Slika 1: Slika uz zadatak 3.

Transcript

1 Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnički fakultet Oktobarski ispitni rok iz Fizike 1, godine Ispit sadrži 6 zadataka. Trajanje ispita je 3h. Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković (P2) i Milan Tadić (P3). 1. Tačka se kreće u ravni u skladu sa parametarskim jednačinama u Dekartovom koordinatnom sistemu: x(t) = sin(ωt) i y(t) = cos(ωt), gde su i ω pozitivne konstante, a t vreme. Naći: (a) [20] jednačinu trajektorije i skicirati je; (b) [20] intenzitete tangencijalnog i normalnog ubrzanja; (c) [20] poluprečnik krivine trajektorije; (d) [20] ugao između vektora brzine i ubrzanja i (e) [20] jednačinu hodografa brzine i skicirati je. 2. Telo, malih dimenzija, mase m 1, leži na dasci mase m 2, koja je na glatkoj horizontalnoj podlozi. Između tela i daske postoji trenje i koeficijent trenja je µ. Odrediti: (a) [50] maksimalni intenzitet horizontalne sile (u oznaci F max ) kojom se može daska vući u pravcu daske, a da telo na njoj ne sklizne; (b) [50] vreme potrebno da telo sklizne sa daske, ako se ona povuče horizontalnom silom u pravcu daske intenziteta F 0 > F max i ako je na početku telo bilo na ivici daske na mestu gde se deluje silom, a daska je dužine L. Ubrzanje Zemljine teže je g. 3. [100] Telo mase m se sporo vuče naviše uz brdo silom intenziteta F. Sila je u svakoj tački usmerena po tangenti na površ kao na slici 1 uz zadatak. ko je visina brda h, horizontalno rastojanje od početne tačke do vrha brda l i koeficijent trenja između tela i brda µ, izračunati rad koji izvrši spoljna sila. Ubrzanje Zemljine teže je g. Slika 1: Slika uz zadatak [100] Na slici 2, uz zadatak, je prikazano telo oblika tankog šupljeg poludiska mase m, homogene gustine. Poluprečnik šupljine je R/2, a spoljašnji poluprečnik je R. Odrediti moment inercije tela oko ose OO. Slika 2: Slika uz zadatak Kruti homogeni tanki štap zanemarljive mase može da rotira bez trenja oko tanke osovine koja prolazi kroz tačku na rastojanju L/3 od njegovog levog kraja. Za levi kraj štapa pričvršćena je kuglica mase M, a za ovu kuglicu prikačena je opruga krutosti 2k, dok je za desni kraj štapa pričvršćena kuglica mase m, a za nju opruga krutosti k Slika 3: Slika uz zadatak 5.

2 (videti sliku 3). Opruge su lake (zanemarljivo male mase) i postavljene su vertikalno. U ravnoteži štap je u horizontalnom položaju, a opruge su nenapregnute. Odrediti: (a) [20] masu leve kuglice M i intenzitet sile reakcije osovine na štap N u ravnotežnom položaju; (b) [80] za M određeno pod (a) odrediti kružnu učestanost malih oscilacija ovog sistema ω. 6. Nivo intenziteta zvuka na rastojanju r 1 = 20 m od tačkastog izvora je L 1 = 30 db. ko je sredina u kojoj se prostire zvuk nedisipativna i izotropna, izračunati: (a) [50] nivo intenziteta zvuka L 2 na rastojanju r 2 = 10 m od izvora; (b) [50] najmanje rastojanje od izvora na kome se zvuk ne čuje. Napomene: (1) Na vrhu naslovne strane vežbanke napisati oznaku grupe i prezime predmetnog nastavnika: P1-Cvetić, P2-Marinković, P3-Tadić. (2) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekućoj školskoj godini rade zadatke 3-6 za vreme 3h. Na naslovnoj strani vežbanke, u poljima rednih brojeva 1 i 2, treba da upišu oznaku K1 da bi poeni ostvareni na kolokvijumu bili priznati. (3) Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijum u tekućoj školskoj godini rade SVE ZDTKE (1-6) za vreme 3h. (4) Zadatak koji nije rađen ili čije rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske, u odgovarajućoj rubrici, oznakom X. (5) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita iz fizike, ako je rađen, u formi PR-ISP= poena. ko nije rađen PR-ISP=NE. (6) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i svih vrsta pisaljki, sem onih koje pišu crvenom bojom. (7) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vežbanci. (8) Ispit se može napustiti po isteku najmanje jednog sata od početka ispita.

