ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

Transcript

1 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD

2 Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ Za izdavača MILOLJUB ALBIJANIĆ direktor i glavni urednik Ministar prosvete Republike Srbije, svojim rešenjem broj /008-06, od godine, odobrio je ovu ZBIRKU REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE za izdavanje i upotrebu u drugom razredu gimnazija CIP- Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 706 : 5075)076) BOGOSLAVOV, Vene T, 9- Zbirka rešenih zadataka iz matematike / Vene Bogoslavov - 5 ispravljeno izd - Beograd: Zavod za udžbenike, 0 Beograd: Cicero) str : graf prikazi, tabele; 0 cm Tiraž Str 4: Predgovor/ Dobrilo Tošić, Miloljub Albiijanic - Beleška o autoru: str Bibliografija ISBN COBISSSR-ID c ZAVOD ZA UDŽBENIKE, Beograd 008 0) Ovo delo se ne sme umnožavati i na bilo koji način reprodukovati, u celini niti u delovima, bez pismenog odobrenja izdavača

3 S ljubavlju snahi Sonji i sinu Draganu

4 PREDGOVOR Ovo je trideset peto izdanje Prvo izdanje je publikovano januara 97 godine Do sada je ukupan tiraž bio blizu primeraka, što je svojevrsan rekord!! Većina autora u svakom novom izdanju dodaju nove sadržaje To je slučaj i sa ovom knjigom Broj zadataka se stalno povećavao, pri čemu je zanemarivana provera ili poboljšavanje postojećih zadataka Zbog toga je proizašla potreba da se knjiga sistematski i detaljno pregleda Na inicijativu Zavoda ovo izdanje je kardinalno ispravljeno Ovog mukotrpnog i dugotrajnog posla prihvatio se prvo potpisani Svaki zadatak je detaljno rešen i mnogi rezultati su provereni na računaru Pri tome je primećen i otklonjen veliki broj štamparskih i još veći broj stvarnih grešaka Naravno, teško je ispraviti sve greške, pogotovo kada ih ima mnogo Kao uteha, često se kaže da nisu dobre one knjige u kojima nema grešaka Do navedene inicijative je došlo i zbog saznanja da ova značajna knjiga ima veliku odgovornost i ulogu u procesu matematičkog obrazovanja u Srbiji, s obzirom da se decenijama preporučuje velikom broju učenika Interesantno je da većina učenika srednjih škola gradivo iz matematike savlad - uju isključivom upotrebom zbirki zadataka Dakle, matematika se uči rešavanjem zadataka Mnogi nisu nikada otvorili udžbenik, ili za njega nisu čuli da postoji Izgleda da je i nastavnicima lakše da tako rade, zaboravljajući da je dobra teorija najbolja praksa To je dovelo do toga da se prosek nivoa znanja matematike svake godine smanjuje U zadnjih nekoliko godina osvojeno je dosta medalja na matematičkim olimpijadama svake godine sve više i više Med - utim, sredina je sve slabija i slabija To se najbolje vidi kada se pogledaju tekstovi zadataka iz matematike sa prijemnih ispita na fakultetima Ova knjiga sadrži pored jednostavnih i veliki broj težih ali lepih zadataka Upravo je to bio razlog da se otklone greške i mnogi nedostaci Nadamo se da će ovako osvežena knjiga doživeti još dosta izdanja Beograd, maja 0 Dobrilo Tošic Miloljub Albijanić

5 S A D R Ž A J I GLAVA Rešenja) STEPENOVANJE I KORENOVANJE 9 90) Stepen čiji je izložilac ceo broj 9 90) Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj Osnovne operacije sa stepenima i korenima6 9) Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 50 07) II GLAVA KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA 54 09) Kvadratna jednačina 54 09) Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce 6 4) Neke jednačine koje se svode na kvadratne 6 9) Bikvadratna jednačina 70 9) Binomne jednačine 74 ) Trinomne jednačine 74 ) 4 Simetrične recipročne) jednačine 75 ) 4 Kvadratna funkcija 77 6) 5 Kvadratna nejednačina Znak kvadratnog trinoma 8 4) 6 Sistem od jedne linearne i jedne ili dve kvadratne jednačine sa dve nepoznate 87 40) 7 Iracionalne jednačine i nejednačine 95 50) III GLAVA EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA 00 56) Eksponencijalna funkcija 00 56) Eksponencijalne jednačine i nejednačine0 59) Logaritamska funkcija Osnovna pravila logaritmovanja Dekadni logaritmi 05 65) 4 Logaritamske jednačine i nejednačine 4 7) 5 Sistem logaritamskih jednačina sa dve nepoznate 7 78) IV GLAVA 4 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 9 79) 4 Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla 9 79) 4 Svod - enje trigonometrijskih funkcija ma kog ugla na trigonometrijske funkcije oštrog ugla4 86) 4 Adicione formule 8 87) 4 Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova8 87)

6 6 Sadržaj 4 Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova 0 88) 4 Trigonometrijske funkcije poluglova 89) 44 Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod i obrnuto 9) 45 Kombinovani zadaci iz adicionih formula4 9) 44 Trigonometrijske jednačine 47 ) 45 Trigonometrijske nejednačine 57 55) 46 Grafici trigonometrijskih funkcija 6 6) 47 Sinusna i kosinusna teorema sa primenama 69 78) V GLAVA 5 RAZNI ZADACI 76 88) LITERATURA 404 BELEŠKA O AUTORU 406

7 IZ DREVNE ISTORIJE ALGEBRE Isečak iz Ahmesovog papirusa Ova stara knjiga čuva se sada u Britanskom muzeju u Londonu U XVII veku pre naše ere egipatski sveštenik Ahmes, po ugledu na neki još stariji rukopis, napisao je pomenuti papirus u kome je sakupio uglavnom sva dotadašnja znanja iz geometrije i algebre Papirus sadrži osamdeset zadataka iz algebre, svaki sa sopstvenim rešenjem Mnogi od tih zadataka bili su Odredi broj Ovako je glasio jedan Ahmesov zadatak: Gomila, njene dve trećine, jedna polovina i tri sedmine, sabrane zajedno daju Odrediti gomilu Neki su bili očigledno samo za zabavu, na primer: Ima 7 kuća, u svakoj kući ima po sedam mačaka, svaka mačka ubija sedam miševa, svaki miš pojede po sedam klasova pšenice Svaki klas pšenice će dati 7 hektara zrna Koliko je žita spaseno? Većina zadataka je vezana za svakodnevni život za hleb, pivo, hranjenje stoke, itd)

8

9 ZADACI I GLAVA STEPENOVANJE I KORENOVANJE Stepen čiji je izložilac ceo broj Ako je a R a 0 i n N, onda: a 0 def = ; n def a = a n Ako su a, b R a 0 b 0) i m, n N, onda: a m a n = a m+m ; a m : a n = a m n ; a m ) n = a mn ; a ) n 4 ab) n = a n b n ; 5 a n = b b n Izračunati: ) a) ; b) a b) 0 + 0, 0 a b); 9 ) ) c) ; d) ) ) 4 Izračunati: a) 0, 4 + 0, 0 + 0, , , ; b) x + y) 0 + 0, 5 + 0, 5) + 0, 00 0 ) 4 x + y 0) Izračunati: ) a) 4 ; b) 4 0, 4 5 ; c) 4 ) 0 ) d) ) ; e) ) ; f) 5 ) ) ; 5 ) ) +

10 0 Stepenovanje i korenovanje 4 Izračunati: a) 0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 0, ; b) ) + ) + ) ; ) c) ) ; d) 0, 5, 75 0, 75, 5 ; e) 0, 0, 4) ) + ) 5 Uprostiti izraz: a) A = ) ) 75 4) 0 5 ) ; b) A = + ) , 5 6 Izračunati broj v ako je: v = 0, , ) 4 ) ) 5 7 Ako je a = 5, b = 0, izračunati a b 4 8 Masa atoma vodonika iznosi, g Koliko nula ima ovaj decimalan broj ako se računa i nula ispred decimalnog zareza? 9 Date izraze transformisati u identično jednake izraze u kojima ne figurišu stepeni sa negativnim izložiocima: a) x 4 ; b) a b ; c) 9x 8 x 8 ; d) 4a b c a 5 b c 0 Osloboditi se razlomaka: a b ; a b ; x a n b m ; ab a + b) ; a b) a b) ; 7 a b) ; a xx y) Uprostiti izraze 4): a) 7x y x 4 y ; b) a ab 4 a b ; c) x 5 + x x x ; ) y ) x ) ) a a d) : ; e) : x y b b ) x + ; x

