FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d väčšina z nás pozná vzťah l = πd. To je príklad závislosti jednej veličin l na jednej veličine d; veľkosť c prepon pravouhlého trojuholníka závisí od veľkostí a a b jeho odvesien z Ptagorovej vet vieme, že c = a + b. To je ale príklad závislosti jednej veličin c na dvoch veličinách a a b; poznáte Ohmov zákon? Závislosti, ktoré eistujú medzi veličinami, viedli ku vzniku pojmu funkcia. M sa budeme zaoberať len prípadom závislosti jednej veličin od nejakej inej veličin (za predpokladu, že tú závislosť poznáme), ktorej budeme hovoriť funkcia jednej reálnej premennej. Definícia Nech M je nejaká množina reálnch čísel. Predpokladajme, že je dané isté pravidlo, podľa ktorého je každému prvku z množin M priradené jediné reálne číslo. Potom hovoríme, že na množine M je definovaná funkcia jednej reálnej premennej. Označenie, ktoré môže znamenať ľubovoľný prvok množin M, nazývame nezávisle premennou a nazývame závisle premennou. Táto definícia nahrádza v podstate pojem funkcia pojmom priradenie, ktorý však nie je definovaný. Intuitívne však vieme o čo ide. Neraz sa používa nasledujúca ekvivalentná modifikácia tejto definície (dúfame, že aspoň jedna z týchto dvoch definícii je vám známa). Definícia Nech R je množina všetkých reálnch čísel a M R je ľubovoľná množina. Funkciou jednej reálnej premennej definovanou na množine M nazývame každú množinu f usporiadaných dvojíc [, ] M R, pre ktorú platí: ku každému M eistuje práve jedno R také, že [, ] f. Množine M hovoríme definičný obor funkcie f a označujeme ho D(f) alebo D f. Často nahrádzame zápis [, ] f zápisom = f(), pričom f() nazývame hodnotou funkcie f v čísle (alebo bode) teda f() je číslo, ktoré je funkciou f priradené číslu. Hodnota funkcie f v bode (t. j. f()) nám umožňuje aj tento zápis funkcie f(). Z definície ľahko vidno, že platí: Veta Dve funkcie f a f s definičnými obormi M a M sú totožné práve vted, ak M = M a súčasne pre každé M platí f () = f (), t. j. v každom bode (čísle) definičného oboru obe funkcie nadobúdajú rovnakú hodnotu. Príklad Nech definičný obor funkcie f je množina reálnch čísel a pravidlo priradenie nech je dané rovnicou = + 5, () t. j. k reálnemu číslu priradíme číslo, ktoré dostaneme tak, že číslo násobíme dvoma a k získanému výsledku pričítame číslo 5. Teda f M R. Pripomíname, že tzv. karteziánsk súčin dvoch množín A a B (v danom poradí) označujeme zápisom A B a je to množina všetkých takých usporiadaných dvojíc [a, b], že a A a b B.
Poznámka Pravidlu priradenia = f(), ktoré je tpu () hovoríme aj predpis funkcie. Teda predpis funkcie je zápis tpu rovná sa výraz f(). Ak poznáme predpis funkcie a nie je špecifikovaný jej definičný obor, tak za definičný obor funkcie berieme najväčšiu podmnožinu množin reálnch čísel, na ktorej eistuje výraz f(). Základné problém spojené s definičným oborom V úlohách na určenie definičného oboru, ktoré sa riešia v základnom kurze vššej matematik na stredných a vsokých školách, sa vsktujú najčastejšie nasledujúce podmienk definičného oboru: I. Menovateľ výrazu sa nesmie nesmie rovnať nule nulou nedelíme. Stručne to zapíšeme v smbolickom tvare: 0. II. Pod párnou n odmocninou sa nesmie vsktnúť záporné číslo stručne: 0, n N. III. Vo vnútri logaritmu sa môže vsktnúť len kladné číslo stručne: log a (> 0). IV. Argument funkcie 3 arcsin musí bť z intervalu [ ; ] arcsin( [ ; ]). V. Argument funkcie arccos musí bť z intervalu [ ; ] arccos( [ ; ]). Poznámka Smbolický zápis sa používa nasledujúcim spôsobom: výraz, ktorý sa nachádza na mieste argumentu menovateľa, odmocnin, logaritmu, arkussínusu alebo arkuskosínusu sa odkreslí a pripojí sa smbol uvedený vššie. Príklad Určme definičný obor funkcie f : = +. Riešenie. Na základe poznámk je potrebné určiť všetk tie R, pre ktoré eistuje druhá odmocnina zlomku ( )/( + ). Najprv vpíšeme podmienk, môžeme postupovať sstematick v poradí podmienok I V. Všimneme si, že v predpise funkcie máme menovateľ, a teda píšeme: ) + 0. Všimneme si aj druhú (párnu!) odmocninu a vpíšeme druhú podmienku: ) + 0. Keďže logaritm, arkussínus ani arkuskosínus sa v predpise nevsktujú, podmienk ) a ) určujú definičný obor. Na určenie definičného oboru je teda potrebné v množine reálnch čísel vriešiť nerovnicu 0, a pri jej riešení bude potrebné uvažovať jej definičný obor D = R { }. + Overte, že jej riešením je množina (, = D(f). V časti o výrazoch sme definovali nepárnu n-tú odmocninu pre ľubovoľný reáln argument tak, ab bola inverznou funkciou pre mocninovú funkciu n. Zápis n-tej odmocnin v tvare mocnin /n je korektný pre nezáporné argument, pre reálne argument môže viesť k chbám, napríklad: 3 8 =, ale platí aj 3 8 = ( 8) /3 =? ( 8) /6 = [ ( 8) ] /6 = 6 64 =? 3 Funkcie arcsin a arccos budú definované neskôr, teraz nám stačí informácia o definičnom obore týchto funkcii D = [ ; ].
Poznámka 3 Treba si uvedomiť, že podmienk I V sú najčastejšie, ale nie jediné. Napríklad, ak sa premenná vsktuje ako základ logaritmu vo funkciách f() = log 5 alebo g() = log, objavuje sa ďalšia podmienka (0; ) (; ). Definícia 3 Množinu H(f) = { R : nazývame oborom hodnôt funkcie f. = f() a súčasne D(f)} Definícia 4 Funkciu f nazývame prostá funkcia práve vted, ak (, D(f)) ( = f( ) f( )), () t. j., ak funkcia ľubovoľným dvom rôznm číslam z jej definičného oboru priradí rôzne funkčné hodnot. Príklad 3 Daná je funkcia 4 g: = c) či je funkcia g prostá. Riešenie. 3. Zistime: a) jej definičný obor; b) či H(g); t 4t + 3 a) Definičným oborom funkcie g je množina všetkých t R, pre ktoré je menovateľ z jej predpisu nenulový. A to je v prípade, keď t 4t + 3 0, t. j. (t )(t 3) 0. Odtiaľ t / {; 3} a teda definičným oborom danej funkcie je množina b) Máme zistiť, pre ktoré t D(g) platí D(g) = (, ) (, 3) (3, + ). = 3 t 4t + 3. Riešením tejto rovnice je t = 0 alebo t = 4. Keďže čísla 0 a 4 sú z definičného oboru danej funkcie, tak na základe definície 3 je číslo z jej oboru hodnôt, t. j. H(g). Všimnime si, že platí = g(0), ale aj = g(4). (3) c) V časti b) tohto príkladu sme zistili, že g(0) = g(4). Teda neplatí (), lebo eistujú dve rôzne čísla množin D(g) čísla 0 a 4, ktorým naša funkcia priradila rovnaké funkčné hodnot (číslo ). Poznamenávame, že takýchto dvojíc čísel je viac. Definícia 5 Grafom funkcie f vo zvolenej pravouhlej súradnicovej sústave O v rovine nazývame množinu všetkých bodov P [, f()], kde D(f). Špeciálne: grafom funkcie f na množine A D(f) je množina bodov P [, f()], kde A. Je zrejmé, že množina B bodov v rovine je grafom nejakej funkcie práve vted, keď každá priamka rovnobežná s osou má s množinou B nanajvýš jeden spoločný bod. Dobre nakreslený graf funkcie je názorný prostriedok na skúmanie jej vlastností. Treba si ale uvedomiť, že obrázok grafu nepostačuje na dôkaz nejakých tvrdení o funkcii. Tento fakt sa neraz porušuje, a to v najmä prípadoch, keď b k eaktnému dôkazu príslušného tvrdenia mohol graf funkcie pomôcť. M v tomto smere nebudeme výnimkou. Uvedieme niektoré takéto tvrdenia. Ak G(f) je graf danej funkcie f, tak 4 Tu je funkcia označená písmenom g a nezávisle premenná písmenom t. 3
