Slika 1: Uz zadatak 1.

Transcript

1 Elektrotehnički fakultet u Beogradu Ispit iz Fizike 1 Ispitni rok: septembarski 214. ( godine). Trajanje ispita je 3 h Predmetni nastavnici: (P1) Jovan Cvetić, (P2) Predrag Marinković i (P3) Milan Tadić 1. Tačka M se kreće po polukružnoj liniji, radijusa R. Projekcija tačke M na dijametralno postavljenu osu (to je tačka M ) kreće se konstantnom brzinom v >. Ako se x-osa postavi duž tog dijametra sa koordinatnim početkom u centru kružnice, a y-osa normalno na nju, i tačka se kreće od preseka kružne linije i negativnog dela x-ose, naći: (a) [25] intenzitet brzine tačke M; (b) [25] normalno i tangencijalno ubrzanje tačke M; (c) [25] intenzitet vektora ubrzanja tačke M i (d) [25] projekcije vektora brzine i vektora ubrzanja tačke M na Dekartove koordinatne ose, sve u funkciji ugla θ izmed - u negativnog dela x-ose i radijusa koji spaja centar kružnice i tačku M. y M R v θ M O Slika 1: Uz zadatak 1. x 2. Telo mase m = 2 kg, koje se može smatrati materijalnom tačkom, izbačeno je vertikalno uvis početnom brzinom v = 2 m/s. Otpor vazduha je izražen silom čiji je intenzitet dat sa kmv, gde je k =, 2 Ns/(mkg). (a) [5] Posle koliko vremena će telo dostići svoj najviši položaj? (b) [5] Do koji visine se telo popne? Uzeti g = 1 m/s (a) [5] Izvesti jednačinu Meščerskog. (b) [5] Iz koša koji miruje u odnosu na Zemlju kontinualno ističe pesak na prenosnu trku koja se nalazi ispod koša. Ako je poznata masa peska koji istekne iz koša u jedinici vremena µ i konstantni intenzitet brzine trake u odnosu na Zemlju v, odrediti intenzitet vučne sile F (videti sliku) kojom pogonski motor deluje na traku. Smatrati da je brzina kojom pesak pada na traku (u odnosu na Zemlju) jednaka nuli i da pesak na traci miruje u odnosu na nju (idealno prijanja za traku). Slika 2: Uz zadatak Prostoperiodična sila kružne učestanosti ω = 1π rad/s izaziva prinudne oscilacije u prigušenom oscilatornom sistemu sa koeficijentom amortizovanja α = 1, 6 s 1 u kome telo koje osciluje ima masu m =, 1 kg. Ako je u ustaljenom režimu oscilovanja amplituda oscilacija A = 5 cm i ako te oscilacije fazno zaostaju za prinudnom silom za ugao φ =, 25π rad, odrediti: (a) [25] sopstvenu kružnu učestanost oscilovanja neamortizovanog sistema (ω ); (b) [25] amplitudu prinudne sile (F ); (c) [25] rezonantnu učestanost (ω rez ) i (d) [25] rezonantnu amplitudu (A rez ) toga sistema.

2 5. Aksijalna cilindrična šupljina u šupljem valjku koji ima spoljašnji radijus 2R, unutrašnji radijus R i masu m, popunjena je nekim materijalom takod - e mase m. Taj nehomogeni valjak je, zatim, postavljen hori- m zontalno i omogućena je njegova rotacija bez trenja oko tanke horizontalne aksijalne osovine koja je spojena sa valjkom (masa osovine se zanemaruje). Oko valjka, na njegovoj sredini, više puta je namotan idealno savitljiv i m neistegljiv konac bez mase, a za slobodni kraj konca okačeno je telo opet mase m. Ako je Slika 3: Uz zadatak 5. ubrzanje Zemljine teže g i ako se smatra da namotani konac pri odmotavanju ne proklizava u odnosu na valjak, odrediti: (a) [5] ubrzanje tela koje visi na koncu kada se sistem prepusti sam sebi i (b) [5] vertikalnu i horizontalnu komponentu sile u osloncima osovine? 6. (a) [4] Izvesti izraz za srednju snagu koja se prenosi transverzalnim talasom na zategnutoj žici. Transverzalna harmonijska sila amplitude,3 N i frekvencije 1 Hz izaziva talas amplitude,1 m na jednom kraju vrlo dugačke elastične žice podužne gustine,1 kg/m. Izračunati: (b) [4] brzinu ovog talasa i (c) [2] srednju snagu koja se prenosi ovim talasom. Napomene: (1) Na vrhu naslovne strane vežbanke napisati oznaku grupe i ime predmetnog nastavnika: J. Cvetić (P1), P. Marinković (P2), M. Tadić (P3). (2) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekućoj školskoj godini rade zadatke 3-6 za vreme od 3 h. Na naslovnoj strani vežbanke u polju rednih brojeva 1 i 2 ovi studenti treba da upišu oznaku K1 da bi poeni dobijeni na kolokvijumu bili priznati. (3) Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijum u tekućoj školskoj godini rade sve zadatke za vreme od 3 h. (4) Zadatak koji nije rad - en ili čije rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske (u odgovarajućoj rubrici) oznakom X. (5) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita iz fizike 213. godine (ako je rad - en) u formi P R ISP = poena. (6) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i grafitne olovke, ali se ne sme pisati olovkom koja ostavlja crveni trag. (7) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vežbanci. (8) Ispit se može napustiti po isteku najmanje jednog sata od početka ispita.

