Analitička geometrija afinog prostora

Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i samo ako postoje realni brojevi α i, i =,,, k +, k + takvi da je k+ k+ k+ α i r i = θ, α i =, αi Dokažite tvrdnju i= i= Rješenje: Smjer Pretpostavimo da točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s Kako je k + s +, to su navedene točke nužno linearno zavisne Dakle, postoje realni brojevi β i, i =,, k +, k + takvi da je k+ i= β ia A i = θ i k+ i= β i Vrijedi k+ i= k+ β i A A i = i= β i ( A O + i= k+ k+ OA i ) = ( β i )r + i= i= β i OAi Za α = k+ i= β i i α i = β i, i =,, k +, vrijedi tražena tvrdnja Smjer Pretpostavke k+ i= α ir i = θ, k+ i= α i =, k+ i= α i povlače da je α = k+ i= α i i k+ k+ k+ α i r i = α i (r i r ) = i= i= i= α i A A i = θ Nužno je i k+ i= α i, jer bi u suprotnom iz α = = α k+ = slijedilo da je α i + = što je suprotno pretpostavci da je k+ i= α i Stoga je skup vektora { A A,, A A k+ } linearno zavisan, pa postoji s-ravnina koja ih sadrži, pri čemu je s jednak dimenziji linearne ljuske koje razapinju vektori A A,, A A k+ Točke T, T, T n+ leže u istoj hiperravnini afinog prostora A n Dokažite da za svaku točku T A n postoje realni brojevi α, α,, α n+ čija je suma i od kojih je barem jedan različit od, tako da vrijedi n+ α it T i = θ i= Rješenje: Skup od n vektora { T T,, T T n+ } pripada smjeru hipperravine koja je n -dimenzionalni vektorski potprostoru od W, pa je je nužno linearno zavisan Stoga postoje realni brojevi β i, i =,, n + takvi da je barem jedan od njih različit od (odnosno n+ i= β i ) i n+ i= β it T i = θ Otuda je n+ θ = β i ( T T + T T i ) = ( i= n+ i= β i ) n+ T T + Uz α = n+ i= β i i α i = β i, i =,, n +, vrijede tvrdnje i= β i T T i

3 U afinom prostoru A n dane su linearno nezavisne točke A i (r i ), i =,,, n, n + Dokažite da se radijus-vektor r bilo koje točke T A n može na jedinstven način prikazati u obliku: n+ n+ r = α i r i, gdje je α i = i= Rješenje: Skup vektora { A A,, A A n+ } je linearno nezavisan u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru W, pa stoga predstavlja bazu tog prostora Postoje jedinstveni realni brojevi β, ldots, β n+ takvi da je A T = n+ A A i Iz slijedi da je i= i= β i A T = A O + OT, A A i = A O + OA i, i =,, n +, n+ OT = ( i= β i ) n+ OA + i= β i OAi Uz α = n+ i= β i i α i = β i, i =,, n +, slijedi tvrdnja 4 U afinom prostoru A n dane su točke A i (a i ), B i (b i ), i =,,, k tako da vrijedi b i = k k ( a j a i ), za i =,,, k j= Dokažite da su A, A,, A k linearno nezavisne točke ako i samo ako su B, B,, B k linearno nezavisne točke Rješenje: Tvrdnja očito slijedi iz B B i = OB i B O = (a k a i ) = A k A i, i =,, k 5 U A n su dane točke A i, i =,,, k Odredite nužan i dovoljan uvjet da za skalare λ,, λ k vektor v = k i= λ i T Ai ne ovisi od izbora točke T A n Rješenje: Uvjet glasi k i= λ i = 6 Ako točke T i (r i ), i =,, k pripadaju ravnini π afinog prostora A i za realne brojeve λ i, i =,, k, vrijedi k i= λ i =, onda točka T s radijus-vektorom r T = k i= λ ir i pripada π Dokažite Rješenje: T T = OT OT = k OT i OT = k OT i OT = i= λ i i= λ i 7 Neka je N skup svi normiranih polinoma stupnja n, te P vektorski prostor polinoma stupnja manjeg ili jednakog od n Neka je preslikavanje v : N N P zadano sa v(p, q) = (p q) Dokažite da je (N, P, v) afini prostor, te mu odredite dimenziju Nadalje provjerite jesu li točke p, p,, p n N zadane sa p (x) = x n x n x n, p i (x) = n x j + (i )x n i, j= i =,,, n

u općem položaju Rješenje: (N, P, v) je afini prostor dimenzije n Lako se vidi da su vektori (polinomi) v(p, p ) = x n, v(p, p 3 ) = 4x n 3,, v(p, p n ) = (n ), v(p, p ) = 4(x n + x n + + ) linearno nezavisni, pa su točke p, p,, p n u općem položaju 3

