ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Ξεκινάµε µε την µοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ του Dirac. (γενικευµένη συνάρτηση του συνεχούς χρόνου ή «κατανοµή» (disribuion k =, k =, k =, k (αντίστοιχη του µοναδιαίο παλµού δ = ( ε> : δ d= Ιδιότητες ε ε a δ a = a δ( δ (άρτια συνάρτηση δ για a= δ = ( Η ( δίνει: δ δ ( δ = δ = δ ( = δ( η µετάθεση της ( = δ( η µετάθεση της < δ προς τα δεξιά αν > δ προς τα αριστερά αν
δ > δ < Για κάθε συνάρτηση x : δ( = δ( x x συνεχή στο xδ d x δ d x δ d x ( = ( = ( = ( Για = και = τ η ( γράφεται ( τδ ( τ τ= x d x ( τδ ( τ τ= x d x (3 Η (3 για = γράφεται ( τδ ( τ τ= x d x (4
x δτ x( τ ( = δ( τ τ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΤΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ j e d { δ( } = δ( ( = = j j επειδη δ,, και για, e = e = δ j ( e = δ( j { (} ( ( δ = δ e d= δ d=, < < { δ } = X( = δ 3
Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΑ ΙΚΟΤΗΤΑΣ Από τον ορισµό του µετασχηµατισµού ourier X ( ενός µη περιοδικού σήµατος x j d j X( = x e d x = X( e π ( j πx= X e d ( = j πx X e d πx ( = X e j d ( π ( x X X x (D Η (D λέει ότι η συνάρτηση του χρόνου, X είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός ourier της συνάρτησης, πx συχνότητας 4
Από την { } X δ = = =, < < ( =, < < πδ( = πδ( X =, < < πδ( = πδ( x x ( = πδ( Θερήστε το σήµα cos,, < < Από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού ourier: Αν X( x j x ( sin X( + X( ( 5 x ( cos X + + X 6 και x =, < < πδ( = X( η (5 δίνει 5
π j sin δ+ δ = π δ+ δ j π cos δ ( + + δ ( = πδ ( + + δ ( { cos } = π δ( + + δ( cos πδ( + πδ(.5-4 - -.5 4 - Από την ιδιότητα του µετασχηµατισµού ourier: X( x j X( xe και την x =, < < πδ( = X( προκύπτει ότι j e πδ (7 Μέσ της (7 µπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό ourier ενός οποιουδήποτε περιοδικού σήµατος x. 6
Αν το x είναι περιοδικό µε περίοδο : x x( γράφεται υπό µορφή σειράς ourier k µε (8 k= jk ( ae x π = = = + τότε και άρα λόγ της γραµµικότητας του µετασχηµατισµού ourier { (} jk { } = jk x = ae a e = aπδ( k k k k k= k= k= Η παραπάν σχέση λέει ότι ο µετασχηµατισµός ourier ενός περιοδικού σήµατος µε περίοδο : ( x = x( + είναι ένας συρµός κρουστικών συναρτήσεν ak ( πδ, k =...,,,,,... a πδ + { x (} = aπδ( k k= k a πδ ( a πδ -5-4 -3 - - 3 4 5 Γραµµικό φάσµα (µετασχηµατισµός ourier ενός περιοδικού x µε περίοδο Τ και σειρά ourier σήµατος jk ( ae x =, = k= k π 7
Θερείστε τον συρµό (απείρν όρν κρουστικών συναρτήσεν µε περίοδο Τ δ δ δ δ δ p =... + + + + + + + +... ( = δ( p k k= Ο συρµός p ( ονοµάζεται συνάρτηση δειγµατοληψίας ή «χτένι» (comp funcion ( δ + p ( δ ( ( δ -5Τ -4Τ -3Τ -Τ -Τ Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ Προφανώς η p ( είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ. Ο µετασχηµατισµός ourier της ( = δ( p k βρίσκεται ς εξής. Η p ( σαν περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ αναπαριστάτε από µια σειρά ourier jk π p( = ake, = k= Οι συντελεστές ak, k =...,,,,,... υπολογίζονται ς εξής k= 8
( δ( jk jk a = p e d = e d k jk e, k....,,,,... = = = = Και άρα p ake e ( = = k= jk jk k= Από την (7 προκύπτει ότι ο µετασχηµατισµός ourier του σήµατος ( = δ( p k k= είναι jko { p( } = δ( k = ake k= k= jk o jko = e = e k= k= π = πδ = δ k= ( k ( k k= Είναι δηλαδή ένας συρµός κρουστικών συναρτήσεν π δ ( k, k =...,,,,,... ηµιουργήθηκε από A. Vardulakis --4 π δ ( + P ( j π δ π δ ( -5-4 -3 - - 3 4-5 9