r r r 1 r p = , a to je rešenje integrala s leve strane (2.50). Desnu stranu (2.50) ne možemo rešiti iz razloga što ne mođemo r r

Transcript

1 38 DINMIK.3 Imuls sile Imuls sile e vektoska fizička veličia koa kaakteiše destvo katkotaih vemeski omelivih sila velikih iteziteta. Zbog avedeih osobia ismo u stau da sazamo vemesku zavisost sile i iz tog azloga meimo osledicu destva sile-omeu vektoa količie ketaa. Pomea vektoa količie ketaa od destvom sile, u vemeskom itevalu t [ t,t ], izosi : t d =. (.5) Oo što možemo izmeiti e omea vektoa količie ketaa Δ =, a to e ešee itegala s leve stae (.5). Desu stau (.5) e možemo ešiti iz azloga što e mođemo odediti vemesku zavisost sile = ( t). t Δ =. (.5) Itegal s dese stae (.5) aziva se imuls sile. ko e sila kostatog destva, = cost, u datom vemeskom itevalu oda iz (.5) dobiamo: Δ = ( t t) = Δt. (.5) Sedu silu, s, možemo defiisati kao silu kostatog destva koa u datom vemeskom itevalu ima isti imuls sile kao i vemeski omeliva sila. Iz (.5) imuls sede sile e: Δ = t. (.53) Iz defiicie sede sile, odoso iz (.5) i (.53) dobiamo izaz za sedu silu u obliku: t t s = =. (.54) t t t Δt t ko su avac i sme vemeski omelive sile kostati u datom vemeskom itevalu (vidi sl..) oda možemo defiisati sedu vedost iteziteta sile: s t t s Δ t = Δt t () t, (.55) što etavla ovšiu isod kive a sl.. o ediici vemeskog itevala. s ( t) t Slika. Uz defiiciu sede sile t t

2 .4 Zako odžaa vektoa količie ketaa.4 Zako odžaa vektoa količie ketaa 39 Jeda od fudametalih zakoa u iodi. Pimeliv e i a slučaeve gde e važe Nutovi zakoi, odoso zakoi klasiče fizike. Ne etavla osledicu II Nutovog zakoa. I Posmatamo ketae ede čestice mase m koa se keće bziom v. ko e čestica izolovaa (a česticu e destvue i eda sila) ili e ezultuuća solaša sila koa delue a česticu edaka uli iz II Nutovog zakoa oizilazi da se vekto količie ketaa odžava kostatim u vemeu: d( m ) d ex v ez = = = = cost =. (.56) cost II Posmatamo sistem od čestica Rezultuuću silu koa delue a edu česticu ( -tu česticu, [, ] ) ( ) ) možemo etaviti zbiom ezultuuće uutaše sile ( ( i ), koa e osledica destva čestice sistema a datu česticu, i ezultuuće solaše sile ( ex ): ( i) ( ex) ( ex) = + = k + k = k. (.57) Naišimo sada II Nutov zako za svaku česticu sistema oaosob: d () i ( ex) = +, (.58a) d () i ( ex) = +, (.58b) d d M () i ( ex) = +, (.58c) M () i ( ex) = +. (.58d) Nako sabiaa (.58a)-(.58d) dobiamo: d i = + = = = = + ( ) ( ex) ( ex) = k = k k =. (.59) Kako e zbi izvoda edak izvodu zbia čla s leve stae (.59) možemo aisati u obliku: d d d S = =, (.6) = = gde e S vekto ezultuuće količia ketaa sistema. U dvostuko sumi s dese stae (.59) imamo sumu zbia aova k + k =. Zbi ovih aova edak e uli o III Nutovom zakou, tako da e i vedost dvostuke sume edaka uli i (.59) išemo u obliku:

