MOMENT INERCIJE (*) Dakle, kinetička energija rotacije krutog tela može se napisati kao:

Transcript

1 35 MOMENT INECIJE Disk koji otia ili cikulaa motoa testea koja ubzao otia svakako imaju kietičku eegiju. Izaz Ek = mv, siguo ije pimeljiv, je svaki delić ovog tela koje otia opisuje kuže putaje azličitog adijusa, pa samim tim ima i azličitu peifeijsku bziu v. Kako ešiti ovaj poblem? Ideja je da se kuto telo tetia kao sistem mateijalih tačaka. Oda možemo da apišemo: Ek = mv + mv + m3v = mivi Imajući u vidu defiiciju pojma kutog tela (koju smo aije upozali) i vezu između peifeijske i ugaoe bzie tela, možemo da apišemo: Ek = mi ( ω i ) = ω mii gde je ω ugaoa bzia jedaka za sve deliće kutog tela. Veličia u zagadi am govoi o tome kako je masa tela aspoeđea u odosu a osu otacije kutog tela i aziva se momet iecije (I) kutog tela u odosu a tu osu: I = m i i Dakle, kietička eegija otacije kutog tela može se apisati kao: Ek = Iω Ako upoedimo ovaj izaz sa izazom za kietičku eegiju tela pi taslatoom ketaju vidimo da se može uspostaviti aalogija, pi čemu liijskoj bzii odgovaa ugaoa bzia, a masi kutog tela, momet iecije. U skladu sa tim možemo da kažemo da je momet iecije mea za ietost tela pi otacioom ketaju. Kako vidimo, momet iecije zavisi od mase tela, ali i od toga kako je ta masa aspoeđea u odosu a osu oko koje otia. To zači da p. kugla i štap iste mase emaju isti momet iecije u odosu a osu koja polazi koz ceta mase tela. Takođe, to zači i da štap (valjkastog oblika) ema isti momet iecije u odosu a osu koja polazi koz ceta mase i omala je a osovu štapa i ose koja polazi koz ceta mase štapa i omala je a jega. Ako se telo sastoji iz disketog skupa mateijalih tačaka momet iecije se može aći iz izaza (*). Dakle, kao i masa, momet iecije je aditiva veličia (sabia se). Sličo, ako posmatamo sistem tela (p štap a čijim su kajevima homogee kuglice) momet iecije alazimo kao zbi momeata iecije svakog tela pojediačo u odosu a istu (zajedičku) osu oko koje ceo sistem otia. Ako je telo homogeo, momet iecije alazimo iz: I = dm Postupak alažeja mometa iecije, ešavajem gojeg itegala, ije aočito komplikova za slučaj geometijski pavilih tela, ali mi to ećemo adtiti. Umesto toga koistićemo gotove izaze koji se mogu aći u bilo kom udžbeiku ili zbici zadataka. Na kaju ovog odeljka ćemo avesti pimee samo za ekoliko slučajeva koje ćemo ajčešće setati u zadacima. Pe toga avedimo još samo teoemu paalelih osa koja je pozatija pod azivom Štajeova teoema: ako je momet iecije kutog tela mase m,u odosu a osu koja polazi koz ceta mase I 0, tada momet iecije tog tela, u odosu a osu koja je paalela ovoj i alazi se od je a astojaju d, možemo aći iz izaza: I = I 0 + md (*)

2 36 Mometi iecije ekih tela mateijale tačke koja se alazi a astojaju od ose: I = m ploče u odosu a osu koja polazi koz ceta mase i omala je a ploču: m( a + b ) I = a b puog homegeog valjka u odosu a osu koja se poklapa sa dijametom, a polazi koz ceta mase: I = m + m 4 puog homogeog valjka u odosu a osu koja je omala a osovicu valjka: I = m pue homogee kugle u odosu a bilo koji dijameta: I = m 5 take sfee ljuske u odosu a dijameta: I = m 3 takog homogeog štapa u odosu a osu koja polazi koz jeda jegov kaj i omala je a dužiu štapa: I = m 3 takog homogeog štapa u odosu a osu koja polazi koz jeda jegov ceta mase i omala je a dužiu štapa: I = m

