MATEMATIČKI KLOKAN C 2018.
|
|
|
- Ανθούσα Βάμβας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATEMATIČKI KLOKAN C 018. RJEŠENJA ZADATAKA Pitnj z 3 od: 1. Koliko je (0 + 18) : (0 18)? A) 18 B) 19 C) 0 D) 34 E) 36 Rješenje: B) 19 (0 + 18) : (0 18) = 38 : = 19.. Kd se slov u riječi MAMA npišu vertiklno jedno ispod drugog, riječ im vertiklnu os simetrije. Koj od sljedećih riječi tkođer im vertiklnu os simetrije, ko se npiše n isti nčin? A) LAVA B) KAVA C) VAGA D) MANA E) VATA Rješenje: E) U riječi LAVA slovo L nem vertiklnu os simetrije. U riječi KAVA slovo K nem vertiklnu os simetrije. U riječi VAGA slovo G nem vertiklnu os simetrije. U riječi MANA slovo N nem vertiklnu os simetrije. U riječi VATA sv slov imju vertiklnu os simetrije, koj im je zjedničk ko su npisn jedno ispod drugog. 3. Kojim rojem tre zmijeniti znk d i jednkost = 6 7 il vljn? A) 8 B) 9 C) 10 D) 1 E) 15 Rješenje: D) = = = Ploče n Frnjinoj ogrdi pune su rup, kko je prikzno n slici. Jedno je jutro, jedn od ploč pl rvno n pod. Koju od sljedećih ploč Frnjo može vidjeti n podu, kd se priliži ogrdi? A) B) C) D) E) Rješenje: C) Prilikom pd ploče rvno n pod, doije se osnosimetričn slik ploče ozirom n prvc kojem pripd donji ru ogrde.
2 N sljedećim slikm oznčeni su dijelovi ploč zog kojih one nisu osnosimetrične zdnoj: A) B) D) E) Osnosimetričn slik zdnoj je slik C. 5. Josip grdi stepenište gdje je svk stepenic 15 cm visok i 15 cm širok, kko je pokzno n slici. Koliko tre tkvih stepenic d i drugi kt, izgrđen n 3 m visine, povezo s prvim ktom? A) 8 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 15 cm 15 cm 3m Rješenje: D) 0 slik 1: C 3 m 3 m : 15 cm 300 cm : 15 cm 0. D i drugi kt povezo s prvim, Josip tre 0 stepenic. 15 cm E 15 cm D A 3 m B 6. N ploču s čvlićim pdju loptice. Svki put kd loptic udri čvlić odskoči n čvlić u prvom redu ispod, koji je ili direktno lijevo ili direktno desno od tog čvlić, dok ne pdne u jedno od spremišt. Jedn od mogućih putev prikzn je n slici. N koliko rzličitih nčin loptic može doći do spremišt B? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Rješenje: C) 4 Oznčimo čvliće u koje udrju loptice redom s 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10. Put loptice od vrh do dn jednoznčno možemo opisti nizom čvlić u koji loptic redom udr i oznkom spremišt. Tko je put loptice iz primjer n slici opisn nizom: B.
