3. dio vježbi Modeli s diferencijalnim jednadžbama. Nela Bosner. Znanstveno računanje 2. Nela Bosner. Inicijalni problem za. diferencijalnu jednadžbu

Transcript

1 Rubni problem za Znanstveno 3. dio vježbi Modeli s diferencijalnim jednadžbama

2 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Rješavamo (skraćeno ODJ) oblika y (x) = f (x, y(x)), x a, b, (1) uz zadani početni uvjet y(a) = y 0 inicijalni problem ili uz zadani rubni uvjet r(y(a), y(b)) = 0, gdje je r neka zadana funkcija rubni problem. Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi je općenitiji problem: y 1 =f 1(x, y 1,..., y n ), y 2 =f 2(x, y 1,..., y n ),. y n =f n (x, y 1,..., y n ).

3 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Koristeći vektorsku notaciju y = [y 1,..., y n ] T i f = [f 1,..., f n ] T sustav pišemo u obliku analognom jednadžbi (1): y (x) = f(x, y(x)), te primijenjujemo iste numeričke kao za rješavanje diferencijalne jednadžbe (1) vodeći računa o tome da se umjesto skalarnih funkcija y i f javljaju vektorske funkcije y i f.

4 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Diferencijalne jednadžbe višeg reda supstitucijama y (n) = f (x, y, y, y,..., y (n 1) ) y 1 = y, y 2 = y,..., y n = y (n 1) svodimo na sustav jednadžbi prvog reda: y 1 =y = y 2, y 2 =y = y 3,. y n 1 =y (n 1) = y n, y n =y (n) =f (x, y, y, y,..., y (n 1) ) = f (x, y 1, y 2, y 3,..., y n ), te i u ovom slučaju možemo koristiti razvijene za (1).

5 Eulerova Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Eulerova je zasigurno najjednostavnija za rješavanje inicijalnog problema za ODJ oblika y = f (x, y), y(a) = y 0. Metoda se zasniva na ideji da se y u gornjoj jednadžbi zamijeni s podijeljenom razlikom y y(x + h) y(x) (x) = + O(h), h pa rješenje diferencijalne jednadžbe zadovoljava y(x+h) = y(x)+hy (x)+o(h 2 ) = y(x)+hf (x, y(x))+o(h 2 ). Interval [a, b] podijelimo na n jednakih dijelova te stavimo h = b a n, x i = a + ih, i = 0,..., n.

6 Eulerova Runge Kutta Eulerova, se tada može kraće zapisati rekurzijom y i+1 = y i + hf (x i, y i ), i = 1,..., n, gdje je početni uvjet y 0 zadan kao inicijalni uvjet diferencijalne jednadžbe. Dobivene vrijednosti y i su aproksimacije rješenja diferencijalne jednadžbe u točkama x i. višekoračnih

7 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Algoritam (Eulerova ) y 0, a, b i n zadani; funkcija f zadana; h = b a n ; x(1) = a; y(1) = y 0 ; for i = 1 : n x(i + 1) = a + i h; y(i + 1) = y(i) + h f (x(i), y(i)); end

8 Runge Kutta Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Koristeći sličnu ideju kao u Eulerovoj metodi, y = f (x, y), y(a) = y 0 (2) na intervalu [a, b], možemo rješavati tako da podijelimo interval [a, b] na n jednakih podintervala, označivši h = b a n, x i = a + ih, i = 0,..., n. Sada y i+1, aproksimaciju rješenja u točki x i+1, računamo iz y i korištenjem aproksimacije oblika y(x + h) y(x) + hφ(x, y(x), h; f ), (3) te dobivamo rekurziju: y i+1 = y i + hφ(x i, y i, h; f ), i = 0,..., n. (4)

9 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Funkciju Φ nazivamo funkcija prirasta, a različit izbor te funkcije definira različite. Tako je npr. u Eulerovoj metodi Φ(x, y, h; f ) = f (x, y). Metode oblika (4) zovemo jednokoračne (jer za aproksimaciju y i+1 koristimo samo vrijednost y i u prethodnoj točki x i ). O odabiru funkcije Φ ovisi i točnost. Za očekivati je da ako izaberemo Φ tako da aproksimacija točnog rješenja y(x + h) dana s (3) bude što točnija, da će točnija biti i aproksimacija y i za y(x i ) dana rekurzijom (4).

10 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Pogrešku aproksimacije (3): τ(x; h) = (x; h) Φ(x, y(x), h), (5) gdje je y(x) točno rješenje diferencijalne jednadžbe (2) i y(x + h) y(x) (x; h) =, h nazivamo lokalna pogreška diskretizacije. Za razumne jednokoračne zahtjevat ćemo da je U tom slučaju je lim τ(x; h) = 0. h 0 0 = lim h 0 ( (x; h) Φ(x, y(x), h)) = f (x, y) lim h 0 Φ(x, y(x), h), tj. lim Φ(x, y(x), h) = f (x, y). h 0

11 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Definicija Jednokoračnu metodu zovemo konzistentnom ako za svaki f F 1 (a, b), x [a, b] i y R lokalna pogreška diskretizacije τ zadovoljava Ukoliko je još f F p (a, b) i kažemo da je reda p. lim τ(x; h) = 0. h 0 τ(x; h) = O(h p ) Što je veći p je točnija.

12 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Pod točnošću podrazumijevamo ponašanje pogreške y(x i ) y i. Zbog jednostavnosti promatrat ćemo pogrešku u fiksiranoj točki b. Ako je jednokoračna reda p, tada se može pokazati (teorem kasnije) y(b) y n = O(h p ). tj. lim n (y(b) y n ) = 0 za sve x [a, b] i f F 1 (a, b), te kažemo da je jednokoračna konvergentna. Uočimo da je h = (b a)/n te da je y n uvijek (za svaki n) aproksimacija za y(b).

13 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Najpoznatije jednokoračne su Runge Kutta. Kod njih je funkcija Φ oblika a k j su zadani s Φ(x, y, h) = ( k j (x, y, h) = f x+c j h, y+h r ω j k j (x, y, h), j=1 r l=1 ) a jl k l (x, y, h, f ), j=1,...,r. Broj r zovemo broj stadija Runge Kutta (RK), i on označava koliko puta moramo računati funkciju f u svakom koraku. (6)

14 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Različit izbor koeficijenata ω j, c j i a jl definira različite. Ovi koeficijenti se najčešće biraju tako da red bude što je moguće veći. Iz izraza (6) vidimo da se k j nalazi na lijevoj i na desnoj strani jednadžbe, tj. zadan je implicitno te govorimo o implicitnoj Runge Kutta metodi. U praksi se najviše koriste gdje je a jl = 0 za l j. Tada k j možemo izračunati preko k 1,..., k j 1, tj. funkcije k j su zadane eksplicitno. Takve RK nazivamo eksplicitnima. Nadalje, obično se dodaje uvjet (teorem kasnije) r a jl = c j. l=1

15 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Odabrat ćemo koeficijente za RK metodu s dva stadija: Φ(x, y, h) =ω 1 k 1 (x, y, h) + ω 2 k 2 (x, y, h), k 1 (x, y, h) =f (x, y), k 2 (x, y, h) =f (x + ah, y + ahk 1 ). Razvojem rješenja diferencijalne jedadžbe u Taylorov red, i primjenom definicije lokalne pogreške diskretizacije dobivamo sljedeće uvjete na koeficijente: Da bi bila reda 1 koeficijente treba odabrati tako da je: 1 ω 1 ω 2 = 0. Da bi bila reda 2 koeficijente treba odabrati tako da je još i: 1 2 ω 2a = 0

16 Eulerova Uvo denjem slobodnog koeficijenta t rješenje ove dvije jednadžbe možemo napisati u obliku: Runge Kutta ω 2 = t 0, ω 1 = 1 t, a = 1 2t. t ne možemo odabrati tako da bude reda 3. višekoračnih

17 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Eulerova ω 2 = t = 0, s jednim stadijem reda 1 Heunova t = 1 2 reda 2 Φ = 1 2 (k 1 + k 2 ), k 1 =f (x, y), k 2 =f (x + h, y + hk 1 ), modificirana Eulerova t = 1 reda 2 Φ = f (x + h2, y + h2 ) f (x, y).

