S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić Ivančica Mirošević Matematika RADNA VERZIJA Zbirka zadataka w w w. f e s b. h r / m a t Split,.
Sadržaj Popis slika Predgovor viii ix. NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje.......................... Metode supstitucije............................. Uvodenje novog argumenta........................ Metoda parcijalne integracije.......................5 Rekurzivne formule............................ 6.6 Integriranje racionalnih funkcija..................... 7.7 Integriranje trigonometrijskih funkcija..................8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom......9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija................ 5. Metoda neodredenih koeficijenata.................... 6. Binomni integral............................. 7. Integriranje razvojem u red....................... 8. Zadaci za vježbu............................. 8. Rješenja zadataka za vježbu........................ ODREDENI INTEGRAL 5. Newton-Leibnitzova formula....................... 5. Supstitucija i parcijalna integracija................... 6. Nepravi integral.............................. 7. Površina ravninskog lika......................... 9.5 Duljina luka ravninske krivulje..................... iii
.6 Volumen rotacionog tijela.........................7 Oplošje rotacionog tijela......................... 5.8 Trapezna formula............................. 6.9 Simpsonova formula........................... 7. Zadaci za vježbu............................. 7. Rješenja zadataka za vježbu....................... 9. Funkcije više varijabli. Područje definicije funkcije........................ Parcijalna derivacija prvog reda..................... 5. Parcijalna derivacija drugog reda.................... 6. Parcijalna derivacija trećeg reda..................... 7.5 Parcijalna diferencijalna jednadžba................... 7.6 Totalni diferencijal prvog reda...................... 7.7 Totalni diferencijal drugog reda..................... 8.8 Derivacija složene funkcije jedne varijable............... 8.9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli.......... 9. Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno......... 5. Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno.... 5. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije............. 5. Tangencijalna ravnina i normala.................... 5. Primjer primjene tangencijalnih ravnina................ 5.5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla................ 5.6 Primjena ekstrema,. primjer...................... 56.7 Primjena ekstrema,. primjer...................... 57.8 Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla................ 58.9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 58. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 6. Problem vezanog ekstrema........................ 6. Primjena vezanog ekstrema,. primjer................. 6. Primjena vezanog ekstrema,. primjer................. 65. Zadaci za vježbu............................. 66.5 Rješenja zadataka za vježbu....................... 68 iv
. Višestruki integrali 7. Područje integracije u dvostrukom integralu.............. 7. Neposredno integriranje u dvostrukom integralu............ 7. Polarne koordinate u dvostrukom integralu.............. 7. Eliptične koordinate u dvostrukom integralu.............. 76.5 Površina ravninskog lika......................... 78.6 Volumen tijela,. primjer........................ 8.7 Volumen tijela,. primjer........................ 8.8 Površina dijela plohe u prostoru..................... 8.9 Područje integracije u trostrukom integralu.............. 8. Neposredna integracija u trostrukom integralu............. 85. Cilindrične koordinate u trostrukom integralu............. 86. Sferne koordinate u trostrukom integralu................ 88. Volumen tijela.............................. 89. Koordinate težišta homogenog tijela.................. 9.5 Zadaci za vježbu............................. 9.6 Rješenja zadataka za vježbu....................... 95 5. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 97 5. Uvod.................................... 97 5. Populacijska jednadžba.......................... 99 5. Logistička jednadžba........................... 5. Jednadžbe sa separiranim varijablama................. 5.5 Homogene diferencijalne jednadžbe................... 5.6 Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene......... 5 5.7 Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor........ 7 5.8 Ortogonalne trajektorije......................... 9 5.9 Singularna rješenja............................ 9 5. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda............. 5. Bernoullijeva diferencijalna jednadžba................. 5 5. Eulerova metoda............................. 6 5. Diferencijalne jednadžbe drugog reda - Opće rješenje......... 7 5. Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda I......... 8 v
5.5 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda II......... 8 5.6 Reduciranje DJ-e drugog reda na DJ-u prvog reda III........ 9 5.7 Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima...... 5.8 Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima..... 5.9 Homogene LDJ višeg reda........................ 5. Princip superpozicije rješenja...................... 5. Metoda varijacije konstanti....................... 5 5. Sustavi diferencijalnih jednadžbi.................... 6 5. Lovac-plijen jednadžba.......................... 8 5. Zadaci za vježbu............................. 9 5.5 Rješenja zadataka za vježbu....................... 6. Metoda najmanjih kvadrata i QR rastav 5 6. Problem najmanjih kvadrata...................... 5 6.. Linearna regresija........................ 5 6. QR rastav................................. 7 6.. QR rastav vektora i matrice................... 7 6.. Rješavanje problema najmanjih kvadrata uz pomoć QR rastava 6.. Zadaci za vježbu......................... 6.. Rješenja zadataka za vježbu................... vi
Popis slika. Površina ravninskog lika (a)........................ Površina ravninskog lika (b)........................ Astroida................................... Bernoullijeva lemniskata..........................5 Duljina luka (a)...............................6 Rotacija parabole y x......................... 5.7 Rotacija parabole y x........................ 6. Područje definicije funkcije z(x,y) + (x y).......... Područje definicije funkcije z(x, y)............ x y. Područje definicije funkcije z(x,y) ln(x+y)............. y x. Područje definicije funkcije z(x, y) ln(x +y )..........5 Područje definicije funkcije z(x,y) arcsin x + xy......... 5.6 Tangencijalna ravnina na plohu z x +y u točki T(,,5)... 5.7 Stožac x + y z i sfera x + y + (z ) (dodiruju se u točkama (,±,±))........................... 5.8 Ploha z xy x y +..................... 55.9 Ploha z e x y (x y )........................ 56. Ploha z x y +xy 6x nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x,y,x+y }.................. 59. Ploha z x y nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x +y }................................ 6. Dio plohe z x+y uz uvjet x +y 5................ 6. Proizvoljni stožac upisan u kuglu polumjera - projekcija....... 6 vii
. Područje integracije D {(x,y) R : x, e x y e x }.. 7. Područje integracije D {(x,y) R : x, x y x}... 7. Područje integracije D D D {(x,y) R : y, x y} {(x,y) R : y 8, x }............. 7. Područje integracije S {(r,ϕ) R : π ϕ π, r }... 75.5 Područje integracije S {(r,ϕ) R : ϕ π, r }.... 77 }.6 Podruǰe integracije S {(x,y) R : (x ) 9 + (y+),y.. 78.7 Tijelo omedjeno plohama z x + y, z, y x, y 6 x i y, te njegova projekcija na xy ravninu................ 8.8 Tijelo odredjeno s z x + y, z (x + y ) i z, te njegova projekcija na xy ravninu......................... 8.9 Odsječakravnineπ...6x+y+z uprvomoktantuinjegova projekcija na yz ravninu.......................... 8. Kugla radijusa sa središtem u ishodištu, te njezina projekcija na xy ravninu................................. 85. Stožac odredjen sa z x +y, z 5, i njegova projekcija na xy ravninu................................. 86. Područje integracije zadano s x +z i y......... 87. Područje integracije V...x +y +z............... 89. Tijelo omedjeno paraboloidom z x +y i ravninom y +z, i njegova projekcija na xy ravninu..................... 9.5 Tijelo omedjeno sferom x +y +z i stošcem z x +y (izvan stošca)................................... 9 y viii
Predgovor Ova zbirka namijenjena je studentima tehničkih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Sveučilišta u Splitu, Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje (FESB). U zbirci je izloženo gradivo kolegija Matematika po sadržaju koji se predaje na FESB-u. Sličan sadržaj nalazi se u većini istoimenih kolegija koji se predaju na tehničkim i prirodoslovnim fakultetima. Zbirka prati gradivo i način izlaganja udžbenika Sveučilišta u Splitu: I. Slapničar, Matematika, te se rješenja zadataka, radi lakšeg praćenja i razumijevanja, referencijraju na odgovarajuće djelove udžbenika. Pored potpuno riješenih zadataka, zbirka sadrži i zadatake za vježbu s rješenjima. Posebnost zbirke je u tome što svaki zadatak ima naslov iz kojeg se vidi što student treba naučiti. Budući se radi o standardnom sadržaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ćemo samo neke od knjiga koje su utjecale na sadržaj, a koje preporučujemo i čitatelju: B. P. Demidović, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike, Tehnička knjiga, Zagreb, 978. P. Javor, Matematička analiza, Zbirka zadataka, Školska knjiga, Zagreb, 989. V. Devide, Riješeni zadaci iz više matematike, svezak II, III, Školskaknjiga, Zagreb, 99. B. Apsen, Riješeni zadaci više matematike, drugi dio, Tehnička knjiga, Zagreb, 98. U izradi zbirke korištena su iskustva i zabilješke bivših i sadašnjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujemo svoju zahvalnost. U Splitu, ožujka. Autori ix
. NEODREDENI INTEGRAL. Neposredno integriranje....................... Metode supstitucije.......................... Uvodenje novog argumenta..................... Metoda parcijalne integracije....................5 Rekurzivne formule......................... 6.6 Integriranje racionalnih funkcija.................. 7.7 Integriranje trigonometrijskih funkcija...............8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom...9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija............. 5. Metoda neodredenih koeficijenata................. 6. Binomni integral.......................... 7. Integriranje razvojem u red.................... 8. Zadaci za vježbu.......................... 8. Rješenja zadataka za vježbu..................... Neposredno integriranje Izračunajte integrale: (a) (b) (c) (d) (e) ( x ) x x, x x +, x +5 x x, sin xcos x, tg x.