3 1 Njprije uočimo d u spremište B loptic može odskočiti smo od čvlić 7 ili 8. 3 Odredimo sve moguće putove do tih čvlić. 4 6 Ako je loptic od čvlić 1 odskočil dolje lijevo, udrit će u čvlić, nkon čeg im dvije mogućnosti 4 ili 5. Te dijelove put možemo oznčiti 1--4, odnosno U slučju 1--4 može udriti u 7 ili 8 što oznčimo s ili U slučju može odskočiti u spremište A ili u spremište B. To znči d je jedn od mogućih putov B. A B C D E N sličn nčin doivmo ostle putove. Končno, postoji točno 4 rzličit put do spremišt B: B B B B. 7. Veliki prvokutnik sstoji se od devet sukldnih mnjih prvokutnik kko je prikzno n slici. Ako je duljin veće strnice mnjeg prvokutnik 10 cm, koliki je opseg velikog prvokutnik? A) 40 cm B) 48 cm C) 76 cm D) 81 cm E) 90 cm Rješenje: C) 76 Svi mnji prvokutnici su međusono sukldni. Oznčimo im duljine strnic s i. Iz slike zključujemo d je = 5. Kko je = 10 cm, ond je 5 = 0 odnosno = 4 cm. Opseg većeg prvokutnik je: o = o = o = 76 cm 8. Duljin strnice kvdrt ABCD je 3 cm. N strnicm AD i AB nlze se točke M i N tko d dužinecm icn dijele kvdrt n tri dijel iste površine. Kolik je duljin dužine DM? A) 0.5 cm B) 1 cm C) 1.5 cm D) cm E).5 cm Rješenje: D) cm Kko je duljin strnice kvdrt 3 cm, površin mu je 9 cm. S ozirom n to d dužinecm icn dijele kvdrt n tri dijel iste površine, površin trećin površine kvdrt, odnosno 3 cm. DM DC P DMC DM 3 3 DM cm. DMC je
4 Pitnj z 4 od: 9. Prvokutnik je podijeljen n 40 jednkih kvdrt i sdrži više od jednog red kvdrt. Andrij je oojo srednji red. Koliko kvdrt nije oojo? A) 0 B) 30 C) 3 D) 35 E) 39 Rješenje: C) 3 Ukupn roj kvdrt jednk je umnošku roj redov i roj kvdrt u jednom redu. Zpišimo sve moguće nčine n koje se roj 40 može zpisti ko umnožk prirodnih rojev: 40 = = 0 40 = = 5 8 Kko je Andrij oojo srednji red, roj redov mor iti neprn i veći od 1. Jedin tkv mogućnost je d je prvokutnik podijeljen n 5 redov s po 8 kvdrt. Ako je oojo jedn red, ostlo je neoojno četiri red, odnosno 4 8 = 3 kvdrt. 10. U jednoj od tri prostorije skriven je lv. N vrtim 1. prostorije je poruk Lv je ovdje, n vrtim. prostorije je poruk Lv nije ovdje, n vrtim 3. prostorije je poruk + 3 = 3. Smo jedn od tih poruk je istinit. U kojoj prostoriji je skriven lv? A) U 1. prostoriji. B) U. prostoriji. C) U 3. prostoriji. D) Može iti u ilo kojoj. E) Može iti ili u prostoriji 1 ili u prostoriji. Rješenje: C) U prostoriji 3. Poruk n 3. prostoriji nije istinit. Ako je lv u 1. prostoriji td je i istinit poruk n 1. prostoriji Lv je ovdje. No ond je istinit i poruk n. prostoriji Lv nije ovdje što je nemoguće jer je smo jedn od tih poruk istinit. Dkle, lv nije u 1. prostoriji. Ako je lv u. prostoriji, td nije istinit poruk n. prostoriji Lv nije ovdje. No ond nije istinit ni poruk n 1. prostoriji Lv je ovdje, kko nije istinit poruk n 3. prostoriji i tj slučj je nemoguć jer jedn poruk mor iti istinit. Dkle, lv nije u. prostoriji. Ako je lv u 3. prostoriji, td poruk n 1. prostoriji Lv je ovdje nije istinit, poruk n. prostoriji Lv nije ovdje je istinit i poruk n 3. prostoriji nije istinit. Time je ispunjen uvjet zdtk. Dkle, lv je u 3. prostoriji. 11. Prvokutnik n slici presječen je prvcem x prlelnim s dvjem njegovim strnicm. N prvcu x, unutr prvokutnik, oznčene su točke A i B, kko je prikzno n slici. Površin osjenčnih dijelov je 10 cm. Kolik je površin prvokutnik? A) 18 cm B) 0 cm C) cm D) 4 cm E) To ovisi o položju točk A i B. Rješenje: B) 0 cm Uz oznke ko n slici vrijedi: PEFGH PEFCD PDCGH Prvokutnik EFCD i trokut EFB imju istu osnovicu i istu visinu p je PEFCD PAFB. Prvokutnik DCGH i trokut AGH imju istu osnovicu i istu visinu p je P P. DCGH AGH