3 4 DINMIK d N S ( ex) ( ex) = = S, (.6) = ( ) gde e ex S ezultuuća solaša sila koa delue a sistem od N čestica. Kao što vidimo iz (.6) uutaše sile e defiišu ketae mehaičkog sistema. Takođe a osovu (.6) zaklučuemo da se vekto ezultuuće količie ketaa sistema e ( ) mea u vemeu ako e sistem izolova ili ako e =..5 Mehaički ad Skalaa fizička veličia koom se mei azmea eegie (skalaa fizička veličia koa će ešto kasie biti defiisaa) između sistema koi mehaički iteeaguu. ex S.5. Mehaički ad u difeecialom obliku (elemetaa ad) Mateiala tačka u teutku t alazi se u oložau defiisaom vektoom oložaa. Pod destvom sile mateiala tačka se za veme omei u oloža defiisa vektoom oložaa ( t + ). lemetaa vekto omeaa mateiale tačke e d = ( t + ) (t ) (vidi sl.. ). Smatamo da e sila kostata a elemetaom omeau. lemetaa ad koi izvši sila ad mateialom tačkom i omeau za izosi: d = = cos( (, ). (.6) = cosθ d θ.5.. Osobie elemetaog ada ) Kako su iteziteti sile i elemetaog omeaa veći od ule ( >, > ) zak elemetaog ada zavisi od ugla θ i to a sledeći ači: [, π ), >, θ d =, θ = π /, <, θ ( π, π ]. ) osobia sueozicie ko e ezultuuća sila oda e možemo etaviti eko sume svih sila koe deluu a mateialu tačku ilikom omeaa: =. (.63) i Možeem leve i dese stae (.63) sa elemetaim omeaem dobiamo da e: d = d i, (.64) elemeai ad ezultuuće sile edak sumi elemetaih adova sila koe deluu a mateialu tačku. Sl.. Uz defiiciu elemetaog ada

4 .5 Mehaički ad Dugi avoavi izazi za elemetaa ad d d ) d = = d = d = d v. (.65) lemetaa ad može se ikazati i eko skalaog oizvoda elemetae omee vektoa količie ketaa, kou izaziva sila koa vši ad, i vektoa bzie osmatae čestice. Ova izaz se aočito imeue u elativističko fizici. ) U avi kou čie sila i vekto omeaa azložimo silu a dve komoete: komoetu u avcu vektoa omeaa s i komoetu u avcu koi e omala a ega. = + s. (.66) s Možeem leve i dese stae (.66) sa dobiamo d = + s. (.67) Kako su i uzaamo omali vektoi ihov skalai oizvod edak e uli, tako da dobiamo d = s = s cos ( ( s, ) = ± s, (.68), = iz azloga što e ugao ( ) π s. 3) Razlažemo vekto omeaa, u avi kou čie vektoi sile i omeaa, a komoetu duž avca vektoa sile : i komoetu koa e duž avca koi e omala a avac sile = +. (.69) Možeem -e (.69) silom dobiamo: d = +. (.7) Kako su vektoi i uzaamo omali vektoi d = = cos, = ±. (.7) ( ( ) 4) ko su sila i omea zadati eko oekcia u Dekatovom koodiatom sistemu: d = x i + y + z k dx i + dy + dz k = x dx + y dy + z. (.7) ( ) ( ) dz.5. Mehaički ad u itegalom obliku (ukua ad) Ozačimo sa ukua ad koi omeliva sila izvši i omeau mateiale tačke (sa sl..3) iz oložaa u oloža. Izdelimo eđei ut a delova koače dužie. Na i -tom delu uta vedost sile izosi. Rad sile a tom delu uta izosi: i Δ i = i Δs i Ukua izvše ad sile ibližo e edak: = i Δ s i cos θ i. (.73) Δ i = i Δ si cosθ i. (.74)

