RNDr. Radoslava Paulenková

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "RNDr. Radoslava Paulenková"

Transcript

1 Obchodná akadémia Rimavská Sobota MATEMATIKA Vyučujúca Konzultantka RNDr. Radoslava Paulenková Mgr. Lujza Zelezníková

2 Ciele projektu využívanie moderných netradičných vyučovacích metód - zdokonaľovanie pedagogického majstrovstva učiteľov s dôrazom na informačno-komunikačné technológie - práca s talentovanými žiakmi Výsledný produkt - nová osobnosť žiaka - metodická príručka - publikovanie projektových prác žiakov a vyučujúcich 2

3 OBSAH 1. ÚVOD 2. PRODUKTY PROJEKTU 2.1 PRACOVNÉ LISTY 2.2 PRACOVNÉ LISTY NA PC 2.3 KARTIČKY 2.4 ŤAHÁKY 2.5 GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE 2.6 TESTY NA PC 2.7 PREZENTÁCIE 2.8 ŽIACKE PROJEKTY 2.9 MATURITNÉ TÉMY 2.10 HLAVOLAMY 3. ZÁVER 3

4 1. ÚVOD Trojročnú prácu na projekte môžeme rozdeliť do štyroch častí. 1. ÚVODNÁ ČASŤ - zoznámenie sa so žiakmi 2. UVÁDZACIA ČASŤ - oboznámenie sa s projektom 3. JADRO - práca na produktoch projektu 4. ZÁVEREČNÁ ČASŤ - výstupy projektu 1. ÚVODNÁ ČASŤ - túto časť môžeme nazvať aj prípravná. Trvala asi dva mesiace. V tejto časti bola zisťovaná vedomostná úroveň žiakov z matematiky vo vybratej triede. Snahou bolo dosiahnuť u nich samostatnosť pri riešení, viesť diskusiu a nebáť sa obhajovať svoje tvrdenia a prezentovať ich. 2. UVÁDZACIA ČASŤ- v tejto časti sa žiaci rozdelili do štvorčlenných približne rovnocenných skupín, v ktorých spoločne pracovali. Určili sa jednotlivé úlohy produkty, ktoré riešili. Na niektorých úlohách pracovali vo dvojiciach. V tejto časti bola ešte nutná výpomoc a usmerňovanie vyučujúcej. 3. JADRO v druhom a treťom ročníku môžeme skutočne hovoriť o projektovom vyučovaní. Žiaci ovládali metodiku a postupy všetkých produktov, ktoré sa stali automatickou súčasťou vyučovania. Prevládala samostatná práca žiakov s občasnými konzultáciami. 4. ZÁVEREČNÁ ČASŤ - žiacke a učiteľské produkty boli spracovávané na počítači a pripravované na výstup do metodickej príručky a na CD. Cieľ projektu jednoznačne určil cestu, ktorou vyučovanie matematiky má smerovať. Netradičné vyučovacie metódy sa používajú už niekoľko rokov, ale neudržateľný trend počítačov nastolil nový smer vyučovania netradičných metód a to smer prepojený s počítačmi. Táto cesta prinútila aj nás pedagógov prispôsobiť sa dobe a zdokonaľovať sa v pedagogickom majstrovstve. 4

5 2. PRODUKTY PROJEKTU Počas troch rokov boli vypracované nasledovné produkty pre všetky tematické celky. V tejto záverečnej správe uvádzame len ukážky jednotlivých produktov, ostatné sú priložené v prílohe na CD a záverečných prácach po jednotlivých ročníkoch MATEMATIKA PRACOVNÉ LISTY - PRACOVNÉ LISTY NA PC - KARTIČKY - ŤAHÁKY - GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE - TESTY NA PC - PREZENTÁCIE - ŽIACKE PROJEKTY - MATURITNÉ OTÁZKY - HLAVOLAMY 2.1. PRACOVNÉ LISTY Ich úlohou je zopakovať daný tematický celok a zistiť prehľad vedomostí žiakov Môžu sa použiť na - opakovanie pred písomnou kontrolou - na samostatnú prácu žiakov - na záverečné opakovanie na konci školského roku Pracovné listy sú vypracované na všetky tematické celky a sú v prílohe na CD a v jednotlivých častiach MATEMATIKA roč. Ukážka: Pracovný list č.3: Mocniny a odmocniny Pracovný list č.4: Funkcie a lineárna funkcia 5

6 PRACOVNÝ LIST č.3 Mocniny a odmocniny 1. Napíšte v tvare mocniny: a) 3 a =... b) 5 3 x =... c) a. 3 a = Napíšte v tvare odmocniny: a) = b) x. x =... c) 2 a b 3 ab =... n 3. Napíšte v tvare a a < 10: a) =. b) 0, =. 0, c) = 0, Upravte: a) =... b) 2( 3 5) 3( 5 3) podľa vzorca c) ( 5 7) ( 5 7) + =... + =... podľa vzorca d) ( 3 2) 2 =... podľa vzorca e) ( 2 + 3) 3 = Čiastočne odmocnite: a) = Usmernite a) 7. Riešte a) c) d) 3 3 b) =... c) d) 9 a =... b) a 2 2 x x x 19 y 6 = a 15 b 4 =... =...c) = =... 5 x =... b) x 2 x x 1 2 x =... + podmienky x x x =... x x 6

7 PRACOVNÝ LIST č. 4 Funkcie a lineárna funkcia 1. Napíš všeobecnú rovnicu lineárnej funkcie... pomenuj graf... D(f) =... H(f) = Urči funkciu, ktorá je lineárna y = + 3 y = 2x y = + 3 y = x x 3 x 4 3. Urči monotónnosť funkcií a načrtni ich y = 2x 3... y = -x y = x y = Načrtni do jedného grafu dvojicu lin. rovníc ( bez voľby usporiadaných dvojíc) a) y = -5x +1 y = -5x 2 y y y b) y = 4x 3 y = 2x +1 c) y = 2 y = -1 x x 5. Ku grafu priraď správnu funkciu y = - 2x-2 y = x 2 y = x 2 y = 2x y = x 2 y = Urči pri každom grafe, či ide o funkciu, ak áno, priraď jej D(f) a H(f) a) b) c) d) e) Leží niektorá z usporiad. dvojíc na grafe danom funkciou y = - x+2? [ 1,2] alebo [ 2,4] 8. Zadaj usporiadanú dvojicu, 9. Napíš rovnicu lin. funkcie, 2 ktorá patrí funkcii y = x + 1 ktorej graf je na obrázku 3 [...,...] 7