3 37 pstea u odosu a cilidiču osu: I = m peste u odosu a ma koji dijameta: I = m Na kaju ecimo i to da ako telu koje otia istovemeo i taslia ceta mase, oda govoimo o složeom ketaju koje se aziva kotljaje (pime: lopta bačea po podu). Kietička eegija tela koje se kotlja je jedaka zbiu kietičke eegije otacije i kietičke eegije taslacije, tj: = ω E kkot I + mv MOMENT SIE Da li ste se ekada pitali zašto su kvake a svim vatima postavljee a što većem astojaju od šaki, odoso od ose oko koje vata otvaajući se (zatvaajući se ) otiaju? Za to siguo moa postojati eki azlog. Takođe postoji azlog zbog koga sila koju moate pimeiti da biste otvoili ije ista u slučaju lakih i masivih vata, iti je svejedo u kom ćete pavcu delovati silom (duž ose otacije, omalo ili tagecijalo a ju. Da bismo dali odgovoe a ova pitaja uvešćemo ovu fizičku veličiu momet sile. Momet sile pedstavlja sposobost sile da okee telo oko tačke ili ose u odosu a koju se ačua, mada ije veza isključivo za obto ketaje. Neka kuto telo (sa slike) može da se slobodo okee oko ose koja polazi koz tačku O i koja je oala a ava slike i eka sila F O deluje a telo u tački A. adijus vekto položaja apade tačke sile i same sile zaklapa ugao. Momet te sile ( M ) sposoba da okee telo oko tačke O, d F jedak je vektoskom poizvodu adijus vektoa položaja apade tačke sile i sile, tj.: π A M = F apišemo: Sa slike takođe vidimo : pa možemo da apišemo da je : si Imajući u vidu defiiciju vektoskog poizvoda, možemo da M = F si = ( (, F) ) F si d ( π ) = si = si = d M = df

4 38 ili ečima: itezitet mometa sile jedak je poizvodu iteziteta sile i kaka sile (ajkaćeg, omalog, astojaja od efeete tačke do pavca dejstva sile). Momet sile je aksijali vekto čiji se pavac poklapa sa pavcem omale a ava u kojoj leže vektoi i F, a sme se odeđuje pavilom desog zavtja. Navedimo još ekoliko stavova vezaih za momet sile: Ako telo može da se obće u svim pavcima, obtaće se uvek oko ose koja je omala a ava u kojoj leže tačka O i vekto F, odoso, oko ose čiji se pavac poklapa sa pavcem vektoa M. Ako a telo deluje istovemeo više sila, oda je ukupa momet sile jedak zbiu (vektoskom) momeata svake sile pojediačo: M = M + M M = M i Ako a telo istovemeo deluje više sila sa zajedičkom apadom tačkom, oda je ukupa momet sile jedak vektoskom poizvodu adijus vektoa položaja apade tačke sila i ezultate tih sila, tj.: M = F + F F = ( F + F +... F ) = Fez Ako a telo deluju istovemeo dve sile istog iteziteta i pavca, a supotog smea ( F = F ), oda to azivamo spegom sila (vidi sliku dole). U tom slučaju važi da je: M = F + F = F + F = ( ) F M = F i M = df (obatite pažju da ezultat e zavisi od izboa tačke O). O F d Iz svega do sada što smo ekli sledi odgovo a ba jedo pitaje s F početka teksta. Naime, jaso je da što je omalo astojaje od kvake do šaki veće, to će biti poteba maja sila da stvoi isti obti momet. Posmatajmo sada kuto telo koje bi moglo da otia oko ose OO. Ako hoćemo da izazovemo obtaje tela moamo delovati ekom silom F. Postavlja se pitaje u kom pavcu? O z Neka sila F deluje a delić kutog tela mase m, u ekom poizvoljom pavcu, kao a slici. Ako je azložimo a kompoete F (paalela osi obtaja), F (omala a osu obtaja) i kompoetu F T (pavac F F tagete a kužu putaju koju opisuje tačka a koju je sila delovala), vidimo da je samo ova posledja F odgovoa za obto ketaje tela. (Pokušajte da otvoite y vata delujući a kvaku silom koja je paalela osi koja F T polazi koz šake ili delujući silom omalo a pavac ose.) M x Delić kutog tela, pod dejstvom F T kompoete sile F vši kužo ketaje, po kužici adijusa, što zači (II Njutov zako) da ima tagecijalo ubzaje, O pa možemo da pišemo: M = FT si ( (, F T ) = F T = mat (obziom da je između pavca tagete i adijusa pav ugao).

