Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 9 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Aτοπικό μέγιστο; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. β) Αν θέση τοπικού ακροτάτου μιας συνάρτησης f τότε ισχύει πάνταf '( ). γ) Αν f '() για κάθε R *τότε η f είναι σταθερή στο R*. δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. ε) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού δεν έχει ασύμπτωτες. Μονάδες Θέμα Β, Έστω η συνάρτηση: f() Β. Να δείξετε ότι α=., η οποία είναι συνεχής στο. Μονάδες 4

Β. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =. Β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Μονάδες 7 Β4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της f()=λ για τις διάφορες τιμές του. Μονάδες 9 Θέμα Γ λ Έστω η συνάρτηση f(),, λ και η συνάρτηση h τέτοια ώστε: h() f (), για κάθε Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση h() έχει μοναδική ρίζα στο (, ) Γ. Αν h( ), να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών και το πρόσημό της. Μονάδες 7 Γ. Για λ να δείξετε ότι: ι) Υπάρχει ρ (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη c f στο σημείο M(ρ,f(ρ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Κ(, ), Λ(,f( )) Μονάδες 6 ιι) Ισχύει f ( ) f ( ) Μονάδες 7 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln c, και F:(, ) (, ) 94 μια αρχική της f για την οποία ισχύει F() F( ). 8 Δ. Να αποδείξετε ότι c. Μονάδες Δ. Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής A(,f( )), (, ).

Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Δ4. Να βρείτε την εφαπτομένη της f στο και να αποδείξετε ότι f(f())d. Μονάδες 7 Δ5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της f, τον άξονα ' και τις ευθείες = και f(). Απαντήσεις Θέμα Α Α. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ϵ Δ ισχύει f( ) = f( ). Πράγματι Αν =, τότε προφανώς f( ) = f( ). Αν <, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ ϵ (, ) τέτοιο, ώστε Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ʹ(ξ) =, οπότε, λόγω της (), είναι f( ) = f( ). Αν <, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f( ) = f( ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f( ) = f( ). Α. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ϵ A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f() f( ) για κάθε ϵ A ( δ, + δ). Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f( ) τοπικό μέγιστο της f. Α. α) Σ, β) Λ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ()

Θέμα Β B. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο συνεπώς και στο =, άρα limf() limf() f() limf() lim ( ), f() limf() lim( ), συνεπώς :. Θεωρούμε g(),. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων με: g () ( ) άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο. Για = είναι: g(). Το = είναι μοναδική ρίζα αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και «-». Επομένως α=. f() f() ( )( ) B. lim lim lim lim( ) f() f() DLH lim lim lim( ) άρα f() f() f() f() lim lim συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =., B. Για α=f(), Για κάθε < η f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με f () ( ) f (),f (), f () (,). Για κάθε > η f είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων με f () ( ) ( ). Η f είναι συνεχής στο άρα είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,],[, ) και f γνησίως αύξουσα στο [,]. f H f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = το f() =. H f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = το f()=. Για το σύνολο τιμών έχουμε: f((,)) (limf(),limf()) (, ) αφού είναι: limf() lim ( ) lim 4

f([,]) [f(),f()] [,] f((, )) (limf(),limf()) (,), y y αφού είναι: limf() lim ( ) lim ( ). y Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση των παραπάνω διαστημάτων, δηλαδή: f( ) f((,)) f([,]) f((, )) [, ). B4. Αν η εξίσωση f()=λ είναι αδύνατη γιατί f( ). Αν η εξίσωση f()=λ έχει μοναδική λύση γιατί f([,])η f είναι μονότονη στο [,] και f((,)), f((, )). Αν η εξίσωση f()=λ έχει τρεις ακριβώς ρίζες γιατί f([,]), f((,)), f((, )) και η f είναι μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα (,),[,],(, ). Αν η εξίσωση f()=λ έχει δύο ρίζες γιατί f((,)), f([,])η f είναι μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα (,),[,] και f((, )). Αν η εξίσωση f()=λ έχει μοναδική λύση γιατί f((, )) η f είναι μονότονη στο (, ) και f((,)), f([,]). Θέμα Γ Γ. Για η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: λ f (), λ άρα λ h() f () h() h() λ χ, λ Η h παραγωγίσιμη ως διαφορά γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων για με h () 4 4 ( ) για κάθε και αφού η h συνεχής στο (, ) η h γνησίως φθίνουσα στο (, ) lim h() lim(λ ) λ lim h() lim (λ ) Αφού η h συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ) το σύνολο τιμών της θα είναι το (,λ), λ Αλλά το ανήκει στο σύνολο τιμών της h άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (, ) τέτοιο ώστε h(χ ). Το χ μοναδικό αφού η h γνησίως φθίνουσα στο (, ) 5

Γ. h( ) λ λ συνεπώς f(), f (), Η f παραγωγίσιμη για ως σύνθεση διαφορά και πηλίκο 4 παραγωγίσιμων με f () 4 για κάθε άρα η f γνησίως αύξουσα στο (, ) Είναι h( ) f ( ) άρα: Για έχουμε f () f ( ) f () f και f συνεχής στο (, ] f άρα η f γνησίως φθίνουσα στο (, ] Για έχουμε f () f ( ) f () και f συνεχής στο [, ) άρα η f γνησίως αύξουσα στο [, ) Συνεπώς η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f( ) και Ακόμα: lim f() lim αφού lim και lim f() lim αφού lim Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το [, ) Θα είναι f() άρα f() για κάθε Γ. f(), ι) Η f είναι συνεχής ως πηλίκο άθροισμα διαφορά και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων στο [, ] (, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα, διαφορά και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f () Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον f( ) f( ) ρ (, ) τέτοιο ώστε, f (ρ) δηλαδή η εφαπτόμενη ευθεία στη c f στο σημείο M(ρ,f(ρ)) είναι παράλληλη στην ευθεία ΚΛ αφού f( ) και f( ) f( ) λab 6

f( ) f( ) ιι) Είναι f (ρ) ( ) Ακόμα ρ και η f είναι γνησίως αύξουσα από το ερώτημα Γ) άρα: f f ( ) f (ρ) f ( ) f ( ) f f (ρ) f ( ) f ( ) f ( ) Θέμα Δ 9 4 9 4 Δ. F() F( ) F() F( ) 8 8 και αφού F μια αρχική της f από το Θεμελιώδες Θεώρημα το ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε: F() F( ) f()d ( )ln c d ln d c 6 8c( ) ln d c( ) 6 8 9 4 8c( ) c 8 8 Δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο και άθροισμα παραγωγίσιμων με f () ln ln. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο παραγωγίσιμων με f () ln. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο παραγωγίσιμων με f () για κάθε (, ) άρα η f είναι 7

γνησίως αύξουσα. lim f () lim ln άρα υπάρχει ''κοντά'' στο τέτοιο ώστε f ( ). f ( ) ln. Η f είναι συνεχής στο [, ] ως γινόμενο, άθροισμα και πηλίκο συνεχών, f ( ) f( ) άρα ισχύει το Θεώρημα Bolzano, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) (, ) τέτοιο ώστε f ( ). Το μοναδικό αφού f είναι γνησίως αύξουσα άρα και ''-''. Για κάθε f f () f ( ) f () f f f f () f ( ) f () Άρα η f αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του και είναι παραγωγίσιμη στο (δέχεται εφαπτομένη) άρα το A(,f( )) είναι σημείο καμπής. Δ. Αφού η f συνεχής στο (, ) και σύμφωνα με τον διπλανό πίνακα η f παρουσιάζει f για ολικό ελάχιστο το f ( ) ln. f Ισχύει f ( ) ln. Από τις δυο προηγούμενες σχέσεις έχουμε: f ( ) ln αφού (, ) (, ). Άρα f () f ( ) για κάθε (, ) και αφού η f είναι συνεχής θα είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Δ4. Η εφαπτομένη στο χ= θα είναι y f( ) f ( )( ) y Από το ερώτημα β) η f είναι κυρτή στο [, ) με και η y είναι εφαπτομένη, άρα για κάθε θα ισχύει f() (). Αλλά F() για κάθε συνεπώς για F(w) στην () έχουμε: ff(w) F(w) ή f F() F() f F() d d f F() d 8

Δ5. Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι E είναι το σύνολο τιμών της Θέτουμε f(ω) f άρα χ ω f() ω d f (ω)dω f () f() f () d. Άρα ω 9 9. Το πεδίο ορισμού της f f() f() E f () d f ()d E f (f(ω))f (ω)dω ωωlnω dω ( ω lnω )dω ω lnω ω dω ω 4 97 τ. μ. 9 Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Ανδρουλιδάκης, Μ. Βυνιχάκης, Α. Δουλγεράκης, Μ. Μπαρμπούνη, Ζ. Μπομπότη, Π. Σιδερής, Α. Τσιλιφώνης, Γ. Φαρσάρης, Μ. Χαρωνιτάκη. 9