8 2.2. PRACOVNÉ LISTY NA PC Cieľom tohto pracovného listu je aktívne používať matematické programy CABRI GEOMETRIA a DERIVE. Pracovný list je zameraný na goniometrické funkcie, ich grafy, zmeny grafov podľa zmien parametrov, určovanie period, priradenie správnej rovnice ku grafu atď. Ukážka: Pracovný list č.1: Funkcia sínus Pracovný list č.2: Goniometrické funkcie 8

9 Pracovný list č.1: Funkcia sínus 1. Pomocou programu Cabri načrtnite grafy k funkciám: Program Cabri Geometria (kliknete sem) a) y = sin 2x π b) y = sin ( x + ) 4 c) y = 3 sin x d) y = 1 + sin x 2. Zistite periódu predchádzajúcich funkcií! 3. Na obrázku je časť grafu funkcie a) y = 1 + sin ( x - 4 π ) b) y = 2 sin ( x + 4 π ) π π c) y = 2 cos ( x - ) 4 4 3π 4 d) y = 2 sin ( x - 4 π ) 4. Ktorá z uvedených funkcií má obor hodnôt H = <2,8> a najmenšiu periódu p= π a) y = -3sin (2x + 2 π ) - 5 b) y = 3 sin (2x + 2 π ) + 5 c) y = 5 sin ( 2x - 2 π ) + 3 d) y = 3 sin ( x - π ) Na obrázku je časť grafu funkcie y = sin bx + d. Potom pre koeficienty b,d platí: a) b = 2 1, d = -1 b) b = 2, d = -1 π 2 π 3 π 4 π c) b = 2 1, d = 1 d) b = 2, d = 1 6. Aká je najmenšia kladná perióda funkcie: f: y = 1 + sin 2x a) 2 π b) π c) 2 π d) 4 π 9

10 Pracovný list č.2: Goniometrické funkcie 1. Pomocou programu DERIVE 5 načrtni časť grafu a) y = sin x a y = sinx b) y = cos x y = cosx c) y = tg x y = tg x d) y = cotg x y = cotg x 2. Na obrázku je časť grafu funkcie: a) y = -cotg 2x b) y = tg ( π - π π 3 π c) y = - cotg ( d) y = tg (2x - π ) 3. Načrtnite časť grafu, a zistite periódu. y= 3 +2 cos (2x - 4 π ) 4. Časť grafu na obrázku patrí funkcií a) y = cos x b) y = - sinx - π π 2 π c) y = cos (x - 2 π ) d) y = - cos x 5. Časť grafu na obrázku nemôže patriť funkcií a) y = - sin ( x + 4 π ) π b) y = - sin ( x - ) -2 π π π 2 π 4 c) y = -cos ( x - 4 π ) 3π d) y = sin ( x - ) 4 10

11 2.3. KARTIČKY Práca s kartičkami je založená na práci vo dvojiciach. Súbor obsahuje po 36 kartičiek z 18 tematických celkov. Kartičky sú dvojakej farby. Jeden druh farby sú rovnako typové úlohy s pozmenenými číslami vhodné pre 18 dvojíc a druhý druh farby je zameraný na iný typ príkladov. Každá kartička obsahuje 3 príklady. Kartičky sú očíslované a žiaci majú k dispozícii na papieri výsledky, ktoré slúžia po ukončení riešenia na samokontrolu.po bezchybnom vyriešení prvej sady majú malú jednotku /pracovnú/,po vyriešení oboch sád dostanú veľkú jednotku /do klas. záznamu / Žiaci, ktorí neuspeli, obdržia výsledky a na domácu úlohu majú nájsť chyby vo svojich riešeniach. Ukážka: - rôzne druhy kartičiek - výsledková listina 11

12 12

13 2.4. ŤAHÁKY Žiaci si vypracúvajú ťaháky podľa vlastného vkusu. Najestetickejší ťahák visí na nástenke až po dobu kontrolnej práce. Ťaháky môžu tiež použiť pri záverečnom opakovaní na konci školského roka. Mocniny a odmocniny Mocnina a n n prirodzené číslo a základ mocniny n exponent, mocniteľ Mocnina s prirodzeným exponentom je súčin n- rovnakých činiteľov a n = a.a.a...a r s r+ s r s r s Vlastnosti: 1. a a = a 2. a : a = a a 0 s s ( ) r r 3. a a 4. r r = ( ) Mocnina s celočíselným exponentom Vlastnosti a 0 =1 7. Mocniny s racionálnym exponentom - Vlastnosti n-krát r r a a a b = a b 5. = r b b a m n a n m = a a 0 n 1 = n a a m n r a 0 b 0 Každá mocnina s racionálnym exponentom sa dá napísať ako odmocnina!!!! n-tá odmocnina n a a základ podmienka a 0 n exponent odmocniny n n n Vlastnosti: 1. a b = n a b 4. a n = a podmienky n a a 2. n n = 5. n m n m a = a a 0 b b m n n m n p m p n m 3. ( a ) = a 6. a = a b>0 Usmernenie zlomku - odstrániť odmocninu z menovateľa = - rozšírením s číslom z menovateľa = - rozšírime výrazom doplneným na vzorec a b z menovateľa Čiastočné odmocnenie - odmocniť časť výrazu z odmocniny = 64 2 = 8 2 x = x x = x x x 0 13

14 2.5. GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE Používame ich pri štvrťročných písomných prácach. Žiaci si podľa svojich schopností môžu vybrať príklady podľa náročnosti, ktoré sú obodované. Stupnica bodov a k nim pridelené známky sa nachádzajú na konci písomnej práce. Z každého typu príkladu sú tri úrovne, ktoré žiak nemusí dodržiavať. Po sčítaní bodov za jednotlivé príklady sa podľa stupnice udelí výsledná známka. 14