definičný obor D(f) dostaneme ako kolmý priemet grafu G(f) na os ; obor hodnôt H(f) dostaneme ako kolmý priemet grafu G(f) na os ; funkcia f je prostá práve vted, keď ľubovoľná priamka rovnobežná s osou má s grafom G(f) maimálne jeden spoločný bod; ak 0 D(f), tak graf G(f) má s osou práve jeden spoločný bod, ktorého súradnica na osi je f(0) (teda v súradnicovej sústave O má súradnice [0; f(0)]); graf G(f) má s osou spoločné bod, ktorých súradnice na osi sú koreňmi rovnice f()=0 (teda ak napr. číslo a je koreňom tejto rovnice, tak v súradnicovej sústave O má graf G(f) s osou spoločný bod so súradnicami [a; 0] v takom prípade hovoríme, že graf pretína os v bode a). Počas štúdia na našej fakulte predpokladáme, že máte istú zručnosť v znázorňovaní (kreslení) grafov niektorých funkcií. Je nevhnutné poznať graf základných funkcií, s ktorými sa budeme zaoberať v nasledujúcom kapitolách. Sú to:. graf konštantnej, lineárnej a kvadratickej funkcie;. graf lineárne lomenej funkcie; 3. graf eponenciálnej a logaritmickej funkcie; 4. graf goniometrických funkcií; 5. a nakoniec graf funkcií, ktorých prepis dostaneme z predpisov funkcií. až 4. špeciálnmi úpravami (transformáciami), ktoré sú nižšie prezentované.. Možno ste sa už stretli s pojmami ako súčet, rozdiel, súčin a podiel dvoch funkcií, ale aj s pojmom zložená funkcia (rovnosť dvoch funkcií je v podstate uvedená vo vete ). Sústredíme pozornosť na také špeciálne transformácie funkcií, ktoré sa dajú jednoducho interpretovať na ich grafoch. Sú to: 5. pripočítanie konštant : ak a je ľubovoľné pevné reálne číslo, tak graf funkcie = = f()+a môžeme zostrojiť z grafu funkcie = f() jeho posunutím, ktoré je dané vektorom v = [0; a], t. j. posunutím v smere osi (je zrejmé, že ak a > 0, tak posúvame G(f) o hodnotu a smerom nahor a ak a < 0, tak posúvame G(f) o hodnotu ( a) smerom nadol );. násobenie číslom : graf funkcie = f() je osovo súmerný vzhľadom na os s grafom funkcie = f(); 3. ak a je ľubovoľné pevné reálne číslo, tak graf funkcie = f( a) získame z grafu funkcie = f() jeho posunutím, ktoré je dané vektorom v = [a; 0], t. j. posunutím v smere osi. Špeciálne: ak a > 0, tak posúvame G(f) o hodnotu a doprava (t. j. v smere osi ) a ak a < 0, tak posúvame G(f) o hodnotu ( a) doľava (t. j. proti smeru osi ); 4. ak k je ľubovoľné pevné kladné reálne číslo, tak graf funkcie = f(k ) získame z grafu funkcie = f() v prípade k > tzv. k-násobným zúžením (kontrakciou); 5 Pri pojme funkcia sa ďalej obmedzíme len na jej predpis nebudeme skúmať jej definičný obor. 4
v prípade k < tzv. (/k)-násobným roztiahnutím (dilatáciou); 5. ak k je ľubovoľné pevné kladné reálne číslo, tak graf funkcie = k f() získame z grafu funkcie = f() v prípade k > tzv. k-násobným roztiahnutím (dilatáciou); v prípade k < tzv. (/k)-násobným zúžením (kontrakciou). Úloh I. Určte definičné obor funkcií:. = 5 + 9 ; [ 5/3, R] 5 + 3. = 7 + 9 3 ; [ (, /3)] 3. = ( 3)( + ) ; [ (, 3, + )] 4. = + + ; [, ] 5. = + 3 + + 8. [ = ] 6. = log( + 6 + 9) 6 ; [( 3; ] 7. = log(6 3 ); [( ; 4) (0; 4)] 8. = log 6 ; [( 3; )] 9. = 7 + 6 3 log( + + 4); [ ; 7 ] 0. = log + + 4 7 + 6 + 5 4 ; [( ; 7)]. = + + 4 log(7 + 6 ) ; [( ; 7) {3 ± 5}]. = log( 4 ). [(3; )] 3. = + + + 5 + 3 4. = 4 + 3 ; 5. = 3 + + ; 6. = 5 3 4 ; 7. = 3 + 0 3 + + + ; ; [R { 3; }] [R {; 3}] [R {}] [R {0; 4}] [R { }] 8. = + 3 3 7 ; [ 7/; )] 9. = 0 3 + 6 ; [ ; 0 ] 5
0. = ; [( ; ; )]. = + ; [ ; ]. = 3 + + + ; [ 3; 0; )] 3. = 7 + ; [( ; 3) (4; )] 4. = 4 6 + ; 5. = 7 3 + 5 9 3 6. = 4 ; 3 7. = + 4 ; ; [( ; /3) (/; )] [( 3; 3)] [(4; )] [( ; 4) 3; )] 8. = + 3 + ; 9. = 5 + 6 ; 30. = 3 + + 3. = ln( 5) ; 3. = ln 5 ; [( ; ) ; )] [( ; ; ) (3; )] ; [( ; ; 3)] 3 + [(5; )] [(0; )] 33. = log( + 4) ; [( ; 4) (0; )] 34. = log( + 6) ; [( ; 3) (; )] 35. = log 0 + 0 ; 36. = log 3 + 3 + [( 0; 0)] ; [( ; ) (; )] 37. = 3 + 5 log 3 ( 3 + 3 + + 3) ; [( 3; )] 38. = e 39. = + ; +3 0 ; [R { }] [( ; 5 ; )] 3 log 40. = 5 +4 ; [( ; 4) (3; )] 4. = 4+ 3 + ; 4. = 4 3 3 5 ; 43. = + 3 log( 3) ; 6 [R] [( ; )] [(3/; ) (; )]
44. = 4 5 + ln( 3) ; 5 [(3/; 5/) (5/; )] 45. = 3 3 + + 4 ; [( ; ] 46. = 5 3 + 3 log( + 4 + 4) ; [R { }] 47. = log ( + 6) + 4 + 3 ; [( 3; 3; )] 48. = ln 3 + 6 + 3 ; 49. = 50. = ln(3 + ) 3 3 + ; [ ] [( 7; 0) (0; ) (; ) (; )] ln(3 ) ; [( ; 5) (; 3/)] + 4 5 5. = ln 5 6 + 8 ; [(0; ) (4; )] 5. = + 4 5 ln(3 ) + (e + ) 3 ; [( ; 5 (; 3/)] 7
Konštantná, lineárna a kvadratická funkcia. Lineárna lomená funkcia a funkcie s absolútnou hodnotou Definícia 6 Konštantnou funkciou nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom kde a je reálne číslo. = a, (4) Definičným oborom konštantnej funkcie je množina R a jej grafom je priamka, ktorá je rovnobežná s osou v O (t. j. všetk bod so súradnicami P [; a], kde je ľubovoľné reálne číslo). Špeciálne: grafom funkcie = 0 je os. Nie je to prostá funkcia a jej oborom hodnôt je jednoprvková množina H = {a}. Definícia 7 Lineárnou funkciou nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom kde a a b sú reálne čísla. Definičným oborom lineárnej funkcie je množina R. Platí: = a + b, (5) ak a = 0, tak je to konštantná funkcia jej základné vlastnosti sme už uviedli; ak v (5) je a 0, tak jej grafom je priamka, ktorá nie je rovnobežná s osou a ani s osou v súradnicovej sústave O. Jej priesečník s osou má súradnice [ b/a; 0] a s osou sú jeho súradnice [0; b] (teda pre b = 0 je to spoločný bod súradnicových osí začiatok súradnicovej sústav O[0;0]). Je to prostá funkcia a jej oborom hodnôt je množina R. Poznámka 4 Na znázornenie grafu lineárnej funkcie, t. j. priamk, nám stačí určiť dva bod, ktoré na nej ležia často je výhodné použiť jej priesečník s osou, resp. s osou. Príklad 4 Načrtnime graf funkcií a určme ich obor hodnôt: a) = + 4; b) s = t; c) = 4, ( ; 3. Riešenie. a) Je to lineárna funkcia, ktorej definičný obor je množina R. Jej grafom je priamka. Os pretína v bode, ktorého -ová súradnica je = 0 + 4 = 4. Os pretína v bode, ktorého -ová súradnica je riešením rovnice + 4 = 0, t. j. =. Takto stačí v súradnicovej sústave O zakresliť bod so súradnicami [0; 4] (priesečník s osou ) a [; 0] (priesečník s osou ) a týmito bodmi preložiť priamku pozri obr. a). Oborom hodnôt danej funkcie je celá množina reálnch čísel. b) Aj s = t je lineárna funkcia, ktorej definičný obor je množina R (teraz má nezávisle premenná označenie t a závisle premenná je s). Jej grafom je priamka. Os s pretína v bode, ktorého súradnica s je s = 0 = 0. Dostali sme bod, ktorý v súradnicovej sústave Ots má súradnice [0; 0]. Teda je to priesečník aj s druhou osou t. Potrebujeme ešte jeden bod hľadanej priamk. Daná funkcia priradí napr. číslu t = číslo s = =. To znamená, že bod so súradnicami [; ] je tiež bodom grafu danej funkcie, ktorý dostaneme preložením priamk bodmi, ktorých súradnice sú [0; 0] a [; ] (pozri obr. b)). Aj v tomto prípade je oborom hodnôt danej funkcie množina R. 8
