MANUELA KANIŠKI ZAVRŠNI RAD

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN MANUELA KANIŠKI PRORAČUN POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA ZAVRŠNI RAD VARAŽDIN, 2010.

2 2

3 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN ZAVRŠNI RAD PRORAČUN POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA KANDIDAT: KANIŠKI MANUELA MENTOR: Dr. sc KREŠO IVANDIĆ VARAŽDIN,

4 4

5 SADRŽAJ RADA UVOD 1 SADRŽAJ RADA Opterećenje na pilote 1 Klasifikacija pilota 2 Diferencijalna jednadžba problema i rubni uvjeti 4 Općenito o proračunima pilota opterećenih poprečnom silom 6 Prikaz analitičkog načina proračuna poprečno opterećenih pilota 7 Odabir ekvivalentnog koeficijenta reakcije podloge 11 Proračunski dio 15 ZAKLJUČAK 35 POPIS LITERATURE 38 SAŽETAK 39 5

6 6

7 UVOD Temelji na pilotima su vrsta dubokih temelja, čija je svrha prijenos opterećenja građevine u dublje, nosive slojeve tla, kada tlo u dostupnoj dubini nema dovoljnu čvrstoću nošenja ili je pak njegova stišljivost prevelika, te bi slijeganje bilo neprihvatljivo veliko. Piloti su stupovi - jednodimenzionalni (štapni) elementi, izrađeni od čvrstog materijala (drvo, beton, prednapregnuti beton, čelik), izrađeni u tlu ili se kao gotovi konstrukcijski elementi ugrađuju u tlo. Pilot je element u sistemu konstrukcija-tlo, čija je krutost puno veća od krutosti tla u kojem se pilot nalazi i čije se ponašanje može relativno dobro predvidjeti uobičajenim pojednostavljenjem (linearno elastični materijal), za uobičajeni raspon radnih sila. Element tlo ima sasvim drugačije osobine od pilota. Geometrijske i mehaničke karakteristike tla se ne mogu unaprijed propisati, već ih treba utvrditi na svakoj lokaciji gdje se želi graditi. Općenito karakteristike tla, u onom smislu koje zanima građevinskog inženjera, su nelinearno i neelastično ponašanje uz svojstva nehomogenosti i anizotropnosti. Isto tako realno tlo pokazuje svojstva povezanog kontinuuma tj. djelovanjem opterećenja u jednoj točki neće doći do deformacija i pomaka samo u toj točki, već i u onim točkama koje nisu direktno opterećene. U ovom radu predstaviti će se, općenito, proračun pilota opterećenih poprečnom silom, te će se napraviti parametarska analiza za utjecaj veličine k (koeficijenta reakcije tla) na raspodjelu horizontalnih pomaka, momenata svijanja i poprečnih sila za slobodan polubeskonačni pilot. OPTEREĆENJE NA PILOTE Pilot kao konstruktivni element može biti opterećen kosom silom i momentom. Rastavljanjem sile na komponentu u smjeru osi pilota i okomito na os, može se analiza svesti na odvojene probleme uzdužno i poprečno opterećenog pilota. Kod uzdužno opterećenih pilota u većini je slučajeva tlo kritični element, jer uzdužne sile koje djeluju na pilot nisu dovoljno velike da značajnije deformiraju pilot (skraćenje ili produljenje), prije nego li dođe do loma tla. 1

8 Kod poprečno opterećenih pilota, opterećenja na pilot su dovoljno velika da se mora izvršiti analiza naprezanja i deformacija u pilotu, jer pilot postaje kritičan element u sistemu konstrukcija-tlo. Najstariji način opisivanja ponašanja tla je modeliranje tla nezavisnim oprugama konstantne krutosti ili tzv. Winkler-ov model. Ovaj model je do sada najprimjenjivaniji u praksi zbog svoje jednostavnosti, te velikog iskustva u primjeni modela na različitim inženjerskim problemima. Drugi način modeliranja tla u proračunima poprečno opterećenih pilota je model tla kao elastičnog kontinuuma. Rješenja takvog tipa bazirana su na Mindlin-ovom rješenju djelovanja koncentrirane sile u elastičnom poluprostoru. Zadnji način modeliranja tla je analiza metodom konačnih elemenata, gdje se diskretizacijom pilota omogućuje točnije modeliranje problema interakcije pilota i tla. KLASIFIKACIJA PILOTA Kruti pilot Kruti piloti su kratki, te mogu izdržati razinu deformacije koja dovodi do sloma tla. Fleksibilni ili elastični pilot Fleksibilni pilot je dugi i do njegova sloma dolazi pri deformaciji ispod kritične razine za tlo. Za točnu klasifikaciju potrebno je uzeti u obzir i odnos krutosti pilota i tla te, dužinu pilota. Za definiranje krutih ili fleksibilnih pilota koristi se pojam tzv. kritične dužine pilota. To je dužina pilota nakon koje promatrane veličine (pomaci, momenti, reaktivni pritisci) poprimaju beznačajne veličine. Prema Fleming, Weltman, Randolph, Elson (1980) za pilot dane fleksione krutosti EI p, koji se nalazi u tlu, koje je karakterizirano koeficijentom reakcije tla k, kritična dužina pilota definira se kao: 2