18 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Najraširenije su sa četiri stadija. Odgovarajuće jednadžbe koje moraju zadovoljavati koeficijenti RK-4 su: gdje je ω 1 + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 1, (8) ω 2 c 2 + ω 3 c 3 + ω 4 c 4 = 1 2, (9) ω 2 c2 2 + ω 3c3 2 + ω 4c4 2 = 1 3, (10) ω 3 c 2 a 32 + ω 4 (c 2 a 42 + c 3 a 43 ) = 1 6, (11) ω 2 c2 3 + ω 3c3 3 + ω 4c4 3 = 1 4, (12) ω 3 c2 2 a 32 + ω 4 (c2 2 a 42 + c3 2 a 43) = 1 12, (13) ω 3 c 2 c 3 a 32 + ω 4 (c 2 a 42 + c 3 a 43 )c 4 = 1 8, (14) ω 4 c 2 a 32 a 43 = 1 24, (15) c 1 = 0, c 2 = a 21, c 3 = a 31 + a 32, c 4 = a 41 + a 42 + a 43.

19 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Uvjet (8) treba biti zadovoljen da bi bila reda 1, uvjet (9) za red 2, uvjeti (10) (11) za red 3, dok za red 4 trebaju biti ispunjeni i uvjeti (12) (15). Ukupno imamo 10 koeficijenata i 8 jednadžbi ukoliko je reda 4. Me dutim, s četiri stadija može postići najviše red četiri, tj. ne možemo dva stupnja slobode iz sustava jednadžbi iskoristiti da red podignemo na pet.

20 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Općenito vrijedi: Za s 1, 2, 3 i 4 stadija najveći mogući red odgovara broju stadija. Za s 5, 6 i 7 stadija najveći mogući red je 4, 5 i 6. Za s 8 i više stadija najveći mogući red je barem za dva manji od broja stadija. To je razlog zašto su s 4 stadija najpopularnije (RK-4). Slijedi nekoliko primjera RK-4.

21 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Klasična Runge Kutta (RK-4) Φ = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 =f (x, y), ( k 2 =f x + h 2, y + h ) 2 k 1, ( k 3 =f x + h 2, y + h ) 2 k 2, ) k 4 =f (x + h, y + hk 3.

22 Eulerova Runge Kutta višekoračnih 3/8-ska Φ = 1 8 (k 1 + 3k 2 + 3k 3 + k 4 ), k 1 =f (x, y), ( k 2 =f x + h 3, y + h ) 3 k 1, k 3 =f (x + 23 h, y h3 ) k 1 + hk 2, k 4 =f (x + h, y + h(k 1 k 2 + k 3 ))

23 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Gillova Φ = 1 (k 1 + (2 2)k 2 + (2 + ) 2)k 3 + k 4, 6 k 1 =f (x, y), ( k 2 =f x + h 2, y + h ) 2 k 1, ( k 3 =f x + h 2 1 2, y + h k 1 + h 2 2 k 2 ), 2 2 ( 2 k 4 =f x + h, y h 2 k 2 + h k 3 ). 2

24 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Algoritam (Runge Kutta (RK-4)) y 0, a, b i n zadani; funkcija f zadana; h = b a ; n x(1) = a; y(1) = y 0 ; for i = 1 : n x(i + 1) = a + i h; k1 = f (x(i), ( y(i)); ) k2 = f x(i) + h, y(i) + h k ; ( ) k3 = f x(i) + h, y(i) + h k ; ) k4 = f (x(i + 1), y(i) + hk 3 ; y(i + 1) = y(i) + h (k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4); 6 end

25 Neka svojstva Runge Kutta Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Teorem Runge Kutta sa r stadija ima red konzistencije veći ili jednak 1 ako i samo ako je r ω j = 1. j=1

26 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Teorem Neka je RK zadana s y i+1 = y i + h s k j, j=1 ( kj = f x + c j h, y + h s ) a jl kl reda konzistencije p, te neka je p red konzistencije y i+1 = y i + h gdje je c j = s k j, j=1 s a jl. Tada je p p. l=1 ( k j = f x + c j h, y + h l=1 s a jl k l ), l=1

27 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Za fiksirani x [a, b] definiramo korak h n = x x 0 n i globalnu pogrešku diskretizacije e(x; h n ) = y n y(x). Sada za svaki n N vrijedi x n = x, te možemo promatrati globalnu pogrešku diskretizacije kada n. Definicija Jednokoračna je konvergentna ako lim e(x; h n) = 0 n za sve x [a, b] i sve f F 1 (a, b).

28 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Teorem Za x 0 [a, b], y 0 R, promatramo inicijalni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0, koji ima jedinstveno rješenje y(x). Neka je funkcija Φ neprekidna na G = {(x, y, h) x [a, b], y y(x) γ, h h 0 }, za h 0 > 0, γ > 0 i neka postoje pozitivne konstante M i N takve da je Φ(x, y 1 ; h) Φ(x, y 2 ; h) M y 1 y 2 za sve (x, y i, h) G, i = 1, 2, i

29 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Teorem (nastavak) τ(x; h) = (x; h) Φ(x, y(x); h) N h p, p > 0 za sve x [a, b], h h 0. Tada postoji h, 0 < h h 0, takav da globalna pogreška diskretizacije zadovoljava e(x; h n ) h n p N em x x 0 1 M za sve x [a, b] i h n = (x x 0 )/n, n = 1, 2,..., uz h n h. Ako je γ =, tada je h = h 0.

30 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju odj_euler() koja implementira Eulerovu metodu za rješavanje inicijalnog problema za ODJ. Funkcija neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f rubove segmenta a i b početni uvjet y 0 broj podintervala n i izlazne ametre vektor x duljine n + 1 s vrijednostima x i vektor y duljine n + 1 s vrijednostima y i

31 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Svoju funkciju odj_euler() primijenite na sljedeći inicijalni problem y (x) = y(x) 5e x sin(5x), x [0, 3], y(0) =1 pri čemu je n = 30. f uzmite kao pokazivač na anonimnu funkciju. Nacrtajte graf vašeg aproksimativnog rješenja, tako da točke (x i, y i ) označite sa zvjezdicama, a točke me dusobno povežete isprekidanom linijom. Označite osi sa x i y.

32 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Na istoj slici nacrtajte i graf egzaktnog rješenja y(x) = e x cos(5x), pomoću naredbe za crtanje funkcija fplot( exp(-x)*cos(5*x),[0 3], r- ); Napišite prigodnu legendu. Izračunajte maksimalnu grešku max i y(x i ) y i. višekoračnih

33 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju odj_rk4() koja implementira Runge Kutta metodu (RK-4) za rješavanje inicijalnog problema za ODJ. Funkcija neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f rubove segmenta a i b početni uvjet y 0 broj podintervala n i izlazne ametre vektor x duljine n + 1 s vrijednostima x i vektor y duljine n + 1 s vrijednostima y i

34 Eulerova Runge Kutta Zadatak Svoju funkciju odj_rk4() primijenite na prethodni primjer, na isti način prikažite aproksimativno i egzaktno rješenje, te izračunajte maksimalnu grešku. višekoračnih

35 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Kod prethodnih pretpostavili smo da je korak integracije h konstantan tijekom cijelog postupka rješavanja diferencijalne jednadžbe. Ali, h se može mijenjati u svakom koraku integracije, pa jednokoračnu metodu možemo pisati u obliku: y i+1 = y i + h i Φ(x i, y i, h i ). Želimo odrediti duljinu koraka h i tako da bude postignuta neka unaprijed zadana točnost ε.