15 GRADOVANÁ PÍSOMNÁ PRÁCA Planimetria 1. Urči hodnoty nasledujúcich goniometrických funkcií: a) tg = cotg = tg β = 8, 259 β =? cotgω = 3, 555 ϖ =? 6b. b) sin = cos = sinω = 0, 564 ω =? cosα = α =? 4b. c) sin 30 = cosα = 0, 5 α =? tg β = 6, 543 β =? 3b 2 Daný je pravouhlý trojuholník ABC. Prepona meria 7,2 cm, uhol β = 38. a) Urči ostatné prvky trojuholníka. 5b. b) Urči jednu odvesnu a uhol α goniom. funkciami 4b. c) Urči jednu odvesnu a uhol α dopočítaním do 180 3b. 3. Na obrázku je daný pravouhlý lichobežník. Určte jeho obvod a obsah. Vypočítané údaje D C zaokrúhlite na celé čísla. a) a = 28cm, c = 16 cm, β = 37 6b. b) a = 28cm, b= 15cm, c = 16cm 4b. c) a = 28cm, c = 16cm, d = 9 cm 3b. A 4. Určte obsah trojuholníka ABC, ktorý má dané rozmery: a) a = 6cm, b = 7cm, c = 9cm. 4b. b) a = 6cm, b = 7cm, γ = 45 3b. c) a = 6cm, v a = 4cm 2b. B 5. Maškrtník Oliver mal doma tri rovnaké oblátky tvaru kruhu. Na obrázku je znázornené, koľko zjedol každý deň. Zvyšok nechal súrodencom. Vypočítajte: ( priemer- 20cm, uhol- 65, hrúbka medzikružia-1cm) a) b) c) 5b. 4b. 3b. 6. Daný je pravidelný 12-uholník. Urči jeho obvod a obsah, ak je dané: a) polomer opísanej kružnice 10cm 5b. b) polomer vpísanej kružnice 8cm 4b. c) veľkosť strany a = 6cm 3b. BODOVANIE:

16 GRADOVANÁ PÍSOMNÁ PRÁCA Kombinatorika 1. a/ Koľko existuje štvorciferných prirodzených čísel ak: a/ cifry sa neopakujú 4b. b/ cifry sa môžu opakovať b/ Koľko rôznych telefónnych čísel možno zapojiť, ak sú šesťmiestne, 3b. nezačínajú sa nulou a číslice sa nemôžu opakovať? c/ Koľko existuje štvorciferných čísel vytvorených z číslic 1,3,5,7,9, 2b. ak sa číslice nemôžu opakovať? 2. a/ Vyučujúci má k dispozícii 20 príkladov z geometrie a 30 z aritmetiky. 4b. Na kontrolnú prácu má vybrať 5 tak, aby 2 boli z geometrie a 3 z aritmetiky. Koľko existuje možností? b/ V triede je 12 chlapcov a 10 dievčat. Koľko rôznych 12 členných druž- 3b. stiev možno vytvoriť, ak majú byť zložené zo 4 dievčat a 8 chlapcov? c/ Koľko možností je na vytvorenie tanečného páru, ak je k dispozícii 2b. 5 chlapcov a 6 dievčat? - 3. a/ Z koľkých prvkov možno vytvoriť 66 kombinácií druhej triedy 5b. bez opakovania? b/ Z koľkých prvkov možno vytvoriť 132 variácií druhej triedy 4b. bez opakovania? ( x 1 )! x! c/ Rieš rovnicu: = 79 ( x 3 )! ( x 1 )! 3b. 4. x 6 x 2 Riešte rovnicu: a/ = 31 x 8 x 3 5b. x 1 x 2 b/ + = 4 x 2 x 4 4b. c/ x x 1 + = b Urči binomický rozvoj : a/ ( x y ) 4b. b/ ( 3 a 2) 3b. 3 ( 2 x + 3) c/ 2b Urči štvrtý člen binomického rozvoja x b/ a/ 1 y c/ ( a + 2b) 7 4b. 3b. 2b. Hodnotenie:

17 2. 6 TESTY NA PC Hlavná štruktúra testu je vytvorená autorom Petrom Žočkom. Každý vyučujúci si zadanie testu aj grafiku vytvára sám. Test má tieto možnosti - miešanie otázok - vyhodnotenie odpovedí - klasifikácia stanovená vyučujúcim - správne odpovede - stanovenie času Testy sú vhodné na rýchle preverenie vedomostí. Ukážky: Postupnosti Analytická geometria POSTUPNOSTI 17

18 18

19 19

20 20

21 ANALYTICKÁ GEOMETRIA 21

22 22

23 23

24 2.7. PREZENTÁCIE Prezentácie sú vypracované vyučujúcou a spracované na PC v Power Pointe konzultantkou na každý tematický celok. Slúžia na zopakovanie tematického celku. Pretože sa v nich vyskytujú aj netradičné úlohy, najvhodnejšia je skupinová práca formou súťaženia. Prezentácie patrili medzi najobľúbenejšie produkty projektu. 24

25 Matematika 25

26 Opakovanie 1. Dané sú množiny A,B s vlastnosťami: A={ x є N; x 2 < 9} B={ x є Z; -2 < x < 2} a) vymenuj prvky množiny A,B b) urči A B; A U B A = { 1,2} B = { -1, 0, 1} A B = {1} A U B = { -1,0,1,2} 26

27 2. Úpravou daného výrazu x dostaneme: 3 a) b) x c) 3 x x 27

28 3. Napíš dané čísla v tvare a.10 n a vypočítaj výsledok 1< a < 10 0, , Zápis: 3, , Výsledok: 10 3 =

29 matematika 4. KTO JE TO? Euklides obsah trojuholníkov otec-zakladateľ algebry Pytagoras určil Ludolphovo číslo veta o prepone a odvesnách vety o výške a odvesnách kružnica vrcholov pravých uhlov Heron Thales 2299

30 5. Na obrázkoch sú graficky určené tri množiny, H,K a M. Ktoré z nich nepredstavujú funkciu a prečo? Pretože k jednému vzoru je priradených viac obrazov 30

31 6. Urči definičný obor a obor funkčných hodnôt danej funkcie D(f)=<-3; ) H(f)=<-2;-1)U<3;4> 31

32 7. Na obrazovke máte 3 grafy a rovnice. Priraď ku každému grafu jednu správnu rovnicu y=ax-4 y=x+b y=-x+b y=ax+4 y=ax 32