9 ( EI) l k = 4 k p 1 4 [m] Vidi se da kritična dužina l k uključuje oba elementa tj. pilot i tlo, preko računskog koeficijenta reakcije tla k i krutosti pilota EI. Ako je pilot (u računskom smislu greda) veoma krut u odnosu na tlo, l k poprima relativno veliku vrijednost, što će imati za posljedicu da će opterećenje na pilot uzrokovati pomake pilota na značajnijoj udaljenosti od mjesta djelovanja opterećenja. Mekani pilot i kruto tlo dati će relativno malu kritičnu dužinu. Tako se može za određeni pilot i tlo u kojem se pilot nalazi, odrediti kritična dužinu tog sistema i iz rješenja zadanog problema odrediti točku u kojoj će pomak biti jednak nuli, te nakon koje pomaci padaju na zanemarive vrijednosti. Ako je pilot kraći od kritične dužine nazivamo ga kruti pilot, dok je pilot duži od efektivne dužine fleksibilni pilot. Drugim riječima, što je veći odnos krutosti pilota i tla, to je potrebna veća dužina pilota da ga se može smatrati fleksibilnim. U slučaju da dno pilota trpi neke pomake i deformacije, a istovremeno dolazi do savijanja pilota uslijed poprečnog opterećenja, takav pilot računamo kao fleksibilni pilot konačne dužine, dok za slučaj kada su pomaci zanemarivo mali na dnu pilota, pilot možemo računati kao beskonačno dug. Ovaj drugi slučaj ima utjecaja na pojednostavljenje općeg rješenja diferencijalne jednadžbe prilikom analitičkog rješavanja problema. Kratki piloti računaju se na bazi teorije plastičnosti, gdje je težište bačeno na određivanje nosivosti tla u sistemu pilot-tlo. Mjerodavna veličina za dimenzioniranje je maksimalno horizontalno opterećenje pilota obzirom na nosivost tla. Kod elastičnih pilota dominantne su deformacione linije pilota te maksimalne rezne sile u pilotu, koje su mjerodavne za dimenzioniranje. 3

10 DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA PROBLEMA I RUBNI UVJETI Opća diferencijalna jednadžba problema poprečno opterećenog pilota glasi: gdje su: EI d 4 y(z) 4 = q(z) + f(z) dz - E - modul elastičnosti pilota, - I - moment tromosti poprečnog presjeka pilota, - y(z) - nepoznata funkcija horizontalnog pomaka pilota, - q(z) - nepoznata funkcija reaktivnog pritiska tla, - f(z) - poznata funkcija vanjskog opterećenja na pilot. Pretpostavlja se da ponašanje pilota odgovara ponašanju elastične grede, za koju vrijedi, uz zanemarenje diferencijalnih veličina drugog reda, da je vrijednost četvrte derivacije funkcije pomaka u promatranoj točki nosača jednaka vanjskoj sili u toj točki. U slučaju običnog grednog nosača na točkastim ležajevima (koji su nepokretni ili su im pomaci unaprijed zadani) vanjsko opterećenje je poznato, pa se rješenje može tražiti direktno. Ležajne reakcije traže se iz uvjeta ravnoteže, a funkcija pomaka grednog nosača iz odgovarajućih rubnih uvjeta. U slučaju pilota ili općenito nosača koji ne leže na točkastim ležajevima, već na kontinuiranoj podlozi, pojavljuje se, osim nepoznate funkcije pomaka, pilota i nepoznata funkcija raspodjele reaktivnih pritisaka u podlozi tj. na nosač. Da bi problem bio rješiv, potrebno je pronaći dodatnu vezu između dviju nepoznatih funkcija pomaka i reaktivnih pritisaka. Dodatna veza između nepoznatih pomaka i nepoznatih reaktivnih pritisaka u stvari predstavlja određeni model tla. U slučaju Winkler-ovog modela, problem će se moći riješiti u zatvorenom obliku, dok u slučaju složenije veze pomaka i reaktivnih pritisaka, ali i realnijeg opisivanja stvarnog ponašanja tla, problem postaje složeniji i više nije moguće dobiti rješenje u zatvorenom obliku, već se problem rješava numerički. Bez obzira na model tla i način njegova rješavanja, razlikuje se nekoliko karakterističnih slučajeva rubnih uvjeta na vrhu i na dnu pilota. 4

