SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek 25. rujan Siniša Ivković

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: AKSIJALNO OPTEREĆEN ŠTAP Siniša Ivković Osijek25. rujan 2015.

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA AKSIJALNO OPTEREĆEN ŠTAP SINIŠA IVKOVIĆ PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obraditi naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirati slučaj kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. U uvodu treba opisati problem u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema. Riješiti nekoliko primjera. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije) spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek 02. lipnja Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina

4 Sadržaj: Sažetak Uvod Djelovanje uzdužne sile Uzdužna sila u osi štapa Naprezanja Deformacije Dimenzioniranje Ekscentrično opterećenje Uzdužna sila i moment savijanja u jednoj od ravnina glavnih osi tromosti Ekscentrično opterećenje izvan glavnih ravnina tromosti Jezgra Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile Određivanje jezgre za neke poprečne presjeke Pravokutni poprečni presjek Kružni poprečni presjek Složeni poprečni presjeci Primjena jezgre pri ekscentričnom opterećenju Zadaci Zaključak Literatura

5 Sažetak U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. 1. Uvod U ovom radu ćemo obraditi slučaj kada je štap opterećen uzdužnom silom. U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. U teorijskom djelu je dan prikaz problema i izrazi potrebni za proračun. Riješeno je nekoliko primjera analitički i pomoću jezgre poprečnog presjeka. 2

6 2. Djelovanje uzdužne sile 2.1. Uzdužna sila u osi štapa Štap je opterećen koncentriranom silom u težištu poprečnog presjeka.ta sila može biti vlačna ili tlačna.vlačna izaziva produženje štapadok tlačna skraćenje štapa. Slika 1. Aksijalno opterećenje-vlak [4] Slika 2. Aksijalno opterećenje-tlak [4] 3

7 Naprezanja Slika 3. Poprečni presjekunutarnje sile [4] Iz uvjeta ravnoteže: ΣFx=0 N F= σ da-f Prema Hooke-ovom zakonu: σx=εx E N= ε E da N= εx E da N=σx da N=σ A σ = = Slika 4. Jednoliko rasprostiranje naprezanja po površini presjeka [4] Površina A je površina poprečnog presjeka nedeformiranog štapadok stvarno ili Cauchyjevo stanje u sebi sadrži površinu A 1 a to bi bila površina poprečnog presjeka deformiranog štapa.razlika između A i A 1 je neznatna. 4

8 Deformacija Prirast pomaka Slika 5. Deformacija vlačno opterećenog štapa [6] Relativna dužinska deformacija u nekoj točki štapa: ε x = du=ε dx (ε= ) du= dx (σ= ) du= dx u= +C Konstanta C se dobiva iz graničnih uvjeta;za specijalni slučaj N=const. i A=const. slijedi: Za N=0u=0 C=0 Za x=l i u=δl: Δl= Dobiveni izraz je ukupno produljenje štapaodnosno Hooke-ov zakon za rastezanje ravnog štapa. Iz slike 5. je vidljivo da će uzdužna deformacija biti jednaka relativno produljenje štapa: εx= (σ=e ε) σ=e (σ= ) =E Δl l Δl= 5

9 Slika 6. Izduženje štapa opterećenog vlačnom aksijalnom silom [4] Smanjenje poprečnih dimenzija: Poprečna deformacija: Δa=a 1 -a ; Δb=b 1 -b εz= ; εy= ; εz=εy =εp Poissonov koeficijent-omjer relativne poprečne i relativne uzdužne deformacije: υ = Poprečne dimenzije deformiranog štapa: a 1 =a+δa=a(1+ε z )=a(1-υε x ) b 1 =b+δb=b(1+ε y )=b(1-υε x ) Površina poprečnog presjeka deformiranog štapa: A 1 =a 1 b 1 =a(1-υε x )b(1-υε x )=A(1-υε x ) 2 =A(1-2υε x +υ 2 ε x 2 ) Relativno smanjenje ili kontrakcija poprečnog presjeka: Promjena volumena nosača: ψ= ΔV=V 1 -V=A 1 l 1 -Al=A(1-υε x ) 2 l(1+ε x )-Al=Al[(1-υε x ) 2 (1+ε x )-1] ΔV=Al(ε x -2υε x -2υε x 2 +υ 2 ε x 2 +υ 2 ε x 3 ) Relativna promjena volumena (volumenska deformacija): ε v = 6