33 9. Maškrtník Projektko mal doma tri okrúhle oblátky. Na troch obrázkoch máte znázornené, koľko zjedol prvý, druhý a tretí deň. Ktorý deň zjedol najviac a koľko? (priemer= 20 cm, stredový uhol=65, hrúbka medzikružia je 1 cm) 1.deň 2.deň 3.deň 60cm 2 33

34 2.8. ŽIACKE PROJEKTY Žiacke projektové práce slúžia na samostatnú prácu žiakov, na ktorej môžu pracovať aj doma. Veľkosť tímu si volia sami, najčastejšie ide o dvojice. K danej téme, ktorú si môžu vybrať, dostanú od vyučujúcej pracovný list, ktorý slúži na usmernenie a zadanie úloh. Každý pracovný list obsahuje: - tému projektu - hlavný cieľ - špecifické ciele - úlohy - spôsob hodnotenia - odporúčanú literatúru - termín konzultačných hodín - termín zadania a odovzdania práce Všetky projektové práce boli odprezentované na hodinách matematiky a najlepšie práce boli použité na otvorenej hodine. Témy projektov: Učebňa budúcnosti Skrotenie grafov Slávni matematici Maturity po novom Projektové práce študentov uvádzame v originálnej zostave bez opráv vyučujúcich. 34

35 Projektová práca č. 3 Hlavný cieľ: Vytvoriť pomôcku na skrotenie grafov Špecifické ciele: 1. Naučiť sa pracovať s programom DERIVE na PC 2. Vypracovať recept na ľahšie zvládnutie grafov rôznych funkcií 3. Naučiť sa využívať spätnú väzbu pri kontrole vedomostí 4. Vedieť zhodnotiť svoju prácu a vedomosti 5. Určiť výhody svojho projektu 6. Naučiť sa pracovať v tíme Úlohy: 1. Precvičte si v programe DERIVE grafy rôznych funkcií 2. - vypracujte pracovný list na kreslenie funkcií s využitím DERIVE /pracujte len na počítači/ - vypracujte pracovný list vo WORDE /pracujte bez počítača grafy črtajte/ 3. Obidva pracovné listy porovnajte a korigujte svoje výsledky 4. Ohodnoťte svoje výsledky slovne aj známkou 5. Zdôvodnite klady - prínosy svojho projektu 6. Posúďte výhody a nevýhody práce v tíme Spôsob hodnotenia: - porozumenie a interpretácia úloh 1-10 bodov - vhodné použitie rovníc pre funkcie správnosť grafického riešenia úroveň zdôvodnenia prínosu svojho projektu rozsah spracovania daného projektu estetická stránka projektu originalita riešenia prezentácia projektu výborný chválitebný dobrý dostatočný Odporúčaná literatúra : Matematické tabuľky, Prehľad stredoškolskej matematiky, učebnice matematiky, Derive 5 Matematika na počítači pre dospelých Adresy na www. stránkach: Konzultácie : počítačová učebňa utorok p. Paulenková p. Zelezníková Dátum zadania a odovzdania projektu:

36 Liineárne, e kvadratiické, exponenciiállne, n llogariitmiické a goniometriické i funkciie Peter Boháčiik Pavoll Nosko 2..B/2 36

37 Úvod Grafy sú pre niekoho len určitými obrazcami s dvomi osami a priamkou či krivkou, ktoré im nič nehovoria. Pre tých, ktorí im porozumejú a vedia ich využívať, sa však môžu stať veľmi užitočnou pomôckou, s uplatnením na väčšine hodín matematiky, zaoberajúcich sa funkciami. Či už ide o lineárne, kvadratické, exponenciálne, logaritmické alebo goniometrické funkcie, vždy sa niečím líšia a tým sú stále výnimočné. Keď si dokáže študent vo svojej mysli predstaviť graf určitej funkcie bez toho, aby ovládal kvantum náročnej teórie, ľahko z neho vyčíta mnohé informácie (definičný obor, obor funkčných hodnôt, monotónnosť, hodnoty...). S grafmi sa však dá aj príjemne zahrať. A práve to je cieľom nášho projektu Skrotenie grafov. Ako veľmi užitočná pomôcka na prácu s grafmi sa nám ukázal matematický program DERIVE. Stačí chvíľka trpezlivosti naučiť sa základné pokyny a z grafov sa stávajú naši priatelia. 37

38 Test Program DERIVE nám veľmi pomohol pri zostavovaní testu na preverenie vedomostí o grafoch. Úlohy sme vyberali tak, aby v ňom boli zahrnuté všetky typy prebraných funkcií od lineárnych až po goniometrické. Test tvorí 8 príkladov v dvoch variantoch: 1. klasický test na pracovných listoch 2. test v prezentácii PowerPoint Test je zostavený tak, aby ho po prebraní lineárnych, kvadratických, exponenciálnych, logaritmických a goniometrických funkcií a po krátkom zopakovaní mohol zvládnuť každý študent. Zaujímavou alternatívou by mohlo byť, keby si riešitelia mohli sami skontrolovať svoje výsledky pomocou programu DERIVE. Zamýšľali by sa nad svojimi chybami a brali si z nich ponaučenie. Veď z vlastných chýb sa človek najviac naučí. A ako sme dopadli my? Najprv sme si zostavili 2 podobné testy (každý z nás vlastný). Tým, že sme hľadali vhodné úlohy, postupne sme prešli všetkými funkciami a tým si aj zopakovali rôzne typy grafov. Po zostavení testov sme si ich navzájom vymenili, spustili čas 45 minút a obaja sme sa pustili do počítania. S niektorými úlohami sme sa síce trochu potrápili, ale obidva testy dopadli veľmi dobre. Jednotky ako hrom. Preto by bolo podľa nás veľmi výhodné vypracovávať podobné testy v rámci hodín matematiky. Študenti by si zostavovali testy (mohli by byť aj kratšie, napr. 5 minútové) a po kontrole správnosti profesorom by si ich povymieňali a riešili. A určite by sa to odrazilo na výsledných známkach z matematiky. V súčasnosti to však nie je také jednoduché. Hodín matematiky je totiž dosť málo (často to nepostačuje ani na prebranie základného učiva) a preto oceňujeme možnosť takýchto aktivít v rámci projektov. Test a správne odpovede sú súčasťou príloh 38