NEODREDENI INTEGRAL Rješenje. U računanju primjenjujemo [M, teorem.] i tablicu osnovnih integrala [M,..]. (a) Da bismo mogli primjeniti integral potencije iz tablice osnovnih integrala podintegralu funkciju prvo zapisujemo u jednostavnijem obliku, pa vrijedi ( x ) x ( x ( g)x x x x 5 x7 7 x ( x +7 ) 7 x +C x x 7 +C. + x +C (b) Tablični integral dobivamo nakon što brojniku dodamo i oduzmemo broj, pa vrijedi x x x + + x + x + x tgx+c. (c) Vrijedi x +5 x x ( ) x + 5 5 x ln5 x ln +C. ( ) x ( x ( x 5) ln + ) 5 ln +C (d) Koristeći osnovni trigonometrijski identitet dobivamo sin sin xcos x x+cos x sin xcos x cos x + tgx ctgx+c. sin x (e) Zapisivanjem funkcije tgx u obliku tgx sinx cosx dobivamo ( ) tg x cos x cos x tgx x+c.. Metode supstitucije Izračunajte integrale: (a) x a,
. Metode supstitucije (b) +e x, (c) (d) sin x x, cosx +sinx. Rješenje. Integrale računamo svodeći zadani integral na tablični dopustivom zamjenom varijable integracije nekom funkcijom(bijekcijom) ili dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza novom varijablom integracije. (a) Umjesto x a uvodimo novu varijablu t. Potrebno je promijeniti i koji je u ovom slučaju jednak dt, jer je dt d(x a). { x a t x a dt } dt t ln x a +C. (b) Umjesto +e x uvodimo novu varijablu t, pa vrijedi +e x +e x t e x dt x ln(t ) dt t dt t t t dt dt ln t ln t +C t lne x ln(+e x )+C x ln(+e x )+C. { dt (t )t (t )t A t + B t A B } Osim suspstitucije u ovom zadatku korišten je i rastav na parcijalne razlomke gdje smo razlomak pod integralom (t )t rastavili na dva jednostavnija. (c) Zbog pojave x u podintegralnom izrazu uvodimo zamjenu x t, pa vrijedi sin x x { } x t sint t dt t t dt sintdt cost+c cos x+c. (d) Vrijedi { cosx +sinx t +sinx cos dt } dt t ln t +C ln +sinx +C.
NEODREDENI INTEGRAL. Uvodenje novog argumenta Izračunajte integrale: (a) sinx, (b) (c) (lnx), x x +x. Rješenje. Da bismo zadane integrale sveli na tablične umjesto x uvodimo novi argument, pa umjesto imamo d(noviargument). (a) Novi argument je x, a kako je d(x) integral je potrebno jo pomnožiti s. sinx sinx(x) cos(x)+c. (b) Za novi argument uzimamo ln x, pa vrijedi (lnx) x (lnx) d(lnx) (lnx)5 5 +C. (c) Vrijedi x (+x +x ) x (+x ) x (+x ) d ( +x ) ( +x ) +C. Ovi integrali mogu se rješiti i metodom supstitucije tipa (noviargument) t.. Metoda parcijalne integracije Izračunajte integrale: (a) xe x, (b) (c) xln x, xln +x x,
. Metoda parcijalne integracije 5 (d) (e) x +x, e x sinx. Rješenje. U računaju zadanih integrala koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7]. Ideja je da integral koji se pojavi nakon parcijalne integracije bude jednostavniji od zadanog integrala. (a) U parcijalnoj integraciji uzimamo da je u x i dv e x, jer time x derivacijom postaje čime se integriranje pojednostavnjuje. { } u x dv e xe x x du v e x e x xe x e x xe x e x +C (x )e x +C. (b) Parcijalnu integraciju možemo provoditi i više puta uzastopce, npr. u slijedećem intgralu zadano je ln x, pa nakon dvije parcijelne integracije ln nestaje. { xln u ln x dv } x x du lnx x v x x ln x { } xlnx u lnx dv x du x v x x ln x ( x lnx ) x x ln x 8 x lnx+ 9 6 x +C 7 ( x ln x lnx+ 8 ) +C. 9 (c) Vrijedi xln +x x { u ln +x x du x x x x } dv x x v x +x x ln x x +x x ln x + x +x ln x x +x ln x +x +x ln x +C ( x + ) ln +x x +x+c.
6 NEODREDENI INTEGRAL (d) x u brojinku zapisujemo kao x x, pa slijedi x x x +x +x { u x dv x } +x du x v x +x +x x +x +x x x +x +x d ( +x ) x +x ( x + ) +C. (e) Vrijedi { } e x u e x dv sinx sinx du e x v cosx e x cosx+ e x cosx { } u e x dv cosx du e x v sinx e x cosx+e x sinx e x sinx. Integral koji preostaje izračunati jednak je početnom integralu, označimo ga sa I, pa izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo: iz čega slijedi I e x cosx+e x sinx I, I e x (cosx sinx) I e x sinx ex (cosx sinx)+c..5 Rekurzivne formule Nadite rekurzivnu formulu za integral: I n (a x ) n, n N. Rješenje. Za n vrijedi (a I x ) ) a x (a x +C x x +C.
.6 Integriranje racionalnih funkcija 7 Za n vrijedi { (a I n x ) n u ( a x ) n du nx ( a x ) n x ( a x ) n nx ( a x ) n x ( a x ) n [ ( +n a x )] n +n x ( a x ) n nin +na I n. } dv v x a ( a x ) n Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo traženu rekurzivnu formulu I n x ( a x ) n nin +na I n I n (+n) x ( a x ) n +na I n I n x( a x ) n + na (n+) (n+) I n..6 Integriranje racionalnih funkcija Izračunajte integrale: (a) (b) (c) (d) (e) (f) x +5x, x 5x+7, x x x+, x x x+, x +x+ x +7x+, (+x ). Rješenje. (a) Polinom u nazivniku može se rastaviti na faktore x + 5x x(x+5), pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke [M,..].