10 Dimenzioniranje Kriterij čvrstoće: σ σ Dopušteno naprezanje: σ = ili σdop= Faktori sigurnosti: f T -u odnosu na granicu tečenja f M -u odnosu na vlačnu čvrstoću Za A=const.: σ max = σ dop A N max σdop A=N dop Kriterij krutosti: Δl max Δl dop Za AE (aksijalna krutost)=const.: Δl max = Δl dop 7

11 2.2. Ekscentrično opterećenje U slučaju opterećenja štapa na koji djeluje prostorni sistem silau bilo kojem poprečnom presjeku mogu se pojaviti 6 komponenti unutarnjih sila (NT y T z M x M y M z ).Osi z i y glavne su središnje osi tromosti presjekaa os x je uzdužna os.ekscentrično opterećenje je složeni oblik opterećenjaodnosno kombinacija savijanja te uzdužne sile (tlak ili vlak). Slika 7. Poprečni presjek štapa opterećenog uzdužnom silom i momentima u svakoj od osi [8] Uzdužna sila i moment savijanja u jednoj od ravnina glavnih osi tromosti Slika 8. Zbroj komponenti naprezanja [9] Štap je opterećen momentom savijanja M z i uzdužnom silom N.Moment savijanja M z uzrokuje normalna naprezanja: σx ' = y Naprezanja uzrokovana uzdužnom silom: σx '' = 8

12 Ukupno naprezanje dobijemo kao zbroj: σx=σx ' + σx '' = ± ± y Naprezanja u rubnim vlaknima: σxmax= + y max= + σxmin= - y min= - Položaj neutralne osiodsječak na osi z: σx= + y 0=0 y 0=- N M z Iz A =- iz 2 ; ( =iz 2 ) Opći oblik jednadžbe naprezanja bi bio: σxmax/min= ± Ako je uzdužna sila tlačnaonda gornji izrazi imaju predznak -a ako je vlačna +. 9

13 Ekscentrično opterećenje izvan glavnih ravnina tromosti Slika 9. Ekscentrična tlačna sila na štap [7] Promatramo štap upet u donjem dijelu i opterećen je tlačnom silom N koja djeluje ekscentrično u točki A.Os x je uzdužna osdok su osi y i z središnje osi tromosti poprečnog presjeka.udaljenost e naziva se ekscentričnošću sile F i dobije se: e= e + e e z=e sinα ; ey =e cosα M=N e M y =M sinα=n e sinα=n ez ; M z=m cosα=n e cosα=n e y (1) Odsječci na y i z osi kroz koje prolazi neutralna os: ay=- ; az=- Opći izraz za naprezanje: σx=+ ± y± z Ekscentrični pritisak: σx= ( + z+ y) Ekscentrično rastezanje: σx= + z+ y 10

14 Ako uzmemo u obzir izraz (1)dobiti ćemo izraz za naprezanje ako djeluje ekscentrična tlačna sila N: σx=- (1+ z + y) Gdje su i y i i z glavni polumjeri tromosti: iy = ; iz= Iz čega dalje dobijemo izraz za naprezanje ako djeluje ekscentrična vlačna sila N: σx= (1+ z + y) U neutralnoj osi presjeka σ x =0pa je jednadžba neutralne osi određena sljedećim: 1+ z + y=0 Iz toga proizlazi da neutralna os ne prolazi kroz težište poprečnog presjekate ovaj izraz možemo prikazati i u sljedećem obliku: + =1 Uvrstimo li izraze za odsječke na y i z osi kroz koje prolazi neutralna os dobiti ćemo jednadžbu neutralne osi u segmentnom obliku: z a + y a = 1 Iz ovog izraza vidljivo je da položaj neutralne osikoja dijeli presjek na zonu vlaka i zonu tlaka ne ovisi o velični i predznaku sile Nveć o položaju pola A (e y e z ) i oblika poprečnog presjeka.neutralna os i hvatište ekscentrične sile nalaze se u suportnim kvadrantima.ako se hvatište sile nalazi na jednoj od glavnih osi tromosti A (e y 0) tada je odsječak a z = a neutralna os je okomita na os y. 11

