Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3
Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia......................................... Číselné charakteristiky................................ 3.3 Charakteristické funkcie............................... 4 Eponenciálne rozdelenie E (λ) 5. Definícia........................................ 5. Číselné charakteristiky................................ 6.3 Charakteristické funkcie............................... 7 3 Normálne rozdelenie N (µ, σ) 8 3. Definícia........................................ 8 3. Číselné charakteristiky................................ 3.3 Charakteristické funkcie............................... 4 Gama rozdelenie 3 4. Definícia........................................ 3 4. Číselné charakteristiky................................ 4 4.3 Charakteristické funkcie............................... 5 5 Rozdelenie χ (n) 6 5. Definícia........................................ 6 5. Číselné charakteristiky................................ 7 5.3 Charakteristické funkcie............................... 8 6 Beta rozdelenie 9 6. Definícia........................................ 9 6. Číselné charakteristiky................................ Strana z 7
6.3 Charakteristické funkcie............................... 7 Studentovo rozdelenie 7. Definícia........................................ 7. Číselné charakteristiky................................ 3 7.3 Charakteristické funkcie............................... 4 8 Fisherovo rozdelenie 5 8. Definícia........................................ 5 8. Číselné charakteristiky................................ 6 8.3 Charakteristické funkcie............................... 7 Strana 3 z 7
Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie............................... 3 Rovnomerné rozdelenie............................... 3 3 Eponenciálne rozdelenie.............................. 6 4 Eponenciálne rozdelenie.............................. 6 5 Hustota normálneho rozdelenia........................... 6 Hustota normálneho rozdelenia........................... 7 Hustota rozdelenia Γ (a, δ).............................. 4 8 Hustota rozdelenia Γ (a, δ).............................. 4 9 Hustota rozdelenia Γ (a, δ).............................. 5 Hustota rozdelenia Γ (a, δ).............................. 5 Hustota rozdelenia χ................................. 7 Distribučná funkcia rozdelenia χ.......................... 8 3 Hustota rozdelenia B (k, n).............................. 4 Hustota rozdelenia B (k, n).............................. 5 Distribučná funkcia rozdelenia B (k, n)....................... 6 Distribučná funkcia rozdelenia B (k, n)....................... 7 Hustota rozdelenia t (n)............................... 3 8 Distribučná funkcia rozdelenia t (n)........................ 3 9 Hustota Fisherovho rozdelenia F (n, n )...................... 6 Hustota Fisherovho rozdelenia F (n, n )...................... 6 Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, n )............... 7 Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, n )............... 7 Strana z 7
. Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b).. Definícia Náhodná premenná sa riadi rovnomerným rozdelením, ak nadobúda dve hodnoty z konečného intervalu (a; b), a < b. a predstavuje spojité rozdelenie, ktoré je analógom rovnomerného výberu z konečnej množiny. Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty (a; b), a < b sa riadi rovnomerným rozdelením, ak jej funkcia hustoty má tvar f() = (a; b), b a / (a; b). () Význam rozdelenia Rozdelenie rovnomernej náhodnej premennej charakterizujú dva parametre a a b, ktoré je možné interpretovat ako dolné a horné ohraničenie hodnôt, ktoré môže náhodná premenná nadobúdat. Rovnomerným rozdelením sa riadia napr. malé chyby merania. V Bayesovských štatistikách sa rovnomerné rozdelenie vyskytuje ako rozdelenie neznámeho parametra. Distribučná funkcia Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty (a; b) a riadi sa rovnomerným rozdelením má distribučnú funkciu tvaru a, a F () = b a a < b, () > b. Strana z 7
y y b a a b a b Obr. : Hustota rovnomerného rozdelenia s parametrami a a b. Obr. : Distribučná funkcia rovnomerného rozdelenia s parametrami a a b... Číselné charakteristiky Strana 3 z 7 E (X) = a + b, E ( X ) = a + ab + b, 3 (b a) D (X) =, ρ(x) = ε(x) = 6 5.
