OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA

Transcript

1 Tihomir Latinović Miroslav Prša Tihomir Latinović, Miroslav Prša OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Banja Luka,

2 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Biblioteka: INFORMACIONE TEHNOLOGIJE Udžbenici, knjiga 3 Naziv: OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Autori: Tihomir Latinović, Miroslav Prša Recenzenti: Prof. Dr Vera Bajović Redovni profesor, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad Prof. Dr Vladimir Katić Redovni profesor, Fakultet tehničkih nauka, Novi Sad Za štampariju: Srđan Ivanković Štampa: GRAFID D.O.O. Copyright, 2013 Tihomir Latinović. Sva prava zadržana. Zakonom zabranjeno i kažnjivo preštampavanje i fotokopiranje i bilo koji vid digitalnog zapisa, bez saglasnosti autora. Sva prava zadržava autor. 2

3 Tihomir Latinović Miroslav Prša PREDGOVOR Cilj ovoga Udžbenika je da studentima tehničkih i informatičkih fakulteta približi, pre svega fenomenološki, osnovne pojmove iz elektrotehnike, pristupajući im sa pozicije inženjera. Autori su pokušali da stave na papir svoja iskustva u višegodišnjem predavanju Prof. Prše na predmetima "Osnovi elektrotehnike" i "Osnovi elektrotehnike i elektronike" na Saobraćajnom, Mašinskom i Odsjeku inženjerstva zaštite životne sredine, Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu i Prof. Latinovića na predmetima Elektrotehnika, Elektrotehnika sa elektronikom i Osnovama elektrotehnike 1 i 2, na Mašinskom fakultetu u Banjoj Luci, Istočnom Sarajevu i fakultetu za industrijski menadžment u Trebinju. Pri tome su se trudili da više pažnje posveti onim delovima gradiva za koje procenjuje da postoji veća verovatnoća da će se budući inženjeri tehničkih i informatičkih struka sresti u praksi. Svoj posao recenzenata su savjesno i kvalitetno, obavili dr Vera Bajović, redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu i dr Vladimir Katić, redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu, sugerišući nam određene dopune i izmene, koje su autori sa zadovoljstvom prihvatili i želimo da im se, i ovim putem, zahvalimo na saradnji. Zahvaljujem se prije svega svojoj porodici, koja me je podržala i podržava, stvarajući mi uslove za rad. Zahvaljujem se i Srđanu Ivankoviću vlasniku grafičke kuće GRAFID iz Banja Luke, koja je uradila prelom, korice i izdala knjigu. Zahvaljujem se i studentima Mašinskog fakulteta Banjoj Luci, Istočnom Sarajevu i Trebinju na provjeri materijala, koja su poslije predavanja postala dio knjige.. Nema mrtve materije, jer po cjeloj beskrajnoj vaseljeni sve se kreće, sve treperi, sve živi, TESLA Banja Luka, avgust

4 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina 4

5 5 Tihomir Latinović Miroslav Prša

6 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina 6

7 Tihomir Latinović Miroslav Prša Sadržaj PREDGOVOR... 4 Sadržaj OSNOVNI POJMOVI OSNOVNI POJMOVI O NAELEKTRISANJU I ELEKTRIČNIM OSOBINAMA MATERIJE OSNOVNI POJMOVI O SKALARNIM I VEKTORSKIM VELIČINAMA OSNOVNI POJMOVI O KOMPLEKSNIM BROJEVIMA ELEKTROSTATIKA DEFINICIJA ELEKTRIČNOG POLJA I ELEKTROSTATIČKOG POLJA VEKTOR JAČINE ELEKTRIČNOG POLJA RAD ELEKTRIČNIH SILA, NAPON I POTENCIJAL ELEKTRIČNOG POLJA DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU PROVODNICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU KAPACITIVNOST I KONDENZATORI KAPACITIVNOST USAMLJENOG TIJELA KONDENZATOR I KAPACITIVNOST KONDENZATORA REDNA I PARALELNA VEZA KONDENZATORA ENERGIJA SADRŽANA U NAELEKTRISANOM KONDENZATORU VREMENSKI KONSTANTNE ELEKTRIČNE STRUJE UVOD ELEKTRIČNA STRUJA VEKTOR GUSTINE STRUJE INTENZITET ILI JAČINA ELEKTRIČNE STRUJE PRVI KIRHOFOV ZAKON ZAKON I OTPORNICI OMOV ZAKON OTPORNICI REDNA I PARALELNA VEZA OTPORNIKA

8 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina 3.7. DŽULOV ZAKON GENERATORI I NJIHOVE KARAKTERISTIKE OPŠTI POJMOVI NAPONSKI GENERATOR STRUJNI GENERATOR PROSTO ELEKTRIČNO KOLO ODREĐIVANJE JAČINE STRUJE U PROSTOM ELEKTRIČNOM KOLU SA PROIZVOLJNO MNOGO GENERATORA I OTPORNIKA POTENCIJALI I NAPONI U PROSTOM ELEKTRIČNOM KOLU ELEKTRIČNE MREŽE OPŠTI POJMOVI I PODELA ELEKTRIČNIH MREŽA DRUGI KIRHOFOV ZAKON RJEŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA RJEŠAVANJE PASIVNIH ELEKTRIČNIH MREŽA RJEŠAVANJE AKTIVNIH ELEKTRIČNIH MREŽA TRANSFORMACIJA VEZE OTPORNIKA U ZVIJEZDU U VEZU OTPORNIKA U TROUGAO I OBRNUTO NEKE TEOREME ELEKTRIČNIH MREŽA TEOREMA SUPERPOZICIJE TEVENENOVA TEOREMA NORTONOVA TEOREMA TEOREMA ODRŽANJA SNAGE U ELEKTRIČNIM MREŽAMA NELINEARNI ELEMENTI NEKI HEMIJSKI GENERATORI PRIMARNI HEMIJSKI GENERATORI (BATERIJE) SEKUNDARNI HEMIJSKI GENERATORI (AKUMULATORI) VREMENSKI KONSTANTNO MAGNETSKO POLJE UVOD VEKTOR MAGNETSKE INDUKCIJE BIO SAVAROV ZAKON MAGNETSKI FLUKS SUPSTANCA U MAGNETSKOM POLJU FEROMAGNETSKI MATERIJALI VREMENSKI PROMJENLJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETSKO POLJE UVOD ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

9 Tihomir Latinović Miroslav Prša 5.3. LENCOV ZAKON VRTLOŽNE STRUJE POVRŠINSKI EFEKAT MEĐUSOBNA I SOPSTVENA INDUKTIVNOST ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA NEKI PRIMJERI PRIMJENE ELEKTROMAGNETSKE INDUKCIJE PRINCIP RADA ELEKTRIČNOG TRANSFORMATORA PRINCIP RADA GENERATORA PROSTOPERIODIČNE ELEKTROMOTORNE SILE PRINCIP RADA GENERATORA JEDNOSMJERNE ELEKTROMOTORNE SILE PRINCIP RADA ELEKTROMOTORA INDUKTIVNOSTI U ZATVORENOM STRUJNOM KRUGU KALEM INDUKTIVNOSTI L U ZATVORENOM STRUJNOM KRUGU DVA INDUKTIVNO SPREGNUTA ZATVORENA KOLA VREMENSKI PROMJENLJIVE ELEKTRIČNE STRUJE ELEKTRIČNE MREŽE SA VELIČINAMA OPŠTE VREMENSKE ZAVISNOSTI JAČINA STRUJE, NAPON I SNAGA ELEMENATA MREŽE SA VREMENSKI PROMJENLJIVIM STRUJAMA KIRHOFOVI ZAKONI U MREŽAMA SA VREMENSKI PROMJENLJIVIM STRUJAMA ELEKTRIČNE MREŽE SA PROSTOPERIODIČNIM VELIČINAMA OSOBINE PERIODIČNIH I PROSTOPERIODIČNIH FUNKCIJA PROSTOPERIODIČNI NAPONI I JAČINE STRUJA NA PASIVNIM ELEMENTIMA MREŽE SNAGE U MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNA SIMBOLIKA U MREŽAMA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA PROSTOPERIODIČNE VELIČINE U KOMPLEKSNOM DOMENU KOMPLEKSNI PREDSTAVNICI NAPONA I JAČINA STRUJA ELEMENATA MREŽE SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA KOMPLEKSNA SNAGA PRIJEMNIKA I GENERATORA KOMPLEKSNI OBLIK PRVOG I DRUGOG KIRHOFOVOG ZAKONA