11 1. Vrh pilota (gornji kraj) z=0 - slobodan pilot - poznato: - nepoznato: 2 d y EI = dz 3 d y EI = dz M 2 0 T 3 0 y( z = 0) = y0 dy = dz z = 0 ϕ 0 - upeti pilot - poznato: - nepoznato: dy = dz z = 0 0 y( z = 0) = 0 3 d y EI = dz T d y EI = dz M Dno pilota (donji kraj) z=l - slobodan pilot - poznato: - nepoznato: 2 d y EI 2 = M l = dz 3 d y EI 3 = Tl = dz 0 0 y( z = l) = y dy = dz z = l ϕ l l - upeti pilot - poznato: - nepoznato: y( z = l) = 0 2 d y EI 2 = dz M l dy = dz z = l 0 3 d y EI 3 = dz T l 5

12 OPĆENITO O PRORAČUNIMA PILOTA OPTEREĆENIH POPREČNOM SILOM Način proračuna poprečno opterećenih pilota ovisi o složenosti modela tj. o tome u kojoj mjeri ćemo se računskim modelom približiti stvarnom ponašanju tla. Način proračuna se može podijeliti na analitički i numerički. Analitički način proračuna primjenjiv je samo na jednostavnim modelima, kao što je Winkler-ov jednoparametarski model s konstantnim koeficijentom reakcije tla po dubini. Isto tako moguće je dobiti rješenje u zatvorenom obliku i za tzv. dvoparametarski model tla, koji osim krutosti opruge, sadrži i dodatni parametar kojim se pokušava opisati svojstvo tlo kao povezanog kontinuuma. I u ovom slučaju koeficijent krutosti tla k konstantan je po dubini. Osim za konstantan koeficijent reakcije tla moguće je dobiti analitičko rješenje za linearno rastući koeficijent reakcije i to korištenjem redova potencija. Analitičkim putem se jedino nehomogenost tla preko linearne varijacije koeficijenta te kontinuiranost, preko dodatnog parametra u dvoparametarskom modelu, može djelomično uzeti u obzir. Numeričke metode proračuna U skupinu modela čija se rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku spadaju Mindlinov model poluprostora, nelinearni model poluprostora, ali isto tako i nelinearni jednoparametarski i dvoparametarski modeli sa složenijom raspodjelom koeficijenta reakcije tla po dubini. Najprimjenjivanije numeričke metode proračuna su metoda konačnih diferencija, metoda konačnih elemenata i metoda rubnih elemenata. Osnovna karakteristika tih metoda je diskretizacija (matematička ili fizikalna) problema, koja dovodi do formulacije problema preko niza linearnih algebarskih jednadžbi, čime se problem svodi na rješavanja linearnih sustava jednadžbi umjesto traženja rješenja neprekinutih funkcija. 6

13 PRIKAZ ANALITIČKOG NAČINA PRORAČUNA POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA Jednoparametarski model tla s konstantnim koeficijentom reakcije tla po dubini Promatra se horizontalno opterećen pilot koji je opterećen isključivo na vrhu (glavi) pilota. Rubni uvjeti za nalaženje nepoznatih konstanti mogu biti kombinacija upetog i/ili slobodnog pilota na glavi i stopi. Slika 1. Horizontalno opterećen vertikalni pilot. Diferencijalna jednadžba problema za pilote konstantnog poprečnog presjeka od istog materijala (EI = const) izgleda ovako: 4 d u(z) EI + p(z) = 0 4 dz Za ovaj problem karakteristični su slijedeći rubni uvjeti za slobodni i/ili upeti pilot na vrhu i glavi gdje su: - T 0, T l - poprečna sila na vrhu i glavi pilota, - M 0, M l - moment savijanja na vrhu i glavi pilota, - u 0, u l - pomak vrha i glave pilota, - ϕ 0, ϕ l - kut zaokreta vrha i glave pilota. 7

14 Analiza se provodi na jednoparametarskom modelu tla Slika 2 Prikaz načina modeliranja tla za jednoparametarski model tla vrijedi: p(z) = k u(z) gdje je k [kn/m 3 ] Winkler-ov koeficijent ili koeficijent reakcije tla. Ovaj koeficijent predstavlja krutost tla ili opterećenje po m 2 površine tla koje daje jediničan pomak. Iz toga slijedi diferencijalna jednadžba: 4 d u(z) EI + k u(z) = 0 4 dz Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe: αz αz αz αz u(z) = C1e cos αz + C2e sinαz + C3e cosαz + C4e sinαz gdje je: d promjer pilota. α = 4 k d 4 EI 8

