IZVODJENJE OPŠTEG MATERIJALNOG I ENERGETSKOG BILANSA HOMOGENOG OTVORENOG SISTEMA. Ukupan protok toplote i komponente kroz neku površ

Transcript

1 IZVOJEJE OPŠEG MAEIJAOG I EEGEKOG BIAA HOMOGEOG OVOEOG IEMA Ukupan pook oploe i komponene ko neku povš Ako se mena u sva i koodinana pavca ednačina 3. q dae samo komponenu gusine oplonog fluksa u pavcu ose a Fuieov akon koi definiše oploni fluks kao vekosku veličinu glasi popuno: q gad 7.34a Analognim eonovanem dolaimo do Fikovog akona u vekosko fomi: gad 7.34b Vekoi gusine oplonog fluksa i gusine fluksa komponene kolineani su gadienima empeaue odnosno koncenacie. akle gad definiše pavac u kome se penosi difundue oploa i gad pavac u kome difundue komponena molekulskim mehanimom. Bina anspoa oploe komponene e popocionalna inenieu gad gad odnosno vidi edn. 7.3 bini koom se mena pole empeaua koncenacia komponene u pavcu anspoa- pavac nomale na ekviskalanu povš. Koeficieni popocionalnosi su u skladu sa elekičnom analogiom povodnosi oploe komponene-ecipočne vednosi opoa. egaivan pednak u edn 7.34ab opisue činenicu da oploa komponena difundue u smeu opadana empeaue koncenacie. Ukupni oploni fluks - količina oploe Q dif koa pođe u edinici vemena ko neku povš J s e a aliku od gusine ili specifičnog oplonog fluksa skalana veličina. lično ukupni difuioni fluks komponene F mol s ko neku povš u koncenacionom polu e akođe skala. Posmaamo na pime difuioni pook df dif komponene ko elemenanu povš d dif

2 On e analogno apeminskom pooku fluida l. 7. ednak fluksu ko povšinu d koa pedsavla poekciu d na avan nomalnu na veko gusine difuionog fluksa : df dif d' d cosα d ako e ukupan difuioni pook ko povš ednak pooku vekoa gusine fluksa ko povš. F dif d 7.35a Analogno a fluks povođena oploe ko povš u empeaunom polu ili difuioni pook oploe ko povš ednak e pooku vekoa q ko : Q dif q d 7.35b Ako u ednačinu 7.35a smenimo Fikov akon 7.34b F dif gad d gad n d d n Analogno možemo Fuieov akon da amenimo u 7.35b. ako a difuione pooke komponene i oploe ko neku povš u polu dobiamo iae: F gad d dif d mol / s 7.37a n Q dif gad d n d J / s 7.37b n i n su ivodi koncenacie i empeaue u pavcu nomale na povš. Uošeni Fikov i Fuieov akon Vaimo se na Fikov akon 7.34b. Komponene vekoa gusine fluksa komponene u i pavcu su: gad 7.38a

3 gad 7.38b gad 7.38c Fikov akon iako u pincipu važi samo a molekulsku difuiu se pimenue fomalno i u slučau difuie komponeni ko masu fluida koa se keće. u slučau kada se komponena anspoue kombinovano: molekulskim mehanimom i puem vloga. Umeso koeficiena molekulska difuie ada u iau a Fikov akon figuiše efekivni koeficien. Posmaamo sada opši sluča odimenionalnog koncenacionog pola. Kako efeka ubulencie nie u opšem slučau isi u aličiim pavcima neophodna e modifikacia ili uopšavane Fikovog akona. Umeso ednačina 7.38ac a komponene vekoa gusine fluksa u i koodinana pavca uima se: gad gad gad 7.39a 7.39b 7.39c i - efekivni koeficieni difuie u i pavcu Ako e u pianu cilindičan sisem a dvodimenionalno koncenaciono pole komponene vekoa u pavcu i - koodinaa biće: gad gad 7.4a 7.4b - efekivni koeficien difuie u - ili adialnom pavcu popečno - efekivni koeficien difuie u - pavcu ili longiudinalno podužno Analogno pema uopšenom Fuieovom akonu: q q q gad gad gad 7.4a 7.4b 7.4c 3