39 Lineárne, kvadratické,, exponenciálne, logaritmické a goniometrické funkcie 39

40 Úloha č. 1 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Graf ktorej z týchto funkcií bude rovnobežný s grafom funkcie y = 3x 5 a) b) c) y = 3x + y = 3x y = 3.(x 5) d) y = 3.(x 5) «Riešenia» Ďalej 40

41 Úloha č. 2 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Priraďte k danému grafu správnu funkciu a) b) c) d) 2 y = x 2 3 y = 3x 2 y = 2x 3 2 y = x 2 3 «Riešenia» Späť Ďalej 41

42 Úloha č. 3 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Doplňte tabuľku a načrtnite graf y = 2x + 1 ak x -2 2 y -3 5 x 2;2 «Riešenia» Späť Ďalej 42

43 Úloha č. 4 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Načrtnite grafy: a) y = 4x + 1 b) y = x 2 c) y = x + 4x + 6 d) y = y=(x 2 +4x+4)+2 y= (x-2) 2-1 y=(x+2) 2+ 2 x x + 3 «Riešenia» Späť Ďalej 43

44 Úloha č. 5 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Ktorá funkcia patrí danému grafu? a) b) c) y = 4x y = x y = x x 1 + 2x + 3 c) y=(x 2 +2x+1)+2 y=(x+1) 2 +2 b) y=(x 2 +2x+1)-2 y=(x+1) 2-2 «Riešenia» Späť Ďalej 44

45 Úloha č. 6 Úloha č. 1 Úloha č Načrtnite do jedného grafu: Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 x y = 2 x y = 2 y = 2 x 1 x y = 2 y = 2 x 1 Úloha č. 8 x y = 2 «Riešenia» Späť Ďalej 45

46 Úloha č. 7 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Na obrázku je znázornený graf funkcie y = log x. Vkreslite do neho grafy funkcií: a) b) c) y = log x + 1 y = log x 1 y = log(x + 1) y = log x + 1 y = log x y = log(x + 1) y = log x 1 «Riešenia» Späť Ďalej 46

47 Úloha č. 8 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č Načrtnite grafy: a) y = cos x + 1 b) π y = sin(x + ) 2 -π/2 π 2π c) y = sin 0,5x d) y = sin x π π 2π π 2π «Riešenia» Späť Riešenia 47

48 Dúfame, že e test dopadol čo o najlepšie, ak nie, nevadí. Peter Boháčik Pavol Nosko 2.B/2 48

49 Záver Hovorí sa, že človek je tvor zábudlivý. Je to pravda a všetci sme si toho vedomí. Preto učenie sa naspamäť bez toho, aby sme tomu chápali, nemá absolútne žiadny zmysel. Keď však niečomu rozumieme a hľadáme súvislosti s inými poznatkami, omnoho ťažšie to zabudneme. A to je potrebné dosiahnuť. Aj náš test by mal určite väčší význam, keby sa pred ním uskutočnilo niekoľko voľnejších hodín, na ktorých by študenti pracovali s grafmi (napr. prostredníctvom programu DERIVE), dopĺňali si svoje vedomosti navzájom a hlavne, aby logicky chápali tomu čo robia. Opäť je tu však problém nedostatku času na vyučovacích hodinách a s tým sa prakticky nedá nič urobiť. Lenže, aby si niekto večer pred podobným testom sadol k zošitu a začal sa bifliť tvary grafov, či poučky, to naozaj nemá zmysel a je to úplne zbytočné.... Matematike treba porozumieť. A ešte niečo na koniec Vypracovať takýto projekt si vyžaduje mnoho úsilia, preto oceňujeme možnosť práce v tíme. Obaja sme si mohli navzájom vymieňať svoje názory a vylepšovať rôzne nápady. A to môže byť len prínosom. Určite sa nájdu aj jednotlivci, ktorí tento systém dokážu zneužiť, ale to je len na ich škodu a v konečnom dôsledku na to iba doplatia. 49

50 Prílohy Test na pracovnom liste Správne riešenia k pracovnému listu Disketa s testom v prezentácii PowerPoint a jeho správnymi riešeniami 50

51 2.9. MATURITNÉ TÉMY Nakoľko v tomto školskom roku prebieha po prvý raz maturitná skúška novou formou, rozhodli sme sa so žiakmi vypracovať okruhy požiadaviek úrovne A a úrovne B. Jednotlivé okruhy oboch úrovní navrhnú žiaci aj vyučujúca. Cieľom obojstranného návrhu je porovnať náročnosť zadanú žiakmi a vyučujúcou. Ukážka: Maturitná téma POSTUPNOSTI Žiacky a učiteľský projekt 51

52 UČITEĽSKÝ PROJEKT Postupnosti - Úroveň A Postupnosť- funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Určenie postupnosti:.} pojem: -nekonečná postupnosť zápis a } 1) vymenovaním {2,4,6,8,... { n n=1 je definovaná na množine všetkých N čísel 2) vzorcom pre n-tý člen { n} n=1 a = n { 2 } n=1 k -konečná postupnosť - zápis { } = 3) rekurentne pomocou predchádzajúceho člena an n 1 je definovaná na k prirodzených číse 4) graficky Monotónnosť postupnosti {n-1} 4 n=1 - postupnosť a } je rastúca, ak pre všetky nєn; an < an+1 - postupnosť - postupnosť { n n=1 { n} n=1 { n} n=1 { n} n=1 { n} n=1 a je klesajúca, ak pre všetky nєn; an > an+1 a je konštantná, ak pre všetky nєn; an = an+1 a zdola ohraničená, ak d R a platí a n d - postupnosť sa nazýva a zhora ohraničená, ak h R a platí a n h - postupnosť sa nazýva - postupnosť je ohraničená, ak je ohraničená zdola a zhora Aritmetická postupnosť Postupnosť sa nazýva aritmetická práve vtedy, keď je rozdiel ľubovoľného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena stály (konštantný ; d= diferencia) a n-1 + a n+1 n a n+1 -- a n = d, a n+1 = a n + d a n = sn = (a 1 + a n ). ( súčet prvých n členov) 2 2 a n = a 1 + (n-1).d a s = a r + (s-r).d Geometrická postupnosť Postupnosť je geometrická práve vtedy, ak podiel ľubovolného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena je stály. (konštantný; q = kvocient) n a n+1 q - 1 q = a n+1 = a n. q (rekurentný vzťah) a n = a 1. q a n-1 sn = a 1. (ak q =/ 1) sn=n.a1 (ak q = 1) q - 1 n a n = a n+1. a n-1 a s = a r. q (s-r) Nekonečný číselný rad Ak { n} n=1 a je postupnosť čísel, potom výraz a1 + a an +...= { n} n=1 a n=1 Ak je geometrická postupnosť, potom n n=1 a sa nazýva nekonečný číselný rad. n a = a1 + a an +...= a1 + a1q + a1q a1q n-1 +. sa nazýva nekonečný geometrický rad. Pre nekonečný číselný rad môžu nastať dve možnosti: 1) Existuje číslo s, pre ktoré platí a = s. Takýto nekonečný rad sa nazýva konvergentný ( blíži sa k nejakému súčtu) n=1 n 2) Neexistuje také číslo s, nekonečný rad sa nazýva divergentný ( neblíži sa k nejakému súčtu číslu) Nekonečný geom. rad je konvergentný, keď -1< q < 1 ( q <1). Potom jeho súčet vypočítame Ak q > 1 nekonečný geometrický rad je divergentný a nemá s. a 1 s = 1- q. 52