15 Rješenje predstavlja linearnu superpoziciju umnoška eksponencijalnih i trigonometrijskih funkcija. Numeričke vrijednosti članova uz nepoznate konstante C 1 i C 2 rastu s dubinom zbog eksponencijalnog dijela izraza. To znači da pomak raste što je veća dubina pilota, što nije fizikalno prihvatljivo za duge pilote (odnos duljine i promjera l/d>10). Zbog toga se zanemaruje dio općeg rješenja uz C 1 i C 2 te se pilot tretira kao polubeskonačan sa dva rubna uvjeta samo na glavi pilota te se može pisati: u z C e z z ( ) = α α cosαz + C e sinα z 1 2 Radi jednostavnosti piše se ponovo C 1 i C 2 umjesto C 3 i C 4. Pripadne derivacije ovog općeg rješenja dane su slijedećim izrazima: z z u'( z) = C e α α α (cosαz + sin αz) + C αe (cosαz sin αz) u z C e z z ''( ) = α 2 α 2 α sinαz 2C α e cosαz 1 3 z z u'''( z) = C e α 3 α 2 α (cosαz sin αz) + 2C α e (cosαz + sin αz) Funkcija momenata savijanja: Funkcija poprečnih sila duž nosača: 1 2 M( z) = EIu''( z) = EI e α 2 α z ( C cosαz C sin αz) T(z) = EIu'''( z) = EI e α 2 α z [( C C )sin αz ( C + C )cos αz] U slučaju beskonačno dugog pilota provodi se analiza dvije kombinacije rubnih uvjeta na glavi pilota (na stopi su za duge pilote pomak i kut zaokreta jednaki nuli zbog velike vrijednosti argumenta z): Slobodan pilot: 1) M(0) = M 0 2EIα 2 C 2 = M 0 2) T(0) = H 0 2EIα 3 (C 1 + C 2 ) = -H 0 Rješenje sustava: H0 + αm0 C1 = 3 2α EI 9

16 C 2 = αm 2α 0 3 EI Konačno redom funkcije pomaka, kuta zaokreta, momenta i poprečnih sila: αz e u(z) = [(H 0 + αm0 )cos αz αm0 sinαz] 3 2α EI (H0 + αm0 ) αz u'(z) = e (cosαz + sinαz) + 2 2α EI αm 0 αz e (cosαz sin z) 2 2α EI α αz H0 M(z) = e ( + M0 )sinαz + M0 cosαz α αz H0 (z) = αe ( + M0 )(cosαz sinαz) M (cosαz + sinαz) α T 0 10

17 ODABIR EKVIVALENTNOG KOEFICIJENTA REAKCIJE PODLOGE Odabir vrijednosti k ovisi o nizu faktora (rasponu raspoloživih informacija): - ispitivanju pilota na terenu, - modelskom ispitivanju pilota, - načinu izvedbe pilota, - rezultatima laboratorijskih i in situ ispitivanja svojstava tla, - postojećem iskustvu na predmetnoj lokaciji - fazi projektiranja (idejni, glavni), - uračunatom riziku, - iskustvu projektanta. Pomak Rotacija Moment Posmik Reakcija tla k hi p w kn m i = 3 i 11

18 Koeficijent elastičnosti u poprečnom smjeru Odabir krutosti opruga k h i raspodjela po dubini ovisi o tome imamo na raspolaganju - vrsta tla, - parametri deformabilnosti E, n, - dopuštena nosivost pilota qa, - rezultati provedenih istražnih radova (SPT, presiometar), - rezultati in-situ ispitivanja pilota, - krutosti pilota na djelovanje horizontalne sile i momenta. Odabir koeficijenta elastičnosti u poprečnom smjeru Empirijske korelacije (DIN 4014) Koherentna tla (gline) k h = n b /d n b = 8 MN/m 2 n b = 16 MN/m 2 n b = 32 MN/m 2 d [m] Lako gnječiva glina Teško gnječiva glina Čvrsta glina promjer pilota Nekoherentna tla (pijesci) Suhi pijesci n h = 2.2 MN/m 3 Rahli n h = 6.7 MN/m 3 Srednje zbijeni n h = 18 MN/m 3 Zbijeni z [m] dubina Potopljeni pijesci n h = 1.3 MN/m 3 Rahli n h = 4.5 MN/m 3 Srednje zbijeni n h = 17 MN/m 3 Zbijeni k h = n h z/d 12