36 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Neka su s Φ i Φ zadane dvije reda p i p + 1. Tada računamo aproksimacije Znamo da vrijedi: y i+1 =y i + h i Φ(x i, y i, h i ), ȳ i+1 =y i + h i Φ(x i, y i, h i ). y(x i + h i ) =y(x i ) + h i Φ(x i, y(x i ), h i ) + C(x i )h p+1 i + O(h p+2 i ), y(x i + h i ) =y(x i ) + h i Φ(xi, y(x i ), h i ) + O(h p+2 i ). Cilj je da pogreška u i-tom koraku bude manja od ε. Stoga ćemo pretpostaviti da je aproksimacija y i za y(x i ) točna za male h, tj. y i y(x i ).

37 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Iz prve dvije jednakosti oduzimanjem slijedi ȳ i+1 y i+1 = h i [ Φ(x i, y i, h i ) Φ(x i, y i, h i )], a iz druge dvije h i [ Φ(x i, y i, h i ) Φ(x i, y i, h i )] C(x i )h p+1 i + O(h p+2 i ). Kombiniranjem prethodnih izraza dobit ćemo ȳ i+1 y i+1 C(x i )h p+1 i + O(h p+2 i ) y(x i+1 ) y i+1 C(x i )h p+1 i + O(h p+2 i ) Zanemarivanjem viših članova u razvoju pogreške, dobivamo ȳ i+1 y i+1 C(x i )h p+1 i i ȳ i y i C(x i 1 )h p+1 i 1.

38 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Uz pretpostavku da se član C(x) u pogrešci ne mijenja brzo, tj. C(x i ) C(x i 1 ), uvjet da pogreška u i-tom koraku bude manja od ε sada glasi: ε y(x i+1 ) y i+1 C(x i )h p+1 i C(x i 1 )h p+1 i odnosno h p+1 i h p+1 ε i 1 ȳ i y i. Iz ovoga slijedi da za novi korak trebamo izabrati h i = h p+1 i 1 ε ȳ i y i. Ukoliko je prethodni korak bio uspješan, tada je zadovoljeno ȳ i y i ε, te je stoga h i h i 1. ȳ i y i h p+1 i 1 hp+1 i,

39 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Ako prethodna nejednakost ne vrijedi, (i 1)-vi korak treba ponoviti uz manji h i 1. Mnogi iz prakse preporučaju izbor koraka h i = αh p+1 i 1 ε ȳ i y i. gdje je α pogodno odabran korigirajući faktor, koji služi da ispravi pogrešku nastalu odbacivanjem viših članova u ocjeni pogreške. Obično je α = 0.9. Čim izračunamo h i najbolje je odmah provjeriti da li će biti ispunjeno ȳ i+1 y i+1 ε, i ukoliko to nije ispunjeno izračunati novi h novi iz starog h stari = h i h novi i = αh stari i i p+1 ε ȳ i+1 y i+1. na isti način kao što se h i računa iz h i 1. i

40 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Prikazani izbor koraka vrijedi za bilo koji reda p i p + 1. Primjena Runge Kutta zahtijevala bi jednu metodu sa s stadija i jednu sa s + 1 stadija, što općenito znači da bismo u svakom koraku funkciju f iz diferencijalne jednadžbe trebali računati 2s + 1 puta. Postupak se može pojednostavniti ako prvih s stadija k 1,..., k s, k s+1 korištenih za računanje funkcije prirasta Φ iskoristimo za računanje funkcije Φ: s Φ(x, y, h) = ω i k i (x, y, h), i=1 s+1 Φ(x, y, h) = i=1 ω i k i (x, y, h). Sada u svakom koraku funkciju f računamo s + 1 puta.

41 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Ovu ideju ćemo ilustrirati na u Runge Kutta reda 2 i 3. Promatramo s 3 i 4 stadija: Φ(x, y, h) = Φ(x, y, h) = 3 ω i k i (x, y, h), i=1 4 ω i k i (x, y, h). i=1 Da bi definirana s Φ bila reda 3 trebaju biti zadovoljeni uvjeti (8) (11), što je ukupno 4 jednadžbe i 10 koeficijenata. Nadalje, reda 2 s 3 stadija ima 3 dodatna koeficijenta (ω 1, ω 2 i ω 3 ) i treba zadovoljavati 2 dodatna uvjeta (8) (9).

42 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Sveukupno, 13 koeficijenata u ovom u treba zadovoljavati 6 uvjeta. Preostalih 7 stupnjeva slobode iskoristit ćemo za smanjivanje broja računanja funkcije f. Zahtijevat ćemo da k 4 (x i, y i, h i, f ), zadnji stadij iz računanja Φ u i-tom koraku, iskoristimo kao k 1 (x i+1, y i+1, h i+1, f ), prvi stadij u (i + 1)-om koraku: f (x i + c 4 h i, y i + h i (a 41 k 1 + a 42 k 2 + a 43 k 3 ) = f (x i+1, y i+1 ) Odavde slijede dodatna 3 uvjeta: =f (x i + h i, y i + h i Φ(x i, y i, h i, f )) =f (x i + h i, y i + h i (ω 1 k 1 + ω 2 k 2 + ω 3 k 3 )). a 41 = ω 1, a 42 = ω 2, a 43 = ω 3. Uvjet c 4 = 1 automatski je ispunjen zbog ω 1 + ω 2 + ω 3 = 1.

43 Jedno od rješenja ovog sustava jednadžbi je prikazano u sljedećoj tablici. Eulerova Runge Kutta a ij i c i j = 1 j = 2 j = 3 ω i ω i višekoračnih

44 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju odj_rk23() koja implementira Fehlbergovu metodu za rješavanje inicijalnog problema za ODJ. Metoda je kombinacija Runge Kutta reda 2 i 3. Funkcija neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f rubove segmenta a i b početni uvjet y 0 toleranciju na grešku tol i izlazne ametre vektor x duljine n + 1 s vrijednostima x i vektor y duljine n + 1 s vrijednostima y i gdje je n broj podintervala.

45 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak (nastavak) Početni korak je h 0 = b a. Za svaku novu iteraciju najprije izračunajte h i, i provjerite da li će biti ȳ i+1 y i+1 tol. Ukoliko to nije ispunjeno novi h i računajte po formuli h novi i = 0.9h stari i tol y i+1 ȳ i+1. p+1 Analogno računajte i početni h i+1. Obratite pozornost na slučaj kada je x i + h i > b. U tom slučaju uzmite h i = b x i i x i+1 = b.

46 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Svoju funkciju odj_rk23() primijenite na problem { y 1 y(x) x [0, π] (x) =, y(0) = 0 5y(x) x π, 4] za koji je točno rješenje { 1 e x x [0, π] y(x) = (1 e π )e 5(x π). x π, 4] Uzmite tol = 10 5, prikažite aproksimativno i egzaktno rješenje, te na x-osi označite korake koje je napravila. Izračunajte maksimalnu grešku. Usporedite sa rješenjem dobivenim samo Runge Kutta metodom reda 2 iz Fehlberg sa istim brojem koraka.