15 Slika 10. Hvatište sile u jednog od glavnih osi tromosti [7] σxx= + y σxx= (1+ e y y) σxx= (1+ y) Deformacije pri ekscentričnom opterećenju Deformacije se sastoje od promjene dužine i promjene zakrivljenosti elastične linije: Δl f = = Kod vitkog štapa i<<l te je Δl<<f tj. deformacije od uzdužne sile se mogu zanemariti u odnosu na deformacije od savijanja. 12

16 3.Jezgra poprečnog presjeka Ovisno o hvatištu ekscentrične sile neutralna os može presjecati rub presjekadodirivati ga ili ležati izvan presjeka.o položaju neutralne osi ovisi kakav će biti raspored naprezanja.ako je izvan presjeka ili dodiruje rub onda će u svim točkama presjeka normalno naprezanje biti jednakodakle u vlaku ili tlaku.u slučaju da neutralna os se nalazi unutar presjeka ona će taj presjek djeliti na dva djelai unutar kojih će jedan dio imati vlačna a drugi tlačna naprezanja. Slučaj kada je neutralna os unutar presjeka i kada postoji raspodjela naprezanja na vlak i tlakmože biti opasna za neke situacije kada se koriste krhki materijali koji imaju malu vlačnu čvrstoću odnosno kada je nosivost na vlak mala.ljevano željezobetonkamen su neku od materijala koje može ubrojati među takve.u takvim situacijama nastoji se da tlačna eksentrična sila koja djeluje na presjekne uzrokuje u opasnom presjeku vlačna naprezanjaa to se postiže ako korigiramo ekscentričnost uzdužne sile tako da neutralna os bude na rubu ili izvan zone poprečnog presjeka.u tom slučaju će čitav presjek biti opterećen u tlačnim naprezanjem i takav presjek osjetljiv na vlak neće biti u opasnosti. Ako na rubove poprečnog presjeka postavimo puno neutralnih osi koje tangiraju konture tog poprečnog presjekadobiti ćemo za svaki slučaj posebno hvatište ekscentrične sile.područje u poprečnom presjeku koje je ograničeno tim hvatištima a nalazi se oko težišta presjekanaziva se jezgra presjeka.iz toga dolazimo do zaključkada je jezgra presjeka ustvari dio poprečnog presjeka unutar kojeg se mora nalaziti hvatište ekscentrične sile ako želimo da cijeli presjek ima naprezanje istog predznaka.u slučaju da se hvatište ekscentrične uzdužne sile nalazi izvan jezgre presjekaonda će neutralna os biti unutar presjeka i samim time će se pojaviti naprezanje oba predznakatj i vlačno i tlačno. Ako se hvatište tlačne sile nalazi u težištu poprečnog presjeka (x 0 =0y 0 =0) onda: Iz izraza: ax=- 2 ay =- Dobivamo da se neutralna os nalazi u beskonačnosti: ax=- ay =- Slika 11. Određivanje hvatišta sile [7] 13