19 Preko modula elastičnosti tla Es Vesić E p I p - krutost pilota, d promjer pilota 0.65 E k = (1 ν ) 2 s E d E I 4 1 s s 12 ( ) p p Glick Za 2 L/d = i n = k h = ( ) Es/d Chen k h = 1.6 Es/d k h = 3 Es/d Koherentna tla Nekoherentna tla Tablica 1 Rasponi vrijednosti modula elastičnosti Vrsta tla Modul el. Es,v [kn/m 2 ] Gline Meke Srednje tvrde Tvrde Pijesci Prašinasti Rahli Srednje zbijeni Zbijeni Šljunci Rahli Srednje zbijeni Zbijeni E s,h = ( ) E 3 1 s,v 13

20 Na osnovu in-situ ispitivanja pilota H 0 horizontalna sila u 0 horizontalni pomak za slobodan beskonačan pilot α = 3 H0 2EIu 0 α = kd 4 4EI k 4 4EI H0 3 ekv = ( ) d 2EIu EI krutost pilota d promjer pilota 0 14

21 PRORAČUNSKI DIO Proračun je proveden za pilot kružnog poprečnog presjeka dužine m, promjera 1.0 m od betona s E=3*10 7 kn/m 2 sa Poisson-ovim koeficijentom ν=0.3 za sve slučajeve. Napravljena je parametarska analiza za utjecaj veličine k (koeficijenta reakcije podloge) na raspodjelu pomaka w(x), momenata savijanja M(x) i poprečnih sila Q(x) za slobodan polubeskonačni pilot. Raspon vrijednosti k je bio: 500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, kn/m 3. 15

22 Proračun za koeficijent reakcije tla, k=500 kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 2. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k=500 kn/m 3 x (l) w(x) 0, ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0,21738 horizontalni pomak, [m] 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 0,19144 Slika. 2. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k=500 kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 3. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k=500 kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-555, ,22 1,5-1410, ,24 2,5-1953, ,5-2216, ,75 4,5-2230, ,12 5,5-2026, ,73 6, ,88 7,5-1077,71-747,82 8,5-387,49 momenti savijanja, [knm] Slika. 3. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k=500 kn/m 3 16

23 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 4. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k=500 kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-1022, ,5-693,64-541,49 2,5-397,49-261,51 3,5-133, ,5 99,86 205,33 5,5 303,57 394,74 6,5 478,98 556,42 7,5 627,16 691,30 8,5 748, poprečne sile [knm] 800 Slika. 4. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k=500 kn/m 3 17

24 Proračun za koeficijent reakcije tla, k=1 000 kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 5. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k=1 000 kn/m 3 x (l) w(x) 0, ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 0,10245 Slika. 5. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k=1 000 kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 6. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k=1 000 kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-554, ,33 1, ,22 2,5-1941, ,5-2199, ,17 4,5-2211, ,69 5,5-2009, ,5-1621, ,17 7,5-1072, ,5-386,73 momenti savijanja [knm] Slika. 6. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k=1 000 kn/m

25 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 7. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k=1 000 kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-1019,76-848,92 1,5-687,37-534,93 2,5-391,37-256,43 3,5-129,82-11,21 4,5 99,72 203,28 5,5 299,79 389,57 6,5 472,88 549,98 7, ,38 8,5 745, poprečne sile [knm] 800 Slika. 7. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k=1 000 kn/m 3 19

26 Proračun za koeficijent reakcije tla, k=2 000 kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 8. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k=2 000 kn/m 3 x (l) w(x) 0, ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , ,5 0, , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 5781 Slika. 8. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k=2 000 kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 9. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k=2 000 kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-552, ,66 1,5-1393, ,56 2,5-1917, ,60 3,5-2165, ,86 4,5-2174, ,64 5,5-1976, ,25 6,5-1597, ,15 7,5-1061,32-739,66 8,5-385,23 momenti savijanja [knm] Slika. 9. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k=2 000 kn/m

27 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 10. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k=2 000 kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-1013,77-838,88 1,5-675,11-522,10 2,5-379,41-246,51 3,5-122,82-7,72 4,5 99,43 199,27 5,5 292,41 379,45 6,5 460,94 537,38 7,5 609,20 676,76 8,5 740, poprečne sile [knm] 800 Slika. 10. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k=2 000 kn/m 3 21

28 Proračun za koeficijent reakcije tla, k=5 000 kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 11. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k=5 000 kn/m 3 x (l) w(x) , , , , , , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 3058 Slika. 11. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k=5 000 kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 12. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k=5 000 kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-548,48-999,57 1,5-1361, ,52 2,5-1849, ,30 3,5-2070, ,10 4,5-2069, ,70 5,5-1882, ,90 6,5-1532, ,5-1030,65-724,38 8,5-380 momenti savijanja [knm] Slika. 12. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k=5 000 kn/m