4 q gad 7.4a q gad 7.4b - efekivni koeficien difuie u - ili adialnom pavcu popečno - efekivni koeficien difuie u - pavcu ili longiudinalno podužno Ivođene opšeg maeialnog i enegeskog bilansa Peposavimo da se u sisemu odvia neavisnih homogenih eakcia bina penosa oploe i mase mogu opisai uopšenim Fuieovim i Fikovim akonom efekivni koeficieni povođena oploe i difuie uimau konsannim. Bilans komponene i ukupan bilans mase Posmaamo ovoen homogen sisem i u nemu poivolnu konačnu apeminu V oganičenu avoenom povši vidi skicu. Po dogovou vekoi nomale na povš n su oienisani ka spolno sani povši. Ivešćemo opšu ednačinu bilansa komponene u apemini V polaeći od bilansa: AKUMUAIJA UAZ - IZAZ konv. + UAZ - IZAZ dif. + + GEEIAJE mol/s 7.44 Za dopinos suana ili konvekcie možemo da pišemo UAZ - IZAZ konv. -EO IZAZ konv. EO IZAZ konv. e analogan apeminskom pooku 7.8 i difuionom pooku komponene 7.37a i ednak e pooku vekoa ko posmaanu avoenu povš. Zaisa pošo e 4

5 dn df mol / s gde e dn pook komponene ko elemen povši d i vidi l.7. df d biće: dn d mol / s ako e: UAZ -IZAZ konv. -EO IZAZ konv. d mol / s 7.45 Za UAZ - IZAZ komponene difuiom dobiamo pema edn. 7.35a: UAZ - IZAZ dif. -EO IZAZ dif. gde e veko gusine difuionog fluksa komponene. d mol / s 7.46 a bi iveli ia a akumulaciu posmaamo elemen dv apemine V. Količina komponene u elemenu e dv a akumulacia: dv dv dok e ukupna akumulacia: AKUMUAIJA Konačno geneisane komponene u elemenu dv e: ν k k k dv a ukupno geneisane: dv 7.47 V GEEIAJE ν k k dv V k akon smene u 7.44: 7.48 V dv + d + ν k k dv V k Ako na povšinski inegal pimenimo Gausovu eoemu

6 + + ν k k dv V k Pošo e V poivolna apemina sledi da podinegalna funkcia maa da bude ednaka nuli: 443 dopinos konvekcie 3 dopinos difuie Pošo smo peposavili da a divegenciu imamo: + ν k k k 443 mol 3 m c s dopinos hemiskih eakcia važi uopšen Fikov akon a dopinos difuie. gad i gad gad k [ gad ] gad gad [ ] i k ivegencie koe množe efekivne koeficiene ednake su edom pvom dugom i ećem sabiku u iau a divgad edn. 7.3 pa konačno: + + U cilindičnom koodinanom sisemu u peposavku da e koncenacisko pole dvodimeniono ; pema ednačinama 7.4ab: [ gad gad ] e e [ ] [ ] gad e gad e ivegencie koe množe efekivne koeficiene ednake su edom pvom i dugom sabiku u iau a u cilindičnim koodinaama 7.3a pa e konačno efekivni koeficieni adialne i podužne difuie U sfenom koodinanom sisemu i ednodimeniono pole na analogan način a dobiamo: 6