11 Stepen čiji je izložilac ceo broj a) 50 x + 0 x + 8 x ) 5 x x ); b) 5 x + 0 x + 6 x ) 5 x 4 x ); a + b c) a + cbc + ) b abc + a + c ; d) ab a b a a b + b x + x ) x x ) a) ; b) x 4 5y x 5y x yy + 5x ) ; c) a 4 9b a b b + a ) a b ; d) a + b a a + b + b ) ab 5x ) 5 ) y ) 4 a) : 0x y ; y 5x ) a 9a ) ) b b 7 b) 4b : 4 a ; x ) ) 9x ) c) 5y : 5y x 6 y 5 ; ) a 4 ) 4a ) d) ab : b a 5 b 5 Uprostiti izraz A = ab a b ) 4 ab ) a b a b ) a, i izračunati njegovu b vrednost za a = 0, b = 0 6 Ako je A = a b a b, B = a a b dokazati da je A = B b ) a + b a b ) a + b ), 7 a) Proizvod 0, 0, 008 napisati u obliku A 0 5, gde je A konstanta koju treba odrediti b) Proizvod 0, 04 0, 006 napisati u obliku B 0 6, gde je B konstanta koju treba odrediti

12 Stepenovanje i korenovanje 8 Ako je 0 x = , odrediti x 9* Dokazati da je vrednost izraza ) a) b a ) ) ) a b) a + b), b pozitivna za svako ab 0 i a ±b 0* Dokazati da sledeći izrazi: a) a x a x ) a x ) + a x a x + ) ; b) + a x ) a x ) a x, ) a x a x ax a x c) a x + a x a x : a x a x ne zavise od a i x ako je a x * Utvrditi istinitosnu vrednost implikacije a a) a 0 a x x a x ) a x + a x : ax a x ) + a x = ax + a x ; a b) a 0 a n n + a n ) a n + a n an a n a n + a n + = ) a n ; + a c) a 0 a x x a x ) ) a x a x a x ) a x + a x + a x + ) a x + a x + ) = ; + d) a 0 a x ) + a x a x a x + a a x x + 4a x = 4 + a x a x ax a x + * a) x 0 x) ) x x n + y n ) ; b) x x n y n ; a + a b ) c) a a b : b n a b) + b n a + b) ) ; d) a x + a x ) ) a x a x ) )

13 Stepen čiji je izložilac ceo broj x * Izračunati: a) + x + a + x) b) a + x) 4 Dokazati da je: b + a ab + ba x x a + x ) ax ) ) za x = ; a ), za x = a ) ) a + b ) + b a Uprostiti izraze 5 7): x x 5 x + x + x x ) + x + x a + a 6 a + a a ) a a a + a : + + a xy + ) 7 xy x y x y ) x y + xy : + a b = b a, b 0) : x + x x y + xy + x y Dokazati da vrednost izraza ne zavisi od a, b, c i x 8 5): a x + b x 8 a x + c x b x c x + ) b x a x b x c x + a x + c x : a x + b x + a x + b x a x b x c x + a x + c x ) b x c x a x ) a x a x + )a x ) a x + 6) ) n ) a x n 0* a x ) n+ b x : a x b x ) n+ b x * a x a x 6 a x 4 * a x a x a x a x + a x + * 5 x 6 5 x + a x + a x 5 x + 5 x 5 x 8 5 x + 5 x x + 5 x + 5 x x + 4

14 4 Stepenovanje i korenovanje ) a x a x a x a x 4* + a x + a x + + a x a x x + 4 x 6 x ) 5* x x x x x x + 4 x x 4 x 6 Predstaviti kao stepen osnove 5 izraz 7 Predstaviti kao stepen osnove izraz ) ) 4 m 0, 5 m 0, 5 m 5, m Z 5 n 0, n+ 5 n 0, 04, n Z 8 Uporediti po veličini algebarske izraze ) )) 0 y A = 4 0, 5 y 7 i ) ) 5x ) ) 5x B = 7 :, x, y Z Uprostiti izraze 9 4): x + x 9* x x x x ) x + x : 40* 4* n n + 6 n n n n 4 a x + x x x + x + x + x x x ) a x a x 8 a x + a x + 4 a x + a x + a x + 4a x + 4 a x + : n 4 n 4* 5 x 5 x 5 x 5 x 4 5 x 5 x ) )

15 Stepen čiji je izložilac ceo broj 5 4 Dokazati da je za svako x Z \ {0} vrednost izraza neparan broj x x + x 44 Za koje je vrednosti x jednakost identitet? x 4 4x + x 4x x + ) x, a + b)b a b)a a + b)a = x + ab 0), + a b)b 45 Izračunati x = a + a i y = a + a, ako je a + a = 5 a 0) 46 Vrednost izraza a n A = a n + a n + a n ) ) a n a n + + a n a n je ceo broj ako je a ± i n prirodni broj Dokazati Izvršite naznačene operacije 47 57) 7 x 47 7 x 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 7 x + 48 x + + x + + x x x x 49 4 x x : 4 x 4 x + 4 x 4 x n n 5 x y x + y + y x y 5a x + 5 a a a x + 5 a x + + a x a x + 5 t + t t 5 x + 5 x + 5 x t t t + t t +

16 6 Stepenovanje i korenovanje 54 y + y )x y x 4 ) y 4 + y x y x + y + y 4 ) y + 55 x x + ) + x + ) x + ) + x + ) x + ) + x + ) x + 4) + x + 4) x + 5) 56 x 0 x + 5 x + x ) : x x + y z x y x + y ) z 4x y x + 5 x x + x Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj Osnovne operacije sa stepenima i korenima Definicija Neka je a pozitivan realan broj i n prirodni broj Pozitivno rešenje jednačine ) x n = a po x naziva se n-ti koren broja a, u oznaci x = n a Iz ove definicije proizilazi da je ) n a) n = a Definicija Ako je a bilo koji realan broj, onda a = a ) Definicija Ako je a 0, a m, n prirodni brojevi, onda 4) a m n = n a m

17 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 Neka su a, b pozitivni realni brojevi, a m, n, p prirodni brojevi Tada je: n ab = n a n b; n a : n b = n a : b; n a) m = n a m ; 4 n m a = mn a; 5 n a m = np a mp Izračunati 58 67): 58 a) 6; b) 9 ; c) 8 00 ; d) 0, 49; e), 5 59 a) ; b) 8; c) 4 6; d) 6 64; e) 60 a) ) ; b) 5) ; c) 6) ; d) 5 6 a) a 8; b) 4 8a ; c) 5a b ; d) 5a 9ab 6 a) x 8a 5 y ; b) a 7a x y ; c) 4ay a 5 x y 4 6 a) 7a 5 x 6 ; b) ax a x 4 ; c) 80x y 4 z 5 64 a) 7x x 8 ; b) 5x a a 50x 9a 65 a) 4 + 4a ; b) 75 a 8 9 a 5 a ) + 66 a + + ) a 67 a) ; b) ; 4 c) ; d) Za koje vrednosti realnog broja x imaju realnu vrednost koreni: a) x; b) x 4; c) 4 x ; d) x + ; e) x + 4? 69 Za koje vrednosti promenjive x važe jednakosti: a) x ) = x ; b) x 5) = 5 x; c) x ) = x; d) x 4) = x + 4?