5 PEFGH PEFCD PDCGH P P P EFGH EFB AGH P P P EFGH EFB AGH P 10 0 cm EFGH 1. Ktrin tre npisti niz prostih rojev mnjih od 100. Mor iskoristiti svku od znmenk 1,,3,4,5 točno jednom i ne smije koristiti niti jednu drugu znmenku. Koji od prostih rojev će sigurno iti u njezinom nizu? A) B) 5 C) 31 D) 41 E) 53 Rješenje: D) nčin Budući d Ktrin mor upotrijeiti znmenku 4, može ju upotrijeiti smo u zpisu dvoznmenkstog roj i to n mjestu desetic. Nime, jednoznmenksti roj 4 nije prost, i svki dvoznmenksti roj koji zvršv n 4 nije prost (djeljiv je s ). Prosti rojevi s znmenkom desetic 4 su 41, 43, 47. Broj 47 otpd jer 7 nije među dozvoljenim znmenkm. Ako npiše 43, td od znmenk 1, i 5 tre nprviti ostle proste rojeve, to je nemoguće. Nime, 1 ne može iti smostln nego mor iti znmenk u dvoznmenkstom roju. A rdi se o ovim rojevim: 1, 15, 1 ili 51. I oni su svi složeni. Dkle, preostje smo d je npisl prosti roj 41. Od preostlih znmenk, 3, 5 može sstviti proste rojeve. N primjer, uprvo, 3, 5 su prosti. Ili 3 i 5, ili 53 i.. nčin Ako u nizu im roj, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve: 3, 5 i 41 ili 41 i 53. Ako u nizu im prost roj 3, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve, 5 i 41. Ako u nizu im prost roj 5, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve, 3 i 41 ili 3 i 41. Ako u nizu im prost roj 13, td od preostlih znmenk ne može zpisti proste rojeve. Ako u nizu im prost roj 31, td od preostlih znmenk ne može zpisti proste rojeve. Ako u nizu im prost roj 41, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve:, 3 i 5 ili 5 i 3 ili i 53. Ako u nizu im prost roj 3, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve 5 i 41. Ako u nizu im prost roj 53, td od preostlih znmenk može zpisti proste rojeve i 41. Dkle, jedini prost roj koji se jvlj u svim nizovim je roj Hotel n jednom hrvtskom otoku koristi reklmni slogn 350 sunčnih dn svke godine!. Koliko njmnje dn, prem tom oglsu, Hrvoje mor ostti u hotelu u 018. godini kko i sigurno imo dv uzstopn sunčn dn? A) 17 B) 1 C) 31 D) 3 E) 35 Rješenje: D) godin nije prijestupn (jer nije djeljiv s 4) p im 365 dn. Kko je = 15, n tom otoku im njviše 15 dn koji su olčni (s ili ez oorin). Njdulje tre ostti u slučju kd se dn z dnom izmjenjuju sunčn i olčn dn. Ako je 1. dn io sunčn, ond su prvih 15 prnih dn olčni, odnosno., 4., itd. do 30. dn su olčni. Poslije tog slijede sunčni dni p je prvi pr uzstopnih sunčnih dn 31. i 3. dn. Znči Hrvoje njmnje mor ostti 3 dn d i sigurno imo dv uzstopn sunčn dn. Ako je prvi dn olčn, td su i prvih 15 neprnih dn olčni, odnosno 1., 3., 5. itd. do 9. dn su olčni. Poslije tog slijede sunčni dni p je prvi pr uzstopnih sunčnih dn 30. i 31. dn. Znči Hrvoje njmnje mor ostti 31 dn d i sigurno imo dv uzstopn sunčn dn. Dkle, u njnepovoljnijem slučju mor ostti njmnje 3 dn d i sigurno imo dv uzstopn sunčn dn.