Dijeljenje orijentirane dužine u zadanom omjeru 8 Neka su A, B, C, D točke afinog prostora A n, neka su P i Q polovišta dužina AB, CD; te neka su K, L, M, N redom polovišta dužina AQ, DP, BQ i CP Dokažite da se pravci KM i LN sijeku Rješenje: Treba pokazati da su točke K, L, M, N komplanarne, odnosno da je skup vektora KL, LM, MN linearno zavisan Zaista, vrijedi da je KL = [ a 4 i + b i c i + d i ] = MN, pri čemu je A = (a i ), B = (b i ), C = (c i ), D = (d i ) 9 Dane su točke O, A, B takve da je OA = a, OB = b Neka su E i F točke takve da je OE = a, OF = b, te neka se pravci AF i BE sijeku u T Izrazite OT pomoću a i b 3 Rješenje: OT = a + b 5 5 Neka su A, A, B, B, C, C točke afinog prostora Neka su A, B i C redom polovišta dužina A A, B B i C C, te neka su T, T i T redom težišta trokuta A B C, A B C i A B C Dokažite da su točke T, T i T uvijek kolinearne Rješenje: Može se pokazati da je T T = T T Neka su A, B, C, D i E proizvoljne točke afinog prostora A n Neka su M, N, P i Q redom polovišta dužina AB, CD, BC i DE, te K i L polovišta dužina MN i P Q Odredite, ako postoji, broj λ takav da je KL = λae Rješenje: λ = 4 Za tri točke X, Y, Z afinog prostora sa [XY Z] označimo četvrti vrh paralelograma s vrhovima X, Y, Z; suprotan vrhu Y U afinom prostoru dane su točke A, B, C, D, E Ako je P = [ABC], Q = [BCD] i R = [CDE], dokažite da je [ABR] = [AQE] = [P DE] Rješenje: Neka je [ABR] = T Tada je AB = T R, odnosno AQ + QB = T E + ER Budući da je QB = DC = ER, slijedi da je AQ = T E, tj [AQE] = T Analogno se pokaže ostalo 3 U afinom prostoru dane su točke A i = (a i ), i =,,, n i B j = (b j ), j =,,, n takve da vrijedi b j = (a k + a + + a j + a j+ + + a n ) za j =,,, n Dokažite da su točke B j, j =,,, n linearno zavisne ako i samo ako su točke A i, i =,,, n linearno zavisne Rješenje: Dovoljno je pokazati da je A A j = k B B j, j =,, n 4 U afinom prostoru dane su linearno nezavisne točke A, B i C Neka je A točka takva da je A B AC, A C AB, te neka je B točka takva da je AB BC, B C AB Odredite, ako postoji broj λ takav da je AB = λ A B Rješenje: λ = 5 Neka su A, B, C i D različite točke afinog prostora Neka su E i F polovišta segmenata AB i CD, te P, Q, R i S polovišta segmenata AF, ED, BF i EC redom Dokažite da je P QRS paralelogram Rješenje: Vrijedi da je P Q = [ a 4 i + b i c i + d i ] = SR, gdje je A = (a i ), B = (b i ), C = (c i ), D = (d i ) 6 U afinom prostoru dan je paralelogram ABCD Točke E i F su polovišta njegovih stranica BC i CD Dokažite da dužine AE i AF dijele dijagonalu BD na tri jednaka dijela 4

7 Dokažite da se dijagonale trapeza sijeku na spojnici polovišta njegovih osnovica Rješenje: Neka se dijagonale trapeza ABCD sijeku u točki S Tada je S = (λa i +( λ)c i ) i S = (λb i + ( λ)d i ) za neki λ, (zbog sličnosti trokuta ABS i CDS) Otuda je S = (λ a i+b i + ( λ) c i+d i ), dakle točka na spojnici polovišta osnovica trapeza 8 Neka je ABCD trapez u kojem je AB = a, AD = b i DC = λa Neka je T sjecište dijagonala AC i BD Prikažite vektor AT pomoću a, b i λ Rješenje: AT = λ a + b +λ +λ 9 U afinoj ravnini dan je šesterokut ABCDEF, takav da je AB = ED, BC = F E i CD = AF Dokažite ili opovrgnite: njegove tri glavne dijagonale sijeku se u jednoj točki Rješenje: Treba uočiti da su ABED, BCF E i CDAF paralelogrami, te da se njihove dijagonale sijeku u jednoj točki -9-3 U afinoj ravnini dan je šesterokut ABCDEF, takav da je CF = BA = DE Dokažite ili opovrgnite: tada je i AD = BC = F E Rješenje: Ne mora vrijediti U paralelogramu ABCD točka M je polovište stranice AB, a točka N se nalazi na stranici CD, tako da je 3 DN = DC Ako je P sjecište dijagonala AC i BD, Q sjecište AN i MD, a R sjecište BN i MC, pokažite da su točke P, Q i R kolinearne Rješenje: Može se pokazati da je P Q = ( 3 AB + AD) i P R = ( 3 AB + 4 AD), pa su P, Q i R kolinearne Neka je ABC trokut, T njegovo težište, AA, BB, CC težišnice, i A, B, C redom polovišta segmenata AT, BT, CT Dokažite da su nasuprotne stranice šesterokuta A B C A B C sukladne i paralelne Rješenje: Treba pokazati da je A C = C A, C B = B C i A B = B A Sve vektore prikažemo npr u bazi AB, AC i dobivamo da je A C = AB AC = C 3 6 A itd 3 Neka je ABCD četverokut u afinoj ravnini, te neka su K, L, M, N, P i Q redom polovišta stranica AB, BC, CD, DA i dijagonala AC i BD Dokažite da su četverokuti KP MQ i LP N Q paralelogrami Rješenje: Neka su a, b, c i d radij-vektori točaka A, B, C i D Označimo i radij-vektore ostalih točaka odgovarajućim malim slovima Vrijedi Zato je k = a + b, l = b + c, m = c + d, n = d + a, p + q p = a + c, q = b + d = n + l = k + m = a + b + c + d, što znači da dužine P Q, NL i KM imaju zajedničko polovište, pa su KP MQ i LP MQ (i KLM N, naravno) paralelogrami 5

