Gmnázium Pavla Horova Michalovce Maturitné otázk z matematik školský rok 00 / 00
. VÝROKY A MNOŽINY Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Výrok a jeho negácia. Kvantifikované výrok, ich negovanie. Spôsob overenia platnosti hpotéz. Obmen a obrátenia matematických viet. Operácie s výrokmi, negovanie zložených výrokov. Množin, vzťah medzi množinami, operácie s množinami. Počet prvkov konečných množín, Vennove diagram.. Vpočítajte hodnot výrazov n a n pre n { ;;;4;5;6} n. Vslovte eistenčné a všeobecné výrok, v ktorých porovnáte hodnot týchto výrazov, a určte ich pravdivostné hodnot.. Ku každému z nasledujúcich výrokov utvorte jeho negáciu. Určte pravdivostné hodnot pôvodných i negovaných výrokov. a) Eistujú práve dve reálne čísla, pre ktoré platí :( ) =. b) Číslo 7/5 možno zapísať aspoň štrmi rôznmi spôsobmi. c) Pre všetk a, b 0 R : a b = a b. d) Možno nájsť najviac tri reálne čísla, ktoré nie sú racionálne.. Vieme, že platia dva zložené výrok : ( A B) C` a ( A C ) B ` Zistite, aké pravdivostné hodnot môžu mať za tejto situácie výrok A, B, C. 4. Negujte zložené výrok: a) 4 < 7 8 b) Ak sa derivácia funkcie f v bode a rovná nule, potom má funkcia f v bode a etrém. c) Pre všetk n N : 8 n ( n 4 n) 5. Vslovte obmenu a obrátenie ku každej z nasledujúcich viet a určte ich pravdivostnú hodnotu: a) Pre každé dva rovinné útvar U a U platí, že ak sú zhodné, potom majú rovnaký obsah. b) Pre každý štvoruholník U platí: Ak nie sú uhlopriečk štvoruholníka navzájom kolmé, potom U nie je kosoštvorec. c) Pre všetk trojuholník ABC platí: ACB = 90 o c = a b. 6. Dané sú množin A = { R; }, B = { R; > 0}. Určte a znázornite: A, B,A`,B`, A B A B`, A` B`, ( A B) `, A B, B A 7. Dokážte rovnosť množín:,. a) A ( B A` ) = A B b) A ( B C) `= ( A B`) ( A C`) 8. Pri prieskume životnej úrovne sa zistilo, že zo 40 rodín v jednom obtnom dome má 40% auto i chatu. Pritom auto vlastní o 6 rodín viac než chatu a nie je rodina, ktorá b nemala auto alebo chatu. a) Vpočítajte, koľko rodín z domu má auto. b) Koľko percent rodín z domu vlastní iba auto? c) Určte pravdepodobnosť, že náhodne vbratá rodina z domu vlastní iba chatu.
. MATEMATICKÉ DÔKAZY. Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Dôkaz pravdivosti implikácie - priamo, nepriamo a sporom. Matematická indukcia ako špecifický matematický dôkaz. Dôkaz pravdivosti ekvivalencií.. Dokážte platnosť výroku: <.. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí: a) ak n je párne, potom aj n je párne; b) nedelí (n 4 -) potom delí n.. Dokážte, že je iracionálne číslo. 4. Dokážte, že pre všetk,, z R je z - (z) nezáporné reálne číslo 5. Dokážte, že pre všetk n N platí: a) 6 (n 5n); b).. c) 9 (7 n n-). n... = ;.4 n( n ) n 6. Aký je maimáln počet častí, na ktoré môže rovinu rozdeliť n priamok, ležiacich v tejto rovine? Vslovte hpotézu a dokážte ju. 7. Dokážte, že pre všetk prirodzené čísla n a reálne čísla platí: n cos i.sin = cosn. i.sin. ( ) 8. Dokážte, že každá n - prvková množina (n je nezáporné celé číslo) má n podmnožín. 9. Dokážte algebrick i geometrick, že pre všetk a, b R platí : a b a. b 0. Koľkokrát treba hodiť troma kockami, ab bolo zaručené, že aspoň štrikrát padne rovnaký súčet bodov na týchto troch kockách?. Dokážte, že pre ľubovoľný vnútorný bod M obdĺžnika ABCD platí: MA MC = MB MD
. ÚPRAVY VÝRAZOV Algebrický výraz, definičný obor výrazu. Počítanie s mnohočlenmi, úprava racionálnch výrazov, práca s odmocninami.. Určte definičný obor výrazu: a) 4 5 b) log. Určte definičný obor výrazu a zjednodušte ho: a) : 4 b) 4 4 :. Rozložte na súčin lineárnch dvojčlenov v R, resp. v C: a) - - b) --6 c) -7 e) 68 Riešte v C rovnicu: - -=0. Riešte v R nerovnicu: --6<0. 4. Upravte na výraz bez odmocnin v menovateli: a) 7 7 4 b) c) 6 4 6 Udajte podmienk riešiteľnosti a zjednodušte: d) ( ) 6 6 e) ( ) 5. V rozvoji podľa binomickej vet vpočítajte: a) siedm člen výrazu ( ) 0 i ; b) absolútn člen výrazu 6 6. Rozložte daný zlomok na súčet zlomkov s danými menovateľmi: ( )( ) ; A ; B 7. Pre a,b R zjednodušte daný výraz a udajte podmienk riešiteľnosti: ( ) 6 4 5 4 4 4 7 6... : a a a a a a 8. Pre a,b R zjednodušte daný výraz a udajte podmienk riešiteľnosti: ( ) ( ) 5 0,,5 0,5.. b a b a b a b a
4. RIEŠENIE ROVNÍC Maturitné otázk a príklad z matematik, Gmnázium Pavla Horova, Michalovce Rovnica, ekvivalentné úprav a dôsledkové úprav rovníc, skúška ako súčasť riešenia. Riešenie lineárnej a kvadratickej rovnice, rovníc s neznámou v menovateli, pod odmocninou, v absolútnej hodnote. Príklad :. Úpravou na súčinový tvar riešte rovnice v R : a) ( ) = 0 b) 7 = 0 Návod : Jedným z činiteľov je ( - ).. Riešte rovnice v R : a) = b) = c) 4 5 = 4 9 6 d) = 4 e) =. Riešte v R : a) = b) 9 = c) 6 = d) = 4. Jeden robotník zhotoví súčiastku o 4 hodin, druhý o 9 hodín neskôr, ako b ju zhotovili spoločne. Za aký čas zhotoví súčiastku každý sám? 5. Nech s, t sú oba korene rovnice 4 = 0. Vpočítajte racionálne číslo. t s 6. Riešte v R : 7. Riešte v N : 4 4 7 6 = 7 4 = 4 8. Použitím substitúcie riešte v Z rovnicu : ( ). ( 4 ) 6 = 0 9. Riešte v R, resp. v C : 4 5 4 4 = 0
5. RIEŠENIE NEROVNÍC Nerovnice, úprav nerovníc. Riešenie lineárnch a kvadratických nerovníc. Nerovnice s neznámou v absolútnej hodnote.. V R riešte nerovnice: a) < 0, b) > c) 5 d) < 4. Riešte v R: a) 0 b) ( ) > 5. Určte definičné obor funkcií: c) 4 > 0 d) 5 > 0 a) f: = 4 b) g: = log( 4) 4. Určte všetk hodnot k R, pre ktoré je riešením sústav k = k 4 = 6 taká usporiadaná dvojica čísel,, že platí: > a súčasne > 5. Výpočtom i grafick riešte 4 6. Riešte v R nerovnice: 7. V a) b) 5 8 < 5 6 c) > 0 Z 0 riešte: a) 8. Riešte v Z: 5 > > 6 d) 0 e). log( 4 ) > 0 4 f) 0 4 b) < < 4 5 0 a) 5 < b) < c) < 0 9. Ktoré hodnot môže nadobúdať číslo m, ak majú korene rovnice m m = 0 hodnot z intervalu < -;5>?