6 14. Vjern je unutr prvokutnik ncrto cik-ck linije, određujući pritom kutove veličin 10, 14, 33 i 6 ko što je pokzno n slici. Kolik je veličin kut? A) 11 B) 1 C) 16 D) 17 E) 33 Rješenje: A) 11 D G θ 6, 33, 14 i 10 ABE i CDF su prvokutni trokuti p vrijedi: i Kko je 1 180, 83. Kko je 1 180, 86. α Končno, iz doivmo 11. A B 15. Nin je cijele rojeve od 1 do 9 upisl nekim redom u svku ćeliju 3x3 tlice. Potom je rčunl zroj rojev u svkom retku i u svkom stupcu. Pet tkvih zrojev, u nekom poretku, su 1, 13, 15, 16 i 17. Koji je šesti zroj? A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 Rješenje: A) 17 U tlici im 3 red i 3 stupc. Poznto je 5 od 6 zrojev njihovih element. Oznčimo s x tj nepoznti zroj. Zrjnjem zrojev u svim recim i stupcim doije se dvostruku zroj svih rojev u tlici. Kko su u tlici upisni rojevi od 1 do 9, njihov zroj je: = (1 + 8) + ( + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = 5 9 = 45. Stog vrijedi: x = 45 x + 73 = 90 x = N prvcu je oznčeno jednest točk. Zroj svih udljenosti između prve i preostlih točk je 018. Zroj svih udljenosti između druge i svih preostlih točk (uključujući i prvu) je 000. Kolik je udljenost prve i druge točke? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Rješenje: B) δ φ φ 1 φ 1 Oznčimo n prvcu 11 točk: ε ε ε 1 C F E A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A1 A A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A1 A7 A1 A8 A1 A9 A1 A10 A1 A A A1 A A3 A A4 A A5 A A6 A A7 A A8 A A9 A A10 A A Zpišimo udljenost prve i treće točke ko zroj udljenosti od prve i druge i udljenosti od druge i treće točke: A A A A A A Anlogno nprvimo z ostle točke p doijemo: A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Što možemo zpisti u oliku: 9 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
7 Končno: 9 AA AA 18 1 AA 1 Pitnj z 5 odov: 17. Domino pločice složene su prvilno ko imju isti roj točkic n krjevim s kojim se dodiruju dvije susjedne pločice. Pul je složil šest domino pločic u liniju kko je prikzno n slici. U jednom potezu je dozvoljen zmjen mjest ilo koje dvije pločice ili rotcij jedne. Koji je njmnji roj potez potrenih d se ovj niz domino pločic prvilno posloži? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Nemoguće je složiti prvilno. Rješenje: C) 3 Oznčimo redom domino pločice n slici: U tih šest domino pločic im jedinice, dvojke, trojke, 3 četvorke i 3 šestice p je cilj ostviti prvu i zdnju pločicu n mjestu n kojem su postvljene jer 1. počinje četvorkom, zdnj zvršv šesticom. Ako koristimo smo jedn potez, znči jednu zmjenu dviju pločic ili jednu rotciju jedne pločice nemoguće ih je povezti n prviln nčin. Provjerimo je li moguće nprviti prvilno povezivnje smo s potez. D i povezli 1. pločicu, jedin mogućnost je d nstvimo s 5. pločicom čime je potreno nprviti zmjenu. i 5. Nkon tog je poredk ko n slici: Sd je jsno d s još smo jednom zmjenom ili smo jednom rotcijom ne možemo doći do rješenj. Ako u početnom poretku krećemo od povezivnj 6. pločice, jedin mogućnost je d nprvimo zmjenu 3. i 5. Nkon tog je poredk ko n slici: Sd je jsno d s još smo jednom zmjenom ili smo jednom rotcijom ne možemo doći do rješenj. Zključk: Ako koristimo smo dv potez nemoguće je povezti pločice n prviln nčin Ako koristimo 3 potez, jedno od mogućih rješenj je: 1. potez: zmjen pločic 3 i 5, nkon čeg se doije:
8 . potez: zmjen pločic i 3, nkon čeg se doije: potez: rotcij pločice 3, nkon čeg se doije: Dkle, njmnji roj potez je N slici je mrež kutije olik kvdr. Koliki je oujm kutije? A) 43 cm 3 B) 70 cm 3 C) 80 cm 3 D) 100 cm 3 E) 180 cm 3 Rješenje: C) 80 cm 3 Oznčimo duljine ridov s, i c. Vrijedi: + = 6, odnosno + = 13 + c = 10 + c = 7 Ond je: c = 10 c c c c c = 7 c Uvrštvnjem u prvu jedndžu doijemo: 10 c + 7 c = 13 c =. Ond je = 8 i = 5. Oujm kutije je V = 8 5 = 80 cm An, Bug i Mirn ile su u kupovini. Bug je potrošil smo 15% količine novc koji je potrošil Mirn. Međutim, An je potrošil 60% više od Mirne. Zjedno su potrošile 550 kn. Koliko je potrošil An? A) 30 kn B) 00 kn C) 50 kn D) 60 kn E) 30 kn Rješenje: E) 30 kn Ako je x količin koju je potrošil Mirn, ond je 15% od x = 0.15x količin koju je potrošil Bug, An je potrošil x + 60% od x = 1.6x. Ukupno su potrošile: x x + 1.6x = x = 550 x = 00 kn An je potrošil = 30 kn.
