RNDr. Radoslava Paulenková

Obchodná akadémia Rimavská Sobota MATEMATIKA Vyučujúca Konzultantka RNDr. Radoslava Paulenková Mgr. Lujza Zelezníková

Ciele projektu využívanie moderných netradičných vyučovacích metód - zdokonaľovanie pedagogického majstrovstva učiteľov s dôrazom na informačno-komunikačné technológie - práca s talentovanými žiakmi Výsledný produkt - nová osobnosť žiaka - metodická príručka - publikovanie projektových prác žiakov a vyučujúcich 2

OBSAH 1. ÚVOD 2. PRODUKTY PROJEKTU 2.1 PRACOVNÉ LISTY 2.2 PRACOVNÉ LISTY NA PC 2.3 KARTIČKY 2.4 ŤAHÁKY 2.5 GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE 2.6 TESTY NA PC 2.7 PREZENTÁCIE 2.8 ŽIACKE PROJEKTY 2.9 MATURITNÉ TÉMY 2.10 HLAVOLAMY 3. ZÁVER 3

1. ÚVOD Trojročnú prácu na projekte môžeme rozdeliť do štyroch častí. 1. ÚVODNÁ ČASŤ - zoznámenie sa so žiakmi 2. UVÁDZACIA ČASŤ - oboznámenie sa s projektom 3. JADRO - práca na produktoch projektu 4. ZÁVEREČNÁ ČASŤ - výstupy projektu 1. ÚVODNÁ ČASŤ - túto časť môžeme nazvať aj prípravná. Trvala asi dva mesiace. V tejto časti bola zisťovaná vedomostná úroveň žiakov z matematiky vo vybratej triede. Snahou bolo dosiahnuť u nich samostatnosť pri riešení, viesť diskusiu a nebáť sa obhajovať svoje tvrdenia a prezentovať ich. 2. UVÁDZACIA ČASŤ- v tejto časti sa žiaci rozdelili do štvorčlenných približne rovnocenných skupín, v ktorých spoločne pracovali. Určili sa jednotlivé úlohy produkty, ktoré riešili. Na niektorých úlohách pracovali vo dvojiciach. V tejto časti bola ešte nutná výpomoc a usmerňovanie vyučujúcej. 3. JADRO v druhom a treťom ročníku môžeme skutočne hovoriť o projektovom vyučovaní. Žiaci ovládali metodiku a postupy všetkých produktov, ktoré sa stali automatickou súčasťou vyučovania. Prevládala samostatná práca žiakov s občasnými konzultáciami. 4. ZÁVEREČNÁ ČASŤ - žiacke a učiteľské produkty boli spracovávané na počítači a pripravované na výstup do metodickej príručky a na CD. Cieľ projektu jednoznačne určil cestu, ktorou vyučovanie matematiky má smerovať. Netradičné vyučovacie metódy sa používajú už niekoľko rokov, ale neudržateľný trend počítačov nastolil nový smer vyučovania netradičných metód a to smer prepojený s počítačmi. Táto cesta prinútila aj nás pedagógov prispôsobiť sa dobe a zdokonaľovať sa v pedagogickom majstrovstve. 4

2. PRODUKTY PROJEKTU Počas troch rokov boli vypracované nasledovné produkty pre všetky tematické celky. V tejto záverečnej správe uvádzame len ukážky jednotlivých produktov, ostatné sú priložené v prílohe na CD a záverečných prácach po jednotlivých ročníkoch MATEMATIKA 1. 2. 3. - PRACOVNÉ LISTY - PRACOVNÉ LISTY NA PC - KARTIČKY - ŤAHÁKY - GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE - TESTY NA PC - PREZENTÁCIE - ŽIACKE PROJEKTY - MATURITNÉ OTÁZKY - HLAVOLAMY 2.1. PRACOVNÉ LISTY Ich úlohou je zopakovať daný tematický celok a zistiť prehľad vedomostí žiakov Môžu sa použiť na - opakovanie pred písomnou kontrolou - na samostatnú prácu žiakov - na záverečné opakovanie na konci školského roku Pracovné listy sú vypracované na všetky tematické celky a sú v prílohe na CD a v jednotlivých častiach MATEMATIKA 1. 2. 3. roč. Ukážka: Pracovný list č.3: Mocniny a odmocniny Pracovný list č.4: Funkcie a lineárna funkcia 5

PRACOVNÝ LIST č.3 Mocniny a odmocniny 1. Napíšte v tvare mocniny: a) 3 a =... b) 5 3 x =... c) a. 3 a =... - 2. Napíšte v tvare odmocniny: a) 3 4 2 =... 1 2 b) x. x =... c) 2 a b 3 ab =... n 3. Napíšte v tvare a. 10 1 a < 10: a) 12 000 000 =. b) 0, 000 016 =. 0,32 1200000 c) = 0,000008 400000 4. Upravte: a) 3 6 6 + 12 6 =... b) 2( 3 5) 3( 5 3) podľa vzorca c) ( 5 7) ( 5 7) + =... + =... podľa vzorca d) ( 3 2) 2 =... podľa vzorca e) ( 2 + 3) 3 =... 5. Čiastočne odmocnite: a) 32 3 128 196 9 =... 6. Usmernite a) 7. Riešte a) c) d) 3 3 b) -3 3 2 2 16 + 128 =... c) d) 9 a =... b) 6 5 2 a 2 2 x x 1 2 7 + 3 7 3 x 19 y 6 =... 3 1 a 15 b 4 =... =...c) 2 2 + 3 =... 3 5 =... 5 x =... b) x 2 x x 1 2 x =... + podmienky x 2 3 3 x x =... x x 6