s s = t = 4 4 = + 4 3 0 0 t 4 6 Obr. : Náčrt grafov funkcií príkladu 4 c) Opäť ide o lineárnu funkciu, ale tentoraz jej definičný obor je stanovený: je to množina D = ( ; 3. Tak ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch nakreslíme najprv graf funkcie = 4, kde R. Ľahko zistíme, že je to priamka, ktorá v súradnicovej sústave O pretína os v bode so súradnicami [0; 4] a os v bode so súradnicami [; 0]. Zostrojíme priamku, ktorá je určená tými dvoma bodmi. A teraz zohľadníme to, že ( ; 3 : na to stačí vkrojiť tú časť priamk, ktorá zodpovedá intervalu ( ; 3 na obr. c) je to plne nakreslená úsečka. Obor hodnôt danej funkcie môžeme získať kolmým priemetom tejto úsečk na os (skúste to). Môžeme ho dostať aj takto: definičný obor môžeme zapísať aj takto < 3. Túto sústavu, v postate dvoch nerovníc, upravíme ekvivalentnými úpravami tak ab sme na mieste získali výraz z predpisu funkcie, t. j. 4. Zrejme < 3 < 6 6 < 4. }{{} = Odtiaľ vidno, že oborom hodnôt danej funkcie je množine H = ( 6;. Poznamenávame, že pri riešení tohto príkladu sme asi robili dosť detailný výklad. Určite to išlo aj rýchlejšie, napríklad stačí spojiť úsečkou krajné bod (obr. vpravo). Príklad 5 Určme všetk lineárne funkcie, ktoré obsahujú usporiadané dvojice [; 8] a [ ; ]. Riešenie. Našou úlohou je určiť všetk také dvojice reálnch čísel a a b, že pre funkčné hodnot lineárnej funkcie f() = a + b platí f() = 8 a f( ) =. Teda a + b = 8, a ( ) + b = ; (6) odkiaľ a = 3 a b = 5. Riešením danej úloh je jediná lineárna funkcia = 3 + 5. Všimnime si koeficient a v zovšeobecnení tohto príkladu: chceme určiť všetk lineárne funkcie, ktoré obsahujú usporiadané dvojice [ ; f( )] a [ ; f( )]. V tomto prípade b sústava (6) mala tvar a + b = f( ), a + b = f( ), 9
odkiaľ pre je a = f( ) f( ). (7) Získali sme vjadrenie smernice priamk, prechádzajúcej bodmi [ ; f( )], [ ; f( )]. 6 Určenie koeficientu b ponechávame na vás. Zvážte, čo znamená prípad =, pri ktorom sa v menovateli objaví nula! Definícia 8 Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom = a + b + c, (8) pričom a je reálne číslo rôzne od nul, b a c sú ľubovoľné reálne čísla. Definičným oborom kvadratickej funkcie je množina všetkých reálnch čísel. Grafom kvadratickej funkcie v súradnicovej sústave O je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou. 7 Funkcia (8) priradí číslu 0 číslo = a 0 + b 0 + c = c, a preto táto parabola pretína os v bode [0; c]. S priesečníkmi s osou je to trochu zložitejšie: -ová súradnica ľubovoľného priesečníka parabol musí spĺňať rovnicu 0 = a + b + c, čo je kvadratická rovnica. Počet reálnch koreňov tejto rovnice závisí od jej diskriminantu D = b 4ac. Potom ak D > 0, tak parabola pretína os v dvoch bodoch, ktorých súradnice sú [ ; 0] a [ ; 0], kde, = b ± D ; a ak D = 0, tak parabola pretína os v jednom bode ( dotýka sa v ňom osi ), ktorého súradnice sú [ b/a; 0]; ak D < 0, tak parabola nepretína os. Poloha parabol závisí aj od koeficientu a: ak a > 0, tak parabola je obrátená nahor, ak a < 0, tak parabola je obrátená nadol. Na obr. je zhrnutie získaných poznatkov o vzájomnej polohe grafu kvadratickej funkcie (parabol) a osi. Z neho môžeme konštatovať, že kvadratická funkcia (8) nie je prostá. Jej oborom hodnôt je pre a > 0 interval tpu, s; ) (vted je parabola obrátená nahor ), ak a < 0, interval tpu, ( ; s (vted je parabola obrátená nadol ), 6 Zopakujte si smernicový tvar = k + q priamk z analtickej geometrie. Vidíte súvislosti s lineárnou funkciou? 7 Odporúčame zopakovať si vjadrenia parabol z analtickej geometrie. 0
a > 0 a > 0 a > 0 D > 0 D = 0 D < 0 = = a < 0 a < 0 a < 0 D > 0 D = 0 D < 0 Obr. : Vzájomné poloh parabol a osi kde s je reálne číslo (tí, čo sú zbehlejší v analtickej geometrii vedia, že s je druhá súradnica vrcholu parabol). Poznámka 5 Dosiaľ sme si nepovedali, ako nakresliť graf konkrétnej kvadratickej funkcie, teda parabol. Jeden jej bod rýchlo určíme: je to priesečník s osou, ktorý má súradnice [0; c]. Ak kvadratická rovnica a + b + c = 0: má dva rôzne reálne korene a, tak po označení bodov, ktorých súradnice na osi sú a (sú to bod parabol) stačí si len všimnúť, či je parabola obrátená nahor alebo nadol (to vidíme z toho, či a > 0 alebo a < 0). Na základe týchto informácií vieme načrtnúť parabolu. Ak b nás zaujímala presná poloha jej vrchola, tak jeho -ová súradnica m je aritmetickým priemerom čísel a (t. j. m = ( + )/ = b/(a) overte!) a -ová súradnica je hodnota našej kvadratickej funkcie v bode m; má jeden dvojnásobný koreň, tak je to jednoduchšie: parabola má vrchol v bode so súradnicami [ ; 0], v ktorom sa dotýka osi. Parabolu vieme nakresliť: stačí zvážiť, či je obrátená nahor alebo nadol; nemá reáln koreň, tak parabola nemá spoločný bod s osou. Vieme rozhodnúť, či je obrátená nahor alebo nadol a jej priesečník s osou nám umožní ju zhruba načrtnúť. Nezískame tým presné informácie o jej vrchole. Získame ich z nižšie uvedeného postupu. Ak doplníme predpis kvadratickej funkcie a + b + c na úplný štvorec, tak môžeme kvadratickú funkciu (8) zapísať v tvare = a( m) + s, (9) kde m a s sú reálne čísla. Budeme vchádzať z toho, že graf kvadratickej funkcie = (0) poznáme pozri obr. 3. Ukážeme, ako vhodnými transformáciami funkcií získame z grafu funkcie (0) graf funkcie (9):
= 0 Obr. 3: Graf kvadratickej funkcie = = 4 5 0 5 5 9 V Obr. 4: Graf funkcie = 4 5. ak číslo a je záporné, tak pomocou transformácie násobenie číslom ( ) dostaneme graf funkcie =, ktorý je osovo súmerný vzhľadom na os s grafom funkcie = (teda pôvodná parabola obrátená nahor sa zmení na parabolu obrátenú nadol);. graf funkcie = a dostaneme v závislosti od toho, či číslo a je kladné, resp. záporné, roztiahnutím alebo zúžením grafu funkcie =, resp. = ; 3. graf funkcie = a( m) dostaneme z grafu funkcie = a posunutím, ktoré je dané vektorom v = [m; 0] (t. j. posúvame graf funkcie = a v smere osi alebo proti jej smeru o hodnotu m ); 4. graf funkcie = a( m) +s dostaneme z grafu funkcie = a( m) posunutím, ktoré je dané vektorom v = [0; s]. Tým sme dostali hľadaný graf kvadratickej funkcie = a + b + c. Poznámka 6 V predchádzajúcich úvahách môžeme bod. a. preskočiť za predpokladu, že si zapamätáme graf funkcie = a : je to parabola, ktorej osou je os a vrchol má súradnice [0; 0]. Je obrátená nahor v prípade a > 0 a obrátená nadol v prípade a < 0. Príklad 6 Načrtnime graf funkcií a určme ich obor hodnôt: a) = 4 5; b) = 3 6; c) = +, ( ;.