53 Využitie postupnosti v praxi: - využitie v spoločenskej praxi ( prírastok obyvateľstva, vzrast výroby, amortizácia- opotrebovanie predmetov, zložené úrokovanie) - význam pri plánovaní, prognostikovaní Používa sa vzorec a n = a 0. r n p an...konečná hodnota, a0...začiatočná hodnota r...úročiteľ, n... počet období, r = ( )...pravidelný vzrast r = ( )...pravidelný pokles ( amortizácia) Zložené úrokovanie ak na začiatku niektorého roka uložíme na vkladnú knižku s p % -úrokovaním poč. sumu a (Sk) a nijakú sumu nevyberáme ani nevkladáme každý rok pribudne p % zo sumy ktorá obsahuje aj úroky z predchádzajúceho obdobia. Úlohy o sporení s pravidelným vkladom ( na konci celého obdobia musíme urobiť súčet) n r - 1 p sn = a 0r. r= ( ) r...úročiteľ, n...počet roč. období, a0...pravidelný ročný vklad r - 1 p 53

54 Postupnosti Úroveň B Postupnosť- funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Určenie postupnosti: pojem: -nekonečná postupnosť zápis a } 1) vymenovaním {2,4,6,8,...} { n n=1 je definovaná na množine všetkých N čísel k -konečná postupnosť - zápis { } = 2) vzorcom pre n-tý člen an n 1 { n} n=1 a = n { 2 } n=1 je definovaná na k prirodzených čísel 3) rekurentne pomocou predchádzajúceho Monotónnosť postupnosti 4) graficky - postupnosť a } je rastúca, ak pre všetky nєn; an < an+1 {n-1} 4 n=1 - postupnosť - postupnosť { n n=1 { n} n=1 { n} n=1 a je klesajúca, ak pre všetky nєn; an > an+1 a je konštantná, ak pre všetky nєn; an = an+1 Aritmetická postupnosť Postupnosť sa nazýva aritmetická práve vtedy, keď je rozdiel ľubovoľného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena stály (konštantný ; d= diferencia) a n+1 -- a n = d, a n+1 = a n + d a n-1 + a n+1 n a n = sn = (a 1 + a n ). ( súčet prvých n členov) 2 2 a n = a 1 + (n-1).d a s = a r + (s-r).d Geometrická postupnosť Postupnosť je geometrická práve vtedy, ak podiel ľubovolného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena je stály. (konštantný; q = kvocient) a n+1 q = a n+1 = a n. q (rekurentný vzťah) a n n q - 1 a n = a 1. q n-1 sn = a 1. (ak q =/ 1) sn=n.a1 (ak q = 1) q - 1 a n = a n+1. a n-1 a s = a r. q( s-r) Využitie postupnosti v praxi: - využitie v spoločenskej praxi ( prírastok obyvateľstva, vzrast výroby, amortizácia- opotrebovanie predmetov, zložené úrokovanie) - význam pri plánovaní, prognostikovaní používa sa vzorec a n = a 0. r n an...konečná hodnota, a0...začiatočná hodnota r...úročiteľ, n... počet období, r = p 1+ )...pravidelný vzrast - tento vzťah sa používa aj pri zloženom úrokovaní ( 100 p ( 100 r = 1- )...pravidelný pokles ( amortizácia) n r - 1 p sn = a 0r. r= ( ) r - 1 r...úročiteľ, n...počet roč. období, a0...pravidelný ročný vklad 54