3 Rešenja zadataka na ispitu iz Fizike 1 Oktobarski ispitni rok 2015/ y/ x/ Slika 4: Slika uz rešenje zadataka (a) Jednačina trajektorije je ( x ) 2 ( y ) 2 + = sin 2 ωt+cos 2 ωt = 1. Radi se o krugu radijusa R (slika 4). (b) Tangencijalno ubrzanje je (ẋ = ωcosωt, ẍ = ω 2 sinωt, ẏ = ωsinωt i ÿ = ω 2 cosωt) Normalno ubrzanje je a τ = v a v = ẋẍ+ẏÿ ẋ2 +ẏ 2 = = 2 ω 3 sinωtcosωt+ 2 ω 3 sinωtcosωt 2 ω 2 sin 2 ωt+ 2 ω 2 cos 2 ωt a n = a = ẍ 2 +ÿ 2 = (c) Polupečnik krivine trajektorije je = 0 ω = 0. 2 ω 4 sin 2 ωt+ 2 ω 4 cos 2 ωt = ω 2. R = v2 a n = 2 ω 2 ω 2 =. (d) Ugao između vektora brzine i ubrzanja se nalazi iz izraza v a = vacosθ. Kako je v a = 0, sledi cosθ = 0, odnosno θ = π/2. (e) Projekcije brzine su: v x = ẋ = ωcosωt i v y = ẏ = ωsinωt. Jednačina hodografa je (vidi sliku 5) ( vx ) 2 ( vy ) 2 + = cos 2 ωt+sin 2 ωt = 1. ω ω

4 v y /(ω) v /(ω) x Slika 5: Slika uz rešenje zadataka (a) U odnosu na Zemlju, za dasku se može pisati F max F t = m 2 a 2, gde je a 2 ubrzanje daske prema Zemlji i maksimalna sila trenja F t = µm 1 g. Za telo, prema sistemu vezanom za dasku, važi m 1 a 2 F t = m 1 a 1 = 0, jer je ubrzanje tela prema dasci a 1 = 0. Odavde sledi m 1 a 2 = µm 1 g, a 2 = µg. Iz prethodnih jednačina sledi (b) Za telo u odnosu na dasku se piše F max = µ(m 1 +m 2 )g. m 1 a 2 µm 1 g = m 1 a 1, odakle je Za dasku važi odakle je Odatle je Traženo vreme je t = a 1 = a 2 µg. F 0 µm 1 g = m 2 a 2, a 2 = F 0 µm 1 g m 2. a 1 = F 0 µm 1 g m 2 µg. 2L 2Lm 2 = a 1 F 0 µ(m 1 +m 2 )g.

5 Slika 6: Slika uz rešenje zadatka Kako je kretanje sporo, ubrzanje mase m je zanemraljivo malo, pa je F = ( F tr + N+m g). Rad sile F je vidi sliku 6 B = Fd r = ( F tr + N +m g)d r. Pomeraj mase je moguće izraziti kao d r = dx e τ /cosθ ili u Dekartovom sistemu d r = dx e x + dy e y. Kako je F tr = µn e τ = µmgcosθ e τ i g = g e y, sledi B = µn e τ dx e τ /cosθ m g(dx e x +dy e y ) = = mg(lµ+h). 4. Primenom teoreme o upravnim osama lako se dobija I OO = 5 16 mr2. 5. (a) Koristeći uslove ravnoteže krutog tela (momentnu tačku pogodno postaviti u tački oslonca): Mg L 3 = mg2l 3 M = 2m, (1) (b) Momentna jednačina je (θ je ugao rotacije): N = 3mg. (2) I θ = 2k L 3 sinθl 3 cosθ k2l 3 sinθ2l 3 cosθ +2mgL 3 cosθ mg2l 3 cosθ. (3) Za male oscilacije je sinθ θ, cosθ 1. Pored toga, moment inercija sistema je: Prema tome: I = 2m L2 9 +m4l2 9 = 2 3 ml2. (4) 2 3 ml2 θ = 2 3 kl2 θ, (5)

6 odnosno: θ + k θ = 0. (6) m Kružna učestanost oscilovanja sistema je: ω = k m. (7) 6. (a) Na rastojanju r 1 je: Na rastojanju r 2 je: Koristeći I = C/r 2, gde je C = const: L 1 = 10log I 1 I 0. (8) L 2 = 10log I 2 I 0. (9) L 2 L 1 = 10log r2 1. (10) r2 2 Sledi: (b) Za rastojanje r 0 : gde je L 0 = 0 db. Odavde sledi: L 2 = L 1 +20log r 1 r 2 = 36,02 db. (11) L 0 L 1 = 20log r 1 r 0, (12) r 0 = r 1 10 L 1/20 = 632,46 m. (13)