4 Neka su A, B, C, D i P točke afinog prostora A n takve da se pravci AB i CD sijeku u točki P Dokažite da je AC BD ako i samo ako je (ABP ) = (CDP ) Rješenje: Ako je AC BD, onda su trokuti P DB i P CA slični, pa (ABP ) = (CDP ) Obratno, slijedi da je CAB = DBA, pa je AC BD 5 Neka su A, B i C različite točke afinog prostora A Za koje točke T A vrijedi relacija Rješenje: Vrijedi za sve T A i T B, C (ABT )(BCT ) + (ACT ) =? 6 Neka su A, B, C nekolinearne točke afinog prostora, te neka su A i B točke takve da je (CBA ) = α i (CAB ) = β Ako se pravci AA i BB sijeku u točki T, odredite (AA T ) i (BB T ) 9863 7 Neka su A, B, C i D različite točke afinog prostora, te neka su K, M, P i T točke takve da je (ACK) = (BDP ) = /3 i (ACM) = (BDT ) = 3 Dokažite da polovišta segmenata AD, BC, P M i KT leže na istom pravcu Rješenje: Označimo polovišta segmenata AD, BC, P M i KT sa P, P, P 3 i P 4 Koordinate polovišta možemo prikazati preko koordinata točaka A, B, C i D; P = ( a i + d i ), P = ( b i + c i ), P 3 = ( a i + 3b i + 3c i + d i ), P 8 8 8 8 4 = ( 3a i + b i 8 8 + c i 8 + 3d i ) Konačno, 8 jer je P P 3 = 3 P 4 P, P P 4 = P 4 P, slijedi tvrdnja 8 Neka su A, B, C, X i Y točke afinog prostora Ako je (ABX) = α, (BCY ) = β i (XY B) = γ, koliko je (ABC)? Rješenje: (ABC) = (+α)βγ +β 9 Ako je poznato da je (ABC) = α, (BCD) = β i (CDE) = γ, odredite (ABD) i (ACE) 3 Neka su A B C D i A B C D paralelogrami, te neka su A 3, B 3, C 3 i D 3 točke takve da je (A A A 3 ) = (B B B 3 ) = (C C C 3 ) = (D D D 3 ) = τ Dokažite ili opovrgnite: četverokut A 3 B 3 C 3 D 3 je paralelogram Rješenje: Vrijedi D 3 C 3 = D +τ C + τ D +τ C = A +τ B + A 3 B 3 C 3 D 3 paralelogram 3 Za kolinearne točke A, B, C, D definiramo [ABCD] = (ABC) (ABD) τ +τ A B = A 3 B 3, pa je Dokažite da je [ABCD] = [CDAB] = [DCBA] Rješenje: Neka je (ABC) = λ, (ABD) = µ Moě se pokazati da je (CDA) = λ(+µ) µ(+λ) (CDB) = +µ (CDA), pa je [CDAB] = = λ = [ABCD] Analogno preostali slučaj +λ (CDB) µ 3 Neka su A, B, C, D različite točke afinog prostora, a K, L, M i N točke takve da je i (ABK) = (BCL) = (CDM) = (DAN) = Dokažite ili opovrgnite: KL = NM Rješenje: KL = [c i a i ] = NM, gdje je A = (a i ), C = (c i ) 6

33 U afinom prostoru A n dane su 4 različite točke A, A, A 3, A 4 Neka su B, B, B 3, B 4 redom točke koje dijele orijentirane dužine A A, A A 3, A 3 A 4, A 4 A u istom omjeru λ, (λ R) Neka su M, N, S, T redom polovišta segmenata A A 3, A A 4, B B 3, B B 4 Dokažite da je ST MN Rješenje: Ako je A = (a () i ),,A 4 = (a (4) i ), onda je ST = λ (+λ) [ a() i + a () i a (3) i + a (4) i ] i MN = [ a() i + a () i a (3) i + a (4) i ], pa je ST MN 34 Neka su A, B, C, X, Y, Z različite točke afinog prostora Neka su P, Q i R redom polovišta dužina AX, BY i CZ, te neka su T, T i T redom težišta trokuta P QR, ABC i XY Z Dokažite da su točke T, T i T uvijek kolinearne Rješenje: Neka je A = (a i ), B = (b i ),, Z = (z i ) Vrijedi da je T T = [a 6 i +b i +c i x i y i z i ] i T T 3 = [a 3 i + b i + c i x i y i z i ], odnosno da su vektori T T i T T 3 kolinearni 35 Neka su A, B, C, D točke afinog prostora takve da je AB CD Neka su M i N redom točke presjeka pravaca AC i BD odnosno AD i BC Neka su X i Y točke u kojima pravac MN siječe AB odnosno CD Odredite (ABX) i (CDY ) Rješenje: Potrebno je uočiti da je ABM DCM i ABN CDN, otuda je MC = CD = CN = µ Vektor AX prikažemo u bazi vektora AB i MB AB AN AD na dva načina; AX = a AB i AX = AM + b NM = = ( +b + b ) +µ µ AD + bµ AB Otuda je a =, tj µ+ (ABX) =, te zbog sličnosto trokuta i (CDY ) = 36 Neka je ABCD paralelogram sa središtem O, te P točka u istoj ravnini Neka su M i N polovišta dužina AP i BP, te neka je R točka presjeka pravaca CM i DN Pokažite da točka R leži na OP i odredite (OP R) Rješenje: Ako je (DNR) = λ, onda je OR = λ OP + λ OB Pokaže se da je (+λ) (+λ) λ =, pa otuda slijedi da točka R leži na OP i da je (OP R) = 37 Neka su A, B, C, A, B i C točke afine ravnine takve da je (A B C ) = (A B C ) = λ Izrazite, ako je moguće C C pomoću A A, B B i λ Rješenje: C C = A A + λ B B +λ +λ 38 Neka su A, B i C različite točke afinog prostora Neka su M i N točke takve da je (ABM) = x i (BCN) =, x, x ± Neka se AN i CM sijeku u točki P i neka x BP siječe AC u točki T Odredite (ACT ) Rješenje: (ACT ) = 39 U afinoj ravnini dan je trapez ABCD Neka je O sjecište njegovih dijagonala AC i BD, a T sjecište krakova AD i BC Ako je (ACO) = (BDO) = λ, izrazite OT pomoću OC, OD i λ Rješenje: OT = λ OC + OD λ λ 4 U afinoj ravnini dane su točke A, B i C Neka su M i N točke takve da je (ABM) = i (ACN) = Ako se pravci BC i MN sijeku u točki T, odredite (BCT ) 4 Neka su O, A, B, M, N, P i Q različite točke afinog prostora takve da vrijedi (AP B) = (BQA) = (OQM) = (OP N) 7