3 Rešenja ispita iz Fizike 1 septembarski ispitni rok 213/ (a) Iz geometrije se dobija veza odatle je (b) Tangencijalno ubrzanje je a τ = dv dt = dv v = v sin θ, (1) v = v sin θ. (2) dθ dθ dt = v2 cos θ R sin 3 θ, (3) gde je iskorišćeno da je ugaona brzina ω = θ = v/r. Normalno ubrzanje je (c) Intenzitet ubrzanja postaje a n = v2 R = v2 R sin 2 θ. (4) a = a 2 τ + a 2 n = v2 R sin 3 θ. (5) (d) Projekcije brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu su v x = v, (6) v y = v cos θ. (7) Projekcije ubrzanja su a x =, (8) a y = v cos θ v θ sin θ = v2 R sin 3 θ, (9) gde je v = v 2 cos θ/(r sin 3 θ) i θ = v /(R sin θ). Jasno je da je vektor ubrzanja u pravcu y-ose, ali u suprotnom smeru. 2. (a) Ako se koordinatna osa Oz postavi vertikalno naviše, a koordinatni početak na površini zemlje odakle je telo i izbačeno, diferencijalna jednačina kretanja je m dt = mg km v z, (1) jer se intenzitet otporne sile može modelovati kao F ot = kmv = km v z = kmv z, s obzirom na to da je v z = v z za v z > (telo ide na gore). Jednačina (1) postaje Razdvajanjem promenljivih, sledi odakle je τ dt = g kv z. (11) = dt, (12) kv z + g dt = v z=v kv z + g, (13)

4 pa je τ = 1 k ln(1 + kv /g) = 1, 68 s, (14) jer je k =, 2 Ns/(kgm). (b) Da bi se našla maksimalna visina, treba poći od jed. (12) i integraliti je t dt = v z v z =v kv z + g, (15) što daje Drugi integral je što daje maksimalnu visinu H v z (t) = (v + g/k)e kt g/k. (16) dz = τ [(v + g/k)e kt g/k]dt, (17) ( v H = k + g ) (1 e kτ ) gτ =15, 88 m. (18) k 2 k 3. (a) Videti skripta i predavanja. (b) d(mv)/dt = F F = µv. 4. (a) Kako je sopstvena kružna učestanost sistema je ω = tan φ = 2αω ω 2 ω 2, (19) ω 2 + 2αω tan φ = 32, 9771 rad/s. (2) (b) Amplituda prinudne sile je F = Am (ω 2 ω 2 ) + 4α 2 ω 2 =, 711 N. (21) (c) Rezonantna učestanost je ω rez = ω 2 2α 2 = 32, 8994 rad/s. (22) (d) Rezonantna amplituda je A rez = F /m 2α =, 674 m. (23) ω 2 α2 5. Za telo koje visi na koncu piše se jednačina za translaciju mg T = ma, (24)

5 dok se za disk piše jednačina za rotaciju gde je T sila zatezanja u koncu, dok je moment inercije diska Iα = 2RT, (25) S obzirom na to da je α = a/(2r), iz jed. (25) sledi I = 1 2 m[r2 + (2R) 2 ] mr2 = 3mR 2. (26) Zamenom u jed. (24), dobija se ubrzanje T = 3 ma. (27) 4 a = 4 7 g. (28) Ako je F v vertikalna komponenta sile u jednom od dva ležišta osovine, onda je 2F v = 2mg + T = 2mg + (3/4)m(4/7)g, (29) odakle je F v = (17/14)mg. Horizontalne komponente sile u osloncima su F h = jer nijedna sila ne deluje horizontalno. 6. (a) Videti skripta i predavanja. (b) Intenzitet transverzalne sile je: ( F t F y ) = F y k cos(ωt kx). (3) x Amplituda transverzalne sile je odnosno: Sila kojom je zategnuta žica je: F t = F ky, (31) F t = 2π F µy f. (32) F = ( ) 2 Ft 1 2πy f µ. (33) Brzina transverzalnih talasa na zategnutoj žici je: F c = µ = F t = 4, 77 m/s. (34) 2πy fµ (c) P sr = 1 2 µf ω 2 y 2 = πf t y f =, 94 W.