6. SÚSTAVY ROVNÍC A NEROVNÍC Sústav rovníc, sústav nerovníc. Riešenie sústav rovníc, sústav nerovníc a sústav rovníc a nerovníc výpočtovým postupom a grafick 8 6 8 4 4. Riešte v Z: ( ) ( 9 < ). Riešte v R: 6 < 5 < 4. Riešte v R výpočtom aj grafick: a) = b) = 5 c) = 5 0,5 =,5 - = -8 = 6 4. Riešte v N : 6 = 0 5 = 0 5. Riešte v R : a) b) z = z = z = = z = z = 6. Aké dlhé sú stran trojuholníka, ak súčet vžd dvoch susedných strán je 8, 46, 4 7. Riešte grafick v R : > 0. 8. Vhodnou substitúciou riešte v R : 5 0,5 = 5 4 5 0,5 = 9. Riešte v R sústav rovníc: a) log log = 5 log log = log log b) - =77 - / =7 c) = ( ). =
7. ÚLOHY S PARAMETROM. Parameter. Riešenie lineárnch a kvadratických rovníc a ich sústav s parametrom. Skúmanie funkcií určených parametrick. Slovné parametrické úloh.. Riešte v R rovnice s parametrom t : a) t = t b) t = (4 ). t t p. Riešte v R rovnicu: p = ; - neznáma, p - parameter. Riešte v R nerovnice s parametrom b: a) b b b) ( b) < 4. V R riešte lineárnu nerovnicu s absolútnou hodnotou: < a ( - neznáma, a je reáln parameter). 5. Určte všetk tie hodnot parametra a R,pre ktoré je číslo =(a) riešením rovnice a = 6. 6. Vpočítajte, pre ktoré hodnot parametra a R má rovnica ( a 0) 6 a = 0 dva rôzne reálne korene. 7. Riešte v R kvadratickú rovnicu s parametrom m: m m m =. ( ) 0 8. V R riešte nerovnicu s parametrom a R : ( a).(a ) 0. 9. V R riešte sústavu lineárnch rovníc s parametrom p R : p = p, p = -p. 0. Určte hodnotu parametra a R, pre ktorú daná sústava rovníc nemá riešenie: =5, a 5=.. Určte všetk hodnot parametra R a také, ab priesečník priamok p: = a, q: = bol vnútorným bodom prvého kvadrantu.
8. OBOR KOMPLEXNÝCH ČÍSEL A RIEŠENIE ROVNÍC V ŇOM Komplené čísla a tvar ich zápisu (tvar usporiadanej dvojice, algebrický tvar, goniometrický tvar). Operácie s komplenými číslami, Moivrova veta. Geometrické znázornenie komplených čísel. Riešenie kvadratickej rovnice s reálnmi a komplenými koeficientami. Algebrické a goniometrické riešenie binomickej rovnice.. Sú dané komplené čísla: u=-i, v=5i. V algebrickom tvare zapíšte: uv, u-v, u. v, u/v, /u, v², komplene združené číslo k číslu u.. Zistite, či sa rovnajú komplené čísla: a) z =--i z =(cos 600 i. sin 600 ) b) z =(i-)/(i) z =.(cos 5 -i.sin5 ). Vpočítajte : 9 i a) i 5 i 0 5 b) [( i i ).( i )] 4. V algebrickom tvare zapíšte u.v, v/w, ak u=0 (cos i.sin ), v=/(cos 09 i.sin 09 ), w=/4(cos 74 i.sin 74 ). 5. Vpočítajte: a) (i) b) (i) 4 c) (i) 0 6. Vpočítajte: 9 40i. 7. Riešte v C: a) (4i).z=(5-i)(z) b) -5=0 c) -(i).-4i=0 8. Riešte v C: a) z 4-8=0 b) u 6 64=0 9. Riešte v C: a) (z) =-i b) 7=( 4)( ) d) - -=0 e) 4 =0 c) z 5 =-i
9. FUNKCIE Definícia funkcie, obor a graf funkcií. Základné vlastnosti funkcií monotónnosť, párnosť, nepárnosť, periodicita, ohraničenosť. Racionálne funkcie, lineárna a kvadratická funkcia, nepriama úmernosť, racionálna lomená funkcia definícia,obor, vlastnosti, graf.. Určte definičné obor funkcií: a) = b) = c) = 6 d) = e) = sin f) = log ( ) g) = log ( ). Daná je funkcia p: =. Načrtnite graf funkcií :. Určte p(6) a zistite, či H(p). 4 a) f: = ; < - ; 0 ), b) g : = - - ; ( -; ), c) h : = - 7. Na základe grafov určte obor hodnôt daných funkcií. 4. Určte a dokážte párnosť, resp. nepárnosť funkcí : a) = b) g : = 5. Zistite či funkcia f : = 4 je rastúca, alebo klesajúca. Ak eistuje funkcia k funkcii f inverzná, určte ju. 6. Dokážte monotónnosť funkcie: a) f: =- b) g: = 7. Všetrite ohraničenosť funkcie f: =. 8. Rozhodnite, či funkcia f: = 4 5 je ohraničená na množine <-5,5>. Zdôvodnite! 9. Kvadratická funkcia je daná takto: f(0) = -8, f() = -5, f(-) =-. Zostrojte graf a určte vlastnosti funkcie f. 0. Zostrojte graf a určte vlastnosti funkcie g: =. Riešte v R nerovnicu 0 a výsledok ilustrujte na grafe funkcie g. Načtrnite graf funkcie g : =.
0. INVERZNÉ FUNKCIE. Pojem inverznej funkcie, vzťah navzájom inverzných funkcií. Eponenciálna a logaritmická funkcia ich definícia, vlastnosti a graf. Riešenie logaritmických a eponenciálnch rovníc a nerovníc.. Určte inverzné funkcie k funkciám : a) =, ; b) =, 0; ) c) d) = log e) = = 5. Načrtnite graf funkcií f: =, g: = 0,5. Rozhodnite a zdôvodnite, ktoré tvrdenia sú pravdivé:,5 0,7 a b a) b) Ak 0,5 0,5, potom a b.. Riešte v R rovnice a nerovnice: a) = 8 b) (4 9 ) = (.4.9 ) 5 4 c) = d). 4. 5. = 405. d) 4 8 4. Vpočítajte súradnice všetkých priesečníkov grafov funkcií: f () =., g() = 9.. 5. Načrtnite graf funkcií f: = log 0, 5, g: = log. Rozhodnite a zdôvodnite, ktoré tvrdenia sú pravdivé: a) log 4, > log 0, 7 b) Ak log k > log h, potom k<h. 6. Určte defininičný obor funkcie f: 7. Bez kalkulačk vpočítajte: log a) b) log8 ( ) 0,5 = 0,5 log. c).log 5.log log 4 6 6 6 8. Závislosť číselnej hodnot p tlaku nasýtených vodných pár od číselnej hodnot T absolútnej teplot vjadruje vzťah: T c T p a b =., kde a, b, c sú kladné konštant rôzne od. Vjadrite, ako závisí T od p. 9. Riešte v R rovnice a nerovnice: log( 7) a) = b) log log( ) = log 7 ( ) c) log log = 0 ( ) 0 d) log ( 7) = log ( ) log f) ( ) > log ( ) e) log 0. Riešte v RR sústav rovníc: a) = 5 = 5 log,5 0, 5 0 b) log log = 0 0 =
. GONIOMETRICKÉ FUNKCIE Definícia goniometrických funkcií, ich vlastnosti, obor a graf. Vzťah medzi goniometrickými funkciami, úprava výrazov s goniometrickými funkciami. Riešenie goniometrických rovníc a nerovníc.. a) Ktorý bod jednotkovej kružnice priraďujeme číslu = π? 7 b) Vpočítajte : tg π, cotg(- π ), cos π, sin (- π ). 6 4 c) Rozhodnite, či platí: a) sin 60 o < sin 65 o ; b) tg (-4 o ) = tg 8 o.. Načrtnite graf funkcií: a) g : = cos ( 4 π ) b) h: = sin ( -π ). Riešte v R rovnice a nerovnice : a) sin( π - ) = b) cos 7cos = 0 c) sin = cos. sin d) cos 7sin < 5 e) tg tg tg < 0 4. Riešte grafick nerovnicu cos na intervale π, π. 5sin cos 5. Určte hodnotu funkcie f : = pre tg = 5. cos sin 6. Určte hodnot ostatných goniometrických funkcií, ak platí : sin = -0,6 ; π, π. 7. Dokážte identitu : 4 cos cos ( π) cos ( π ) = 0 tg 8. Dokážte rovnosť a určte, pre aké R má zmsel : = sin. tg 9. Zjednodušte a určte definičný obor výrazu: sin cos V ( ) = cos sin 0. Riešte rovnicu v R: sin sin = sin 4 sin.. Určte definičný obor funkcie: a) f : = log(cos ) b) g : = cos 6 5 6
. TRIGONOMETRIA Riešenie pravouhlého trojuholníka (goniometrické funkcie ostrého uhla, Ptagorova veta, Euklidove vet). Riešenie všeobecného trojuholníka (sínusová, kosínusová veta dôkaz jednej z nich).. Bod A má od stredu kružnice k (S, r = 4cm) vzdialenosť d=0cm. Vpočítajte: a) dĺžku dotčníc vedených z bodu A ku kružnici k, b) vzdialenosť stredu S od spojnice bodov dotku.. Vpočítajte veľkosť uhlov pravouhlého trojuholníka, ak pre jeho stran platí: 4a 8ac c = 0.. Tetiva kružnice je od stredu vzdialená 48 cm a je o cm menšia než polomer kružnice. Vpočítajte polomer kružnice. 4. Nosník má jedno rameno kolmé na stenu, na ktorej je upevnený. Ramená nosníka zvierajú o uhol α = 48. Nosník je zaťažený bremenom G=800 N. Určte veľkosť F ťahovej sil a veľkosť F tlakovej sil. 5. Určte vzdialenosť dvoch miest M, N, medzi ktorými je prekážka, takže miesto N z miesta M nie je viditeľné. Boli namerané uhl MAN = 0 o, NBM = 09 o a vzdialenosti AM = 54, BM = 60, pričom bod A, B, M ležia na jednej priamke. 6. Vpočítajte polomer kružnice opísanej trojuholníku ABC, ak a = 6,5, α : β : γ = : : 4. 7. V trojuholníku ABC vpočítajte výšku v c, ťažnicu t c a uhol γ, ak a = 40 cm, b = 57 cm, c = 59 cm. 8. Na vodorovnej rovine stojí 65 m vsoká veža a komín. Z vrcholu veže vidíme pätu komína v hĺbkovom uhle α = 0 9 a od pät veže vidíme vrchol komína vo výškovom uhle β = 7 4. Aký vsoký je komín? 9. Určte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak platí : a : b = :, α : β = :. 0. Radarové zariadenie umiestnené na 45 severnej zemepisnej šírk zaregistrovalo v určitom okamžiku presne v severnom smere kozmickú loď, ktorej výškový uhol bol α = 7 a jej vzdialenosť od pozorovacieho miesta bola d = 600 km. Aká bola v tomto okamihu výška kozmickej lode nad povrchom Zeme a nad ktorou rovnobežkou sa práve nachádzala? Zem považujte za guľu s polomerom r = 670 km.
