Diskretna 3D fotonička rešetka u sustavu 2D vezanih valovoda. Mihovil Bosnar Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Buljan

Transcript

1 Diskretna 3D fotonička rešetka u sustavu 2D vezanih valovoda Mihovil Bosnar Mentor: Prof. dr. sc. Hrvoje Buljan

2 Problem Promatra se sustav slabo vezanih valovoda translacijski invarijantan u smjeru z te reducirane translacijske invarijantnosti u okomitoj (x-y) ravnini (fotonic ka rešetka) I Rešetke i drugi diskretni sustavi mogu imati dimenziju vec u od kontinuiranog prostora u kojem se nalaze pod odred enim uvjetima traži se kako teoretski ostvariti te uvjete u sustavu 2D valovoda i dobiti 3D rešetku u presjeku sustava I Promatrani sustav Presjek sustava

3 Dimenzionalnost u jednostavnim kontinuiranim sustavima Volumen u kontinutiranim sustavima: dd : V R d

4 Dimenzionalnost u složenim diskretnim sustavima

5 Matematička teorija Matematički: Rešetka graf s prostornom grupom; graf - sustav točaka (vrhova) povezan crtama (bridovima) Volumen u diskretnim sustavima broj vrhova N unutar l koraka od jednog brida Analogno kontinuiranim sustavima: dd : N l d Ekvivalentna definicija preko metode brojanja kutija: M l d M - minimalni broj kutija potrebnih za prekrivanje sustava d općenito nije jednak dimenziji kontinuiranog prostora u kojem se diskretni sustav nalazi govori o složenosti sustava

6 (a) 1D sustav u 1D prostoru, (b) 2D sustav u 1D prostoru, (c) 2D sustav u 2D prostoru Treba prekinuti vezu izme du bliskih valovoda i uspostaviti je izme du dalekih

7 Svjetlost u fotonic kim sustavima I Maxwellove jednadžbe u nemagnetskom linearnom materijalu bez slobodnih struja i naboja: ~ ( (x, y)~e) = 0 ~ = 0 ~ H ~ ~E ~ ~ H I ~ H t ~E = (x, y) t = µ0 Svod enje na dvije jednadžbe: jednu za ~E i ~ iz drugu za odred ivanje H ~ poznatog E

8 Rotacija Faradayevog zakona: Lijeva strana: ( E) = µ 0 t H ( E) = ( E) 2 E Desna strana prema Ampereovom zakonu: Ukupno, jednadžba za E: µ 0 t H = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2 ( E) 2 E = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2

9 Sre divanje jednadžbe za E Prema Gaussovom zakonu: (ɛ(x, y) E) = E ɛ(x, y) + ɛ(x, y) E = 0 Ako polje oscilira mnogo brže od dielektrične funkcije: ɛ(x, y) E 0 = polje je otprilike transverzalno U jednadžbi za E eliminira se prvi član: 2 E = µ 0 ɛ(x, y) 2 E t 2 Ovo je poznata valna jednadžba

10 Vremenska ovisnost i jednadžba za H Pretpostavi se oscilatorna vremenska ovisnost: Uz c 2 = 1 µ 0 ɛ 0 : E( r, t) = E( r)e iωt H( r, t) = H( r)e iωt 2 E = ω2 c 2 ɛ r(x, y) E (1) Uvrštavanjem ovisnosti polja H u Faradayev zakon i izražavanjem polja: H = 1 iωµ 0 E (2) Jednadžbe (1) i (2) su tražene jednadžbe.

11 Sre divanje jednadžbe za E Pretpostavka oblika za E: E = ψ(x, y, z)e ikzê Uvrštavanjem u (1) i sre divanjem: 2 ψ + 2ikẑ ψ k 2 ψ = ω2 c 2 ɛ r(x, y)ψ Indeks loma: n(x, y) = ɛ r (x, y) = n 0 + δn(x, y) Pretpostavimo n 0 >> δn(x, y) = ostavljaju se samo doprinosi prvog reda u δn = ɛ r (x, y) n n 0δn(x, y) ω i k se mogu povezati disperzijskom relacijom za homogeni dielektrik: ω = c k n 0 Najniži red varijacije omjera k n je najmanje drugi pa se odbacuje

12 Paraaksijalna aproksimacija Eliminacijom ω i ɛ r te sre divanjem: 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ ψ + 2ik 2 z2 z Paraaksijalna aproksimacija: i ψ z = 1 2k δn = 2k2 ψ n 0 2 ψ 2ik z << ψ 2 z ( ) 2 x + 2 ψ k δn ψ 2 y 2 n 0 Jednadžba za ψ, a time i E svodi se na 2D vremenski ovisnu Schrödingerovu jednadžbu mogućnost modeliranja QM sustava

13 Presjek sustava valovoda δn L = δn L0 mn ( r Rmn) 2 e 2σ 2 + (δn L0 + ) ( r Rmn b) 2 mn e 2σ 2 Jačina vezanja mjesta mn i m n u aproksimaciji slabog vezanja valovoda: J (mn) jk χ j δnχ (m n ) k dv

14 Ideja Treba pronac i konstante potencijala takve da je veza jaka samo izmed u elemenata baze te izmed u elemenata baze na istim mjestima u razlic itim c elijama rešetka je ekvivalentna sloju tetragonskih c elija I Veza slabi s udaljenošc u (manji preklop) i razlikom u indeksu loma (izlazak iz rezonancije) I Shema traženog presjeka rešetke Ekvivalentni sloj tetragonskih c elija

15 Konstante Izaberu se konstante i prati intenzitet I E 2 ψ 2 u ovisnosti o z: Valna duljina: λ = µm k = 2πn µm 1 n0 = 2.3 (indeks loma stroncij-barij niobata Sr x Ba 1 x Nb 2 O 6 ) δn L0 = a = 10µm σ = 0.1a bx = b y = 0.25a z0 = 0 z max = 20mm z = 1µm Evolucija se računa numerički u Pythonu implementacijom Split step FFT metode λ

16 Split-step FFT metoda Operator evolucije: i ψ(x, y, z) = Ĥψ(x, y, z) z ψ(x, y, z 0 + z) = e iĥ z ψ(x, y, z 0 ) Ĥ = 1 2k 2 kδn n 0 Prvi član operatora dijagonalan je u recipročnom prostoru, dok je drugi dijagonalan u direktnom prostoru Split step metoda: 1. Pola koraka u direktnom prostoru 2. FFT 3. Cijeli korak u recipročnom prostoru 4. IFFT 5. Pola koraka u direktnom prostoru Metoda je stabilna i unitarna; rastavljanje operatora daje pogrešku reda veličine z 3

17 Evolucija za = 0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 2πσ 2 e (x 4a) 2 2σ 2 (y 4a)2 2σ 2

18 z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

19 z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

20 Evolucija za = n L0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 2πσ 2 e (x 4a) 2 2σ 2 (y 4a)2 2σ 2

21 z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

22 z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

23 Evolucija za = n L0 Početni uvjet: ψ(x, y, z = 0) = 1 (x 4a bx ) 2 2πσ 2 e 2σ 2 (y 4a b y ) 2 2σ 2

24 z = 2.5mm z = 5mm z = 7.5mm z = 10mm

25 z = 12.5mm z = 15mm z = 17.5mm z = 20mm

26 Komentar Podizanje indeksa loma jednog od valovoda daje dobro tuneliranje izme du valovoda s nižim indeksom loma Tuneliranje izme du valovoda s višim indeksom loma ne postoji za = δn L0 Za = 0.5n L0, 0.4n L0, 0.25n L0 tuneliranje se bitno pojačava samo izme du elemenata baze Moguće riješenje promoću grating assissted tunnelinga rešetka periodična u z smjeru vraća tuneliranje analogno laserski potpomognutom tuneliranju u sustavu hladnih atoma Ako se postigne željeno tuneliranje, u sustavu 2D vezanih valovoda mogla bi se konstruirati rešekta bigrafena (bilayer graphene) i pročavati njena svostva ili pak proučavati solitone u 3D Wei Han, Roland K. Kawakami, Phys. Rev. Lett. 107, (2011)

27 Literatura J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade Photonic Crystals - Molding The Flow Of Light Princeton University Press, Princeton, 2008 D. Jukić, H. Buljan Four-dimensional photonic lattices and discrete tessaract solitons, Phys. Rev. A 87, (2013) C. Song, L. K. Gallos, S. Havlin, H. A. Makse How to calculate the fractal dimension of a complex network: the box covering algorithm, J. Stat. Mech. Theo. Exp. 03, P03006 (2007) T. Dubček et al. The Harper - Hofstadter Hamiltonian and conical diffraction in photonic lattices with grating assisted tunneling New J. Phys. 17, (2015) H. Miyake et al. Realizing the Harper Hamiltonian with Laser - Assisted Tunneling in Optical Lattices, Phys. Rev. Lett. 111, (2013) T. Nikšić Seminar iz kvantne fizike - zimski semestar P. W. Milonni, J. H. Eberly Laser Physics, J. Wiley & Sons, Inc., Hoboken, 2010