PRACOVNÝ LIST č. 4 Funkcie a lineárna funkcia 1. Napíš všeobecnú rovnicu lineárnej funkcie... pomenuj graf... D(f) =... H(f) =... 2. Urči funkciu, ktorá je lineárna... 2 2 2 + 3 y = + 3 y = 2x 2 + 3 y = + 3 y = x x 3 x 4 3. Urči monotónnosť funkcií a načrtni ich y = 2x 3... y = -x - 3... y = x + 3... y = - 2... 4. Načrtni do jedného grafu dvojicu lin. rovníc ( bez voľby usporiadaných dvojíc) a) y = -5x +1 y = -5x 2 y y y b) y = 4x 3 y = 2x +1 c) y = 2 y = -1 x x 5. Ku grafu priraď správnu funkciu... 2 3 2 y = - 2x-2 y = x 2 y = x 2 y = 2x + 3 2 3 2 y = x 2 y = -2 3 6. Urči pri každom grafe, či ide o funkciu, ak áno, priraď jej D(f) a H(f) a) b) c) d) e).......................................... 7. Leží niektorá z usporiad. dvojíc na grafe danom funkciou y = - x+2? [ 1,2] alebo [ 2,4] 8. Zadaj usporiadanú dvojicu, 9. Napíš rovnicu lin. funkcie, 2 ktorá patrí funkcii y = x + 1 ktorej graf je na obrázku 3 [...,...] 7

2.2. PRACOVNÉ LISTY NA PC Cieľom tohto pracovného listu je aktívne používať matematické programy CABRI GEOMETRIA a DERIVE. Pracovný list je zameraný na goniometrické funkcie, ich grafy, zmeny grafov podľa zmien parametrov, určovanie period, priradenie správnej rovnice ku grafu atď. Ukážka: Pracovný list č.1: Funkcia sínus Pracovný list č.2: Goniometrické funkcie 8

Pracovný list č.1: Funkcia sínus 1. Pomocou programu Cabri načrtnite grafy k funkciám: Program Cabri Geometria (kliknete sem) a) y = sin 2x π b) y = sin ( x + ) 4 c) y = 3 sin x d) y = 1 + sin x 2. Zistite periódu predchádzajúcich funkcií! 3. Na obrázku je časť grafu funkcie a) y = 1 + sin ( x - 4 π ) b) y = 2 sin ( x + 4 π ) π π c) y = 2 cos ( x - ) 4 4 3π 4 d) y = 2 sin ( x - 4 π ) 4. Ktorá z uvedených funkcií má obor hodnôt H = <2,8> a najmenšiu periódu p= π a) y = -3sin (2x + 2 π ) - 5 b) y = 3 sin (2x + 2 π ) + 5 c) y = 5 sin ( 2x - 2 π ) + 3 d) y = 3 sin ( x - π ) + 5 2 2 5. Na obrázku je časť grafu funkcie y = sin bx + d. Potom pre koeficienty b,d platí: a) b = 2 1, d = -1 b) b = 2, d = -1 π 2 π 3 π 4 π c) b = 2 1, d = 1 d) b = 2, d = 1 6. Aká je najmenšia kladná perióda funkcie: f: y = 1 + sin 2x a) 2 π b) π c) 2 π d) 4 π 9

Pracovný list č.2: Goniometrické funkcie 1. Pomocou programu DERIVE 5 načrtni časť grafu a) y = sin x a y = sinx b) y = cos x y = cosx c) y = tg x y = tg x d) y = cotg x y = cotg x 2. Na obrázku je časť grafu funkcie: a) y = -cotg 2x b) y = tg ( - 2 2-3 π - π π 3 π c) y = - cotg ( - 2 2 d) y = tg (2x - π ) 3. Načrtnite časť grafu, a zistite periódu. y= 3 +2 cos (2x - 4 π ) 4. Časť grafu na obrázku patrí funkcií a) y = cos x b) y = - sinx - π π 2 π c) y = cos (x - 2 π ) d) y = - cos x 5. Časť grafu na obrázku nemôže patriť funkcií a) y = - sin ( x + 4 π ) π b) y = - sin ( x - ) -2 π π π 2 π 4 c) y = -cos ( x - 4 π ) 3π d) y = sin ( x - ) 4 10

2.3. KARTIČKY Práca s kartičkami je založená na práci vo dvojiciach. Súbor obsahuje po 36 kartičiek z 18 tematických celkov. Kartičky sú dvojakej farby. Jeden druh farby sú rovnako typové úlohy s pozmenenými číslami vhodné pre 18 dvojíc a druhý druh farby je zameraný na iný typ príkladov. Každá kartička obsahuje 3 príklady. Kartičky sú očíslované a žiaci majú k dispozícii na papieri výsledky, ktoré slúžia po ukončení riešenia na samokontrolu.po bezchybnom vyriešení prvej sady majú malú jednotku /pracovnú/,po vyriešení oboch sád dostanú veľkú jednotku /do klas. záznamu / Žiaci, ktorí neuspeli, obdržia výsledky a na domácu úlohu majú nájsť chyby vo svojich riešeniach. Ukážka: - rôzne druhy kartičiek - výsledková listina 11

2.4. ŤAHÁKY Žiaci si vypracúvajú ťaháky podľa vlastného vkusu. Najestetickejší ťahák visí na nástenke až po dobu kontrolnej práce. Ťaháky môžu tiež použiť pri záverečnom opakovaní na konci školského roka. Mocniny a odmocniny Mocnina a n n prirodzené číslo a základ mocniny n exponent, mocniteľ Mocnina s prirodzeným exponentom je súčin n- rovnakých činiteľov a n = a.a.a...a r s r+ s r s r s Vlastnosti: 1. a a = a 2. a : a = a a 0 s s ( ) r r 3. a a 4. r r = ( ) Mocnina s celočíselným exponentom Vlastnosti 1.-5. + 6. a 0 =1 7. Mocniny s racionálnym exponentom - Vlastnosti 1.-7. + 8. n-krát r r a a a b = a b 5. = r b b a m n a n m = a a 0 n 1 = n a a m n r a 0 b 0 Každá mocnina s racionálnym exponentom sa dá napísať ako odmocnina!!!! n-tá odmocnina n a a základ podmienka a 0 n exponent odmocniny n n n Vlastnosti: 1. a b = n a b 4. a n = a podmienky n a a 2. n n = 5. n m n m a = a a 0 b b m n n m n p m p n m 3. ( a ) = a 6. a = a b>0 Usmernenie zlomku - odstrániť odmocninu z menovateľa 3 3 5 = - rozšírením s číslom z menovateľa 5 5 5 3 3 5 + 3 2 2 = - rozšírime výrazom doplneným na vzorec a b 5 3 5 3 5 + 3 z menovateľa Čiastočné odmocnenie - odmocniť časť výrazu z odmocniny 3 17 3 15 2 5 3 2 128 = 64 2 = 8 2 x = x x = x x x 0 13