8 NEODREDENI INTEGRAL Vrijedi x +5x x(x+5) x(x+5) A x + B x+5 / x(x+5) Ax+5A+Bx A 5 B 5 x 5 x+5 5 5 ln x 5 ln x+5 +C 5 ln x x+5 +C. (b) Polinomx 5x+7nemarealnihnul-točaka,panazivniknemožemorastaviti na faktore. U tom slučaju integral računamo nadopunjavanjem nazivnika do punog kvadrata na slijedeći način: x 5x+7 x 5 x+ 7 d ( ) x 5 ( ) 5 x 5 + 6 6 arctg x 5 6 +C arctg x 5 +C. ( ) x 5 5 6 + 7 (c) Nazivnik se ni u ovom primjeru ne može rastaviti na faktore, pa integral računamo zaspisivanjem brojnika u dva dijela od kojih je jedan derivacija nazivnika, a drugi konstanta. Time dobivamo dva integrala od kojih se prvi može izračunati metodom supstitucije [M vježbe,.] ili uvodenjem novog argumenta [M vježbe,.], dok drugi računamo kao u ovom zadatku pod (b). x x x+ (x )+ x x+ (x ) x x+ x x x+ ( d x x+ ) x x+ ln x x+ (x ) x x+ x x+ ( x arctg x ) + +C.
.6 Integriranje racionalnih funkcija 9 (d) Vrijedi x x x+ ( ) x ( x x+) ( ) x + x x+ x x x+ + ( d x x+) x x+ + 8 ln ( x x+ ) + 8 x x x+ ( ) x + x x+ x x+ ) 9 6 + ( x arctg x +C. (e) Kako je u ovom integralu stupanj brojnika podintegralne funkcije veći od stupnja nazivnika, prvo provodimo dijeljenje polinoma, a zatim integral rastavljamo na dva, od kojih je prvi tablični integral potencije, a drugi se svodi na neki od prethodnih slučajeva. x +x+ I x +7x+ ( x +x+ ) : ( x +7x+ ) x 7.. ost.8x+86 (x 7) + 8x+86 x x +7x+ 7x+I Integral označen sa I računamo posebno. Kako su x i x nultočke polinoma x + 7x +, nazivnik se može rastaviti na faktore, pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke. 8x+86 x +7x+ 8x+86 (x+)(x+) { (x+)(x+) A x+ + B x+ A 8 B 66 8 d(x+) x+ +66 } d(x+) x+ 8ln x+ +66ln x+ +C. Konačno rješenje je x +x+ x I x +7x+ 7x 8ln x+ +66ln x+ +C. (f) Slijedeći integral računamo dodavanjem i oduzimajnem x u brojniku, pa
NEODREDENI INTEGRAL vrijedi +x (+x ) x (+x ) +x (+x ) (+x ) x (+x ) x (+x ) arctgx I. Integral označen sa I računamo posebno koristeći parcijalnu integraciju, x (+x ) x x (+x ) { u x dv x } (+x ) du v d(+x ) (+x ) (+x ) x (+x ) + +x x (+x ) + arctgx+c. pa je konačno rješenje (+x ) arctgx+ x (+x ) +C..7 Integriranje trigonometrijskih funkcija Izračunajte integrale: (a) (b) (c) cos 5 x, cosxcosxcos5x, sinx cosx+5, (d) cos x+cos 5 x sin x+sin x. Rješenje.
.7 Integriranje trigonometrijskih funkcija (a) Vrijedi cos 5 x cos xcos x cos x ( sin x ) cos x cos xsin x cosx ( sin x ) cos xsin x cosx cosxsin x cos xsin x sinx I I. Integrale označene sa I i I računamo posebno koristeći jednostavne supstitucije. { } I cosxsin sinx t x cosx dt t dt t +C sin x +C. { } I cos xsin sinx t x cosx dt t ( t ) dt t dt t dt t t5 5 +C sin x sin5 x +C. 5 pa je konačno rješenje cos 5 x sinx sin x sin x + sin5 x +C 5 sinx sin x + sin5 x 5 (b) Podintegralu funkciiju prvo raspišemo pomoću trigonometrijskih formula pretvorbe, pa vrijedi cosxcosxcos5x (cosx+cosx)cos5x cosxcos5x+ cosxcos5x (cosx+cos6x) + (cosx+cos8x) ( ) cosx+ cos6x+ cosx+ cos8x ( sinx + sin6x + sinx + sin8x ) +C 6 8 sinx + sinx + sin6x + sin8x +C. 8 6 +C.
NEODREDENI INTEGRAL (c) Integral računamo koristeći univerzalnu trigonometrijsku supstituciju [M,.5.]. } { tg x sinx cosx+5 t sinx t +t dt +t cosx t +t dt +t t +t t dt 6t +t+ +t +5 dt ( ) t+ + 5 9 arctg tgx + +C. 5 5 dt +t t +t +5+5t +t dt ( t + t+ arctg t+ +C 5 5 (d) U računanju integrala umjesto univerzalne trigonometrijske supstitucije koristit ćemo pojednostavnjenu supstituciju za racionalne funkcije sa svojstvom R(sinx, cosx) R(sinx,cosx). cos x+cos 5 x sin x+sin x R(sinx, cosx) R(sinx,cosx) sinx t cosx dt cos x ( +cos x ) sin x ( +sin x ) cos x ( +cos x ) cosx sin x ( +sin x ) ( )( t + t ) ( )( t t ) t (+t dt ) t (+t dt ) ( t t + t t + ) : ( t +t ) t dt +t. ost.t + t + dt+ t (+t ) dt { } t + t (+t ) A t + B t + Ct+D t + A, B, C, D 6 t+ t dt+ ) 6 t + dt t t 6arctgt+C..8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom Izračunajte integrale:
.8 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom supstitucijom (a) x(+ x+ x), (b), (x+) (x+) (c). (x ) (x+) 5 Rješenje. (a) Ovakav integral rješavamosupstitucijom x t k, gdje je k najmanji zajednički višekratnik nazivnika eksponenata od x koji se pojavljuje u podintergalnoj funkciji. { } x(+ x+ x) x t 6 6t 5 dt 6t 5 dt t 6 (+t +t ). ost. 6 6 6dt t(+t +t ) ( t +t + ) ( t t +t + ) : (t+) t t+ dt t(t+)(t t+) { t(t+)(t t+) A t + B t+ + Ct+D t t+ A, B, C, D dt t +6 dt t+ 9 6ln t ln t+ I 6ln 6 x ln 6 x+ I } t 6 t t+ dt
NEODREDENI INTEGRAL Integral označen sa I računamo posebno kao integral racionalne funkcije. t 6 I t t+ dt t t t+ dt t t t+ dt+ t t+ dt ln( t t+ ) + t t+ dt ln( t t+ ) + dt ln( t t+ ) + ( t arctg t 7 ) + 7 6 7 +C ln( t t+ ) + 6 7 arctgt +C 7 ln( x 6 x+ ) + 6 7 arctg 6 x 7 +C pa je konačno rješenje x(+ x+ x) 6ln 6 x 6 x+ ln ln( x 6 x+ ) 6 7 arctg 6 x +C. 7 (b) Vrijedi (x+) (x+) { x+ t 6 t 5 } x t6 t 6 x+ t 5 dt t t t dt t t + dt t ( t++ ) dt (t+) dt+ t t dt t +t+ln t +C x++ 6 x++ln 6 x+ +C.
.9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija 5 (c) Vrijedi ( ) (x ) (x+) 5 x+ x (x ) (x+) (x ) (x )(x+) x+ { x x+ } t t dt ( t ) x +t t t t t t t ( t ) dt dt t+c x x+ +C..9 Eulerova i trigonometrijska supstitucija Izračunajte integrale: (a) + x +x+, (b) x x, Rješenje.