= 3 6 5 3 3 = 3 = 3( + ) Obr. 5: Postup náčrtu grafu funkcie = 3 6 Riešenie. Ide o kvadratické funkcie, a preto ich grafmi budú parabol, resp. časť parabol, ktorých osi sú rovnobežné s osou. a) Skúsime to napr. pomocou poznámk 5: overte, že korene zodpovedajúcej kvadratickej rovnice 4 5 = 0 sú = 5 a =. To znamená, že parabola pretína os v dvoch bodoch, ktorých súradnice na osi sú 5 a (teda dva bod parabol už poznáme pozri obr. 4). Pre -ovú súradnicu vrcholu parabol je (5 + ( ))/ =. Daná funkcia priradí číslu číslo = 4 5 = 9, čo je druhá súradnica vrcholu parabol. Po znázornení vrchola parabol V [; 9] vieme parabolu nakresliť (môžeme pri tom vužiť to, že parabola pretína os v bode, ktorého druhá súradnica je = 0 4 0 5 = 5) pozri obr. 4.) Ak získanú parabolu kolmo premietneme na os, tak dostaneme obor hodnôt danej funkcie. Je to interval H = 9; ). b) Použijeme metódu, ktorá vchádza z transformácií funkcií. Ak doplníme výraz 3 6 na úplný štvorec tvaru (9), tak dostaneme (pozri príklad??b)) 3 6 = 3 [ ( )] + 5, čo znamená, že našu funkciu môžeme zapísať v tvare = 3 [ ( )] + 5. Graf funkcie = 3 vieme nakresliť (obr. 5 vľavo). Ak ho posunieme o vektor v = [ ; 0] dostaneme z neho graf funkcie = 3 [ ( )] (obr. 5 v strede). A ak tento graf posunieme o vektor v = [0; 5], dostaneme graf funkcie = 3 [ ( )] +5 (obr. 5 vpravo), čo vlastne je aj graf uvažovanej funkcie = 3 6. Kolmým priemetom výslednej parabol dostaneme obor hodnôt danej funkcie H = ( ; 5. c) Tentoraz máme určený definičný obor: je to množina D = ( ;. Najskôr nakreslíme parabolu graf funkcie s tým istým predpisom = +, ale pre R. Zodpovedajúca kvadratická rovnica + = 0 má záporný diskriminant (D = 4), a preto parabola nepretína -ovú os. Pôjdeme na to cez transformácie funkcií: najprv upravíme predpis danej funkcie doplnením na úplný štvorec na tvar (9): = + = ( + ) + = ( ) +. Nakreslíme graf funkcie = (ten b sme mali poznať) a z neho posunutím o vektor v = [; 0] dostaneme graf funkcie = ( ). Ak tento graf posunieme o vektor 3
= =( ) 5 Obr. 6: Postup náčrtu grafu funkcie = + v = [0; ], dostaneme graf funkcie = ( ) + (obr. 6), čo vlastne je graf našej funkcie = + (obr. 6 vpravo). Ešte sa musíme vsporiadať s definičným oborom D = ( ; : vkrojíme zo získaného grafu tú časť parabol, ktorá zodpovedá hodnotám z príslušného intervalu ( ;. Na obr. 6 je načrtnutý graf danej funkcie. Ak ho kolmo premietneme na os, dostaneme požadovaný obor hodnôt danej funkcie: H = ; 5). Príklad 7 Určme všetk R, pre ktoré je funkcia f : = 3 + nezáporná. Riešenie. Úloha je ekvivalentná s riešením nerovnice 3 + 0. Ľahko sa presvedčíme, že (,, + ). 4
k = k = k k > 0 k < 0 k Obr. 7: Graf nepriamej úmernosti Definícia 9 Lineárne lomenou funkciou nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom = a + b, R { d/c}, () c + d kde a, b, c, d R, pričom c 0 a ad bc 0. 8 Poďme skúmať vlastnosti tejto funkcie. Špeciálnm prípadom lineárne lomenej funkcie je tzv. nepriama úmernosť, ktorá je definovaná predpisom = k, kde k R {0} je parameter. () Je zrejmé, že definičným oborom nepriamej úmernosti je množina nenulových reálnch čísel, t. j. D = R {0}. Ak k > 0, tak graf nepriamej úmernosti je znázornený na obr. 7 vľavo. Ak k < 0, tak pomocou transformácie násobenia číslom ( ) dostaneme jej graf, ktorý je na obr. 7 vpravo. V oboch prípadoch je to pootočená hperbola, ktorej asmptot 9 sú súradnicové osi, t. j. priamk = 0 a = 0. Všimnime si, že ak k > 0, tak vetv hperbol ležia v prvom a v treťom kvadrante a ak k < 0, tak sú v druhom a vo štvrtom kvadrante. Kolmým priemetom týchto hperbol na os je množina všetkých nenulových reálnch čísel, a preto oborom hodnôt nepriamej úmernosti je množina Príklad 8 Načrtnime graf funkcie = 3 osami. Čo je oborom hodnôt danej funkcie? H = ( ; 0) (0; ). (3) a určme jeho priesečník so súradnicovými Riešenie. Je zrejmé, že ide o lineárne lomenú funkciu (), kde a =, b = 3, c = a d =. Ak upravíme predpis tejto funkcie na tvar = k + s, (4) m tak vieme získať požadovaný graf z grafu nepriamej úmernosti (7) pomocou transformácií funkcií. Môžeme to urobiť takto 0 : = 3 = 3 ( +) = 3 ( ) α = ( ) β =, 8 Pre c = 0 je () lineárnou funkciou a pre ad bc = 0 je to lineárna funkcia s definičným oborom R { d/c}). 9 K presnej definícii asmptot grafu b sme potrebovali pojem limita funkcie. Dá sa povedať, že asmptota grafu funkcie je priamka, ku ktorej sa graf funkcie neobmedzene približuje. 0 Tí, čo ovládajú delenie mnohočlena mnohočlenom, zvládnu túto úpravu efektívnejšie. 5
= = 3 = 3 3 = = Obr. 8: Postup konštrukcie náčrtu funkcie = 3 kde v rovnosti α = sme úpravami vrobili v čitateli výraz ( ) z menovateľa; v rovnosti β = sme roztrhli zlomok. Dostali sme =, (5) čo je upravený predpis našej funkcie na tvar (4). Z toho predpisu funkcie zostrojíme požadovaný graf pomocou transformácií funkcií, a to takto:. načrtneme graf funkcie = pozri obr. 7 vľavo pre k = ;. posunutím tohto grafu o vektor v = [; 0] dostaneme graf funkcie ktorý je znázornený na obr. 8 vľavo; = ( ), 3. ak tento graf posunieme o vektor v = [0; ] dostaneme požadovaný graf našej funkcie s upraveným predpisom (5). Tento graf je znázornený na obr. 8 vpravo. Z výsledného grafu vidno, že os pretína v bode, ktorého -ová súradnica je 3/ a os pretína v bode, ktorého -ová súradnica je 3 (presvedčte sa o tom výpočtom). Kolmým priemetom grafu na os dostaneme obor hodnôt danej funkcie: H = ( ; ) ( ; ). A teraz sa pokúsime zovšeobecniť poznatk, ktoré sme získali pri riešení tohto príkladu. Dá sa ukázať, že predpis každej lineárne lomenej funkcie () môžeme upraviť na tvar (4, kde m = d c a s = a c (6) (ľahko si to zapamätáme: m je koreňom menovateľa z predpisu funkcie () a s je podiel koeficientov pri v tomto predpise teda limita funkcie () pre ± )). V bode riešenia tohto príkladu dôjde k posunutiu grafu funkcie = k o vektor [ d/c ; 0]. 6