18 8 Stepenovanje i korenovanje Odrediti vrednosti izraza i rezultat grafički prikazati u ravni xoa x R) 70 7) 70 a) A = x 5) + x + 5) ; b) A = x ) x ; c) A = a 6a a ; d) A = x + x 4x A = x + 6x + 9 x + x 6x A = x + 4x + 4 x x + + x x + 6 Primenom definicije korena n a) n = a pod uslovom da postoji n a) izračunati 7 74): 7 a) 5 + ) 5 ); b) 5 + ) 5 ); c) 5 + 9) 5 9); d) 6 6) 6 + 6) 74 a) x) + + x) za x ; b) 4x + 5 x) 4x x); c) x x 5) x + x 5); x > 5 Dati su izrazi A i B Dokazati da izrazi A i B imaju jednake vrednosti 75 80): 75 A = a a a)a + a) a i B = 9 + a 76 A = b ) ) a a b b i a B = ab a b a + b + ) : a b a + b) ab 9 77 A = x + ) x ) x i B = x + ) x x x ) 7x a n+ 78 A = n x an+ an+ + + n xn x n i B = n a n x n a x n + a x n )

19 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 79 A = 80 A = ) i B = 7 4 ) 5 + ) 8 i B = + 4 ) 75 Izraze ispred korena uneti pod koren i uprostiti ih 8 8): x 8 y y ) x y x x 4 x y + y a ) a + ab + b b a + ab + b a a + b ) 8 a a + a a a + a a + a a 84 Ako je A = x a a x n a ) n i B = x a a n a n x + a) n x a) n, tada je A = B Dokazati 85 Ako je A = a b ab n b n b a n b a n i B = a b n a 4 b n+ a n+ + a n b a 4 + ) b, tada je A B = 0 Dokazati Racionalisati imenioce razlomaka 86 09): 6 a) ; b) ; c) 4 6 ; d) a) 8 ; b) 88 a) ; b) 9 ; c) 8 ; d) ; c) 89 a) 8 90 a) 5 9 ; b) ; b) ; c) 6

20 0 Stepenovanje i korenovanje 9 a) 9 a) 94 a) 96 a) 9 ; b) 5 6 ; c) 6 ; b) ; c) 4 9 a) 0 ; b) 5 5 ; c) a) 5 ab a b ; b) a b 4 a b ; c) 4a a b ; 97 a) a b b a ab ; b) a ) a + 6 a + 98 a) 99 a) 00 a) 0 a) + ; b) ; c) 5) ; b) 0 4 ; b) ; c) ; b) d) 6a b 5 a6 b 5 + ) + ; b) + 0 a) ; b) 5 + ) 5 0 a) ; b) a) 05 a) ) ; b) ) 4a ) a ; b) a ax a + x 06 a) a + + a + ) a + ; b) 07 a) a + a + a + ; b) 08 a) a a a + a ; b) 09 a) 4 ; b) a a + a a + + x + m + x m x + m x m + ; c) ; c) ; b) 5 5

21 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 0 Dokazati jednakosti: a) 7 4 = ; b) = 4; c) = ; d) = + ; e) + = Skratiti razlomke: 0 0 a) ; b) ; c) + x 8 x + x ; d) a + b + ab a b + b a ; e) a b + b a a + b Obaviti naznačene operacije a) 6 4; b) 5 0; c) x n+ x n ; d) 48 : 6; e) a b : ab; f) a b : a b Ako je A = a a i B = 4 a a a, tada je A = B Dokazati 4 Ako je A = 6 a 5 x 4 5 a 4 x 0 a i B = 0 ax a x 5 ax 0 a 7, tada je A B = 0 Dokazati 5 Ako je a b 5a a a 4 b 8 A = b 4 5a 6 b i B = 8 b b 7 4 a 4 5b, tada je A = B Dokazati a b a 5b a 9b 6 Ako je A = b 4 9a b i B = 4 4a b 4 0a, tada je A = B Dokazati 7 Ako je ax y P = b 6 b a 5 xy i Q = tada je P Q = Dokazati a a b b b ab x 4 a x,

22 Stepenovanje i korenovanje 8 Ako je M = ) i N = ), tada je MN = 5 Dokazati b a 5 a 9 Ako je M = 5 a 4 b 6 a b i 4a b b a b N = b a a + b 4, tada je M N = 0 Dokazati a a 0 Ako je P = a + m a ) a + m m Q = a m 6 a + m m 0) Dati su izrazi L = ab ab + xy a i K = ax by recipročne Dokazati by + x b y Izvršiti naznačene operacije ) a m + m ) a : a m m ) a a + m, tada je P = Q = za m a, a m ax by a b x y ab + xy ) b ax + y a x a) 5, 5x y 5 0, xy 7 5 6x y 5 4x y ; i xy xy ab ), njihove vrednosti su b) y x a x y 4 x x a 6 x y a x a 4 x y 4x 0 x a x 9 y x ; a 7 b c 5 a 8 c 5 x a x 4 c) 9 x 8 y 5 : 9 b 6 y 5 ; d) b 7 b 7 x x c x 6 a x : c 6 x a 4 a) ; b) a ab 8 ab 4 a 7 b 7 a > 0, b > 0); c) a 4 a a 4 8a; d) 4 x 4x 4 x 8 4x 7

23 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 4 a) 5 a b 8 5 a a 5 b ab; b) 4 6 a 5 8 a a 9 a; c) x x x x x x x x x x 5 a) + ; b) ; c) 5 + 5; d) a + a b a a b 6 a) x x x 8 + x; b) m + x + m x m + x m x; c) ; d) a) x x a) x x a 8xx a) x x a x 0, x a); b) 4 + x + x x 5 + x 4 x x x 4 x > ) Obaviti sledeće operacije ): 8 a) 48 : 6; b) 5 : ; c) 8 : 6; d) 5 : 7 9 a) a b : ab a i b istoga znaka); b) a b : a b; c) a b : a + ab + b a 7 b c 5 a 8 c 5 x 0 a) 9 x 8 y 5 : 9 b 6 y 5 ; a x 4 b) b 7 b 7 x x c x 6 a x : c 6 x a 4 a) n n a n+ : a n+ ; b) n a 4n : n a n a) x ) x ) ; x : x b) x x ) ) 4 x : x 7 x x ) x x : x 4 6 x 5 x > 0)

24 4 Stepenovanje i korenovanje 4 Dati su količnici: a a) 5 b : 0 a ab9; b) b : 6 a b 5 ; c) n a n+ b n n : a n+6 b n Dokazati da su njihove vrednosti geometrijske sredine pozitivnih brojeva a i b ) ) a b ab 5 Ako je A = c a b a : c 4c b 5 6 4c 4 i ) ) a b ab bc B = c c 4 6 a b 8b 7 a : c 6c 7, gde su a, b, c pozitivni brojevi, tada je A = B Dokazati a a b) ) 6 Dati su izrazi V = n aa + b) n + b a + b) 4n : a b a 6 a b) i a + b) 4 W = n aa b) a b) 0 5n 4n a a b) 7 a + b) 5 :, dokazati da je V = a + b W, pri čemu je a > b > 0 Uprostiti izraze 7 4): a 6a x + ax 8x 4 7 b a + x) a x : b 8 a 4ax + 4x 6 ab + bx ab + bx a a x) : 4x 4 b : a 9 x + x a : 6 4 a a + a 4 : a + 4 : a x a 40 4 x a a + a a + a a : 6 a a + a 9a 6a + ) 4 : a + x + + x + ) : a + a 7a + 7a + 9a + : 6 x + 4 x + a ) 4 9a + 6a + a

25 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 5 44 Ako je A = B = 5 4 5x 4 8y : 5x 4 6 y xy 6 y x tada je AB = Dokazati a ) n + 45 Ako je U = n n a a a V = a + n 46 Ako je 5x x y + 6 y, ) x y 6 : xy x y, 8 + a) n i a + ) n+ a + ) a ), tada je U = V Dokazati a ) n V = W = ax a x a a x tada je V W = 0 Dokazati x + a ax x a i a + x ax a + x ), Izvršiti sabiranje i oduzimanje korena 47 6): 47 a) ; b) ; c) ; d) e) ) ; f) ) 8 4) a) ; 75 b)

26 6 Stepenovanje i korenovanje 50 a) ; b) ; c) ) ) ) ) 55 4a 5 a + 5 9a + 75a 8a 56 9 a a 6 a 7 a + 4 a + 6 a a 4 + a) 6 7a + 4 9a ) 58 a 4 6 7a + 5 a 4 9a 5a b 5 a b 8a 5b) a b a 5b) 59 c + c + c 64a b a + b) 7a 5 b 8a b 5 60 c + c c a 9a a 4a 8a 5a 5a Dati su izrazi A = 49a + 98b + am + bm 4a + 8b 6a + 7b, B = 9am + 8bm 5a + 50b + 6a + b 4am + 8bm Dokazati da je A B = 0 6 Dati su izrazi A = 9a a 6 + a 4 + a + a 4 )a ), B = 6a a a +) a 6 +)+9a a +), pri čemu je a Dokazati da je A = B