29 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 13. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k=5 000 kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-996,76-810,40 1,5-640,37-485,80 2,5-345,60-218,50 3, ,10 4,5 98,59 187,90 5,5 271,51 350,84 6,5 427,20 501,77 7,5 575,60 649,53 8,5 724, poprečne sile [knm] 800 Slika. 13. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k=5 000 kn/m 3 23

30 Proračun za koeficijent reakcije tla, k= kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 14. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 x (l) w(x) , , , , , , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 2086 Slika. 14. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 15. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k= kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-541,74-975,47 1,5-1313, ,70 2,5-1748, ,5-1928, ,5-1913, ,97 5, ,82 6,5-1434, ,28 7,5-984,93-701,61 8,5-374,67 momenti savijanja [knm] Slika. 15. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k= kn/m

31 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 16. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-971,25-767,78 1,5-588,48-431,70 2,5-295,32-176,93 3,5-73,90 16,54 4,5 97,21 170,92 5,5 240,41 308,30 6, ,80 7,5 525,57 608,95 8,5 700, poprečne sile [knm] 800 Slika. 16. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 25

32 Proračun za koeficijent reakcije tla, k= kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 17. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 x (l) w(x) , , , , , , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 1504 Slika. 17. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 18. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k= kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-530,49-935,26 1,5-1233, ,50 2,5-1581, ,56 3,5-1693, ,72 4,5-1655, ,27 5,5-1513, ,57 6,5-1273, ,10 7,5-909,53-663,98 8,5-364,22 momenti savijanja [knm] Slika. 18. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k= kn/m

33 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 19. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-928,66-696,88 1,5-502,53-342,45 2,5-212,73-108,97 3,5-26,44 39,75 4,5 94,54 142,79 5,5 189,25 238,45 6,5 294,64 361,75 7,5 443, ,5 660, poprečne sile [knm] 800 Slika. 19. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 27

34 Proračun za koeficijent reakcije tla, k= kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 20. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 x (l) w(x) , , , , , , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 0968 Slika. 20. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 21. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k= kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-507,55-853,84 1,5-1072, ,31 2,5-1248, ,79 3,5-1232, ,72 4, ,48 5,5-1065, ,5-959,40-878,68 7,5-761,37-589,80 8,5-343,52 momenti savijanja [knm] Slika. 21. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k= kn/m

35 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 22. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-842,14-554,39 1,5-331,77-167,29 2,5-52, ,5 62,87 81,95 4,5 87,12 86,94 5,5 89,64 103,16 6, ,63 7,5 282,50 410,65 8, poprečne sile [knm] 800 Slika. 22. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m

36 Proračun za koeficijent reakcije tla, k= kn/m 3 Horizontalni pomak w(x), [m] Tablica. 23. Izračunate vrijednosti horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 x (l) w(x) , , , , , , , , , ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak [m] 0648 Slika. 23. Dijagram horizontalnog pomaka, w(x) za k= kn/m 3 Momenti savijanja M(x), [knm] Tablica. 24. Izračunate vrijednosti momenata savijanja, M(x) za k= kn/m 3 x (l) M(x) 0 0,5-485,92-778,22 1,5-925,73-971,81 2,5-953,18-899,57 3,5-833,80-772,13 4,5-724,76-696,25 5,5-685,82-687,62 6,5-690,80-679,46 7,5-632,70-524,72 8,5-325,18 momenti savijanja [knm] Slika. 24. Dijagram momenata savijanja, M(x) za k= kn/m

37 Poprečne sile Q(x), [knm] Tablica. 25. Izračunate vrijednosti poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 x (l) Q(x) ,5-761,20-424,33 1,5-180,20-16,37 2,5 80,97 125,87 3,5 131,82 111,46 4,5 76,50 37,84 5,5 5,83-9,44 6,5 4 50,30 7,5 145,34 296,72 8,5 512, poprečne sile [knm] 800 Slika. 25. Dijagram poprečnih sila, Q(x) za k= kn/m 3 31

38 Zbirni dijagrami koji pokazuju kako se mijenjaju računate statičke veličine s obzirom na promjenu koeficijenta reakcije tla, k (kn/m 3 ) Horizontalni pomak w(x), [m] horizontalni pomak [m] 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 horizontalni pomak k=500 horizontalni pomak k=1 000 horizontalni pomak k=2 000 horizontalni pomak k= horizontalni pomak k= horizontalni pomak k= horizontalni pomak k= horizontalni pomak k= Slika. 26. Dijagram horizontalnih pomaka, w(x) uz promjenu koeficijenta podloge tla, k 32