47 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Jednokoračne možemo shvatiti kao primjenu kvadraturnih formula na integraciju ODJ y (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. Integracijom prethodne jednadžbe slijedi y(x i+1 ) y(x i ) = xi+1 x i f (x, y(x))dx = I i. Dakle, vrijednost y(x i+1 ) možemo izračunati iz stare vrijednosti y(x i ) ako znamo izračunati integral I i. Korištenjem kvadraturnih formula dobivamo: formula lijevog ruba Eulerova I i hf (x i, y(x i )) formula desnog ruba implicitna Eulerova I i hf (x i+1, y(x i+1 ))

48 Eulerova Runge Kutta višekoračnih formula srednje točke modificirana Eulerova I i hf (x i + h2 (, y x i + h )), 2 pri čemu se koristi aproksimacija y(x i + h/2) y(x i ) + h 2 y (x i ) = y(x i ) + h 2 f (x i, y(x i )). trapezna formula Imlicitna trapezna ili Crank Nicolsonova I i h 2 (f (x i, y(x i )) + f (x i+1, y(x i+1 )))

49 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Dakle, primjenom trapezne formule na integraciju ODJ dobit ćemo metodu oblika y i+1 = y i + h 2 (f (x i, y i ) + f (x i+1, y i+1 )). Budući da se y i+1 javlja i na lijevoj i na desnoj strani jednadžbe, radi se o implicitnoj metodi. U svakoj iteraciji rješava se gornji problem nekom od za numeričko rješavanje ne jednadžbi, npr. Newtonovom metodom sa fiksnim brojem iteracija. je reda 2, budući da je takva točnost i trapezne kvadraturne formule.

50 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zašto koristimo implicitne, kada kod njih u svakom koraku moramo rješavati nelinearnu? Kod vidjeli smo da red konzistencije utječe na izbor koraka h i. S druge strane, kod rješavanja npr. inicijalnih problema oblika y = λy, y(x 0 ) = y 0 znamo da je egzaktno rješenje oblika y = y 0 e λx. Za λ < 0 za rješenje vrijedi lim x y(x) = 0, što bi trebalo vrijediti i za aproksimaciju rješenja y i. Za standardne eksplicitne sa fiksnim korakom h to nije uvijek tako. Produkt λh mora biti u odre denom intervalu da bi to vrijedilo i za y i, a izvan tog intervala se pojavljuju rastuće oscilacije u aproksimativnom rješenju.

51 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Definicija Interval apsolutne stabilnosti numeričke je interval produkta λh za koji aproksimacija y i rješenja y(x i ) = y 0 e λx i inicijalnog problema y = λy, y(x 0 ) = y 0 teži ka nuli kada i. Intervali apsolutne stabilnosti za koje smo do sada radili su: Euler. m. RK-1 RK-2 RK-3 RK-4 Impl. trap. 2,0 2,0 2,0 2.51,0 2.78,0,0 prema tome implicitna trapezna je apsolutno stabilna.

52 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Implicitne su puno efikasnije za rješavanje krutih ( stiff ) jednadžbi. Primjenom numeričke na krutu veći utjecaj na veličinu koraka h i ima interval apsolutne stabilnosti nego uvjet na održavanje male lokalne pogreške diskretizacije. Takve jednadžbe se teško rješavaju pomoću eksplicitnih Runge Kutta jer zahtijevaju puno vrlo sitnih koraka, dok za implicitnu trapeznu metodu to nije slučaj.

53 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju odj_impl_trapez() koja implementira implicitnu trapeznu metodu za rješavanje inicijalnog problema za ODJ. Funkcija neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f rubove segmenta a i b početni uvjet y 0 broj podintervala n i izlazne ametre vektor x duljine n + 1 s vrijednostima x i vektor y duljine n + 1 s vrijednostima y i

54 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak (nastavak) Svoju funkciju implementirajte na sljedeći način. U svakom koraku definirajte funkciju g(z) čija nultočka je y i+1 pomoću pokazivaća na anonimnu funkciju. Budući da nam za Newtonovu metodu treba i g (z), koristit ćemo MATLAB-ove simboličke izraze: w=sym( w ); g=@(z)...; gs=g(w); dgs=diff(gs); dg=@(z) double(subs(dgs,z));

55 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak (nastavak) Objašnjenja: sym() kreira simboličke brojeve, varijable i objekte w=sym( w ) w je simbolička varijabla g(w) simbolički izraz diff() derivira simbolički izraz subs() zamjena simboličke varijable sa novom vrjednosti double() konverzija simboličkog izraza u numerički oblik Napišite pomoćnu M-file funkciju odj_newton koja implementira Newtonovu metodu za rješavanje nelinearne jedadžbe. odj_newton neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f pokazivač na derivaciju funkcije df početnu iteraciju z 0 broj iteracija k

56 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Funkcija odj_newton neka vraća aproksimaciju rješenja. U svakom koraku implicitne trapezne računajte y i+1 pomoću odj_newton, i uzmite da je z 0 = y i ili z 0 = y i + hf (x i, y i ) i k = 5. višekoračnih

57 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Svoju funkciju odj_impl_trapez() primijenite na problem y (x) = 100(y(x) cos x) sin x, x [0, 1], y(0) =1, za koji je točno rješenje y(x) = cos x. Za h = 1/n, n = 20,..., 50 računajte vrijednost aproksimacije u zadnjoj točci (y n+1 ) pomoću implicitne trapezne i Runge Kutta reda 2 iz Fehlberg. Usporedite greške u odnosu na točno rješenje.

58 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Kod je za aproksimaciju y i+1 u točki x i+1 bilo potrebno poznavanje samo aproksimacije y i u točki x i. Promatrajmo ponovno y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0. Integracijom, te primjenom formule srednje točke za aproksimaciju integrala, slijedi da je y(x i+1 ) y(x i 1 ) = xi+1 x i 1 y (x) dx = 2hf (x i, y(x i )). xi+1 x i 1 Gornja formula vodi na rekurzivno definiranu aproksimaciju y i+1 = y i 1 + 2hf (x i, y i ). f (x, y(x)) dx

59 Eulerova Runge Kutta U ovoj metodi za odre divanje vrijednosti y i+1 trebamo poznavati prethodne vrijednosti y i i y i 1 dvokoračna Aproksimacija y i+1 zadana je eksplicitno izrazom na desnoj strani eksplicitna Prethodno opisana zove se preskoka i reda je 2. višekoračnih

60 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Ako umjesto formule srednje točke pri računanju integrala primijenimo Simpsonovu formulu, dobivamo drugu aproksimaciju: xi+1 y(x i+1 ) y(x i 1 ) = f (x, y(x)) dx x i 1 h 3 [f (x i 1, y(x i 1 )) + 4f (x i, y(x i ))+ + f (x i+1, y(x i+1 ))], Prethodna formula vodi na metodu y i+1 = y i + h 3 [f (x i 1, y i 1 ) + 4f (x i, y i ) + f (x i+1, y i+1 )].

61 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Ovdje se y i+1 javlja i na lijevoj strani i na desnoj strani kao argument, općenito nelinearne, funkcije f. Dakle, y i+1 je zadan implicitno implicitna dvokoračna Napomena Uočimo da gornjim formulama ne možemo odrediti y 1, pa za njegovo odre divanje treba upotrebiti jednu od. Višekoračne se koriste kada je funkcija f vrlo skupa za računanje, jer se u iteracijama koriste već izračunate vrijednosti f (x j, y j ) a ne neke nove vrijednosti kao kod Runge Kutta.