27 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 64 Dati su izrazi A = a )a a 4a + 8) 8a 4 + 6a + 5a + 50, B = a a + a )a + ) 7a a + a + 4a + 4) Dokazati da je A + B = 0 65 Dati su izrazi A = a + ) a 4 a) + a ) a 4 + a) a, 9) B = a a 4 7a aa 6 5a a 5) a + ) Dokazati da se izrazi A i B mogu svesti na isti oblik 66 Dokazati da su vrednosti izraza A = 5 60, B = 5 40 i C = 6 7 prirodni brojevi 67 Dokazati da su izrazi A = 6 5, B = 5 6 i C = 5 0, iracionalni brojevi 68 Dokazati da su izrazi racionalni i jednaki A = 5 0 i B = 5 0 6, Dati su izrazi A, B, C Dokazati da su njihove vrednosti iracionalne i jednake 69 74): A = 5, B = 7 9, C = A = i B = 5 4

28 8 Stepenovanje i korenovanje A = i B = A = ) + ) i B = + 6) 6 ) 7 A = ) + ) + ) ) i B = + ) ) ) + ) 74 A = + 5) 5) 5 + 5) 5) i B = 5 + ) 5 ) ) 5 ) 75 Dati su izrazi A = 5 ) 5+ ) + 5) 5) i B = + ) ) 5 ) ) Dokazati da su vrednosti izraza A i B prirodni brojevi 76 Dati su izrazi A= 5 9 B = Dati su izrazi + 9 ) 5 ) i 4 + ) ) Dokazati da je A B = A = a + b + x + a + b x) a + b + x a + b x) i B = x + a) x a) a + x)a x) + a Dokazati da su njihove vrednosti med - usobno jednaki parni brojevi za svako x Z, x 0 78 Dati su izrazi A = , B = Dokazati da su A i B racionalni i jednaki Uprostiti izraze 79 84): 79 x + y + y x 80 x + y + y x y y x xy x + y x y x x + y x > y > 0) x > y > 0) y

29 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 a b a 8 a + b + ab + b a a + ab + b + b a b a > b > 0) a b 8 a + ab ab a b b ab a > b > 0) a + b 8 + y x x y x + xy x > y > 0) x y 84 x x y x + y x > 0, y > 0, xy > ) a x + ax 85 Ako je A = a x B = a + ax x xy ) x + y xy + ) xy + + x ) x ) a + a a a + x i a a a, gde je a > x >, tada je A = B a Dokazati am + m a + x 86 Ako je A = a x a x am m a + ax B = a a m tada je A B = 0 Dokazati 87 Dokazati implikacije: a x a + m i a + am a, gde je a > m > 0, a > x > 0, x a) x > 0 ) ) 4 5 9x 6 9 x 4 x + x 4 x x = x; ax b) a > 0 x > 0) a x x a a 6 + a a x 9x = 4 ax; c) x > 0 a > 0) 8x a x x a x x x +6 4 a a + x = x; d) a > b > 0) 8b a b a b a b) a b a a + b 4 a + b b a b + a a + b = a b

30 0 Stepenovanje i korenovanje Korenovati sledeće korene 88 94): 88 a) 8; b) 4 6; c) a) 7 8a ; b 4 6a 4 ; c) 5 8a 90 a) 5 a 4 5 a 0 a ; b) a a 5 a 9 m n a 5 m 6n a 9 6m n a 6n m a 9 a) n a n a m a n m ; b) n a n a x y 0 xy 4 x 5 8 xy 94 Ako je A = 6 a 5 a, B = 6 a a 5 a, C = 5, tada je a4 A = B = C Dokazati 95 Ako je A = xy xy xy xy, B = x xy x y y x, gde je xy > 0, tada je A = B Dokazati a x 96 Ako je M = b y y b x x x a y y i a N = 4 4x b 9y x 4 4ay, tada je M N = 0 Dokazati y bx Uprostiti izraze 97 99): a ay 97 b bx b x a y x a y b 98 a + a a + ) a + ) a + b) 4 a b) a + b 99 : 4 a b a b a + b a b) a + b)

31 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 00 Ako je A = a b) a 9b a + b) a 9b i a + b a B = a b : ab + b, tada je A = B = Dokazati a b b ab 0 Ako je S = 4 a b a 4 i T = 4 tada je S T = 0 Dokazati 0 Ako je ab 6 b a a b A = a b a + b a + b a b b : ab a i ab B = a 6 a + b a b b a a + b a b 6 a + b a 5 b a b : a + b) 6, b tada je A = B Dokazati 0 Dati su izrazi a x V = a + ax) a x ax x ) a x i a + x W = axa + x) a x a x + x a a : x x ), a dokazati da se izrazi V i W mogu svesti na isti oblik 04 Ako je b a 4 b a, A = 4 a x a x x n : n a + x a x ax a n i ax x n a x a+x B= n a+x) n a n+ a n+ x+a n x a+x n a x), a x gde je a > x > 0, tada je AB = Dokazati

32 Stepenovanje i korenovanje 05 Ako je a + x A = n a x n a + x a x a n ax : n B = ax n ) + ax n+ + x n+ n a n+ a n+ + a n x), a x a + x x n ax i gde je a > x > 0, tada je A = B Dokazati Izračunati 06 07): 06 a) + ) ; b + ) ; c) 5 + ) ; d) ) ; ) ; ) ; e) + + f) ) g) ) x + x 4 x x 4 07 a) x ); ) b) a + + a + a + a a 0); c) a + b + ab + a + b ) ab a, b 0) Izračunati 08 ): 08 a) ; b) c) a) b) ) ) 5) ; ) ; d) 0,6 6 0,75 +, 44) 0,5 7 ) 4 ) 0,5 4 0,5 9 ) ) 4 ; ;

33 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj ) ) 0,75 c) 0 ) ; ) ) d) ; ) ) e) a b 0 a) a + b + a b a b ; b) a a + a + a ; a x + c) x + x : + x,5 ; d) a + a a a + a a a) x x ) x x x x 4 x ; x b) m m 4 ) 0 m m m m 4 m m + m ) m + 5 Uporediti brojeve + i + Dat je broj A = 6 + ) ) + Izračunati A i, na osnovu toga, odrediti vrednosti broja A 4 Dati su brojevi a = 4 Izračunati a + b, ab i a + b 5 Dati su brojevi i b = A = i B = Dokazati da su A i B racionalni i jednaki

34 4 Stepenovanje i korenovanje Dokazati 6 8): = 7 a) = 4; b) = 8 a) 4 + 5) 0 6) 4 5 = ; b) 5) + 5) 0 ) = 8; c) ) = ; d) ) ) 4 + = Izračunati 9 0): 8 9 a) ; b) ; c) ; d) ) 6 + ); a) b) + c) ) : ) + 5) ; ; d) Obaviti naznačene operacije ): x + y x y a) x + + xy xy x > 0, y > 0); b) x a + x + y x xy + ) y x +, xy a a + x x ) ax : a x), a > 0, b > 0); a + x

35 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 5 a + a c) b a a b a ) a b a + : 4a a b a b b a > b ); ) a + a a d) + a a + a a > 0); a a + ) x y e) x y + xy : x + y ) a a) a a ) a a > 0, a ); a a + a a b) + a + ) ) a a a < 0, a ); a c) d) a + a ) ) a b + a a a a b ) + ab ) : a > 0, b > 0) 0 a + a > 0, a ); Izračunati vrednost izraza 4): a) x x za x = + ; b) 4x 8x + x + za x = + ; c) x + ) + y + ) za x = + ) i y = ) d) x xy y za x = i y = 5 6; e) x x + 6x + 6 za x = x ) 4 a) x x + za x = + i x = ; a a + x b) x + + x za x = ) b b a > 0, b > 0); a a + x + a x c) za x = an a + x a x n n >, a > 0); + a + bx + a bx am d) za x = a + bx a bx b + m m < ); )

36 6 Stepenovanje i korenovanje e) xy x y xy + x y za x = b ) 5 Dokazati implikaciju: a) a b a > 0 b > 0) a b a b + b a + a + b a b b a b) a b a > 0 b > 0) a b) + a + b b a a + b b a + ), y = b + ), a, a b ) a b a + b b a b = ; + ab b a b = 6 Uprostiti izraz: x + x + x x, ako x [, ] 7 Dokazati identitet Lagranžev identitet): a ± a + a b = b a a ± b a > 0, b > 0, b < a ) Koristeći Lagranžeov identitet, uprostiti i izračunati, sa tačnošću od 0,0 izraze: a) + 4 7; b) + ; c) 5 ; d) ; e) + Primena Lagranžeovog identiteta 9 ): 9 a) 8; b) 6 + 0; c) a) + 4 5; b) 6 4 a) 7 + 6; b) Ako je A = 6 +, B = 7 + +, tada je A = B Dokazati

