PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral

Transcript

1 PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I ODJ Neka je u C 2 ([α, β]), u(α) = u(β) = Pokazati da je u(t) 0 za sve t [α, β]. Lu = au + b(t)u + c(t)u rešenje jednačine Lu = 0, pri čemu je a 0, b(t) 0, c(t) 0, b, c C([α, β]). ANL2 Neka je F (x, y) = y x 2 + y i+ x 2 x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral 2 2π, po svakoj pozitivno orijentisanoj konturi koja okružuje koordinantni početak. C F d r = ALG Dokazati da su grupe (Z 4, +) i (Z 5 \ {0}, ) izomorfne. GEOM Neka su tačke K i L središta stranica AB i CD, respektivno, konveksnog četvorougla ABCD. Duži AL i DK seku se u tački X, a duži BL i CK u tački Y. Dokazati: P ( ADX) + P ( BCY ) = P (XKY L). LIN Data je matrica: A = a) Odrediti A 1. b) Odrediti karakteristične korene i vektore matrice A. c) Za koje k R je matrica A + ke pozitivno definitna?. NUM Data je neprekidno diferencijabilna funkcija f : R R i interval D = [a, b]. a) Definisati centralni diferencni količnik koji aproksimira prvi izvod funkcije f. b) Definisati linearni splajn koji interpolira funkciju f na intervalu D. Dati geometrijsku interpretaciju. c) Definisati Njutnov postupak i postupak sečice, a zatim dati geometrijsku interpretaciju oba postupka. STUDENTI KOJI POLAŽU PRIJEMNI ZA: MA i MP RADE ZADATKE ODJ, ANL2, GEOM, ALG MB RADE ODJ, ANL2, NUM, LIN

2 PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I drugi krug ODJ Data je diferencijalna jednačina y = y 2 e x + 2y(e 4x 1) + e 7x 5e 3x. a) Pokazati da data jednačina ima rešenje oblika y = ae bx za neke konstante a i b. b) Naći opšte rešenje date jednačine. ANL2 Dat je krivolinijski integral 2x sin y dx + (x 2 cos y 3y 2 ) dy. C a) Pokazati da dati integral ne zavisi od putanje integracije u R 2. b) Izračunati dati integral po putanji C koja spaja tačke A( 1, 0) i B(5, 1). GEOM ALG NUM Neka je ξ nula funkcije f(x) i neka važi f(x)(x ξ) < 0, x ξ, x [a, b] m x ξ f(x) M x ξ, x [a, b] gde su m i M pozitivne konstante. Ako je 2C +M < 0 onda Njutnov pojednostavljeni postupak gde je x k+1 = x k F (x k), k = 0, 1,... C M(a x) + f(a), x (, a] F (x) = f(x), x [a, b] M(b x) + f(b), x [b, ) konvergira linearno ka ξ za neko x 0 R. Dokazati. LIN STUDENTI KOJI POLAŽU PRIJEMNI ZA MA RADE ZADATKE ODJ, ANL2, GEOM, ALG, A ZA MB RADE ODJ, ANL2, NUM, LIN.

3 PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I MA1 ODJ Dat je sistem jednačina dx/dt = (2 + x)(y x); dy/dt = (4 x)(y + x). Odrediti sve kritične tačke datog sistema i ispitati njihovu stabilnost. MA2 ANL2 Da li se za izračunavanje integrala funkcije f(x, y) = 1 y x po kvadratu sa temenima u (0, 0), (0, 1), (1, 0) i (1, 1) može primeniti Fubinijeva teorema? Obrazložiti odgovor. Izračunati dati integral. MA3 GEOM U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonale su normalne. Dokazati da normala povučena iz preseka dijagonala na ma koju stranicu posmatranog četvorougla polovi naspramnu stranicu. MA4 ALG Dat je grupoid G = ({a, b}, ) gde je operacija definisana sa: a a = a; a b = a; b a = a, b b = b. Odrediti grupoid H = G G i sve podgrupoide i kongruencije grupoida H.