.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ebt e at (b a)t. (3) χ X (t) = ei bt e i at i t(b a). (4) Strana 4 z 7
. Eponenciálne rozdelenie E (λ).. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty sa riadi eponenciálnym rozdelením, ak jej funkcia hustoty má tvar { λ e λ >, f() =. (5) Význam rozdelenia Rozdelenie rovnomernej náhodnej premennej charakterizuje parameter λ. Tento parameter sa obvykle interpretuje ako doba čakania na nejakú udalost, na zlyhanie systému a pod. Eponenciálne rozdelenie zodpovedá rozdeleniu časových intervalov medzi udalost ami, ktorých výskyt sa riadi Poissonovým rozdelením s parametrom λ. Distribučná funkcia Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné hodnoty a riadi sa eponenciálnym rozdelením má distribučnú funkciu tvaru {, F () = e λ (6) >. Strana 5 z 7
.5 λ =.5 λ = λ =.5.8.5.6.4. λ =.5 λ = λ =.5 4 6 8 4 6 8 Obr. 3: Hustota eponenciálneho rozdelenia pre rôzne hodnoty parametra λ. Obr. 4: Distribučná funkcia eponenciálneho rozdelenia s rôznymi hodnotami parametra λ. Strana 6 z 7.. Číselné charakteristiky E (X) = λ, E ( X ) = λ, D (X) = λ, ρ(x) = ε(x) = 6.
.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = λ λ λt. (7) Kvantilová funkcia χ X (t) = λ λ i λt. (8) F (p, λ) = ln( p). (9) λ Strana 7 z 7
3. Normálne rozdelenie N (µ, σ) 3.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda reálne hodnoty sa riadi normálnym rozdelením N (µ, σ) a píšeme X N (µ, σ), ak jej funkcia hustoty má tvar kde µ R a σ > sú dané parametre. f() = πσ e ( µ) σ, < <, () Význam rozdelenia Rozdelenie normálnej náhodnej premennej je charakterizované dvomi parametrami µ a σ. Ich označenie je volené tak, aby zodpovedalo ich významu, teda µ je strednou hodnotou a σ smerodajnou odchýlkou tohto rozdelenia. Normálne rozdelenie hrá kl účovú úlohu medzi všetkými spojitými rozdeleniami. Každý empirický súbor dát býva ako prvý testovaný na normálne rozdelenie. navyše, v dôsledky centrálnej limitnej vety, náhodná premenná, ktorá je výsledkom súčtu vel kého počtu malých náhodných premenných konverguje ku normálnemu rozdeleniu. Používa sa teda ako model náhodnej premennej, ktorá je výsledkom pôsobenia vel kého počtu drobných náhodných vplyvov, a taktiež na aproimáciu iných rozdelení. Normálne rozdelenie sa nazýva tiež Gaussovo. Vzhl adom na centrálne postavenie normálneho rozdelenia sa zavádza štandardizované normálne rozdelenie, čo je rozdelenie N (, ), ktoré je možné získat z bežného rozdelenia transfomáciou U = X µ σ. Ak X N (µ, σ), tak U N (, ). Pre funkciu hustoty štandardizovaného normálneho rozdelenia používame symbol ϕ() a platí pre ňu: Strana 8 z 7 ϕ() = π e, < <. ()
Distribučná funkcia Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nie je možné vyjadrit v uzavretom tvare. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X N (µ, σ) teda zapíšeme v tvare: F () = πσ e (t µ) σ dt, () resp. v prípade štandardizovaného normálneho rozdelenia opät zavádzame špecifické označenie Φ() a platí Φ() = e t dt. (3) π Vzhl adom na mimoriadny význam normálneho rozdelenia sú hodnoty funkcií ϕ() resp. Φ() tabelované. Takisto bývajú implementované v mnohých softvérových nástrojoch v podobe tzv. error funfcie erf(), ktorá je definovaná ako erf() = e t dt. π Strana 9 z 7 S jej pomocou je možné l ahko vyjadrit hodnoty Φ(). Pre potreby výpočtov je dobré poznat niektoré vlastnosti funkcií Φ() resp. ϕ(). Ak X N (µ, σ), tak platí ( ) ( ) ( ) µ b µ a µ P (X < ) = Φ, resp. P (a < X < b) = Φ Φ. σ σ σ Vzhl adom na symetriu (hustota N (, ) je párna funkcia) platí: ϕ( ) = ϕ(), a Φ( ) = Φ().