2.5. GRADOVANÉ PÍSOMNÉ PRÁCE Používame ich pri štvrťročných písomných prácach. Žiaci si podľa svojich schopností môžu vybrať príklady podľa náročnosti, ktoré sú obodované. Stupnica bodov a k nim pridelené známky sa nachádzajú na konci písomnej práce. Z každého typu príkladu sú tri úrovne, ktoré žiak nemusí dodržiavať. Po sčítaní bodov za jednotlivé príklady sa podľa stupnice udelí výsledná známka. 14

GRADOVANÁ PÍSOMNÁ PRÁCA Planimetria 1. Urči hodnoty nasledujúcich goniometrických funkcií: a) tg 67 12 = cotg120 33 = tg β = 8, 259 β =? cotgω = 3, 555 ϖ =? 6b. b) sin 67 12 = cos 120 33 = sinω = 0, 564 ω =? cosα = 0. 987 α =? 4b. c) sin 30 = cosα = 0, 5 α =? tg β = 6, 543 β =? 3b 2 Daný je pravouhlý trojuholník ABC. Prepona meria 7,2 cm, uhol β = 38. a) Urči ostatné prvky trojuholníka. 5b. b) Urči jednu odvesnu a uhol α goniom. funkciami 4b. c) Urči jednu odvesnu a uhol α dopočítaním do 180 3b. 3. Na obrázku je daný pravouhlý lichobežník. Určte jeho obvod a obsah. Vypočítané údaje D C zaokrúhlite na celé čísla. a) a = 28cm, c = 16 cm, β = 37 6b. b) a = 28cm, b= 15cm, c = 16cm 4b. c) a = 28cm, c = 16cm, d = 9 cm 3b. A 4. Určte obsah trojuholníka ABC, ktorý má dané rozmery: a) a = 6cm, b = 7cm, c = 9cm. 4b. b) a = 6cm, b = 7cm, γ = 45 3b. c) a = 6cm, v a = 4cm 2b. B 5. Maškrtník Oliver mal doma tri rovnaké oblátky tvaru kruhu. Na obrázku je znázornené, koľko zjedol každý deň. Zvyšok nechal súrodencom. Vypočítajte: ( priemer- 20cm, uhol- 65, hrúbka medzikružia-1cm) a) b) c) 5b. 4b. 3b. 6. Daný je pravidelný 12-uholník. Urči jeho obvod a obsah, ak je dané: a) polomer opísanej kružnice 10cm 5b. b) polomer vpísanej kružnice 8cm 4b. c) veľkosť strany a = 6cm 3b. BODOVANIE: 31-28 1 23-18 3 12-0 5 27-24 2 17-13 4 15

GRADOVANÁ PÍSOMNÁ PRÁCA Kombinatorika 1. a/ Koľko existuje štvorciferných prirodzených čísel ak: a/ cifry sa neopakujú 4b. b/ cifry sa môžu opakovať b/ Koľko rôznych telefónnych čísel možno zapojiť, ak sú šesťmiestne, 3b. nezačínajú sa nulou a číslice sa nemôžu opakovať? c/ Koľko existuje štvorciferných čísel vytvorených z číslic 1,3,5,7,9, 2b. ak sa číslice nemôžu opakovať? 2. a/ Vyučujúci má k dispozícii 20 príkladov z geometrie a 30 z aritmetiky. 4b. Na kontrolnú prácu má vybrať 5 tak, aby 2 boli z geometrie a 3 z aritmetiky. Koľko existuje možností? b/ V triede je 12 chlapcov a 10 dievčat. Koľko rôznych 12 členných druž- 3b. stiev možno vytvoriť, ak majú byť zložené zo 4 dievčat a 8 chlapcov? c/ Koľko možností je na vytvorenie tanečného páru, ak je k dispozícii 2b. 5 chlapcov a 6 dievčat? - 3. a/ Z koľkých prvkov možno vytvoriť 66 kombinácií druhej triedy 5b. bez opakovania? b/ Z koľkých prvkov možno vytvoriť 132 variácií druhej triedy 4b. bez opakovania? ( x 1 )! x! c/ Rieš rovnicu: = 79 ( x 3 )! ( x 1 )! 3b. 4. x 6 x 2 Riešte rovnicu: a/ = 31 x 8 x 3 5b. x 1 x 2 b/ + = 4 x 2 x 4 4b. c/ x x 1 + = 4 2 2 3b. - 3 5. Urči binomický rozvoj : a/ ( x y ) 4b. b/ ( 3 a 2) 3b. 3 ( 2 x + 3) c/ 2b. - 6. Urči štvrtý člen binomického rozvoja 6 2 3 x b/ a/ 1 y + 4 2 c/ ( a + 2b) 7 4b. 3b. 2b. Hodnotenie: 26-24 1 23-20 2 19-15 3 14-11 4 8 16

2. 6 TESTY NA PC Hlavná štruktúra testu je vytvorená autorom Petrom Žočkom. Každý vyučujúci si zadanie testu aj grafiku vytvára sám. Test má tieto možnosti - miešanie otázok - vyhodnotenie odpovedí - klasifikácia stanovená vyučujúcim - správne odpovede - stanovenie času Testy sú vhodné na rýchle preverenie vedomostí. Ukážky: Postupnosti Analytická geometria POSTUPNOSTI 17

ANALYTICKÁ GEOMETRIA 21

2.7. PREZENTÁCIE Prezentácie sú vypracované vyučujúcou a spracované na PC v Power Pointe konzultantkou na každý tematický celok. Slúžia na zopakovanie tematického celku. Pretože sa v nich vyskytujú aj netradičné úlohy, najvhodnejšia je skupinová práca formou súťaženia. Prezentácie patrili medzi najobľúbenejšie produkty projektu. 24