Pri tomto posunutí sa asmptota = 0 posunie na asmptotu = d/c. Asmptota = 0 sa nezmení. V bode 3 nastane posunutie získaného grafu funkcie = k m o vektor [0; a/c]. Pri tomto posunutí sa asmptota = 0 posunie na asmptotu = a/c. Asmptota = d/c sa nezmení. Zhrnutie: asmptot uvažovaných hperbol sa zmenili takto: asmptota = 0 sa zmenila na = d/c, asmptota = 0 sa zmenila na = a/c, graf nepriamej úmernosti = k/ (t. j. hperbola) sa len posúval. Predchádzajúce úvah nám posktujú jednoduchý postup na znázornenie grafu lineárne lomenej funkcie (), t. j. hperbol:. nakreslíme priamk: asmptotu = d/c (rovnobežná s osou ) a asmptotu = a/c (rovnobežná s osou ). Tieto dve asmptot rozdeľujú rovinu O na nové kvadrant ;. znázorníme ľubovoľný bod hľadanej hperbol, ktorý dostaneme tak, že včíslime hodnotu danej funkcie (to je jeho -ová súradnica) vo vhodne zvolenom čísle (čo je jeho -ová súradnica); 3. preložíme týmto bodom jednu vetvu hperbol, pričom zoberieme do úvah nakreslené asmptot z bodu. Ak ten bod je v párnom novom kvadrante, tak jej druhú vetvu nakreslíme v druhom párnom novom kvadrante. Ak leží v nepárnom novom kvadrante, tak ju nakreslíme v druhom nepárnom novom kvadrante. Príklad 9 Načrtnime graf funkcie = Čo je oborom hodnôt danej funkcie? + a určme jeho priesečník so súradnicovými osami. Riešenie. Daná je lineárne lomená funkcia (), kde a =, b = 0, c = a d =, ktorej grafom je hperbola. Načrtneme ju podľa predchádzajúceho návodu:. nakreslíme asmptot = a = ;. hodnota danej funkcie napr. v čísle = 0 je = 0. Znázorníme bod, ktorého súradnice sú [0; 0] je to začiatok O súradnicovej sústav; 3. nakreslíme vetvu hperbol s danými asmptotami, ktorá prechádza bodom O zrejme je vo štvrtom novom kvadrante, ktorý vtvorili asmptot; 4. v druhom novom kvadrante načrtneme druhú vetvu hperbol. Graf danej funkcie máme načrtnutý na obr. 9. Súradnicové osi pretína v bode O[0; 0] a zrejme oborom hodnôt funkcie je množina H = R {} = ( ; ) (; ). Urobme zhrnutie zistených vlastností lineárne lomenej funkcie (): jej definičným oborom je množina H = R { d/c}; jej oborom hodnôt je množina H = R {a/c}; jej grafom je hperbola s asmptotami = d/c a = a/c; je to prostá funkcia. 7
= + = 0 = Obr. 9: Náčrt grafu funkcie = + Funkcie obsahujúce v predpise absolútnu hodnotu Teraz sa budeme zaoberať niektorými prípadmi, keď v predpise funkcie vstupuje absolútna hodnota. Nech = f() je daná funkcia, ktorej definičný obor je množina D(f). Je zrejmé, že ak eistuje hodnota f() v bode D(f), tak eistuje aj hodnota f(). To znamená, že definičným oborom funkcie, ktorá je definovaná predpisom = f() je tiež množina D(f). Ako súvisí hodnota f() s hodnotou f()? Tu si stačí zopakovať definíciu absolútnej hodnot, z ktorej dostaneme f() pre f() 0; f() = f() pre f() < 0. To nám umožňuje z grafu funkcie = f() získať graf funkcie = f() : v bodoch, v ktorých je f() 0, je graf funkcie = f() totožný s grafom funkcie = f() zrejme je to tá časť grafu = f(), ktorá je umiestnená nad -ovou osou, včítane jeho prípadných priesečníkov s osou ; v bodoch, v ktorých je f() < 0, je f() = f() (násobenie číslom ( )), a preto je v týchto bodoch graf funkcie = f() osovo súmerný vzhľadom na os s grafom funkcie = f(). Teda ak máme graf funkcie = f() nakreslený, tak tú jej časť, ktorá je pod -ovou osou preklopíme nahor. Príklad 0 Načrtnime graf funkcií a určme ich obor hodnôt: a) = + 4 ; b) = 4 5. Sú to prosté funkcie? Riešenie. V oboch prípadoch môžeme použiť vššie uvedené poznatk. a) Najskôr načrtneme graf funkcie bez absolútnej hodnot, t. j. graf funkcie = +4. Ten je získaný v rámci riešenia príkladu 4 a) pozri príslušný obr. vľavo. Vidno, že na intervale ( ; nadobúda funkcia = +4 nezáporné hodnot, a preto na tom intervale je graf totožný s grafom funkcie = + 4. Na intervale (; ) je graf funkcie = + 4 pod -ovou osou, a preto tú časť preklopíme nahor (osová súmernosť vzhľadom na os ). Výsledkom je požadovaný graf funkcie = + 4, ktorý ja načrtnutý na obr. 0. 8 (7)
Kolmým priemetom tohto grafu na -ovú os dostaneme obor hodnôt danej funkcie: H = 0; ). Keďže napr. priamka = pretína tento graf v dvoch bodoch, tak daná funkcia nie je prostá. b) Zoberme funkciu = 4 5 z príkladu 5 a) jej graf je na obr. vľavo. Z neho môžeme konštatovať, že táto funkcia je záporná len na intervale ( ; 5). Graf funkcie = 4 5 je na tomto intervale osovo súmerný podľa osi s časťou parabol, ktorá je na obr. vľavo pod -ovou osou. Odtiaľ vidno, že na obr. vpravo je znázornený požadovaný graf funkcie = 4 5. Jej oborom hodnôt je takisto množina H = 0; ). Nie je to prostá funkcia, lebo napr. priamka = pretína tento graf dokonca v štroch bodoch. Tak to bolo celkom jednoduché. Ale čo keď absolútna hodnota nevstupuje v predpise funkcie v tvare f() alebo sa v ňom vsktuje viackrát? Ako dostať v takom prípade graf funkcie? Jedna z možností je upraviť predpis funkcie tak, ab neobsahoval absolútnu hodnotu. Príklad Načrtnime graf funkcie f : = + 6 a určme jej obor hodnôt. Je to prostá funkcia? Riešenie. Tu v predpise danej funkcie vstupujú dve absolútne hodnot, a teda nemôžeme použiť metódu z predchádzajúceho príkladu. Najprv v predpise odstránime absolútne hodnot. Dostávame: 8 pre ( ; ; f : = ( ) pre ( ; 6) ; (8) 8 pre 6; + ). A to je funkcia, ktorej predpis sa mení na jednotlivých intervaloch: na intervale ( ; 6) je to lineárna funkcia a na ostatných dvoch konštantná funkcia. Ich graf poznáme, ale musíme zohľadniť ich definičné obor. Graf funkcie f je načrtnutý na obr.. Všimnime si, že graf funkcie f sme mohli získať aj ako zjednotenie grafov týchto troch funkcií: f : = 8 pre ( ; ; f : = ( ) pre ( ; 6) a f 3 : = 8 pre 6; + ). Samozrejme, že pritom tieto graf znázorníme v tej istej súradnicovej sústave O. Úloh. Načrtnite graf funkcií: a) = + 5; b) = 3; c) = + ; d) = 3 5 3 ; e) = ; f) = ; g) = + ; h) = + + 0; i) = + 4.. Načrtnite graf funkcií: a) = 3 + 4, 3, 4); b) = t + 9, t R; c) = 3 6, R; d) =, 3, 3 ; e) = + 4, R; f) = + 4 + 3, R; g) = 0,5 + 3 3, R; h) = + ; i) = + ; j) = + + ; k) = ; l) = + / +. (Pozri obr. 3 a obr. 4 na stranách a 3.) 9
= + 4 4 0 Obr. 0: Náčrt grafu funkcie = + 4 = 4 5 = 4 5 9 5 0 5 0 5 5 9 Obr. : Konštrukcia náčrtu grafu funkcie = 4 5 0
8 = ( ) 0 6 4 8 Obr. : Náčrt grafu funkcie = + 6 3. Daná je funkcia g : = + 3. Určte všetk D(g), pre ktoré platí: a) g() = g(0), [{0; }]; b) g() = g( ), [{ ; 3}]. 4. Určte všetk kvadratické funkcie dané rovnicou tvaru = + b + c, ktorým patria usporiadané dvojice [0; ], [; 4]. [ = + ] 5. Rozhodnite, či eistuje kvadratická funkcia h, pre ktorú platí: h(0) = 5, h() = 0 a h( ) = = 4. [h : = 3 + 5] 6. Určte obor hodnôt daných funkcií a súradnice priesečníkov ich grafov so súradnicovými osami: a) = + + ; [H = ; ), [0; ]] b) z = t + t ; [H = ;, [0; 0]] c) u = 3s. [H = ( ;, [0; ], [; 0], [/3; 0]]