hustota f().4.3.. µ = µ = µ = 5 5 Obr. 5: Graf hustoty normálneho rozdelenia s rozptylom σ = pre rôzne hodnoty parametra µ. Strana z 7 3.. Číselné charakteristiky E (X) = µ, E ( X ) = µ + σ, D (X) = σ, ρ(x) = ε(x) =.
hustota f().4.3.. σ = σ = σ = 4 5 5 Obr. 6: Graf hustoty normálneho rozdelenia so strednou hodnotou µ = pre rôzne hodnoty parametra σ. Strana z 7 3.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia M X (t) = e µt+ t σ. (4) M X (t) = e t. (5) Charakteristická funkcia χ X (t) = e i µt σ t. (6)
Kvantilová funkcia F (p) = µ + σφ (p). (7) Strana z 7
4. Gama rozdelenie Γ (a, δ) 4.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda kladné reálne hodnoty sa riadi Gama rozdelením Γ (a, δ) a píšeme X Γ (a, δ), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = { δ a Γ(a) a e δ, >, (8) kde a > a δ > sú dané parametre. Význam rozdelenia Gama rozdelenie je charakterizované dvomi parametrami a a δ. Pre celočíselnú hodnotu parametra a vzniká ako súčet a nezávislých náhodných premenných s eponenciálnym rozdelením s parametrom δ. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Gama rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou tzv. neúplnej gama funkcie, ktorá je definovaná ako γ(α, ) = e t t α dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X Γ (a, δ) teda zapíšeme v tvare: ) F () = γ ( a, δ. (9) Γ(a) Strana 3 z 7
hustota f().5.5 a = a = a = 3 a = 4 a = 5 a = 6 hustota f().5.5 a =.3 a =.5 a =.8 a = 4 6 8 3 4 5 Obr. 7: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (a, ) pre rôzne hodnoty parametra a. Obr. 8: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (a, ) pre rôzne hodnoty parametra a. 4.. Číselné charakteristiky Strana 4 z 7 E (X) = aδ, E ( X ) = δ a(a + ), D (X) = aδ, ρ(x) = a ε(x) = 6 a.
hustota f().5.5 δ = δ = δ = 3 δ = 4 δ = 5 δ = 6 hustota f().5.5 δ =.3 δ =.5 δ =.8 δ = 4 6 8 3 4 5 Obr. 9: Funkcia hustoty rozdelenia Γ (, δ) pre rôzne hodnoty parametra δ. Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia Γ (, δ) pre rôzne hodnoty parametra δ. 4.3. Charakteristické funkcie Strana 5 z 7 Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ( δt) a, t < δ. () χ X (t) = ( δt i) a. () Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií.
5. Rozdelenie χ (n) 5.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda kladné reálne hodnoty sa riadi Rozdelením χ (n) (chí-kvadrát) s n stupňami vol nosti a píšeme X χ (n), ak jej funkcia hustoty má tvar e n f() = n >, Γ( n ) (), kde n N je daný parameter, tzv. počet stupňov vol nosti. Význam rozdelenia Rozdelenie chí-kvadrát s n stupňami vol nosti je charakterizované jedným parametrom n. Vzniká ako rozdelenie súčtu druhých mocnín (kvadrátov) nezávislých náhodných premenných so štandardizovaným normálnym rozdelením. Teda ak X i N, i =,..., n sú nezávislé, tak náhodná premenná Y = X + X n má rozdelenie χ (n). Rozdelenie chí-kvadrát je tiež špecifickým prípadom Gama rozdelenia s parametrami a = n a δ =. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu rozdelenia chí-kvadrát je možné, podobne ako distribučnú funkciu Gama rozdelenia vyjadrit s pomocou neúplnej gama funkcie, v tvare: F () = γ ( n, ) Γ ( ) n. (3) Strana 6 z 7
hustota f().4. n = n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 5 5 Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia χ (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 5.. Číselné charakteristiky Strana 7 z 7 E (X) = n, E ( X ) = n + n, D (X) = n, 8 ρ(x) = n ε(x) = n.