7 7.5 - efekivni koeficieni adialne difuie Ukupan bilans mase AKUMUAIJA UAZ - IZAZ konv. kg/s e posoi dopinus difuie e ne posoi difuia mase već samo difuia poedinih komponenaa eula piodne ežne a unifomisanem koncenacia. Akumulacia mase u elemenu dv e: ρdv ρ dv pa e: AKUMUAIJA V ρ dv UAZ - IZAZ konv. - EO IZAZ konv. ρ d ako imamo: ρ ρ dv + d V i nakon pimene Gausove fomule 7.33 a ukupan bilans mase dobiamo: ρ kg + ρ m s Ukupan bilans 7.53 e pona i pod naivom ednačina koninuiea. Ona pedsavla bi komponennih bilansa edn.7.49 pomnoženih molekulskim masama komponenaa. Zaisa: M c M c ρ c M M ρ 7

8 uma difuionih masenih flukseva komponenaa c M pedsavla ukupan difuioni fluks kg/s ili difuioni fluks mase koi e ednak nuli e ne posoi difuia mase uma geneisana komponenaa kg/s dae ukupno geneisane mase koe e akođe ednak nuli akon odžana maeie. Enegeski bilans Bilans enegie a poivolnu apeminu V ima sukuu: AKUMUAIJA UAZ - IZAZ konv. + GEEIAJE + Q J/s 7.54 amenena oploa Q ko ganicu sisema pedsavla u svai UAZ - IZAZ dif. Imaući u vidu da se ρc p može smaai koncenaciom oplone enegie ili enalpie UAZ - IZAZ suom fluida ćemo dobii kao pook vekoa ρcp ko povš upoedi sa 7.45 UAZ - IZAZ konv. - EO IZAZ konv. ρcp d Geneisane vidi edn. 6.9 u elemenu dv dao e ednačinom: pa e: Q k H k p dv k 7.55 GEEIAJE k H k dv V k 7.56 oplonu amena sa okolinom dobićemo kao: Q UAZ - IZAZ EO IZAZ Q dif. dif. dif. i pema 7.35b: Q q d 7.57 Za akumulaciu unuašne enegie u elemenu dv imamo:. ρc v uρ dv ρcv dv pedsavla koncenaciu unuašne enegie: 8

9 AKUMUAIJA ρ cv dv 7.58 V Pošo se smene u 7.54 i pimeni Gausova eoema dobia se enegeski bilans u fomi: ρc v ρc p 443 dop. konvekcie J { q k H k p k m s dop difuie dopionos hemiskih eakcia Analognim posupkom onom a a divegenciu gusine oplonog fluksa q imamo: ekaove kood. q a ilindične kood. q b feene kood. q 7.59c - efekivni koeficien povođena u adialnom pavcu - efekivni koeficien povođena u -pavcu podužno ili longiudinalno BIA KOIČIE KEAJA OVOEOG HOMOGEOG IEMA Komponene akumulacie količine keana u poivolno apemini V su: AKUMUAIJA UAZ - IZAZ konv. + UAZ - IZAZ dif. + + EJVO POJIH ZAPEMIKIH IA + EJVO POJIH POVŠIKIH IA Za unovski fluid a difuioni anspo količine keana važi edn. 3.9c smenom iaa a poedine članove bilansa ivodi se ednačina: d ρ 3 d supsancialni ivod ρ 3 akumulacia + ρ 443 konvekcia ρf p + µ apem. i povs. sile difuia kgm s m s / 9