10 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina PREDSTAVLJANJE KOMPLEKSNIH ELEKTRIČNIH VELIČINA U KOMPLEKSNOJ RAVNI RJEŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA U KOMPLEKSNOM DOMENU RJEŠAVANJE PASIVNIH KOMPLEKSNIH MREŽA REDNA I PARALELNA VEZA VIŠE IMPENDANSI TRANSFORMACIJA VEZE IMPENDANSI U TROUGAO U VEZU IMPENDANSI U ZVIJEZDU I OBRNUTO RJEŠAVANJE AKTIVNIH KOMPLEKSNIH MREŽA NEKE OD TEOREMA KOMPLEKSNIH MREŽA TEOREMA SUPERPOZICIJE TEVENENOVA I NORTONOVA TEOREMA TEOREMA ODRŽANJA KOMPLEKSNE SNAGE PRILAGOĐENJE PRIJEMNIKA NA GENERATOR POPRAVKA FAKTORA SNAGE PRIJEMNIKA POSEBNE VEZE PASIVNIH, KOMPLEKSNIH ELEMENATA PROSTO REZONANTNO KOLO (REDNO REZONANTNO KOLO) PROSTO ANTIREZONANTNO KOLO (PARALELNO REZONANTNO KOLO) INDUKTIVNO SPREGNUTE GRANE U KOMPLEKSNOM OBLIKU REALAN TRANSFORMATOR U LINEARNOM RADNOM REŽIMU IDEALAN TRANSFORMATOR U KOMPLEKSNOM DOMENU AUTOTRANSFORMATOR TROFAZNI SISTEMI POLIFAZNI I TROFAZNI SISTEMI I GENERATORI VEZIVANJE PRIJEMNIKA NA TROFAZNE MREŽE Vezivanje simetričnog prijemnika u zvijezdu VEZIVANJE SIMETRIČNOG TROFAZNOG PRIJEMNIKA U TROUGAO SNAGE TROFAZNIH PRIJEMNIKA I GENERATORA OSNOVNA ELEKTRIČNA MJERENJA OSNOVNI POJMOVI O MJERENJIMA I MJERNIM INSTRUMENTIMA GREŠKE MJERENJA PRINCIPI KONSTRUKCIJE I RADA OSNOVNIH MJERNIH INSTRUMENATA INSTRUMENT SA KRETNIM KALEMOM INSTRUMENT SA KRETNIM (MEKIM) GVOŽĐEM

11 Tihomir Latinović Miroslav Prša ELEKTRODINAMIČKI INSTRUMENT OSNOVNE MJERNE METODE MJERENJE JAČINE ELEKTRIČNE STRUJE MJERENJE NAPONA I ELEKTROMOTORNE SILE MJERENJE OTPORNOSTI MJERENJE IMPEDANSE KOMPLEKSNOG PRIJEMNIKA MJERENJE UČESTANOSTI MJERENJE SNAGE PRIJEMNIKA MJERENJE UTROŠENE ELEKTRIČNE ENERGIJE DIGITALNI INSTRUMENTI UVOD DIGITALNI MULTIMETRI ELEKTRIČNE MAŠINE UVOD ISTOSMJERNE MAŠINE ISTOSMJERNI GENERATOR ISTOSMJERNI MOTOR NAPON ISTOSMJERNOG GENERATORA NAPON ISTOSMJERNOG MOTORA PRAZNI HOD ISTOSMJERNOG GENERATORA OPTEREĆENJE ISTOSMJERNE MAŠINE KOMUTACIJA POBUDE ISTOSMJERNIH MAŠINA PARALELNI RAD ISTOSMJERNIH GENERATORA MOTORI ISTOSMJERNE STRUJE POKRETANJE ISTOSMJERNIH MOTORA REGULACIJA BRZINE VRTNJE KOLEKTORSKI MAŠINE NAIZMJENIČNE STRUJE UVOD JEDNOFAZNI KOLEKTORSKI MOTOR NAZMJENIČNA KOLEKTORSKA MAŠINA ASINHRONE MAŠINE UVOD KONSTRUKCIJA ASINHRONOG MAŠINE STATOR ROTOR RAD ASINHRONOG MOTORA ZAKRETNI TRANSFORMATOR KLIZANJE ASINHRONOG MOTORA GUBICI ASINHRONOG MOTORA POKUS PRAZNOG HODA ASINHRONOG MOTORA POKUS KRATKOG SPOJA ASINHRONOG MOTORA

12 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina KOČENJE ASINHRONE MAŠINE NOMINALNI PODACI ASINHRONOG MOTORA MOMENTNA KARAKTERISTIKA ASINHRONOG MOTORA POKRETANJE KAVEZNIH MOTORA REGULACIJA BRZINE VRTNJE ASINHRONOG MOTORA ZAŠTITA ASINHRONIH MOTORA JEDNOFAZNI ASINHRONI MOTORI TROFAZNI MOTOR KAO JEDNOFAZNI SINHRONE MAŠINE UVOD KONSTRUKCIJA SINHRONE MAŠINE RAD SINHRONOG GENERATORA NAMOTAJ SINHRONIH MAŠINA IZRAČUNAVNJE INDUKOVANE EMS PRAZNI HOD SINHRONOG GENERATORA OPTEREĆENJE SINHRONOG GENERATORA POKUS KRATKOG SPOJA SINHRONOG GENERATORA POJEDINAČNI RAD SINHRONOG GENERATORA PARALELNI RAD SINHRONOG GENERATORA SINHRONIZACIJA SINHRONOG GENERATORA PREUZIMANJE OPTEREĆENJA SINHRONI MOTOR ZAŠTITA GENERATORA LITERATURA