Matematika 25

Opakovanie 1. Dané sú množiny A,B s vlastnosťami: A={ x є N; x 2 < 9} B={ x є Z; -2 < x < 2} a) vymenuj prvky množiny A,B b) urči A B; A U B A = { 1,2} B = { -1, 0, 1} A B = {1} A U B = { -1,0,1,2} 26

2. Úpravou daného výrazu 3 3 12 x dostaneme: 3 a) b) x c) 3 x x 27

3. Napíš dané čísla v tvare a.10 n a vypočítaj výsledok 1< a < 10 0,32.40000 1600000.0,000008 Zápis: 3,2. 10-1. 4. 10 4 1,6.10 6. 8.10-6 Výsledok: 10 3 = 1000 28

matematika 4. KTO JE TO? Euklides obsah trojuholníkov otec-zakladateľ algebry Pytagoras určil Ludolphovo číslo veta o prepone a odvesnách vety o výške a odvesnách kružnica vrcholov pravých uhlov Heron Thales 2299

5. Na obrázkoch sú graficky určené tri množiny, H,K a M. Ktoré z nich nepredstavujú funkciu a prečo? Pretože k jednému vzoru je priradených viac obrazov 30

6. Urči definičný obor a obor funkčných hodnôt danej funkcie D(f)=<-3; ) H(f)=<-2;-1)U<3;4> 31

7. Na obrazovke máte 3 grafy a rovnice. Priraď ku každému grafu jednu správnu rovnicu y=ax-4 y=x+b y=-x+b y=ax+4 y=ax 32

9. Maškrtník Projektko mal doma tri okrúhle oblátky. Na troch obrázkoch máte znázornené, koľko zjedol prvý, druhý a tretí deň. Ktorý deň zjedol najviac a koľko? (priemer= 20 cm, stredový uhol=65, hrúbka medzikružia je 1 cm) 1.deň 2.deň 3.deň 60cm 2 33

2.8. ŽIACKE PROJEKTY Žiacke projektové práce slúžia na samostatnú prácu žiakov, na ktorej môžu pracovať aj doma. Veľkosť tímu si volia sami, najčastejšie ide o dvojice. K danej téme, ktorú si môžu vybrať, dostanú od vyučujúcej pracovný list, ktorý slúži na usmernenie a zadanie úloh. Každý pracovný list obsahuje: - tému projektu - hlavný cieľ - špecifické ciele - úlohy - spôsob hodnotenia - odporúčanú literatúru - termín konzultačných hodín - termín zadania a odovzdania práce Všetky projektové práce boli odprezentované na hodinách matematiky a najlepšie práce boli použité na otvorenej hodine. Témy projektov: Učebňa budúcnosti Skrotenie grafov Slávni matematici Maturity po novom Projektové práce študentov uvádzame v originálnej zostave bez opráv vyučujúcich. 34

Projektová práca č. 3 Hlavný cieľ: Vytvoriť pomôcku na skrotenie grafov Špecifické ciele: 1. Naučiť sa pracovať s programom DERIVE na PC 2. Vypracovať recept na ľahšie zvládnutie grafov rôznych funkcií 3. Naučiť sa využívať spätnú väzbu pri kontrole vedomostí 4. Vedieť zhodnotiť svoju prácu a vedomosti 5. Určiť výhody svojho projektu 6. Naučiť sa pracovať v tíme Úlohy: 1. Precvičte si v programe DERIVE grafy rôznych funkcií 2. - vypracujte pracovný list na kreslenie funkcií s využitím DERIVE /pracujte len na počítači/ - vypracujte pracovný list vo WORDE /pracujte bez počítača grafy črtajte/ 3. Obidva pracovné listy porovnajte a korigujte svoje výsledky 4. Ohodnoťte svoje výsledky slovne aj známkou 5. Zdôvodnite klady - prínosy svojho projektu 6. Posúďte výhody a nevýhody práce v tíme Spôsob hodnotenia: - porozumenie a interpretácia úloh 1-10 bodov - vhodné použitie rovníc pre funkcie 1-5 - správnosť grafického riešenia 1-10 - úroveň zdôvodnenia prínosu svojho projektu 1-5 - rozsah spracovania daného projektu 1-15 - estetická stránka projektu 1-10 - originalita riešenia 1-5 - prezentácia projektu 1-10 70 63 výborný 62 53 chválitebný 52 42 dobrý 41 31 dostatočný Odporúčaná literatúra : Matematické tabuľky, Prehľad stredoškolskej matematiky, učebnice matematiky, Derive 5 Matematika na počítači pre dospelých Adresy na www. stránkach: Konzultácie : počítačová učebňa utorok 14.00-15.30 p. Paulenková p. Zelezníková Dátum zadania a odovzdania projektu: 23. 02. 22. 03. 2005 35

Liineárne, e kvadratiické, exponenciiállne, n llogariitmiické a goniometriické i funkciie Peter Boháčiik Pavoll Nosko 2..B/2 36

Úvod Grafy sú pre niekoho len určitými obrazcami s dvomi osami a priamkou či krivkou, ktoré im nič nehovoria. Pre tých, ktorí im porozumejú a vedia ich využívať, sa však môžu stať veľmi užitočnou pomôckou, s uplatnením na väčšine hodín matematiky, zaoberajúcich sa funkciami. Či už ide o lineárne, kvadratické, exponenciálne, logaritmické alebo goniometrické funkcie, vždy sa niečím líšia a tým sú stále výnimočné. Keď si dokáže študent vo svojej mysli predstaviť graf určitej funkcie bez toho, aby ovládal kvantum náročnej teórie, ľahko z neho vyčíta mnohé informácie (definičný obor, obor funkčných hodnôt, monotónnosť, hodnoty...). S grafmi sa však dá aj príjemne zahrať. A práve to je cieľom nášho projektu Skrotenie grafov. Ako veľmi užitočná pomôcka na prácu s grafmi sa nám ukázal matematický program DERIVE. Stačí chvíľka trpezlivosti naučiť sa základné pokyny a z grafov sa stávajú naši priatelia. 37