. LIMITA FUNKCIE A DERIVÁCIA FUNKCIE Pojem limit funkcie. Derivácia funkcie v bode a na množine. Vet pre výpočet derivácií, derivácia elementárnch funkcií. Geometrický a fzikáln význam derivácie, monotónnosť a derivácia.. Dokážte z definície limit, že platí: lim( ) = 5. Vpočítajte limit: a) lim 4 c) lim b) lim0 d) lim sin sin 5. Podľa definície derivácie vpočítajte deriváciu funkcie f: = - v bode =4. Napíšte rovnicu dotčnice ku grafu tejto funkcie v danom bode. 5 4. Napíšte rovnicu dotčnice funkcie v danom bode: 5 a) = ; T[; ] b) = ln( ); T[0;0] 5. Na grafe funkcie f: = nájdite bod, v ktorom dotčnica ku grafu je rovnobežná s priamkou 5 = 0 6. Zderivujte funkcie: a) f: = 5 7 cos ln 4 b) g: = ( 5) cos c) h: = tg d) k: = cos e) l: = f) m: = sin 7. Pre funkciu = určte: a). deriváciu funkcie, a podľa nej rozhodnite, či je funkcia rastúca alebo klesajúca na intervale (0; ), b) rovnicu dotčnice ku grafu funkcie v bode [0; ]. 96t 48 8. Časový priebeh cen určitého tovaru je vjadrený funkciou = ; t 0. S použitím ( t ) prvej derivácie určte interval, na ktorom cena rastie, resp. čas, ked cena dosiahne maimum. 9. Zistite, v ktorých intervaloch je monotónna funkcia: a) f: = b) g: = 0. Priamočiar pohb telesa je určený vzťahom s = 0t 5t, pričom čas t je v sekundách a dráha s v metroch. Vpočítajte, ked je rýchlosť telesa nulová a akú dráhu do tohoto okamihu teleso vkonalo.
4. VYŠETROVANIE PRIEBEHU FUNKCIE Zostrojenie grafu funkcie na základe zistenia jej podstatných vlastností; monotónnosť, lokálne a globálne etrém funkcií. Použitie diferenciálneho počtu pri všetrovaní priebehu funkcií. Slovné etremálne úloh.. Určte bod, v ktorých majú lokálne etrém funkcie : a ) f : = - 5 c ) h : = cos b ) g : = d ) k : =. n -. Určte globálne maimum a minimum funkcie f : = na intervale < -, >. Všetrite priebeh funkcie : a ) f : = 4 4 b ) g : = 4 c ) h : = n ( 4 ) 4. Zo 4 m dlhého uhlového železa sa má zvariť kostra akvária, ktorého hran dna majú bť v pomere :. Aké rozmer má mať kostra, ab sa do akvária vošlo čo najviac vod? 5. Kartón tvaru obdĺžnika má rozmer 60 cm 8 cm. V rohoch sa nastrihnú štvorce a zvšok sa zahne do tvaru otvorenej škatule. Aká veľká musí bť strana nastrihnutých štvorcov, ab objem škatule bol najväčší? 6. Silážna jama ma tvar pravouhlého rovnobežnostena a objem 00 m. Dĺžka ma bť štvornásobok šírk a m základne je krát lacnejší ako m sten. Aké musia bť rozmer, ab stavba silážnej jam bola najlacnejšia? 7. Priemselný závod Z je vzdialený 5 km od autostrád idúcej do mesta M, pričom vzdialenosť závodu Z od mesta M je km. Zistite, pod akým uhlom α treba vbudovať cestu k autostráde, ab doprava materiálu zo Z do M bola najlacnejšia, ak cena preprav t materiálu na km po autostráde je. Sk a po vbudovanej ceste 9. Sk. 8. Dráha strel za zjednodušených podmienok je vjadrená výrazom = k. (5 6 ), kde je vodorovná vzdialenosť od miesta výstrelu a priradená výška strel nad vodorovnou rovinou. Jednotkou na obidvoch osiach je km. Miesto výstrelu A i miesto dopadu T leží v tej istej vodorovnej rovine. Vpočítajte: a) vzdialenosť AT, b) akú najväčšiu výšku strela dosiahne, keď k=, 00 c) uhol, pod ktorým bola strela vstrelená pre k= 00, d) aké musí bť k veľké, ab strela dosiahla najviac výšku,5 km.
5. NEURČITÝ A URČITÝ INTEGRÁL Primitívna funkcia, neurčitý integrál a jeho vlastnosti. Integrovanie elementárnch funkcií. Určitý integrál, Newton Leibnitzova formula. Geometrické a fzikálne aplikácie určitého integrálu.. Vpočítajte neurčité integrál: a) ( ) d b) d d) cot g d e) d c) d cos f) ( )d. Určte krivku, ktorá prechádza bodom M[,] a v ľubovoľnom bode má smernicu k =.. Vpočítajte: a ) ( ) d π b) 4 d 0 cos 4 c) d π 6 0 d) sin d 4. Vpočítajte obsah ploch ohraničenej grafom funkcie f:=4- a osou. 5. Vpočítajte obsah ploch ohraničenej grafmi funkcií f a g, f: = --, g: = -6. 6. Vpočítajte obsah ploch ohraničenej grafom funkcie f: =sin, osou, osou a priamkou = 6 7 π. 7. Vpočítajte obsah ploch ohraničenej parabolou = a jej dotčnicami v bodoch A[,4] a B[0,0]. 8. Vpočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi ploch ohraničenej grafom funkcie f: =cos a osou pre <0, π >. 9. Viete, že koruna stromu má tvar rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi útvaru ohraničeného osou a grafom funkcie f : = pre <0,>. Určte objem korun. 0. Pomocou integrálneho počtu odvoďte vzorec pre výpočet objemu a) kužeľa, b) gule, c) rotačného elipsoidu vtvoreného otáčaním elips = b a d) guľového odseku. okolo osi,. Rýchlosť pohbu telesa je priamo úmerná druhej mocnine času. Vpočítajte prejdenú dráhu s ako funkciu času t, ak viete, že za prvé s prešlo teleso 8 m a pohb začal v čase t o =0s.
6. GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINE Uhl v mnohouholníkoch a kružniciach (dvojice uhlov, súčet veľkostí vnútorných uhlov konveného n- uholníka, stredový a obvodový uhol). Konštrukčné úloh v rovine; všetrovanie a vužitie množín bodov danej vlastnosti pri riešení konštrukčných úloh, konštrukcie algebrickogeometrickou metódou. Obvod a obsah rovinných útvarov.. Odvoďte vzorec pre súčet veľkosti všetkých vnútorných uhlov ľubovoľného konveného n- uholníka.. Bod A,B,C,D delia kružnicu k na štri oblúk, dĺžk týchto oblúkov sú v pomere :5:4:6. V štvoruholníku ABCD vpočítajte CAB, DAC, ACD, BAC. Dve kružnice k, k sa pretínajú v bodoch K, L. Menší oblúk KL je osminou kružnice k, a pätinou kružnice k. Na k je daný taký bod M, že nepatrí menšiemu oblúku KL, ale menší oblúk KM je zhodný s KL. Zostrojte trojuholník MRN, ktorý má R k, N k, K RM, L RN a vpočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov. 4. Dve sústredné kružnice s polomermi R > r > 0 určujú medzikružie. Zostrojte kružnicu, ktorá je sústredná s oboma kružnicami a rozdeľuje medzikružie na dve časti s rovnakým obsahom. 5. Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané: a) c =4cm, v c =cm, γ =60 0 b) c =cm, t b = 4cm, γ =0 0 c) a b c =0cm, α = 60 0, β =45 0 6. Daná je kružnica k (S,cm) a priamka p, pričom v (p,s)=7cm. Zostrojte všetk kružnice, ktoré sa dotýkajú kružnice k a priamk p a majú polomer : a) cm, b) cm, c) cm, d) 5cm. 7. Ukážte, že obsah pravidelného 8- uholníka so stranou a je ( ) a. 8. a) Odvoďte vzorce pre obsah a obvod pravidelného n- uholníka ( N ) n vpísaného kružnici s polomerom r > 0. b) Na základe týchto vzorcov odvoďte vzorce pre obsah a obvod rovnostranného trojuholníka, štvorca a pravidelného 6- uholníka. 9. Kružnici je opísaný a vpísaný pravidelný 6- uholník. Rozdiel ich obsahov je 8 cm. Určte polomer kružnice. 0. Určte množinu stredov všetkých tetív kružnice k (S,r), ktoré prechádzajú jej vnútorným bodom M.
7. ZHODNÉ A PODOBNÉ ÚTVARY V ROVINE Zhodné zobrazenia v rovine (identita, osová súmernosť, stredová súmernosť, posunutie, otočenie), zhodnosť útvarov. Zhodnosť a podobnosť trojuholníkov. Podobné zobrazenie, rovnoľahlosť. Konštrukčné úloh a všetrovanie množín bodov s vužitím zhodných a podobných zobrazen. Pravouhlý trojuholník, Ptagorova veta a Euklidove vet (aj ich dôkaz). Príklad. V rovine je daná priamka p, kružnica k a bod Q. Zostrojte všetk úsečk XY so stredom Q také, ab platilo X p, Y k.. V polrovine určenej priamkou p a bodom A je daný bod B. Nájdite bod C na priamke p taký, ab súčet AC BC bol minimáln.. Dané sú dve navzájom kolmé priamk a, b a bod C, ktorý neleží ani na jednej z nich. Zostrojte všetk rovnostranné trojuholník ABC také, ab platilo A a, B b. 4. Daná je priamka p, kružnica k a úsečka AB. Zostrojte úsečku KL, ktorá má tieto vlastnosti: KL = AB, KL AB, K k, L p. 5. Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte: a) a b, c, α b) a, b, t c, c) t a, t b, γ. 6. Trojuholník ABC má obvod 00. Jemu podobný trojuholník A B C má stran o 8, 4,8 väčšie než stran trojuholníka ABC. Vpočítajte dĺžk strán oboch trojuholníkov. Určte tiež pomer obsahov daných trojuholníkov. 7. Daná je kružnica k a jej vnútorný bod M. Zostrojte všetk tetiv kružnice k prechádzajúce bodom M také, že ich bod M delí na dve úsečk v pomere dĺžok :5. 8. Dané sú dve rôznobežk p, q a v rovine nimi určenej bod A, ktorý na daných priamkach neleží. Zostrojte všetk kružnice, ktoré sa dotýkajú priamok p, q a prechádzajú bodom A. 9. Je daná kružnica k[s, r] a jej tetiva AB. Nájdite množinu ťažísk všetkých trojuholníkov ABX, kde X k. 0. Bod A má od kružnice k s polomerom r = 4 vzdialenosť AQ = v = 0 cm. Vpočítajte: a) dľžku t dotčníc vedených bodom A ku kružnici ; b) vzdialenosť spojnice dotkových bodov dotčníc od stredu kružnice.. Zostrojte úsečk dĺžok : a ; a ab b ; a. b;,kde a > b > 0 sú dané úsečk. a b
8. POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVAROV V PRIESTORE Priamka, rovina, klasifikácia vzájomných polôh. Vet o rovnobežnosti priamok a rovín, rez telesa rovinou, priesečník priamk s rovinou, prienik priamk a telesa. Uhl priamok a rovín, vet o kolmosti priamok a rovín. Vzdialenosti útvarov v priestore.. Pravidelný štvorsten ABCD má veľkosť hran a. Bod M, N sú stred úsečiek AB, CD. Dokážte, že: a) priamka CD je kolmá na rovinu ANB, b) priamka AB je kolmá na priamku CD, c) priamka MN je kolmá na priamk AB, CD, d) vpočítajte veľkosť úsečk MN.. Na hrane HG kock ABCDEFGH je daný bod U taký, že platí: HU : UG = :. a) Zostrojte rez kock ABCDEFGH rovinou ϕ, ktorá prechádza bodom U rovnobežne s rovinou ACH. b) Vjadrite obvod rezu v závislosti od a = AB.. Zostrojte rez kock ABCDEFGH rovinou KLM, ak bod K,L,M sú postupne stredmi hrán GH,EH a úsečk FC. Potom zostrojte priesečnicu p rovin KLM s rovinou dolnej podstav kock. 4. Zostrojte priesečník priamk DF a rovin EBG v kocke ABCDEFGH. 