13 13 Tihomir Latinović Miroslav Prša

14 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina 1. OSNOVNI POJMOVI Kakva je to epoha u kojoj je lakše razbijati atom nego predrasudu. Albert Einstein 1.1. OSNOVNI POJMOVI O NAELEKTRISANJU I ELEKTRIČNIM OSOBINAMA MATERIJE Elektrotehnika se, najvećim svojim dijelom, bavi takozvanim makroskopskim efektima, tj. pojavama prouzrokovanim djelovanjem velikog broja elementarnih čestica iz kojih je sastavljena materija. Međutim, da bi mogli biti opisani uzroci nastanka tih makroskopskih pojava, neophodno je podsjećanje na elementarnu strukturu materije. Pri tome je, za opisivanje osnovnih događanja u elektrotehnici, dovoljno posmatranje najjednostavnijeg modela atoma, čestice od kojih je sastavljena bilo koja materija. Prema tom modelu svaki atom je sastavljen od jezgra, u kome se nalaze protoni i neutroni, i elektrona koji se kreću oko jezgra na različitim rastojanjima. Atom je najsitnija čestica elemenata koja se ne može razložiti, a da se pri tom ne promijene osnovna svojstva samog elementa. Atom se sastoji od: atomske jezgre i atomske ljuske. Atomska jezgra sastavljena je od protona (nosioci pozitivnog električnog naboja) i neutrona (bez naboja). Atomska ljuska obavija atomsku jezgru i u njoj se nalaze elektroni (negativnog naboja) koji kruže oko atomske jezgre. Takav model atoma vodonika i ugljenika prikazan je na Sl Sl Pojednostavljen prikaz atoma vodonika i ugljenika Protoni u jezgru i elektroni imaju osobinu da na neki poseban način mijenjaju prostor oko sebe. Ta osobina se, po dogovoru, naziva naelektrisanjem. Ustanovljeno je, takođe, da su, na neki način, naelektrisanja protona i elektrona 14

15 Tihomir Latinović Miroslav Prša suprotna po svom djelovanju, pa je, ponovo po dogovoru, naelektrisanje protona označeno kao pozitivno, a naelektrisanje elektrona kao negativno. Za naše potrebe može se smatrati da je naelektrisanje protona i elektrona najmanje, koje postoji u prirodi, pa se, zbog toga, naziva elementarno naelektrisanje. Uobičajeno je da se, za kvantitativno definisanje elementarnog naelektrisanja, izrazi naelektrisanje elektrona, koje iznosi, Qe = 1, C (1.1) gde je Q oznaka naelektrisanja uopšte, Q e oznaka naelektrisanja elektrona (u fizici se često naelektrisanje elektrona obeležava sa e), a C oznaka jedinice za naelektrisanje, koja se naziva kulon, po francuskom fizičaru Kulonu (Charles Coulomb, ). Neutroni su čestice koje nisu naelektrisane, a za atom se kaže da je električno neutralan, ukoliko ima isti broj protona i elektrona. Važno je naglasiti da su ove elementarne naelektrisane čestice osnovni, fizički uzročnici svih pojava u elektrotehnici. Na samom početku ovog uvoda je već napomenuto da će, i u okviru ovog udžbenika, biti posmatrane samo makroskopske elektromagnetske pojave. To, u stvari, znači da se neće razmatrati pojave, čiji su uzrok usamljena elementarna naelektrisanja, već samo pojave koje prouzrokuje djelovanje velikog broja tih naelektrisanja. S druge strane, pri kvantitativnom opisivanju pojava u elektrotehnici će morati da bude korišćen određen matematički aparat, koji operiše pojmovima tačke, kao dijela prostora, čija zapremina teži nuli, kao i trenutka vremenskog intervala čije trajanje teži nuli. Očigledno je da su takvi matematički pojmovi u suprotnosti sa zahtjevom da se posmatra djelovanje velikog broja elementarnih čestica. Zbog toga se, za opisivanje makroskopskih pojava, uvode pojmovi fizički male zapremine i fizički malog intervala vremena. Fizički mala zapremina u elektrotehnici odgovara pojmu matematičke tačke. Ona mora, istovremeno, da bude dovoljno mala da bi predstavljala tačku, odnosno, da bi mogla da joj se pridruži samo jedna vrijednost makroskopske veličine, i dovoljno velika da obuhvati dovoljan broj elementarnih čestica, kako bi moglo da se izvrši usrednjavanje njihovog djelovanja. Ista situacija je i sa fizički malim intervalom vremena. On mora da bude dovoljno mali da bi predstavljao trenutak, kome se pridružuje samo jedna trenutna vrijednost makroskopske veličine i, istovremeno, dovoljno velik da sadrži veliki broj kretanja na nivou atoma. Obje ove fizičke veličine će, u daljem tekstu, biti 15

16 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina obilježavane matematičkim oznakama infinitezimalnih veličina. Fizički mala zapremina će biti označena sa dv, a fizički mali interval vremena sa dt i u daljem tekstu će se o tim veličinama govoriti kao o tački, odnosno, o trenutku vremena u matematičkom smislu. Sa strukturom materije je povezano i različito ponašanje različitih materijala u elektrotehnici. Postoji više različitih podjela materijala u pogledu njihovih električnih i magnetskih osobina, pa će, na ovom mjestu biti prikazana jedna od neophodnih podjela. Po svojim električnim osobinama, uobičajeno je da svi materijali mogu da se podijele u tri osnovne grupe. Prvu grupu materijala čine provodnici. U tim materijalima, pri normalnim temperaturama i pritiscima, postoji veliki broj naelektrisanih čestica, koje su u stanju da se u supstanci relativno slobodno kreću. Takva naelektrisanja obično se nazivaju slobodna naelektrisanja ili naelektrisanja provodnosti. Uobičajeno je još da se provodnici dijele u dvije grupe. U prvu grupu spadaju metali, kod kojih su atomske veze, koje drže elektrone (prije svega one iz spoljašnjih ljuski) u sklopu atoma, relativno slabe, pa se već pri sobnim temperaturama i normalnim pritiscima, javlja veliki broj elektrona, koji nisu vezani za atome. Drugim riječima, slobodna naelektrisanja u metalima su elektroni. Najbolji provodnici, što znači da sadrže najveću koncentraciju slobodnih elektrona, su srebro, zatim bakar, aluminijum i drugi metali. U drugu grupu provodnika spadaju, prije svega, tečni rastvori, kod kojih se neutralni molekuli rastvorenih supstanci raspadaju na dva suprotno naelektrisana dijela - na pozitivne i negativne jone. Uobičajeno je da se takvi provodni tečni rastvori nazivaju elektroliti. Pozitivni i negativni joni mogu slobodno da se kreću u elektrolitima, pa, prema tome, oni predstavljaju slobodna naelektrisanja elektrolita. Osim čvrstih provodnika i elektrolita, u ovu grupu spadaju i neki gasovi. Kao što ćemo kasnije detaljnije proučavati, svako usmjereno, organizovano kretanje naelektrisanja se naziva električnom strujom. Zbog velikog broja slobodnih naelektrisanja i mogućnosti njihovog kretanja, kažemo da u provodnicima može da se uspostavi električna struja. U drugu grupu materijala spadaju izolatori ili dielektrici. Za razliku od prve grupe, ovu grupu materijala karakterišu jake atomske veze, koje, pri normalnim uslovima, onemogućavaju odvajanje elektrona od matičnih atoma ili grupe atoma, koji obrazuju molekul. To znači da je koncentracija slobodnih naelektrisanja kod takvih materijala veoma mala. Izolatori postoje u sva tri agregatna stanja i u tu grupu spadaju materijali, kao što su guma, porcelan, 16