4 PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I MB1 ODJ Šezdesetih godina 20.veka Edward Lorenz je postavio jednostavan matematički model za atmosfersku konvekciju. Lorencove jednačine poznate su po haotičnom ponašanju rešenja za izvesne vrednosti pozitivnih parametara σ, ρ, β > 0 i izgledaju ovako: ẋ = σ(y x) ẏ = x(ρ z) y ż = βz + xy a) Naći ekvilibrijume datog sistema u zavisnosti od parametara σ, ρ, β > 0. b) Za sve izbore vrednosti parametara tačka (0, 0, 0) jeste tačka ekvilibrijuma. Ispitati njenu stabilnost u zavisnosti od parametara σ, ρ, β > 0. MB2 ANL2 U tabeli su date vrednosti funkcije f C 1 (R 2 ) u nekim tačkama (x, y) R 2 : x\y Izračunati krivolinijski integral gradijenta funkcije f po krivoj C čija je parametrizacija data sa r(t) = (x(t), y(t)) = (t 2 + 1, t 3 + t 2 ), t [0, 1]. MB3 NUM Neka je funkcija f C [a, b] i x [a, b]. a) Odrediti diferencni količnik maksimalnog reda tačnosti za aproksimaciju f (x) pomoću tačaka x, x h, x + h gde je h > 0 i x + h, x h [a, b]. b) Pokazati da ne postoji trotačkasti diferencni količnik za aproksimaciju f (x) reda većeg od 2. MB4 LIN Data je matrica: A = a) Neka je A matrica linearne transformacije f vektorskog prostora R 3 u odnosu na bazu: a = (1, 0, 1), b = (0, 1, 1), c = (1, 0, 0). Odrediti A(a) i A((25, 7, 13)). b) Odrediti karakteristične korene i vektore matrice A. c) Odrediti rang matrice A + ke u zavisnosti od realnog parametra k. d) Odrediti (A 2E) 1..

5 Prijemni ispit za master studije, MB 30.jul Poznato je da je idealan oblik bazena za skokove u vodu - oblik paraboloida, čiji je poprečni presek dat na slici. 2m 2m h=4m Olimpijski savez (OS) ima u budžetu 26000din za kopanje novog bazena, a kopanje košta 1000din/m 3. Da li će OS imati dovoljno novca za kopanje novog bazena? 2. Linearna transformacija A vektorskog prostora R 3 data je sa: A((x, y, z)) = (3x 6y + z, x + 2y z, 6x + 12y 4z). a) Dokazati da vektori a = (2, 1, 1), b = (0, 1, 2), c = (1, 1, 1) čine bazu vektorskog prostora R 3. b) Odrediti matricu linearne transformacije A u odnosu na bazu datu pod a). c) Odrediti karakteristične korene i jedan karakteristični vektor transformacije A. d) Odrediti bazu potprostora ImA (slika transformacije A) koja sadrži vektor ( 1, 1, 4). Napomena: Slika linearne transformacije A vektorskog prostora V definisana je sa: 3. Rešiti diferencijalnu jednačinu: ImA = {A(a) a V }. y xy x + yy = Neka je f C 3 [a, b], x, x + h, x h [a, b], h > 0. a) Odrediti diferencni količnik za aproksimaciju f (x) pomoću vrednosti funkcije f u tačkama x i x h. b) Oceniti grešku aproksimacije. c) Dati geometrijsku interpretaciju aproksimacije prvog izvoda pomoću diferencnog količnika izvedenog pod a). d) Odrediti diferencni količnik za aproksimaciju f (x) pomoću vrednosti funkcije f u tačkama x, x + h i x h. RAD TRAJE 180 MINUTA

6 Prijemni ispit za master studije, MA 30.jul Neka je abcdef gh osmocifren broj. a) Dokazati da 11 abcdefgh akko 11 ( ab + cde fgh). b) Da li je abcdefgh ab + cde fgh (mod 11)? 2. Neka je T težište ABC, i neka je t proizvoljna prava kroz T takva da su temena A i B s jedne njene strane, a teme C s druge. Tačke A 0, B 0 i C 0 su ortogonalne projekcije tačaka A, B i C na pravu t, redom. Neka je M središte duži [A 0 B 0 ]. Dokazati: [T C 0 ] = 2[T M]. 3. Izračunati 1 ( 1 0 x ) sin(y 2 ) dy dx. 4. Rešiti diferencijalnu jednačinu: y(y xy ) = x 4 + y 4. Napomena: 1 x 2 +a 2 dx = ln x + x 2 + a 2. RAD TRAJE 180 MINUTA