37 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 7 4 Ako je M = 9 65, N = , tada je M + N = 0 Dokazati 5 Ako je A = 9 77 i R = 7 5, tada je A B = 0 Dokazati 6 Ako je V = 4 5, W = , tada je V = W Dokazati 7 Ako je A = ) i B = , tada je A = B = Dokazati 8 Ako je tada je A = B = A = , 9 B = , + 5 Dokazati Primenom Lagranžeovog identiteta ili na neki drugi način uprostiti izraze 9 46): 9 a) a + a b ; b) a + b ab + b 40 a) a + b + ab; b) x x y 4 a a a + a + a 4 Ako je A = a + b a + a + ab i B = a + b + b a + ab b ab b ba b), tada je A = B = a Dokazati 4 Ako je A = a + + a + a + a + i B = a x + a x a x a x, tada je A = B = Dokazati

38 8 Stepenovanje i korenovanje 44 Ako je P = xy + ) + x y x + x i Q = x + xy + + xyx + ) x + x +, tada je P = Q Dokazati 45 Dato je V = x + a x a + x a x x a i W = a + x + a x + x + x x x, dokazati da je V = W = a + x 46 Ako je S = T = a + a x + a ) a x a + x a ) x a + a x, tada je S = T = x, x > 0) Dokazati 47 Dokazati da je vrednost izraza x a + x iracionalan broj 48 Razlomak n + ) n + n predstaviti kao razliku dva redukovana razlomka Primenom dobijene jednakosti izračunati n + sumu: S = Ako je ax = by = cz i x + y + z =, onda je i ax + by + cz = a + b + c Dokazati 50 Izračunati vrednost funkcije fx) = x + x, za x = ) 4 5 )

39 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 9 5 Izračunati vrednost funkcije y = x + ax + b, ako je x = b b a 7 + b b 4 + a 7 5* Dokazati da je A + B x = A B + A B A + B nula funkcije fx) = x x A + B) A B 5 Data je funkcija Fx) = a b x ax + a b Dokazati da su b ab ab x = i x = nule funkcije a > 0 i b > 0) a b a + b 54 Dokazati da je: x + x a) 4 9x + x x x + x x a a b) a a a + a 4a ) + x = x 5 x ; ) a + = a 5 a 55 Dat je niz brojeva x n definisan rekurzivnom formulom + xn x n = x n Dokazati da je ovaj niz periodičan ako je x = Izračunati vrednosti izraza 56 60): + x 56 y = + + x + x x, za x = 57 x + x + x x, za x = 6 4

40 40 Stepenovanje i korenovanje x + a ) 0,5 + x a ) 0,5 ) m + n ) 0,5 58 x + a ) 0,5 x a ) 0,5, za x = a, mn a > 0, n > m > 0) 59 x ) 0,5 + x + ) 0,5) : x ) 0,5 x + ) 0,5), za x = a + b ) : ab), a > 0 i b > 0 60 x + x ) 0,5 ) : x x ) 0,5 ), za x = a + a ), gde je a realno i različito od nule a 6 Ako je x = ) b b, a > 0 i b > 0, onda je: a Dokazati a + x ) 0,5 : x + + x ) 0,5 ) = a + b Dokazati da su vrednosti sledećih izraza prirodni brojevi 6 74): ) + 5 ) ) ) ) ) ) ) ) 4 5)9 + 5) ) ) )4 + ) 4 ) ) + ) ) 5 + ) + ) 6 +

41 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj ) ) 4 : 8 6 Upostiti izraze 75 80): ) ) ) ) a + b ) c ab : a + b ) c 4 a b Ako je A = ) 4 5), B = + 5) ) +, 6 + 0, 4), tada su A i B prirodni brojevi i jednaki Dokazati 8 Ako je A = , B = ) 5 : 4 5 5, tada je A = B = 4 5 Dokazati Uprostiti izraze 8 9): a 5 7 a 4 a + 4 6a a 5 6 a a 9 85 a5 6 a a 5 a a 4 a a 8 a a a 4 a

42 4 Stepenovanje i korenovanje a 87 a + a + a + + a + a + a a + a 88 a a a a + a ) b a 89 a a + b + a b) b 90 a + b ) + a a ) b b) ) + ab) 9 a + b ) a ) b ab b + a 9 ab + + ab + ab + ab Dokazati da je 9 99): = = a + a 6 a a a = 6 a < ) 96 4 a 4 b ) + 4 a + 4 b ) a + b : a b) = ) = 0 a b a + b ) = a, b > 0, =

43 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 4 Dokazati da je vrednost izraza iracionalan broj 00 04): 00 A = + ) ) * A = * A = * A = * A = Uprostiti izraz 05 07): ) : 5 ) 8 6 Racionalisati imenilac razlomka 08 ): 0 08 a) + 5 ; b)

44 44 Stepenovanje i korenovanje Ako je A = , B =, tada je A B = 0 Dokazati Ako je A = + + 7, B =, tada je A = B 7 Dokazati Ako je M =, N =, dokazati da je M + N = 0 4 Ako je V = , W = je V = W = Dokazati 5* * * 7* * Ako je x + x 4 y + x + y = a Dokazati , tada y + x y 4 = a x, y > 0), tada je * Ako je a b = a b = a b = = a n b n, tada je a + a + a + + a n ) b + b + b + + b n ) Dokazati = a b + a b + a b + + a n b n Uprostiti izraze 4 4): ) ) + n n 4 A = + + n n n + n n n 0 < n < )

45 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 45 n) + n n n 4 8n + 4n 5* A = ) 0 < n < ) n n n + a) + a 6 A = a 9 + 8a + 9a a > 0) 7 A = p 0,5 + q 0,5 ) p + q ) + p > 0, q > 0) p 0,5 + q 0,5 ) p 0,5 + q 0,5 ), a + a 8 A = x) : x + 6 ax ) a x x) 4 9 A = x x + 4 y) + 4 x 4 y) ) x + x x x, y > 0) xy x + x) 0 A = 9 + 8x + 9x x x ) 4 0,5 x 8 * A = x 4x x ) x A = x x x 4 x x + x 0,5 a x 4 a 4 x a + 4 ) ax a + 4 ax 4 ax : 4 a 4 x ) ) * A = 0 4 x a + a 4x 4 ) 5 a + 6x a 6x, ako je a x i x ) ) 4* A = 6 5 A = ) A = ) 6

46 46 Stepenovanje i korenovanje 7 A = ) 5 8* A = 9 A = A = * A = ) 4 A = Izračunati vrednost izraza x x + A = x 4x + 8 x + 4x + 8 za x = Svesti na najjednostavniji oblik izraze 44 5): 44 a + + a + a + a a m m + m + am + m 46 + a am a a + ) + m x x + am + m a am 47 + m x + ax a + b a b + + a a b a + b 48 a + + a 49 a + a + b a b + a a b a + b a + a a +

47 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 47 a 50 a a ) a + a + a a a a a ) x a) 4 x + a x a ) x a 5 4 x + a x a ) x a x + a 6 4 x a x a x + a ) a m a m + a a 5 5 b b a a + 4a + m) a b b a) m b a 54 Ako je A = ) a + x a x ax x ax, x a x a B = + x a) x a) x a) x a) x+ + a x+ a 4a 4a 4a 4a tada je A B = 0 Dokazati, Uprostiti izraze 55 70): 55 a 4 b a 4 b 4 a 4 b a 4 + b a 4 5 b 4 a + 4 b n n 57 x + y) x y xy x y) + xy

48 48 Stepenovanje i korenovanje a + + a + + a a a a 6 + b b + ) + b + ) b + ) + b + ) b + ) b + 4) b + 5) 5 b b + 5) b + ) b + 4) + y xyz + x + z ) x + y + z : x + y x + y x y + x y x + x + y) y x y x y x + y) 4 4 x + y + z x y y + x + + x y 4 a : 4 y xyz + x + x + z ) y + x y y x xy 4 a a 4 a + ) 4 a 4 a 4 a + )

49 Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj 49 x y x y 68 x + : x + y ) xy xy x y y 4 y + 4 ) 4 x 69 x + 4 ) y 4 xy yx ) a b 70 ab + b b 7 Dokazati da je vrednost izraza a ab b 4 + b a 4 y 4 x 4 xy) , 6 racionalan broj Uprostiti izraze 7 77): ) ) ) + ) ) ) + ) ) ) ) a + b a + b) + a + b) + a + : b) a + b ) 4 a ) b a + a + b a + b) b ) ) ) )