Test Program DERIVE nám veľmi pomohol pri zostavovaní testu na preverenie vedomostí o grafoch. Úlohy sme vyberali tak, aby v ňom boli zahrnuté všetky typy prebraných funkcií od lineárnych až po goniometrické. Test tvorí 8 príkladov v dvoch variantoch: 1. klasický test na pracovných listoch 2. test v prezentácii PowerPoint Test je zostavený tak, aby ho po prebraní lineárnych, kvadratických, exponenciálnych, logaritmických a goniometrických funkcií a po krátkom zopakovaní mohol zvládnuť každý študent. Zaujímavou alternatívou by mohlo byť, keby si riešitelia mohli sami skontrolovať svoje výsledky pomocou programu DERIVE. Zamýšľali by sa nad svojimi chybami a brali si z nich ponaučenie. Veď z vlastných chýb sa človek najviac naučí. A ako sme dopadli my? Najprv sme si zostavili 2 podobné testy (každý z nás vlastný). Tým, že sme hľadali vhodné úlohy, postupne sme prešli všetkými funkciami a tým si aj zopakovali rôzne typy grafov. Po zostavení testov sme si ich navzájom vymenili, spustili čas 45 minút a obaja sme sa pustili do počítania. S niektorými úlohami sme sa síce trochu potrápili, ale obidva testy dopadli veľmi dobre. Jednotky ako hrom. Preto by bolo podľa nás veľmi výhodné vypracovávať podobné testy v rámci hodín matematiky. Študenti by si zostavovali testy (mohli by byť aj kratšie, napr. 5 minútové) a po kontrole správnosti profesorom by si ich povymieňali a riešili. A určite by sa to odrazilo na výsledných známkach z matematiky. V súčasnosti to však nie je také jednoduché. Hodín matematiky je totiž dosť málo (často to nepostačuje ani na prebranie základného učiva) a preto oceňujeme možnosť takýchto aktivít v rámci projektov. Test a správne odpovede sú súčasťou príloh 38

Lineárne, kvadratické,, exponenciálne, logaritmické a goniometrické funkcie 39

Úloha č. 1 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 1. Graf ktorej z týchto funkcií bude rovnobežný s grafom funkcie y = 3x 5 a) b) c) y = 3x + y = 3x + 5 5 y = 3.(x 5) d) y = 3.(x 5) «Riešenia» Ďalej 40

Úloha č. 2 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 2. Priraďte k danému grafu správnu funkciu a) b) c) d) 2 y = x 2 3 y = 3x 2 y = 2x 3 2 y = x 2 3 «Riešenia» Späť Ďalej 41

Úloha č. 3 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 3. Doplňte tabuľku a načrtnite graf y = 2x + 1 ak x -2 2 y -3 5 x 2;2 «Riešenia» Späť Ďalej 42

Úloha č. 4 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 4. Načrtnite grafy: a) y = 4x + 1 b) y = x 2 c) y = x + 4x + 6 d) y = y=(x 2 +4x+4)+2 y= (x-2) 2-1 y=(x+2) 2+ 2 x 2 2 1 4x + 3 «Riešenia» Späť Ďalej 43

Úloha č. 5 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 5. Ktorá funkcia patrí danému grafu? a) b) c) y = 4x y = x y = x 2 2 2 + 2 + 2x 1 + 2x + 3 c) y=(x 2 +2x+1)+2 y=(x+1) 2 +2 b) y=(x 2 +2x+1)-2 y=(x+1) 2-2 «Riešenia» Späť Ďalej 44

Úloha č. 6 Úloha č. 1 Úloha č. 2 6. Načrtnite do jedného grafu: Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 x y = 2 x y = 2 y = 2 x 1 x y = 2 y = 2 x 1 Úloha č. 8 x y = 2 «Riešenia» Späť Ďalej 45

Úloha č. 7 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 7. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = log x. Vkreslite do neho grafy funkcií: a) b) c) y = log x + 1 y = log x 1 y = log(x + 1) y = log x + 1 y = log x y = log(x + 1) y = log x 1 «Riešenia» Späť Ďalej 46

Úloha č. 8 Úloha č. 1 Úloha č. 2 Úloha č. 3 Úloha č. 4 Úloha č. 5 Úloha č. 6 Úloha č. 7 Úloha č. 8 8. Načrtnite grafy: a) y = cos x + 1 b) π y = sin(x + ) 2 -π/2 π 2π c) y = sin 0,5x d) y = sin x π π 2π π 2π «Riešenia» Späť Riešenia 47

Dúfame, že e test dopadol čo o najlepšie, ak nie, nevadí. Peter Boháčik Pavol Nosko 2.B/2 48

Záver Hovorí sa, že človek je tvor zábudlivý. Je to pravda a všetci sme si toho vedomí. Preto učenie sa naspamäť bez toho, aby sme tomu chápali, nemá absolútne žiadny zmysel. Keď však niečomu rozumieme a hľadáme súvislosti s inými poznatkami, omnoho ťažšie to zabudneme. A to je potrebné dosiahnuť. Aj náš test by mal určite väčší význam, keby sa pred ním uskutočnilo niekoľko voľnejších hodín, na ktorých by študenti pracovali s grafmi (napr. prostredníctvom programu DERIVE), dopĺňali si svoje vedomosti navzájom a hlavne, aby logicky chápali tomu čo robia. Opäť je tu však problém nedostatku času na vyučovacích hodinách a s tým sa prakticky nedá nič urobiť. Lenže, aby si niekto večer pred podobným testom sadol k zošitu a začal sa bifliť tvary grafov, či poučky, to naozaj nemá zmysel a je to úplne zbytočné.... Matematike treba porozumieť. A ešte niečo na koniec Vypracovať takýto projekt si vyžaduje mnoho úsilia, preto oceňujeme možnosť práce v tíme. Obaja sme si mohli navzájom vymieňať svoje názory a vylepšovať rôzne nápady. A to môže byť len prínosom. Určite sa nájdu aj jednotlivci, ktorí tento systém dokážu zneužiť, ale to je len na ich škodu a v konečnom dôsledku na to iba doplatia. 49