10 F - eulana spolnih apeminskih sila po edinici mase fluida µ - dinamički viskoie fluida ponaa pod imenom avie - Šoksova avie - okes. Veko ρ pedsavla koncenaciu količine keana. Vekosko ednačini 7.6 odgovaau i skalane ednačine a pavac i : ρ ρ ρ ρ p ρ F + µ 7.6a ρ ρ ρ ρ p ρ F + µ 7.6b ρ ρ ρ ρ p ρ F + µ 7.6c Maemaička odeđenos poblema simulacie avažnii eula simulacie ovoenog poočnog sisema sa hemiskom eakciom. hemiskog eakoa su koncenaciski pofili. funkcie koe su opisane difeencialnim ednačinama e ednačine međuim ahevau enegeski bilans 7.56 da bi se definisalo i empeauno pole od koeg avise bine hemiskih eakcia k. Koncenaciska i empeauno pole avise od vekoskog pola bina šo e očigledno i edn i 7.59 pa e neophodan i bilans količine keana. avie-šoksove ednačine 7.6a-c koi definišu binsko pole. U bilansnim ednačinama a enegiu i količinu keana fuguiše i gusina šo nači da e neophodna aspolagai i funkciom ρp - ednačina sana. U abeli su poboane ednačine neponae i neophodni podaci pi simulacii poočnog eakoa sa hemiskih eakcia i c + komponenaa: asvaač ili ine + c komponenaa koe učesvuu u eakciama. Jednačine modela komponenni bilansi 7.49 bo ednačina c

11 ukupni bilans mase 7.53 enegeski bilans 7.59 bilans količine keana 76a-c 3 Σ c + 5 eponae funkcie skalana ili vekoska pola: funkcia: koncenacie empeaua bina komponene 3 piisak eophodni podaci:. ednačina sana : ρ ρp. kineičke ednačine : k k 3. emodinamički podaci bo: c Σ c anspona svosva efekivni koef. difuie povođena oploe i viskoie 5. počeni i ganični uslovi a difeencialne ednačine modela. OPIOI AKUMUAIJI KOMPOEE I EEGIJE ZA IIIČA II FEI IEM Jednačine komponennog bilansai enegeskog bilansa možemo simbolički da pikažemo kao: konv. + dif. + eakc. E E konv. E + dif. E + gde sabici na desno sani ednačine onačavau dopinose konvekcie difuie i eakcie akumulacii komponene odnosno enegie. eakc. ilindična geomeia ipičan pime ovoenog sisema sa cilindičnom geomeiom e poočni cevni eako. a bi smo konkenie definisali poedine članove u komponennim bilansima 7.49 i enegeskom bilansu 7.59 koe možemo vai i dopinosi ukupno

12 akumulacii komponene odnosno enegie poabavićemo se nape vekoskim polem bina. Binsko pole pi suanu eakcionog fluida ko cev ako anemaimo vemenski pomenlive pulacione komponene kod ubulennog suana nihove sedne vednosi u vemenu su ednake nuli ima samo komponenu u pavcu - ose. podužnu komponenu pa ga možemo opisai ednačinom: ± e ± k 7.6 gde e inenie bine. Zavisnos ineniea bine od nomalnog asoana od ose cevi eula e desva viskonih sila. kočećeg efeka ida cevi bog čega se fomia simeičan adialan pofil bina l.7.5. Bina fluida u id cevi ednaka e nuli dok e u osi cevi maksimalna. Aksialna pomena ineniea bine eula e pomene gusine eakcionog fluida duž eakoa bog pomene sasava i empeaue. aime pi uobičaenim peposavkama da nema akumulacie mase u sisemu oalni bilans mase u inegalno fomi ešene ednačine koninuiea 7.53 glasi: Fρ s ρ cons. kg / s 7.6 s - sedna bina suana ko povšinu popečnog peseka cevi : s π F d d d d 7.63 l.7.5 a adialni pofil bina suana ko cev na dve aličie poicie b Elemen povšine popečnog peseka cevi Opši ia a dopinos konvekcie akumulacii komponene glasi edn konv. Kada u opši ia amenimo ednačinu 7.6 a binsko pole:

13 3 ose smeu supoan e sme bine ako ose kao sme isi e sme bine ako. konv b a - inenie bine suana 7.6a opinos difuie komponene: difuia adialna popecna difuia aksialna poduna 7.5 dif. + ima podužnu aksialnu i adialnu komponenu pa imamo dva difuiona dopinosa: dif ad dif aks opinos hemiskih eakcia akumulacii komponene e pema edn ednak: ν eak k k k a analogan način i u peposavku da e c p cons a cev konsannog pečnika odaklle sledi : ρ cons a dopinose akumulacii enegie ivodimo: ρ ρ - ose smeu od u suponom e suane ako - ose u smeu e suane ako konv. c c E p p b a E aks dif E dif ad 7.7

