ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α 1 Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 14-143 Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 34 3 Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 95 4α) Λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β 1 Το πεδίο ορισμού της f είναι το Af συνεχών συναρτήσεων Είναι παραγωγίσιμη, με είναι γνησίως αύξουσα στο Af, στο οποίο είναι συνεχής, ως άθροισμα x 4 f (x) e 5(x 1), άρα η f lim f (x) x lim (e (x 5 1) ) x x lim f (x) x lim (e (x 5 1) ) x x Άρα f (A), 1 ος τρόπος: Έχουμε ότι f (A), και αφού η f είναι συνεχής, η f (x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Επειδή, όμως η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η ρίζα είναι μοναδική Άρα, υπάρχει μοναδικό x, τέτοιο ώστε f (x ), δηλαδή η C f τέμνει ακριβώς σε ένα σημείο τον άξονα xx os τρόπος Προφανής ρίζα η x, διότι και γνησίως αύξουσα θα είναι μοναδική 5 f() e ( 1) 11 και επειδή η f είναι συνεχής Σελίδα 1 από 8
3 3 i Παραγωγίζοντας κατά μέλη την g (x) g(x) 5f (x), *, έχουμε: 5f (x) g (x), διότι f (x) και 3g (x) 3g (x)g (x) g (x) 5f (x) (3g (x) )g (x) 5f (x) 3g (x) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο ii 1 ος τρόπος: Έστω x, η μοναδική ρίζα της f (x), δηλαδή f (x ) (1) Για x x, από την (*) έχουμε: (1) 3 g (x ) g(x ) 5f (x ) (g (x ) )g(x ) και επειδή είναι g(x ), δηλαδή το x g (x ), θα είναι ρίζα της g(x) Όμως, η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα είναι μοναδική Επομένως, η ίδιο σημείο με την os τρόπος C f Αφού η συνάρτηση f έχει μοναδική ρίζα την x τότε η σχέση 3 g (x) g(x) 5f(x) για x μας δίνει: C g τέμνει τον xx 3 3 g () g() 5f () g () g() g() g () g() Δηλαδή το είναι ρίζα της g(x) Όμως, η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα x είναι μοναδική Επομένως, η C f C g τέμνει τον xx στο στο ίδιο σημείο με την 4 g: ύ f (1) e f: ύ g(f (x)) g(e ) f (x) e f (x) f (1) x 1 ΘΕΜΑ Γ Α τρόπος 1 Έστω x, Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει lim f (x) f (x ) xx Σελίδα από 8
Έχουμε f (x) 3f (x) x f (x ) 3f (x ) x και αφαιρώντας βρίσκουμε: f (x) f (x ) 3f (x) 3f (x ) x x (f(x) f(x ))(f(x) f(x ) 3) x x f (x) f (x ) f (x) f (x ) 3 x x f (x) f (x ) 31 f (x) f (x ) x x x x f (x) f (x ) x x (1) Επειδή lim( x x ) lim x x, από το κριτήριο παρεμβολής η (1) μας δίνει xx xx lim(f (x) f (x )) lim f (x) f (x ) xx xx Έστω x, Από το ερώτημα (1) έχουμε: x x (f (x) f (x ))(f (x) f (x ) 3) x x f (x) f (x ) 1 x x f (x) f (x ) 3 f (x) f (x ) x x f (x) f (x ) 3 f (x ) 3 lim lim xx xx Άρα 1 f (x) f (x) 3, οπότε f (x), ά x, 3 Ισχύει f(x) 1 f(x) 3 1 Όμως f (x) f (x) x, f (x) 3 που σημαίνει ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω για κάθε Επίσης f x για κάθε x,, άρα δεν έχει σημεία καμπής Σελίδα 3 από 8
4 Στη σχέση f (x) 3f(x) x, θέτουμε όπου x 4 f (4) 3f(4) 4 f(4) 4 ή f 4 1 και έχουμε: Επειδή όμως f(x) 1, τότε θα έχουμε f (4) 1 και 1 f (4) 5 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της είναι: y f (4) f (4)(x 4) y x 5 5 f στο σημείο A(4,f(4)) 5 Αφού η f είναι κοίλη στο,, η εφαπτομένη της θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής, οπότε θα ισχύει: f (x) x 5f (x) x 1, x, 5 5 Β τρόπος 3 9 9 f (x) 3f (x) x f (x) f (x) x 4 4 9 γιατί x 4 3 9 f (x) x, (1) 4 η (1) γίνεται 3 9 f (x) x 4 3 9 3 9 f (x) x f (x) x 4 4 3 f x1 οπότε 3 9 3 9 4x f (x) x f x 4 1 f x 3 9 4x, με x συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Σελίδα 4 από 8
f x 3 9 4x παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων 1 9 4x 1 f x 9 4x 9 4x 1 3 3 1 1 f x 9 4x 4 9 4x 9 4x 9 4x 3 ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω για κάθε x, που σημαίνει Επίσης f x για κάθε x,, άρα δεν έχει σημεία καμπής 3 9 16 3 5 f 4 1, 4 f (4) 9 16 5 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της είναι: y f (4) f (4)(x 4) y x 5 5 f στο σημείο A(4,f(4)) 5 Αφού η f είναι κοίλη στο,, η εφαπτομένη της θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής, οπότε θα ισχύει: f (x) x 5f (x) x 1, x, 5 5 ΘΕΜΑ Δ 1 1 1 g 1 h g 1 g 1 h g 1 g h g h lim lim h h h h g 1h g 1 g 1h g 1 lim, 1 h h h Σελίδα 5 από 8
1 hx 1 g g h g g x g lim lim g 1, h h x1 x 1 1 h x g g h g g x g 1 lim lim g 1, 3 h h x1 x1 g 1 g 1 3g 1 g 1 Η (1) με βάση τις () και(3) γίνεται x 4x 6 x α) lim f x lim e x 4x 6 lim D'Hosp x x x x e x 4 lim D'Hosp lim y ό ύ x x x x e e f x e x x f x β) Έχουμε Άρα το σύνολο τιμών είναι, 3Το σημείο A x, f x της C h απέχει απόσταση από το B 1,, AB d x x 1 f x x 1 f x, x R tx x x 1 f x x 1 e x x dx x 1 f x x 1 f x Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση t x x 1 e x x x x, παρατηρούμε ότι t x x e t ως προς το πρόσημο της t Σελίδα 6 από 8
Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση d Οπότε το σημείο Α είναι A,h ή A, f 6 ή A, 6 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C h στο σημείο Α είναι f 1 h και ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι f 6 6 6 6 1 1 4 Από τη σχέση g xg x g x f x έχουμε x x 1 1 6, δηλαδή η συνάρτηση : RRέχει μέγιστο Σελίδα 7 από 8
Το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της Είναι παραγωγίσιμη στο, άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Fermat, άρα, 1 Όμως ισχύει x g 1 xg x g x 1 f x 6 x xg x g x gx 1 f x 6 f x g g f f g g f 1 6 1 6 6 1 g g 1 g g, g Η σχέση f xdx από την () γίνεται Αν g g g Αν Άρα g,(3) g και επειδή g x f x dx f x f x dx, άτοπο g f x f x dx, άτοπο και επειδή Εφαρμόζουμε το ΘRolle για τη συνάρτηση, o G x g x x παραγωγίσιμη στο οπότε και συνεχής στο, o Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα 3 G x g x x στο διάστημα, (γινόμενο παραγωγισίμων), G g, G g G G x, : G x, έχουμε όμως xx G x g x x g x x g x x g x x x g x g x g x g x x x Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο Σελίδα 8 από 8