Prílohy Test na pracovnom liste Správne riešenia k pracovnému listu Disketa s testom v prezentácii PowerPoint a jeho správnymi riešeniami 50

2.9. MATURITNÉ TÉMY Nakoľko v tomto školskom roku prebieha po prvý raz maturitná skúška novou formou, rozhodli sme sa so žiakmi vypracovať okruhy požiadaviek úrovne A a úrovne B. Jednotlivé okruhy oboch úrovní navrhnú žiaci aj vyučujúca. Cieľom obojstranného návrhu je porovnať náročnosť zadanú žiakmi a vyučujúcou. Ukážka: Maturitná téma POSTUPNOSTI Žiacky a učiteľský projekt 51

UČITEĽSKÝ PROJEKT Postupnosti - Úroveň A Postupnosť- funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Určenie postupnosti:.} pojem: -nekonečná postupnosť zápis a } 1) vymenovaním {2,4,6,8,... { n n=1 je definovaná na množine všetkých N čísel 2) vzorcom pre n-tý člen { n} n=1 a = n { 2 } n=1 k -konečná postupnosť - zápis { } = 3) rekurentne pomocou predchádzajúceho člena an n 1 je definovaná na k prirodzených číse 4) graficky Monotónnosť postupnosti {n-1} 4 n=1 - postupnosť a } je rastúca, ak pre všetky nєn; an < an+1 - postupnosť - postupnosť { n n=1 { n} n=1 { n} n=1 { n} n=1 { n} n=1 a je klesajúca, ak pre všetky nєn; an > an+1 a je konštantná, ak pre všetky nєn; an = an+1 a zdola ohraničená, ak d R a platí a n d - postupnosť sa nazýva a zhora ohraničená, ak h R a platí a n h - postupnosť sa nazýva - postupnosť je ohraničená, ak je ohraničená zdola a zhora Aritmetická postupnosť Postupnosť sa nazýva aritmetická práve vtedy, keď je rozdiel ľubovoľného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena stály (konštantný ; d= diferencia) a n-1 + a n+1 n a n+1 -- a n = d, a n+1 = a n + d a n = sn = (a 1 + a n ). ( súčet prvých n členov) 2 2 a n = a 1 + (n-1).d a s = a r + (s-r).d Geometrická postupnosť Postupnosť je geometrická práve vtedy, ak podiel ľubovolného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena je stály. (konštantný; q = kvocient) n a n+1 q - 1 q = a n+1 = a n. q (rekurentný vzťah) a n = a 1. q a n-1 sn = a 1. (ak q =/ 1) sn=n.a1 (ak q = 1) q - 1 n a n = a n+1. a n-1 a s = a r. q (s-r) Nekonečný číselný rad Ak { n} n=1 a je postupnosť čísel, potom výraz a1 + a2 +...+ an +...= { n} n=1 a n=1 Ak je geometrická postupnosť, potom n n=1 a sa nazýva nekonečný číselný rad. n a = a1 + a2 +...+ an +...= a1 + a1q + a1q 2...+ a1q n-1 +. sa nazýva nekonečný geometrický rad. Pre nekonečný číselný rad môžu nastať dve možnosti: 1) Existuje číslo s, pre ktoré platí a = s. Takýto nekonečný rad sa nazýva konvergentný ( blíži sa k nejakému súčtu) n=1 n 2) Neexistuje také číslo s, nekonečný rad sa nazýva divergentný ( neblíži sa k nejakému súčtu číslu) Nekonečný geom. rad je konvergentný, keď -1< q < 1 ( q <1). Potom jeho súčet vypočítame Ak q > 1 nekonečný geometrický rad je divergentný a nemá s. a 1 s = 1- q. 52

Využitie postupnosti v praxi: - využitie v spoločenskej praxi ( prírastok obyvateľstva, vzrast výroby, amortizácia- opotrebovanie predmetov, zložené úrokovanie) - význam pri plánovaní, prognostikovaní Používa sa vzorec a n = a 0. r n p an...konečná hodnota, a0...začiatočná hodnota r...úročiteľ, n... počet období, r = ( 1+ 100 )...pravidelný vzrast r = ( 1-100 )...pravidelný pokles ( amortizácia) Zložené úrokovanie ak na začiatku niektorého roka uložíme na vkladnú knižku s p % -úrokovaním poč. sumu a (Sk) a nijakú sumu nevyberáme ani nevkladáme každý rok pribudne p % zo sumy ktorá obsahuje aj úroky z predchádzajúceho obdobia. Úlohy o sporení s pravidelným vkladom ( na konci celého obdobia musíme urobiť súčet) n r - 1 p sn = a 0r. r= ( 1+ 100 ) r...úročiteľ, n...počet roč. období, a0...pravidelný ročný vklad r - 1 p 53

Postupnosti Úroveň B Postupnosť- funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Určenie postupnosti: pojem: -nekonečná postupnosť zápis a } 1) vymenovaním {2,4,6,8,...} { n n=1 je definovaná na množine všetkých N čísel k -konečná postupnosť - zápis { } = 2) vzorcom pre n-tý člen an n 1 { n} n=1 a = n { 2 } n=1 je definovaná na k prirodzených čísel 3) rekurentne pomocou predchádzajúceho Monotónnosť postupnosti 4) graficky - postupnosť a } je rastúca, ak pre všetky nєn; an < an+1 {n-1} 4 n=1 - postupnosť - postupnosť { n n=1 { n} n=1 { n} n=1 a je klesajúca, ak pre všetky nєn; an > an+1 a je konštantná, ak pre všetky nєn; an = an+1 Aritmetická postupnosť Postupnosť sa nazýva aritmetická práve vtedy, keď je rozdiel ľubovoľného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena stály (konštantný ; d= diferencia) a n+1 -- a n = d, a n+1 = a n + d a n-1 + a n+1 n a n = sn = (a 1 + a n ). ( súčet prvých n členov) 2 2 a n = a 1 + (n-1).d a s = a r + (s-r).d Geometrická postupnosť Postupnosť je geometrická práve vtedy, ak podiel ľubovolného člena (okrem prvého) a predchádzajúceho člena je stály. (konštantný; q = kvocient) a n+1 q = a n+1 = a n. q (rekurentný vzťah) a n n q - 1 a n = a 1. q n-1 sn = a 1. (ak q =/ 1) sn=n.a1 (ak q = 1) q - 1 a n = a n+1. a n-1 a s = a r. q( s-r) Využitie postupnosti v praxi: - využitie v spoločenskej praxi ( prírastok obyvateľstva, vzrast výroby, amortizácia- opotrebovanie predmetov, zložené úrokovanie) - význam pri plánovaní, prognostikovaní používa sa vzorec a n = a 0. r n an...konečná hodnota, a0...začiatočná hodnota r...úročiteľ, n... počet období, r = p 1+ )...pravidelný vzrast - tento vzťah sa používa aj pri zloženom úrokovaní ( 100 p ( 100 r = 1- )...pravidelný pokles ( amortizácia) n r - 1 p sn = a 0r. r= ( 1+ 100 ) r - 1 r...úročiteľ, n...počet roč. období, a0...pravidelný ročný vklad 54

PRÍKLADY - ÚROVEŇ A: 1. Veľkosť strán pravouhlého trojuholníka tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Dlhšia odvesna má dĺžku 12 cm. Vypočítajte obvod trojuholníka. 2. V športovej hale sú miesta pre divákov určené na sedenie v 25 radoch. V najnižšom rade je 800 sedadiel, v najvyššom rade 2 504 sedadiel. Koľko je v hale všetkých sedadiel, ak vzrast počtov sedadiel je od nižšieho radu k vyššiemu vždy rovnaký. 3. Určte a1 a d ak a3 + a6 = 32 4. Určte a1 a d ak a2 + a5 - a3 = 10 a4 + a5 = 36 a2 + a9 = 17 5. Geometrická postupnosť je určená a5 + a6 = 96, a1 =? 6. Geometrická postupnosť je určená sn = 4 088 a7 - a5 = 96 q =? q = 2; a1 = 8 sn = 2 046 n =? n =? an =? 7. Určte poradie podčiarknutého člena postupnosti: -1, 2, -4,..., 128 8. Geometrická postupnosť je určená a3 a1 = 24 a5 - a1 = 624 s6 =? 1 9. Zistite či nekonečný číselný rad n=1 n s je konvergentný. Ak áno, určte jeho súčet : 10. Napíšte dané čísla v tvare zlomku, aby čitateľ a menovateľ boli celé čísla: 0, 28 ; 0, 361 11. Riešte rovnicu : (x-1) + (x-1) 2 + (x-1) 3 +...= 1 12. Dnes žije v meste 30 000 obyvateľov. Vypočítajte pravdepodobný počet obyvateľov v meste o 15 rokov za 3 predpokladu, že ročný prírastok bude 1 4 %. 13. Prístroj má cenu 500 000 Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na 200 000 Sk. Vypočítajte % odpisu. 14. Novorodeniatko dostalo pri narodení vkladnú knižku s 1000 Sk na 12 % úrok. Koľko bude mať v deň 18. narodenín. 15. Koľko rokov potrebujem (n), aby sme nasporili 90 000 Sk (s) ak začiatkom každého roka vkladáme do sporiteľne 3000 Sk (a) na vkladnú knižku so 4 % úrokovaním. 16. Nový počítač stojí 50 000 Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na 20 000 Sk. Vypočítajte % odpisu. { a n } n=1 17. Vyšetrite a dokážte monotónnosť postupnosti, { a n } n=1 18. Vyšetrite a dokážte ohraničenosť postupnosti, a n a n n = n +1 n = n +1 19. Zistite počnúc ktorým členom postupnosti platí nerovnica: a n < 10 3, kde 20. V aritmetickej postupnosti a2 + a5 a3 = 10 a2 + a9 = 17, a1 =?, d =? 21. Koľko trojciferných čísel je deliteľných 7? 1 a n = 2 n 22. Štvrtý člen GP je väčší ako druhý člen o 24 a súčet druhého a tretieho člena je 6. Určte túto postupnosť. 1 27 23. Vypočítajte súčet geometrického radu: + + + + + +... 24. Riešte rovnicu: 1 1 1 1 2 3 4 9 2 4 8 4x 3 + + + +... = 2 x x x 3x 4 1 3 1 8 55

Príklady z monitorov: M1: V aritmetickej postupnosti { n} n=1 a je a1 = 7, a11 = 10. Určte hodnotu stého člena tejto postupnosti. (2003) M2: Nech a1, a2, a3,... je aritmetická postupnosť prirodzených čísel s diferenciou d = 99. Najviac koľko trojciferných čísel môže táto postupnosť obsahovať? (2002) M3: V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo 4. rade je 10 sedadiel, v 12. rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v 24. rade? a) 36 b) 40 c) 50 d) 52 e) 58 (2001) M4: V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9-krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen? a) 81-krát b) 54-krát c) 36-krát d) 27-krát e) 18-krát (2001) M5: V krajine Hypoteland bolo 1.1.1999 presne 200 000 000 obyvateľov. Ročný prírastok obyvateľstva v tejto krajine je presne 2% Určte presný počet obyvateľov v tejto krajine k 1.1. 2003. (2003) 56

PRÍKLADY - ÚROVEŇ B: 1. Veľkosť strán pravouhlého trojuholníka tvoria tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti. Dlhšia odvesna má dĺžku 12 cm. Vypočítajte obvod trojuholníka. 2. V športovej hale sú miesta pre divákov určené na sedenie v 25 radoch. V najnižšom rade je 800 sedadiel, v najvyššom rade 2 504 sedadiel. Koľko je v hale všetkých sedadiel, ak vzrast počtov sedadiel je od nižšieho radu k vyššiemu vždy rovnaký. 3. Určte a1 a d ak a3 + a6 = 32 4. Určte a1 a d ak a2 + a5 - a3 = 10 a4 + a5 = 36 a2 + a9 = 17 5. Geometrická postupnosť je určená a5 + a6 = 96, a1 =? 6. Geometrická postupnosť je určená sn = 4 088 a7 - a5 = 96 q =? q = 2; a1 = 8 sn = 2 046 n =? n =? an =? 7. Určte poradie podčiarknutého člena postupnosti: -1, 2, -4,..., 128... 8. Geometrická postupnosť je určená a3 a1 = 24 a5 - a1 = 624 s6 =? 9. Zistite či nekonečný číselný rad 1 je konvergentný. Ak áno, určte jeho súčet : n=1 n s 10. Napíšte dané čísla v tvare zlomku, aby čitateľ a menovateľ boli celé čísla: 0, 28 ; 0, 361 11. Riešte rovnicu : (x-1) + (x-1) 2 + (x-1) 3 +...= 1 12. Dnes žije v meste 30 000 obyvateľov. Vypočítajte pravdepodobný počet obyvateľov v meste o 15 rokov za predpokladu, 3 že ročný prírastok bude 1 4 %. 13. Prístroj má cenu 500 000 Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na 200 000 Sk. Vypočítajte % odpisu. 14. Novorodeniatko dostalo pri narodení vkladnú knižku s 1000 Sk na 12 % úrok. Koľko bude mať v deň 18. narodenín. 15. Koľko rokov potrebujem (n), aby sme nasporili 90 000 Sk (s) ak začiatkom každého roka vkladáme do sporiteľne 3000 Sk (a) na vkladnú knižku so 4 % úrokovaním. 16. Nový počítač stojí 50 000 Sk. Za 10 rokov opotrebovaním sa jeho cena zníži na 20 000 Sk. Vypočítajte % odpisu. Príklady z monitorov: M1: V aritmetickej postupnosti { n} n=1 a je a1 = 7, a11 = 10. Určte hodnotu stého člena tejto postupnosti. (2003) M2: Nech a1, a2, a3,... je aritmetická postupnosť prirodzených čísel s diferenciou d = 99. Najviac koľko trojciferných čísel môže táto postupnosť obsahovať? (2002) M3: V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo 4. rade je 10 sedadiel, v 12. rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v 24. rade? a) 36 b) 40 c) 50 d) 52 e) 58 (2001) M4: V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9-krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen? a) 81-krát b) 54-krát c) 36-krát d) 27-krát e) 18-krát (2001) M5: V krajine Hypoteland bolo 1.1.1999 presne 200 000 000 obyvateľov. Ročný prírastok obyvateľstva v tejto krajine je presne 2% Určte presný počet obyvateľov v tejto krajine k 1.1. 2003. (2003) 57

ŽIACKY PROJEKT - POSTUPNOSTI 58

2.10. HLAVOLAMY Novým trendom prijímacích pohovorov sú mnohokrát aj logické úlohy -hlavolamy. Preto sme tieto typy zaradili na rozcvičku na hodiny matematiky. Úlohou žiakov bolo na podobnom princípe vytvoriť svoje vlastné hlavolamy a zozbierať ich do zbierky. Vytvorené hlavolamy sú pripravené aj na CD. 64

V istej vedeckej encyklopédii je Isaac Newton na strane 101, Charles Darwin na strane 651 a Albert Einstein na strane 52. Na ktorej strane je George Simon Ohm? ODPOVEĎ: na strane 2001, sčítajú sa rímske číslice obsiahnuté v mene. 65

Každý znak má určitú číselnú hodnotu. Čo logicky partí namiesto otáznika?? 12 14 8 10 19 12 10 13 A 8 B 19 C 17 D 15 E 10 F 66

3. ZÁVER Výsledným produktom projektu má byť: - nová osobnosť žiaka - metodická príručka - publikovanie projektových prác Po troch rokoch intenzívnej práce môžeme konštatovať, že k výslednému produktu, ktorý bol stanovený na začiatku našej práce, sme sa postupne priblížili. Nová osobnosť žiaka -žiaci pohotovo pracujú v skupinách, pri počítači, ovládajú rôzne druhy programov / Excel, Access, Power Point, Derive /, vedia v nich tvoriť projekty, zostaviť hlavolamy, vedia zodpovedne a s patričnou náročnosťou určiť svoje požiadavky na maturitnú skúšku, vedia si podľa svojich schopností vybrať pri písomných prácach k sebe zodpovedajúcu náročnosť príkladov a tým sa ohodnotiť. Metodická príručka nejde tu o klasickú metodickú príručku, pretože každý učiteľ je osobnosťou, ktorá vie riadiť vyučovací proces a nepotrebuje mať postup predpísaný. Ide o príručku netradičných metód, ku ktorým možno všetci učitelia nemali prístup a mohla by im pomôcť vo vyučovaní, a tým ho zmodernizovať. Publikovanie projektových prác žiakov a učiteľov -v záverečnej správe je uvedených len niekoľko ukážok z každého produktu. Ostatné práce, žiacke alebo vyučujúcej a konzultantky sú v prílohách Matematika 1.2.3. a na CD. Sme radi, že sme sa mohli zapojiť do tohto projektu, a tým obohatiť svoje aj žiacke vedomosti, priblížiť žiakom matematiku aj zábavnejším spôsobom a naučiť žiakov bez väčších problémov pohotovo reagovať na požiadavky doby- informačno-technologickú komunikáciu. Veľký význam má aj integrácia do vyučovania matematiky do všetkých učebných skupín, čím je poskytnutá rovnosť šancí pre všetkých žiakov. Svoj význam má aj vypracovanie prezentácie trojročnej práce, Metodickej príručky a prílohy Matematika 1. 2. 3., ktoré budú tvoriť ponuku pre vyučujúcich iných škôl, čím sa v nemalej miere spropaguje program NK Sokrates. RNDr. Radoslava Paulenková Mgr. Lujza Zelezníková 67