KRIVULJE RASPODJELE Doc.dr.sc. Vesna Denć-Jukć
Krvulje raspodjele predstavljaju zakon vjerojatnost pojave neke hdrološke velčne. Za slučajnu varjablu X kažemo da je poznata ako znamo zakon njene raspodjele. Razlkujemo dvje vrste slučajnh varjabl: dskretnu kontnuranu
Za dskretnu varjablu skup mogućh vrjednost R x je dskretan skup: { x x... } 1, x n
Prpadne vjerojatnost p ( X x ) za 1,,...n P Razdoba slučajne varjable X može se zadat u sljedećem oblku: Nužan uvjet X : x p, x, p p 0, p 1 1 1,... x,... p n n
Kontnurana slučajna varjabla Vjerojatnost se promatra kao mogućnost ostvarvanja vrjednost nekog ntervala x, x + x Zakon razdobe slučajne varjable X je zadan ukolko je poznata tzv. funkcja gustoće vjerojatnost f(x) f ( x) : p x R ( a x b) f ( x) dx b a
Funkcja gustoće je nenegatvna funkcja, a vjerojatnost pojave sgurnog događaja je defnrana putem sljedećeg ntegrala: + f ( x ) dx 1
Vjerojatnost kontnurane varjable P( x o X x o + x) x o + x x o f ( x) dx
Funkcja dstrbucje l funkcja razdobe slučajne varjable X F ( x) P ( X x) F ( x) x f ( x) dx
Razdoba slučajne varjable je poznata ukolko je poznata l funkcja gustoće l funkcja razdobe.
Hdrološk podac su statstčke varjable, a mogu bt dskretne kontnurane. Dnevn, mjesečn protok je prmjer dskretne varjable, a otjecanje prkazano putem hdrograma predstavlja kontnuranu varjablu. Promatrat će se vjerojatnost pojave neke hdrološke velčne.
Krvuljom raspodjele se dobju značajne nformacje o emprjskom nzu na temelju samo nekolko parametara. Normalna lognormalna raspodjela su raspodjele određene na temelju statstčka parametra, srednje vrjednost standardne devjacje.
Da bsmo došl do pojma vjerojatnost pojave neke hdrološke velčne potrebno je na temelju mjerenh podataka odredt mjerodavnu funkcju raspodjele. Grafčk prkaz funkcje raspodjele je krvulja raspodjele.
Da b se odredla vjerojatnost pojave slučajne varjable X na temelju hdrološkog nza potrebno je zvršt statstčku analzu koja podrazumjeva: proračun osnovnh statstčkh parametara uzorka određvanje emprjske raspodjele, zbor teoretske funkcje raspodjele parametara, ocjenu testranje prlagodbe emprjske teoretske raspodjele.
Osnovn statstčk parametr uzorka: Artmetčka sredna Varjanca Koefcjent varjacje Koefcjent asmetrje
( ) ( ) ( ) σ σ σ N x x c N x x x x c x x N x N x N s N v N N I 1 3 1 1 1 1 1
Podatke opažanja je potrebno najprje poredat u opadajuć nz: x x +1 Funkcja raspodjele se defnra kao vjerojatnost pojave da slučajna varjabla poprm određenu promatranu vrjednost l vrjednost veću od promatrane. F( X ) P( X x)
Emprjska razdoba se aproksmra zrazom: P( X x m ) m N 0,5
Teoretska funkcja raspodjele je dana analtčkm zrazom: P X x F x, α, β, γ,... ( ) ( ) čj oblk ovs o parametrma Prmjena teoretskh funkcja raspodjele pruža mogućnost da se ekstrapolraju teoretske funkcje raspodjele u područja malh vjerojatnost.
Krvulje raspodjele se u hdrologj korste za određvanje vjerojatnost pojave hdrološkh fenomena. Oblc krvulja raspodjele mogu bt razlčt, a kao prmjer će se obrađvat normalna lognormalna raspodjela
NORMALNA RASPODJELA Normalna raspodjela je najčešće opsvana najčešće korštena Normalna raspodjela je dvoparametarska u cjelost je defnrana poznavanjem artmetčke sredne standardne devjacje ( x, σ )
Funkcja gustoće normalne raspodjele f ( x x) 1 ( x) e σ σ π
Krvulja normalne raspodjele je smetrčna pa je njen koefcjent asmetrje jednak nul. Koefcjent asmetrje: ( ) ( ) 3/ 1 1 3 1/ 3 3 3 n n x x x x n r σ µ
Koefcjent spljoštenost r 4 µ σ 4 4 n n n 1 1 ( ) x x ( ) x x
Za r 4 >3, krvulja je s vsokm vrhom, a za r 4 <3, krvulja je s pltkm vrhom raspodjele
LOGARITAMSKO NORMALNA RASPODJELA 1 ( ln x x) f ( x) e σ π
NORMALNA RASPODJELA T(god) P (%) z p Q p 100 0,01 3,715 Q p Q+ z p σ 10 0,1 3,090 1 1,36 0,5,054 0,5 4 1,75 0,1 10 1,81 0,05 0 0,84
LOGNORMALNA RASPODJELA ln Q p Q' + z σ ' p Q' ln σ Q + Q σ ' σ ln 1 + Q
LOGNORMALNA RASPODJELA ln Q p Q' + z σ ' p T(god) P (%) z p Q p 100 0,01 3,715 Q' σ ' ln Q σ + Q σ ln 1 + Q 10 0,1 3,090 1 1,36 0,5,054 0,5 4 1,75 0,1 10 1,81 0,05 0 0,84
Dobvene vrjednost se grafčk mogu prkazat na pravcu normalne raspodjele. Kad b se dobvene vrjednost crtale u dekadskom mjerlu, tj. občnom koordnatnom sustavu taj prkaz ne b bo pravac, već krvulja. Rad jednostavnje usporedbe dvju raspodjela (emprjske teoretske), one se grafčk prkazuju na tzv. papru vjerojatnost, a pravac koj odgovara funkcj raspodjele se u statstc zove Henry-ev pravac.