5 4 DINMIK Data elacia u (.74) ibliža e izaz za ukua ad, e vekto sile a omeau koače dužie ema kostatu vedost. Tača izaz za ukua ad dobiamo kada ut izdelimo a beskoačo mogo elemetaih delova: Δs Δs Δ s i θ i i Δs = lim Δsi ko sa () s cosθ () s s Δ i = lim Δsi i s Δ si cosθ i = cosθ s Sika.3 Uz izvođee izaza za ukua ad () s. (.75) = obeležimo algebasku vedost iteziteta oekcie sile a avac ketaa i sa = > oda izaz za koači ad išemo u obliku: s = s () s, (.75) što etavla ovšiu isod kive ( s) s u diagamu ikazaom a sl..4. Jediica za ad u SI e J (Džul). Rad od J e ad sile kostatog iteziteta od N koa u avcu i smeu svoga delovaa omei telo za m. s s = s s d s Slika.4 Uz obašee ukuog ada s.6 Saga Saga e skalaa fizička veličia koa odeđue ači všea ada u vemeu. ko sila u vemeskom itevalu Δ t izvši ad Δ oda sedu sagu defiišemo kao: U gaičom slučau kada Δt Ps Δ =. (.76) Δt dobiamo izaz za teutu sagu: Δ d P = lim Ps = lim =. (.77) Δt Δt Δt Iz defiicie teute sage u (.77) vidimo da teuta saga etavla bziu všea ada. Uzimaući u obzi (.77) izaz za teutu sagu možemo isati u obliku: d P = v = v = v cos( ( v, ). (.78) ko e ad sile kostata u vemeu ( t) a osovu -e (.77) ekli bi smo da e saga edaka uli, a to bi bilo ogešo. Izaz u -i (.77) teba koistiti u slučau kada e = ( t), a ukoliko e = cost saga e.7 Kozevativa sila P = t. Da bi sila bila kozevativa moau biti isuea ti uslova. Sila moa biti: ) stacioaa () t ; ) cetala - delue ka ili od fikse tačke;

6 .8 egia 43 3) adiala - delue o avcu vektoa oložaa mateiale tačke, sa itezitetom koi zavisi od. Bita kaakteistika kozevative sile e da e e ad o zatvoeo utai edak uli:. ko =. (.79) Sa slike.5 ad kozevative sile o zatvoeo utai l možemo izaziti eko: l ko = ko + a b ko Iz (.79) i (.8) dobiamo : = = l. (.8) ko a b ko b ko. (.8) Kako smo kotuu l oizvolo izabali iz (.8) sledi da ad kozevative sile o bilo koo utai između dve tačke ima istu vedost..8 egia egia e skalaa fizička veličia i etavla fomu ostoaa i delovaa mateie. Kaakteišu e euištivost, tasfomabilost i azovsost oblika oavlivaa. egetsko stae sistema defiiše makoskosku maifestaciu sistema (led, voda, aa). Podela eegie Podelu možemo izvšiti ema: ) oeklu: gavitacioa, elektomagetska i ukleaa; ) oome ko osedue eegiu: eegia fizičkog ola i eegia kou telo osedue u fizičkom olu. izička ola su eali geometiski ostoi u koima se odviau fizički ocesi. izička ola mogu biti: ) homogea-ehomogea, ) izotoa-aizotoa, 3) stacioaa-estacioaa i 4) kozevativa-ekozevativa..8. Poteciala eegia Poteciala eegia e osledica iteakcie tela i fizičkog ola.zavisi od oložaa tela u olu. Stacioaa oteciala eegia ima zavisost oblika = ( x, y, z), a estacioaa = ( x, y, z, t). Poteciala eegia e odeđea do ede eodeđee kostate, što zači da ie edozačo odeđea. ditiva kostata u izazu za otecialu eegiu zavisi od izboa ultog (efeetog) ivoa oteciale eegie. Načešće efeeti ivo ostavlamo tamo gde e iteakcia tela i ola u kome se telo alazi zaemaliva. Poteciala eegia može biti solaša i uutaša. Solašu otecialu eegiu osedue mateiala tačka. Kuto telo mođe imati solašu, može imati uutašu, a može imati i solašu i uutašu otecialu eegiu..8.. Gavitacioa oteciala eegia Gavitacioa sila sada u guu kozevativih sila. Rad kozevative sila i omeau tela iz oložaa u oloža edak e egativo omei oteciale eegie u ta dva oložaa ( ) a = Δ =. (.8) ko ko Slika.5 Rad kozevative sile o zatvoeo utai b l