9 0. Mj želi upisti rojeve u svku ćeliju n ruu 5x6 tlice. Svki roj koji upisuje jednk je zroju dvju rojev u susjednim ćelijm s kojim t ćelij im zjednički ru. Dv su roj već upisn kko je prikzno n slici. Koji će roj upisti u ćeliju oznčenu s x? A) 10 B) 7 C) 13 D) 13 E) 3 Rješenje: B) 7 Oznčimo slovim nepoznte vrijednosti upisne u ćelije između upisnih vrijednosti 3, 10 i x. Kko je 10 + = i + c =, vrijedi c = +, odnosno c = 10. Ndlje vrijedi: 3 + c = d p je d = 7 + d = c p je = 3 + c = p je = 7 e + = 10 p je e = 3 f + 10 = e p je f = 7 g + e = f p je g = 10 h + f = g p je h = 3 g + x = h p je x = 7 1. Snj trenir skok u dlj. Dosdšnj joj je prosječn duljin skok 3.80 m. Sljedeći put skočil je 3.99 m i prosjek je nrsto n 3.81 m. Koliko mor skočiti sljedeći put d i povećl prosjek n 3.8 m? A) 3.97 m B) 4.00 m C) 4.01 m D) 4.03 m E) 4.04 m Rješenje: C) 4.01 m Ako je Snj u n skokov iml prosjek skok 3.80 m, ond je: x1... x n 38., odnosno x1... xn 38. n n Sljedećim skokom duljine 3.99 povećl je prosjek n 3.81, p je: x1... x n , odnosno x1... xn ( n 1) n 1 Iz tih jednkosti doijemo: 3. 8n ( n 1) 3. 8n n n n 18 Oznčimo duljinu zdnjeg skok x i doijemo: x1... x x x1... x x x x 4. 01m. Roč i Jn se utrkuju. Jn trči oko ru zen prikznog n slici, dok Roč pliv duljinom zen. Jn trči tri put rže nego što Roč pliv. Roč je preplivo šest duljin zen u vremenu u kojem je Jn optrčo pet put oko zen. Kolik je širin tog zen? A) 5 m B) 40 m C) 50 m D) 80 m E) 180 m 50 m?
10 Rješenje: B) 40 m Ako je v rzin kojom Roč pliv, ond je 3v rzin kojom Jn trči. Roč je preplivo šest duljin zen odnosno 300 m. Z to vrijeme je Jn pretrčo 5 (100 + x) = ( x) m, gdje je x širin zen. Vrijeme je količnik prijeđenog put i rzine, Ročevo vrijeme plivnj jednko je Jnovom vremenu trčnj p vrijedi: x v 3v x x x 400 x Točke L, M i N pripdju strnicm jednkostrničnog ABC prikznog n slici, tko d je MN BC, LN AC i LM AB. Ako površin ABC iznosi 36, kolik je površin LMN? A) 9 B) 1 C) 15 D) 16 E) 18 Rješenje: B) 1 ABC je jednkostrničn, p je BAC ABC BCA 60 Kko su ALN, LBM i NMC prvokutni trokuti, ond je: ALN BML CNM Td vrijedi: MLN NML LNM Iz tog slijedi d je LMN jednkostrničn. Kko je LM MN NL, trokuti ALN, LBM i NMC su sukldni. M x 3 x Ozirom d je svki od tih trokut pol jednkostrničnog, duljine njegovih strnic koje pripdju strnicm trokut ABC možemo oznčiti ko n slici: L x B Sd vrijedi: x + x =, 3x = x. 3 p je duljin strnice Kko je 3 36, ond je 4 LMN jednk x p je 3 x
11 Končno, površin LMN je Frnkin letčki klu dizjniro je zstvu s motivom goluice u letu n kvdrtnoj mreži prikznoj n slici. Površin goluice je 19 cm. Svki dio ru goluice pripd ili kružnici ili prvcu. Koje su dimenzije zstve? A) 6 cm x 4 cm B) 1 cm x 8 cm C) 0 cm x 1 cm D) 4 cm x 16 cm E) 30 cm x 0 cm Rješenje: D) 4 cm x 16 cm Oojimo sliku i istknimo neke dužine koje će omogućiti rekonstrukciju dijelov od kojih se sstoji goluic. N osnovu tog zključujemo d je površin goluice zroj površin plvog i crvenog dijel. Nek je r rdijus kružnice čiju lukovi čine dio ru goluice. Odredimo njprije površinu plvog dijel goluice. Jedn plvi dio je rzlik površin kvdrt duljine strnice r i četvrtine krug rdijus r. 1 1 Dkle, površin plvog dijel je: r r r r 4. Odredimo površinu crvenog dijel goluice. Površin crvenog dijel doije se tko