Dokažite da postoji točka T takva da je (NT B) = (MT A) Rješenje: Najprije uočimo da sve spomenute točke leže u -ravnini odredenoj točkama O, P i Q Označimo a = OA i b = OB Neka je (AP B) = (BQA) = (OQM) = (OP N) = λ Vrijedi AB = λ BP, tj b a = λ( OP b), odakle slijedi λop = ( + λ)b a Na sličan način dobivamo λ OQ = ( + λ)a b Iz (OQM) = λ slijedi OM = λ MQ = λ( OQ OM) Dakle (λ + ) OM = λ OQ = ( + λ)a b Slično, (λ + ) ON = λ OP = ( + λ)b a Pravci AM i BN se sijeku (nisu paralelni) ako i samo ako postoji točka T i α i β takvi da je (MT A) = α, (NT B) = β Tada je MA = α AT, a OM = α( OT a) α OT = ( + α)a OM = ( + α)a (a b) = αa + + λ + λ b Slično je β OT = βb + a Slijedi +λ OT = a + α( + λ) b = b + a ( ) β( + λ) Iz linearne nezavisnosti vektora a i b sada slijedi = =, odnosno α = β = α(+λ) β(+λ) Dakle, (MT A) = (NT B) +λ Ako vektori a i b nisu nezavisni, znači da su točke O, A i B kolinearne, pa sve zadane točke leže na jednom pravcu U tom se slučaju lako provjeri tvrdnja 4 Na pravcima p i p afinog prostora A n koji se sijeku dane su točke A i, B i, C i p i, i =,, za koje vrijedi (A B C ) = (A B C ) Dokažite da ako točke P, Q, R dijele redom dužine A A, B B, C C u istom omjeru, onda su te točke kolinearne Rješenje: Neka je za neki λ R\{ } Tada je A P = λ P A, B Q = λ QB, C R = λ RC, P Q = P A + A B + B Q = λ A A + A B + λ B B λ + λ + = λ A A + A B + λ λ + λ + ( B A + A A + A B ) λ = A B + A B λ + λ + Na isti način dobiva se da je QR = λ B C + B C λ + λ + Sada iskoristimo pretpostavku da je (A B C ) = (A B C ), tj da vrijedi za neki µ R\{ } Otuda slijedi da je A C = µ C B, A C = µ C B, B C = A B, B C = A B + µ + µ 8

Konačno, dobivamo da je QR = + µ ( λ A B + A B ) = P Q, λ + λ + + µ pa su točke P, Q, R kolinearne 43 U E 4 su dani koordinatni sustavi (O, e, e, e 3, e 4 ) i (E 4, E 4 E 3, E 3 E, E E, E O), gdje je e i = OE i, i =,, 3, 4 Nadite vezu medu koordinatama točke u ova dva sustava Koje su stare koordinate točke čije su nove koordinate (,, 3, 4)? Rješenje: Matrica prijelaza glasi A = a jednadžba transformacija koordinata Stare koordinate točke su (7,,, ), X = AX + A, A = (,,, ) 9