14 E eak. k H p 7.7 k k fena geomeia ipičan sisem sfenog oblika e poono kaaliičko no. Zbog odsusva konvekcie ko no dopinosi konvekcie akumulacii komponene i enegie ednaki su nuli. U pakičnim poblemima koncenaciska i empeauno pola se u sisemu sfene geomeie smaau ednodimenionalnim odnosno: ; - adialna koodinaa ako na osnovu pehodne diskusie; konv. aks dif.. E konv. E aks. dif a sa adialne difuione dopinose na bai ednačina i 7.59c ivodimo: ad dif. E ad dif. Iai a dopinose hemiskih eakcia očigledno ne avise od koodinanog sisema invaiana i dai su ednačinama 7.67 i 7.7. ZAAI. Posmaamo ploču vlo velike šiine i dužine i konačne debline d koa se nalai na empeaui. U ednom momenu se empeaua nene leve povšine slika poveća na vednos dok empeaua desne osae. a Polaeći od opšeg enegeskog bilansa 7.59 ivesi sledeći maemaički model nesacionanog empeaunog pola u ploči: 4

15 d d a d > a ρc p m s b kiciai funkciu - empeauni pofil u aličiim vemenima veme poeklo od momena opisane pomene empeaue. Kako funkcia igleda kada sacionaan emp. pofil? c Kako se mena maemaički model isog poblema ako e desna sana ploče idealno iolovana? kiciai empeaune pofile u aličiim vemenskim momenima i nakon beskonačno dugog vemena. d Fomulisai model a sluča da se pi isom počenom sanu u ednom momenu empeaua vaduha sa leve sane ploče pomeni sa na bog čega se usposavla penos oploe sa vaduha na ploču sa koef. pelaa α dok e desna povšina iolovana.u čemu se empeauni pofili a ova sluča alikuu od onih u slučau b?. ugačka žica polupečnika počene empeaue u ednom momenu se savi u amosfeu empeaue a <. Ivesi sledeće ednačine koe opisuu pomenu empeaue žice u oku vemena : a α a ρc p m s 3. Ko dugačku žicu polupečnika oplone povodlivosi poiče elekična sua. oploa koa se pi om svaa u edinici vemena i po edinici apemine žice ednaka e: I ρi π π 3 W m - elekični opo žice Ω I - ačina sue A dužina žice ρ - specifični elekični opo žice ρ Ω m 5

16 a Ivesi sledeće ednačine koe definišu sacionano empeauno pole žice ako se može anemaii opo pelau oploe sa žice u amosfeu empeaue : d d : d d : d + d b vosukom inegaciom difeencialne ednačine i odeđivanem inegacionih konsani i daih ganičnih uslova ivesi sledeći ia a empeauno pole: c Ko čeličnu žicu pečnika 8.5 f specifične oponosi.5 Ω f i oplone BU povodlivosi popuša se sua od A. Ako e empeaua h f F okoline 5 iačunai naveću empeauu u žici es Šap polupečnika i dužine počene empeaue u ednom momenu se savi u amosfeu empeaue a < a edan negov ka se i dale odžava na počeno empeaui dok e dugi iolovan. Ivesi sledeće ednačine koe definišu empeauno pole u šapu: : : a : : + α a ρc 5. Ispaliva ečnos se čuva u mealnom eevoau sfeičnog oblika unuašneg polupečnika i spolašneg polupečnika sa venilom a ila pae u amosfeu. empeaua ečnosi e nena empeaua klučana dok e empeaua amosfee. a Zanemauući opoe penosu oploe sa okoline na eevoa i sa unuašneg ida eevoaa na ečnos ivesi sledeći model empeaunog pola ida eevoaa oplone povodlivosi : p m s 6