7 44 DINMIK ko izabeemo tačku za ulti ivo oteciale eegie dobiamo =, (.83) ko odoso da e vedost oteciale eegie tela u oložau edaka adu kou izvši kozevativa sila i omeau tela iz oložaa u oloža gde e oteciala eegia edaka uli (oloža ). Na slici.6 oloža odgovaa oložau = d g tela, mase m, koi e defiisa M z m koodiatom, a oloža e u Rz beskoačosti. Slika.6 Uz defiiciu gavitacioe oteciale eegie M z m g, = g = γ d, (.84) d >, e se telo omea u smeu asta. g d γ M z m γ M z m, = γ M z m = / =. (.85) Iz (.83) i (.85) dobiamo izaz za otecialu eegiu a astoau od ceta Zemle ( Rz ): () Ukoliko bi uzeli efeetu tačku a ovšii Zemle imali bi: γ M z m =. (.86) M m R z R z () = = z g, γ d = γ M z m R z d. (.87) Ovde moamo voditi ačua da e = d, gde e d < e se telo omea ka maim vedostima koodiate. () γ M z m R m m R z z = / = γ M z = γ M z. (.88) Rz Rz Uvodeći ovu fizičku veličiu kou azivamo admoska visia h = Rz dobiamo zavisost oteciale eegie tela od egove admoske visie: ( h) M z m = γ h. (.89) ( Rz + h) Rz Ukoliko e Rz >> h dobiamo da e: ( ) M z m h γ h = m g h, (.9) Rz gde e vedost ubzaa Zemlie teže a ovšii Zemle. g

8 .8. Veza između kozevative sile i oteciale eegie.8 egia 45 Posmatamo omeae mateiale tačke iz oložaa u, o oizvolo utai. Pi tom omeau a mateialu tačku delue kozevativa sila ko. ko su tačke i dovolo bliske možemo isati da e Δ = Δ s = ko kos Δs, (.9) Δ s kos gde e ko seda vedost sile a omeau Δ s, a kos algebaska vedost iteziteta oekcie sede vedosti ko kozevative sile a avac Δ s. Kako e: Δ = Δ, (.9) iz (.9) i (.9) dobiamo: Δ kos =. (.93) Δs Taču vedost za oekciu kozevative sile dobiamo u gaičom slučau kad Δs : Δ kos = lim kos = lim =. (.94) Δs Δs Δs s Na osovu (.94) dobiamo oekcie kozevative sile u Dekatovom koodiatom sistemu: kox =, koy =, koz =. (.95) x y z Kako e: iz (.95) i (.96) dobiamo: ko = x ko i + y = kox i + koy + koz k, (.96) + z Oeato gad aziva se gadiet, a abla. Pime k = gad = Izaz za otecialu gavitaciou eegiu tela a slici e oblika: ( y) m g y ( y) ( m g y) y =.. (.97) gx = = =. (.P) x x y ( y) ( m g y) gy = = = m g. (.P) g y y ( y) ( m g ) y gz = = =. (.P3) z z Na osovu (.P )-(.P3 ) dobiamo izaz za gavitaciou silu = m g. (.P4).8.3 Kietička eegia g Svako telo koe se keće osedue kietičku eegiu-eegiu ketaa. Razlikuemo kietičku eegiu taslatoog i kietičku eegiu otacioog ketaa. Zbi kietičke i oteciale eegie ekog tela čii mahaičku eegiu tog tela.