Jednadžbe ravnina 44 Odredite kanonsku jednadžbu pravca koji siječe pravce i paralelan je s pravcem π x 3 = x 5 3 π { 4x 5x 75 = x 4x 3 + 7 = π 3 x = + 8τ, x = + 7τ, x 3 = 3 + τ Rješenje: Smjer traženog pravca π je s = [8, 7, ] Neka je A = (3+t, 5+3t, t) π π, te B = ( 75 + 5s, s, 7 + s) 4 4 4 4 π π Tada je AB = αs, za neki α RJednadžba AB = αs ekvivalentna je linearnom sustavu 5 4 63 s t 8α =, 4 s 3t 7α = 5, s t α = 7 4 4 Rješenje je t = 9, tj A = ( 6, 47, 9 ), pa je π x 6 8 = x + 47 7 + 9 45 U afinom prostoru A 4 odredite pripadni sustav linearnih jednadžbi ravnine koja sadrži točke K = (,,, ), L = (,, 3, 4), M = (,, 3, 3) i čijem smjeru pripadaju vektori a = [3, 3,, ], b = [,,, ] Rješenje: Rang matrice kojoj retke (ili stupce) predstavljaju vektori a, b, KL, KM je 3 Stoga je tražena ravnina hiperravnina točkom K, te smjerom odredenim vektorima a, b, KM Parametarske jednadžbe ravnine glase x = + 3t + t x = 3t + t + 3t 3 x 3 = t + t + 3t 3 x 4 = + 3 t 3 Eliminacijom parametara t, t, t 3, dobivamo opći oblik jednadžbe hiperravnine x x + x 4 = 4 46 Pripadaju li točke T = (,, 3, 3), T = (,,, ), T 3 = (,,, 4), T 4 = (,, 3, ), T 5 = (,,, ) istoj hiperravnini afinog prostora A 4? Rješenje: Najprije se odredi rang matrice kojoj vektori T T, T T 3, T T 3, T T 4, T T 5 čine stupce (ili retke) Rang iznosi 4 To znači da navedeni vektori predstavljaju bazu pripadnog vektorskog prostora Drugim riječima, točke T, T, T 3, T 4, T 5 su linearno nezavisne Pet linearno nezavisnih točaka ne može ležati u istoj ravnini

47 Dani su pravci π = A A i π = B B pri čemu je A = (5,, 3), A = (, 6, ), B = (5,, 4), B = (4,, 6) A 3 Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži π i paralelna je s π Rješenje: Tražena ravnnina π ima smjer razapet vektorima A A, B B, te prolazi toǩom A (ili A ) Njena jednadžba glasi x + 9x + 5x 3 = 66 48 Ravnina π A 3 prolazi točkom T = (7, 5, ) i na koordinatnim osima odsijeca jednake odsječke Odredite jednadžbu te ravnine Rješenje: x + x + x 3 = 3 49 Odredite jednadžbu ravnine u afinom prostoru A 5 koja prolazi točkom (, 5, 3,, ), paralelna je s ravninom x = t + s x = 4t x 3 = s x 4 = 3t + s x 5 = s a sadržana u x + 7x x 3 + 7x 4 7x 5 = a, za neki a Rješenje: Tražena ravnina π paralelna je danoj ravnini smjera W = [[, 4,, 3, ], [,,,, ]], pa je smjer ravnine π podskup ili nadskup od W Uočimo npr da vektor [,,,, ] W nije paralelan sa zadanom hiperravninom (jer je +7 ( )+7 7 ( ) ), pa smjer od π mora biti podskup od W Jasno je naravno da je točka (, 5, 3,, ) ravnina koja zadovoljava sve postavljene uvjete Odredimo, ako postoji, takav pravac Njegov vektor smjera je a[, 4,, 3, ] + b[,,,, ] = [ a + b, 4a, b, 3a + b, b] Mora vrijediti ( a+b)+7 4a ( b)+7 ( 3a+b) 7 ( b) =, odnosno a+b = Traženi pravac ima vektor smjera [, 4,, 3, ] [,,,, ] = [, 4,, 4, ], odnosno [,,,, ] Jednadžba traženog pravca je x + = x 5 + 3 = x 4 = x 5 5 Odredite jednadžbu hiperravnine u afinom prostoru A 4 koja prolazi točkom T = (,,, ), paralelna je s pravcem x = x + 3 = x 4 te odsijeca jednake odreske na koordinatnim osima x, x 3, x 4 Rješenje: Jednadžba hiperravnine π koja odsijeca jednake odreske na koordinatnim osima x, x 3, x 4 glasi x a + x b + x 3 b + x 4 b = Iz uvjeta T π dobivamo a + = Budući da b je vektor v = [, 3,, ] vektor smjera ravnine π, slijedi da je T + v = (4,,, ) π Otuda je 4 =, tj a = 4 Stoga je i b = 4, pa jednadžba tražene hiperravnine glasi a x + x + x 3 + x 4 = 4