6 NEODREDENI INTEGRAL (a) U računanju integrala koristimo Eulerovu supstituciju [M,.7.], pa vrijedi x +x+ t x + x +x+ x t t+ t +t+ dt (t+) t +t+ (t+) dt +t t t+ t +t+ (t+) dt t++t +t t + (t+) t +t+ t+ t +t+ dt t +t+ (t+) (t+) dt t +t+ A (t+) (t+) t+ + B t+ + C (t+) t +t+ A(t+) +B(t+)(t+)+C(t+) A, B, C dt t+ dt (t+) ln t+ (t+) d(t+) ln t+ +(t+) +C ln x +x++x+ +( x +x++x+) +C. (b) Izraz pod korijenom nadpounjavamo do punog kvadrata, a zatim uvodimo dvije supstitucije x x { } (+x) x+ t dt t { } t sinz dt dt coszdz coszcoszdz cos zdz (+cosz)dz (z + ) sinz +C ( ) z +sinz sin z +C arcsin t +t t +C arcsin x+ +(x+) (x+) +C arcsin x+ + x+ x x +C.. Metoda neodredenih koeficijenata Izračunajte integral x +x+ x +x.
. Binomni integral 7 Rješenje. Iz formule za metodu neodredenih koeficijenata [M,.7.], slijedi I x +x+ x +x (a x+a ) x +x+λ x +x. Deriviranjem po x dobivamo x +x+ x +x a x+ x +x+(a x+a ) x +x + λ x +x Pomnožimo li cijeli izraz sa x +x dobivamo x +x+ a x +x+(a x+a )( x)+λ Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo a a a +a a a +λ iz čega slijedi a,a 5,λ. Integral I sada je jednak ( I ) x x 5 +x+ ( ) x x 5 +x+ x +x (x ) ( ) x x 5 +x+arcsin x +C.. Binomni integral x Izračunajte integral x x Rješenje. Integral rješavamo supstitucijom za binomni integral [M,.7.]. U ovom je slučaju m+ n cijeli broj ( m,n ),p, pa koristimo supstituciju
8 NEODREDENI INTEGRAL x t. x x x x x x x m+ n Z x t x tdt tt dt t+c x x+c.. Integriranje razvojem u red Riješite integral ( ) x sinx razvojemuredpotencija,koristećirazvojsinx Rješenje. Zadanapodintegralnafunkcijajesinx, pakoristećizadanirazvojsinusa dobivamo iz čega slijedi sinx n ( ) n ( x ) n+ (n+)! ( )n x n+ (n+)! x x6! + x x + +( ) n x (n+) 5! 7! (n+)! + n ( ) n x n+ (n+)!. sinx [x x6! + x x + +( ) n x n+ ] 5! 7! (n+)! + x x7 7! + x 5! x5 x n+ 5 7! + +( )n (n+)(n+)! + ( ) n x n+ (n+)(n+)!. n. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale:.. x +5x x x+ 5 x x
. Zadaci za vježbu 9.. 5. 6. x +a a x e cosx sinx x 5+x 7. 8. 9...... 5. 6. 7. 8. 9.. x+lnx x e x ex cosx sinxcosx sin x cos x cos 5 x sinx e arctanx +xln(+x )+ +x x e x (x +x+)e x lnx lnx x x x x arccosx (x +a )
NEODREDENI INTEGRAL.... 5. 6. 7. 8. 9...... 5. 6. 7. 8. cos(lnx) x +6x+5 (x +x+) x x +5x + x x x+ x 5 7x x x+ x x +x x +x x+ x +x sin x sin xcos x sinx(cos x ) sin xcos x sin xcos x sinxcos5x sin xcos x sin x+cos x sinx sin 8 x+cos 8 x sinx(+cosx sinx)
. Zadaci za vježbu 9...... 5. 6. 7. cos x sin x+sinx sin xcosx sinx+cosx sin xcos x x+ x + 6 x x(+. x) + x x+ + x+. x ( 7x x ). x x x+. x +. 8. 9. 5. 5. 5. x x+. x +x x. x +x +x+ x +x+ x( x+). + x x.. 5. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n sin n x. Koristeći se dobivenim rezultatom izračunajte vrijednost integrala sin x. 5. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n (lnx) n. 55. Odredite rekurzivnu formulu za integral I n x n e ax. 56. Razvijte u red potencija funkciju ln( + x) pomoću +x. ln(+x) 57. Odredite razvojem podintegralne funkcije u red potencija. x
NEODREDENI INTEGRAL. Rješenja zadataka za vježbu. ( x 5+5x+x ) +C 5 x. 5ln 5 x ln5 +C arctg ( ) x a. +C a ( x. arctg )+C a x 5. ecosx +C 6. ( 5+x ) +C 7. x+ ln x +C 8. 6 ln +sinx +C 9. ln(cosx)+ln(sinx)+c... x sin(x)+c (x+cosxsinx)+c (sinx) 7 (sinx) 7 (sinx) +C. e arctgx +arctgx+ ln( +x ) +C. e x( x+x ) +C 5. e x( +x ) +C 6. x+xln x +C 7. +ln x x +C 8. x ( +x ) +C 9. x 9 ( +x ) + arccosx+c x. a (a +x ) + arctg ( x a) a +C
. Rješenja zadataka za vježbu. x(cos(ln x )+sin(ln x ))+C. arctg(x+)+c. x+ arctg 5 + x+ 8x +x+ +c. x+ arctgx 8 arctg x+c 5. 9 ln x 9 ln x+ x +c 6. 7 x+ 9 ln x 5 7 +c 7. ln x ln x x +c 8. ln x ln x+ +ln x x+ + arctg x +c 9. 8 x sinx+ sinx+c. ctg x ctgx+tgx+ tg x+c + cosx. ln cosx ln +cosx cosx +c. sin x sin x+c. ctgx+tgx+ tg x+c. cosx 6 cos8x+c 5. 8ctgx 8 ctg x+c 6. 7. 8. arctg tgx +c cosx+7+ ln cosx+7 +c tg ln x ln tg x + 5 tg ln x +c 9. ln sinx sinx+c. ln sinx+cosx cosx(sinx+cosx)+c
NEODREDENI INTEGRAL.. 6 x 9 sin6x 9 sinx+ 576 sin8x+c x +arctg 6 x+c.. x ln + x +c.. 6 6 7 (x+)7 6 + 5 (x+)5 6 + (x+) (x+) (x+) +6(x+) ln x++ 6arctg 6 x++c. 5. 9 x 7x x 7x x 9 +c. x 6. ln x x+ x ln x x+ x+ + x x+ x+ + c. x 7. arctg + +x +c 8. x +x ( x ) x x++ ln x + x x+ +c. 9. ( x 5 9( x g) +x x +arcsin x +c. 6 6 ( 5. x + 6 x+ 7 ) x +x++ 5 6 ln x++ x +x+ +c. 5. ( x+) 8 + 9( x+) 9 +c. 5. (+ x) +c. 5. I n n cosxsinn x+ n n I n, n, I sin xcosx 8 sinxcosx+ 8 x+c. 5. I n xln n x ni n. 55. I n a xn e ax n a I n. 56. ln(+x) 57. n n ( ) n xn+ ( ) n xn+ n+, x,]. (n+), x,]. 6 +
. ODREDENI INTEGRAL. Newton-Leibnitzova formula.................... 5. Supstitucija i parcijalna integracija................ 6. Nepravi integral........................... 7. Površina ravninskog lika...................... 9.5 Duljina luka ravninske krivulje...................6 Volumen rotacionog tijela......................7 Oplošje rotacionog tijela...................... 5.8 Trapezna formula.......................... 6.9 Simpsonova formula........................ 7. Zadaci za vježbu.......................... 7. Rješenja zadataka za vježbu.................... 9. Newton-Leibnitzova formula Izračunajte integral Rješenje. Vrijedi x x +x+. x x +x+ x (x+)(x+) { x (x+)(x+) A x+ + B x+ A,B x+ ln x+ x+ ln x+ (ln ln) (ln ln) ln ln ln 9 8. }
6 ODREDENI INTEGRAL. Supstitucija i parcijalna integracija Izračunajte integrale: (a) (+x), (b) x, x (c) e ln(x+).. Rješenje. (a) Vrijedi { +x t (+x) dt 7 dt t t 7 x t 7 } 7 + 7. (b) Koristimo formulu parcijalne integracije [M, teorem.7], pa slijedi { x x x cost sintdt π x t sint cos t sintdt π π cos t cos t } dt tgt π +t π π.