62 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Općenito, linearne su oblika r r α j y i+1 j = h β j f i+1 j, j=0 gdje je f k = f (x k, y k ), α 0 0 i α r + β r 0. Ovu metodu zovemo r-koračna : za β 0 = 0 je još i eksplicitna, a za β 0 0 je implicitna. Prikaz pomoću koeficijenata α j i β j nije jedinstven jer npr. koeficijenti 2α 0,..., 2α r i 2β 0,..., 2β r definiraju istu metodu. Često se koristi normalizacija α 0 = 1 te je zapis oblika: r r y i+1 + α j y i+1 j = hβ 0 f (x i+1, y i+1 ) + h β j f i+1 j. j=1 j=0 j=1

63 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjenom različitih integracijskih možemo dobiti cijeli niz višekoračnih. Integracijom jednadžbe y (x) = f (x, y(x)) na nekom zadanom intervalu [x p j, x p+k ] dobivamo y(x p+k ) y(x p j ) = xp+k x p j f (t, y(t)) dt. Ukoliko podintegralnu funkciju f (t, y(t)) zamijenimo interpolacijskim polinomom P q stupnja q koji interpolira f (t, y(t)) u točkama x i, tj. ako je P q (x i ) = y (x i ) = f (x i, y(x i )), i = p, p 1,..., p q, korištenjem interpolacijskog polinoma u Lagrangeovoj formi q q x x p l P q (x) = f (x p i, y(x p i ))l i (x), l i (x) =, x p i x p l i=0 l=0 l i

64 Eulerova Runge Kutta višekoračnih dobivamo q xp+k y(x p+k ) y(x p j ) f (x p i, y(x p i )) l i (t) dt i=0 x p j q =h β qi f (x p i, y(x p i )), gdje smo s β qi označili β qi = 1 h xp+k x p j l i (t) dt = i=0 k j q l=0 l i s + l ds, i = 0,..., q. i + l Zamjenom vrijednosti y(x p i ) aproksimacijama y p i dobivamo višekoračnu metodu oblika q y p+k = y p j + h β qi f p i. i=0

65 Eulerova Runge Kutta višekoračnih U Adams Bashforthovoj metodi je k = 1 i j = 0, pa je ona eksplicitna, (q + 1)-koračna i glasi: y p+1 = y p + h(β q0 f p + β q1 f p β qq f p q ). Sljedeća tablica prikazuje koeficijente β qi za ovu metodu. β qi β 0i 1 2β 1i β 2i β 3i β 4i i

66 Izborom k = 0 i j = 1 dobivamo Adams Moultonovu metodu, koja je implicitna, q-koračna i glasi: Eulerova Runge Kutta višekoračnih y p+1 = y p + h(β q0 f p+1 + β q1 f p + + β qq f p+1 q ). Koeficijenti su im prikazani u sljedećoj tablici. i β qi β 0i 1 2β 1i β 2i β 3i β 4i

67 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Sada ćemo definirati lokalnu pogrešku diskretizacije za višekoračnu metodu: τ(x; h) = 1 r r α j y(x jh) β j y (x jh), h j=0 gdje je y egzaktno rješenje ODJ. Definicija Višekoračnu metodu zovemo konzistentnom ako za svaki f F 1 (a, b), x [a, b] i y R lokalna pogreška diskretizacije τ zadovoljava Ukoliko je još f F p (a, b) i lim τ(x; h) = 0. h 0 τ(x; h) = O(h p ) j=0

68 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer Red (r + 1)-koračne Adams Bashforthove jednak je r + 1. Red r-koračne Adams Moultonove za jedan je veći od broja koraka i iznosi r + 1. Koeficijenti α j i β j za dani r odre duju se tako da red bude što je moguće veći. Kod : konzistentnost = konvergencija kod višekoračnih : konzistentnost + stabilnost = konvergencija

69 višekoračnih Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Višekoračna r r α j y i+1 j = h β j f (x i+1 j, y i+1 j ) j=0 j=0 definira dva polinoma r ρ(z) = α j z r j i r σ(z) = β j z r j. j=0 j=0

70 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Definicija Za višekoračnu metodu kažemo da je stabilna ako nultočke z j polinoma ρ(z) zadovoljavaju 1. Sve nultočke su po apsolutnoj vrijednosti manje od 1 ( z j 1). 2. Ako je z j = 1 tada je z j jednostruka nultočka (ρ (z j ) 0). Zajedno uvjete 1 i 2 zovemo uvjet stabilnosti. Teorem Linearna višekoračna je konvergentna ako i samo ako je konzistentna i stabilna.

71 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Napomena Može se pokazati da stabilna r-koračna ima red { r + 1, ako je r nean, p r + 2, ako je r an. ponovo ovisi o ponašanju globalne pogreške diskretizacije: e(x; h) = y n y(x), gdje je x a, b, h = h n = (x a)/n. Globalna pogreška diskretizacije ovisi o 1 lokalnoj pogrešci diskretizacije 2 r izračunatih početnih vrijednosti y 0,..., y r 1.

72 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Da bismo startali r-koračnu metodu, prvo je potrebno izračunati r početnih vrijednosti y 0,..., y r 1. Dok y 0 možemo odrediti iz početnog uvjeta diferencijalne jednadžbe, ostale vrijednosti moramo odrediti nekom drugom, najčešće jednokoračnom, metodom. Pri njihovom odre divanju javit će se pogreška ε i : y(x i ) = y i + ε i, i = 0,..., r 1. Ova pogreška ne ovisi o promatranoj višekoračnoj metodi, već o načinu na koji odre dujemo početne vrijednosti. Očito je, da ako želimo da globalna pogreška diskretizacije teži nuli kada n, pogreške početnih vrijednosti trebaju zadovoljavati lim ε i = 0, i = 0,..., r 1. n

73 Eulerova Runge Kutta Definicija Višekoračnu metodu zovemo konvergentnom ako je lim e(x; h n) = 0, n h n = x a, n = 1, 2,... n za sve x [a, b], sve f F 1 (a, b) i sve y i, i = 0,..., r 1 za koje je lim (y(x i) y i ) = 0, i = 0,..., r 1. n višekoračnih

74 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Korolar Neka je linearna višekoračna stabilna i konzistentna reda p, te f F p (a, b). Tada globalna pogreška diskretizacije zadovoljava e(x; h n ) = O(h p n) za sve h n = (x x 0 )/n čim pogreške ε i zadovoljavaju uz ε(h n ) = O(h p n). ε i ε(h n ), i = 0,..., r 1 Ovaj korolar ujedno kazuje koju metodu moramo izabrati za odre divanje početnih vrijednosti y 0,..., y r 1. Iz teorema o konvergenciji slijedi da možemo izabrati jednokoračnu metodu reda p da bi se pogreška ponašala kao O(h p ).

75 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Dosad je ostalo otvoreno pitanje kako izračunati y i+1 u implicitnoj metodi (korektor) k k y i+1 + αj y i+1 j = β0 hf (x i+1, y i+1 ) + h βj f i+1 j. j=1 Ako označimo k c = αj y i+1 j+h j=1 k βj f i+1 j, j=1 j=1 ϕ(y) = β 0 hf (x i+1, y)+c, y i+1 je rješenje nelinearne jednadžbe y = ϕ(y). Budući da možemo izabrati dovoljno malen korak integracije h takav da je nejednakost zadovoljena, ϕ (y) = h β 0 f (x i+1, y) y < 1

76 Eulerova Runge Kutta višekoračnih slijedi da jednostavne iteracije y [m+1] = ϕ(y [m] ), m = 0, 1, 2,... konvergiraju prema rješenju jednadžbe. Za odabir početne aproksimacije y [0] koristi se neka od eksplicitnih (prediktor) y i+1 + k j=1 α j y i+1 j = h k j=1 β j f i+1 j.