5 9 0 = 3 + 4 = t + 9 5 t 9 3 4 5 9 9 9 = 3 6 = 6 6 3 3 3 3 4 = + 4 8 3 = + 4 + 3 5 Obr. 3: Graf funkcií úloh a) f)
5 5 4 6 6 3 = +3 + 3 = 3 4 5 = + 5 4 = + 4 4 4 = + = + + Obr. 4: Graf funkcií úloh g) l) 3
3 = 0 3 4 5 6 7 8 9 Obr. 5: Graf funkcie = Funkcia n-tá odmocnina, iracionálne rovnice a nerovnice V časti o algebrických výrazoch sme uviedli definíciu n-tej odmocnin a niektoré jej základné vlastnosti. Pripomíname, že pre každé n N, n a) n-tou odmocninou nezáporného čísla a (označujeme n a) nazývame také nezáporné číslo b, pre ktoré platí b n = a; b) v prípade, že n je nepárne číslo a a < 0, tak rovnica b n = a má v R práve jedno riešenie b = n a ; c) platí: n an = a pre párne n a n an = a pre nepárne n. Definícia 0 Nech n N, n. Funkciou n-tá odmocnina nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom = n. (9) Definičným oborom tejto funkcie je pre párne n množina 0; ) a pre nepárne n celá množina reálnch čísel R. Ľahko sa dá overiť, že pre jej obor hodnôt platí H = D a že je to prostá funkcia. V ďalšom výklade sa budeme zaoberať len prípadom n =. Na obr. 5 je znázornený graf funkcie =. V súradnicovej sústave O je to časť parabol =, pre ktorú je 0 (osou tejto parabol je os a jej vrchol má súradnice [0; 0]). Príklad Určme definičný obor funkcií, načrtnime ich graf a stanovme ich priesečník so súradnicovými osami: a) = ; b) =. Riešenie. a) Druhá odmocnina eistuje v množine R len z nezáporných čísel. Preto pre výraz z predpisu funkcie musí platiť 0, čo je ekvivalentná nerovnica s nerovnicou. Teda D = ; ). Graf funkcie = dostaneme z grafu funkcie = (obr. 5) posunutím vpravo o vektor v = [; 0] pozri obr. 6 vľavo. Daná funkcia priradí číslu hodnotu = = 0, a preto graf funkcie pretína -ovú os v bode so súradnicami [; 0]. Vidno to aj z jej grafu rovnako aj fakt, že -ovú os nepretína. 4
= 0 3 4 5 6 7 8 = 0 5 4 3 3 Obr. 6: Náčrt grafov funkcií = a = b) Na určenie definičného oboru funkcie = je nevhnutné vriešiť nerovnicu 0. Jej riešením je množina ( ; = D. Ako získať graf tejto funkcie? Je zrejmé, že = ( )( ). Tak graf funkcie = dostaneme z grafu funkcie = pomocou transformácie násobenie číslom ( ). To je chbná úvaha, lebo násobenie číslom ( ) neplatí pre predpis týchto funkcií, t. j. = ( ). Tak ako na to? Tí, čo sú zručnejší v analtickej geometri vedia, že grafom je časť parabol = ( ), ktorá je nad -ovou osou. M zvolíme iný postup: všimnime si, že funkcia = priradí číslu 0 číslo. Súmerne združeným bodom na osi k bodu 0 vzhľadom na bod je bod 4. Funkcia z časti a) = priradí bodu 4 tiež hodnotu. Ukážeme, že táto vlastnosť je splnená pre ľubovoľné číslo a ( ; ). Súmerne združeným bodom na osi k bodu a vzhľadom na bod je bod (4 a) (stačí si uvedomiť, že aritmetickým priemerom čísel a a (4 a) je číslo ). Potom funkcia = priradí číslu a číslo = a; funkcia = priradí združenému číslu (4 a) vzhľadom na číslo = (4 a) = a. Teda rovnaké funkčné hodnot. To ale znamená, že graf funkcie = je osovo súmerný vzhľadom na priamku = s grafom funkcie =, ktorý poznáme z časti a). Teda stačí k nemu načrtnúť graf funkcie v uvažovanej osovej súmernosti dostaneme graf, ktorý je uvedený na obr. 6 vpravo. Z tohto grafu (ale aj z predchádzajúcich úvah) vplýva, že graf funkcie = pretína os tiež v bode so súradnicami [; 0] a os v bode so súradnicami [0; ]. Teraz sa budeme zaoberať iracionálnmi rovnicami, t. j. rovnicami s neznámou z R v odmocnenci. Príklad 3 Riešme v R rovnicu + + 4 + 3 = 3 +. Riešenie. Budeme postupne odstraňovať druhé odmocnin: umocníme obe stran rovnice na druhú. S pravou stranou je to jednoduché, lebo pre isté hodnot platí: [ ] 3 + = 3+ +. Na ľavej strane použijeme znám vzorec (a + b) = a + ab + b, v ktorom a = + a b = 4 + 3. Dostaneme rovnicu ( + ) + ( + )(4 + 3) + (4 + 3) = 3 +, pre ktorú platí, že každé riešenie pôvodnej rovnice je zároveň aj jej riešením. Túto rovnicu upravíme na tvar ( + )(4 + 3) =. 5
Opätovným umocnením oboch strán na druhú a jednoduchými úpravami dostaneme + 5 + 4 = 0, čo je kvadratická rovnica, ktorej riešenia sú = alebo = 4. Nakoľko sme použili pri riešení danej rovnice neekvivalentnú úpravu (umocňovanie na druhú), musíme sa presvedčiť, či tieto čísla sú skutočným riešením danej rovnice pre = dostaneme SL( ) = 0 + 9 = 3 a P (0) = 9 = 3, a preto = je riešením úloh; pre = 4 ľavá strana danej rovnice nie je definovaná, a teda 4 nie je riešením úloh. Takto K = { }. Iracionálne nerovnice môžeme riešiť pomocou ekvivalentných úprav nerovníc. Medzi ne však nepatrí umocňovanie na párne číslo tu b sme museli robiť diskusiu, či umocňujeme kladný alebo nezáporný výraz. Výhodné je použiť modifikáciu intervalovej metód, ktorú ukážeme v nasledujúcom príklade (túto metódu môžeme použiť aj pri iných tpoch nerovníc). Príklad 4 Riešme v R nerovnicu 8 + > 6 3. Riešenie.. Najprv určíme obor definície danej nerovnice. Ľavá strana Ľ () = 8 + je definovaná pre 8 + 0, t. j. ak ; 4. Pravá strana P () = 6 3 je definovaná pre každé R, a preto o danej nerovnici má zmsel uvažovať pre ; 4 = D, čo je jej požadovaný definičný obor.. Vriešime zodpovedajúcu rovnicu v R, ktorá má v našom prípade tvar 8 + = 6 3 (0) a riešime ju umocnením na druhú. Odtiaľ 5 9 + 4 = 0. Ľahko zistíme, že pre rovnicu (0) je K = {}. 3. Nakreslíme tú časť číselnej osi, ktorá je určená definičným oborom nerovnice D (pozri obrázok nižšie) a znázorníme v nej bod množin K t. j. bod, ktoré sú riešením zodpovedajúcej rovnice z časti. V našom prípade znázorníme bod prázdnm krúžkom, lebo ide o ostrú nerovnicu, plný krúžok b sme dávali v prípade nerovnice tpu alebo : N P 4 4. Bod množin K rozdelia znázornený definičný obor nerovnice D na interval v našom prípade bodom sme dostali interval ; ) a (; 4. 6
5. Výberom vhodných bodov z jednotlivých získaných intervalov overíme, či v nich je splnená požadovaná nerovnosť v danej nerovnici. Ak áno, tak označíme na obrázku skúmaný interval napr. znakom P (platí nerovnosť) a v opačnom prípade znakom N. V našom príklade pre 0 ( ; ) je Ľ (0) = 8 6 = P (0), a preto na ; ) daná nerovnica neplatí, čo sme na obrázku nad intervalom zaregistrovali dohodnutým znakom N. Obdobne pre (; 4) je Ľ () = 8 > 0 = P (), a tak na (; 4 nerovnica je splnená a tento interval sme označili znakom P. 6. Riešením danej nerovnice je zjednotenie všetkých intervalov, ktorým bol priradený znak P. V našom prípade je to interval (; 4. Úloh Určte definičné obor funkcií:. = 3 + 3 + ; [ ; ]. = + 7 4 + 6 + 4 ; [( ; 4) /; + )] + 0 3. = ; [ 5; 4 (6; + )] 6 4. = + 0 6. [(6; + )] 7