55 PRÍKLADY - ÚROVEŇ A: 1. Veľkosť strán pravouhlého trojuholníka tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Dlhšia odvesna má dĺžku 12 cm. Vypočítajte obvod trojuholníka. 2. V športovej hale sú miesta pre divákov určené na sedenie v 25 radoch. V najnižšom rade je 800 sedadiel, v najvyššom rade sedadiel. Koľko je v hale všetkých sedadiel, ak vzrast počtov sedadiel je od nižšieho radu k vyššiemu vždy rovnaký. 3. Určte a1 a d ak a3 + a6 = Určte a1 a d ak a2 + a5 - a3 = 10 a4 + a5 = 36 a2 + a9 = Geometrická postupnosť je určená a5 + a6 = 96, a1 =? 6. Geometrická postupnosť je určená sn = a7 - a5 = 96 q =? q = 2; a1 = 8 sn = n =? n =? an =? 7. Určte poradie podčiarknutého člena postupnosti: -1, 2, -4,..., Geometrická postupnosť je určená a3 a1 = 24 a5 - a1 = 624 s6 =? 1 9. Zistite či nekonečný číselný rad n=1 n s je konvergentný. Ak áno, určte jeho súčet : 10. Napíšte dané čísla v tvare zlomku, aby čitateľ a menovateľ boli celé čísla: 0, 28 ; 0, Riešte rovnicu : (x-1) + (x-1) 2 + (x-1) = Dnes žije v meste obyvateľov. Vypočítajte pravdepodobný počet obyvateľov v meste o 15 rokov za 3 predpokladu, že ročný prírastok bude 1 4 %. 13. Prístroj má cenu Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na Sk. Vypočítajte % odpisu. 14. Novorodeniatko dostalo pri narodení vkladnú knižku s 1000 Sk na 12 % úrok. Koľko bude mať v deň 18. narodenín. 15. Koľko rokov potrebujem (n), aby sme nasporili Sk (s) ak začiatkom každého roka vkladáme do sporiteľne 3000 Sk (a) na vkladnú knižku so 4 % úrokovaním. 16. Nový počítač stojí Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na Sk. Vypočítajte % odpisu. { a n } n=1 17. Vyšetrite a dokážte monotónnosť postupnosti, { a n } n=1 18. Vyšetrite a dokážte ohraničenosť postupnosti, a n a n n = n +1 n = n Zistite počnúc ktorým členom postupnosti platí nerovnica: a n < 10 3, kde 20. V aritmetickej postupnosti a2 + a5 a3 = 10 a2 + a9 = 17, a1 =?, d =? 21. Koľko trojciferných čísel je deliteľných 7? 1 a n = 2 n 22. Štvrtý člen GP je väčší ako druhý člen o 24 a súčet druhého a tretieho člena je 6. Určte túto postupnosť Vypočítajte súčet geometrického radu: Riešte rovnicu: x = 2 x x x 3x

56 Príklady z monitorov: M1: V aritmetickej postupnosti { n} n=1 a je a1 = 7, a11 = 10. Určte hodnotu stého člena tejto postupnosti. (2003) M2: Nech a1, a2, a3,... je aritmetická postupnosť prirodzených čísel s diferenciou d = 99. Najviac koľko trojciferných čísel môže táto postupnosť obsahovať? (2002) M3: V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo 4. rade je 10 sedadiel, v 12. rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v 24. rade? a) 36 b) 40 c) 50 d) 52 e) 58 (2001) M4: V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9-krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen? a) 81-krát b) 54-krát c) 36-krát d) 27-krát e) 18-krát (2001) M5: V krajine Hypoteland bolo presne obyvateľov. Ročný prírastok obyvateľstva v tejto krajine je presne 2% Určte presný počet obyvateľov v tejto krajine k (2003) 56

57 PRÍKLADY - ÚROVEŇ B: 1. Veľkosť strán pravouhlého trojuholníka tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Dlhšia odvesna má dĺžku 12 cm. Vypočítajte obvod trojuholníka. 2. V športovej hale sú miesta pre divákov určené na sedenie v 25 radoch. V najnižšom rade je 800 sedadiel, v najvyššom rade sedadiel. Koľko je v hale všetkých sedadiel, ak vzrast počtov sedadiel je od nižšieho radu k vyššiemu vždy rovnaký. 3. Určte a1 a d ak a3 + a6 = Určte a1 a d ak a2 + a5 - a3 = 10 a4 + a5 = 36 a2 + a9 = Geometrická postupnosť je určená a5 + a6 = 96, a1 =? 6. Geometrická postupnosť je určená sn = a7 - a5 = 96 q =? q = 2; a1 = 8 sn = n =? n =? an =? 7. Určte poradie podčiarknutého člena postupnosti: -1, 2, -4,..., Geometrická postupnosť je určená a3 a1 = 24 a5 - a1 = 624 s6 =? 9. Zistite či nekonečný číselný rad 1 je konvergentný. Ak áno, určte jeho súčet : n=1 n s 10. Napíšte dané čísla v tvare zlomku, aby čitateľ a menovateľ boli celé čísla: 0, 28 ; 0, Riešte rovnicu : (x-1) + (x-1) 2 + (x-1) = Dnes žije v meste obyvateľov. Vypočítajte pravdepodobný počet obyvateľov v meste o 15 rokov za predpokladu, 3 že ročný prírastok bude 1 4 %. 13. Prístroj má cenu Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na Sk. Vypočítajte % odpisu. 14. Novorodeniatko dostalo pri narodení vkladnú knižku s 1000 Sk na 12 % úrok. Koľko bude mať v deň 18. narodenín. 15. Koľko rokov potrebujem (n), aby sme nasporili Sk (s) ak začiatkom každého roka vkladáme do sporiteľne 3000 Sk (a) na vkladnú knižku so 4 % úrokovaním. 16. Nový počítač stojí Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na Sk. Vypočítajte % odpisu. Príklady z monitorov: M1: V aritmetickej postupnosti { n} n=1 a je a1 = 7, a11 = 10. Určte hodnotu stého člena tejto postupnosti. (2003) M2: Nech a1, a2, a3,... je aritmetická postupnosť prirodzených čísel s diferenciou d = 99. Najviac koľko trojciferných čísel môže táto postupnosť obsahovať? (2002) M3: V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo 4. rade je 10 sedadiel, v 12. rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v 24. rade? a) 36 b) 40 c) 50 d) 52 e) 58 (2001) M4: V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9-krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen? a) 81-krát b) 54-krát c) 36-krát d) 27-krát e) 18-krát (2001) M5: V krajine Hypoteland bolo presne obyvateľov. Ročný prírastok obyvateľstva v tejto krajine je presne 2% Určte presný počet obyvateľov v tejto krajine k (2003) 57

58 ŽIACKY PROJEKT - POSTUPNOSTI 58

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63

64 2.10. HLAVOLAMY Novým trendom prijímacích pohovorov sú mnohokrát aj logické úlohy -hlavolamy. Preto sme tieto typy zaradili na rozcvičku na hodiny matematiky. Úlohou žiakov bolo na podobnom princípe vytvoriť svoje vlastné hlavolamy a zozbierať ich do zbierky. Vytvorené hlavolamy sú pripravené aj na CD. 64

65 V istej vedeckej encyklopédii je Isaac Newton na strane 101, Charles Darwin na strane 651 a Albert Einstein na strane 52. Na ktorej strane je George Simon Ohm? ODPOVEĎ: na strane 2001, sčítajú sa rímske číslice obsiahnuté v mene. 65