. Nepravi integral 7 (c) Vrijedi e { } u ln(x+) dv ln(x+) du x+ v x xln(x+) (e )lne e e x e e e e e x x+ x+ x+ e +ln x+ e (e )+lne. x+ e. Nepravi integral Izračunajte slijedeće integrale: (a) x x +, (b) x +x+5, (c) x. Rješenje.
8 ODREDENI INTEGRAL (a) Vrijedi b x x + lim b x x + x + t x t (t ) t dt x + (t x) t + t dt x t lim b t b ++b + t t t + t dt ( t t t ) lim b b ++b + x b t + b ++b t + t dt t t t + t lim b b ++b + dt t lim b b ++b + dt t lim ln t b ++b b t+ + b ++b lim ln b b ++b+ ln + ++ b ++ lim ln b b b +++ ln + b + ( ln ln ln ln + ). + (b) Vrijedi x +x+5 lim a a lim a a b x +x+5 + lim b b (x+) + + lim b lim arctg(x+) a a x +x+5 (x+) + b + lim arctg(x+) b lim [arctg arctg(a+)]+ lim [arctg(b+) arctg] a b arctg+ π + π arctg π.
. Površina ravninskog lika 9 (c) Vrijedi x pa integral divergira. x + x lim ǫ lim ε x + lim δ ( lim ε ε + lim δ δ lim ε ǫ ε x ) + lim δ +δ x + lim δ ( + ε ε, ) +δ x. Površina ravninskog lika Izračunajte površinu lika omedenog krivuljama: (a) y x,x,x i osi x, (b) x +y i y x unutar parabole, { x acos (c) t y asin,t [,π], (astroida), t (d) r a cos(ϕ),ϕ [,π], (Bernoullijeva lemniskata). Rješenje. (a) Prema slici. vrijedi P x x 8 +. (b) Sjecišta krivulja x +y i y x su točke A(,) i B(,), (slika.), pa vrijedi P ( x x ) x x. Prvi se integral rješava parcijalnom integracijom [M, teorem.7], pa je P (x x +arcsin x ) x ( +arcsin ) ( +arcsin ( ) + ) + π.
ODREDENI INTEGRAL.5 y.5.5.5.5 x Slika.: Površina ravninskog lika (a) (c) Na slici. vidimo da se cijela površina P može računati kao P. Za računanje P korist ćemo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana parametarski [M,.6..]. P asin t acos t( sint) dt π/ a 8 a π/ π/ sin tcos tdt a π/ [ sin (t) sin (t)cos(t) ] dt π/ 6 a [ cos(t)] dt 8 a 6 a t π/ 6 aπ a π, 6 a sin(t) ( ) sin(t) cos(t) π/ π/ sin (t) d(sin(t)) (t) 6 asin π/ dt
.5 Duljina luka ravninske krivulje.5 y B A.5.5 x.5.5.5.5.5 Slika.: Površina ravninskog lika (b) pa je P P a π a π 8. (d) Na slici. vidimo da se cijela površina P može izračunati kao P, gdje je P (koristimo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana u polarnim koordinatama [M,.6..]) pa je P a π/ r dϕ cos(ϕ) π/ π/ a cos(ϕ)dϕ a sin(ϕ) a ( cos π cos ) a, π/ P P a a..5 Duljina luka ravninske krivulje (a) Nadite opseg lika omedenog krivuljama: y x i y x, { x (b) Izračunajte duljinu luka krivulje t t y t, t [,]. +
ODREDENI INTEGRAL Slika.: Astroida Rješenje. (a) Krivulje y x i y x se sijeku u točkama A(,) i B(,). Ukupnu duljinu luka računat ćemo kao l (l +l ), (vidi sliku.5), koristeći formulu za duljinu luka krivulje [M,.6..], pa je i l iz čega slijedi + 9 ydy 8 (+9y) l 7 (+9y) dy ( ) 8 + x x arcsin x l [ 7 π, (+9y) 9 d(+9y) x ( ] ) 8 + π 5..
.6 Volumen rotacionog tijela Slika.: Bernoullijeva lemniskata { x (b) Za t t y t je x(t) t i y(t) t, pa iz formule za duljinu luka + krivulje zadane u polarnim koordinatama [M,.6..] slijedi l (t ) +t dt ( t + ) ( ) t dt +t. t t ++t dt (t +) dt.6 Volumen rotacionog tijela (a) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog parabolom: y x, osi y i pravcem y oko osi y. { x acos (b) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide t y asin t osi y. oko
ODREDENI INTEGRAL Slika.5: Duljina luka (a) Rješenje. (a) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela koje nastaje rotacijom krivulje [M,.6.], za krivulju x y u granicama od do koja rotira oko oko osi y, vidi sliku.6, dobivamo V π ( y) dy π y π. (b) Koristeći formulu za volumen rotacionog tijela { koje nastaje rotacijom krivulje x acos zadane parametarski [M,.6.], za krivulju t y asin (astroida), oko t
.7 Oplošje rotacionog tijela 5.5 y.5 x.5.5.5.5.5 Slika.6: Rotacija parabole y x osi y, i koristeći simetriju astroide dobivamo V π 6πa 6πa π/ { a cos 6 t asin tcostdt ( t ) t dt 6πa ( t t +t 6 t 8) dt 6πa ( t 6πa ( 5 + 7 9 ) u sint du costdt ( t t +t 6 t 8) dt 6πa 6 5 πa 5. t5 5 + t7 7 t9 9 t π u ) }.7 Oplošje rotacionog tijela Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom luka parabole y x, oko osi x, od x do x. Rješenje. Koristeći formulu za oplošje rotacionog tijela [M,.6.] i prema slici.7 dobivamo
6 ODREDENI INTEGRAL 5 y x 5 5 6 Slika.7: Rotacija parabole y x b P π π a y(x) +[y (x)] π x +x x π (+x) x 8π + x ( 5 )..8 Trapezna formula Primjenom Trapezne formule [M,.7.] izračunajte integral I lnx, podijelom na 5 intervala. Rješenje. pa je n 5 x i b a n. h 5 x i a+ih, h., i,,...n.
.9 Simpsonova formula 7 iz čega slijedi Integral je sada x, x., x., x.6, x.8, x 5. [ ] f (x )+f (x 5 ) I lnx. +f (x )+f (x )+f (x )+f (x ) [ ] +.69. +.8+.67+.7+.58778.86..9 Simpsonova formula Primjenom Simpsonove { formule [M,.7.] za n izvedite približnu formulu za x acost duljinu luka elipse, t [, y bsint ] π. Rješenje. I s b a 6n {f (x )+f (x n )+[f (x )+...+f (x n )]+[f (x )+f (x n )]}. U našem je slučaju pa je n x, x π, x π. iz čega slijedi a +b f (x ) b, f (x ), f (x ) a. ( l π ) a +b b+a+.. Zadaci za vježbu Izračunajte integrale:. π sin x cos x
8 ODREDENI INTEGRAL... 5. 6. 7. 8. e ln5 π π x x +lnx + x e x e x e x + xcosx xsinx cos x e x sin(πx) Izračunajte neprave integrale (ili ustanovite njihovu divergenciju): 9... a e x x x +x+9. Izračunajtepovršinulika omedenog parabolom y x x i pravcemy x.. Izračunajte površinu lika omedenog parabolom y x i pravcem x+y 5.. Izračunajte površinu lika omedenog kardioidom r a( + cos ϕ). 5. Izračunajte duljinu luka krivulje y (x ) izmedu točaka A(, ), B(5, 8). 6. Izračunajte duljinu luka krivulje x e t cost, y e t sint od t do t lnπ. 7. Izračunajte duljinu luka krivulje r acos ϕ od ϕ do ϕ π. 8. Izračunajte duljinu luka kardioide r a( + cos ϕ). 9. Izračunajte volumen tijela koje nastaje kada luk parabole y x, x [,5], rotira oko osi y.. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom jednog svoda cikloide x a(t sint), y a( cost) oko osi x.