F ().8.6.4 n = n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7. 5 5 Obr. : Distribučná funkcia rozdelenia χ (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 5.3. Charakteristické funkcie Strana 8 z 7 Momentová vytvárajúca funkcia Charakteristická funkcia M X (t) = ( t) n, t <. (4) χ X (t) = ( δt i) n. (5) Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií.
6. Beta rozdelenie B (k, n) 6.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty z intervalu ; sa riadi Beta rozdelením B (k, n) a píšeme X B (k, n), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = { k ( ) n B(k,n), inak (6) kde k > a n > sú dané parametre. Význam rozdelenia Beta rozdelenie patrí medzi najpoužívanejšie rozdelenia pre náhodné premenné ktoré nadobúdajú hodnoty z intervalu ;. Je charakterizované dvomi parametrami k a n, čo mu dáva vel kú fleibilitu. Práve táto fleibilita tvaru funkcie hustoty je príčinou jeho širokého použitia. Beta rozdelenie je zovšeobecnením rovnomerného rozdelenia Ro (, ). Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Beta rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou tzv. neúplnej beta funkcie, ktorá je definovaná ako B (k, n) = t k ( t) n dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X B (k, n) teda zapíšeme v tvare: F () = B (k, n) B(k, n). (7) Strana 9 z 7
hustota f() 3 k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 hustota f() 3 n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6..4.6.8..4.6.8 Obr. 3: Funkcia hustoty rozdelenia B (k, 3) pre rôzne hodnoty parametra k. Obr. 4: Funkcia hustoty rozdelenia B (3, n) pre rôzne hodnoty parametra n. 6.. Číselné charakteristiky Strana z 7 E (X) = k k + n, E ( X ) = D (X) = Γ(k + )Γ(k + n) Γ(k + n + )Γ(k), nk (k + n) (k + n + ), ρ(x) = (n k) k + n + (k + n + ) kn ε(x) = 6[(k n) (k + n + ) nk(k + n + )]. kn(k + n + )(k + n + 3)
F ().8.6.4. k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 F ().8.6.4. n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6..4.6.8..4.6.8 Obr. 5: Distribučná funkcia rozdelenia B (k, 3) pre rôzne hodnoty parametra k. Obr. 6: Distribučná funkcia rozdelenia B (3, n) pre rôzne hodnoty parametra n. 6.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia M X (t) = + i= i j= k + j k + n + j ti i!. (8) Charakteristická funkcia Vyjadrenie je príliš zložité, využíva tzv. hypergeometrické funkcie. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana z 7
7. Studentovo rozdelenie t (n) 7.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda hodnoty z Rsa riadi Studentovým rozdelením t (n) s n stupňami vol nosti a píšeme X t (n), ak jej funkcia hustoty má tvar f() = Γ ( ) n+ nπγ ( n ) ( + n ) n+ kde parameter n N je parameter, tzv. počet stupňov vol nosti., R, (9) Význam rozdelenia Studentovo rozdelenie t (n) je významným rozdelením v matematickej štatistike, hrá významnú úlohu pri testoch štatistických hypotéz. Vzniká ako rozdelenie podielu náhodnej premennej X N (, ) a náhodnej premennej Y n, kde Y χ (n). Jeho odvodenie sa pripisuje Williamovi Gossetovi, ktorý bol v oblasti štatistiky samoukom a bol preto známy pod prezývkou student. Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Studentovho rozdelenia nie je možné vyjadrit v jednoduchom uzavretom tvare pomocou elementárnych funkcií. Môžeme ju zapísat iba v integrálnom tvare: Γ ( ) n+ F () = ( nπγ n ) ( ) n+ dt. (3) + t n Strana z 7
hustota f().4.3.. k = k = k = 5 k = k = k = F ().8.6.4. n = n = 4 n = 6 n = 8 n = n = 4 4 4 4 Obr. 7: Funkcia hustoty Studentovho rozdelenia t (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. Obr. 8: Distribučná funkcia Studentovho rozdelenia t (n) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 7.. Číselné charakteristiky Strana 3 z 7 E (X) =, D (X) = n, n n >,, n ρ(x) =, n > 3, inak nedefinované ε(x) = 6 n 4 n > 4, inak nedefinované.