77 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Sada možemo zapisati cijeli algoritam: y [0] k i+1 = α j y i+1 j + h j=1 k j=1 j=1 β j f i+1 j, k y [m+1] i+1 =β0 hf (x i+1, y [m] i+1 ) αj y i+1 j + h y i+1 =y [M] i+1. m = 0,..., M 1, k βj f i+1 j, Broj iteracija (M) može biti unaprijed zadan ili se iteracije provode dok se jednadžba ne riješi do na neku unaprijed zadanu točnost. U primjeni, broj iteracije nije velik, uvijek se radi o nekoliko iteracija. j=1

78 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Kako odabrati korektor prediktor? Točnost definirana je s točnošću korektora, tj. implicitne. Uobičajeno je da se za prediktor korektor uzimaju eksplicitna i implicitna istoga reda. Često korišten je k-koračna Adams Bashforthova kao prediktor i (k 1)-koračna Adams Moultonova kao korektor. Uz ovakav odabir prediktor-korektor a govorimo o Adams Bashforth Moultonovim ma.

79 Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju odj_pred_kor() koja implementira prediktor korektor za rješavanje inicijalnog problema za ODJ. Funkcija neka ima ulazne ametre pokazivač na funkciju f rubove segmenta a i b početni uvjet y 0 broj podintervala n broj iteracija korektora m i izlazne ametre vektor x duljine n + 1 s vrijednostima x i vektor y duljine n + 1 s vrijednostima y i

80 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Svoju funkciju implementirajte na sljedeći način. Za prediktor uzmite 4-koračnu Adams Bashforthovu metodu. Za korektor uzmite 3-koračnu Adams Moultonovu metodu. Za odre divanje y 1, y 2 i y 3 iskoristite Runge Kutta metodu RK-4. višekoračnih

81 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Svoju funkciju odj_pred_kor() primijenite na prethodni primjer sa problemom y (x) = y(x) 5e x sin(5x), x [0, 3], y(0) =1 Na isti način prikažite aproksimativno i egzaktno rješenje, te izračunajte maksimalnu grešku. Varirajte ametre n i m.

82 : Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer Čvrstoća metala kontrolira se njegovim kemijskim sastavom i postupcima mehaničkog oblikovanja koji su korišteni za njegovo dobivanje. Nakon što se rastopljeni metal skrutio, ali prije nego što se potpuno ohladio, oblikuje se u poluge, ploče ili šipke. Zatim, metal se ostavlja da se ohladi i nakon toga se podvrgava pažljivo kontroliranim promjenama temperature u procesu koji se zove termička obrada. Jednostavan model termičke obrade je dan nelinearnom ODJ 1. reda za temperaturu metala kao funkcije o vremenu.

83 Eulerova Runge Kutta višekoračnih izvor električne struje zrak za hla denje temp. T o čelična šipka Slika: čelične šipke. okolina obuhvaćena toplinskim zračenjem

84 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) Čelik se oblikuje u duge šipke, koje se zagrijavaju kako bi se oslobodile naprezanja nastalih za vrijeme postupka oblikovanja. Šipke se zagrijavaju propuštanjem električne struje kroz njih. Nakon što šipke dostignu odre denu temperaturu, struja se isključuje i uključuju se ventilatori koji ih hlade. U obje faze grijanja i hla denja šipke razmjenjuju toplinu s okolinom pomoću konvekcije i zračenja. Prijenos topline konvekcijom doga da se zbog micanja zraka oko šipaka i modeliran je jednadžbom Q k = HA p (T T o ),

85 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) gdje je Q k snaga hla denja konvekcijom H empirička konstanta nazvana koeficijent prijenosa topline A p površina plašta šipke T temperatura šipke (uz pretpostavku da je ona uniformna) T o temperatura okolnog zraka Prijenos topline zračenjem doga da se posredstvom elektormagnetskih valova u infracrvenom spektru. Šipke razmjenjuju toplinu sa bilo kojom plohom koje su u vidljivom dosegu. Pretpostavit ćemo da su sve plohe koje okružuju šipke temperature T o.

86 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) Model u tom slučaju glasi Q z = ɛσa p (T 4 T 4 o ), gdje je Q z snaga hla denja zračenjem ɛ relativna snaga zračenja topline koju ima površina šipke (ɛ [0, 1]) σ = W /(m 2 K 4 ) Stefan Boltzmannova konstanta Kod prijenosa topline zračenjem temperatura mora biti izražena u K, a poslije se može prebaciti u C T ( K ) = T ( C)

87 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) U svakom trenutku vremena, ravnoteža energije izražena je sa mc dt dt = Q e Q k Q z, gdje je t vrijeme m masa šipke c specifični toplinski kapacitet Q e snaga topline generirane električnom strujom. Uvrštavanjem izraza za Q k i Q z u prethodnu dobit ćemo dt dt = 1 mc {Q e A p [H(T T o ) + ɛσ(t 4 T 4 o )]}.

88 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) Budući da se termička obrada odvija u dvije faze: 1 Uključeno je grijanje električnom strujom i ventilatori su isključeni: Q k je smanjen jer se hla denje odvija slobodnom konvekcijom tj. prirodnim strujanjem zraka. 2 Isključena je električna struja i uključeni su ventilatori: Q k je povećan zbog prisilne konvekcije. Zbog toga imamo sljedeću situacija { H1 za t < t H(t) = h (slobodna konvekcija) H 2 za t t h (prisilna konvekcija) gdje je t h trenutak u kojem je isključeno grijanje i uključeno hla denje ventilatorima.

89 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Izračunjte temeperaturu u ovisnosti o vremenu u modelu toplinske obrade. Parametri modela su sljedeći: duljina šipke l = 1m promjer šipke Φ = 1cm gustoća čelika ρ = 7822 kg m 3 specifični toplinski kapacitet čelika c = 444 kg K J relativna snaga zračenja topline površine ɛ = 0.7 koeficijenti prijenosa topline H 1 = 15 W temperatura okolnog zraka vrijeme isključenja grijanja i uključenja hla denja ukupno vrijeme simulacije snaga topline generirane električnom strujom m 2 K W m 2 K H 2 = 100 T o = 21 C t h = 70s 210s Q e = 3000W

90 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak (nastavak) Napišite M-file funkciju term_obrada_funkcija(t,t) koja treba implementirati funkciju desne strane u ODJ modela f (t, T ) = 1 mc {Q e A p [H(t)(T T o ) + ɛσ(t 4 T 4 o )]} sa zadanim ametrima. Kod računanja A p ne trebate uračunati krajnje kružne plohe. Problem riješite vašom funkcijom odj_rk23() za tol = Na dite rješenje i sa funkcijom odj_rk4() pri čemu broj podintervala neka bude isti kao i kod odj_rk23().

91 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Nacrtajte oba rješenja na istom grafu sa linijama u različitim bojama, i sa različitim oznakama točaka. Adekvatno označite osi i legendu. Koje je rješenje točnije? U točnost svoga odgovora uvjerite se tako da udvostručite broj podintervala za odj_rk4() funkciju. višekoračnih

92 Model grabežljivca i plijena Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer Promatramo dinamiku populacija dviju me dusobno povezanih životinjskih vrsta: 1 plijen (zec) je primarni izvor hrane druge vrste 2 grabežljivac (vuk) Označimo sa p 1 (t) populaciju plijena, a sa p 2 (t) populaciju grabežljivca. Stope prirasta kod obiju populacija možemo prikazati modelom dp 1 =α 1 p 1 δ 1 p 1 p 2 dt dp 2 =α 2 p 1 p 2 δ 2 p 2, dt gdje su α 1 i α 2 koeficijenti stope rasta, a δ 1 i δ 2 koeficijenti stope mortaliteta.