9 46 DINMIK Pomožimo -u ketaa tela mase m, sa slici.7, vektoom omeaa stae: d( m ) ex v ez = d. (.98) d d ex ez = mdv = mdv v. (.99) m a a = a a cos ( ( a, a) ) = a. (.P5) Nalazimo totali difeecial leve i dese stae goe -e: d( a a ) = d( a ). (.P6) da a + a da = d( a ). (.P7) a da = d( a ). (.P8) d s leve i dese Pema goe izvedeo elacii, za tela kostate mase, (.99) možemo aisati u obliku: d ex ez m = d v m m ( ) = ( ) v d = d v. (.) lemetai ad ezultuuće ekstee sile edak e elemetao omei fizičke veličie m v okaakteisae sa. Tu fizičku veličiu azivamo kietičkom eegiom. ko e bzia tela edaka uli i egova kietička eegia ima ultu vedost. Kako e v > k >. ex d = ez = d k. (.) Zaklučuemo da e mehaički ad isto što i kietička eegia. Pi ketau tela ad ezultuuće solaše sile koa delue a ega edak e omei kietičke eegie tela. Ova kostatacia važi kako za mateialu tačku tako i za kuta telo. U izolovaim sistemima ili sistemima gde e ex ez = kietička eegia sistema se e meavaži zako o odžau kietičke eegie. Itegaciom (.) dobiamo da i omeau tela iz oložaa u oloža : ( ) ( ex) ez k d k = k k = Δ k. (.) = k ex ez kod sistema čestica etavla ukua ad solaših sila, a kod ede čestice ad svih sila koe deluu a tu česticu (za datu česticu sve sile koe deluu a u su solaše)..8.4 Ošti zako odažaa eegie Posmatamo mateialu tačku (česticu) koa se keće u kozevativom olu i a kou deluu i ekozevative sile. Dugi Nutov zako imee a ketae čestice stale mase e oblika: d v m = koze + ekoze, (.3) gde su koze i ekoze ezultuuća kozevativa i ekozevativa sila, esektivo. Pomožimo levu i desu stau (.3) sa elemetaim vektoom omeaa, d = v, tako što desu stau možimi sa, a levu sa d = v : v ex ez Slika.7 Uz izvođee izaza za kietičku eegiu

10 .8 egia 47 m v d v = +. (.4) koze ekoze Na osovu ezultata koi smo dobili u (.P8) i defiicie elemetaog ada: d ( m / ) = dkoze + d v. (.5) ekoze Čla s leve stae etavla elemetau omeu kietičke eegie čestice. Pvi čla s dese stae (.5) e elemetai ad koi e astao elemetaim omeaem čestice od destvom ezultuuće solaše kozevative sile. Ta elemetai ad edak e egativo elemetao omei oteciale eegie čestice: d koze Uzimaući goe avedeo u obzi (.6) možemo isati u obliku: odoso d d = d. (.6) = d d, (.7) k + ( ) d k = ekoze +. (.8) ekoze Zbi s leve stae (.8) etavla elemetau omeu mehaičke (ukue) eegie čestice: Itegaciom (.9) dobiamo zako u itegalom obliku: d meh = d ekoze. (.9) Δ, (.) meh = ekoze gde su i dva uočea oložaa čestice. Dakle, omea mehaičke eegie čestice i omeau čestice iz oložaa u oloža edak e adu ezultuuće ekozevative sile i omeau čestice iz oložaa u oloža. Pimetimo da ukoliko a česticu deluu samo kozevative sile mehaička eegia sistema se e mea-ostae kozeviaa. U tom slučau kažemo da se adi o kozevativom sistemu: Δ meh = meh = cost. (.5) takođe imetimo da će mehaička eegia ostati eomeea ako a sistem deluu kozevative sile ali tako da e ihov ukua ad edak uli. Ukoliko imamo sistem od čestica ošti zako odžaa eegie e oblika: gde e meh e ukua eegia sistema, ( i) ( ex Δ ) = +, (5a) meh ekoze ekoze ( i) ( ex) iteakcie između delova sistema kozevativim silama, meh = k + +. (.5b) () uutaša oteciala eegia sistema koa e osledica ( ) ex solaša oteciala eegia i sistema koa e osledica iteakcie između sistema i solaših kozevativih sila, ( ) ekoze i ad uutaših (koe deluu uuta sistema) ekozevativih sila, a ( ) ekoze ex ad solaših ekozevativih sila.