17 d d d d b Pokaai da se empeaua po deblini ida eevoaa mena kao: A + B gde e konsana A : A c Ivesi sledeći ia a ukupni fluks oploe ko spolnu povšinu eevoaa: Q 4π W Kako se mena fluks dodavanem sloa iolacie debline δ i oplone povodlivosi napisai fomulu? i isp d Ako e laenna oploa ispaavana ečnosi h napisai ia koim se iačunavau gubici ečnosi i eevoaa u edinici vemena bog nenog ispaavana. 6. I sfeične kapi asvoa neke supsance A polupečnika ona ispaava u okolinu koa e nepokena nema suana. Pi om se empeaua može smaai konsannom i ednakom empeaui okoline a poces sacionaan. apon pae supsance A na empeaui e p. A a Ivesi sledeći model koi opisue koncenacisko pole supsance A u okolnom mediumu : d d lim : A d d A A p A b Pokaai da e ešene modela: A p A g g a bina ispaavana supsance mol s : 4π A p A g 7. Posmaamo sacionano povođene oploe ko elo oblika šupleg polucilinda unuašneg polupečnika i spolašneg polupečnika slika. Baične povšine kao i obe akivlene povšine ela su iolovane.avna povšina na poicii ϕ se odžava na empeaui a povšina na poicii ϕ π na empeaui. 7

18 Z Z a Ivesi sledeći model: i ešii ga. d dϕ π b Ivesi a gusinu oplonog fluksa q na povšinama ϕ i ϕ π : q d dϕ e ϕ ϕ π q π c Pokaai da e ukupan pook oploe ko povšinu na poicii ϕ : Q ln W π ednak onom ko povšinu ϕ π d Pokaai da se a pook oploe slučau da e << može ačunai kao: Q π W 8. Ivesi sledeći ia a inenie bine laminanog suana nunovskog fluida konsanne gusine imeđu dve velike hoionalne ploče na asoanu H: H dp µ d H 3 s gde e s sedna bina ko posmaani kanal. Pomoć: videi ivođene binskog pofila a laminano suane ko cev H H 9. Poebno e definisai empeauno pole u nunovskom fluidu koi se ageva u imenivaču oploe sa dve paalelne ploče na asoanu H. Ulana 8

19 9 empeaua fluida e a gene ploče se odžavau na empeaui H. Fluid ima konsannu gusinu i viskoie i sui laminano vidi pehodni adaak empeauni pofil a Ivesi sledeću dif. ednačinu koa u odgovaauće ganične uslove definiše aženi empeauni pofil c p a a ρ + b Koi e uslov da bi se model amenio ednosavniim: a Pomoć: videi analiu uicaa podužne difuie u cevnom eakou c opunii upošćeni model neophodnim ganičnim uslovima.. Poebno e fomulisai model sacionanog cevnog imenivača oploe dužine i unuašneg pečnika ko koga laminano sui fluid ulane empeaue a id cevi se odžava na empeaui >. Fiička svosva fluida se uimau konsannim. a Ivesi sledeći model empeaunog pola fluida: c p a a ρ + i skiciai pofil bina i empeaua u cevi. ai ia a inenie bine suana fluida. b Koi e uslov da bi se model amenio ednosavniim: a c opunii upošćeni model neophodnim ganičnim uslovima. d Ivesi sledeći ia a iačunavane ukupne količine oploe koi fluid pimi u imenivaču u edinici vemena i empeaunog pola : d Q π

20 . va nemešliva asvaača i u koima su koncenacie asvoka A i u momenu se save u konak velikom povšinom na poicii. a Ivesi sledeće ednačine koe definišu koncenacisko pole supsance A koa difundue i ednog u dugi asvaač : < < < < : : : : k < < < < b Kako glasi uslov da sme difuie asvoka A bude i. u. asavač?