50 50 Stepenovanje i korenovanje Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima Definicija Skup svih kompleksnih brojeva, u oznaci C, jeste skup ured - enih parova z = x, y) realnih brojeva za koje važe sledeće aksiome: ) Aksioma sabiranja: x, y ) + x, y ) = x + x, y + y ) ) Aksioma množenja: x, y ) x, y ) = x x y y, x y + x y ) Definicija Kompleksan broj 0, 0) naziva se kompleksna nula, a broj, 0) kompleksna jedinica Definicija Kompleksan broj 0, ) naziva se imaginarna jedinica i označava se sa i Stav Svaki kompleksan broj x, y) može se predstaviti na jedinstveni način u obliku x + iy, koji se naziva algebarski oblik kompleksnog broja x, y) Definicija 4 Neka je dat broj z = x + iy x, y R) Broj z = x iy konjugovan je broju z Definicija 5 Modul ili norma kompleksnog broja z = x + iy je realan nenegativan broj x + y i označava se sa z Često se z označava sa r ili ρ, tj z = r = ρ = x + y ) 78 Izračunati: a) ; b) ; c) a a + ab b + b, a > b > 0) Izračunati, tj svesti na oblik x + iy 79 8): 79 a) + i) i); b) 7 + i) 4 + i); c) 8 + 4i) + 7 i) i); d) 7 + i) + 8i) + 9 i)

51 Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 5 80 a) 5 + i) + i); b) 6 + i)6 i); c) + i) + i) i) ; d) 5 + i) i) i) 8 a) + i + i ; b) + i + i 5 i ; c) ; d) i i i 8 a) + i i + i + i ; b) + i 4 + i) 4 i) + ; i) + i c) i + i i + i) + i) ; d) + i i 8 a) i, i, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, i 60 ; b) + i i + i + i + i4 + i + i Odrediti module brojeva: a) + 4i; b) 4 i; c) 5 + i; d) 8 + 5i; e) 4 + i; f) 7 i 85 Dat je kompleksan broj z: a) z = + i i ; b) z = i) + i + i Odrediti Re z) i Imz) + i 86 Data je funkcija formulom: Odrediti f + i) i f + i) fz) = z 4iz 7 4i 87 Ako je fz) = + z + z, izračunati fz) i f z) za z = + i 88 Izračunati vrednost kompleksnog izraza: z z z + z a) za z = + i; b) + z z z + za z = + i 89 Rešiti po z jednačinu z = x + iy): a) + i)z = 5 + 4i; b) + i)z + z = 4 + 6i; c) z 5i) + z = 0 65i; d) z + i) + i) + + zi) 4i) = + 7i 90 Rešiti po z jednačinu z = x + iy): a) z + z = 6 i; b) z + 4z = 0 + 8i 9* Dat je kompleksan broj z = i Odrediti kompleksan ) broj z z = x+iy koji zadovoljava konjunkciju Re z z ) = 8 Im = z

52 5 Stepenovanje i korenovanje 9* Dat je kompleksan broj z = + i Odrediti kompleksan broj z = x + iy koji zadovoljava konjunkciju: ) z a) Re = z 5 Im z z ) = ; ) z b) Re z z ) = Im = 5 9 Odrediti realne brojeve x i y iz jednačina: z a) x + xi y = iy i; b) 5x yi + i = 6 ix y; c) x + iy) 7i) = + 4i; d) x + iy) + i) = + i 94 Rastaviti na kompleksne činioce sledeće binome: a) x + ; b) x + 8; c) 4x + 49; d) a + b ; e) a + b 95* Ako je z = ± i, dokazati da je z + z + = 0 i z = 96* Dokazati: + ) i ) a) + = ; + i ) 4 i ) 4 b) + = ; + i ) 4 7 i ) 4 7 c) + = d) + i + i = 6 97 Dokazati da je z = + i) 4 i) 4 realan broj 98 Dokazati da je z = + i)6 i) 6 + i) 6 imaginaran broj i) 6 99 Dokazati da je: a) + i) 4k realan broj ako je k prirodan broj; b) + i) 4k+ imaginaran broj ako je k prirodan broj 400 Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja ) n + i + i)n a) z = ; b) z =, ako je n prirodan broj i i) n

53 Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima 5 40 Ako je z = x + iy i w = a + bi, dokazati da je: a) z w = z w ; b) z = z w w 40 Izračunati + i + + i ) 6 i 40* Dokazati da je + i) 6 + i) 6 = * Ako je z = + i, onda je z + z = 4 Dokazati 405 Odrediti kompleksan broj z = x + iy koji zadovoljava konjunkciju: ) a) z + z z = Re = ) + i ; b) z z z = Re = + i Rešiti po z jednačinu z = x + iy) 406 4): 406 a) z + z = + i; b) z z = + i 407 z + z + + i = z iz + i = z = + ai a a > 0) 40 z = ab ab i, a > 0, b > 0) 4 a) z = + 4i; b) z = i ; c) z = + i 6 4* Odrediti kompleksan broj z ako je z i = z z i = z 4* Odrediti realne brojeve a i b tako da je kompleksni broj x = a + bi koren jednačine x x + + i = 0 44* Ako je z = + i, z = 5 i i z = 4i, dokazati da je z z + z z = 4 45* Dokazati + i ) 9 i ) 9 + =

54 II GLAVA KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna jednačina Definicija Jednačina oblika ) ax + bx + c = 0, a 0) naziva se kvadratna jednačina, gde su a, b, c realni brojevi a x nepoznata Ako je c = 0, jednačina ) svodi se na oblik nepotpuna kvadratna jednačina) ) ax + bx = 0 Ako je b = 0, onda se jednačina ) svodi na oblik ) ax + c = 0 Rešenja kvadratne jednačine ) x i x data su formulom 4) x, = b ± b 4ac a Definicija Izraz D = b 4ac naziva se diskriminantom kvadratne jednačine ) Priroda rešenja kvadratne jednačine ) zavisi od diskriminante D, i to: ako je D > 0, rešenja x i x su realna i različita; ako je D = 0, rešenja x i x su realna i jednaka; ako je D < 0, rešenja x i x su konjugovano kompleksna Ako kvadratna jednačina ) ima oblik ax +kx+c = 0, b = k), onda su rešenja 5) x, = k ± k ac

55 Kvadratna jednačina 55 Ako kvadratna jednačina ) ima oblik x + kx + c = 0, rešenja su 6) x, = k ± k c 46 Rešiti nepotpunu kvadratnu jednačinu: a) 4x 9 = 0; b) 4x 7 9 = 0; c) 5 6 x = 5 ; d) 0, 04x + 0, 75 = 0; e) 5x + 80 = 0; f) 0, x = 4, 4 47 Rešiti jednačine: a) x 5x = 0; b) x x = 0; c) x x = 0; d) 4 x x = x + x; e) x ) + x + ) = 4x; f) x 5)x 7) x 6)x 8) + 6 = 0 48 Rešiti po x jednačinu a, b, m, n parametri): a) a x + bx = b x + ax; b) mx m x = nx n x; c) y m) + y + n) = m + n ; d) x a) xx a) + a ; e) m z 5) = n z 5); f) x + a) : x b) = b + x) : a x); g) a x)b + x) + ax) + bx) = ab x ) 49 Odrediti skup rešenja jednačine: a) x + 4 x 4 + x 4 x + 4 = ; b) 4 4x + x + x = x x + ; c) 5 x x x 5 x = 00 5 x ; d) x + x + x x + = 6 40 Odrediti skup rešenja jednačina a) x + x + = x + x + ) ; b) x + = ; c) x + x ) x = x + ; 8 4 d) x + + x + + x + x = 0; x e) x + x x + x )x 5) = x 0 x x 5