5. Daný je kváder ABCDEFGH s rozmermi AB = BC = 8cm, AE = 5cm. Bod P,Q ležia na polpriamkách AB, GH, pričom AP = cm a QG = cm. a) Zostrojte prienik priamk PQ s kvádrom. b) Grafick určte jeho dĺžku. 6. V kvádri ABCDA B C D určte uhol priamok BA, AC. 7. V kocke ABCDEFGH sú dané bod K,L, ktoré sú v tomto poradí stredmi hrán CD a CG. Určte uhol ϕ rovín ABC, KBL. Úlohu riešte výpočtom pre AB = a. 8. Vpravidelnom trojbokom ihlane ABCV je dĺžka podstavovej hran a = 7,8 cm. Určte odchlku ϕ oboch jeho susedných stien. 9. Kváder ABCDEFGH má rozmer AB = a, AD = b, AE = c. Určte uhol priamk BG s rovinou BCH. Riešte: a) grafick, b) výpočtom, ak a=4cm, b=cm, c=6cm. 0. Vpočítajte vzdialenosť vrcholu A pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV od priamk CV, ak AB= a, AV = b, a,b>0.. Určte vzdialenosť rovín QAN, HLJ v kocke, keď Q,N,L,J sú v tomto poradí stredmi hrán HE,FG,DA,BC. Riešte výpočtom aj grafick.
9. MIERY GEOMETRICKÝCH ÚTVAROV Výpočt vzdialeností, dĺžok, obsahov, obvodov, objemov a povrchov geometrických útvarov. Objem a povrch zrezaných telies. Použitie integrálneho počtu pri výpočte mier.. Nádrž na vodu má tvar pravidelného 4 bokého zrezaného ihlana, pričom hrana hornej štvorcovej podstav má veľkosť a = m, hrana dolnej štvorcovej podstav je b = 6 m, výška nádrže je v = 4 m. Vpočítajte : a) množstvo vod, ktoré sa do nádob zmestí, b) plochu, ktorú treba vbetónovať.. Vedro na vodu nemá vrchnák, je zhotovené z plechu a má podobu zrezaného rotačného kužeľa. Priemer dna je 4 cm, priemer okraja je cm a strana je 0 cm. Koľko váži vedro, ak m plechu váži 0, 5 kg? Koľko litrov vod sa zmestí do vedra?. Lietadlo je v určitom okamihu d km nad zemským povrchom. Akú časť tohto povrchu pozorovateľ z lietadla uvidí? 4. Nádoba tvaru dutej polgule je naplnená vodou do výšk v = 0 cm. Koľko litrov vod obsahuje, ak vnútorný priemer nádob je d = 8 cm? 5. Umývadlo má tvar guľovej vrstv, polomer spodnej podstav R = 5 cm, polomer hornej podstav R = 5 cm, výška vrstv je v = 0 cm. Táto nádoba je sčasti naplnená vodou, ktorej hladina siaha do / 4 výšk nádob. Koľko litrov vod obsahuje nádoba? 6. Z gule s polomerom r odsekli odsek s výškou v = r /. V akom pomere sú objem odseku a gule? 7. Určte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou rovnostranného trojuholníka so stranou s > 0 a ) okolo jednej jeho stran, b ) okolo priamk idúcej jedným jeho vrcholom rovnobežne s protiľahlou stranou. 8. Aká je strana rovnostranného trojuholníka, ktorého obsah sa rovná obsahu trojuholníka so stranami 7, 0,? 9. Určte obsah daného obrazca : a ) Obrazec je určený krivkou = sin, < 0 o, 80 o >, a osou. b ) Obrazec je ohraničený oblúkmi dvoch pretínajúcich sa parabol = - 8, = 6 4. c ) Obrazec je ohraničený krivkami : = e, = e -, = e. 0. Sú dané bod A [ ; ], B [ 5 ; 4 ]. Vpočítajte objem zrezaného kužeľa, ktorého plášť vznikne otáčaním úsečk AB okolo osi.
0. VEKTORY. VEKTOROVÁ ALGEBRA Orientované úsečk a operácie s nimi. Vektor, jeho umiestnenie a súradnice vektora. Rovnosť vektorov a operácie s vektormi. Uhol vektorov, skalárn a vektorový súčin. Uhol priamok, rovín, priamk a rovin.. Vpočítajte,, z R, ak: a) a = b, a = (, -, 0), b = (, -, z ) b). a. b z. c = 0, a = (5, ), b = (, ), c = (-, -). Určte súradnice ťažiska trojuholníka ABC, ak A [0,, 0], B [4, 0, 0], C [0, 0, ].Úlohu riešte tiež všeobecne pre ľubovoľný trojuholník ABC.. Daný je vektor b = (-;;5). Určte súradnicu a vektora a = (a,7,4), ab vektor a, b boli navzájom kolmé. Určte tiež veľkosť oboch vektorov, veľkosť ich súčtu a rozdielov. 4. Rozhodnite, či dané bod tvoria trojuholník: a) A [-, ], B [, -], C [, -]; b) A [, ], B [, -], C [, ]. V prípade, že tvoria trojuholník, vpočítajte veľkosť jeho vnútorných uhlov a veľkosť ťažníc. 5. Daný je vektor a = (,-), b = (, -). Určte vektor c, pre ktorý platí: a. c = 7, b. c = 6. 6. Rozhodnite, či dané bod ležia v rovine : a) A [,, ], B [, -, -], C [0,, 5], D [-, 0, ] b) A [, 0, -], B [0,, -], C [0, 5, 0], D [,, 0] 7. K vektorom a = (, -, ), b = (, -, ), c = (,, -4) určte vektor tak, že: a. = -5, b. = -, c. = 0. 8. Daný je rovnostranný trojuholník ABC so stranou a = 4cm. Zobrazte orientované úsečk AB, AC a zostrojte orientované úsečk: a) AD= AB AC b) AD= AB- AC c) AD= -,5. AB. Vpočítajte veľkosť orientovanej úsečk AD. 9. Určte vektor c, ktorý je kolmý na vektor a = (,, -), b = (, -, ), pre ktorý platí c. (i - j k) = -6.(Vektor i, j, k majú obvklý význam.) 0. Kosoštvorec ABCD má vrchol A [ 0, 0], B [0, 0], C [6,?]. Vpočítajte súradnice vektorov u = AC, v = BD.. Vpočítajte objem rovnobežnostena ABCDEFGH, ak A [ ; ; ], B [7 ; ;0 ], D [- ;5 ; ], E [ ;0 ;6 ].