17 Tihomir Latinović Miroslav Prša razna ulja i velika većina gasova. Mali broj slobodnih naelektrisanja onemogućava da se u izolatorima formira struja većih intenziteta. U treću grupu materijala spadaju poluprovodnici, kod kojih je koncentracija slobodnih naelektrisanja veća nego kod izolatora, a manja nego kod provodnika. Poseban značaj poluprovodnika je u njihovoj primjeni u elektronici, u izradi tzv. poluprovodničkih elemenata, kao što su diode, tranzistori, integrisana kola i drugo. Najpoznatiji predstavnici te grupe materijala su silicijum, germanijum, selen i drugi. U elektrotehnici se često koriste i pojmovi savršenog provodnika i savršenog izolatora, koji predstavljaju idealizovane slučajeve realnih materijala. Prema prethodnim definicijama provodnika i izolatora, savršen provodnik ima, teorijski, beskonačan broj slobodnih, pokretnih naelektrisanja, dok se u savršenom izolatoru ne nalazi nijedno jedino slobodno naelektrisanje. Iako su fikcija, ovi idealizovani materijali se često koriste, kako u teorijskim tako i u praktičnim razmatranjima OSNOVNI POJMOVI O SKALARNIM I VEKTORSKIM VELIČINAMA Za kvantitativno opisivanje pojava u elektrotehnici koristi se određeni matematički aparat. Pretpostavlja se da čitalac vlada većinom tog matematičkog aparata, a ovaj i sledeći dio treba da budu podsjetnik na neka poglavlja matematike, koja su neophodna za bolje opisivanje pojava u elektrotehnici. U ovom dijelu biće više pažnje posvećeno vektorskim veličinama i operacijama sa vektorima. Kao što je čitaocu vjerovatno poznato, osim skalarnih veličina (temperatura, snaga, energija i sl.), definisanim samo brojnom vrijednošću, postoje i veličine koje ne mogu dovoljno dobro da se opišu samo brojnom vrijednošću. Kretanje automobila, na primjer, nije dovoljno opisano samo brojnom vrijednošću brzine kretanja, već je potrebno definisati i pravac i smjer tog kretanja. U cilju što preciznije definicije svih sličnih veličina, uvodi se pojam vektorske veličine ili vektora, kome se, osim brojne vrijednosti ili intenziteta vektora, pridružuju i pravac i smjer vektora. Najčešće korišćene vektorske veličine su sila, brzina, ubrzanje, putanja i slično. 17

18 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Dio prostora, kome je, u svakoj tački, u opštem slučaju, pridružena samo brojčana vrijednost, naziva se skalarno polje, dok se dio prostora, čije stanje se opisuje vektorskim vrijednostima u svakoj tački, naziva vektorsko polje. Vektorske veličine se obično obilježavaju strelicom iznad oznake vektora, kao, na primjer, F r, v r, a r, r l i slično. Intenzitet vektora se obično obilježava kao apsolutna vrijednost, F r ili, jednostavno, F (bez strelice, koja ga označava kao vektor). Grafički se vektor obično predstavlja strelicom, kao što je to prikazano na Sl. 1.2, pri čemu se definiše početna tačka vektora M i krajnja tačka N, koja se naziva kraj ili glava vektora. Sl Grafički prikaz vektora Sl Grafički prikaz vektorskog polja Vektorsko polje, takođe, može da se prikaže grafički. U tom slučaju se to predstavljanje vrši pomoću linija polja, koje jednoznačno prikazuju vektorsko polje. Linije polja su, u opštem slučaju, krive linije, koje imaju osobinu da je pravac vektorske veličine koja opisuje polje, u svakoj tački linije polja, tangentan na tu liniju. Uobičajeno je, takođe, da se skup linija polja opremi strelicama, koje definišu smjer vektora, a gustina nacrtanih linija polja je proporcionalna intenzitetu vektora u svakom dijelu prostora. To znači da dio prostora sa gušće prikazanim linijama polja predstavlja domen većeg intenziteta vektora, dok je u domenu rjeđih linija polja, intenzitet vektora manji. Grafički prikaz vektorskog polja, linijama polja, dat je na Sl Od operacija sa vektorima, najveću važnost u tehnici uopšte, imaju zbir i razlika dva ili više vektora, kao i skalarni i vektorski proizvod dva vektora. Podsjećanju na te operacije će biti posvećen naredni dio teksta. Prije razmatranja pomenutih vektorskih operacija, podsjetimo se na pojam orta ili jediničnog vektora, kao i na pojam komponenti vektora. Pod pojmom ort 18

19 Tihomir Latinović Miroslav Prša ili jedinični vektor podrazumijeva se vektor koji ima određen pravac i određen smjer, a intenzitet mu je jednak jedinici. Uobičajeno je da se ort vektora obilježi kao vektorska veličina, kojoj se dodaje indeks "0" (na primjer r 0 ), ako je u nekom opštem smjeru, odnosno, ako je u smjeru neke ose izabranog koordinatnog sistema, pridružuje mu se indeks te ose. Na primjer, ort u smjeru ose x Dekartovog koordinatnog sistema će biti zapisan u obliku: i r r x, pri čemu se iskaz da je njegov intenzitet jednak jedinici piše u obliku: i x = 1. Komponente vektora predstavljaju projekcije vektora na ose usvojenog koordinatnog sistema. Obično se komponente vektora opremaju indeksom odgovarajuće ose, tako da, na primjer, F x predstavlja projekciju vektora F r na x osu i naziva se x komponenta vektora F r. Prema tome, vektor F r može da se predstavi pomoću svojih komponenti, na primjer u Dekartovom koordinatnom sistemu, na sljedeći način: r r r r F = i F + i F + i F. (1.2) x x y y z z Sabiranje i oduzimanje dva ili više vektora se vrši po komponentama vektora. Komponenta rezultantnog vektora u smjeru određene ose dobija se kao zbir ili razlika komponenti pojedinačnih vektora u smjeru te iste ose. Ako su, na primjer, definisana dva vektora, r r r r r r r r A = ix Ax + iy Ay + iz Az i B = ixbx + iyby + iz Bz, r r ± B, će biti dat izrazom: r r r r r A ± B = i ( A ± B ) + i ( A ± B ) + i ( A ± B ). (1.3) njihov zbir ili razlika, A x x x y y y z z z Princip grafičkog sabiranja i oduzimanja dva vektora, predstavljen je na Sl i Sl Sa tih slika može, istovremeno, da se vidi i da negativan vektor, na pr. B r, ima isti intenzitet i pravac kao i vektor + B r, ali suprotan smjer. 19

20 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Sl Grafičko sabiranje dva vektora Sl Grafičko oduzimanje dva vektora Važno je, možda, još napomenuti da za zbir i razliku dva vektora važi komutativni zakon: r r r r r r r r A + B = B + A, odnosno, A B = B + A. (1.4) U radu sa vektorima se, u tehnici, veoma često sreće proizvod intenziteta dva vektora, pomnožen sa kosinusom ugla, koji zaklapaju pravci i smjerovi ta dva vektora, r r A B cosα = AB cosα, (1.5) pri čemu je α ugao između pravaca vektora A r i B r. Gore prikazani proizvod je skalarna veličina, pa je jednostavno dogovoreno, da se takav proizvod nazove skalarni proizvod dva vektora i zapiše na sljedeći, skraćeni, način: r r A B = AB cosα. (1.6) Za skalarni proizvod dva vektora važi, takođe, komutativni zakon, r r r r A B = B A. (1.7) Često se, u tehnici, javlja i pojam vektorskog proizvoda dva vektora. Pod ovim pojmom se podrazumijeva definisanje jednog novog vektora C r, čiji intenzitet je definisan kao r C = AB sinα, (1.8) pravac mu je određen normalom na površ, koju definišu vektori A r i B r, a smjer mu je određen takozvanim pravilom desne zavojnice. Pravilo desne zavojnice se, inače, takođe često koristi u tehnici. Ono glasi da se smjer vektora C r određuje tako što se prvi vektor, najkraćim putem, zarotira u položaj drugog 20