17 Jednadžba neutralne osi: + =1 Odsječci neutralne osi: ay =- az=- Koordinate hvatišta sile A(e y e z ) za neutralnu os sa odsječcima a y i a z odrediti ćemo izrazima: e y =- ez= Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile Slika 12. Odnos položaja neutralne osi i hvatišta sile [7] Za bilo koji položaj hvatišta na pravcu A'A'' neutralna os prolazi kroz točku C.Ako se neutralna os kreće oko točke C onda se pripadajuće hvatište A pomiče po pravcu (n.o. c). Vrijedi i obrnutopri pomicanju hvatišta sile po nekom pravcu (n.o. c) neutralna os rotira oko pripadajuće točke C. U slučaju kada je poprečni presjek konveksni poligononda je i njegova jezgra poligon.pri tome svakom vrhu danog poligona odgovara stranica ruba jezgrea i svakoj stranici poligona odgovara vrh ruba jezgre. Ovaj odnos vrijedi i za slučaj kada poprečni presjek nije konveksni poligonali se sve tangente na poprečni presjek reduciraju na konveksni poligonkao što je to kod sastavljenih profila. 14

18 3.2. Određivanje jezgre za neke poprečne presjeke Postoje 3 načina određivanja jezgre: 1) odrede se hvatišta sila na konturi poprečnog presjeka (istaknute točke na konturi poprečnog presjeka) te se traže neutralne osi 2) odrede se neutralne osi (poligon tangenata na poprečni presjek) te se traže hvatišta sila 3) grafički postupak Pravokutni poprečni presjek Slika 13. Pravokutni poprečni presjekodređivanje jezgre [7] Glavni središnji polumjeri tromosti pravokutnika jesu: iz 2 = iy 2 = Neutralna os a na glavnim osima odsjeca odsječke ay= az= Koordinate pripadajućeg pola atj. hvatišta u točki a: e y = =- =- ez=- =- =0 Na isti način i za ostale tri neutralne osi dobijemo pripadajuće polove: b( b 6 0) c(0 ) d( 0). Na ovaj način dobivamo vrhove jezgre presjekakoja ima oblik romba. 15

19 Kružni poprečni presjek Slika 14. Kružni poprečni presjekodređivanje jezgre [7] Polumjer tromosti: Središnji polumjeri tromosti: Iz=Iy= iz 2 =iy 2 = = = Iz toga se korjenovanjem dobije radijus tromosti: Jezgra je onda kružnica sa radijusom: iz=iy= az=(ay )- =- = Složeni poprečni presjeci: Kao što smo odredili jezgru presjeka za pravokutni poprečni presjektako bismo odredili i za I-presjek te U-presjek. Slika 15. Složeni poprečni presjeci [2] 16

20 3.3. Primjena jezgre pri ekscentričnom opterećenju Ekscentrična uzdužna sila F djeluje u točki A na udaljenosti e od težišta presjeka.ako silu F reduciramo na težište poprečnog presjekadobiti ćemo u poprečnom presjeku centričnu uzdužnu silu F i moment savijanja M=F e.najveća naprezanja će biti u točkama 1 i 2koje su najudaljenije od neutralne osi. Slika 16. Određivanje jezgre pri ekscentričnom opterećenju [9] (RDMS-ravnina djelovanja momenta savijanja) Ukupna naprezanja od ekscentrične sile F biti će suma naprezanja od centrične uzdužne sile F i naprezanja od momenta savijanja M=F e. σ12= + = (1 ± e k 12 ) 17

21 4. Zadaci Za zadane poprečne presjeke treba odrediti naprezanja ako su presjeci opterećeni uzdužnom silom. Naprezanja treba odrediti analitički i grafički-pomoću jezgre poprečnog presjeka. Jezgru poprečnog presjeka koristiti samo za slučaj ekscentričnog opterećenja. Nacrtati pripadajuće dijagrame naprezanja. Na presjek djeluje uzdužna tlačna sila F. Naprezanja odrediti za položaj sile u: a) točki A b) točki B c) točki C. 1) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-3) cm c) C(yz)=C(-3-5) cm F=200 N 2) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-3) cm c) C(yz)=C Izračunati položaj prema slici. F=150 N 3) a) A(yz)=A(00) cm b) B(yz)=B(0-12) cm c) C(yz)=C(-5z) cm F=400 N 18