5 U afinom prostoru A 5 dane su točke A = (,,,, ) i B = (,,,, ) te vektori a = [,,,, ], a = [,,,, ], b = [,,,, ] i b = [,,,, ] Neka je π ravnina točkom A smjera [a, a ], i π ravnina točkom B smjera [b, b ] Odredite, ako postoji, pravac kroz ishodište koji siječe ravnine π i π Rješenje: Pretpostavimo da ravnina π siječe traženi pravac π u točki A = ( + α + α, α,, α, +α ), a ravnina π u točki B = ( β, +β +β, β,, β +β ) Vektori A i B su vektori smjera pravca π, pa su nužno kolineani, odnosno koordinate su im proporcionalne, tj postoji λ R takav da je A = λ B Ovu vektorsku jednadžbu možemo shvatiti kao linearni sustav od 5 jednadžbi u nepoznanicama α, α, λβ, λβ (mali trik; umjesto nepoznanica λ, β i β, nepoznanicama smatramo produkte λβ i λβ, jer je u tom slučaju naš sustav lineran) Sustav glasi α + α + λβ =, α λβ λβ = λ, λβ =, α = λ, α λβ λβ = Sustav koji se sastoji od prve četiri jednadžbe ima jedinstveno rješenje α =, α = λ, λβ = λ, λβ = Peta (posljednja) jednadžba je zadovoljena ako i samo ako je λ = Stoga je rješenje početnog problema α =, α =, β =, β =, λ = Traženi pravac prolazi točkama i A = (,,,, ), pa je njegova kanonska jednadžba x = x = x 4 = x 5 5 Odredite ravninu π A 5 minimalne dimenzije koja prolazi točkom A = (,, 3,, ), paralelna je s pravcem a sadrži pravac x 3 x = x = x + = x 4 + = x 4 = x 5 = x 5 4 3 Rješenje: Tražena ravnina π je ravnina točkom (,,,, 4) i smjerom W = [{[,,,, ], [,,,, 3]}] Dakle, dim(π) = 53 Odredite parametarsku jednadžbu ravnine najmanje dimenzije koja sadrži točke (,,, ) i (,, 3, ), paralelna je s pravcem x 3 3 = x + 3 i leži u hiperravnini x x + x 3 x 4 = 3 3 = x 4 + 3 Rješenje: To je -ravnina čije parametarske jednadžbe glase x = +3t 3s, x = +s, x 3 = t + s, x 4 = + t 3s Uvjet da ova ravnina leži u danoj hiperravnini se lako provjeri uvrštavanjem, ( + 3t 3s) ( + s) + ( t + s) ( + t 3s) = 3 54 Odredite, ako postoji, ravninu maksimalne dimenzije koja sadrži pravac π x = x 3 = x 4 + = x 5,

sadržana je u hiperravnini π x = x 4 i paralelna s π x + x 4 x 5 = 5 Rješenje: Ovakva ravnina ne postoji, jer pravac koji mora sadržavati ne leži u ravnini u kojoj ona mora biti sadržana, tj očito ne vrijedi π π π 55 U afinom prostoru A 5 odredite jednadžbu ravnine najmanje dimenzije koja sadrži pravac x = x = x 4 = x 5 i paralelna je s ravninom odredenom točkama O, E i (,,,, ) Rješenje: To je 3-ravnina točkom T = (,,,, ) i smjerom razapetim vektorima [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ] Jednadžbe ravnine glase x 4 =, x x 3 + x 5 = 56 U afinom prostoru A 5 odredite jednadžbu ravnine najveće dimenzije koja leži u hiperravnini π x + x x 4 = 3, prolazi točkom (,,,, ) i paralelna je s hiperravninom π x x + x 3 x 5 = Rješenje: Smjer hiperravnine π je W = [{[,,,, ], [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ]}], a od π je W = [{[,,,, ], [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ]}] Tražena ravnina prolazi točkom (,,,, ) i ima smjer W W Presjek W W je 3-dim vektorski potprostor razapet vektorima [,, 3,, ], [,,, 3, ], [,,,, 3] 57 Odredite presjek svih ravnina afinog prostora A 5 koje sadrže pravac x = x i paralelne su s ravninom x = x 3 3 = x 4 4 4 = x 5 5 5 3

Suma, presjek i medusobni položaj ravnina 58 Kakav je medusobni položaj ravnine odredene točkom T = (,, 3, 3, ) i smjera razapetog vektorima a = [,,, 3, ] i b = [,,,, 3] i hiperravnine 5x x x 5 = 6 Rješenje: Paralelne su 59 Odredite medusobni položaj ravnine π A 5 dane sustavom 3x x + x 5 = 4x + x + x 3 + x 4 = i pravca π odredenog točkama A = (,,, 3, ) i B(,,,, ) Rješenje: Mimosmjerni su 6 Odredite presjek i sumu, te medusobni položaj ravnina π i π afinog prostora A 4 ako je π ravnina odredena točkama A = (,,, ), A = (,,, ), A 3 = (3,,, ) i A 4 = (,,, ), a π hiperravnina točkom T = (4, 3,, ) paralelna s hiperravninom točkama E, E, E 3 i E 4 Rješenje: Presjek ovih ravnina je pravac x + A 4 = x = x 4, a suma je čitav prostor 6 U ovisnosti o parametru m R odredite jednadžbu i dimenziju presjeka i sume ravnina π i π u A 4, { 3x + x π + 5x 3 + 4x 4 = 3 x + 3x + 6x 3 + 8x 4 = 5 { x 6x π 9x 3 + x 4 = 4x + x + 4x 3 + mx 4 = Rješenje: Sustav za π π nema rješenja, a rang matrice sustava je 3 Stoga su ravnine mimosmjerne 6 U afinom prostoru A 4 dane su ravnine π { x x + x 3 = x x x 3 + x 4 + 6 = i π koja prolazi točkom (3, 3, 4, ) i sadrži pravac x = x = x 4 + Odredite parametarske jednadžbe i dimenzije sume i presjeka tih dviju ravnina x = 3 s + t x = s + t x Rješenje: π = t x, π x 3 = 3 + s = s x 3 = + s π π dim(π + π ) = 3 x 4 = s x = + s x = + s x 3 = 3 + s x 4 = s x 4 = + s + t, dim(π π ) =, π + π, dim(π ) = dim(π ) =, x = 3 r + s + t x = s x 3 = 3 + r x 4 = r + t, 4

63 Dani su pravci π = A A i π = B B, pri čemu je A = (,,, ), A = (,,, ), B = (3,, 3, ) i B = (,, 3, ) Odredite π π i π +π (Sumu prikažite jednadžbom ili sustavom jednadžbi) { x x Rješenje: π π = (5,, 3, ), π + π + x 4 = x x 3 = 64 U afinom prostoru A 4 dane su ravnine π x = t x = 5 + t + t x 3 = + t t x 4 = + t π { x x x 3 = 3 x 4 = Odredite sumu i presjek tih ravnina Njihove jednadžbe zapišite u uobičajenom obliku (bez parametara) Rješenje: Slično je već riješeno 65 U afinom prostoru A 5 dani su točka T = (,, 3,, ) i pravci π x π x = x = x = x 4 = x 4 3 = x 5 = x 5 4 Odredite parametarske jednadžbe ravnina π = T + π, π = T + π, π 3 = π + π i π 4 = T + π + π Koje su dimenzije ravnine π + π, (π 3 π 4 ) (π + π )? Rješenje: π x =, x = + p + r, x 3 = 3 + r, x 4 = + p + r, x 5 =, π x = + r, x = + p, x 3 = 3 + p r, x 4 = + 3p, x 5 = + 4p + r, π 3 x = + p, x = + p + r + s, x 3 = + p + s, x 4 = + p + r + 3s, x 5 = + p + 4s, π 4 x = + p, x = + p + r + s + t, x 3 = + p + s + t, x 4 = + p + r + 3s + t, x 5 = + p + 4s, dim(π + π ) = dim(π 4 ) = 4, dim((π 3 π 4 ) (π + π )) = dim(π 3 ) = 3 66 Odredite parametarske jednadžbe presjeka hiperravnine 4x + x + x 3 x 4 + 6 = i ravnine razapete točkama A = (3, 4,, 6), A = (3,,, ), A 3 = (,, 3, ) i A 4 = (,, 4, 4) 67 U afinom prostoru A 5 dani su točka T = (, 3,, 4, 4) i pravci π π x x 3 = x + = x + 4 3 = x 4 + = x 4 3 5 = x 5 3 3 = x 5 + Pokažite da dani pravci leže u istoj ravnini, te odredite jednadžbu ravnine T + π + π 5

68 Odredite ravninu π A 4 maksimalne dimenzije koja prolazi točkom (3,,, 4), paralelna je s hiperravninom π 3 : x + x 8x 3 + 3x 4 = i mimoilazna s pravcem x Kolika je dimenzija ravnine π 3 π? = x 3 + = x 4 69 U afinom prostoru A 5 odredite dimenzije, ispitajte medusobni položaj, te odredite sumu (dovoljan je parametarski oblik) i presjek ravnina x 3x + 4x + x 4 = = 3 s x x π + 3x 3 x 4 = 8 = + t s i π x 3 x 5 = 3 x 3 = 4 + t x x + 4x 3 x 5 = 9 4 = + s x 5 = + t + s Rješenje: Presjek tražimo uvrštavanjem parametarskih jednadžbi ravnine π (x, ) u jednadžbe ravnine π Dobiveni sustav 4 jednadžbe s dvije nepoznanice s i t nema rješenja, pa se π i π ne sijeku π možemo prikazati u parametarskom obliku x = t, x = 3 3t, x 3 = 3 + t, x 4 = 7 + 3t, x 5 = t, pa je π pravac Možemo ga zapisati i ovako: x + = x 3 = x 4 4 6 = x 5 + π je ravnina točkom ( 3,, 4,, ) razapeta vektorima a = [,,,, ] i a = [,,,, ] Kako vektor [, 3,, 6, ] ne možemo prikazati kao linearnu kombinaciju vektora a i a, ravnine su mimosmjerne Njihova suma je 4-ravnina, dakle hiperravnina x = 3 s + u v x = + t s 3u + v x 3 = 4 + t + u + v x 4 = + s + 6u 6v x 5 = + t + s + u v 7 Opišite sve moguće medusobne položaje ravnina π 3 i π k u afinom prostoru A 5 Za svaki pojedini slučaj navedite primjer Rješenje: Neka je npr π 3 zadana sustavom jednadžbi x =, x = k = : π π 3 (npr π = (,,,, )), π π 3 (npr π = (,,,, )) k = : π π 3 (npr π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 (npr π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 = {T } (npr π x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = 3, T = (,,,, 3)), π i π 3 su mimosmjerni (npr π x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = 3), k = : π π 3 (npr π x =, x =, x 3 = ), π π 3 (npr π x =, x =, x 3 = ), 6

π π 3 = π (npr π x =, x 3 =, x 4 = i π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π i π 3 su mimosmjerni (npr π x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 = {T } (npr π x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5, T = (,, 3, 4, 5)), k = 3: π 3 = π 3 ( π 3 x =, x = ), π 3 π 3 (npr π 3 x =, x = ), π 3 π 3 = π, (npr π 3 x =, x 3 =, π x =, x =, x 3 = ), π 3 i π 3 su mimosmjerni (npr π 3 x =, x 3 = ), π 3 π 3 = π (npr π 3 x 3 =, x 4 =, π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), k = 4: π 3 π 4 (npr π 4 x = ), π 3 π 4 (npr π 4 x = 5), π 3 π 4 = π (npr π 4 x 3 = ) 7 Ispitajte, pomoću pojma ranga, koje sve medusobne položaje mogu imati dvije ravnine u afinom prostoru A 5 Odredite dimenziju sume i dimenziju presjeka, odnosno presjeka smjerova za svaku mogućnost Rješenje: Svaka ravnina u A 5 može se prikazati linearnim sustavom od 3 jednadžbe s 5 nepoznanica Presjek dvije ravnine može se predstaviti sustavom od 6 jednadžbi s 5 nepoznanica Matricu tog sustava označimo s M, a proširenu matricu sustava s M p Tada je r(m) {3, 4, 5}, a r(m p ) {3, 4, 5, 6} Konkretno mogu nastupiti sljedeći slučajevi: r(m) = r(m p ) = 3: Poklapaju se r(m) = 3,r(M p ) = 4: Paralelne su r(m) = r(m p ) = 4: Sijeku se po pravcu r(m) = 4,r(M p ) = 5: Mimosmjerne su r(m) = r(m p ) = 5: Sijeku se u točki r(m) = 5,r(M p ) = 6: Mimosmjerne su 7 Neka su π n k i π k+ ravnine afinog prostora A n Odredite moguće medusobne položaje tih ravnina ako znate da njihova suma razapinje A n Za n = 5 i k =,, 3, 4 navedite po jedan primjer za svaki od mogućih slučajeva Rješenje: Ako se ravnine sijeku, onda se nužno sijeku po pravcu Ako se ne sijeku, onda im je dimenzija presjeka smjerova jednaka Konkretno se pojavljuju sljedeći slučajevi k = : Ravnine π 4 i π su ili paralelne (npr π 4 x =, π x =, x 3 = 3, x 4 = 4) ili se sijeku po pravcu (npr π 4 x =, π x =, x 3 = 3, x 4 = 4) k = : Ravnine π 3 i π 3 su ili mimosmjerne i presjek smjerova im je dimenzionalan (npr π 3 x =, x =, π 3 x =, x 3 = 3) ili sijeku po pravcu (npr π 3 x =, x =, π 3 x 3 = 3, x 4 = 4) k = 3: Analogno slučaju k = k = 4: Trivijalno, jer π π 5 = A 5 73 Odredite sve moguće medusobne položaje ravnine π k, k =,, 3 i pravca x = x 3 = x 4 4 u afinom prostoru A 4 Navedite po jedan primjer ravnine π k za svaki od mogućih slučajeva Rješenje: 7

k= p = π, p π, npr π x = x = x 4, p π = {T }, npr π x 4 = x = x 4, T = (,,, ), p i π su mimosmjerni, npr π x = x 3 = x 4 k= k=3 p π, npr π je ravnina točkom (4,,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), p π, npr π je ravnina točkom (4, 3,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), p π = {T }, npr π je ravnina točkom (,, 4, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), T = (,, 4, 6), p i π su mimosmjerni, npr π je ravnina točkom (,,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]) p π 3, npr π 3 x =, p π 3, npr π 3 x =, p π 3 = {T }, npr π 3 x =, T = (,, 4, 6) 74 U afinom prostoru A 4 dana je ravnina π x + x = x 3 + x 4 = Odredite sve moguće medusobne položaje ravnine π s pravcem π Za svaki od mogućih slučajeva navedite po jedan primjer, te odredite dimenzije sume i presjeka tih dviju ravnina Rješenje: π π, npr π x = x = x 4, π π, npr π x = x = x 4, π π = {T }, npr π x = x = x 4, T = (,,, ), π i π su mimosmjerni, npr π x = x = x 4 75 4-4- Ispitajte sve moguće medusobne položaje ravnine x =, x =, x 3 = 3 s 3 ravninom π 3 u afinom prostoru A 5 Za svaki od mogućih slučajeva navedite primjer Rješenje: π je ravnina čije su točke oblika (,, 3, s, t) Njen smjer je W = [e 4, e 5 ] Evo mogućih slučajeva: Slučaj A ravnine se sijeku A presjek je točka, suma je A 5 Primjer: π (p, q, r,, ) (tj ravnina x 4 = x 5 = ), W = [e, e, e 3 ] Presjek je točka (,, 3,, ) A presjek je pravac, suma je dimenzije 4 Primjer: π (p, q, 3, r, ), W = [e, e, e 4 ] Presjek je pravac (,, 3, s, ), suma je (p, q, 3, s, t), tj ravnina x 3 = 3 A3 presjek je ravnina, tj π, a suma je π (dimenzije 3) Ravnina π je sadržana u π Primjer: π (,, p, q, r), W = [e 3, e 4, e 5 ] Presjek je (,, 3, q, r), a suma (,, p, q, r) 8

Slučaj B ravnine se ne sijeku B presjek smjerova je dimenzije, suma je A 5 Primjer: π (p, q,, r, ), W = [e, e, e 4 ] W W = [e 4 ] Suma ima smjer [e, e, e 4, e 5, [,, 3,, ]], pa je suma A 5 B presjek smjerova je dimenzije, tj W W = W, pa je W W i π π Suma je dimenzije 4 Primjer: π (,, p, q, r), W = [e 3, e 4, e 5 ] Smjer sume je [[,,,, ], e 3, e 4, e 5 ], suma je (t, t, p, q, r), tj ravnina x = x 9