56 56 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 4 Rešiti po x jednačinu a, b parametri): a) a + b + y y + a b = y a + b a + b y ; b) b + x a x b x a + x = a b )x a x ; c) x a b + x b a + x + a + b = 0; ab d) x a b a + b = b x ab a + 4 Koristeći ekvivalenciju AB = 0 A = 0 B = 0, odrediti skup rešenja jednačine: a) x)4 x) = 0; b) x ) 9 = 0; c) 4x )x ) = 0; d) x + ) 5 = 0; e) x + 4) + 5 = 0; f) x 5) + 5 = 0 4 Koristeći formulu x, = b ± b 4ac za rešenja kvadratne a jednačine ax + bx + c = 0, rešiti jednačinu: a) x 5x + 6 = 0; b) x x 8 = 0; c) x 5x 5 = 0; d) x 0, x+0, 00 = 0; e) 4x 7x+4 = 0; f) x 9 x+ = 0 9 b b a ± ac ) 44 Koristeći formulu x, = za rešenja kvadratne a jednačine ax + bx + c = 0, rešiti jednačinu: a) x + x = 0; b) x 6x + 58 = 0; c) 9y 6y + 7 = 0; d) z 8z + 4 = 0; e) 0, x, 4x 0, 4 = 0; f) x 4x + 08 = 0 45 a) x 9x + 8 = 0; b) 5x + 7x + 6 = 0 46 a) 6x 5x + = 0; b) 6x 7x 0 = 0 47 a) 5x 4x + 8 = 0; b) 8x + 0x = 0 48 a) x 0x + = 0; b) x + 4x 07 = 0 49 a) x x + = 0; b) x 6 x + 6 = 0 40 a) x 4 5 x + = 0; b) 4x 4 )x = 0

57 Kvadratna jednačina 57 4 Rešiti po x jednačine: a) x + 5 )x = 0; b) x )x + 4 = 0; c) + )x )x + = 0 4 Rešiti po x jednačine a, b realni brojevi): a) x + bx a + 8ab 5b = 0; b) x ax + a + a = 0; c) x + a n x = a n x + a 4n ; d) a b )x a + b )x + ab = 0 4 a) 5x 0mx + 9m 4 = 0; b) x 4ax + 4a b = 0 44 a) x b = ab x); b) x 4mx + 4m = 0 45 a) mn + )x + x mm ) = 0; b) a m )x a + m )x + a m = 0 46 a) x a) = x + ) a; b) xa + b) x ) + ab = 0 47 x + aba + ab + b ) = a x + b x + abx 48 Jednačine amx a m )x am = 0, amx + ) = a x + m x imaju dva jednaka korena a druga dva suprotna Dokazati 49 U jednačinama x 5mx + 4m = 0 i x + mx 4m = 0, prva rešenja su jednaka a druga suprotna Dokazati 440 Date su jednačine x ax+a b = 0 i a b )x ax+ = 0 Dokazati da su rešenja druge jednačine recipročne vrednosti rešenja prve 44 Jednačine x 4amx+4m a b ) = 0 i x bx 4m a b ) = 0, imaju dva jednaka korena a druga dva suprotna Dokazati 44 Jednačine x 4a x a a x 4a = i x +4ax a imaju dva jednaka rešenja a druga dva suprotna Dokazati Jednačine u zadacima ) transformisati u ekvivalentne kvadratne jednačine i zatim odrediti skup njihovih rešenja: 44 a)x ) + x 5) = 4x ) + 0; b) z ) + z 4) = z 5) x )x ) + x )x ) + x )x ) = x + )x + )x + ) x + 4)x + )x + ) = x 5

58 58 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 446 a) x x 4 = x 4 ; b) y + y ) + = y ) y 9 y y + 5 = 9 y 7 8 y a) x + x + x x 9 = x + x 4 + x + x ; 5x b) x x 5 x + = 4x 5 x x 449 a) x 9 x + 5 x 8 = 5 x x 9 ; x + b) x + x 6 x x 5x + 6 = 6 x 9 xx + 5) 450 x 8x + + x + x + 7 = x x ) + x + 7 x 8x + 45 x 5 x + 7 x x 6) + = x 4 x ) + x x 6) + xx + 5) 45 x 8x + 9 x x + 5 = 4 x + 6 x + 5 x 8x x x 0 x + 7x + 0 = x 4 + x 7x + 0 x x x + x x 8 x x + x = 8 0x a) x + x x + = 0; b) x x + = 0 c) x 8 x + 5 = 0; d) x + x x + + = a) x x + = 4; b) x x + = ; c) x 8x + = x 8x + ; d) x x + x + 5 = 0; e) x + x + + x = 4, 5 x + 6 Jednačine u zadacima ) transformisati u ekvivalentne kvadratne jednačine i zatim odrediti njihov skup rešenja a, b, m, n realni brojevi): a a x + b b x x c x4a + b + c ) = a + b) = 458 x + ab ab ax a + b c 4a + b + c ) = + b + c a c x

59 Kvadratna jednačina a x b x ab a + b = a + b b x ab a + m 46 a + x) a + m a + b + x = b m 46 x 46 a) x + b am a b ) = a a x a + b + x b ) a x m m m b b + m b + x) m m x + x x m = + nx; b) x m + x n = m + n 464 a) x n x m + x m x n = 0 ; b) x + m x n x n x + m = 465 a) a + 4b x + b a 4b 466 a) b) x b = 4b a a x a x) a = a a axa x) ; n + nx n + ) = x x x 4x a 467 a) nx x a x nx + n x = ; ) a x ) a x a + b b) x ax + a = 5 9x ; b) a + 6b x + b a 6b x b = 6 b a 468* Data je jednačina x a+b)x+ ab a+b x) = 0, gde su a i b realni brojevi Dokazati da je jedno rešenje date jednačine aritmetička, a drugo geometrijska sredina brojeva a i b 469* Data je jednačina a + b)x a + b) x abx a b) = 0, gde su a i b realni brojevi Dokazati da je jedno rešenje date jednačine aritmetička, a drugo harmonijska sredina brojeva a i b 470* Ako je fx) = x x + ) x + ) x x + x + x + x, rešiti jednačinu fx) = x

60 60 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija x 0x Ako je fx) = x ), rešiti jednačinu fx) = x) x) { x +, x > 47 Ako je fx) = rešiti jednačinu fx)) x, x < = 4x+ 47 U sledećim jednačinama odrediti parametar m tako da rešenja po x budu jednaka: a) 4x m+)x+m m = 0; b) x m )x m 4) = 0; c) x + m)x + m = 0; d) mx + m + 4)x + m 5 = 0; e) m + )x + m )x + 4m + = 0; f) m )x + m + )x + m = Zavisno od parametra k odrediti prirodu rešenja kvadratne jednačine po x: a) k )x k + )x + k + = 0; b) k )x k + )x + 4 = 0; c) 4k )x + k )x + 7 6k = 0; d) k x k5k + )x 4k + ) = Ako su a, b, c merni brojevi stranica trougla, onda su koreni jednačine b x + b + c a )x + c =0 kompleksni Dokazati 476* Data je jednačina ab c)x +bc a)x+ca b) = 0 Dokazati da su za svako a, b, c, ab c) 0) rešenja date jednačine realna Odrediti ta rešenja 477* Ako je a + b 0, jednačina a + b) x a b)a b )x aba + b ) = 0 ima realna rešenja Dokazati, a zatim rešiti datu jednačinu 478* Date su jednačine ) ) x + x + a = 0, + a)x + x + a) a )x + ) = 0, u kojima je a realan parametar, a x nepoznata Dokazati da su koreni jednačine ) realni i različiti ako su koreni jednačine ) kompleksni i, obrnuto, da su koreni jednačine ) kompleksni ako su koreni jednačine ) realni i različiti

61 Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce 6 479* Ako jednačina ) x + px + q = 0 p, q realni brojevi) ima realna rešenja, onda i jednačine ) ) x + p + a)x + q + ap = 0 a realan broj), x + p + a)x + q + ap = 0 takod - e imaju realna rešenja Dokazati 480* Ako jednačina ) x + px + q = 0 p, q realni brojevi) ima realna rešenja, onda i jednačina x + k + ) px + p + q k ) = 0, k k) gde je k realan broj, takod - e ima realna rešenja Dokazati 48 Ako su a, m, n realni brojevi, dokazati da su koreni jednačine x m + x n = a, realni Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Vietove formule jednačine ax + bx + c = 0 a 0) glase ) x + x = b a i x x = c a Činioci trinoma ax + bx + c su: ) ax + bx + c = ax x )x x ) 48 Formirati kvadratnu jednačinu x + px + q = 0 ako su poznata njena rešenja x i x : a) x = 7, x = ; b) x =, x = ;