21 Tihomir Latinović Miroslav Prša vektora i pri tome se posmatra smjer rotacije. Smjer vektorskog proizvoda ta dva vektora je definisan smjerom kojim bi se kretao desni zavrtanj, pri posmatranoj rotaciji. Na taj način je vektorski proizvod r r r C = A B (1.9) jednoznačno određen. Za vektorski proizvod dva vektora ne važi komutativni zakon, pošto je r r r r A B = ( B A). (1.10) 1.3. OSNOVNI POJMOVI O KOMPLEKSNIM BROJEVIMA Čitaocu su, vjerovatno, već poznati pojmovi imaginarne jedinice i kompleksnog broja, tako da će u ovom dijelu biti samo ponovljene neke osnovne definicije i relacije iz matematičke simbolike kompleksnih brojeva. U matematici je imaginarna jedinica definisana kao: i = + 1. (1.11) U elektrotehnici je uobičajeno da se skalarne vremenski promjenljive veličine označavaju malim slovima, pa je oznaka i rezervisana za intenzitet ili jačinu vremenski promjenljive struje. Zbog toga je dogovoreno da se, u elektrotehnici, imaginarna jedinica obilježava malim slovom j. U radu sa imaginarnom jedinicom važe sljedeće relacije: j 2 = = =, j 4 j 2 j 2 ( ) 3 2 = j j = 1, j j j 1 j j itd, = = ( 1) 1 = 1, 1 1 j j j = = = = j 2 j j j j 1. (1.12) Kompleksni broj može da se predstavi u obliku realnog i imaginarnog dijela, a da bi se znalo da se radi o kompleksnoj veličini, obično se, ispod oznake veličine, piše crtica, 21

22 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Z = a + jb, (1.14) gdje su a i b realni brojevi i nazivaju se realni, odnosno, imaginarni dio kompleksnog broja, što se, simbolično, predstavlja kao: a = Re{ Z} b = Im{ Z}. (1.15) Konjugovano kompleksna vrijednost nekog kompleksnog broja, Z = a + jb, obično obilježena zvjezdicom, data je izrazom: * Z = a jb. (1.16) Sabiranje i oduzimanje dva kompleksna broja, Z = a + jb i Y = c + jd, vrši se tako što se posebno saberu realni, a posebno imaginarni dijelovi, Z ± Y = ( a + jb) ± ( c + jd ) = ( a ± c) + j( b ± d ). (1.17) Množenjem dva kompleksna broja dobija se sljedeći izraz: 2 ( )( ) ( ) ( ) Z Y = a + jb c + jd = ac + jad + jbc + j bd = ac bd + j ad + bc. Množenje kompleksnog broja Z njegovom konjugovano kompleksnom vrijednošću, Z, daje, ( )( ) Z Z a jb a jb a jab jab j b a b * = + + = + = +, što predstavlja kvadrat modula kompleksnog broja. Prema tome, modul kompleksnog broja Z je, Z Z a b 2 2 = = +. Dijeljenjem dva kompleksna broja, Z = a + jb i Y = c + jd, dobija se novi kompleksni broj, Z a+ jb a+ jb c jd ac jad + jbc j bd ac + bd bc ad Z Y Z Y = = = = j = = * 2 Y c+ jd c+ jd c jd c + d c + d c + d Y Y Y. 2 * * Kompleksni broj Z = a + jb, može da se predstavi i u takozvanom eksponencijalnom obliku, Z j = Z e ϕ, gde je 2 2 Z = a + b i 22

23 Tihomir Latinović Miroslav Prša b ϕ = arctg. a Kao što je već rečeno, Z = Z predstavlja modul, a ugao ϕ se naziva argument kompleksnog broja. Transformacija kompleksnog broja iz algebarskog u eksponencijalni oblik može da se izvede korišćenjem Ojlerovog obrasca, koji glasi, e jα = cosα + j sinα. Koristeći modul Z i argument ϕ, osim u takozvanom algebarskom obliku, Z = a + jb, kompleksni broj može da se zapiše i u trigonometrijskom obliku, ( cosα sinα ) Z = Z + j. Kompleksni broj Z može grafički da se predstavi u takozvanoj kompleksnoj ili faznoj ravni. Takvo predstavljanje kompleksnog broja je prikazano na Sl Ugao ϕ se računa od pozitivnog dijela realne ose i to tako da se uglovi veći od nule nanose u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljki na satu, dok se negativni uglovi nanose u smjeru kretanja kazaljki na satu. Kao što može da se vidi na Sl. 1.6, veliki broj veličina, koje su pomenute u prethodnom tekstu mogu da se prikažu u kompleksnoj ravni. Sa Sl može, takođe da se vidi da je Z Z a b 2 2 = = +, tg φ = b a, cos φ = a Z i sin φ = b Z. Slika 1.6. Grafičko prikazivanje kompleksnog broja 23

24 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina 2. ELEKTROSTATIKA Obrazovanje se ne sastoji od toga koliko ste zapamtili ili koliko znate. Sastoji se od toga da razlikujete koliko znate, a koliko ne. Albert Ajnštajn 2.1. DEFINICIJA ELEKTRIČNOG POLJA I ELEKTROSTATIČKOG POLJA Bilo bi logično da se, na ovom mjestu, definiše šta je, u stvari, električno polje. Međutim, jednostavna i jasna definicija električnog polja, u smislu šta je to, ne postoji. Zbog toga je uobičajeno da se električno polje definiše preko posljedice, odnosno preko osobine da na neko naelektrisanje djeluje silom. Električno polje je dio prostora oko električnog naboja u kojem postoje sile koje djeluju na druge naboje. Prema tome, ako na neko naelektrisanje, koje se postavi na bilo koje mjesto u nekom prostoru, djeluje sila, tada se kaže da u tom prostoru postoji električno polje. Naravno, električno polje postoji i bez prisustva tog naelektrisanja, kojim se samo detektuje polje, odnosno, utvrđuje njegovo postojanje. Važno je napomenuti da neka druga, jasna definicija električnog polja, jednostavno, ne postoji. Osnovni izvori električnog polja su naelektrisanja. U slučaju makroskopske teorije elektromagnetskog polja, radi se, ne o elementarnim naelektrisanim česticama, već o većim ili manjim naelektrisanim tijelima, pri čemu se, kao najmanje moguće naelektrisano tijelo, uzima naelektrisana fizički mala zapremina. Ako se makroskopska naelektrisanja ne kreću i ne mjenjaju u vremenu, električno polje, koje takva naelektrisanja stvaraju u svojoj neposrednoj okolini, naziva se elektrostatičko polje VEKTOR JAČINE ELEKTRIČNOG POLJA Osim kvalitativnog opisa električnog polja, datog u prethodnom dijelu, potrebno je električno polje opisati i kvantitativno; odrediti njegovu "jačinu". No, prije nego što se krene u konkretnu kvantifikaciju polja, potrebno je upoznati se sa pojmom probnog naelektrisanja. Po definiciji, probno naelektrisanje je takvo 24