Pravac prolaz kroz dvje karakterstčne točke: ( x; 0,5) ( x + σ ;0,84134 ) Te dvje točke mogu poslužt kao kontrola prlagodbe.
LOG-NORMALNE KRIVULJE RASPODJELE ZA TRI NIZA MAKSIMALNIH GODIŠNJIH PROTOKA SAVE KOD ZAGREBA RAZLIČITE DULJINE TRAJANJA
χ test Kod određvanja krvulja raspodjele postavlja se ptanje prlagodbe teoretske emprjske raspodjele tj. ptanje kolko dobro neka raspodjela prat raspodjelu emprjskh podataka. Odgovor na to se daje putem gore navedenog testa.
χ n 1 ( f f ) f t t Ako razlke zmeđu emprjskh teoretskh frekvencja nsu prevelke tj. maju slučajan karakter tada prpadna vrjednost testa neće bt velka. Ukolko su razlke prevelke, tada svakako nsu slučajne te treba odbact pretpostavku da se varjabla ravna po navedenoj raspodjel.
Ukolko je χ χ dop χ dop ovs o broju stupnjeva slobode Broj stupnjeva slobode k broj razreda k r - -1 r - -1
χ raspodjela
Općento, zraz P { } χ > χ α α predstavlja vjerojatnost odbacvanja hpoteze da se raspodjela ravna po određenoj promatranoj raspodjel 1
PRIMJENA TESTA U prmjenama ta vjerojatnost odbacvanja hpoteze znos 5%, a rjeđe 1%. α 0,05
PRILAGOĐAVANJE EMPIRIJSKIM PODACIMA Pretpostavmo da je N emprjskh podataka gruprano u razrede od kojh svak ma šrnu D. Neka je poznata srednja vrjednost varjanca navedenog skupa. Da bsmo emprjskoj raspodjel prlagodl normalnu raspodjelu, aproksmrat ćemo očekvanje m artmetčkom srednom, a varjancu varjancom emprjskh podataka.
Teoretske frekvencje računat ćemo za svak razred, služeć se funkcjom vjerojatnost: f ( x) σ 1 1 x x σ e π Neka je x sredna -tog razreda kojem prpada emprjska vjerojatnost f. Vjerojatnost da varjabla prm vrjednost z -tog razreda jednaka je površn spod krvulje vjerojatnost nad dotčnm razredom.
Ta je vjerojatnost prblžno jednaka: Uvedu l se supsttucjsk zraz: ( ) x f P ( ) ( ) 1 1 1 1 u u e u e x f x u π ϕ π σ σ µ
ϕ ( u ) Funkcja standardne l jednčne normalne raspodjele čje se vrjednost za razlčte u mogu nać tabelarno l se dobju proračunom. Te vrjednost služe za proračun vrjednost f(x) pr čemu vrjed da je: f ( x) 1 σ ϕ ( u)
Ako se vratmo na vjerojatnost da varjabla prm vrjednost z -tog razreda sljed: P f ( x ) ϕ( u ) σ f t N P Teoretska l očekvana frekvencja f t u -tom razredu: f x t u N ϕ σ ϕ ( u ) ( u ) ft
Emprjske frekvencje f teoretske frekvencje f t neće se podudarat. Ako se varjabla na koju se odnose emprjsk podac pokoravaju zakonu normalne raspodjele razlke neće bt prevelke, mat će slučajan karakter.
RAZRED f e x u f(u ) f t (f e -f t ) /f t 0-11 -44 34 44-66 7
( ) ( ) t t t f u u x u N f P N f ϕ ϕ σ ( ) ( ) 1 1 1 1 u u e u e u f Q Q u π ϕ π σ σ ( ) ( ) u x f P ϕ σ
Kontrola točnost f f e t
LOGNORMALNA RASPODJELA RAZREDI GORNJA GRANICA RAZREDA p (%) Dp p -p -1 f t Dp *n f e (f e -f t ) /f t 40-50 40 50-60 50
Papr vjerojatnost
PAPIR VJEROJATNOSTI ZA NORMALNU RASPODJELU p (%)
100 100 - p (%) PAPIR VJEROJATNOSTI ZA LOG-NORMALNU RASPODJELU 10 1 p (%)
Test Kolmogorov-Smrnova Grančne vrjednost D o u funkcj velčne uzorka N praga značajnost a
Test Kolmogorova Za ocjenu prlagodbe emprjske raspodjele teoretskom uzma se najveća apsolutna razlka zmeđu te dvje funkcje raspodjele: D dop su razlčte ovsno o pragu značajnost a opsegu uzorka n, te su dane tabelarno. D D n n P( D n max D o D o F n ( x) F( x) ) α