. Rješenja zadataka za vježbu 9. Izračunajte oplošje tijela koja nastaje rotacijom oko osi x jednog poluvala sinusoide y sinx.. Koristeći trapeznu formulu, n, izračunajte vrijednost integrala gdje je. Izračunajte integral 9 f(x) { sinx x, x >, x. π f(x), 6x 5 primjenom Simpsonove formule (n 8).. Rješenja zadataka za vježbu. π... ln 5. π π 6. 7. 8. 9. e a π π π + +e e. Integral divergira.. π 5. P 9.. P.. P a π. 5. l 7.6. 6. l (π ).
ODREDENI INTEGRAL 7. l a 8 (π + ). 8. l 8a. 9. V π.. V 5π a. [ ]. P π +ln( +).. I.8.. I 7.9655.
. Funkcije više varijabli. Područje definicije funkcije..................... Parcijalna derivacija prvog reda.................. 5. Parcijalna derivacija drugog reda................. 6. Parcijalna derivacija trećeg reda.................. 7.5 Parcijalna diferencijalna jednadžba................ 7.6 Totalni diferencijal prvog reda................... 7.7 Totalni diferencijal drugog reda.................. 8.8 Derivacija složene funkcije jedne varijable............ 8.9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli....... 9. Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno...... 5. Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno. 5. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije.......... 5. Tangencijalna ravnina i normala................. 5. Primjer primjene tangencijalnih ravnina............. 5.5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla............. 5.6 Primjena ekstrema,. primjer................... 56.7 Primjena ekstrema,. primjer................... 57.8 Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla............. 58.9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer................................. 58. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer................................. 6. Problem vezanog ekstrema..................... 6. Primjena vezanog ekstrema,. primjer.............. 6. Primjena vezanog ekstrema,. primjer.............. 65. Zadaci za vježbu.......................... 66.5 Rješenja zadataka za vježbu.................... 68. Područje definicije funkcije Odredite područje definicije funkcija:
Funkcije više varijabli (a) z(x,y) + (x y), (b) z(x,y) x y, (c) z(x,y) ln(x+y), y x (d) z(x,y) ln(x +y ), (e) z(x,y) arcsin x + xy. Rješenje. (a) Da bi zadana funkcija bila dobro definirana mora vrijediti to jest (x y), (x y). To je ispunjeno samo kada je x y, odnosno y x, pa je područje definicije zadane funkcije dano sa D { (x,y) R y x } (Slika.). y 8 yx 8 8 x 8 Slika.: Područje definicije funkcije z(x,y) + (x y) (b) Zadana funkcija definirana je na području D R koje je odredeno nejednadžbom x y >, odnosno (Slika.) D { (x,y) R x +y < }. (c) Funkcija ln(x+y) definirana je za sve točke (x,y) R za koje je x+y >, odnosno na području (Slika.) D { (x,y) R y > x }.
. Područje definicije funkcije y x y x Slika.: Područje definicije funkcije z(x, y) x y y 8 8 8 x y-x 8 Slika.: Područje definicije funkcije z(x,y) ln(x+y)
Funkcije više varijabli (d) Da bi zadana funkcija bila dobro definirana moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti: y x, x +y > i ln(x +y ). Dakle, zaključujemo da je područje definicije zadane funkcije odredeno sa D { (x,y) R (y x) (x +y > ) (x +y ) }. (Slika.) y y x x y x y x Slika.: Područje definicije funkcije z(x, y) y x ln(x +y ) (e) Prema definiciji funkcije arcsin [M,.6.6] zaključujemo da domena zadane funkcije mora ispunjavati sljedeće uvjete: x, xy. Drugi uvjet je ispunjen ako su x i y istog predznaka. Dakle, (Slika.5) D { (x,y) R (( x ) (y )) (( x ) (y )) }.
. Parcijalna derivacija prvog reda 5 y 5 5 x Slika.5: Područje definicije funkcije z(x,y) arcsin x + xy. Parcijalna derivacija prvog reda Odredite parcijalne derivacije prvog reda za sljedeće funkcije: ( (a) z(x,y) ln sin x+a ), y (b) u(x,y,z) (xy) z. Rješenje. Tražene derivacije odredit ćemo primjenom već poznatih pravila deriviranja, [M, 5..], ali na način da, kada funkciju z(x, y) deriviramo po varijabli x, varijablu y tretiramo kao konstantu i obrnuto. (a) z x (x,y) sin x+a cos x+a ctg x+a. y y y y y Analogno vrijedi: z y (x,y) x+a x+a ctg. y y (b) u x (x,y,z) zy(xy)z, u y (x,y,z) zx(xy)z i u z (x,y,z) (xy)z ln(xy).
6 Funkcije više varijabli. Parcijalna derivacija drugog reda Odredite parcijalne derivacije drugog reda za funkcije: (a) f(x,y) x y, (b) f(x,y) (+x) m (+y) n u točki T(,) (m,n N). Rješenje. (a) Odredimo najprije parcijalne derivacije prvog reda zadane funkcije. Vrijedi f x (x,y) yxy i f y (x,y) xy lnx. Sada je prema [M, definicija.8] f x (x,y) ( yx y ) y(y )x y, x f x y (x,y) x (xy lnx) yx y lnx+x y, f y (x,y) y (xy lnx) x y (lnx). (b) Parcijalnederivacijeprvogredafunkcijef uproizvoljnojtočki(x,y) D f glase: f x (x,y) m(+x)m (+y) n, f y (x,y) n(+x)m (+y) n. Parcijalne derivacije drugog reda funkcije f u proizvoljnoj točki (x,y) D f su: f x (x,y) m(m )(+x)m (+y) n, f x y (x,y) mn(+x)m (+y) n, f y (x,y) n(n )(+x)m (+y) n. Prema tome, vrijednosti parcijalnih derivacija drugog reda funkcije f u točki T(,) su: f x(,) m(m ), f x y (,) mn, f y(,) n(n ).
. Parcijalna derivacija trećeg reda 7. Parcijalna derivacija trećeg reda Za funkciju u(x,y,z) e xyz odredite Rješenje. u x y z (x,y,z). Prema Teoremu [M, teorem.] vrijednost tražene derivacije ne ovisi o redoslijedu deriviranja po pojedinim varijablama pa redoslijed deriviranja biramo proizvoljno. Ovdje ćemo funkciju u derivirati najprije po varijabli z. Vrijedi u z (x,y,z) xyexyz. Dobivenu derivaciju zatim deriviramo po varijabli y. Slijedi u y z (x,y,z) y (xyexyz ) (x yz +x)e xyz. Derivirajmo još po varijabli x. Vrijedi u x y z (x,y,z) [( x yz +x ) e xyz] ( x y z +xyz + ) e xyz. y.5 Parcijalna diferencijalna jednadžba Riješite parcijalnu diferencijalnu jednadžbu z (x,y). x y Rješenje. Do tražene funkcije z z(x, y) doći ćemo ako zadanu diferencijalnu jednadžbu integriramo uzastopce dva puta. Integrirajmo ju najprije po varijabli x. Slijedi z y (x,y) +ϕ(y) ϕ(y), (.) gdje je ϕ(y) funkcija u varijabli y koju, prilikom integriranja po varijabli x, prepoznajemo kao konstantu. Integrirajmo sada jednakost (.) po varijabli y. Dobivamo traženo rješenje z(x,y) ϕ(y)dy +ψ(x), gdje je ψ(x) funkcija u varijabli x koja se pojavljuje kao konstanta pri integriranju po varijabli y..6 Totalni diferencijal prvog reda Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije z(x,y) x +xy y. Rješenje.