d se od zroj površin dvije četvrtine krug rdijus r i prvokutnik s stnicm duljin r i r oduzme površin prvokutnog trokut (n slici oznčen zelenom ojom) duljin ktet 3 1 r i ri površin trpez (n slici oznčen nrnčstom ojom) duljin osnovic 1 r i rčij visin im duljinu 1 r. Površin dvije četvrtine krug rdijus r je r r Površin prvokutnik s stnicm duljin r i r je r r r 1 Zroj tih površin je r r Površin zelenog prvokutnog trokut duljin ktet 3 i r r je r r r 8 Površin nrnčstog trpez duljin osnovic 1 i r rčij visin im duljinu 1 r je r r r r r r Zroj tih površin je r r 8 8
12 Dkle, površin crvenog dijel goluice je r r r r r r 8 8 Površin goluice je zroj površin plvog i crvenog dijel: 1 1 r r r r 3r Sd iz 3r 19 doijemo r 64, p je r 8 cm. Končno, duljin zstve je 3r, širin r p su dimenzije zstve 4 cm x 16 cm. Rješenj zdtk it će ojvljen 0. trvnj 018. godine n mrežnim strnicm HMD-. Eventulne primjede n rješenj zdtk primju se isključivo elektronskim putem n e-mil klokn@mth.hr do 7. trvnj 018. u 3:59. Rezultti ntjecnj njolje plsirnih učenik it će ojvljeni. svinj 018. godine n oglsnoj ploči škole i n mrežnim strnicm HMD-. Primjede i žle učenik primju se isključivo elektronskim putem n e-mil klokn@mth.hr do 9. svinj 018. u 3:59. Ngrde njoljim učenicim dodjeljivt će se od 17. svinj 018. godine. Ovijesti se mogu doiti n strnici klokn/018/ i n mrežnim strnicm HMD-.
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Priprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Opsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.
Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.
Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
povratnog napona 6 prekidača na slici 1.
Prktikum iz elektroenergetike Lortorij Elektro Mgneti Trnzient Progrm (EMTP) Zdtk Primjer prorčun prelznog povrtnog npon (prekidnje liskog krtkog spoj) Potreno je prorčunti prijelzni povrtni npon n kontktim
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Mimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Osnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
2.1. KRISTALNA STRUKTURA
.1. KRISTALNA STRUKTURA Kd govorimo o čvrstim tijelim, rzlikujemo kristle i morfn tijel. N primjer, kr, željezo, germnij, i ntrij-klorid su kristli, stklo, polimerizirne plstične mse, smol, gum i jntr
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Dru{tvo matemati~ara Srbije. Republi~ki seminar 2011, Novi Sad, Srbija. Pripremawe u~enika osnovnih {kola za takmi~ewa iz matematike
Dru{tvo mtemti~r Srije Repuli~ki seminr 0, Novi Sd, Srij Pripremwe u~enik osnovnih {kol z tkmi~ew iz mtemtike \or e Brli}, Mtemti~ki institut SANU, Beogrd, Srij Zdrvko Cvetkovski, Evropski univerzitet,
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
STRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
STRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA Prof. dr. sc. Ivic Kldrić Identifikcij i procjen mikrostrukture METALOGRAFIJA je istrživčk metod koj ouhvć optičko istrživnje mikrostrukture
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Vrždin, 23.-25. trvnj 2014. BODOVI: POTPUNO ISPRAVNO RJEŠENJE: 3 BODA IZOSTANAK RJEŠENJA: 1 BOD KRIVO ILI NEPOTPUNO RJEŠENJE: 0 BODOVA ZADATAK BROJ BODOVA MAX BODOVA 1. 30
MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.