Riešte v R iracionálne rovnice, resp. nerovnice alebo sústav iracionálnch rovníc:. + 3 + + 3 4 = 7; []. + 5 = 7; 3. + 5 + = 4; [4,5] [] 4. + b b = a + b a b ; [a ; a b] 5. 9 6 + = 3; [ 3, )] 6. + = + ; [0] 7. + = + ; [nemá riešenie] 8. + + = 3 ; [] 9. 9 + 6 = 7; [5] 0. + + + = 4 + 5; [ ]. 3 + 8 + 4 3 + 8 = 6; []. 7 = 8 3 ; [] 3. + 4 + = ; [3] 4. 3 + 6 5 = 3, 7 + 6 9 = ; [[0; 0]] 5. + + = a, 6. + 3 = ; + = b; [ a + b 4 ; ab ] [nemá riešenie] 7. 3 + 3 = ; [6] 8. 9. 3 + 3 + 4 3 3 + 4 = ; [4] + = 3; [4] 8
0. + 3 3 + = 5 6 ; [ 6]. 5 4 + 8 + 8 + 5 4 = ; [nemá riešenie]. 3 9 9 + 3 = 0 ; [3; /] 3 5 6 3. + 5 6 = 5 ; [; /5] 4. + < ; [ ; 0) (; + )] 5. 5 + + 7 > 3; [ 0; 5 ] 6. + 5 6 > + ; [( ; 6 (0; + )] 7. 3 + 6 >. [( ; ) (0; 3)] Odporúčané zdroje [] Baculíková, B. Grinčová, A.: Matematika I. Vzorové a neriešené úloh, TU v Košiciach (03) 57 s., ISBN 978-80-553-50-0, http://web.tuke.sk/fei-km/sites/default/ files/priloh/3/vzorove_a_neriesene_uloh_0_0.pdf, [navštívené 8. 6. 06] [] Buša, J. Schrötter, Š.: Stredoškolská matematika pre študentov FEI TU v Košiciach, TU v Košiciach (05) 80 s., ISBN 978-80-553-93-6, http://people.tuke.sk/jan.busa/ SM/Busa_Schrotter_Stredoskolska_matematika_05.pdf, [navštívené 0. 6. 06] [3] Džurina, J. Grinčová, A. Pirč, V.: Úvod do predmetu MATEMATIKA, http://web.tuke.sk/fei-km/sites/default/files/priloh/0/ M-Ucebnica-Dzurina-Grincova-Pirc.pdf, [navštívené 8. 6. 06] [4] Matematika I, elektronický učebný tet, http://it4kt.cnl.tuke.sk/c/mat/student/0. html, [navštívené 8. 6. 06] 9
Eponenciálna funkcia a eponenciálne rovnice Definícia Nech a je dané číslo, pre ktoré platí: a R + = (0; ), a. Eponenciálnou funkciou so základom a nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom Uvedieme základné vlastnosti eponenciálnej funkcie.. Jej definičným oborom je množina R všetkých reálnch čísel. = a. () a > = a = a 0 < a < a a 0 0 Obr. 7: Náčrt grafov funkcií = a. Grafom funkcie = a je tzv. eponenciálna krivka alebo eponenciála. Na ľavom obrázku je načrtnutý graf funkcie pre nejaké a > a na pravom pre 0 < a <. 3. Všetk eponenciál pretínajú v súradnicovej sústave O os v jedinom bode so súradnicami [0; ] (lebo a 0 = pre všetk uvažované hodnot a) a s osou nemajú spoločný bod. 4. Oborom hodnôt každej eponenciálnej funkcie je množina kladných reálnch čísel, t. j. D = = (0; ). 5. Každá eponenciálna funkcia je prostá. Príklad 5 Majme ľubovoľné číslo a také, že a (0; ), a. Eistuje nejaká súvislosť medzi grafom funkcie f : = a a grafom funkcie g : = a? Riešenie. Je zrejmé, že f je eponenciálna funkcia so základom a. Predpis funkcie g nie je priamo v tvare (), ale je mu podobný. Všimnime si, že pre ľubovoľné R platí: g( ) = a ( ) = a = f(). () Vieme, že bod je na číselnej osi súmerne združený s bodom ( ) vzhľadom na bod 0. Na základe () môžeme konštatovať, že hodnota funkcie f v ľubovoľnom bode je rovná hodnote funkcie g v združenom bode ( ). To ale znamená, že graf funkcie g dostaneme z grafu funkcie f pomocou osovej súmernosti vzhľadom na os (čo je priamka = 0). V súvislosti s tým vzniká prirodzená otázka: nie je aj funkcia g eponenciálna? Áno, je. Vidno to z tejto úprav jej predpisu: g() = a = ( a ) = ( a). g je teda eponenciálnou funkciou so základom /a. Tým sme ukázali, že graf eponenciálnej funkcie so základom a je súmerný v osovej súmernosti vzhľadom na os s grafom eponenciálnej funkcie so základom /a. Ukážeme základné metód na vriešenie eponenciálnch rovníc (t. j. rovníc, v ktorých sa vsktujú mocnin s neznámou v eponente): rovnicu upravíme na tvar 30
rovnosti dvoch výrazov s rovnakým základom (pozri príklad 6) a potom použijeme túto vlastnosť eponenciálnch výrazov: pre ľubovoľné reálne čísla a platí: v ktorom môžeme použiť substitúciu pozri príklad 7; a = a = ; (3) v ktorom môžeme obe stran rovnice logaritmovať k tomu potrebujeme poznatk o logaritmoch (pozri príklad ) Príklad 6 Vriešme v R rovnicu 9 v+ + 5 9 v+ = 4. Riešenie. Platí 9 v+ = 9 v 9 a 9 v+ = 9 v 9, čo znamená, že pre ľavú stranu danej rovnice je 9 v+ + 5 9 v+ = 9 v 9 + 5 9 v 9 = 9 v (9 + 5 9 ) = 6 9 v. Dospeli sme k ekvivalentnej rovnici 6 9 v = 4 a po predelení číslom 6 9 v = 9. Ale 9 = 9 a teda rovnica má tvar 9 v = 9. Odtiaľ na základe (3) dostávame, že riešením danej rovnice je číslo v =. Príklad 7 Riešme v R rovnicu 3 6 + 8 = 5 36. Riešenie. Vdeľme obe stran danej rovnice výrazom 36. Keďže tak daná rovnica nadobudne tvar 6 ( ) 6 ( ) 4 36 = = a 36 9 Ak označíme ( ) 4 9 = t, tak získame rovnicu ( ) 4 ( ) 9 3 + = 5. 9 4 3t + t = 5 8 ( ) 8 ( ) 9 36 = =, 36 4 a odtiaľ po jednoduchých úpravách dostaneme 3t 5t + = 0. Riešením tejto rovnice je t = a t = /3. Na základe použitej substitúcie je ( 4 9 ) = = 0 a ( 4 Takto K = {0; /}. 9) = 3 ( ) ( ) = = 3 3. 3
Úloh Načrtnite graf funkcií:. =. = 8 3. = 5 + 4. = 7 Grafick znázornite ohraničené oblasti ohraničené krivkami zadanými nasledujúcimi predpismi:. =, =, = 5 ;. = 3, =, = 0 ; 3. = 5, = +, = 0 ; 4. =, = ; 5. = 6, = 0 ; 6. =, = 0 ; 7. = +, = 3 + 4 ; 8. = 6, = + 5 + 4 ; 9. =, = 3 ; 0. = 4, + = 5 ;. = 3, = 4 ;. = e + 3, = e, = 0 ; 3. = e, =, = 4 ; 4. = e /, = e, = 0. 3
Základné vlastnosti logaritmu a logaritmická funkcia. Jednoduché logaritmické rovnice Definícia Ak a > 0, a a je ľubovoľné kladné reálne číslo, tak eistuje jediné reálne číslo l, také že a l =. Toto jediné reálne číslo nazývame logaritmom čísla pri základe a a označujeme ho zápisom log a. Je potrebné dobre si zapamätať podstatu tejto definície: log a = l a l =. (4) Teda číslo a vstupuje v základe logaritmu log a a aj v základe eponenciálneho výrazu a l. Príklad 8 Určme hodnot: a) log 3 8; b) log 0 0,00; c) log 8. Riešenie. a) Na základe (4) je log 3 8 = l 3 l = 8. Ale 8 = 3 4, a tak poslednú rovnicu môžeme zapísať v tvare 3 l = 3 4. Odtiaľ l = 4 a teda log 3 8 = 4. Pri minimálnej zručnosti s logaritmami sme mohli dospieť k výsledku otázkou: 3 na koľkú je 8? Odpoveď je: na štvrtú. Preto log 3 8 = 4. b) Keďže 0,00 = 0 3, tak log 0 0,00 = 3. c) Mohli b sme položiť otázku: na koľkú je 8? Ak b sme nevedeli odpoveď, tak b sme použili opäť (4) a dostali b sme log 8 = l ( ) l = 8. Ale ( ) 3 8 = 3 =, a teda log 8 = 3. Teraz uvedieme základné vlastnosti logaritmu. V: Pre každé a > 0, a, a pre všetk kladné reálne čísla r, s platí ak je t R log a (r s) = log a r + log a s; log a r s = log ar log a s; log a r t = t log a r. V: Nech a, b sú ľubovoľné čísla množin R + {} a r číslo z množin R +. Potom log b r = log ar log a b. Vidno to z grafu eponenciálnej funkcie = a l (pozri graf na obr. 7), kde l je nezávisle premenná a je závisle premenná. 33
3 = log a 3 0 a= 3 4 0 a= 3 4 3 3 = log a Obr. 8: Náčrt grafov funkcií = log a pre a = vľavo a a = / vpravo V3: Pre každé a R +, a a pre všetk, R + platí: log a log a, čiže log a = log a =. Poznámka 7 Prechodu od rovnosti = k rovnosti log a = log a (viď V3) hovoríme logaritmovanie rovnosti =. Tu je potrebné požadovať, ab a nadobúdali len kladné hodnot. Ak teda logaritmujeme nejakú rovnicu, tak je nevhnutná skúška správnosti pre vpočítané hodnot (ináč b sme museli nájsť množinu, na ktorej sú obe stran rovnice kladné). Poznámka 8 V zápise log 0 zvčajne vnechávame základ 0 a píšeme len log, občas sa môžete stretnúť aj s označením lg. Namiesto log e (tzv. prirodzený logaritmus logaritmus naturalis, ktorého základom je Eulerovo číslo e =,788) zvkneme písať ln. A ab to nebolo úplne jednoduché, informatici zvknú písať log namiesto log a vo viacerých programovacích jazkoch (napr. C, Matlab, Maima,... ) sa označenie log používa pre prirodzený logaritmus! Definícia 3 Nech a > 0, a je dané číslo. Logaritmickou funkciou so základom a nazývame každú funkciu, ktorá je daná predpisom kde (0; ). Uvedieme základné vlastnosti tejto funkcie = log a, (5). Jej definičným oborom je množina všetkých kladných reálnch čísel, ktorú zvkneme označovať smbolom R +.. Graf funkcie = log a je znázornený na obr. 8: na ľavej časti obrázku je načrtnutý jej graf pre zvolené a > a na pravej pre 0 < a <. 34
= ( ) 3 = log 3 0 Obr. 9: Graf eponenciálnej a logaritmickej funkcie s rovnakým základom 3. Graf všetkých logaritmických funkcií (5) pretínajú v súradnicovej sústave O os v jedinom bode so súradnicami [; 0] (lebo log a = 0 pre všetk uvažované hodnot a) a s osou nemajú spoločný bod (os je asmptotou grafu). 4. Oborom hodnôt každej logaritmickej funkcie je množina všetkých reálnch čísel, t j. D = R. 5. Každá logaritmická funkcia (5) je prostá. 6. Graf funkcie = log a prechádza bodom, ktorého súradnice sú [a; ] a tiež bodom so súradnicami [/a; ]. Poznámka 9 Každé číslo log a je podľa (4) definované pomocou eponenciálneho výrazu a l, pričom základ sú rovnaké. Vzniká otázka: ako súvisí graf logaritmickej funkcie s grafom eponenciálnej funkcie? Ak znázorníme v jednej súradnicovej sústave graf funkcií = log a a = a, (základ sú rovnaké!), tak graf budú osovo súmerné vzhľadom na priamku =. Na obr. 9 sú znázornené tieto graf v prípade a = 3 (skúste si načrtnúť tieto graf v prípade napr. a = 3 ). Príklad 9 Určme definičný obor a obor hodnôt daných funkcií, načrtnime ich graf a určme ich priesečník so súradnicovými osami: a) = log 0,5 ( + ); b) = log ; c) = log 8. 3 Riešenie. V predpisoch všetkých troch funkcií vstupuje logaritmus, ale ani jeden nie je v tvare (5). Uvedieme jednu z možností ako sa s príkladom vsporiadať. Komu je znám pojem inverzná funkcia vie, že ak znázorníme graf funkcie a graf k nej inverznej funkcie v jednej súradnicovej sústave, tak tieto dva graf sú vžd osovo súmerné vzhľadom na priamku =. V našom prípade je logaritmická funkcia inverznou funkciou ku eponenciálnej funkcii. 3 Niektoré pramene používajú korektnejšie zápis: namiesto = log píšu = log( ) a namiesto = log 8 zas = log (8). 35
a) Logaritmus eistuje len pre kladné čísla, a preto definičný obor funkcie = log 0,5 ( + ) dostaneme vriešením nerovnice + > 0. Odtiaľ máme D = ( ; ). Aký je jej obor hodnôt? Pokúsime sa ho získať z grafu funkcie. Graf funkcie = log 0,5 poznáme (pozri pravú časť obr. 8). Posunutím tohto grafu o vektor v = [ ; 0], (t. j. posunutím proti smeru osi o hodnotu ) dostaneme graf našej funkcie = log 0,5 ( + ), ktorý je uvedený na obr. 0. Jeho kolmým priemetom na os získame obor hodnôt danej funkcie: je zrejmé, že H = R. Poďme na priesečník so súradnicovými osami: priesečník s osou : tu stačí zistiť hodnotu danej funkcie v bode 0. Keďže log 0,5 (0 + ) = = log 0,5 =, tak graf pretína os v bode so súradnicami [0; ]; priesečník s osou : tu je potrebné zistiť, či v nejakom čísle nadobúda daná funkcia hodnotu 0. To musíme riešiť rovnicu log 0,5 ( + ) = 0. Na základe (4) dostaneme 0,5 0 = + =. Teda graf danej funkcie pretína os v bode so súradnicami [ ; 0]. b) Definičný obor funkcie = log je daný riešením nerovnice > 0. Odtiaľ je D = R {0} = ( ; 0) (0; ). Ale ako sa dopracovať ku grafu funkcie f : = log? Keb tam nebol ten logaritmus tak b to bola parabola! A čo tak úprava predpisu funkcie podľa vlastnosti V: log = log? Dostaneme tým funkciu g : = log (6) a jej graf už vieme získať z grafu funkcie = log (čiarkovaný graf na obr. ) dvojnásobnou dilatáciou (násobenie číslom ). Táto úvaha je správna len pre kladné, lebo definičným oborom funkcie g je množina (0; ). Ale definičný obor funkcie f je ( ; 0) (0; ). Ako sa vsporiadať s intervalom ( ; 0)? Všimnime si, že pre ľubovoľné 0 platí f( ) = log( ) = log = f(), čo znamená, že hodnot funkcie f sa vo dvojici súmerne združených bodov a ( ) rovnajú. Teda jej graf je osovo súmerný vzhľadom na os. Požadovaný graf dostaneme z grafu funkcie g pomocou osovej súmernosti vzhľadom na os pozri obr.. Z obrázku vidno, že oborom hodnôt danej funkcie je opäť množina R. Keďže číslo 0 nie je z definičného oboru danej funkcie, tak jej graf nepretína os. Os pretína v bodoch, ktorých -ové súradnice sú riešením rovnice log = 0. Odtiaľ podľa (4) je =, a teda = ±. Graf danej funkcie pretína -ovú os vo dvoch bodoch, ktorých súradnice sú [ ; 0] a [; 0]. c) Definičný obor funkcie = log 8 získame riešením nerovnice 8 > 0. Odtiaľ je D = (0; ). Graf našej funkcie = log 8 b sme mohli dostať osemnásobnou kontrakciou známeho grafu funkcie = log. Ukážeme názornejší postup: na základe vlastnosti V a (4) platí: 36