8 Funkcije više varijabli Prema definiciji [M, definicija.9] totalni diferencijal prvog reda za funkciju dviju varijabli z z(x, y) izračunavamo po formuli Budući da je dz(x,y) z z (x,y)+ x y (x,y)dy. z x (x,y) x+y i z (x,y) x y, y dobivamo da je totalni diferencijal prvog reda zadane funkcije dz(x,y) (x+y)+(x y)dy..7 Totalni diferencijal drugog reda Odredite totalni diferencijal drugog reda funkcije z(x, y) ln(x + y). Rješenje. Da bismo izračunali totalni diferencijal drugog reda, prema [M, definicija.], odredit ćemo parcijalne derivacije prvog i drugog reda zadane funkcije. Vrijedi z x (x,y) x+y, z y (x,y) x+y, z x (x,y) z x y (x,y) z y (x,y) (x+y). Dakle, nakon uvrštavanja dobivenih derivacija u slijedi d f(x,y) f xx (x,y)() +f xy (x,y)dy +f yy (x,y)(dy), d z(x,y) (x+y) () (x+y) dy (x+y) (dy) (x+y) (+dy)..8 Derivacija složene funkcije jedne varijable Odredite derivaciju dz (t) ako je: dt (a) z(x,y) x y, x et, y lnt; (b) z(x,y) e x y, x sint, y t. Rješenje. Primijenjujemo [M, teorem.5]:
.9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli 9 (a) dz z (t) dt x dt + z y dy dt y et + ( xy ) t y et x y t ytet x y tet lnt e t t tln t et (tlnt ) tln. t (b) dz z (t) dt x dt + z y dy dt ex y cost+e x y ( ) t e sint t (cost 6t ).9 Parcijalne derivacije složene funkcije dviju varijabli Odredite parcijalne derivacije z z (u,v), (u,v) ako je: u v (a) z(x,y) x lny, x u v, y u v; (b) z(x,y) x y, x u v, y e uv. Rješenje. Primjenom [M, teorem.5] slijedi (a) z z (u,v) u x x u + z y y u xlny v + x y u v ln(u v)+ u v (u v). (b) z z (u,v) v x x v + z y y v xlny u v x y u v ln(u v) u v (u v) z z (u,v) u x x u + z y y u yxy u+x y lnx ve uv e uv (u v ) euv u+(u v ) euv ln(u v )ve uv z z (u,v) v x x v + z y y v yxy ( v)+x y lnx ue uv e uv (u v ) euv ( v)+(u v ) euv ue uv ln(u v ).
5 Funkcije više varijabli. Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno Odredite derivaciju prvog i drugog reda funkcije y f(x) zadane implicitno sa z(x,y) y xarctg y x. Rješenje. Deriviranjem jednakosti z(x,y) po varijabli x dobivamo iz čega slijedi z x + z dy y, y dy z x. Izračunajmo najprije parcijalne derivacije funkcije z po varijablama x i y. Vrijedi ( ) z (x,y) arctg y x x y ( arctg y x+ y x xy ) x +y, x z y (x,y) y x x +y. Sada je y z y ( ) arctg y x xy x +y. y x x +y Iz jednakosti y xarctg y x slijedi arctg y x y. Uz tu zamjenu, sredivanjem x izraza za y dobivamo da je y y. Za drugu derivaciju funkcije y f(x) vrijedi x ( y ) y y y x y x x x x y x.. Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli zadane implicitno Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije z f(x, y) zadane implicitno sa x +y +z. Rješenje. Zadanu implicitnu jednadžbu ćemo zapisati u obliku F(x,y,z) x +y +z. Sada je F x x, F y y i F z z. Prema formuli za derivaciju implicitno zadane funkcije dviju varijabli [M, definicija.] slijedi z x (x,y) x z, z y (x,y) y z.
. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije 5. Totalni diferencijal implicitno zadane funkcije Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije z f(x, y) zadane implicitno sa x +y +z a, a je konstanta. Rješenje. Prema formuli za totalni diferencijal prvog reda funkcije dviju varijabli [M, definicija.9] zaključujemo da moramo izračunati parcijalne derivacije funkcije z. Zapišemo li zadanu implicitnu jednadžbu u obliku F(x,y,z) x + y + z a dobivamo F x x, F y y, F z z, odnosno z x (x,y) x z i z y (x,y) y z. Dakle, slijedi dz(x,y) z (+dy).. Tangencijalna ravnina i normala Odredite tangencijalnu ravninu i normalu na plohu z x +y u točki T(,,z ). Rješenje. Budući da točka T pripada zadanoj plohi vrijedi z +( ) 5, tj. točka T ima koordinate T(,,5). Prema fomuli za jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu z f(x, y) u točki (x,y ) [M,.7] z z f x (x,y )(x x )+ f y (x,y )(y y ) slijedi z 5 (x )+( )(y +), tj. tražena tangencijalna ravnina na zadani paraboloid (Slika.6) ima jednadžbu x y z 5. Jednadžba normale na plohu z f(x,y) u točki (x,y ) plohe dana je s x x f x (x,y ) y y f y (x,y ) z z. pa je tražena normala x y + z 5.
5 Funkcije više varijabli 5 5 5 5 Slika.6: Tangencijalna ravnina na plohu z x +y u točki T(,,5). Primjer primjene tangencijalnih ravnina Pokažite da se stožac x a + y b z c i sfera x +y + (z b +c ) b c c (b +c ) dodiruju u točkama (,±b,c). Rješenje. Ono što trebamo pokazati jest da u točkama (,±b,c) stožac i sfera imaju istu tangencijalnu ravninu! Odredit ćemo tangencijalne ravnine stošca i sfere u točki (,b,c). Dokaz za točku (, b,c) je potpuno analogan. Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu zadanu implicitno s F(x,y,z) glasi F x (x,y,z )(x x )+ F y (x,y,z )(y y )+ F z (x,y,z )(z z ). Zapišimo jednažbe stošca i sfere na sljedeći način F (x,y,z) x a + y b z c, F (x,y,z) x +y + (z b +c c ) b c (b +c ). Neka su T i T tangencijalne ravnine na stožac i sferu, respektivno, u točki (,b,c). Tada, primjenom formule za jednadžbu tangencijalne ravnine implicitno zadane
.5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla 5 plohe, dobivamo da za T vrijedi Za T imamo b c b(y b) c(z c) y b z c + y b z c. b(y b)+ (c b +c ) (z c) c by b c z y b z c. Dakle, pokazali smo da stožac i sfera u točki (, b, c) imaju zajedničku tangencijalnu ravninu tj. da se dodiruju u toj točki (Slika.7). Slika.7: Stožac x +y z i sfera x +y +(z ) (dodiruju se u točkama (,±,±)).5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla Odredite lokalne ekstreme funkcija:
5 Funkcije više varijabli (a) f(x,y) xy x y +, (b) f(x,y) e x y (x y ). Rješenje. Lokalne ekstreme odredivat ćemo prema postupku opisanom u [M,.]. (a) Odredimo najprije parcijalne derivacije prvog reda funkcije. Vrijedi: f x (x,y) y 6x i f (x,y) x y. y Prema nužnom uvjetu postojanja ekstrema [M, teorem.7] mora biti y x x y. Rješenje sustava je stacionarna točka S(,). Da bismo provjerili dovoljne uvjete ekstrema odredit ćemo parcijalne derivacije drugog reda funkcije f u točki S. Imamo f (x,y) 6, x f x y (x,y), f (x,y), y odnosno f (,) 6, x f x y (,), f (,). y Determinanta f x (x,y) f (x,y) x y (x,y) f x y (x,y) f y (x,y) u točki S(,) ima vrijednost (,) 6. Kako je > i f x(,) 6 < zaključujemo da zadana funkcija u točki S(,) postiže maksimalnu vrijednost z maks f(,) (Slika.8). (b) Deriviranjem funkcije f dobivamo dobivamo f x (x,y) ex y (x +x y ), f y (x,y) ex y (y y x ).