93 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) U 1. jednadžbi: Iraz α 1 p 1 opisuje plodnost plijena, za koju se pretpostavlja da ovisi samo o dostupnosti tnera. Pretpostavlja se da plijen uvijek ima dostupnu dovoljnu količinu hrane. Izraz δ 1 p 1 p 2 je stopa mortaliteta plijena, koja raste s rastom populacija grabežljivca (jer ih jedu) i rastom same populacije plijena. Koeficijent δ 1 predstavlja efikasnost u lovu grabežljivaca.

94 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) U 2. jednadžbi: Grabežljivci se reproduciraju u ovisnosti o njihovom broju, ali njihova reprodukcija je ograničena dostupnom hranom (p 1 ). Koeficijent α 2 opisuje i plodnost grabežljivaca, ali i hranjivu vrijednost plijena. Mortalitet grabežljivaca raste s rastom populacije grabežljivaca (jer se hrana brže troši). Početni uvjeti p 1 (0) i p 2 (0), kao i koeficijenti α 1, δ 1, α 2 i δ 2 moraju doći iz bioloških studija.

95 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkcije odj_rk4v() i odj_rk23v() koje će biti vektorske verzije funkcija odj_rk4() i odj_rk23(), pogodne za rješavanje sustava od m ODJ. Parametar y 0 je sada stupčani m-dimenzionirani vektor a y je m (n + 1) matrica kod koje je i-ti stupac y(1 : m, i) y(x(i)). Napišite M-file funkciju grab_plijen_funkcija(t,p) koja treba implementirati funkciju desne strane u ODJ modela, i koja vraća stupčani vektor od dva elementa dp 1 dt i dp 2 dt.

96 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak (nastavak) Na dite rješenje sustava modela grabežljivca i plijena sa ametrima α 1 2 δ α δ p 1 (0) 5000 p 2 (0) 100 pomoću odj_rk4v() i odj_rk23v() u periodu od 30 vremenskih jedinica. Za odj_rk4v() uzmite n = 300, a za odj_rk23v() uzmite tol = 10 2.

97 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Nacrtajte dva grafa na jednoj slici koristeći MATLAB-ovu funkciju subplot(). U gornjem dijelu nacrtajte graf rješenja za plijen (p 1 ), a u donjem graf rješenja za grabežljivce (p 2 ). Kod oba grafa pravilno označite osi, i stavite adekvatne naslove. višekoračnih

98 Mehanički sustav Znanstveno Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer Promatramo mehanički sustav sastavljen od utega, opruge i prigušivača. x k F (t) m c

99 Eulerova Runge Kutta Primjer (nastavak) Vanjska sila koja ovisi o vremenu primijenjena je na objekt mase m uzrokujući njegovo gibanje. Opruga djeluje povratnom silom, a prigušivač troši energiju. Ravnoteža sila koje djeluju na objekt izražena je relacijom F = ma, višekoračnih gdje je F suma svih sila koje djeluju na objekt, a a je akceleracija objekta. Sila opruge djeluje u negativnom x smjeru, i proporcionalna je skračenju opruge: F opruga = kx, gdje je k konstanta opruge.

100 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) Prigušivač se opire kretanju objekta, i sila prigušivača se povećava s brzinom objekta: F prigušivač = cẋ, gdje je ẋ = dx/dt trenutna brzina mase. Uvrštavajući dvije prethodne jednadžbe u ravnoteže sila dobivamo ODJ drugog reda F(t) kx cẋ = mẍ, gdje je ẍ = d 2 x/dt 2 trenutna akceleracija mase. Prethodna jednadžba se obično piše u obliku ẍ + 2ζω n ẋ + ω 2 nx = F m,

101 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) gdje je ζ bezdimenzionalni koeficijent prigušivanja a ω n je prirodna frekvencija: ζ = c k 2 km, ω n = m. Jednadžbu drugog reda, zapisujemo sada kao ekvivalentni sustav ODJ prvog reda pomoću transformacija: y 1 = x, y 2 = ẋ. Dakle, imamo dy 1 =y 2 dt dy 2 = F dt m 2ζω ny 2 ωny 2 1.

102 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Primjer (nastavak) Postoje mnoge moguće funkcije sile F(t). Zbog jednostavnosti, koristit ćemo tzv. step funkciju koja je ekvivalentna postavljanju dodatne mase m s na vrh objekta mase m u jednom trenutku u vremenu. U tom slučaju iznos sile primijenjene na objekt je gm s, gdje je g = 9.8m/s 2 akceleracija gravitacije. Matematički opis step funkcije primijenjene u trenutku t 0 je { 0, za t < t0 F(t) = F 0 za t t 0. U našem slučaju je F 0 = ma 0, gdje je a 0 = g.

103 Eulerova Runge Kutta višekoračnih Zadatak Napišite M-file funkciju meh_sustav_funkcija(t,y) koja treba implementirati funkciju desne strane u sustavu ODJ modela, i koja vraća stupčani vektor od dva elementa dy 1 dt i dy 2 dt. Na dite rješenje sustava modela mehaničkog sustava s oprugom i prigušivačem a m s 2 ζ 0.1 ω n y 1 (0) = x(0) y 2 (0) = ẋ(0) 35 rad s 0m pomoću odj_rk23v() u periodu od 0 do 1.5 sekundi (t 0 = 0). Uzmite tol = m s

104 Eulerova Runge Kutta Zadatak (nastavak) Nacrtajte dva grafa na jednoj slici koristeći MATLAB-ovu funkciju subplot(). U gornjem dijelu nacrtajte graf rješenje za x, a u donjem graf rješenja za ẋ. Kod oba grafa pravilno označite osi, i stavite adekvatne naslove. višekoračnih

105 Rubni Znanstveno Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Rubni problemi su općenitiji od inicijalnih problema. Kod rubnog problema traži se rješenje y(x) sustava običnih diferencijalnih jednadžbi y = y 1. y n y = f (x, y),, f (x, y) = koje zadovoljava rubne uvjete gdje je r(u, v) = r(y(a), y(b)) = 0, x a, b, f 1 (x, y 1,..., y n ). f n (x, y 1,..., y n ) r 1 (u 1,..., u n, v 1,..., v n ). r n (u 1,..., u n, v 1,..., v n ).,

106 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Specijalni slučaj su linearni rubni uvjeti oblika Ay(a) + By(b) = c, gdje su A, B R n n, i c R n. Oni su linearni (odnosno afini) po y(a) i y(b). U primjeni su često rubni uvjeti razdvojeni: A 1 y(a) = c 1, B 2 y(b) = c 2, tj. reci matrica općenitih rubnih uvjeta A, B i c mogu se tako izpermutirati da budu oblika [ ] [ ] [ ] A1 0 c1 Ā =, B =, c =. 0 B 1 Prema tome, inicijalni problem može se smatrati specijalnim slučajem rubnog problema za c 2 A = I, a = x 0, c = y 0, B = 0.

107 Rubni problem za Jednostavna ga danja Napomena Dok za inicijalni problem obično postoji jedinstveno rješenje, rubni problem može imati više rješenja ili niti jedno. sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra

108 Jednostavna ga danja Znanstveno Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Metodu ćemo objasniti na primjeru rubnog problema y = f (x, y, y ), y(a) = α, y(b) = β, sa razdvojenim rubnim uvjetima. Za njega znamo da je ekvivalentan 2 2 sustavu y = f(x, y(x)), gdje je y 1 = y a y 2 = y. S druge strane, inicijalni problem y = f (x, y, y ), y(a) = α, y (a) = s općenito ima jedinstveno rješenje y(x) = y(x; s) koje ovisi o izboru inicijalne vrijednosti s za y (a).