25 Tihomir Latinović Miroslav Prša naelektrisanje, koje je u stanju da detektuje neko električno polje, a da ga, pri tome, ne promijeni bitno. U prethodnom dijelu je već rečeno da svako naelektrisanje predstavlja izvor električnog polja, tj. prouzrokuje električno polje u svojoj neposrednoj okolini i to polje se superponira polju, koje u datom domenu već postoji. Prema tome, svako naelektrisanje, pa i probno, svojim poljem, mijenja postojeće električno polje. Kada se govori o probnom naelektrisanju, očigledno je da dimenzije takvog naelektrisanog tijela, kao i njegovo naelektrisanje, moraju da budu toliko mali, da, pri njegovom postavljanju u polje, promijene polja mogu da se zanemare. Probno naelektrisanje se, obično, obilježava sa Q. Ustanovljeno je da je mala sila, kojom električno polje djeluje na probno naelektrisanje, proporcionalna tom naelektrisanju. Ta proporcionalnost se, obično, definiše iskazom da je, r r F = E Q (2.1) pri čemu je faktor proporcionalnosti E r vektorska veličina, pošto skalarna veličina Q mora da bude srazmjerna vektorskoj veličini F r. Faktor proporcionalnosti E r se naziva vektor jačine električnog polja i predstavlja osnovnu veličinu električnog polja. Istovremeno, izraz (2.1) predstavlja najopštiji izraz za silu u električnom polju. Prema tome, vektor jačine električnog polja E r, kao vektorska veličina, definisan je intenzitetom, pravcem i smjerom i sve ove tri veličine se, u opštem slučaju, mijenjaju od tačke do tačke. Pošto je definisano vektorskom veličinom, električno polje može grafički da se predstavi linijama vektora E r, koje, po dogovoru, počinju na pozitivnom, a završavaju na negativnom naelektrisanju. Postoji više načina određivanja vektora jačine električnog polja E r. Jedan od mogućih načina određivanja vektora E r je korišćenje izraza (2.1). Ukoliko je poznata sila kojom električno polje djeluje na probno naelektrisanje, vektor jačine električnog polja može da se odredi iz izraza (2.1): r r F E = Q. Pogledajmo kako je definisan vektor jačine električnog polja jednog značajnog izvora elektrostatičkog polja tačkastog naelektrisanja. Tačkasto naelektrisanje je, u stvari, fiktivno, konačno veliko naelektrisanje, locirano u tački (u našem slučaju u fizički maloj zapremini dv). Pojam tačkastog 25

26 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina naelektrisanja ima veliki značaj, jer svako naelektrisano tijelo može da se predstavi u obliku zbira tačkastih naelektrisanja. Vektor jačine električnog polja, koje tačkasto naelektrisanje Q prouzrokuje u vakuumu, u tački M, na rastojanju r od tačkastog naelektrisanja, određen je eksperimentalno i dat sljedećim izrazom: r 1 Q r EM = 2 0 (2,2) 4 r U izrazu (2.2), osim već pomenutih veličina, nastupaju i neke veličine, koje će sada biti predstavljene. r 0 predstavlja ort ili jedinični vektor u smjeru vektora rastojanja r između tačke u kojoj se nalazi tačkasto naelektrisanje i tačke M, u kojoj se određuje vektor E r, kao što je prikazano na Sl πε 0 Sl Grafičko prikazivanje vektora E r tačkastog naelektrisanja Smjer jediničnog vektora, orta rr 0 je od izvora polja, naelektrisanja Q, ka mjestu u kome se određuje vektor E r, tj. ka tački M. Konstanta ε 0 se naziva permitivnost ili dielektrična konstanta vakuuma i iznosi 0 12 ε = 8, F/m. Oznaka "F" u jedinici za permitivnost je oznaka za jedinicu kapacitivnosti, "farad" i o njoj će biti više riječi kasnije. Očigledno je, na osnovu simetrije problema, da intenzitet vektora jačine električnog polja ne zavisi od pravca u kome se, u odnosu na položaj tačkastog naelektrisanja, nalazi tačka M, već samo od rastojanja te tačke i tačkastog naelektrisanja Q. To znači da u svim tačkama na sferi poluprečnika r, sa centrom na mjestu tačkastog naelektrisanja, vektor jačine električnog polja ima isti intenzitet. Na Sl su prikazane linije vektora jačine električnog polja, E r, za slučaj kada je tačkasto naelektrisanje pozitivno i kada je negativno. 26

27 Tihomir Latinović Miroslav Prša Jedinica za intenzitet vektora jačine električnog polja je V/m, gde je V oznaka za jedinicu električnog napona, koja se naziva "volt" po italijanskom fizičaru Volti (Alessandro Volta, ) i o kojoj će kasnije biti više riječi. Pomoću izraza (2.1) i (2.2) može da se odredi sila, kojom dva tačkasta naelektrisanja djeluju jedno na drugo. Pretpostavimo da neko tačkasto naelektrisanje Q 1 stvara, u tački M, električno polje, opisano vektorom jačine električnog polja E r izraza (2.2). Ako se sada u tačku M postavi neko drugo tačkasto naelektrisanje, Q 2, na to naelektrisanje će, prema izrazu (2.1), djelovati sila r r Q1 r Q1Q 2 r FQ 1Q 2 = E1Q 2 = 2 0 Q2 = 2 0 (2.3) 4 r 4 r πε πε 0 0 Gornji izraz predstavlja Kulonov zakon za silu između dva tačkasta naelektrisanja, do koga je, eksperimentalnim putem, došao Kulon, mjerenjima u toku i godine. Iz tog eksperimenta je proizašao i izraz za vektor jačine električnog polja E r tačkastog naelektrisanja, dat izrazom 2.2. Važno je naglasiti da izraz 2.3. predstavlja izraz za silu samo u slučaju dva tačkasta naelektrisanja, a opšti izraz za silu u elektrostatičkom polju je izraz RAD ELEKTRIČNIH SILA, NAPON I POTENCIJAL ELEKTRIČNOG POLJA Rad, koji se izvrši pomjeranjem nekog tijela pod dejstvom sile F r na nekom makroskopski malom dijelu puta, definisanom kao vektor, r l, izražava se skalarnim proizvodom ta dva vektora, r r A = F l = F l cosα, gdje je α ugao, koji zaklapaju pravci vektora F r i r l, kao što je prikazano na Sl

28 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Sl Određivanje rada na putanji dužine r l, kao i nekom putanjom od tačke P do tačke K Ukupan rad na pomjeranju iz početne tačke P do krajnje tačke K, putanjom konačne dužine l, može da se odredi tako što se ukupna dužina l izdijeli na segmente dužine l, na svakom segmentu se izvrši skalarni proizvod F r r l i zatim se svi ti skalarni proizvodi saberu, A n r r = F l, odpdok k k k = 1 gdje je n broj segmenata na koje je izdijeljena putanja l. Kada je putanja između tačaka P i K kriva, dijeljenjem putanje na konačan broj segmenata se pravi greška, koja je utoliko veća što je manji broj segmenata. Da bi se takva greška eliminisala, uobičajeno je da se putanja izdijeli na beskonačno mnogo veoma malih segmenata, čija dužina teži nuli, dl 0. Rad na tom elementarnom dijelu putanje je, r r da = F dl, a ukupan rad, od tačke P do tačke K je jednak zbiru tih elementarnih radova, pri čemu se znak sume zamjenjuje znakom integrala, K r r AodPdoK = F dl. P Prema tome, određeni integral je, r u r stvari, zbir beskonačno mnogo beskonačno malih skalarnih proizvoda F dl. Ukoliko rad vrše sile električnog polja, definisane opštom jednačinom za silu (2.1), rad električnih sila na pomjeranju probnog naelektrisanja Q od tačke P do tačke K, putanjom dužine l, će biti: K K r r r r A = QE dl = Q E dl, el. sila P pošto Q, kao veličina koja se prilikom pomjeranja ne mijenja, može da se izvuče ispred znaka integrala. Elektrostatičko polje, opisano vektorom jačine električnog polja E r, spada u tzv. konzervativna ili potencijalna polja. Karakteristika takvih polja je da je rad, P 28