7 PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I -drugi krug ALG Polinom p(x) = x 4 2x 3 + ax 2 + bx + 4 ima dve dvostruke nule. Odrediti nule tog polinoma i parametre a i b. ANL2 Izračunati integral S y ds, gde je površ S data sa z = x 2 + y 2, 0 x 1, 0 y 2. GEOM U unutrašnjosti tetraedra ABCD uočena je tačka M. Dokazati da je duž AM manja od bar jedne od ivica AB, AC i AD. Jedna ideja: Produžiti AM preko tačke M do preseka sa stranom BCD. Iskoristiti sledeće tvrdjenje: ako je uočen XY Z i tačka P na stranici Y Z, tada je duž XP manja od bar jedne od stranica XY i XZ. LIN Data je matrica: A = a) Neka je A matrica linearne transformacije F vektorskog prostora R 3 u odnosu na bazu: a = (1, 0, 1), b = (0, 1, 1), c = (1, 0, 0). Odrediti F (a) i F 1 (a). b) Odrediti karakteristične korene i vektore matrice A. c) Odrediti matricu linearne transformacije F u odnosu na standardnu bazu prostora R 3. d) Odrediti minimalni polinom matrice A.. NUM Naći kvadraturnu formulu sa dva čvora koja daje tačne vrednosti za sve polinome stepena ne većeg od tri. ODJ a) Pokazati da jednačina y x dx + (y2 lnx) dy = 0 nije jednačina totalnog diferencijala. b) Naći funkciju M = M(y) kojom nakon množenja data jednačina postaje jednačina totalnog diferencijala. c) Rešiti jednačinu. STUDENTI KOJI POLAŽU PRIJEMNI ZA: MA i MP RADE ZADATKE ODJ, ANL2, GEOM, ALG MB RADE ODJ, ANL2, NUM, LIN 1

8 Prijemni ispit za master studije na DMI PMF UNS [Anl2] Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima z = 2, x 2 + y 2 + z 2 = 4z i z = x 2 + y 2 koje sadrжi taqku (0, 0, 3). 2. [O D J] Pokazati da se smenom x = e t jednaqina x 2 y 4xt + 6y = 0 svodi na linearnu po y = y(t), a zatim je rexiti. 3. [Geom] Dat je qetvorougao ABCD za koji vaжi AD = BC i A + B = 120. Uoqene su taqke P, Q i R takve da su ADP, ABQ i BCR jednakostraniqni i da se pritom nalaze izvan qetvorougla ABCD. Dokazati da je P QR jednakostraniqan. Jedna ideja: Posmatrati P AQ i RBQ. 4. [Alg] Na i ostatak pri deljenju polinoma x sa x 2 + x + 1. RAD TRAJE 180 MINUTA