39 Momenti savijanja M(x), [knm] momenti savijanja [knm] momenti savijanja k=500 momenti savijanja k=1 000 momenti savijanja k=2 000 momenti savijanja k=5 000 momenti savijanja k= momenti savijanja k= momenti savijanja k= momenti savijanja k= Slika. 27. Dijagram momenata savijanja, M(x) uz promjenu koeficijenta podloge tla, k 33

40 Poprečne sile Q(x), [knm] poprečne sile [knm] poprečne sile k=500 poprečne sile k=1 000 poprečne sile k=2 000 poprečne sile k=5 000 poprečne sile k= poprečne sile k= poprečne sile k= poprečne sile k= Slika. 28. Dijagram poprečnih sila, Q(x) uz promjenu koeficijenta podloge tla, k 34

41 ZAKLJUČAK Cilj ovog rada je bio dati pregled jednog od uobičajenih načina proračuna pilota, te istražiti utjecaj veličine računskog parametra (Winkler-ov koeficijent) na tražene statičke veličine. Element tlo ima sasvim drugačije osobine od pilota, prije svega nelinearno i neelastično ponašanje uz svojstva nehomogenosti i anizotropnosti. Geometrijske i mehaničke karakteristike treba utvrditi za svaku lokaciju, tj tlo gdje se želi graditi jer je tlo karakterizirano koeficijentom reakcije tla, k. Proračuni su provedeni sa odabirom jednoparametarskog modela tla, koji ne opisuje svojstvo tla kao kontinuuma, jer pomak tla u takvom modelu nastaje samo u točkama gdje postoji djelovanja opterećenja. Susjedne točke koje nisu direktno opterećene ne trpe pomake što je u suprotnosti s realnim ponašanjem tla. Isto tako koeficijent reakcije tla nije konstanta tla. On ovisi o opterećenju, veličini opterećene površine i vrijedi samo za određeno stanje naprezanja u tlu. Međutim ovaj je model do sada najprimjenjivaniji u inženjerskoj praksi zbog svoje jednostavnosti u smislu matematičkih formulacija, ali i iskustvu u primjeni toga modela na različitim inženjerskim problemima. Provedenim proračunima je prikazano kako se mijenjaju vrijednosti horizontalnih pomaka, momenata savijanja i poprečnih sila sa obzirom na odabir različitih veličina koeficijenata tla. Iz dijagrama za horizontalni pomak (slika 29, stranica 32) je vidljivo kako se uz promjenu koeficijenta podloge tla, k mijenjaju vrijednosti horizontalnog pomaka pilota. Uz istu vrijednost koeficijenta podloge tla, k na većim dubinama dobivene vrijednosti horizontalnog pomaka se smanjuju. Također ako promatramo pilot istih dimenzija izrađen od iste vrste betona, uz povećanje vrijednosti k, dobivene vrijednosti horizontalnog pomaka se smanjuju. Ako usporedimo vrijednosti za k iz Tablica 1 (strana 13) u kojoj je prikazano da što je tlo tvrđe, odnosno zbijenije povećava se vrijednosti k, odnosno vrijednosti modula elastičnosti tla stoga je logično da se i vrijednosti izračunatih horizontalnih pomaka smanjuju. 35

42 Iz dijagrama momenata savijanja (slika 30, strana 33), vidljivo je kako se uz promjenu koeficijenta podloge tla, k mijenjaju vrijednosti momenata savijanja. Uz istu vrijednost koeficijenta podloge tla, k na većim dubinama dobivene vrijednosti momenata savijanja se ponašaju po paraboli tj. od vrha prema dubini vrijednosti momenata savijanja rastu da bi se na polovici visine pilota vrijednosti počele opadati i u dnu pilota postale jednake nuli. Također ako promatramo pilot istih dimenzija izrađen od iste vrste betona, uz povećanje vrijednosti k, dobivene vrijednosti momenata savijanja se smanjuju. Ako usporedimo vrijednosti za k iz Tablica 1 (strana 13) u kojoj je prikazano da što je tlo tvrđe, odnosno zbijenije povećava se vrijednosti k, odnosno vrijednosti modula elastičnosti tla stoga je logično da se i vrijednosti izračunatih momenata savijanja smanjuju. Iz dijagrama poprečnih sila (slika 31, strana 34), vidljivo je kako se uz promjenu koeficijenta podloge tla, k mijenjaju vrijednosti poprečnih sila. Uz istu vrijednost koeficijenta podloge tla, k na većim dubinama dobivene vrijednosti poprečnih sila se ponašaju po krivulji tj. od vrha prema dubini vrijednosti poprečnih sila rastu. Također ako promatramo pilot istih dimenzija izrađen od iste vrste betona, uz povećanje vrijednosti k, dobivene vrijednosti momenata savijanja se smanjuju. U ovom slučaju, kada kažemo dimenzija pilota, mislimo konkretno na veličinu poprečnog presjeka, a ne na dužinu pilota. Poprečna sila se dobiva kao derivacija funkcije momenata savijanja. Poprečna sila mijenja predznak, odnosno jednaka je nuli, kada moment ima svoj maksimum. To da ima svoj maksimum znači da je nagib tangente na tu krivulju horizontalan, tj. tangens kuta je nula. Iz dijagrama momenata svi imaju svoj maksimum negdje u bliskoj točki, pa je i poprečna sila u njoj jednaka nuli. Ako usporedimo vrijednosti za k iz Tablica 1 (strana 13) u kojoj je prikazano da što je tlo tvrđe, odnosno zbijenije povećava se vrijednosti k, odnosno vrijednosti modula elastičnosti tla stoga je logično da se i vrijednosti izračunatih momenata savijanja smanjuju. 36