29 Tihomir Latinović Miroslav Prša koji se izvrši po proizvoljnoj zatvorenoj putanji jednak nuli. U slučaju elektrostatičkog polja, konzervativnost polja se definiše iskazom da je (2.4) Veoma važna posljedica konzervativnosti elektrostatičkog polja je činjenica da rad, izvršen između dvije tačke u polju, zavisi samo od položaja tih tačaka, a ne zavisi od putanje, kojom se vrši. Posmatrajmo dvije tačke, P i K, u elektrostatičkom polju i odredimo rad, koji izvrše sile električnog polja, pomjerajući probno naelektrisanje Q iz tačke P u tačku K, putanjama a i b, kao što je prikazano na Sl Sl Rad električnih sila po zatvorenoj putanji Rad električnih sila po zatvorenoj putanji PaKbP će biti: r r r r r r A Q E d Q E d Q E d, odakle slijedi da je K P el. sila = l = l + l = 0 PaKbP Pa Kb K P K r r r r r r Q E dl = Q E dl = Q E dl. Pa Kb Pb S obzirom da je Q konačan broj različit od nule, cijela jednačina može da se podijeli sa Q, pa se dobija da je r r r r r r E dl = E dl = E dl. K K K Pa Pb P Kako su krive a i b izabrane prozvoljno, slijedi da je gornji integral nezavisan od putanje integracije. Prema tome, u fizičkom smislu, gornji integral je brojno jednak radu koji izvrše sile električnog polja, pomjerajući jedinično pozitivno naelektrisanje iz tačke P u tačku K. Tako definisan integral se naziva električni napon ili 29

30 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina jednostavno samo napon između dvije tačke u električnom polju i obilježava se velikim slovom U, sa indeksima početne i krajnje tačke, U PK K r r = E dl (2.5) Iz svega gore izloženog se vidi da je napon jednoznačno određena veličina za proizvoljno odabran par tačaka u elektrostatičkom polju. Pošto je izbor tačaka P i K sasvim proizvoljan, moguće je položaj krajnje tačke K izabrati tako da se ona nalazi izvan domena u kome postoji električno polje. Tako izabrana tačka K, koju karakteriše nulto energetsko stanje, naziva se referentna tačka i obilježava se velikim slovom R. U odnosu na tako izabranu referentnu tačku, moguće je, sada, odrediti napon između bilo koje tačke i referentne tačke, što znači da svakoj tački u prostoru može da se pridruži jedna skalarna veličina, koja definiše njeno energetsko stanje u odnosu na referentnu tačku. Na taj način se uvodi pojam potencijala električnog polja ili električnog potencijala, koji se obilježava velikim slovom V, sa indeksom tačke u kojoj se definiše, V P P P R r r = E dl. (2.6) Naravno, na isti način može da se definiše i potencijal tačke K, V K K R r r = E dl, kao i bilo koje druge tačke u elektrostatičkom polju. Jasno je da je, u fizičkom smislu, potencijal brojno jednak radu koji izvrše sile električnog polja, pomjerajući jedinično naelektrisanje iz tačke P u referentnu tačku R. Na osnovu definicije referentne tačke, kao i na osnovu izraza (2.6), može se zaključiti da je potencijal referentne tačke jednak nuli, VR = 0. Naglasimo još jednom, da vrijednosti potencijala u pojedinim tačkama zavise, a vrijednosti napona između dvije tačke u polju ne zavise od izbora referentne tačke. Postoji jednostavna veza napona između dvije tačke, sa potencijalima tih tačaka. Kako napon između dvije tačke ne zavisi od putanje integracije, izvedimo integraciju putanjom, koja prolazi kroz referentnu tačku, 30

31 Tihomir Latinović Miroslav Prša K R K R R r r r r r r r r r r U = E dl = E dl + E dl = E dl E dl = V V (2.7) PK P K P P R P K Prema tome, napon između dvije tačke u elektrostatičkom polju, jednak je razlici potencijala te dvije tačke. Kao što je već spomenuto u prethodnom dijelu, jedinica za napon i potencijal je "volt" i označava se velikim slovom V. U praksi se napon javlja u veoma širokom opsegu vrijednosti. Najmanja vrijednost napona, koji danas može da se mjeri, iznosi oko 1 pv (pv = V). Napon između ruke i srca čovjeka je oko 1 mv, dok je napon između unutrašnjosti i spoljašnjosti živca čovjeka oko 40mV. Na ulaz audio pojačala se dovodi napon signala od nekoliko mv do 1 V. Razni hemijski izvori električne energije imaju napone od 1,2 V do preko 100 V. Napon gradske mreže u Americi iznosi 110 V, dok je u Evropi taj napon 230 V. Pri prenosu električne energije koriste se naponi od 20 kv do preko 1 MV. Na kraju, napon između naelektrisanog oblaka i zemlje, neposredno prije udara groma, može da bude reda 100 MV. PRIMJER 2.1. Izračunati električnu silu na jedno od tri identična tačkasta naelektrisanja, Q = 10 nc, koja se nalaze u vakuumu, u tjemenima jednakostraničnog trougla, stranice a = 1cm. Pošto je sistem simetričan, potpuno je svejedno na koje naelektrisanje se računa sila. S obzirom da se radi o tačkastim naelektrisanjima, tražena sila može da se odredi određivanjem rezultantnog vektora jačine električnog polja E r, koje, na mjestu, na primjer, naelektrisanja Q 2, stvaraju naelektrisanja Q 1 i Q 3, pa se zatim, rezultantna sila na Q 2, određuje primjenom osnovnog izraza za silu (2.1). Vektor jačine električnog polja, koje, na mjestu naelektrisanja Q 2, stvara naelektrisanje Q 1 je jednak: r 1 Q r E12 = a πε Zbog simetrije cijelog problema, intenziteti vektora jačine električnog polja koja, na mjestu naelektrisanja Q 2, stvaraju naelektrisanja Q 1 i Q 3 su jednaki, E 0 = E

32 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Sl. P.2.1. Grafički prikaz problema Način rješavanja ovog problema, kao i pravac i smjer rezultantne sile F r, prikazani su na Sl. P.2.1. Intenzitet rezultantnog vektora jačine električnog polja u tački, u kojoj se nalazi naelektrisanje Q 2, iznosi: Q 3 E = 2E cos 30 =, πε 0a odakle se dobija da je intenzitet rezultantne sile, F = E. Q = E. Q = 15,57mN. 2 PRIMJER 2.2. Izračunati električnu silu, kojom ravnomjerno naelektrisani prsten, poluprečnika a, naelektrisan naelektrisanjem Q 1, djeluje na tačkasto naelektrisanje Q 2, u svom centru. Sl. P.2.2. Sila u centru naelektrisanog prstena 32