9 ODJ PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I Ako je y = φ(x) rešenje jednačine vrednost za φ(π/2)? dy dx + y x = sin x, takvo da je φ(π) = 1, kolika je ANL2 STARO JE DOLE PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I ALG Pronaći sve cele brojeve k takve da se razlomak 17 19k 11k 8 može skratiti. ANL2 Srednja vrednost skalarne funkcije f na nekom skupu D (koji je podskup njenog domena) definiše se kao količnik integrala funkcije f na skupu D i mere skupa D. Naći srednju vrednost funkcije f(x, y) = y 5 x+ x 3 y na preseku njenog domena i prvog kvadranta u (x, y) ravni. GEOM U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonale su normalne. Dokazati da središta stranica, kao i podnožja normala povučenih iz preseka dijagonala na stranice, čine osam koncikličnih tačaka. LIN Neka je B 1 = (a, b, c) neka baza realnog vektorskog prostora V i neka je d = 2a + 2b, e = 2a + 2b + 3c, f = a + b 2c. a) Dokazati da je B 2 = (d, e, f) baza prostora V. b) Neka je S skup svih vektora prostora V koji imaju iste koordinate u odnosu na baze B 1 i B 2. Dokazati da je S potprostor prostora V i odrediti dimenziju potprostora S. c) Neka je A linearna transformacija prostora V odredjena sa: A(a) = b, A(b) = a, A(c) = a. Odrediti karakteristične korene transformacije A. d) Odrediti matricu linearne transformacije A u odnosu na bazu B 2. NUM Za odredjivanje nule ξ funkcije f C 2 (R 2 ) koristi se Njutnov postupak. Neka je {x k } tako dobijen niz koji konvergira ka ξ. a) Odrediti uslove pod kojima je niz {x k } kvadratno konvergentan. b) Odrediti konstantu A tako da je x k+1 ξ lim k x k ξ = A. 2

10 ODJ Neka su a, b, c > 0 pozitivne konstante i y = y(x) rešenje linearne homogene diferecijalne jednačine drugog reda ay + by + cy = 0. Kako se ponaša funkcija y(x) kad x? Obrazložiti odgovor. STUDENTI KOJI POLAŽU PRIJEMNI ZA: MA i MP RADE ZADATKE ODJ, ANL2, GEOM, ALG MB RADE ODJ, ANL2, NUM, LIN

11 ODJ PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I Ako je y = φ(x) rešenje jednačine vrednost za φ(π/2)? dy dx + y x = sin x, takvo da je φ(π) = 1, kolika je ANL2 Izračunati krivolinijski integral funkcije F (x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ) duž izlomljene linije koja se sastoji od dve duži, prva duž spaja tačke (0, 0, 0) i (1, 2, 1) a druga (1, 2, 1) i (3, 2, 0). ALG Dokazati da polinom p(x) = x 4 + 5x nije nesvodljiv nad poljem realnih brojeva, ako je poznato da nema realnih nula. Izvršiti faktorizaciju polinoma p(x) na nesvodljive faktore nad poljem kompleksnih brojeva. GEOM U ABC tačka O je centar opisane kružnice a tačka I centar upisane kružnice. Neka je tačka K presek p(a, B) i p(o, I), koje su pritom ortogonalne. Ako je K središte duži OI, odrediti ACB. LIN U vektorskom prostoru R 4 dati su potprostor W = {(x, y, z, t) 4x + y z + 3t = 0} i linearna transformacija F ((x, y, z, t)) = (x + y + z + t, x + 2y + z t, 4x + 2y + 3z, x y z). a) Odrediti jednu bazu potprostora W koja sadrži vektor a = (1, 1, 2, 1). b) Dokazati da je F (W ) W. c) Da li je transformacija F regularna? d) Odrediti karakteristične vektore transformacije F koji odgovaraju karakterističnom korenu λ 1 = 1. NUM Dat je početni problem y (x) = f(x, y(x)), y(a) = α. Neka je p(x) polinom koji interpolira numeričko rešenje date jednačine, n N i h > 0. a) Dati geometrijsku interpretaciju numeričkog rešenja ovog problema. b) Napisati formulu koja koristeći leve pravougaonike aproksimira integral a+nh y(x)dx tako a što umesto vrednosti pravog rešenja uzima vrednosti numeričkog rešenja u relevantnim tačkama. Dati geometrijsku interpretaciju. c) Neka je h(x) = y(x) p(x). Pretpostavimo da postoji bar jedna tačka u kojoj je aproksimacija p(x) y(x) tačna. U cilju pronalaženja te tačke formiran je Njutnov postupak. Ako je z 0 početna iteracija za koju važi h(z 0 ) 0 i h (z 0 ) 0, odrediti z 1 i dati geometrijsku interpretaciju Njutnovog postupka. STUDENTI KOJI POLAŽU PRIJEMNI ZA: MA i MP RADE ZADATKE ODJ, ANL2, GEOM, ALG