66 Každý znak má určitú číselnú hodnotu. Čo logicky partí namiesto otáznika?? A 8 B 19 C 17 D 15 E 10 F 66

67 3. ZÁVER Výsledným produktom projektu má byť: - nová osobnosť žiaka - metodická príručka - publikovanie projektových prác Po troch rokoch intenzívnej práce môžeme konštatovať, že k výslednému produktu, ktorý bol stanovený na začiatku našej práce, sme sa postupne priblížili. Nová osobnosť žiaka -žiaci pohotovo pracujú v skupinách, pri počítači, ovládajú rôzne druhy programov / Excel, Access, Power Point, Derive /, vedia v nich tvoriť projekty, zostaviť hlavolamy, vedia zodpovedne a s patričnou náročnosťou určiť svoje požiadavky na maturitnú skúšku, vedia si podľa svojich schopností vybrať pri písomných prácach k sebe zodpovedajúcu náročnosť príkladov a tým sa ohodnotiť. Metodická príručka nejde tu o klasickú metodickú príručku, pretože každý učiteľ je osobnosťou, ktorá vie riadiť vyučovací proces a nepotrebuje mať postup predpísaný. Ide o príručku netradičných metód, ku ktorým možno všetci učitelia nemali prístup a mohla by im pomôcť vo vyučovaní, a tým ho zmodernizovať. Publikovanie projektových prác žiakov a učiteľov -v záverečnej správe je uvedených len niekoľko ukážok z každého produktu. Ostatné práce, žiacke alebo vyučujúcej a konzultantky sú v prílohách Matematika a na CD. Sme radi, že sme sa mohli zapojiť do tohto projektu, a tým obohatiť svoje aj žiacke vedomosti, priblížiť žiakom matematiku aj zábavnejším spôsobom a naučiť žiakov bez väčších problémov pohotovo reagovať na požiadavky doby- informačno-technologickú komunikáciu. Veľký význam má aj integrácia do vyučovania matematiky do všetkých učebných skupín, čím je poskytnutá rovnosť šancí pre všetkých žiakov. Svoj význam má aj vypracovanie prezentácie trojročnej práce, Metodickej príručky a prílohy Matematika , ktoré budú tvoriť ponuku pre vyučujúcich iných škôl, čím sa v nemalej miere spropaguje program NK Sokrates. RNDr. Radoslava Paulenková Mgr. Lujza Zelezníková 67

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018

TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Testy a úlohy z matematiky

Testy a úlohy z matematiky Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015

MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

TEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,

TEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina,

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

Matematika test M-1, 2. časť

Matematika test M-1, 2. časť M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Maturita z matematiky T E S T Y

Maturita z matematiky T E S T Y RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:

1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy: 1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,

Διαβάστε περισσότερα

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy 1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty

Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium

Maturitné úlohy. Matematiky. Pre gymnázium Jozef Vozár Maturitné úlohy Z Matematiky Pre gymnázium I. (Úlohy s krátkou odpoveďou) OBSAH ÚVOD... 3 1. ZÁKLADY MATEMATIKY... 3 1.1 Logika a množiny... 3 1.2 Čísla, premenné a výrazy... 7 1.3 Teória čísel...

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník

Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:

Διαβάστε περισσότερα

Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =

Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + = 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014

PYTAGORIÁDA Súťažné úlohy republikového kola 35. ročník, školský rok 2013/2014 Kategória P 6 1. Napíšte číslo, ktoré sa skrýva pod hviezdičkou: *. 5 = 9,55 2. Janko Hraško je 25 - krát menší ako Ďuro Truľo. Napíšte, koľko centimetrov meria Janko Hraško, ak Ďuro Truľo meria 1,75 metra.

Διαβάστε περισσότερα

P Y T A G O R I Á D A

P Y T A G O R I Á D A 30 P Y T A G O R I Á D A Súťažné úlohy a riešenia celoštátneho kola Kategórie P6 - P8 30. ročník Školský rok 2008/2009 BRATISLAVA, 2009 Súťažné úlohy celoslovenského kola. Školský rok 2008/2009. Kategória

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Ohraničenosť funkcie

Ohraničenosť funkcie VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

Hodnotenie a interpretácia výsledkov testu externej časti maturitnej skúšky v šk. roku 2007/2008. matematika úroveň A a B. RNDr.

Hodnotenie a interpretácia výsledkov testu externej časti maturitnej skúšky v šk. roku 2007/2008. matematika úroveň A a B. RNDr. Hodnotenie a interpretácia výsledkov testu externej časti maturitnej skúšky v šk. roku 007/008 matematika úroveň A a B RNDr. Eva Strelková Bratislava 008 Obsah Úvod... 1 Charakteristika testu z matematiky

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Kód testu NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU!

Kód testu NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Kód testu 1203 NEOTVÁRJTE, POČKJTE N POKYN! PREČÍTJTE SI NJPRV POKYNY K TESTU! MTURIT 2015 EXTERNÁ ČSŤ Časť I Vyriešte úlohy 01 až 20 a do odpoveďového hárka zapíšte vždy iba výsledok nemusíte ho zdôvodňovať

Διαβάστε περισσότερα

tretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.

tretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo. Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK

MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK MATEMATIKA - úlohy z MONITOROV a MSK P.č. Tematické celky Strana 1 1.1 - Výroky 1 1.. - Množiny 4 3.1. - Výrazy 6 4 3.1. - Teória čísel 7 5 4.1. - Rovnice 9 6 4.. - Nerovnice 11 7 4.3. - Sústavy rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

Tematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník

Tematický výchovno-vzdelávací plán. z matematiky. pre 9. ročník výchovnovzdelávací plán z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 5 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok: 2014/2015

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

Rentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice.

Rentový počet. Rentový počet. Monika Molnárová. Technická univerzita Košice. entový počet Monika Molnárová Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 entový počet Úvod Polehotná renta s konštantnou splátkou Polehotná renta s rovnomerne rastúcou splátkou Predlehotná

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

1. Trojuholník - definícia

1. Trojuholník - definícia 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka

Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity

Fakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity Poznámka k úlohám o funkciách: Ak nie je uvedené inak, je definičným oborom funkcie množina všetkých reálnych čísel, pre ktoré výraz definujúci funkciu má zmysel. 0 Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je

Διαβάστε περισσότερα