33 Tihomir Latinović Miroslav Prša Ravnomjerno naelektrisan prsten može da se izdijeli na veliki broj veoma malih dijelova, dužine dl. Na svakom takvom malom dijelu postoji mala količina naelektrisanja koja može da se tretira kao tačkasto naelektrisanje. Na Sl. P.2.2. lako mogu da se uoče parovi dijametralno postavljenih naelektrisanja, na dijelovima prstena dl 1 i dl 2. Svaki od ova dva segmenta stvaraju u centru prstena električno polje istog pravca i intenziteta, ali suprotnog smjera. Stoga je rezultantno električno polje od ova dva dijela prstena, u centru prstena, jednako nuli. Na isti način mogu da se posmatraju i svi drugi dijametralno postavljeni parovi segmenata prstena, pa može da se zaključi da se sva elementarna polja na mjestu naelektrisanja Q 2 međusobno poništavaju, tako da je rezultantno električno polje u centru prstena: r E = na _ mestu _ Q 0 2 Sila, kojom prsten djeluje na naelektrisanje Q 2 je, zbog toga, r r F = E. Q = 0. Q1 naq2 na _ mestu _ Q2 2 Napomenimo još da bi sila kojom naelektrisanje prstena Q 1 djeluje na naelektrisanje Q 2 bila različita od nule, kada bi se naelektrisanje Q 2 nalazilo u bilo kojoj drugoj tački.. PRIMJER 2.3. Potencijal nekog provodnog tijela, u odnosu na referentnu tačku R 1, iznosi V 1 = 1 kv. Potencijal istog tijela u odnosu na referentnu tačku R 2 iznosi V 2 = 2 kv. Izračunati koliki rad izvrše sile električnog polja, pomjerajući probno naelektrisanje Q=1pC od R 1 do R 2. Sl. P.2.3. Računanje rada električnih sila između R 1 i R 2 Rad sila električnog polja ne zavisi od oblika putanje po kojoj se taj rad vrši, već samo od položaja krajnjih tačaka. Taj rad je određen izrazom: 33

34 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina R2 A = Q E r dl. R1 Vidi se da je gornji integral, po definiciji, jednak naponu između dvije referentne tačke, R 1 i R 2, R2 R1 r r E dl = U Ovaj napon može da se odredi na osnovu činjenice da je promjena potencijala provodnog tijela posljedica izbora nove referentne tačke. Novi potencijal se razlikuje od starog upravo za napon između referentnih tačaka, Iz poznate vrijednosti napona R1 R2 V V U kv 1 2 = R 1 1R = 2 U R1 R2, određuje se sada rad električnih sila, 9 A QU. R 10 1R J 2 = =. PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA 1) Kako glasi definicija električnog, a kako elektrostatičkog polja? Kako se uvodi vektorska veličina koja kvantitativno opisuje elektrostatičko polje, kako se naziva i u kojim jedinicama se izražava? 2) Šta u fizičkom smislu, u elektrostatici, predstavlja napon između dva naelektrisana provodna tijela, a šta potencijal usamljenog, naelektrisanog provodnog tijela? 3) Šta je referentna tačka? 4) Električno polje može da se opiše jednom vektorskom i jednom skalarnom veličinom. Koje su to veličine? Pod kojim uslovima te veličine jednoznačno opisuju električno polje? Navesti jedinice za te dvije veličine, kao i vezu između njih. 5) Odrediti jedinicu za intenzitet vektora jačine električnog polja, polazeći od jedinice za potencijal. 34

35 Tihomir Latinović Miroslav Prša 2.4. DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU U dosadašnjim razmatranjima je posmatrano elektrostatičko polje u vakuumu, tj. polje, koje prouzrokuju nepokretna, vremenski nepromjenljiva naelektrisanja, koja se nalaze u vakuumu. U praksi se, međutim, vakuum javlja veoma rijetko, tako da proučavanje elektrostatičkog polja u nekoj supstanci ima mnogo veću praktičnu važnost. Supstanca, svojim prisustvom, uvijek utiče na elektrostatičko polje, koje se u njoj formira. Sve supstance u kojima postoji elektrostatičko polje se tretiraju kao idealni izolatori, tj. kao sredine bez slobodnih naelektrisanja. Kad to ne bi bio slučaj, kada bi u supstanci postojala slobodna naelektrisanja, polje bi na ta naelektrisanja djelovalo silom, pod djelovanjem te sile bi se naelektrisanja kretala, pa to više ne bi bila elektrostatika. Elektrostatičko polje, međutim, djeluje silom i na naelektrisanja koja su čvrsto vezana u atomima ili molekulima supstance, izazivajući njihova mikroskopska kretanja, kao što je prikazano na Sl Sl Pomjeranje vezanih naelektrisanja pod djelovanjem električnog polja Pošto se radi o elektrostatičkom polju, ta kretanja će postojati samo u kratkom, prelaznom intervalu vremena, dok se uspostavlja elektrostatičko polje u supstanci, a zatim će se ustaliti neko stacionarno, statičko stanje. Pojedina elementarna naelektrisanja će ostati mikroskopski pomjerena sve dok u supstanci postoji elektrostatičko polje i za supstancu, koja se nalazi u tako promijenjenom stanju, kaže se da je polarizovana. Pri tome, svaka polarizovana supstanca, svojim prisustvom, mijenja elektrostatičko polje u kome se nađe. Uticaj supstance, odnosno, način na koji se elektrostatičko polje u supstanci mijenja u odnosu na polje u vakuumu, može da se izrazi na više načina. Na ovom mjestu će biti prikazan samo jedan, najjednostavniji način sagledavanja i kvantitativnog opisivanja uticaja supstance na elektrostatičko polje. Naime, u prethodnom poglavlju je, u izrazima za vektor jačine električnog polja E r, za električni potencijal V i napon U, nastupala permitivnost ε 0, kao konstanta 35

36 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina vakuuma. Uticaj supstance na elektrostatičko polje može da se uzme u obzir tako što će se, jednostavno, u svim izrazima u kojima nastupa, konstanta 0 ε zamijeniti nekom konstantom ε, koja će biti karakteristika određenog materijala. Na taj način, svi izrazi za bilo koju električnu veličinu ostaju nepromijenjeni, samo što se, umjesto ε 0, piše ε. Konstanta ε se naziva permitivnost ili dielektrična konstanta nekog materijala i uobičajeno je da se predstavlja u obliku proizvoda permitivnosti vakuuma i tzv. relativne permitivnosti materijala, ε = ε ε. Jedinica za permitivnost ε je ista kao za ε 0, F/m, dok je relativna permitivnost neimenovan broj, koji pokazuje koliko je puta permitivnost nekog materijala veća od permitivnosti vakuuma. Ispostavlja se, naime, da je permitivnost vakuuma najmanja permitivnost u prirodi, a da svi materijali imaju permitivnosti veće od ε 0, što znači da je, kod svih materijala, ε r > 1. Kolike su, orijentaciono, vrijednosti relativnih permitivnosti nekih najčešće korišćenih materijala, prikazano je u Tabeli 2.1 r 0 MATERIJAL TABELA 2.1. Relativne permitivnosti nekih materijala Vazduh pri atmosferskom pritisku 1,0006 Staklo (razne vrste) 3,5 15 Parafin 2,2 2,3 Papir 2,5 3,5 Polivinilhlorid 3 4 Liskun 4 7 Voda (čista, na 0 0 C i na 20 0 C) ε r 2.5. PROVODNICI U ELEKTROSTATIČKOM POLJU Vrlo retko se u praksi dešava da u elektrostatičkom polju ne postoje provodna tijela. U stvari, najčešće se dešava da upravo naelektrisana provodna tijela, postavljena u izolatorsku sredinu, stvaraju elektrostatičko polje. U najvećem broju slučajeva se elektrostatičko polje određuje u prostoru između 36