si dobre všimneme, funkcia B 1 (τ) daná vzťahom (.7) nezávisí od korelácie ρ, ale funkcia B (τ) ako riešenie (.8) už závisí. Vo výraze (.9) vystupuje výraz B (τ), takže funkcia A(τ) tiež závisí od korelácie ρ. Po zjednodušení rovnice (.31) dostávame výraz τ ln P (r 1, r, τ, ρ) ln P (r 1, r, τ, 0) = κ θ ( B (s) B (s)) ds + y( B (τ) B (τ)). 0 (.3) S výrazom (.3) budeme ďalej pracovať ako s funkciou od τ, t. j. τ g(τ) = κ θ ( B (s) B (s)) ds + y( B (τ) B (τ)). (.33) 0 Hodnota funkcie g(τ) v bode 0 je rovná 0, čo ľahko overíme dosadením hodnoty 0 do predpisu funkcie (.33). Ďalej si vyjadríme derivácie funkcie g(τ) v bode nula. Ako notáciu derivácie si volíme horný index, v ktorom uvádzame rád derivácie. Funkciu g(τ) derivujeme podľa premennej τ. Táto funkcia obsahuje integrál, kde premenná τ vystupuje na jeho hranici. Takisto obsahuje dve funkcie B 1, B závislé od τ. Na derivovanie integrálu podľa jednej z jeho hranice využívame identitu, ktorá je v literatúre známa ako základná veta kalkulu [15] Cieľom tabuľky.3 je prehľadnejšie vyjadrenie derivácií funkcie B i, Bi, i = 1,, ktoré budeme ďalej dosadzovať do derivácii funkcie g. Následne tieto derivácie využijeme vo výpočte Taylorovho rozvoja. Taylorov rozvoj nám opäť poslúži na určenie rádu konvergencie. Jednotlivé derivácie funkcií B 1, B, B1, B v bode 0 uvádzame v nasledujúcej tabuľke. 35
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραModelovanie dynamickej podmienenej korelácie kurzov V4
Modelovanie dynamickej podmienenej korelácie menových kurzov V4 Podnikovohospodárska fakulta so sídlom v Košiciach Ekonomická univerzita v Bratislave Cieľ a motivácia Východiská Cieľ a motivácia Cieľ Kvantifikovať
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KALIBRÁCIA JEDNOFAKTOROVÉHO MODELU ÚROKOVÝCH MIER POMOCOU VIACERÝCH KRITÉRIÍ DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2015 Bc. Martin ƒechvala
Διαβάστε περισσότεραObsah. Motivácia a definícia. Metódy výpočtu. Problémy a kritika. Spätné testovanie. Prípadová štúdia využitie v NBS. pre 1 aktívum pre portfólio
Value at Risk Obsah Motivácia a definícia Metódy výpočtu pre 1 aktívum pre portfólio Problémy a kritika Spätné testovanie Prípadová štúdia využitie v NBS Motivácia Ako kvantifikovať riziko? Nakúpil som
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραIR Futures Effective Asset Class ก Efficient Frontier
Interest Futures* ก * ก ก ก. ก ก 11 ก ก ก ก ก ( ) ก ก * Interest Futures ก ก ก ก ก ก ก ก ก ก (Synthetic Portfolio) ก * ก ก ก 2 กก IR Futures ก ก (Asset Class) IR Futures Supposedly Most Efficient and Effective
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ANALÝZA RIEŠENÍ NELINEÁRNYCH PARCIÁLNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC FINANČNEJ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA 2015 Bc. Karol ĎURIŠ UNIVERZITA
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραLIBOR tržního modelu (LMM)
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Ružena Nistorová Oceňování úrokových derivátů pomocí LIBOR tržního modelu (LMM) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραÚrokovanie. Úrokovanie. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.
Úrokovanie Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Úrokovanie Úvod Jednoduché úrokovanie Zložené úrokovanie Zmiešané úrokovanie Spojité úrokovanie Princíp finančnej
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραAnalýza hlavných komponentov
Analýza hlavných komponentov Motivácia Úloha: Navrhnite scenáre zmien výnosovej krivky pre účely stresového testovania v dlhopisovom portfóliu Problém: Výnosová krivka sa skladá z väčšieho počtu bodov,
Διαβάστε περισσότεραČo sú kreditné deriváty
Kreditné deriváty Čo sú kreditné deriváty Poistenie na kreditné riziko Finančné nástroje umožňujúce previesť kreditné riziko na niekoho iného (bez nutnosti preniesť celú expozíciu) Vznik: cca na začiatku
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKO FYZIKÁLNA FAKULTA UNIVERZITY KOMENSKÉHO v Bratislave. Analýza vol nej hranice amerických opcií
MATEMATICKO FYZIKÁLNA FAKULTA UNIVERZITY KOMENSKÉHO v Bratislave Ekonomická a finančná matematika Analýza vol nej hranice amerických opcií Diplomová práca Autor: Janka Horváthová Vedúci Diplomovej práce:
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VLASTNOSTI HODNOTOVEJ FUNKCIE ÚLOHY PARAMETRICKÉHO KVADRATICKÉHO PROGRAMOVANIA A ICH VYUŽITIE V OPTIMALIZÁCII PORTFÓLIA DIPLOMOVÁ
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραRentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.
entový počet Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 entový počet Úvod Polehotná renta s konštantnou splátkou Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Predlehotná
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότερα