Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c) 5 4 5 4 7 6 3 37 6 64 Rješeje a = ; (c) Niz je zapravo 5 4 0 8 7 6 pa je a 6 3 = + Primjer Gaussova dosjetka) Sumu S = + + + možemo izračuati a sljedeći ači Zbrajajem sljedeća dva retka dobijemo odakle je S = (+) S = + + + ( ) + S = + ( ) + + + S = ( + ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) = ( + ) sumaada 7
8 NIZOVI Primjer Aritmetički iz s prvim člaom a i razlikom d je iz (a ) zada općim člaom: a = a + ( )d Svojstva: a + a = d a = a +a (zbog čega se i zove aritmetički iz) S := a + a + + a = i= a i = (a + a ), jer je S = a + (a + d) + + (a + ( )d) = a + ( + + + ( )) = a + = (a + a ) ( ) = (a + a + ( )d) Geometrijski iz s prvim člaom a i kvocijetom q = je iz (a ) zada općim člaom: a = a q Svojstva: a a = q a = a a + (zbog čega se i zove geometrijski iz) S := a + a + + a = i= a i = a q q slijedi iz formule a b = (a b)(a + a b + + ab + b ) (koja se lako provjeri) za a = i b = q Zadatak 3 Izračuajte: + 4 + 7 + + (3 + ) 5 + 4 5 + 5 Rješeje (c) + 4 + 9 + + (c) Primijetimo da je (k + ) 3 k 3 = 3k + 3k + pa sumirajem po k = dobijemo odakle je ( + ) 3 = 3( + + 3 + + ) + 3( + + + ) + + + 3 + + = 3 (( + ( + ) )3 3 ) = ( + )( + ) 6
NIZOVI 9 Napomea Sume možete račuati i koristeći WolframMathematica T (pogledajte takoder i Wolframlpha T ) I[]:= Sum[k^, {k,, }] Out[]= /6 + ) + ) Defiicija Niz (a ) je rastući ako vrijedi Niz (a ) je strogo rastući ako vrijedi a a + a < a + Aalogo defiiramo padajući i strogo padajući iz Zadatak 4 Ispitajte mootoost sljedećih izova: a = a = (c) a = (d) a = + (e) a = +9 (g) a = + 3 + (f) a = arctg + Napomea Nacrtajmo prvih 0 člaova iza a = + 3 + u WolframMathematicaT : I[]:= iz = Table[^ + )/3 ^ + ), {,, 0}] Out[]= {/, 5/4, /3, 7/5, 3/40, 37/4, 5/77, 3/40, 4/6, 0/30, 6/87, 45/444, 7/5, 97/60, 3/345, 57/784, 45/44, 65/98, 8/55, 40/0} I[]:= ListPlot[iz] Out[]= 0334 033 0330 038 5 0 5 0
0 NIZOVI Defiicija Niz (a ) je odozgo omede ako postoji M R takav da je a M Niz (a ) je odozdo omede ako postoji m R takav da je a m Zadatak 5 Ispitajte omedeost izova a = a = Rješeje Niz (a ) ije odozgo omede Matematičkom idukcijom se može pokazati da je > (Drugi ači da se pokaže gorja ejedakost je koristeći biomi teorem: (a + b) = a k b k k gdje je Za a = b = dobijemo = k k( k) = ( + ) = k=0 i = ( ) 3 k=0 > k = ) Iz Arhimedovog aksioma slijedi da za svaki M > 0 možemo proaći 0 takav da je 0 > M pa je a 0 = 0 > 0 > M, odakle vidimo da je iz eomede Defiicija Niz (a ) kovergira k L R ako ( ε > 0)( 0 N) takav da je a L < ε 0 Može se pokazati da je broj L R jedistve i zovemo ga es iza (a ) ze ozačavamo s a ili a U tom slučaju kažemo da iz (a ) kovergeta Zadatak 6 Neka je (a ) iz Dokažite da je a = 0 a = 0
NIZOVI Rješeje Neka je ε > 0 Tada postoji 0 zakav da je a 0 < ε, za 0 Drugačije zapisao, a 0 = a = a 0 < ε za 0 Dakle, a = 0 Aalogo Zadatak 7 Neka je (a ) iz takav da je a = 0 i eka je c R Po defiiciji dokažite da je i (c a ) kovergeta iz i da je (c a ) = 0 Rješeje Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je c = 0 Neka je ε > 0 Tada postoji 0 takav da je pa je odakle slijedi tvrdja a < ε c za 0 c a = c a < c ε c = ε Zadatak 8 Dokažite po defiiciji da je = 0 za 0 Rješeje Neka je ε > 0 Tada po Arhimedovom aksiomu postoji 0 takav da je 0 ε > (alterativo, uzmemo 0 := ε + > ε ) Za 0 je 0 = 0 < ( ε ) = ε Napomea Sličo kao u prethodom zadatku se može pokazati da je za p > 0 p = 0 (Primijetite da je po defiiciji pr = e l ) Napomea Na predavaju je pokazao da za kovergete izove (a ) i (b ) i λ µ R vrijedi:
NIZOVI (λa + µb ) je kovergeta i (a b ) je kovergeta i (λa + µb ) = λ a + µ b (a b ) = a b ako je b = 0, oda je i ( a b ) kovergeta i Zadatak 9 Izračuajte ese: a = a b b (d) (g) 5 3 + ( + ) 3 ( + + ) 7 50 + 5 + 4 + 9 + + 3 (e) 3 + 3 + + 4 + + + 3 + + + (c) (f) ( ) 3 3 + ( )5 ( + ) 4 Napomea U WolframMathematica T : I[]:= Limit[ - - )^5/ + )^4, -> Ifiity] Out[]= 9 Na predavaju je dokaza sljedeći Teorem Teorem o sedviču) Neka su (a ) (b ) i (c ) izovi takvi da postoji m takav da je a b c m Ako (a ) i (c ) kovergiraju prema istom realom broju L R, oda je i (b ) kovergeta s istim esom L: b = L Zadatak 0 Izračuajte si ( ) arctg (c) 3 5 cos + 8 3 +
NIZOVI 3 Rješeje Dovoljo je dokazati da je ( ) arctg 3 = 0 što slijedi po teoremu o sedviču Zadatak Neka je q Dokažite da je q = 0 Rješeje Ako je q = 0, oda je q = 0 pa tvrdja vrijedi Zbog Zad 6 je dovoljo dokazati da je q = q = 0 pa možemo pretpostaviti da je q 0 Tada je > pa je po biomom teoremu q odakle dobijemo Po teoremu o sedviču je = + ( q q ) k = k q k=0 >0 0 q q 0 q = 0 q kada + Zadatak Izračuajte: + 3 3 + 6 (c) + 3 + ( 7) Zadatak 3 Izračuajte: (c) 3 + 4 9 8 7 korijea + + ( ) 3 + 5 5 + 5 + 5 + + 5
4 NIZOVI Zadatak 4 Dokažite da je = a = a > 0 Rješeje Zbog mootoosti fukcije x x a [0 + vrijedi = S druge strae, po biomom teoremu dobijemo za dobijemo = ( ) = [ + ( )] = + ( ) = + k=0 ( ) k k 0 ( ) ( ) pa je odakle je Dakle, + ( ) + kada + pa je po teoremu o sedviču = Pretpostavimo prvo da je a Neka je m takav da je m a (koji postoji po Arhimedovom aksiomu; jeda takav m je siguro a + ) Tada je a m pa tvrdja u ovom slučaju slijedi iz teorema o sedviču i Ako pretpostavimo da je a 0, oda je b = > pa je po prvom slučaju primijejeom a b > a a = b = = Dakle, a = a > 0 =
NIZOVI 5 Zadatak 5 Izračuajte Rješeje Za vrijedi (0 + 3 cos ) + 6 + 3 + 4 (0 + 3 cos ) + 3 4 + 3 + 4 3 4 = 4 3 4 kada + pa je po teoremu o sedviču tražei es jedak 4 Primijetite da za vrijedi (0 + 3 cos ) + 6 (0 + 3 cos ) + 3 + 6 (0 + 3 cos ) + 6 kada + 7 pa je po teoremu o sedviču tražei es jedak 0 Zadatak 6 Izračuajte + + + + + + Defiicija Niz (a ) teži k + ako ( M > 0)( 0 ) takav da je a > M 0 i pišemo a = + Niz (a ) teži k ako i pišemo a = ( M > 0)( 0 ) takav da je a < M 0 Defiicija Defiiramo R = R + } Niz (a ) kovergira u R ako kovergira u R ili teži k ili + Zadatak 7 Dokažite da je za q > k=0 q = + Rješeje Za po biomom teoremu dobijemo q = [(q ) + ] = (q ) k + (q ) > (q ) k Neka je M > 0 proizvolja Odaberimo 0 takav da je 0 (q ) > M Takav 0 postoji po Arhimedovom aksiomu (ili kokreto možemo uzeti 0 = M q + > M) Tada je za 0 pa je q = + q > (q ) 0 (q ) > M
6 NIZOVI Limesi se poekad račuaju koristeći rekurzivo zadae izove Primjer 3 Fiboaccijev iz) Fiboaccijev iz je iz (a ) zada a sljedeći ači: a = a = a = a + a za 3 Bietova formula za -ti čla Fi- Matematičkom idukcijom se može pokazati tzv boaccijevog iza: a = 5 Iz Bietove formule slijedi + 5 a + = + 5 a 5 pri čemu je + 5 68 pozat kao omjer zlatog reza Na predavaju je dokaza sljedeći Teorem Ako je iz (a ) rastući (padajući) i odozgo (odozdo) omede, oda je kovergeta i a = supa : } ( a = ifa : }) Primjer 4 Dokažimo a još jeda ači da je za q 0 Defiirajmo a = q, Tada je Primijetimo da je iz (a ) padajući: i odozdo omede: a + = q a a + = q a a a = q 0 pa je i kovergeta po prethodom teoremu Ozačimo L = u esu dobijemo L = ql, odoso pa je L = 0 a + = q a L ( q) = 0 >0 q = 0 a Tada iz
NIZOVI 7 Zadatak 8 Izračuajte: a a > a > (c) a p a > p > 0 (d) a p Rješeje Primijetimo da a = a zadovoljava a + = Tada je za 0 := a + > a ispujeo a + < a + a a a + < odakle zaključujemo da je iz (a ) padajući počevši od 0 -og člaa Očito je i odozdo omedje s 0 pa je kovergeta Neka je L = a Tada iz a + = a + a u esu dobijemo L = 0 L = 0, odakle je L = 0 Niz a = a Tada je zadovoljava rekurzivu relaciju a + = + a a a + < a + a < > a pa je iz (a ) padajući počevši od člaa s ideksom 0 = + a Pošto je a = > 0, zaključujemo da je iz odozdo omede pa je i kovergeta a Ozačimo L = a Tada iz rekurzive relacije u esu dobijemo L = L a odakle je L (a ) = 0 >0
8 NIZOVI pa je L = 0 (c) Neka je 0 = p + > p Tada je za 0 0 < p a 0 a = b 0 gdje je b = 0 a > 0 = pa je po dijelu ovog zadatka 0 = b Po teoremu o sedviču zaključujemo da je p a = 0 0 = 0 0 = 0 b (d) Primijetimo da opći čla iza čiji es tražimo možemo zapisati kao p = p produkt dva kovergeta iza s esima 0 (po i (c)) pa je i promatrai iz kovergeta s esom 0 0 = 0 Napomea Prethodi zadatak kaže da faktorijel raste brže od ekspoecijale fukcije (lako se provjeri tvrdja i za a (vidite Zadatak 58)) : a = 0 a R; ekspoecijala fukcija raste brže od potecije: faktorijel raste brže od potecije: p Zadatak 9 Izračuajte ese: p = 0 a > p > 0; a = 0 a > p > 0 (c) 4 + 3 3 + 4 +4 + ( 4) + + ( 4) (d) + ( ) + 4 ( + ) 4 + 5 (3 + ) 5 ( + ) 4
NIZOVI 9 Zadatak 0 Niz (a ) je zada rekurzivo s a = 0 a + = a + Ispitajte kovergeciju iza (a ) i odredite mu es (ako postoji) Zadatak Niz (a ) je zada rekurzivo s a = 3 a + = (a + 3 a ) Ispitajte kovergeciju iza (a ) i odredite mu es (ako postoji) Napomea U WolframMathematica T : I[]:=a[]:= 3 a[_]:= a[ - ] + 3/a[ - ])/ I[]:=Table[N[a[], 0], {,, 0}] Out[]= {3000000000, 000000000, 750000000, 734857, 7305080, 73050808, 73050808, 73050808, 73050808, 73050808} Primijetite da je I[3]:= N[Sqrt[3], 0] Out[3]= 73050808 Zadatak Ispitajte kovergeciju iza a = + + + korijea i odredite mu es (ako postoji) Zadatak 3 Niz (a ) je zada rekurzivo s a = a + = 9 a 7 a Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es Zadatak 4 Izračuajte ese: (c) ( + ) ( 4 4 + 3 + + + ) + + + +
0 NIZOVI Na predavaju ste pokazali da je iz a = + rastući i odozgo omede pa je i kovergeta Ozačimo jegov es s e Dakle, Zadatak 5 Izračuajte ese: (c) + = e + + + + + Rješeje + = + = + = e + = + + + = + + + + + = e = e Defiicija Niz (b ) je podiz iza (a ) ako postoji strogo rastuća fukcija takva da je p: b = a p Na predavajima ste dokazali sljedeće teoreme Teorem Ako je iz (a ) kovergeta s esom L, oda je svaki jegov podiz takoder kovergeta s istim esom L Teorem Svaki iz ima mooto podiz
NIZOVI Korolar Svaki omedei iz ima kovergeti podiz Defiicija Gomilište iza (a ) je elemet L R takav da postoji podiz (a ) iza (a ) takav da je k + a = L Primjer 5 a = ( ) ima gomilišta: i, jer je Primijetite da (a ) ije kovergeta a k = ( ) k = a k = ( ) k = Primjer 6 Promotrimo iz a = q, gdje je q < Pokazat ćemo da iz (a ) ije kovergeta tako da proademo dva različita gomilišta (primijetite da je q > pa je q = + ): Dakle, a k = q k = ( q ) k + kada k + a k = q k = ( q ) k q <0 q = kada k + e postoji q 0 < q < q = + q > Napomea Niz koji ima više od jedog gomilišta e može biti kovergeta Ozačimo skup svih gomilišta iza (a ) s A Primijetite da (a ) ima barem jeda kovergeta podiz u R() pa je A = i tada ima smisla Defiicija Neka je (a ) iz i eka je A skup jegovih gomilišta u R Defiiramo es superior i es iferior iza (a ) s sup a = sup A i if a = if A Zadatak 6 Izračuajte sup + cos π + if ( + ( ) ) + cos (π) +
NIZOVI Dokaza je i sljedeći Teorem Niz (a ) je kovergeta ako i samo ako je i tada je a = if a = sup Zadatak 7 Neka je a = if a = sup a a 3 + ( ) 3 + + ( ) + + ( + a) si π Odredite a R tako da iz (a ) bude kovergeta Rješeje Odredimo gomilišta iza (a ): 3 k a + ( ) k k = + ( + a) 0 = k + k + 3 k+ + ( ) k+ 3 3 4k a + ( ) 4k 4k = + ( + a) ( ) = k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 a 3 4k 3 a + ( ) 4k 3 4k 3 = + ( + a) () = 4 k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 + a Da bi iz (a ) bio kovergeta, mora vrijediti if a = sup pa skup gomilišta mora biti jedočla Dakle, mora vrijediti odakle zaključujemo da je a = a 3 = 3 a = 4 3 + a Za račuaje esa je korista sljedeći Teorem Stolzov teorem) Neka su (a ) i (b ) izovi takvi da je (b ) strogo rastući i eograiče Ako postoji a + a b + b a tada postoji i b i vrijedi a a + a = b b + b
NIZOVI 3 Zadatak 8 Izračuajte: + + 3 3 + + Rješeje Stavimo a = + + 3 3 + + i b = Vidimo da je (b ) strogo rastući i eograiče pa je po Stolozovom teoremu tražei es jedak a a + a = = b b + b + = Primijetimo da je l + l + + l l = l Po Stolzovom teoremu je l + l + + l = = = l + l + + l (l + + l + + + l + + ) (l + l + + l ) = l( + ) = pa je tražei es jedak e = e Zadatak 9 Neka je (a ) kovergeta iz takav da je a > 0 Dokažite da je a a a = a Rješeje Primijetite da je po Stolzovom teoremu l l a + + l a a a a = pa je zbog eprekidosti fukcije l, odakle slijedi tvrdja l a a a = l a = l a Zadatak 30 Izračuajte k= k
4 NIZOVI Zadaci za vježbu 3 Izračuajte: 3 + 8 + 3 + 8 + + (5 + 3) 3 7 9 49 + (c) + 8 + 7 + + 3 3 Dokažite da je iz s općim člaom + a = + 3 + strogo padajući 33 Ispitajte mootoost sljedećih izova 3 7 8 a = a = + + 3 + (c) a = arctg ( ) 3 (d) a = 0 a + = + a + + 0 a 34 Ispitajte ograičeost sljedećih izova a = 35 Izračuajte ese: (c) 4 3 + 4 + 36 Izračuajte ese: + + + 3 + + + a = ( ) + 4 (d) (c) a = + + 5 3 + + 4 + 7 + + (3 ) + ( a)3, u ovisosti o parametru a R ( + ) + (c) + 3 + + + + + 9 + + 3 37 Izračuajte 38 Izračuajte ese: si + +
NIZOVI 5 4 + 3 + (c) + ( + + 4 4 + + ) ( + 3 3 + ) 39 Izračuajte ese: (c) ( 3 + ) + 3 ( + ) 3 ( 3 + ) 3 + 009 + 009 40 Izračuajte ese: ( + )(3 + )( + ) (4 + 3) 3 (c) ( + + 3 + + + ) + + 4 + 8 + 3 4 Izračuajte ese: (c) + 5 3 + 5 3 3 3 3 + 4 Izračuajte ese: (c) (e) π + + 3 3 + 4 4 (d) 3 + cos (f) + 3 3 + 4 + 43 Izračuajte if a i sup a za a = cos π a = + + cos π Koji izovi su kovergeti? (c) a = + ( ) 44 Dokažite da za iz zada rekurzivo s vrijedi a = ( + )a + + ( )a a + = 3a 3 a
6 NIZOVI 45 Dokažite da iz Fiboaccijevih brojeva (a ) zadovoljava 46 Niz (a ) je zada rekurzivo: a a a + = ( ) a = a + = 3a a Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 47 Niz (a ) je zada rekurzivo: a = a + = a + Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 48 Niz (a ) je zada rekurzivo: a = 05 a + = a + 4 5 Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 49 Nadite rekurzivo zada iz (a ) takav da mu je es jedak 7 50 Koristeći rekurzivo zadai iz dokažite da je 5 Izračuajte 5 ( + ) = 0 5 + 5 + + 5 korijea 5 Izračuajte 53 Je li iz kovergeta? 54 Izračuajte 3 3 3 korijea a = + ( 5) 3 + 4 si si si puta
NIZOVI 7 55 Dokažite po defiiciji da je za p > 0 56 Dokažite po defiiciji da je p = 0 = + 57 Dokažite da je = 0 koristeći teorem o sedviču i biomi teorem 58 Dokažite da je za a R a = 0 59 Neka je (a ) rastući iz takav da je a > 0 Ako je S = a + + a, dokažite da je a + a 3 a + + = a S S S 3 S S a 60 Neka je (a ) kovergeta iz Dokažite 6 Izračuajte a + + a = a + + + + + + 6 Odredite sve a R takve da iz s općim člaom kovergira 63 Dokažite da je za p > a = 5 + (a) ( ) p + p + + p = p+ p + 64 Dokažite da je + + + 3 + 3 = e 65 Dokažite da iz s općim člaom a = + + 3 + + l kovergira Njegov es c se zove Euler-Mascheroijeva kostata i c 057756
8 NIZOVI