109 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Kako bismo rješili rubni problem moramo odrediti s = s takav da je zadovoljen drugi rubni uvjet y(b) = y(b; s) = β. Drugim riječima, moramo naći nultočku s funkcije F(s) = y(b; s) β. Za računanje vrijednosti F(s) za svaki s potrebno je naći rješenje inicijalnog problema. Za računanje nultočke s od F(s) možemo koristiti bilo koju numeričku metodu: metodu bisekcije Newtonovu metodu

110 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra w α β a y(x; s (0) ) y(x; s (1) ) y(x; s) Slika: Jednostavna ga danja. Ako znamo vrijednosti s (0) i s (1) za koje je F (s (0) ) < 0 i F(s (1) ) > 0, s možemo izračunti pomoću bisekcije. b x

111 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Kako je y(b; s), a onda i F(s) općenito neprekidno diferencijabilna funkcija od s, možemo tako der koristiti i Newtonovu metodu za odre divanje s. Počevši od početne aproksimacije s (0), iterativno računamo s (i+1) = s (i) F(s(i) ) F (s (i) ). y(b, s (i) ) i F(s (i) ) mogu se odrediti rješavanjem inicijalnog problema y = f (x, y, y ), y(a) = α, y (a) = s (i).

112 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Derivaciju F (s (i) ) aproksimiramo kvocijentom diferencija F (s (i) ) = F (s(i) + s (i) ) F(s (i) ) s (i), gdje je s (i) dovoljno mali. F(s (i) + s (i) ) se ponovo dobiva rješavanjem inicijalnog problema. Zbog mogućih numeričkih problema, često se uzima s (i) = eps s (i). Distribucija temperature unutar cilindra

113 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra U ovom konkretnom slučaju kada imamo samo jednu 2. reda, Newtonovu metodu možemo izvesti i egzaktno. Parcijalno derivirajmo cijelu inicijalnog problema po s, pri čemu dobivamo: ( ) y = f s y (x, y(x; s), y (x; s)) y (x; s)+ s + f ( ) y y (x, y(x; s), y (x; s)) (x; s) s ( ) y y (a; s) = 0, (a; s) = 1. s s

114 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Ovime smo dobili sustav od dvije diferencijalne jedadžbe 2. reda, koje ćemo prikazati kao ekvivalentan sustav od 4 jednadžbe 1.reda, s nepoznanicama y 1 = y(x; s), y 2 = y (x; s), y 3 = y s (x; s) i ( ) y 4 = y s (x; s): y 1 = y 2 y 2 = f (x, y, y ) y 3 = y 4 y 4 = f y (x, y 1, y 2 )y 3 + f y (x, y 1, y 2 )y 4, s inicijalnim uvjetima y 1 (a) = α, y 2 (a) = s, y 3 (a) = 0, y 4 (a) = 1.

115 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Dobivene vrijednosti y 1 (b) i y 3 (b) su nam potrebne u iteraciji Newtonove : s (i+1) = s (i) F(s(i) ) F (s (i) ) = s (i) y(b; s(i) ) β y s (b; s(i) ) Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra

116 Rubni problem za Jednostavna ga danja Primjer Razmatramo rubni problem y = 3 2 y 2, y(0) = 4, y(1) = 1. Rješavamo li ovaj problem metodom ga danja, tada moramo naći rješenja inicijalnih problema sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra y = 3 2 y 2, y(0; s) = 4, y (0; s) = s. Graf funkcije F(s) = y(1; s) 1 prikazan je na sljedećoj slici.

117 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra F(s) s s 2 s 1

118 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Primjer (nastavak) Može se pokazati da funkcija F(s) ima dvije nultočke s 1 i s 2. Iteracije ga danja, pri kojima inicijalni problem rješavamo egzaktno, dat će s 1 = , s 2 = , a odgovarajuća rješenja rubnog problema označit ćemo sa y 1 (x) i y 2 (x). Distribucija temperature unutar cilindra

119 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra y(x) y 1 (x) y 2 (x) x

120 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Za računanje rješenja općenitog rubnog problema sa n nepoznatih funkcija y i (x), i = 1,..., n y = f (x, y), y = [ y 1 y n ] T, r(y(a), y(b)) = 0, gdje su f (x, y) i r(u, v) vektori od n funkcija, postupak je sličan kao u prethodnom primjeru. Trebamo naći početni vektor s R n za inicijalni problem y = f (x, y), y(a) = s, takav da rješenje inicijalnog problema y(x) = y(x; s) zadovoljava rubne uvjete r(y(a; s), y(b; s)) = r(s, y(b; s)) = 0.

121 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Znači, moramo naći rješenje s = [ s 1 s 2 s n ] T jednadžbe F(s) = 0, F(s) = r(s, y(b; s)). Rješenje jednadžbe može se izračunati Newtonovom metodom s (i+1) = s (i) DF (s (i) ) 1 F(s (i) ). U svakoj iteraciji Newtonove moramo naći rješenje y(x, s (i) ) inicijalnog problema y = f (x, y), y(a) = s (i), izračunati F (s (i) ) = r(s (i), y(b; s (i) )), izračunati DF (s (i) ) ili neku njegovu aproksimaciju, riješiti sustav jednadžbi DF (s (i) )d (i) = F (s (i) ), gdje je d (i) = s (i) s (i+1).

122 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra DF (s (i) ) aproksimiramo pomoću kvocijenata diferencija gdje su F(s) = [ 1 F(s),..., n F(s)], j F(s) = F(s 1,..., s j + s j,..., s n ) F(s 1,..., s j,..., s n ) s j Računanje j F(s) zahtijeva računanje y(b; s) = y(b; s 1,..., s n ) i y(b; s 1,..., s j + s j,..., s n ) za koje trebamo naći rješenja odgovarajućih inicijalnih problema.

123 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Za linearne rubne uvjete imamo sljedeću situaciju r(u, v) = Au + Bv c, F(s) =As + By(b; s) c, DF(s) =A + BZ (b; s), gdje je Z (b; s) = D s y(b; s) matrica sa elementima [ ] yi (b; s) Z (b; s) =. s j U ovom slučaju cijalnu derivaciju od y(b; s) aproksimiramo kvocijentom diferencija j y(b; s) = y(b; s 1,..., s j + s j,..., s n ) y(b; s 1,..., s j,..., s n ) s j F(s) = A+B y(b; s), y(b; s) = [ 1 y(b; s),..., n y(b; s)].

124 Rubni problem za Jednostavna ga danja sa kubičnim B-splajnovima Metoda konačnih diferencija Distribucija temperature unutar cilindra Dakle, za izvo denje aproksimativne Newtonove s (i+1) = s (i) F(s (i) ) 1 F(s (i) ), moraju se izvršiti sljedeći koraci: Algoritam Izaberi početni vektor s (0) Za i = 0, 1, 2,... 1 na di y(b; s (i) ) rješavanjem inicijalnog problema y = f (x, y), y(a) = s (i), i izračunaj F(s (i) ) = r(s (i), y(b; s (i) )), 2 izaberi dovoljno male brojeve s j 0, j = 1,..., n i na di y(b; s (i) + s j e j ) rješavanjem n inicijalnih problema y = f (x, y), y(a) = s (i) + s j e j, j = 1,..., n, 3 izračunaj F(s (i) ), na di rješenje d (i) sustava jednadžbi F(s (i) )d (i) = F (s (i) ) i definiraj s (i+1) = s (i) d (i).