3. (a) [50] Formulisati i dokazati teoremu o promeni količine kretanja

Transcript

1 Elektrotehnički fakultet u Beogradu Ispit iz Fizike Ispitni rok: januar 4. (8..4. godine). Trajanje ispita je 3 h Predmetni nastavnici: (P) Jovan Cvetić, (P) Predrag Marinković i (P3) Milan Tadić. Parametarske jednačine kretanja tačke u polarnim koordinatama date su sa: ρ(t) = bt i ϕ(t) = k/t, gde su b i k pozitivne konstante, a t vreme. (a) [5] Naći jednačinu trajektorije u koordinatnom obliku (za proizvoljno b i k) i skicirati trajektoriju za slučaj da je bk = rad m. (b) [5] Odrediti projekcije i intenzitet brzine u funkciji vremena. (c) [5] Naći projekcije i intenzitet ubrzanja u funkciji vremena. (d) [5] Odrediti tangencijalno i normalno ubrzanje u funkciji vremena.. Kratkim kanapom za dno jezera vezana je lopta odred - ene zapremine i gustine ρ = ρ /, gde je ρ gustina vode. Ako se u trenutku t = kanap preseče, odrediti: (a) [] zavisnost brzine lopte od vremena; (b) [] vrednost asimptotske brzine lopte; (c) [] ako lopta nakon vremena T izroni iz vode, odrediti dubinu jezera. Na loptu tokom kretanja, osim ostalih, deluje sila otpora sredine koja se može modelovati kao F ot = kρv v, gde je V zapremina, ρ gustina, a v brzina lopte, dok je k koeficijent srazmernosti (k > ). (Napomena: Arhimedova sila potiska: intenzitet je F p = ρ V g; deluje suprotno gravitaciji.) (d) [5] Njutnovi zakoni. ========================= 3. (a) [5] Formulisati i dokazati teoremu o promeni količine kretanja mehaničkog sistema. (b) [5] Neposredno uz ivicu horizontalne površine glatkog stola (slika ) nalazi se blok mase M =, 5 kg. Puščano zrno mase m = g ispali se u blok i merenjem se ustanovi da je brzina zrna posle prolaska kroz blok jednaka polovini brzine zrna pre sudara zrna i Slika : Uz zadatak 3. bloka. Zrno se neposredno pre i posle sudara kreće u horizontalnom pravcu, a prolazak zrna kroz blok se dešava u kratkom vremenskom intervalu (smatrati da zrno trenutno prolazi kroz blok). Ako je visina stola jednaka h = m i ako blok padne na podlogu na horizontalnom rastojanju D =, 3 m od svog položaja pre udara zrna (videti sliku ), odrediti brzinu metka pre sudara sa blokom v. Ubrzanje Zemljine teže je g = 9, 8 m/s. Pretpostaviti da je masa bloka posle sudara jednaka masi bloka pre sudara. 4. Tanki homogeni štap mase m i dužine l nalazi se u vertikalnom položaju (θ = π/). Štap može da rotira bez trenja oko tanke osovine koja prolazi kroz jedan kraj štapa (tačka O), kao što je prikazano na slici. Štap se u početnom trenutku (t = s) izvede iz vertikalnog položaja za mali ugao ( θ θ ) i pusti da pada početnom ugaonom brzinom jednakom nuli. U osovini deluje sila reakcije F r = F + F, čije su komponente F i F i orijentisane duž štapa i normalno na njega, respektivno, kao što je prikazano na slici. Odrediti: (a) [5] ugaonu brzinu štapa ω u funkciji ugla θ; (b) [5] ugaono ubrzanje štapa α u funkciji ugla θ; (c) [5] F = F u funkciji ugla θ; (d) [5] F = F u funkciji ugla θ. Slika : Uz zadatak 4.

2 5. (a) [5] Izvesti opšti izraz za period oscilovanja fizičkog klatna. (b) [5] Tanki homogeni štap dužine L je zakačen u nekoj tački štapa (tački vešanja) tako da može da osciluje u vertikalnoj ravni u gravitacionom polju oko horizontalne ose koja je normalno postavljena na štap u toj tački. Odrediti u kojoj tački vešanja (mereno prema centru mase) štap osciluje sa maksimalnom frekvencijom. Smatrati da su amplitude oscilacija male. 6. Na udaljenosti r = m od tačkastog izvora zvuka u vazduhu, njegov intenzitet je 8 db. (a) [5] Koliki je intenzitet zvuka u db na rastojanju od r = m? (b) [5] Neka postoji apsorpcija zvuka u vazduhu sa eksponencijalnim slabljenjem intenziteta zvuka sa rastojanjem: slabljenje intenziteta zvuka je proporcionalno sa e µr /r, gde je µ koeficijent slabljenja, a r rastojanje od izvora; eksponencijalni faktor se odnosi na apsorpciju tokom koje se energija talasa gubi, dok fakor /r opisuje prostorni efekat slabljenja intenziteta zvučnog talasa zbog sferne geometrije. Za µ =, m, odrediti koliki je intenzitet zvuka u db na rastojanju r = m. Uputstvo: Intenzitet zvuka u db (nivo) se računa po formuli β = log (I/I ), gde je I = W/m referentni nivo intenziteta zvuka. Napomene: () Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekućoj školskoj godini rade ZADATKE 3-6 za vreme 3 h. Na naslovnoj strani vežbanke, u polju rednih brojeva i, treba da upišu oznaku K da bi poeni ostvareni na kolokvijumu bili priznati. () Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijum u tekućoj školskoj godini rade SVE ZADATKE (-6) za vreme 3 h. (3) Zadatak koji nije rad - en ili čije rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske, u odgovarajućoj rubrici, oznakom X. (4) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita iz fizike, ako je rad - en, u formi P R ISP = poena. Ako nije rad - en P R ISP = NE. (5) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i svih vrsta pisaljki, sem onih koje pišu crvenom bojom. (6) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vežbanci.