43 Iz priloženih rezultata vidljivo je kako na rezultate utječe odabir koeficijenta reakcije tla i kako je bitno vrlo pažljivo odrediti mehaničke karakteristike tla tj. vrijednosti koje ulaze u proračun za dimenzioniranje temelja. Potrebno je odabrati koeficijent koji što realnije opisuje tlo na kojem se gradi kako ne bi došlo do statičke nestabilnosti temelja građevine ali isto tako da se ne predimenzioniraju piloti i time uzrokuju preveliki i nepotrebni troškovi za Investitora ili Izvoditelja. Koeficijent reakcije tla je samo jedan u nizu parametara na koji je važno obratiti pažnju prilikom dimenzioniranja temelja te svaki loši odabir nekog parametra vodi statičkoj nestabilnosti ili predimenzioniranju temelja. Potrebno je dobro poznavati karakteristike tla na kojem se gradi za što je potrebno znanje i iskustvo tj. iskusni geomehaničar. 37

44 POPIS LITERATURE 1. Ivandić, K (Varaždin, ): Dimenzioniranje temeljnih konstrukcija predavanje 2. Ivandić, K: Piloti opterećeni horizontalno silom i momentom 3. Ivandić, K: Temeljenje I 4. Ivandić, K (2010): Koeficijent elastičnosti podloge pilota: Opatija, lipnja Dani ovlaštenih inženjera građevinarstva 38

45 SAŽETAK Autor: Naslov: Kaniški Manuela Proračun poprečno opterećenih pilota Temelji na pilotima su vrsta dubokih temelja, čija je svrha prijenos opterećenja građevine u dublje, nosive slojeve tla. Piloti su stupovi - jednodimenzionalni (štapni) elementi, izrađeni od čvrstog materijala (drvo, beton, prednapregnuti beton, čelik), izrađeni u tlu ili se kao gotovi konstrukcijski elementi ugrađuju u tlo. Pilot je element u sistemu konstrukcija-tlo, te geometrijske i mehaničke karakteristike tla trebaju utvrditi na svakoj lokaciji gdje se želi graditi. U ovom radu predstavljeni su općenito, proračuni pilota opterećenih poprečnom silom, te napravila parametarska analiza za utjecaj veličine k (koeficijenta reakcije tla) na raspodjelu horizontalnih pomaka, momenata svijanja i poprečnih sila za slobodan polubeskonačni pilot. Proračun je proveden za pilot kružnog poprečnog presjeka dužine m, promjera 1.0 m od betona s E=3*10 7 kn/m 2 sa Poisson-ovim koeficijentom ν=0.3 za sve slučajeve. Raspon vrijednosti k je bio: 500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, kn/m 3. Iz priloženih rezultata vidljivo je kako na rezultate utječe odabir koeficijenta reakcije tla i kako je bitno vrlo pažljivo odrediti mehaničke karakteristike tla tj. vrijednosti koje ulaze u proračun za dimenzioniranje temelja. Potrebno je odabrati koeficijent koji što realnije opisuje tlo na kojem se gradi kako ne bi došlo do statičke nestabilnosti temelja građevine ali isto tako da se ne predimenzioniraju piloti i time uzrokuju preveliki i nepotrebni troškovi za Investitora ili Izvoditelja. Koeficijent reakcije tla je samo jedan u nizu parametara na koji je važno obratiti pažnju prilikom dimenzioniranja temelja te svaki loši odabir nekog parametra vodi statičkoj nestabilnosti ili predimenzioniranju temelja. Potrebno je dobro poznavati karakteristike tla na kojem se gradi za što je potrebno znanje i iskustvo tj. iskusni geomehaničar. 39