. ANALYTICKÉ VYJADRENIE LINEÁRNYCH ÚTVAROV Analtické vjadrenie priamk a je častí, rovin a polrovin. Vzájomná poloha a vzdialenosti bodov, priamok a rovín. Všetrovanie množín bodov analtickou metódou.. Je daný trojuholník ABC, A[-6;-], B[4;-6], C[;7]. Napíšte rovnice priamok, v ktorých ležia výška v c a ťažnica t a trojuholníka ABC. Určte tiež dĺžku ťažnice t a a výšk v c.. Zakreslite množinu všetkých bodov rovin, pre ktorých súradnice, platí: a) = b) c) 4 d) = 0. V trojuholníku sú dané vrchol A[-; -4 ], B[4; - ] a priesečník výšok V[; - ]. Určte súradnice vrcholu C. 4. Rozhodnite, či bod A[-; ; 0 ], B[; ; ], C[4; ; - ] ležia na priamke. Ak nie, napíšte parametrické vjadrenie rovin ABC. Určte priesečník rovin ABC s osou a rozhodnite, či bod M[; 0; 7 ] leží v rovine ABC. 5. Zistite, či polpriamka = t, = t, t 0, pretína polpriamku BC, B[-; 0 ], C[; 4]. Ak áno, určte súradnice priesečníka. 6. Dokážte, že bod A[;], B[;-], C[5;-] ležia vnútri tej istej polrovin vťatej priamkou 4 = 0. Leží v tejto polrovine aj počiatok súradníc? 7. Zistite vzájomnú polohu priamok p,q: = t = 7 s p: = t, t R q: = - s, s R. z = 5 t z = s 8. Všetrite množinu všetkých bodov X rovin, pre ktoré platí: AX - BX = AB, kde A,B sú dva rôzne bod danej rovin. 9. Na priamke 4 = 0 určte bod, ktorý má od priamk 5 5 = 0 vzdialenosť v =. 0. Zistite vzájomnú polohu rovín α, β a ak je to možné, určte ich vzdialenosť: α: z = 0 β: = 0,5 t s = -0,5 t s,t R. z = s. Určte telesovú výšku v ( z bodu V ) štvorstena ABCV, ak V[; 5; 5 ], A[4; 4; 4], B[-; 0; -4 ], C[; -; 5 ].
. KVADRATICKÉ ÚTVARY V ROVINE A V PRIESTORE, VZÁJOMNÁ POLOHA LINEARNYCH A KVADRATICKÝCH ÚTVAROV Kružnica, kruh, guľová plocha, guľa, elipsa, parabola, hperbola ich definícia, vlastnosti, rovnice, riešenie úloh vrátane všetrovania množín bodov daných vlastností. Vzájomné poloh lineárnch a kvadratických útvarov, dotčnice kužeľosečiek, vužitie diferenciálneho počtu pri riešení úloh.. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi M[;5], N[; 6] a jej stred leží na priamke p: 4 = 0.. Určte rovnicu dotčnice ku kružnici =5 v jej bode T[-; 4] a)analtickou cestou, b)použitím geometrického významu derivácie.. Napíšte rovnicu priamk q prechádzajúcej stredom kružnice danej rovnicou = 0, ktorá je kolmá ma priamku p: 5 4 = 0. 4. Napíšte analtické vjadrenie najmenšej gule, ktorá obsahuje bod A[; 0; 0], B[; -; 0], C[6; ; ] a má stred S[; ; -]. 5. Všetrite množinu všetkých bodov v rovine danú vlastnosťou: A X BX = AB, kde A,B sú dva dané rôzne bod rovin. Riešte túto úlohu aj pre priestor. 6. Je daná elipsa 5 9 = 45 a bod M[0; -]. a) Dokážte, že M je bodom vonkajšej oblasti elips. b) Napíšte rovnice dotčníc elips prechádzajúcich bodom M. c)vpočítajte odchýlku týchto dotčníc. 7. Určte druh kužeľosečk, jej stred, ohniská, vrchol a načrtnite ju : a) 4 4 8 8 = 0 b) 5 50 6 64 = 0 8. Napíšte rovnicu parabol, ktorá je súmerná podľa osi a prechádza bodmi P[0; 0], M[6; -]. 9. Do parabol s rovnicou = 6 je vpísaný rovnostranný trojuholník, ktorého jeden vrchol je vo vrchole parabol a protiľahlá strana je kolmá na os parabol. Vpočítajte obsah vpísaného trojuholníka. Napíšte rovnice priamok, na ktorých ležia stran trojuholníka. Načrtnite obrázok. 0. Na hperbole = 64 6 nájdite bod, ktorého vzdialenosť od ohniska je 4,5 cm.. Je daná priamka p a bod A, ktorý na nej neleží. Všetrite množinu všetkých bodov X ležiacich v rovine určenej priamkou p a bodom A, pre ktoré platí : X,A : X,p = :.