22 1) a) A(yz)=A(00) cm Površina A=h b=20 10=200 cm 2 Naprezanje σ x = = = -1 N/cm 2 19

23 b) B(yz)=B(0-3) cm Jezgra presjeka n 1 -n 1 y 0 = = =167 cm z 0 =0 n 2 -n 2 y 0 =- =- =-167 cm z 0 =0 n 3 -n 3 y 0 =0 z 0 = = =333 cm n 4 -n 4 y 0 =0 z 0 =- =- =-333 cm 20

24 Naprezanje-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 3=-200 3= -600 Ncm Moment tromosti: I y = = = cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x ' = z= 10= -09 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -1 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 =-1-09= -19 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 =-1+09= -01 N/cm 2 Naprezanje-grafički Očitano: e=3 cm k 1 =333 cm k 2 =333 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -19 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= -01N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 1111 cm ili na drugi način: = = ; = = = 1111 cm 21

25 c) C(yz)=C(-3-5) cm Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 5=200 5=1000 Ncm M z =-F 3=-200 3= -600 Ncm Momenti tromosti: I y = = I z = = = cm 4 = cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =577 cm i z = = =288 cm 22

26 Naprezanje u točki 1: σ 1 = z y= 10 5= -43 N/cm2 Naprezanje u točki 2: σ 2 = + z + y= = 229 N/cm2 Naprezanja-grafički Očitano: e=59 cm k 1 =18 cm k 2 =18 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -427 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 227 N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =276 cm ; a z = = =666 cm 23

27 2) a) A(yz)=A(00) cm Površina: A= =150 cm 2 Naprezanje σ x = = = -1 N/cm 2 Težište: T y =75 cm T z = =125 cm 24

28 b) B(yz)=B(0-3) cm Jezgra presjeka Momenti tromosti: I y = =53125 cm 4 I z = + =15625 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =595 cm i z = = =322 cm 25

29 Odsječci na osima: y 01 = =138 cm z 01 = =472 cm y 02 = =138 cm z 02 = =1416 cm y 03 = =414 cm z 03 = = -283 cm Hvatišta sila i odsječci na osima za određivanje jezgre poprečnog presjeka Položaj y z y 0 z 0 Neutralna os N.O N.O N.O. 3 Naprezanja-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 3=-150 3= -450 Ncm Moment tromosti: I y =53125 cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x 1' = z= 75= -063 N/cm2 σ x 2' = z= 125= 106 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -1 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 =-1-063= -163 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 =-1+106= 006 N/cm 2 26

30 Naprezanja-grafički Očitano: e=3 cm k 1 =47 cm k 2 =28 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -163N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 007N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 118 cm ili na drugi način: = = ; = = = 118 cm 27

31 c) C(yz)=C Izračunati položaj prema slici. C(75 75) Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 75=150 75=1125 Ncm M z =-F 75= = Ncm Momenti tromosti: I y =5312 cm 4 I z =15625 cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =595 cm i z = = =322 cm 28

32 Naprezanje u točki 1: σ 1 = z y= 75 75= -8 N/cm2 Naprezanje u točki 2: σ 2 = + z + y= + N/cm = 345 Naprezanja-grafički Očitano: e=106 cm k 1 =15 cm k 2 =23 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -806N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 36N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =138 cm ; a z= = =472 cm Određivanje jezgre presjeka-grafički 29

33 3) a) A(yz)=A(00) cm Površina: A= =284 cm 2 Naprezanje σ x = = = -141 N/cm 2 Težište: T y =9 cm T z = =1354 cm 30

34 b) B(yz)=B(0-12) cm Jezgra presjeka Momenti tromosti: I y = = cm 4 I z = + + = cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =1119 cm i z = = =407 cm 31