7.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Momentová vytvárajúca funkcia nie je definovaná. Charakteristická funkcia χ X (t) = K n ( n t ) ( n t ) n Γ ( ) n n, (3) kde K n () je tzv. modifikovaná Besselova funkcia definovaná vzt ahom K n () = e cosh t cosh(nt) dt. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana 4 z 7 Z obrázku 7 je vidiet, že s rastúcim počtom stupňov vol nosti sa už priebeh funkcie hustoty vel mi nemení. Perto je zvykom pre hodnoty n > 3 toto rozdelenie aproimovat štandardným rormálnym rozdelením N (, ).
8. Fisherovo rozdelenie F (n, n ) 8.. Definícia Hustota Náhodná premenná X, ktorá nadobúda nezáporné reálne hodnoty sa riadi Fisherovým rozdelením F (n, n ) s n a n stupňami vol nosti a píšeme X F (n, n ), ak jej funkcia hustoty má tvar ( ) n n n ( ) n f() = n +n B( n, n + ) n n > (3) kde n N a n N sú dané parametre. Význam rozdelenia Fisherovo rozdelenie má vel ký význam v matematickej štatistike. Využíva sa pri testoch hypotéz na rovnost rozptylov dvoch súborov (nazývané F testy) alebo v analýze rozptylu. Vzniká ako rozdelenie podielu dvoch nezávislých náhodných premenných X n a Y n, pričom X χ (n ) a Y χ (n ) Distribučná funkcia Distribučnú funkciu Fisherovho rozdelenia je možné vyjadrit s pomocou neúplnej beta funkcie B (k, n) = t k ( t) n dt. Distribučnú funkciu náhodnej premennej X F (n, n ) teda zapíšeme v tvare: F () = B ( n, n ) B ( n, n ). (33) Strana 5 z 7
hustota f().6.4. n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 hustota f().5.5 n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 3 4 3 4 Obr. 9: Funkcia hustoty rozdelenia F (3, n ) pre rôzne počty stupňov vol - nosti n. Obr. : Funkcia hustoty rozdelenia F (n, 3) pre rôzne počty stupňov vol - nosti n. 8.. Číselné charakteristiky Strana 6 z 7 E (X) = n n, n > D (X) = n (n + n ) n (n ) (n 4), n > 4, ρ(x) = (n + n ) 8(n 4) (n 6) n (n + n ) ε(x) = n (5n )(n + n ) + (n 4)(n ) n (n 6)(n 8)(n + n )
F ().8.6.4. n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 F ().8.6.4. n = n = n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 3 4 3 4 Obr. : Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (3, n ) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. Obr. : Distribučná funkcia Fisherovho rozdelenia F (n, 3) pre rôzne počty stupňov vol nosti n. 8.3. Charakteristické funkcie Momentová vytvárajúca funkcia Momentová vytvárajúca funkcia nie je definovaná. Začiatočné momenty ν k eistujú a sú konečné len ak k < n a platí ν k = ( n n ) k Γ ( n + k ) Γ ( n k ) Γ ( ) ( n Γ n ) Charakteristická funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Kvantilová funkcia Nie je vyjadritel ná v jednoduchom uzavretom tvare s pomocou elementárnych funkcií. Strana 7 z 7