62 6 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija c) x = 5 +, x = 5 ; d) x = 5 +, x = 5 ; 6 6 e) x = + i, x = i; f) x = + i, x = i; g) x = a a + b, x = b a b 48 a) x = + 5, x = 5 ; b) x = 484 a) x = 4 + 5i, x = 4 5i 5 +, x = 5 ; b) x = + i, x = i ; a) x = a, x = a ; b) x = m, x = 4 m 486 a) x = m a) x = m m, x =, x = m 5 m m + ; b) x = a + ; b) x = a + m a m, x = a m a + m, x = a Ako je dat zbir rešenja s i proizvod p kvadratne jednačine, odrediti njena rešenja ): 488 a) s = 4, p = ; b) s = 4, p = a) s = a) s = 4 +, p = 5 ; b) s = ), p =, p = ; b) s = 5 5, p = a) s = a b, p = a b ; b) s = a b m, p = a b m 49 a) s = a b m, p = a ab m ; b) s = 5a 4, p = a a 6b b 49 s = b m, p = 4b 4bm m ) 494 s = a + b, p = 9 a + 7ab 4b ) 495 s = a + m, p = 4 m + 8am a )

63 Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce s = mm + ) m +, p = 7a 6m 497 s =, p = 6a am + 4m 498 Data je jednačina x x 7 = 0, čija su rešenja x i x Ne rešavajući ovu jednačinu, odrediti numeričke vrednosti izraza: a) x + x ; b) x x ; c) 4x + x x + x x + 4x 499 Ako su x i x rešenja jednačine 5x x = 0, ne rešavajući je odrediti numeričke vrednosti izraza: a) x x x + x x x ; b) x + x x x + + x + x x x + + x x 500 Neka su x i x rešenja jednačine 6x 5x + = 0, ne rešavajući datu jednačinu formirati kvadratnu jednačinu po y, čija su rešenja ) y = x + x, y = x + x 50 Data je jednačina x + 5x 6 = 0 Ne rešavajući ovu jednačinu, formirati kvadratnu jednačinu po y, čija su rešenja y i y povezana sa rešenjima x i x date jednačine pomoću y = x + x, y = x + x 50 Ako su x i x rešenja kvadratne jednačine x x 7 = 0, napisati kvadratnu jednačinu po y čija su rešenja y = x + x, y = x x 50 Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja četvrti stepeni rešenja jednačine x + px + q = Rešenja x i x kvadratne jednačine zadovoljavaju uslove: a) x + x x x = 0, mx x x + x ) = m ; b) x + x + x x = m, x x mx + x ) = ; Napisati ovu kvadratnu jednačinu i odrediti za koje vrednosti parametra m ta jednačina ima realna rešenja

64 64 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 505 Ne odred - ujući rešenja x i x date kvadratne jednačine po x, sastaviti kvadratnu jednačinu y + py + q = 0 po y, čija su rešenja y i y : a) x 5x = 0, y = x +, y = x + ; b) x 4x + = 0, y = x + x, y = x x ; c) 4x x + = 0, y = x x, y = x x ; d) x x + 5 = 0, y = x + x, y = x + x 506 Neka su x i x rešenja jednačine x + px + q = 0 Odrediti jednačinu az + bz + c = 0, čija su rešenja z = x + x, z = x + x 507 Neka su x i x koreni jednačine x p + )x + p = 0: a) odrediti jednačinu az + bz + c = 0, čiji su koreni z = x, z = x ; x x b) u tako dobijenoj jednačini odrediti parametar p tako da jedan koren te jednačine bude 4 ; c) za dobijenu vrednost parametra p naći odgovarajuće vrednosti x i x 508 Ako su x i x koreni jednačine x m+)x+m = 0 m realno): a) formirati kvadratnu jednačinu ay + by + c = 0 po y, čija su rešenja y = x, y = x ; b) u dobijenoj jednačini odrediti parametar m tako da jedno njeno rešenje bude dva puta veće od drugog; c) za tako nad - eno m odrediti odgovarajuće vrednosti x i x 509 Neka su x i x koreni jednačine x p + )x + p = 0: a) formirati kvadratnu jednačinu az +bz +c = 0, čiji su koreni x = x, z = x ; b) u dobijenoj jednačini odrediti parametar p tako da jedan njen koren bude četiri puta veći od drugog; c) za dobijenu vrednost parametra p odrediti odgovarajuće vrednosti x i x

65 Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Proveriti da li su brojevi x = 5 5, x = rešenja jednačine x + x = 0? 5 Ako je a + b + c = 0, odrediti korene jednačine ax + bx + c = 0 5 U jednačini x +mx+8 = 0, odrediti realnu vrednost broja m tako da je zbir recipročnih vrednosti rešenja jednak 4 5 U jednačini x 5x + n = 0, odrediti realan broj n tako da je zbir kvadrata rešenja jednak 54 U jednačini x sx+8 = 0, odrediti vrednost realnog broja s tako da je suma kvadrata rešenja jednaka 0 55 Data je kvadratna jednačina x k + )x + k + = 0, gde je x nepoznata a k realan parametar Odrediti parametar k tako da je suma kvadrata rešenja jednaka 6 56 U jednačini x m 4)x+m 6 = 0, odrediti realan broj m tako da je zbir kvadrata rešenja 57 Data je kvadratna jednačina x m )x+4 m = 0, odrediti realan parametar m iz uslova: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) da su rešenja recipročna; d) da je jedno rešenje jednako nuli 58 Data je kvadratna jednačina m+)x m+)x+9 = 0 Odrediti realan broj m tako: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) da su rešenja recipročna 59 Data je kvadratna jednačina 5x mx + m 4 = 0, odrediti realan broj m iz uslova: a) da su rešenja realna i jednaka; b) da su rešenja suprotni brojevi; c) jedno rešenje je nula; d) jedno rešenje je ; e) suma kvadrata rešenja jednaka je 5 50

66 66 Kvadratna jednačina i kvadratna funkcija 50 Data je kvadratna jednačina 4x a )x + a a = 0 Odrediti realan broj a tako da važi: a) rešenja realna i jednaka; b) rešenja suprotni brojevi; c) jedno rešenje je jednako nuli; d) jedno rešenje je 5 Ne rešavajući datu kvadratnu jednačinu, odrediti m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov: a) x +5x + m 4m + = 0, x x = ; b) m + )x mx + m = 0, x x = ; c) m )x 4m )x + m = 0, x = x ; d) mx m + )x + m 4 = 0, 4x + )4x + ) + = 0; e) m )x m )x + m = 0, x + x = 5 4 ; f) x mx m 5 = 0, x + x x x = 8; g) x mx + m + = 0, x + x = 6; h) m )x mx + m = 0, x + x = 0x x ; i) x + m )x + m = 0, x x + x x + 6 = 0; j) x x + m = 0, x + x = 7; k) mx m + )x + = 0, x x + x x = 4 5 Data je jednačina m )x m + )x + m + = 0 Odrediti parametar m tako da zbir kvadrata njenih rešenja bude jednak 5 5 U jednačini x m )x + m + = 0 odrediti parametar m tako da je zbir kubova rešenja date jednačine jednak zbiru rešenja 54 Neka su x i x rešenja jednačine ax +bx+c = 0 a 0) Izraziti u funkciji koeficijenata a, b, c vrednosti sledećih izraza: a) x + x ; b) + ; c) x + x ; d) x x x + x

67 Vietove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Za svaku od sledećih jednačina naći vezu izmed - u njenih rešenja koja ne zavise od parametara: a) m )x 4mx m + = 0; b) mx m )x + m + = 0; c) m + )x m + )x + 4 m = 0; d) x a + )x + a + = 0; e) k )x k )x + k = 0; f) 8x 4p )x + pp 4) = 0 56 U jednačini k )x + k 5)x k + ) = 0 odrediti parametar k tako da je: a) x + x > ; b) x + x < ; c) x x + x x < 57 Data je jednačina x m+)x+m+ = 0 Odrediti sve vrednosti realnog parametra m za koje je tačna konjunkcija x + x > x + x < 5, gde su x i x rešenja date jednačine 58 Ako su α i β koreni jednačine x + ax + a + b = 0, dokazati da važi jednakost α + αβ + β + b = 0 59 U jednačinama x ax + b 4 = 0 i y by + a = 0, odrediti 4 realne brojeve a i b tako da koreni jedne od tih jednačina budu jednaki recipročnim vrednostima korena druge jednačine 50 U jednačini x m + )x + m = 0 odrediti realan parametar m tako da razlika kvadrata njenih korena bude 5 Za tako nad - eno m rešiti datu jednačinu 5 Za koje vrednosti parametra m jednačine: a) x m + )x + = 0 i 4x 9m )x + 6 = 0; b) x + mx m = 0 i x mx + m = 0, imaju zajedničko rešenje?