35 Odsječci na osima: y 01 = =276 cm z 01 = =642cm y 02 = =184 cm z 02 = = cm y 03 = =184 cm z 03 = = -927 cm Hvatišta sila i odsječci na osima za određivanje jezgre poprečnog presjeka Položaj y z y 0 z 0 Neutralna os N.O N.O N.O. 3 Naprezanja-analitički Komponenta momenta savijanja: M y =-F 12= = Ncm Moment tromosti: I y = cm 4 Normalno naprezanje od momenta savijanja: σ x 1' = z= 195= -262 N/cm2 σ x 2' = z= 135= 182 N/cm2 Normalno naprezanje od uzdužne sile: σ x '' = = = -141 N/cm 2 Naprezanje u točki 1: σ 1 = = -402 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ 2 = = 041 N/cm 2 32

36 Naprezanja-grafički Očitano: e=12 cm k 1 =64 cm k 2 =92 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 + )= - (1 + )= -405N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 )= - (1 )= 042 N/cm 2 Položaj neutralne osi = = = 1044 cm ili na drugi način: = = ; = = = 1043 cm 33

37 c) C(yz)=C(-5z) cm z=135 cm Naprezanja-analitički Komponente momenta savijanja: M y =F 135= =5400 Ncm M z =-F 5=-400 5= Ncm Momenti tromosti: I y = cm 4 I z = cm 4 Polumjeri inercije: i y = = =1119 cm i z = = =407 cm 34

38 Naprezanje u točki 1: σ 1 = + z + y= + N/cm = 409 Naprezanje u točki 2: σ 2 = - z - y= - N/cm = -727 Naprezanja-grafički Očitano: e=145 cm k 1 =36 cm k 2 =34 cm Naprezanje u točki 1: σ1=- (1 )= - (1 )= 425 N/cm 2 Naprezanje u točki 2: σ2 =- (1 + )= - (1 + )= -742 N/cm 2 Položaj neutralne osi: a y = = =331 cm ; a z = = = -927 cm Određivanje jezgre presjeka-grafički 35

39 5. Zaključak U radu su analizirana naprezanja uslijed djelovanja uzdužne sile na ravni štap. Obrađena su naprezanja uslijed djelovanja centrične i ekscentrične uzdužne sile. Kod ekscentrične sile analizirani su slučajevi kada se sila nalazi u jednoj od glavnih ravnina tromosti i kada je ona izvan glavnih ravnina tromosti. Riješeno je nekoliko primjera analitički i pomoću jezgre poprečnog presjeka. Obzirom da je za konstruiranje (odnosno izračun ako se radi analitički) potrebno dosta vremena mislim da je brže rješenje samo proračun bez konstruiranja jezgre. Ipaku nekim slučajevima u praksi je nužno odrediti prvo jezgru da bi se mogao prilagoditi položaj sile potrebnoj raspodjeli naprezanja. Prilikom odabira materijalapostoji određen broj kod kojih se mora izbjeći pojava vlačnih naprezanja u presjekujer je njihova nosivost na vlak mala (betonkamenlijevano željezo). Iz svega obrađenog može se donijeti zaključak da položaj sile kod štapa opterećenog uzdužnom silombitno utječe na raspodjelu naprezanja i ponašanje samog štapa te da uz jezgru presjeka pomaže pri razumjevanju ponašanja elemenata opterećenih ovakvom vrstom opterećenja. 36

40 6. Literatura: 1. TimošenkoS.: Otpornost materijala 1 Građevinska knjiga Beograd ŠimićV.: Otpornost materijala 2 Školska knjiga Zagreb Brnić J.Turkalj G.: Nauka o čvrstoći 2 Zigo Rijeka Rijeka2006. Web izvori: 4 /Turkalj/CK_Aksijalno%20opterecenje.pdf

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama.

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama. Štap optereen na savijanje naivamo nosa ili grea. Savijanje nosaa a) Napreanja ( i τ) b) Deformacije progib (w) Os štapa se ko savijanja akrivljuje to je elastina ili progibna linija nosaa. Savijanje ravnog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09 Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09 OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα