ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 ΜΑΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ 5 Α ) Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ 46-47 ) Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ 8 Α3 ) Λ ) Σ 3) Λ 4) Σ 5) Σ ΘΕΜΑ Β B Έχουμε ότι: f f για κάθε, Για = η () γίνεται: () f f f f f f Για = η () γίνεται: f f () Θεωρούμε τη συνάρτηση g, R και g για κάθε R Οπότε η g είναι γν αύξουσα στο R (άρα και - ) και επειδή μοναδική ρίζα της εξίσωσης g()= g "" Από () g f g f g f B ) Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της () έχουμε ότι: g η = είναι η () f f f f f f f > για κάθε,, οπότε η f είναι γν αύξουσα στο [,], άρα είναι -, οπότε αντιστρέφεται f Επίσης A f A f,f, f f f συνεχής στο [,] ) Θέτοντας στην () όπου την f προκύπτει ότι f f f f f Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
f για κάθε, 3) Θέτουμε f u f u και Για =: Για =: u f d f u du u f Oπότε: f d u f u du uf u f u du f u du f d Β3 Για κάθε,, με < αύξουσα στο [,] Συνεπώς για κάθε, : f f f f f f f δηλαδή η f είναι γν f f f f f f που ισχύει Β4 Επειδή f() για κάθε, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε(Ω)= 8 f d f d d f d 8 8 8 8 8 8 8 8 8 54 8 9 ΘΕΜΑ Γ Γ Aφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων ισχύει ότι f()= Έχουμε ότι: g g g c g c g c c, c,c R Όμως η ευθεία y= είναι ασύμπτωτη της C g στο οπότε g c c c lim lim lim c c c c και lim g lim c lim c c c Συνεπώς g Eπίσης g f f g f f f f Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
f f c f c, R f Για =: f()=+c c οπότε f, R Γ Έχουμε ότι και g, R g Eπίσης g και g - + g() OE Για = η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο που είναι το g()=, άρα g Έχουμε ότι Επίσης f f και f f - + f() Έστω Α =, και Α = Τότε f(a ) εφόσον f f συνεχής στο Α f συνεχής, lim f, lim f = lim f f, lim f lim lim lim f lim επειδή Άρα f A f A f A, f g και για κάθε R f f A, και f(a ) f (), lim f, f συνεχής στο Α επειδή lim DLH lim lim lim Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3
Γ3 Έχουμε ότι: g (, ) g g g 5 5 ln ln ln ln ln ln ln 5 () 5 Έστω h()=ln, > H h είναι παραγωγίσιμη στο, με h άρα και στα 5,,, Επίσης h στο (, ) οπότε h γν φθίνουσα Από Θεώρημα Μέσης Τιμής Υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ 5, τέτοιος ώστε Υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ, τέτοιος ώστε h ξ ln ln 5 h ξ ln ln h Όμως ξ ξ h ξ h h ξ ln ln ln ln 5 δηλαδή η () ισχύει Γ4 Επειδή 3 3 3 3 g για κάθε R (η ισότητα ισχύει μόνο για =) πρέπει g 3 3 ή και g ή Άρα = α α α () α α α Γ5 f f α Επειδή α> f α, Οπότε Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4 g 3 g f α f A και f γν φθίνουσα στο Α η εξίσωση () έχει μία ακριβώς ρίζα στο Α =, f α f A και f γν αύξουσα στο Α η εξίσωση () έχει μία ακριβώς ρίζα στο Α =,, διαφορετική του Άρα η εξίσωση () έχει δύο ακριβώς ρίζες στο R, μία στο δηλαδή ετερόσημες ΘΕΜΑ Δ Δ Έχουμε ότι: f f f f f f f f f, και μία στο,,
Έστω h, R f Η h είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [,] ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f h f h και f h 4 f f f f f 3f f 3 3 οπότε Όμως f f f f h 3 4 h f f Aπό Θεώρημα Roll προκύπτει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον, f h f τέτοιος ώστε f f g g t f t dt ln Δ Ισχύει ότι: Για () f f g g t f t dt ln η () γίνεται: Δ f f g g t f tdt ln g g t f tdt ln () Η g είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [, ] με f g Aπό Θεώρημα Μέσης Τιμής προκύπτει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ, go g f ξ gξ gξ g g g g B Tρόπος: Επειδή g o o f g > για κάθε R έχουμε ότι g γν αύξουσα στο R Οπότε g g g g Συνεπώς από () t f t dt ln t f t dt ln τέτοιος ώστε Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5
Δ3 Επειδή t f t dt ln η () γίνεται: f f f f οπότε υπάρχει σταθερός αριθμός c τέτοιος ώστε f f c, για κάθε R f Συνεπώς f, R c Επίσης Ισχύει ότι: c c για κάθε R, δηλαδή c> t f tdt ln t dt ln ln t c ln t c c c ln c ln c ln ln ln c c c Δ4 ) Ισχύει ότι: F f, R Άρα F f για κάθε R, άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο R Οπότε και F F F F F F F F() - + Το χωρίο περικλείεται από την C F, τον και τον y y (δηλ την ευθεία =) οπότε στο [,] F()< και το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε Fd Fd F Fd F d ln F ln F ln ln Επίσης F FF δεν είναι F F F F F F d παντού στο[,] ln Fd Fd E F F F ln F ln ) Για κάθε > ισχύει ότι: F ln F ln Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6
Eπίσης έχουμε ότι: F F lim lim lim DLH u ln u ln ln u ln u u ln u lnu lim lim lim lim lim lim lim DLH DLH u u u u u lim u lim u οπότε F ln lim F ln lim u u u u u u u u και Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Γασπαράτος Ανδρέας Ίμπος Χρήστος Καψαλιάρης Στέλιος Μεταξάς Κώστας Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7