.5 Lokalni ekstremi funkcije dviju varijabla 55 5 Slika.8: Ploha z xy x y + Da bismo odredili stacionarne točke moramo riješiti sljedeći sustav jednadžbi Sustav se svodi na e x y (x +x y ) e x y (y y x ). x +x y y y x. Rješenje sustava su dvije stacionarne točke: S (,) i S (, ). Da bismo provjerili dovoljne uvjete za dobivene točke odredit ćemo parcijalne derivacije drugog reda funkcije f. Vrijedi f x (x,y) ex y (x +x y +), f x y (x,y) ex y (y y x x ), f y (x,y) ex y (x y +8y ). Za točku S je (S ) 8 < pa, prema [M, teorem.8] zaključujemo da u točki S funkcija f nema ekstrem. Za točku S vrijedi (, ) f x (, ) 6e < i (, ) 6e 8e 8e e 8e.
56 Funkcije više varijabli pa zaključujemo da funkcija f u točki S (, ) postiže lokalni maksimum z maks f(, ) 8e (Slika.9). 5 5 5 5 5 5 5 Slika.9: Ploha z e x y (x y ).6 Primjena ekstrema,. primjer Uxy ravniniodredite točkut(x,y) zakoju je zbrojkvadrataudaljenosti od pravaca x, y i x+y 6 najmanji. Rješenje. Neka je d udaljenost točke T od pravca x, d udaljenost točke T od pravca x+y 6 i d udaljenost točke T od pravca y. Tada vrijedi d x, d x+y 6 5, d y. Funkcija kojoj trebamo izračunati ekstrem i koja zadaje zbroj kvadrata udaljenosti točke T od zadanih pravaca ima oblik z(x,y) x +y + (x+y 6). 5 Nakon kvadriranja i stavljanja na zajednički nazivnik funkciju z možemo zapisati na sljedeći način z(x,y) 5 (6x +9y +xy x 6y+56). Tražimo ekstreme funkcije z odnosno najprije njene stacionarne točke. U tu svrhu
.7 Primjena ekstrema,. primjer 57 izračunajmo parcijalne derivacije funkcije z po varijablama x i y. Vrijedi Rješavanjem sustava jednadžbi z x 5 (x+y ), z y (8y +x 6). 5 (x+y ) 5 (8y +x 6) 5 ( 8 dobivamo stacionarnu točku S 5, 6 ). 5 Budući da parcijalne derivacije drugog reda funkcije z u točki S imaju vrijednosti z xx 5, z xy 5 i z yy 8 5, slijedi ( 8 5, 6 ) ( 5 5 8 5 8 > i 5, 6 ) 5 5 >, 5 8 5 pa je tražena točka ( minimuma funkcije z tj. točka ravnine xy, koja ispunjava uvjete 8 zadatka, točka T 5, 6 ). 5.7 Primjena ekstrema,. primjer Odredite stranice kvadra zadanog volumena V koji ima najmanje oplošje. Rješenje. Označimo tražene duljine stranica sa a, b i c. Tada je volumen V abc, i oplošje O (ab + ac + bc). Ako s pomoću poznate vrijednosti volumena izrazimo npr. vrijednost duljine stranice a, dobivamo da je a V, pa oplošje možemo zapisati bc kao funkciju dviju varijabli, tj. ( V O O(b,c) c + V ) b +bc, (b,c) R + R +. Izračunajmo minimum funkcije O. Stacionarne točke zadovoljavaju sustav jednadžbi O b V b +c O c V c +b Iz geometrijskih razloga jedina stacionarna točka ( V, V) mora biti točka lokalnogiglobalnogminimumafunkcijeo. Dakle, kvadarsastranicamaa b c V (kocka) zadovoljava uvjete zadatka.
58 Funkcije više varijabli.8 Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla Izračunajte lokalne ekstreme funkcije Rješenje. u(x,y,z) x +y +z xy +x z. Funkcija u triju varijabla je beskonačno puta diferencijabilna na D R, a njene parcijalne derivacije prvog reda su u x x y +, u y y x i u z z. Rješavanjem sustava u x x y + u y y x u z z dobivamo x, y i z, što znači da je u točki T(,,) ispunjen nužan uvjet ekstrema [M, teorem.7], odnosno da je T stacionarna točka funkcije u. Provjerimo dovoljne uvjete za postojanje lokalnog ekstrema funkcije u u točki T. Izračunajmo najprije njene derivacije drugog reda. u xx u xy u xz u yx u yy u yz u zx u zy u zz Dakle, u točki T vrijedi (T), (T) >, (T) 6 >, pa po teoremu [M, teorem.8] zaključujemo da je T(,,) točka lokalnog minimuma funkcije u..9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Odredite globalne ekstreme funkcije f(x,y) x y +xy 6x na skupu D {(x,y) R : x,y,x+y }.
.9 Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 59 b c a Slika.: Ploha z x y + xy 6x nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x,y,x+y }.
6 Funkcije više varijabli Rješenje. Dio plohe z x y +xy 6x nad zatvorenim područjem D prikazan je na Slici.. U ovakvim zadacima, budući da tražimo samo globalne ekstreme, nećemo provjeravati dovoljne uvjete za postojanje ekstrema funkcije, već ćemo izračunati sve stacionarne točke funkcije nad zadanim zatvorenim područjem, i usporedivanjem funkcijskih vrijednosti u tim točkama izdvojiti točke globalnog minimuma i maksimuma. Pronadimo najprije stacionarne točke funkcije f na cijelom području definicije. Rješavanjem sustava f x x+y 6 f y x y dolazimodo točket (,). Zanimljiva namje jerse nalaziunutarpodručjad, inače bismo je isključili iz promatranja. Pronadimo zatim točke ekstrema na rubovima područja D. Kandidati za ekstrem su naravno i točke T (,), T (,) i T (,). a) Promotrimo segment y, x [,] (označimo ga sa a). Vrijedi f(x,) f(x) x 6x, pa f na tom segmentu možemo promatrati kao funkciju jedne varijable. Iz f (x) x 6 dobivamo x, što znači da je rubna točka T (,) jedina stacionarna točka funkcije f f(x) nad segmentom a. b) Označimo sa b segment x, y [,]. Na njemu vrijedi f(,y) f(y) y, pa ponovo ekstreme funkcije f nad b možemo tražiti uz pomoć alata za računaje ekstrema funkcije jedne varijable [M, 5.7]. Kako iz f (y) y slijedi y, zaključujemo da ni unutar segmenta b nema stacionarnih točaka funkcije f. c) Preostao je rub c odreden s x [,], y x. Na njemu vrijedi f(x,y) f(x, x) x ( x) +x( x) 6x 5x +8x 9. Iz f (x) x+8 slijedi x.8 i y.8.. Dakle, točka T 5 (.8,.) je stacionarna točka funkcije f nad segmentom c. Prikažimo sada dobivene rezultate u preglednoj tablici: T(x,y) f(t) T (,) T (,) T (,) 9 T (,) T 5 (.8,.).8 Budući da su navedene točke jedini kandidati za točke minimuma i maksimuma, a da globalni ekstremi moraju postojati (funkcija je neprekidna nad D), očito je da f u T (,) ima globalni minimum, a u T (,) globalni maksimum nad područjem D.
. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer 6. Ekstremi funkcija više varijabli na zatvorenom području,. primjer Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije f(x,y) x y ako je x +y. Rješenje...5..5...5..5. Slika.: Ploha z x y nad zatvorenim područjem D {(x,y) R : x +y }. Dio plohe z x y nad zatvorenim područjem x +y prikazan je na Slici.. Rješavanjem sustava z x x z y y dolazimodostacionarnetočkeo(,)funkcijef. Vrijedif(,). Provjerimošto se dogada s funkcijskim vrijednostima na na rubu zadanog područja, tj. na kružnici x +y. Kao i u prethodnom primjeru, funkciju f nad kružnicom prikazat ćemo kao funkciju jedne varijable, te ispitivati postojanje ekstrema alatima za ispitivanje