. POSTUPNOSTI A RADY. Postupnosť, rekurentné určenie postupnosti. Aritmetická a geometrická postupnosť, úloh na vzrast a pokles. Výpočet limit postupnosti. Nekonečný geometrický rad a jeho súčet.. Daná je postupnosť { a } n = n ; = a. n n n a) Určte : a, a0, ak b) Zistite, či je rastúca alebo klesajúca. c) Rozhodnite, či je ohraničená. d) Vpočítajte jej limitu.. Postupnosť je daná rekurentne takto : a = 8, a n = a n. a) Vpočítajte tretí člen tejto postupnosti. b) Vjadrite túto postupnosť vzťahom pre n -tý člen. V aritmetickej postupnosti je a = 9, a 7 a = 0. Koľko členov tejto postupnosti treba spočítať, ab platilo : s n = 9? 4. Nájdite rastúcu aritmetickú postupnosť, pre ktorú platí : s = 7 a a a a = 75. 5. Medzi čísla 7 a 7 vložte čísla tak, ab s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť, ktorej súčet je 86. Určte tieto čísla. 6. Štvrtý člen geometrickej postupnosti je väčší ako druhý člen o 4 a súčet druhého a tretieho člena tejto geometrickej postupnosti je rovný 6. Určte túto postupnosť. 7. Koľko stojí vkopanie m hlbokej studne, keď za vkopanie prvého metra zaplatíme 0 Sk a za vkopanie každého ďalšieho metra dvakrát toľko, ako za vkopanie predchádzajúceho metra. 8. Určte 4 čísla, ktoré tvoria po sebe idúce člen geometrickej postupnosti a ich dekadické logaritm sú 4 po sebe idúce člen aritmetickej postupnosti s diferenciou d = a súčtom. 9. Aký veľký vklad vzrastie za 5 rokov na 46 Sk, ak sa úrokuje % ročne? 0. Riešte rovnicu :. Vpočítajte : lim 4 8 4... = 4 n 5n n n 7n. V tvare zlomku vjadrite číslo,...
4. KOMBINATORIKA Základné kombinatorické princíp. Variácie, permutácie a kombinácie bez a s opakovaním. Kombinačné čísla, ich vlastnosti, Pascalov trojuholník, binomická veta.. Koľko 5-ciferných prirodzených čísel možno zostaviť z číslic 0,,,,4,5, ak a) žiadna cifra sa neopakuje, b) neplatí podmienka v a), c) majú bť z intervalu <5000, 40000>.. Na kultúrnom večierku má vstúpiť päť účinkujúcich A,B,C,D,E. Koľko je možností na zostavenie programu, ak: a) C má vstupovať ako prvý a E má vstupovať posledný, b) A,B,D majú vstúpiť v ľubovoľnom poradí, ale za sebou, c) C má vstúpiť pred E.. Na poličke treba rozostaviť vedľa seba zelené, červené a žlté hrnček. Koľko rôznch spôsobov rozostavenia môže vzniknúť, ak hrnček rovnakej farb sú nerozlíšiteľné? 4. Dokážte, že pre všetk prípustné n N platí: ( n )! ( n )! n! 4. 9. = n( n ) n! n! n! ( ) ( ) ( ) 5. V priestore je daných 5 rôznch bodov, z ktorých žiadne neležia na jednej priamke a žiadne 4 v jednej rovine. a) Koľko rovín možno nimi určiť? b) Koľko rovín možno nimi určiť, ak 7 bodov leží v jednej rovine? 6. V obchode majú 9 druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi možno kúpiť 4 pohľadníc? 7. Je daných 8 spoluhlások, 6 samohlások a 4 dvojhlásk. Koľko rôznch slov môžeme vtvoriť z týchto písmen, ak na prvom mieste má bť samohláska a na ďalších miestach majú bť rôzne spoluhlásk a rôzne dvojhlásk? 8. Riešte v N rovnice a na rovnice: a) C (, n) C(, n ) = 4 b) 4 n 5 n 4... = 0 n n c) n n n. 0 n 0 d) n n n 6 < 9 n 9. a) Vpočítajte ( ) 4. b) Pre ktoré reálne číslo sa piat člen binomického rozvoja výrazu rovná číslu 05? c) Určte všetk reálne čísla také, ab 4. člen binomického rozvoja výrazu ( log ) 6 sa rovnal 00. 0
5. PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA Pravdepodobnosť náhodného javu,doplnkový jav, pravdepodobnosť zjednotenia a preniku javov. Bernouliho schéma. Štatistický súbor a jeho charakteristik aritmetický priemer, modus, medián, smerodajná odchýlka, rozptl. Štatistická závislosť znakov.. V troch laviciach sedí vedľa seba 6 žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom vvolaní dvoch z nich to a) budú susedia, b) nebudú susedia?. V debne s 0 výrobkami sú chbné. Určte pravdepodobnosť toho, že medzi piatimi náhodne vbranými výrobkami je najviac jeden chbný.. Štridsať študentov má bť náhodne rozdelených na 4 desaťčlenné skupin. Aká je pravdepodobnosť, že Adam a Eva budú v tej istej skupine? 4. Jano chtí aspoň jednu rbu s pravdepodobnosťou 0,4; Milan s pravdepodobnosťou 0,6 a Fero s pravdepodobnosťou 0,. Aká je pravdepodobnosť, že chlapci spolu chtia aspoň jednu rbu? 5. Študent dostane test z 0-tich otázok, ku každej sú 4 možné odpovede. Aká je pravdepodobnosť, že odpovie správne na polovicu otázok, ak volí odpovede náhodne? 6. V početnostnej tabuľke je rozdelenie početností súboru 00 sedemnásťročných chlapcov podľa telesnej výšk. Zostrojte príslušný histogram. Určte pomerné početnosti jednotlivých javov (aj v %). stred tried početnosti po 5cm 60 9 65 0 70 6 75 8 80 5 85 4 90 4 spolu 00 7. Výsledk písomnej previerk v istej triede zachtáva tabuľka: * X i 4 5 N i 6 9 6 4 Určte aritmetický priemer, modus, medián, rozptl a smerodajnú odchýlku znaku, ktorým je známka z písomk zúčastnených žiakov. 8. Vpočítajte koeficient korelácie znakov, z uvedenej tabuľk ( - telesná výška v cm, -športový výkon v cm): 70 75 80 85 405 40 45 40