5 39 Imajući u vidu vezu između tagecijalo i ugaoog ubzaja i izaz za momet iecije, dobijamo: ( α) = m α Iα M = m =, odoso, M = I α što pedstavlja II Njutov zako za otacioo ketaje. Na kaju ecimo da je jediica za momet sile u SI sistemu Njut puta meta, ali da se e može zameiti Džulom, je je fizički smisao mometa sile i eegije (ada) bito azličit: M = N m ad i saga kod otacioog ketaja [ ] J Neka telo sa slike goe pi otaciji opiše ugao d, pod dejstvom sile F. ad koji je sila izvšila pi ovom je: da = F d = FT ds = FT ( d ) = ( FT ) d = Md (ovde smo iskoistili aije pomijau čijeicu da se za jako malo uglove vekto pomeaja poklapa sa dužiom kužog luka kog opiše delić tela pi otaciji). Dakle, ukupa izvšei ad sile F pi koačom ugaoom pomeaju, biće: A = Md. Sagu ćemo oda aći iz: da Md P = = = M ω dt dt (obatiti pažju da se adi o skalaom poizvodu dva aksijala vektoa). Momet impulsa (količie ketaja) Do sada ste već svakako uočili aalogiju koja postoji između fizičkih veličia koje kaakteišu taslatoo i otacioo ketaje (masa momet iecije, sila momet sile,...). Na sliča ači vekto impulsa (liijski) ima aalogu fizičku veličiu momet impulsa. x O z p m gde je I momet iecije tog tela. p y Momet impulsa ( ) mateijale tačke mase m, u odosu a tačku O defiiše se kao: = p = m( v) Itezitet je odeđe kao: ( = psi(, p)) = p si pavac je pavac omale a ava u kojoj leže vektoi i p, a sme se odeđuje pavilom desog zavtja. Ako umesto leijske bzie koistimo ugaou bziu i za telo koačih dimezija izvšimo sumiaje po svim delićima (mateijalim tačkama), dobićemo: = i miω i = ω m = Iω, tj. = I ω i i = ω I i

6 40 Poveimo čemu je jedak piaštaj mometa impulsa u vemeu: d d d dp v = ( p) = p + = mv + Fez dt dt dt dt Imajući u vidu da je : v mv = 0, je je v v = v vsi 0 i F = M, možemo apisati: d M =, dt što pedstavlja dugu fomulaciju II Njutovog zakoa za otacioo ketaje, ečima: Bzia pomee mometa količie ketaja (mometa impulsa) je jedaka mometu ezultate sila koje deluju a mateijalu tačku. (Napomea: momet količie ketaja i momet sile moaju biti odeđei u odosu a istu efeetu tačku.) Jediica za momet impulsa impulsa je: m [ ] = kg s U slučaju sitema mateijalih tačaka ukupa momet količie ketaja je jedak vektoskom zbiu pojediačih momeata količie ketaja ez