3 Rešenja. (a) Eliminacijom vremena iz parametarskih jednačina dobija se da je jednačina trajektorije ρ = bk ϕ. Skica trajektorije je data na slici 3. U pitanju je hiperbolična spirala. (b) Projekcije brzine su Hiperbolicna spirala v ρ = ρ = b,.8.6 b= m/s k= s Intenzitet brzine je v = v ϕ = ρ ϕ = bk/t. v ρ + v ϕ = b + k /t. y [m] x [m] (c) Projekcije ubrzanja su Intenzitet ubrzanja je a = a ρ = ρ ρ ϕ = bk /t 3, a ϕ = ρ ϕ + ρ ϕ =. a ρ + a ϕ = a ρ = bk /t 3. Slika 3: Uz rešenje zadataka. (d) Tangencijalno ubrzanje je Normalno ubrzanje je a n = a a τ = bk t 3 a τ = dv dt = bk t 3 + k /t. k /t + k /t = bk3 t 4 + k /t.. (a) Na loptu vertikalno naviše deluju Arhimedova sila potiska (ρ V g), sila težine (ρv g) i otporna sila. Diferencijalna jednačina kretanja je (x-osa je orijentisana na gore i x = je na dnu jezera) odakle je ili (za ρ = ρ / i v = dx/dt) Razdvajanjem promenljivih, sledi odakle je ρv d x dt = ρ V g ρv g kρv dx dt, d x dt + k dx ( ) dt = ρ ρ g, v dv dt + kv = g, dv t g kv = dt, v(t) = g k ( e kt ).

4 (b) Asimptotska brzina je (c) Na osnovu izraza za brzinu, može se napisati Razdvajanjem promenljivih, sledi Dubina jezera je H v a = g k. dx dt = g k ( e kt ). dx = H = g k t g k ( e kt )dt. (T e kt (d) Videti skripta P. Marinkovića i beleške sa predavanja. 3. (a) Videti skripta i beleške sa predavanja. (b) Na osnovu zakona o održanju količine kretanja: k ). mv = m v + Mv. Domet horizontalnog hica je: Zamena drugog izraza u prvi daje: D = v h g. v = MD g = 33, m/s. m h 4. (a) Na osnovu zakona o održanju mehaničke energije: Odavde sledi: (b) Koristeći momentnu jednačinu: sledi: ( 3 ml )ω = mg l ( sin θ). ω = (c) Prema teoremi o kretanju centra mase: 3g( sin θ). l 3 ml α = mg l cos θ α = 3g l cos θ. m l ω = mg sin θ F

5 i izrazu za ω izvedenom pod (a): F = mg 5 sin θ 3. (d) Na osnovu teoreme o kretanju centra mase: Koristeći izraz za α izveden pod (b): m l α = mg cos θ F. F = mg cos θ (a) Videti skripta i predavanja. (b) Momentna jednačna je [(/)ml + mx ]d θ/dt = gx mgx sin θ. Za male oscilacije d θ/dt + mgx/(ml / + mx )θ =. Odatle ω = L / + x. Iz uslova ω / x = sledi x = L/ mereno od sredine štapa (CM). 6. (a) Intenzitet zvuka na rastojanju r je I = I β /. () Tačkasti izvor generiše sferne talase srednje snage po vremenu P sr na mestu izvora, a njihov intenzitet opada sa kvadratom udaljenosti. Na rastojanju r od izvora intenzitet zvuka I P sr /r, a na rastojanju r biće I P sr /r. Koristeći () sledi Intenzitet zvuka u db na rastojanju r biće prema () I = I β / r /r. () β = log (I /I ) = log (I β / r /r /I ) = [β / + log (r /r )] = 4 db. (3) (b) Ako postoji apsorpcija zvuka u vazduhu, njegov intenzitet na rastojanju r od izvora I (P sr /r)e µr, a na rastojanju r biće I (P sr /r)e µr. Koristeći () sledi Intenzitet zvuka u db na rastojanju r biće prema (4) I = I β / (r /r ) e µ(r r ). (4) β = log (I /I ) = [β / + log (r /r ) µ(r r ) log e] = 3, 4 db. (5)